1.1. Joukon Jordanin sisältö. Reaaliakselin kompaktin välin [t 0, t m ] jako on

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "1.1. Joukon Jordanin sisältö. Reaaliakselin kompaktin välin [t 0, t m ] jako on"

Transkriptio

1 1. Jordan-joukot Yksinkertaisuuden (ja havainnollisuuden vuoksi) seuraavassa tarkastellaan vain tason osajoukkoja, vaikka päättelyt voitaisiin helposti siirtää yleiseen n-ulotteiseen euklidiseen avaruuteen (n = 1 mukaan lukien). Tason osajoukko J on väli, jos se on reaaliakselin välien J 1 ja J 2 karteesinen tulo. Väli on siis koordinaattiakselien suuntainen suorakaide. Jatkossa reaaliakselin välien oletetaan olevan rajoitettuja. Välin J = J 1 J 2 pinta-ala on J := J 1 J 2, missä J j on reaaliakselin välin J j pituus Joukon Jordanin sisältö. Reaaliakselin kompaktin välin [t 0, t m ] jako on joukko P = {t 0, t 1, t 2,..., t m 1, t m }, missä t 0 < t 1 < t 2 < < t m 1 < t m. Jaon P määräämät osavälit ovat [t j 1, t j ], 1 j m. Välin [t 0, t m ] jaon P hienonnus on jako P, jolle P P. Hienommassa jaossa on siis aiempien jakopisteiden lisäksi mahdollisesti lisäjakopisteitä (eikä vain niin, että jakopisteiden lukumäärä kasvaa). Jos P = P {t }, missä t P, niin hienommassa jaossa P se osaväli [t j 1, t j ], jolle uusi jakopiste t kuuluu, jakautuu kahdeksi osaväliksi [t j 1, t ] ja [t, t j ]. Olkoon J = J 1 J 2 = [a, b] [c, d] kiinteä tason kompakti väli. Välin J jako on karteesinen tulo P := P 1 P 2, missä P 1 on välin J 1 jako ja P 2 vastaavasti välin J 2 jako. Kun P 1 = {x 0, x 1,..., x m 1, x m } ja P 2 = {y 0, y 1,..., y n 1, y n }, ovat jaon P määräämät osavälit välit I j,k := [x j 1, x j ] [y k 1, y k ], 1 j m, 1 k n. Jaon P hienonnus on välin J jako P, joka saadaan hienontamalla välin J 1 jakoa P 1 tai välin J 2 jakoa P 2 (tai molempia). Jos esimerkiksi jakoon P 1 lisätään jakopiste x, missä x j0 1 < x < x j0, välin J uuden jaon P jakopisteitä ovat aiempien lisäksi pisteet (x, y k ), 1 k n, ja osavälejä aiemmat osavälit I j,k, 1 j m, j j 0, 1 k n, ja välit [x j0 1, x ] [y k 1, y k ], 1 k n, [x, x j0 ] [y k 1, y k ], 1 k n. Joukon A J pinta-ala määritellään seuraavan ulkoa ja sisältä tapahtuvan suorakaideapproksimaation avulla: Olkoot P välin J jako ja I j,k, 1 j m, 1 k n, sen määräämät osavälit. Asetetaan 2 Edelleen asetetaan ja lopulta I := {(j, k) I j,k A } ja I := {(j, k) I j,k A}. c (A, P ) := (j,k) I I j,k ja c (A, P ) := (j,k) I I j,k, c (A) := inf{c (A, P ) P P} ja c (A) := inf{c (A, P ) P P}, missä P on välin J kaikkien jakojen kokoelma. Luku c (A) on joukon A Jordanin ulkosisältö ja c (A) vastaavasti joukon A Jordanin sisäsisältö. Jos c (A) = c (A), sanotaaan, että joukko A on Jordan-mitallinen ja yhteinen arvo c(a) := c (A) = c (A) on joukon A Jordanin sisältö. 1 Merkintää ei pidä sotkea esimerkiksi itseisarvoon, koska joukon itseisarvoa ei ole määritelty. Pinta-alalle voisi käyttää merkintää A(J) ja kolmiulotteisen avaruuden välin J = J 1 J 2 J 3 tilavuudelle V (J), mutta J on nykyisin yleisesti käytössä ja on dimensiosta riippumaton. 2 Huomaa: indeksijoukot I ja I riippuvat joukosta A ja valitusta jaosta P, joten niitä olisi korrektimpi merkitä I (A, P ) ja I (A, P ). 1

2 2 Joukon A peite ulkoa (tummat) ja tyhjennys sisältä (vaaleat). Jaon hienontuessa alueen ulkoa peittävä ala pienenee ja sisältä tyhjentävä ala kasvaa. Selityksiä. a) Välin J jaon P ja I j,k, 1 j m, 1 k n, määräämistä osaväleistä I j,k ne, joille (j, k) I, peittävät joukon A, t.s. A (j,k) I I j,k. Koska äärellisen monen suljetun välin yhdiste on suljettu, on A (j,k) I I j,k. Vastaavasti osaväleistä I j,k ne, joille (j, k) I, sisältyvät joukkoon A, t.s. (j,k) I I j,k A. Osaväleille I j,k, missä (j, k) I, on I j,k A =, t.s. ne sijaitsevat kokonaan joukon A ulkopuolella. Osaväleille I j,k, missä (j, k) I, on int I j,k int A. Näiden välien pisteet ovat siis joukon A sisäpisteitä mahdollisessti välien reunapisteitä lukuunottamatta. Siis välit I j,k, (j, k) I, tyhjentävät joukkoa A sisältäpäin. Osaväleille I j,k, joille (j, k) I ja (j, k) I, on I j,k A, mutta I j,k A. Tällöin I j,k A. b) Jos välin J jakoa P hienonnetaan ja uusi hienompi jako on P, osaväleihin I j,k, (j, k) I, sisältyvät uudet osavälit I j,k ovat edelleen sellaisia, että I j,k A. Toisaalta, osa osaväleihin I j,k, (j, k) I, sisältyvistä uusista osaväleistä I j,k voi olla sellaisia, että I j,k A, ja osalle voi olla I j,k A =. Jaon hienonnus voi

3 siis tuoda uusia joukkoon A sisältyviä osavälejä I j,k. Osa aiemmista osaväleistä I j,k, missä (j, k) I ja (j, k) I, taas voi jakautua osaväleihin I j,k, joista osa on joukon A peittämiseen tarpeettomia. Tästä seuraa c (A, P ) c (A, P ) ja c (A, P ) c (A, P ). Tästä epäyhtälöstä saadaan puolestaan: kun P ja Q ovat välin J mitkä tahansa kaksi jakoa, on c (A, Q) c (A, P ). Tämä epäyhtälö puolestaan takaa Jordanin sisä- ja ulkosisällön vertailtavuuden: jokaiselle joukolle A J on c (A) c (A) Jordanin sisällön ominaisuuksia. (i) Jos A on väli, on c (A) = c (A) = A. (ii) Ulkosisältö on monotoninen: c (A) c (B), kun A B. (iii) Ulkosisältö on äärellisesti subadditiivinen: c (A B) c (A) + c (B). (iv) Jordanin ulkosisältö ei ole additiivinen: voi olla c (A B) < c (A) + c (B), vaikka A B =. (v) c (A) = c (A). (vi) c ( A) = c (A) c (A), joten joukko A on Jordan-mitallinen, jos ja vain jos c ( A) = 0 (tai yhtäpitävästi m ( A) = 0; vrt. 1.4). Perusteluja. (i) Jätetään lukijan tehtäväksi. (ii) Olkoot P välin J jako ja I j,k, 1 j m, 1 k n, sen määräämät osavälit. Olkoon I = I (B, P ) joukkoa B vastaava kokoelma indeksejä (j, k), joille I j,k B (vrt. 1.1). Tällöin B (j,k) I I j,k, joten myös A (j,k) I I j,k. Tästä seuraa, että I (A, P ) I (B, P ), joten c (A, P ) c (B, P ) ja edelleen c (A) c (B). (iii) Olkoot I (A, P ) ja I (B, P ) joukkoja A ja B vastaavat indeksikokoelmat I. Jos I j,k (A B), on I j,k A tai I j,k B. Siis (j, k) I (A, P ) I (B, P ). Tämä tarkoittaa, että I (A B, P ) I (A, P ) I (B, P ). Suorakaiteiden yhteenlasketuille pinta-aloille saadaan Väitetty epäyhtälö seuraa tästä. c (A B, P ) c (A, P ) + c (B, P ). (iv) Esimerkiksi A := {(x, y) [0, 1] [0, 1] x Q, y Q} ja B := [0, 1] [0, 1] \ A. Tällöin A B = [0, 1] [0, 1], c (A) = c (B) = 1 = c ([0, 1] [0, 1]). (v) Monotonisuuden nojalla c (A) c (A). Käänteistä epäyhtälöä varten olkoon ε > 0. Tällöin on olemassa välin J jako siten, että c (A, P ) < c (A) + ε. Kun A (j,k) I I j,k, on myös A (j,k) I I j,k. Siis c (A, P ) c (A, P ), joten c (A) c (A, P ) c (A, P ) < c (A) + ε. (vi) Olkoon ε > 0 ja P välin J jako siten, että c (A) ε c (A, P ) ja c (A) + ε c (A, P ). Olkoot I j,k, 1 j m, 1 k n, jaon P määräämät osavälit.

4 Koska A (j,k) I I j,k, välit I j,k ovat suljettuja ja I on äärellinen, on A (j,k) I I j,k. Toisaalta, indeksejä (j, k) I vastaaville väleille on I j,k A, joten int I j,k int A ja edelleen (j,k) I int I j,k int A. Siis ( ) ( ) (1) A = A \ int A I j,k \ int I j,k. (j,k) I (j,k) I Tässä oikealla puolella jälkimmäisissä suluissa olevalle joukolle on int I j,k = I j,k = c (A, P ). (j,k) I (j,k) I Kaavan (1) oikean puolen erotusjoukossa ovat mukana välit I j,k, missä (j, k) I \ I, ja erotusjoukot I j,k \int I j,k, missä (j, k) I. Nämä erotusjoukot ovat kyseisten välien reunoja eli surkastuneiden välien yhdisteitä. Kaavan (1) oikean puolen erotusjoukon pinta-ala on siis I j,k int I j,k = c (A, P ) c (A, P ) c (A) c (A) + 2ε. (j,k) I (j,k) I Tästä, inkluusiosta (1) ja ulkosisällön monotonisuudesta saadaan c ( A) c (A) c (A) + 2ε, joten c ( A) c (A) c (A). Käänteistä epäyhtälöä varten olkoot P välin J jako ja I j,k, 1 j m, 1 k n, sen määräämät osavälit. Joukon A ulkosisällölle on c (A) c (A, P ) = I j,k = I j,k + I j,k (j,k) I (j,k) I \I (j,k) I I j,k + c (A, P ) I j,k + c (A). (j,k) I \I (j,k) I \I Osaväleille I j,k, joille (j, k) I ja (j, k) I, on I j,k A, mutta I j,k A, joten I j,k A. Jos välit I j,k olisivat avoimia, tämä tarkoittaisi, että välit I j,k, (j, k) I \ I, peittävät joukon A reunan 3. Jos J j,k ovat avoimia välejä, joille I j,k J j,k ja J j,k I j,k + ε/(m n), on A ja c (A) c (A) Kun jako on riittävän tiheä, on 4 c ( A) (j,k) I \I J j,k (j,k) I \I I j,k (j,k) I \I J j,k ε. Näistä seuraa, että c (A) c (A) c ( A) + ε. (j,k) I \I J j,k. 3 Muista: piste x on joukon A reunapiste, jos B(x; r) A ja B(x; r) A kaikille r > 0. Yhtäpitävästi x on joukon A reunapiste, jos J A ja J A kaikille avoimille väleille J, joille x J. 4 Tämä kohta kaipaisi tarkempaa perustelua; tarkemmin se, että joukon ulkosisällön määräämiseksi voitaisiin käyttää avoimia välejä. 4

5 1.3. Joukon ulko- ja sisäsisällön yhteys ylä- ja alaintegraaleihin. Olkoot J on kompakti väli ja f : J R rajoitettu funktio. Olkoot P välin J jako ja I j,k, 1 j m, 1 k n, sen määräämät osavälit. Asetetaan ja M j,k (f) := sup{f(x, y) (x, y) I j,k }, m j,k (f) := inf{f(x, y) (x, y) I j,k }, S(f, P ) := j,k M j,k (f) I j,k, S(f, P ) := j,k m j,k (f) I j,k. Luku S(f, P ) on funktion f jaon P määräämä Darboux n yläsumma. Vastaavasti S(f, P ) on funktion f jaon P määräämä Darboux n alasumma. 5 Jos P on välin J jaon P hienonnus, on S(f, P ) S(f, P ) ja S(f, P ) S(f, P ). Edelleen, kun P ja Q ovat mitkä tahansa kaksi välin J jakoa, on J S(f, Q) S(f, P ). Funktion f Riemannin ylä- ja alaintegraali välin J suhteen 6 määritellään kaavoilla f(x, y) d(x, y) := inf{s(f, P ) P P}, f(x, y) d(x, y) := sup{s(f, P ) P P}, Funktio f on Riemann-integroituva, jos f(x, y) d(x, y) = f(x, y) d(x, y), jolloin J J funktion f Riemannin integraali välin J suhteen on ylä- ja alaintegraalin yhteinen arvo, f(x, y) d(x, y) := f(x, y) d(x, y) = f(x, y) d(x, y). J J J Olkoot nyt J tason kompakti väli, A J, P välin J jako sekä I ja I indeksijoukot kuten kohdassa 1.1. Olkoon χ A : J R, χ A (x) := 1, jos x A, ja χ A (x) := 0, jos x A. Funktio χ A on joukon A karakteristinen funktio. Funktiolle χ A ja jakoa P vastaaville osaväleille I j,k on Siis joten M j,k (χ A ) = S(χ A, P ) = J { 0, jos (j, k) I, 1, jos (j, k) I, J ja m j,k (χ A ) = (j,k) I I j,k = c (A, P ) ja S(χ A, P ) = χ A (x, y) d(x, y) = c (A) ja J { 0, jos (j, k) I, 1, jos (j, k) I. (j,k) I I j,k = c (A, P ), χ A (x, y) d(x, y) = c (A). 5 Luentomonisteen [4] vastaavat merkinnät ovat U(f, P ) ja L(f, P ). Integraaleille vastaavasti = ylä- ja = ala-. 6 Oikeastaan pitäisi puhua Darboux n ylä- ja alaintegraalista ja Darboux-integroituvuudesta. Riemann käytti integraalinsa määrittelyyn Riemmannin summien nimellä tunnettuja summia R(f, T ) := j,k f(ξ j,k) I j,k, missä T := {(ξ j,k, I j,k ) ξ j,k I j,k, 1 j m, 1 k n} on jaon P määräämä merkitty jako (osaväli ja kultakin osaväliltä mielivaltaisesti valittu piste). 5

6 Joukon A karakteristinen funktio χ A on siis Riemann-integroituva välin J suhteen, jos ja vain jos joukko A on Jordan-mitallinen. Tämä seuraa edellä olleesta: joukko A on Jordan-mitallinen, jos ja vain jos c ( A) = 0. Jos käytetään Lebesguen ehtoa Riemann-integroituvuudelle, on: joukon A karakteristisen funktion χ A epäjatkuvuuspisteiden joukko on nollamittainen, jos ja vain jos reuna A on nollamittainen Yhteys Lebesguen mittaan. Olkoon K kaikkien tason avointen välien ja tyhjän joukon muodostama kokoelma. Tason osajoukon A Lebesguen ulkomitta m (A) määritellään asettamalla { m } (A) := inf I j I j K, j Z +, ja A I j j=1 Huomaa, että kun asetetaan := 0, on joukon A ulkomitan muodostamisessa mukana myös kaikki sellaiset äärellisen monen avoimen välin I j, 1 j k, kokoelmat, joille A k j=1 I j. Erona Jordanin ulkosisältöön on, että joukon A peittäminen sallitaan myös numeroituvasti äärettömillä peitteillä. Esimerkki 1.1. Mitä numeroituvasti äärettömien peitteiden salliminen sitten merkitsee? Tämä nähdään yksinkertaisella esimerkillä. Olkoon A := Q [0, 1]. 7 Jos I j, 1 j k, ovat välin [0, 1] jaon P määräämiä suljettuja välejä (kuten joukon Jordanin sisällön kohdalla tulee olla), ja j=1 I := {j I j A } ja I := {j I j A}, niin I = (jokaisella välillä I j on sisäpisteitä, mutta joukolla A niitä ei ole), I = {1,..., k} (jokaisella välillä I j on rationaalipisteitä) ja [0, 1] = A k j=1 I j = [0, 1]. Tästä seuraa, että c (A, P ) = 1, joten myös c (A) = 1. Toisaalta, joukko A on numeroituva, joten se voidaan esittää muodossa A = {r l l Z + } (missä siis r l ovat välin [0, 1] keskenään erisuuret rationaalipisteet). Jokaiselle l Z + olkoon I l avoin väli, jonka keskipiste on r l, ja jonka pituus on ε/2 l. Tällöin A l=1 I l ja l=1 I l = ε l=1 1/2l = ε. Siis m (A) ε oli ε > 0 kuinka pieni tahansa. Näin ollen m (A) = 0. Joukon Jordanin sisältö ja Lebesguen ulkomitta voivat siis poiketa toisistaan varsin paljon. Joukon Lebesguen ulkomitalla on seuraava säännöllisyysominaisuus: joukon ulkomittaa voidaan approksimoida ulkoapäin avointen joukkojen ulkomitan avulla m (A) = inf{m (U) U on avoin ja A U}. Tämä tulos on sikäli merkittävä, että avoimet joukot ovat monessa mielessä huomattavan yksikertaisia, ja niille Lebesguen ulkomitta voitaisiin määritellä hieman helpommin ymmärrettävällä tavalla ennen kuin siirrytään mielivaltaisten joukkojen tarkasteluun. Tästä päästään myös luontevasti joukon sisämittaan. Kun rajoitutaan kompaktin välin I osajoukkoihin, on A U I \ A I \ U. Kun U on avoin, on K := I \ U suljettu, joten kompaktin välin I osajoukkona se on kompakti. 7 Joukkojen pitäisi tässä yhteydessä olla tason osajoukkoja, ei reaaliakselin. Tähän päästäisiin vaihtamalla joukon A tilalle joukko (Q [0, 1]) [0, 1]. 6

7 Rajoitetun joukon A R 2 sisämitta m (A) määritellään asettamalla Yhtäpitävästi voitaisiin asettaa m (A) := sup{m (K) K on kompakti ja K A}. m (A) := I m (I \ A), kun I R 2 on kompakti väli, jolle A I. Lebesguen käyttämä määritelmä joukon A mitallisuudelle oli vastaava kuin Jordan joukoille: Rajoitettu joukko A on (Lebesgue-)mitallinen, jos m (A) = m (A). Lebesguen ulkomittaa ja joukkojen Lebesgue-mitallisuutta selvitellään tarkemmin Mitta- ja integraaliteorian kurssilla [5]. Seuraavaan on listattu joitakin Lebesguen ulkomitan perusominaisuuksia: (i) Jos A on väli, on m (A) = m (A) = A. (ii) Ulkomitta on monotoninen: m (A) m (B), kun A B. (iii) Ulkosisältö on subadditiivinen: m ( j=1 A j) j=1 m (A j ). Lebesguen ulkomittaa ja Jordanin ulkosisätöä voidaan jossain määrin verrata toisiinsa: (iv) Kun A on rajoitettu ja K A kompakti, on c (K) m (A). (v) m (A) c (A), kun A R on rajoitettu; (vi) m (K) = c (K), kun K on kompakti. (vii) Numeroivuva subadditiivisuus (kohta iii) ei päde Jordanin ulkosisällölle, t.s. voi olla c ( j=1 A j) > j=1 c (A j ) Riemann-integroituvuuden karakterisointi. Jatkuvat funktiot ovat (tunnetusti) Riemann-integroituvia, samoin tietysti porrasfunktiot 8, vaikka nillä voikin on olla epäjatkuvuuskohtia. Riemann-integroituvalla funktiolla voi olla äärettömän monta epäjatkuvuuskohtaa, mutta kuinka paljon? Tämän ongelman ratkaisi Riemann 1800-luvulla Jordanin sisällön avulla ja 1900-lukujen vaihteessa ratkaisu pystyttiin esittämään Lebesguen ulkomitan avulla yksinkertaisemmin. Olkoot J kompakti väli, T J epätyhjä osajoukko ja f : J R rajoitettu funktio. Funktion f oskillaatio joukossa T on ω f (T ) := sup{f(x, y ) f(x, y) (x, y), (x, y ) T } = sup f(t ) inf f(t ). Jos T T, on ω f (T ) ω f (T ). Kun (x, y) J ja δ > 0, olkoon Q((x, y); δ) := {(x, y ) J x x δ, y y δ}. Kun 0 < δ < δ, on Q((x, y); δ) Q((x, y); δ ), joten edellisen nojalla oskillaatioille vastaavissa joukoissa on ω f (Q((x, y); δ)) ω f (Q((x, y); δ )). Tästä seuraa, että inf{ω f (Q((x, y); δ)) δ > 0} = lim δ 0+ ω f(q((x, y); δ)) =: ω f (x, y). Luku ω f (x, y) on funktion f oskillaatio pisteessä (x, y). Funktion oskillaatio antaa kvantatiivisen mittarin funktion epäjatkuvuuden selvittämiseen, koska: funktio f on jatkuva pisteessä (x, y), jos ja vain jos ω f (x, y) = 0. (Todistus jää lukijan tehtäväksi.) Olkoon f : J R rajoitettu funktio. 8 Porrasfunktio on funktio f : J R niin, että välille J on jako P = {x 0, x 1,..., x n }, jolle funktiolla f on vakioarvo jokaisella avoimella osavälillä ]x j 1, x j [. 7

8 J: Riemann-integroituvuuden karakterisointi Jordanin ulkosisällön avulla. Jokaiselle ε > 0 olkoon J ε := {(x, y) J ω f (x, y) ε}. Tällöin f on Riemannintegroituva, jos ja vain jos joukon J ε Jordanin ulkosisältö on nolla kaikille ε > 0. Todistus: katso [1, 9 23/Thm 9 47 ja 10 ], [2, 7.26, 14.4] L: Riemann-integroituvuuden karakterisointi Lebesguen ulkomitan avulla. Asetetaan E f := {(x, y) J f on epäjatkuva pisteessä (x, y)}. Tällöin f on Riemann-integroituva, jos ja vain jos joukko E f on nollamittainen eli m (E f ) = 0. Todistus: katso [2, 7.26], [7, 11], [9, Thm 3.8] Huomaa: E f = {(x, y) J f on epäjatkuva pisteessä (x, y)} = {(x, y) J ω f (x, y) > 0} = {(x, y) J ω f (x, y) 1} k Joukot J ε = {(x, y) J ω f (x, y) ε}, ε > 0, voidaan osoittaa suljetuiksi, joten ne ovat kompakteja. Tällöin c (J ε ) = m (J ε ). Jos jokainen c (J ε ) = 0, ε > 0, on Lebesguen ulkomitan subadditiivisuuden nojalla ( ) m (E f ) = m J 1/k m (J 1/k ) = c (J 1/k ) = 0 k=1 k=1 Toisaalta, jos joukko E f on nollamittainen, pitää Lebesguen ulkomitan monotonisuuden nojalla jokaisen joukon J 1/k, k Z +, ulkomitan olla nolla. Kun ε > 0, valitaan k Z + siten, että 1 k ε. Tällöin J 1/k J ε, joten ulkomitan monotonisuuden nojalla m (J ε ) = 0. Koska joukot J ε ovat kompakteja, on c (J ε ) = m (J ε ) = 0. Siis ehdot jokaisen joukon J ε, ε > 0, Jordanin ulkosisältö on nolla ja joukko E f on nollamittainen ovat keskenään yhtäpitäviä. Väitteiden J ja L todistamisessa haasteellisinta on selvittää, miten epäjatkuvuutta kuvaavat joukot J ε ja epäjatkuvuuspisteiden joukko E f liittyvät funktion f Riemann-integroituvuuteen. Kun lasketaan jakoon P liittyvien Darboux n ala- ja yläsumman (ks. kohtaa 1.3) erotus, saadaan hieman tuntumaa joukkojen J ε ja E f merkitykseen: S(f, P ) S(f, P ) = j,k k=1 M j,k (f) I j,k j,k k=1 m j,k (f) I j,k 8 = j,k (M j,k (f) m j,k (f)) I j,k = j,k ω f (I j,k ) I j,k. Riemannin ehdon nojalla f on Riemann-integroituva välillä I, jos ja vain jos jokaiselle η > 0 on olemassa välin I jako P η siten, että S(f, P η ) S(f, P η ) < η. Kun erotuksen S(f, P η ) S(f, P η ) lauseketta tarkastellaan oskillaation avulla, voidaan heuristisesti päätellä seuraavaa: jotta f olisi Riemann-integroituva eivät molemmat, oskillaatio ω f (I j,k ) osavälillä I j,k ja osavälin pinta-ala I j,k, olla samanaikaisesti isoja. Kun jako on tiheä eli välien I j,k sivupituudet pieniä, on ω f (I j,k ) ω f (x), kun x on välin keskipiste. Siis ω f (x) voi olla iso vain joukossa, jonka pinta-ala on pieni.

9 Kirjallisuutta [1] Tom M. Apostol: Mathematical analysis. A modern approach to advanced calculus, Addison Wesley, 1971; ensimmäinen laitos, alunperin [2] Tom M. Apostol: Mathematical Analysis, toinen laitos, viides painos, Addison Wesley, [3] Richard Courant ja Fritz John: Introduction to calculus and analysis, osa II/1, uusintapainos vuoden 1989 laitoksesta, Classics in Mathematics, Springer, [4] Petri Juutinen: Vektorifunktioiden analyysi 2A, luentomuistiinpanoja keväältä [5] Tero Kilpeläinen, Mitta- ja integraaliteoria , pdf-dokumentti osoitteessa terok/opetus/mitta/ (luettu tammikuussa 2016). [6] Serge Lang: Undergraduate analysis, toinen laitos, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer, 1997 (korjattu neljäs painos 2005). Edelliset laitokset Analysis I, Addison-Wesley, 1968; Undergraduate analysis, Springer, [7] James R. Munkres, Analysis on manifolds, Advanced Book Classics, Westview Press, [8] I. P. Natanson, Theorie der Funktionen Einer Reellen Veränderlichen, Zweite ergänzte und überarbeitete Auflage, Akademie-Verlag, 1961; Theory of functions of a real variable, volume I, New York, Rederick Ungar, 1955; volume II, 1960; alunperin venäjänkielisenä 1949 (1. laitos) ja 1956 (2. laitos). [9] Michael Spivak: Calculus on manifolds. A modern approach to classical theorems of advanced calculus, Addison-Wesley, 1965; korjattu painos,

1 Määrittelyjä ja aputuloksia

1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1.1 Supremum ja infimum Aluksi kerrataan pienimmän ylärajan (supremum) ja suurimman alarajan (infimum) perusominaisuuksia ja esitetään muutamia myöhemmissä todistuksissa tarvittavia

Lisätiedot

1 sup- ja inf-esimerkkejä

1 sup- ja inf-esimerkkejä Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Nollakohdan olemassaolo. Kaikki tuntevat

Lisätiedot

1 sup- ja inf-esimerkkejä

1 sup- ja inf-esimerkkejä Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Kaarenpituus. Olkoon r: [a, b] R

Lisätiedot

4.3 Moniulotteinen Riemannin integraali

4.3 Moniulotteinen Riemannin integraali 4.3 Moniulotteinen Riemannin integraali Tässä luvussa opitaan miten integroidaan usean muuttujan reaaliarvoista tai vektoriarvoista funktiota, millaisten joukkojen yli jatkuvaa funktiota voi integroida,

Lisätiedot

Funktiojonon tasainen suppeneminen

Funktiojonon tasainen suppeneminen TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Taina Saari Funktiojonon tasainen suppeneminen Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Elokuu 2009 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen

Lisätiedot

peitteestä voidaan valita äärellinen osapeite). Äärellisen monen nollajoukon yhdiste on nollajoukko.

peitteestä voidaan valita äärellinen osapeite). Äärellisen monen nollajoukon yhdiste on nollajoukko. Esimerkki 4.3.9. a) Piste on nollajoukko. Suoran rajoitetut osajoukot ovat avaruuden R m, m 2, nollajoukkoja. Samoin suorakaiteiden reunat koostuvat suoran kompakteista osajoukoista. b) Joukko = Q m [0,

Lisätiedot

Olkoot f : S R 3 pinnan S jatkuva vektorikenttä ja V U kompakti Jordanjoukko. Tällöin vektorikentän f pintaintegraali yli joukon T := ϕ(v ) S on

Olkoot f : S R 3 pinnan S jatkuva vektorikenttä ja V U kompakti Jordanjoukko. Tällöin vektorikentän f pintaintegraali yli joukon T := ϕ(v ) S on 1. Differentiaalimuodon integraalista II 1.1. ektorikentän pintaintegraali. (Ks. [2, 2.1] ja [2, 2.2.2] Olkoot S R 3 sileä alkeispinta ja ϕ: U S sen parametriesitys. Pinnan suunnistukseksi valitaan seuraavassa

Lisätiedot

Määrätty integraali. Markus Helén. Mäntän lukio

Määrätty integraali. Markus Helén. Mäntän lukio Määrätty integraali Markus Helén Pinta-ala Monikulmio on tasokuvio, jota rajoittaa suljettu, itseään leikkaamaton murtoviiva. Monikulmio voidaan aina jakaa kolmioiksi. Alueen pinta-ala on näiden kolmioiden

Lisätiedot

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg)

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg) Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus 4 9.4.-23.4.200 Malliratkaisut (Sauli Lindberg). Näytä, että Lusinin lauseessa voidaan luopua oletuksesta m(a)

Lisätiedot

Konvergenssilauseita

Konvergenssilauseita LUKU 4 Konvergenssilauseita Lause 4.1 (Monotonisen konvergenssin lause). Olkoon (f n ) kasvava jono Lebesgueintegroituvia funktioita. Asetetaan f(x) := f n (x). Jos f n

Lisätiedot

Analyysin peruslause

Analyysin peruslause LUKU 10 Analyysin peruslause 10.1. Peruslause I Aiemmin Cantorin funktion ψ kohdalla todettiin, että analyysin peruslause II ei päde: [0,1] ψ (x) dm(x) < ψ(1) ψ(0). Kasvavalle funktiolle analyysin peruslauseesta

Lisätiedot

f(x) sin k x dx, c k = 1

f(x) sin k x dx, c k = 1 f ( n) n 3. Fourier n sarjoista I [1, 8.16, luku 11], [, luku 15], [3, luku IX, 8 9]. [5, luku I], [6, luku XII, 3], [7, luku 8], [8, luku 4], [9, luku 8] Trigonometrinen polynomi on muotoa a + ( ak cos

Lisätiedot

Cantorin joukko LUKU 8

Cantorin joukko LUKU 8 LUKU 8 Cantorin joukko 8.. Cantorin 3 -joukko Merkitään J = J 0, = [0, ]. Poistetaan välin J keskeltä avoin väli I,, jonka pituus on /3; siis I, = (, 2). Olkoot jäljelle jäävät suljetut välit J 3 3, ja

Lisätiedot

Joukot metrisissä avaruuksissa

Joukot metrisissä avaruuksissa TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Saara Lahtinen Joukot metrisissä avaruuksissa Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Elokuu 2013 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Metriset avaruudet 1 2.1 Tarvittavia

Lisätiedot

Merkitään vaiheessa s jäljellä olevien suljettujen välien yhdistettä

Merkitään vaiheessa s jäljellä olevien suljettujen välien yhdistettä Sisältö. Cantorin 3 -joukko 2. Cantorin funktio 2 3. Rieszin ja Sz.-Nagyn funktio 4 4. Yleistetty Cantorin joukko 5 5. Vito Volterran esimerkki 6 6. Analyysin peruslauseesta 8 Kirjallisuutta 9. Cantorin

Lisätiedot

LUKU 6. Mitalliset funktiot

LUKU 6. Mitalliset funktiot LUKU 6 Mitalliset funktiot Määritelmistä 3. ja 3.0 seuraa, että jokainen Lebesgue-integroituva funktio on porrasfunktiojonon raja-arvo melkein kaikkialla. Kuitenkin moni tuttu funktio ei ole Lebesgue-integroituva.

Lisätiedot

Lebesguen mitta ja integraali

Lebesguen mitta ja integraali Lebesguen mitta ja integraali Olkoon m Lebesguen mitta R n :ssä. R 1 :ssä vastaa pituutta, R 2 :ssa pinta-alaa, R 3 :ssa tilavuutta. Mitallinen joukko E R n = joukko jolla on järkevästi määrätty mitta

Lisätiedot

Esimerkki 1.1. Kahdeksikkopolku α: u (sin u, sin 2u) on helppo todeta injektioksi

Esimerkki 1.1. Kahdeksikkopolku α: u (sin u, sin 2u) on helppo todeta injektioksi . Pinnoista.. Pinnan määritelmästä. Monisteen [] määritelmän 4.. mukainen pinta S on sama olio, jollaista abstraktimmassa differentiaaligeometriassa kutsutaan avaruuden R n alimonistoksi (tarkemmin upotetuksi

Lisätiedot

MITTA- JA INTEGRAALITEORIA 2015

MITTA- JA INTEGRAALITEORIA 2015 MITT- J INTEGRLITEORI 2015 HELI TUOMINEN Sisältö Johdantoa 2 Mitta 2 Integraali 2 nalyysin peruslause 2 Riemann-integraalista 2 1. Valmistelua, kertausta ja merkintöjä 4 Infimum ja supremum 4 Laajennettu

Lisätiedot

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Funktiot Tässä luvussa käsitellään reaaliakselin osajoukoissa määriteltyjä funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Avoin väli: ]a, b[ tai ]a, [ tai ],

Lisätiedot

Tiheyspistelauseita. Petteri Salovaara. Pro Gradu tutkielma

Tiheyspistelauseita. Petteri Salovaara. Pro Gradu tutkielma Tiheyspistelauseita Petteri Salovaara Pro Gradu tutkielma Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kesä 2006 1 2 Sisältö 1. LUKU: Esitietoja 3 2. LUKU: Mittojen derivointia ja tiheyspistelause

Lisätiedot

Reaaliluvut. tapauksessa metrisen avaruuden täydellisyyden kohdalla. 1 fi.wikipedia.org/wiki/reaaliluku 1 / 13

Reaaliluvut. tapauksessa metrisen avaruuden täydellisyyden kohdalla. 1 fi.wikipedia.org/wiki/reaaliluku 1 / 13 Reaaliluvut Reaalilukujen joukko R. Täsmällinen konstruointi palautuu rationaalilukuihin, jossa eri mahdollisuuksia: - Dedekindin leikkaukset - rationaaliset Cauchy-jonot - desimaaliapproksimaatiot. Reaalilukujen

Lisätiedot

r 1 Kuva 1. Cantorin joukon ensimmäiset sukupolvet. Merkitään vaiheessa s jäljellä olevien suljettujen välien yhdistettä s=1

r 1 Kuva 1. Cantorin joukon ensimmäiset sukupolvet. Merkitään vaiheessa s jäljellä olevien suljettujen välien yhdistettä s=1 Sisältö. Cantorin 3 -joukko 2. Cantorin funktio 2 3. Rieszin ja Sz.-Nagyn funktio 5 4. Yleistetty Cantorin joukko 6 5. Vito Volterran esimerkki 7 6. Analyysin peruslauseesta 9 Kirjallisuutta. Cantorin

Lisätiedot

U missä U A := {U R n : U avoin ja U A}; intuitiivisesti suurin avoin joukko, joka sisältyy A:han. Määritellään A:n sulkeuma A := F F A

U missä U A := {U R n : U avoin ja U A}; intuitiivisesti suurin avoin joukko, joka sisältyy A:han. Määritellään A:n sulkeuma A := F F A Mitta a integraali Kesä 2 4. tehtävät Malliratkaisut (LS). Olkoon a i R i =, 2,... ono. Sanotaan, että i a i = os kaikille M R on olemassa i, olle kaikille i i pätee a i M. Sanotaan, että i a i = os i

Lisätiedot

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 2 3 Joukko-oppia Tässä luvussa tarkastellaan joukko-opin

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 19.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo

Lisätiedot

Reaalianalyysin perusteita

Reaalianalyysin perusteita Reaalianalyysin perusteita Heikki Orelma 16. marraskuuta 2008 Sisältö 1 Johdanto 3 2 Mitallisuus 3 3 Yksinkertaiset funktiot 6 4 Mitat ja integrointi 7 5 Kompleksisten funktioiden integrointi 10 6 Nolla-mittaisten

Lisätiedot

1. Integrointi n-ulotteisessa avaruudessa

1. Integrointi n-ulotteisessa avaruudessa 1 Laaja matematiikka 5 Kevät 2010 1. Integrointi n-ulotteisessa avaruudessa Taso-integraali 2 Yleistetään määrätyn integraalin käsite ensin tasoon, sitten 3 n kolmiulotteiseen avaruuteen ja lopuksi yleiseen

Lisätiedot

Luentoesimerkki: Riemannin integraali

Luentoesimerkki: Riemannin integraali Luentoesimerkki: Riemannin integraali Heikki Apiola, "New perpectives "-esitykseen lievästi muokattu Kurssi: Informaatioverkostot, keväällä Tässä (4..) käytetään "worksheet-modea", uudempaa "document mode"

Lisätiedot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot 3. Funktion raja-arvo ja jatkuvuus 3.1. Reaali- ja kompleksifunktiot 43. Olkoon f monotoninen ja rajoitettu välillä ]a,b[. Todista, että raja-arvot lim + f (x) ja lim x b f (x) ovat olemassa. Todista myös,

Lisätiedot

2. Todista Lause 1.2 : Jos I on ylinumeroituva indeksijoukko ja a i > 0kaikillai 2 I, niin P i2i a i = 1.

2. Todista Lause 1.2 : Jos I on ylinumeroituva indeksijoukko ja a i > 0kaikillai 2 I, niin P i2i a i = 1. Harjoitus 1, 11.9.2015 1. Näytä, että joukossax on äärettömän monta alkiota jos ja vain jos on joukko X, 6= X, jokaonyhtämahtavakuinx. 2. Todista Lause 1.2 : Jos I on ylinumeroituva indeksijoukko ja a

Lisätiedot

MITTA- JA INTEGRAALITEORIA. Tero Kilpeläinen

MITTA- JA INTEGRAALITEORIA. Tero Kilpeläinen MITT- J INTEGRLITEORI Tero Kilpeläinen 2003-04 Teksti sisältää muistiinpanoja vuosina 2003-04 pidetystä kurssista. Tämän paketin tarkoitus on tukea omien muistiinpanojen tekoa, ei korvata niitä. Matematiikkaa

Lisätiedot

Ville Suomala MITTA JA INTEGRAALI

Ville Suomala MITTA JA INTEGRAALI Ville Suomala MITT J INTEGRLI Luentotiivistelmä kevät 2017 1 Johdanto bstraktin mittateorian voidaan katsoa syntyneen vuoden 1900 tienoilla, kun Henry Lebesgue esitteli uuden integrointiteorian. Mitta-

Lisätiedot

8. Avoimen kuvauksen lause

8. Avoimen kuvauksen lause 116 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 8. Avoimen kuvauksen lause Palautamme aluksi mieleen Topologian kursseilta ehkä tutut perusasiat yleisestä avoimen kuvauksen käsitteestä. Määrittelemme ensin avoimen

Lisätiedot

LUKU 3. Ulkoinen derivaatta. dx i 1. dx i 2. ω i1,i 2,...,i k

LUKU 3. Ulkoinen derivaatta. dx i 1. dx i 2. ω i1,i 2,...,i k LUKU 3 Ulkoinen derivaatta Olkoot A R n alue k n ja ω jatkuvasti derivoituva k-muoto alueessa A Muoto ω voidaan esittää summana ω = ω i1 i 2 i k dx i 1 dx i 2 1 i 1

Lisätiedot

reaalifunktioiden ominaisuutta, joiden perusteleminen on muita perustuloksia hankalampaa. Kalvoja täydentää erillinen moniste,

reaalifunktioiden ominaisuutta, joiden perusteleminen on muita perustuloksia hankalampaa. Kalvoja täydentää erillinen moniste, Reaaliluvuista Pekka Alestalo Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Nämä kalvot sisältävät tiivistelmän reaaliluvuista ja niihin liittyvistä käsitteistä.

Lisätiedot

Vastauksia. Topologia Syksy 2010 Harjoitus 1

Vastauksia. Topologia Syksy 2010 Harjoitus 1 Topologia Syksy 2010 Harjoitus 1 (1) Olkoon X joukko ja (T j ) j J perhe X:n topologioita. Osoita, että T = {T j : j J} on X:n topologia. (2) Todista: Välit [a, b) muodostavat R 1 :n erään topologian kannan.

Lisätiedot

Mitta ja integraali 1

Mitta ja integraali 1 Mitta ja integraali 1 Ilkka Holopainen 2 March 22, 2004 1 Perustuvat pääosin luentomonisteisiin Tylli: Mitta ja integraali (2000 ja Väisälä: Diff. Int. III (1985 2 Ilmoita painovirheistä esim. sähköpostitse

Lisätiedot

x j x k Tällöin L j (x k ) = 0, kun k j, ja L j (x j ) = 1. Alkuperäiselle interpolaatio-ongelmalle saadaan nyt ratkaisu

x j x k Tällöin L j (x k ) = 0, kun k j, ja L j (x j ) = 1. Alkuperäiselle interpolaatio-ongelmalle saadaan nyt ratkaisu 2 Interpolointi Olkoon annettuna n+1 eri pistettä x 0, x 1, x n R ja n+1 lukua y 0, y 1,, y n Interpoloinnissa etsitään funktiota P, joka annetuissa pisteissä x 0,, x n saa annetut arvot y 0,, y n, (21)

Lisätiedot

Luku 2. Jatkuvien funktioiden ominaisuuksia.

Luku 2. Jatkuvien funktioiden ominaisuuksia. 1 MAT-1343 Laaja matematiikka 3 TTY 21 Risto Silvennoinen Luku 2. Jatkuvien funktioiden ominaisuuksia. Jatkossa väli I tarkoittaa jotakin seuraavista reaalilukuväleistä: ( ab, ) = { x a< x< b} = { x a

Lisätiedot

JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO. 5. Olkoon f : [0, 1] R kasvava. Osoita, että joukko. {x [0, 1] f ei ole jatkuva pisteessä x} on numeroituva. [Vihje: Lause 1.2.

JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO. 5. Olkoon f : [0, 1] R kasvava. Osoita, että joukko. {x [0, 1] f ei ole jatkuva pisteessä x} on numeroituva. [Vihje: Lause 1.2. Harjoitukset 1 16.9.25 1. Merkitään Z + = {x Z x > }. Osoita, että f : Z + Z + Z +, f(x, y) = 2 x 1 (2y 1), on bijektio. Piirrä kuva. Perinteisempi kuvaus Z + Z + Z + on (x, y) (x + y 1)(x + y)/2 (x 1).

Lisätiedot

Stokesin lause LUKU 5

Stokesin lause LUKU 5 LUU 5 Stokesin lause 5.1. Integrointi monistolla Olkoot W R k alue, W kompakti Jordan-joukko ja ω jatkuva k-muoto alueessa W, ω f dx 1 dx k. Asetetaan ω : f, t.s. f dx 1 dx k : f(x dx f(x 1,, x k dx 1

Lisätiedot

Sinin jatkuvuus. Lemma. Seuraus. Seuraus. Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Sini on jatkuva funktio.

Sinin jatkuvuus. Lemma. Seuraus. Seuraus. Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Sini on jatkuva funktio. Sinin jatkuvuus Lemma Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Seuraus Sini on jatkuva funktio. Seuraus Kosini, tangentti ja kotangentti ovat jatkuvia funktioita. Pekka Salmi FUNK 19. syyskuuta 2016 22 / 53 Yhdistetyn

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 2 Lisää osamurtoja Tutkitaan jälleen rationaalifunktion P(x)/Q(x) integrointia. Aiemmin käsittelimme tapauksen, jossa nimittäjä voidaan esittää muodossa Q(x) = a(x x

Lisätiedot

Reaalifunktion epäjatkuvuus

Reaalifunktion epäjatkuvuus Reaalifunktion epäjatkuvuus Misa Muotio Matematiikan pro gradu Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kevät 2013 Tiivistelmä: Misa Muotio, Reaalifunktion epäjatkuvuus (engl. Discontinuity

Lisätiedot

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 2. Kompleksitason topologiaa Kompleksianalyysi on kompleksiarvoisten kompleksimuuttujien funktioiden teoriaa. Tällä kurssilla käsittelemme vain

Lisätiedot

7. Tasaisen rajoituksen periaate

7. Tasaisen rajoituksen periaate 18 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin

Lisätiedot

Ratkaisuehdotus 2. kurssikoe

Ratkaisuehdotus 2. kurssikoe Ratkaisuehdotus 2. kurssikoe 4.2.202 Huomioitavaa: - Tässä ratkaisuehdotuksessa olen pyrkinyt mainitsemaan lauseen, johon kulloinenkin päätelmä vetoaa. Näin opiskelijan on helpompi jäljittää teoreettinen

Lisätiedot

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Syksy Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko A = x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu.

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Syksy Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko A = x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu. Analyysi Harjoituksia lukuihin 3 / Syksy 204. Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko { 2x A = x ]4, [. x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu. 2. Anna jokin ylä- ja alaraja joukoille { x( x) A = x ], [,

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Kertymäfunktio >> Kertymäfunktio: Määritelmä Diskreettien jakaumien

Lisätiedot

5. Integrointi n-ulotteisessa avaruudessa

5. Integrointi n-ulotteisessa avaruudessa 71 5. Integrointi n-ulotteisessa avaruudessa Taso-integraali 2 Yleistetään edellä esitetty määrätyn integraalin käsite ensin tasoon, 3 n sitten kolmiulotteiseen avaruuteen ja lopuksi yleiseen :ään. Kaikissa

Lisätiedot

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS Huomautus. Analyysin yksi keskeisimmistä käsitteistä on jatkuvuus! Olkoon A R mielivaltainen joukko

Lisätiedot

Ratkaisuehdotus 2. kurssikokeeseen

Ratkaisuehdotus 2. kurssikokeeseen Ratkaisuehdotus 2. kurssikokeeseen 4.2.202 (ratkaisuehdotus päivitetty 23.0.207) Huomioitavaa: - Tässä ratkaisuehdotuksessa olen pyrkinyt mainitsemaan lauseen, johon kulloinenkin päätelmä vetoaa. Näin

Lisätiedot

on Abelin ryhmä kertolaskun suhteen. Tämän joukon alkioiden lukumäärää merkitään

on Abelin ryhmä kertolaskun suhteen. Tämän joukon alkioiden lukumäärää merkitään 5. Primitiivinen alkio 5.1. Täydennystä lukuteoriaan. Olkoon n Z, n 2. Palautettakoon mieleen, että kokonaislukujen jäännösluokkarenkaan kääntyvien alkioiden muodostama osajoukko Z n := {x Z n x on kääntyvä}

Lisätiedot

DERIVAATTAFUNKTION OMINAISUUKSIA. Annika Katariina Harja

DERIVAATTAFUNKTION OMINAISUUKSIA. Annika Katariina Harja DERIVAATTAFUNKTION OMINAISUUKSIA Annika Katariina Harja Matematiikan pro gradu Matematiikan ja tilastotieteen laitos Jyväskylän yliopisto Kesä 2013 Tiivistelmä: Harja, A. 2013. Derivaattafunktion ominaisuuksia,

Lisätiedot

Cantorin joukon suoristuvuus tasossa

Cantorin joukon suoristuvuus tasossa Cantorin joukon suoristuvuus tasossa LuK-tutkielma Miika Savolainen 2380207 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Cantorin joukon esittely 2 2 Suoristuvuus ja

Lisätiedot

Yleistettyjen jonojen käyttö topologiassa

Yleistettyjen jonojen käyttö topologiassa Yleistettyjen jonojen käyttö topologiassa Antti Karvinen Matematiikan pro gradu Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kesä 2016 Tiivistelmä: Antti Karvinen, Yleistettyjen jonojen

Lisätiedot

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. Johdanto Funktionaalianalyysissa tutkitaan muun muassa ääretönulotteisten vektoriavaruuksien, ja erityisesti täydellisten normiavaruuksien eli Banach avaruuksien ominaisuuksia.

Lisätiedot

Tähän kirjoitelmaan on poimittu joitakin kurssiin Integraalilaskenta 2 liittyviä, kurssin luentomonistetta [2] täydentäviä asioita.

Tähän kirjoitelmaan on poimittu joitakin kurssiin Integraalilaskenta 2 liittyviä, kurssin luentomonistetta [2] täydentäviä asioita. Tähän kirjoitelmaan on poimittu joitakin kurssiin ntegraalilaskenta 2 liittyviä, kurssin luentomonistetta [2] täydentäviä asioita. 1. Differentiaalimuodon integraalista 1.1. Differentiaalien laskusääntöjä.

Lisätiedot

Seuraava topologisluonteinen lause on nk. Bairen lause tai Bairen kategorialause, n=1

Seuraava topologisluonteinen lause on nk. Bairen lause tai Bairen kategorialause, n=1 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 115 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin

Lisätiedot

y x1 σ t 1 = c y x 1 σ t 1 = y x 2 σ t 2 y x 2 x 1 y = σ(t 2 t 1 ) x 2 x 1 y t 2 t 1

y x1 σ t 1 = c y x 1 σ t 1 = y x 2 σ t 2 y x 2 x 1 y = σ(t 2 t 1 ) x 2 x 1 y t 2 t 1 1. Tarkastellaan funktiota missä σ C ja y (y 1,..., y n ) R n. u : R n R C, u(x, t) e i(y x σt), (a) Miksi funktiota u(x, t) voidaan kutsua tasoaalloksi, jonka aaltorintama on kohtisuorassa vektorin y

Lisätiedot

Topologia Syksy 2010 Harjoitus 9

Topologia Syksy 2010 Harjoitus 9 Topologia Syksy 2010 Harjoitus 9 (1) Avaruuden X osajoukko A on G δ -joukko, jos se on numeroituva leikkaus avoimista joukoista ja F σ -joukko, jos se on numeroituva yhdiste suljetuista joukoista. Osoita,

Lisätiedot

Sarjat ja differentiaaliyhtälöt

Sarjat ja differentiaaliyhtälöt Sarjat ja differentiaaliyhtälöt Johdanto Tämä luentomoniste on tarkoitettu korvaamaan luentomuistiinpanoja Sarjat ja differentiaaliyhtälöt-kurssilla. Tämä ei kuitenkaan ole oppikirja, mikä tarkoittaa sitä,

Lisätiedot

Poistumislause Kandidaatintutkielma

Poistumislause Kandidaatintutkielma Poistumislause Kandidaatintutkielma Mikko Nikkilä 013618832 26. helmikuuta 2011 Sisältö 1 Johdanto................................... 2 2 Olemassaolon ja yksikäsitteisyyden historiaa............ 3 3 Esitietoja..................................

Lisätiedot

MS-C1540 Euklidiset avaruudet

MS-C1540 Euklidiset avaruudet MS-C1540 Euklidiset avaruudet MS-C1540 Euklidiset avaruudet III-periodi, kevät 2016 Pekka Alestalo Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu 1 / 30 Euklidiset

Lisätiedot

Injektio (1/3) Funktio f on injektio, joss. f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f )

Injektio (1/3) Funktio f on injektio, joss. f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f ) Injektio (1/3) Määritelmä Funktio f on injektio, joss f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f ) Seurauksia: Jatkuva injektio on siis aina joko aidosti kasvava tai aidosti vähenevä Injektiolla on enintään

Lisätiedot

MS-C1350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoitukset 5, syksy Mallivastaukset

MS-C1350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoitukset 5, syksy Mallivastaukset MS-C350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Haroitukset 5, syksy 207. Oletetaan, että a > 0 a funktio u on yhtälön u a u = 0 ratkaisu. a Osoita, että funktio vx, t = u x, t toteuttaa yhtälön a v = 0. b Osoita,

Lisätiedot

Ratkaisu: (i) Joukko A X on avoin jos kaikilla x A on olemassa r > 0 siten että B(x, r) A. Joukko B X on suljettu jos komplementti B c on avoin.

Ratkaisu: (i) Joukko A X on avoin jos kaikilla x A on olemassa r > 0 siten että B(x, r) A. Joukko B X on suljettu jos komplementti B c on avoin. Matematiikan ja tilastotieteen laitos Topologia I 1. kurssikoe 26.2.2013 Malliratkaisut ja tehtävien tarkastamiset Tehtävät 1 ja 2 Henrik Wirzenius Tehtävät 3 ja 4 Teemu Saksala Jos sinulla on kysyttävää

Lisätiedot

e int) dt = 1 ( 2π 1 ) (0 ein0 ein2π

e int) dt = 1 ( 2π 1 ) (0 ein0 ein2π Matematiikan ja tilastotieteen laitos Funktionaalianalyysin peruskurssi Kevät 9) Harjoitus 7 Ratkaisuja Jussi Martin). E Hilbert avaruus L [, π]) ja gt) := t, t [, π]. Määrää funktion g Fourier kertoimet

Lisätiedot

1.4 Funktion jatkuvuus

1.4 Funktion jatkuvuus 1.4 Funktion jatkuvuus Kun arkikielessä puhutaan jonkin asian jatkuvuudesta, mielletään asiassa olevan jonkinlaista yhtäjaksoisuutta, katkeamattomuutta. Tässä ei kuitenkaan käsitellä työasioita eikä ihmissuhteita,

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Kertymäfunktio Kertymäfunktio: Määritelmä Diskreettien jakaumien kertymäfunktiot Jatkuvien jakaumien kertymäfunktiot TKK (c)

Lisätiedot

puolitasossa R 2 x e x2 /(4t). 4πt

puolitasossa R 2 x e x2 /(4t). 4πt 8. Lämmönjohtumisyhtälö II 8.1. Lämpöydin. Tarkastellaan lämmönjohtumisyhtälöä reaaliakselilla, t.s. pyritään ratkaisemaan alkuarvotehtävä u (8.1) t u 2 u puolitasossa R 2 x 2 + R (, ), u(x, ) f(x) kaikille

Lisätiedot

Topologia Syksy 2010 Harjoitus 11

Topologia Syksy 2010 Harjoitus 11 Topologia Syksy 2010 Harjoitus 11 (1) Tarkastellaan tason (a, )-topologiaa. (Tässä topologiassa A R 2 on avoin jos ja vain jos A =, A = R 2 tai A = {(x, y) R 2 x > a ja y > b} joillekin a, b R.) Jokaiselle

Lisätiedot

Selvästi. F (a) F (y) < r x d aina, kun a y < δ. Kolmioepäyhtälön nojalla x F (y) x F (a) + F (a) F (y) < d + r x d = r x

Selvästi. F (a) F (y) < r x d aina, kun a y < δ. Kolmioepäyhtälön nojalla x F (y) x F (a) + F (a) F (y) < d + r x d = r x Seuraavaksi tarkastellaan C 1 -sileiden pintojen eräitä ominaisuuksia. Lemma 2.7.1. Olkoon S R m sellainen C 1 -sileä pinta, että S on C 1 -funktion F : R m R eräs tasa-arvojoukko. Tällöin S on avaruuden

Lisätiedot

x > y : y < x x y : x < y tai x = y x y : x > y tai x = y.

x > y : y < x x y : x < y tai x = y x y : x > y tai x = y. ANALYYSIN TEORIA A Kaikki lauseet eivät ole muotoiltu samalla tavalla kuin luennolla. Ilmoita virheistä yms osoitteeseen mikko.kangasmaki@uta. (jos et ole varma, onko kyseessä virhe, niin ilmoita mieluummin).

Lisätiedot

=p(x) + p(y), joten ehto (N1) on voimassa. Jos lisäksi λ on skalaari, niin

=p(x) + p(y), joten ehto (N1) on voimassa. Jos lisäksi λ on skalaari, niin FUNKTIONAALIANALYYSI, RATKAISUT 1 KEVÄT 211, (AP) 1. Ovatko seuraavat reaaliarvoiset funktiot p : R 3 R normeja? Ovatko ne seminormeja? ( x = (x 1, x 2, x 3 ) R 3 ) a) p(x) := x 2 1 + x 2 2 + x 2 3, b)

Lisätiedot

JAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT

JAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT JAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT Kanta ja dimensio Tehtävä Esittele vektoriavaruuden kannan määritelmä vapauden ja virittämisen käsitteiden avulla ja anna vektoriavaruuden dimension määritelmä Esittele Lause

Lisätiedot

Matriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain

Matriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain Matriisilaskenta LH4 24 ratkaisut 1 Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot jotka sisältävät vain a) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit joilla d a + b b) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit

Lisätiedot

LUKU 4. Pinnat. (u 1, u 2 ) ja E ϕ 2 (u 1, u 2 ) := ϕ u 2

LUKU 4. Pinnat. (u 1, u 2 ) ja E ϕ 2 (u 1, u 2 ) := ϕ u 2 LUKU 4 Pinnat 4.. Määritelmiä ja esimerkkejä Määritelmä 4.. Epätyhjä osajoukko M R 3 on sileä (kaksiulotteinen) pinta, jos jokaiselle pisteelle p M on olemassa ympäristö V p R 3, avoin joukko U p R 2 ja

Lisätiedot

3. Kirjoita seuraavat joukot luettelemalla niiden alkiot, jos mahdollista. Onko jokin joukoista tyhjä joukko?

3. Kirjoita seuraavat joukot luettelemalla niiden alkiot, jos mahdollista. Onko jokin joukoista tyhjä joukko? HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät luentokalvoihin 1 14. Erityisesti esimerkistä 4 ja esimerkin

Lisätiedot

Moderni reaalianalyysi

Moderni reaalianalyysi JUHA KINNUNEN Moderni reaalianalyysi F ( ) := f (ξ)e i ξ dξ 2π Juha Kinnusen laatiman luentomateriaalin pohjalta toimittaneet Mikael Lindström, Olli Hyvärinen ja Tuomas Pöyhtäri Sisältö LEBESGUEN ULKOMITTA

Lisätiedot

= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120

= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120 Tehtävä 1 : 1 Merkitään jatkossa kirjaimella H kaikkien solmujoukon V sellaisten verkkojen kokoelmaa, joissa on tasan kolme särmää. a) Jokainen verkko G H toteuttaa väitteen E(G) [V]. Toisaalta jokainen

Lisätiedot

Polkuintegraali yleistyy helposti paloitain C 1 -poluille. Määritelmä Olkoot γ : [a, b] R m paloittain C 1 -polku välin [a, b] jaon

Polkuintegraali yleistyy helposti paloitain C 1 -poluille. Määritelmä Olkoot γ : [a, b] R m paloittain C 1 -polku välin [a, b] jaon Polkuintegraali yleistyy helposti paloitain C 1 -poluille. Määritelmä 4.1.3. Olkoot : [a, b] R m paloittain C 1 -polku välin [a, b] jaon P = {a = t 1 < < t k = b} ja joukko D R m sellainen, että ([a, b])

Lisätiedot

8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa

8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa 8 Potenssisarjoista 8. Määritelmä Olkoot a 0, a, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.. Muotoa a 0 + a (x c) + a 2 (x c) 2 + olevaa sarjaa sanotaan c-keskiseksi potenssisarjaksi. Selvästi jokainen

Lisätiedot

Vektorianalyysi I MAT Luennoitsija: Ritva Hurri-Syrjänen Luentoajat: ti: 14:15-16:00, to: 12:15-14:00 Helsingin yliopisto 21.

Vektorianalyysi I MAT Luennoitsija: Ritva Hurri-Syrjänen Luentoajat: ti: 14:15-16:00, to: 12:15-14:00 Helsingin yliopisto 21. Vektorianalyysi I MAT21003 Luennoitsija: Ritva Hurri-Syrjänen Luentoajat: ti: 14:15-16:00, to: 12:15-14:00 Helsingin yliopisto 21. syyskuuta 2017 1 Sisältö 1 Euklidinen avaruus 3 1.1 Euklidinen avaruus

Lisätiedot

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 3 Joukko-oppia 4 Funktioista Funktio eli kuvaus on matematiikan

Lisätiedot

1 Sisätulo- ja normiavaruudet

1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1.1 Sisätuloavaruus Määritelmä 1. Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V R on reaalinen sisätulo eli pistetulo, jos (a) v w = w v (symmetrisyys); (b) v + u w = v

Lisätiedot

Reaaliarvoisen yhden muuttujan funktion raja arvo LaMa 1U syksyllä 2011

Reaaliarvoisen yhden muuttujan funktion raja arvo LaMa 1U syksyllä 2011 Neljännen viikon luennot Reaaliarvoisen yhden muuttujan funktion raja arvo LaMa 1U syksyllä 2011 Perustuu Trench in verkkokirjan lukuun 2.1. Esko Turunen esko.turunen@tut.fi Funktion y = f (x) on intuitiivisesti

Lisätiedot

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 7. Integaalilauseita 7.1. Gousatin lemma. (Edouad Jean-Baptiste Gousat, 1858-1936, anskalainen matemaatikko) Olkoon R tason suljettu suoakaide,

Lisätiedot

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (CHEM) Luento 2: Usean muuttujan funktiot

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (CHEM) Luento 2: Usean muuttujan funktiot MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (CHEM) Luento 2: Usean muuttujan funktiot Harri Hakula Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 2018 1 Perustuu Antti Rasilan luentomonisteeseen

Lisätiedot

Kompleksianalyysi, viikko 6

Kompleksianalyysi, viikko 6 Kompleksianalyysi, viikko 6 Jukka Kemppainen Mathematics Division Funktion erikoispisteet Määr. 1 Jos f on analyyttinen pisteen z 0 aidossa ympäristössä 0 < z z 0 < r jollakin r > 0, niin sanotaan, että

Lisätiedot

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 8: Newtonin iteraatio. Taso- ja avaruusintegraalit

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 8: Newtonin iteraatio. Taso- ja avaruusintegraalit MS-A25/MS-A26 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 8: Newtonin iteraatio. Taso- ja avaruusintegraalit Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 216 1 Perustuu

Lisätiedot

Tähän kirjoitelmaan on poimittu joitakin kurssiin Vektorifunktioiden analyysi 2B liittyviä, kurssin luentomonistetta [2] täydentäviä asioita.

Tähän kirjoitelmaan on poimittu joitakin kurssiin Vektorifunktioiden analyysi 2B liittyviä, kurssin luentomonistetta [2] täydentäviä asioita. Tähän kirjoitelmaan on poimittu joitakin kurssiin Vektorifunktioiden analyysi 2B liittyviä, kurssin luentomonistetta [2] täydentäviä asioita. 1. Differentiaalimuodon integraalista 1.1. Differentiaalien

Lisätiedot

Johdatus topologiaan (4 op)

Johdatus topologiaan (4 op) 180305 Johdatus topologiaan (4 op) Kevät 2009 1. Alkusanat Sana topologia on johdettu kreikan kielen sanoista topos ja logos, jotka merkitsevät paikkaa ja tietoa. Jo 1700-luvun alussa käytettiin latinan

Lisätiedot

Ratkaisu: Ensimmäinen suunta. Olkoon f : R n R m jatkuva eli kaikilla ε > 0 on olemassa sellainen δ > 0, että. kun x a < δ. Nyt kaikilla j = 1,...

Ratkaisu: Ensimmäinen suunta. Olkoon f : R n R m jatkuva eli kaikilla ε > 0 on olemassa sellainen δ > 0, että. kun x a < δ. Nyt kaikilla j = 1,... HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 2017 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotukset 11 Osoita, että vektorifunktio f = (f 1,, f m ): R n R m, on jatkuva, jos ja vain jos jokainen komponenttifunktio

Lisätiedot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 2: Usean muuttujan funktiot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 2: Usean muuttujan funktiot MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 2: Usean muuttujan funktiot Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto)

Lisätiedot

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy Tutki funktion f(x) = x 2 + x 2 jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1.

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy Tutki funktion f(x) = x 2 + x 2 jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1. Analyysi 1 Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy 014 1. Tutki funktion x + x jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1.. Määritä vakiot a ja b siten, että funktio a x cos x + b x + b sin x, kun x 0, x 4, kun x

Lisätiedot

X k+1 X k X k+1 X k 1 1

X k+1 X k X k+1 X k 1 1 Matematiikan ja tilastotieteen laitos Stokastiset differentiaaliyhtälöt Ratkaisuehdotelma Harjoitukseen 4 1. Oletetaan, että X n toteuttaa toisen kertaluvun differenssiyhtälön X k+2 2X k+1 + 2X k = ξ k,

Lisätiedot