ELEC-C1230 Säätötekniikka (5 op)

Transkriptio

1 ELEC-C1230 Sääöekniikka (5 op) Kevä 2016 hps://mycourses.aalo.fi/course/view.php?id=5073 Luku 1: Esiely, johdano, dynaamise malli ja rakenee, lohkokaavio, säädön periaaee

2 ELEC-C1230 Sääöekniikka (5 op) Sisälö Analoginen (jakuva-aikainen) sääö, dynaamise järjeselmä, PID-, aajuusja ilasääime. Digiaalinen (ieokone) sääö, digiaalise järjeselmä, lyhy johdaus diskreeiaikaisiin sääömeneelmiin ja sääimiin. Säääjien suunnielu, viriys ja analyysi. Simuloini suunnielun apuna. Luenno Keskiviikkoisin klo , sali AS2 alkava Luennoisijana oimii Kai Zenger. Kai.Zenger(a)aalo.fi, huone TUAS Luenokalvo löyyvä kurssisivula Laskuharjoiukse Torsaisin klo , sali AS2 Assiseneina oimiva Janne Huoari ja Joni Lumela. Janne.Huoari(a)aalo.fi Joni.Lumela(a)aalo.fi Harjoiuspaperi ja mallirakaisu löyyvä kurssisivula. Laskuupa orsaisin klo 16-18, TUAS AS3 (alkaa 21.1)

3 ELEC-C1230 Sääöekniikka (5 op) Kurssin suoriaminen Kahdella välikokeella ai enillä 1. välikoe harjoiusaikana klo 14-16, sali AS2/Tu2, 2. välikoe ja eni harjoiusaikana klo 14-16, Sali AS2/Tu2. 2. välikokeen yheydessä voi ehävä nähyään valia ekeekö enin vai välikokeen. Seuraavan räsienin yheydessä voi uusia/ehdä jomman kumman välikokeen. Räsienejä järjeseään myöhemmin ilmoieavina aikoina. Räsieneihin on ilmoiauduava. Välikokeisiin (ai 2. välikokeen yheydessä pideävään eniin) ei arvise ilmoiauua. Kaksi välikoea vasaa yheensä eniä ( p. = 30 p.). Välikokeessa on kolme ehävää a 5p., enissä viisi ehävää a 6p. Bonuspiseiä voi saada vapaaehoisilla koiehävillä, joia on yheensä kuusi kappalea. Maksimipisemäärä vasaa yheensä yhä 6p. arvoisa eniehävää. Bonuspisee ova odellisa bonusa, koska ne lisäään suoraan välikoe- ai enipiseisiin. Arvosanarajoja ei koroea bonuspiseiden vuoksi. 15 piseä riiää aina hyväksyyyn suoriukseen. Lisäpisee ova voimassa vuoden ajan, kunnes kurssin luenno alkava seuraavan kerran.

4 ELEC-C1230 Sääöekniikka (5 op) Arvoselu Välikokee ai eni, max. 30p. 0-12, , , , , Lisäpisee, max 6p. Pisee yheensä 36p. Läpipääsyyn arviaan n p (läpipääsyraja enikohainen ohessa arvosanaraja aikaisemmasa enisä) Opinomaeriaalia oman arpeen ja kiinnosuksen mukaan Kirja: R.C.Dorf, R.H. Bishop: Modern Conrol Sysems, Pearson Educaion Inernaional, mieluien painos. Luenokalvo ja laskuharjoiukse rakaisuineen löyyvä kurssin koisivula Sääöekniikan maemaaisen apuneuvojen (AS ) verkkokurssi Analogisen säädön (AS verkkokurssi) Digiaalisen säädön (AS verkkokurssi) Laskuupa, joissa assiseni päivysää (orsaisin klo 16-18, Sali AS3). Esiiedo ELEC-C1110 Auomaaio- ja syseemiekniikan perusee ai vasaava

5 Korvaavuude TS-2005/2011 opiskelijoille ELEC-C1230 Sääöekniikka (5 op) AS Analoginen sääö (3 op) AS Digiaalinen sääö (3 op) ELEC-C1230 korvaa molemma (2111 ja 2112) Jos 2111 ehy mua 2112 puuuu, niin - suoriamalla C1230:n 2. välikokeen saa merkinnän 2112:n suoriuksesa Jos 2112 ehy mua 2111 puuuu, niin - suoriamalla C1230:n 1. välikokeen saa merkinnän 2111:n suoriuksesa Jos ukinovaaimuksiin kuuluu vain joko 2111 ai 2112, niin merkinnän voi saada osallisumalla välikokeeseen, kuen yllä kuvau Jos ukinovaaimuksiin kuuluu sekä 2111 eä 2112, eikä kumpaakaan ole suorieu, on ällöin suorieava korvaava kurssi C1230 Jos yo. meneelyä käyeään ja opiskelija suoriaa myös C1230:n, ukinoon voi sisällyää 2111ja/ai 2112,ai vaihoehoisesi pelkkä C1230

6 Verkkokurssi. Osoie esim. hp://ausys.aalo.fi/pub /conrol.kk.fi/kurssi/ve rkkokurssi/as /index.hml -Analoginen sääö -Digiaalinen sääö -Sääöekniikan maemaaise apuneuvo AS AS AS

7 Analoginen sääö verkkokurssi

8 Analoginen sääö verkkokurssi

9 Analoginen sääö verkkokurssi

10 Analoginen sääö verkkokurssi

11 Analoginen sääö verkkokurssi

12 ELEC-C1230 Sääöekniikka (5 op) The lecures and excercises will ake place in Finnish, bu he course can be done in English also: The course book is in English (R.C.Dorf, R.H. Bishop: Modern Conrol Sysems, Pearson Educaion Inernaional, preferably 11h or 12h ediion) The homework problems, mid-erm exams and full exams will be available in English if you conac he assisans one week before he release dae (exam dae) and ask for English versions. Boh he lecurer and he eaching assisans can be conaced should you require assisance.

13 Luku 1: Esiely, johdano, dynaamise malli ja rakenee, lohkokaavio, säädön periaaee

14 Miä sääöekniikka on? Conrol Sysems Engineering Laaja näkemys: Syseemien sekä niiden hallinamekanismien ja -rakeneiden analysoinia, suunnielua ja oeuamisa Suppea näkemys: Negaiivisen akaisinkykennän (sääösilmukan) ukimus Syseemi Any definable se of componens. (Maurana and Varela, 1979) Järjeselmä, joka määriää suureiden välise riippuvuude

15 Esimerkki 1. Tarkasellaan vesisäiliön pinnankorkeuden hallinaa säiliön uloveniiliä x avaaan ai suljeaan, jolloin uloviraus F in vasaavasi kasvaa ai pienenee avoieena on, eä pinnankorkeus h käyäyyisi haluulla avalla säiliön poisoviraus F ou on unemaon häiriö h() x() Fin() F ou () Sääöekniikka keroo, mien veniiliä ulisi manipuloida, joa pinnankorkeus käyäyyisi haluusi jokaisella ajanhekellä vaikka säiliöön vaikuaa merkiäviä häiriöiä. Perussäännö ova: Kun pinnankorkeus on liian alhainen niin uloveniiliä avaaan Kun pinnankorkeus on liian korkea niin uloveniiliä suljeaan

16 Lohkokaavio ulosuuree SYSTEEMI lähösuuree Nuolissa kulkeva informaaiosignaali ja lohkoissa prosessoidaan informaaio oiseksi informaaioksi Lohkoon ulevia signaali ova heräeiä (ulosuureia) kun aas lohkosa lähevä signaali ova vaseia (ai lähösuureia) Lohkokaavioisa selviää syseemin kausalieei eli syy-seuraussuhee Lohkojen ulosuuree jaeaan usein manipuloiaviin ja ei-manipuloiaviin suureisiin (häiriö) Häiriö Manipuloiava ulosuuree SYSTEEMI lähösuuree

17 Esimerkki 1. Tehdään lohkokaavio edelliselle esimerkille seuraavilla oleamuksilla p() x() F in () Oleeaan veniilille yksinkerainen saainen malli (viraus on suoraan verrannollinen paine-eron neliöjuureen ja veniiliin avaumaan) p i Viraukse F i ova ilavuusvirauksia Tuloviraus purkauuu ilmanpaineeseen p i (vakio) Säiliö on suoraseinäinen (poikkipina-ala on A) h() F ou () Syööpaineen p vaihelu ova häiriöiä Säiliö sisälää puhdasa veä (kokoonpurisumaon nese ei iheysvaiheluia) A

18 Esimerkki 1. -jakoa Selvieään aluksi muuujien välinen kausalieei eli mikä muuuja ova ulo- ja mikä lähösuureia Lähösuure on pinnankorkeus h, johon kaikki muuuja vaikuava Pinnankorkeueen vaikuaa suoraan ulo- ja lähöviraukse F in ja F ou sekä ulovirauksen F in kaua välillisesi veniilin aukeama x ja syööpaine p. p() häiriö F ou () häiriö x() ulosuure ohjaus heräe VENTTIILI (oimilaie) F in () välisuure SÄILIÖ (prosessi) OSASYSTEEMI 1 OSASYSTEEMI 2 h() lähösuure säädeävä suure vase

19 Esimerkki 1. -jakoa Tarkasellaan, miä lohko sisälävä Massaase: Varasoiuva massa = uleva massavira lähevä massavira Vakioiheyksisillä syseemeillä massaase yksinkeraisuu ilavuusaseeksi dm() m () V() Qin() Qou (), d Q () F () dv () dv () Fin() Fou () Fin () Fou () d d Tilavuudesa pääsään helposi pinnankorkeueen, oamalla säiliön poikkipina-ala huomioon V () Ah () dh() dh() 1 A Fin() Fou () Fin () Fou () d d A

20 Esimerkki 1. -jakoa Veniilille saadaan yksinkerainen saainen riippuvuus F () kx() p() p k on purkauskerroin, joka määrielee virauksen riippuvuuden paine-eroon ja veniilin avauumaan nähden Kokonaislohkokaavioksi saadaan in i p() Fou() x() F () k x() p() p in i F in () dh() 1 d A F () F () in ou h()

21 Esimerkki 1. -jakoa Kehiey lohkokaavio sopii hyvin esimerkiksi simuloiniin. Tehdään MATLAB/Simulink-malli ja ukiaan mien säiliön pinnankorkeus käyäyyy eri ulosuureilla ja paramereilla Oleeaan, eä paramereille päee: A = 2m 2, k = 1m 3 h -1 am -0.5, p i = 1am Kokeillaan aluksi askelmaisia ulosuureiden muuoksia

22 Esimerkki 1. -jakoa Askelheräeiden jälkeen kokeillaan realisisempia, kohinaisia heräeiä Syööpaineen vaihelu ova ryömivää kohinaa ja lähöviraus muuuu saunnaisesi unnin välein

23 Lähösuureen hallinasraegia Lähösuureen hallinamekanismi jaeaan avallisesi kolmeen perusluokkaan Avoin ohjaus kompensoini eli myöäkykenä varsinainen sääö eli (negaiivinen) akaisinkykenä Näiden kolmen perussraegian lisäksi käyeään runsaasi eri hallinamekanismien yhdiselmiä Sekvenssissä eli vaihelemalla hallinamekanismia ilaneen mukaan Samanaikaisesi Rinnakkain samalla hierarkiaasolla Sisäkkäin eri hierarkiaasoilla Tarkasellaan eri mekanismeja esimerkin avulla

24 Esimerkki 1. -jakoa Kokeillaan, mien edellä esiey lähösuureen hallinasraegia sopiva esimerkkiprosessille Kompensoini edellyää miausa syööpaineesa ja poisovirauksesa Takaisinkykey sääö edellyää miausa pinnankorkeudesa Laieaan miari paikoilleen Tässä yheydessä ei puuua miauslohkojen sisälöön - odeaan vain eä miauslohkojen ulona on odellinen miaava suure ja lähönä miarin ilmoiama approksimaaio odellisesa suureesa. p() pmi() h() x() Fin() p i Fin,mi() hmi() F ou,mi () A F ou ()

25 Avoin ohjaus Avoina ohjausa käyämällä halliavaa lähösuurea ei seuraa lainkaan Tyypillisesi komenosekvenssi Ei edellyä miauksia... edullinen Käyeään: panosprosesseissa ja resepipohjaisessa ajossa syseemien halliuissa ylös- ja alasajoissa Laajoissa, sabiileissa järjeselmissä kehiyneempien hallinamekanismien lomassa v() häiriö y ref () aseusarvo AVOIN OHJAUS u 1 () ohjaus TOIMILAITE u 2 () oimisuure PROSESSI y()

26 Esimerkki 1. jakoa Avoin ohjaus p() häiriö Fou() häiriö h ref () aseusarvo AVOIN OHJAUS x() ohjaus VENTTIILI (oimilaie) F in () oimisuure SÄILIÖ (prosessi) h() lähösuure Veniili avaaan joka kahdesoisa uni kolmen unnin ajaksi Joskus säiliö ennäää yhjenyä äyöjen välillä - joskus ei

27 Kompensoini eli myöäkykenä Kompensoinnilla pyriään poisamaan miaavien häiriöiden vaikuukse jo ennen kuin ne näkyvä lähösuureessa Edellyää miauksia kompensoiavisa häiriöisä Edellyää häiriöiden vaikuusen hyvää ymmärämisä eli mallin unemisa Luoneelaan ennakoiva v,mi () miau häiriö MITTAUS v() häiriö y ref () aseusarvo KOMPEN- SAATTORI u 1 () ohjaus TOIMILAITE u 2 () oimisuure PROSESSI y() lähösuure

28 Esimerkki 1. jakoa - Kompensoini Pinnankorkeus ei muuu (vaikka siihen vaikuaa häiriöiä), jos uloviraus on jokaisella ajanhekillä yhä suuri kuin lähöviraus dh() 1 Fin() Fou () 0 Fin () Fou () d A F () ou, mi () ou F kx() p() pi Fou () x() k p() p k p () p Fou,mi() miau suure pmi() miau suure MITTAUS MITTAUS p() häiriö Fou() i mi i häiriö href() aseusarvo KOMPEN- SAATTORI x() ohjaus VENTTIILI (oimilaie) Fin() oimisuure SÄILIÖ (prosessi) h() lähösuure

29 Esimerkki 1. -jakoa - Kompensoini Veniiliä ohjaaan ny kompensoinnilla Tehdään myöäkykenä sekä poisovirauksen eä syööpaineen miauksisa Kompensaaori kompensoi kaikki häiriö ennen kuin pinnankorkeudessa nähdään niiden vaikuuksia 2.5 p h 0.5 Fin, Fou x

30 Esimerkki 1. -jakoa - Kompensoini Oleeaan ny, eä paineen ja virauksen miauksissa on pyörisysvirheiä Miauissa arvoissa on vain kaksi desimaalia Pyörisysvirheiden johdosa pinnankorkeus ryömii hallisemaomasi siä ei miaa, joen ryöminää ei havaia Tämän yyppinen kompensoini ei oimi yksin ainoana hallinajärjeselmänä miau ja odellinen paine p miau ja odellinen poisoviraus 1 h x Fin, Fou

31 Sääö eli akaisinkykenä Takaisinkykeyllä säädöllä korjaaan lähösuureessa oleva poikkeama Edellyää miauksia lähösuureesa Voi korjaa häiriön vasa kun sen vaikuukse näkyvä lähösuureessa Sabiloiva Ei edellyä arkan mallin unemisa v() häiriö y ref () aseusarvo SÄÄDIN u 1 () ohjaus TOIMILAITE u 2 () oimisuure PROSESSI y() lähösuure y mi () MITTAUS miau suure

32 Esimerkki 1. -jakoa - Takaisinkykenä Tässä apauksessa sääimeksi voidaan valia esimerkiksi Relesäädin Hei kun pinnankorkeus yliää soviun yläraja-arvon, niin veniili lyödään äysin kiinni ja hei kun alaraja-arvo alieaan, niin veniili avaaan äysin auki PID-säädin Pehmeä ohjaussignaali (PID-säädin käsiellään kurssilla myöhemmin) p() häiriö F ou () häiriö href() aseusarvo SÄÄDIN x() ohjaus VENTTIILI (oimilaie) Fin() oimisuure SÄILIÖ (prosessi) h() h mi () MITTAUS miau suure

33 Esimerkki 1. -jakoa - Takaisinkykenä Tehdään akaisinkykenä pinnankorkeuden miauksesa Säädeään pinnankorkeus arvosa 1 arvoon 1.5 ajanhekellä 5h Relesäädöllä (vas.) syseemi jää värähelemään PID:llä (oik.) ei p p h 1.5 h 1 Fin x 1 Fin 0.5 Fou 0.5 Fou x

34 Yhdisey sraegia Takaisinkykennän ja myöäkykennän yhdisäminen Myöäkykey häiriön kompensoini pyrkii ennakoimaan ja oimii jo ennen kuin häiriö vaikuaa säädeävään suureeseen Takaisinkykey sääö korjaa ilaneen, mikäli lähösuure poikkeaa kompensoinnisa huolimaa haluusa arvosa v,mi() miau häiriö MITTAUS v() häiriö y ref () SÄÄDIN + KOMPENu 1 () TOIMILAITE u 2 () aseusarvo SAATTORI ohjaus oimisuure PROSESSI y() lähösuure ymi() miau suure MITTAUS

35 Esimerkki 1. -jakoa - Yhdisey sraegia Takaisinkykennän ja myöäkykennän yhdisäminen Edellyää miauksia lähösuureesa F ou,mi () miau suure MITTAUS Fou() pmi() p() miau suure MITTAUS häiriö häiriö href() SÄÄDIN + KOMPEN- SAATTORI x() ohjaus VENTTIILI (oimilaie) Fin() oimisuure SÄILIÖ (prosessi) h() lähösuure hmi() miau suure MITTAUS

36 Esimerkki 1. -jakoa - Yhdisey sraegia Tehdään akaisinkykenä pinnankorkeuden miauksesa ja samanaikainen kompensoini syööpaineesa ja poisovirauksesa Säädeään pinnankorkeus arvosa 1 arvoon 1.5 ajanhekellä 5h Takaisinkykey sääö - ei kompensoinia Takaisinkykey sääö ja myöäkykey kompensoini 1 Fou viraus p paine p x Fou Kompensoini p Fin x Veniili Fou h Fin Säiliö h allennus PID h-ref

37 Yhdisey sraegia Kaksi akaisinkykeyä säädinä sisäkkäin, kaskadisääö Edellyää miauksia lähösuureesa Joa kaskadisäädösä olisi hyöyä, niin sisemmän silmukan olisi olava huomaavan nopea ja siihen olisi ulava merkiäviä häiriöiä - verrauna ulompaan silmukkaan v() häiriö yref() aseusarvo SÄÄDIN u2,ref() u 1 () u 2 () SÄÄDIN TOIMILAITE aseusarvo ohjaus oimisuure PROSESSI y() lähösuure u 2,mi () miau suure MITTAUS ymi() miau suure MITTAUS

38 Esimerkki 1. -jakoa - Yhdisey sraegia Esimerkkiprosessissa ehdään sisempään sääösilmukkaan akaisinkykenä ulovirauksesa ja ulompaan silmukkaan pinnankorkeudesa Edellyää miauksia molemmisa suureisa p() häiriö F ou () häiriö href() aseusarvo SÄÄDIN Fin,ref() aseusarvo SÄÄDIN x() ohjaus VENTTIILI (oimilaie) F in () oimisuure SÄILIÖ (prosessi) h() lähösuure F in,mi () miau suure MITTAUS h mi () miau suure MITTAUS

39 Esimerkki 1. -jakoa - Yhdisey sraegia Tehdään akaisinkykenä pinnankorkeuden miauksesa ja sisempi akaisinkykenä ulovirauksesa Säädeään pinnankorkeus arvosa 1 arvoon 1.5 ajanhekellä 5h Tässä prosessissa ei kaskadisääimesä ole merkiävää hyöyä hyöy saavueaan suuremmilla häiriöillä ja piemmillä viiveillä Takaisinkykey sääö Takaisinkykey sääö kaskadisääöpiirillä p Fou paine viraus h-ref PID Säädin PID Säädin1 p Fin x Veniili Fou h Fin Säiliö h allennus

40 Hisoriallisia auomaaeja "Jos jokainen insrumeni voisi ehdä ise oman yönsä, oellen ja ennakoiden muiden ahoa... jos sukkula osaisi kuoa ja plekra soiaa lyyraa ilman ohjaavaa kää, päällikö eivä arvisisi palvelijoia..." (Arisoeles) Kesibioksen (n eKr.) vesikello Ensimmäinen dokumenoiu akaisinkykenä Leonardo Da Vincin ( ) paisiauomaai Häiriön kompensoini Cornelius Drebbelin ( ) ermosaai Ensimmäinen auomaainen lämmönsääöjärjeselmä James Wain ( ) kuvernööri Pyörimisnopeuden sääö

41 Kesibios (n eKr.) Alexandriassa asunu kreikkalainen keksijä ja paruri Teki keksinöjään mm. Arsinoelle (Polemy II Philadelphosin sisar ja vaimo) Rakensi ilma- ja vesikäyöisiä koneia (kaapuli, uru, pumppu, kello) Vain pieniä osia kirjoiuksisa on jäljellä.

42 Kesibioksen vesikello Ensimmäinen dokumenoiu akaisinkykenä Pinnankorkeuden sääö syöösäiliössä kariomaisen uimurin avulla (pinnan nousessa uimuri ukkii ulopuken ja pinnan laskiessa uimuri laskee avaen ulopuken) Veden viraus kelloon (F()) riippuu syöösäiliön pinnankorkeudesa (h()) F () kx p () kx ( p gh( )) p kx gh() d kx g h() K h() i i i Uimuri Tuloviraus F in () Lähöviraus F()

43 Kesibioksen kello. Sääöpiirissä miaus (uimuri), säädin (karion dimensio) ja oimilaie (ulopuken aukko) on fuusioiu yheen elemeniin SÄÄDIN TULO - PUTKI F in SÄILIÖ h LÄHTÖ- PUTKI F UIMURI Uimuri + kario + ulopuken aukko

44 Leonardo Da Vinci ( ) Synyi Ialiassa Firenzen lähisöllä Keksijä, aieilija, iedemies Asui Milanon heruan palvelukseen 1482 Veisoksia ja maalauksia Soa- ja muia koneia Luonnonieeiden (anaomia) ukimusa Monia keksinöjä (ilma- ja vesikäyöisiä), hammasraaia usea jäivä suunnielmien aseelle (lenokone)

45 Da Vincin paisiauomaai Liekki paisin alla saa aikaan kuuman ilmavirran, joka pyöriää urpiinisiivisoä savupiipussa. Turpiinin pyöriminen muueaan hammasraailla paisin pyörimiseksi Kun liekki on suuri, niin paisia on käänneävä nopeasi, joei se palaisi liikaa yhdesä kohdasa Pienellä liekillä, paisia on käänneävä hiaasi, joa se ennääisi kypsyä

46 Paisiauomaai Kuvassa esiey paisiauomaai on 1700-luvula. Edinburghissa, New Townissa sijaisevassa enisöidyssä Georgian Housessa.

47 Da Vincin paisiauomaai Kyseessä on häiriön kompensoini Liekin suuruus riippuu monesa ulkoisesa seikasa (kuen poleavasa maeriaalisa) ja sen vaihelu ova syseemiin ulevia häiriöiä. Paisin kypsyminen riippuu liekin suuruudesa ja ajasa, jonka se on liekin läheisyydessä (eli ässä apauksessa pyörimisnopeudesa) Liekki vaikuaa suoraan posiiivisesi kypsymiseen: Suuri liekki -> nopea paisin kypsyminen Liekin vaihelu myös kompensoidaan negaiivisella myöäkykennällä: Suuri liekki -> nopea kuuma ilmavira -> nopea urpiinisiivisön pyöriminen -> nopea paisin pyöriminen -> hidas paisin paikallinen kypsyminen TURPIINI Turpiinin Pyörimisnopeus Kuuma ilmavira LÄMPÖ- ERO Varaan Pyörimisnopeus HAMMAS- RATTAAT Liekki PAISTI Kypsyminen

48 Cornelius Drebbel ( ) Hollanilainen kaiveraja, alkemisi ja keksijä Kehii sukellusveneen, pumpun ja kellon, joa ei arvinnu koskaan veää (perusui ilmanpaineen muuoksiin) Asui Kuningas Jaakon palvelukseen v Lonoossa

49 Drebbelin ermosaai Lämpöilan sääö akaisinkykennällä Liekki kuumenaa haudea, jossa on lämpöilamiarina alkoholia ja elohopeaa puken sisällä Nesee laajeneva, mikä muuuu erillisessä asiassa pysysuoraksi liikkeeksi Pysysuora liike siirää läpän uoreilman syööaukon päälle ja pois Liian kuuma lämpöila sulkee aukon, jolloin liekki kurisuu ja liian alhainen lämpöila avaa aukon, jolloin liekki kasvaa

50 Drebbelin ermosaai Säädin koosuu liikkeenväliimesä, jolla siirreään elohopean liike läpän liikkeeksi Säädin voidaan viriää herkäksi siirämällä väliimen ukipiseiä sien, eä pienikin elohopean ilavuuden laajeneminen muuuu suureksi läpän liikkeeksi Läpän liike Tuoreilman määrä Liekin suuruus SÄÄDIN ILMA - AUKKO PALA- MINEN HAUDE Lämpöila Liike ELO - HOPEA

51 James Wa ( ) Skolanilaisen (Greenock) kauppiaan poika Opiskeli maemaaikkoinsumenisuunnielijaksi eli insinööriksi. Paransi Saveryn ja Newcomen höyrykoneia ja sai paenoiua oman ehokkaamman mallinsa Kuvasi höyrykoneidensa ehoa hevosvoimissa (havainnollinen esimerkki asiakkaille, kuinka mona hevosa laieella voidaan korvaa)

52 Wain kuvernööri Suunnieliin höyrykoneen pyörimisnopeuden sääöön kuormiushäiriöissä Alhaisilla pyörimisnopeuksilla paino ova painovoiman johdosa ukivarren lähellä Korkeilla pyörimisnopeuksilla keskipakovoima nosaa pallo (voiaa painovoiman), joka muuuu pysysuoraksi liikkeeksi ja edelleen veniilin kurisukseksi - veniilin kurisamisesa seuraa vuorosaan pyörimisnopeuden laskeminen Kyseessä on negaiivinen akaisinkykenä

53 Wain kuvernööri Kuormiuksen ai höyryn paineen muuuessa mooori ei kykene piämään yllä samaa pyörimisnopeua veniilin pysyessä muuumaomana Wain kuvernöörissä säädin koosuu liikkeen väliyksesä, jossa holkin pysysuora liike muuuu höyryveniilin liikkeeksi Veniilin aseno Höyryvira HÖYRY- SÄÄDIN MOOTTORI pyörimisnopeus VENTTIILI Pysysuora liike KUULAT

54 Luku 2: Dynaamise malli, differeniaaliyhälö, ilaesiys ja linearisoini

55 Mihin arviaan malleja sääöekniikassa? Syseemin ymmärämiseen Kausalieein selviäminen Simuloini Syseemin analysoini (sabiilius, nopeus, värähely, minimivaiheisuus, epälineaarisuus,...) Syseemin hallinaan Mallipohjaise hallinasraegia Säädeyn järjeselmän analysoiniin Teoreeinen hallinasraegian analysoini (sabiilius, nopeus, häiriönsieokyky, nousuaika, yliys, pysyvä poikkeama, värähelyn vaimenuminen, ) Simuloini

56 Malli Dynaaminen / Saainen malli Lineaarinen / Epälineaarinen malli Jakuva-aikainen / Diskreeiaikainen malli Aikavariani / Aikainvariani malli Deerminisinen / Sokasinen malli MIMO- / SISO-malli Kooujen paramerien / Jakauuneiden paramerien malli Parameroiu / Ei-parameroiu malli Kokeellinen / Teoreeinen malli Kvaliaiivinen malli /Kvaniaiivinen malli Lokaali / Globaali malli Maemaainen / Ei-maemaainen malli

57 Malli Tällä kurssilla käsiellään lähinnä dynaamisia, lineaarisia, jakuva-aikaisia, aikainvarianeja, deerminisisiä, kooujen paramerien, paramerisoiuja, eoreeisia, kvaniaiivisia, maemaaisia malleja Tarkasellaan muuamia ärkeiä malliluokkia yksiyiskohaisemmin

58 Esimerkki 2. Dynaamise / saaise malli Järjeselmä on dynaaminen kun sen ila on funkio aikaisemmasa ilasa (järjeselmällä on muisia ja hiaua). Esim. Ulkoisen voiman F vaikuus massakappaleen paikkaan x - johdeaan voimaaseesa (m on massa, k jousivakio ja B vaimennuskerroin) k m F() B x() mx() Bx( ) kx() F() Saainen järjeselmä ei riipu aikaisemmasa ilasa (muision ja hiaukseon järjeselmä). Esim. Lämpöilan T vaikuus paineeseen p suljeussa, eriseyssä säiliössä - johdeaan ideaalikaasulaisa (n on ainemäärä, V ilavuus ja R kaasuvakio) p() V nrt() p() n V T()

59 Esimerkki 2. Dynaamise / saaise malli Tehdään simuloinni, joissa muueaan mekaanisessa järjeselmässä ulkoisa voimaa ja kaasusäiliössä lämpöilaa askelmaisesi. Dynaamisessa järjeselmässä vase muuuu pikään senkin jälkeen, kun heräe on jo asaanunu. Vasea ei voida määriää ainoasaan saman heken heräeen arvon peruseella - on unneava syseemin hisoria. Saaisessa järjeselmässä heräe ja vase muuuva samoilla ajanhekillä ja vase voidaan määriää suoraan saman heken heräeen arvon peruseella. Kausalieeilla ei ole merkiysä: On sama muueaanko painea vai lämpöilaa oinen muuuja seuraa ja vase on sama.

60 Lineaarise / epälineaarise malli Järjeselmä on lineaarinen, jos se äyää seuraava ehdo Jos heräe u 1 aiheuaa vaseen y 1, niin heräe Ku 1 aiheuaa vaseen Ky 1 (K on mielivalainen vakio). Jos heräe u 1 aiheuaa vaseen y 1 ja heräe u 2 vaseen y 2, niin heräe (u 1 +u 2 ) aiheuaa vaseen (y 1 +y 2 ). Tesaamalla voidaan odea, eä esimerkin 1 veniili on epälineaarinen järjeselmä ja esimerkin kaksi kaasusäiliö on lineaarinen järjeselmä Veniili Jos paine muuuu kaksinkeraiseksi arvosa 2p i arvoon 4p i (ja kaikki muu muuuja säilyvä ennallaan), niin viraus muuuu seuraavasi: Alkuilaneessa: Muuoksen jälkeen: F () kx() p() p in F kx 2 p p kx p in i i i F kx 4p p kx 3p 3kx p 2kx p in i i i i i i

61 Kaasusäiliö Lineaarise / epälineaarise malli nr pv () nrt () p () V T () Jos heräe muuuu K-keraiseksi, niin vase muuuu myös K-keraiseksi. Vase on heräe kerrouna vakiolla nr/v Yleisesi differeniaaliyhälö on lineaarinen, jos sen jokainen summan ermi on muooa : esim: vakio ( muuuja ai sen n:s derivaaa) 1 () y 3y ( ) 5y () 2u () u() 3u () 2u() Todellise järjeselmä ova lähes aina epälineaarisia, mua niiä voidaan usein approksimoida lineaarisilla malleilla. 1 Pisenoaaio arkoiaa aina derivaaaa ajan suheen

62 Jakuva-aikaise / diskreeiaikaise malli Jakuva-aikaise, dynaamise malli ova differeniaaliyhälöiä ai - yhälöryhmiä esimerkki 2:n mekaaninen järjeselmä Diskreeiaikaise, dynaamise malli ova differenssiyhälöiä ai - yhälöryhmiä esim koron laskena: mx() Bx( ) kx() F() y ( 1) 107. y ( ) u ( 1) k k k

63 Jakauuneiden / kooujen paramerien malli Jakauuneiden paramerien malli ova osiaisdiffereniaaliyhälöiä ai - yhälöryhmiä. Aikaderivaaojen (merkiään yleensä piseellä) lisäksi näissä on paikkaderivaaoja (merkiään yleensä pilkulla) eri akseleiden suheen Esim. neseen pioisuuden C muuuminen pukessa ajan ja puken piuuden z funkioina, virauksen v ja diffuusion/dispersion D johdosa. Cz v Cz 2 (, ) (, ) D Cz (, ) Cz (, ) vc(, z) DC(, z) 2 z z Kooujen paramerien malleissa on ainoasaan aikaderivaaoja esimerkki 2:n mekaaninen järjeselmä: mx() Bx( ) kx() F() Usein jakauuneiden paramerien mallia voidaan approksimoida usealla kooujen paramerien mallilla

64 Aikavariani / aikainvariani malli Aikavarianeissa malleissa mallin parameri muuuva ajan funkiona Esimerkki 2:n mekaaninen järjeselmä, jossa massa muuuu ajan funkiona (massa koosuu hiekasa, joa lasaaan eri apauksissa eri määrä) mx ()() Bx ( ) kx () F () Aikainvarianeissa malleissa malliparameri ova vakioia. Tyypillisesi kaikki odellise järjeselmä ova aikavarianeja (kuluminen, likaanuminen, muuuva ympärisöolosuhee, mua monissa apauksissa aikavarianisuus on niin vähäisä, eei siä arvise oaa huomioon.

65 MIMO- / SISO-malli MI - Muliple Inpu SI - Single Inpu MO - Muliple Oupu SO - Single Oupu. MIMO. SISO SISO: esimerkki 2:n mekaaninen järjeselmä - yksi heräe: ulkoinen voima - yksi vase massakappaleen paikka mx() Bx( ) kx() F() MIMO: sekoiusprosessi, jossa sekoieaan kaksi eri-pioisuuksisa virausa yheen - kaksi heräeä: viraukse F 1 ja F 2 - kaksi vasea: poisoviraus F ja sen pioisuus C C 1 C 2 F 1 () F 2 () V C() F() R S T dc() C1 C() F1 () d V F () F() F() 1 2 C 2 C() V F () 2

66 Esimerkki: ph:n käyäyyminen Ohessa on eollisen ammoniakkipesurin säädeyn ph:n käyäyyminen kolmena eri päivänä. Kuvisa nähdään, eä prosessi on selväsi epälineaarinen ja aikavariani

67 Fysikaalinen mallinaminen Tarkasellaan fysikaalisa mallinamisa kooujen paramerien malleilla sähköpiireissä, mekaanisissa järjeselmissä (sekä eenevä eä pyörivä liike) ja virausjärjeselmissä. Tässä arkaselussa keskiyään yksinkeraisiin lineaarisiin peruskomponeneihin jääen esimerkiksi lämpö- ja energiajärjeselmä arkaselun ulkopuolelle.

68 Sähköpiirien peruskomponeni Vasus (resisanssi) R i() v () Ri () v() Kela (indukanssi) v () di() L d L i() Kondensaaori (kapasianssi) dv() i () C d v() C i() v()

69 Esimerkki 3. Sähköpiiri Tehdään malli sähköpiirille Tulosuureena eli heräeenä on v 0 () ja lähösuureina eli vaseina jänniee kondensaaorien yli v 1 () ja v 2 (). Sähkövirroille ja vasuksille saadaan dv1() dv2() C1 i3(), C2 i2() d d v 0 () R 1 i 1 () R 2 i 2 () v R1 () v R2 () v 1 () C 1 v 2 () C 2 i 3 () v () Ri (), v () R i () R1 1 1 R2 2 2 Kirchoffin ensimmäinen laki i1() i2() i3() Kirchoffin oinen laki v0() v1() i1 () v0() vr 1() v1() v0() Ri 1 1() v1() R1 v1() vr2() v2() v1() R2i2() v2() v1() v2() i2 () R2

70 Esimerkki 3. Sähköpiiri Mallin heräeenä on jännie ja vaseina ova jänniee, joen kehieyisä yhälöisä on syyä eliminoida sähkövirra arpeeomina muuujina. dv1 () 1 1 v0() v1() v1() v2() i3() i1() i2() d C1 C1 R1C 1 R2C1 dv2() 1 v1() v2() i2 () d C2 R2C2 dv1 () v1() v2() v0() d RC 1 1 RC 2 1 RC 2 1 RC 1 1 dv2() 1 1 v1() v2() d RC 2 2 RC 2 2

71 Mekaanisen järjeselmien peruskomponeni Eenevä liike: Massakappale (ineria) 2 () d x() Fm m d 2 m x() Jousi F () kx() k( x () x ()) k 1 2 x 1 () k x 2 () Vaimennin () dx() dx1() dx2() Fb B B d d d B x 1 () x 2 ()

72 Esimerkki 4. Mekaaninen järjeselmä Tehdään malli mekaaniselle järjeselmälle, jossa kaksi massakappalea on kykey oisiinsa jousella ja vaimenimella Heräeenä on ulkoinen voima F() ja vaseena jälkimmäisen massakappaleen paikka x 2 () Ensimmäiselle massakappaleelle k m 2 m 1 x 2 () 2 d x1() dx1() dx2() m () B k x () x () F() d d d Toiselle massakappaleelle 2 d x2() dx1() dx2() m () B k x () x () d d d B x 1 () F()

73 Mekaanisen järjeselmien peruskomponeni Pyörivä liike: Hiausmomeni T () J J 2 d () 2 d () J Väänöjousi T () k () k 1 1() k 2() Väänövaimennin B () d () 1 Tb B d 1() 2()

74 Esimerkki 5. Mekaaninen järjeselmä Tehdään malli kuvassa esieylle pyörivälle järjeselmälle. Heräeenä on väänömomeni T() ja vaseena kulma 1 () ja 2 () 1() T() J k 2() B 2 d 1() J k 2 1() 2() T() d d2() B k1() 2() d

75 Virausjärjeselmien peruskomponeni Läpiviraussäiliö F 1 () dv () F1() F2() d Ideaalisekoiin dv () C2() F1() C1() F2() C2() d Pukiviive C2() C1( Td ()) C1 Viraus aukon läpi V F() F() A() R p() A() R p () p () 1 2 p 1 () F 1 () C 1 () V() C 2 () F() R A() V() F 2 () C 2 () F() C 1 () V p 2 () F 2 () C 2 ()

76 Esimerkki 6. Virausjärjeselmä Tehdään malli kuvassa esieylle virausjärjeselmälle. Heräeenä on ulovirran pioisuus C 1 () ja vaseena poisovirran pioisuus C 3 (). Viraukse ja ilavuude ova vakioia Virauksen haaraanumispiseelle saadaan F F F F 2 C 2 () V V p F 2 F 1 C 1 () F 3 C 3 () C 3 () F 1 C 3 () Ideaalisekoiimelle ja pukelle saadaan dvc3() FC 1 1() FC 2 2() FC 3 3(), C2() C3 d Eliminoidaan yhälöisä F 3 ja C 2 (): dc3() 1 V 1 1() p FC FC 2 3 F1F2C3() d V F2 V p F 2

77 Esimerkki 6. Virausjärjeselmän simuloini Tehdään simuloinimalli virausjärjeselmälle SIMULINK:illa askelvase V= 0.2 V p = 2 F 1 = 1 F 2 = 2 impulssivase

78 Tilaesiys Tilaesiys on kompaki apa esiää korkean keraluvun differeniaaliyhälöiä/-yhälöryhmiä. Syseemin hekellinen ila on äydellinen kuvaus syseemisä. Jos alkuila (ilasuuree alkuhekellä) ja kaikki ulosuuree alkuhekesä lähien unneaan, niin syseemin ila ja lähösuuree voidaan määriää mielivalaisella ajanhekellä. Täsä seuraa eä ilaesiys sopii eriäin hyvin simuloiniin. Syseemin ilasuureiden manipuloini ohjauksilla mahdollisaa paremman syseemin hallinnan verrauna syseemin lähösuureiden manipuloiniin ohjausen avulla. Tilaesiys on sandardimuooinen esiys, joen syseemisä riippumaa voidaan sandardoida myös hallinamekanismi (yhälö eivä riipu syseemin keraluvusa ja paramereisa) Tilaesiys soveluu hyvin monimuuujasyseemien mallinamiseen ja hallinaan

79 Tilaesiys Tilaesiyksessä mielivalaisen keraluvun differeniaaliyhälö/-yhälöryhmä esieään ryhmänä ensimmäisen keraluvun differeniaaliyhälöiä. Tilojen valina voidaan ehdä ääreömän monella eri avalla => ilaesiys ei ole yksikäsieinen vaan mone erilaise ilaesiykse voiva kuvaa samaa inpu/oupu-mallia. Yleinen ilaesiys on muooa R S T x( ) f( x(), u()) y() g( x(), u()) x() on ilasuure, u() ohjaussuure (ulosuure) ja y() lähösuure - kaikki nämä suuree voiva olla vekoreia ai skalaareja. f(x(),u()) on syseemiyhälö (kuvaa syseemin dynamiikan) ja g(x(),u()) on lähökuvaus (keroo mien lähösuuree riippuva iloisa ja ohjauksisa) Jos u() on skalaari u() ja y() skalaari y(), niin kyseessä on SISOjärjeselmä - huolimaa vekorin x() dimensiosa.

80 Esimerkki 7. Virausjärjeselmän ilaesiys Virausprosessissa sekoieaan pakkasneseä (laimeaa liuosa, jonka kemikaalipioisuus on C 1 väkevään liuokseen, jonka pioisuus on C 2 ). Tavoieena on saada haluu uoanomäärä (viraus F) anneu spesifikaaio äyävää uoea (pioisuus C) käyämällä ohjauksina virauksia (F 1 ja F 2 ). F 1 () Sekoiussäiliösä on vapaa purkauuminen ilmanpaineeseen => poisoviraus on A verrannollinen pinnankorkeuden neliöjuureen: C() F() F () k h () C 1 h() C 2 C() F 2 ()

81 Esimerkki 7. Virausjärjeselmän ilaesiys Muodoseaan massaase (yksinkeraisuu ilavuusaseeksi) ja osaainease pioisuuksille dv () A dh () F1() F2() F() d d dc() V () CF 1 1() CF 2 2() C () F() d R S T dc() V () dc() dv () dc() V() C() V() C() F1() F2() F() d d d d b g R S T A dh () F1() F2() k h() d dc() b g b g Ah() C1C() F1() C2 C() F2() d

82 Esimerkki 7. Virausjärjeselmän ilaesiys Saadaan yksinkerainen yhälöryhmä ensimmäisen keraluvun differeniaaliyhälöisä dh() 1 d d A F () F () k h () i 1 2 dc() 1 cb g b g C1C() F1() C2 C() F2() h d Ah() R S T Valiaan iloiksi h ja C, ohjauksiksi F 1 ja F 2 sekä lähösuureiksi F ja C x1() h () x() u y () (), ( ) u1() F1 () () (), ( ) y1() x C u F y () Näillä muuujavalinnoilla voidaan ilaesiys kirjoiaa suoraan sandardimuodossa. R S T x( ) f( x(), u()) y() g( x(), u()) F () C () L N M O Q P L N M O Q P L N M O Q P L N M O Q P L N M O Q P L N M O Q P

83 Esimerkki 7. Virausjärjeselmän ilaesiys Saadaan syseemiyhälö: L L f ( x( ), u( )) N M O Q P L N M O f ( x( ), u( )) Q P NM Ax1() x 1() x( ) f( x( ), u( )) x () Lähökuvausa varen arkasellaan lähömuuujien riippuvuua ilamuuujisa Lähökuvaus: y( ) y1() y() g( x( ), u( )) y () g1( x( ), u( )) g ( x( ), u( )) 1 d () () () A u u k x i C x () u () C x () u () b g b g c k x1() x () L N M O Q P L N M O Q P L N M O Q P 2 y1() y () F () C () k h() C () 2 k x1() x () L N M O Q P L N M O Q P L N M O Q P L N M O Q P O h QP

84 Esimerkki 7. Virausjärjeselmän ilaesiys Virausprosessin ilaesiykseksi saadaan R S T x( ) y() L NM L N M 1 Ax () k 1 x1() x () 2 1 d () () () A u u k x i C x () u () C x () u () b g b g c O Q P O h QP Tässä esimerkissä ilojen valina oli helppoa, koska sopiva ilamuuuja saaiin suoraan syseemin mallisa. Tarkasellaan muia meneelmiä ilojen valinaan lineaarisen ilaesiyksen yheydessä.

85 Lineaarinen ilaesiys Edellinen esimerkki (esimerkki 7) kuvasi epälineaarisa ilaesiysä. Jos arkaselava syseemi on lineaarinen, niin sen muuuja ja parameri voidaan kooa erillisiksi vekoreiksi ja mariisiksi, jolloin saadaan sandardimuooinen lineaarinen ilaesiys. R S T x( ) f( x(), u()) Ax() Bu() y() g( x(), u()) Cx() Du() Paramerimariisia A kusuaan syseemimariisiksi, B:ä ohjausmariisiksi, C:ä lähömariisiksi ja D:ä suoravaikuusmariisiksi. Usein D = 0, jolloin koko suoravaikuusermi kaoaa ilaesiyksesä. (ämä apahuu vahvasi aidoilla sricly proper syseemeillä).

86 Lineaarinen ilaesiys Differeniaaliyhälöryhmä x 1 a11x1a1 nxn b11u1b1 mum x a x a x b u b u x a x a x b u b u n n m m n n1 1 nn n n1 1 nm m Voidaan esiää mariisiyhälönä x 1 a11 a1 nx1 b11 b1 mu1 x a a x b b u n n1 nn n n1 nm m eli: x Ax Bu

87 Sähköpiirin ilaesiys Tarkasellaan esimerkin 3 sähköpiiriä ja kehieään sille ilaesiys dv1 () v1() v2() v0() d RC 1 1 RC 2 1 RC 2 1 RC 1 1 dv2() 1 1 v1() v2() d RC 2 2 RC 2 2 Luonnollinen valina ilasuureille on kondensaaorien jänniee (koska niisä on valmii ensimmäisen keraluokan differeniaaliyhälö). Valiaan ny lähösuureeksi pelkäsään jälkimmäisen kondensaaorin jännie v 2. x( ) v1() v () Näillä valinnoilla saadaan, u () v(), y () v() L N M O Q P 2 0 2

88 Sähköpiirin ilaesiys x1() x2() u() RC 1 1 RC 2 1 RC 2 1 RC 1 1 () x f( x(), u()) 1 1 x1() x2() RC 2 2 RC 2 2 y () x2() g( x(), u ()) ja edelleen RC RC RC RC x x Ax B RC 2 2 RC 2 2 y () 0 1 x() 0 u () Cx() Du () () () 1 1 u() () u()

89 Tilaesiyksen muodosaminen Mien ilaesiys muodoseaan sysemaaisesi? Valiaan fysikaalisesi järkevä ilamuuuja malliyhälöisä (kuen aikaisemmissa esimerkeissä) Derivoini-operaaorin p avulla Kanonisen muoojen avulla Fysikaalisesi järkevä ilamuuuja Usein helpoin apa Derivoini-operaaorin avulla Voidaan muodosaa esim. ohjaava ai havaiava kanoninen muoo ai joissain apauksissa myös diagonaalinen muoo Kanonisen muoojen avulla Kaavaan sijoiaminen

90 Tilaesiyksen muodosaminen Tarkasellaan mekaanisa järjeselmää (esimerkki 2) F() Fysikaalisesi järkevä ilamuuuja mx() Bx( ) kx() F() Valiaan paikka x ja nopeus v = dx/d Määrieään valiujen ilamuuujien derivaaa R S T y () x () x(), u () F () 1 R S T x1() x() x () x( ) x 1() x( ) x2() B x () () x ( ) () () () () m x k m x 1 m F B m x k m x 1 m u R S T L k B m 1 m m x( ) x() u() NM O QP y () 1 0 x() 2 L N M O Q P k m B x()

91 Tilaesiyksen muodosaminen Toinen apa: käyeään derivoinioperaaoria p R S Kirjoieaan alkuperäinen yhälö käyäen derivoinioperaaoria x2 () 8x 1() B () x ( ) () () { {()} ()} () () m x k m x 1 m F ppx B m x k m x 1 m F x1() x() B x p x m x x B m x 2() {()} () 1() 1() k px x m x 1 m F k m x 1 { m u 2( )} 2() () () 1() () T R S T L B m x( ) O 1 L x() u() k N M 0 O Q P 1 m 0 m NM QP y () 1 0 x() R S T B x () () () m x x k x () () () m x 1 m u 2 1 y () x () x() 1

92 Tilaesiyksen muodosaminen Käyeään kanonisia muooja Yllä esieylle yleiselle lineaariselle differeniaaliyhälölle on johdeu oheise kanonise muodo Ylempi ilaesiys: Ohjaava kanoninen muoo Alempi ilaesiys: Havaiava kanoninen muoo y a y a y a y bu b u b u n n n n n n n ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () () () () () () () ( ) () () () () x x x a a a a u y b b b b n n n n L N M M M M M M O Q P P P P P P L N M M M M M M O Q P P P P P P R S T ( ) () () () () x x x a a a a b b b b u y n n n n L N M M M M M M O Q P P P P P P L N M M M M M M O Q P P P P P P R S T

93 Tilaesiyksen muodosaminen Käyeään kanonisia muooja mx Bx kx F x x x F B k 1 () () () () () m () m () m () Todeaan, eä derivoinioperaaorilla saaiin havaiava kanoninen muoo ja fysikaalisesi valiuilla ilasuureilla muodoseu ilaesiys muisuaa erehdyäväsi ohjaavaa kanonisa muooa y y y u u y ay ay bu bu B k 1 () m () m () 0 () m () () 1 () 2 () 1 () 2 () 1 0 a 1 b x x x x y () 1 0 () x y () 1 0 x() B m 1 1 () () () () () () k 1 0 u u m m a2 0 b 2

94 Lineaarisen ilaesiyksen dimensio Syseemin keraluku on minimirealisaaiossa syseemiä kuvaavien differeniaaliyhälöiden keralukujen summa. Tämä on myös syseemimariisi A:n dimensio. Ohjausen eli ulosuureiden lukumäärä on n u Lähösuureiden lukumäärä on n y Syseemin keraluku on n S Tällöin lineaarisen ilaesiyksen dimensio ova: x () A x () B u () n 1 nsns 1 S u S n n n S nu1 y () C x () D u () n 1 nyns 1 ny nu y n S nu1

95 Lineaarisen ilaesiyksen dimensio Muodoseaan ilaesiys syseemille, joa kuvaa differeniaaliyhälöryhmä: q () 3 z () 2 q () 2 z () 5 u 1() 2 u1() 0 z () u2() 2 q () y () q () 2 z () Tulosuureiden lukumäärä n u = 2, Lähösuureiden n y = 1, keraluku n S = 3 x2 () x1 () p{ pq { ()} 3 z () 2 q () 5 u()} 2 z () 2 u() x3 () pz {()} u() 2() q y () q () 2 z () 2 1 1

96 Lineaarisen ilaesiyksen dimensio x1 () q() x2() p{ x1()} 3 z() 2 q() 5 u1() px { 2( )} 2 z ( ) 2 u1( ) x3() z() px { 3( )} u2( ) 2 q ( ) y () q () 2 z () x 1() 2 x1() x2() 3 x3() 5 u1() x 2() 2 x3() 2 u1() x 3() 2 x1() u2() y () x1() 2 x3()

97 Lineaarisen ilaesiyksen dimensio Saadaan ilaesiys () () 2 0 x x u() y () x()

98 Linearisoini Linearisoini on meneelmä, jonka avulla kehieään epälineaarisesa mallisa lineaariapproksimaaio, joka päee hyvin linearisoinipiseen läheisyydessä (lineaariapproksimaaio on Taylorin sarjan nollas ja ensimmäinen ermi arkaselupiseessä) L O L q1 f1 Tarkasellaan yleisä mariisiyhälöä q2 q f z f 2 () Approksimoidaan yhälöä piseessä z 0 df qf() z q0 ( z0) zz0 z Rq q q Valiaan uude muuuja S Tz zz0 df q z z dz ( ) T 0 d T b g 0 M N q n P Q M N f n () z () z () z O P Q

99 Linearisoini Lineaariapproksimaaioksi saadaan siis q L M N q q q 1 2 n O P Q df ( z z P dz T 0) L NM df dz df dz df dz n 1 df1 df1 ( z0) ( z0) ( z0) dz2 dzm df 2 ( z0) ( z0) dz2 df1 ( z0) ( z0) dz m O L M N QP z z z 1 2 m O P Q Jos q on skalaari q, niin linearisoinimariisi supisuu vekoriksi (n = 1; yhälön ylin rivi) Jos sekä q eä z ova skalaareja, niin linearisoini vasaa käyrän korvaamisa angenillaan linearisoinipiseessä.

100 Linearisoini - esimerkki 2 Tarkasellaan epälineaarisa yhälöä qz ( ) z Laskeaan derivaaa dq( z) dq( z0) 2, z 2z0 dz dz dq( z Määrieään lineaariapproksimaaio 0) qz ( ) z2z0 z 2 Toiminapise: q z dz Kasoaan, mien lineaariapproksimaaio oimii arkaselupiseissä z 0 = 0.5 ja z 0 = 2. qz ( ) q2z zz qz ( ) 0.25 z0.5 z qz ( ) 44 z2 z 0 0

101 Tilaesiyksen linearisoini Kun epälineaarinen ilaesiys linearisoidaan, niin linearisoinipiseeksi valiaan avallisesi asapainoila eli saionääriila (ila, jossa kaikki syseemin derivaaa saadaan nolliksi eli pise, jossa syseemi voi olla levossa joka voi myös olla epäsabiili pise). Saionääriila ei ole muuuja vaan vakio ja yleensä siä merkiään alaindeksillä S. Tilayhälössä avallisesi linearisoidaan syseemiyhälö ja lähökuvaus erikseen - nämä linearisoidaan ilojen ja ohjausen suheen, jolloin saadaan suoraan lineaarisen ilaesiyksen mariisi A, B, C ja D R S T x( ) f( x(), u()) y() g( x(), u()) R S T df df x( ) ( x, u ) x() (, ) () () () x u x u u A x B u T s s T s s d d dg dg y() ( x, u ) x() (, ) () () () dx du x u u C x D u T s s T s s

102 Epälineaarisen ilaesiyksen linearisoini Linearisoidaan esimerkin 7 virausjärjeselmän epälineaarinen ilaesiys ja esieään kehiey lineaariapproksimaaio yleisessä lineaarisen ilaesiyksen sandardimuodossa Rakaisaan asapainoila (aikaderivaaa nollia) 1 u1, s u2, s k x1, s A 0 x s 0 1 C 0 1x2, s u1, s C2 x2, s u 2, s Ax 1, s R S k x1, s u1, s u2, s T c h c h C x u C x u 1 2, s 1, s 2 2, s 2, s R S T x x 1, s 2, s F HG u Cu u u k 1, s 2, s I KJ Cu u 1 1, s 2 2, s 1, s 2, s 2

103 Epälineaarisen ilaesiyksen linearisoini Laskeaan alkuperäisesä syseemiyhälösä ja lähökuvauksesa derivaaa kunkin muuujan suheen L NM k df( x A x s, us) 2 1, s c T dx C x hu cc x hu 2 Ax 1 2, s 1, s 2 2, s 2, s 1, s u 0 s u Ax 1, 2, s 1, s O QP A df( xs, us) T du L NM 1 1 A A C1x2, s C x Ax Ax 1, s 2 2, s 1, s O QP B

104 Epälineaarisen ilaesiyksen linearisoini k dgx (, ) 0 (, ) 0 0 s us d s s 2 x gx u 1, s, T T d C d D x u 0 1 Sijoieaan asapainopiseen arvo mariiseihin ja saadaan lineaarinen approksimaaio, joka päee pienille muuoksille asapainopiseen ympärillä k 0 2Au u A A x() x() u() 1, s 2, s k kc1c2u2, s kc2 C1u1, s Au Au 1, 2, 1, 2, 1, s u2, s s u s Au s u s 3 2 k 0 y() 2u1, s u2, s x() 0 1

105 Epälineaarisen ilaesiyksen linearisoini Kasoaan, mien linearisoini onnisuu symbolisen laskennan avulla MATLABissa syms u1 u2 x1 x2 k A C1 C2 As=jacobian([(u1+u2-k*sqr(x1))/A;((C1-x2)*u1+(C2-x2)*u2)/(A*x1);k*sqr(x1);x2],[x1 x2 u1 u2]) prey(as) [ k ] [ - 1/ /A 1/A ] [ 1/2 ] [ x1 A ] [ ] [ (C1 - x2) u1 + (C2 - x2) u2 -u1 - u2 C1 - x2 C2 - x2] [ ] [ 2 A x1 A x1 A x1 ] [ A x1 ] [ ] [ k ] [ 1/ ] [ 1/2 ] [ x1 ] [ ] [ ]

106 Epälineaarisen ilaesiyksen linearisoini syms u1s u2s x1s x2s As2=subs(As,{u1 u2 x1 x2},{u1s u2s x1s x2s}) As3=subs(As2,{x1s x2s},{(u1s+u2s)*(u1s+u2s)/k (C1*u1s+C2*u2s)/(u1s+u2s)}) simple(as3) prey(ans) [ 3/2 ] [ k ] [- 1/ , 0, 1/A, 1/A] [ (u1s + u2s) A ] [ ] [ k u2s (-C1 + C2) k u1s (-C1 + C2) k] [0, , , ] [ (u1s + u2s) A 3 3 ] [ (u1s + u2s) A (u1s + u2s) A ] [ ] [ 3/2 ] [ k ] [ , 0, 0, 0] [2 u1s + 2 u2s ] [ ] [0, 1, 0, 0]