ELEC-C1230 Säätötekniikka (5 op)

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "ELEC-C1230 Säätötekniikka (5 op)"

Transkriptio

1 ELEC-C1230 Sääöekniikka (5 op) Kevä 2017 hps://mycourses.aalo.fi/course/view.php?id=13390 Luku 1: Esiely, johdano, dynaamise malli ja rakenee, lohkokaavio, säädön periaaee

2 ELEC-C1230 Sääöekniikka (5 op) Sisälö Analoginen (jakuva-aikainen) sääö, dynaamise järjeselmä, PID-, aajuusja ilasääime. Digiaalinen (ieokone) sääö, digiaalise järjeselmä, lyhy johdaus diskreeiaikaisiin sääömeneelmiin ja sääimiin. Säääjien suunnielu, viriys ja analyysi. Simuloini suunnielun apuna. Luenno Keskiviikkoisin klo , sali AS2 alkava Luennoisijana oimii Kai Zenger. Kai.Zenger(a)aalo.fi, huone TUAS Luenokalvo löyyvä kurssisivula. Laskuharjoiukse Torsaisin klo , sali AS2. Ensimmäinen harjoius o 5.1. Kaksi muua idenisä harjoiusryhmää. Ma: 14:15-16 Sali E (pääkoulu), Ti 10:15-12, AS2 (TuAs). Harjoiuspaperi ja mallirakaisu löyyvä kurssisivula. Laskuupa, johon voi ulla laskemaan ja saamaan apua koiehäviin. Ke 16: (TuAs). Seuraa kurssin Newssejä (MyCourses)

3 ELEC-C1230 Sääöekniikka (5 op) Kurssin suoriaminen Kahdella välikokeella ai enillä 1. välikoe harjoiusaikana klo 14:00-16:00, sali AS2/Tu2, 2. välikoe ja eni harjoiusaikana klo 14:00-17:00, Sali AS2/Tu2. 2. välikokeen yheydessä voi ehävä nähyään valia ekeekö enin vai välikokeen. Seuraavan räsienin yheydessä voi uusia/ehdä jomman kumman välikokeen. Räsienejä järjeseään myöhemmin ilmoieavina aikoina. Räsieneihin on ilmoiauduava. Välikokeisiin (ai 2. välikokeen yheydessä pideävään eniin) ei arvise ilmoiauua. Kaksi välikoea vasaa yheensä eniä ( p. = 30 p.). Välikokeessa on kolme ehävää a 5p., enissä viisi ehävää a 6p. Bonuspiseiä voi saada vapaaehoisilla koiehävillä, joia on yheensä kuusi kappalea. Maksimipisemäärä vasaa yheensä yhä 6p. arvoisa eniehävää. Bonuspisee ova odellisa bonusa, koska ne lisäään suoraan välikoe- ai enipiseisiin. Arvosanarajoja ei koroea bonuspiseiden vuoksi. 15 piseä riiää aina kurssin hyväksyyyn suoriukseen. Bonuspisee ova voimassa vuoden ajan, kunnes kurssin luenno alkava seuraavan kerran.

4 ELEC-C1230 Sääöekniikka (5 op) Arvoselu Välikokee ai eni, max. 30p. 0-12, , , , , Lisäpisee, max 6p. Pisee yheensä 36p. Läpipääsyyn arviaan n p (läpipääsyraja enikohainen ohessa arvosanaraja aikaisemmasa enisä) Opinomaeriaalia oman arpeen ja kiinnosuksen mukaan Kirja: R.C.Dorf, R.H. Bishop: Modern Conrol Sysems, Pearson Educaion Inernaional, mieluien painos. Luenokalvo ja laskuharjoiukse rakaisuineen löyyvä kurssin koisivula Sääöekniikan maemaaisen apuneuvojen (AS ) verkkokurssi Analogisen säädön (AS verkkokurssi) Digiaalisen säädön (AS verkkokurssi) Laskuupa, joissa assiseni päivysää. Esiiedo ELEC-C1110 Auomaaio- ja syseemiekniikan perusee ai vasaava

5 Verkkokurssi. Osoie esim. hp://ausys.aalo.fi/pub /conrol.kk.fi/kurssi/ve rkkokurssi/as /index.hml -Analoginen sääö -Digiaalinen sääö -Sääöekniikan maemaaise apuneuvo Löyyy googlaamalla: Esim. Sääöekniikan maemaiikan verkkokurssi

6 Analoginen sääö verkkokurssi

7 Analoginen sääö verkkokurssi

8 Analoginen sääö verkkokurssi

9 Analoginen sääö verkkokurssi

10 Analoginen sääö verkkokurssi

11 ELEC-C1230 Sääöekniikka (5 op) The lecures and excercises will ake place in Finnish, bu he course can be done in English also: The course book is in English (R.C.Dorf, R.H. Bishop: Modern Conrol Sysems, Pearson Educaion Inernaional, preferably 11h or 12h ediion) The homework problems, mid-erm exams and full exams will be available in English if you conac he lecurer one week before he release dae (exam dae) and ask for English versions. Boh he lecurer and he eaching assisans can be conaced should you require assisance.

12 Miä sääöekniikka on? Conrol Sysems Engineering Laaja näkemys: Syseemien sekä niiden hallinamekanismien ja -rakeneiden analysoinia, suunnielua ja oeuamisa Suppea näkemys: Negaiivisen akaisinkykennän (sääösilmukan) ukimus Syseemi Any definable se of componens. Järjeselmä, joka määriää suureiden välise riippuvuude

13 Esimerkki 1. Tarkasellaan vesisäiliön pinnankorkeuden hallinaa säiliön uloveniiliä x avaaan ai suljeaan, jolloin uloviraus F in vasaavasi kasvaa ai pienenee avoieena on, eä pinnankorkeus h käyäyyisi haluulla avalla säiliön poisoviraus F ou on unemaon häiriö h() x() Fin() Fou() Sääöekniikka keroo, mien veniiliä ulisi manipuloida, joa pinnankorkeus käyäyyisi haluusi jokaisella ajanhekellä vaikka säiliöön vaikuaa merkiäviä häiriöiä. Perussäännö ova: Kun pinnankorkeus on liian alhainen niin uloveniiliä avaaan Kun pinnankorkeus on liian korkea niin uloveniiliä suljeaan

14 Lohkokaavio ulosuuree SYSTEEMI lähösuuree Nuolissa kulkeva informaaiosignaali ja lohkoissa prosessoidaan informaaio oiseksi informaaioksi Lohkoon ulevia signaali ova heräeiä (ulosuureia) kun aas lohkosa lähevä signaali ova vaseia (ai lähösuureia) Lohkokaavioisa selviää syseemin kausalieei eli syy-seuraussuhee Lohkojen ulosuuree jaeaan usein manipuloiaviin ja ei-manipuloiaviin suureisiin (häiriö) Häiriö Manipuloiava ulosuuree SYSTEEMI lähösuuree

15 Esimerkki 1. Tehdään lohkokaavio edelliselle esimerkille seuraavilla oleamuksilla p() x() Fin() Oleeaan veniilille yksinkerainen saainen malli (viraus on suoraan verrannollinen paine-eron neliöjuureen ja veniiliin avaumaan) p i Viraukse F i ova ilavuusvirauksia Tuloviraus purkauuu ilmanpaineeseen p i (vakio) Säiliö on suoraseinäinen (poikkipina-ala on A) h() Fou() Syööpaineen p vaihelu ova häiriöiä Säiliö sisälää puhdasa veä (kokoonpurisumaon nese ei iheysvaiheluia) A

16 Esimerkki 1. -jakoa Selvieään aluksi muuujien välinen kausalieei eli mikä muuuja ova ulo- ja mikä lähösuureia Lähösuure on pinnankorkeus h, johon kaikki muuuja vaikuava Pinnankorkeueen vaikuaa suoraan ulo- ja lähöviraukse F in ja F ou sekä ulovirauksen F in kaua välillisesi veniilin aukeama x ja syööpaine p. p() häiriö Fou() häiriö x() ulosuure ohjaus heräe VENTTIILI (oimilaie) Fin() välisuure SÄILIÖ (prosessi) OSASYSTEEMI 1 OSASYSTEEMI 2 h() lähösuure säädeävä suure vase

17 Esimerkki 1. -jakoa Tarkasellaan, miä lohko sisälävä Massaase: Varasoiuva massa = uleva massavira lähevä massavira Vakioiheyksisillä syseemeillä massaase yksinkeraisuu ilavuusaseeksi dm() m () V() Qin() Qou (), d Q () F () dv () dv () Fin() Fou () Fin() Fou () d d Tilavuudesa pääsään helposi pinnankorkeueen, oamalla säiliön poikkipina-ala huomioon V () Ah () dh() dh() 1 A Fin() Fou () Fin () Fou () d d A

18 Esimerkki 1. -jakoa Veniilille saadaan yksinkerainen saainen riippuvuus F () kx() p() p k on purkauskerroin, joka määrielee virauksen riippuvuuden paine-eroon ja veniilin avauumaan nähden Kokonaislohkokaavioksi saadaan in i p() F ou () x() F () k x() p() p in i F in () dh() 1 d A F () F () in ou h()

19 Esimerkki 1. -jakoa Kehiey lohkokaavio sopii hyvin esimerkiksi simuloiniin. Tehdään MATLAB/Simulink-malli ja ukiaan mien säiliön pinnankorkeus käyäyyy eri ulosuureilla ja paramereilla Oleeaan, eä paramereille päee: A = 2m 2, k = 1m 3 h -1 am -0.5, p i = 1am Kokeillaan aluksi askelmaisia ulosuureiden muuoksia

20 Esimerkki 1. -jakoa Askelheräeiden jälkeen kokeillaan realisisempia, kohinaisia heräeiä Syööpaineen vaihelu ova ryömivää kohinaa ja lähöviraus muuuu saunnaisesi unnin välein

21 Lähösuureen hallinasraegia Lähösuureen hallinamekanismi jaeaan avallisesi kolmeen perusluokkaan Avoin ohjaus kompensoini eli myöäkykenä varsinainen sääö eli (negaiivinen) akaisinkykenä Näiden kolmen perussraegian lisäksi käyeään runsaasi eri hallinamekanismien yhdiselmiä Sekvenssissä eli vaihelemalla hallinamekanismia ilaneen mukaan Samanaikaisesi Rinnakkain samalla hierarkiaasolla Sisäkkäin eri hierarkiaasoilla Tarkasellaan eri mekanismeja esimerkin avulla

22 Esimerkki 1. -jakoa Kokeillaan, mien edellä esiey lähösuureen hallinasraegia sopiva esimerkkiprosessille Kompensoini edellyää miausa syööpaineesa ja poisovirauksesa Takaisinkykey sääö edellyää miausa pinnankorkeudesa Laieaan miari paikoilleen Tässä yheydessä ei puuua miauslohkojen sisälöön - odeaan vain eä miauslohkojen ulona on odellinen miaava suure ja lähönä miarin ilmoiama approksimaaio odellisesa suureesa. p() p mi () h() x() F in () p i F in,mi () h mi () F ou,mi () A F ou ()

23 Avoin ohjaus Avoina ohjausa käyämällä halliavaa lähösuurea ei seuraa lainkaan Tyypillisesi komenosekvenssi Ei edellyä miauksia... edullinen Käyeään: panosprosesseissa ja resepipohjaisessa ajossa syseemien halliuissa ylös- ja alasajoissa Laajoissa, sabiileissa järjeselmissä kehiyneempien hallinamekanismien lomassa v() häiriö yref() aseusarvo AVOIN OHJAUS u 1 () ohjaus TOIMILAITE u 2 () oimisuure PROSESSI y()

24 Esimerkki 1. jakoa Avoin ohjaus p() häiriö F ou () häiriö href() aseusarvo AVOIN OHJAUS x() ohjaus VENTTIILI (oimilaie) Fin() oimisuure SÄILIÖ (prosessi) h() lähösuure Veniili avaaan joka kahdesoisa uni kolmen unnin ajaksi Joskus säiliö ennäää yhjenyä äyöjen välillä - joskus ei

25 Kompensoini eli myöäkykenä Kompensoinnilla pyriään poisamaan miaavien häiriöiden vaikuukse jo ennen kuin ne näkyvä lähösuureessa Edellyää miauksia kompensoiavisa häiriöisä Edellyää häiriöiden vaikuusen hyvää ymmärämisä eli mallin unemisa Luoneelaan ennakoiva v,mi () miau häiriö MITTAUS v() häiriö yref() aseusarvo KOMPEN- SAATTORI u 1 () ohjaus TOIMILAITE u 2 () oimisuure PROSESSI y() lähösuure

26 Esimerkki 1. jakoa - Kompensoini Pinnankorkeus ei muuu (vaikka siihen vaikuaa häiriöiä), jos uloviraus on jokaisella ajanhekillä yhä suuri kuin lähöviraus dh() 1 Fin () Fou () 0 Fin() Fou () d A F () ou, mi () ou F kx() p() pi Fou () x() k p() p k p () p Fou,mi() miau suure pmi() miau suure MITTAUS MITTAUS p() häiriö Fou() i mi i häiriö href() aseusarvo KOMPEN- SAATTORI x() ohjaus VENTTIILI (oimilaie) Fin() oimisuure SÄILIÖ (prosessi) h() lähösuure

27 Esimerkki 1. -jakoa - Kompensoini Veniiliä ohjaaan ny kompensoinnilla Tehdään myöäkykenä sekä poisovirauksen eä syööpaineen miauksisa Kompensaaori kompensoi kaikki häiriö ennen kuin pinnankorkeudessa nähdään niiden vaikuuksia 2.5 p h 0.5 Fin, Fou x

28 Esimerkki 1. -jakoa - Kompensoini Oleeaan ny, eä paineen ja virauksen miauksissa on pyörisysvirheiä Miauissa arvoissa on vain kaksi desimaalia Pyörisysvirheiden johdosa pinnankorkeus ryömii hallisemaomasi siä ei miaa, joen ryöminää ei havaia Tämän yyppinen kompensoini ei oimi yksin ainoana hallinajärjeselmänä miau ja odellinen paine p miau ja odellinen poisoviraus 1 h x Fin, Fou

29 Sääö eli akaisinkykenä Takaisinkykeyllä säädöllä korjaaan lähösuureessa oleva poikkeama Edellyää miauksia lähösuureesa Voi korjaa häiriön vasa kun sen vaikuukse näkyvä lähösuureessa Sabiloiva Ei edellyä arkan mallin unemisa v() häiriö y ref () aseusarvo SÄÄDIN u 1 () ohjaus TOIMILAITE u 2 () oimisuure PROSESSI y() lähösuure ymi() MITTAUS miau suure

30 Esimerkki 1. -jakoa - Takaisinkykenä Tässä apauksessa sääimeksi voidaan valia esimerkiksi Relesäädin Hei kun pinnankorkeus yliää soviun yläraja-arvon, niin veniili lyödään äysin kiinni ja hei kun alaraja-arvo alieaan, niin veniili avaaan äysin auki PID-säädin Pehmeä ohjaussignaali (PID-säädin käsiellään kurssilla myöhemmin) p() häiriö Fou() häiriö href() aseusarvo SÄÄDIN x() ohjaus VENTTIILI (oimilaie) Fin() oimisuure SÄILIÖ (prosessi) h() hmi() MITTAUS miau suure

31 Esimerkki 1. -jakoa - Takaisinkykenä Tehdään akaisinkykenä pinnankorkeuden miauksesa Säädeään pinnankorkeus arvosa 1 arvoon 1.5 ajanhekellä 5h Relesäädöllä (vas.) syseemi jää värähelemään PID:llä (oik.) ei p p h 1.5 h 1 Fin x 1 Fin 0.5 Fou 0.5 Fou x

32 Yhdisey sraegia Takaisinkykennän ja myöäkykennän yhdisäminen Myöäkykey häiriön kompensoini pyrkii ennakoimaan ja oimii jo ennen kuin häiriö vaikuaa säädeävään suureeseen Takaisinkykey sääö korjaa ilaneen, mikäli lähösuure poikkeaa kompensoinnisa huolimaa haluusa arvosa v,mi() miau häiriö MITTAUS v() häiriö yref() SÄÄDIN + KOMPENu 1 () TOIMILAITE u 2 () aseusarvo SAATTORI ohjaus oimisuure PROSESSI y() lähösuure y mi () miau suure MITTAUS

33 Esimerkki 1. -jakoa - Yhdisey sraegia Takaisinkykennän ja myöäkykennän yhdisäminen Edellyää miauksia lähösuureesa F ou,mi () miau suure MITTAUS Fou() pmi() p() miau suure MITTAUS häiriö häiriö href() SÄÄDIN + KOMPEN- SAATTORI x() ohjaus VENTTIILI (oimilaie) F in () oimisuure SÄILIÖ (prosessi) h() lähösuure h mi () miau suure MITTAUS

34 Esimerkki 1. -jakoa - Yhdisey sraegia Tehdään akaisinkykenä pinnankorkeuden miauksesa ja samanaikainen kompensoini syööpaineesa ja poisovirauksesa Säädeään pinnankorkeus arvosa 1 arvoon 1.5 ajanhekellä 5h Takaisinkykey sääö - ei kompensoinia Takaisinkykey sääö ja myöäkykey kompensoini 1 Fou viraus p paine p x Fou Kompensoini p Fin x Veniili Fou h Fin Säiliö h allennus PID h-ref

35 Yhdisey sraegia Kaksi akaisinkykeyä säädinä sisäkkäin, kaskadisääö Edellyää miauksia lähösuureesa Joa kaskadisäädösä olisi hyöyä, niin sisemmän silmukan olisi olava huomaavan nopea ja siihen olisi ulava merkiäviä häiriöiä - verrauna ulompaan silmukkaan v() häiriö y ref () aseusarvo SÄÄDIN u 2,ref () u 1 () u 2 () SÄÄDIN TOIMILAITE aseusarvo ohjaus oimisuure PROSESSI y() lähösuure u 2,mi () miau suure MITTAUS ymi() miau suure MITTAUS

36 Esimerkki 1. -jakoa - Yhdisey sraegia Esimerkkiprosessissa ehdään sisempään sääösilmukkaan akaisinkykenä ulovirauksesa ja ulompaan silmukkaan pinnankorkeudesa Edellyää miauksia molemmisa suureisa p() häiriö Fou() häiriö h ref () aseusarvo SÄÄDIN F in,ref () aseusarvo SÄÄDIN x() ohjaus VENTTIILI (oimilaie) F in () oimisuure SÄILIÖ (prosessi) h() lähösuure F in,mi () miau suure MITTAUS h mi () miau suure MITTAUS

37 Esimerkki 1. -jakoa - Yhdisey sraegia Tehdään akaisinkykenä pinnankorkeuden miauksesa ja sisempi akaisinkykenä ulovirauksesa Säädeään pinnankorkeus arvosa 1 arvoon 1.5 ajanhekellä 5h Tässä prosessissa ei kaskadisääimesä ole merkiävää hyöyä hyöy saavueaan suuremmilla häiriöillä ja piemmillä viiveillä Takaisinkykey sääö Takaisinkykey sääö kaskadisääöpiirillä p Fou h-ref PID Säädin paine PID Säädin1 viraus p Fin x Veniili Fou h Fin Säiliö h allennus

38 Hisoriallisia auomaaeja "Jos jokainen insrumeni voisi ehdä ise oman yönsä, oellen ja ennakoiden muiden ahoa... jos sukkula osaisi kuoa ja plekra soiaa lyyraa ilman ohjaavaa kää, päällikö eivä arvisisi palvelijoia..." (Arisoeles) Kesibioksen (n eKr.) vesikello Ensimmäinen dokumenoiu akaisinkykenä Leonardo Da Vincin ( ) paisiauomaai Häiriön kompensoini Cornelius Drebbelin ( ) ermosaai Ensimmäinen auomaainen lämmönsääöjärjeselmä James Wain ( ) kuvernööri Pyörimisnopeuden sääö

39 Kesibios (n eKr.) Alexandriassa asunu kreikkalainen keksijä ja paruri Teki keksinöjään mm. Arsinoelle (Polemy II Philadelphosin sisar ja vaimo) Rakensi ilma- ja vesikäyöisiä koneia (kaapuli, uru, pumppu, kello) Vain pieniä osia kirjoiuksisa on jäljellä.

40 Kesibioksen vesikello Ensimmäinen dokumenoiu akaisinkykenä Pinnankorkeuden sääö syöösäiliössä kariomaisen uimurin avulla (pinnan nousessa uimuri ukkii ulopuken ja pinnan laskiessa uimuri laskee avaen ulopuken) Veden viraus kelloon (F()) riippuu syöösäiliön pinnankorkeudesa (h()) F () kx p () kx ( p gh( )) p kx gh() d kx g h() K h() i i i Uimuri Tuloviraus F in () Lähöviraus F()

41 Kesibioksen kello. Sääöpiirissä miaus (uimuri), säädin (karion dimensio) ja oimilaie (ulopuken aukko) on fuusioiu yheen elemeniin SÄÄDIN TULO - PUTKI F in SÄILIÖ h LÄHTÖ- PUTKI F UIMURI Uimuri + kario + ulopuken aukko

42 Leonardo Da Vinci ( ) Synyi Ialiassa Firenzen lähisöllä Keksijä, aieilija, iedemies Asui Milanon heruan palvelukseen 1482 Veisoksia ja maalauksia Soa- ja muia koneia Luonnonieeiden (anaomia) ukimusa Monia keksinöjä (ilma- ja vesikäyöisiä), hammasraaia usea jäivä suunnielmien aseelle (lenokone)

43 Da Vincin paisiauomaai Liekki paisin alla saa aikaan kuuman ilmavirran, joka pyöriää urpiinisiivisoä savupiipussa. Turpiinin pyöriminen muueaan hammasraailla paisin pyörimiseksi Kun liekki on suuri, niin paisia on käänneävä nopeasi, joei se palaisi liikaa yhdesä kohdasa Pienellä liekillä, paisia on käänneävä hiaasi, joa se ennääisi kypsyä

44 Paisiauomaai Kuvassa esiey paisiauomaai on 1700-luvula. Edinburghissa, New Townissa sijaisevassa enisöidyssä Georgian Housessa.

45 Da Vincin paisiauomaai Kyseessä on häiriön kompensoini Liekin suuruus riippuu monesa ulkoisesa seikasa (kuen poleavasa maeriaalisa) ja sen vaihelu ova syseemiin ulevia häiriöiä. Paisin kypsyminen riippuu liekin suuruudesa ja ajasa, jonka se on liekin läheisyydessä (eli ässä apauksessa pyörimisnopeudesa) Liekki vaikuaa suoraan posiiivisesi kypsymiseen: Suuri liekki -> nopea paisin kypsyminen Liekin vaihelu myös kompensoidaan negaiivisella myöäkykennällä: Suuri liekki -> nopea kuuma ilmavira -> nopea urpiinisiivisön pyöriminen -> nopea paisin pyöriminen -> hidas paisin paikallinen kypsyminen TURPIINI Turpiinin Pyörimisnopeus Kuuma ilmavira LÄMPÖ- ERO Varaan Pyörimisnopeus HAMMAS- RATTAAT Liekki PAISTI Kypsyminen

46 Cornelius Drebbel ( ) Hollanilainen kaiveraja, alkemisi ja keksijä Kehii sukellusveneen, pumpun ja kellon, joa ei arvinnu koskaan veää (perusui ilmanpaineen muuoksiin) Asui Kuningas Jaakon palvelukseen v Lonoossa

47 Drebbelin ermosaai Lämpöilan sääö akaisinkykennällä Liekki kuumenaa haudea, jossa on lämpöilamiarina alkoholia ja elohopeaa puken sisällä Nesee laajeneva, mikä muuuu erillisessä asiassa pysysuoraksi liikkeeksi Pysysuora liike siirää läpän uoreilman syööaukon päälle ja pois Liian kuuma lämpöila sulkee aukon, jolloin liekki kurisuu ja liian alhainen lämpöila avaa aukon, jolloin liekki kasvaa

48 Drebbelin ermosaai Säädin koosuu liikkeenväliimesä, jolla siirreään elohopean liike läpän liikkeeksi Säädin voidaan viriää herkäksi siirämällä väliimen ukipiseiä sien, eä pienikin elohopean ilavuuden laajeneminen muuuu suureksi läpän liikkeeksi Läpän liike Tuoreilman määrä Liekin suuruus SÄÄDIN ILMA - AUKKO PALA- MINEN HAUDE Lämpöila Liike ELO - HOPEA

49 James Wa ( ) Skolanilaisen (Greenock) kauppiaan poika Opiskeli maemaaikkoinsumenisuunnielijaksi eli insinööriksi. Paransi Saveryn ja Newcomen höyrykoneia ja sai paenoiua oman ehokkaamman mallinsa Kuvasi höyrykoneidensa ehoa hevosvoimissa (havainnollinen esimerkki asiakkaille, kuinka mona hevosa laieella voidaan korvaa)

50 Wain kuvernööri Suunnieliin höyrykoneen pyörimisnopeuden sääöön kuormiushäiriöissä Alhaisilla pyörimisnopeuksilla paino ova painovoiman johdosa ukivarren lähellä Korkeilla pyörimisnopeuksilla keskipakovoima nosaa pallo (voiaa painovoiman), joka muuuu pysysuoraksi liikkeeksi ja edelleen veniilin kurisukseksi - veniilin kurisamisesa seuraa vuorosaan pyörimisnopeuden laskeminen Kyseessä on negaiivinen akaisinkykenä

51 Wain kuvernööri Kuormiuksen ai höyryn paineen muuuessa mooori ei kykene piämään yllä samaa pyörimisnopeua veniilin pysyessä muuumaomana Wain kuvernöörissä säädin koosuu liikkeen väliyksesä, jossa holkin pysysuora liike muuuu höyryveniilin liikkeeksi Veniilin aseno Höyryvira HÖYRY- SÄÄDIN MOOTTORI pyörimisnopeus VENTTIILI Pysysuora liike KUULAT

52 Luku 2: Dynaamise malli, differeniaaliyhälö, ilaesiys ja linearisoini

53 Mihin arviaan malleja sääöekniikassa? Syseemin ymmärämiseen Kausalieein selviäminen Simuloini Syseemin analysoini (sabiilius, nopeus, värähely, minimivaiheisuus, epälineaarisuus,...) Syseemin hallinaan Mallipohjaise hallinasraegia Säädeyn järjeselmän analysoiniin Teoreeinen hallinasraegian analysoini (sabiilius, nopeus, häiriönsieokyky, nousuaika, yliys, pysyvä poikkeama, värähelyn vaimenuminen, ) Simuloini

54 Malli Dynaaminen / Saainen malli Lineaarinen / Epälineaarinen malli Jakuva-aikainen / Diskreeiaikainen malli Aikavariani / Aikainvariani malli Deerminisinen / Sokasinen malli MIMO- / SISO-malli Kooujen paramerien / Jakauuneiden paramerien malli Parameroiu / Ei-parameroiu malli Kokeellinen / Teoreeinen malli Kvaliaiivinen malli /Kvaniaiivinen malli Lokaali / Globaali malli Maemaainen / Ei-maemaainen malli

55 Malli Tällä kurssilla käsiellään lähinnä dynaamisia, lineaarisia, jakuva-aikaisia, aikainvarianeja, deerminisisiä, kooujen paramerien, paramerisoiuja, kvaniaiivisia, maemaaisia malleja Tarkasellaan muuamia ärkeiä malliluokkia yksiyiskohaisemmin

56 Esimerkki 2. Dynaamise / saaise malli Järjeselmä on dynaaminen kun sen ila on funkio aikaisemmasa ilasa (järjeselmällä on muisia ja hiaua). Esim. Ulkoisen voiman F vaikuus massakappaleen paikkaan x - johdeaan voimaaseesa (m on massa, k jousivakio ja B vaimennuskerroin) k m F() B x() mx() Bx( ) kx() F() Saainen järjeselmä ei riipu aikaisemmasa ilasa (muision ja hiaukseon järjeselmä). Esim. Lämpöilan T vaikuus paineeseen p suljeussa, eriseyssä säiliössä - johdeaan ideaalikaasulaisa (n on ainemäärä, V ilavuus ja R kaasuvakio) p() V nrt() p() n V T()

57 Esimerkki 2. Dynaamise / saaise malli Tehdään simuloinni, joissa muueaan mekaanisessa järjeselmässä ulkoisa voimaa ja kaasusäiliössä lämpöilaa askelmaisesi. Dynaamisessa järjeselmässä vase muuuu pikään senkin jälkeen, kun heräe on jo asaanunu. Vasea ei voida määriää ainoasaan saman heken heräeen arvon peruseella - on unneava syseemin hisoria. Saaisessa järjeselmässä heräe ja vase muuuva samoilla ajanhekillä ja vase voidaan määriää suoraan saman heken heräeen arvon peruseella. Kausalieeilla ei ole merkiysä: On sama muueaanko painea vai lämpöilaa oinen muuuja seuraa ja vase on sama.

58 Lineaarise / epälineaarise malli Järjeselmä on lineaarinen, jos se äyää seuraava ehdo Jos heräe u 1 aiheuaa vaseen y 1, niin heräe Ku 1 aiheuaa vaseen Ky 1 (K on mielivalainen vakio). Jos heräe u 1 aiheuaa vaseen y 1 ja heräe u 2 vaseen y 2, niin heräe (u 1 +u 2 ) aiheuaa vaseen (y 1 +y 2 ). Tesaamalla voidaan odea, eä esimerkin 1 veniili on epälineaarinen järjeselmä ja esimerkin kaksi kaasusäiliö on lineaarinen järjeselmä Veniili F () kx() p() p in Jos paine muuuu kaksinkeraiseksi arvosa 2p i arvoon 4p i (ja kaikki muu muuuja säilyvä ennallaan), niin viraus muuuu seuraavasi: Alkuilaneessa: Muuoksen jälkeen: F kx 2 p p kx p in i i i F kx 4p p kx 3p 3kx p 2kx p in i i i i i i

59 Kaasusäiliö Lineaarise / epälineaarise malli nr pv () nrt () p () V T () Jos heräe muuuu K-keraiseksi, niin vase muuuu myös K-keraiseksi. Vase on heräe kerrouna vakiolla nr/v Yleisesi differeniaaliyhälö on lineaarinen, jos sen jokainen summan ermi on muooa : esim: vakio ( muuuja ai sen n:s derivaaa) 1 () y 3y ( ) 5y () 2u () u() 3u () 2u() Todellise järjeselmä ova lähes aina epälineaarisia, mua niiä voidaan usein approksimoida lineaarisilla malleilla. 1 Pisenoaaio arkoiaa aina derivaaaa ajan suheen

60 Jakuva-aikaise / diskreeiaikaise malli Jakuva-aikaise, dynaamise malli ova differeniaaliyhälöiä ai - yhälöryhmiä esimerkki 2:n mekaaninen järjeselmä mx() Bx( ) kx() F() Diskreeiaikaise, dynaamise malli ova differenssiyhälöiä ai - yhälöryhmiä esim koron laskena: y ( 1) 107. y ( ) u ( 1) k k k

61 Jakauuneiden / kooujen paramerien malli Jakauuneiden paramerien malli ova osiaisdiffereniaaliyhälöiä ai - yhälöryhmiä. Aikaderivaaojen (merkiään yleensä piseellä) lisäksi näissä on paikkaderivaaoja (merkiään yleensä pilkulla) eri akseleiden suheen Esim. neseen pioisuuden C muuuminen pukessa ajan ja puken piuuden z funkioina, virauksen v ja diffuusion/dispersion D johdosa. Cz v Cz 2 (, ) (, ) D Cz (, ) Cz vc z DC z 2 (, ) (, ) (, ) z z Kooujen paramerien malleissa on ainoasaan aikaderivaaoja esimerkki 2:n mekaaninen järjeselmä: mx() Bx( ) kx() F() Usein jakauuneiden paramerien mallia voidaan approksimoida usealla kooujen paramerien mallilla

62 Aikavariani / aikainvariani malli Aikavarianeissa malleissa mallin parameri muuuva ajan funkiona Esimerkki 2:n mekaaninen järjeselmä, jossa massa muuuu ajan funkiona (massa koosuu hiekasa, joa lasaaan eri apauksissa eri määrä) mx ()() Bx ( ) kx () F () Aikainvarianeissa malleissa malliparameri ova vakioia. Tyypillisesi kaikki odellise järjeselmä ova aikavarianeja (kuluminen, likaanuminen, muuuva ympärisöolosuhee, mua monissa apauksissa aikavarianisuus on niin vähäisä, eei siä arvise oaa huomioon.

63 MIMO- / SISO-malli MI - Muliple Inpu SI - Single Inpu MO - Muliple Oupu SO - Single Oupu. MIMO. SISO SISO: esimerkki 2:n mekaaninen järjeselmä - yksi heräe: ulkoinen voima - yksi vase massakappaleen paikka mx() Bx( ) kx() F() MIMO: sekoiusprosessi, jossa sekoieaan kaksi eri-pioisuuksisa virausa yheen - kaksi heräeä: viraukse F 1 ja F 2 - kaksi vasea: poisoviraus F ja sen pioisuus C C 1 C 2 F 1 () F 2 () V C() F() R S T dc() C1 C() F1 () d V F () F() F() 1 2 C 2 C() V F () 2

64 Esimerkki: ph:n käyäyyminen Ohessa on eollisen ammoniakkipesurin säädeyn ph:n käyäyyminen kolmena eri päivänä. Kuvisa nähdään, eä prosessi on selväsi epälineaarinen ja aikavariani

65 Fysikaalinen mallinaminen Tarkasellaan fysikaalisa mallinamisa kooujen paramerien malleilla sähköpiireissä, mekaanisissa järjeselmissä (sekä eenevä eä pyörivä liike) ja virausjärjeselmissä. Tässä arkaselussa keskiyään yksinkeraisiin lineaarisiin peruskomponeneihin jääen esimerkiksi lämpö- ja energiajärjeselmä arkaselun ulkopuolelle.

66 Sähköpiirien peruskomponeni Vasus (resisanssi) R i() v () Ri () v() Kela (indukanssi) v () di() L d L i() Kondensaaori (kapasianssi) dv() i () C d v() C i() v()

67 Esimerkki 3. Sähköpiiri Tehdään malli sähköpiirille Tulosuureena eli heräeenä on v 0 () ja lähösuureina eli vaseina jänniee kondensaaorien yli v 1 () ja v 2 (). Sähkövirroille ja vasuksille saadaan dv1() dv2() C1 i3(), C2 i2() d d v 0 () R 1 i 1 () R 2 i 2 () v R1 () v R2 () v 1 () C 1 v 2 () C 2 i 3 () v () Ri (), v () R i () R1 1 1 R2 2 2 Kirchoffin ensimmäinen laki i1() i2() i3() Kirchoffin oinen laki v0() v1() i1 () v0() vr 1() v1() v0() Ri 1 1() v1() R1 v1() vr2() v2() v1() R2i2() v2() v1() v2() i2 () R2

68 Esimerkki 3. Sähköpiiri Mallin heräeenä on jännie ja vaseina ova jänniee, joen kehieyisä yhälöisä on syyä eliminoida sähkövirra arpeeomina muuujina. dv1 () 1 1 v0() v1() v1() v2() i3() i1() i2() d C1 C1 R1C 1 R2C1 dv2() 1 v1() v2() i2 () d C2 R2C2 dv1 () v1() v2() v0() d RC 1 1 RC 2 1 RC 2 1 RC 1 1 dv2() 1 1 v1() v2() d RC 2 2 RC 2 2

69 Mekaanisen järjeselmien peruskomponeni Eenevä liike: Massakappale (ineria) 2 d x() Fm( ) m d 2 m x() Jousi F () kx() k( x () x ()) k 1 2 x 1 () k x 2 () Vaimennin () dx() dx1() dx2() Fb B B d d d B x 1 () x 2 ()

70 Esimerkki 4. Mekaaninen järjeselmä Tehdään malli mekaaniselle järjeselmälle, jossa kaksi massakappalea on kykey oisiinsa jousella ja vaimenimella Heräeenä on ulkoinen voima F() ja vaseena jälkimmäisen massakappaleen paikka x 2 () Ensimmäiselle massakappaleelle k m 2 m 1 x 2 () 2 d x1() dx1() dx2() m () B k x () x () F() d d d Toiselle massakappaleelle 2 d x2() dx1() dx2() m () B k x () x () d d d B x 1 () F()

71 Mekaanisen järjeselmien peruskomponeni Pyörivä liike: Hiausmomeni T () J J 2 d () 2 d () J Väänöjousi T () k () k 1 1() k 2() Väänövaimennin B () d () 1 Tb B d 1() 2()

72 Esimerkki 5. Mekaaninen järjeselmä Tehdään malli kuvassa esieylle pyörivälle järjeselmälle. Heräeenä on väänömomeni T() ja vaseena kulma 1 () ja 2 () 1() T() J k 2() B 2 d 1() J k 2 1() 2() T() d d2() B k1() 2() d

73 Virausjärjeselmien peruskomponeni Läpiviraussäiliö F 1 () dv () F1() F2() d Ideaalisekoiin dv () C2() F1() C1() F2() C2() d Pukiviive V C2() C1( Td ()) C1 F () Viraus aukon läpi F () AR () p () AR () p() p() 1 2 p 1 () F 1 () C 1 () V() C 2 () F() R A() V() F 2 () C 2 () F() C 1 () V p 2 () F 2 () C 2 ()

74 Esimerkki 6. Virausjärjeselmä Tehdään malli kuvassa esieylle virausjärjeselmälle. Heräeenä on ulovirran pioisuus C 1 () ja vaseena poisovirran pioisuus C 3 (). Viraukse ja ilavuude ova vakioia Virauksen haaraanumispiseelle saadaan F F F F 2 C 2 () V V p F 1 C 1 () F 3 F 2 C 3 () C 3 () F 1 C 3 () Ideaalisekoiimelle ja pukelle saadaan dvc3() V p FC 1 1() FC 2 2() FC 3 3(), C2() C3 d F2 Eliminoidaan yhälöisä F 3 ja C 2 (): dc3() 1 V 1 1() p FC FC 2 3 F1F2C3() d V F2

75 Esimerkki 6. Virausjärjeselmän simuloini Tehdään simuloinimalli virausjärjeselmälle SIMULINK:illa askelvase V= 0.2 V p = 2 F 1 = 1 F 2 = 2 impulssivase

76 Tilaesiys Tilaesiys on kompaki apa esiää korkean keraluvun differeniaaliyhälöiä/-yhälöryhmiä. Syseemin hekellinen ila on äydellinen kuvaus syseemisä. Jos alkuila (ilasuuree alkuhekellä) ja kaikki ulosuuree alkuhekesä lähien unneaan, niin syseemin ila ja lähösuuree voidaan määriää mielivalaisella ajanhekellä. Täsä seuraa eä ilaesiys sopii eriäin hyvin simuloiniin. Syseemin ilasuureiden manipuloini ohjauksilla mahdollisaa paremman syseemin hallinnan verrauna syseemin lähösuureiden manipuloiniin ohjausen avulla. Tilaesiys on sandardimuooinen esiys, joen syseemisä riippumaa voidaan sandardoida myös hallinamekanismi (yhälö eivä riipu syseemin keraluvusa ja paramereisa) Tilaesiys soveluu hyvin monimuuujasyseemien mallinamiseen ja hallinaan

77 Tilaesiys Tilaesiyksessä mielivalaisen keraluvun differeniaaliyhälö/-yhälöryhmä esieään ryhmänä ensimmäisen keraluvun differeniaaliyhälöiä. Tilojen valina voidaan ehdä ääreömän monella eri avalla => ilaesiys ei ole yksikäsieinen vaan mone erilaise ilaesiykse voiva kuvaa samaa inpu/oupu-mallia. Yleinen ilaesiys on muooa R S T x( ) f( x(), u()) y() g( x(), u()) x() on ilasuure, u() ohjaussuure (ulosuure) ja y() lähösuure - kaikki nämä suuree voiva olla vekoreia ai skalaareja. f(x(),u()) on syseemiyhälö (kuvaa syseemin dynamiikan) ja g(x(),u()) on lähökuvaus (keroo mien lähösuuree riippuva iloisa ja ohjauksisa) Jos u() on skalaari u() ja y() skalaari y(), niin kyseessä on SISOjärjeselmä - huolimaa vekorin x() dimensiosa.

78 Esimerkki 7. Virausjärjeselmän ilaesiys Virausprosessissa sekoieaan pakkasneseä (laimeaa liuosa, jonka kemikaalipioisuus on C 1 väkevään liuokseen, jonka pioisuus on C 2 ). Tavoieena on saada haluu uoanomäärä (viraus F) anneu spesifikaaio äyävää uoea (pioisuus C) käyämällä ohjauksina virauksia (F 1 ja F 2 ). F 1 () Sekoiussäiliösä on vapaa purkauuminen ilmanpaineeseen => poisoviraus on A verrannollinen pinnankorkeuden neliöjuureen: C() F() F () k h () C 1 h() C 2 C() F 2 ()

79 Esimerkki 7. Virausjärjeselmän ilaesiys Muodoseaan massaase (yksinkeraisuu ilavuusaseeksi) ja osaainease pioisuuksille dv () A dh () F1() F2() F() d d dc() V () CF 1 1() CF 2 2() C () F() d R S T dc() V () dc() dv () dc() V() C() V() C() F1() F2() F() d d d d b g R S T A dh () F1() F2() k h() d dc() b g b g Ah() C1C() F1() C2 C() F2() d

80 Esimerkki 7. Virausjärjeselmän ilaesiys Saadaan yksinkerainen yhälöryhmä ensimmäisen keraluvun differeniaaliyhälöisä dh() 1 d d A F () F () k h () i 1 2 dc() 1 cb g b g C1C() F1() C2 C() F2() h d Ah() R S T Valiaan iloiksi h ja C, ohjauksiksi F 1 ja F 2 sekä lähösuureiksi F ja C x1() h () x() u y () (), ( ) u1 () F1 () () (), ( ) y1() x C u F y () Näillä muuujavalinnoilla voidaan ilaesiys kirjoiaa suoraan sandardimuodossa. R S T x( ) f( x(), u()) y() g( x(), u()) F () C () L N M O Q P L N M O Q P L N M O Q P L N M O Q P L N M O Q P L N M O Q P

81 Esimerkki 7. Virausjärjeselmän ilaesiys Saadaan syseemiyhälö: L L f ( x( ), u( )) N M O Q P L N M O f ( x( ), u( )) Q P NM Ax1() x 1() x( ) f( x( ), u( )) x () Lähökuvausa varen arkasellaan lähömuuujien riippuvuua ilamuuujisa Lähökuvaus: y( ) y1() y() g( x( ), u( )) y () g1( x( ), u( )) g ( x( ), u( )) 1 d () () () A u u k x i C x () u () C x () u () b g b g c k x1() x () L N M O Q P L N M O Q P L N M O Q P 2 y1() y () F () C () k h() C () 2 k x1() x () L N M O Q P L N M O Q P L N M O Q P L N M O Q P O h QP

82 Esimerkki 7. Virausjärjeselmän ilaesiys Virausprosessin ilaesiykseksi saadaan R S T x( ) y() L NM L N M 1 Ax () k 1 x1() x () 2 1 d () () () A u u k x i C x () u () C x () u () b g b g c O Q P O h QP Tässä esimerkissä ilojen valina oli helppoa, koska sopiva ilamuuuja saaiin suoraan syseemin mallisa. Tarkasellaan muia meneelmiä ilojen valinaan lineaarisen ilaesiyksen yheydessä.

83 Lineaarinen ilaesiys Edellinen esimerkki (esimerkki 7) kuvasi epälineaarisa ilaesiysä. Jos arkaselava syseemi on lineaarinen, niin sen muuuja ja parameri voidaan kooa erillisiksi vekoreiksi ja mariisiksi, jolloin saadaan sandardimuooinen lineaarinen ilaesiys. R S T x( ) f( x(), u()) Ax() Bu() y() g( x(), u()) Cx() Du() Paramerimariisia A kusuaan syseemimariisiksi, B:ä ohjausmariisiksi, C:ä lähömariisiksi ja D:ä suoravaikuusmariisiksi. Usein D = 0, jolloin koko suoravaikuusermi kaoaa ilaesiyksesä. (ämä apahuu vahvasi aidoilla sricly proper syseemeillä).

84 Lineaarinen ilaesiys Differeniaaliyhälöryhmä x 1a11x1a1nxn b11u1b1 mum x a x a x b u b u x a x a x b u b u n n m m n n1 1 nn n n1 1 nm m Voidaan esiää mariisiyhälönä x 1 a11 a1 nx1 b11 b1 mu1 x a a x b b u n n1 nn n n1 nm m eli: x AxBu

85 Sähköpiirin ilaesiys Tarkasellaan esimerkin 3 sähköpiiriä ja kehieään sille ilaesiys dv1 () v1() v2() v0() d RC 1 1 RC 2 1 RC 2 1 RC 1 1 dv2() 1 1 v1() v2() d RC 2 2 RC 2 2 Luonnollinen valina ilasuureille on kondensaaorien jänniee (koska niisä on valmii ensimmäisen keraluokan differeniaaliyhälö). Valiaan ny lähösuureeksi pelkäsään jälkimmäisen kondensaaorin jännie v 2. x( ) v1() v () Näillä valinnoilla saadaan, u () v(), y () v() L N M O Q P 2 0 2

86 Sähköpiirin ilaesiys x1() x2() u() RC 1 1 RC 2 1 RC 2 1 RC 1 1 () x f( x(), u()) 1 1 x1() x2() RC 2 2 RC 2 2 y () x2 () g( x(), u ()) ja edelleen RC RC RC RC x x Ax B RC 2 2 RC 2 2 y () 0 1 x() 0 u () Cx() Du () () () 1 1 u() () u()

87 Tilaesiyksen muodosaminen Mien ilaesiys muodoseaan sysemaaisesi? Valiaan fysikaalisesi järkevä ilamuuuja malliyhälöisä (kuen aikaisemmissa esimerkeissä) Derivoini-operaaorin p avulla Kanonisen muoojen avulla Fysikaalisesi järkevä ilamuuuja Usein helpoin apa Derivoini-operaaorin avulla Voidaan muodosaa esim. ohjaava ai havaiava kanoninen muoo ai joissain apauksissa myös diagonaalinen muoo Kanonisen muoojen avulla Kaavaan sijoiaminen

88 Tilaesiyksen muodosaminen Tarkasellaan mekaanisa järjeselmää (esimerkki 2) F() Fysikaalisesi järkevä ilamuuuja mx() Bx( ) kx() F() Valiaan paikka x ja nopeus v = dx/d Määrieään valiujen ilamuuujien derivaaa R S T y () x () x(), u () F () 1 R S T x1() x() x () x( ) x 1() x( ) x2() B x () () x ( ) () () () () m x k m x 1 m F B m x k m x 1 m u R S T L O k B m 1 m m x( ) x() u() NM y () 1 0 x() QP 2 L N M O Q P k m B x()

89 Tilaesiyksen muodosaminen Toinen apa: käyeään derivoinioperaaoria p R S Kirjoieaan alkuperäinen yhälö käyäen derivoinioperaaoria x2 () 8x 1( ) B () x ( ) () () { {()} ()} () () m x k m x 1 m F ppx B m x k m x 1 m F x1() x() B x p x m x x B m x 2() {()} () 1() 1() k px x m x 1 m F k m x 1 { m u 2( )} 2() () () 1() () T R S T L B m x( ) O 1 L x() u() k N M 0 O Q P 1 m 0 m NM QP y () 1 0 x() R S T B x () () () m x x k x () () () m x 1 m u 2 1 y () x () x() 1

90 Tilaesiyksen muodosaminen Käyeään kanonisia muooja Yllä esieylle yleiselle lineaariselle differeniaaliyhälölle on johdeu oheise kanonise muodo Ylempi ilaesiys: Ohjaava kanoninen muoo Alempi ilaesiys: Havaiava kanoninen muoo y a y a y a y bu b u b u n n n n n n n ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () () () () () () () ( ) () () () () x x x a a a a u y b b b b n n n n L N M M M M M M O Q P P P P P P L N M M M M M M O Q P P P P P P R S T ( ) () () () () x x x a a a a b b b b u y n n n n L N M M M M M M O Q P P P P P P L N M M M M M M O Q P P P P P P R S T

91 Tilaesiyksen muodosaminen Käyeään kanonisia muooja mx Bx kx F x x x F B k 1 () () () () () m () m () m () Todeaan, eä derivoinioperaaorilla saaiin havaiava kanoninen muoo ja fysikaalisesi valiuilla ilasuureilla muodoseu ilaesiys muisuaa erehdyäväsi ohjaavaa kanonisa muooa y y y u u y ay ay bu bu B k 1 () m () m () 0 () m () () 1 () 2 () 1 () 2 () 1 0 a 1 b x x x x y () 1 0 () x y () 1 0 x() B m 1 1 () () () () () () k 1 0 u u m m a2 0 b 2

92 Lineaarisen ilaesiyksen dimensio Syseemin keraluku on minimirealisaaiossa syseemiä kuvaavien differeniaaliyhälöiden keralukujen summa. Tämä on myös syseemimariisi A:n dimensio. Ohjausen eli ulosuureiden lukumäärä on n u Lähösuureiden lukumäärä on n y Syseemin keraluku on n S Tällöin lineaarisen ilaesiyksen dimensio ova: x () A x () B u () n 1 nsns 1 S u S n n n S nu1 y () C x () D u () n 1 nyns 1 ny nu y n S nu1

93 Lineaarisen ilaesiyksen dimensio Muodoseaan ilaesiys syseemille, joa kuvaa differeniaaliyhälöryhmä: q () 3 z () 2 q () 2 z () 5 u 1() 2 u1() 0 z () u2() 2 q () y () q () 2 z () Tulosuureiden lukumäärä n u = 2, Lähösuureiden n y = 1, keraluku n S = 3 x2 () x1 () p{ pq { ()} 3() z 2() q 5 u()} 2 z ( ) 2 u( ) x3 () pz {()} u() 2() q y () q () 2 z () 2 1 1

94 Lineaarisen ilaesiyksen dimensio x1 () q() x2() p{ x1()} 3 z() 2 q() 5 u1() px { 2( )} 2 z ( ) 2 u1( ) x3() z() px { 3( )} u2( ) 2 q ( ) y () q () 2 z () x 1() 2 x1() x2() 3 x3() 5 u1() x 2() 2 x3() 2 u1() x 3() 2 x1() u2() y () x1() 2 x3()

95 Lineaarisen ilaesiyksen dimensio Saadaan ilaesiys () () 2 0 x x u() y () x()

96 Linearisoini Linearisoini on meneelmä, jonka avulla kehieään epälineaarisesa mallisa lineaariapproksimaaio, joka päee hyvin linearisoinipiseen läheisyydessä (lineaariapproksimaaio on Taylorin sarjan nollas ja ensimmäinen ermi arkaselupiseessä) L O L q1 f1 Tarkasellaan yleisä mariisiyhälöä q2 q f z f 2 () Approksimoidaan yhälöä piseessä z 0 df qf() z q0 ( z0) zz0 z Rq q q Valiaan uude muuuja S Tz zz0 df q z z dz ( ) T 0 d T b g 0 M N q n P Q M N f n () z () z () z O P Q

97 Linearisoini Lineaariapproksimaaioksi saadaan siis q L M N q q q 1 2 n O P Q df ( z z P dz T 0) L NM df dz df dz 1 df dz n 1 df1 df1 ( z0) ( z0) ( z0) dz2 dzm df 2 ( z0) ( z0) dz2 df1 ( z0) ( z0) dz m O L M N QP z z z 1 2 m O P Q Jos q on skalaari q, niin linearisoinimariisi supisuu vekoriksi (n = 1; yhälön ylin rivi) Jos sekä q eä z ova skalaareja, niin linearisoini vasaa käyrän korvaamisa angenillaan linearisoinipiseessä.

98 Linearisoini - esimerkki 2 Tarkasellaan epälineaarisa yhälöä qz ( ) z Laskeaan derivaaa dq( z) dq( z0) 2, z 2z0 dz dz dq( z Määrieään lineaariapproksimaaio 0) qz ( ) z2z0 z 2 Toiminapise: q z dz Kasoaan, mien lineaariapproksimaaio oimii arkaselupiseissä z 0 = 0.5 ja z 0 = 2. qz ( ) q2z zz qz ( ) 0.25 z0.5 z qz ( ) 44 z2 z 0 0

99 Tilaesiyksen linearisoini Kun epälineaarinen ilaesiys linearisoidaan, niin linearisoinipiseeksi valiaan avallisesi asapainoila eli saionääriila (ila, jossa kaikki syseemin derivaaa saadaan nolliksi eli pise, jossa syseemi voi olla levossa joka voi myös olla epäsabiili pise). Saionääriila ei ole muuuja vaan vakio ja yleensä siä merkiään alaindeksillä S. Tilayhälössä avallisesi linearisoidaan syseemiyhälö ja lähökuvaus erikseen - nämä linearisoidaan ilojen ja ohjausen suheen, jolloin saadaan suoraan lineaarisen ilaesiyksen mariisi A, B, C ja D R S T x( ) f( x(), u()) y() g( x(), u()) R S T df df x( ) ( x, u ) x() (, ) () () () x u x u u A x B u T s s T s s d d dg dg y() ( x, u ) x() (, ) () () () dx du x u u C x D u T s s T s s

100 Epälineaarisen ilaesiyksen linearisoini Linearisoidaan esimerkin 7 virausjärjeselmän epälineaarinen ilaesiys ja esieään kehiey lineaariapproksimaaio yleisessä lineaarisen ilaesiyksen sandardimuodossa Rakaisaan asapainoila (aikaderivaaa nollia) 1 u1, s u2, s k x1, s A 0 x s 0 1 C 0 1 x2, s u1, s C2 x2, s u 2, s Ax 1, s R S k x1, s u1, s u2, s T c h c h C x u C x u 1 2, s 1, s 2 2, s 2, s R S T x x 1, s 2, s F HG u Cu u u k 1, s 2, s I KJ Cu u 1 1, s 2 2, s 1, s 2, s 2

101 Epälineaarisen ilaesiyksen linearisoini Laskeaan alkuperäisesä syseemiyhälösä ja lähökuvauksesa derivaaa kunkin muuujan suheen L NM k df( x A x s, us) 2 1, s c T dx C x hu cc x hu 2 Ax 1 2, s 1, s 2 2, s 2, s 1, s u 0 s u Ax 1, 2, s 1, s O QP A df( xs, us) T du L NM 1 1 A A C1x2, s C x Ax Ax 1, s 2 2, s 1, s O QP B

102 Epälineaarisen ilaesiyksen linearisoini k dgx (, ) 0 (, ) 0 0 s us d s s 2 x gx u 1, s, T T d C d D x u 0 1 Sijoieaan asapainopiseen arvo mariiseihin ja saadaan lineaarinen approksimaaio, joka päee pienille muuoksille asapainopiseen ympärillä k 0 2Au u A A x() x() u() 1, s 2, s k kc1c2u2, s kc2 C1u1, s Au Au 1, 2, 1, 2, 1, s u2, s s u s Au s u s 3 2 k 0 y() 2u1, s u2, s x() 0 1

103 Epälineaarisen ilaesiyksen linearisoini Kasoaan, mien linearisoini onnisuu symbolisen laskennan avulla MATLABissa syms u1 u2 x1 x2 k A C1 C2 As=jacobian([(u1+u2-k*sqr(x1))/A;((C1-x2)*u1+(C2-x2)*u2)/(A*x1);k*sqr(x1);x2],[x1 x2 u1 u2]) prey(as) [ k ] [ - 1/ /A 1/A ] [ 1/2 ] [ x1 A ] [ ] [ (C1 - x2) u1 + (C2 - x2) u2 -u1 - u2 C1 - x2 C2 - x2] [ ] [ 2 A x1 A x1 A x1 ] [ A x1 ] [ ] [ k ] [ 1/ ] [ 1/2 ] [ x1 ] [ ] [ ]

104 Epälineaarisen ilaesiyksen linearisoini syms u1s u2s x1s x2s As2=subs(As,{u1 u2 x1 x2},{u1s u2s x1s x2s}) As3=subs(As2,{x1s x2s},{(u1s+u2s)*(u1s+u2s)/k (C1*u1s+C2*u2s)/(u1s+u2s)}) simple(as3) prey(ans) [ 3/2 ] [ k ] [- 1/ , 0, 1/A, 1/A] [ (u1s + u2s) A ] [ ] [ k u2s (-C1 + C2) k u1s (-C1 + C2) k] [0, , , ] [ (u1s + u2s) A 3 3 ] [ (u1s + u2s) A (u1s + u2s) A ] [ ] [ 3/2 ] [ k ] [ , 0, 0, 0] [2 u1s + 2 u2s ] [ ] [0, 1, 0, 0]

ELEC-C1230 Säätötekniikka (5 op)

ELEC-C1230 Säätötekniikka (5 op) ELEC-C1230 Sääöekniikka (5 op) Kevä 2016 hps://mycourses.aalo.fi/course/view.php?id=5073 Luku 1: Esiely, johdano, dynaamise malli ja rakenee, lohkokaavio, säädön periaaee ELEC-C1230 Sääöekniikka (5 op)

Lisätiedot

Tehtävä I. Vaihtoehtotehtävät.

Tehtävä I. Vaihtoehtotehtävät. Kem-9.7 Prosessiauomaaion perusee Teni 5.9.5 TÄMÄ PAPERI TÄYTYY EHDOTTOMASTI PALAUTTAA TENTIN MUKANA NIMI: (OS: ) OPINTOKIRJA: VIERAILULUENNOT KUUNNELTU: VALV. LASK: Tehävä I. Vaihoehoehävä. Oikea vasaus

Lisätiedot

Luento 2. Järjestelmät aika-alueessa Konvoluutio-integraali. tietoverkkotekniikan laitos

Luento 2. Järjestelmät aika-alueessa Konvoluutio-integraali. tietoverkkotekniikan laitos Lueno 2 Järjeselmä aika-alueessa Konvoluuio-inegraali Lueno 2 Lueno 2 Järjeselmä aika alueessa; Konvoluuio inegraali 2.1 Järjeselmien perusominaisuude Oppenheim 1.5. 1.6 Muisillise ja muisioma järjeselmä

Lisätiedot

AS-74.2111 Analoginen säätö. Luento 1: Johdanto, dynaamiset mallit ja rakenteet, lohkokaaviot, säädön periaatteet

AS-74.2111 Analoginen säätö. Luento 1: Johdanto, dynaamiset mallit ja rakenteet, lohkokaaviot, säädön periaatteet AS-74.2111 Analoginen säätö Luento 1: Johdanto, dynaamiset mallit ja rakenteet, lohkokaaviot, säädön periaatteet Mitä säätötekniikka on? Control Systems Engineering Laaja näkemys: Systeemien sekä niiden

Lisätiedot

Diskreetillä puolella impulssi oli yksinkertainen lukujono:

Diskreetillä puolella impulssi oli yksinkertainen lukujono: DEE-00 ineaarise järjeselmä Harjoius 5, rakaisuehdoukse [johdano impulssivaseeseen] Jakuva-aikaisen järjeselmän impulssivase on vasaavanlainen järjeselmäyökalu kuin diskreeillä puolellakin: impulssivase

Lisätiedot

Systeemimallit: sisältö

Systeemimallit: sisältö Syseemimalli: sisälö Malliyypi ja muuuja Inpu-oupu -kuvaus ja ilayhälömalli, ila Linearisoini Jakuva-aikaisen lineaarisen järjeselmän siirofunkio, sabiilisuus Laplace-muunnos Diskreeiaikaisen lineaarisen

Lisätiedot

DEE Lineaariset järjestelmät Harjoitus 4, ratkaisuehdotukset

DEE Lineaariset järjestelmät Harjoitus 4, ratkaisuehdotukset D-00 ineaarise järjeselmä Harjoius 4, rakaisuehdoukse nnen kuin mennään ämän harjoiuksen aihepiireihin, käydään läpi yksi huomionarvoinen juu. Piirianalyysin juuri suorianee opiskelija saaava ihmeellä,

Lisätiedot

W dt dt t J.

W dt dt t J. DEE-11 Piirianalyysi Harjoius 1 / viikko 3.1 RC-auon akku (8.4 V, 17 mah) on ladau äyeen. Kuinka suuri osa akun energiasa kuluu ensimmäisen 5 min aikana, kun oleeaan mooorin kuluavan vakiovirran 5 A? Oleeaan

Lisätiedot

( ) ( ) 2. Esitä oheisen RC-ylipäästösuotimesta, RC-alipäästösuotimesta ja erotuspiiristä koostuvan lineaarisen järjestelmän:

( ) ( ) 2. Esitä oheisen RC-ylipäästösuotimesta, RC-alipäästösuotimesta ja erotuspiiristä koostuvan lineaarisen järjestelmän: ELEC-A700 Signaali ja järjeselmä Laskuharjoiukse LASKUHARJOIUS 3 Sivu /8. arkasellaan oheisa järjeselmää bg x Yksikköviive + zbg z bg z d a) Määriä järjeselmän siirofunkio H Y = X b) Määriä järjeselmän

Lisätiedot

5. Vakiokertoiminen lineaarinen normaaliryhmä

5. Vakiokertoiminen lineaarinen normaaliryhmä 1 MAT-145 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen eknillinen yliopiso Riso Silvennoinen Kevä 21 5. Vakiokeroiminen lineaarinen normaaliryhmä Todeaan ensin ilman odisuksia (ulos on syvällinen) rakaisujen olemassaoloa

Lisätiedot

ELEC-C1230 Säätötekniikka (5 op) ELEC-C1230 Säätötekniikka (5 op) ELEC-C1230 Säätötekniikka (5 op) ELEC-C1230 Säätötekniikka (5 op) Kevät 2016

ELEC-C1230 Säätötekniikka (5 op) ELEC-C1230 Säätötekniikka (5 op) ELEC-C1230 Säätötekniikka (5 op) ELEC-C1230 Säätötekniikka (5 op) Kevät 2016 ELEC-C1230 Säätötekniikka (5 op) ELEC-C1230 Säätötekniikka (5 op) Kevät 2016 https://mycourses.aalto.fi/course/view.php?id=5073 Luku 1: Esittely, johdanto, dynaamiset mallit ja rakenteet, lohkokaaviot,

Lisätiedot

Tasaantumisilmiöt eli transientit

Tasaantumisilmiöt eli transientit uku 12 Tasaanumisilmiö eli ransieni 12.1 Kelan kykeminen asajännieeseen Kappaleessa 11.2 kykeiin reaalinen kela asajännieeseen ja ukiiin energian varasoiumisa kelan magneeikenään. Tilanne on esiey uudelleen

Lisätiedot

DEE Lineaariset järjestelmät Harjoitus 3, harjoitustenpitäjille tarkoitetut ratkaisuehdotukset

DEE Lineaariset järjestelmät Harjoitus 3, harjoitustenpitäjille tarkoitetut ratkaisuehdotukset DEE- ineaarise järjeselmä Harjoius 3, harjoiusenpiäjille arkoieu rakaisuehdoukse Ennen kuin mennään ämän harjoiuksen aihepiireihin, käydään läpi yksi huomionarvoinen juu Piirianalyysin juuri suorianee

Lisätiedot

Huomaa, että aika tulee ilmoittaa SI-yksikössä, eli sekunteina (1 h = 3600 s).

Huomaa, että aika tulee ilmoittaa SI-yksikössä, eli sekunteina (1 h = 3600 s). DEE- Piirianalyysi Ykkösharkan ehävien rakaisuehdoukse. askeaan ensin, kuinka paljon äyeen ladaussa akussa on energiaa. Tämä saadaan laskeua ehäväpaperissa anneujen akun ieojen 8.4 V ja 7 mah avulla. 8.4

Lisätiedot

2. Systeemi- ja signaalimallit

2. Systeemi- ja signaalimallit 2. Syseemi- ja signaalimalli Malliyyppejä: maemaainen malli: muuujien välise suhee kuvau maemaaisesi yhälöin lohkokaaviomalli: syseemin oiminojen looginen jako lohkoihin, joiden välisiä vuorovaikuuksia

Lisätiedot

x v1 y v2, missä x ja y ovat kokonaislukuja.

x v1 y v2, missä x ja y ovat kokonaislukuja. Digiaalinen videonkäsiel Harjoius, vasaukse ehäviin 4-0 Tehävä 4. Emämariisi a: V A 0 V B 0 Hila saadaan kanavekorien (=emämariisin sarakkee) avulla. Kunkin piseen paikka hilassa on kokonaisluvulla kerroujen

Lisätiedot

2. Taloudessa käytettyjä yksinkertaisia ennustemalleja. ja tarkasteltavaa muuttujan arvoa hetkellä t kirjaimella y t

2. Taloudessa käytettyjä yksinkertaisia ennustemalleja. ja tarkasteltavaa muuttujan arvoa hetkellä t kirjaimella y t Tilasollinen ennusaminen Seppo Pynnönen Tilasoieeen professori, Meneelmäieeiden laios, Vaasan yliopiso. Tausaa Tulevaisuuden ennusaminen on ehkä yksi luoneenomaisimpia piireiä ihmiselle. On ilmeisesi aina

Lisätiedot

9. Epäoleelliset integraalit; integraalin derivointi parametrin suhteen. (x + y)e x y dxdy. e (ax+by)2 da. xy 2 r 4 da; r = x 2 + y 2. b) A.

9. Epäoleelliset integraalit; integraalin derivointi parametrin suhteen. (x + y)e x y dxdy. e (ax+by)2 da. xy 2 r 4 da; r = x 2 + y 2. b) A. 9. Epäoleellise inegraali; inegraalin derivoini paramerin suheen 9.. Epäoleellise aso- ja avaruusinegraali 27. Olkoon = {(x, y) x, y }. Osoia hajaanuminen ai laske arvo epäoleelliselle asoinegraalille

Lisätiedot

Mallivastaukset KA5-kurssin laskareihin, kevät 2009

Mallivastaukset KA5-kurssin laskareihin, kevät 2009 Mallivasaukse KA5-kurssin laskareihin, kevä 2009 Harjoiukse 2 (viikko 6) Tehävä 1 Sovelleaan luenokalvojen sivulla 46 anneua kaavaa: A A Y Y K α ( 1 α ) 0,025 0,5 0,03 0,5 0,01 0,005 K Siis kysyy Solowin

Lisätiedot

Konvoluution laskeminen vaihe vaiheelta Sivu 1/5

Konvoluution laskeminen vaihe vaiheelta Sivu 1/5 S-72. Signaali ja järjeselmä Laskuharjoiukse, syksy 28 Konvoluuion laskeminen vaihe vaiheela Sivu /5 Konvoluuion laskeminen vaihe vaiheela Konvoluuion avulla saadaan laskeua aika-alueessa järjeselmän lähösignaali,

Lisätiedot

TKK Tietoliikennelaboratorio Seppo Saastamoinen Sivu 1/5 Konvoluution laskeminen vaihe vaiheelta

TKK Tietoliikennelaboratorio Seppo Saastamoinen Sivu 1/5 Konvoluution laskeminen vaihe vaiheelta KK ieoliikennelaboraorio 7.2.27 Seppo Saasamoinen Sivu /5 Konvoluuion laskeminen vaihe vaiheela Konvoluuion avulla saadaan laskeua aika-alueessa järjeselmän lähösignaali, kun ulosignaali ja järjeselmän

Lisätiedot

Mittaustekniikan perusteet, piirianalyysin kertausta

Mittaustekniikan perusteet, piirianalyysin kertausta Miausekniikan perusee, piirianalyysin kerausa. Ohmin laki: =, ai = Z ( = ännie, = resisanssi, Z = impedanssi, = vira). Kompleksiluvu Kompleksilukua arviaan elekroniikassa analysoiaessa piireä, oka sisälävä

Lisätiedot

2. Suoraviivainen liike

2. Suoraviivainen liike . Suoraviivainen liike . Siirymä, keskinopeus ja keskivauhi Aika: unnus, yksikkö: sekuni s Suoraviivaisessa liikkeessä kappaleen asema (paikka) ilmoieaan suoralla olevan piseen paikkakoordinaain (unnus

Lisätiedot

f x dx y dy t dt f x y t dx dy dt O , (4b) . (4c) f f x = ja x (4d)

f x dx y dy t dt f x y t dx dy dt O , (4b) . (4c) f f x = ja x (4d) Tehävä 1. Oleeaan, eä on käössä jakuva kuva, jossa (,, ) keroo harmaasävn arvon paikassa (, ) ajanhekenä. Dnaaminen kuva voidaan esiää Talor sarjana: d d d d d d O ( +, +, + ) = (,, ) + + + + ( ). (4a)

Lisätiedot

( ) 5 t. ( ) 20 dt ( ) ( ) ( ) ( + ) ( ) ( ) ( + ) / ( ) du ( t ) dt

( ) 5 t. ( ) 20 dt ( ) ( ) ( ) ( + ) ( ) ( ) ( + ) / ( ) du ( t ) dt SMG-500 Verolasennan numeerise meneelmä Ehdouse harjoiusen 4 raaisuisi Haeaan ensin ehävän analyyinen raaisu: dx 0 0 0 0 dx 00e = 0 = 00e 00 x = e + = 5e + alueho: x(0 = 0 0 x 0 = 5e + = 0 = 5 0 0 0 5

Lisätiedot

järjestelmät Luento 4

järjestelmät Luento 4 DEE- Lineaarise järjeselmä Lueno 4 Lineaarise järjeselmä Riso Mionen 3.7.4 Lueno 3 - Recap Lineaarisen differenssiyhälöiden raaiseminen Impulssivaseen äsie Impulssivase ja onvoluuiosumma Lineaarise järjeselmä

Lisätiedot

Mittaus- ja säätölaitteet IRIS, IRIS-S ja IRIS-M

Mittaus- ja säätölaitteet IRIS, IRIS-S ja IRIS-M Miaus- ja sääölaiee IRIS, IRIS-S ja IRIS-M KANSIO 4 VÄLI ESITE Lapinleimu Miaus- ja sääölaiee IRIS, IRIS-S ja IRIS-M IRIS, IRIS-S Rakenne IRIS muodosuu runko-osasa, sääösäleisä, sääömuerisa ai sääökahvasa

Lisätiedot

Lineaaristen järjestelmien teoriaa

Lineaaristen järjestelmien teoriaa Lineaarisen järjeselmien eoriaa Saavueavuus, ohjaavuus Tarkkailavuus, havaiavuus Klassisen mekaniikan sabiilisuus vs. syseemiekninen sabiilisuusuus Tilaesimoini Kalman-suodin Mielenkiinoisia kysymyksiä

Lisätiedot

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 18: Yhden vapausasteen pakkovärähtely, transienttikuormituksia

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 18: Yhden vapausasteen pakkovärähtely, transienttikuormituksia 8/ VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 8: Yhen vapausaseen paovärähely, ransieniuormiusia JOHDANTO c m x () Kuva. Syseemi. Transieniuormiusella aroieaan uormiusheräeä, joa aiheuaa syseemiin lyhyaiaisen liieilan.

Lisätiedot

XII RADIOAKTIIVISUUSMITTAUSTEN TILASTOMATEMATIIKKAA

XII RADIOAKTIIVISUUSMITTAUSTEN TILASTOMATEMATIIKKAA II ADIOAKTIIVISUUSMITTAUSTEN TILASTOMATEMATIIKKAA Laskenaaajuus akiivisuus Määrieäessä radioakiivisen näyeen akiivisuua (A) uloksena saadaan käyeyn miausyseemin anama laskenaaajuus (). = [II.I] jossa =

Lisätiedot

Dynaaminen optimointi ja ehdollisten vaateiden menetelmä

Dynaaminen optimointi ja ehdollisten vaateiden menetelmä Dynaaminen opimoini ja ehdollisen vaaeiden meneelmä Meneelmien keskinäinen yheys S yseemianalyysin Laboraorio Esielmä 10 - Peni Säynäjoki Opimoiniopin seminaari - Syksy 2000 / 1 Meneelmien yhäläisyyksiä

Lisätiedot

Systeemimallit: sisältö

Systeemimallit: sisältö Syseemimalli: sisälö Malliyypi ja muuuja Inpu-oupu -uvaus ja ilayhälömalli, ila Linearisoini Jauva-aiaisen lineaarisen järjeselmän siirofunio, sabiilisuus Laplace-muunnos Disreeiaiaisen lineaarisen järjeselmän

Lisätiedot

A-osio. Ei laskinta! Valitse seuraavista kolmesta tehtävästä vain kaksi joihin vastaat!

A-osio. Ei laskinta! Valitse seuraavista kolmesta tehtävästä vain kaksi joihin vastaat! MAA Koe 7..03 A-osio. Ei laskina! Valise seuraavisa kolmesa ehäväsä vain kaksi joihin vasaa! A. a) Mikä on funkion f(x) määrieljoukko, jos f( x) x b) Muua ulomuooon: 4a 8a 4 A. a) Rakaise hälö: x 4x b)

Lisätiedot

Rakennusosien rakennusfysikaalinen toiminta Ralf Lindberg Professori, Tampereen teknillinen yliopisto ralf.lindberg@tut.fi

Rakennusosien rakennusfysikaalinen toiminta Ralf Lindberg Professori, Tampereen teknillinen yliopisto ralf.lindberg@tut.fi Rakennusosien rakennusfysikaalinen oimina Ralf Lindber Professori, Tampereen eknillinen yliopiso ralf.lindber@u.fi Rakenneosien rakennusfysikaalisen oiminnan ymmärämiseksi on välämäönä piirää kolme eri

Lisätiedot

Kojemeteorologia. Sami Haapanala syksy Fysiikan laitos, Ilmakehätieteiden osasto

Kojemeteorologia. Sami Haapanala syksy Fysiikan laitos, Ilmakehätieteiden osasto Kojemeeorologia Sami Haapaala syksy 03 Fysiika laios, Ilmakehäieeide osaso Mialaieide dyaamise omiaisuude Dyaamise uusluvu määriävä mie mialaie käyäyyy syöeide muuuessa Apua käyeää differeiaaliyhälöiä,

Lisätiedot

KYNNYSILMIÖ JA SILTÄ VÄLTTYMINEN KYNNYKSEN SIIRTOA (LAAJENNUSTA) HYVÄKSI KÄYTTÄEN

KYNNYSILMIÖ JA SILTÄ VÄLTTYMINEN KYNNYKSEN SIIRTOA (LAAJENNUSTA) HYVÄKSI KÄYTTÄEN YYSILMIÖ J SILÄ VÄLYMIE YYSE SIIRO LJEUS HYVÄSI ÄYÄE ieoliikenneekniikka I 559 ari ärkkäinen Osa 5 4 MILLOI? Milloin ja missä kynnysilmiö esiinyy? un vasaanoimen ulon SR siis esi-ilmaisusuodaimen lähdössä

Lisätiedot

Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola. luento 12 Stokastisista prosesseista

Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola. luento 12 Stokastisista prosesseista Rahoiusriski ja johdannaise Mai Esola lueno Sokasisisa prosesseisa . Markov ominaisuus Markov -prosessi on sokasinen prosessi, missä ainoasaan muuujan viimeinen havaino on relevani muuujan seuraavaa arvoa

Lisätiedot

S Signaalit ja järjestelmät Tentti

S Signaalit ja järjestelmät Tentti S-7. Signaali ja järjeselmä eni..6 Vasaa ehävään, ehävisä 7 oeaan huomioon neljä parhaien suorieua ehävää.. Vasaa lyhyesi seuraaviin osaehäviin, käyä arviaessa kuvaa. a) Mikä kaksi ehoa kanaunkioiden φ

Lisätiedot

Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola. luento 13 Black-Scholes malli optioiden hinnoille

Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola. luento 13 Black-Scholes malli optioiden hinnoille Rahoiusriski ja johannaise Mai Esola lueno 3 Black-choles malli opioien hinnoille . Ion lemma Japanilainen maemaaikko Kiyoshi Iō oisi seuraavana esieävän lemman vuonna 95 arikkelissaan: On sochasic ifferenial

Lisätiedot

Tiedonhakumenetelmät Tiedonhakumenetelmät Helsingin yliopisto / TKTL. H.Laine 1. Todennäköisyyspohjainen rankkaus

Tiedonhakumenetelmät Tiedonhakumenetelmät Helsingin yliopisto / TKTL. H.Laine 1. Todennäköisyyspohjainen rankkaus Tieonhakumeneelmä Helsingin yliopiso / TKTL.4.04 Toennäköisyyeen perusuva rankkaus Tieonhakumeneelmä Toennäköisyyspohjainen rankkaus Dokumenien haussa ongelmana on löyää käyäjän kyselynä ilmaiseman ieoarpeen

Lisätiedot

Sopimuksenteon dynamiikka: johdanto ja haitallinen valikoituminen

Sopimuksenteon dynamiikka: johdanto ja haitallinen valikoituminen Soimukseneon dynamiikka: johdano ja haiallinen valikoiuminen Ma-2.442 Oimoinioin seminaari Elise Kolola 8.4.2008 S yseemianalyysin Laboraorio Esielmä 4 Elise Kolola Oimoinioin seminaari - Kevä 2008 Esiyksen

Lisätiedot

OH CHOOH (2) 5. H2O. OH säiliö. reaktori 2 erotus HCOOCH 3 11.

OH CHOOH (2) 5. H2O. OH säiliö. reaktori 2 erotus HCOOCH 3 11. Kemian laieekniikka 1 Koilasku 1 4.4.28 Jarmo Vesola Tuoee ja reakio: hiilimonoksidi, meanoli, meyyliformiaai C HC (1) vesi, meyyliformiaai, meanoli, muurahaishappo HC CH (2) hiilimonoksi, vesi, muurahaishappo

Lisätiedot

Mallivastaukset KA5-kurssin laskareihin, kevät 2009

Mallivastaukset KA5-kurssin laskareihin, kevät 2009 Mallivasaukse KA5-kurssin laskareihin, kevä 2009 Harjoiukse 8 (viikko 14) Tehävä 1 LAD-käyrä siiryy ylöspäin. Ulkomaisen hinojen nousessa oman maan reaalinen vaihokurssi heikkenee 1 vaihoase vahvisuu IS-käyrä

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 4.9.4 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vasausen piireiden, sisälöjen ja piseiysen luonnehdina ei sido ylioppilasukinolauakunnan arvoselua. Lopullisessa arvoselussa

Lisätiedot

KÄYTTÖOPAS. -järjestelmän sisäyksikkö HXHD125A8V1B

KÄYTTÖOPAS. -järjestelmän sisäyksikkö HXHD125A8V1B KÄYÖOPAS -järjeselmän sisäyksikkö SISÄLÖ 1. Määrielmä... 1 1.1. Merkkien ja varoiusen arkoiukse... 1 1.2. Käyeyjen ermien merkiys... 1 2. Yleise varooime... 2 3. Johdano... 2 3.1. Yleisä... 2 3.2. ämän

Lisätiedot

6.4 Variaatiolaskennan oletusten rajoitukset. 6.5 Eulerin yhtälön ratkaisuiden erikoistapauksia

6.4 Variaatiolaskennan oletusten rajoitukset. 6.5 Eulerin yhtälön ratkaisuiden erikoistapauksia 6.4 Variaaiolaskennan oleusen rajoiukse Sivu ss. 27 31 läheien Kirk, ss. 13 143] ja KS, Ch. 5] pohjala Lähökoha oli: jos J:llä on eksremaali (), niin J:n variaaio δj( (), δ()) ():ä pikin on nolla. 1. Välämäön

Lisätiedot

Luento 9. Epälineaarisuus

Luento 9. Epälineaarisuus Lueno 9 Epälineaarisuus 8..6 Epälineaarisuus Tarkasellaan passiivisa epälineaarisa komponenia u() y() f( ) Taylor-sarjakehielmä 3 y f( x) + f '( x) ( x x) + f ''( x) ( x x) + f ''( x) ( x x) +...! 3! 4!

Lisätiedot

Lineaaristen järjestelmien teoriaa II

Lineaaristen järjestelmien teoriaa II Lieaarise järjeselmie eoriaa II Ohjaavuus Tarkkailavuus havaiavuus Lisää sabiilisuudesa Tilaesimoii, Kalma-suodi TKK/Syseemiaalyysi laboraorio Mielekiioisia kysymyksiä Oko syseemi rakeeelaa sellaie, eä

Lisätiedot

Luento 11. tietoverkkotekniikan laitos

Luento 11. tietoverkkotekniikan laitos Lueno Lueno Sokasise signaali ja prosessi II. Sokasise prosessi Pruju Saionaarisuus, ergodisuus Auo ja risikorrelaaio ehospekri.3 Kohinan suodaaminen Sokasinen raja arvo ja derivaaa Winer Khinchin eoreema.3

Lisätiedot

SÄHKÖTEKNIIKKA JA ELEKTRONIIKKA

SÄHKÖTEKNIIKKA JA ELEKTRONIIKKA 1 SÄHKÖTKNIIKKA JA LKTONIIKKA X-2 2017, Kimmo Silvonen Osa II, 25.9.2017 1 Muuosilmiö ja differeniaaliyhälö Tässä luvussa rajoiuaan pääasiassa asajännieläheisiin liiyviin muuosilmiöihin, vaikka samanlainen

Lisätiedot

Silloin voidaan suoraan kirjoittaa spektrin yhtälö käyttämällä hyväksi suorakulmaisen pulssin Fouriermuunnosta sekä viiveen vaikutusta: ( ) (

Silloin voidaan suoraan kirjoittaa spektrin yhtälö käyttämällä hyväksi suorakulmaisen pulssin Fouriermuunnosta sekä viiveen vaikutusta: ( ) ( TT/TV Inegraalimuunnokse Fourier-muunnos, ehäviä : Vasauksia Meropolia/. Koivumäki v(. Määriä oheisen signaalin Fourier-muunnos. Vinkki: Superposiio, viive. Voidaan sovelaa superposiioperiaaea, koska signaalin

Lisätiedot

1 Excel-sovelluksen ohje

1 Excel-sovelluksen ohje 1 (11) 1 Excel-sovelluksen ohje Seuraavassa kuvaaan jakeluverkonhalijan kohuullisen konrolloiavien operaiivisen kusannusen (SKOPEX 1 ) arvioimiseen arkoieun Excel-sovelluksen oimina, mukaan lukien sovelluksen

Lisätiedot

12. ARKISIA SOVELLUKSIA

12. ARKISIA SOVELLUKSIA MAA. Arkiia ovellukia. ARKISIA SOVELLUKSIA Oleeaan, eä kappale liikkuu ykiuloeia raaa, eimerkiki -akelia pikin. Kappaleen nopeuden vekoriluonne riiää oaa vauhdin eumerkin avulla huomioon, ja on ehkä arkoiukenmukaiina

Lisätiedot

Suunnitteluharjoitus s-2016 (...k-2017)

Suunnitteluharjoitus s-2016 (...k-2017) 1 Suunnieluharjoius s-2016 (...k-2017) HAKKURITEHOLÄHDE Seuraavan push-pull-yyppisen hakkurieholäheen komponeni ulisi valia (muunajaa lukuunoamaa). V1 iin 230 V ± 10 % 50 Hz V3 Perusieoja kykennäsä Verkkoasasuunauksen

Lisätiedot

2. Matemaattinen malli ja funktio 179. a) f (-2) = -2 (-2) = = -6 b) f (-2) = 2 (-2) 2 - (-2) = (-8) + 7 = = 23

2. Matemaattinen malli ja funktio 179. a) f (-2) = -2 (-2) = = -6 b) f (-2) = 2 (-2) 2 - (-2) = (-8) + 7 = = 23 LISÄTEHTÄVÄT. Maemaainen malli ja funkio 9. a) f (-) = - (-) + = - + = -6 b) f (-) = (-) - (-) + = - (-8) + = 8 + 8 + = 80. a) f ( ) = + f ( ) = 0 + = 0 ( ) = ± = ± = ai = Vasaus: = - ai = b) + = + = 0

Lisätiedot

KÄYTTÖOPAS. Ilma vesilämpöpumppujärjestelmän sisäyksikkö ja lisävarusteet RECAIR OY EKHBRD011ADV1 EKHBRD014ADV1 EKHBRD016ADV1

KÄYTTÖOPAS. Ilma vesilämpöpumppujärjestelmän sisäyksikkö ja lisävarusteet RECAIR OY EKHBRD011ADV1 EKHBRD014ADV1 EKHBRD016ADV1 EKHBRD011ADV1 EKHBRD014ADV1 EKHBRD016ADV1 EKHBRD011ADY1 EKHBRD014ADY1 EKHBRD016ADY1 KÄYÖOPAS Ilma vesilämpöpumppujärjeselmän sisäyksikkö ja lisävarusee EKHBRD011ADV1+Y1 EKHBRD014ADV1+Y1 EKHBRD016ADV1+Y1

Lisätiedot

Luento 4. Fourier-muunnos

Luento 4. Fourier-muunnos Lueno 4 Erikoissignaalien Fourier-muunnokse Näyeenoo 4..6 Fourier-muunnos Fourier-muunnos Kääneismuunnos Diricle n edo Fourier muunuvalle energiasignaalille I: Signaali on iseisesi inegroiuva v ( d< II:

Lisätiedot

a. Varsinainen prosessi on tuttua tilaesitysmuotoa:

a. Varsinainen prosessi on tuttua tilaesitysmuotoa: ELEC-C Sääöeniia 7. lauharjoiu Vaaue. r - K u K C y a. Varinainen proei on uua ilaeiymuooa: A Bu y C Kuvaa nähdään, eä ilamallin iäänmenona on u r K. Salaaria ei voi vähenää mariiia, joen un on n -veori,

Lisätiedot

Monisilmukkainen vaihtovirtapiiri

Monisilmukkainen vaihtovirtapiiri Monisilmukkainen vaihovirapiiri Oeaan arkaselun koheeksi RLC-vaihovirapiiri jossa on käämejä, vasuksia ja kondensaaoreia. Kykenä Tarkasellaan virapiiriä, jossa yksinkeraiseen RLC-piiriin on kodensaaorin

Lisätiedot

KOMISSION VALMISTELUASIAKIRJA

KOMISSION VALMISTELUASIAKIRJA EUROOPAN UNIONIN NEUVOSTO Bryssel, 23. oukokuua 2007 (24.05) (OR. en) Toimielinen välinen asia: 2006/0039 (CNS) 9851/07 ADD 2 N 239 RESPR 5 CADREN 32 LISÄYS 2 I/A KOHTAA KOSKEVAAN ILMOITUKSEEN Läheäjä:

Lisätiedot

Luento 11. Stationaariset prosessit

Luento 11. Stationaariset prosessit Lueno Soasisen prosessin ehosperi Signaalin suodaus Kaisarajoieu anava 5..6 Saionaarise prosessi Auoorrelaaio φ * * (, ) ( ), { } { } jos prosessi on saionaarinen auoorrelaaio ei riipu ajasa vaan ainoasaan

Lisätiedot

Luento 9. Epälineaarisuus

Luento 9. Epälineaarisuus Lueno 9 Epälineaarisuus 9..7 Epälineaarisuus Tarkasellaan passiivisa epälineaarisa komponenia u() y() f( ) Taylor-sarjakehielmä 3 y f( x) + f '( x) ( x x) + f ''( x) ( x x) + f ''( x) ( x x) +...! 3! 4!

Lisätiedot

Tietoliikennesignaalit

Tietoliikennesignaalit ieoliikennesignaali 1 ieoliikenne inormaaion siiroa sähköisiä signaaleja käyäen. Signaali vaiheleva jännie ms., jonka vaiheluun on sisällyey inormaaioa. Signaalin ominaisuuksia voi ukia a aikaasossa ime

Lisätiedot

ẍ(t) q(t)x(t) = f(t) 0 1 z(t) +.

ẍ(t) q(t)x(t) = f(t) 0 1 z(t) +. Diffrniaaliyhälö II, harjoius 3, 8 228, rakaisu JL, kuusi sivua a On muunnava linaarinn oisn kraluvun diffrniaaliyhälö ẍ qx f yhäpiäväksi nsimmäisn kraluvun linaarisksi kahdn skalaariyhälön sysmiksi Rak

Lisätiedot

PK-YRITYKSEN ARVONMÄÄRITYS. KTT, DI TOIVO KOSKI elearning Community Ltd

PK-YRITYKSEN ARVONMÄÄRITYS. KTT, DI TOIVO KOSKI elearning Community Ltd PK-YRITYKSEN ARVONMÄÄRITYS KTT, DI TOIVO KOSKI elearning Communiy Ld Yriyksen arvonmääriys 1. Yriyksen ase- eli subsanssiarvo Arvioidaan yriyksen aseen vasaavaa puolella olevan omaisuuden käypäarvo, josa

Lisätiedot

a) Esitä piirtämällä oheisen kaksoissymmetrisen ulokepalkkina toimivan kotelopalkin kaksi täysin erityyppistä plastista rajatilamekanismia (2p).

a) Esitä piirtämällä oheisen kaksoissymmetrisen ulokepalkkina toimivan kotelopalkin kaksi täysin erityyppistä plastista rajatilamekanismia (2p). LUT / Teräsrakenee/Timo Björk BK80A30: Teräsrakenee II: 9.9.016 Oheismaeriaalin käyö EI salliua, laskimen käyö on salliua, lausekkeia ehäväosion lopussa Vasaukse laadiaan ehäväpaperille, joka palaueava,

Lisätiedot

Derivoimalla ensimmäinen komponentti, sijoittamalla jälkimmäisen derivaatta siihen ja eliminoimalla x. saadaan

Derivoimalla ensimmäinen komponentti, sijoittamalla jälkimmäisen derivaatta siihen ja eliminoimalla x. saadaan 87 5. Eliminoinimeneely Tarkaellaan -kokoia vakiokeroimia yeemiä + x a a x a x + a x b() x = = = +. a a x a x a x b () (3) b() x + Derivoimalla enimmäinen komponeni, ijoiamalla jälkimmäien derivaaa iihen

Lisätiedot

BINÄÄRINEN SYNKRONINEN TIEDONSIIRTO KAISTARAJOITTAMATTOMILLA MIELIVALTAISILLA PULSSIMUODOILLA SOVITETTU SUODATIN JA SEN SUORITUSKYKY AWGN-KANAVASSA

BINÄÄRINEN SYNKRONINEN TIEDONSIIRTO KAISTARAJOITTAMATTOMILLA MIELIVALTAISILLA PULSSIMUODOILLA SOVITETTU SUODATIN JA SEN SUORITUSKYKY AWGN-KANAVASSA BINÄÄRINN SYNKRONINN IDONSIIRO KAISARAJOIAMAOMILLA MILIVALAISILLA PULSSIMUODOILLA SOVIU SUODAIN JA SN SUORIUSKYKY AWGN-KANAVASSA Millaiia aalomuooja perupuleja yypilliei käyeään? 536A ieoliikenneekniikka

Lisätiedot

ETERAN TyEL:n MUKAISEN VAKUUTUKSEN ERITYISPERUSTEET

ETERAN TyEL:n MUKAISEN VAKUUTUKSEN ERITYISPERUSTEET TRAN TyL:n MUKASN AKUUTUKSN RTYSPRUSTT Tässä peruseessa kaikki suuree koskea eraa, ellei oisin ole määriely. Tässä peruseessa käyey lyhenee: LL Lyhyaikaisissa yösuheissa oleien yönekijäin eläkelaki TaL

Lisätiedot

KULMAMODULOITUJEN SIGNAALIEN ILMAISU DISKRIMINAATTORILLA

KULMAMODULOITUJEN SIGNAALIEN ILMAISU DISKRIMINAATTORILLA 1 KULMMOULOITUJEN SIGNLIEN ILMISU ISKRIMINTTORILL Millaisia keinoja on PM & FM -ilmaisuun? 51357 Tieoliikenneekniikka I Osa 17 Kai Käkkäinen Kevä 015 ISKRIMINTTORIN TOIMINTKÄYRÄ J -YHTÄLÖ FM-signaalin

Lisätiedot

Tilausohjatun tuotannon karkeasuunnittelu. Tilausohjatun tuotannon karkeasuunnittelu

Tilausohjatun tuotannon karkeasuunnittelu. Tilausohjatun tuotannon karkeasuunnittelu Tilausohjaun uoannon areasuunnielu Tilausohjaussa uoannossa sarjojen muodosaminen ei yleensä ole relevani ongelma, osa uoevaihelu on suura, mä juuri onin peruse MTO-uoannolle Tuoe- ja valmisusraenee ova

Lisätiedot

YKSISIVUKAISTAMODULAATIO (SSB)

YKSISIVUKAISTAMODULAATIO (SSB) YKSISIVUKAISTAODULAATIO SSB ien kaisaa voi sääsää verrauna DSB- a A-modulaaioihin? ikä on Hilber-munnin? 5357A Tieoliikenneekniikka I Osa 9 Kari Kärkkäinen Kevä 05 YKSISIVUKAISTAODULAATION IDEA DSB & A-inormaaio

Lisätiedot

Ene-59.4130, Kuivatus- ja haihdutusprosessit teollisuudessa, Laskuharjoitus 5, syksy 2015

Ene-59.4130, Kuivatus- ja haihdutusprosessit teollisuudessa, Laskuharjoitus 5, syksy 2015 Ene-59.4130, Kuivaus- ja haihduusprosessi eollisuudessa, asuharjoius 5, sysy 2015 Tehävä 4 on ähiehävä Tehävä 1. eijuerrosilassa poleaan rinnain uora ja urvea. Kuoren oseus on 54% ja uiva-aineen ehollinen

Lisätiedot

Ratkaisut FYS02: Lämpö

Ratkaisut FYS02: Lämpö Rakaisu FYS0: Lämpö 6.4.007. Seliä lyhyesi seuraava käsiee. a) absluuinen nllapise ( p) b) höyrysymislämpö ( p) c) sisäenergia ( p) d) faasidiagrammi ( p) Rakaisu a) Kelvinaseikn peruspise, 0 K. Absluuinen

Lisätiedot

Lyhyiden ja pitkien korkojen tilastollinen vaihtelu

Lyhyiden ja pitkien korkojen tilastollinen vaihtelu Lyhyiden ja pikien korkojen ilasollinen vaihelu Tomi Pekka Juhani Marikainen Joensuun Yliopiso Maemaais-luonnonieeellinen iedekuna / Tieojenkäsielyieeen ja ilasoieeen laios / Tilasoiede Pro Gradu -ukielma

Lisätiedot

Luento 7 Järjestelmien ylläpito

Luento 7 Järjestelmien ylläpito Luno 7 Järjslmin ylläpio Ahi Salo Tknillinn korkakoulu PL, 5 TKK Järjslmin ylläpidosa Priaallisia vaihohoja Uusiminn rplacmn Ennalahkäisvä huolo mainnanc Korjaaminn rpair ❶ Uusiminn Vioiun komponni korvaaan

Lisätiedot

Piennopeuslaite FMH. Lapinleimu

Piennopeuslaite FMH. Lapinleimu Piennopeuslaie FMH Floormaser FMH on puolipyöreä uloilmalaie, joka on arkoieu käyeäväksi syrjäyävään ilmanjakoon Floormaser- järjeselmässä. KANSIO VÄLI 6 ESITE Lapinleimu.1.0 Floormaser Yleisä Floormaser

Lisätiedot

Kuntaeläkkeiden rahoitus ja kunnalliset palvelut

Kuntaeläkkeiden rahoitus ja kunnalliset palvelut Kunaeläkkeiden rahoius ja kunnallise palvelu I LA Rapori LA Repors 30.1.2013 No 4 Kunaeläkkeiden rahoius ja kunnallise palvelu Jukka Lassila * Niku Määänen ** armo Valkonen *** * LA linkeinoelämän ukimuslaios,

Lisätiedot

Kokonaishedelmällisyyden sekä hedelmällisyyden keski-iän vaihtelu Suomessa vuosina 1776 2005

Kokonaishedelmällisyyden sekä hedelmällisyyden keski-iän vaihtelu Suomessa vuosina 1776 2005 Kokonaishedelmällisyyden sekä hedelmällisyyden keski-iän vaihelu Suomessa vuosina 1776 2005 Heli Elina Haapalainen (157 095) 26.11.2007 Joensuun Yliopiso Maemaais- luonnonieeiden iedekuna Tieojenkäsielyieeen

Lisätiedot

VATT-KESKUSTELUALOITTEITA VATT DISCUSSION PAPERS. JULKISEN TALOUDEN PITKÄN AIKAVÄLIN LASKENTAMALLIT Katsaus kirjallisuuteen

VATT-KESKUSTELUALOITTEITA VATT DISCUSSION PAPERS. JULKISEN TALOUDEN PITKÄN AIKAVÄLIN LASKENTAMALLIT Katsaus kirjallisuuteen VATT-KESKUSTELUALOITTEITA VATT DISCUSSION PAPERS 445 JULKISEN TALOUDEN PITKÄN AIKAVÄLIN LASKENTAMALLIT Kasaus kirjallisuueen Juho Kosiainen Valion aloudellinen ukimuskeskus Governmen Insiue for Economic

Lisätiedot

3 SIGNAALIN SUODATUS 3.1 SYSTEEMIN VASTE AIKATASOSSA

3 SIGNAALIN SUODATUS 3.1 SYSTEEMIN VASTE AIKATASOSSA S I G N A A L I T E O R I A, O S A I I I TL98Z SIGNAALITEORIA, OSA III 44 3 Signaalin suodaus...44 3. Sysmin vas aikaasossa... 44 3. Kausaalisuus a sabiilisuus... 46 3.3 Vas aauusasossa... 46 3.4 Ampliudivas

Lisätiedot

OSINKOJEN JA PÄÄOMAVOITTOJEN VEROTUKSEN VAIKUTUKSET OSAKKEEN ARVOON

OSINKOJEN JA PÄÄOMAVOITTOJEN VEROTUKSEN VAIKUTUKSET OSAKKEEN ARVOON AMPN YLIOPISO Kauppaieeien laios OSINKOJN JA PÄÄOMAVOIOJN VOUKSN VAIKUUKS OSAKKN AVOON Laskenaoimi Seminaariukielma Helmikuu 2004 Ohjaaja: Ismo Vuorinen apani Höök 3 SISÄLLYS JOHDANO... 4. ukielman ausaa...4.2

Lisätiedot

Piennopeuslaite FMP. Lapinleimu

Piennopeuslaite FMP. Lapinleimu Piennopeuslaie FMP Floormaser FMP on lieä uloilmalaie, joka on arkoieu käyeäväksi syrjäyävään ilmanjakoon Floormaser-järjeselmässä. KANSIO 4 VÄLI 6 ESITE 6 Lapinleimu.1.00 Floormaser Yleisä Floormaser

Lisätiedot

Älä tee mitään merkintöjä kaavakokoelmaan!

Älä tee mitään merkintöjä kaavakokoelmaan! AS-74. Alogie ääö vkokoelm v. Plu ei jälkee! Trk kokoelm ivumäärä! Älä ee miää merkiöjä kvkokoelm! Dymie mllie perukompoei. Sähköie kompoei Vu (reii) u() Ri() el (iduki) u() L di() d odeori i() C du()

Lisätiedot

Öljyn hinnan ja Yhdysvaltojen dollarin riippuvuussuhde

Öljyn hinnan ja Yhdysvaltojen dollarin riippuvuussuhde Öljyn hinnan ja Yhdysvalojen dollarin riippuvuussuhde Kansanalousiede Pro gradu -ukielma Talousieeiden laios Tampereen yliopiso Toukokuu 2010 Jari Hännikäinen TIIVISTLMÄ Tampereen yliopiso Talousieeiden

Lisätiedot

OPINTOJAKSO FYSIIKKA 1 OV OPINTOKOKONAISUUTEEN FYSIIKKA JA KEMIA 2 OV. Isto Jokinen 2012. 1. Mekaniikka 2

OPINTOJAKSO FYSIIKKA 1 OV OPINTOKOKONAISUUTEEN FYSIIKKA JA KEMIA 2 OV. Isto Jokinen 2012. 1. Mekaniikka 2 OPINTOJAKSO FYSIIKKA 1 OV OPINTOKOKONAISUUTEEN FYSIIKKA JA KEMIA OV Io Jokinen 01 SISÄLTÖ SIVU 1. Mekaniikka Nopeu Kekinopeu Kehänopeu 3 Kiihyvyy 3 Puoamikiihyvyy 4 Voima 5 Kika 6 Työ 7 Teho 8 Paine 9

Lisätiedot

Seinämien risteyskohdat

Seinämien risteyskohdat CAE DS Painevalukappaleen suunnielu Sefan Fredriksson Seinämien riseyskohda Sefan Fredriksson SweCas Käännös: Pekka Savolainen ja Tuula Höök Tampereen eknillinen yliopiso Riseyskoha muodosuu kun kaksi

Lisätiedot

JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO Taloustieteiden tiedekunta TARJONTA SUOMEN ASUNTOMARKKINOILLA

JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO Taloustieteiden tiedekunta TARJONTA SUOMEN ASUNTOMARKKINOILLA JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO Talousieeiden iedekuna TARJONTA SUOMEN ASUNTOMARKKINOILLA Kansanalousiede Pro gradu -ukielma Helmikuu 2006 Laaia: Janne Lilavuori Ohaaa: Professori Kari Heimonen JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO

Lisätiedot

JLP:n käyttämättömät mahdollisuudet. Juha Lappi

JLP:n käyttämättömät mahdollisuudet. Juha Lappi JLP:n äyämäömä mahdollisuude Juha Lappi LP ehävä p z = a x + b z 0 Max or Min (.) 0 0 = = subjec o he following consrains: c a x + b z C, =,, q p q K r (.2) = = m n i ij K (.3) i= j= ij x xw= 0, =,, p

Lisätiedot

Tekes tänään (ja huomenna?) Pekka Kahri Palvelujohtaja, Tekes Fortune seminaari 21.8.2013

Tekes tänään (ja huomenna?) Pekka Kahri Palvelujohtaja, Tekes Fortune seminaari 21.8.2013 Tekes änään (ja huomenna?) Pekka Kahri Palvelujohaja, Tekes Forune seminaari 21.8.2013 Rahoiamme sellaisen innovaaioiden kehiämisä, joka ähäävä kasvun ja uuden liikeoiminnan luomiseen Yriysen kehiysprojeki

Lisätiedot

ÅLANDSBANKEN DEBENTUURILAINA 2/2010 LOPULLISET EHDOT

ÅLANDSBANKEN DEBENTUURILAINA 2/2010 LOPULLISET EHDOT ÅLANDSBANKEN DEBENTUURILAINA 2/200 LOPULLISET EHDOT Ålandsbanken Debenuurilaina 2/200 (ISIN: FI400003875) lopullise ehdo on 9. heinäkuua 200 vahviseu seuraavasi: - Lainan pääoma 9 980 000 euroa Maarianhamina

Lisätiedot

Lasin karkaisun laatuongelmat

Lasin karkaisun laatuongelmat Rakeneiden Mekaniikka Vol. 44, Nro, 11, s. 14-155 Lasin karkaisun laauongelma Ani Aronen Tiiviselmä. Karkaisula lasila vaadiaan hyvää lujuua sekä visuaalisa laaua. Näihin voidaan vaikuaa lasin karkaisuprosessin

Lisätiedot

Asuntojen huomiointi varallisuusportfolion valinnassa ja hinnoittelussa

Asuntojen huomiointi varallisuusportfolion valinnassa ja hinnoittelussa TAMPEREEN YLIOPISTO Johamiskorkeakoulu Asunojen huomioini varallisuusporfolion valinnassa ja hinnoielussa Kansanalousiede Pro gradu -ukielma Elokuu 2012 Ohjaaja: Hannu Laurila Tuomo Sola TIIVISTELMÄ Tampereen

Lisätiedot

S Ä H K Ö - J A T I E T O T E K N I I K A N O S A S T O

S Ä H K Ö - J A T I E T O T E K N I I K A N O S A S T O S Ä H K Ö J A T I E T O T E K N I I K A N O S A S T O 2.0.2007 Piirieria II (Graafise laskime salliuja). Laske kuvan piirille siirfunki U u (s)/u in (s) ja piirrä nllanapakara. Laske myös Laplacekääneismuunns

Lisätiedot

SÄHKÖN HINTA POHJOISMAISILLA SÄHKÖMARKKINOILLA

SÄHKÖN HINTA POHJOISMAISILLA SÄHKÖMARKKINOILLA TAMPEREEN YLIOPISTO Talousieeiden laios SÄHKÖN HINTA POHJOISMAISILLA SÄHKÖMARKKINOILLA Kansanalousiede Pro gradu -ukielma Tammikuu 2009 Ohjaaja: Hannu Laurila Tero Särkijärvi TIIVISTELMÄ Tampereen yliopiso

Lisätiedot

1. Matemaattinen heiluri, harmoninen värähtelijä Fysiikka IIZF2020

1. Matemaattinen heiluri, harmoninen värähtelijä Fysiikka IIZF2020 1. Maeaainen heiluri, haroninen värähelijä Fysiikka IIZF Juha Jokinen (Selosuksesa vasaava) Janne Kiviäki Ani Lahi Miauspäivä:..9 Laboraorioyön selosus 9..9 Pendulu is a ass hanging fro a pivo poin which

Lisätiedot

Tuotannon suhdannekuvaajan menetelmäkuvaus

Tuotannon suhdannekuvaajan menetelmäkuvaus 1(15) Tuoannon suhdannekuvaajan meneelmäkuvaus Luku 1 Luku 2 Luku 3 Luku 4 Tuoannon suhdannekuvaajan yleiskuvaus Tuoannon suhdannekuvaajan julkaisuaikaaulu, revisoinikäyännö ja jakelu Tuoannon suhdannekuvaajan

Lisätiedot

EDE Introduction to Finite Element Method

EDE Introduction to Finite Element Method Tampere Universiy of Technology EDE- Inroducion o Finie Elemen ehod.. Eercise 7 A We divide he srucure o hree beam elemens wih wo nodal degrees of freedom. The nodes, elemens and global degrees of freedom

Lisätiedot

TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio. Mat Systeemien Identifiointi. 4. harjoitus

TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio. Mat Systeemien Identifiointi. 4. harjoitus TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-2.4129 Systeemien Identifiointi 4. harjoitus 1. a) Laske valkoisen kohinan spektraalitiheys. b) Tarkastellaan ARMA-prosessia C(q 1 )y = D(q 1 )e,

Lisätiedot

Muuttuvan kokonaissensitiivisyyden mallinnus valvontaohjelman riskinarvioinnissa esimerkkinä munintaparvet

Muuttuvan kokonaissensitiivisyyden mallinnus valvontaohjelman riskinarvioinnissa esimerkkinä munintaparvet Muuuvan kokonaissnsiiivisyyn mallinnus valvonaohjlman riskinarvioinnissa simrkkinä muninaarv Tausa: Aimma salmonllarojki FooBUG rojki ja uusi malli muninaarvill 8. EFSA WG: salmonlla muninaarvissa. Samaa

Lisätiedot