X(t) = X 0 + tx 1 + t 2 X 2 + t 3 X ,

Transkriptio

1 Ma Mariisiksponnifunkio, KP3-II, syksy 2007 Pkka Alsalo Johdano. Tämä monis sisälää kurssilla arviava ido mariisiksponnifunkiosa. Mariisiksponnifunkio. Suraavassa A on raalinn n n-mariisi, jonka alkio ova vakioia. Tarkoiuksnamm on rakaisa alkuarvohävä y Ay, y(0) y 0. Tavallisn diffrniaaliyhälön y ay, y(0) y 0, rakaisu saadaan ksponnifunkion avulla muodossa y() y 0 a. Hrää kysymys, voiaisiinko myös dy-ryhmän y Ay rakaisu kirjoiaa suoraan muodossa y() X()y 0 sopivan ajasa riippuvan n n-mariisin X() avulla. Täsä olisi mm. s u, ä alkuarvohävän rakaisu saadaan samalla vaivalla kuin ylinn rakaisu. Sijoiaan ällainn yri yhälöön y Ay, jolloin saadaan X ()y 0 AX()y 0. Tämä ouuu, jos mariisill X() pä X () AX(). Alkuhdosa y(0) y 0 suraa lisäksi, ä X(0) I yksikkömariisi. Yhälön X () AX() ouavaan mariisiin X voidaan pääyä monlla ri avalla. Eräs mahdollisuus on siä mariisia X ponssisarjan avulla: kirjoiaan (formaalisi li ilman huola suppnmissa) X() X 0 + X X X , missä n n-mariisi X 0, X 1,... ivä riipu ajasa. Koska X(0) I, äyyy olla X 0 I. Lisäksi X () X 1 + 2X X , jon sijoiamalla yhälöön X () AX() saadaan X () X 1 + 2X X 3 + A(I + X X X ) A + AX X Vraamalla lauskkidn n (mariisi)kroimia, nähdään ä X 1 A, 2X 2 AX 1, 3X 3 AX 2 jn. Rakaismalla saadaan siis X 1 A, X A2, X 3 1 3! A3 jn. Mariisin X() äyyy siis olla muooa X() I + A (A) ! (A) Koska yhys avallisn ksponnifunkion sarjakhilmään on slvä, asaan suraava määrilmä. Määrilmä 1. Olkoon B n n-mariisi. Mariisiksponnifunkio B määrillään sarjakhilmällä B I + B B ! B Ensimmäinn onglma on s, miä ämä sarjakhilmä arkoiaa. Jos khilmä kakaisaan (k + 1). rmin jälkn saadaan lausk I + B B ! B k! Bk,

2 joka on määrily kaikill nliömariisill B. Sarjakhilmän suppnminn arkoiaa yksinkraissi siä, ä jokainn ylläolvan mariisin alkio lähsyy iyä lukua, kun k. Voidaan osoiaa, ä näin odlla käy kaikill nliömariisill, ja sin B on hyvin määrily n n-mariisi. Suraava mariisiksponnifunkion ominaisuud saadaan mlko suoraan määrilmäsä: O I, jos O on nollamariisi I I, sillä I n I kaikilla n jos D on lävisäjämariisi diag([λ 1,..., λ n ), niin D diag([ λ 1,..., λn ). Syy: D k diag([λ k 1,..., λ k n) d d A A A A A (johdiin alussa!) A+B A B, jos AB BA, mua i ylnsä muulloin. ( A ) 1 A aina, ( B ) T BT alkuarvohävän y Ay, y(0) y 0, rakaisu on muooa y() A y 0 diffrniaaliyhälöryhmän y Ay ylinn rakaisu on muooa y() A c, missä c [c 1,..., c n T on vapaisa paramrisa c 1,..., c n muodosu vkori Min A käyännössä laskaan? Diagonalisoiuva mariisi: Hlpoin apaus on jälln diagonalisoiuva mariisi. Jos A XDX 1, missä A:n ominaisarvo ova mariisin D lävisäjällä ja ominaisvkori mariisin X sarakkina, niin nsinnäkin A k (XDX 1 )(XDX 1 )... (XDX 1 )(XDX 1 ) XD k X 1, sillä välissä olva rmi X 1 X supisuva pois! Tämän pruslla A I + A A 2 + X(I + D D )X 1 X D X 1. Ny D diag([ λ1,..., λn ) ja vasaus saadaan kromalla nämä kolm mariisia ksknään. Eriyissi on huomaava, ä vaikka A:n ominaisarvo ja -vkori olisiva komplksisia, niin loppuulos on ällöinkin raalinn, koska kaikki sarjakhilmän ponssi A k ova [ raalisia mariisja! Esimrkki 2. Olkoon A. Tällöin A XDX 0 2 1, missä Ny X 1 [ 1 1, jon A D [ ja X [ [ [ [. [

3 [ 1 3 Esimrkki 3. Olkoon A. Tällöin ominaisarvo ova 1 ± 3i ja niiä 3 1 vasaava ominaisvkori x 1 [1, i T ja x 2 [1, i T. Edlln on voimassa A XDX 1, jossa [ [ 1 + 3i 0 D ja X. 3i i i [ 1/2 i/2 Ny X 1 ja siis 1/2 i/2 [ [ [ A (1+3i) /2 i/2 i i 0 (1 3i) 1/2 i/2 [ 1 2 (1+3i) + 1 i (1 3i) 2 2 (1+3i) + i 2 (1 3i) i 2 (1+3i) + i 2 (1 3i) 1 2 (1+3i) (1 3i) [ cos(3) sin(3) sin(3) cos(3) sivnnysn jälkn. Kun huomaamm, laskujn välivaih saaava näyää himan hankalila, mua una on joka apauksssa s, ä alkuarvohävin rakaisu saadaan hi. Esimrkki 4. Rakais dllisiin mariisihin liiyvä alkuarvohävä y Ay, y(0) [1, 2 T. Esimrkissä 2 rakaisu on [ [ y() A y(0) li y 1 () 2 2 ja y 2 () 2 2. Esimrkissä 3 rakaisu on muooa [ [ y() cos(3) sin(3) 1 sin(3) cos(3) 2 [ , [ cos(3) + 2 sin(3) 2 cos(3), sin(3) li y 1 () cos(3) + 2 sin(3) ja y 2 () 2 cos(3) sin(3). Mariisi, joka ivä diagonalisoidu: Kaikki mariisi ivä kuinkaan ol diagonalisoiuvia, ja niidn kohdalla [ on mnlävä oislla avalla. Esimrkki ällaissa mariisisa on A, jolla on kaksinkrainn ominaisar- [ vo λ 1 [ λ 2 [ 1. Kun yriämm laska ominaisvkoria, saamm yhälöparin x1 0, josa i millään avalla saada kaha LRT ominaisvkoria. 0 0 x 2 0 Tällaisill mariisill A on[ laskava jollakin muulla avalla, ja simrkiksi 1 k yllä olvall mariisill on A k, jon A [ [ [ + 1 [ [ 1 3 3! [ 0.

4 Alkuarvohävän y Ay, y(0) [1, 2 T rakaisu on ässä apauksssa [ [ [ y() Huom. Toinn apa laska A yllä olvassa simrkissä on kirjoiaa A I + B ja käyää kaavaa A I B, joka on voimassa yhälön IB BI pruslla. Lisäksi B on hlppo laska suoraan määrilmäsä, koska B 2 O. Ylinn apaus voidaan slviää priaassa samalla avalla, mua diagonalisoinnin sijasa on käyävä ns. Jordan-hajolmaa. Yllä olva simrkki liiyykin yksinkraisimman Jordan-lohkon mariisiksponnifunkion laskmisn, ja vasaava pääly ylisyy suurmmill mariisill. Malabin avulla mariisiksponnifunkio A saadaan kmällä nsin :sää symbolinn muuuja käskyllä syms ja kirjoiamalla sin xpm(a*). Epähomognisn yhälöryhmän rakaisminn. Suraavassa siään, kuinka myös pähomogninn diffrniaaliyhälöryhmä y Ay + g() voidaan rakaisa mariisiksponnifunkion avulla. Tässä A on n n-vakiomariisi ja g() [g 1 (),..., g n () T on pysyvkori. Kirjoiaan yhälö aluksi muooon y Ay g() ja krroaan sn jälkn molmma puol vasmmala mariisilla A, jolloin saadaan yhälö A y A Ay A g(). Koska mariisill on voimassa ulon drivoimissäänö (XY ) X Y + XY (syy: (XY ) ij k x iky kj, misä väi suraa avallisn ulon drivoimissäännön avulla), niin yhälö ul muooon d d ( A y) A g(). Mariisja drivoidaan alkio krrallaan, jon niiä voidaan myös ingroida alkioiain. Näin olln saamm A y A g() d + c, missä ingroini kohdisuu riksn pysyvkorin A g() jokaisn komponniin ja c [c 1,..., c n T on ingroimisvakioisa koosuva pysyvkori. Mariisin A käänismariisi on A, jon rakaisuksi saadaan y() A A g() d + A c. Tässä rmi A c on vasaavan homogniyhälön ylinn rakaisu ja lausk A A g() d on puolsaan alkupräisn yhälön yksiäisrakaisu. Mariisiksponnifunkion avulla yksiäisrakaisull saadaan siis ksplisiiinn lausk. Ylnsä saaaa kuinkin olla hlpompi haka yksiäisrakaisua sopivan yrin avulla, sillä yo. kaava johaa usin osiaisingroinihin. Jos haluaan rakaisa yhälöryhmään y Ay + g() liiyvä alkuarvohävä y(0) y 0, niin voidaan käyää määräyä ingraalia välillä [0,. Koska 0 d ds ( sa y(s)) ds A y() O y(0) A y() y 0,

5 niin alkuarvohävän rakaisuksi saadaan y() A y 0 + A sa g(s) ds. Esimrkki 5. Rakaisaan ryhmä y Ay + g(), missä A on simrkin 2 mariisi ja g() [1, T. Aikaismmin laskiin [ A 2 0 2, jon Tällöin jon [ A ( )A [ [ A g() A g() d 0 [ (2 1) d d Ryhmän yksiäisrakaisu on siis muooa [ [ y 0 () A A g() d [ 2 1, [ 2. jonka avulla ylisksi rakaisuksi saadaan { y 1 () (c 1 c 2 ) + c y 2 () c 2 2. [ 1 Vasaavalla avalla saadaan simrkiksi alkuarvohävän y(0) [1, 2 T rakaisuksi [ [ [ [ y() [ (2 s 1) ds s ds Sabiilisuus. Mariisiksponnifunkion avulla voidaan ukia myös asapainorakaisujn sabiilisuua ja yyppiä. Diagonalisoiuvill mariisill A X D X 1, jon yyppi ja sabiilisuus slviävä suoraan lävisäjämariisin D käyäyymisä ukimalla.,