Luento 7 Vikaantumisprosessit ja käytettävyys

Transkriptio

1 Aalo-yliopison prusiidn korkakoulu Mamaiikan ja sysmianalyysin laios Luno 7 Vikaanumisprosssi ja käyävyys Ahi alo ysmianalyysin laboraorio Mamaiikan ja sysmianalyysin laios Aalo-yliopison prusiidn korkakoulu PL, 76 Aalo ahi.salo@aalo.fi

2 Aalo-yliopison prusiidn korkakoulu Mamaiikan ja sysmianalyysin laios Komponnin linikä Komponnin linikää kuvaaan saunnaismuuujalla T ihysfunkio f, krymäfunkio F Eloonjäämisfunkio survivor funcion on s n, ä komponni oimii ainakin ajanhkn asi, s. Huomioia Ylnsä olaan, ä komponni on oiminakunoinn arkaslujakson alussa Jakuvill n-jakaumill pä T T a P T Edlln, P T PT F lim lim F F lim F T T a Ehdollinn loonjäämisfunkio on n sill, ä järjslmä oimii ainakin hkn asi hdolla, ä s on oiminu hkn a asi so. a P T a T P T a P T P T a, a a M-E27 Riskianalyysi / Ahi alo 2

3 Aalo-yliopison prusiidn korkakoulu Mamaiikan ja sysmianalyysin laios Esimrkkjä loonjäämisfunkioisa uraavisa loonjäämisfunkio on parmpi, koska 2 Ehdollis loonjäämisfunkio Esim. hnkivakuuusn myynihdo voidaan hdollisaa sill, minkä ikäinn vakuuava hnkilö on M-E27 Riskianalyysi / Ahi alo 3

4 Aalo-yliopison prusiidn korkakoulu Mamaiikan ja sysmianalyysin laios Riskiaajuusfunkio Riskiaajuusfunkio hazard funcion kroo, min alis hkn asi oiminu komponni on vikaanumaan hkllä ovllaan raja-arvolasknaa P T T Kskimääräinn vikaanumisn lvyisllä inrvallilla Hkllisksi vikaanumisaajuudksi saadaan h lim Todnnäköisyysulkina: millä n:llä komponni vikaanuu suraavan piuisna jaksona? Huom! Myös rmiä vioiuvuusfunkio käyään samassa mrkiyksssä P T P T ' f h P T T M-E27 Riskianalyysi / Ahi alo 4

5 Aalo-yliopison prusiidn korkakoulu Mamaiikan ja sysmianalyysin laios 5 M-E27 Riskianalyysi / Ahi alo Muia funkioia Kumulaiivinn riskiaajuusfunkio aadaan siis H kasvava ja H = Jäljllä olva linikäodo Lasknaa varn arviaan hdollinn n-jakauma Tällöin d h H ln ln ln ' d d h H T E T L f f T T, lim lim H d f d f T E T L

6 Aalo-yliopison prusiidn korkakoulu Mamaiikan ja sysmianalyysin laios Funkioisa oisn siirymis M-E27 Riskianalyysi / Ahi alo 6

7 Aalo-yliopison prusiidn korkakoulu Mamaiikan ja sysmianalyysin laios 7 M-E27 Riskianalyysi / Ahi alo Eksponnijakauma /2 Elinikäfunkio Eksponnijakauma on muision L f h F d d d F f [ ] [ ] [ ] -λh+ -λ -λh P T h+ h+ P T - h T h = = P T h h = = = = P T

8 Aalo-yliopison prusiidn korkakoulu Mamaiikan ja sysmianalyysin laios Elinikäodo Elinikäodo on vakio Laus. Eksponnijakauma on ainoa muision jakuva jakauma Tod. L E T d Muisiomuus arkoiaa siä, ä,h > pä Tällöin kokonaisluvuill m,n pä d m n L +h = h m n m 2 n n n n n m M-E27 Riskianalyysi / Ahi alo 8

9 Aalo-yliopison prusiidn korkakoulu Mamaiikan ja sysmianalyysin laios Tod. jakoa Kun m=n, niin saadaan ijoiaan ämä dllisn Eloonjäämisfunkio jakuva, jon suhd m/n voidaan korvaa :llä Koska niin on olmassa > s.. On siis saau n n m n m.o.. mikä olikin odisava n m n jalim, n M-E27 Riskianalyysi / Ahi alo 9

10 Aalo-yliopison prusiidn korkakoulu Mamaiikan ja sysmianalyysin laios Järjslmin ylläpidosa Priaallisia vaihohoja Uusiminn rplacmn Ennalahkäisvä huolo mainnanc Korjaaminn rpair Uusiminn Vioiun komponni korvaaan uusilla Myös muia komponnja voidaan uusia» Uusiminn hdään jonkin poliiikan mukaissi ks. suraava kalvo Ennalahkäisvä huolo Huollolla pyriään sämään vikaanumis» Esim. lnokonn huolo vikaanumisia i halua Huollon yhydssä vikaanun komponni korjaaan ai uusiaan» Vr. auon huolo jarrupala jn. Kysymyksiä» Min usin huollo piäisi hdä? missä laajuudssa? Korjaaminn Järjslmä korjaaan vain sn vikaanussa» Esim. salliii nnalahkäisvä huolo liian kallisa Kysymyksiä» Ikäänyvissä järjslmissä usin nmmän vikoja missä vaihssa korjaaminn i nää kannaa? M-E27 Riskianalyysi / Ahi alo

11 Aalo-yliopison prusiidn korkakoulu Mamaiikan ja sysmianalyysin laios Järjslmin korjaaminn Komponnin uusiminn Kun komponni vikaanuu, s vaihdaan uun» Esimrkiksi lamppujn vaiho Kysymyksiä» Monako komponnia piäisi olla varasossa, joa varasoimisn ja vikaanumishäiriöidn yhnlasku kusannuks minimoiuva?» Onko vikaanun komponni pakko uusia hi?» Minkä poliiikan mukaan komponni piäisi uusia? Uusimispoliiikkoja Vikaanumisprusainn failur rplacmn:» Kukin komponni uusiaan vain sn vikaanussa Ikäänymisprusainn ag rplacmn» Kukin komponni uusiaan, kun s vikaanuu ai sn käyöikä saavuaa asun uusimisvälin c kumpi näisä sin ouuukin komponnin kohdalla nsiksi Eräprusainn block rplacmn» Komponni uusiaan, kun s vikaanuu ai ullaan uusimisajankohaan c,2c,3c..., jolloin kaikki komponni uusiaan» Voidaan jouua uusimaan sllaisiakin komponnja, joka ova oimivia ja joka ova oll oiminnassa vain vähän aikaa M-E27 Riskianalyysi / Ahi alo

12 Aalo-yliopison prusiidn korkakoulu Mamaiikan ja sysmianalyysin laios Uusimispoliiikkojn vrailua Huomioia c Kun, ikäänymis- ja räprusainn uusiminn lähsyvä vikaanumisprusaisa Ikäänymisprusaisssa uusimisssa arviaan odousarvoissi nmmän komponnja kuin vikaanumisprusaisssa» Näin siksi, ä uusiaan myös komponnja, joka saavuava uusimisvälinsä oiminakunnossa Eräprusaisssa arviaan odousarvoissi nmmän komponnja kuin ikäänymisprusaisssa» Näin siksi, ä uusiaan myös komponnja, joka ova oimivia ja joka ivä ol vilä oll oiminnassa koko uusimisväliä Pä siis n f na nb, n, n, n missä f a b ova hkn mnnssä arviavin uusin komponnin lkm: vikaanumis-, ikäänymis- ja räprusaisssa uusimisssa M-E27 Riskianalyysi / Ahi alo 2

13 Aalo-yliopison prusiidn korkakoulu Mamaiikan ja sysmianalyysin laios Vikaanumisalius Komponnin vikaanuminn Jos vikaaajuusfunkio h on kasvava, niin vikaanumisn kasvaa ajan myöä war-ou» Tyypillinn ilann, kun via aihuuva kulumissa Jos vikaaajuusfunkio h on vähnvä, niin vikaanumisn pinn ajan myöä burn-in» Voi olla ilann uudn järjslmän käyöönoossa, kys simrkiksi alkuvaihn lasnaudisa, joidn jälkn järjslmä oimii parmmin Molmpia apauksia varn arviaan linikämallja, joissa vikaaajuus i ol vakio Usimmin i-vakioisia vikaaajuusfunkioia mallinnaan Wibull- ja gammajakaumilla Käyöarkoiuksia Yksiäisn komponnin riskianalyysi Pisprosssi, joissa komponnja uusiaan» Komponnin vikaanumisajankohaa kuvaa saunnaismuuuja T» Korjaamisn ja uusimisn kuluva aika voidaan olaan mrkiyksömäksi, jos kukin komponni saadaan uudnvroisksi viivä joko uusimalla ai korjaamalla M-E27 Riskianalyysi / Ahi alo 3

14 Aalo-yliopison prusiidn korkakoulu Mamaiikan ja sysmianalyysin laios Wibull-jakauma /3 Ominaisuuksia ovluu sllaisn prosssin mallinamisn, jossa vikaanumisn muuuu ajan myöä Elinikää kuvaava funkio H -muooparamri määriää jakauman muodon» < vikaaajuusfunkio vähnvä» = vikaaajuusfunkio vakio s. ksponnijakauma Wibullin rikoisapaus» > vikaaajuusfunkio kasvava Pä f h E[ T r ] r r r,, Ts. odousarvo- ja muu momni saadaan gammafunkiosa, joka on aulukoiu Elinikäodo i siävissä suljussa muodossa L M-E27 Riskianalyysi / Ahi alo 4

15 Aalo-yliopison prusiidn korkakoulu Mamaiikan ja sysmianalyysin laios Wibull-jakauma 2/3 M-E27 Riskianalyysi / Ahi alo 5

16 Aalo-yliopison prusiidn korkakoulu Mamaiikan ja sysmianalyysin laios Wibull-jakauma 3/3 Esim. virakykimn oimina Toimina-aika noudaaa Wibull-jakaumaa paramrin =.4 vrk - ja =.28. Min kauan kykin odousarvoissi ksää? Millä n:llä s ksää vähinään 5 vrk:a? Enä vähinään vilä 5 vrk:ä, jos s on oiminu 2 vrk:a? Rakaisu Odousarvo saadaan kaavasa E[ T] Tn sill, ä kykin ksää vähinään 5 vrk:a saadaan loonjäämisfunkiosa 5 Ehdollinn n sill, ä kykin oimii vähinään vrk:a, jos s on jo oiminu 2 vrk:a misä saadaan Tämä n pinmpi kuin, syynä kasvava vikaaajuusfunkio =.28 > T T, T T 2 M-E27 Riskianalyysi / Ahi alo 6

17 Aalo-yliopison prusiidn korkakoulu Mamaiikan ja sysmianalyysin laios 7 M-E27 Riskianalyysi / Ahi alo Gammajakauma /2 Elinikäfunkio = anaa rikoisapauksna ksponnijakauman Eloonjäämisfunkio i siävissä suljussa muodossa» ama kosk myös kumulaiivisa riskiaajuusfunkioa ja jäljllä olvaa linikä-odoa» Mm. näisä syisä Wibullin jakauma on käyännössä ylismpi kuin Gamma-jakauma Erlangin jakauma Jos T,T 2,..., T n ova oisisaan riippumaomia ksponnijakauunia saunnaismuuujia paramrilla, niin noudaaa Erlangin jakaumaa = gammajakauma, missä =n r r x r T E dx x d F f 2 ] [ H L n i i T n k k n k n f!!

18 Aalo-yliopison prusiidn korkakoulu Mamaiikan ja sysmianalyysin laios Gammajakauma 2/2 Esim. urvallisuuskriiinn varusaminn Luoaimn visinäjärjsjslmän komponnin on oimiava avaruudssa v kuluua vähinään odnnäköisyydllä 99,99%. Monako varakomponnia on oava mukaan, jos komponnin vikaanumisaajuus on =.25/v? Rakaisu Erlangin jakauman pruslla n:s komponnisa muodosuva järjslmä oimii v:n pääsä n:llä n k n k k! 99,987% 99,999% Koska ja niin olava ainakin 4 komponia li 3 varall M-E27 Riskianalyysi 3/ Ahi alo 4 8

19 Aalo-yliopison prusiidn korkakoulu Mamaiikan ja sysmianalyysin laios Vikaanumisn lukumäärä Noaaioa Järjslmä oaa käyöön ajanhkllä T Komponni vikaanuu hkllä T ja s joko korjaaan ai korvaaan uudlla viipymää Tämä korjau/korvau komponni vikaanuu hkllä T 2, jolloin sill hdään samoin Näin mnlln hkn mnnssä arviaan komponnja Lasknaprosssin ominaisuuksia N on i-vähnvä N max k T k Jos < 2, niin on aikavälin, 2 ] kulussa vikaanunidn komponnin lukumäärä Prosssilla on riippumaoma lisäyks, jos minkä ahansa kahdn oisiaan likkaamaoman aikavälin, 2 ] ja 3, 4 ] aikana apahunidn vikaanumisn lukumäärä ova oisisaan riippumaomia Prosssi on saionaarinn saionary, jos minkä ahansa aikavälin kulussa vikaanunidn komponnin lukumäärä riippuu vain aikavälin piuudsa Uusiuumisprosssissa rnwal procss vikaanumisapahumin välis aja ova oisisaan riippumaomia ja idnissi jakauunia N 2 N M-E27 Riskianalyysi / Ahi alo 9

20 Aalo-yliopison prusiidn korkakoulu Mamaiikan ja sysmianalyysin laios M-E27 Riskianalyysi / Ahi alo 2

21 Aalo-yliopison prusiidn korkakoulu Mamaiikan ja sysmianalyysin laios Homogninn Poisson-prosssi Poisson-prosssi paramrilla ouaa suraava hdo Alussa hkllä vikaanumisn lkm N = Toisiaan likkaamaomin aikavälin aikana apahunidn vikaanumisn lukumäärä ova riippumaomia Minkä ahansa :n lvyisn aikavälin aikana vikaanumisn lkm on Poisson-jakauunu paramrilla sin, ä P N missä Esim. Tarkasllaan dllisä avaruusluoaina. Mikä on odnnäköisyys sill, ä 7 vuodn pääsä vikaanunia komponnja on asan 2? jon 2 N n,,2, Rakaisu n Ny PN n n! P n n 2 n!.257 2!.25 7 N7 2.23% 2 2 M-E27 Riskianalyysi / Ahi alo 2

22 Aalo-yliopison prusiidn korkakoulu Mamaiikan ja sysmianalyysin laios Ei-homogninn Poisson-prosssi Ominaisuuksia Vikaanumis ivä apahdu vakioaajuudlla, vaan niiä apahuu aikariippuvan funkion mukaissi; ää kusuaan innsiifunkioksi Kunnolaan huononva paranva järjslmä mallinnaan kasvavalla vähnvällä :llä Hkn mnnssä ilmnnidn vikaapahumin odousarvoinn lkm saadaan kumulaiivissa innsiifunkiosa d Tasan n komponnia vikaanuu aikavälillä a, b] odnnäköisyydllä n P d n! b a b a d N b N a n Huomioia Ensimmäisn komponnin vikaanumisn kuluva odousarvoinn aika sama kuin yksiäisn komponnin vikaaajuusfunkiolla n sijaan myöhmmä vikaanumis riippuva innsiifunkiosa komponnin myöhmmä vikaanumisväli riippuva siiä, milloin aimma vikaanumis ova apahun Ei siis nää kys uusiuumisprosssisa! M-E27 Riskianalyysi / Ahi alo 22

23 Aalo-yliopison prusiidn korkakoulu Mamaiikan ja sysmianalyysin laios Ei-homogninn Poisson-prosssi Esimrkki virakykin Olkoon innsiifunkio Rakaisu Ny paramrin =.4 ja =.28 so. sama kuin Wibull-jakauman vikaaajuusfunkio kalvolla 6. Millä odnnäköisyydllä ämän innsiin mukaissi huononuvassa järjslmässä komponni vikaanuu kolm kraa vrk:n kulussa? Tän P N, d % d 3! [.4 d.28 ] M-E27 Riskianalyysi / Ahi alo 23

24 Aalo-yliopison prusiidn korkakoulu Mamaiikan ja sysmianalyysin laios Korjauks ja käyävyys Järjslmin korjaamissa Tsaamisn, korjaamisn ja uusimisn mn usin aikaa, miä pisprosssikuvaus i oa huomioon Mrkiään X i :llä i:nn vikaanumisn ja R i :llä i:nn korjaamisn kuluvaa aikaa Järjslmän ila riippuu ny siiä, min kauan vikaanumisn ja korjaamisn kuluu aikaa Mrkiään järjslmän ilaa muuujalla järjslmä oimii hkllä, X, järjslmä i oimi hkllä Käyävyys availabiliy, A Tarkoiaa odnnäköisyyä, jolla järjslmä on oiminakunoinn jonakin ajankohana ai aikavälinä Lähsyy ajan kulussa vakioraja-arvoa, kun X i :n ja R i :n jakauma pysyvä samoina Voidaan käsinä äsmnää ri avoin M-E27 Riskianalyysi / Ahi alo 24

25 Aalo-yliopison prusiidn korkakoulu Mamaiikan ja sysmianalyysin laios Käyävyys Hkiäinn käyävyys Engl. poin availabiliy A P X E[ X ], ama kuin loonjäämisfunkio komponnill, joa i voida korjaa Raja-arvoinn käyävyys Engl. limiing availabiliy A lim A Min ison osan ajasa järjslmä oimii pikässä juoksussa? Kskimääräinn käyävyys välillä,c] Engl. avrag availabiliy c A c A d, c c Min ison osan aikavälisä,c] järjslmä oimii odousarvoissi? Raja-arvoinn kskim. käyävyys Engl. limiing avrag availabiliy A lim A c Min suurn osan ajasa ylipääään järjslmä oimii? M-E27 Riskianalyysi / Ahi alo 25

26 Aalo-yliopison prusiidn korkakoulu Mamaiikan ja sysmianalyysin laios Käyävyydn määriäminn Lähökohia Olaan, ä X i ja R i i=,2,... ova oisisaan riippumaomia ksponnijakauunia saunnaismuuujia paramrin ja Aikavälin, +] pääyssä järjslmä oimii, jos s oimi hkllä ikä hajonnu nnn +:ä, ai s i oiminu hkllä, mua korjaiin nnn +:ä aadaan siis A Kun, niin A A A A A' A A A, M-E27 Riskianalyysi / Ahi alo 26

27 Aalo-yliopison prusiidn korkakoulu Mamaiikan ja sysmianalyysin laios Käyävyys ja vikaanumisaja Kskimääräinn käyävyys c A c d c c c c Vain nsimmäinn rmi jää jäljll, kun 2 2 c Raja-arvoja Raja-arvoinn käyävyys siis A lim A Koska kskimääräinn vikaanumisaika MTTF = / man im o failur ja korjausaika MTTR = / man im o rpair, niin kromalla yllä osoiaja ä nimiäjä rmillä / saadaan A MTTF MTTF Raja-arvoinn käyävyys riippuu siiä, min nopasi järjslmä saadaan korjaua suhssa siihn, min nopasi s vikaanuu Tämä pä myös, kun korjausaika oisin jakauunu sim. korjaus ksolaan vakiopiuinn M-E27 Riskianalyysi / Ahi alo MTTR 27

28 Aalo-yliopison prusiidn korkakoulu Mamaiikan ja sysmianalyysin laios Esimrkkjä käyävyydsä /2 Esim. uusiuumisprosssi Olaan järjslmän vikaanuminn ja korjaaminn ksponnijakauuniksi. Kskimääräinn vikaanumisaika on unia ja korjausaika unia. Järjslmä on aluksi oiminakunnossa. Mikä on järjslmän» oiminaodnnäköisyys hkllä =?» raja-arvoinn käyävyys?» kskimääräinn käyävyys välillä,]? Rakaisu Ny =/MTTF =. ja =/MTTR=., jon.... A % Raja-arvoinn käyävyys saadaan, kun hkiäisssä käyävyydssä A. 99,%.. Kskimääräinn käyävyys. A. 99,63 %.. 2. M-E27 Riskianalyysi / Ahi alo 28

29 Aalo-yliopison prusiidn korkakoulu Mamaiikan ja sysmianalyysin laios Esimrkkjä käyävyydsä 2/2 Esim. laauohjlman suunnilu Laauohjlman avulla pyriään kaksinkraisamaan kskimääräinn vikaanumisaika skä puoliamaan kskimääräinn korjausaika. Jos nämä avoi saavuaan, mikä on laauohjlman vaikuus järjslmän käyävyyn? Rakaisu Ennn laauohjlmaa järjslmä on poissa käyösä ajan A Laauohjlman jälkn vasaava osuus ajasa on A 2 uhksi saadaan siis A A ½ Usin olnnaissi pinmpi kuin, jon aika, jona järjslmä i ol käyävissä, aln noin nljäsosaansa ½ 2 ½ ½ 2 ½ 4 M-E27 Riskianalyysi / Ahi alo 29