VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 17: Yhden vapausasteen pakkovärähtely, impulssikuormitus ja Duhamelin integraali

Transkriptio

1 7/ VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 7: Yhn vapausasn paovärähly, impulssiuormius ja Duhamlin ingraali IMPULSSIKUORMITUS Maanisn sysmiin ohisuva jasoon hrä on usin ajasa riippuva lyhyaiainn uormius. Ysinraisin ämän yyppinn uormius on impulsiivinn voima, jolla on hyvin suuri vaioarvo F hyvin lyhyn ajan. Dynamiiassa osoiaan, ä voiman F impulssi on sn aihuama sysmin liimäärän muuos. Kun x& ja x& 2 ova massan m nopu nnn impulsiivisn voiman vaiuusa ja sn jäln, on impulssin suuruus I F F m x& m x& () 2 Ylinn impulssiuormius aroiaa uvan uormiusilanna, jossa sysmiin vaiuaa hllä voima, jona impulssi on I F. Impulssin suuruull voiaan irjoiaa F() I F I lim F() (2) F Tarasllaan uvan 2 sysmin vasa, un siihn ohisuu hllä voima, jona impulssi on I F. Olaan, ä nnn impulssin vaiuusa sysmi on lvossa saaisssa asapainoasmassaan li x ( ) ja x &( ). Impulssin vaiuua sysmi saa aluilan x ( ) ja &( ), jossa siirymän jauvuun aia on x ( ) x Kuva. Impulssiuormius. ja aavan () pruslla x& ( ) / m. Vas on vaimnvaa ominaisvärählyä hn aluhojn muaissi. Kun vaimnnus on aliriiinn, on raaisu aiavälillä > sssion VMS9 aavojn (5) ja (6) pruslla m F() c x x() ζω Raaisua (3) sanoaan impulssivassi. Jos riyissi I F, on ysssä ysiöimpulssivas h() h() ζω (3) (4) Kuva 2. Sysmi. Kuvassa 3 on yypillinn ysiöimpulssivasn uvaaja.

2 7/2 h() Jos vaimnnusa i ol, on ζ ja ω ω, jolloin impulssivas ja ysiöimpulssivas ova x() (5) h() (6) Kuva 3. Ysiöimpulssivas. DUHAMELIN INTEGRAALI Käyämällä hyväsi impulssiuormiusa vasaavaa siirymävasa (3) voiaan hiää ylismpin uormiusfunioin äsilyyn sopiva analyyinn raaisumnlmä. Tää mnlmää sanoaan Duhamlin ingraalisi. Sn avulla on mahollisa löyää siirymävasn analyyinn raaisu monssa apausssa. Kovin muiain uormiusfunioin analyyisn äsilyyn i Duhamlin ingraali sovllu, sillä mamaais laus ulva liian hanalisi, mua numrinn raaisu on silloinin mahollinn. Duhamlin ingraali prusuu yhnlasupriaasn, jon mnlmää voiaan sovlaa vain linaarisill sysmill. Tarasllaan uvassa 2 siyä jousi-massavaimnnin sysmiä, joa on alusi lvossa asapainoasmassaan, unns siihn vaiuaa uvan 4 muainn uormiushrä. Kuormius voiaan ulia sarjasi prääisiä impulssiuormiusia, joisa uvassa on siy milivalaisa hä s vasaava impulssi F() I F(s)s (7) s I F(s) s Täsä aihuuu sysmiin siirymävas x (), joa saaaan aavasa (3) oamalla huomioon, ä impulssi vaiuaa hllä s. Kuva 4. Duhamlin ingraali. x() F(s)s ζω ( s ) ( s) (8) Siirymävas x () hllä saaaan lasmalla yhn nnn hä ullin impulssin vaiuus. Tämä mris siä, ä aavassa (8) ingroiaan muuujan s suhn välillä, jolloin siis on ingroiassa vaio. Näin saaaan siirymävasn lasmissi aliriiisn vaimnnusn apausssa Duhamlin ingraali ζω ( s ) x () F(s) ( s)s (9)

3 7/3 Jos vaimnnusa i ol, on ζ ja ω ω ja aava (9) ysinraisuu muooon x () F(s)( s)s () Kaavoja (9) ja () voiaan sovlaa siirymävasn lasnaan, jos sysmi on hllä lvossa asapainoasmassaan. Jos aluho x( ) ja x& ( ) ova nollasa poiava, on raaisussa muana myös näin aluhojn muainn ominaisvärähly. Tällöin on aavan (9) raaisuun lisäävä sssion VMS9 aavojn (5) ja (6) muainn rmi ja raaisuun () sssion VMS7 aavan (9) muainn rmi. ESIMERKKI VMS7E F F() Sovllaan Duhamlin ingraalia uvan 5 olmiopulssiuormiusa vasaavan siirymävasn lasnaan, un vaimnnusa i ol ja sysmin aluho ova nollia. Kuormiusfunion laus on Kuva 5. Kolmiopulssi. F () F / > Kaavasa () suraa vassi aiavälillä F x() F s( s )s F ωs( s )s ωscosωss cosω ωsss jolloin on sovllu ominaisulmaaajuun määrilmää ja sinin vähnnyslasuaavaa. Vasn x () lausssa olva ingraali voiaan lasa osiaisingroinnilla. Rajojn sijoiamisn jäln saaaan ulos ωscosωss cosω ω ω ωs ss cosω ω Kun ulos sijoiaan vasn x () laussn ja sivnnään, ul raaisusi x() F ω Aiavälill > saaaan vasaavasi

4 7/4 x () F s( s )s sillä F (), un >. Ingraali on rajaa luuun oamaa sama uin llä alussa. Vasn x () laussi ul F x() ( cosω ) cosω( cosω ) ω ω ω Tämä saaaan rigonomrian avulla muooon F x () cosω( ) ( ) > ω ω Alla on siy siirymävasn uvaaja, un sysmin paramrilla on arvo m 33g, 5N/m, F 5N ja s. Tällöin on ω 2,39ra/ s ja τ,5s, jon uormiuspulssin soaia 2 τ..2 Siirymävasn uvaaja.. x () Esimrisä näyy Duhamlin ingraalin hious. Mlo ysinraisisain uormiusmallisa suraava hanala lasu.

5 7/5 HARJOITUS VMS7H F() I I 2 Kuvan 2 sysmin paramri ova m 5g, 2N/ m ja c Ns /m. Sysmiin vaiuaa asi prääisä impulssiuormiusa, join impulssi ova I 2Ns ja I 2 Ns. Raais sysmin siirymin laus, un a), 5 τ ja b) τ, jossa τ on sysmin ominaisvärähysaia. Piirrä siirymin uvaaja ja si niin masimioha ja -arvo. Vas. a) max,76s xmax,85m b) max,39s xmax,228m Vihj: HARJOITUS VMS7H2 F() F Kuvan 2 sysmiin ohisuu ohisn uvan muainn asluormius. Raais sysmin siirymävasn x () laus Duhamlin ingraalia äyän, un aluho ova nollia. Piirrä siirymävasn uvaaja, un m 33g, 5N/ m, F 5N ja vaimnnussuh ζ on a), 2, b), ja c). Tarisa ulos liiioson avulla. Kuina suuria ova masimisiirymä vrrauna arvoon F /, joa on saaisn voiman F aihuama jousn piuunmuuos? F ζω ζω Vas. x() cosω ω a) x max, 527 b) x max, 729 c) 2 x max Vihj: Liiioso: Doumni las jousi-massa-vaimnnin-sysmin siirymän Duhamlin ingraalisa, un sysmiin vaiuaa uormius F().