Kohdassa on käytetty eksponentiaalijakauman kertymäfunktiota (P(t > T τ ) = 1 P(t T τ ). λe λτ e λ(t τ) e 3λT dτ.

Transkriptio

1 Autossa on 4 rengasta ja 1 vararengas (T i Exp(λ), [λ] = 1/km, i=1,...,5). Kulkeakseen auto tarvitsee 4 ehjää rengasta. Aluksi auto käyttää neljää alkuperäistä rengasta. Kun yksi näistä vikaantuu, vaihdetaan sen paikalle vararengas. Seuraavan renkaan vikaantuessa auto vikaantuu. Oletetaan, että rengas ei voi vikaantua ollessaan varalla ja että vaihto onnnistuu varmasti. Tapa 1: infinitesmaalinen todennäköisyys Autolla voidaan ajaa matka T viidellä eri tavalla: 1-4 : Rengas x {1,..,4} vikaantuu hetkellä τ [km]. Vaihtorengas ei vikaannu matkalla [τ,t]. Muut renkaat (3 kpl) eivät vikaannu matkalla [,T]. 5 : Yksikään neljästä renkaasta ei vikaannu matkalla [,T]. Nämä tavat ovat toisensa poissulkevia R(T) = R(1 )+R(2 )+R(3 )+R(4 )+R(5 ). Määritetään tapahtumien todennäköisyydet: 1. P(Rengas x vikaantuu hetkellä τ)= f(τ)dτ= λe λτ dτ (eksponentiaalijakauman tiheysfunktio) 2. P(Vararengas ei vikaannu matkan [τ,t] aikana)=e λ(t τ) (T τ) 3. P(Kolme muuta rengasta eivät vikaannu matkalla [,T])= 3 i=1 R i(t)=e 3λT Kohdassa on käytetty eksponentiaalijakauman kertymäfunktiota (P(t > T τ ) = 1 P(t T τ ). R(1 ) = R(2 ) = R(3 ) = R(4 ) = = = R(5 ) = λe λτ e λ(t τ) e 3λT dτ λe λt e 3λT dτ = λe 4λT dτ = λte 4λT 4 R i (T) = e 4λT i=1 R(T) = 4 λte 4λT +e 4λT = (1+4λT)e 4λT (yksittäisen renkaan odotettu elinikä on 1 km) tuottaa seuraavanlaisen kuvaa- Esim. λ = 1 jan: 1

2 R(t) Ajettuja km x 1 4 Tapa 2: Perinteinen todennäköisyyslasku Luotettavuuden laskeminen ilman infinitesmaalista todennäköisyyttä voidaan tehdä seuraavasti. Määritellään toisensa poissulkevat tapahtumat S = (T 1 > T)(T 2 > T)(T 3 > T)(T 4 > T) (yksikään rengas ei vikaannu T:hen mennessä) S 1 = (T 1 T)(T 1 +T 5 > T)(T 2 > T)(T 3 > T)(T 4 > T) (vain rengas 1 vikaantuu ennen T:tä, mutta vararengas kestää siitä hetkestä eteenpäin yli T:hen) S 2 = (T 2 T)(T 2 +T 5 > T)(T 1 > T)(T 3 > T)(T 4 > T) (kuten yllä renkaalle 2) S 3 = (T 3 T)(T 3 +T 5 > T)(T 1 > T)(T 2 > T)(T 4 > T) (kuten yllä renkaalle 3) S 4 = (T 4 T)(T 4 +T 5 > T)(T 1 > T)(T 2 > T)(T 3 > T) (kuten yllä renkaalle 4) Selvästi S = S + S 1 + S 2 + S 3 + S 4 + S 5 kuvaa kaikki tavat, jolla onnistutaan kulkea matka T. Koska tapahtumat ovat toisensa poissulkevat, pätee P(S) = P(S )+P(S 1 )+P(S 2 )+P(S 3 )+P(S 4 )+P(S 5 ). Koska vikaantumisajat ovat riippumattomat on P(S ) = e 4λT. Tapahtuman S 1 todennäköisyys on P(S 1 ) =P ( (T 1 T)(T 1 +T 5 > T)(T 2 > T)(T 3 > T)(T 4 > T) ) =P ( (T 1 T)(T 1 +T 5 > T) ) P(T 2 > T)P(T 3 > T)P(T 4 > T) =P ( (T 1 T)(T 1 +T 5 > T) ) e 3λT. Todennäköisyys P ( (T 1 T)(T 1 + T 5 > T) saadaan integroimalla satunnaismuuttujien T 1 ja T 5 yhteisjakauman tiheysfunktiota (koska toisistaan riippumattomat, on yhteisjakauman tiheysfunktio

3 tiheysfunktioiden tulo) niiden pisteiden yli, jotka toteuttavat tapahtuman edellyttämät ehdot: P ( (T 1 T)(T 1 +T 5 > T) ) = f(τ 1 )f(τ 5 )dτ 1 dτ 5 τ 1 = τ 5 =T τ 1 =λ 2 =λ 2 = λ τ 1 = / τ 1 = τ 1 = =λe λt =λte λt τ 5 =T τ 1 e λ(τ 1+τ 5 ) dτ 1 dτ 5 τ 5 =T τ 1 1 λ e λ(τ 1+τ 5 ) dτ 1 ( e λ(τ 1+T τ 1 ) dτ 1 Näin ollen P(S 1 ) = λte λt e 3λT = λte 4λT, ja koska komponentit identtiset, pätee P(S 1 ) = P(S 2 ) = P(S 3 ) = P(S 4 ). Luotettavuudeksi saadaan siis τ 1 = R(T) = P(S) = P(S )+4P(S 1 ) = e 4λT +4λTe 4λT = e 4λT (1+4λT). 2. (a) Kuvataan komponenttien vikaantumisaikoja eksponentiaalijakautuneilla satunnaismuuttujilla T A,...,T E ja järjestelmän vikaantumisaikaa satunnasmuuttujalla T S. Eksponentiaalijakautuneen satunnusamuuttujan tiheysfunktio on f(t) = λe λt,t >,f(t) =,t, missä λ > on vikaantumisintensiteetti. Osajärjestelmät 1 ja 2 ovat kumpikin kahden komponentin ns. stand-by rinnakkaisjärjestelmiä, jolloin ensimmäinen komponentti on käytössä vikaantumiseensa asti ja sen jälkeen toinen komponetti otetaan käyttöön ja se alkaa kulua. Kuvataan satunnaismuuttujilla T S1 ja T S2 osajärjestelmien S 1 ja S 2 vikaantumisaikoja. Selvästi T S1 = T A + T B, eli kahden toisistaan riippumattoman eksponentiaalijakautuneen muuttujan summa. Tällöin T S1 noudattaa Erlangin jakaumaa (luento 7), jolle: dτ 1 f S1 (t) = R S1 (t) = λ (n 1)! (λt)n 1 e λt n 1 k= (λt) k k! e λt, jossa n on parametrilla λ eksponentiaalijakautuneiden toisistaan riippumattomien satunnaismuuttujien lukumäärä.

4 Lasketaan osajärjestelmän 1 luotettavuus R S1 (t) 1 tunnin ajanjaksona: R S1 (1) = (.1 1)! = 2 e e (.1 1)1 e.1 1 1! Koska λ A = λ B = λ C = λ D, niin R S1 (t) = R S2 (t) (b) Olkoon komponentin E luotettavuus R E (t) = Pr(T E > t) ja koko järjestelmän luotettavuus ( R S (t) =1 (1 R S1 (t)) = S 1 vikaantumistn (1 R S2 (t)) = S 2 vikaantumistn } {{ } tn, että S 1 ja S 2 vikaantuvat (1 R S1 (t)) (1 R S2 (t)) (1 R E (t)) = tn, että S 1, S 2 ja E vikaantuvat + (1 R E (t)) E:n vikaantumistn Tällöin vaatimus, että komponentin E vikaantumistodennäköisyyden osuus koko järjestelmän vikaantumistodennäköisyydestä 1 h ajanjaksolla on oltava vähemmän kuin 1% voidaan ilmaista epäyhtälönä (luotettavuuksista jätetty argumentti t = 1 pois): 1 R E 1 R S <.1. Sijoittamalla R S :n lauseke voidaan ratkaista, että 1 R E <.1(1 R S1 ) (1 R S2 )+.1(1 R E ).1(1 R S1 ) (1 R S2 ) (1 R E ) R E > 1 (1 R S 1 ) (1 R S2 ) 9+(1 R S1 ) (1 R S2 ) = 9 R S1 R S2 R S1 R S2 +1 ja edelleen sijoittamalla R E :n lauseke saadaan, että 1 (1 e 1λ E ) > ) 9 R S1 R S2 R S1 R S2 +1 λ E < 1 ( ) 1 ln 9 R S1 R S2 R S1 R S2 +1 = 1 ( ) 1 ln 9 (2/e) 2 2 2/e Vikaantumistaajuuden on siis oltava alle λ E = /h..

5 Mean time to failure saadaan vikaantumisajan odotusarvosta. Koska vikaantumisajan ja luotettavuuden välillä on yhteys, voidaan MTTF laskea suoraan luotettavuusfunktion avulla: Jos F(t) on vikaantumisajan kertymäfuntio, saadaan vikaantumisajan tiheysfunktio kaavalla f(t) = df(t) = d dt dt (1 R(t)) = R (t), josta edelleen osittaisintegroimalla: MTTF = tf(t)dt = t ( R (t))dt = t ( R(t)) R(t)dt = R(t)dt, Määritetään ensin järjestelmän luotettavuusfunktio ja MTTF ilman linkkiä ja linkin kanssa: Ilman linkkiä Ylempi haara: R(t) u = R u = R 1 (R 2 +R 3 R 2 R 3 ). Alempi haara: R l = R 4 R 5. Systeemi: R s = R u +R l R u R l = R 4 R 5 +R 1 (R 2 +R 3 R 2 R 3 )(1 R 4 R 5 ) Kaikki komponentit ovat eksponentiaalijakautuneita, joten R i = e λt. R s = 3e 2λt e 3λt 2e 4λt +e 5λt. MTTF:n laskemista varten tarvitaan integrointikaavaa: Tällä saadaan koko järjestelmälle MTTF: Ce Dλt dt = Ce Dλt Dλ = C Dλ MTTF = 3 2λ 1 3λ 2 4λ + 1 5λ = 13 15λ Linkin kanssa Jaetaan luotettavuus kahteen toisensa poissulkevaan skenaarioon: komponentti 4 toimii ja komponentti 4 ei toimi. Tällöin luotettavuus voidaan laskea kaavalla R s = R 4 R s 4 +R 4R s 4. Laskettaessa Luotettavuutta R s 4 huomataan, että komponentti 1 on tarpeeton ja luotettavuusfunktio muodostuu komponentin 4 sarjaankytkennästä komponenttien 2,3 ja 5 muodostamaan rinnankytkentään. Termi R s 4 on yhtä kuin aiemmin laskettu R u, sillä tällöin vain ylempi haara on käytössä. Yhteensä saadaan: R s = R 4 (1 (1 R 2 )(1 R 3 )(1 R 5 ))+(1 R 4 )(R 1 (R 2 +R 3 R 2 R 3 )). Merkitään R i = R ja sievennetään: R s = R(1 (1 R) 3 )+(1 R)(R(R+R R 2 )) = R(1 (1 3R+3R 2 R 3 ))+(1 R)(2R 2 R 3 )) = 3R 2 3R 3 +R 4 +2R 2 R 3 2R 3 +R 4 = 5R 2 6R 3 +2R 4. R s = 5e 2λt 6e 3λt +2e 4λt MTTF = 5 2λ 6 3λ + 2 4λ = 1 λ.

6 Järjestelmän, jossa linkki toimii, keskimääräinen vikaantumisaika on 1/λ 13/15λ % suurempi. 4. MTTF = Mean time to failure MTTR = Mean time to repair MTTF Keskimääräinen käytettävyys, R = MTTF+MTTR (7. luento) Järjestelmä keskimäärin ei-käytettävissä: q = 1-R. Vikaantumistaajuuden ja MTTF:n yhteys: λ = 1 MTTF q = 1 1 λ = λ +MTTR 1 = Minimikatkosjoukot: C 1 = {A,C} C 3 = {A,E,D} C 2 = {B,D} C 4 = {B,E,C} q s P(C 1 )+P(C 2 )+P(C 3 )+P(C 4 ) = 2q 2 +2q 3 = 2 ( ) 2 +2 ( ) 3 =