Signaalit aika- ja taajuustasossa

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Signaalit aika- ja taajuustasossa"

Transkriptio

1 Sili lomuoo Sili ik- uussoss Alomuoo kuv sili käyäyymisä fukio li iksoss. Ylsä lomuoo rksll simrkiksi oskilloskoopi äyöllä. Siimuooi sili Asiφ Asiπf φ i Acosφ Acosπf φ muodos prus kikki sili uussisällö käsilyll, kosk mikä hs milivli sili void siää siimuoois sili summ. Siivärähly ho kskiyy yhdll uudll f. Värähly prussuurid välillä o yhyd f / πf kso piuus [s], f uus [Hz] kulmuus [rd] π/ Void osoi, ä mikä hs milivli ksolli sili void siää sopivsi vliu kosiisili summ. Jyrki Lii L53 Siliori S4

2 Sili ik- uussoss Ai i cosπf Φ i i A cosπf Φ A cosπf Φ A cosπf Φ L Summss rmi lukumäärä riippuu siäväsä silis siysrkkuuds. Summlusk sisälää kolm prmri, ok ov A i i: rmi mpliudi f i i: rmi uus Φ i i: rmi vih Jyrki Lii L53 Siliori S4

3 Sili ik- uussoss Esimrkki. Kosiisili mpliudi.5, uus Hz, ku vih ylmpi kuv vih -5π/4 lmpi kuv. /f.5 s Ampliudi - A [s] Vih -5pi/4.35 s viiv Ampliudi [s] Jyrki Lii L53 Siliori S4 3

4 Sili ik- uussoss Esimrkki. Summsili yli, ok muodosuu, ku kolm li sili lsk yh [s] Jyrki Lii L53 Siliori S4 4

5 Sili ik- uussoss Ku kikki sili sisälämä kosiikompoi siää uud fukio, sd sili siys uussoss. Ylsä ällöi rksll sili yli kuv mpliudi vih uud fukio, olloi puhu vsvsi mpliudi- kskimmäi kuv vihspkrisä li kuv. Ampliudi [s] Ampliudi.5 Vih [rd] f [Hz] f [Hz] Jyrki Lii L53 Siliori S4 5

6 Spkri uusvs Sili ik- uussoss Usi lomuoo kiiosvmpi oki sili uussisälö li spkri, ok o lomuodo mmi irlimuuos. Spkri muoo riippuu sili luos: Jksollis sili spkri sd lomuodo Fourir-srs s o luol diskri li koosuu rillisisä kompois, oid uud ov sili prusuud / moikro. Jksoom sili spkri sd Fourir-muuoks s o luol kuv. Liris ärslmi uuskäyäyymi määriää ärslmä impulssivss, li lomuodos, ok ärslmä uo yksikköimpulssis li Dirci dlfukios. Järslmä uusvs o impulssivs Fourir-muuos. Sbiili ärslmä impulssivs o vimv li ksoo. Impulssivs i uusvs kuv äydllissi liris ärslmä vikuuks mihi hs lomuooo. rmi spkri o präisi li kilsä, oss s rkoi kuv. Jyrki Lii L53 Siliori S4 6

7 Fourir-sr Fourir-sr Fourir-sr Fourir muuos rmi uouv rskliss mmikos J Bpis Fourir:s , ok ukiss mlli lämmöohumis sii mlmä ksollis fukio siämisksi rioomris fukioid summ: Mikä hs ksolli fukio sili void siää hrmois sii- kosiilo summ. Summss kuki rmi uus o fukio prusuud kokoi moikr. [ cos b ] si Kvss,, 3, kokoisluku. Kroim, b ov Fourirsr kroimi lsk ksolliss silis. rmi π/ o fukio pruskulmuus. Pruskulmuud kokois moikrr, 3, 4, ov fukio hrmoisi kulmuuksi. Jyrki Lii L53 Siliori S4 7

8 Esimrkki. Jksolli pulssioo. Fourir-sr Ampliudi A Pruskulmuus o π/. Pulssioo Fourir-sr siimuoois rmi uud ov pruskulmuus skä pruskulmuud kokois moikrr hrmois kulmuud, 3, 4, Pulssioo spkri o siis diskri. Jyrki Lii L53 Siliori S4 8

9 Jyrki Lii L53 Siliori S4 9 Fourir-sr Fourir-sr kroim Fourir-sr kroim sd kvoill: si cos d b d d Kvoiss,, 3, ilmis sr k: kroim. Krroi o : yhd kso yli lsku kskirvo li s määriää sili kskirvo dc-so.

10 Jyrki Lii L53 Siliori S4 Fourir-sr Fourir-sr kroimi lsk yksikrisuu surviss puksiss: Prilli fukio - b d d, cos / / Ampliudi Prio fukio - - / si, d b Ampliudi

11 Fourir-sr Jksollis sili prillisuus i priomuus riippuu ollkohd vlis. Edllis sivu prio sili muuuu prillisksi, os ollkoh siirrää /4: vrr läskso vrr. Puolilosymmri -- / Sili o puolilosymmri, os uloksksi sd lkupräi sili, ku siä siirrää puol kso vrr kääää ik-ksli ympäri ivroid., prilli / cos d, prio b, prilli b / si d, prio Jyrki Lii L53 Siliori S4

12 Nläsos-losymmri Fourir-sr Sili o läsos-losymmri, os s o puolilosymmri s lisäksi symmri posiiivis iivis puolikso kskikohi suh. Nläsos-losymmri sili void hdä oko prillisksi i priomksi sopivll ollhk vlill. Jos vli ollhki si, ä sili o prilli, ov Fourir-sr kroim:, prilli b 4, / 4 cos d, prio /4 / Jyrki Lii L53 Siliori S4

13 b b, 4, / 4 si d, prilli Fourir-sr Jos vli ollhki si, ä sili o prio, ov Fourir-sr kroim: prio Jyrki Lii L53 Siliori S4 3

14 Jyrki Lii L53 Siliori S4 4 Fourir-sr Fourir-sr komplksisiys Fourir-sr siysmuoo sd yksikrismmksi, ku huom [ ] [ ] si cos Fourir-srksi sd äiä hyödyä [ ] [ ] [ ] b b b

15 Jyrki Lii L53 Siliori S4 5 Fourir-sr Kv void dll yksikris, ku huom, ä Määrillää lisäksi komplksi krroi c : [ ] [ ] b b < >,,, b b c Fourir-sr siys sd y muooo K,,,, / / ± ± d c c o o ämä o sili Fourirsr komplksisiys!

16 Fourir-sr Ampliudi- vihspkri Ylisssä puksss Fourir-sr komplksisiyks kroim c ov komplksiluku, ok void siää muodoss c c r { } c kiä c määriää ksollis sili : hrmois kompoi mpliudi. Esiämällä c uud fukio sd sili diskri mpliudispkri. Vsvsi kspoi r{c } ksollis sili : hrmois kompoi vih, o siämällä r{c } uud fukio sd sili diskri vihspkri. Esimrkki. Jksolli pulssioo. A Jyrki Lii L53 Siliori S4 6

17 Fourir-sr A, / /, muulloi Fourir-kroimiksi sd ällöi c / / A o d A sic f,, ±, ±, K Sili mpliudi- vihspkri: c r{c }/[ o ] 36 A/ 8-8 / -3/ -/ -/ / / 3/ -36 Jyrki Lii L53 Siliori S4 7

18 Jyrki Lii L53 Siliori S4 8 Fourir-sr Esimrkki. Kolmiollo Fourir-sr K si4 4 si3 3 si si si V V V V V V V v m m m m m m m π π π π π V m v

19 Fourir-sr Esimrkki. Kolmiollo Fourir-sr kuu rmi Fourir-sr muodosu kolmiolo Jyrki Lii L53 Siliori S4 9

20 Fourir-sr Esimrkki. Kolmiollo Fourir-sr kuu. 5 rmi Fourir-sr muodosu kolmiolo Jyrki Lii L53 Siliori S4

21 Fourir-sr Esimrkki. Kolmiollo Fourir-sr kuu. rmi Fourir-sr muodosu kolmiolo Jyrki Lii L53 Siliori S4

22 Fourir-muuos Johdo Fourir-muuoksll void määrillä uussisälö ksoomill silill. Fourir-muuos void piää skä Lplc-muuoks ä Fourir-sr rikoispuks. Silikäsily- ioliikkiik sovlluuksiss Fourir-muuos o kuiki ylismmi käyy kui Lplc-muuos, o rkslu pohuuu ylsä Fourir-sr ori. rksll Fourir-sr komplksisiysä: c o c / / o d,, ±, ±, K Sili ksopiuud ksvss, khd präkkäis hrmois uud väli pi. Jyrki Lii L53 Siliori S4

23 Fourir-muuos π Ku sili muuuu ksoomksi ksoik lähsyy ääröä präkkäisi uuksi rous muuuu diffrilisksi, li spkri muuuu kuvksi. d π Fourir-kroim häviävä sili ksollisuud hävissä, li c -> ku ->. Void osoi, ä ulo c r-rvo o c d, Jyrki Lii L53 Siliori S4 3

24 Fourir-muuos Edllä olv irli o fukio Fourir-muuos, ok määrillää muodoss I { } G Fourir-kääismuuos sd kvll I π { } G d G d Fourir-muuoks muodosv yhdssä Fourir-muuospri G Fourir-muuoksss lsk is siss muuv sili sili - korrlio kikill uud rvoill. Suuri korrlio ilmis sisälävä vsv uu. Pii korrlio puols osoi kysis uuskompoi puuuv silis. Jyrki Lii L53 Siliori S4 4

25 Fourir-muuos Esimrkki. Jksolli pulssioo ksoo pulssi. A A Jksolli sili Jksoo sili c G A/ A / -3/ -/ -/ / / 3/ -3/ -/ -/ / / 3/ Diskri spkri Jkuv spkri Jyrki Lii L53 Siliori S4 5

26 Fourir-irli suppmi Fourir-muuos Silill o i määrily Fourir-muuos, mikäli Fourir-muuosirli supp, li s äärllis rvo iroimisvälillä. Esimrkki älliss silis o dllis sivu suorkidpulssi, ok pi-l pulssi piuus x pulssi korkus o äärlli. Fourir-irli voi sup myös, vikk sili i kosk svu oll rksluvälillä, mikäli läh sympooissi oll, ->. Esimrkki älliss silis o vimv kspoili. K -σ G K σ K σ σ K K σ Jyrki Lii L53 Siliori S4 6

27 Fourir-muuos Joidki rikoisfukioid Fourir-muuoksi Suorkidpulssill vimvll kspoilill void lsk Fourirmuuos hlpohkosi, kosk äid fukioid Fourir-irli-supp s. Dirichli hdo mukissi. Mm. vkiofukio K vkio, siimuoois fukio ~ cos sklfukio u ov simrkkä silis, oill Fourir-irli suppmisho i ol voimss. Näid Fourir-muuoks lskss oudu urvuum oihiki rikoisfukioihi, ok määrillää survss lyhysi. Impulssi- sklfukio ol uuds uuiksi. Suorkidfukio rc, < < rc, Yksikköimpulssifukio void lusu suorkidfukio vull muodoss lim δ rc τ τ τ Jyrki Lii L53 Siliori S4 7

28 Jyrki Lii L53 Siliori S4 8 Fourir-muuos Suorkidpulssi, ok korkus o A piuus void siää rc-fukio käyä muodoss. / rc A Lsk suorkidpulssi Fourir-muuos: A mpliudispkri sic sic sic sic si si / / / / / / / / / / / / / A A G f A A A A A A A A d A d A d G o

29 Fourir-muuos Ylis suorkidpulssi Fourir-muuospri o siis Arc / A sic f A G -3/ -/ -/ / / 3/ Dirci kmpfukio li idli äyoofukio δ δ Kmpfukio Fourir-muuos o myös kmpfukio. δ δ f F / / Jyrki Lii L53 Siliori S4 9 f

30 Fourir-muuos Fourir-muuos lsk moill käyäö silill dllä kuvu rikoisfukioid vull. ällöi lähdää liikkll osi uus fukios, ok r-rvo lähsyä koh olv fukio. Esimrkiksi vkiofukio K Fourir-muuos void määriää kksisuuis kspoifukio vull, ku vimuskiä σ lähsyä oll. K -σ σ. σ. σ. Fukio siis lähsyy r-rvo vkiofukio K, s Fourir-muuos G lähsyy impulssifukio K πkδ ämä ulos void ulki si, ä sili DC-kompoi o ollui. Käää ulos kroo, ä impulssi Fourir-muuos o äärömä lvä li impulssi sisälää kikki uuksi vkiompliudill! Jyrki Lii L53 Siliori S4 3

31 Fourir-muuos sium-fukio s, s,, > < Sium-fukio i äyä suppmisho, mu s void siää yksikkösklfukio vull muodoss -σ u- σ u- s u u äsä sd dll kspoifukio vull siysmuoo, os sium-fukio Fourir-muuos void määriää. lim σ σ s { u u } σ Fourir-muuospriksi sd s Jyrki Lii L53 Siliori S4 3 σ σ. σ. σ ->

32 Fourir-muuos Yksikkösklfukio Fourir-muuos Yksikkösklfukio u void lusu sium-fukio s vull muodoss u s Yksikkösklfukio Fourir-muuoksksi sd ämä prusll I { u } I I s Yksikkösklfukio Fourir-muuos sd siis vkiofukio sium-fukio muuos summ. Nämä muuoks o siy dllä, o I{ u } π δ πδ u πδ ässä hyödyää Fourir-muuoks lirisuus-omiisuu. Jyrki Lii L53 Siliori S4 3

33 Fourir-muuos Kosii- siifukio Fourir-muuoks cos πδ πδ si { πδ πδ } cos si Jyrki Lii L53 Siliori S4 33

34 Jyrki Lii L53 Siliori S4 34 Fourir-muuos Fourir-muuoks omiisuuksi Homoisuus Fourir-muuos o homi oprio. Muuv sili sklmi ihu vsv skluks Fourir-muuoksss KG K G Fourir-muuoks ddiiivisuus Fourir-muuos o ddiiivi oprio. Khd sili summ Fourirmuuos o rmisili Fourir-muuos summ G G G G Fourir-muuoks lirisuus Fourir-muuos o liri oprio, kosk s o skä homoi ä ddiiivi oprio.

35 Jyrki Lii L53 Siliori S4 35 Fourir-muuos { } { } { } G K K G K K K K I I I Fourir-muuoks lirisuus Fourir-muuos o liri oprio, kosk s o skä homoi ä ddiiivi oprio. Esimrkiksi { } { } { } { } { } I I I si3.5 cos 3.5si3 3cos πδ πδ πδ πδ

36 Fourir-muuos A sklus Aikskl kuisuss uusskl vyy päivsoi G Ampliudi [s] Ampliudi f [Hz]. Suorkidpulssi lvyssä s spkri kp päivsoi. Ampliudi.3. Ampliudi [s] -5 5 f [Hz] Jyrki Lii L53 Siliori S4 36

37 Viiväsys iksoss Sili viiväsämisä iksoss vrr vs uussoss Fourirmuuoks kromi kiällä -. Viiväsys muu sili vih, mu i viku isisrvoo. G G Fourir-muuos Suorkidpulssi - [s] Viiväsy pulssi Ampliudispkri -5 5 f [Hz] Ampliudispkri V ih s p kri f [Hz] V ih s p kri Kulmkrroi [s] -5 5 f [Hz] f [Hz] Jyrki Lii L53 Siliori S4 37

38 Jyrki Lii L53 Siliori S4 38 Fourir-muuos [ ] cos M M G m m m m Esimrkki. Ampliudimodulio. Ampliudimodulioss iformio sisälävä hyöysili m moduloi siimuoois kollo c cos mpliudi. Moduloiiss hyöysili krro kolosilill, olloi sd moduloiu kolosili. Moduloidu kollo Fourir-muuos koosuu uuksi - ympärisöö siirysä hyöysili spkrisä. M G - Viiväsys uussoss Sili Fourir-muuoks viiväsämisä uussoss uud vrr vs iksoss sili kromi kiällä. G G

39 Jyrki Lii L53 Siliori S4 39 Fourir-muuos G d d G Drivoii iksoss Sili drivoii iksoss vhvis uuksi kiällä, missä drivoii krluku. Drivoii vhvis siis korki uuksi. Iroii iksoss Sili iroii iksoss vsvsi vim korki uuksi. F G F f d f

40 Jyrki Lii L53 Siliori S4 4 Fourir-muuos λ λ λ H F G h f d h f H h F f Kovoluuio iksoss kovoluuioorm Sili kovoluuio iksoss vs uussoss iid Fourirmuuos kromi kskää. K huom dlfukio käyäyymi kovoluuio lskss d δ λ λ δ λ J kovoluuioorm prusll sm uussoss δ G d G

41 Fourir-muuos Esimrkki. Fourir-muuoks kovoluuioorm. uusso: uusvs Suodv sili Suodu sili H[f] f / [Hz] f / [Hz] f / [Hz] Aikso: Impulssivs Suodv sili Suodu sili h[] / [s] / [s] Jyrki Lii L53 Siliori S4 4

42 Jyrki Lii L53 Siliori S4 4 Fourir-muuos λ λ λ π d F F G f f F f F f Kovoluuio uussoss uusso kovoluuio puols vs ikso krolsku.

43 Kislvys Sili sisälämä posiiivis uud määriävä sili kislvyd uussoss. Sili o iuksi kisroiu uussoss, os s sisälää vi iy uuskis sisällä olls rovi uuksi o oll ämä uuskis ulkopuolll. älli sili o i sympooissi kisroiu iksoss. Sili i voi oll yhä ik iuksi kisroiu skä ik- ä uussoss. Esimrkiksi sic-pulssi iksoss o sympooissi kisroiu. S rvo lähsyvä oll, ku ±. Sic-pulssi Fourir-muuos o suorkidpulssi, ok sisälää vi iyllä välillä olvi uuksi, o sic-pulssi o iuksi kisroiu uussoss Jyrki Lii L53 Siliori S4 43

44 Kislvys Aikso Äärömä pikä sili uusso Äärllis piui spkri KislvysB Ampliudi Ampliudi Aik -B B uus Äärllis piui sili Äärömä pikä spkri Ampliudi Ampliudi Aik uus Jyrki Lii L53 Siliori S4 44

45 Kislvys Äärömä pikä spkri omvll silillki määriää usi kislvys sillä äissä puksiss mpliudi yypillissi vim uud ksvss. ällöi kislvys void määriää usll ri vll: Jos simrkiksi sili spkrissä o slväsi rouv päämksimi, o ro sivumksimis ollkohd vikkp sic-sili, voi kislvys määräyyä päämksimi ollkohi prusll. oi yli p o määriää s. 3 db: kis lvys s pis vull, oss sili mpliudi o pudou huippurvos kiällä /.77. Sili ho o pudou ässä pisssä puol huippurvos / ^/. Kolms mhdollisuus ähä pl myöhmmi o määrillä kislvys sili ri i hoo prusu. ällöi ruudksi void sopi simrkiksi s uus, ok lpuolll olv silikompoi sisälävä 9% i 95% sili ris. Jyrki Lii L53 Siliori S4 45

46 Kislvys Kislvys määrillää ylsä rivll s. lipääsö kispääsösilill. Alipääsösili ri kskiyy olluud ympärisöö kispääsösili ri vsvsi oku olls poikkv uud ympärisöö. Ylisä sääöä void od, ä pulssisili piuud kislvyd ulo o vkio. Esimrkiksi : piuis suorkidsili kislvys o / [Hz], li ulo o vkio. F / Jyrki Lii L53 Siliori S4 46

47 Kislvys Esimrkki. : piuis suorkidsili kislvys uussoss. Kislvys/ suorki piuus iksoss Kislvys/ suorki piuus iksoss Ampliudi Ampliudi -/ / f c -/ f c fc / uus uus 3db kislvys 3db kislvys Ampliudi.77 Ampliudi.77 f c uus uus Jyrki Lii L53 Siliori S4 47

TV13 Integraalimunnokset Tentti Metropolia/AK Vastauksia

TV13 Integraalimunnokset Tentti Metropolia/AK Vastauksia 3 Igrlimuoks i 7.4.5 Mropoli/K suksi. Jokiss kohds oss iää pisä. Kiroi kuki suks prää lyhy pruslu. Jksollis sigli ksopiuus o 8 ms. Kuik suuri o sigli prusuus hrsiä? sus: 5 Hz li ksopiuud kääisluku. b Shrällo

Lisätiedot

a) Miksi signaalin jaksollisuus on tärkeä ominaisuus? Miten jaksollisuus vaikuttaa signaalin taajuussisältöön?

a) Miksi signaalin jaksollisuus on tärkeä ominaisuus? Miten jaksollisuus vaikuttaa signaalin taajuussisältöön? L53, Sinaalioria J. Laiinn..5 E3SN, E3SN5Z Väliko, rakaisu Vasaa lyhysi suraaviin kysymyksiin. 6p a Miksi sinaalin aksollisuus on ärkä ominaisuus? Min aksollisuus vaikuaa sinaalin aauussisälöön? b Miä

Lisätiedot

2. Esitä tehtävän 1 a) ja b)-kohdan luvut eksponenttimuodossa ja c) ja d) kohdan luvut suorakulmaisessa muodossa.

2. Esitä tehtävän 1 a) ja b)-kohdan luvut eksponenttimuodossa ja c) ja d) kohdan luvut suorakulmaisessa muodossa. L5, Sigliri S Lsuhriusi. Määriä survi mplsiluu isisrv vihulm: 5 5 - -. Esiä hävä b-h luvu spimuss c h luvu surulmisss muss.. Suri surv lsuimius: 6 7 5. Jh Eulri v hyöyä sii sii mplsisiys: si cs 5. Määriä

Lisätiedot

SATE1050 Piirianalyysi II syksy / 8 Laskuharjoitus 2 / Transientti-ilmiö (ratkaisut muodostaen diff. yhtälöt, EI saa käyttä Laplace-muunnosta!

SATE1050 Piirianalyysi II syksy / 8 Laskuharjoitus 2 / Transientti-ilmiö (ratkaisut muodostaen diff. yhtälöt, EI saa käyttä Laplace-muunnosta! SAT5 Piirinlyysi II syksy 6 / 8 skuhrjoius / Trnsini-ilmiö (rkisu muodosn diff. yhälö, I s käyä plc-muunnos!) Thävä. All olvss kuvss siyssä piirissä kykin siiryy hkllä = snnos snoon viivä (= induknssin

Lisätiedot

3 SIGNAALIN SUODATUS 3.1 SYSTEEMIN VASTE AIKATASOSSA

3 SIGNAALIN SUODATUS 3.1 SYSTEEMIN VASTE AIKATASOSSA S I G N A A L I T E O R I A, O S A I I I TL98Z SIGNAALITEORIA, OSA III 44 3 Signaalin suodaus...44 3. Sysmin vas aikaasossa... 44 3. Kausaalisuus a sabiilisuus... 46 3.3 Vas aauusasossa... 46 3.4 Ampliudivas

Lisätiedot

5 Jatkuvan funktion integraali

5 Jatkuvan funktion integraali 5 Jkuvn funkion inegrli Derivlle kääneisä käsieä kusun inegrliksi. Aloien inegrliin uusuminen esimerkillä. Esimerkki 5.. Tuonolioksess on phunu kemiklivuoo. Määriellään funkio V sien, eä V () on vuoneen

Lisätiedot

1.3 Toispuoleiset ja epäoleelliset raja-arvot

1.3 Toispuoleiset ja epäoleelliset raja-arvot . Toisuoleiset j eäoleelliset rj-rvot Rj-rvo lim f () A olemssolo edellyttää että muuttuj täytyy void lähestyä rvo kummst suust hyväsä. Jos > ii sot että lähestyy rvo oikelt ositiivisest suust. Jos ts

Lisätiedot

Vastaa tehtäviin 1-4 ja valitse toinen tehtävistä 5 ja 6. Vastaat siis enintään viiteen tehtävään.

Vastaa tehtäviin 1-4 ja valitse toinen tehtävistä 5 ja 6. Vastaat siis enintään viiteen tehtävään. S-8. Sähkönsiirtoärstlmät Tntti 8..7 Vst thtäviin -4 vlits toinn thtävistä 5 6. Vstt siis nintään viitn thtävään.. Tutkitn ll piirrttyä PV-käyrää, ok kuv sllist vrkko, oss on tuotntolu kuormituslu niidn

Lisätiedot

Luento 7 Järjestelmien ylläpito

Luento 7 Järjestelmien ylläpito Luno 7 Järjslmin ylläpio Ahi Salo Tknillinn korkakoulu PL, 5 TKK Järjslmin ylläpidosa Priaallisia vaihohoja Uusiminn rplacmn Ennalahkäisvä huolo mainnanc Korjaaminn rpair ❶ Uusiminn Vioiun komponni korvaaan

Lisätiedot

Luento 6 Luotettavuus ja vikaantumisprosessit

Luento 6 Luotettavuus ja vikaantumisprosessit Tkll korkakoulu ysmaalyys laboraoro Luo 6 Luoavuus a vkaaumsrosss Ah alo ysmaalyys laboraoro Tkll korkakoulu PL 00, 005 TKK Tkll korkakoulu ysmaalyys laboraoro Määrlmä Tarkaslava ykskö luoavuus o s odäkösyys,

Lisätiedot

a) Määritä signaalin x[n] varianssi (keskimääräinen teho) σ x c) Määritä signaalikvantisointikohinasuhde SQNR, kun tiedetään, että

a) Määritä signaalin x[n] varianssi (keskimääräinen teho) σ x c) Määritä signaalikvantisointikohinasuhde SQNR, kun tiedetään, että TL, DSK-lgoritmit S rjoitus. Trkstll kosiisigli [] cosπt s. Määritä sigli [] vrissi kskimääräi to. b Määritä sigli [] jot c Määritä siglikvtisoitikoisud SQNR, ku tidtää, ttä.79. b SQNR log Kvss b o kvtisoij

Lisätiedot

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 16: Yhden vapausasteen vaimeneva pakkovärähtely, yleinen jaksollinen kuormitus

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 16: Yhden vapausasteen vaimeneva pakkovärähtely, yleinen jaksollinen kuormitus 6/ VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 6: Yhde vpussee vimeev poväähely, yleie jsollie uomius YLEINEN JAKSOLLINEN KUORMITUS Hmois heäeä vsv pysyvä poväähely lusee löyyy helposi oeilemll. Hmoise heäee eoi void hyödyää

Lisätiedot

KANTATAAJUINEN BINÄÄRINEN SIIRTOJÄRJESTELMÄ AWGN-KANAVASSA

KANTATAAJUINEN BINÄÄRINEN SIIRTOJÄRJESTELMÄ AWGN-KANAVASSA KJUI BIÄÄRI SIIROJÄRJSLMÄ WG-KVSS Kaajaajui siiro iformaaio siiro johdossa sllaisaa ilma kaoaalo- ai pulssimodulaaioa 536 ioliikkiikka II Osa 3 Kari Kärkkäi Syksy 5 JÄRJSLMÄMLLI Bii kso. Symboli {} ja

Lisätiedot

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 17: Yhden vapausasteen pakkovärähtely, impulssikuormitus ja Duhamelin integraali

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 17: Yhden vapausasteen pakkovärähtely, impulssikuormitus ja Duhamelin integraali 7/ VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 7: Yhn vapausasn paovärähly, impulssiuormius ja Duhamlin ingraali IMPULSSIKUORMITUS Maanisn sysmiin ohisuva jasoon hrä on usin ajasa riippuva lyhyaiainn uormius. Ysinraisin

Lisätiedot

SATE2140 Dynaaminen kenttäteoria syksy /6 Laskuharjoitus 6/ / Sähkömagneettisiin aaltoihin liittyvä teho

SATE2140 Dynaaminen kenttäteoria syksy /6 Laskuharjoitus 6/ / Sähkömagneettisiin aaltoihin liittyvä teho SAT14 Dninn knäori sks 16 1 /6 Lskuhrjoius 6/ / Sähkögnisiin loihin liivä ho Thävä 1. Trksl survi rlisi sähköknäfunkioluskki, jok osoiv knän pikk- j ikriippuvuudn: ) cos c 1 ) sin c) cos 3 issä,,, c j

Lisätiedot

MITEN PÄRJÄTÄ REKRYTOINTIKÄYTÄNTÖJEN MUUTTUVASSA MAAILMASSA

MITEN PÄRJÄTÄ REKRYTOINTIKÄYTÄNTÖJEN MUUTTUVASSA MAAILMASSA MITEN PÄRJÄTÄ REKRYTOINTIKÄYTÄNTÖJEN MUUTTUVASSA MAAILMASSA Wbiri 9.6.2015 Rii Oio H Hikkilä 1 JOHDANTO Riiääkö orgiioll, ä rkryoii hoi ih ok? Mrkiävä khiyrdi Employr brdig yöjkv mrkiy rkryoii oimi Soili

Lisätiedot

Pakkauksen sisältö: Sire e ni

Pakkauksen sisältö: Sire e ni S t e e l m a t e p u h u v a n v a r a s h ä l y t ti m e n a s e n n u s: Pakkauksen sisältö: K e s k u s y k sikk ö I s k u n t u n n i s ti n Sire e ni P i u h a s a rj a aj o n e st or el e Ste el

Lisätiedot

y 1 = f 1 (t,y 1,,y n ) y 2 = f 2 (t,y 1,,y n ) (1) y n = f n (t,y 1,,y n ) DY-ryhmään liittyvä alkuarvotehtävä muodostuu ryhmästä (1) ja alkuehdoista

y 1 = f 1 (t,y 1,,y n ) y 2 = f 2 (t,y 1,,y n ) (1) y n = f n (t,y 1,,y n ) DY-ryhmään liittyvä alkuarvotehtävä muodostuu ryhmästä (1) ja alkuehdoista 9 5 DIFFERENTIAALIYHTÄLÖRYHMÄT 5. Esimmäis krtluvu diffrtilihtälörhmät Diffrtilihtälörhmiä trvit usiss sovlluksiss. Näistä usimmt void mllit simmäis krtluvu diffrtilihtälörhmi vull. Esimmäis krtluvu diffrtilihtälörhmä

Lisätiedot

lim + 3 = lim = lim (1p.) (3p.) b) Lausekkeen täytyy supistua (x-2):lla, joten osoittajan nollakohta on 2.

lim + 3 = lim = lim (1p.) (3p.) b) Lausekkeen täytyy supistua (x-2):lla, joten osoittajan nollakohta on 2. Mtemtiikk III 0600 Kurssi / Differetili- j itegrlilske jtkokurssi Tee 7 tehtävää ) Määritä lim ( ) ) + b) Määritä vkio site, että luseke ( ) + + ( )( ) ( + + ) + + + + + lim + lim lim (p) o jtkuv myös

Lisätiedot

II.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku

II.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku II. EPÄOLEELLISET INTEGRAALIT nt II.. Suppeneminen Esim. Olkoon f() =, kun >. Tvllinen lsku = / =. Kuitenkn tätä integrli ei ole ikisemmss mielessä määritelty, kosk f ei ole rjoitettu välillä [, ] (eikä

Lisätiedot

Kirjainkiemurat - mallisivu (c)

Kirjainkiemurat - mallisivu (c) Aa Ii Uu Ss Aa Ii Uu Ss SII-LIN VII-LI-KUP-PI I-sot, pie-net kir-jai-met, sii-li neu-voo aak-ko-set. Roh-ke-as-ti mu-kaan vaan, kaik-ki kyl-lä op-pi-vat! Ss Har-joit-te-le kir-jai-mi-a li-sää vih-koo-si.

Lisätiedot

Neliömatriisin A determinantti on luku, jota merkitään det(a) tai A. Se lasketaan seuraavasti: determinantti on

Neliömatriisin A determinantti on luku, jota merkitään det(a) tai A. Se lasketaan seuraavasti: determinantti on 4. DETERINANTTI JA KÄÄNTEISATRIISI 6 4. Neliömtriisi determitti Neliömtriisi A determitti o luku, jot merkitää det(a) ti A. Se lsket seurvsti: -mtriisi A determitti o det(a) () -mtriisi A determitti void

Lisätiedot

(x) (tasaisesti suppeneva sarja)

(x) (tasaisesti suppeneva sarja) 6.3 MATEMAATTISET OPERAATIOT SARJOIE Jos srjss o äärellie äärä erejä, void derivoii i iegroii suori huole ereiäi. Ääreöä srj puksess ereiäi operoii o slliu, jos srj suppeee sisesi. Esi. Trksell ääreöä

Lisätiedot

Sisältö Sisältö Tietoliikennesignaalit ja niiden tutkiminen aika- ja taajuustasossa Tietoliikenne, informaatio, signaali...

Sisältö Sisältö Tietoliikennesignaalit ja niiden tutkiminen aika- ja taajuustasossa Tietoliikenne, informaatio, signaali... Igraalimuuoks Mropolia/. Koivumäki ässä o ksiä, oka o alupri aikoiaa kiroiu Sadia ioliikoria-kurssi mariaaliksi, mua sovluu oivallissi Igraalimuuoks-kurssi Fourir-aalyysiä käsilväksi mariaaliksi. Mamaaissi

Lisätiedot

>LTI-järjestelmä. >vaihespektri. >ryhmäviive

>LTI-järjestelmä. >vaihespektri. >ryhmäviive TL53, Signaalioria (J. Laiinn) 9..4 TTESN, TTESN5X, TTESN5Z Väliko, rakaisu Täydnnä ohisn kuvaan > - ai < -mrkiy kohda. Miä arkoiaan idonsiirokanavan kvalisoinnilla? Esiä lausk kvalisaaorin siirofunkioll,

Lisätiedot

t P1 `UT. Kaupparek. nro Y-tunnus Hämeenlinnan. hallinto- oikeudelle. Muutoksenhakijat. 1( UiH S<

t P1 `UT. Kaupparek. nro Y-tunnus Hämeenlinnan. hallinto- oikeudelle. Muutoksenhakijat. 1( UiH S< 1(0 1 4 1 1 4 UiH 0 0 0 1 S< A S I A N A J O T O I M I S T O O S S I G U S T A F S S O N P L 2 9, Ra u h a n k a t u 2 0, 1 5 1 1 1 L a h t i P u h e l i n 0 3 / 7 8 1 8 9 6 0, G S M 0 5 0 0 / 8 4 0 5

Lisätiedot

ARK 01-01. Asiakirjaluettelo. Jyrki Ala-Mäkelä, per. Koy:n lukuun Pinotie 33470 YLÖJÄRVI ENECON OY. Laksontie 11 60420 SEINÄJOKI

ARK 01-01. Asiakirjaluettelo. Jyrki Ala-Mäkelä, per. Koy:n lukuun Pinotie 33470 YLÖJÄRVI ENECON OY. Laksontie 11 60420 SEINÄJOKI ENECON OY Lksoti SEINÄJOKI 9 timo.mtil@co.fi Uudisrkus, Jyrki Al-Mäklä, pr. Koy lukuu, Pioti, Ylöjärvi Piirustusluttlo.. Vstuuhkilö Timo Mtil, RI Asikirj Sisältö Mittkv Luttlot - Asikirjluttlo.. Pääpiirustukst

Lisätiedot

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut Sksn 0 Pitkän mtemtiikn YO-kokeen TI-Nspire CAS -rtkisut Tekijät: Olli Krkkulinen Rtkisut on ldittu TI-Nspire CAS -tietokoneohjelmll kättäen Muistiinpnot -sovellust. Kvt j lskut on kirjoitettu Mth -ruutuihin.

Lisätiedot

KULMAMODULOITUJEN SIGNAALIEN SPEKTRIN LASKEMINEN

KULMAMODULOITUJEN SIGNAALIEN SPEKTRIN LASKEMINEN KULMMODULOITUJEN SIGNLIEN SPEKTRIN LSKEMINEN 1 (3) (3) Spekri laskeie siisaoalle Kulaoduloidu sigaali spekri johaie o yöläsä epälieaarisuudesa johue (epälieaarise aalyysi ova yleesä hakalia). Se voidaa

Lisätiedot

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 06: Ekvivalentti systeemi

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 06: Ekvivalentti systeemi 6/ VÄRÄHTEYMEKANKKA SESS 6: Evvle sysee JHDANT Use äyä pplee uodos sysee vod orv yhde vpussee evvlell llll os se pplede se/ul-se vod lusu s oord vull. Tällö sysee geoers vod uodos yheyde se e pplede leloe

Lisätiedot

Polynomien laskutoimitukset

Polynomien laskutoimitukset Polyomie lskutoimitukset Polyomi o summluseke, joss jokie yhteelskettv (termi) sisältää vi vkio j muuttuj välisiä kertolskuj. Esimerkki 0. Mm., 6 j ovt polyomej. Polyomist, joss o vi yksi termi, käytetää

Lisätiedot

Tietoliikennesignaalit

Tietoliikennesignaalit ieoliikennesignaali 1 ieoliikenne inormaaion siiroa sähköisiä signaaleja käyäen. Signaali vaiheleva jännie ms., jonka vaiheluun on sisällyey inormaaioa. Signaalin ominaisuuksia voi ukia a aikaasossa ime

Lisätiedot

Riemannin integraalista

Riemannin integraalista Lebesguen integrliin sl. 2007 Ari Lehtonen Riemnnin integrlist Johdnto Tämän luentomonisteen trkoituksen on tutustutt lukij Lebesgue n integrliin j sen perusominisuuksiin mhdollisimmn yksinkertisess tpuksess:

Lisätiedot

Voutila ASEMAKAAVAN SELOSTUS. 2519 Dnro 788/2015. Hongistonkuja Asemakaavan muutos 25. kaup. osa, Kortteli 74, tontti 3 ja katualue

Voutila ASEMAKAAVAN SELOSTUS. 2519 Dnro 788/2015. Hongistonkuja Asemakaavan muutos 25. kaup. osa, Kortteli 74, tontti 3 ja katualue SEMV SESS 59 Dnro 788/5 Vouil Hongisonuj semvn muuos 5 up os, oreli 74, oni 3 j ulue iljjohj äivi Slorn Vireille ulo 35 Yhdysunluun 5 Yhdysunluun 75 invoiminen SSYSEE ERS- J SEED 3 v-lueen sijini 3 vn

Lisätiedot

Kertaustehtävien ratkaisut

Kertaustehtävien ratkaisut Rtkisuist Nämä Trigoometriset fuktiot j lukujoot kurssi kertustehtävie j -srjoje rtkisut perustuvt oppikirj tietoihi j meetelmii. Kustki tehtävästä o yleesä vi yksi rtkisu, mikä ei kuitek trkoit sitä,

Lisätiedot

Tehtävän 1 moottorin kuormana an työkone, jonka momentti on vakio T=30 Nm. Laske

Tehtävän 1 moottorin kuormana an työkone, jonka momentti on vakio T=30 Nm. Laske SÄHKÖENERGAEKNKKA Hrjoius - lueno 9 ehävä 1 Oheisess kuvss on ssähkökoneen sijiskykenämlli. Joh pyörimisnopeuden kv momenin funkion, kun mgneoinivuo φ j nkkurijännie V ov vkioin. Piirrä johmsi kv -ω soss,

Lisätiedot

Hyvinkään kaupunki. Hangonsillan kaava-alueen pohjavesiselvitys

Hyvinkään kaupunki. Hangonsillan kaava-alueen pohjavesiselvitys Hyviää pi Hagosilla ava-al pohjavsislvitys Pöyry Filad Oy PL 50 (Jaao 3) FI-01621 Vaa Filad Kotipai Vaa, Filad Y-s 0625905-6 Ph. +358 10 3311 Fasi +358 10 33 26600 www.poyry.fi Päiväys 13.11.2013 Siv 1

Lisätiedot

Sinilause ja kosinilause

Sinilause ja kosinilause Siniluse j kosiniluse GEOMETRI M3 Mikäli kolmion korkeus j knt tiedetään, voidn pint-l lske. Esimerkki: Lske kolmion l, kun 38 kulmn viereiset sivut ovt 8, j 6,8. Nyt knt tiedetään, korkeutt ei! 38 8,

Lisätiedot

1.1. Laske taskulaskimella seuraavan lausekkeen arvo ja anna tulos kolmen numeron tarkkuudella: tan 60,0 = 2,950... 2,95

1.1. Laske taskulaskimella seuraavan lausekkeen arvo ja anna tulos kolmen numeron tarkkuudella: tan 60,0 = 2,950... 2,95 9..008 (9). Lskime käyttö.. Lske tskulskimell seurv lusekkee rvo j tulos kolme umero trkkuudell: 4 + 7 t 60,0 + Rtkisu: 4 + 7 =,950...,95 t 60,0 + Huom: Lskimiss o yleesä kolme eri kulmyksikköjärjestelmää:

Lisätiedot

AS Säätötekniikan matemaattiset apuneuvot Esimerkkitentti (vuodelta 1998)

AS Säätötekniikan matemaattiset apuneuvot Esimerkkitentti (vuodelta 1998) S-7 Sääöniin mmi pnvo Eimrini vodl 998 niä oll mn irj Virnn Sääöniin mmii mriiin vioi drminni äänimriii Millä vioidn j rvoill äänimriii on olm? Millä prmrin rlirvoill mriii on inglrinn äänimriii i ol n

Lisätiedot

Usko, toivo ja rakkaus

Usko, toivo ja rakkaus Makku Lulli-Seppälä sko toivo a akkaus 1. Ko. 1 baitoille viululle alttoviululle a uuille op. kummityttöi Päivi vihkiäisii 9.8.1986 iulu a alttoviulu osuude voi soittaa sama soittaa. Tavittaessa alttoviulu

Lisätiedot

Kojemeteorologia. Sami Haapanala syksy Fysiikan laitos, Ilmakehätieteiden osasto

Kojemeteorologia. Sami Haapanala syksy Fysiikan laitos, Ilmakehätieteiden osasto Kojemeeorologia Sami Haapaala syksy 03 Fysiika laios, Ilmakehäieeide osaso Mialaieide dyaamise omiaisuude Dyaamise uusluvu määriävä mie mialaie käyäyyy syöeide muuuessa Apua käyeää differeiaaliyhälöiä,

Lisätiedot

ITK 236 Jups. Elektroninen liiketoiminta kahtena prosessina (Kambil & van Heck) Monikanavamalli

ITK 236 Jups. Elektroninen liiketoiminta kahtena prosessina (Kambil & van Heck) Monikanavamalli IK 236 Jp Elr l h pr (Kbl & v Hc) Mvll l p fgr vr h vl 1 ll ypyä j v rll (hp://www.-fcr./) hc prr chcl Idvdl Org Idry Scy Grc b dl frwr cg f Sp-prl prl d cp /cgr cr ll lvl (.., hc prr). ). h cp c f dld

Lisätiedot

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO Integrlilskent Tämä on lukion oppimterileist hiemn poikkev yksinkertistettu selvitys määrätyn integrlin lskemisest. Kerromme miksi integroidn, mitä integroiminen trkoitt, miten integrli lsketn j miten

Lisätiedot

ESIMERKKI 2 Harri Laine

ESIMERKKI 2 Harri Laine ESIMERKKI 2 H L Lähöoh v Kmpmo Käää o hlmää ll vplvl. A öyvä jäjlmää mmä v yhydä. Röyll ll. A ll jäjlmää poj, m, oo j phlmo. Lä ll l h lyvä oj h, p, vä, ym. Tjoll olv plvl o olm ho. Ho o plvl ol ph j po.

Lisätiedot

LIITE 8A: RAKENNELUVUN 137 YHTÄLÖITÄ

LIITE 8A: RAKENNELUVUN 137 YHTÄLÖITÄ LIITE 8A: RAKENNELUVUN 37 YHTÄLÖITÄ Raknnluvusta 37 on tämän työn yhtydssä syntynyt yli 00 yhtälöä, joista 00 yhtälöä on analysoitu. Näistä on osoittautunut 70 yhtälöä milnkiintoisiksi ja saman vrran otaksutaan

Lisätiedot

2.2 Monotoniset jonot

2.2 Monotoniset jonot Mtemtiik tito 9, RATKAISUT Mootoiset joot ) Kosk,,,, ii 0 Lukujoo ( ) o siis lhlt rjoitettu Toislt 0 Lukujoo (

Lisätiedot

S , Fysiikka IV (Sf), 2 VK

S , Fysiikka IV (Sf), 2 VK S-11446, Fysiikk IV (Sf, VK 455 1 Slitä lyhysti mutt mhdollisimm täsmällissti: Kskimääräis ktä mlli j itsäist lktroi roksimtio b Mo frmioi ltofuktio hiukksvihtosymmtri j s totutumi dtrmittiltofuktioss

Lisätiedot

2 INTEGRAALILASKENTAA 2.1 MÄÄRÄTTY INTEGRAALI

2 INTEGRAALILASKENTAA 2.1 MÄÄRÄTTY INTEGRAALI 37 INTEGRAALILASKENTAA.1 MÄÄRÄTTY INTEGRAALI Trstell ploitti jtuv j rjoitettu (siis ei ääretötä) futiot f ( ) välillä [, ] (s. uv) Jet väli [, ] :ää h-levyisee os h j meritää h, missä 0,1,,..., Joo liittyvä

Lisätiedot

Laskut kirjoitetaan vasempaan reunaan, vastaukset tulevat oikeaan reunaan.

Laskut kirjoitetaan vasempaan reunaan, vastaukset tulevat oikeaan reunaan. 2. Peruslsket 2.1 Yhtee- j väheyslsku Lske: 23 14 9 MENU. Vlitse Mi Syötä lskuluseke. Pi EXE. Lskut kirjoitet vsemp reu, vstukset tulevt oike reu. 2.2 Näytö tyhjeys Vlitse Edit j pi Cler All. Pi OK. Huom!

Lisätiedot

VAKIOVARUSTEET SUOMESSA NISSAN ALMERA

VAKIOVARUSTEET SUOMESSA NISSAN ALMERA VAKIOVARUSTEET SUOMESSA NISSAN ALMERA r Spor Luury Allsr Sens Tekn Acen Sens Luury käyninopeusmiri öljynpinemiri öljynlämpömiri öljymäärän miri ulkolämpömiri sisälämpömiri kksoisrippimiri loudellisuusmiri

Lisätiedot

Ensin vastaukset tehtäviin, "joihin vastaamisen pitäisi onnistua tähänastisten matematiikan opintojen pohjalta".

Ensin vastaukset tehtäviin, joihin vastaamisen pitäisi onnistua tähänastisten matematiikan opintojen pohjalta. V Igraalimuuoks Mropolia. Koivumäki Kaikki uilla käsilly hävä vasauksi. Esi vasauks hävii, "oihi vasaamis piäisi oisua ähäasis mamaiika opio pohala". x luksi.. a xdx C, missä C o vakio. (äsä päi okais

Lisätiedot

763101P FYSIIKAN MATEMATIIKKAA Kertaustehtäviä 1. välikokeeseen, sl 2008

763101P FYSIIKAN MATEMATIIKKAA Kertaustehtäviä 1. välikokeeseen, sl 2008 76P FYSIIKAN MATEMATIIKKAA Krtausthtäviä. välikoks, sl 8 Näitä laskuja i laskta laskupäivissä ikä äistä saa laskuharjoituspistitä. Laskut o tarkoitttu laskttaviksi alkutuutoroitiryhmissä, itsks, kavriporukalla

Lisätiedot

Luento 4. Fourier-muunnos

Luento 4. Fourier-muunnos Lueno 4 Erikoissignaalien Fourier-muunnokse Näyeenoo 4..6 Fourier-muunnos Fourier-muunnos Kääneismuunnos Diricle n edo Fourier muunuvalle energiasignaalille I: Signaali on iseisesi inegroiuva v ( d< II:

Lisätiedot

K Ä Y T T Ö S U U N N I T E L M A Y H D Y S K U N T A L A U T A K U N T A

K Ä Y T T Ö S U U N N I T E L M A Y H D Y S K U N T A L A U T A K U N T A K Ä Y T T Ö S U U N N I T E L M A 2 0 1 7 Y H D Y S K U N T A L A U T A K U N T A Forssan kaupunki Talousarvio ja -suunnitelma 2017-2019 / T O I M I A L A P A L V E L U 50 YHDYSKUNTAPALVELUT 5 0 0 T E

Lisätiedot

TKK Tietoliikennelaboratorio Seppo Saastamoinen Sivu 1/5 Konvoluution laskeminen vaihe vaiheelta

TKK Tietoliikennelaboratorio Seppo Saastamoinen Sivu 1/5 Konvoluution laskeminen vaihe vaiheelta KK ieoliikennelaboraorio 7.2.27 Seppo Saasamoinen Sivu /5 Konvoluuion laskeminen vaihe vaiheela Konvoluuion avulla saadaan laskeua aika-alueessa järjeselmän lähösignaali, kun ulosignaali ja järjeselmän

Lisätiedot

Kertausosa. Kertausosa. 3. Merkitään. Vastaus: 2. a) b) 600 g. 4. a)

Kertausosa. Kertausosa. 3. Merkitään. Vastaus: 2. a) b) 600 g. 4. a) Kertusos Kertusos ). ) : j 7 0 7 ) 0 :( ) c) :( ). Merkitää merirosvorht (kg) sukltrffelit (kg) ) 7, 0 hit: /kg hit: 7 /kg ) 00 g 0,kg 7 0,,0,,0, 0, (kg) :. ) Vstus: ) 7, 0 ( ) ) 00 g. ) 0 7 9 7 0 0 Kertusos

Lisätiedot

Rakennus- ja ympäristölautakunta 252 16.12.2015 655/11.01.00/2014. Rakennus- ja ympäristölautakunta 16.12.2015 252

Rakennus- ja ympäristölautakunta 252 16.12.2015 655/11.01.00/2014. Rakennus- ja ympäristölautakunta 16.12.2015 252 Rakennus- ja ympäristölautakunta 252 16.12.2015 Päätös / ympäristölupahakemus / Syväsatama, jätteiden loppusijoittaminen ja hyödyntäminen satamakentän rakenteissa, Kokkolan Satama / Länsi- ja Sisä-Suomen

Lisätiedot

i lc 12. Ö/ LS K KY: n opiskelijakysely 2014 (toukokuu) 1. O pintojen ohjaus 4,0 3,8 4,0 1 ( 5 ) L i e d o n a mma t ti - ja aiku isopisto

i lc 12. Ö/ LS K KY: n opiskelijakysely 2014 (toukokuu) 1. O pintojen ohjaus 4,0 3,8 4,0 1 ( 5 ) L i e d o n a mma t ti - ja aiku isopisto i lc 12. Ö/ 1 ( 5 ) LS K KY: n opiskelijakysely 2014 (toukokuu) 1. O pintojen ohjaus 1=Täysi n en mi eltä. 2=Jokseenki n er i m ieltä, 3= En osaa sanoa 4= Jokseenki n sa m a a mieltä, 5= Täysin sa ma a

Lisätiedot

Konvoluution laskeminen vaihe vaiheelta Sivu 1/5

Konvoluution laskeminen vaihe vaiheelta Sivu 1/5 S-72. Signaali ja järjeselmä Laskuharjoiukse, syksy 28 Konvoluuion laskeminen vaihe vaiheela Sivu /5 Konvoluuion laskeminen vaihe vaiheela Konvoluuion avulla saadaan laskeua aika-alueessa järjeselmän lähösignaali,

Lisätiedot

****************************************************************** MÄÄRITELMÄ 4:

****************************************************************** MÄÄRITELMÄ 4: . Murtopotessi MÄÄRITELMÄ : O Olkoo prillie, positiivie kokoisluku. Ei egtiivise luvu :s juuri trkoitt sellist ei-egtiivist luku b, jok :s potessi o. Merkitää b. Kute eliöjuureki tpuksess, luku b täyttää

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013 Preliminäärikoe Pitkä Mtemtiikk 5..0 Kokeess s vstt enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä ( * ) merkittyjen tehtävien mksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien mksimipistemäärä on 6.. ) Rtkise yhtälö b)

Lisätiedot

LEIVOTAAN YHDESSÄ. Kuvat: Jutta Valtonen

LEIVOTAAN YHDESSÄ. Kuvat: Jutta Valtonen LEIVOTAAN YHDESSÄ Susanna Koistinen Miia Laho Kuvat: Jutta Valtonen SI-SÄL-LYS E-SI-VAL-MIS-TE-LUT... 2 PE-RUS-RE-SEP-TIT KAU-RA-KEK-SIT... 5 SUK-LAA-KEK-SIT... 7 MAR-JA-PII-RAK-KA... 9 MUF-FIN-IT...

Lisätiedot

Piennopeuslaite FMP. Lapinleimu

Piennopeuslaite FMP. Lapinleimu Piennopeuslaie FMP Floormaser FMP on lieä uloilmalaie, joka on arkoieu käyeäväksi syrjäyävään ilmanjakoon Floormaser-järjeselmässä. KANSIO 4 VÄLI 6 ESITE 6 Lapinleimu.1.00 Floormaser Yleisä Floormaser

Lisätiedot

1 a) Eristeiden, puolijohteiden ja metallien tyypilliset energiakaistarakenteet.

1 a) Eristeiden, puolijohteiden ja metallien tyypilliset energiakaistarakenteet. a) ristid, puolijohtid ja talli tyypillist rgiakaistaraktt. i) NRGIAKAISTAT: (lktroi sallitut rgiatilat) Kaksiatoi systi: pottiaalirgia atoi väliatka fuktioa pot rpulsiivi kopotti -lktroit hylkivät toisiaa

Lisätiedot

Tehtävä 1. ö ö. TEL-1360 Sähkömoottorikäytöt Laskuharjoitus 3/2011. P n = 5 kw ; P = 6 kw ; öo = 0 (lämpötila alussa kylmä)

Tehtävä 1. ö ö. TEL-1360 Sähkömoottorikäytöt Laskuharjoitus 3/2011. P n = 5 kw ; P = 6 kw ; öo = 0 (lämpötila alussa kylmä) TEL-360 Sähkmooorikäy Laskuharjoius 3/0 Thävä. = 5 kw ; = 6 kw ; o = 0 (lämpila alussa kylmä) = ooori lämpila ousu li mooori lämpila ja ympäris lämpila rous o = Lämpila ousu alkuarvo li υ : arvo arkaslujakso

Lisätiedot

Nosto- ja Kiinnitysosat

Nosto- ja Kiinnitysosat Ilman miä i BETONI NOUSE. Noso- ja Kiinniysosa Valikoimasa löyyy laaja valikoima rilaisia nosoon ja kiinniyksn sovluvia boniin valavia ankkuria arvikkinn. Ankkuri on jau käyöavan mukaan kirrankkurihin,

Lisätiedot

AIKAKAUSLEHDET. tammik. Suomen Suurin SiSuStuSlehti. Kevään. värikkäät astiat. Talvi 1/0. arke. herkut. retkel MAK

AIKAKAUSLEHDET. tammik. Suomen Suurin SiSuStuSlehti. Kevään. värikkäät astiat. Talvi 1/0. arke. herkut. retkel MAK 1 UU mmk 2006 AIKAKAUSLHDT 75 : O R V A I L m U J Am I M Kää JAS ä M A KU r 0 1 ä y ö d K h h H r Sm Sr SSSSh ärkkää RUOKA, JUOM A, KITT IÖ, M AT K A ILU, HY VIVO ITI r y, y 3 ää & r h r d 2008 öö r g

Lisätiedot

5 ( 1 3 )k, c) AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja

5 ( 1 3 )k, c) AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Hrjoitustehtäviä syksy 4. Millä reliluvun rvoill ) 9 =, b) + +, e) 5?. Kirjoit Σ-merkkiä käyttäen summt 4, ) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + + 4 + + 99, d)

Lisätiedot

SATE2140 Dynaaminen kenttäteoria syksy / 6 Laskuharjoitus 0: Siirrosvirta ja indusoitunut sähkömotorinen voima

SATE2140 Dynaaminen kenttäteoria syksy / 6 Laskuharjoitus 0: Siirrosvirta ja indusoitunut sähkömotorinen voima ATE14 Dynminen kenttäteori syksy 1 1 / skuhrjoitus : iirrosvirt j inusoitunut sähkömotorinen voim Tehtävä 1. All olevss kuvss esitetyssä pitkässä virtlngss kulkee virt i 1 (t) j sen vieressä on kuvn mukinen

Lisätiedot

& # # w. œ œ œ œ # œ œ œ œ œ # œ w. # w nœ. # œ œ œ œ œ # œ w œ # œ œ œ Œ. œ œ œ œ œ œ œ œ # œ w. œ # œ œ œ w œ œ w w w w. W # w

& # # w. œ œ œ œ # œ œ œ œ œ # œ w. # w nœ. # œ œ œ œ œ # œ w œ # œ œ œ Œ. œ œ œ œ œ œ œ œ # œ w. œ # œ œ œ w œ œ w w w w. W # w Epainn muis (1.1., 6.12.) # œ œ œ œ œ # œ w i nun Kris lis sä py hää muis tus Tofia (6.1.) jo Jo pai a, y lis n [Ba li nu a, os,] kun ni, l nä ru k, i dän Ju ma lis, y lis ka i dän h tm h nk sl nu a, o

Lisätiedot

3 x < < 3 x < < x < < x < 9 2.

3 x < < 3 x < < x < < x < 9 2. Matematiika johdatokurssi Kertaustehtävie ratkaisuja 1. Ratkaise epäyhtälöt: a) 3 x < 3, b) 5x + 1. Ratkaisu. a) Ratkaistaa epäyhtälö poistamalla esi itseisarvot: 3 x < 3 3 < 3 x < 3 9 < x < 3 3 < x

Lisätiedot

1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [

1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [ 1. Derivtn Testi Jos funktio f on jtkuv voimell välillä ], b[ j x 0 ], b[ on kriit. ti singul. piste niin { f (x) < 0, x ], x 0 [ f x (x) > 0, x ]x 0, b[ 0 on lokli minimipiste (1) { f (x) > 0, x ], x

Lisätiedot

Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola Luento 5. Termiinihinnan määräytyminen

Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola Luento 5. Termiinihinnan määräytyminen Rahoitusriskit ja johdannaist Matti Estola Lunto 5 rmiinihinnan määräytyminn 1. rmiinin ylinn hinnoittlukaava Mrkitään trmiinisopimuksn kohd-tuudn spot hintaa sopimuksn tkopäivänä S :lla, kohd-tuudn trmiinihintaa

Lisätiedot

DEE Lineaariset järjestelmät

DEE Lineaariset järjestelmät DEE- iri ärlä uoill riu irä uu. Määriä uri luuoo Z-uuo. N Z-uuo äärilä prull U Hi, ä hdll äi rilill luuooll o Z-uuo, o uuo i älä oi olii iäii. Tää o hi hääää, o i oiiii Z-uuo hödää diriiii ärliä ui dirihälöid

Lisätiedot

ja differenssi jokin d. Merkitään tämän jonon n:n ensimmäisen jäsenen summaa kirjaimella S

ja differenssi jokin d. Merkitään tämän jonon n:n ensimmäisen jäsenen summaa kirjaimella S 3.3. Aritmeettie summ 3.3. Aritmeettie summ Mikä olisi helpoi tp lske 0 esimmäistä luoollist luku yhtee? Olisiko r voim käyttö 0 + + + 3 + + 00 hyvä jtus? Tekiik vull se iki toimii. Fiksumpiki tp kuiteki

Lisätiedot

Rautatie on mahdollisuus

Rautatie on mahdollisuus Rautatie on mahdollisuus Pam flet ti Suo men rau ta teis tä ja liikennepolitiikasta Raideryhmä Suomes sa 22.5.2005 Olisi paljon helpompaa ministeriölle, jos RHK suostuisi ottamaan roiston roolin ja ehdottamaan,

Lisätiedot

Copyright Isto Jokinen MATEMATIIKKA. Matematiikkaa pintakäsittelijöille Ongelmanratkaisu Isto Jokinen 2017

Copyright Isto Jokinen MATEMATIIKKA. Matematiikkaa pintakäsittelijöille Ongelmanratkaisu Isto Jokinen 2017 AEAKKA aeaiikkaa piakäsielijöille Ogelarakaisu so Jokie 207 SSÄLÖ. aeaaise ogelie rakaisu laskukaaoilla 2. ekijäyhälö 3. Laskukaaoje yhdisäie 4. Yhälöide uodosaie aeaaisee ogelaa Käyöoikeus opeuksessa

Lisätiedot

HYVINKÄÄN KAUPUNKI KUNTATEKNIIKKA

HYVINKÄÄN KAUPUNKI KUNTATEKNIIKKA USUNTO X.. HYNÄÄN UUN UNTTEN o Hgo h y Coygh öyy Fd Oy X X SSÄYS YESTÄ... OHJ J OHJESOOSUHTEET... To j... To j... To, j... To j... To j... To j U... UEEN RENNETTUUS UONNOSEEN ERUSTUEN.... Yä.... R....

Lisätiedot

N I K E A N U S K O N T U N N U S T U S

N I K E A N U S K O N T U N N U S T U S 100 H a n n u P o h a n n o r o N I K E A N U S K O N T U N N U S T U S lauluäänelle, kitaralle sekä viola da gamballe tai sellolle or voices, guitar, viola da gamba / violoncello - ' 00 Teosto Suomalaisen

Lisätiedot

S Laskennallinen systeemibiologia

S Laskennallinen systeemibiologia S-4.50 Lsknnllinn systmiiologi 4. Hrjoitus. Viill tutkittvll ljill (,, c, j ) on määrätty täisyyt c 0 8 8 8 0 8 8 8 c 0 4 4 0 0 Määritä puurknn käyttän UPGMA-mntlmää. Näytä kunkin vihn osrkntt vstvin täisyyksinn.

Lisätiedot

Kertausosa. Kertausosa. Verrattuna lähtöarvoon kurssi oli laskenut. Kalliimman tukkuhinta 1,2 480 = 576 Kalliimman myyntihinta 1,3

Kertausosa. Kertausosa. Verrattuna lähtöarvoon kurssi oli laskenut. Kalliimman tukkuhinta 1,2 480 = 576 Kalliimman myyntihinta 1,3 Kertusos. ) Edullisemm hit 480, = 64 Klliimm tukkuhit, 480 = 576 Klliimm myytihit, 576 = 748,80 b) 748,80 64 = 0,666... = 6,66% 7% 748,80. Liittymä puhelimell mks khde vuode ik 4 8,50 = 684. Liittymä ilm

Lisätiedot

Markovin ketju. Stokastinen prosessi. Markovin ketju. Markovin malli: DNA esimerkki. M-ketju:homogeeninen ja ei-homogeeninen

Markovin ketju. Stokastinen prosessi. Markovin ketju. Markovin malli: DNA esimerkki. M-ketju:homogeeninen ja ei-homogeeninen Soke roe Mkäl lmöö lyy uuu (okuu), uhu ok roee. Soke roe vod myö ähdä oukko umuuu X() oll o ey relo x(). Proe o oääre, o e lolle omuude evä muuu myöä (em. odourvo, vr). Ak vo oll kuv dkree, mo X() Mrkov

Lisätiedot

SATE.10xx Staattisen kenttäteorian laajentaminen Sähkömagneettiseksi kenttäteoriaksi

SATE.10xx Staattisen kenttäteorian laajentaminen Sähkömagneettiseksi kenttäteoriaksi ATE.1xx tttisen kenttäteorin ljentminen ähkömgneettiseksi kenttäteoriksi syksy 212 1 / 5 skuhrjoitus 1: iirrosvirt j inusoitunut sähkömotorinen voim Tehtävä 1. Määritä tjuus, millä johtvuusvirrn tiheys

Lisätiedot

521. 522. 523. 524. 525. 526. 527. 12. Lisää määrätystä integraalista. 12.1. Integraalin arvioimisesta. Osoita: VASTAUS: Osoita: Osoita:

521. 522. 523. 524. 525. 526. 527. 12. Lisää määrätystä integraalista. 12.1. Integraalin arvioimisesta. Osoita: VASTAUS: Osoita: Osoita: 12. Lisää määrätystä integrlist 12.1. Integrlin rvioimisest 521. Osoit: 1 + x 2 22 1 < < 1 + x21 21. 522. Osoit: x 3 < 5 x 6 + 8x + 9 < 15 1 5. 523. Osoit: 2 2 < e x2 x < 2e 2. e 524. Olkoon k >. Osoit:

Lisätiedot

Analyysi 2. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Kevät Anna sellainen välillä ] 2, 2[ jatkuva ja rajoitettu funktio f, että

Analyysi 2. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Kevät Anna sellainen välillä ] 2, 2[ jatkuva ja rajoitettu funktio f, että Anlyysi Hrjoituksi lukuihin 3 / Kevät 5. Ann sellinen välillä ], [ jtkuv j rjoitettu funktio f, että () sup A m A j inf A min A, (b) sup A m A j inf A = min A, (c) sup A = m A j inf A min A, (d) sup A

Lisätiedot

Lausunto vesiliikennelain mukaisesta hakemusasiasta / Nopeusrajoitus Airismaan länsikärjen ja Väliluodon väliseen kapeikkoon

Lausunto vesiliikennelain mukaisesta hakemusasiasta / Nopeusrajoitus Airismaan länsikärjen ja Väliluodon väliseen kapeikkoon Kaavoitus- ja ympäristölautakunta 29 12.03.2015 Lausunto vesiliikennelain mukaisesta hakemusasiasta / Nopeusrajoitus Airismaan länsikärjen ja Väliluodon väliseen kapeikkoon 114/10.05.01/2015 Kaavoitus-

Lisätiedot

3 b) Määritä paljonko on cos. Ilmoita tarkka arvo ja perustele vastauksesi! c) Muunna asteiksi 2,5 radiaania. 6p

3 b) Määritä paljonko on cos. Ilmoita tarkka arvo ja perustele vastauksesi! c) Muunna asteiksi 2,5 radiaania. 6p MAA9 Koe.5.0 Jussi Tyi Tee koseptii pisteytysruudukko! Muista kirjata imesi ja ryhmäsi. Valitse kuusi tehtävää!. a) Ratkaise yhtälö si x. Ilmoita vastaus radiaaeia! b) Määritä paljoko o cos. Ilmoita tarkka

Lisätiedot

Työsuojelu- ja. 5 12.02.2015 yhteistyötoimikunta Työsuojelu- ja. 4 16.03.2015 yhteistyötoimikunta Työsuojelu- ja

Työsuojelu- ja. 5 12.02.2015 yhteistyötoimikunta Työsuojelu- ja. 4 16.03.2015 yhteistyötoimikunta Työsuojelu- ja Työsuojelu- ja 5 12.02.2015 yhteistyötoimikunta Työsuojelu- ja 4 16.03.2015 yhteistyötoimikunta Työsuojelu- ja 3 28.05.2015 yhteistyötoimikunta Kaupunginhallitus 10 21.09.2015 Työsuojelu- ja 3 26.11.2015

Lisätiedot

1 Pöytäkirja Avaa haku

1 Pöytäkirja Avaa haku D yn as t y t i et o pa l ve l u Sivu 1 / 9 Poistuminen ( Toimielimet 1 Jätelautakunta 1 Pöytäkirja 17.12.2013 Avaa haku 1 Jätelautakunta Pöytäkirja 17.12.2013 Pykälä 15 Edellinen asia 1Seuraava asia M

Lisätiedot

Laudatur 10 MAA10 ratkaisut kertausharjoituksiin

Laudatur 10 MAA10 ratkaisut kertausharjoituksiin Ludtur MAA rtkisut kertushrjoituksiin Integrlifunktio. ) Jokin integrli funktio on esimerkiksi F( ) b) Kikki integrlifunktiot F( ) + C, missä C on vkio Vstus: ) F( ) b) F( ) + C, C on vkio. Kikki integrlifunktiot

Lisätiedot

Metsätieteen aikakauskirja

Metsätieteen aikakauskirja Msäin ikkuskirj Sisällys 2009 415 Msäin ikkuskirj 4/2009 1/2009 100-vuois Suon Msäillinn Sur 3 Tukiusrikkli Ln A. Lskinn, Hnn Nurinn, Mikko Kuril & Pkk Lskinn: Msin suojlun sosilissi ksävä ouinn Mrsä Msäksi

Lisätiedot

YMPJåoSTÖ 2?.5.14 J Ub,

YMPJåoSTÖ 2?.5.14 J Ub, YMPJåoSTÖ 2?.5.14 J Ub, ),II1 1 SATAMA ILMOITTAMIE YMPÄRISTÖ- SUOJELU TIETOJÄRJESTELMÄÄ JA SATAMA JÄTEHUOLTOSUUITELMA ranomaisen yheysiedo Merkiy ympärisönsuojelun ieojärjeselmään A. SATAMA TOIMITAA VALVOVA

Lisätiedot

dt c) Kun sakara-aallon jaksonpituus lyhenee, niin sen spektrissä spektriviivat etääntyvät toisistaan.

dt c) Kun sakara-aallon jaksonpituus lyhenee, niin sen spektrissä spektriviivat etääntyvät toisistaan. V Igraalimuuoks Kraushäiä ähä o poimiu kurssi ihäiä uosila 9. häi asauksia.. ässä häässä okaisssa kohdassa ab ola äi o oko osi ai päosi. Jos äi o milsäsi osi, kiroia s prää "O" oiki, os päosi, kiroia "V"

Lisätiedot

S Signaalit ja järjestelmät Tentti

S Signaalit ja järjestelmät Tentti S-7. Signaali ja järjeselmä eni..6 Vasaa ehävään, ehävisä 7 oeaan huomioon neljä parhaien suorieua ehävää.. Vasaa lyhyesi seuraaviin osaehäviin, käyä arviaessa kuvaa. a) Mikä kaksi ehoa kanaunkioiden φ

Lisätiedot

10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA

10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA MAA0 0. Määrätyn integrlin käyttö eräiden pint-lojen lskemisess 0. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA Edellä on todettu, että f (x)dx nt x-kselin j suorien x =, x = sekä funktion

Lisätiedot

Nuotanvetäjäpatsaan sijainti

Nuotanvetäjäpatsaan sijainti Kaupunginvaltuusto 47 09.06.2014 Kaupunginhallitus 292 16.06.2014 Kaavoitus- ja 112 11.12.2014 ympäristölautakunta Kaavoitus- ja ympäristölautakunta 61 10.06.2015 Nuotanvetäjäpatsaan sijainti 479/00.07.01/2014

Lisätiedot