29.3. Hermiittisen operaattorin spektraaliparven konstruktio.

Transkriptio

1 29. HERMIITTISEN OPERAATTORIN SPEKTRAALIESITYS Hermiittise operaattori spektraaiparve kostruktio. Ideoiti Varmistettuamme äi itegraai oemassaoo käymme varsiaise ogema kimppuu: Mite hermiittisestä operaattorista muodostetaa spektraaimitta E, joka avua A voidaa ausua diagoaaimuodossa A = M+ m λde λ. Arvataa auksi E 0 = E([, 0[). Tarkastetuamme esimerkkiä diagoaaimuotoista operaattoria oemme saaeet aihee ajatea, että diagoaaimuotoie operaattori o positiivie, jos E λ = 0kaikie λ 0. Erityisesti A: rajoittuma operaattori E([0, [) kuva-avaruutee, jota merkitsemme H [0, [ o positiivie ja rajoittuma operaattori E 0 kuva-avaruutee H 0 o egatiivie. Koska ortoprojektio määräytyy kuva-avaruudestaa, oisi riittävääöytääämä. Ku λ C {0}, ii operaattoreia T ja λt o tietysti aia sama kuva-avaruus. Siksi H [0, [ saattaisi hyviki oa sama asia kui kui A: positiivise osa A + = M + λde 0 λ. kuva-avaruus. Tämä ohjema äpiviemisee tarvitaa kostruktio, joa A: positiiviosa saadaa määrättyä suoraa ima spektraaiesitystä. Osoittautuu, että se oistuu: A + = 1 2 ( A 2 A). Neiöjuure voi koettaa määriteä sarjakehitemä avua. Toteutamme edeä hahmoteu suuitema, mutta motivaatio yäpitämiseksi emme tee sitä ihajärjestyksessä, vaa katsomme esi, mite A: positiiviosa kuva-avaruude avua kostruoidaa etsitty spektraaiparvi. Kostruktio aoitetaa asettamaa E + = I E 0. Seuraava emma uetteee A: positiiviosa kuva-avaruudee projisioiva projektio E + oeeiset omiaisuudet: Lemma Hermiittisestä operaattorista A ähtemää voidaa kostruoida ortoprojektio E +, joa o seuraavat omiaisuudet: (1) E + kommutoi A: kassa ja jokaise seaise operaattori kassa, joka kommutoi A: kassa, ts. jos B B(H) ja AB = BA, ii E + B = BE +. (2) AE + 0 ja A(I E + ) 0. (3) Ker A Ker(I E + ). Todistus. Perusteu idea esitettii edeä. Yksityiskohdat käymme äpi kohdissa Määritemä Okoo E λ = I E + (λ), missä E + (λ) o hermiittisestä operaattorista A λi emma 29.10mukaa kostruoitu projektio. Huomautus Ideaa o, että E + (λ) o ikimai projektio operaattori Aλ:aa suurempia spektraaiarvoja vastaavae aiavaruudee, joka o sama kui operaattori A λi positiivisia spektraaiarvoja vastaava aiavaruus. Lausee todistus. Osoitamme, että edeä määritety kuvaus E täyttää ausee 29.6 ehdot. Emme taaskaa etee aiva umerojärjestyksessä. Aiaki jokaie E λ o projektio (3) Hauttu kommutoitiehto seuraa tietysti emmasta Erityisesti siis E λ E µ = E µ E λ kaikia λ ja µ. Tätä kommutoitiehtoa käytämme seuraavissa askuissa tuo tuostaki.

2 f ( ) (1) Osoittaaksemme, että E λ o kasvava oetamme, että λ<µ,javäitämme, että E λ E µ, ei että E λ = E λ E µ, ei että operaattori P = E λ (I E µ )o0. E λ o määritety emma 29.10avua, jossa oeaista o 142, että (A λi)e λ 0 ja (A λi)(i E λ ) 0. Tietysti samat kaavat pätevät E µ :e. Projektioide perusomiaisuudesta E 2 = E saadaa, että E λ P = P ja (I E µ )P = P. Tehtävää o osoittaa, että jokaie Px o 0. Koska ii (1): ojaa E λ (Px)=Px ja samoi (I E µ )(Px)=Px, (2) ((A λi)px Px)=((A λi)e λ Px Px) 0ja ((A µi)px Px)=((A µi)(i E µ )Px Px) 0. Erotus ataa (λ µ)(px Px)=(λ µ) Px 2 0. Mutta oetimme λ<µ, jote imeisesti todea Px = (2) ja 29.6.(4) Spektraaiparve kuuuu oa vasemmata vahvasti jatkuva. Näytämme samatie oikeapuoeisteki pisteittäiste raja-arvoje oemassaoo. Muistamme auksi, että reaaiarvoisea kasvavaa fuktioa o kaikkiaa oemassa toispuoeiset raja-arvot. Todistammeki väitteemme reaaiarvoise fuktio λ (E λ x x) avua. Ee sitä kirjaamme kuiteki vieä edeise kohda havaitoja vähä uutee muotoo: Vamisteu. Okoo taas λ<µ. Merkitää =[λ, µ[ ja E( ) = E([λ, µ[) = E µ E λ. Koska λ E λ o kasvava parvi projektioita, ii E µ E( ) = E( ) ja (I E λ )E( ) = E( ) 0. Todistukse akuosassa esiityvät kaavat (1) koskevat eriksee ukuja λ ja µ, jote yhtä aia (3) (A µi)e µ 0ja samasta syystä (A λi)(i E λ ) 0. Saamme: (4) (A µi)e( )=(A µi)eµe( ) 0 (A λi)e( )=(A λi)(i Eλ)E( ) 0, 142 Muista askiessasi että määritemässä o kaksi siirtymää kompemetaarisee avaruutee: E λ = I E + (λ), missä E + (λ) o hermiittisestä operaattorista A λi emma mukaa kostruoitu projektio.

3 29. HERMIITTISEN OPERAATTORIN SPEKTRAALIESITYS 253 jote (5) λe( ) AE( ) µe( ), missä =[λ, µ[. Näide vamisteuje jäkee tarkastamme raja-arvo-omiaisuudet kohdassa µ R. Okoo sitä varte x H. Parve λ E λ kasvavuude takia fuktio λ (E λ x x) o kasvava, jote siä o aiaki toispuoeiset raja-arvot im λ µ (E λ x x) ja im λ µ (E λ x x). Okoot λ<ν<µ. Koska E ν E λ o ortoprojektio, ii E ν x E λ x 2 =((E ν E λ ) 2 x x) =((E ν E λ )x x) =(E ν x x) (E λ x x) 0 H, ku λ µ ja siis myös ν µ. Koska avaruus H o täydeie, o siis oemassa raja-arvot im λ µ E λ x = E µ x ja im λ µ E λ x = E µ+ x. O eää varmistettava parve vahva jatkuvuus vasemmata, siis että kaikia x H o E µ x = E µ x. Okoo E( 0 )=E µ E µ ja x H. Määritemie mukaa E( )x =(E µ E λ )x λ µ E( 0 )x. Oemme edeä jo huomaeet kaavassa (5), että λe( ) AE( ) µe( ), jote operaattori µe( 0 ) AE( 0 )osekä positiivie että egatiivie, siis oa. Toisi saoe (µi A)E( 0 )=0, ei operaattori (µi A) rajoittuma projektio E( 0 ) kuva-avaruutee o 0, ei Im (E( 0 )) Ker(µI A). Lemma 29.10komas varta vaste tätä tarkoitusta varte asetettu ehto Ker(µI A) Ker(I E + (λ)) ataa tiedo Im (E( 0 )) Ker(I E + (λ)) ei E µ E( 0 )=0. Kaikia x H pätee siis E( 0 )x = im λ µ E( )x =im λ µ E µ E( )x = E µ E( O )x =0, jote E( O )x =0, mikä juuri o hauttu vasemmapuoeie pisteittäie jatkuvuus. Osoitetaa seuraavaksi kohdat 29.6.(3) ja 29.6.(1), joide mukaa riittää itegroida A: aarajasta m se yärajaa M. Okoo auksi E λ 0. O oemassa x H, joa E λ x 0. Voimme vaita x: site, että vektori y = E λ x pituus o 1. Nyt (Ay y) λ =((A λi)y y) =((A λi)e λ y y) 0, koska oemme aikaisemmi osoittaeet, että (A λi)e λ 0. Tästä saadaa hauttu epäyhtäö m (Ay y) λ. Okoo seuraavaksi E λ I. Sovetamaa edeistä päätteyä operaattorii I E λ saadaa epäyhtäö λ M. Lausee 29.6 väitteistä o eää jäjeä mieekiitoisi kohta (2) A: ausumie spektraai-itegraaia. Tarkasteaa jakoa m = λ 0 <λ 1 < <λ = M + ε

4 f ( ) 254 ja merkitää k =[λ k 1,λ k [, jooi E( k )=E λk E λk 1. Edeä todistetu tärkeä epäyhtäö (5) mukaa λe( ) AE(δ) µe( ), ku λ<µ, jote Summaamaa puoittai saadaa λ k 1 E( k ) A k=1 λ k 1 E( k ) AE( k ) λ k E( k ). E( k ) k=1 λ k E( k ) Tietysti k=1 E( k)=i. Muuta ei tarvita, siä tiedämme jo, että jao tihetyessä kumpiki summa suppeee kohti samaa operaattoria M + λde 0 λ. Perusteemme opuksi spektraaiparve yksikäsitteisyyde. Muistamme sitä varte ieaarisuusausee 29.7 atama tiedo, joka mukaa jokaisea poyomia p pätee M+ε p(a) = p(λ) de λ. m Tästä saadaa kaikia x H summie p(ξ k )(E( k )x x) raja-arvoja katsomaa: (p(a)x x) = M+ε m k=1 p(λ) d(e λ x x), missä oikea puoi o tavaie Riema-Stietjes-itegraai, oha fuktio λ (E λ x x) kasvava. Okoopa yt sitte F λ toie spektraaiparvi, joa A = M+ε m λdf λ, ja joka toteuttaa myös auseemme jatkuvuus- ja kommutoitiehdot. Täöi tietysti myös M+ε p(a) = p(λ) df λ, jote kaikia x H ja poyomeia p pätee 0= M+ε m m p(λ) d((e λ x x) (F λ x x)) = M+ε m p(λ) d((e λ F λ x x)). Stoe ja Weierstrassi ausee mukaa poyomit ovat sup-ormi mieessä tiheässä kaikkie väiä jaktuvie fuktioide avaruudessa. Siksi M+ε m p(λ) d((e λ F λ )x x) =0 kaikia jatkuvia fuktioia p. Tästä seuraa (harjoitustehtävä; huomaa isätieto: λ ((E λ F λ )x x) o vasemmata jatkuva!), että ((E λ F λ )x x) o vakio, joka

5 29. HERMIITTISEN OPERAATTORIN SPEKTRAALIESITYS 255 tietysti o 0, koska E m = F m. Hermiittie operaattori E λ F λ o site sekä positiivie että egatiivie, siis 0. Ryhdymme yt todistamaa kostruktio keskeistä emmaa 29.10, joka mukaa hermiittisestä operaattorista A ähtemää voidaa kostruoida ortoprojektio E +, joa o seuraavat omiaisuudet: (1) E + kommutoi A: kassa ja myös jokaise seaise operaattori kassa, joka kommutoi A: kassa, ts. jos B B(H) jaab = BA, iie + B = BE +. (2) AE + 0ja A(I E + ) 0. (3) Ker A Ker(I E + ). Todistusta varte tarvitaa positiivise operaattori eiöjuuri, joka oemassaoo o tärkeä keksitö Positiivise operaattori eiöjuuri. Määritemä Positiivise operaattori A (positiivie) eiöjuuri (positiivie) hermiittie opeaattori B, joe B 2 = A. Tavoitteeamme o viime kädessä määriteä hermiittise operaattori positiivie osa. Positiivie osa tuee oemaa 1 2 ( A A), missä A = A 2. Siksi eiöjuure oemassaoo todistamie o tarpeeista. Seuraavat kome ausetta johtavatki tähä tuoksee. Lemma Jos hermiittiset operaattorit A ja B kommutoivat, ja B o positiivie, ii myös BA 2 0. Todistus. o (BA 2 x x) =(ABAx x) =(BAx Ax) 0. Lause (Riesz. 1930). Jos A ja B ovat o positiivisia ja AB = BA, ii myös BA 0. Todistus. Voimme oettaa, että A 0ja samatie, että A = 1. Kostruoidaa rekursiivisesti joo hermiittisiä operaattoreita A A 1 = A A +1 = A A 2. Ideaa o äyttää, että kaikia x H pätee Ax = k=1 A2 kx, jooi päästää käyttämää edeistä emmaa. Tietysti jokaie A k kommutoi B: kassa. Koska määritemä mukaa A 2 = A A +1, ii A 2 k = k=1 (A k A k+1 )=A 1 A +1 = A A +1, k=1 ja riittää osoittaa, että A x 0kaikia x H.

6 f ( ) 256 Aoitetaa tarkastamaa iduktioa, että 0 A I. Aku o triviaai: 0 A 1 = A A I = I. Iduktioasketa varte oetetaa, että 0 A I, toisi saoe 0 A ja 0 (I A ). Määritemä mukaa A +1 = A A 2 = (I A )A, jote tiae ei oe sama kui edeisessä emmassa. Asiatia voidaa korjata: A +1 = A (I A )=A (I A ) 2 +(I A )A 2. Näi siis todea A Toie epäyhtäö saadaa hepommi: (I A +1 )=I A + A 2 0. Ku äi o todistettu, että 0 A I, ii siirrytää äyttämää, että A k x 0,kux H. Jokaisessa pisteessä x H pätee kaikia : A k x 2 = k=1 (A k x A k x)= i=1 (A 2 kx x) = i=1 ( ) = A 2 kx x =(A 1 x x) (A +1 x x) (A 1 x x), i=1 jote positiivitermie sarja o rajoitettu ja siis suppeee. Tämä riittää. Seuraava havaito o, että kasvava, rajoitettu joo hermiittisiä operaattoreita A suppeee, mikäi yäraja B kommutoi jokaise A : kassa. Seuraus Jos kasvavaa jooa hermiittisiä keskeää kommutoivia operaattoreita (A ) N B(H) o yäraja B (H), joka kommutoi jokaise A : kassa, ii joo suppeee pisteittäi ei vahvasti kohti jotaki hermiittistä operaattoria A. Todistus. Erotukset T = B A muodostavat väheevä joo keskeää kommutoivia positiivisia operaattoreita. Rieszi ausee mukaa (T m T )T m 0 ja (T m T )T 0ku m<. Erityisesti siis täöi jokaisee x H pätee (T 2 mx x) (T m T x x) (T 2 x x). Näioe ei-egatiiviset uvut (T 2 mx x) muodostavat väheevä joo, joka siis suppeee. Lisäksi (T m T x x) suppeee kohti samaa raja-arvoa, ku ja m kasvavat rajatta. Tästä seuraa, että joo (T m x) N H o Cauchy, siä T m x T x 2 =((T m T ) 2 x x) =(T 2 mx x)+(t 2 x x) 2(T m T x x) 0. Avaruude H täydeisyyde vuoksi (T x) N suppeee ja siis myös jooa (A x) N o raja-arvo. 143 Vertaa reaaiukuje aksioomii!

7 29. HERMIITTISEN OPERAATTORIN SPEKTRAALIESITYS 257 Lause Jos A B(H) o positiivie, ii o oemassa tasa yksi positiivie operaattori B B(H), joe B 2 = A. Tämä operaattori, A: positiivie eiöjuuri B = A kommutoi jokaise seaise operaattori kassa, joka kommutoi A: kassa. Todistus. Ideaa o matkia tuettua tapaa muodostaa positiiviuvu eiöjuuri Baachi kiitopisteausee avua. Riittää tietysti tutkia tapausta, jossa A I. Määriteää rekursiivisesti joo hermiittisiä A: ja jokaise se kassa kommutoiva operaattori kassa kommutoivia operaattoreita asettamaa B 0 =0 B +1 = B (A B2 ). Osoitamme, että joo suppeee pisteittäi, ja että raja-arvo o A: positiivie eiöjuuri, vieäpä aioa. Aiaki B I, siä (1) I B +1 = 1 2 (I B ) (I A) 0. Yhtäöstä (1) saamme samaa tiedo, että B +1 B = 1 2( (I B 1 +(I B ) ) (B B 1 ), josta seuraa iduktioa, että joo (B ) N o kasvava. Seuraukse perusteea joo siis suppeee pisteittäi kohti jotaki hermiittistä tässä tietysti suorastaa positiivista operaattoria B, joka kommutoi A: ja jokaise se kassa kommutoiva operaattori kassa, ja joe B -joo kostruktio ojaa pätee B = B (A B2 ), ei B 2 = A. Positiivise eiöjuure oemassaoo o todistettu. Näytetää vieä se yksikäsitteisyys. Okoo D toie A: positiivie eiöjuuri. Merkitää y = Bx Dx, ku x H. ((B + D)y y) =((B + D)(B D)x y) =((B 2 D 2 )x y) =0. Tästä seuraa, että (By y) =(Dy y) = 0, siä B ja D ovat positiivisia operattoreita. Koska B ja D ovat positiivisia, o iiäki positiiviset eiöjuuret. Okoo C = B. Nyt Cy 2 =(C 2 y y)(by y) =0, jote CY = 0ja siis myös By = 0. Samoi Dy = 0. Saamme: Bx Dx 2 =((B D) 2 x x) =((B D)y x) =0.

8 f ( ) Spektraaiparve kostruktio puuttuva osa. Lause Okoo A (H) hermiittie. Okoo E + ortoprojektio aiavaruudee K + = Ker(A A 2 ).Täöi E + :a o emma vaatimat omiaisuudet: (1) E + kommutoi jokaise seaise operaattori kassa, joka kommutoi A: kassa. (2) AE + 0 ja A(I E + ) 0. (3) Ker A Ker(I E + ). Todistus. (1) Okoo AD = DA. Täöi myös (A A 2 )D = D(A A 2 ), jote D(K + ) K + ja siis DE + (H) =D(K + ) K +,eie + DE + = DE +. Myös adjugaatti D kommutoi tietysti A: kassa, jote samoi perusteui saadaa E + D E + = D E +.Näistä seuraaki E + D =(D E + ) =(E + D E + ) = E + DE + = DE +, siis väite (1). (3) Okoo Ax = 0. Sioi kaikia x H: ( A 2 x A 2 x)=(a 2 x x) =(0 x) =0, jote A 2 x =0,jasiisx Ker(A A 2 )=K +, jote E + x = x. (2) Aoitetaa viimeie vaihe osoittamaa, että AE + 0. Rieszi ausee mukaa kahde kommutoiva positiivise operaattori tuo o positiivie. Projektioa E + tieteki o positiivie, mutta A yeesä ei. Väitteemme saadaa kuiteki todistettua, siä AE + = A 2 E +, koska kohda (1) kommutaatioomiaisuuksie ja E + : määritemä ojaa AE + A 2 E + = E + (A A 2 )=0. Toise epäyhtäö A(I E + ) 0osoittamiseksi riittää Rieszi ausee mukaa äyttää, että ( ) A(I E + )= (I E + ) A 2. Kaikia x H o jote Im ei Mutta E + A = E + A2, jote (A A 2 )(A + A 2 )x =(A 2 A 2 )x =0, (A + A 2 ) Ker(A A 2 )=K + =ImE +, E + (A + A 2 )=(A + A 2 ). E + A = E + A2 = 1 2 (A + A 2 ). Yhtäössä ( ) ja koko auseessa ei oe eää todistettavaa. Myös spektraaiesitysause o todistettu.

9 HARJOITUSTEHTÄVIÄ JA HUOMAUTUKSIA LUKUUN X 259 Harjoitustehtäviä ja huomautuksia ukuu X Harjoitustehtäviä ukuu X Okoo D ääreisuotteise avaruude H = C diagoaaioperaattori, joa o omiaisarvot λ 1 < <λ ja stadardikaassa matriisi λ Mat D = λ Määrää spektraaiparvi E : R B(C ) site, että D D = M+ m λde λ. Vrt. esim a) Okoo D ääreisuotteise avaruude H = C diagoaaioperaattori, joa o omiaisarvot λ 1,...λ k omiaisavaruuksi H 1,...,H k H λ λ 1 Mat D = λ K λ k Osoita, että D o muotoa D = M+ m λde λ ja määrää spektraaiparvi E : R B(C ). b) Määrää projektio E([a, b[) kaikie väeie. c) Määrää projektio E(A) kaikie avoimie joukoie A R. c) Määrää projektio E(B) kaikie Borei joukoie B R. (Jos mittateoria ei oe iha vireessä, uohda koko juttu.) Okoo H = C.Määrää joki muotoa D = 0+ 0 λde λ oeva operaattori, missä spektraaiparvee E : R B(C ) iittyvä mita kataja sisätyy joukko {0}, toisi saoe E([a, b[)=0,ku0 / [a, b[ Okoo H = C.Määrää kaikki muotoa D = 1+ 1 λde λ, 144 Fyysikoide käyttämi bra- ja ket-merkiöi: ( e 1 )e 1 = e 1 e 1.

10 f ( ) 260 oevat operaattorit, missä spektraaiparvee E : R B(C ) iittyvä mita kataja sisätyy joukko {1}, toisi saoe E([a, b[) = 0, ku 1 / [a, b[. Koeta yeistää avaruutee 2 tai jopa yeisee Hiberti avaruutee H Okoo T t kute esimerkissä 3.3.6, ts. T t : H H : f f χ [0,t], missä H = L 2 [0, 1]. Osoita, että T o spektraaiparvi. Mikä o vastaava diagoaaioperattori 1+ D = λdt λ? Määrää edeise tehtävä operaattori omiaisarvot. Mitä osaat saoa se spektristä? Uitaarie operaattori U L(H) o aia muotoa U = π π π cos λdµ λ + i si λdµ λ. π Vihje. Lemma: O oemassa hermiittie operaattori T site, että U =exp(it ) = cos T + i si T Sp(T ) [ π, π]. ja Huomautuksia ukuu X. Per aspera ad astra? Kirjoittaja o puoittai tahaisesti saaut fysiikasta kiiostueeta ukijataa ogema: ormiagebra B ei soveu kvattimekaiika maiksi. Vika o siiä, että kvattimekaiikassa ovat keskeisessä rooissa operaattorie kommutaattorit ST TS. Erityisesti tarvitaa tiaetta, jossa ST TS = I. Mutta mikää Baach-agebra ykkösakiota ei voi esittää kahde muu akio kommutaattoria. Jos imittäi oisi ST TS = I, ii saataisii Tästä saataisii ormeie ST = STT 1 =(I + TS)T 1 = T 1 + TST 1 = T 1 + T 1 + T 2 ST 2 =... = T 1 + T S. (1) ST T S = T 1 = T 1. Mutta vase puoi o (2) STT 1 T 1 TS STT 1 + T 1 TS =( ST + TS ) T 1. Yhdistämää (1) ja (2) saataisii ristiriita: ( ST + TS ) kaikia. Ogema ratkaistaa kvattimekaiikassa siä tavaa, että siirrytää tarkasteemaa epäjatkuvia operaattoreita. Jotta ei meetettäisi iikaa teoriaa vaaditaa

11 HARJOITUSTEHTÄVIÄ JA HUOMAUTUKSIA LUKUUN X 261 kuiteki, että kuvaaja o sujettu. Sujetu kuvaaja ausee mukaa ei kyäkää Hibert-avaruudessa oe epäjatkuvia operaattoreita, joide graafi oisi sujettu. Tästä sevitää tyytymää operaattoreihi, jotka eivät oe määritetyjä koko Hibert-avaruudessa, vaa aioastaa se tiheässä aiavaruudessa. Kummasteua. O hyvi ihmeeistä, että umeroituvauotteisea avaruudea voi oa yiumeroituva määrä sisäkkäisiä sujettuja aiavaruuksia. Näi kuiteki o. Vaihtoehtoie esitystapa hermiittise operaattori spektraaiesityksee. 145 Okoo T hermiittie. Täöi o oemassa spektraaimitta µ site, että kaikia ε > 0o oemassa N ja uvut 0 t 1 t < ja λ 1,...,λ C site, että T µ[t j 1,T j ] B(H) <ε. i=1 Tässä spektraaimitaa µ tarkoitetaa kuvausta reaaiukuje Bore-joukoita operaattoriagebraa B(H), site että (1) Jokaie µ(m) o ortogoaaiprojektio. (2) µ( ) =0. (3) µ(r) =I. (4) M 1 M 2 = = µ(m 1 M 2 )=µ(m 1 )+µ(m 2 ) (additiivisuus) (5) M 1 M 2 = = µ(m 1 )µ(m 2 ) = 0( Vrt (2)) (6) M 1 M 2 = µ(m 1 ) µ(m 2 ) projektioide järjestykse mieessä. Kaike tämä imaisee yhyt kaava T = λdµ λ, joka o sikäiki perustetu, että kaikie x, y H pätee ja (Tx,y)= (Tx,x)= λd(µ λ x y), λd µ λ x 2, missä o merkitty yhyesti µ λ = µ(,λ] ja itegroiit tapahtuvat tavaisessa Lebesgue-Stietjes-mieessä. Hyvä ukija. Kirjoita tekijäe parausehdotuksia ukuu X. 145 [He-S].

12 f ( ) 262 LIITE: VALINTA-AKSIOOMA, HYVINJÄRJESTYS JA KANTA 1. Vaita-aksiooma eri muotoja ( ) Todistamme seuraavat auseet ekvivaeteiksi vaita-aksiooma kassa: Hausdorffi maksimaaisuusperiaate, Zori emma ja hyvijärjestysause. Muotoiemme väitteet sitä mukaa kui todistus eteee. Aoitamme ehkä uskottavimmaa, aiaki vähite määritemiä sisätävää: itse vaita-aksioomaa. Kovaa työä todistamme siitä Hausdorffi maksimaaisuusperiaattee ja sioi Zori emma, edeee hyvijärjestysause ja oputa pauu vaita-aksioomaa ovatki pekkää asketteua aamäkee. Maiittakoo, että jogeorg Cator käytti hyvijärjestysausetta ja Erst Zermeo 146 todisti se v ekvivaetiksi samaa käyttöö ottamasa vaita-aksiooma kassa uvu aussa Hausdorff 147 käytti maksimaaisuusperiaatettaa. Uusi auseista o Zori emma. Vaita-aksioomasta esiityy kirjaisuudessa myös versioita, jotka eivät oe esittämämme kassa yhtäpitäviä mutta paveevat kuiteki samatapaisia tarkoituksia. Aksiooma 1. (Vaita-aksiooma). Joukkoje E i,i I karteesie tuo E i fi = f(i) E i i I } i I E i = { f : I i I o aia epätyhjä, ku I ja jokaie E i ovat epätyhjiä. Saomme karteesise tuo akioita tässä yhteydessä vaitafuktioiksi. Määritemä 2.Jouko E reaatio ojärjestys, ja(e, ) ojärjestetty joukko, mikäi toteuttaa ehdot: (1) x x kaikie x E. (refeksiivisyys) (2) Jos x y ja y z ii x z. (trasitiivisuus) (3) Jos x y ja y x ii x = y. (atisymmetria) Järjestys o täydeie, mikäi isäksi (4) Kaikia x, y E pätee x y tai y x. Samaa o tapaa imaista saomaa, että (E, ) otäysi järjestetty joukko ei ketju 148. Esimerkiksi joukkoje ikuusio ojärjestys ja uooiste ukuje järjestys o täydeie järjestys. 146 Erst Friedrich Ferdiad Zermeo , Saksa. 147 Feix Hausdorff (!), Saksa. 148 Samaa tarkoittavat myös ieaarie ja totaai järjestys

13 1. VALINTA-AKSIOOMAN ERI MUOTOJA ( ) 263 Määritemä 3. Okoo a E ja E, missä(e, ) ojärjestetty joukko. (1) a o A: yäraja, mikäi x a x A. (2) a o A: suuri akio, mikäi x a x A ja isäksi a A. (Vastaavasti määriteää piei akio.) (3) a o A: supremum, mikäi se o A: yärajoje jouko piei akio. Merkitsemme: a = sup A. (4) a o A: maksimaaie akio, mikäi x A : x>a. (5) [a, ] ={x E a x} Vastaavasti määriteää aaraja, piei akio, ifimum ja miimaaie akio. Huomautus 4. Mitää edeämaiituista ei oe oemassa aia. Oessaa oemassa suuri ja piei akio ovat yksikäsitteisiä, samoi siis sup A ja if A. Yärajoja ja maksimaaisia akioita o usei pajoki. Lemma 5. (Kiitopisteemma). Okoo (E, ) järjestetty joukko, joka jokaisea epätyhjää osaketjua o supremum joukossa E ja okoo f : E E seaie fuktio, että x E : f(x) x. Täöi o oemassa f: kiitopiste, ei ehdo f(x) =x toteuttava x E. Todistus. Vaitaa auksi kiiteä a E. Määriteää apukäsitteeksi (a:ha iittyvä) Hausdorff-joukko, yhyesti H-joukko, seuraavasti: B o H-joukko, jos (1) a B. (2) x B = f(x) B, ts. f(b) B. (3) Jos K B o ketju, ii sup K B. (sup K o emma oetukse mukaa oemassa.) Todistukse ideaa o äyttää kaksi asiaa: kaikkie H-joukkoje eikkaus o täysi järjestetty H-joukko ja täysi järjestetty H-joukko sisätää kiitopistee. Huomataa auksi, että E itse o H-joukko, jote kaikkie H-joukkoje joukko {B i i I} o epätyhjä. Okoo A kaikkie H-joukkoje eikkaus: A = i I B i. O imeistä, että A o H-joukko ja tietysti ikuusio mieessä piei seaie. Toisaata myös [a, ] o H-joukko. Siksi toisi saoe A [a, ], x A a x. Todistukse pääosa muodostaa päättey, joka osoittaa, että (1) x, y A : x y tai f(y) x, erityisesti A o siis täysi järjestetty.

14 f ( ) 264 Väite (1) merkitsee samaa 149 kui x y = f(y) x. Okoo P = {x A y A : y<x = f(y) x}. Tavoitteea o osoittaa, että myös P o H-joukko ja siis P = A. Tämä todistamisessa o varsiaie vaiva. Kaikia x P asetetaa B x = {z A z x tai z f(x)}. O rutiiiasia osoittaa, että jokaie B x o H-joukko. Teemme se täydeisyyde vuoksi: (1) x P = x A, siis x P = a x a A ja a x = a B x. (2) z B x = (joko z x tai z f(x)). Käsitteemme ämä tapaukset eriksee. (2a) Jos z<x, ii P : määritemä mukaa f(z) x ja siis f(z) B x. Jos taas z = x, ii f(z) =f(x) f(x) ja siis täöiki f(z) B x. (2b) z f(x) = f(z) z f(x) = f(z) f(x) ja siis f(z) B x. (3) Okoo K B x epätyhjä osaketju. Sioi K o myös H-jouko A epätyhjä osaketju ja siis sup K A. Osoitetaa, että se kuuuu jo B x :ää. Aiaki, jos x o K: yäraja, ii sup K x ja siis sup K B x. Jos taas x ei oe K: yäraja, ii o oemassa y K site, että y x. Nyt y K B x = y x tai y f(x), jote y f(x). Mutta y sup K, jote sup K f(x) ja siis sup K B x. No ii: A B x. Oemme todistaeet, että pätee: (2) x P ja z A = z B x, ei x P ja z A = z x tai z f(x). Tuokse (2) avua äytetää yt, että P o H-joukko ja siis P = A. (1) a P, siä P : määritteevä ehto o triviaaisti voimassa a:e. (2) Osoitetaa, että f(p ) P. Okoo x P.Tämä merkitsee, että x A ja y A ja y<x = f(y) x. Väitämme, että f(x) P, ei että f(x) A ja y A ja y<f(x) = f(y) f(x). 149 Huomaa, että täydeisessä järjestyksessä o x y y<x.

15 1. VALINTA-AKSIOOMAN ERI MUOTOJA ( ) 265 Esimmäie väite f(x) A o sevästi tosi, koska A o H-joukko. Okoo yt y A site, että y<f(x). O aika käyttää ehtoa (2). Se mukaa y x tai y f(x), koska x P ja y A. Oetimme, että y<f(x), jote vaihtoehto y x toteutuu. Tapauksessa y = x o tietysti f(y) f(x), kute pitääki. Tapauksessa y<xpääteää seuraavasti: f(y) x, koska x P ja y A, x f(x) aia, siis f(y) f(x). (3) Okoo opuksi K jouko P epätyhjä osaketju. Väitämme, että sup K P. Väite merkitsee, että sup K A ja y A ja y<sup K = f(y) sup K. Aiaki K P A ja A o H-joukko, jote sup K A. Toise puoe toteamiseksi vaitaa y A, joe y<sup K. O oemassa x K, joe x y. Käytämme toistamisee ehtoa (2), joka yt takaa, että y x tai y f(x). Esi maiittu tapaus impikoisi mahdottomuude y f(x), jote y x ja itse asiassa y<x, siä oetimme, että y x. P : määritemä mukaa f(y) x, mutta x K = x sup K, jote f(y) sup K, kute pitiki. Oemme todistaeet, että P o H-joukko ja siis P = A. Ehto (2) sovetuu siis kahtee A: akioo x ja y ja tavoitteemme (1) x, y A : x y tai f(y) x, o saavutettu. A itse o siis täysi järjestetty ei ketju ja isäksi epätyhjä. O opuksi vai huomattava, että H-joukkoa A siis sisätää akioidesa supremumi x = sup A A, ja se o f: kiitopiste, koska ehto y x y A ja H-joukkoehto f(x) A yhdessä atavat f(x) x, mutta oetettii, että aia f(x) x. Lause 6 (Hausdorffi maksimaaisuusperiaate). Oetamme seuraavassa, että vaita-aksiooma o voimassa. Jos K o järjestety jouko (E, ) osaketju, ii o oemassa sitä aajempi E: osaketju L, joka o ikuusio suhtee maksimaaie. Lause saoo siis, että jokaie osaketju K sisätyy aiaki yhtee maksimaaisee. Todistus. Teemme vastaoetukse, joka mukaa o oemassa E ja se osaketju K site, että K ei sisäy mihikää maksimaaisee E: osaketjuu. Okoo L = {L E K L, L o E: osaketju}.

16 f ( ) 266 Kaikia L Lo siis vastaoetuksemme mukaa joukko L L = {L E L L,L o E: osaketju} epätyhjä, jote vaita-aksiooma ojaa o oemassa vaitafuktio f L L L L. Tämä tarkoittaa, että o oemassa fuktio f : L L L L L L site, että kaikia L L: f(l) L L, ei f o ikuusio mieessä kasvava fuktio: L f(l). Kuvaukse f kiitopiste o etsimämme maksimaaie ketju. Se oemassaoo takaa kiitopisteemma 5, siä ehdot ovat voimassa: f o kasvava ja jokaisea epätyhjää osaketjua T L o supremum L:ssä, imittäi akioidesa yhdiste. Lause 7 (Zori emma). Okoo (E, ) järjestetty joukko, joka jokaisea epätyhjää osaketjua o yäraja joukossa E. Sioi itse E :ssä o oemassa aiaki yksi maksimaaie akio. Todistus. Todistamme, että Hausdorffi maksimaaisuusperiaatteesta 6 seuraa jopa, että kaikia a E o oemassa maksimaaie b E site, että a b. Okoo siis a E. Varmasti {a} o E: epätyhjä osaketju, jote Hausdorffi maksimaaisuusperiaattee ojaa o oemassa maksimaaie osaketju K {a}. Nyt siis a K. Oetukse ojaa K:a o yäraja joukossa E. Okooseb. Osoitamme yt heposti, että tämä b kepaa. Aiaki ehto a b o voimassa. Maksimaaisuustodistukse auksi taas huomataa, että b K. Tämä johtuu siitä, että myös joukko L = {b} K o E: osaketju, vieäpä K: sisätävä. Koska kuiteki K o maksimaaie, o siis L = K ja b K. Siisb o maksimaaise osaketju K suuri akio. Tästä kyä seuraa, että b o koko E: maksimaaie akio, joaise oemassaooa oemme todistamassa. Jos imittäi oisi oemassa sitä aidosti suurempi akio, vaikkapa y>b, ii iittämää y joukkoo K saataisii sitä ikuusio mieessä aidosti suurempi osaketju L = K {y} K, vastoi K: maksimaaisuutta. Zori emma seuraa siis Hausdorffi maksimaaisuusperiaatteesta. Huomautus 8. Seuraava ause saoo, että mikä tahasa joukko voidaa järjestää hyvi. Tarvitsemme imeisesti määritemä.

17 1. VALINTA-AKSIOOMAN ERI MUOTOJA ( ) 267 Määritemä 9. Järjetetty joukko (E, ) o hyvi järjestetty, mikäi se jokaisessa epätyhjässä osajoukossa o piei akio. Esimerkiksi uooiste ukuje järjestys o hyvä, mutta reaaiukuje tavaie järjestys ei oe hyvä. Luooisesti jokaie hyvi järjestetty joukko o ketju ei täysi järjestetty. 150 Lause 10 (Hyvijärjestysause). Jokaisea joukoa o aiaki yksi hyvä järjestys. 151 Todistus. Tyhjä joukko o triviaaisti hyvi järjestetty, jote voimme oettaa, että E. Todistusideaa o käyttää Zori emmaa E: hyvi järjestettyje osajoukkoje joukossa F = {(A, A ) A E, A o joki hyvä järjestys A:ssa}, joka o varustettu uooisea järjestysreaatioa: A B, reaatiot A ja B yhtyvät A:ssa ja (A, A ) (B, B ) B A: akiot ovat B mieessä suurempia kui A:. O heppo ähdä, että (F, ) ojärjestetty joukko. Pekkää verifioitia o myös äyttää, että Zori emma ehto täyttyy, ei että se jokaisea epätyhjää osaketjua o yäraja. Teemme se siti: (1) Okoo G jouko F: epätyhjä osaketju. O uooista yrittää se yärajaksi se akioide yhdistettä Y = G varustettua itsestää ehdokkaaksi tarjoutuvaa järjestysreaatioa x Y y (x, y A ja x A y joeki A G). Kaikie x ja y Y o tosiaa oemassa moemmat sisätävä A G, koska G o myös ikuusio mieessä ketju. Lisäksi imeisesti x Y y (x A y jokaisee A G, joe x, y A). (2) Reaatio Y o sevästiki järjestys joukossa Y. (3) Tarkastamme vieä, että Y o imeomaa hyvä järjestys joukossa Y. Otetaa tarkastetavaksi Y : epätyhjä osajoukko B ja muistetaa, että tavoitteea o öytää siitä piei akio. Koska Y o perheesee G kuuuvie joukkoje yhdiste, o oemassa A Gsite, että B A. 150 Hyvi järjestetyssä joukosa o mahdoista harrastaa iduktiotodistusta, s. trasfiiittista iduktiota, jossa iduktio-oetukse tosi kussaki askeessa täytyy päteä kaikie tutkittavaa aikaisemmie akioie. 151 Koetapa vai keksiä seaie reaaiuvuie!

18 f ( ) 268 Joukossa B A o hyvä järjestykse A mieessä piei akio, okoo se b. Näytetää, että b kepaa etsimäksemme akioksi, ei että b o B: piei akio järjestykse Y mieessä. Verrataa sitä mieivataisee B: akioo x seuraavaa tavaa: a) Jos x B A, iib A x ja siis b Y x. b) Jos x/ B A, ja siis x/ A, ii o kuiteki oemassa toie G: akio, vaikkapa A, site että b A. Tämä A ei tietekää voi oa A: osajoukko, vaa se sisätää A: toieha sisätää varmasti toise, koska G o ikuusioki mieessä ketju. Nyt siis ( ) b A ja x A A. Koska F: järjestykse mieessä oa A, ii kaavasta ( ) seuraa b Y x myös tässä tapauksessa. Tätä väitettii. (4) O opuksi sevää, että (, Y )og: yäraja. Zori emma ehto o siis voimassa ja voimme pääteä, että joukossa (F, ) o maksimaaie akio, okoo se (M, M ). Jouko E hyvä järjestys o öytyyt, mikäi M o ikuusio mieessä maksimaaie, ei M = E. Joka tapauksessa M E, jote atiteesi o E M. Okoo siis x E M. Järjestetää joukko M {x} sopimaa x se suurimmaksi akioksi. Tämä o sevästi hyvä järjestys vastoi M: maksimaaisuutta. Huomautus 11. Hyvi järjestetyssä joukossa o jokaisea akioa x yksikäsitteie väitö seuraaja, siis piei x:ää suurempi akio, mutta ei aia edetäjää. Esimerki tästä tarjoaa uooisesti koko hyvijärjestety jouko piei akio, esimerkiksi uooiste ukuje ykköe, mutta ei muiakaa akioia tarvitse oa edetäjää: vaikkapa hyvi järjestetty joukko sisätää myös edetäjättömä akio 1. Catori joukko-oppi o pajoti joukkoje mahtavuude ei kardiaaiukuje tutkimista. Joukotha ovat isomorfisia joukkoia, mikäi iiä o sama mahtavuus. Toie puoi joukko-oppia o s. ordiaaiukuje teoriaa. Ordiaaiuvut ovat hyvi järjestettyje joukkoje ekvivaessiuokkia järjestysisomorfismi mieessä. Lause 12. Hyvijärjestysauseesta seuraa vaita-aksiooma. Todistus 152. Okoo {E i } i I epätyhjä parvi epätyhjiä joukkoja. Hyvijärjestämme auksi yhdistee E i. i I Jokaisea se epätyhjistä osajoukoista E i o piei akio. Määriteää vaitakuvaus f : I i I E i : f i = E i : piei akio. 152 Metodi: Hyvijärjestä kaikki mihi pääset käsiksi.

19 2. HAMELIN KANTA 269 Muuta ei tarvita. Huomautus 13. Emme edeä oe tietekää todistaeet oikeaksi mitää vaita-aksiooma muotoa. Oemme vai äyttäet iide oeva voimassa joko kaikkie tai ei mikää, oettae sitä paitsi impisiittisesti tuku joukko-opi muita aksioomia asiaa se kummemmi ihmetteemättä. Oko esimerkiksi Zori emma sitte tosi vai ei? Tämä kysymys oi esimmäiseä siä kuuuisaa avoite matemaattiste ogemie istaa, joka Hibert esitti vuoa Ratkaisu o yättävä. Vuoa 1940 Kurt Göde oistui todistamaa, että vaita-aksiooma ei aiakaa oe ristiriidassa joukko-opi muide aksioomie kassa. Myöhemmi vuoa 1963 Pau Cohe osoitti, että vaita-aksioomaa ei myöskää voi todistaa oikeaksi ähtemää muusta joukko-opista. 153 Voimme siis joko hyväksyä tai hyätä se. Itse asiassa matematiikkaa tehdääki joskus ima vaita-aksioomaa ja joskus taas siäki tavaa, että käytetää jotaki aksiooma ievempää muotoa, esimerkiksi seaista, että umeroituva moe epätyhjä jouko karteesie tuo o epätyhjä. Tämä o yksi komesta kuuuisasta riippumattomuustodistuksesta. Eukeidee paraeeiaksiooma riippumattomuude muusta geometriasta esitti Boyai esimmäiseä jukisesti. 1830ja austava todistukse atoi Betrami Lopuise todistukse esitti Kei Komas riippumattomuustuos o kotiuumihypoteesi riippumattomuus muusta joukko-opista vaita-aksiooma mukaa ukie. Kotiuumihypoteesi saoo, että ei oe oemassa joukkoa, joka oisi mahtavuudetaa aidosti kokoaisukuje ja reaaiukuje väissä. Tämäki väittee riippumattomuude muista osoitti P. Cohe. Geometria-asia o aika heppo, mutta joukko-opi riippumattomuustodistukset edeyttävät matemaattise ogiika tietoja. 2. Hamei kata Määritemä 14. Joukko vektoriavaruude V vektoreita o ieaarisesti riippumato ei vapaa, mikäi jokaie se ääreie osajoukko o ieaarisesti riippumato tavaisessa mieessä. Määritemä 15. Jouko A V : virittämä vektoriaiavaruus o se akioide ieaarikombiaatioide joukko A = { x = λ i x i xi A, λ i K, N }. i=1 Saomme, että A virittää aiavaruude A. Huomaa, että A o suppei A: sisätävistä V : aiavaruuksista, siis iide kaikkie eikkaus. Määritemä 16.Vapaa ei ieaarisesti riippumato joukko o virittämäsä vektoriaiavaruude kata ei tarkemmi saoe se Hame-kata 155. Erityisesti seaie vapaa joukko, joka virittää koko vektoriavaruude V, o koko avaruude Hame-kata. 153 Kurt Göde , Itävata-Ukari USA ja Pau Cohe 1934-, USA. 154 Jáos Boyai , Romaia ukariaie. Eugeio Betrami , Itaia. Feix Christia Kei , Saksa. 155 Georg Hame , Saksa.

20 f ( ) 270 Lause 17. Joukoe A V seuraavat ovat yhtäpitäviä (1) A o V : Hame-kata. (2) A o ikuusio mieessä maksimaaie ieaarisesti riippumato joukko V : vektoreita. (3) A o miimaaie V : virittävä joukko. Lause 18. Kaikki avaruude V Hame-kaat ovat yhtä mahtavia. Niide mahtavuus o avaruude V ieaariagebraie ei Hamei dimesio. Perusteu. Tämä o todistettava eriaia kui vastaava Hibert-kaa ause. Koeta keksiä todistus itse! Lause 19. Jokaisea vektoriavaruudea o oemassa Hame-kata. Todistus. Okoo K V : iide aiavaruuksie joukko, joia o kata ikuusioa järjestettyä. Se epätyhjää osaketjua o yärajaaa akioidesa yhdiste. Zori emma mukaa siis o oemassa maksimaaie kaaie aiavaruus. Tämä o kuiteki vättämättä koko V, koska aido kaaise aiavaruude W voisi aajetaa sitä aidosti suuremmaksi kaaiseksi aiavaruudeksi W {x}, missä x V W. Huomautus 20. Hamei kaa oemassaoo o agebraie tosiasia; vektoriavaruus V saa oa k kertoimie miä tahasa kuaa k. Hamei kaaa A V o pitkäti samat omiaisuudet kui ääreisuotteise avaruude kaaaki. Ee kaikkea voidaa jokaie V : vektori ausua tasa yhdeä tavaa ääreiseä ieaarikombiaatioa Hame-katavektoreista h A: x = h A α h h, missä vai ääreise moi uvuista α h ei Hame-koordiaateista o oasta eroava. Myös voidaa jokaie ieaarisesti riippumato joukko, mikä o sama asia kui aiavaruude Hame-kata, aajetaa koko avaruude kaaksi. Tämä todistetaa kute Hame-kaa oemassaoo. Mikä tahasa Hame-kaa jako eriisii osii tuottaa koko avaruude jao kaa osie virittämie aiavaruuksie yeistetyksi suoraksi summaksi, toisi saoe äide aiavaruuksie yhdiste virittää koko avaruude ja aiavaruudet eikkaavat parittai toisiaa vai origossa.

21 1. VÄRÄHTELEVÄN JOUSEN DIFFERENTIAALIYHTÄLÖ 271 LIITE: FOURIER-SARJOJEN SOVELLUS TAVALLISIIN DIFFERENTIAALIYHTÄLÖIHIN ( ) Ari Lehtoe 1. Värähteevä jouse differetiaaiyhtäö Aatoyhtäö johto. Oettakaamme, että meiä o aka jäitettyä kahde kiiteä tukipistee väie, ja että jäitys o ii suuri, että aga paio voidaa jättää huomiotta. Laka okoo tasapaioasemassaa x akseia kiiitettyä pisteistä x = 0jax =. Ku akaa ei jousta poikkeutetaa tasapaioasemastaa xy-tasossa, se akaa värähdeä. Kuvatkoo f(x) jouse poikkeamaa tasapaiotiasta hetkeä t = 0ja vastaavasti u(x, t) poikkeamaa ajahetkeä t. Siis f(x) =u(x, 0). Τ α x x+ x α+ α Τ u(x,t) Kuva 78. Värähteevä jousi. Oetetaa, että jouse tiheys ρ o vakio, ja että jousta vaakasuoraa kiristävä jäitys T o myös vakio. Okoo x joki kiiteä kohta ja tarkasteaa piee hiukkase jouse osa väiä x, x + x värähdysiikettä. Se pystysuutaie kiihtyvyys o 2 u t 2, jote pystysuora voima kompoetti o u ρ x 2 t 2. Tämä kiihtyvyyde aiheuttaa jouse jäitykse aiheuttama tasapaiotiaa suutaava voima. Tämä voima sytyy väi (x, x+ x) eri päihi vaikuttavie voimie erosta; jäitykse pystysuoraat kompoetit eri päissä eroavat toisistaa. Jos α o jousee pisteesee x piirrety tageti ja x aksei väie kuma, ii ta α = u x. Pisteissä x ja x + x vaikuttavie jäityste pystysuorie kompoettie F (x)

22 f ( ) 272 ja F (x + x) erotus o F = F (x)+f(x + x) = T si α + T si(α + α) = T si α + T si α cos α + T si α cos α T α, siä α 0. Toisaata (1 + ta 2 α) α = x (ta α) x = 2 u x 2 x, jote ρ x 2 u t 2 = T 2 u x 2 x, siä 1 + ta2 α 1. Siis u toteuttaa yksiuotteise aatoyhtäö 2 u x 2 = ρ T 2 u t 2. Aku- ja reuaehtoje johto. Jousi oetetaa päistää kiiitetyksi u(0, t) = u(, t) = 0ja ähtee iikkeee jostai aseosta: u(x, 0) = f(x). 2. Muuttujie separoimie Määrätää värähteevä jouse yhtäöe aiaki muodoisesti ratkaisu. Fuktio u toteuttama aatoyhtäö kirjoitamme yt muotoo (2.1) reuaehdot 2 u x 2 = ρ T 2 u t 2, (0 <x<, t>0) (2.2) u(0,t)=0 u(, t) =0 ja akuehdot (2.3) u(x, 0)= f(x) (jouse muoto tuetaa akuhetkeä) (2.4) u (x, 0) = 0 t (akuopeus o oa). Etsimme ratkaisua muodossa u(x, t) = v(x)w(t). Täöi v ja w toteuttavat yhtäö v(x)w (t) =a 2 v (x)w(t). ei v (x) v(x) = w (t) a 2 w(t). Tämä yhtäö vase puoi o vai x: fuktio ja oikea puoi o vai t: fuktio, jote yhtäö toteutuu aioastaa, ku kumpiki o vakio. Okoo se vakio λ. Yhtäö o korvautuut yhtäöiä (2.5) (2.6) v (x) = λv(x) w (x) = λa 2 w(x)

23 2. MUUTTUJIEN SEPAROIMINEN 273 Reuaehdoista (2.2) saadaa fuktioe v ehdot v(0) = 0, v() = 0. Josλ = 0, ii o v (x) = 0, jote siiä tapauksessa v(x) =αx + β. Jos λ =0,iiv = 0, jote v(x) =αx + β. Koska v(0) = v() =0,o α = β = 0, jote v = 0. Mutta oafuktio ei toteuta ehtoa (2.2), eei myös akutiaetta kuvaava f oe 0. Jos λ<0, asetetaa µ = λ Täöi yhtäö (2.5) ratkaisut ovat muotoa v(x) =α sih µx + β cosh µx, α, β vakioita Koska v(0) = 0, o β cosh µ0 =β = 0. Toisaata ehdosta 0 = v() =α sih µ seuraa α = 0, jote myös tässä tapauksessa oafuktio o aioa ratkaisu eikä sekää kepaa oasta eroavae f. Jäjeä oevassa tapauksessa λ>0merkitää µ = λ. Täöi yhtäö (2.5) ratkaisut ovat muotoa v(x) =α si µx + β cos µx, α, β vakioita Ehdosta v(0) = 0 seuraa taas β = 0. Vastaavasti ehdosta v() = 0seuraa α si µ = 0.Tämä toteutuu, jos α = 0(jooi oisi taas u = 0) tai sitte si µ = 0, ts. µ = π, π Z, ei λ = µ 2 = 2 π 2 / 2, Z. Okoo yt λ = µ 2 = 2 π 2 / 2, missä Z o joki kokoaisuku. Fuktio w toteuttaa yhtäö w (t)+ 2 π 2 a 2 2 w(t) =0 ja ehdo (2.4) perusteea w (0) = 0. Ratkaisuksi saadaa w(t) =γ cos πa t, γ vakio. Siis akuperäise differetiaaiyhtäö toteuttaa aiaki jokaie fuktio u (x, t) :=si πx cos πat, joka toteuttaa ehdot (2.3) ja (2.4). Akuehdo (2.3) toteutumie johtaa seuraava kohda tarkasteuihi. Fourier-kertoimet. Myös jokaie saamistamme ratkaisuista muodostettu ieaarikombiaatio u(x, t) = m =1 α si πx cos πat o värähteyogema ehdot (2.1) ja (2.4) toteuttava ratkaisu. Jos sarja saa derivoida termeittäi, myös ääretö summa (2.7) u(x, t) = =1 α si πx cos πat

24 f ( ) 274 o ratkaisu. Ehto (2.3) saa yt muodo (2.8) u(x, 0)= =1 α si πx = f(x) x (0,). Tiedämme, että jos f L 2 [0,], ii kertoimet voi vaita site, että sarja suppeee L 2 -mieessä, ja että täöi kerroijoo (α ) kuuuu jooavaruutee 2. Siifuktioide si πx ortogoaaisuudesta avaruudessa L 2 [0,] saadaa Fourier-kertoimie auseke α = 0 0 πx f(x) si dx si2 πx dx = 2 0 f(x)si πx dx. Pitäisi siis pohtia, mioi sarja (2.7) saa derivoida termeittäi. Tätä sevitämme seuraavassa kohdassa. Tarkasteemme esi muutamia esimerkkejä. Esimerkki 1. Okoo = 2,h > 0ja { hx, ku 0 x 1 f(x) = hx +2h, ku 1 x 2. h f 1 =2 Kuva 79. Liikkee akutia. Kertoimiksi saadaa esimerkiksi osittaisitegroimaa α = { 8h 2 π 2 si π 0, jos o pariie 2 = Tehtävä (2.1) (2.4) ratkaisu o siis (2.9) u(x, t) = 8h π 2 k=0 ( 1) k 8h (2k+1) 2 π 2, ( 1) k (2k +1)πx si cos (2k +1) 2 2 jos =2k +1,k {0} N. (2k +1)πat. 2

25 2. MUUTTUJIEN SEPAROIMINEN 275 Saatu fuktio o jatkuva. Tämä voi todeta Weierstrassi M-testiä: sarjaaha o majorattia suppeeva sarja 1 (2k +1) 2, k=0 jote u(x, t): sarja suppeee itseisesti ja tasaisesti. Termeittäi derivoimaa saadu sarja suppeemie tai hajaatumie se sijaa ei oe sevää. Tarkasteaa ratkaisua (2.7) ähemmi. Koska saadaa 2si πx cos πx u(x, t) = 1 2 α si =1 =si π(x + at) π(x + at) =1 +si α si π(x at), π(x at). Määriteää fuktio F : R R asettamaa F (x) = α si πx. =1 Nyt u(x, t) = 1 2 (F (x + at)+f (x at)). Fuktio F o f: parito 2 jaksoie aajeus koko reaaiakseie, ts. F (x) =f(x), ku 0 <t<, F (x) = F (x) x R F (x +2) =F (x) x R. Ku tätä soveetaa ratkaisuu (2.9), todetaa että u o jopa moempie muuttujiesa suhtee kahdesti derivoituva ukuuottamatta pisteitä, joissa x ± at = + k, k Z. 2 Huomautus 2. Fuktiot F (x+at) ja F (x at) ovat moemmat aatoyhtäö ratkaisuja kuha F o kahdesti derivoituva. Näide merkitys seviää tarkastetaessa iide kuvaajia x: fuktioia muuttuja t eri arvoia. y t=0 y=f(x) t=1 (a,0) y=f(x-c) t=2 (a+c,0) y=f(x-2c) (a+2c,0) x Kuva 80. Aatoiikkeet.

26 f ( ) 276 Fuktio x F (x at) kuvaaja o fuktio x F (x) kuvaaja siirrettyä at: verra positiivise x-aksei suutaa. Vastaavasti fuktio x F (x+at) kuvaaja o F : kuvaaja egatiivisee suutaa siirrettyä. Fuktio F o aaomuoto ja fuktio x F (x at) (vast.x F (x + at)) esittää x aksei positiivisee (vast. egatiivisee) suutaa opeudea a eteevää aatoa Värähteevä jousi, joka akuopeus tuetaa Nyt tutkimme värähteevää, päistää kiiitettyä jousta, joka akuhetkeä o x akseia ja joka iikkee akuopeus tuetaa. Aatoyhtäö ja reuaehtoje 2 u x 2 = ρ T 2 u t 2 isäksi ratkaisu toteuttaa akuehdot = a2 2 u t 2, u(0,t)=u(, t) (0 <x<,t>0) u(x, 0) = 0 ja u (x, 0)=g(x). t Muuttujie separoiti ei erottamie o yrite u(x, t) = v(x)w(t). Se johtaa edeä kuvattuu omiaisarvotehtävää, joka ratkaisuia saatii λ = 2 π 2, v(x) = 2 si πx, = 1, 2,... Toie tekijä w toteuttaa tääki kertaa differetiaaiyhtäö (2.6) w (x) =λa 2 w(x), mutta yt akuehtoa o w(0) = 0 ja siis w(t) = si πat. Aatoyhtäö separoimaa saatu ratkaisu o siis yt muotoa u(x, t) = m =1 α si πx si πat, missä kertoimet α o yt määrättävä site, että akuehto toteutuu, ts. Fuktioide si πx =1 u (x, 0)=g(x) t α πa si πx = g(x). ortogoaaisuusehdoista saadaa tää kertaa 156 Nopeus: x ± at=vakio= dx dt = a. α = 2 g(x) si πx dx. πa 0

27 Merkitää Täöi 3. VÄRÄHTELEVÄ JOUSI, JONKA ALKUNOPEUS TUNNETAAN 277 Koska 2 si πx voidaa kirjoittaa missä H : R R Koska γ = 2 u(x, t) = si πat πa 0 g(x)si πx γ =1 =cos si πx π(x at) dx. si πat. cos u(x, t) = 1 (H(x + at) H(x at)), 2a H(x) = π g(x) = saadaa itegroimaa termeittäi =1 γ =1 πx cos. γ si πx, π(x + at), x 0 g(x) = 1 π γ =1 cos πx + vakio. Fuktio H o siis g: 2-jaksoise, parittoma aajeukse G : R R itegraai: H(x) = x 0 G(t) dt. Yeie tiae. Yhdistämää tämä ratkaisu aiempaa ähdää, että fuktio o tehtävä ratkaisu. u(x, t) = (F (x + at)+f (x at)) + 2a (H(x + at) H(x at)) 2 u t 2 = a2 2 u x 2 u(0,t)=u(, t) =0 u(x, 0)=f(x) u (x, 0)=g(t) t

28 f ( ) Pakotetut värähteyt Värähteevä jousi, joho vaikuttaa ukoie voima p(x, t) toteuttaa osittaisdifferetiaaiyhtäö 2 u (4.1) x 2 = a2 2 u + p(x, t). (0 <x<,0 <t) t2 Oetetaa, että jousi o päistää kiiitetty, so. u(0,t)=u(, t) =0. Jos p(x, t) = 0, ii kyseessä o vapaa värähtey, jooi (4.2) u(x, t) = u (t)si πx, =1 jossa u (t) =γ cos πat tai u (t) =γ si πat tai äide ieaarikombiaatio akuehdoista riippue. Ku p(x, t) ei oe idettisesti 0, esitetää p Fourier-sarjaa p(x, t) = p (t)si πx =1 ja pyritää määräämää kertoimet u ii, että fuktio (4.2) o (4.1): ratkaisu. Muodoisesti termeittäi derivoimaa saadaa u :e yhtäö u (t) = λ u (t)+p (t), jossa λ = a 2 2 π 2 / 2. Tämä yeie ratkaisu o u (t) = 1 t ( ) si λ (t τ) p (τ) dτ + α cos λ t + β si λ t, λ 0 jossa α ja β ovat vakioita. Ne määrätää akuehdoista πx u(x, 0)= u (0) si = f(x) }{{} =1 α u t (x, 0)= u (0) si πx = g(x). }{{} =1 λ β Huomautus 3. Jos pakotusvoima o ajasta riippumato, p = p(x), ii voidaa meeteä yksikertaisemmiki. Pyritää öytämää fuktio q = q(x) site, että fuktio v(x, t) = u(x, t) q(x) toteuttaa vapaa värähtey aatoyhtäö 2 v t 2 = a2 2 v x 2. Fuktio q tuee siis toteuttaa q (x)+p(x) = 0. Fuktioe v saadaa reuaehdot v(0,t)=u(0,t) q(0) = q(0) v(, t) =u(, t) q() = q(). Jos vaaditaa, että q(0) = q() = 0, ii v toteuttaa vapaa jouse yhtäö sidotui päätepistei. Fuktio q tuee äiä ehdoia yksikäsitteisesti määrätyksi ja u(x, t) = v(x, t)+q(x).

29 5. OMINAISARVOT JA -FUNKTIOT Omiaisarvot ja -fuktiot Värähteevä jouse osittaisdiferetiaaiyhtäöä ratkaistessamme jouduimme seuraavaa eiptisee reua-arvotehtävää: (5.1) { v = λv väiä (0,) v = 0reuaa {0, 1}. Tää tehtävää o aia triviaairatkaisu v = 0. Kappaeessa 3 todettii, että tehtävää omyös oasta eroavia ratkaisuja v tietyiä arvoia λ R. Täaisia arvoja kutsutaa reua-arvotehtävä omiaisarvoiksi ja fuktioita v 0, jotka toteuttavat reua-arvotehtävä, omiaisfuktioiksi. Yeistäkäämme tätä ideaa. Okoo L eiptie differetiaaioperaattori aueessa Ω ja okoo B reuadifferetiaaioperaattori. Täöi reua-arvotehtävä (5.2) { Lu = f Ω:ssa Bu = g reuaa Ω omiaisarvotehtävä o (5.3) { Lu = λu Ω:ssa Bu = 0reuaa Ω. Jos tehtävää (5.3) o ratkaisu u 0, ii saotaa, että u o (5.3): omiaisfuktio ja λ vastaava omiaisarvo. Esimerkki 4. Kappaeessa 3 todettii, että omiaisarvotehtävää { v = λv väiä (0,) v = 0reuaa {0,} o omiaisarvot λ = 2 π 2, Z {0} ja omiaisfuktiot 2 v(x)si πx. Muita ei oe. Esimerkki 5. Määrätää Dirichet tehtävä 157 omiaisarvot suorakumiossa Ω = (0,a) (0,b), ts. ratkaistaa osittaisdifferetiaaiyhtäö (5.4) { u = λu Ω:ssa u = 0reuaa Ω. Erotetaa taas muuttujat: u(x, y) = v(x)w(y). Täöi saadaa v (x) v(x) + w (y) w(y) = λ, 157 Joha Peter Gustav Lejeue Dirichet , Saksa

30 f ( ) 280 jote o oemassa vakio µ site, että { v (x) =µv v(0) = v(a) =0 { w =(λ µ)w w(0) = w(b) =0 Nämä yhtäöt ratkaistaa samaa tapaa kui kappaeessa 3. Tuoksea saadaa { µ = ( ) π 2 { a, Z {0} λ µ = ( ) mπ 2 b,m Z {0} v(x) = si πx a w(y) =si mπy b. Siis ( ) λ = π 2 2 a 2 + m2 b 2 ja u m (x, y) =si πx mπy si. a b Tässä osyytä huomata, että eri arvoia, m voidaa saada sama omiaisarvo λ. Esimerkiksi, ku a = b = π, oλ = 2 + m 2 ja u m (x, y) = si x si my. Täöi omiaisarvo λ =5= = ja (6.6): omiaisfuktioita ovat u = αu 1,2 + βu 2,1,α,β R, kuha u 0. Aaoevissa kuvassa o omiaisfuktio oodikäyriä, siis käyriä, joia u(x, y) = 0. Omiaisfuktioide si x ja si my oodikäyrät ovat yksikertaisesti akseie suutaisia jaoja, mutta moikertaiste omiaisarvoje tapauksessa esiityy moia muita käyriä. Kuvassa o muutamia esimerkkejä fuktio α simx si y + β si x si my oodikäyristä eiössä. u m = si mx si y. Kuva 81. Fuktio α si mx si y + β si x si my oodikäyriä eiössä.

31 5. OMINAISARVOT JA -FUNKTIOT 281 Yeesä omiaisfuktio oodikäyrä jakaa auee useampaa kui kahtee kompoettii.tietyie yksiuotteisie tehtävie tämä voidaa osoittaa, mutta usea muuttuja tiateessa poikkeuksia esiityy. Vrt. aa oevaa esimerkkii 158 Kuva 82. Fuktio α si mx si y + β si x si my oodikäyriä eiössä. 158 [CH] Bad 1 S