Reaaliarvoisen yhden muuttujan funktion raja arvo LaMa 1U syksyllä 2011

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Reaaliarvoisen yhden muuttujan funktion raja arvo LaMa 1U syksyllä 2011"

Transkriptio

1 Neljännen viikon luennot Reaaliarvoisen yhden muuttujan funktion raja arvo LaMa 1U syksyllä 2011 Perustuu Trench in verkkokirjan lukuun 2.1. Esko Turunen

2 Funktion y = f (x) on intuitiivisesti ajatellen jatkuva (jollain reaalilukuvälillä) jos sen kuvaaja on katkeamaton käyrä. Tarkoituksena on esittää tämä asia puhtaan aksiomaattisesti. Asetamme ensin seuraavan

3 Funktion y = f (x) on intuitiivisesti ajatellen jatkuva (jollain reaalilukuvälillä) jos sen kuvaaja on katkeamaton käyrä. Tarkoituksena on esittää tämä asia puhtaan aksiomaattisesti. Asetamme ensin seuraavan Määritelmä (Funktion raja arvo) Tarkastellaan funktiota y = f (x), joka oletetaan olevan määritelty jossain pisteen x 0 ympäristössä (mutta ei välttämättä pisteessä x 0 ). Funktion raja arvo pisteessä x 0 on L R, jota merkitään lim x x0 f (x) = L, jos ɛ > 0 δ > 0 siten, että f (x) L < ɛ, kun 0 < x x 0 < δ.

4 Funktion y = f (x) on intuitiivisesti ajatellen jatkuva (jollain reaalilukuvälillä) jos sen kuvaaja on katkeamaton käyrä. Tarkoituksena on esittää tämä asia puhtaan aksiomaattisesti. Asetamme ensin seuraavan Määritelmä (Funktion raja arvo) Tarkastellaan funktiota y = f (x), joka oletetaan olevan määritelty jossain pisteen x 0 ympäristössä (mutta ei välttämättä pisteessä x 0 ). Funktion raja arvo pisteessä x 0 on L R, jota merkitään lim x x0 f (x) = L, jos ɛ > 0 δ > 0 siten, että f (x) L < ɛ, kun 0 < x x 0 < δ. Funktion raja-arvon löytäminen on helpompaa kuin asian todistaminen ɛδ tekniikalla. Esimerkki. [Yksityiskohdat liitutaululla] Todistetaan, että lim x 1 f (x) = 4 kun f (x) = x 2 + 2x + 1.

5 Teoreema (Raja arvon yksikäsitteisyys) Jos funktiolla f (x) on raja arvo pisteessä x 0, niin se on yksikäsitteinen. Todistus Tehdään vasta oletus: raja arvoja on kaksi kappaletta eli lim x x0 f (x) = L ja lim x x0 f (x) = K.

6 Teoreema (Raja arvon yksikäsitteisyys) Jos funktiolla f (x) on raja arvo pisteessä x 0, niin se on yksikäsitteinen. Todistus Tehdään vasta oletus: raja arvoja on kaksi kappaletta eli lim x x0 f (x) = L ja lim x x0 f (x) = K. Raja arvon määritelmän nojalla jokaista positiivista lukua ɛ kohti on olemassa positiiviset luvut δ 1 ja δ 2 siten, että f (x) L < ɛ ja f (x) K < ɛ kun 0 < x x 0 < min{δ 1, δ 2 }.

7 Teoreema (Raja arvon yksikäsitteisyys) Jos funktiolla f (x) on raja arvo pisteessä x 0, niin se on yksikäsitteinen. Todistus Tehdään vasta oletus: raja arvoja on kaksi kappaletta eli lim x x0 f (x) = L ja lim x x0 f (x) = K. Raja arvon määritelmän nojalla jokaista positiivista lukua ɛ kohti on olemassa positiiviset luvut δ 1 ja δ 2 siten, että f (x) L < ɛ ja f (x) K < ɛ kun 0 < x x 0 < min{δ 1, δ 2 }. Siten K L = K f (x) + f (x) L

8 Teoreema (Raja arvon yksikäsitteisyys) Jos funktiolla f (x) on raja arvo pisteessä x 0, niin se on yksikäsitteinen. Todistus Tehdään vasta oletus: raja arvoja on kaksi kappaletta eli lim x x0 f (x) = L ja lim x x0 f (x) = K. Raja arvon määritelmän nojalla jokaista positiivista lukua ɛ kohti on olemassa positiiviset luvut δ 1 ja δ 2 siten, että f (x) L < ɛ ja f (x) K < ɛ kun 0 < x x 0 < min{δ 1, δ 2 }. Siten K L = K f (x) + f (x) L K f (x) + f (x) L =

9 Teoreema (Raja arvon yksikäsitteisyys) Jos funktiolla f (x) on raja arvo pisteessä x 0, niin se on yksikäsitteinen. Todistus Tehdään vasta oletus: raja arvoja on kaksi kappaletta eli lim x x0 f (x) = L ja lim x x0 f (x) = K. Raja arvon määritelmän nojalla jokaista positiivista lukua ɛ kohti on olemassa positiiviset luvut δ 1 ja δ 2 siten, että f (x) L < ɛ ja f (x) K < ɛ kun 0 < x x 0 < min{δ 1, δ 2 }. Siten K L = K f (x) + f (x) L K f (x) + f (x) L = f (x) K + f (x) L < 2ɛ.

10 Teoreema (Raja arvon yksikäsitteisyys) Jos funktiolla f (x) on raja arvo pisteessä x 0, niin se on yksikäsitteinen. Todistus Tehdään vasta oletus: raja arvoja on kaksi kappaletta eli lim x x0 f (x) = L ja lim x x0 f (x) = K. Raja arvon määritelmän nojalla jokaista positiivista lukua ɛ kohti on olemassa positiiviset luvut δ 1 ja δ 2 siten, että f (x) L < ɛ ja f (x) K < ɛ kun 0 < x x 0 < min{δ 1, δ 2 }. Siten K L = K f (x) + f (x) L K f (x) + f (x) L = f (x) K + f (x) L < 2ɛ. Koska ɛ saa olla kuinka pieni positiivinen luku tahansa, merkitsee tämä, että pitää olla K = L. M.O.T.

11 Teoreema (Raja arvon laskusääntöjä) Jos lim x x0 f (x) = L ja lim x x0 g(x) = K, niin lim x x0 (f + g)(x) = L + K, lim x x0 (f g)(x) = L K, lim x x0 (fg)(x) = LK, lim x x0 f g (x) = L K kun K 0. Todistus Todistetaan malliksi kaava lim x x0 (f + g)(x) = L + K liitutaululla. Loput harjoitustehtävänä.

12 Teoreema (Raja arvon laskusääntöjä) Jos lim x x0 f (x) = L ja lim x x0 g(x) = K, niin lim x x0 (f + g)(x) = L + K, lim x x0 (f g)(x) = L K, lim x x0 (fg)(x) = LK, lim x x0 f g (x) = L K kun K 0. Todistus Todistetaan malliksi kaava lim x x0 (f + g)(x) = L + K liitutaululla. Loput harjoitustehtävänä. Voidaan helposti todistaa, että vakiofunktiolle f (x) = c on lim x x0 f (x) = c ja funktiolle f (x) = x on lim x x0 f (x) = x 0, ja edelleen tämän nojalla lim x x0 x n = x0 n. Lasketaan tämän perusteella liitutaululla lim x 2 9 x 2 x+1.

13 Funktiota f (x) = 2x sin x ei ole määritelty missään pisteen x = 0 ympäristössä [ a, a], a > 0, joten raja arvoa lim x o (f )(x) ei voi olla olemassa.

14 Funktiota f (x) = 2x sin x ei ole määritelty missään pisteen x = 0 ympäristössä [ a, a], a > 0, joten raja arvoa lim x o (f )(x) ei voi olla olemassa. Kuitenkin pätee, että kiinnittämällä positiivinen ɛ, kun 0 < x 0 < δ = ɛ 2, on f (x) = 2x sin x 0 < 2 ɛ 2 sin ɛ 2 < ɛ (mutta ei päde 0 < x 0 < δ.) Tämä johtaa seuraavaan

15 Funktiota f (x) = 2x sin x ei ole määritelty missään pisteen x = 0 ympäristössä [ a, a], a > 0, joten raja arvoa lim x o (f )(x) ei voi olla olemassa. Kuitenkin pätee, että kiinnittämällä positiivinen ɛ, kun 0 < x 0 < δ = ɛ 2, on f (x) = 2x sin x 0 < 2 ɛ 2 sin ɛ 2 < ɛ (mutta ei päde 0 < x 0 < δ.) Tämä johtaa seuraavaan Määritelmä (Funktion oikeanpuoleinen raja arvo) Tarkastellaan funktiota y = f (x), joka oletetaan olevan määritelty avoimella välillä (x 0, a) (mutta ei välttämättä pisteessä x 0 ). Funktion oikeanpuoleinen raja arvo pisteessä x 0 on L R, jota merkitään lim x x + f (x) = L, jos 0 ɛ > 0 δ > 0 siten, että f (x) L < ɛ, kun x 0 < x < x 0 + δ. Samoin asetetaan vasemmanpuoleisen raja arvon määritelmä

16 Määritelmä (Funktion vasemmanpuoleinen raja arvo) Tarkastellaan funktiota y = f (x), joka oletetaan olevan määritelty avoimella välillä (a, x 0 ) (mutta ei välttämättä pisteessä x 0 ). Funktion vasemmanpuoleinen raja arvo pisteessä x 0 on L R, jota merkitään lim x x f (x) = L, jos 0 ɛ > 0 δ > 0 siten, että f (x) L < ɛ, kun x 0 δ < x < x 0.

17 Määritelmä (Funktion vasemmanpuoleinen raja arvo) Tarkastellaan funktiota y = f (x), joka oletetaan olevan määritelty avoimella välillä (a, x 0 ) (mutta ei välttämättä pisteessä x 0 ). Funktion vasemmanpuoleinen raja arvo pisteessä x 0 on L R, jota merkitään lim x x f (x) = L, jos 0 ɛ > 0 δ > 0 siten, että f (x) L < ɛ, kun x 0 δ < x < x 0. Oikean- ja vasemmanpuoleisille raja arvoille on voimassa samat laskusäännöt kuin raja arvoillekin. Esimerkiksi kun f (x) = x x, jota ei ole määritelty kun x = 0, on f (x) = 1 ja lim x x + f (x) = 1, sillä 0 lim x x 0 f (x) = { 1 kun x < 0 1 kun x > 0

18 Funktiolla voi olla jossain pisteessä vain oikean tai vasemmanpuoleinen raja arvo, mutta ei molempia (eikä siis myöskään raja arvoa), kuten seuraava liitutaululla laskettava esimerkki osoittaa. Tässä(kin) esimerkissä tulee esille funktion raja arvon määritelmän intuitiivinen idea: mitä lähempänä x on pistettä x 0, sitä lähempänä funktion arvo f (x) on arvoa L. Esimerkki. Määritellään f (x) = x+ x (1+x) x sin 1 x, kun x 0. Silloin lim x x 0 olemassa. f (x) = 0, mutta raja arvoa lim x x + 0 f (x) ei ole

19 Funktiolla voi olla jossain pisteessä vain oikean tai vasemmanpuoleinen raja arvo, mutta ei molempia (eikä siis myöskään raja arvoa), kuten seuraava liitutaululla laskettava esimerkki osoittaa. Tässä(kin) esimerkissä tulee esille funktion raja arvon määritelmän intuitiivinen idea: mitä lähempänä x on pistettä x 0, sitä lähempänä funktion arvo f (x) on arvoa L. Esimerkki. Määritellään f (x) = x+ x (1+x) x sin 1 x, kun x 0. Silloin lim x x 0 olemassa. f (x) = 0, mutta raja arvoa lim x x + 0 f (x) ei ole Seuraavan sivun Maplella tehty kuvaaja selventää funktion sin 1 x käyttäytymistä nollan läheisyydessä.

20

21 Vasemman- ja oikeanpuoleisia raja arvoja kutsutaan yhteisesti toispuoleisiksi rajarvoiksi ja merkitään joskus lim x x 0 f (x) = f (x 0 ) ja lim x x + 0 f (x) = f (x + 0 ).

22 Vasemman- ja oikeanpuoleisia raja arvoja kutsutaan yhteisesti toispuoleisiksi rajarvoiksi ja merkitään joskus lim x x 0 Voidaan todistaa seuraava tulos f (x) = f (x 0 ) ja lim x x + 0 f (x) = f (x + 0 ). Teoreema Funktiolla f (x) on raja arvo lim x x0 f (x) = L täsmälleen silloin, kun f (x 0 ) = f (x + 0 ) = L.

23 Vasemman- ja oikeanpuoleisia raja arvoja kutsutaan yhteisesti toispuoleisiksi rajarvoiksi ja merkitään joskus lim x x 0 Voidaan todistaa seuraava tulos f (x) = f (x 0 ) ja lim x x + 0 f (x) = f (x + 0 ). Teoreema Funktiolla f (x) on raja arvo lim x x0 f (x) = L täsmälleen silloin, kun f (x 0 ) = f (x + 0 ) = L. Laajennetaan raja arvon käsitettä tilanteisiin x ±. Tutustutaan kuitenkin ensin käsitteeseen ääretön.

24 Vasemman- ja oikeanpuoleisia raja arvoja kutsutaan yhteisesti toispuoleisiksi rajarvoiksi ja merkitään joskus lim x x 0 Voidaan todistaa seuraava tulos f (x) = f (x 0 ) ja lim x x + 0 f (x) = f (x + 0 ). Teoreema Funktiolla f (x) on raja arvo lim x x0 f (x) = L täsmälleen silloin, kun f (x 0 ) = f (x + 0 ) = L. Laajennetaan raja arvon käsitettä tilanteisiin x ±. Tutustutaan kuitenkin ensin käsitteeseen ääretön. Määritelmä (lim x f (x)) Funktio f (x), joka on määritelty kaikilla reaaliarvoilla > a, a R lähestyy rajatta arvoa L R jos aina, kun ɛ > 0, on sellainen arvo β, että f (x) L < ɛ kun x > β. Merkitään lim x f (x) = L.

25 Kontinuumihypoteesi Kontinuumihypoteesi on Georg Cantorin esittämä väite, joka koskee äärettömien joukkojen kokoja. Cantor esitteli mahtavuuden käsitteen vertaillakseen äärettömien joukkojen kokoja ja osoitti, että kokonaislukujen joukon mahtavuus on pienempi kuin reaalilukujen. Kontinuumihypoteesi on seuraava väite: Ei ole olemassa joukkoa, jonka mahtavuus on suurempi kuin kokonaislukujen joukon, mutta pienempi kuin reaalilukujen joukon. Matemaattisessa tekstissä kokonaislukujen mahtavuutta merkitään (luetaan alef-nolla) ja reaalilukujen mahtavuutta merkitään (reaalilukujen joukon mahtavuus on siis sama kuin kokonaislukujen joukon potenssijoukon). Nyt voimme esittää kontinuumihypoteesin seuraavassa muodossa: Ei ole olemassa joukkoa S, siten että. Tämä väite on yhtäpitävä väitteen kanssa. Todistumattomuus Georg Cantor uskoi kontinuumihypoteesin pitävän paikkaansa, minkä takia hän yritti todistaa sitä monen vuoden ajan mutta tuloksetta. David Hilbert otti otaksuman ensimmäiseksi listaansa avoimista ongelmista, jotka hän esitti kansainvälisissä matemaattisessa kongressissa Pariisissa vuonna Kurt Gödel osoitti vuonna 1940, että kontinuumihypoteesiä ei voida todistaa vääräksi Zermelon Frankelin aksiomaattisessa joukko-opissa vaikka mukaan liitettäisiin valinta-aksiooma. Paul Cohen osoitti vuonna 1963 että kontinuumihypoteesiä ei myöskään voida todistaa oikeaksi Zermelon Fraenkelin joukko-opissa. Siten kontinuumihypoteesi on riippumaton valinta-aksioomalla laajennetusta Zermelon Fraenkelin joukko-opista. Molemmat tulokset olettavat Zermelon Frankelin aksioomien olevan ristiriidattomia. Aksioomien ristiriidattomuuden uskotaan yleisesti pitävän paikkaansa. Hypoteesin riippumattomuuden perusteella monien muiden otaksumien on myös osoitettu olevan riippumattomia aksiomisysteemistä. Lähteet Gödel, Kurt: 'The Consistency of the Continuum-Hypothesis' Princeton University Press 1940 McGough, Nancy: Continuum Hypothesis

26 Vastaavalla tavalla määritellään raja arvo lim x f (x) = L.

27 Vastaavalla tavalla määritellään raja arvo lim x f (x) = L. Esimerkki. lim x f (x) = 1, kun f (x) = 1 1 x 2.

28 Vastaavalla tavalla määritellään raja arvo lim x f (x) = L. Esimerkki. lim x f (x) = 1, kun f (x) = 1 1 x 2. Todistus. Valitaan ɛ > 0.

29 Vastaavalla tavalla määritellään raja arvo lim x f (x) = L. Esimerkki. lim x f (x) = 1, kun f (x) = 1 1. Todistus. x 2 Valitaan ɛ > 0. Koska f (x) 1 = 1 < ɛ, kun x > 1 x 2 ɛ, on väite tosi.

30 Vastaavalla tavalla määritellään raja arvo lim x f (x) = L. Esimerkki. lim x f (x) = 1, kun f (x) = 1 1. Todistus. x 2 Valitaan ɛ > 0. Koska f (x) 1 = 1 < ɛ, kun x > 1 x 2 ɛ, on väite tosi. Vastaavasti lim x g(x) = 2, kun g(x) = 2 x 1+x, mutta raja arvoa lim x sin(x) ei ole olemassa (äärettömänäkään).

31 Vastaavalla tavalla määritellään raja arvo lim x f (x) = L. Esimerkki. lim x f (x) = 1, kun f (x) = 1 1. Todistus. x 2 Valitaan ɛ > 0. Koska f (x) 1 = 1 < ɛ, kun x > 1 x 2 ɛ, on väite tosi. Vastaavasti lim x g(x) = 2, kun g(x) = 2 x 1+x, mutta raja arvoa lim x sin(x) ei ole olemassa (äärettömänäkään). Laajennetaan vielä raja arvon käsitettä. Määritelmä (lim x x f (x) = ± ) 0 Tarkastellaan funktiota y = f (x), joka oletetaan olevan määritelty avoimella välillä (a, x 0 ) (mutta ei välttämättä pisteessä x 0 ). Funktion vasemmanpuoleinen raja arvo pisteessä x 0 on, jota merkitään lim x x f (x) =, jos 0 M > 0 δ > 0 siten, että f (x) > M, kun x 0 δ < x < x 0.

32 Emme esitä tässä kaikkia mahdollisia raja arvojen määritelmiä, mutta katsotaan niitä liitutaululla laskettavien esimerkkien avulla.

33 Emme esitä tässä kaikkia mahdollisia raja arvojen määritelmiä, mutta katsotaan niitä liitutaululla laskettavien esimerkkien avulla. (a) lim 1 x 0 + x =, (b) lim x 0 1 =, x 2 (c) lim x sinh(x) =, (d) lim x e 2x e x =, 2x (e) lim 2 x+1 x 3x 2 2x 1 = 2 3.

34 Emme esitä tässä kaikkia mahdollisia raja arvojen määritelmiä, mutta katsotaan niitä liitutaululla laskettavien esimerkkien avulla. (a) lim 1 x 0 + x =, (b) lim x 0 1 =, x 2 (c) lim x sinh(x) =, (d) lim x e 2x e x =, 2x (e) lim 2 x+1 x 3x 2 2x 1 = 2 3. Määritelmä Jollain välillä I määritelty funktio f (x) on kasvava välillä I, jos ehdosta x 0 < x 1 seuraa ehto f (x 0 ) f (x 1 ). Jos erityisesti ehdosta x 0 < x 1 seuraa ehto f (x 0 ) < f (x 1 ), sanotaan funktiota f aidosti kasvavaksi. Vastaavalla tavalla määritellään vähenevä ja aidosti vähenevä funktio. Funktio, joka on koko välillä I vähenevä tai kasvava (mutta ei aidosti molempia), on monotoninen funktio.

35

36 Monotonisten funktioiden, raja arvojen ja infimumin ja supremumin välillä on seuraava yhteys, jonka todistus sivuutetaan: Teoreema Jos funktio f (x) on avoimella välillä (a, b) kasvava ja α = inf a<x<b f (x) ja β = sup a<x<b f (x), niin f (a + ) = α ja f (b ) = β. Jos lisäksi a < x 0 < b, niin toispuoleiset raja arvot f (x0 ) ja f (x 0 + ) ovat äärellisinä olemassa ja f (x 0 ) f (x 0) f (x + 0 ). Vastaavat tulokset pätevät avoimella välillä (a, b) väheneville funktiolle.

37 Monotonisten funktioiden, raja arvojen ja infimumin ja supremumin välillä on seuraava yhteys, jonka todistus sivuutetaan: Teoreema Jos funktio f (x) on avoimella välillä (a, b) kasvava ja α = inf a<x<b f (x) ja β = sup a<x<b f (x), niin f (a + ) = α ja f (b ) = β. Jos lisäksi a < x 0 < b, niin toispuoleiset raja arvot f (x0 ) ja f (x 0 + ) ovat äärellisinä olemassa ja f (x 0 ) f (x 0) f (x + 0 ). Vastaavat tulokset pätevät avoimella välillä (a, b) väheneville funktiolle. Funktion monotonisuuden voi todeta derivaatan avulla.

Johdatus matematiikkaan

Johdatus matematiikkaan Johdatus matematiikkaan Luento 7 Mikko Salo 11.9.2017 Sisältö 1. Funktioista 2. Joukkojen mahtavuus Funktioista Lukiomatematiikassa on käsitelty reaalimuuttujan funktioita (polynomi / trigonometriset /

Lisätiedot

Reaaliarvoisen yhden muuttujan funktion derivaatta LaMa 1U syksyllä 2011

Reaaliarvoisen yhden muuttujan funktion derivaatta LaMa 1U syksyllä 2011 Kuudennen eli viimeisen viikon luennot Reaaliarvoisen yhden muuttujan funktion derivaatta LaMa 1U syksyllä 2011 Perustuu Trench in verkkokirjan lukuihin 2.3. ja 2.4. Esko Turunen esko.turunen@tut.fi Jatkuvuuden

Lisätiedot

Luku 2. Jatkuvien funktioiden ominaisuuksia.

Luku 2. Jatkuvien funktioiden ominaisuuksia. 1 MAT-1343 Laaja matematiikka 3 TTY 21 Risto Silvennoinen Luku 2. Jatkuvien funktioiden ominaisuuksia. Jatkossa väli I tarkoittaa jotakin seuraavista reaalilukuväleistä: ( ab, ) = { x a< x< b} = { x a

Lisätiedot

Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa.

Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa. Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa. Vastaus 2. Vertaillaan

Lisätiedot

Derivaattaluvut ja Dini derivaatat

Derivaattaluvut ja Dini derivaatat Derivaattaluvut Dini derivaatat LuK-tutkielma Helmi Glumo 2434483 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Taustaa 2 2 Määritelmät 4 3 Esimerkkejä lauseita 7 Lähdeluettelo

Lisätiedot

Luku 4. Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia.

Luku 4. Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia. 1 MAT-1343 Laaja matematiikka 3 TTY 1 Risto Silvennoinen Luku 4 Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia Derivaatan olemassaolosta seuraa funktioille eräitä säännöllisyyksiä Näistä on jo edellisessä luvussa

Lisätiedot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot 3. Funktion raja-arvo ja jatkuvuus 3.1. Reaali- ja kompleksifunktiot 43. Olkoon f monotoninen ja rajoitettu välillä ]a,b[. Todista, että raja-arvot lim + f (x) ja lim x b f (x) ovat olemassa. Todista myös,

Lisätiedot

Sinin jatkuvuus. Lemma. Seuraus. Seuraus. Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Sini on jatkuva funktio.

Sinin jatkuvuus. Lemma. Seuraus. Seuraus. Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Sini on jatkuva funktio. Sinin jatkuvuus Lemma Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Seuraus Sini on jatkuva funktio. Seuraus Kosini, tangentti ja kotangentti ovat jatkuvia funktioita. Pekka Salmi FUNK 19. syyskuuta 2016 22 / 53 Yhdistetyn

Lisätiedot

1 Määrittelyjä ja aputuloksia

1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1.1 Supremum ja infimum Aluksi kerrataan pienimmän ylärajan (supremum) ja suurimman alarajan (infimum) perusominaisuuksia ja esitetään muutamia myöhemmissä todistuksissa tarvittavia

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 Väliarvolause Oletetaan, että funktio f on jatkuva jollain reaalilukuvälillä [a, b] ja derivoituva avoimella välillä (a, b). Funktion muutos tällä välillä on luonnollisesti

Lisätiedot

1 sup- ja inf-esimerkkejä

1 sup- ja inf-esimerkkejä Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Nollakohdan olemassaolo. Kaikki tuntevat

Lisätiedot

Joukot. Georg Cantor ( )

Joukot. Georg Cantor ( ) Joukot Matematiikassa on pyrkimys määritellä monimutkaiset asiat täsmällisesti yksinkertaisempien asioiden avulla. Tarvitaan jokin lähtökohta, muutama yleisesti hyväksytty ja ymmärretty käsite, joista

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Funktion monotonisuus Derivoituva funktio f on aidosti kasvava, jos sen derivaatta on positiivinen eli jos f (x) > 0. Funktio on aidosti vähenevä jos sen derivaatta

Lisätiedot

5 Differentiaalilaskentaa

5 Differentiaalilaskentaa 5 Differentiaalilaskentaa 5.1 Raja-arvo Esimerkki 5.1. Rationaalifunktiota g(x) = x2 + x 2 x 1 ei ole määritelty nimittäjän nollakohdassa eli, kun x = 1. Funktio on kuitenkin määritelty kohdan x = 1 läheisyydessä.

Lisätiedot

Reaaliluvut. tapauksessa metrisen avaruuden täydellisyyden kohdalla. 1 fi.wikipedia.org/wiki/reaaliluku 1 / 13

Reaaliluvut. tapauksessa metrisen avaruuden täydellisyyden kohdalla. 1 fi.wikipedia.org/wiki/reaaliluku 1 / 13 Reaaliluvut Reaalilukujen joukko R. Täsmällinen konstruointi palautuu rationaalilukuihin, jossa eri mahdollisuuksia: - Dedekindin leikkaukset - rationaaliset Cauchy-jonot - desimaaliapproksimaatiot. Reaalilukujen

Lisätiedot

Sarjojen suppenemisesta

Sarjojen suppenemisesta TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Terhi Mattila Sarjojen suppenemisesta Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Huhtikuu 008 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos

Lisätiedot

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Syksy Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko A = x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu.

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Syksy Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko A = x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu. Analyysi Harjoituksia lukuihin 3 / Syksy 204. Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko { 2x A = x ]4, [. x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu. 2. Anna jokin ylä- ja alaraja joukoille { x( x) A = x ], [,

Lisätiedot

Injektio (1/3) Funktio f on injektio, joss. f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f )

Injektio (1/3) Funktio f on injektio, joss. f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f ) Injektio (1/3) Määritelmä Funktio f on injektio, joss f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f ) Seurauksia: Jatkuva injektio on siis aina joko aidosti kasvava tai aidosti vähenevä Injektiolla on enintään

Lisätiedot

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Funktiot Tässä luvussa käsitellään reaaliakselin osajoukoissa määriteltyjä funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Avoin väli: ]a, b[ tai ]a, [ tai ],

Lisätiedot

1. Olkoon f :, Ratkaisu. Funktion f kuvaaja välillä [ 1, 3]. (b) Olkoonε>0. Valitaanδ=ε. Kun x 1 <δ, niin. = x+3 2 = x+1, 1< x<1+δ

1. Olkoon f :, Ratkaisu. Funktion f kuvaaja välillä [ 1, 3]. (b) Olkoonε>0. Valitaanδ=ε. Kun x 1 <δ, niin. = x+3 2 = x+1, 1< x<1+δ Matematiikan tilastotieteen laitos Differentiaalilaskenta, syksy 2015 Lisätehtävät 1 Ratkaisut 1. Olkoon f :, x+1, x 1, f (x)= x+3, x>1 Piirrä funktion kuvaa välillä [ 1, 3]. (a) Tutki ra-arvon (ε, δ)-määritelmän

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 5. Käänteisfunktio Yhdistetty funktio Raja-arvot ja jatkuvuus

Talousmatematiikan perusteet: Luento 5. Käänteisfunktio Yhdistetty funktio Raja-arvot ja jatkuvuus Talousmatematiikan perusteet: Luento 5 Käänteisfunktio Yhdistetty funktio Raja-arvot ja jatkuvuus Tähän mennessä Funktiolla f: A B, y = f x kuvataan muuttujan y B riippuvuutta muuttujasta x A Jotta funktio

Lisätiedot

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS Huomautus. Analyysin yksi keskeisimmistä käsitteistä on jatkuvuus! Olkoon A R mielivaltainen joukko

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 2

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 2 Matematiikan tukikurssi kurssikerta 1 Relaatioista Oletetaan kaksi alkiota a ja b. Näistä kumpikin kuuluu johonkin tiettyyn joukkoon mahdollisesti ne kuuluvat eri joukkoihin; merkitään a A ja b B. Voidaan

Lisätiedot

Tenttiin valmentavia harjoituksia

Tenttiin valmentavia harjoituksia Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 19.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo

Lisätiedot

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg)

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg) Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus 4 9.4.-23.4.200 Malliratkaisut (Sauli Lindberg). Näytä, että Lusinin lauseessa voidaan luopua oletuksesta m(a)

Lisätiedot

MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio

MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio Olkoon a 1 = a 2 = 5 ja a n+1 = a n + 6a n 1 kun n 2. Todista induktiolla, että a n = 3 n ( 2) n, kun n on positiivinen

Lisätiedot

Tällöin on olemassa reaalilukuja c, jotka kuuluvat jokaiselle välille I n = [a n, b n ]. Toisin sanoen a n c b n kaikilla n.

Tällöin on olemassa reaalilukuja c, jotka kuuluvat jokaiselle välille I n = [a n, b n ]. Toisin sanoen a n c b n kaikilla n. Analyysi I ja II lisämateriaalia HAARUKOINTI Tässä käsitellään kootusti sellaisia differentiaali- ja integraalilaskennan kurssin kysymyksiä, joissa joudutaan syventymään lukusuoran hienovaraisimpiin ominaisuuksiin.

Lisätiedot

Matematiikka kaikille, kesä 2017

Matematiikka kaikille, kesä 2017 Matematiikka kaikille, kesä 2017 Luentojen 2,4 ja 6 luentokalvoja (päivittyy kurssin aikana) Henrik Wirzenius, henrik.wirzenius@helsinki.fi, June 21, 2017 1/30 Matematiikan perusteita (joukko-oppi) Kurssin

Lisätiedot

reaalifunktioiden ominaisuutta, joiden perusteleminen on muita perustuloksia hankalampaa. Kalvoja täydentää erillinen moniste,

reaalifunktioiden ominaisuutta, joiden perusteleminen on muita perustuloksia hankalampaa. Kalvoja täydentää erillinen moniste, Reaaliluvuista Pekka Alestalo Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Nämä kalvot sisältävät tiivistelmän reaaliluvuista ja niihin liittyvistä käsitteistä.

Lisätiedot

Analyysi I. Visa Latvala. 26. lokakuuta 2004

Analyysi I. Visa Latvala. 26. lokakuuta 2004 Analyysi I Visa Latvala 26. lokakuuta 2004 34 Sisältö 3 Reaauuttujan funktiot 35 3.1 Peruskäsitteitä................................. 35 3.2 Raja-arvon määritelmä............................. 43 3.3 Raja-arvon

Lisätiedot

Poistumislause Kandidaatintutkielma

Poistumislause Kandidaatintutkielma Poistumislause Kandidaatintutkielma Mikko Nikkilä 013618832 26. helmikuuta 2011 Sisältö 1 Johdanto................................... 2 2 Olemassaolon ja yksikäsitteisyyden historiaa............ 3 3 Esitietoja..................................

Lisätiedot

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja

Lisätiedot

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Valitse seuraaville säännöille mahdollisimman laajat lähtöjoukot ja sopivat maalijoukot niin, että syntyy kahden muuttujan funktiot (ks. monisteen

Lisätiedot

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy Tutki funktion f(x) = x 2 + x 2 jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1.

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy Tutki funktion f(x) = x 2 + x 2 jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1. Analyysi 1 Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy 014 1. Tutki funktion x + x jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1.. Määritä vakiot a ja b siten, että funktio a x cos x + b x + b sin x, kun x 0, x 4, kun x

Lisätiedot

x > y : y < x x y : x < y tai x = y x y : x > y tai x = y.

x > y : y < x x y : x < y tai x = y x y : x > y tai x = y. ANALYYSIN TEORIA A Kaikki lauseet eivät ole muotoiltu samalla tavalla kuin luennolla. Ilmoita virheistä yms osoitteeseen mikko.kangasmaki@uta. (jos et ole varma, onko kyseessä virhe, niin ilmoita mieluummin).

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 7 1 Useamman muuttujan funktion raja-arvo Palautetaan aluksi mieliin yhden muuttujan funktion g(x) raja-arvo g(x). x a Tämä raja-arvo kertoo, mitä arvoa funktio g(x)

Lisätiedot

Sisältö. Sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 17

Sisältö. Sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 17 Sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 17 Sisältö 1 Peruskäsitteistöä 2 1.1 Määritelmiä 2 1.2 Perustuloksia 4 2 Suppenemistestejä positiivitermisille sarjoille 5 3 Itseinen ja ehdollinen suppeneminen 8 4 Alternoivat

Lisätiedot

Joukot metrisissä avaruuksissa

Joukot metrisissä avaruuksissa TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Saara Lahtinen Joukot metrisissä avaruuksissa Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Elokuu 2013 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Metriset avaruudet 1 2.1 Tarvittavia

Lisätiedot

Äärettömistä joukoista

Äärettömistä joukoista Äärettömistä joukoista Markku Halmetoja Mistä tietäisit, että sinulla on yhtä paljon sormia ja varpaita, jos et osaisi laskea niitä? Tiettyä voimisteluliikettä tehdessäsi huomaisit, että jokaista sormea

Lisätiedot

Matemaattisten työvälineiden täydentäviä muistiinpanoja

Matemaattisten työvälineiden täydentäviä muistiinpanoja Matemaattisten työvälineiden täydentäviä muistiinpanoja Antti-Juhani Kaijanaho 7 maaliskuuta 0 Deduktiivinen ja induktiivinen päättely Deduktiivisessa päättelyssä johtopäätös seuraa aukottomasti premisseistä

Lisätiedot

Matemaattisen analyysin tukikurssi

Matemaattisen analyysin tukikurssi Matemaattisen analyysin tukikurssi 4. Kurssikerta Petrus Mikkola 4.10.2016 Tämän kerran asiat Funktion raja-arvo Raja-arvon määritelmä Toispuolinen raja-arvo Laskutekniikoita Rationaalifunktion esityksen

Lisätiedot

Cantorin joukon suoristuvuus tasossa

Cantorin joukon suoristuvuus tasossa Cantorin joukon suoristuvuus tasossa LuK-tutkielma Miika Savolainen 2380207 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Cantorin joukon esittely 2 2 Suoristuvuus ja

Lisätiedot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 2: Usean muuttujan funktiot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 2: Usean muuttujan funktiot MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 2: Usean muuttujan funktiot Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto)

Lisätiedot

Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on

Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: geometrinen (käyrän tangentti sekanttien raja-asentona) fysikaalinen (ajasta riippuvan funktion hetkellinen muutosnopeus) 1 / 19 Derivaatan määritelmä Määritelmä

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 21.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi 2

Matematiikan peruskurssi 2 Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden

Lisätiedot

1 sup- ja inf-esimerkkejä

1 sup- ja inf-esimerkkejä Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Kaarenpituus. Olkoon r: [a, b] R

Lisätiedot

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 1. ALUKSI. Joukko-oppia

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 1. ALUKSI. Joukko-oppia DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 1. ALUKSI Joukko-oppia Lyhenteitä ja merkintöjä. A = B A:sta seuraa B. Implikaatio. A B A ja B yhtäpitävät. Ekvivalenssi.

Lisätiedot

4 Matemaattinen induktio

4 Matemaattinen induktio 4 Matemaattinen induktio Joidenkin väitteiden todistamiseksi pitää näyttää, että kaikilla luonnollisilla luvuilla on jokin ominaisuus P. Esimerkkejä tällaisista väitteistä ovat vaikkapa seuraavat: kaikilla

Lisätiedot

1 Reaaliset lukujonot

1 Reaaliset lukujonot Jonot 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 5 1 Reaaliset lukujonot Reaaliset lukujonot ovat funktioita f : Z + R. Lukujonosta käytetään merkintää (a k ) k=1 tai lyhyemmin vain (a k). missä a k = f(k). Täten lukujonot

Lisätiedot

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Riikka Korte (Pekka Alestalon kalvojen pohjalta) Aalto-yliopisto 24.10.2016 Sisältö Derivaatta 1.1 Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: I geometrinen

Lisätiedot

Konvergenssilauseita

Konvergenssilauseita LUKU 4 Konvergenssilauseita Lause 4.1 (Monotonisen konvergenssin lause). Olkoon (f n ) kasvava jono Lebesgueintegroituvia funktioita. Asetetaan f(x) := f n (x). Jos f n

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Funktion kuperuussuunnat Derivoituva funktio f (x) on pisteessä x aidosti konveksi, jos sen toinen derivaatta on positiivinen f (x) > 0. Vastaavasti f (x) on aidosti

Lisätiedot

8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa

8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa 8 Potenssisarjoista 8. Määritelmä Olkoot a 0, a, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.. Muotoa a 0 + a (x c) + a 2 (x c) 2 + olevaa sarjaa sanotaan c-keskiseksi potenssisarjaksi. Selvästi jokainen

Lisätiedot

TAMPEREEN YLIOPISTO Luonnontieteiden kandidaatin tutkielma. Mika Kähkönen. L'Hospitalin sääntö

TAMPEREEN YLIOPISTO Luonnontieteiden kandidaatin tutkielma. Mika Kähkönen. L'Hospitalin sääntö TAMPEREEN YLIOPISTO Luonnontieteiden kandidaatin tutkielma Mika Kähkönen L'Hospitalin sääntö Matematiikan, tilastotieteen ja losoan laitos Matematiikka Lokakuu 007 Sisältö 1 Johdanto 3 1.1 Tutkielman sisältö........................

Lisätiedot

Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: b) 0 e x + 1

Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: b) 0 e x + 1 Tehtävä : Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: a) a) x b) e x + Integraali voisi ratketa muuttujanvaihdolla. Integroitava on muotoa (a x ) n joten sopiva muuttujanvaihto voisi olla

Lisätiedot

JATKUVUUS. Funktio on jatkuva jos sen kuvaaja voidaan piirtää nostamatta kynää paperista.

JATKUVUUS. Funktio on jatkuva jos sen kuvaaja voidaan piirtää nostamatta kynää paperista. JATKUVAT FUNKTIOT JATKUVUUS Jatkuva funktio Epäjatkuva funktio Funktio on jatkuva jos sen kuvaaja voidaan piirtää nostamatta kynää paperista., suomennos Matti Pauna JATKUVUUS Jatkuva funktio Epäjatkuva

Lisätiedot

Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen

Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen LuK-tutkielma Jussi Piippo Matemaattisten tieteiden yksikkö Oulun yliopisto Kevät 2017 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Esitietoja 3 2.1 Joukko-opin perusaksioomat...................

Lisätiedot

Analyysin peruslause

Analyysin peruslause LUKU 10 Analyysin peruslause 10.1. Peruslause I Aiemmin Cantorin funktion ψ kohdalla todettiin, että analyysin peruslause II ei päde: [0,1] ψ (x) dm(x) < ψ(1) ψ(0). Kasvavalle funktiolle analyysin peruslauseesta

Lisätiedot

Injektio. Funktiota sanotaan injektioksi, mikäli lähtöjoukon eri alkiot kuvautuvat maalijoukon eri alkioille. Esim.

Injektio. Funktiota sanotaan injektioksi, mikäli lähtöjoukon eri alkiot kuvautuvat maalijoukon eri alkioille. Esim. Injektio Funktiota sanotaan injektioksi, mikäli lähtöjoukon eri alkiot kuvautuvat maalijoukon eri alkioille. Esim. Funktio f on siis injektio mikäli ehdosta f (x 1 ) = f (x 2 ) seuraa, että x 1 = x 2.

Lisätiedot

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus

Lisätiedot

Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle

Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle Olkoon X sisätuloavaruus ja Y X äärellisulotteinen aliavaruus. Tällöin on olemassa lineaarisesti riippumattomat vektorit y 1, y 2,..., yn, jotka

Lisätiedot

MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 2: Sarjat

MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 2: Sarjat MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 2: Sarjat Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos September 13, 2017 Pekka Alestalo,

Lisätiedot

Johdatus diskreettiin matematiikkaan (syksy 2009) Harjoitus 3, ratkaisuja Janne Korhonen

Johdatus diskreettiin matematiikkaan (syksy 2009) Harjoitus 3, ratkaisuja Janne Korhonen Johdatus diskreettiin matematiikkaan (syksy 009) Harjoitus 3, ratkaisuja Janne Korhonen 1. Väite: Funktio f : [, ) [1, ), missä on bijektio. f(x) = x + 4x + 5, Todistus: Luentomateriaalissa todistettujen

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 Määrittelyjoukoista Tarkastellaan funktiota, jonka määrittelevä yhtälö on f(x) = x. Jos funktion lähtöjoukoksi määrittelee vaikkapa suljetun välin [0, 1], on funktio

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1 1 Joukko-oppia Matematiikassa joukko on mikä tahansa kokoelma objekteja. Esimerkiksi joukkoa A, jonka jäseniä ovat numerot 1, 2 ja 5 merkitään A = {1, 2, 5}. Joukon

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Liite 1: Joukko-oppi

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Liite 1: Joukko-oppi Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Liite 1: Joukko-oppi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Joukko-oppi >> Joukko-opin peruskäsitteet Joukko-opin perusoperaatiot Joukko-opin laskusäännöt Funktiot Tulojoukot

Lisätiedot

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho. 16. maaliskuuta 2011

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho. 16. maaliskuuta 2011 TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 16. maaliskuuta 2011 Sisällys Sisällys Väitelauseet lause (tai virke), joka sanoo jonkin asian pitävän paikkaansa

Lisätiedot

Johdatus matematiikkaan

Johdatus matematiikkaan Johdatus matematiikkaan Luento 3 Mikko Salo 1.9.2017 Sisältö 1. Logiikasta 2. Suora ja epäsuora todistus 3. Jaollisuus ja alkuluvut Todistus Tähän asti esitetyt todistukset ovat olleet esimerkinomaisia.

Lisätiedot

BM20A0300, Matematiikka KoTiB1

BM20A0300, Matematiikka KoTiB1 BM20A0300, Matematiikka KoTiB1 Luennot: Heikki Pitkänen 1 Oppikirja: Robert A. Adams: Calculus, A Complete Course Luku 12 Luku 13 Luku 14.1 Tarvittava materiaali (luentokalvot, laskuharjoitustehtävät ja

Lisätiedot

Ratkaisuehdotus 2. kurssikoe

Ratkaisuehdotus 2. kurssikoe Ratkaisuehdotus 2. kurssikoe 4.2.202 Huomioitavaa: - Tässä ratkaisuehdotuksessa olen pyrkinyt mainitsemaan lauseen, johon kulloinenkin päätelmä vetoaa. Näin opiskelijan on helpompi jäljittää teoreettinen

Lisätiedot

Johdatus matematiikkaan

Johdatus matematiikkaan Johdatus matematiikkaan Luento 4 Mikko Salo 4.9.2017 Sisältö 1. Rationaali ja irrationaaliluvut 2. Induktiotodistus Rationaaliluvut Määritelmä Reaaliluku x on rationaaliluku, jos x = m n kokonaisluvuille

Lisätiedot

Differentiaalilaskenta 1.

Differentiaalilaskenta 1. Differentiaalilaskenta. a) Mikä on tangentti? Mikä on sekantti? b) Määrittele funktion monotonisuuteen liittyvät käsitteet: kasvava, aidosti kasvava, vähenevä ja aidosti vähenevä. Anna esimerkit. c) Selitä,

Lisätiedot

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee

Lisätiedot

Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x 1 ja x 2 on voimassa ehto:

Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x 1 ja x 2 on voimassa ehto: 4 Reaalifunktiot 4. Funktion monotonisuus Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x ja x on voimassa ehto: "jos x < x, niin f (x

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5 1 Jonoista Matematiikassa jono (x n ) on yksinkertaisesti järjestetty, päättymätön sarja numeroita Esimerkiksi (1,, 3, 4, 5 ) on jono Jonon i:ttä jäsentä merkitään

Lisätiedot

Reaalifunktioista 1 / 17. Reaalifunktioista

Reaalifunktioista 1 / 17. Reaalifunktioista säilyy 1 / 17 säilyy Jos A, B R, niin funktiota f : A B sanotaan (yhden muuttujan) reaalifunktioksi. Tällöin karteesinen tulo A B on (aiempia esimerkkejä luonnollisemmalla tavalla) xy-tason osajoukko,

Lisätiedot

Luonnollisen päättelyn luotettavuus

Luonnollisen päättelyn luotettavuus Luonnollisen päättelyn luotettavuus Luotettavuuden todistamiseksi määrittelemme täsmällisesti, milloin merkkijono on deduktio. Tässä ei ole sisällytetty päättelysääntöihin iteraatiosääntöä, koska sitä

Lisätiedot

Raja-arvon määritelmä ja sovelluksia

Raja-arvon määritelmä ja sovelluksia TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Tapio Lind Raja-arvon määritelmä ja sovelluksia Matematiikan, tilastotieteen ja losoan laitos Matematiikka Maaliskuu 2009 Tampereen yliopisto Matematiikan, tilastotieteen

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 6 Sarjojen suppeneminen Kiinnostuksen kohteena on edelleen sarja a k = a + a 2 + a 3 + a 4 +... k= Tämä summa on mahdollisesti äärellisenä olemassa, jolloin sanotaan

Lisätiedot

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 3, ratkaisut Maanantai

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 3, ratkaisut Maanantai MATP53 Approbatur B Harjoitus 3, ratkaisut Maanantai 6..5. (Teht. 5 ja s. 4.) Olkoot z = + y i ja z = + y i. Osoita, että (a) z + z = z +z, (b) z z = z z, (c) z z = z ja (d) z = z z, kun z. (a) z + z =

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141 Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/141 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.

Lisätiedot

4.3 Moniulotteinen Riemannin integraali

4.3 Moniulotteinen Riemannin integraali 4.3 Moniulotteinen Riemannin integraali Tässä luvussa opitaan miten integroidaan usean muuttujan reaaliarvoista tai vektoriarvoista funktiota, millaisten joukkojen yli jatkuvaa funktiota voi integroida,

Lisätiedot

Kuvauksista ja relaatioista. Jonna Makkonen Ilari Vallivaara

Kuvauksista ja relaatioista. Jonna Makkonen Ilari Vallivaara Kuvauksista ja relaatioista Jonna Makkonen Ilari Vallivaara 20. lokakuuta 2004 Sisältö 1 Esipuhe 2 2 Kuvauksista 3 3 Relaatioista 8 Lähdeluettelo 12 1 1 Esipuhe Joukot ja relaatiot ovat periaatteessa äärimmäisen

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Lokaalit ääriarvot Yhden muuttujan funktion f (x) lokaali maksimi on piste x 0, jossa f (x) on suurempi kuin muualle pisteen x 0 ympäristössä, eli kun f (x 0 )

Lisätiedot

1 Raja-arvo. 1.1 Raja-arvon määritelmä. Raja-arvo 1

1 Raja-arvo. 1.1 Raja-arvon määritelmä. Raja-arvo 1 Raja-arvo Raja-arvo Raja-arvo kuvaa funktion f arvon f() kättätmistä, kun vaihtelee. Joillakin funktioilla f() muuttuu vain vähän, kun muuttuu vähän. Toisilla funktioilla taas f() hppää tai vaihtelee arvaamattomasti,

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä Luonnollisten lukujen joukko N on joukko N = {1, 2, 3,...} ja kokonaislukujen

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 12 1 Eksponenttifuntio Palautetaan mieliin, että Neperin luvulle e pätee: e ) n n n ) n n n n n ) n. Tästä määritelmästä seuraa, että eksponenttifunktio e x voidaan

Lisätiedot

f(x) f(y) x y f f(x) f(y) (x) = lim

f(x) f(y) x y f f(x) f(y) (x) = lim Y1 (Matematiikka I) Haastavampia lisätehtäviä Syksy 1 1. Funktio h määritellään seuraavasti. Kuvan astiaan lasketaan vettä tasaisella nopeudella 1 l/min. Astia on muodoltaan katkaistu suora ympyräkartio,

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ

MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 1 YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 25.9.2017 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ A-osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät 1 4. Tehtävät arvostellaan pistein 0 6. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän

Lisätiedot

811120P Diskreetit rakenteet

811120P Diskreetit rakenteet 811120P Diskreetit rakenteet 2016-2017 ari.vesanen (at) oulu.fi 5. Rekursio ja induktio Rekursio tarkoittaa jonkin asian määrittelyä itseensä viittaamalla Tietojenkäsittelyssä algoritmin määrittely niin,

Lisätiedot

rm + sn = d. Siispä Proposition 9.5(4) nojalla e d.

rm + sn = d. Siispä Proposition 9.5(4) nojalla e d. 9. Renkaat Z ja Z/qZ Tarkastelemme tässä luvussa jaollisuutta kokonaislukujen renkaassa Z ja todistamme tuloksia, joita käytetään jäännösluokkarenkaan Z/qZ ominaisuuksien tarkastelussa. Jos a, b, c Z ovat

Lisätiedot

0. Kertausta. Luvut, lukujoukot (tavalliset) Osajoukot: Yhtälöt ja niiden ratkaisu: N, luonnolliset luvut (1,2,3,... ) Z, kokonaisluvut

0. Kertausta. Luvut, lukujoukot (tavalliset) Osajoukot: Yhtälöt ja niiden ratkaisu: N, luonnolliset luvut (1,2,3,... ) Z, kokonaisluvut 0. Kertausta Luvut, lukujoukot (tavalliset) N, luonnolliset luvut (1,2,3,... ) Z, kokonaisluvut Rationaaliluvut n/m, missä n,m Z Reaaliluvut R muodostavat jatkumon fysiikan lukujoukko Kompleksiluvut C:z

Lisätiedot

Analyysi 1. Pertti Koivisto

Analyysi 1. Pertti Koivisto Analyysi Pertti Koivisto Syksy 204 Alkusanat Tämä moniste on tarkoitettu oheislukemistoksi Tampereen yliopistossa pidettävälle kurssille Analyysi. Monisteen tavoitteena on tukea luentojen seuraamista,

Lisätiedot

Hieman joukko-oppia. A X(A a A b A a b).

Hieman joukko-oppia. A X(A a A b A a b). Hieman joukko-oppia Seuraavassa esittelen hieman alkeellista joukko-oppia. Päämääränäni on saada käyttöön hyvinjärjestyslause, jota tarvitsemme myöhemmin eräissä todistuksissa. Esitykseni on aika, vaikkei

Lisätiedot

Sisältö. Funktiot 12. syyskuuta 2005 sivu 1 / 25

Sisältö. Funktiot 12. syyskuuta 2005 sivu 1 / 25 Funktiot 12. syyskuuta 2005 sivu 1 / 25 Sisältö 1 Funktiot 2 1.1 Määritelmä ja peruskäsitteitä 2 1.2 Bijektiivisyys 3 1.3 Käänteisfunktio f 1 4 1.4 Funktioiden monotonisuus 5 1.5 Funktioiden laskutoimitukset

Lisätiedot

Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus

Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Lause 17 Oletetaan, että A on n n -matriisi. Oletetaan, että λ 1,..., λ m ovat matriisin A eri ominaisarvoja, ja oletetaan, että v 1,..., v m ovat jotkin

Lisätiedot

1.4 Funktion jatkuvuus

1.4 Funktion jatkuvuus 1.4 Funktion jatkuvuus Kun arkikielessä puhutaan jonkin asian jatkuvuudesta, mielletään asiassa olevan jonkinlaista yhtäjaksoisuutta, katkeamattomuutta. Tässä ei kuitenkaan käsitellä työasioita eikä ihmissuhteita,

Lisätiedot