Fourier-menetelmät osittaisdierentiaaliyhtälöissä

Transkriptio

1 Fourier-menetemät osittaisdierentiaaiyhtäöissä Pro gradu -tutkiema Vie Vestman 74 Itä-Suomen yiopisto 23. okakuuta 23

2 Sisätö Johdanto 2 Aku- ja reuna-arvo-ongemien ratkaiseminen 2 2. Perusmääritemiä ja merkintöjä Aatoyhtäö värähteeväe soittimen kieee Aku- ja reuna-arvo-ongemat Muuttujien separointimenetemä Lämmön johtuminen eristetyssä kappaeessa Fourier'n sarjat 2 3. Fourier-sarja Jaksoiset funktiot Toispuoeiset raja-arvot ja derivaatat Paoittain jatkuvat funktiot Dirichet'n ydin Fourier'n ause Fourier-sarjan kerrointen ominaisuuksia Sini- ja kosinitermiset Fourier-sarjat 3 4. Pariiset ja parittomat funktiot Sinitermiset Fourier-sarjat Kosinitermiset Fourier-sarjat Jatkoa ämmönjohtumisesimerkkiin Fourier-integraait Fourier'n integraaikaava Fourier'n integraaiause Integrointijärjestyksen vaihto Fourier'n integraaikaavan eksponentiaainen muoto Fourier-muunnos Johtopäätökset 57

3 Johdanto Fourier-menetemät syntyivät fysiikan ongemien innoittamana. Oi vuosi 84, kun Joseph Fourier akoi tutkia ämmön johtumista. Fourier keksi seuraavien komen vuoden aikana ämmön johtumista kuvaavat yhtäöt ja periaatteet, kehitti menetemät näiden yhtäöiden ratkaisemiseksi sekä tutki ja ratkaisi useita käytännön ongemia kehittämiään menetemiä. [] Fourier'n esittämässä ratkaisumaissa on oeeisena osana yhtäöiden f(x) = a 2 + (a n cos nx + b n sin nx), (.) a n = π b n = π π π π π f(x) cos nx dx, f(x) sin nx dx (.2) (.3) käyttäminen. Fourier väitti, että jokainen väiä ( π, π) määritety funktio, jonka graa rajaa ääreisen aueen (integroituva funktio), voidaan esittää Fourier-sarjamuodossa (.). Tämä väite osoittautui vääräksi viimeistään vuonna 876, kun Pau du Bois-Reymond esitti esimerkin jatkuvasta funktiosta, jonka Fourier-sarja on hajaantuva yhdessä pisteessä. Fourier'n väite ei kuitenkaan mennyt täysin pieeen, siä vuonna 966 Lennart Careson osoitti, että avaruuden L 2 ([ π, π]) funktioiden Fourier-sarjat suppenevat mekein kaikkiaa. Tämä tuos pätee siis esimerkiksi jatkuvie funktioie. [] Toinen aiheeseen äheisesti iittyvä fysiikan osa-aue on värähteyjen ja äänen tutkiminen. Värähteevän säikeen iikettä kuvaavan aatoyhtäön kehitti J. d'aembert vuonna 747. D'Aembert onnistui myös muodostamaan aatoyhtäöe sujetussa muodossa esitettävän ratkaisun. Tämän jäkeen vuonna 755 Danie Bernoui esitti aatoyhtäöe vaihtoehtoisen sarjamuotoisen ratkaisun, joka edeytti säikeen akusijaintia ja akunopeutta kuvaavien funktioiden esittämistä sarjan (.) kataisessa muodossa. Bernouin isäksi tänä aikakautena Fourier-sarjaesityksien kanssa tekemisissä oivat myös Aexis Cairaut, Joseph Lagrange ja Leonhard Euer. Fourier-sarjoja esiintyi siis jo 7-uvun puoea, ei ennen Fourier'n tutkimuksia. [] [2] Vuonna 8 Fourier isäsi akuperäiseen työhönsä joitain uusia tuoksia. Näistä merkittävimpinä mainittakoon Fourier-integraait. Fourier'n ensimmäiset ämmönjohtumista käsitteevät teokset vuosita 87 ja 8 jäivät kuitenkin jukaisematta, siä ne eivät saaneet riittävää hyväksyntää. Fourier'n teoriaa kritisoivat erityisesti Lapace ja Lagrange. Myöhemmin Fourier'n tuokset akoivat saada yeistä hyväksyntää, mikä johti Fourier'n uo-

4 man teorian jukaisemiseen teoksessa The Anaytica Theory of Heat vuonna 822. [3] Fourier'n sarjat antoivat modernin anayysin kehityksee hyvän sysäyksen eteenpäin. Fourier'n sarjojen täsmäinen jatkotutkimus vaati nimittäin matemaattisen teorian kehittämistä, siä Fourier'n aikana ei esimerkiksi out oemassa nykyisen kataisia integraaien määritemiä ja isäksi sen aikainen käsitys funktioista poikkesi hieman nykyisestä. [] Tämän tutkieman akupuoea Luvussa 2 esitetään esimerkit niin aatokuin ämpöyhtäön ratkaisemista ja nähdään kuinka käytettävä ratkaisumenetemä johtaa Fourier-sarjaesityksiin. Luvuissa 3 ja 4 perehdytään Fouriersarjoihin ja saadaan vastauksia Luvussa 2 esiin nousseisiin kysymyksiin. Tutkieman opuksi Luvussa 5 käsiteään Fourier-integraaeja ja Fourier-muunnosta. 2 Aku- ja reuna-arvo-ongemien ratkaiseminen Tässä uvussa perehdytään yhyesti osittaisdierentiaaiyhtäöihin, aku- ja reuna-arvo-ongemiin sekä muuttujien separointimenetemän ja superpositioperiaatteen käyttämiseen kyseisten ongemien ratkaisemiseksi. Käytettävä ratkaisumenetemä nostaa esie matemaattisen ongeman, jonka seurauksena päädytään tutkimaan Fourier-sarjoja Luvussa Perusmääritemiä ja merkintöjä Yeinen osittaisdierentiaaiyhtäö voidaan esittää muodossa ( F x, x 2,..., x n, u, u,..., u ), 2 u x x n x, 2 u,..., m u =, 2 x x 2 x m n missä F on tunnettu funktio, jonka arvo riippuu vähintään yhdestä osittaisderivaattatermistä, ja u on tuntematon funktio muuttujinaan x, x 2,..., x n. Funktion u osittaisderivaatoista tuaan usein käyttämään yhyemmän esitystavan vuoksi aaindeksimerkintöjä u x = u x, u x x = 2 u x 2, u x 2 x = 2 u x x 2,.... Osittaisdierentiaaiyhtäöt voidaan esittää myös käyttämää operaattoreita. Operaattoria tarkoitetaan kuvausta vektoriavaruudeta toisee. Tässä tutkiemassa nämä avaruudet ovat funktioavaruuksia, jooin operaattorit kuvaavat funktion toiseksi funktioksi. Esimerkkinä osittaisdierentiaaiyhtäön 2

5 esittämisestä operaattorin avua tarkasteaan yhtäöä u xx 2 + u y xy =. Kun määriteään operaattori M ausekkeea M (u) = (u xx ) 2 + u y, voidaan kyseinen yhtäö esittää muodossa M (u) = xy. Operaattori L on ineaarinen, mikäi yhtäöt L (u + v) = L (u) + L (v) ja L (cu) = cl (u) (2.) pätevät operaattorin L kaikia määritteyjoukon akioia u ja v sekä kaikia vakion c arvoia. Lause 2... (Superpositioperiaate) Okoon L ineaarinen operaattori ja okoot u, u 2,..., u n funktioita siten, että L (u i ) = kaikia i =, 2,..., n. Täöin ( n ) L c i u i =, i= missä c i R kaikia i =, 2,..., n. Todistus. Käyttämää toistuvasti operaattorin L ineaarisuusominaisuutta (2.) päästään hauttuun tuokseen ( n ) n L c i u i = c i L (u i ) =. i= Superpositioperiaate on hyödyinen apukeino dierentiaaiyhtäöitä ratkaistaessa. Sen avua voidaan muodostaa yksittäisistä ratkaisuista yeisempiä ratkaisuja. Edeä esitetty superpositioperiaate koskee vain ääreistä määrää funktioita, mutta jatkossa tarvitaan tuosta, jossa funktioita voi oa numeroituvasti ääretön määrä. Laajennetaan siis saatua tuosta: Lause Okoon L ineaarinen operaattori ja okoot u, u 2, u 3,... funktioita siten, että L (u i ) = kaikia i N. Oetetaan, että sarja c i u i (c i R) i= i= suppenee pisteittäin kohti funktioita u ja että yhtäö L (u) = c i L (u i ) on voimassa. Täöin i= L (u) =. 3

6 Todistus. Lauseen 2.. nojaa L (u) = i= c i L (u i ) = im n n c i L (u i ) =. i= 2.2 Aatoyhtäö värähteeväe soittimen kieee Osittaisdierentiaaiyhtäöt iittyvät usein johonkin fysikaaiseen imiöön. Kirjaisuudessa eräs tyypiisimmistä esimerkeistä täaisesta imiöstä on kieisoittimen kieen värähtey. Jotta päästäisiin käsitteemään asiaa matemaattisesti, ajateaan, että kiei sijaitsee xy-tasossa ja että kiei on akutiassa pingotettu kahden x-aksein pisteen väie. Kun kiei poikkeutetaan tasapainoasemastaan ja päästetään vapaaksi, kiei jää värähteemään. Kun tarkoituksena on muodostaa kieen poikkeamaa tasapainoasemasta kohdassa x ajanhetkeä t kuvaava funktio u(x, t), päädytään tiannetta riittävästi yksinkertaistavien oetusten jäkeen siihen, että hautun funktion tuee toteuttaa yksiuotteinen aatoyhtäö u tt = c 2 u xx. (2.2) Jos isäksi tiedetään riittävästi akutianteesta, on funktio u(x, t) mahdoista ratkaista. Käydään esimerkin vuoksi äpi, kuinka edeä oevaan aatoyhtäöön päädytään. Johdetaan yhtäö samaan tapaan kuin on tehty kirjassa [4]. Kuten mainittu, ensin on tehtävä joitain tiannetta yksinkertaistavia oetuksia:. Kieeen ei vaikuta ukoisia voimia, kuten esimerkiksi painovoimaa. 2. Kiei on niin taipuisa, että taipumisesta aiheutuvaa taipumismomenttia ei tarvitse huomioida. Ainoa kieeen vaikuttava voima muuaa kuin kiinnityspisteissä on siis kieen venymisestä johtuva jännitysvoima. 3. Kieessä ei tapahdu sivusuuntaista iikettä. Näin oen jännitysvoiman vaakakomponentti V on vakio. Tarkasteaan kieenpätkää, jonka projektio x-akseie on pisteiden (x, ) ja (x + x, ) väiä (Kuva ). Kieenpätkään kohdistuvat ukoiset voimat ovat nyt pätkän reunoihin kohdistuvat vetävät jännitysvoimat, joista riittää tarkastea vain pystykomponentteja P (x, t) ja P (x+ x, t), koska vaakakomponentit kumoavat vastakkaissuuntaisina toisensa. Kieenpätkän vasemman reunan kumakerroin ajanhetkeä t on P (x, t) V = u x (x, t), 4

7 P (x + x, t) V V P (x, t) x x + x Kuva : Tasapainoasemasta poikkeutetun soittimen kieen osa. kun taas oikean reunan kumakerroin on P (x + x, t) V = u x (x + x, t). Newtonin toisen ain mukaan kappaeeseen vaikuttava voima on yhtä kuin kappaeen massa kerrottuna kappaeen kiihtyvyydeä. Kiihtyvyys saadaan derivoimaa paikkafunktiota kahdesti aikamuuttujan suhteen, joten kiihtyvyys kieenpätkän vasemmassa reunassa hetkeä t on u tt (x, t). Näin oen, kun x on pieni, saadaan approksimaatio δ x u tt (x, t) P (x, t) + P (x + x, t) = V u x (x + x, t) V u x (x, t), missä δ on kieen massa pituusyksikköä kohden tasapainoasemassa. Kun x, niin saatu approksimaatio tarkentuu kohti tarkkaa arvoa, joten u tt (x, t) = V δ im u x (x + x, t) u x (x, t) x x = V δ u xx(x, t). Merkitsemää c = V/δ päästään muotoa (2.2) oevaan yhtäöön. 2.3 Aku- ja reuna-arvo-ongemat Tarkasteaan värähteevän kieen tapausta esimerkkinä aku- ja reuna-arvoongemasta. Ajateaan, että kiei on pingotettu x-akseie pisteiden ja 5

8 väie ja että kieen akusijainti ja akunopeus tunnetaan. Täöin ongema voidaan esittää muodossa u tt c 2 u xx =, < x <, t >, (2.3) u(x, ) = f(x), x, (2.4) u t (x, ) = g(x), x, (2.5) u(, t) =, t, u(, t) =, t, (2.6) (2.7) missä f kuvaa kieen akusijaintia ja g akunopeutta. Yhtäöiden (2.4) ja (2.5) kataisia, tiannetta tietyä ajanhetkeä kuvaavia ehtoja kutsutaan akuehdoiksi. Osittaisdierentiaaiyhtäöä, johon on iitetty akuehtoja, kutsutaan akuarvo-ongemaksi. Yhtäöt (2.6) ja (2.7) ovat puoestaan esimerkkejä reunaehdoista, jotka kuvaavat tiannetta tarkastetavan aueen reunoia. Tässä esimerkissä näiden yhtäöiden merkitys on kieen paikaaan pitäminen kieen päätepisteissä. Osittaisdierentiaaiyhtäöä, johon on iitetty reunaehtoja, kutsutaan reunaarvo-ongemaksi. On vieä huomioitava aku- ja reunaehtojen yhteensopivuus. Jotta nämä ehdot eivät oisi keskenään ristiriidassa, on vaadittava, että f() = f() = g() = g() =. Lisäksi funktion f tuee oa jatkuva, koska soittimen kiei on yhtenäinen kappae. Funktion g epäjatkuvuus oisi puoestaan ristiriidassa mekaniikan akien kanssa, joten myös funktion g tuee oa jatkuva. 2.4 Muuttujien separointimenetemä Etsitään seuraavaksi ratkaisu Luvussa 2.3 esitettyyn värähteevän kieen ongemaan noudattaen kirjassa [5, s. 4] esitettyä menetemää. Oetetaan ensin, että ratkaisu on muotoa u(x, t) = X(x)T (t), missä X ja T eivät oe noafunktioita. Koska ratkaisun tuee toteuttaa yhtäö (2.3), päästään yhtäöön X(x)T (t) c 2 X (x)t (t) =. Tähän yhtäöön voidaan tehdä muuttujien separointi jakamaa se esimerkiksi termiä c 2 X(x)T (t) ja siirtämää saadusta yhtäöstä muuttujan x sisätävä termi toisee puoee. Näin menetteemää päästään muotoon X (x) X(x) = T (t) c 2 T (t), 6

9 missä muuttujat x ja t esiintyvät siis eri puoia yhtäöä. Kun nyt kiinnitetään muuttujan t arvo, nähdään, että yhtäön vasen puoi saa vakioarvon riippumatta muuttujan x arvosta. Samoin jos kiinnitetään muuttujan x arvo, niin yhtäön oikea puoi saa vakioarvon riippumatta muuttujan t arvosta. Näin oen voidaan kirjoittaa X (x) X(x) = T (t) c 2 T (t) = λ, missä λ R on vakio. Tää tavoin osittaisdierentiaaiyhtäö (2.3) on saatu muutettua kahdeksi tavaiseksi dierentiaaiyhtäöksi: { X λx =, T λc 2 T =. (2.8) (2.9) Funktioon X kohdistuu isäksi vaatimuksia, jotka ovat peräisin reunaehdoista. Reunaehdon (2.6) nojaa X()T (t) =, josta voidaan pääteä, että X() =, siä T (t) joakin t. Vastaavasti reunaehdosta (2.7) seuraa, että X() =. Yhtäöt (2.8) ja (2.9) ovat vakiokertoimisia, ineaarisia ja homogeenisia toisen kertauvun dierentiaaiyhtäöitä, joihin tyydytään käyttämään vamiita ratkaisukaavoja. Perusteut näie kaavoie öytyvät useimmista ineaarisia dierentiaaiyhtäöitä käsitteevistä perusteoksista. Yhtäön (2.8) ratkaisun muoto riippuu vakiosta λ. Mikäi λ >, yeinen ratkaisu on muotoa X(x) = Ae λx + Be λx, missä A ja B ovat reaaisia vakioita. Yhtäöistä X() = ja X() = seuraa, että { A + B =, (2.) Ae λ + Be λ =, (2.) mikä on totta vain jos A = B =. On siis päädytty triviaaiin ratkaisuun. Jos taas λ =, on yeinen ratkaisu muotoa X(x) = Ax + B. Myös tässä tapauksessa ehdot X() = ja X() = johtavat siihen, että A = B =. On vieä tarkastetava tapausta λ <, joka osoittautuu hyödyisimmäksi, siä ratkaisu on muista tapauksista poiketen epätriviaai. Tässä tapauksessa ratkaisun muoto on ( λx ) ( λx ) X(x) = A cos + B sin. 7

10 Ehdosta X() = seuraa, että A =. Ehdon X() = seurauksena saadaan puoestaan yhtäö ( λ ) B sin =. Mikäi B, päädytään epätriviaaiin ratkaisuun. Täöin sin( λ) =, joten λ = nπ, n = ±, ±2, ±3,.... Yhtäö sin( λ) = on siis voimassa, jos λ saa jonkin arvoista λ n, missä λ n = ( nπ ) 2, n =, 2, 3,.... Näin oen yhtäön (2.8) ratkaisuiksi reunaehdot huomioiden on saatu funktiot ( ) X n (x) = B n sin λn x = B n sin nπx, (n =, 2, 3,...) missä kertoimet B n ovat vakioita. Yhtäöön (2.9) iittyy sama arvo λ kuin yhtäöön (2.8), joten yhtäöä (2.9) on tarkastetava arvoia λ = λ n. Koska λ n c 2 < kaikia n N, niin ratkaisut ovat muotoa ( ) ( ) T n (t) = C n cos λn c 2 t + D n sin λn c 2 t = C n cos nπct + D n sin nπct, (n =, 2, 3,...) missä kertoimet C n ja D n ovat vakiota kaikia n N. Merkitsemää a n = B n C n ja b n = B n D n, saadaan ratkaisut ( u n (x, t) = X n (x)t n (x) = a n cos nπct + b n sin nπct ) sin nπx, (n N) jotka toteuttavat yhtäöt (2.3), (2.6) ja (2.7). Tähän asti ei oe vieä oenkaan tarkastetu akuehtoja (2.4) ja (2.5). On heposti nähtävissä, että mikään ratkaisuista u n ei toteuta näitä akuehtoja eeivät f(x) ja g(x) oe juuri sopivasti vaittuja sinifunktioita. Jotta saataisiin muodostettua akuehdot toteuttava ratkaisu, muodostetaan uusi yeisempi ratkaisu käyttämää apuna ausetta Lauseen käyttäminen on mahdoista, siä yhtäöt (2.3), (2.6) ja (2.7) ovat kukin esitettävissä sopivasti 8

11 määriteyn ineaarisen operaattorin avua muodossa L (u) =. Lauseen käyttämiseksi on myös oetettava, että sarja u n (x, t) suppenee ja on kahdesti derivoituva muuttujien x ja t suhteen. Nämä oetukset on tehtävä, siä tässä vaiheessa ei vieä tunneta kertoimia a n ja b n, mikä tekee sarjan anaysoimisen mahdottomaksi. Suppenemis- ja derivoitumiskysymyksiin paataan myöhemmin Luvussa 3.7. Lauseen 2..2 nojaa saadaan siis uusi yhtäöt (2.3), (2.6) ja (2.7) toteuttava ratkaisu summaamaa aikaisemmin saadut ratkaisut yhteen. Ratkaisuksi saadaan u(x, t) = u n (x, t) = ( a n cos nπct + b n sin nπct ) sin nπx. (2.2) Akuehdon (2.5) käsitteemiseksi on tarpeen derivoida sarja (2.2) muuttujan t suhteen. Derivoinnin tuoksena saadaan ( nπc u t (x, y) = a n sin nπct + b n cos nπct ) sin nπx. Akuehtojen (2.4) ja (2.5) nojaa u(x, ) = f(x) = ja u t (x, ) = g(x) = a n sin nπx nπc b n sin nπx. (2.3) Nyt on enää jäjeä sevittää voidaanko öytää sopivat kertoimet a n ja b n siten, että saadut sinitermiset sarjat esittävät funktioita f ja g. Tähän kysymykseen öytyy vastaus Fourier-sarjojen teoriasta, jota käsiteään uvuissa 3 ja Lämmön johtuminen eristetyssä kappaeessa Otetaan tarkasteuun materiaaitaan homogeeninen tanko, jonka pinta on täysin eristetty. Sijoitetaan tanko x-akseie pisteiden ja väie ja oetetaan, että tangon ämpötia on vakio x-akseia vastaan kohtisuorassa oevissa 9

12 suunnissa. Näin oen ämmön johtuminen tangossa tapahtuu vain x-aksein suunnassa ämpimämmästä kohdasta kymempään. Ongemana on ratkaista funktio u(x, t), joka kuvaa tangon ämpötiaa paikassa x ajanhetkeä t, kun tangon ämpötiajakauma on tiedossa akuhetkeä. Koska ämmön johtuminen tapahtuu siis vain x-aksein suunnassa, riittää ämmön johtumista kuvaamaan yksiuotteinen ämpöyhtäö u t = ku xx. Tämän yhtäön johtamista ei tässä tutkiemassa tehdä, mutta sen voi öytää esimerkiksi kirjasta [4, ss. -2]. Yhtäössä esiintyvä vakiokerroin k kuvaa materiaain ämmönjohtavuutta. Edeä kuvaitua tiannetta vastaa muotoa u t ku xx =, x, t >, (2.4) u(x, ) = f(x), x, (2.5) u x (, t) =, t, u x (, t) =, t (2.6) (2.7) oeva aku- ja reuna-arvo-ongema. Akuehto (2.5) määrää tangon ämpötian akuhetkeä. Reunaehdot (2.6) ja (2.7) puoestaan takaavat, että myös tangon päädyt ovat eristetty. Tämä on perustetavissa Fourier'n ain avua, jonka mukaan ämpövuo q toteuttaa yhtäön q = k u x. Lämpövuo on suure, joka kuvaa ämmön siirtymisen määrää tarkastetavan pinnan äpi (W/m 2 ), joten eristetyissä kohdissa pätee u x =. Kuten Luvussa 2.4, yritetään etsiä ratkaisuja, jotka ovat muotoa Yhtäön (2.4) nojaa u(x, t) = X(x)T (t). X(x)T (t) kx (x)t (t) =. Tekemää tähän yhtäöön muuttujien separointi, voidaan kirjoittaa X (x) X(x) = T (t) kt (t) = λ, missä λ on vakio. Tästä yhtäöketjusta saadaan muodostettua taas kaksi tavaista dierentiaaiyhtäöä: { X λx =, T λkt =.

13 Funktioon X iittyvä yhtäö on sama kuin Luvussa 2.4, mutta koska reunaehdot ovat eriaiset kuin viimeksi, tuee ratkaisut etsiä uudeeen. Tapaus λ > on kuitenkin hyvin samankatainen kuin viimeksi ja sen ainut ratkaisu onkin triviaaitapaus. Tapauksessa λ = haetaan taas ratkaisua, joka on muotoa X(x) = Ax + B. Reunaehdosta (2.6) ja (2.7) on päätetävissä, että X () = X () =, josta seuraa, että A =. Reunaehdot eivät rajoita miään tavaa vakiota B, joten funktion X ratkaisuina ovat tässä tapauksessa vakioarvot. Jäjeä on vieä tapaus λ <, jooin yeinen ratkaisu on muotoa ( λx ) ( λx ) X(x) = A cos + B sin. Tämän derivaataksi saadaan X (x) = A ( λx ) λ sin + B ( λx ) λ cos. Ehdosta X () = seuraa, että B =. Mikäi vaaditaan, että A, niin ehdon X () = seurauksena ( λ ) sin =, jooin päädytään taas arvoihin λ n = ( nπ ) 2, n N, ja saadaan ratkaisut ( ) X n (x) = A n cos λn x = A n cos nπx. Funktioon T iittyvä dierentiaaiyhtäö on puoestaan separoituva ja sen ratkaisuksi saadaan T (t) = C exp(kλt), C R. Lukuja λ = λ n, n N, vastaa ratkaisut ) T n (t) = C n exp ( k n2 π 2 t, 2

14 joten merkitsemää a n = A n C n saadaan ratkaisut exp ( k n2 π 2 u n (x, t) = X n (x)t n (x) = a n cos nπx 2 ) t, jotka toteuttavat yhtäöt (2.4), (2.6) ja (2.7). Näiden ratkaisujen isäksi on oemassa vieä vakioratkaisu, joka muodostuu arvoa λ =. Käytetään tästä vakiosta merkintää a /2. Yhdistetään sitten saadut ratkaisut Lauseen 2..2 avua, jooin saadaan yeisempi ratkaisu u(x, t) = a 2 + a n cos nπx exp ( k n2 π 2 2 ) t. Jotta tämä ratkaisu oisi paikkansapitävä, on oetettava, että saatu sarja suppenee ja on kerran derivoituva muuttujan t suhteen ja kahdesti derivoituva muuttujan x suhteen. Näiden oetusten paikkansapitävyyttä tarkasteaan Luvussa 3.7. Akuehdon (2.5) nojaa u(x, ) = f(x) = a 2 + a n cos nπx. (2.8) Näin päädyttiin samankataiseen ongemaan kuin Luvussa 2.4. On sevitettävä voidaanko funktio f esittää edeä oevassa sarjamuodossa. 3 Fourier'n sarjat Edeisessä uvussa imenneitä sarjaesitysmuotoja (2.3) ja (2.8) kutsutaan sini- ja kosinitermisiksi Fourier-sarjoiksi. Ennen näihin sarjoihin paneutumista tutkitaan Fourier-sarjaa, jossa on sekä sini- että kosinitermejä. Luvun aussa määritetään Fourier-sarjae sopivat kertoimet. Tämän jäkeen keskitytään tutkimaan Fourier-sarjan pisteittäistä suppenemista. Luvun opuksi paataan käsitteemään Luvussa 2 imenneitä sarjojen suppenemis- ja derivoituvuuskysymyksiä. 3. Fourier-sarja Tavoitteena on esittää väiä (, ) määritety funktio f muodossa f(x) = a 2 + ( a n cos nπx + b n sin nπx ). (3.) Aoitetaan esittämää emma, jota tarvitaan kerrointen a n ja b n määrittämiseksi. 2

15 Lemma 3... Okoot m ja n positiivisia kokonaisukuja ja okoon > reaaiuku. Täöin {, jos m n, sin nπx cos nπx cos nπx sin mπx cos mπx sin mπx sin nπx cos nπx dx =, jos m = n, {, jos m n, dx =, jos m = n, Todistus. Käytetään apuna trigonometrista kaavaa (3.2) (3.3) dx =, (3.4) dx =, (3.5) dx =. (3.6) sin x sin y = 2 cos(x y) cos(x + y) 2 tuoksen (3.2) todistamiseksi, jooin saadaan sin nπx sin mπx dx = 2 cos (n m)πx dx 2 Jos n = m, niin yhtäön oikea puoi sievenee muotoon dx cos 2mπx dx = mπ cos sin 2mπx (n + m)πx Jos taas n m, niin yhtäön oikean puoen määrätyt integraait häviävät samaan tapaan kuin tapauksen n = m jäkimmäinen määrätty integraai. Kohdan (3.3) todistamisessa käytetään puoestaan apuna kaavaa jooin saadaan cos nπx cos mπx =. cos x cos y = 2 cos(x + y) + cos(x y), 2 dx = 2 cos (n + m)πx dx + 2 cos (n m)πx dx. dx. 3

16 Tästä on heposti nähtävissä, että opputuos on sama kuin kohdan (3.2) todistuksessa. Seuraavassa kohdassa käytetään kaavaa jonka nojaa saadaan cos nπx sin mπx cos x sin y = 2 sin(x + y) sin(x y), 2 dx = 2 sin (n + m)πx dx 2 Tämän yhtäön oikean puoen moemmat integraait ovat muotoa missä k Z. Jos k =, niin Jos taas k, niin sin kπx sin kπx sin kπx dx = dx = kπ dx, sin dx =. cos kπx =, sin (n m)πx siä cos x = cos( x) kaikia x R. Näin oen yhtäö (3.4) pitää paikkansa. Kohdat (3.5) ja (3.6) on heppo todistaa suoraa integroinnia, joten niiden käsitteeminen ohitetaan. Huomautus Lemman 3.. todistuksessa käytetyt trigonometriset kaavat voidaan johtaa käyttämää sinin ja kosinin summakaavoja ja sin(x ± y) = sin x cos y ± cos x sin y dx. cos(x ± y) = cos x cos y sin x sin y. (3.7) Kukin kaava saadaan askemaa kaksi sopivasti vaittua summakaavaa puoittain yhteen. Summakaavat saadaan puoestaan Euerin kaavan avua kirjoittamaa cos(x ± y) + i sin(x ± y) = e i(x±y) = e ix e ±iy = (cos x + i sin x)(cos y ± i sin y) = cos x cos y sin x sin y + i(sin x cos y ± cos x sin y) ja asettamaa aku- ja opputianteen reaai- ja imaginaariosat yhtäsuuriksi. 4

17 Nyt voidaan ryhtyä etsimään sopivia kertoimia yhtäöön (3.). Lähdetään iikkeee oetuksesta, että funktio f voidaan esittää muodossa (3.) ja oetetaan isäksi, että f on integroituva. Integroidaan yhtäö (3.) puoittain ja käytetään kaavoja (3.5) ja (3.6), jooin saadaan joten a f(x) dx = 2 dx + = a + (a n = a, a = ( a n cos nπx cos nπx f(x) dx. dx + b n + b n sin nπx ) dx sin nπx ) dx Edeä tehdyn äärettömän sarjan termeittäin integroinnin oikeeisuutta ei tarkasteta, siä sopivien kerroinehdokkaiden öydyttyä riittää tarkastea mieenkiinnon kohteena oevaa ongemaa, ei sitä, että suppeneeko sarja (3.) saaduia kerrointen arvoia kohti funktiota f. Kerrotaan seuraavaksi yhtäön (3.) moemmat puoet termiä cos(mπx/), m N, ja integroidaan saatu yhtäö puoittain. Kun käytetään isäksi apuna Lemmaa 3.., saadaan joten f(x) cos mπx dx = a 2 = = ( = a m, cos mπx dx + ( a n cos nπx a n cos nπx a m = + b n sin nπx cos mπx ( a n cos nπx dx + ) cos mπx f(x) cos mπx + b n sin nπx ) cos mπx dx dx b n sin nπx dx. cos mπx ) dx Kertoimet b n saadaan määritettyä samaan tapaan. Erona on vain se, että tää kertaa on ähdettävä iikkeee kertomaa yhtäön (3.) moemmat 5

18 puoet termiä sin(mπx/). On heppo nähdä, että vastaavaa menetteyä kuin edeä päädytään kerrointen arvoihin b m = f(x) sin mπx dx. Määritemä Sarjaa a 2 + ( a n cos nπx + b n sin nπx ) (3.8) kutsutaan funktion f Fourier-sarjaksi väiä (, ), mikäi kertoimet a n ja b n ovat yhtäöiden ja mukaiset. a n = b n = f(x) cos nπx f(x) sin nπx dx, n =,, 2,... dx, n =, 2, 3,... Fourier-sarjan vakiotermin esittäminen muodossa a /2 mahdoistaa kertoimen a määritteemisen samaa kaavaa kuin miä kertoimet a n, n N on määritety. Ennen kuin siirrytään tutkimaan Fourier-sarjan suppenemista, on esitettävä joitain tarvittavia määritemiä ja niihin iittyviä tuoksia. 3.2 Jaksoiset funktiot Määritemä Okoon f : R R funktio ja okoon p >. Jos kaikia x R pätee f(x + p) = f(x), niin funktion f sanotaan oevan jaksoinen funktio ja ukua p sanotaan funktion f jaksoksi. Funktiota, joka on jaksoinen jaksonaan p, voidaan kutsua yhyemmin p-jaksoiseksi funktioksi. 6

19 Jaksoisuus iittyy vahvasti Fourier-sarjoihin, siä esimerkiksi = = ( nπ(x + 2) a n cos + b n sin ) nπ(x + 2) ( [ nπx ] [ nπx ]) a n cos + 2nπ + b n sin + 2nπ ( a n cos nπx + b n sin nπx ), joten 2 on Määritemän 3..3 Fourier-sarjan jakso. Jatkossa tuaan tarvitsemaan seuraavaa jaksoisten funktioiden integraaeihin iittyvää tuosta: Lause Okoon p integroituvan funktion f : R R jakso. Täöin integraain arvo ei riipu uvusta a R. a+p a f(x) dx Todistus. Okoot a, b R siten, että b > a. Okoon isäksi s = b a np, missä n N {} on vaittu siten, että s < p. Funktion f jaksoisuuden nojaa f(x) = f(x + np) = f(x + (n + )p), joten a+p a f(x) dx = = = = = a+s a a+s f(x) dx + a a+s+(n+)p a+(n+)p b+p b+p s b+p b a+p a+s f(x) dx f(x + (n + )p) dx + f(x) dx + f(x) dx. f(x) dx + a+p a+s a+(n+)p a+s+np b+p s b f(x) dx 3.3 Toispuoeiset raja-arvot ja derivaatat f(x + np) dx f(x) dx Toispuoeisten raja-arvojen ja derivaattojen merkintätavoissa on otettu vaikutteita kirjasta [4]. 7

20 Määritemä Funktioa f : R R on vasemmanpuoeinen raja-arvo a pisteessä x, mikäi jokaista ε > kohti on oemassa δ > siten, että kaikia x < x pätee f(x) a < ε, kun x x < δ. Jos kyseinen raja-arvo on oemassa, siitä käytetään merkintöjä f(x ) = im f(x + h) = a. h h< Funktioa f on vastaavasti oikeanpuoeinen raja-arvo a pisteessä x, mikäi jokaista ε > kohti on oemassa δ > siten, että kaikia x > x pätee f(x) a < ε, kun x x < δ. Tästä raja-arvosta käytetään puoestaan merkintöjä f(x +) = im f(x + h) = a. h h> Määritemä Okoon f funktio, joa on oemassa vasemmanpuoeinen raja-arvo f(x ). Okoon isäksi funktio g määritety ausekkeea g(x) = f(x) f(x ) x x. Mikäi funktioa g on vasemmanpuoeinen raja-arvo pisteessä x, niin kyseistä raja-arvoa kutsutaan funktion f vasemmanpuoeiseksi derivaataksi pisteessä x ja tästä derivaatasta käytetään merkintää f (x ). Täe derivaatae pätee f (x ) = g(x ) = im h h< g(x + h) = im h h< f(x + h) f(x ). h Okoon sitten f funktio, joa on oemassa oikeanpuoeinen raja-arvo f(x +) ja okoon g(x) = f(x) f(x +) x x. Mikäi funktioa g on oikeanpuoeinen raja-arvo pisteessä x, niin kyseistä raja-arvoa kutsutaan funktion f oikeanpuoeiseksi derivaataksi pisteessä x ja tästä derivaatasta käytetään puoestaan merkintää f +(x ). Siispä f +(x ) = g(x +) = im h h> g(x + h) = im h h> 8 f(x + h) f(x +). h

21 3.4 Paoittain jatkuvat funktiot Tähän mennessä ei oe vieä juurikaan kiinnitetty huomiota siihen, miaisie funktioie Fourier-sarjaesitys voidaan muodostaa. Ainut vaatimus, joka on jo imennyt, on funktion integroituvuus. Koska integroituva funktio voi sisätää epäjatkuuskohtia, ei oe syytä vaatia funktiota jatkuvuutta. Tästä syystä asetetaan seuraava määritemä: Määritemä Okoon f reaaifunktio, joka on jatkuva avoimea väiä (a, b) ukuun ottamatta mahdoista ääreistä määrää pisteitä x, x 2,..., x n, joissa f ei oe jatkuva. Mikäi toispuoeiset raja-arvot f(a +), f(x ), f(x, +),..., f(x n ), f(x n, +), f(b, ) ovat oemassa, sanotaan funktion f oevan paoittain jatkuva väiä (a, b). Määritemästä on nähtävissä, että kahden paoittain jatkuvan funktion tuo on paoittain jatkuva, siä epäjatkuvuuspisteiden määrä säiyy ääreisenä. Oetetaan sitten, että määritemän pisteet x,..., x n ovat nimetty siten, että a < x < x 2 <... < x n < b. Täöin funktio f on jatkuva jokaisea väiä (a, x ), (x, x 2 ),..., (x n, b), joten paoittain jatkuvan funktion integraai yi väin (a, b) voidaan askea seuraavasti: b a f(x) dx = x a f(x) dx + x2 x f(x) dx b x n f(x) dx. (3.9) Luvussa 3.6 käsitetävä Fourier'n ause antaa vastauksen siihen, mioin Fourier-sarja suppenee pisteittäin kohti funktiota, josta sarja on muodostettu. Fourier'n auseen todistus ja todistukseen tarvittavat aputuokset tuaan antamaan kutakuinkin kirjan [4] esittämää tavaa. Aoitetaan todistukseen johtavien tuosten käsittey seuraavaa emmaa: Lemma Okoon f paoittain jatkuva funktio väiä (c, d). Täöin d im r c f(x) sin(rx) dx =. Todistus. Myös sinifunktio on paoittain jatkuva väiä (c, d), joten integrandi on paoittain jatkuva. Koska paoittain jatkuvan funktion integraai voidaan esittää kaavaa (3.9), riittää osoittaa, että b im r a missä (a, b) on avoin väi, jossa f on jatkuva. f(x) sin(rx) dx =, (3.) 9

22 Tiedetään, että ääreiseä ja sujetua väiä jatkuva funktio on myös tasaisesti jatkuva kyseiseä väiä [6, s. 3]. Nyt on tosin tarkastetavana avoin väi (a, b), joe pätee tässä tapauksessa sama tuos seuraavan perusteun nojaa: Funktion f paoittaisesta jatkuvuudesta seuraa, että toispuoeiset rajaarvot f(a +) ja f(b ) ovat oemassa. Näin oen voidaan määriteä funktio g siten, että f(a +), kun x = a, g(x) = f(x), kun a < x < b, f(b ), kun x = b. Funktio g on jatkuva sujetua väiä [a, b], josta seuraa tasainen jatkuvuus tää väiä ja myös kaikia tämän väin osaväeiä, kuten avoimea väiä (a, b). Koska f(x) = g(x) väiä (a, b), on myös f tasaisesti jatkuva tää väiä. Okoon nyt ε > ja okoon ε = ε 2(b a). Funktion f tasaisesta jatkuvuudesta seuraa, että on oemassa δ > siten, että kaikia x, y (a, b), joie on voimassa x y < δ, pätee epäyhtäö f(x) f(y) < ε = ε 2(b a). (3.) Jotta todistuksen myöhemmässä vaiheessa päästäisiin käyttämään saatua epäyhtäöä, jaetaan väi (a, b) pienempiin tasapituisiin osaväeihin, joita on N kappaetta, ja vaaditaan, että N on niin suuri, että kunkin osaväin pituus (b a)/n on pienempi kuin δ. Käytetään väien jakopisteistä merkintöjä a = x, x, x 2,..., x N = b, missä x < x < x 2 <... < x N. Nyt jakamaa tarkasteun kohteena oeva integraai usean integraain summaksi ja isäämää sopivia vastakkaismerkkisiä termejä, päädytään arvioon b f(x) sin(rx) dx = N xn f(x) sin(rx) dx a x n N xn N xn = [f(x) f(x n )] sin(rx) dx + f(x n ) sin(rx) dx x n x n N xn N xn f(x) f(x n ) sin(rx) dx + f(x n ) sin(rx) dx. x n x n (3.2) 2

23 Käyttämää epäyhtäöä (3.) ja huomioimaa, että sin(rx), saadaan xn ε b a f(x) f(x n ) sin(rx) dx < x n 2(b a) N = ε 2N kaikia n =, 2,..., N. Kohdistetaan sitten huomio epäyhtäön (3.2) jäkimmäiseen summaausekkeeseen. Sen integraaiosae saadaan arvio xn sin(rx) dx cos(rx n) + cos(rx n ) 2 x n r r kaikia n =, 2,..., N, kun r >. Tiedetään, että ääreiseä sujetua väiä jatkuva funktio on kyseiseä väiä myöskin rajoitettu. Tätä voidaan sovetaa myös avoimee väie, siä toispuoeisten raja-arvojen f(a +) ja f(b ) oemassaoosta seuraa samaan tapaan kuin tasaisen jatkuvuuden tapauksessa, että funktio f on rajoitettu avoimea väiä (a, b). On siis oemassa M > siten, että f(x) M kaikia x (a, b). Epäyhtäöstä (3.2) seuraa nyt, että b f(x) sin(rx) dx < N ε 2N + NM 2 r = ε 2 + 2MN < ε r 2 + ε 2 = ε, a kun r > 4MN/ε. Näin oen raja-arvo (3.) on osoitettu todeksi. 3.5 Dirichet'n ydin Fourier'n auseen todistus tuee perustumaan merkittävitä osin seuraavaksi määritetävän Dirichet'n ytimen ominaisuuksiin. Määritemä Okoon m uonnoinen uku. Funktiota D m : R R, kutsutaan Dirichet'n ytimeksi. D m (u) = m 2 + cos(nu), (3.3) Lemma Okoon m uonnoinen uku. Täöin π D m (u) du = π 2, (3.4) D m (u) = sin[(m + )u] 2, u, ±2π, ±4π,.... (3.5) 2 sin(u/2) 2

24 Todistus. Tuos (3.4) saadaan heposti integroimaa yhtäöä (3.3) puoittain. Kosinitermit muuttuvat integroinnissa sinitermeiksi, jotka häviävät kun u saa arvot tai π. Näin oen jäjee jää vain vakiotermin integraai, joka saa arvon π/2. Toisen kohdan todistamiseen tarvitaan kompeksianayysin kaavoja ja sin z = 2i (eiz e iz ), cos z = 2 (eiz + e iz ) m z n = z( zm ) z joista viimeinen saadaan seuraavasti: z + z z m = z( + z z m ) z = z + z z m + z z m (z ), z = + z zm z z 2... z m + z z m = z + z z m = z( zm ), z. z Näiden kaavojen avua saadaan m m m 2 cos(nu) = e inu + e inu = m (e iu ) n + m (e iu ) n = eiu ( e imu ) + e iu ( e imu ) e iu e iu z m + z z m = eiu ( e imu ) e iu/2 e iu e + e iu ( e imu ) e iu/2 iu/2 e iu e iu/2 ( m+ 2 = eiu/2 e i e iu/2 e iu/2 ) u = eiu/2 + e iu/2 + e i = + ei ( m+ 2 ( m+ ) u 2 + e iu/2 e i e iu/2 e iu/2 ( m+ )u ( 2 e i m+ 2 e iu/2 e iu/2 )u ( e i m+ 2 = + sin[(m + )u] 2, sin(u/2) ) u e iu/2 e iu/2 /2i /2i 22 ) u

25 kun u, ±2π, ±4π,.... Näin oen D m (u) = 2 + m cos(nu) = sin[(m + )u] 2. 2 sin(u/2) Kosinifunktion ominaisuuksista seuraa isäksi, että Dirichet'n ydin on 2π-jaksoinen ja että D m (u) = D m ( u). Lemma Okoon f paoittain jatkuva funktio väiä (, π). Mikäi oikeanpuoeinen derivaatta f +() on oemassa, niin π im m f(u)d m (u) du = π f( +). 2 Todistus. Todistuksen niksinä on se, että kaikia m N voidaan kirjoittaa missä I m = π π f(u)d m (u) du = I m + J m, π [f(u) f( +)]D m (u) du ja J m = f( +) D m (u) du. Täöin yhtäön (3.4) nojaa im J m = π f( +), m 2 joten emman todistamiseksi riittää osoittaa, että im I m =. m Käyttämää Dirichet'n ytimen esitysmuotoa (3.5) voidaan kirjoittaa I m = π f(u) f( +) 2 sin(u/2) sin[(m + )u] du, 2 joten Lemman nojaa riittää enää osoittaa, että funktio g(u) = f(u) f( +) 2 sin(u/2) on paoittain jatkuva väiä (, π). Koska g on määritety osamääränä, jossa sekä osoittaja että nimittäjä ovat paoittain jatkuvia funktioita väiä (, π), riittää ainoastaan tarkastea funktion g käyttäytymistä nimittäjän 23

26 noakohdassa u =. Jotta g oisi paoittain jatkuva, täytyy oikeanpuoeisen raja-arvon g( +) oa oemassa. Kyseiseksi raja-arvoksi saadaan im h h> g( + h) = im h h> = im h h> = f +(), f( + h) f( +) f( + h) f( +) h 2 sin(h/2) im h h> h/2 sin(h/2) siä funktion x/ sin x raja-arvo pisteessä x = on tunnetusti. Derivaatan f +() oemassaoo takaa siis funktion g paoittaisen jatkuvuuden väiä (, π) ja näin oen emma on todistettu. 3.6 Fourier'n ause Tässä aiuvussa todistetaan ensiksi pisteittäinen suppeneminen Fourier-sarjae väiä ( π, π), jonka jäkeen aajennetaan tuos koskemaan myös muita tyypin (, ) väejä. Lause (Fourier'n ause) Okoon f : R R funktio, joka on 2πjaksoinen sekä paoittain jatkuva väiä ( π, π). Täöin funktion f Fouriersarja väiä ( π, π) suppenee kohti arvoa [f(x +) + f(x )] 2 niissä pisteissä x R, joissa toispuoeiset derivaatat f +(x) ja f (x) ovat oemassa. Todistus. Okoon x R piste, jossa toispuoeiset derivaatat f +(x) ja f (x) ovat oemassa. Ensiksi huomataan, että Fourier-sarja väiä ( π, π) on esitysmuodotaan hieman yksinkertaisempi kuin muia väeiä. Se on nimittäin kirjoitettavissa muodossa missä a n = π π 2 a + [a n cos(nx) + b n sin(nx)], π f(s) cos(ns) ds ja b n = π π π f(s) sin(ns) ds. 24

27 Tämä voidaan yhdistää yhdeksi ausekkeeksi, jooin saadaan esitys π f(s) ds + 2π π π π π f(s)[cos(ns) cos(nx) + sin(ns) sin(nx)] ds, joka sievenee kosinin summakaavaa (3.7) käyttämää muotoon π f(s) ds + 2π π π π π f(s) cos[n(s x)] ds. Okoon sitten S m (x) tämän sarjan m + ensimmäisen termin osasumma. Tämä osasumma voidaan kirjoittaa käyttämää Dirichet'n ydintä muodossa S m (x) = π f(s) ds + 2π π π = 2π = π π π π π f(s) ds + π m π π f(s)d m (s x) ds, π π f(s) f(s) cos[n(s x)] ds m cos[n(s x)] ds kun m. Koska sekä funktion f että Dirichet'n ytimen jaksona on 2π, niin 2π on myös viimeisimmän integrandin jakso. Näin oen Lauseen nojaa voidaan kirjoittaa missä S m (x) = π x+π x π Jaetaan sitten integraai kahteen osaan: I m (x) = x x π f(s)d m (s x) ds. S m (x) = π [I m(x) + J m (x)], (3.6) f(s)d m (s x) ds ja J m (x) = Tekemää nyt muuttujanvaihto u = x s, saadaan I m (x) = = π π x+π f(x u)d m ( u) du f(x u)d m (u) du. 25 x f(s)d m (s x) ds.

28 Okoon sitten F (u) = f(x u), jooin F +() F ( + h) F ( +) = im h h h> f(x h) f(x ) = im h h h> = im h h< f(x + h) f(x ) h = f (x). Funktion f jaksoisuudesta seuraa, että f on paoittain jatkuva jokaisea ääreiseä väiä, joten sama pätee myös funktioe F. Näin oen voidaan käyttää Lemmaa 3.5.3, jonka nojaa im I m(x) = π m 2 F ( +) = π f(x ). (3.7) 2 Tekemää sitten muuttujanvaihto u = s x integraaiin J m päästään esitykseen J m (x) = π f(x + u)d m (u) du. Määriteään F tää kertaa yhtäöä F (u) = f(x + u), jooin F ( +) = f(x +) ja F +() = f +(x). Käyttämää taas Lemmaa saadaan im J m(x) = π m 2 F ( +) = π f(x +). (3.8) 2 Kohtien (3.6), (3.7) ja (3.8) nojaa päästään hauttuun tuokseen im S m(x) = [f(x +) + f(x )]. m 2 Fourier'n auseessa esiintyvä termi [f(x +) + f(x )] on funktion f toispuoeisten raja-arvojen keskiarvo pisteessä x, ja mikäi f on jatkuva pisteessä 2 x, on yhtäö f(x) = [f(x +) + f(x )] 2 voimassa. Vaikka Fourier'n auseen oetuksissa vaaditaan funktion f oevan jaksoinen, niin auseen tuos pätee siti pisteissä π < x < π vaikka f ei oisi jaksoinen. Tämä on seurausta siitä, että Fourier-sarjan kerrointen määrittämiseen käytetään vain väiä ( π, π). Seuraus Okoon f : R R funktio, joka on 2-jaksoinen sekä paoittain jatkuva väiä (, ). Täöin funktion f Fourier-sarja väiä (, ) suppenee kohti arvoa [f(x +) + f(x )] 2 niissä pisteissä x R, joissa toispuoeiset derivaatat f +(x) ja f (x) ovat oemassa. 26

29 Todistus. Okoot s = πx ja F (s) = f ( ) s = f(x). (3.9) π Kun < x <, niin π < s < π. Näin oen funktion f paoittaisesta jatkuvuudesta väiä (, ) seuraa, että funktio F on paoittain jatkuva väiä ( π, π). Funktion f jaksoisuudesta seuraa puoestaan, että 2π on funktion F jakso. Tämä nähdään kirjoittamaa F (s + 2π) = f ( ) s π + 2 = f ( ) s = F (s). π Oetetaan sitten, että x on piste, jossa toispuoeiset derivaatat f +(x) ja f (x) ovat oemassa. Täöin voidaan osoittaa toispuoeisten derivaattojen määritemiä käyttämää, että missä F +(s) = π f +(x) ja F (s) = π f (x). Fourier'n auseen kaikki vaatimukset täyttyvät funktion F osata, joten a n = π 2 [F (s +) + F (s )] = 2 a + π [a n cos(ns) + b n sin(ns)], π F (s) cos(ns) ds ja b n = π π π F (s) sin(ns) ds. Tämä saadaan muutettua yhtäöitä (3.9) käyttämää muotoon 2 [f(x +) + f(x )] = 2 a + ( a n cos nπx missä kertoimet ovat määrätty kuten Määritemässä b n sin nπx ), 3.7 Fourier-sarjan kerrointen ominaisuuksia Seuraavaksi on tarkoitus osoittaa, että Fourier-sarjan kertoimet a n ja b n ähestyvät noaa, kun n ähestyy ääretöntä. Tätä tietoa voidaan käyttää apuna, kun tutkitaan uvuissa 2.4 ja 2.5 imenneitä kysymyksiä iittyen sarjojen suppenemiseen ja derivoituvuuteen. Näiden asioiden käsitteyssä on otettu maia kirjasta [7, ss. 3-3, 48-49]. 27

30 Lause Okoon f paoittain jatkuva funktio väiä (, ). Täöin Fouriersarjan (3.8) kertoimien neiöistä koostuvat sarjat suppenevat. (a n ) 2 ja (b n ) 2 Todistus. Aoitetaan todistus kirjoittamaa [ N ( f(x) a n cos nπx + b n sin nπx ) ] 2 dx (3.2) = 2 + [f(x)] 2 dx (3.2) f(x) [ N N ( a n cos nπx ( a n cos nπx + b n sin nπx ) dx (3.22) + b n sin nπx ) ] 2 dx. (3.23) Termi (3.22) sievenee Fourier-sarjan kertoimien määritemien nojaa muotoon [ 2 N (a n f(x) cos nπx ) N dx + (b n f(x) sin nπx ) ] dx [ N ] N = 2 (a n ) 2 + (b n ) 2. Termi (3.23) saadaan puoestaan Lemmaa 3.. käyttämää muotoon N N m= ( a n cos nπx + b n sin nπx ) ( a m cos mπx = + b m sin mπx ) dx N (a n ) 2 + Koska integraai (3.2) on ei-negatiivinen, saadaan epäyhtäö N (b n ) 2. [f(x)] 2 dx N N (a n ) 2 (b n ) 2. 28

31 Kun annetaan uvun N ähestyä ääretöntä, nähdään että sarjojen (a n ) 2 ja (b n ) 2 on otava suppenevia, jotta saatu epäyhtäö oisi voimassa. Seuraus Fourier-sarjan kertoimet a n ja b n ähestyvät noaa, kun n ähestyy ääretöntä. Todistus. Sarjojen (a n ) 2 ja suppenemisesta seuraa, että (b n ) 2 joten (a n ) 2 ja (b n ) 2, kun n, a n ja b n, kun n. Saadun tuoksen myötä voidaan akaa käsiteä aiemmin imenneitä suppenemis- ja derivoituvuuskysymyksiä. Luvusta 2.5 jäi osoitettavaksi sarjan u(x, t) = a 2 + a n cos nπx ) exp ( k n2 π 2 t 2 (3.24) suppeneminen sekä derivoituvuus muuttujan t suhteen yhden kerran ja muuttujan x suhteen kahdesti. Okoon ε >. Koska a n, kun n, niin on oemassa C > siten, että a n < C kaikia n N. Näin oen kaikia n N pätee a n cos nπx ) ) exp ( k n2 π 2 t < C exp ( k n2 π 2 t Ce δn2, kun t ε, 2 2 missä δ = kπ 2 ε/ 2. Sarja e δn2 on suppeneva, joten Weierstrassin M-testin nojaa sarja (3.24) suppenee tasaisesti aueessa x, t ε. Koska ε voidaan vaita mieivataisen pieneksi, on sarjan suppeneminen täten osoitettu ongeman kannata riittävän aajaa aueea. 29

32 Kun sarjaa (3.24) derivoidaan termeittäin muuttujan t suhteen kerran tai muuttujan x suhteen kahdesti, imaantuu sarjaan kerroin n 2. Tämä ei haittaa vastaavankataisen päätteyn tekemistä kuin edeä, siä myöskin sarja n 2 e δn2 suppenee. Näin oen Weierstrassin M-testin nojaa myöskin termeittäin derivoimaa saadut sarjat suppenevat tasaisesti aueessa x, t >, mikä osoittaa sarjan 3.24 derivoituvuuden hautuia tavoia. Luvussa 2.4 käsitetyyn värähteevän kieen ongemaan saatiin ratkaisu u(x, t) = ( a n cos nπct + b n sin nπct ) sin nπx. Tässä sarjassa ei oe eksponentiaaisesti pienentyvää kerrointa, mikä tekee sarjan derivoituvuuden anaysoimisesta vaikeampaa kuin edeä. Kirjassa [7, ss. 5-52] suppeneminen ja derivoituvuus on saatu osoitettua tekemää akutianteesta riittävät oetukset. Näitä oetuksia ovat kieen akusijaintia kuvaavan funktion derivoituvuus kahteen kertaan sekä akunopeutta kuvaavan funktion derivoituvuus. 4 Sini- ja kosinitermiset Fourier-sarjat Tässä uvussa käsiteään yhyesti sini- ja kosinitermisiä Fourier-sarjoja. Näiden sarjojen myötä saadaan varmistettua Luvussa 2 imenneiden sarjaesitysten pätevyys. Luvun opussa jatketaan Luvussa 2.5 käsitetyä ämmönjohtumisesimerkkiä, jonka yhteydessä pyritään havainnoistamaan Fouriersarjojen toimintaa kuvien avua. 4. Pariiset ja parittomat funktiot Sini- ja kosinitermiset Fourier-sarjat saadaan johdettua tavaisesta Fouriersarjasta, kun oetetaan, että funktio, josta Fourier-sarja muodostetaan on joko pariinen tai pariton. Määritemä 4... Okoon f : R R funktio. Mikäi f(x) = f( x) kaikia x R, niin funktiota f sanotaan pariiseksi funktioksi. Jos taas f(x) = f( x) kaikia x R, niin funktioita f sanotaan parittomaksi funktioksi. Määritemää käyttäen on heposti osoitettavissa, että kahden pariisen funktion tuo on pariinen funktio. Pariinen funktio saadaan myös tuoksena 3

33 kahden parittoman funktion tuosta. Parittoman ja pariisen funktion tuo on puoestaan pariton funktio. Lemma Okoon > ja okoon f integroituva funktio väiä (, ). Mikäi f on pariinen funktio, niin Jos taas f on pariton, niin Todistus. Kirjoitetaan ensiksi f(x) dx = 2 f(x) dx = f(x) dx =. f(x) dx + f(x) dx. f(x) dx. Tekemää ensimmäiseen integraaiin muuttujanvaihto s = x, saadaan f(x) dx = f( s) ds + = f( s) ds + { = f(s) ds + f(s) ds + = f(x) dx f(x) dx f(x) dx, jos f on pariinen, f(x) dx, jos f on pariton { 2 f(x) dx, jos f on pariinen,, jos f on pariton. 4.2 Sinitermiset Fourier-sarjat Okoon f pariton funktio. Funktion f Fourier-sarjan kertoimiksi saadaan Lemmaa 4..2 käyttämää ja b n = a n = f(x) sin nπx f(x) cos nπx dx = 2 dx = f(x) sin nπx dx. Näin oen Fourier-sarjan kosinitermit sekä vakiotermi häviävät. 3

34 Määritemä Sarjaa a n sin nπx kutsutaan funktion f sinitermiseksi Fourier-sarjaksi väiä (, ), mikäi kertoimet a n ovat yhtäön mukaiset. a n = 2 f(x) sin nπx dx, n =, 2, 3,... Siniterminen Fourier-sarja saatiin siis erikoistapauksena tavaisesta Fourier-sarjasta, kun määrättiin Fourier-sarjan kertoimia parittomae funktioe. Näin oen funktion f oessa pariton, 2-jaksoinen ja paoittain jatkuva väiä (, ) on Seurausta vastaava pisteittäistä suppenemista koskeva tuos voimassa myös sinitermisee Fourier-sarjae. Mikäi tiedetään vain, että f on paoittain jatkuva väiä (, ), voidaan siti todeta suppenemista koskevan tuoksen oevan paikkansapitävä väiä (, ), siä sinitermisen Fourier-sarjan kerrointen määrittämiseen käytetään vain väiä (, ). 4.3 Kosinitermiset Fourier-sarjat Okoon f pariinen funktio. Tää kertaa funktion f Fourier-sarjan kertoimiksi saadaan ja a n = f(x) cos nπx dx = 2 f(x) cos nπx b n = f(x) sin nπx dx =. Näin oen Fourier-sarjan sinitermit häviävät. Määritemä Sarjaa a 2 + a n cos nπx kutsutaan funktion f kosinitermiseksi Fourier-sarjaksi väiä (, ), mikäi kertoimet a n ovat yhtäön mukaiset. a n = 2 f(x) cos nπx 32 dx, n =,, 2,... dx.

35 Kosinitermisee Fourier-sarjae pätevät uonnoisesti vastaavat huomiot suppenemisesta kuin mitä sinitermisee Fourier-sarjae tehtiin. 4.4 Jatkoa ämmönjohtumisesimerkkiin Luvussa 2.5 tutkittiin ämmön johtumista eristetyssä tangossa. Tuooin saatiin tangon ämpötiaa paikassa x ajanhetkeä t kuvaavaksi funktioksi u(x, t) = a 2 + a n cos nπx ) exp ( k n2 π 2 t. (4.) 2 Kertoimet a n eivät oeet vapaasti vaittavia, siä niitä saatiin rajaamaan tieto, että tangon akuhetken ämpötiajakauma f oisi pystyttävä esittämään muodossa f(x) = a 2 + a n cos nπx. (4.2) Täsmennetään käsitetävää ongemaa antamaa sie arvot = 6 ja k =. Okoon isäksi akujakauma f määritety ausekkeea { 2, kun x < 4, f(x) =, kun 4 x 6. Kun annetaan kerrointen arvoiksi a n = 2 f(x) cos nπx dx, on yhtäö (4.2) paikkansapitävä kaikia x (, 6) \ {4}. Tämä on perustetavissa Seurauksea sekä uvun 4.2 opussa tehdyiä huomioia soveettuna kosinitermisee Fourier-sarjae. Poikkeama pisteessä x = 4 ei oe haitaksi ongeman ratkaisemisen kannata, siä yksittäiseä pisteeä ei oe vaikutusta tangon ämpömäärään. Kerrointen a n arvoiksi saadaan a n = 2 6 = 3 6 ( 2 f(x) cos nπx 6 dx 4 = 6 2nπ sin nπ 3 cos nπx 6 dx 6 4 cos nπx ) 6 dx 33

36 kaikia n N. Lisäksi Näin oen a = 3 f(x) = + 6 f(x) dx = nπ nπx sin cos nπ 3 6 kaikia x (, 6) \ {4}. Lämpötiaa kuvaava funktio (4.) on nyt saatu muotoon u(x, t) = + ) 6 2nπ nπx sin cos ( nπ 3 6 exp n2 π 2 36 t. Tätä ratkaisua on vaikea hyödyntää käytännössä, siä summattavia termejä on äärettömästi. Muuttamaa akuhetken ämpötiajakaumaa sopivasti, saadaan kuitenkin ratkaisu, jossa on ääreinen määrä termejä. Määriteään ensiksi funktio g i funktion f kosinitermisen Fourier-sarjan i + ensimmäisen termin osasummaksi, ei g i (x) = + i 6 2nπ nπx sin cos nπ Kuva 2: Funktioiden f, g 3, g ja g kuvaajat. 34

37 Jos ongeman akuämpötiajakauma f(x) korvattaisiin funktioa g i (x) joakin i N, saadaan ratkaisuksi i ) 6 2nπ nπx u i (x, t) = + sin cos ( nπ 3 6 exp n2 π 2 36 t, (4.3) siä tässä tapauksessa kertoimet a n ovat noia kaikia n > i. Nyt on mieenkiintoista tarkastea kuinka pajon funktio g i (x) poikkeaa akuperäisestä ämpötiajakaumasta f, ja mikä on uvun i vaikutus. Kun i, niin g i (x) f(x) kaikia x (, 6) \ {4}, joten voidaan pääteä, että mitä suurempi uvun i arvo on, sitä tarkemmin g i approksimoi funktiota f. Kuva 2 havainnoistaa tiannetta (a) t = (c) t = (b) t = (d) t = Kuva 3: Ratkaisuja u 3, u ja u käyttäen piirretyt ämpötiajakaumat eri ajanhetkiä. Tutkitaan sitten ratkaisun (4.3) käyttäytymistä uvun i eri arvoia. Kuvassa 3 on piirretty ämpötiajakaumat nejänä eri ajanhetkenä käyttäen ratkaisua (4.3) komea uvun i eri arvoa. Nähdään, että hetkestä t =. eteenpäin ratkaisujen u ja u kuvaajat menevät käytännössä pääekkäin, ja hetkestä t = eteenpäin myöskin u 3 on kutakuinkin identtinen muiden ratkaisujen kanssa. On siis nähtävissä, että käsitetävä ongema on siinä mieessä suotuisa, että pienet erot akutianteessa pyrkivät tasaantumaan, kun 35

38 aika kuuu. Täten voidaan arvea, että u antaa hyvin tarkan arvion funktiosta u ähestukoon heti hetken t = jäkeen. 5 Fourier-integraait Fourier-integraaeihin päädytään uonnoisea tavaa, kun yritetään päästä eroon Fourier-sarjojen jaksoisuusrajoitteesta. Päättey, joka johtaa Fouriersarjoista Fourier-integraaeihin, esitetään seuraavassa aiuvussa nojautuen kirjan [5, s. 29] esitykseen. Tämän jäkeen keskitytään osoittamaan päätteyn tuoksena saatu integraaikaava todeksi. Todistuksessa on pajon samankataisuutta Fourier'n auseen todistuksen kanssa. Niin Fourier-sarjoista kuin -integraaeistakin on oemassa eksponentiaaiset muodot. Eksponentiaaisiin muotoihin päästään käyttämää kaavoja, jotka yhdistävät trigonometriset funktiot eksponenttifunktioon. Integraaikaavae johdetaan eksponentiaainen muoto uvun oppupuoea. Samoin kuin Fourier-sarjoia, on myös Fourier-integraaeia käyttöä osittaisdierentiaaiyhtäöiden ratkaisemisessa. Esimerkki tästä nähdään uvun opussa Fourier-muunnosten yhteydessä. Fourier-muunnoksiin päädytään kun tarkasteaan integraaikaavaa hieman eri näkökumasta. 5. Fourier'n integraaikaava Fourier-sarja väiä (, ) voidaan esittää muodossa f(s) ds + 2 [ nπ ] f(s) cos (s x) ds. (5.) Tämä esitysmuoto saadaan samaan tapaan kuin Lauseen 3.6. todistuksen aussa johdettu esitysmuoto Fourier-sarjae väiä ( π, π). Tiedetään, että Seurauksen suppenemistuos pätee väiä (, ) vaikka funktio f ei oisi jaksoinen. Jotta tuos saataisiin pätemään koko reaaiukujen joukossa, on oogista kokeia mitä Fourier-sarjae tapahtuu, kun annetaan uvun kasvaa kohti ääretöntä. Nähdään, että täöin sarjan (5.) ensimmäinen termi häviää, mikäi epäoeeinen integraai suppenee. Tehdään sitten merkinnät α n = nπ f(s) ds ja α = α n+ α n = π, 36

39 jooin sarjan (5.) oppuosa voidaan kirjoittaa muodossa missä F (α) = π Nyt huomataan, että summa F (α n ) α, f(s) cos[α(s x)] ds. F (α n ) α muistuttaa äheisesti Riemannin integraain määritemässä käytettävää Riemannin summaa. Kyseisessä summassa approksimoidaan tarkastetavan funktion ja x-aksein väiin jäävää aaa suorakaiteiden avua. Tässä yhteydessä α vastaa suorakaiteiden eveyttä ja uvut F (α n ) vastaavat suorakaiteiden korkeutta. Itse integraai määriteään raja-arvona, kun suorakaiteiden eveyden annetaan ähestyä noaa. Tässä tapauksessa nähdään, että kun, niin α. Nämä päätemät mahdoistavat johtopäätöksen, että sarjan (5.) raja-arvo, kun, saattaisi oa esitettävissä muodossa F (α) dα = π f(s) cos[α(s x)] ds dα. Edeä tehty päättey on varsin epätarkka, siä epäoeeista integraaia ei oe määritety kyseiseä tavaa. Lisäksi poikkeavuutta integraain määritemään esiintyy siinä, että funktio F muuttuu samaa kun α muuttuu. Jatkossa pystytään kuitenkin osoittamaan, että saatu auseke esittää todea funktiota f koko reaaiukujen joukossa, kun tietyt oetukset ovat voimassa. 5.2 Fourier'n integraaiause Tämän aiuvun päätarkoituksena on tutkia yhtäön f(x) = π f(s) cos[α(s x)] ds dα paikkansapitävyyttä. Aoitetaan asian käsittey kahdea emmaa. Aiuvussa esitettävät todistukset ovat peräisin kirjasta [4, ss. 5-56]. Lemma sin x x dx = π 2. 37

40 Todistus. Todistus on peräisin kirjasta [4, s. 5]. Tarkoituksena on ensin osoittaa raja-arvon c sin x im c x dx = sin x dx (5.2) x oemassaoo, jonka jäkeen kyseinen raja-arvo saadaan raja-arvon yksikäsitteisyyteen perustuen määrittämää raja-arvo (m+/2)π sin x im dx, (5.3) m x missä m ähestyy ääretöntä uonnoisia ukuja pitkin. Aoitetaan jakamaa integraai kahteen osaan: sin x x dx = sin x x dx + sin x x dx. Tiedetään, että funktioa sin x on ääreiset raja-arvot integroimisväin päätepisteissä x = ja x =, joten x integraai suppenee. Tutkitaan seuraavaksi integraain sin x x sin x x dx suppenemista. Osittaisintegroimaa saadaan sin x x dx = im c c sin x x dx = im c dx (5.4) [ cos cos c c Termi cos c häviää, kun c, siä c im cos c im c c c c =. Lisäksi c im c cos x x 2 c dx im c c cos x x 2 ( dx = im ) =, x2 c c ] dx. 38