= 9 = 3 2 = 2( ) = = 2

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "= 9 = 3 2 = 2( ) = = 2"

Transkriptio

1 Ratkaisut 1.1. (a) (b) (c) (d) ( ) (a) ( ) ( ( 4 ( ) ) 4 1 ( ) ) (b) ( 5 ) (c) ( ) (d) ( ) (1001 ) ( 999 ) ( ) (e) (1000 1) (500 1)( ) ( 500 1) 1.. (a) ( ) (11 101)( ) (b) (11 101)+( ) (c) 16 (16 ) 1/ 1.4. (a) ((4 ) ) 1/ (b) + (+ )(+ ) ( )(+ 8+5 ) 7 (c) 1.5. (a) (b) ( +) (1+ ) (1 ) ( ) ( )( +)

2 1.6. (a) (a ) b c (abc 1 ) a 6 b c a b c a 4 b 1 1 a 4 b (b) (m n 1 ) (mn ) 1 +m 1 n m 6 n m 1 n +m 1 n m 6 n m 1 (n +n) m 5 n 5 m 5 (1+n ) n 1 n +n 1 m 5 n 1+n n 1 nn m5 1+n 1.7. (a) ( 1) n+1 (a + a )(a a ) + ( 1) n (a ) 1 (a a 4 ) + a a 4 1 a 4 (b) (a+)(a 1) 6a +4a 6a a+6a 6a 4a 1 +4a (4a ) 4a 4a 4 4a (4a ) 4 ((a 1)) 4 (a 1) (c) xn+1 x n y x n+ x n y ( (d) ( x 1 x (x+1) x 1 x 1 (x+1) xn (x y) x n (x y ) ) / x x x (x 1)(x+1) ) xn (x y) (x y)(x+y) xn x+y x x ( ) (x 1)(x 1) (x+1)(x ) (x 1) (x 1)(x+1) (x 1)(x+1) x x x+1 (x x+x ) (x 1)(x+1) (x 1)(x+1) x x+ (x 1)(x+1) (x 1)(x+1)(x+1) x (x ) x+1 x x (a) b ab + a (b a) b a a (b) (a b) b (a b) a a b ab b a b a b a a b b a b a b ( a b ) a b a b a b (c) a b b/a a b a b a b a/b b 1/ a1/ b / b 1/ a / a 1/ b a a/ b / a / b / a / b / a b a / b / (a b) a/ b/ b a

3 .1. a x (a+1)x+1 (a a 1)x 1. Yhtälö on ratkeava joss a a 1 0. Koska a a 1 0 joss a (1 ± 5)/, niin yhtälö on ratkeva joss a (1 ± 5)/ ja se ratkaisu on 1/(a a 1)... Olkoon lisätyn 10 % seoksen määrä x litraa ja lisätyn % seoksen määrä y litraa. Nyt saamme öljyn määrälle yhtälön: 0.1x+0.0y 0.01p(x+y) 10x+y p(x+y) (p )y (10 p)x y 10 p p x, joten (x, y) sijaitsee suoralla y 10 p x, missä 0 x 50 ja 0 y 100. p Kuva 1. Punaisella suoralla p 5 ja vihreällä p Syntyneen seoksen määrä on siis x + y x + 10 p 10 p x (1 + p p )x 8 p x litraa. Tämä saa suurimman arvonsa kun x on mahdollisimman suuri. (a) Nyt suoran y 10 p x 5 x kulmakerroin on pienempi kuin, joten saamme p maksimin kun x 50 ja täten kysytty maksimi on 8 50 litraa eli noin 1 litraa. (b) Nyt suoran y 10 p x 7x kulmakerroin on suurempi kuin, joten saamme p maksimin kun y 100 eli x 100/7 ja täten kysytty maksimi on 8 100/7 litraa eli noin 114 litraa... Olkoon x lähetin ja y joukko-osaston nopeus (yksikkönä km/min). Lähetti kulkee minuutissa y kilometriä ja.5 minuutissa 1.5.5y kilometriä. Täten saamme kaksi yhtälöä lähetin nopeudelle: x x y 1.5.5y.5 x 1 + y x 1 + y x y 1 + y y 5 5

4 4 x 1 + y y 1( 1) x y 1 0 Täten lähetin nopeus on 11 0 on 1 km/min 0 eli 1 0 km/min eli km/h. 60 km/h ja joukko-osaston nopeus.4. Koska x x + (x 1)(x ), niin lauseke supistuu polynomiksi joss sekä x 1 että x jakavat osoittajan. Nollakohtalauseen nojalla tämä on ekvivalenttia sen kanssa että sekä x 1 että x on osoittajan nollakohta. Ts. (1) 1 (a + ) + a 4 0 () 8 (a + )4 + a 4 0. Nyt ja (1) a a 6 0 a 1 ± 1 4 ( 6) 4 1 ± 7 4 () 4a 4a 8 0 a a 0 a 1 ± 1 4 ( ) 4 { / Täten lauseke supistuu polynomiksi joss a / tai a 1 tai a. 1 ± { 1.5. (a) Positiivisuusehto: x 1, reaalisuusehto: x 1. Jotta yhtälö x + 1 x 1 olisi ratkeava, niin on siis oltava x 1 ja tällöin yhtälö on ekvivalentti yhtälön x + 1 (x 1) kanssa. Nyt x + 1 (x 1) x + 1 x x + 1 x x 0 x(x ) 0. Tulon nollasäännön nojalla x(x ) 0 joss x 0 tai x. Näistä x 0 ei toteuta ehtoa x 1, joten yhtälön ainoa ratkaisu on x. (b) x + 6 x x x 6. Positiivisuusehto: x 6, reaalisuusehto: x 0. Jotta yhtälö olisi ratkeava, niin on siis oltava x 6 ja tällöin yhtälön ekvivalentti yhtälön x (x 6) kanssa. Nyt x (x 6) x x 1x + 6 x 1x x 1± ± 5 1±5 { 4 9 Näistä x 4 ei toteuta ehtoa x 6, joten yhtälön ainoa ratkaisu on x 9. (c) x + x x + x +. Nyt molemmat puolet ovat ei-negatiivisia. Reaalisuusehdot: x + 0 ja x 0 eli x / ja x. On siis oltava x ja tällöin x + x + x + ( x + ) x + 4 x + 4

5 5 4 x x + (x ) 4 x + 1. Yhtälö 4 x x + 1 on ekvivalentti yhtälön 16(x ) (x + 1) kanssa ja 16(x ) (x + 1) 16x x + x + 1 x 14x + 0 x 14 ± ± ± 8 { 11 Sekä x että x 11 toteuttavat ehdon x, joten yhtälön ratkaisut ovat x ja x (a) x + 4 x + 4 ± x + 4 ± x + ±(4 ± ) x ±(4 ± ). Täten yhtälön ratkaisut ovat x 9, x, x 5 ja x 1. (b) Poistetaan itseisarvomerkit yhtälöstä x x 1. Nyt x + 1 > 0 joss x > 1 ja x 1 > 0 joss x > 1/. Täten: (1) x 1: x x 1 x 1 x + 1 x x 1 () 1 < x < 1/: x x 1 x + 1 x + 1 x 1 x 1 (ko. välillä ei ratk.) () x 1/: x x 1 x x 1 x x 1 Yhtälön ratkaisut ovat siis x 1 ja x 1. (c) Positiivisuusehto: x 1 0 eli x 1. Tällöin myös x 1 ja täten x 1 x 1 x 1 x 1 x x 0 x(x 1) 0 x 0 tai x 1 Näistä vain x 1 toteuttaa positiivisuusehdon, joten se on yhtälön ainoa ratkaisu. (d) Positiivisuusehto: x 0. Tällöin x 1 x x x 1 x x x 1 x ±x { 4x x 1 x ± x x ( 0 sillä x 0) Jos siis x 0, niin alkuperäinen yhtälö on ekvivalentti yhtälön x 1 4x kanssa. Nyt x 1 4x x 1 ±4x x 4x 1 0 x ±4± 16 4 ( 1) ±4± 5 ±± 5, joten positiivisuusehdon nojalla ainoat ratkaisut ovat x ± + 5.

6 6.7. Koska 4y + 9x + 8y 18x (y + ) + (x ) 1 ((y + 1)) + ((x 1)) 1 4(y + 1) + 9(x 1) 1, niin 4y + 9x + 8y 18x 9(x 1) + 4(y + 1) (x 1) (y + 1) 1 (x 1) (y + 1) + 1. Täten yhtälön 4y +9x +8y 18x ratkaisut (x, y) muodostavat (1, 1)-keskisen ellipsin, jonka pikkuakselit ovat ja. Kuva. Ellipsi (x 1) + (y+1) 1.8. Kysyttyjen suorien yhtälöt ovat muotoa y 1 x + c. Ympyrän ja suoran leikkauspisteet saadaan kun sijoitetaan y 1 x + c ympyrän yhtälöön: ( 1 x + c) + x x + cx + c + x x + cx + c Suora sivuaa ympyrää joss tällä yhtälöllä on vain yksi ratkaisu joss sen diskriminantti on nolla eli c (c 10) 0 4c c ± ± 5. 4 Täten kysytyt suorien yhtälöt ovat y 1 x ± 5. Kuten yllä näimme, suora y 1x + c sivuaa ympyrää joss 5 4 x + cx + c 10 0 joss x c 5/4 5 c. Näin ollen sivuamispisteet ovat ( c, 1( 5 5 c) + c) eli (x, y) (, ) ja (x, y) (, ).

7 .9. Sijoitetaan x u v ja y u+v yhtälöön xy 1, jolloin saadaan (u v)(u+v) 1 u v 1. xy-tason käyrä xy 1 on siis uv-tason hyperbeli u v 1, jonka asymptootit ovat v ±u eli suorat x 0 ja y 0 (huomaa, että u 1 (x + y) ja v 1 (y x)). Koska (u, v) (1, 0) joss (x, y) (1, 1) ja (u, v) (0, 1) joss (x, y) ( 1, 1), niin u-akseli on suoran y x suuntainen ja v-akseli on suoran y x suuntainen. 7 Kuva. Hyperpeli xy 1 (sininen käyrä)

8 8.1. (a) x+6 < x 1 x + 6 < 9x 7x > 9 x > 9 7 (b) (x ) (x 1)(x+) > 1 (x ) (x 1)(x + ) > x 8x + 8 x 5x + > 1x < 9 x < (a) Yhtälön x + x + 0 diskriminatti D 7 < 0, joten x + x + 0 kaikilla reaaliluvuilla x. Koska paraabeli y x + x + on ylöspäin aukeava, niin x + x + > 0 kaikilla reaaliluvilla x. (b) 4x 1x + 9 (x ) > 0 aina kun x. (c) x + x 0 x 1 tai x. Koska paraabeli y x + x on ylöspäin aukeava, niin nyt x + x > 0 joss x < tai x > 1... (a) x +x 1 x x x x x x x x 1± 5, niin nyt saadaan merkkikaavio: x + x x + + x +x 1 x Koska x + x 1 0 Täten 1 x + 1 x 1 x joss 1 5 x < 0 tai x (b) (x + x 1) < x 4 x 4 (x + x 1) > 0 (x (x + x 1))(x + (x + x 1)) > 0 ( x + 1)(x + x 1) > 0 Koska x + x 1 0 x 1± 4, niin nyt saadaan merkkikaavio:

9 9 1 1/ 1 x + x x ( x + 1)(x + x 1) + + Täten (x + x 1) < x 4 joss x < 1 tai 1 < x < a x (a 1)x + 1 (a a + 1)x 1 (a 1) x 1. Jos a 1, niin epäyhtälö on tosi kaikilla reaaliluvilla x. Jos a 1, niin (a 1) > 0 ja epäyhtälö on tosi aina kun x 1/(a 1)..5. (a) x + > x 1 x + > x 1 tai x + < x + 1 x > 4 tai x < /. Jokainen reaaliluku x toteuttaa ainakin toisen näistä epäyhtälöistä ja täten x + > x 1 kaikilla reaaliluvuilla x. (b) x x 5 < x + x 5 (x x 5) < (x + x 5) (x x 5) (x + x 5) < 0 (x x 5 + x + x 5)(x x 5 x x + 5) < 0 (x 10)( x) < 0.

10 10 Merkkikaavio: x x + + (x 10)( x) + + Täten x x 5 < x + x 5 joss 5 < x < 0 tai x > (a) (x ) +(y 1) joss (x, y) on joko -säteisen (, 1)-keskisen ympyrän kehällä tai sen sisäpuolella.

11 (b) x + y < 1 joss y < 1 x. Positiivisuusehto: 1 x 0 x 1 1 x 1. Siispä x + y < 1 joss 1 + x < y < 1 x, missä 1 x 1. Näin ollen x + y < 1 joss (x, y) on suorien y ±1 ± x, rajaaman alueen sisäpuolella (a) Oltava x > 0. Tällöin x < x x < x x(x 1) > 0 x > 1. (b) Reaalisuusehto: x 1. Jos x 1 < 0 eli x <, niin epäyhtälö x + 1 > x 1 on tosi. Oletetaan, että x. Nyt x ( x ) x + 1 > 1 x + 1 > 1 x ( x ) x + 1 > 4 x + 1 x 4 < 0 x < 8. Täten x + 1 > x 1 joss 1 x < 8.

12 1 (c) Reaalisuusehto: x. Nyt x + < x x + < (x ) x + < 4x 8x + 4 4x 9x + > 0 x < 1 4 tai x >. (d) Reaalisuusehto: x. Jos x, niin x + > 0 ja 4 x > x + 4 x > (x + ) 4 x > x + 6x + 9 x + 6x + 5 < 0. Koska x + 6x + 5 > 0 kaikilla reaaliluvuilla x, niin epäyhtälöllä 4 x > x + ei ole ratkaisuja.

13 (e) Reaalisuusehto: 1 x 1. Jos x < 0, niin epäyhtälö ei ole ratkeava. Jos x 0, niin 1 x < x 1 x < x x 1 > 0 1 < x 1. 1

14 (a) Olkoon (x, y) kysytty piste. Koska , niin t 600π 6 (+1 500)π 6 π 6 1π π π. 6 Täten (x, y) (cos t, sin t) (cos( π ), sin( π )) ( 1, ). (b) Olkoon (x, y) kysytty piste. Koska , niin t 1015π 1 ( )π 1 15π π 5π π. Täten (x, y) (cos t, sin t) (cos( 5π), sin( 5π)) ( cos(π 5π), sin(π 5π)) ( cos( π), sin( π)) ( cos( π), sin( π )) ( , ). 4.. (a) cos t ± 1 sin t ± 1 ( π 4 ) ± 16 π 4. (b) tan t sin t ± π/4 ± cos t 16 π /4 π. 16 π 4.. (a) Koska k 6m + r, missä m on kokonaisluku ja r 0, ±1, ±,, niin ja näin ollen k π (6m + r)π r π + m π cos(k π ) cos(r π ) ja sin(k π ) sin(r π ). Koska π π π, niin cos( π) cos( π) ja sin( π) sin( π ) (peilaus y-akselin suhteen), ja saamme taulukon missä m on mikä tahansa kokonaisluku. r cos(r π + mπ) sin(r π + mπ) / / 1/ / 1 0 1/ / 1 1/ / (b) Pisteet sijaitsevat yksikköympyrän kehällä ja ovat säännöllisen kuusikulmion kärkipisteet.

15 4.4. (a) sin x sin sin x sin( ) x + kπ tai x π + + kπ kaikilla kokonaisluvuilla k. (b) cos x cos cos x cos(π ) x ±(π ) + kπ kaikilla kokonaisluvuilla k. (c) tan x tan tan x tan( ) x + kπ kaikilla kokonaisluvuilla k sin(x) + cos(x/) 0 cos(x/) sin(x) cos(x/) sin( x) cos(x/) cos(π/ + x) x/ ±(π/ + x) + kπ x/ π/ + x + kπ tai x/ π/ x + kπ 5 x π/ + kπ tai 7 x π/ + kπ x π 5 + k 4π 5 kaikilla kokonaisluvuilla k. tai x π 7 + k 4π 7, (b) sin x + (cos x)/ 0 6 sin x cos x tan x 1 6 x arctan( 1/6) + kπ, kaikilla kokonaisluvuilla k. (c) kaikilla kokonaisluvuilla k. tan x sin(x) sin x cos x sin x cos x sin x sin x cos x cos x sin x(1 cos x) 0 sin x 0 tai 1 cos x 0 cos x x kπ tai cos x ± 1 x kπ tai x ± π 4 + kπ tai x ±(π π 4 ) + kπ x kπ tai x ± π 4 + kπ tai x ±π 4 + kπ, 15 0

16 (a) sin x cos x 0 1 cos x cos x 0 cos x + cos x (cos x + 1) 0 cos x 1 x ±π + kπ, kaikilla kokonaisluvuilla k. (b) (x 1) 5 sin(x 1) 0 x 1 0 tai sin(x 1) 0 x ±1 tai x 1 kπ x ±1 tai x 1 + k π, kaikilla kokonaisluvilla k (a) sin(cos x) 0 cos x mπ, missä m on kokonaisluku. Koska 1 cos x 1, niin ainoa kokonaisluku m jolla yhtälö cos x mπ on ratkeava on m 0. Täten sin(cos x) 0 cos x 0 x π + kπ kaikilla kokonaisluvuilla k. (b) cos(sin x) cos(sin x) sin x ± π + mπ, missä m 6 on konaisluku. Koska 1 sin x 1, niin ainoa kokonaisluku m joilla yhtälö sin x ± π + mπ on ratkeava on m 0. Täten 6 cos(sin x) sin x ± π ( 6 x arcsin ± π ) ( + kπ tai x π arcsin ± π ) + kπ, 6 6 kaikilla kokonaisluvuilla k (a) Koska sin x 1 x π + kπ 4 tai x π π + kπ π 4 4 sin x 1 x π + kπ 4 tai x π + kπ, niin 4 sin x < 1 1 < sin x < 1 π 4 + kπ < x < π 4 + kπ tai π 4 + kπ < x < 5π 4 + kπ. ( Huom. sin( π 4 ) sin(π π 4 ) sin( 5π 4 )). + kπ ja Kuva 4. EY:n sin x < 1/ ratkaisut ovat vp kuvassa ne kulmat jotka vastaavat vahvennettujen kaarten osia, ja op kuvassa vahvennettujen käyrän osien pisteiden x-koordinaatit

17 17 (b) Koska cos x 1 x ±π + kπ ja cos x 1 x π π + kπ tai x π + π + kπ, niin cos x > 1 cos x > 1 tai cos x < 1 π + kπ < x < π + kπ tai π + kπ < x < 4π + kπ. Kuva 5. EY:n cos x > 1/ ratkaisut ovat vp kuvassa ne kulmat jotka vastaavat vahvennettujen kaarten osia, ja op kuvassa vahvennettujen käyrän osien pisteiden x-koordinaatit (c) Koska tan x ±1 x ± π 4 + kπ, niin tan x 1 tan x 1 tai tan x 1 π + kπ < x π 4 + kπ tai π 4 + kπ x < π + kπ.

18 Koska A sin(t+b) A(sin t cos B+cos t sin B) (A sin B) cos t+(a cos B) sin t, niin cos t + 4 sin t A sin(t + B) cos t + 4 sin t (A sin B) cos t + (A cos B) sin t { A sin B A cos B 4 { A tan B /4 Valitaan B arctan(/4) Nyt 0 < B < π/, joten sin B ja cos B Jos siis valitaan A +5, niin A sin B ja A cos B 4, ja näin ollen missä φ arctan(/4) f(t) cos t + 4 sin t 5 sin(t + φ), Kuva 6. y f(t) on verran vasemmalle vaihesiirretty sinikäyrä jonka amplitudi 5

19 (a) x +1 4 x 1 x +1 ( ) x 1 x +1 (x 1) x +1+x 1 x + x 1 1 x + x 0 x 1 ±. (b) x+1 x 1 1 x ( 1 ) 1 x 1 x 8 x. 5.. x + 1 x 4 x x + 1 x x 4 x ( x ) + 4 x ( x ) 4 x + 0 x 4 ± { x 0 tai x e sin x + a e sin x a. Koska sin x saa kaikki arvot väliltä [ 1, 1], niin e sin x saa kaikki arvot väliltä [e 1, e]. Täten yhtälö e sin x a on ratkeava joss e 1 a e e a e 1 e a e (a) e x sin x > 0 on tosi kaikilla muuttujan x arvoilla, sillä e t > 0 kaikilla reaalivuilla t. (b) x 5x+8 > 9 x 5x+8 >. Koska f(t) t on kasvava, niin x 5x+8 > joss x 5x + 8 > joss x 5x + 6 > 0 joss x < tai x >. (c) Koska epäyhtälön 5 x molemmat puolet ovat positiivisia ja funktio f(t) ln t on kasvava kun t > 0, niin 5 x ln(5 x ) ln x ln 5 ln x ln ln (a) log x x x 8. (b) Kantaluvun x on oltava positiivinen. Nyt log x 1/ x 1/ x 9. (c) Kantaluvun x on oltava positiivinen. Nyt log x (x + 1) x x + 1 x x 1 0. Yhtälön x x 1 0 ainoa positiivinen ratkaisu on x 1+ 5, joten se on yhtälön log x (x + 1) ainoa ratkaisu Määrittelyehdot: x > 1 ja x > 1. On siis oltava x > 1. Nyt

20 0 ln(x + 1) ln(x 1) ln(x + 1) ln(x 1) ln((x 1) ) x + 1 (x 1) x + 1 x x + 1 x x 0 x(x ) 0 x (tai x 0). Yhtälön ainoa ratkaisu on siis x. (b) Määrittelyehdot: x > 1 ja x >. On siis oltava x > 1. Nyt log 10 (x 1) log 10 (x + ) + 1 log 10 ((x 1) ) log 10 (x + ) 1 (x 1) log 10 x + log x x x + x x (x + ) x 1x 19 0 x (tai x 6 55). Yhtälön ainoa ratkaisu on siis x Oltava x > 0 ja x 1. Koska log x 1 log x 1 log x log x log x log x 7 4 log 1 log x 1 log x, niin (log x) (log x) 1 0 4(log x) + 7(log x) 0 log x 7 ± ( ) 8 x { 1 4 1/4 4 7 ± 9 8 { 1/ Koska 1 log 1/ () ja f(t) log 1/ (t) on vähenevä, niin log 1/ (x ) 1 log 1/ (x ) log 1/ () x x x 5.

21 5.9. Kantaluvun x on oltava positiivinen ja lisäksi on oltava 4x > 0 eli x > 1/. Koska log x 1 0, niin log x (4x ) > 0 joss log x (4x ) > log x 1. (1) Jos 1/ < x < 1, niin f(t) log x (t) on vähenevä, joten log x (4x ) > log x 1 4x < 1 x < 4. () Jos x > 1, niin f(t) log x (t) on kasvava, joten log x (4x ) > log x 1 4x > 1 x > 4. 1 Täten log x (4x ) > 0 joss 1 < x < 4 tai x > Koska niin log k ( 1 ) + log k( ) + log k( 4 ) + + log k( n 1 n ) log k( 1 log k ( 1 n ), n 4 n 1 log k ( 1 ) + log k( ) + log k( 4 ) + + log k( n 1 n ) 1 log k( 1 n ) 1 log k ( 1 n ) log k(k). (1) Jos 0 < k < 1, niin log k ( 1 n ) log k(k) joss 1 n k. n 1 n ) () Jos k > 1, niin log k ( 1 ) log n k(k) joss 1 k. Koska n > 1, niin tämä toteutuu n kaikilla kantaluvun k arvoilla. Siispä: log k ( 1) + log k( ) + log k( ) + + log 4 k( n 1 ) 1 joss k > 1 tai 0 < k 1/n. n

1. Murtoluvut, murtolausekkeet, murtopotenssit ja itseisarvo

1. Murtoluvut, murtolausekkeet, murtopotenssit ja itseisarvo 1. Murtoluvut, murtolausekkeet, murtopotenssit ja itseisarvo Olkoot a, b, c mielivaltaisesti valittuja reaalilukuja eli reaaliakselin pisteitä. Ne toteuttavat seuraavat laskulait (ns. kunta-aksioomat):

Lisätiedot

Funktio 1. a) Mikä on funktion f (x) = x lähtöjoukko eli määrittelyjoukko, kun 0 x 5?

Funktio 1. a) Mikä on funktion f (x) = x lähtöjoukko eli määrittelyjoukko, kun 0 x 5? Funktio. a) Mikä on funktion f (x) = x + lähtöjoukko eli määrittelyjoukko, kun 0 x 5? b) Mikä on funktion f (x) = x + maalijoukko eli arvojoukko? c) Selitä, mikä on funktion nollakohta. Anna esimerkki.

Lisätiedot

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016 Vanhoja koetehtäviä Analyyttinen geometria 016 1. Määritä luvun a arvo, kun piste (,3) on käyrällä a(3x + a) = (y - 1). Suora L kulkee pisteen (5,1) kautta ja on kohtisuorassa suoraa 6x + 7y - 19 = 0 vastaan.

Lisätiedot

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion

Lisätiedot

läheisyydessä. Piirrä funktio f ja nämä approksimaatiot samaan kuvaan. Näyttääkö järkeenkäyvältä?

läheisyydessä. Piirrä funktio f ja nämä approksimaatiot samaan kuvaan. Näyttääkö järkeenkäyvältä? BM20A5840 - Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 1, Kevät 2017 1. Tunnemme vektorit a = [ 1 2 3 ] ja b = [ 2 1 2 ]. Laske (i) kummankin vektorin pituus (eli itseisarvo, eli normi); (ii) vektorien

Lisätiedot

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45 MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko 5 Tehtävä 1 (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 3 =, b) z + 3 i < 3, c) 1/z >. Yleisesti: ehto z = R, z C muodostaa kompleksitasoon

Lisätiedot

Algebra. 1. Ovatko alla olevat väittämät tosia? Perustele tai anna vastaesimerkki. 2. Laske. a) Luku 2 on luonnollinen luku.

Algebra. 1. Ovatko alla olevat väittämät tosia? Perustele tai anna vastaesimerkki. 2. Laske. a) Luku 2 on luonnollinen luku. Algebra 1. Ovatko alla olevat väittämät tosia? Perustele tai anna vastaesimerkki. a) Luku on luonnollinen luku. b) Z c) Luvut 5 6 ja 7 8 ovat rationaalilukuja, mutta luvut ja π eivät. d) sin(45 ) R e)

Lisätiedot

Juuri 2 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 2 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus K. a) E Nouseva suora. b) A 5. asteen polynomifunktio, pariton funktio Laskettu piste f() = 5 =, joten piste (, ) on kuvaajalla. c) D Paraabelin mallinen, alaspäin aukeava. Laskettu piste f() =

Lisätiedot

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2018 Insinöörivalinnan matematiikan koe, , Ratkaisut (Sarja A)

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2018 Insinöörivalinnan matematiikan koe, , Ratkaisut (Sarja A) Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2018 Insinöörivalinnan matematiikan koe, 2952018, Ratkaisut (Sarja A) 1 Anna kaikissa kohdissa vastaukset tarkkoina arvoina Kohdassa d), anna kulmat

Lisätiedot

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A) Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π

Lisätiedot

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3. Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin

Lisätiedot

MAA02. A-osa. 1. Ratkaise. a) x 2 + 6x = 0 b) (x + 4)(x 4) = 9 a) 3x 6x

MAA02. A-osa. 1. Ratkaise. a) x 2 + 6x = 0 b) (x + 4)(x 4) = 9 a) 3x 6x MAA0 A-osa. Ratkaise. a) x + 6x = 0 b) (x + 4)(x 4) = 9 a) 3x 6x a) Kirjoitetaan summa x + 6x yhteisen tekijän avulla tulomuotoon ja ratkaistaan yhtälö tulon nollasäännön avulla. x + 6x = 0 x(x + 6) =

Lisätiedot

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0 Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 K. a) b) c) d) 6 6 a a a, a > 0 6 6 a a a a, a > 0 5 5 55 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 a a a a a ( a ) a a a, a > 0 K.

Lisätiedot

Differentiaalilaskenta 1.

Differentiaalilaskenta 1. Differentiaalilaskenta. a) Mikä on tangentti? Mikä on sekantti? b) Määrittele funktion monotonisuuteen liittyvät käsitteet: kasvava, aidosti kasvava, vähenevä ja aidosti vähenevä. Anna esimerkit. c) Selitä,

Lisätiedot

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus:

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus: . Koska F( ) on jokin funktion f ( ) integraalifunktio, niin a+ a f() t dt F( a+ t) F( a) ( a+ ) b( a b) Vastaus: Kertausharjoituksia. Lukujonot 87. + n + lim lim n n n n Vastaus: suppenee raja-arvona

Lisätiedot

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja

Lisätiedot

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0 Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8.9.07 Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) K. a) b) c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 6 6 a a a, a > 0 6 6 a

Lisätiedot

1 Rationaalifunktio , a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen.

1 Rationaalifunktio , a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen. Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 Rationaalifunktio. a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen. f (50) 50 8 50 4 8 50 500 400 4 400

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka a) Ratkaistaan nimittäjien nollakohdat. ja x = 0. x 1= Funktion f määrittelyehto on x 1 ja x 0.

Tekijä Pitkä matematiikka a) Ratkaistaan nimittäjien nollakohdat. ja x = 0. x 1= Funktion f määrittelyehto on x 1 ja x 0. Tekijä Pitkä matematiikka 6 9.5.017 K1 a) Ratkaistaan nimittäjien nollakohdat. x 1= 0 x = 1 ja x = 0 Funktion f määrittelyehto on x 1 ja x 0. Funktion f määrittelyjoukko on R \ {0, 1}. b) ( 1) ( 1) f (

Lisätiedot

Ratkaisuja, Tehtävät

Ratkaisuja, Tehtävät ja, Tehtävät 988-97 988 a) Osoita, että lausekkeiden x 2 + + x 4 + 2x 2 ja x 2 + - x 4 + 2x 2 arvot ovat toistensa käänteislukuja kaikilla x:n arvoilla. b) Auton jarrutusmatka on verrannollinen nopeuden

Lisätiedot

2 Toisen asteen polynomifunktio

2 Toisen asteen polynomifunktio Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4.5.017 Toisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Merkitään taulukon pisteet koordinaatistoon ja hahmotellaan niiden kautta kulkeva

Lisätiedot

Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin

Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin Yhtälöparit ja yhtälöryhmät 6. a) x y = 7 eli,y+, sijoitetaan alempaan yhtälöön x+ 7y = (, y+, ) + 7y =,y =, y = Sijoitetaan y = yhtälöparin ylempään yhtälöön.,

Lisätiedot

2 Pistejoukko koordinaatistossa

2 Pistejoukko koordinaatistossa Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia

Lisätiedot

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1.

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1. Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4..6 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. a) Funktion f( ) = määrittelyehto on +, eli. + Ratkaistaan funktion nollakohdat. f(

Lisätiedot

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio 4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Tutkitaan yhtälöiden ratkaisuja piirtämällä funktioiden f(x) = x, f(x) = x 3, f(x) = x 4 ja f(x) = x 5 kuvaajat. Näin nähdään, monessako

Lisätiedot

, c) x = 0 tai x = 2. = x 3. 9 = 2 3, = eli kun x = 5 tai x = 1. Näistä

, c) x = 0 tai x = 2. = x 3. 9 = 2 3, = eli kun x = 5 tai x = 1. Näistä Pitkä matematiikka 8.9.0, ratkaisut:. a) ( x + x ) = ( + x + x ) 6x + 6x = + 6x + 6x x = x =. b) Jos x > 0, on x = + x x = + x. Tällä ei ole ratkaisua. Jos x 0, on x = + x x = + x x =. c) x = x ( x) =

Lisätiedot

! 7! = N! x 8. x x 4 x + 1 = 6.

! 7! = N! x 8. x x 4 x + 1 = 6. 9. 10. 2008 1. Pinnalta punaiseksi maalattu 3 3 3-kuutio jaetaan 27:ksi samankokoiseksi kuutioksi. Mikä osuus 27 pikkukuution kokonaispinta-alasta on punaiseksi maalattu? 2. Positiivisen kokonaisluvun

Lisätiedot

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 6 Maanantai

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 6 Maanantai . (Teht. s. 93.) Määrää raja-arvo MATP53 Approbatur B Harjoitus 6 Maanantai 7..5 cos x x. Ratkaisu. Suora sijoitus antaa epämääräisen muodon (ei auta). Laventamalla päädytään muotoon ja päästään käyttämään

Lisätiedot

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6 MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+

Lisätiedot

Tekijä MAA2 Polynomifunktiot ja -yhtälöt = Vastaus a)

Tekijä MAA2 Polynomifunktiot ja -yhtälöt = Vastaus a) K1 a) Tekijä MAA Polynomifunktiot ja -yhtälöt 6.8.016 ( + + ) + ( ) = + + + = + + + = + 4 b) 4 4 ( 5 + ) ( 5 + 1) = 5 + + 5 + 1 4 = + + + 4 = + 5 5 1 1 Vastaus a) 4 + b) 4 + 1 K a) f ( ) = + 1 f () = +

Lisätiedot

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 5 Maanantai

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 5 Maanantai MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 5 Maanantai 30.11.015 1. (Opiskelutet. 0 s. 81.) Selvitä, miten lauseke sin(4x 3 + cos x ) muodostuu perusfunktioista (polynomeista, trigonometrisistä funktioista jne).

Lisätiedot

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4 KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + ( 1) + 3 ( 1) 3 = 3 + 3 = 4 K. a) x 3x + 7x 5x = 4x + 4x b) 5x 3 (1 x ) = 5x 3 1 + x = 6x 4 c) (x + 3)(x 4) = x 3 4x + 3x 1 = x 3 + 3x 4x 1 Vastaus: a) 4x +

Lisätiedot

MAA2.3 Koontitehtävät 2/2, ratkaisut

MAA2.3 Koontitehtävät 2/2, ratkaisut MAA.3 Koontitehtävät /, ratkaisut. (a) 3x 5x 4 = 0 x = ( 5) ± ( 5) 4 3 ( 4) 6 (b) (x 4) = (x 4)(x + 4) (x 4)(x 4) = (x 4)(x + 4) x 8x + 6 = x 6 x 6 8x = 3 : 8 x = 4 = 5 ± 73 6 (c) 4 x + x + = 0 4 x + 4x

Lisätiedot

Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot.

Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot. 7 Sovelluksia 90 a) Koska sin saa kaikki välillä [,] olevat arvot, niin funktion f ( ) = sin pienin arvo on = ja suurin arvo on ( ) = b) Koska sin saa kaikki välillä [0,] olevat arvot, niin funktion f

Lisätiedot

Hyvä uusi opiskelija!

Hyvä uusi opiskelija! Hyvä uusi opiskelija! Tässä tulee tärkeää tietoa heti syksyn alussa pidettävästä laskutaitotestistä. Matematiikka kuuluu tekniikan alan opiskelijan tärkeimpiin oppiaineisiin. Matematiikan opiskelu kehittää

Lisätiedot

Integrointi ja sovellukset

Integrointi ja sovellukset Integrointi ja sovellukset Tehtävät:. Muodosta ja laske yläsumma funktiolle fx) x 5 välillä [, 4], kun väli on jaettu neljään yhtä suureen osaan.. Määritä integraalin x + ) dx likiarvo laskemalla alasumma,

Lisätiedot

Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77

Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77 Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07 Kertaus K. a) sin 0 = 0,77 b) cos ( 0 ) = cos 0 = 0,6 c) sin 50 = sin (80 50 ) = sin 0 = 0,77 d) tan 0 = tan (0 80 ) = tan 0 =,9 e)

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 4.9.09 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alustavat hyvän vastauksen piirteet on suuntaa-antava kuvaus kokeen tehtäviin odotetuista vastauksista ja tarkoitettu ensisijaisesti

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle / MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 5. viikolle / 9..5. Integroimismenetelmät Tehtävä : Laske osittaisintegroinnin avulla a) π x sin(x) dx,

Lisätiedot

Ratkaisut vuosien tehtäviin

Ratkaisut vuosien tehtäviin Ratkaisut vuosien 1978 1987 tehtäviin Kaikki tehtävät ovat pitkän matematiikan kokeista. Eräissä tehtävissä on kaksi alakohtaa; ne olivat kokelaalle vaihtoehtoisia. 1978 Osoita, ettei mikään käyrän y 2

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi 2

Matematiikan peruskurssi 2 Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat

Lisätiedot

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)

Lisätiedot

x = 6 x = : x = KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 229.a) Funktio f ( x) = 2x+ Nollakohta f x b) Funktio gx ( ) = x

x = 6 x = : x = KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 229.a) Funktio f ( x) = 2x+ Nollakohta f x b) Funktio gx ( ) = x KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 9.a) Funktio f ( ) = + 6 Nollakohta f bg= + 6= = 6 :( ) = 6 = y 5 6 y = + 6 b) Funktio g ( ) = 5 Nollakohta g bg= = 5 = : 5 5 5 5 = : = = = 5 5 5 9 9

Lisätiedot

KERTAUSHARJOITUKSIA. 1. Rationaalifunktio a) ( ) 2 ( ) Vastaus: a) = = 267. a) a b) a. Vastaus: a) a a a a 268.

KERTAUSHARJOITUKSIA. 1. Rationaalifunktio a) ( ) 2 ( ) Vastaus: a) = = 267. a) a b) a. Vastaus: a) a a a a 268. KERTAUSHARJOITUKSIA. Rationaalifunktio 66. a) b) + + + = + + = 9 9 5) ( ) ( ) 9 5 9 5 9 5 5 9 5 = = ( ) = 6 + 9 5 6 5 5 Vastaus: a) 67. a) b) a a) a 9 b) a+ a a = = a + a + a a + a a + a a ( a ) + = a

Lisätiedot

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.8.016 3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) x + x + 1 = 4 (x + 1) = 4 Luvun x + 1 tulee olla tai, jotta sen

Lisätiedot

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a)

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a) Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6 Kertaus Integraalifunktio ja integrointi KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) ( )d C C b) c) d e e C cosd cosd sin C K. Funktiot F ja F ovat saman

Lisätiedot

Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x 1 ja x 2 on voimassa ehto:

Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x 1 ja x 2 on voimassa ehto: 4 Reaalifunktiot 4. Funktion monotonisuus Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x ja x on voimassa ehto: "jos x < x, niin f (x

Lisätiedot

Äärettömät raja-arvot

Äärettömät raja-arvot Äärettömät raja-arvot Määritelmä Funktion f oikeanpuoleinen raja-arvo pisteessä x 0 on + mikäli kaikilla R > 0 löytyy sellainen δ > 0 että f (x) > R aina kun x 0 < x < x 0 + δ. Funktion f oikeanpuoleinen

Lisätiedot

6 Funktioita ja yhtälöitä

6 Funktioita ja yhtälöitä 6 Funktioita ja yhtälöitä 6. Rationaali- ja juurifunktio LUVUN 6. YDINTEHTÄVÄT 60. a) Määritelty, kun a 0. ( a ) ( a ) a a y y ( a a )( a ( a )) a a a a y y a 6 a ( y) ( y) Toinen tapa: ( a ) ( a ) a a

Lisätiedot

Pisteessä (1,2,0) osittaisderivaatoilla on arvot 4,1 ja 1. Täten f(1, 2, 0) = 4i + j + k. b) Mihin suuntaan pallo lähtee vierimään kohdasta

Pisteessä (1,2,0) osittaisderivaatoilla on arvot 4,1 ja 1. Täten f(1, 2, 0) = 4i + j + k. b) Mihin suuntaan pallo lähtee vierimään kohdasta Laskukarnevaali Matematiikka B. fx, y, z) = x sin z + x y, etsi f,, ) Osittaisderivaatat ovat f f x = sin z + xy, y = x, f z = x cos z Pisteessä,,) osittaisderivaatoilla on arvot 4, ja. Täten f,, ) = 4i

Lisätiedot

Ympyrän yhtälö

Ympyrän yhtälö Ympyrän yhtälö ANALYYTTINEN GEOMETRIA MAA4 On melko selvää, että origokeskisen ja r-säteisen ympyrän yhtälö voidaan esittää muodossa x 2 + y 2 = r 2. Vastaavalla tavalla muodostetaan ympyrän yhtälö, jonka

Lisätiedot

3.1 Väliarvolause. Funktion kasvaminen ja väheneminen

3.1 Väliarvolause. Funktion kasvaminen ja väheneminen Väliarvolause Funktion kasvaminen ja väheneminen LAUSE VÄLIARVOLAUSE Oletus: Funktio f on jatkuva suljetulla välillä I: a < x < b f on derivoituva välillä a < x < b Väite: On olemassa ainakin yksi välille

Lisätiedot

5 Rationaalifunktion kulku

5 Rationaalifunktion kulku Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 5 Rationaalifunktion kulku. Funktion f määrittelyehto on. Muodostetaan symbolisen laskennan ohjelman avulla derivaattafunktio f ja

Lisätiedot

Juuri 12 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 12 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.5.08 Kertaus K. a) Polynomi P() = + 8 on jaollinen polynomilla Q() =, jos = on polynomin P nollakohta, eli P() = 0. P() = + 8 = 54 08 +

Lisätiedot

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p MAA..0 Muista kirjoittaa jokaiseen paperiin nimesi! Tee vastauspaperin yläreunaan pisteytysruudukko! Valitse kuusi tehtävää! Perustele vastauksesi välivaiheilla! Jussi Tyni Ratkaise: a) x x b) xy x 6y

Lisätiedot

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2.1 Ensimmäisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Muuttujan x ensimmäisen asteen yhtälöksi sanotaan yhtälöä, joka voidaan kirjoittaa muotoon ax + b = 0, missä vakiot a ja b ovat reaalilukuja

Lisätiedot

3 = Lisäksi z(4, 9) = = 21, joten kysytty lineaarinen approksimaatio on. L(x,y) =

3 = Lisäksi z(4, 9) = = 21, joten kysytty lineaarinen approksimaatio on. L(x,y) = BM20A5810 Differentiaalilaskenta ja sovellukset Harjoitus 6, Syksy 2016 1. (a) Olkoon z = z(x,y) = yx 1/2 + y 1/2. Muodosta z:lle lineaarinen approksimaatio L(x,y) siten että approksimaation ja z:n arvot

Lisätiedot

Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. ILMAN LASKINTA -OSIO! LASKE KAIKKI SEURAAVAT TEHTÄVÄT:

Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. ILMAN LASKINTA -OSIO! LASKE KAIKKI SEURAAVAT TEHTÄVÄT: MAA Koe 8.1.014 Arto Hekkanen ja Jussi Tyni Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. ILMAN LASKINTA -OSIO! LASKE KAIKKI SEURAAVAT TEHTÄVÄT: 1. a) Laske polynomien x x

Lisätiedot

11 MATEMAATTINEN ANALYYSI

11 MATEMAATTINEN ANALYYSI Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 0.7.08 MATEMAATTINEN ANALYYSI ALOITA PERUSTEISTA 444A. a) Funktion arvot ovat positiivisia silloin, kun kuvaaja on x-akselin yläpuolella.

Lisätiedot

A = (a 2x) 2. f (x) = 12x 2 8ax + a 2 = 0 x = 8a ± 64a 2 48a x = a 6 tai x = a 2.

A = (a 2x) 2. f (x) = 12x 2 8ax + a 2 = 0 x = 8a ± 64a 2 48a x = a 6 tai x = a 2. MATP53 Approbatur B Harjoitus 7 Maanantai..5. (Teht. s. 9.) Neliön muotoisesta pahviarkista, jonka sivun pituus on a, taitellaan kanneton laatikko niin, että pahviarkin nurkista leikataan neliön muotoiset

Lisätiedot

Epäyhtälöt 1/7 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt

Epäyhtälöt 1/7 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt Epäyhtälöt 1/7 Sisältö Epäyhtälö Epäyhtälöllä tarkoitetaan ehtoa, missä kahdesta lausekkeesta toinen on suurempi tai mahdollisesti yhtä suuri kuin toinen: f(x) < g(x), f(x) g(x).merkit voidaan luonnollisesti

Lisätiedot

3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO

3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO 3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO POHDITTAVAA 1. Kuvasta voidaan arvioida, että frisbeegolfkiekko käy noin 9 metrin korkeudella ja se lentää noin 40 metrin päähän. Vastaus: Frisbeegolfkiekko käy n. 9 m:n

Lisätiedot

Integroimistekniikkaa Integraalifunktio

Integroimistekniikkaa Integraalifunktio . Integroimistekniikkaa.. Integraalifunktio 388. Vertaa funktioiden ln ja ln, b) arctan ja arctan + k k, c) ln( + 2 ja ln( 2, missä a >, derivaattoja toisiinsa. Tutki funktioiden erotusta muuttujan eri

Lisätiedot

MAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti!

MAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti! A-osio: ilman laskinta. MAOLia saa käyttää. Laske kaikki tehtävistä 1-. 1. a) Derivoi funktio f(x) = x (4x x) b) Osoita välivaiheiden avulla, että seuraava raja-arvo -lauseke on tosi tai epätosi: x lim

Lisätiedot

x + 1 πx + 2y = 6 2y = 6 x 1 2 πx y = x 1 4 πx Ikkunan pinta-ala on suorakulmion ja puoliympyrän pinta-alojen summa, eli

x + 1 πx + 2y = 6 2y = 6 x 1 2 πx y = x 1 4 πx Ikkunan pinta-ala on suorakulmion ja puoliympyrän pinta-alojen summa, eli BM0A5810 - Differentiaalilaskenta ja sovellukset Harjoitus, Syksy 015 1. a) Funktio f ) = 1) vaihtaa merkkinsä pisteissä = 1, = 0 ja = 1. Lisäksi se on pariton funktio joten voimme laskea vain pinta-alan

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 110 Valitaan suoralta kaksi pistettä ja piirretään apukolmio, josta koordinaattien muutokset voidaan lukea. Vaakasuoran suoran kulmakerroin on nolla. y Suoran a kulmakerroin

Lisätiedot

2 Raja-arvo ja jatkuvuus

2 Raja-arvo ja jatkuvuus Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.6 Raja-arvo ja jatkuvuus. a) Kun suorakulmion kärki on kohdassa =, on suorakulmion kannan pituus. Suorakulmion korkeus on käyrän y-koordinaatti

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi 2

Matematiikan peruskurssi 2 Matematiikan peruskurssi Demonstraatiot III, 4.5..06. Mikä on funktion f suurin mahdollinen määrittelyjoukko, kun f(x) x? Mikä on silloin f:n arvojoukko? Etsi f:n käänteisfunktio f ja tarkista, että löytämäsi

Lisätiedot

Tehtävien ratkaisut

Tehtävien ratkaisut Tehtävien 1948 1957 ratkaisut 1948 Kun juna matkaa AB kulkiessaan pysähtyy väliasemilla, kuluu matkaan 10 % enemmän aikaa kuin jos se kulkisi pysähtymättä. Kuinka monta % olisi nopeutta lisättävä, jotta

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe klo 10-13

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe klo 10-13 Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe.6. klo -. Ratkaise seuraavat epäyhtälöt ja yhtälö: a) x +9, b) log (x) 7, c) x + x 4 =.. Määrää kaikki ne

Lisätiedot

1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio

1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio Ensimmäisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT. a) f(x) = x 4 b) Nollakohdassa funktio f saa arvon nolla eli kuvaaja kohtaa x-akselin. Kuvaajan perusteella funktion nollakohta on x,. c) Funktion f

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 6.3.09 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

Lukuväleistä. MB 3 Funktio. -2 < x < 5 tai ]-2,5] x < 3 tai ]-,3]

Lukuväleistä. MB 3 Funktio. -2 < x < 5 tai ]-2,5] x < 3 tai ]-,3] Lukuväleistä MB Funktio - < < tai ]-,] < tai ]-,] Yksikäsitteisyys Täytyy tuntea/arvata tyyppi T 0. (sivu ) f() = a) f () = = 9 = 4 T 0. (sivu ) T 0. (sivu ) f() = f() = b) f(k) = k c) f(t + ) = (t + )

Lisätiedot

= = = 1 3.

= = = 1 3. 9. 10. 2008!"$#&%(')'*,#.-/* P1. lkuperäisen punaisen kuution pinta koostuu kuudesta 3 3-neliöstä, joten sen ala on 6 3 2 = 54. Koska 3 3 =, kuutio jakautuu leikatessa yksikkökuutioksi, joiden kokonaispinta-ala

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ.0.08 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1.

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1. ABIKertaus.. a. Ratkaise yhtälö 8 5 4 + + 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on. 4. Jaa polynomi 8 0 5 ensimmäisen asteen tekijöihin ja ratkaise tämän avulla 4 epäyhtälö 8 0 5 0.

Lisätiedot

MATP153 Approbatur 1B Ohjaus 2 Keskiviikko torstai

MATP153 Approbatur 1B Ohjaus 2 Keskiviikko torstai MATP15 Approbatur 1B Ohjaus Keskiviikko 4.11. torstai 5.11.015 1. (Opiskeluteht. 6 s. 0.) Määritä sellainen vakio a, että polynomilla x + (a 1)x 4x a on juurena luku x = 1. Mitkä ovat tällöin muut juuret?.

Lisätiedot

Matematiikan pohjatietokurssi

Matematiikan pohjatietokurssi Matematiikan pohjatietokurssi Demonstraatio, 8.-9.9.015, ratkaisut 1. Jaa tekijöihin (joko muistikaavojen avulla tai ryhmittelemällä) (a) x +x+ = x + x + = (x+) x +x+ = (x +x+1) = (x+1) (c) x 9 = (x) 3

Lisätiedot

d Todista: dx xn = nx n 1 kaikilla x R, n N Derivaatta Derivaatta ja differentiaali

d Todista: dx xn = nx n 1 kaikilla x R, n N Derivaatta Derivaatta ja differentiaali 6. Derivaatta 6.. Derivaatta ja differentiaali 72. Olkoon f () = 4. Etsi derivaatan määritelmän avulla f ( 3). f ( 3) = 08. 73. Muodosta funktion f () = derivaatta suoraan määritelmän mukaan, so. tarkastelemalla

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla

Lisätiedot

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: MAB4 Koe Jussi Tyni 1..015 A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: 1. a. Piirrä seuraava suora mahdollisimman tarkasti ruutupaperille:

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4).

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 212 Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Vastaus esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4) 213 Merkitään pistettä

Lisätiedot

0. Kertausta. Luvut, lukujoukot (tavalliset) Osajoukot: Yhtälöt ja niiden ratkaisu: N, luonnolliset luvut (1,2,3,... ) Z, kokonaisluvut

0. Kertausta. Luvut, lukujoukot (tavalliset) Osajoukot: Yhtälöt ja niiden ratkaisu: N, luonnolliset luvut (1,2,3,... ) Z, kokonaisluvut 0. Kertausta Luvut, lukujoukot (tavalliset) N, luonnolliset luvut (1,2,3,... ) Z, kokonaisluvut Rationaaliluvut n/m, missä n,m Z Reaaliluvut R muodostavat jatkumon fysiikan lukujoukko Kompleksiluvut C:z

Lisätiedot

4 Polynomifunktion kulku

4 Polynomifunktion kulku 4 Polynomifunktion kulku. a) Funktio on kasvava jollakin välillä, jos sen arvo kasvaa tällä välillä. Kuvaajan nousemisen ja laskemisen perusteella funktio on kasvava kohtien x,4 ja x 0, välissä. b) Funktion

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4 Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa A

Lisätiedot

Rationaalilauseke ja -funktio

Rationaalilauseke ja -funktio 4.8.07 Rationaalilauseke ja -funktio Määritelmä, rationaalilauseke ja funktio: Kahden polynomin ja osamäärä, 0 on rationaalilauseke, jonka osoittaja on ja nimittäjä. Huomaa, että pelkkä polynomi on myös

Lisätiedot

4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ

4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ POHDITTAVAA 1. Merkitään toisen neliön sivun pituutta kirjaimella x. Tällöin toisen neliön sivun pituus on

Lisätiedot

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua Mallivastaukset - Harjoituskoe E E a) x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4,35 < 0 x 3 7 4 b) 0 / x + dx = 0 ln x + = ln + ln 0 + = ln 0 Vastaus: ln c) x 4 3x 4 = 0 Sijoitetaan x = u Tulon nollasääntö

Lisätiedot