Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. ILMAN LASKINTA -OSIO! LASKE KAIKKI SEURAAVAT TEHTÄVÄT:

Transkriptio

1 MAA Koe Arto Hekkanen ja Jussi Tyni Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. ILMAN LASKINTA -OSIO! LASKE KAIKKI SEURAAVAT TEHTÄVÄT: 1. a) Laske polynomien x x 6 ja 5 3x 6x 4 erotus. (1 p) b) Ilmaise tulomuodossa a y 6 a y, (1 p) c) Supista xx, 4x 4 (1 p) d) Ratkaise ratkaisukaavan avulla yhtälö x x 6 = 0. ( p) e) Sievennä x (1 p). a) Ratkaise epäyhtälö x 1 x 3 < x. ( p) b) Ratkaise yhtälö x 3 0 ( p) c) Kuvassa on erään toisen asteen polynomifunktion y= f (x) kuvaaja. Vastaa kuvaajan perusteella. i) Mitkä ovat funktion nollakohdat? ii) Millä muuttujan x arvoilla funktion arvot ovat positiivisia? ( p)

2 LASKINOSIO! SAAT KÄYTTÄÄ LASKINTA, VALITSE NELJÄ TEHTÄVÄÄ SEURAAVISTA VIIDESTÄ: 1. a) Määritä pienin kokonaisluku, joka toteuttaa epäyhtälön x 3x 13 1x 1 3. Pelkkä vastaus riittää. ( p) b) Millä välillä funktio on määritelty. Ratkaisuidea pitää kirjoittaa ja sitten x 3x5 riittää pelkkä vastaus. ( p) c) Määritä funktion f(x) = 3x x nollakohdat. Ratkaisuidea pitää kirjoittaa ja sitten riittää pelkkä vastaus. ( p). a) Millä muuttujan arvolla funktion f(x) = 4x 1x 9 arvot ovat negatiivisia. Kirjoita välivaiheita ja perustele vastauksesi esimerkiksi tarkastelemalla funktion merkkiä. Pelkkä laskimen tulos tuottaa korkeintaan yhden pisteen. b) Ratkaise epäyhtälö x 3-8x - 9x > 0. Perustele vastauksesi merkkikaavion avulla. Pelkkä laskimen vastaus tuottaa korkeintaan yhden pisteen. 3. Määritä luku a siten, että yhtälöllä x( x a) 4 ei ole ratkaisua. Kirjoita ratkaisuidea. Välivaiheiden laskennassa voit käyttää laskinta a) Millä vakion t arvoilla polynomin P(x) = x tx t 1 tekijänä on x +? Kirjoita ratkaisuidea. Välivaiheiden laskennassa voit käyttää laskinta. b) Osoita, että yhtälöllä x + ( a + 1 ) x + a = 0 on reaalijuuria vakion a kaikilla reaaliarvoilla. Kirjoita ratkaisuidea. Välivaiheiden laskennassa voit käyttää laskinta. 5. Suorakulmion muotoinen kasvimaa on 9 metriä pitkä ja 6 metriä leveä. Kasvimaa halutaan laajentaa pinta-alaltaan kaksinkertaiseksi suorakulmioksi muokkaamalla sen ympäri yhtä leveät maakaistaleet. Ratkaise yhtälöä käyttäen, kuinka leveitä nämä laajennuskaistaleet ovat? Välivaiheiden laskennassa voit käyttää laskinta.

3 RATKAISUT: a) x x x x x x x x x x b) Erottamalla yhteinen tekijä saadaan a 4 y 6 a 3 y 5 a 3 y 5 ay c) x x x 1x x, x 1. 4x4 4 x1 4 d) x x 6 = 0 x = = 1 5 = 1 5 x = 3 x = Vastaus: x = 3 tai x = e) x 4x + 4. a) Ratkaisu x 1 x 3 < x 6 3 x 3 x 4 < 1 x 11x < 7 11 x > -7/11 Vastaus: x > -7/11 b) x 3 = 0 (x 16)=0 x 16 = 0 x = 16 x= 4 tai x= 4 c) i) Kuvasta luetaan nollakohdat x = -1 tai x = 0,5 ii) 1 < x < 0,5

4 LASKINOSIO: 1 a) Ratkaisu: x 3 x 13 1 x x (3x 13) (1 x 1) x 3x 13 4x 9 19x 4 x 1, Vastaus: Epäyhtälö toteutuu kun x = 1. b) Ratkaisu: Juurettavan oltava epänegatiivinen ja nimittäjän nollasta eroava. Tällöin x 3x5 0. Nollakohdat x x 1 tai x. 4 Funktion y x 3x 5 kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, joten saadaan Saadaan oheinen merkkikaavio f x Siten määrittelyjoukko x tai x 1. Vastaus: 5 x tai x 1 c) Nollakohdat saadaan ideasta f(x)=0. eli 3x x 0, josta laskimella x=0 tai x= a) f(x) = 4x 1x 9. Kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli. Löytyy vain yksi nollakohta x=3/. f(x) on siis negatiivinen kaikilla x:n arvoilla. b) x 3-8x - 9x > 0 x(x 8x 9) > 0 => Merkkikaavio: x 8x 9 = 0 laskimesta: x1=9 ja x=-1

5 x kertolasku Joten kertolasku ja täten alkuperäinen ey ovat positiivisiä, kun 1 x 0 tai 9 x 3. x x a 4 x ax 4 0. Funktion Ratkaisu: Saadaan y x ax 4 kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, joten halutaan, että funktion kuvaaja on x-akselin yläpuolella. Täten yhtälön x ax 4 0 diskriminantti D < 0 (a) 4 4 < 0 Laskimella: < a < Käyrän 4a 3 kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, jonka nollakohdat siis yllä. 4. a) Jos x+ on yksi polynomin P(x) = x 3 + tx + t tekijä, niin silloin x = - on yksi P(x):n nollakohta, koska x + = 0 kun x = -. => P( ) = 0 P( ) = ( ) 3 + t( ) + t = 8 + 4t + t = 6t 8 = t = 8 : 6 t = 8 6 = 4 3 Vastaus: Kun t = 4/3, niin x+ on yksi P(x):n tekijä. b) x + ( a + 1 ) x + a = 0 x = (a + 1) ± (a + 1) 4 1 a Jotta alkuperäisellä yhtälöllä olisi yhtään ratkaisua, täytyy toisen asteen yhtälön ratkaisukaavan determinantti olla epänegatiivinen: D = (a + 1) 4a 0 a + a + 1 4a 0 a a Ylöspäin aukeava paraabeli. Onko nollakohtia? On, yksi kpl a = 1 =>

6 Mallikuvasta nähdään, että determinantin (a + 1) 4a arvot ovat aina positiivisia tai vähintäänkin 0 kaikilla a:n arvoilla => Tällöin yhtälöllä x + ( a + 1 ) x + a = 0 on aina juuria (nollakohtia) a:sta riippumatta. 5. Ratkaisu: x x Olkoon reunakaistaleen leveys x. Pinta-alalle asetetusta ehdosta saadaan yhtälö ( 9 x ) (6 x) 54. Sulkumerkit poistamalla 6 m muodostuu yhtälö 54 18x 1x 4x 54, josta edelleen 9 m sieventämällä tulee 4x 30x 54 0 ja x 15x ( 7) Ratkaisukaava antaa x, josta x = tai x = 1,5. Vain jälkimmäinen arvo hyväksytään. Vastaus: 1,5 metriä