Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016
|
|
- Eeva-Liisa Siitonen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Vanhoja koetehtäviä Analyyttinen geometria 016
2 1. Määritä luvun a arvo, kun piste (,3) on käyrällä a(3x + a) = (y - 1). Suora L kulkee pisteen (5,1) kautta ja on kohtisuorassa suoraa 6x + 7y - 19 = 0 vastaan. Määritä suoran L yhtälö. 4. Missä pisteiden (1,-) ja (3,4) kautta kulkeva suora leikkaa suoran x + 5y = 6? 5. Mitkä suoran 3x + 4y = 5 suuntaisista suorista ovat pisteestä (,1) etäisyydellä 3? 6. Määritä k siten, että suorien y = kx + 1 ja x + 3y + 4 = 0 välinen kulma on Kun (,3) on käyrällä a(3x + a) = (y - 1), niin sen koordinaatit toteuttavat yhtälön -6 ± ± 10 a(3 + a) = (3-1) ; a + 6a - 16 = 0 ; a = = ; a = tai a = -8. 6x + 7y - 19 = 0 ; 7y = - 6x + 19 ; y = -6/7 x + 19/7, jonka k = - 6/7, täten kn = 7/6 y - 1 = 7/6 (x - 5) 6 ; 6y - 6 = 7x - 35 ; -7x + 6y = -9 (-1) ; 7x - 6y = 9 4. Kulmakerroin: k = = 3. Yhtälö: y + = 3(x - 1) ; y + = 3x - 3 ; y = 3x - 5 LP : y = 3x - 5 ; x + 5(3x - 5) = 6 ; x + 15x - 5 = 6 ; 17x = 51 ; x = 3 x + 5y = 6 y = = 4 V: LP = (3,4) 5. Suoran 3x + 4y = 5 suuntaisten suorien parvi on 3x + 4y + c = 0 Määritetään c tiedosta "pisteen (,1) etäisyys suoralle = 3" c = 3 5 ; c + 10 = 15 ; c + 10 = ± 15 ; c = 5 tai c = -5 V: 3x + 4y + 5 = 0 tai 3x + 4y = L1 : y = kx + 1 ; k1 = k ; L : x + 3y + 4 = 0 ; 3y = - x - 4 ; y = -/3 x - 4/3 ; k = -/3 tan 45 = k + /3 1 - k/3 ; 1 - k/3 = k + /3 ; 1 - k/3 = k + /3 3 tai 1 - k/3 = -k - / k = 3k + tai 3 - k = - 3k - ; 5k = 1 tai k = - 5 ; k = 1 5 tai k = - 5. Mikä on ympyrän x + y - 6x + 8y + 1 = 0 keskipiste ja säde? Onko piste P(4,-3) ympyrän sisä- vai ulkopuolella? Mikä on pisteen P etäisyys ympyrän lähimpään pisteeseen? Määritä ympyrän (x - ) + (y - 3) = 10 ne tangentit, jotka ovat suoran y = 3x suuntaiset.. x + y - 6x + 8y + 1 = 0 ; x - 6x y + 8y + 16 = ; (x - 3) + (y + 4) = 4 K = (3,-4) r =. PK = (4-3) +(-4 + 3) = = < r, joten piste on sisäpuolella. Etäisyys lähimpään pisteeseen on säde - etäisyys keskipisteestä = - 6. Suoran y = 3x suuntaisten suorien parvi on y = 3x + c 3x - y + c = 0 Ympyrä (x - ) + (y - 3) = 10 ; K = (,3) ja r = 10 Parametri c ratkaistaan yhtälöstä : K:n etäisyys suoralle on = säde c = ; c + 3 = 10 ; c + 3 = ± 10 ; c = 7 tai c = V: y = 3x + 7 tai y = 3x Mikä on suoran 5x + y = 7 kulmakerroin ja kuinka suuren kulman se muodostaa x-akselin kanssa?. Suora L kulkee pisteen (-5,1) kautta ja on suoran 3x + 4y = 1 suuntainen. Määritä L:n yhtälö. 3. Millä a:n arvoilla yhtälö x + y - 6x + y + a = 0 esittää ympyrää? 4. Ympyrän keskipiste on (4,1) ja säde 5. Osoita, että piste (7,-3) on ympyrän kehällä. Määritä tähän pisteeseen piirretyn tangentin yhtälö.
3 5. Laske suorien 4x + 7y = 8 ja y = 8x + 9 välisten kulmien puolittajien yhtälöt. 1. 5x + y = 7 y = -5x + 7 y = -½x + 3½ ; k = - ½ ; tan = - ½ ; = -68,. L 3x + 4y = 1 ; L on 3x + 4y = c. P = (-5,1) L ; 3 (-5) = c ; -11 = c ; L : 3x + 4y = x + y - 6x + y + a = 0 x - 6x y + y + 1 = a (x - 3) + (y + 1) = 10 - a, jonka kuvaaja on ympyrä, kun 10 - a > 0 a < K = (4,1) ja P = (7, -3) ; KP = (4-7) + (1 + 3) = = 5 = r P on kehällä kr = = kt = ¾ Tangentin yhtälö on y + 3 = ¾(x - 7) 4 ; 4y + 1 = 3x - 1 ; 3x - 4y = Olkoon piste P(x,y) suorien 4x + 7y = 8 ja y = 8x + 9 välisen kulman puolittajalla. 4x + 7y - 8 8x - y + 9 P:stä on yhtä pitkä matka kummallekin suoralle. = x + 7y - 8 = 8x - y + 9 ; 4x + 7y - 8 = 8x - y + 9 tai 4x + 7y - 8 = - 8x + y - 9 4x - 8y + 17 = 0 tai 1x + 6y + 1 = 0 1. Määritä paraabelin y = - x + x + ja suoran x - y - = 0 yhteiset pisteet. 3. Ympyrän halkaisijan päätepisteet ovat (-3, 4) ja (5, -). Määritä ympyrän yhtälö. 4. Laske suorien x - 6y - 1 = 0 ja - x + 3y + 3 = 0 etäisyys. 5. Määritä ympyrän x + y - 4y - 1 = 0 pisteeseen (-, 1) piirretyn tangentin yhtälö. 6. Ratkaise yhtälöryhmä x - 3y - = 0 x + y - z = 0. y + z + 7 = 0 7. Määritä vakiot a ja b siten, että suora ax + y + b = 0 kulkee pisteen (-1, ) kautta ja on suoran 3x + y - = 0 suuntainen. 10. Määritä sellaisen käyrän yhtälö, jonka jokaisen pisteen etäisyys pisteestä (0, ) on kaksinkertainen verrattuna pisteen etäisyyteen origosta. Mikä käyrä on kyseessä? 1. y = - x + x + x - y - = 0 ; x - (- x + x + ) - = 0 ; x = 4 ; x = ; y = ja x = - ; y = -6 V: (,) ja (-,-6) 3. K: x = ½(-3 + 5) = 1 ; y = ½(4 - ) = 1 K = (1,1) Halkaisija = (-3-5) +(4 + ) = = 10 r = 5 Yhtälö : (x - 1) + (y - 1) = 5 4. Suorat ovat yhdensuuntaiset, sillä : (-1) = -6 : 3, joten suorien etäisyys on sama joka kohdassa. Valitaan jälkimmäiseltä suoralta piste x = 0 ; y = (-1) d = = = 5 10 = = x + y - 4y - 1 = 0 ; x + y - 4y + 4 = ; (x - 0) + (y - ) = 5 K = (0,) kr = = ½ kt = - Tangentin yhtälö : y - 1 = -(x + ) ; y - 1 = -x - 4 ; y = -x x - 3y - = 0 x + y - z = 0 x - 3y = ; x + y - z = 0 ; x - 3y = 4x + 3y = -7 ; 5x = -5 ; x = -1 y + z + 7 = 0 y + z = y = ; -3y = 3 ; y = -1 ; -1 + z + 7 = 0 ; z = -6 ; z = -3 Tasot leikkaavat pisteessä (-1,-1,-3) 7. ax + y + b = 0 y = -½ax - ½b ; 3x + y - = 0 ; y = -3x + Suorat yhdensuuntaisia -½a = -3 ; a = 6 Piste (-1,) suoralla 6 (-1) + + b = 0 ; b = V: a = 6, b = 10. Olkoon P(x,y) mielivaltainen kysytyn käyrän piste, A = (0,) ja O = (0,0). PA = PO ; (x - 0) + (y - ) = x + y ( ) ; x + (y - ) = 4(x + y )
4 4x + 4y - x - y + 4y - 4 = 0 ; 3x + 3y + 4y - 4 = 0 : 3 ; x + y + 4/3 y - 4/3 = 0 x + y + 4/3 y + 4/9 = 4/3 + 4/9 ; (x - 0) + (y + /3) = 16/9, joka on ympyrä, jonka keskipiste on (0,/3) ja säde = 4/3 1. Määritä suoralle x - 4y - 7 = 0 pisteestä (-, 3) piirretyn normaalin yhtälö. 3. Laske kulma, jonka suorat y + x - 5 = 0 ja 3x - 4y = -7 muodostavat. 4. Laske pisteen (-1, ) etäisyys pisteiden (5, ) ja (-, 9) kautta kulkevasta suorasta. 7. Millä vakion a arvoilla yhtälön x - x + y + 4y + a = 0 kuvaaja on ympyrä? Millä a:n arvolla piste (1, 3) on ympyrän kehällä? Mikä on tällöin ympyrän säde? 1. Suora: x - 4y - 7 = 0. Normaalien parvi: 4x + y + C = 0 ; Piste (-,3) on normaalilla 4 (-) C = 0 ; C =. 4x + y + = 0 x + y + 1 = 0. Paraabelin yhtälö on muotoa y = ax. Piste (6,1) on paraabelilla. 1 = a 6 ; a = 1/3 V: y = x /3 3. y + x - 5 = 0 y = -x + 5 ; k1 = -. 3x - 4y = -7 y = ¾x + 1¾ ; k = ¾ k1 - k tan = 1 + = - - 3/4 k1k 1 + (-) 3/4 = = 5½ ; = 79,7 4. k = = -1. Suoran yhtälö: y - = -1(x - 5) ; y - = -x + 5 ; x + y - 7 = 0 d = = 6 = 6 = 3 5. LP: y = -x + x ± y = 4x - 7 ; 4x - 7 = -x + x + 1 ; x + x - 8 = 0 ; x = = - ± 6 x = tai x = -4 V: (,1) ja (-4,-3) 7. x - x + y + 4y + a = 0 x - x y + 4y + 4 = a(x - 1) + (y + ) = 5 - a Ympyrä, kun 5 - a > 0 a < 5. (1,3) on kehällä, kun (1-1) + (3 + ) = 5 - a ; a = -0 r = 5 - a = = 5 ; r = 5 1. Määritä suorien y = 4x + 1 ja x - y = leikkauspiste ja laske suorien välinen kulma.. Laske ympyrän x + y - 6x - 4y + 8 = 0 ala. 4. Laske pisteen (-1, 0). etäisyys suorasta x + y - 4 = 0. Onko tämä suora ympyrän (x + 1) + y = 6 tangentti? 5 7. Millä vakion a arvoilla yhtälö x + y + ax - 4ay + 4a = 0 esittää ympyrää? Määritä parametri a siten, että ympyrän keskipiste on suoralla x + y + 1 = 0. y = 4x LP: x - y = x-(4x + 1) = ; x - 4x - 1 = ; -3x = 3 ; x = -1 ; y = 4 (-1) + 1 = -3 V:(-1,-3) k - k1 tan = 1 + k1k = = 3 5 ; = 31. x + y - 6x - 4y + 8 = 0 x - 6x y - 4y + 4 = (x - 3) + (y - ) = 5 r = 5, joten A = r = 5 = 5 4. Pisteen (-1, 0). etäisyys suorasta x + y - 4 = 0 on d = (-1) = Piste (-1,0) on ympyrän (x + 1) + y = Täten suora on ympyrän tangentti. 6 5 keskipiste ja sen etäisyys suorasta = säde. 7. x + y + ax - 4ay + 4a = 0 x + ax + a + y - 4ay + 4a = a + 4a - 4a
5 (x + a) + (y - a) = a, Kuvaaja on ympyrä, kun a > 0 eli a 0 Keskipiste on (-a,a) on suoralla x + y + 1 = 0 kun -a + a + 1 = 0 ; a = Suora, jonka kulmakerroin on ½, kulkee pisteen (1,1) kautta. Missä pisteessä suora leikkaa a) y -akselin, b) x -akselin?. Olkoon annettu suorat y = 1 - px ja y = x + 1. Määritä luku p siten, että suorat ovat a) yhdensuuntaiset, b) kohtisuorassa toisiaan vastaan. 3. Janan päätepisteet ovat (1,3) ja (5, -1). Mikä on janan keskinormaalin yhtälö? 4. Laske ympyrän x + y - 6x + 8y + 9 = 0 keskipiste ja säde. Miten kaukana keskipiste on suorasta 4x - 3y + 1 = 0? Miten pitkä on ympyrän ja suoran lyhin etäisyys? 7. Paraabeli, jonka akseli on y -akselin suuntainen, kulkee pisteiden (3, -9), (4, -3) sekä (5, -1) kautta. Määritä paraabelin yhtälö. 1. Suoran yhtälö: y - 1 = ½(x - 1) ; y - 1 = ½x - ½ ; y = ½x + ½. y-akselin leikkauspiste: (0, ½) x-akselin leikkauspiste: y = 0 ; ½x + ½ = 0 ; ½x = -½ ; x = -1 ; (-1, 0). k1 = -p ; k = ; a) L1 L ; k1 = k : -p = ; p = -1 ; L1 L : k1 k = -1 ; -p = -1 ; -4p = -1 ; p = ¼ 3. Keskipiste: x = ½(1 + 5) = 3 ; y = ½(3-1) = 1 ; kl = = -1 ; kn = 1 Normaalin yhtälö: y - 1 = 1 (x - 3) ; y = x - 4. x - 6x y + 8y + 16 = 16 ; (x - 3) + (y + 4) = 4 ; K = (3, -4) r = (-4) + 1 etäisyys suoralle: d = = = 5 ; Lyhin etäisyys = d - r = 5-4 = 1 7. Paraabelin yhtälö on muotoa y = ax + bx + c (3, -9) P 9a + 3b + c = -9 (4, -3) P ; 16a + 4b + c = -3 ; 7a + b = 6 (5, -1) P 9a + b = ; a = -4 ; a = -; b = 6 ; b = 0 5a + 5b + c = c = -9 ; c = -51. Paraabelin yhtälö on y = -x + 0x - 51 *************************************************************************************************************************** 7. Ratkaise epäyhtälö x > 3x - 4 x > 3x - 4 ; x + 1 > 3x - 6 ; x + 1 > 3x - 6 TAI x + 1 < - 3x + 6 -x > -7 TAI 4x < 5 ; x < 3½ TAI x < 1¼ V: x < 3½. Ratkaise epäyhtälö x < x - 1 x < x - 1 ; - x + 1 < x < x x + 1 < x JA x < x - 1 ; - 3x < - 1 JA -x < -1 ; x > 1/3 JA x > 1 ; x > 1 6. Ratkaise epäyhtälö x + 1 < 3x - 6. x + 1 < 3x - -3x + < x + 1 < 3x - -3x + < x + 1 JA x + 1 < 3x - -5x < -1 JA -x < -3 x > 1/5 JA x > 3 x > 3 8. Ratkaise yhtälö x 1 = 3 x. 8. x - 1 = 3 - x ; x - 1 = 3 - x TAI x - 1 = -3 + x ; 3x = 4 TAI = x ; x = 4/3 TAI x =
6 8. Ratkaise epäyhtälö x - 7 < x x - 7 < x + 1 -x - 1 < x - 7 < x + 1 -x - 1 < x - 7 JA x - 7 < x + 1-3x < -6 JA x < 8 x > JA x < 8 < x < 8 7. Ratkaise epäyhtälö x - 1 > 3x x - 1 > 3x + 6 x - 1 > 3x + 6 TAI x - 1 < -3x - 6 -x > 7 TAI 5x < - 5 x < -7 TAI x < -1 x < -1 *************************************************************************************************************************** 3. Ratkaise yhtälöpari a) x - y = 6 3x + y = b) + 14y = 6 1x 3x + y = 1 x - y = 6 3. a) 3x + y = 1 ; - y = 1 4x 3x + y = ; 7x = 14 ; x = ; 4 - y = 6 ; y = - 1x + 14y = 6 1 1x + 14y = 6 b) 3x + y = 1 (-7) ; -1x - 14y = -7 ; 0 = -1 ; V : L = 3x + y + z = 6. x - 3y - z = Ratkaise yhtälöryhmä x + y + z = 7 x + y + z = x - y = 17 (- 1) 3x + y + z = 6 1; 4x - y = 16 ; 5x = 15 ; x = 3 ;1 - y = 16 ; y = - 4 ; z = 7 ; z = 5 x - 3y - z = x - y + z = 8 4. Ratkaise yhtälöryhmä x + 3y - z = 17 4x + y + z = 33 3x - y + z = x + 3y - z = x + y = 5 7 8x + 7y = 67 (-1) 4x + y + z = z = 8 ; z = 6 V: x = 4, y = 5, z = 6 ;7x = 108 ; x = 4 ; 0 + y = 5 ; y = 5 x - 3y = a Millä a:n arvolla yhtälöryhmällä x + y = a + 7 on ratkaisu ja mikä se on? x - y = -4 x - 3y - a = x + y - a = 7 (-1) - 8y = -19 (-) 3x x - y = -4 3 ; 13y = 6 ; y = ; x - = -4 ; x = -1 x - y = a = -6 ; a = - V: a = -, jolloin x = -1 ja y =
Tekijä Pitkä matematiikka
K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y.
Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 37 Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, ) on ( x 0) + ( y ). Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Merkitään etäisyydet yhtä suuriksi ja ratkaistaan
LisätiedotLaudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin
Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin Yhtälöparit ja yhtälöryhmät 6. a) x y = 7 eli,y+, sijoitetaan alempaan yhtälöön x+ 7y = (, y+, ) + 7y =,y =, y = Sijoitetaan y = yhtälöparin ylempään yhtälöön.,
Lisätiedoty=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6
MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+
LisätiedotYmpyrän yhtälö
Ympyrän yhtälö ANALYYTTINEN GEOMETRIA MAA4 On melko selvää, että origokeskisen ja r-säteisen ympyrän yhtälö voidaan esittää muodossa x 2 + y 2 = r 2. Vastaavalla tavalla muodostetaan ympyrän yhtälö, jonka
LisätiedotParaabeli suuntaisia suoria.
15.5.017 Paraabeli Määritelmä, Paraabeli: Paraabeli on tason niiden pisteiden ura, jotka ovat yhtä etäällä annetusta suorasta, johtosuorasta ja sen ulkopuolella olevasta pisteestä, polttopisteestä. Esimerkki
LisätiedotMAA4 Abittikokeen vastaukset ja perusteluja 1. Määritä kuvassa olevien suorien s ja t yhtälöt. Suoran s yhtälö on = ja suoran t yhtälö on = + 2. Onko väittämä oikein vai väärin? 2.1 Suorat =5 +2 ja =5
Lisätiedotyleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p
MAA..0 Muista kirjoittaa jokaiseen paperiin nimesi! Tee vastauspaperin yläreunaan pisteytysruudukko! Valitse kuusi tehtävää! Perustele vastauksesi välivaiheilla! Jussi Tyni Ratkaise: a) x x b) xy x 6y
LisätiedotYhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.
Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän
LisätiedotKahden suoran leikkauspiste ja välinen kulma (suoraparvia)
Kahden suoran leikkauspiste ja välinen kulma (suoraparvia) Piste x 0, y 0 on suoralla, jos sen koordinaatit toteuttavat suoran yhtälön. Esimerkki Olkoon suora 2x + y + 8 = 0 y = 2x 8. Piste 5,2 ei ole
LisätiedotKaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan!
MAA4 koe 1.4.2016 Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan! Jussi Tyni A-osio: Ilman laskinta. Laske kaikki
LisätiedotHarjoituksia MAA4 - HARJOITUKSIA. 6. Merkitse lukusuoralle ne luvut, jotka toteuttavat epäyhtälön x 2 < ½.
MAA4 - HARJOITUKSIA 1 Esitä lauseke 3 x + x 4 ilman itseisarvomerkkejä Ratkaise yhtälö a ) 5x 9 = 6 b) 6x 9 = 0 c) 7x 9 + 6 = 0 3 Ratkaise yhtälö x 7 3 + 4x = 4 Ratkaise yhtälö 5x + = 3x 4 5 Ratkaise yhtälö
LisätiedotMAA4 - HARJOITUKSIA. 1. Esitä lauseke 3 x + 2x 4 ilman itseisarvomerkkejä. 3. Ratkaise yhtälö 2 x 7 3 + 4x = 2 (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon.
MAA4 - HARJOITUKSIA 1. Esitä lauseke 3 + 4 ilman itseisarvomerkkejä.. Ratkaise yhtälö a ) 5 9 = 6 b) 6 9 = 0 c) 7 9 + 6 = 0 3. Ratkaise yhtälö 7 3 + 4 = (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon. luku) 4. Ratkaise
Lisätiedotc) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.
MAA4 Koe 5.5.01 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse
LisätiedotDiplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)
Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut
LisätiedotPyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 180 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio
Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 8 Päivitetty 7.5.6 Pyramidi 4 Luku 5..6 Ensimmäinen julkaistu versio 7.5.6 Korjattu tehtävän 56 vastaus Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien
Lisätiedotx 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b)
MAA4 ratkaisut. 5 a) Itseisarvon vastauksen pitää olla aina positiivinen, joten määritelty kun 5 0 5 5 tai ( ) 5 5 5 5 0 5 5 5 5 0 5 5 0 0 9 5 9 40 5 5 5 5 0 40 5 Jälkimmäinen vastaus ei toimi määrittelyjoukon
Lisätiedot2 Pistejoukko koordinaatistossa
Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka
Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 110 Valitaan suoralta kaksi pistettä ja piirretään apukolmio, josta koordinaattien muutokset voidaan lukea. Vaakasuoran suoran kulmakerroin on nolla. y Suoran a kulmakerroin
Lisätiedot1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a)
Pitkä matematiikka YO-koe 9..04. a) b) 7( x ) + = x ( x ) x(5 8 x) > 0 7x + = x x + 8x + 5x > 0 7x = 0 Nollakohdat: 0 8x + 5x = 0 x = 7 x(8x 5) = 0 5 5 x = 0 tai x = Vastaus: 0 < x < 8 8 c) a+ b) a b)
LisätiedotRatkaisut vuosien tehtäviin
Ratkaisut vuosien 1978 1987 tehtäviin Kaikki tehtävät ovat pitkän matematiikan kokeista. Eräissä tehtävissä on kaksi alakohtaa; ne olivat kokelaalle vaihtoehtoisia. 1978 Osoita, ettei mikään käyrän y 2
LisätiedotANALYYTTISTA GEOMETRIAA LUKIO-OPETUKSESSA. Eeva Kuparinen. Pro gradu -tutkielma Tammikuu 2008 MATEMATIIKAN LAITOS TURUN YLIOPISTO
ANALYYTTISTA GEOMETRIAA LUKIO-OPETUKSESSA Eeva Kuparinen Pro gradu -tutkielma Tammikuu 2008 MATEMATIIKAN LAITOS TURUN YLIOPISTO Sisältö 1 Johdanto 1 2 Koordinaatisto 3 2.1 Tason suorakulmainen xy-koordinaatisto............
LisätiedotToisen asteen käyrien ja pintojen geometriaa Ympyrän ja pallon ominaisuuksia
10. Toisen asteen käyrien ja pintojen geometriaa 10.1. Ympyrän ja pallon ominaisuuksia 446. Minkä käyrän muodostavat ne tason E 2 pisteet, joista pisteitä ( a,0) ja (a,0) yhdistävä jana (a > 0) näkyy 45
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4).
Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 212 Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Vastaus esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4) 213 Merkitään pistettä
LisätiedotRatkaisut vuosien tehtäviin
Ratkaisut vuosien 1958 1967 tehtäviin 1958 Pyörähtäessään korkeusjanansa ympäri tasakylkinen kolmio muodostaa kartion, jonka tilavuus on A, ja pyörähtäessään kylkensä ympäri kappaleen, jonka tilavuus on
LisätiedotMAA15 Vektorilaskennan jatkokurssi, tehtävämoniste
MAA15 Vektorilaskennan jatkokurssi, tehtävämoniste Tason ja avaruuden vektorit 1. Olkoon A(, -, 4) ja B(5, -1, -3). a) Muodosta pisteen A paikkavektori. b) Muodosta vektori AB. c) Laske vektorin AB pituus.
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka a) Ratkaistaan nimittäjien nollakohdat. ja x = 0. x 1= Funktion f määrittelyehto on x 1 ja x 0.
Tekijä Pitkä matematiikka 6 9.5.017 K1 a) Ratkaistaan nimittäjien nollakohdat. x 1= 0 x = 1 ja x = 0 Funktion f määrittelyehto on x 1 ja x 0. Funktion f määrittelyjoukko on R \ {0, 1}. b) ( 1) ( 1) f (
LisätiedotOta tämä paperi mukaan, merkkaa siihen omat vastauksesi ja tarkista oikeat vastaukset klo 11:30 jälkeen osoitteesta
MAA5.2 Loppukoe 26.9.2012 Jussi Tyni Valitse 6 tehtävää Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! 1. Olkoon vektorit
LisätiedotSuorien ja tasojen geometriaa Suorien ja tasojen yhtälöt
6. Suorien tasojen geometriaa 6.1. Suorien tasojen yhtälöt 55. Osoita, että yhtälöt x = 3 + τ y = 1 3τ esittävät samaa tason suoraa. Yhteinen piste 1,5) suunta i 3j. x = 1 6τ y = 5 + 9τ 56. Määritä suoran
Lisätiedot5.3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet
.3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet Tämän asian taustana on ratkaista sellainen yhtälöpari, missä yhtälöistä toinen on ensiasteinen ja toinen toista astetta. Tällainen pari ratkeaa aina
LisätiedotSuoran yhtälöt. Suoran ratkaistu ja yleinen muoto: Suoran yhtälö ratkaistussa, eli eksplisiittisessä muodossa, on
Suoran htälöt Suoran ratkaistu ja leinen muoto: Suoran htälö ratkaistussa, eli eksplisiittisessä muodossa, on ANALYYTTINEN GEOMETRIA MAA5 = k + b, tai = a missä vakiotermi b ilmoittaa suoran ja -akselin
LisätiedotA-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.
PITKÄ MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 7..07 NIMI: A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.. Valitse oikea vaihtoehto ja
LisätiedotAvaruuden kolme sellaista pistettä, jotka eivät sijaitse samalla suoralla, määräävät
11 Taso Avaruuden kolme sellaista pistettä, jotka eivät sijaitse samalla suoralla, määräävät tason. Olkoot nämä pisteet P, B ja C. Merkitään vaikkapa P B r ja PC s. Tällöin voidaan sanoa, että vektorit
Lisätiedot( ) ( ) ( ) ( ( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 271 Päivitetty 19.2.2006. 701 a) = keskipistemuoto.
Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 7 Päivitetty 9..6 7 a) + y = 7 + y = 7 keskipistemuoto + y 7 = normaalimuoto Vastaus a) + y = ( 7 ) + y 7= b) + y+ 5 = 6 y y + + = b) c) ( ) + y
LisätiedotTehtävien ratkaisut
Tehtävien 1948 1957 ratkaisut 1948 Kun juna matkaa AB kulkiessaan pysähtyy väliasemilla, kuluu matkaan 10 % enemmän aikaa kuin jos se kulkisi pysähtymättä. Kuinka monta % olisi nopeutta lisättävä, jotta
LisätiedotMAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti!
A-osio: ilman laskinta. MAOLia saa käyttää. Laske kaikki tehtävistä 1-. 1. a) Derivoi funktio f(x) = x (4x x) b) Osoita välivaiheiden avulla, että seuraava raja-arvo -lauseke on tosi tai epätosi: x lim
Lisätiedot1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1.
ABIKertaus.. a. Ratkaise yhtälö 8 5 4 + + 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on. 4. Jaa polynomi 8 0 5 ensimmäisen asteen tekijöihin ja ratkaise tämän avulla 4 epäyhtälö 8 0 5 0.
Lisätiedot= 9 = 3 2 = 2( ) = = 2
Ratkaisut 1.1. (a) + 5 +5 5 4 5 15 15 (b) 5 5 5 5 15 16 15 (c) 100 99 5 100 99 5 4 5 5 4 (d) 100 99 5 100 ( ) 5 1 99 100 4 99 5 1.. (a) ( 100 99 5 ) ( ( 4 ( ) ) 4 1 ( ) ) 4 9 4 16 (b) 100 99 ( 5 ) 1 100
LisätiedotJuuri Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Vektorit. Vektori LUVUN. YDINTEHTÄVÄT 0. Piste P jakaa janan BC suhteessa : eli kahteen yhtä suureen osaan. Siten CP CB u ja DP DC CP DC CBv u u v. Vastaavasti DQ DA AQ DA ABu v. 7 7 0. a) Pisteen koordinaatit
LisätiedotGeometriaa kuvauksin. Siirto eli translaatio
Geometriaa kuvauksin Siirto eli translaatio Janan AB kuva on jana A B ja ABB A on suunnikas. Suora kuvautuu itsensä kanssa yhdensuuntaiseksi suoraksi. Kulmat säilyvät. Kuva ja alkukuva ovat yhtenevät.
LisätiedotKERTAUSHARJOITUKSIA. 1. Rationaalifunktio a) ( ) 2 ( ) Vastaus: a) = = 267. a) a b) a. Vastaus: a) a a a a 268.
KERTAUSHARJOITUKSIA. Rationaalifunktio 66. a) b) + + + = + + = 9 9 5) ( ) ( ) 9 5 9 5 9 5 5 9 5 = = ( ) = 6 + 9 5 6 5 5 Vastaus: a) 67. a) b) a a) a 9 b) a+ a a = = a + a + a a + a a + a a ( a ) + = a
LisätiedotLisätehtäviä. Rationaalifunktio. x 2. a b ab. 6u x x x. kx x
MAA6 Lisätehtäviä Laske lisätehtäviä omaan tahtiisi kurssin aikan Palauta laskemasi tehtävät viimeistään kurssikokeeseen. Tehtävät lasketaan ilman laskint Rationaalifunktio Tehtäviä Hyvitys kurssiarvosanassa
LisätiedotPyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 352 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio
Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 5 Päivitett 9..7 Pramidi 4 Luku 8..6 Ensimmäinen julkaistu versio 7.5.6 Korjattu tehtävän 865 ratkaisua. 8..7 Korjattu tehtävässä 85 luku 5 luvuksi
Lisätiedot! 7! = N! x 8. x x 4 x + 1 = 6.
9. 10. 2008 1. Pinnalta punaiseksi maalattu 3 3 3-kuutio jaetaan 27:ksi samankokoiseksi kuutioksi. Mikä osuus 27 pikkukuution kokonaispinta-alasta on punaiseksi maalattu? 2. Positiivisen kokonaisluvun
LisätiedotVektorit, suorat ja tasot
, suorat ja tasot 1 / 22 Koulussa vektori oli nuoli, jolla oli suunta ja suuruus eli pituus. Siirretään vektori siten, että sen alkupää on origossa. Tällöin sen kärki on pisteessä (x 1, x 2 ). Jos vektorin
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r.
Tekijä Pitkä matematiikka 4 16.12.2016 K1 Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r. 3 r s = 0 4 r+ 4s = 2 12r 4s = 0 + r+ 4s = 2 13 r = 2 r = 2 13 2 Sijoitetaan r = esimerkiksi yhtälöparin
LisätiedotKansainväliset matematiikkaolympialaiset 2008
Kansainväliset matematiikkaolympialaiset 2008 Tehtävät ja ratkaisuhahmotelmat 1. Teräväkulmaisen kolmion ABC korkeusjanojen leikkauspiste on H. Pisteen H kautta kulkeva ympyrä, jonka keskipiste on sivun
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ.0.08 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa
LisätiedotDiplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2018 Insinöörivalinnan matematiikan koe, , Ratkaisut (Sarja A)
Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2018 Insinöörivalinnan matematiikan koe, 2952018, Ratkaisut (Sarja A) 1 Anna kaikissa kohdissa vastaukset tarkkoina arvoina Kohdassa d), anna kulmat
Lisätiedot11 MATEMAATTINEN ANALYYSI
Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 0.7.08 MATEMAATTINEN ANALYYSI ALOITA PERUSTEISTA 444A. a) Funktion arvot ovat positiivisia silloin, kun kuvaaja on x-akselin yläpuolella.
LisätiedotMATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA
EB-TUTKINTO 2008 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 5. kesäkuuta 2008 (aamupäivä) KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Europpa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin,
LisätiedotJuuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77
Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07 Kertaus K. a) sin 0 = 0,77 b) cos ( 0 ) = cos 0 = 0,6 c) sin 50 = sin (80 50 ) = sin 0 = 0,77 d) tan 0 = tan (0 80 ) = tan 0 =,9 e)
LisätiedotKertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0
Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 K. a) b) c) d) 6 6 a a a, a > 0 6 6 a a a a, a > 0 5 5 55 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 a a a a a ( a ) a a a, a > 0 K.
Lisätiedot102 Käyrä. Piste ( 3,0 ) on käyrällä, jos ja vain jos sen koordinaatit. Siis piste ( 1, 2) Siis piste ( 3,0 ) ei ole käyrällä.
Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 1 Päivitett 19..6 11 Todistus 1 Kärä x + = x + 4 5 3 31 = x x+ 4, jos ja vain jos pisteen 3,7 koordinaatit toteuttavat kärän htälön. Kun x = 3 ja
LisätiedotMatematiikan perusteet taloustieteilij oille I
Matematiikan perusteet taloustieteilijöille I Harjoitukset syksy 2006 1. Laskeskele ja sieventele a) 3 27 b) 27 2 3 c) 27 1 3 d) x 2 4 (x 8 3 ) 3 y 8 e) (x 3) 2 f) (x 3)(x +3) g) 3 3 (2x i + 1) kun, x
Lisätiedot1. Olkoot vektorit a, b ja c seuraavasti määritelty: a) Määritä vektori. sekä laske sen pituus.
Matematiikan kurssikoe, Maa4 Vektorit RATKAISUT Sievin lukio Keskiviikko 12.4.2017 VASTAA YHTEENSÄ VIITEEN TEHTÄVÄÄN! MAOL JA LASKIN/LAS- KINOHJELMAT OVAT SALLITTUJA! 1. Olkoot vektorit a, b ja c seuraavasti
Lisätiedotl 1 2l + 1, c) 100 l=0 AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 7. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + 5 + +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c) +
Lisätiedot5 Rationaalifunktion kulku
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 5 Rationaalifunktion kulku. Funktion f määrittelyehto on. Muodostetaan symbolisen laskennan ohjelman avulla derivaattafunktio f ja
Lisätiedotl 1 2l + 1, c) 100 l=0
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 5. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) 5 + 5 +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c)
LisätiedotMATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA. PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009
EB-TUTKINTO 2009 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009 KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Eurooppa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin, joka ei saa
LisätiedotDifferentiaalilaskenta 1.
Differentiaalilaskenta. a) Mikä on tangentti? Mikä on sekantti? b) Määrittele funktion monotonisuuteen liittyvät käsitteet: kasvava, aidosti kasvava, vähenevä ja aidosti vähenevä. Anna esimerkit. c) Selitä,
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta.
Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 79 a) Kuvasta nähdään, että a = 3i + j. b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta. 5a b = 5(3i + j) ( i 4 j)
LisätiedotHyvä uusi opiskelija!
Hyvä uusi opiskelija! Tässä tulee tärkeää tietoa heti syksyn alussa pidettävästä laskutaitotestistä. Matematiikka kuuluu tekniikan alan opiskelijan tärkeimpiin oppiaineisiin. Matematiikan opiskelu kehittää
LisätiedotRatkaisut. π π. Ratkaisu: a) Tapa I: Yhtälön diskriminantin D = a = 4 4a kyseisen funktion kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli.
Ratkaisut A. a) Sievennä (x ) (x )(x + ). 7 b) Laske ( ) π + sin( ). c) Ratkaise yhtälö (x 5x ) = 5. Ratkaisu: a) (x ) (x )(x + ) = 4x x + 9 (4x 9) = x + 8 + 7 b) ( ) π π + sin( ) = ( ) + sin( + π ) 5
LisätiedotMATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2,
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 6. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + + + 4, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + +
LisätiedotEnsimmäisen asteen polynomifunktio
Ensimmäisen asteen polnomifunktio Yhtälön f = a+ b, a 0 määrittelemää funktiota sanotaan ensimmäisen asteen polnomifunktioksi. Esimerkki. Ensimmäisen asteen polnomifuktioita ovat esimerkiksi f = 3 7, v()
LisätiedotYmpyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora
Ympyrä 1/6 Sisältö Ympyrä ja sen yhtälö Tason pisteet, jotka ovat vakioetäisyydellä kiinteästä pisteestä, muodostavat ympyrän eli ympyräviivan. Kiinteä piste on ympyrän keskipiste ja vakioetäisyys sen
LisätiedotKäy vastaamassa kyselyyn kurssin pedanet-sivulla (TÄRKEÄ ensi vuotta ajatellen) Kurssin suorittaminen ja arviointi: vähintään 50 tehtävää tehtynä
Käy vastaamassa kyselyyn kurssin pedanet-sivulla (TÄRKEÄ ensi vuotta ajatellen) Kurssin suorittaminen ja arviointi: vähintään 50 tehtävää tehtynä (vihkon palautus kokeeseen tullessa) Koe Mahdolliset testit
LisätiedotTaso. Hannu Lehto. Lahden Lyseon lukio
Taso Hannu Lehto Lahden Lyseon lukio Taso avaruudessa Piste P 0 ja tason normaalivektori n määräävät tason. n=a i+b j+c k P 0 (x 0,y 0,z 0 ) Hannu Lehto 17. syyskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio 2 / 7 Taso
LisätiedotMAA preliminääri 2018
MAA preliminääri 018 Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Kirjoita A-osion ratkaisut alla olevaan ruudukkoon. Vastausta voi tarvittaessa jatkaa erillisellä puoliarkilla. Osiossa A EI SAA
LisätiedotPyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu a)
Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu 8 501 a) Kolmiossa C kaksi yhtä pitkää sivua kuin kolmiossa DEF ja näiden sivujen väliset kulmat ovat yhtä suuret, joten kolmiot ovat yhtenevät yhtenevyyslauseen
LisätiedotSuora 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste
Suora 1/5 Sisältö KATSO MYÖS:, vektorialgebra, geometriset probleemat, taso Suora geometrisena peruskäsitteenä Pisteen ohella suora on geometrinen peruskäsite, jota varsinaisesti ei määritellä. Alkeisgeometriassa
LisätiedotMAA7 7.1 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin!
MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni 9.1.01 1. Laske raja-arvot: a) 5 lim 5 10 b) lim 9 71. a) Määritä erotusosamäärän avulla funktion f (). f ( ) derivaatta 1 b) Millä välillä funktio f ( ) 9 on kasvava? Perustele
LisätiedotTaso 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste, suora
Taso 1/5 Sisältö Taso geometrisena peruskäsitteenä Kolmiulotteisen alkeisgeometrian peruskäsitteisiin kuuluu taso pisteen ja suoran lisäksi. Intuitiivisesti sitä voidaan ajatella joka suunnassa äärettömyyteen
Lisätiedota) on lokaali käänteisfunktio, b) ei ole. Piirrä näiden pisteiden ympäristöön asetetun neliöruudukon kuva. VASTAUS:
6. Käänteiskuvaukset ja implisiittifunktiot 6.1. Käänteisfunktion olemassaolo 165. Määritä jokin piste, jonka ympäristössä funktiolla f : R 2 R 2, f (x,y) = (ysinx, x + y + 1) a) on lokaali käänteisfunktio,
LisätiedotGeometriaa GeoGebralla Lisätehtäviä nopeasti eteneville
Geometriaa GeoGebralla Lisätehtäviä nopeasti eteneville Tutki GeoGebralla Näkymät->Geometria a) Kuinka suuria ovat kolmion kulmat, jos sen sivut ovat 5, 7 ja 9. Vihje: Aloita kolmion piirtäminen yhdestä
LisätiedotSuorista ja tasoista LaMa 1 syksyllä 2009
Viidennen viikon luennot Suorista ja tasoista LaMa 1 syksyllä 2009 Perustuu kirjan Poole: Linear Algebra lukuihin I.3 - I.4 Esko Turunen esko.turunen@tut.fi Aluksi hiukan 2 ja 3 ulotteisen reaaliavaruuden
Lisätiedotx + 1 πx + 2y = 6 2y = 6 x 1 2 πx y = x 1 4 πx Ikkunan pinta-ala on suorakulmion ja puoliympyrän pinta-alojen summa, eli
BM0A5810 - Differentiaalilaskenta ja sovellukset Harjoitus, Syksy 015 1. a) Funktio f ) = 1) vaihtaa merkkinsä pisteissä = 1, = 0 ja = 1. Lisäksi se on pariton funktio joten voimme laskea vain pinta-alan
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ Merkitään f(x) =x 3 x. Laske a) f( 2), b) f (3) ja c) YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA
1 YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 26.3.2018 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ A-osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät 1 4. Tehtävät arvostellaan pistein 0 6. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän
LisätiedotMATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA
EB-TUTKINTO 2010 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 4. kesäkuuta 2010 KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Eurooppa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin, joka ei saa
Lisätiedot4.1 Kaksi pistettä määrää suoran
4.1 Kaksi pistettä määrää suoran Kerrataan aluksi kurssin MAA1 tietoja. Geometrisesti on selvää, että tason suora on täysin määrätty, kun tunnetaan sen kaksi pistettä. Joskus voi tulla vastaan tilanne,
LisätiedotPreliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4
Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa A
LisätiedotRatkaisuja, Tehtävät
ja, Tehtävät 988-97 988 a) Osoita, että lausekkeiden x 2 + + x 4 + 2x 2 ja x 2 + - x 4 + 2x 2 arvot ovat toistensa käänteislukuja kaikilla x:n arvoilla. b) Auton jarrutusmatka on verrannollinen nopeuden
LisätiedotPRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011
PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan
Lisätiedotc) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.
MAA4. Koe 8.5.0 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse
LisätiedotVektoriarvoiset funktiot Vektoriarvoisen funktion jatkuvuus ja derivoituvuus
8. Vektoriarvoiset funktiot 8.1. Vektoriarvoisen funktion jatkuvuus ja derivoituvuus 320. Olkoon u reaalimuuttujan vektoriarvoinen funktio R R n ja lim t a u(t) = b. Todista: lim t a u(t) = b. 321. Olkoon
Lisätiedot4.3 Kehäkulma. Keskuskulma
4.3 Kehäkulma. Keskuskulma Sellaista kulmaa, jonka kärki on ympyrän kehällä ja kumpikin kylki leikkaa (rajatapauksessa sivuaa) ympyrän kehää, sanotaan kehäkulmaksi, ja sitä vastaavan keskuskulman kyljet
LisätiedotMAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:
MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla
LisätiedotLineaarinen yhtälöryhmä
Lineaarinen yhtälöryhmä 1 / 39 Lineaarinen yhtälö Määritelmä 1 Lineaarinen yhtälö on muotoa a 1 x 1 + a 2 x 2 + + a n x n = b, missä a i, b R, i = 1,..., n ovat tunnettuja ja x i R, i = 1,..., n ovat tuntemattomia.
LisätiedotBM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016
BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016 1. Hahmottele karkeasti funktion f : R R 2 piirtämällä sen arvoja muutamilla eri muuttujan arvoilla kaksiulotteiseen koordinaatistoon
LisätiedotKertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0
Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8.9.07 Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) K. a) b) c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 6 6 a a a, a > 0 6 6 a
Lisätiedot