Algebra. 1. Ovatko alla olevat väittämät tosia? Perustele tai anna vastaesimerkki. 2. Laske. a) Luku 2 on luonnollinen luku.
|
|
- Anni Jurkka
- 8 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Algebra 1. Ovatko alla olevat väittämät tosia? Perustele tai anna vastaesimerkki. a) Luku on luonnollinen luku. b) Z c) Luvut 5 6 ja 7 8 ovat rationaalilukuja, mutta luvut ja π eivät. d) sin(45 ) R e) Kompleksiluvut C ovat muotoa z = a + bi, missä i on imaginääriyksikkö. * Reaalilukujoukko * Kompleksitaso a) Epätosi b) Tosi c) Tosi d) Tosi e) Tosi a) Epätosi. Luonnolliset luvut ovat positiivisia kokonaislukuja. Ne eivät siis sisällä negatiivisia lukuja kuten. b) Tosi. c) Tosi. d) Tosi. e) Tosi.. Laske a) ( ) 3 + ( 1) 4 ( 1) + ( 3) ( 1) 7 b) ( 8) 1 ( ) ( 8) ( ) 3
2 c) ( 1 ) d) ( 3 ) e) (( 4) 3) (( 3 3) ) 6 f) /3 ( 1/6 4 1/3 ) 1 ( ( g) ( 7) 1/( ) ) ) Mahdolliset ratkaisut: 77, 63,, 1 6, 13, 1, 103, , 511, 3 * Potenssin laskusääntöjä 1) Potenssin määritelmä: a n = a a a...a ) Negatiivinen potenssi: a p = 1 a p, kun a 0 3) Samankantaisten potenssin tulo: a m a n = a m+n 4) Samankantaisten potenssien osamäärä: am a n = a m n 5) Tulon potenssi: (ab) n = a n b n 6) Osamäärän potenssi: ( a b )n = an b n 7) Potenssin potenssi: (a m ) n = a mn = (a n ) m 8) Murtoluku potenssina: a p/q = q a p 9) x 0 = 1, kun x R * Kokonaislukupotenssit * Juuret a) b) 1 c) d) 511 e) 13 f) 1 6 g) 77
3 a) ( ) 3 + ( 1) 4 ( 1) + ( 3) ( 1) 7 = = b) ( 8) 1 ( ) ( 8) ( ) 3 = = 1 c) ( 1 ) = = d) ( 3 ) = 0 9 = 511 e) (( 4) 3) ( ( 3 3) ) 6 1 = = 13 f) /3 ( 1/6 4 1/3 ) 1 = 3 6 = ( ( g) ( 7) 1/( ) ) ) ( = (7 1 )) + 5 = ( 6 ) + 5 = Laske a) ( ) : ( ) b) 3 ( 0 ) 3 ( 1 ) 3 3 c) [( 3 )3 ( 1 1 ) 3 ] : ( ) d) 5 ( 10) Mahdollisia ratkaisuja: 7 5, 8 7,0, 1 5, 8 9, 3 13, a) p q : s t = p q ts kun p, q, s, t Z ja q, t, s 0 { x, kun x 0,x R d) x = x, kun x < 0 a) 7 5 b) 8 9 c) 0 d) 1 5
4 a) ( ) : ( ) = 7 1 : 5 1 = = 7 5 b) 3 ( 0 ) 3 = 8+1 = ( 1 ) c) [( 3 )3 ( 1 1 ) 3 ] : ( ) = ( ) : ( ) = 0 d) 5 ( 10) = = = Jaa polynomi tekijöihin a) x 4 b) x 1 c) 5x 36y d) x 4 3 e) (a b)(a+b) 3ab a+b * a b = (a + b)(a b) * Polynomien alkeellinen tekijöihin jako a) (x )(x + ) b) (x 1)(x + 1) c) (5x 6y)(5x + 6y) d) (x )(x + ) 3 e) (a b) a) x 4 = (x )(x + ) b) x 1 = (x 1)(x + 1) c) 5x 36y = (5x 6y)(5x + 6y) d) x 4 3 = (x ) = (x 4)(x + 4) = (x )(x + )(x + )(x + ) = (x )(x + ) 3
5 e) (a b)(a+b) 3ab a+b = a +4ab ab b 3ab a+b = a b a+b = (a b ) a+b = (a b)(a+b) a+b = (a b) 5. Sievennä lauseke a) x +6x+9 x x+1 b) 4x 1x+9 4x 3 4x +x c) a +a 1 a a 4 1 * a ± ab + b = (a ± b) a) (x+3) (x 1) b) (x 3) x(x 1) c) 1 (a+1) a) x +6x+9 x x+1 = (x+3) (x 1) b) 4x 1x+9 4x 3 4x +x = (x 3) x(x 1) c) a +a 1 a a 4 1 = (a 1) (a 4 a +1) = (a 1) (a 1) = (a 1) (a+1) (a 1) = 1 (a+1) 6. Jaa polynomi tekijöihin
6 a) x 3 3x + x 6 b) a ab a + b * Jäsenten sopiva ryhmittely a) (x 3)(x + ) b) (a b)(a 1) a) x 3 3x + x 6 = (x 3 3x ) + (x 6) = x (x 3) + (x 3) = (x 3)(x + ) b) a ab a + b = (a ab) + ( a + b) = a(a b) (a b) = (a b)(a 1) 7. Sievennä a) 3x 6 x +x 3 x+1 b) log ln 7 + log ln7 + ln( 7) c) log log log log log 7 68 d) x + x + 1 (x + 3) e) x + 4x + 4 x a) Tekijöihin jako: a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 = a n (x x 1 )(x x )...(x x n ) b) logxy = logx + logy, log x y = logx logy, logx r = r logx
7 c) log a 1 = 0, log a a = 1, log a a x = x, a log a x = x d) Tarkastele lausekkeen arvoa eri väleillä. e) x = x * Tekijöihin jako polynomin nollakohtien avulla * Logaritmifunktion määrittely a) 3(x ) x b) 4ln7 c) 15 3x, kun x 1 d) x, kun 1 < x < x 4, kun x, kun x e) x +, kun < x < 0, kun x 0 a) 3x 6 x +x x+1 3 = 3x 6 x(x+1) x+1 3 = 3x 6 3x x(x+1) = 3(x+1)(x ) x(x+1) = 3(x ) x b) log ln 7 + log ln7 + ln( 7) = log 4 5 log 4 3 (ln ln7) + log 4 3 log ln7 + ln + ln7 = ln + ln7 + ln7 + ln + ln7 = 4 ln7 c) log log log log log 7 68 = = 15
8 d) Ratkaistaan lauseke x + x + 1 (x + 3) väleillä x = 0 x = ja x + 1 = 0 x = 1. Lauseke saa arvon x + x 1 x 3 = 3x, kun x 1, arvon x + + x + 1 x 3 = x, kun 1 < x < ja arvon x + x + 1 x 3 = x 4, kun x. Siis 3x, kun x 1 x + x + 1 (x + 3) = x, kun 1 < x < x 4, kun x. e) Ratkaistaan lauseke x + 4x + 4 x = (x + ) x = x + x väleillä x + = 0 x = ja x = 0 x = 0. Lauseke saa arvon x + x =, kun x, arvon x + + x = x +, kun < x < 0 ja arvon x + x =, kun x 0. Siis x + 4x + 4, kun x x = x +, kun < x < 0., kun x 0 8. Millä x:n reaalisilla arvoilla lauseke a) x 1 x+1 b) x 1 x +1 c) x+1 x+ 5x 4 9x d) log(x x 1) on määritelty? * Murtoluku on muotoa p q, jossa q 0. * Neliöjuurilausekkeen reaalisuusehto: a R, kun a 0.
9 * Logaritmin määritelmä: log a x, kun a > 0,a 1 ja x > 0. a) Lauseke x 1 x+1 on määritelty, kun x 1. b) Lauseke x 1 on määritelty on kaikilla x:n arvoilla. x +1 c) Lauseke x+1 x+ 5x 4 9x on määritelty, kun x 1 4. d) Lauseke log(x x 1) on määritelty, kun x > 1. a) Lauseke x 1 x+1 on määritelty, kun nimittäjä x x 1. b) Lauseke x 1 x +1 on määritelty, kun nimittäjä x x 1. Koska toinen potenssi ei voi olla negatiivinen, lauseke on määritelty kaikilla x:n arvoilla. x+1 c) Lauseke x+ on määritelty, kun nimittäjä 5x 4 9x 3x + 9x 4 + 4x 1 0 9x 4 + 4x 1 0 9x 4 + 4x 1 9x 4 x 1 4. d) Lauseke log(x x 1) on määritelty, kun x x 1 > 0. Tällöin on oltava x 1 > 0 x > 0 ja x > 0 x > 0. Lauseke on siis määritelty, kun x > Ratkaise ensimmäisen asteen yhtälö a) x (x 3) = x 4(x + 3) b) (x + 1) x = (x + 1) c) x(x + 1) (x 1) = x + 1 d) x 3(x 4) = (x + 3) * Ensimmäisen ja toisen asteen yhtälöt a) x = 9
10 b) Ei ratkaisua. c) Kaikki reaaliset luvut ovat ratkaisuja. d) x = 1 3 a) x (x 3) = x 4(x + 3) x x 6 = x 4x 1 x = 18 x = 9 b) (x + 1) x = (x + 1) x + x + 1 x = x + 0 = 1 Yhtälöllä ei ole ratkaisua. c) x(x + 1) (x 1) = x + 1 x + x x + 1 = x + 1 x = x 0 = 0 Kaikki reaaliset luvut ovat ovat yhtälön ratkaisuja. d) x 3(x 4) = (x + 3) x 3x + 1 = x + 6x + 9 9x = 3 x = Ratkaise ensimmäisen asteen yhtälö a) 3x+1 x 5 4 = x + 1 b) 8x x 6 5 = 3x+6 5 x+3 0 c) Ratkaise a:n ja b:n suhteen yhtälö a b bt = 5 3 kun a, b, t > 0. d) Ratkaise x:n suhteen yhtälö ax a = x. d) Muuttuja a on parametri, jonka vaikutus tehtävän ratkaisuun on otettava huomioon. a) x = 1 b) x = 3
11 c) Muuttujan a suhteen a = 3bt+5b 5 ja muuttujan b suhteen b = 5a 3t+5. d) x = a a, kun a. Yhtälöllä ei ole ratkaisua, jos a =. a) 3x+1 x 5 4 = x + 1 (3x+1) x+5 4 = x + 1 6x + x + 5 = 8x + 4 x = 1 b) 8x x 6 5 = 3x+6 5 x x+90 8x = 60x+10 5x x = 3 c) Muuttujan a suhteen yhtälön ratkaisu on a b bt = 3 5 5a 5b = 3bt a = 3bt+5b 5 ja muuttujan b suhteen a b bt = 3 5 3bt = 5a 5b b(3t + 5) = 5a b = 3t+5 5a d) ax a = x x(a ) = a x = a a, kun a 0 a. Jos ax = x 0 =, yhtälöllä ei ole ratkaisua. 11. Ratkaise toisen asteen yhtälö a) x 18 = 0 b) (x + 1) = 5 c) x x = 3x d) (x 1)(x + 1) = 0 Mahdollisia ratkaisuja: x = 3, x = 1 5, x = 1, x = 4 5, x = 1, x = 0, x =, x = 8 7 3, x = 1, x = 1+ 5, x = 1, x =, x = 3, x = , x = 1 1+a a, x = 1+ 1+a a, x = 1 1 a x = 1+ 1 a a, yhtälöllä ei ole ratkaisua, kaikki reaaliset luvut ovat yhtälön ratkaisuja. a) x = ±3 a,
12 b) x = 1± 5 c) x = 0 tai x = d) x = 1 tai x = 1 a) x 18 = 0 x = 9 x = ±3 b) (x + 1) = 5 x + 1 = ± 5 x = 1± 5 c) x x = 3x x(x ) = 0 x = 0 tai x = 0 x = 0 tai x = d) (x 1)(x + 1) = 0 x 1 = 0 tai x + 1 = 0 x = 1 tai x = 1 1. Ratkaise toisen asteen yhtälö a) (x 5)(1 3x) = 7 b) x + 3x + 4 = 0 c) 3 x x 4 15 = 0 d) x x x + = 0 e) Ratkaise x:n suhteen yhtälö ax + x 1 = 0. Mahdollisia ratkaisuja: x = 3, x = 1 5, x = 1, x = 4 5, x = 1, x = 0, x =, x = 8 7 3, x = 1, x = 1+ 5, x = 1, x =, x = 3, x = , x = 1 1+a a, x = 1+ 1+a a, x = 1 1 a a, x = 1+ 1 a a, x = 1 a, yhtälöllä ei ole ratkaisua, kaikki reaaliset luvut ovat yhtälön ratkaisuja. e) Muuttuja a on parametri, jonka vaikutus tehtävän ratkaisuun on otettava huomioon. Toisen asteen yhtälön ax +bx+c = 0 diskriminantti D = b 4ac säätelee juurien lukumäärää: 1) Jos D > 0, yhtälöllä on kaksi ratkaisua. ) Jos D = 0, yhtälöllä on yksi ratkaisu. 3) Jos D < 0, yhtälöllä ei ole yhtään ratkaisua.
13 a) x = 8± 7 3 b) Yhtälöllä ei ole ratkaisua. c) x 1 = 1 ja x = 4 5 d) x 1 = ja x = e) x = 1± 1+a a, jos a > 1, a 0 x = 1 a, jos a = 1 Yhtälöllä ei ole ratkaisua, jos a < 1. Jos a = 0, niin x = 1. a) (x 5)(1 3x) = 7 3x + 16x 1 = 0 x = 16± 56 4 ( 3) ( 1) 6 x = 16± 11 6 x = 16±4 7 6 x = 8± 7 3 x 1 = ,431, x = ,903 b) x + 3x + 4 = 0 x = 3± 7 Yhtälöllä ei ole reaalista ratkaisua. c) 3 x x 4 15 = 0 10x + 3x 4 = 0 x = 3± x = 3±13 0 x 1 = 1, x = 4 5 d) x x x + = 0 x + x( ) + = 0 x = + ± (+ ) 4 x = + ± x = + ± ( ) x = + ±( ) x 1 = tai x =
14 e) Yhtälön ax + x 1 = 0 ratkaisut ovat x = 1± 1+a a, jos diskriminantti D = 1 + a > 0 a > 1 ja a 0. Yhtälön ratkaisu on x = a 1, jos diskriminantti D = 1 + a = 0 a = 1. Yhtälöllä ei ole ratkaisua, jos diskriminantti D = 1 + a < 0 a < 1. Toisaalta jos a = 0, niin ax + x 1 = 0 x = Ratkaise yhtälö a) (x + 3)(x + x 6) = 0 b) x 3 3x x + 3 = 0 c) x 4 3x + = 0 c) Bikvadraattinen yhtälö. Merkitään x = u. a) x = 3 tai x = b) x = 3 tai x = ±1 c) x = ± tai x = ±1 a) (x + 3)(x + x 6) = 0 x + 3 = 0 tai x + x 6 = 0 x = 3 tai x = 1±5 x = 3, x = tai x = 3 b) x 3 3x x + 3 = 0 (x 3 3x ) + ( x + 3) = 0 x (x 3) (x 3) = 0 (x 3)(x 1) = 0 x = 3 tai x = ±1 c) x 4 3x + = 0 (x ) 3x + = 0 Bikvadraattinen yhtälö. Merkitään x = u. u 3u + = 0 u = 3±1 x = ± tai x = ±1
15 14. Ratkaise ensimmäisen asteen epäyhtälö a) (x + 5) < 5(x + ) b) x 3(x + 1) (1 x) c) 1 x x+ 0 d) x x+1 1 x e) 4 x > x f) Ratkaise x:n suhteen epäyhtälö ax 1 x. * Epäyhtälö a) x > 0 b) Epäyhtälö toteutuu kaikilla x:n arvoilla. c) < x 1 d) 1 < x < e) x < tai 0 < x < f) x a+ 1, kun a > ja x a+ 1, kun a <. Jos a =, epäyhtälö toteutuu kaikilla x:n arvoilla. a) (x + 5) < 5(x + ) x + 5 < 5x + 5 x 5x < 0 x( 5) < 0 x > 0 b) x 3(x + 1) (1 x) x 3x 3 x 0 5 Epäyhtälö toteutuu kaikilla x:n arvoilla. c) Epäyhtälön 1 x x+ 0 nollakohta on 1 x = 0 x = 1. Lisäksi x+ 0 x Epäyhtälö toteutuu, kun molemmat ehdot toteutuvat eli, kun < x 1.
16 d) Epäyhtälö x+1 x x 1 x x 1 ja x 0 x. x x+1 x 1 x x + 1 = 0 on reaalinen, kun x = 1± 3 Koska yhtälöllä ei ole reaalisia juuria, epäyhtälö toteutuu, kun 1 < x <. e) Epäyhtälö 4 x > x on reaalinen, kun x 0. 4 x > x x = 4 x = ± Yhtälön juurien ja epäyhtälön osamäärän reaalisuusehdon vuoksi epäyhtälö toteutuu arvoilla x < tai 0 < x <. f) ax 1 x x(a + ) 1 x a+ 1, jos a > Lisäksi x a+ 1, jos a <. Jos a =, niin epäyhtälö toteutuu kaikilla x:n arvoilla. 15. Ratkaise toisen asteen epäyhtälö a) x + x 8 > 0 b) x(5 x) 6 c) x 5 d) x + 4x 5 e) x 4x a) x < 4 tai x > b) x 3 c) x 5 tai x 5 d) Kaikki (reaali)luvut ovat epäyhtälön ratkaisuja. e) Kaikki (reaali)luvut ovat epäyhtälön ratkaisuja.
17 a) x + x 8 > 0 x + x 8 = 0 x = ± 36 x < 4 tai x > = ±6 b) x(5 x) 6 x 5x x 5x + 5 = 0 x = 5±1 x 1 =, x = 3 x 3 c) x 5 x ± 5 x 5 tai x 5 d) x + 4x 5 x + 4x = 5 Yhtälöllä ei ole reaalisia juuria, joten epäyhtälö toteutuu kaikilla reaaliluvuilla. e) x 4x x = 4± 4 Yhtälö saa positiivia arvoja kaikkialla, joten kaikki reaaliluvut ovat epäyhtälön ratkaisuja. 16. a) Ratkaise toisen asteen epäyhtälö x x b) Millä x:n arvoilla lauseke 1 x+ + x x on reaalinen? c) Millä a:n arvoilla yhtälön x ax + 3 = 0 juuret ovat reaaliset? b) Määritelmän mukaan neliöjuurilauseke a R, kun a 0. Lisäksi rationaaliluku p q R, kun q 0. a) x 5 tai 0 < x 1 b) < x 1 tai x c) x 3 tai x 3 a) Epäyhtälön x x nolakohdat ovat x 1 = 1 ja x = 5. Lisäksi x 0, joten epäyhtälö toteutuu, kun x 5 tai 0 < x 1.
18 1 b) Lauseke x+ + x x on reaalinen, kun osamäärän nimittäjä on positiivinen ja neliöjuuri on suurempi tai yhtäsuuri kuin nolla. x + > 0 ja x x 0 x > ja x = 1±3 < x 1 tai x c) Yhtälön x ax + 3 = 0 x = a± 4a 1 juuret ovat reaaliset, kun ratkaisukaavan diskriminantti D = 4a 1 on suurempi tai yhtä suuri kuin nolla 4a 1 0 a ± 3 x 3 tai x Ratkaise yhtälö a) x 1 = 3 b) x + 7 = 3x + 5 c) x = 5 d) x + 5 = x 7 * Reaaliluvun itseisarvo * Itseisarvoyhtälön ratkaiseminen a) x 1 = 4 ja x = b) x 1 = 1 ja x = 3 c) Yhtälöllä ei ole ratkaisua. d) Yhtälöllä ei ole ratkaisua. a) x 1 = 3 x 1 = 3 ja x + 1 = 3 x 1 = 4 ja x = b) x + 7 = 3x + 5 x + 7 = 3x + 5 ja x 7 = 3x + 5 x 1 = 1 ja x = 3 c) Yhtälön x = 5 toinen puoli on positiivinen ja toinen negatiivinen, joten yhtälöllä ei ole ratkaisua.
19 d) x + 5 = x 7 x + 5 = x 7 ja x 5 = x 7 x = 1 ja x = 3 Yhtälön oikea puoli on positiivinen, kun x 7 > 0. Yhtälön ratkaisuista x = 1 ja x = 3 kumpikaan ei toteuta ehtoa, joten yhtälöllä ei ole ratkaisua. 18. Ratkaise yhtälö a) x 6 = 5x b) + x 1 = 3 c) x 1 + x + 4 (x 1) = a) x = ±6 b) x = ja x = 0 c) Yhtälöllä ei ole ratkaisua. a) Ratkaistaan yhtälö. x 6 = 5x x 5x 6 = 0 ja x + 5x 6 = 0 x = 5±7 ja x = 5±7 x 1 = 6,x = 1,x 3 = 1 ja x 4 = 6 Yhtälön vasen puoli on positiivinen, kun x 6 > 0 x > ± 6. Yhtälön ratkaisuista x = 1 ja x 3 = 1 eivät toteuta ehtoa, joten yhtälö toteutuu, kun x = ±6. b) Ratkaistaan yhtälö. + x 1 = 3 + x 1 = 3 ja x 1 = 3 x 1 = 3 ja x + 1 = 3 ja x 1 = 5 x = ja x = 0 ja x 1 = 5 Ratkaisuksi saatu itseisarvoyhtälö x 1 = 5 on mahdoton, joten yhtälö toteutuu, kun x = ja x = 0. c) Tarkastellaan yhtälön x 1 + x + 4 (x 1) = ratkaisua erikseen väleillä x < 4, 4 < x < 1 ja x > 1. Koska yhtälö ei toteudu millään arvoilla x, yhtälöllä ei ole ratkaisua. 19. Ratkaise itseisarvoepäyhtälö
20 a) 3 x < 5 b) x 1 > c) x 1 > 3x d) x + x x + 1 a) 1 < x < 4 b) x < 1 tai x > 3 c) x < 1 5 d) 1 x 3 a) Yhtälö 3 x < 5 voidaan ratkaista useammalla eri tavalla. Tässä esitellään kolme erilaista tapaa. 1. tapa: 3 x < 5 3 x < 5 ja 3 + x < 5 x > 1 ja x < 4 1 < x < 4.tapa: 3 x < 5 5 < 3 x < < x < > x > 1 3.tapa: Toisen potenssin käyttö epäyhtälön sievennystoimenpiteenä on luvallinen vain silloin, kun epäyhtälön molemmat puolet ovat positiivisia (pienempi puoli voi olla nolla). 3 x < 5 (x 1) > () 4x 1x 16 < 0 1 < x < 4 b) x 1 > x 1 > tai x + 1 > x > 3 tai x > 1 c) x 1 > 3x x 1 > 3x tai x + 1 > 3x x < 1 tai x < 1 5 x < 1 5
21 d) Ratkaistaan yhtälö x + x x + 1 alueilla x 0, 0 < x < ja x. Kun x 0, yhtälö ei toteudu. Kun 0 < x <, yhtälö toteutuu arvoilla x 1. Kun x, yhtälö toteutuu arvoilla x 3. Siten koko itseisarvoyhtälö toteutuu arvoilla 1 x a) Ratkaise itseisarvoepäyhtälö 3x 1 x+1 3 < 0,01 (YO kevät -90, tehtävä 6a) b) Ratkaise itseisarvoepäyhtälö 1 x 1 < k, kun 0 < k < 1 (YO syksy -81, tehtävä 8.) c) Osoita, että x + 1 x, kun x 0 (YO syksy -83, tehtävä 5a) d) Ratkaise itseisarvoepäyhtälö lg(x + 1) < 1 a) x < 55 9 tai x > b) 1 1+k < x < 1 1 k d) x > 9 a) 3x 1 x+1 3 < 0,01 6x+3 6x+ 9x 3 < 0,01 5 9x 3 < 0,01 5 9x 3 < 0,01 5 < 0,01 9x < 9x 3 x > tai x < 55 9 b) 1 x 1 < k 1 x x < k 1 x x < k 1 x < k x (1 x) < k x x x + 1 < k x x (1 k ) x + 1 < 0 x = 1±k 1+k x 1 = 1 k 1, x = 1+k 1 1 Koska 0 < k < 1 ja k ±1, 1+k < x < 1 k 1.
22 c) x + 1 x x +1 x, kun x 0 x + 1 x x + 1 x (x + 1) 4x (x + 1) (x) 0 (x x)(x + 1 x) 0 (x + 1) (x 1) 0, mikä on tosi. d) lg(x + 1) < < x + 1 x > 9 1. Ratkaise neliöjuuriyhtälön reaaliset juuret a) x + = x + 1 b) x + = x 1 c) x + 1 = x d) x + 3 x + 1 = 4 x e) x + 1 x 9 = x + 3 x 4 * Juuriyhtälön ratkaiseminen * Toinen potenssi yhtälön sievennystoimenpiteenä on luvallinen vain, jos yhtälön molemmat puolet ovat samanmerkkisiä. a) x = 1 b) x = c) x 1 = 1 +, x = 1 d) x = 3 e) x = 13 a) x + = x + 1. pot. x + = x + 1 x = 1
23 b) x + = x 1. pot. x + = (x 1) x 3x 1 = 0 x = 3± 13 Reaalisuusehdon x + x ja toisen potenssin käytön seuraksena saadun ehdon x 1 perusteella x = ,303. c) x + 1 = x. pot. x + 1 = x x = 1 ± Reaalisuusehdon x x 1 perusteella x = 1 ±. d) x + 3 x + 1 = 4 x x + 3 = 4 x + x + 1. pot. x + 3 = ( 4 x + x + 1) x 1 = 4 x x + 1. pot. (x 1) = ( 4 x x + 1) x = 5±7 4 x 1 = 3. x = 1 Reaalisuusehtojen x x 1 1, x x 1 ja 4 x 0 x 4 sekä toisen potenssin seurauksena saadun ehdon x 1 perusteella x = 1. e) x + 1 x 9 = x + 3 x 4 x x 4 = x x 9 x + 5 = x + 3 x 9. pot. ( x + 5) = (x + 3)(x 9) x = 13 Ratkaisu x = 13 toteuttaa reaalisuusehdot x x 1, x 9 0 x 9, x x 3 ja x 4 0 x 4 sekä toisen potenssin käytön seurauksena saadun ehdon x 5.. Ratkaise neliöjuuriepäyhtälön reaaliset juuret a) x < 3 b) x + 13 < 6 x c) x + < x d) 3 x x 1 e) Osoita, että x + 1 < x + 1, kun x > 0. a) 7 < x b) 13 x < 3 1
24 c) x > d) x a) x < 3. pot. x < 9 x > 7 Reaalisuusehdon x 0 x mukaan epäyhtälö toteutuu, kun 7 < x. b) x + 13 < 6 x. pot. x + 13 < 6 x x < 7 Reaalisuusehtojen x+13 0 x 13 ja 6 x 0 x 6 mukaan epäyhtälö toteutuu, kun 13 x 3 1. c) x + < x. pot. x + < x x x > 0 x x > 0 x = 1±3 x 1 =. x = 1 Reaalisuusehdon x + 0 x ja toisen potenssin käytön seurauksena saadun ehdon x mukaan epäyhtälö toteutuu, kun x >. d) 3 x x 1. pot. 3 x (x 1) x x 0 x x = 0 x 1 =, x = 1 Reaalisuusehdon 3 x 0 x 3 ja toisen potenssin käytön seurauksena saadun ehdon x 1 mukaan epäyhtälö toteutuu, kun 1 < x <. Epäyhtälön pienempi puoli voi kuitenkin olla tässä tapauksessa myös negatiivinen, jolloin saadaan ehto x 1 < 0 x < 1 ja ratkaisuksi tällöin x. e) x + 1 < x + x + 1 = (x + 1) = x + 1 = x Ratkaise yhtälö a) x x = 4 x+ b) 3 3 x = 9 3
25 c) ( 3 )x 1 = ( 3 )3x 4 d) 3x+1 = 1 e) 3x + 1 = 0 f) ( 1)x > ( 1) 1 g) log 3 3 = x * Eksponenttifunktion määrittely ja perusominaisuudet * Logaritmifunktion määrittely a) x 1 = 4, x = 1 b) x = 1 1 c) x = 1 d) x = 1 3 e) Ei ratkaisua. f) x < 1 g) x = 1 a) x x = 4 x+ x x = ( ) x+ x x = x+4 x x = x + 4 x 3x 4 = 0 x 1 = 4, x = 1 b) 3 3 x = x = = x = + 1 x = 1 1 c) ( 3 )x 1 = ( 3 )3x 4 ( 3 )x 1 = ( 3 ) 3x+4 x 1 = 3x + 4 x = 1
26 d) 3x+1 = 1 3x+1 = 0 3x + 1 = 0 x = 1 3 e) 3x + 1 = 0 3x = 1 Yhtälöllä ei voi olla ratkaisua. f) ( 1 )x > ( 1 ) 1 x < 1 x < 1 g) log 3 3 = x 3 x = 3 x = 1
Funktio 1. a) Mikä on funktion f (x) = x lähtöjoukko eli määrittelyjoukko, kun 0 x 5?
Funktio. a) Mikä on funktion f (x) = x + lähtöjoukko eli määrittelyjoukko, kun 0 x 5? b) Mikä on funktion f (x) = x + maalijoukko eli arvojoukko? c) Selitä, mikä on funktion nollakohta. Anna esimerkki.
1.1. YHDISTETTY FUNKTIO
1.1. YHDISTETTY FUNKTIO (g o f) () = g(f()) Funktio g = yhdistetyn funktion g o f ulkofunktio Funktio f = yhdistetyn funktion g o f sisäfunktio E.2. Olkoon f() = 2 + 3 ja g() = 4-5. Muodosta funktio a)
= 9 = 3 2 = 2( ) = = 2
Ratkaisut 1.1. (a) + 5 +5 5 4 5 15 15 (b) 5 5 5 5 15 16 15 (c) 100 99 5 100 99 5 4 5 5 4 (d) 100 99 5 100 ( ) 5 1 99 100 4 99 5 1.. (a) ( 100 99 5 ) ( ( 4 ( ) ) 4 1 ( ) ) 4 9 4 16 (b) 100 99 ( 5 ) 1 100
TEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku Kaikki luvut on kokonaislukuja. Luonnollisia lukuja ovat 35, 7 ja 0.
TEHTÄVIEN RATKAISUT Luku.. Kaikki luvut on kokonaislukuja. Luonnollisia lukuja ovat, 7 ja 0.. a) Luvun vastaluku on, koska + ( ) 0. b) Luvun 7 vastaluku on 7, koska 7 + ( 7) 0. c) Luvun 0 vastaluku on
Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0
Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8.9.07 Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) K. a) b) c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 6 6 a a a, a > 0 6 6 a
2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä
2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2.1 Ensimmäisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Muuttujan x ensimmäisen asteen yhtälöksi sanotaan yhtälöä, joka voidaan kirjoittaa muotoon ax + b = 0, missä vakiot a ja b ovat reaalilukuja
KOMPLEKSILUVUT C. Rationaaliluvut Q. Irrationaaliluvut
KOMPLEKSILUVUT C Luonnolliset luvut N Kokonaisluvut Z Rationaaliluvut Q Reaaliluvut R Kompleksi luvut C Negat kokonaisluvut Murtoluvut Irrationaaliluvut Imaginaariluvut Erilaisten yhtälöiden ratkaiseminen
3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö
Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.8.016 3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) x + x + 1 = 4 (x + 1) = 4 Luvun x + 1 tulee olla tai, jotta sen
Juuri 2 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Kertaus K. a) E Nouseva suora. b) A 5. asteen polynomifunktio, pariton funktio Laskettu piste f() = 5 =, joten piste (, ) on kuvaajalla. c) D Paraabelin mallinen, alaspäin aukeava. Laskettu piste f() =
k-kantaisen eksponenttifunktion ominaisuuksia
3.1.1. k-kantaisen eksponenttifunktion ominaisuuksia f() = k (k > 0, k 1) Määrittely- ja arvojoukko M f = R, A f = R + Jatkuvuus Funktio f on jatkuva Monotonisuus Funktio f aidosti kasvava, kun k > 1 Funktio
MAA2.3 Koontitehtävät 2/2, ratkaisut
MAA.3 Koontitehtävät /, ratkaisut. (a) 3x 5x 4 = 0 x = ( 5) ± ( 5) 4 3 ( 4) 6 (b) (x 4) = (x 4)(x + 4) (x 4)(x 4) = (x 4)(x + 4) x 8x + 6 = x 6 x 6 8x = 3 : 8 x = 4 = 5 ± 73 6 (c) 4 x + x + = 0 4 x + 4x
Matematiikan pohjatietokurssi
Matematiikan pohjatietokurssi Demonstraatio, 8.-9.9.015, ratkaisut 1. Jaa tekijöihin (joko muistikaavojen avulla tai ryhmittelemällä) (a) x +x+ = x + x + = (x+) x +x+ = (x +x+1) = (x+1) (c) x 9 = (x) 3
Tekijä MAA2 Polynomifunktiot ja -yhtälöt = Vastaus a)
K1 a) Tekijä MAA Polynomifunktiot ja -yhtälöt 6.8.016 ( + + ) + ( ) = + + + = + + + = + 4 b) 4 4 ( 5 + ) ( 5 + 1) = 5 + + 5 + 1 4 = + + + 4 = + 5 5 1 1 Vastaus a) 4 + b) 4 + 1 K a) f ( ) = + 1 f () = +
Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä
Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus
Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0
Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 K. a) b) c) d) 6 6 a a a, a > 0 6 6 a a a a, a > 0 5 5 55 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 a a a a a ( a ) a a a, a > 0 K.
MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio
MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio Olkoon a 1 = a 2 = 5 ja a n+1 = a n + 6a n 1 kun n 2. Todista induktiolla, että a n = 3 n ( 2) n, kun n on positiivinen
Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. ILMAN LASKINTA -OSIO! LASKE KAIKKI SEURAAVAT TEHTÄVÄT:
MAA Koe 8.1.014 Arto Hekkanen ja Jussi Tyni Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. ILMAN LASKINTA -OSIO! LASKE KAIKKI SEURAAVAT TEHTÄVÄT: 1. a) Laske polynomien x x
Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan erilaisia todistustekniikoita. Luentokalvoista 11, sekä voi olla apua.
HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan erilaisia todistustekniikoita. Luentokalvoista 11, 15-17
MAA02. A-osa. 1. Ratkaise. a) x 2 + 6x = 0 b) (x + 4)(x 4) = 9 a) 3x 6x
MAA0 A-osa. Ratkaise. a) x + 6x = 0 b) (x + 4)(x 4) = 9 a) 3x 6x a) Kirjoitetaan summa x + 6x yhteisen tekijän avulla tulomuotoon ja ratkaistaan yhtälö tulon nollasäännön avulla. x + 6x = 0 x(x + 6) =
NELIÖJUURI. Neliöjuuren laskusääntöjä
NELIÖJUURI POLYNOMIFUNKTIOT JA -YHTÄLÖT, MAA2 Tarkoittaa positiivista tai nollaa Määritelmä, neliöjuuri: Luvun a R neliöjuuri, merkitään a, on se ei-negatiivinen luku, jonka neliö (eli toiseen potenssiin
PERUSASIOITA ALGEBRASTA
PERUSASIOITA ALGEBRASTA Matti Lehtinen Tässä luetellut lauseet ja käsitteet kattavat suunnilleen sen mitä algebrallisissa kilpatehtävissä edellytetään. Ns. algebrallisia struktuureja jotka ovat nykyaikaisen
2.3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. b b 4ac = 2
.3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. Toisen asteen yhtälön a + b + c 0 ratkaisukaavassa neliöjuuren alla olevaa lauseketta b b 4ac + a b b 4ac a D b 4 ac sanotaan yhtälön
Differentiaalilaskenta 1.
Differentiaalilaskenta. a) Mikä on tangentti? Mikä on sekantti? b) Määrittele funktion monotonisuuteen liittyvät käsitteet: kasvava, aidosti kasvava, vähenevä ja aidosti vähenevä. Anna esimerkit. c) Selitä,
Matematiikan johdantokurssi, syksy 2017 Harjoitus 8, ratkaisuista
Matematiikan johdantokurssi, sks 07 Harjoitus 8, ratkaisuista. Olkoot f ja g reaalifunktioita. Mitä voidaan sanoa hdistetstä funktiosta g f, jos a) f tai g on rajoitettu? b) f tai g on jaksollinen? Ratkaisu.
0. Kertausta. Luvut, lukujoukot (tavalliset) Osajoukot: Yhtälöt ja niiden ratkaisu: N, luonnolliset luvut (1,2,3,... ) Z, kokonaisluvut
0. Kertausta Luvut, lukujoukot (tavalliset) N, luonnolliset luvut (1,2,3,... ) Z, kokonaisluvut Rationaaliluvut n/m, missä n,m Z Reaaliluvut R muodostavat jatkumon fysiikan lukujoukko Kompleksiluvut C:z
MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1
MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Kompleksiluvut Riikka Korte (muokannut Riikka Kangaslammen materiaalin pohjalta) Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 5.11.2015 1 /
1.1. RATIONAALILUVUN NELIÖ
1.1. RATIONAALILUVUN NELIÖ 1. Käyttäen tietoa a = a a laske: a) 8 b) ) c) 0, d) ) 1 e) 1) f) +,) g) 7 h) ) i). Laske näiden lukujen neliöt: 17 9 1,6 1. Laske: ) a) ) b). Laske a, kun 5) 1 ) 11 11 81. j)
Kokonaisluvut. eivät ole kokonaislukuja!
Luvut Lähdetään liikkeelle kertaamalla mitä tiedämme luvuista. Mitä erilaiset luvut kuvaavat ja millaisia ominaisuuksia niillä on? Mikä voisi olla luonnollisin luku aloittaa? Luonnolliset luvut Luonnolliset
Tehtävä 2. Osoita, että seuraavat luvut ovat algebrallisia etsimällä jokin kokonaislukukertoiminen yhtälö jonka ne toteuttavat.
JOHDATUS LUKUTEORIAAN syksy 017) HARJOITUS 6, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. Etsi Pellin yhtälön x Dy = 1 pienin positiivinen ratkaisu kun D {,, 5, 6, 7, 8, 10}. Ratkaisu 1. Tehtävässä annetuilla D:n arvoilla
1.1 Vektorit. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. 1.1 Vektorit. 1.1 Vektorit. Reaalinen n-ulotteinen avaruus on joukko. x 1. R n.
ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut 1.1 MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 1. ja kompleksiluvut Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 8.9.015 Reaalinen
2. Polynomien jakamisesta tekijöihin
Imaginaariluvut mielikuvitustako Koska yhtälön x 2 x 1=0 diskriminantti on negatiivinen, ei yhtälöllä ole reaalilukuratkaisua Tästä taas seuraa, että yhtälöä vastaava paraabeli y=x 2 x 1 ei leikkaa y-akselia
1. Murtoluvut, murtolausekkeet, murtopotenssit ja itseisarvo
1. Murtoluvut, murtolausekkeet, murtopotenssit ja itseisarvo Olkoot a, b, c mielivaltaisesti valittuja reaalilukuja eli reaaliakselin pisteitä. Ne toteuttavat seuraavat laskulait (ns. kunta-aksioomat):
4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio
4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Tutkitaan yhtälöiden ratkaisuja piirtämällä funktioiden f(x) = x, f(x) = x 3, f(x) = x 4 ja f(x) = x 5 kuvaajat. Näin nähdään, monessako
Insinöörimatematiikka A
Insinöörimatematiikka A Demonstraatio 3, 3.9.04 Tehtävissä 4 tulee käyttää Gentzenin järjestelmää kaavojen johtamiseen. Johda kaava φ (φ ) tyhjästä oletusjoukosta. ) φ ) φ φ 3) φ 4) φ (E ) (E ) (I, ) (I,
w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.
Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)
2) Kirjoita osoittajaan ja nimittäjään jotkin luvut, joilla yhtälöt ovat voimassa. Keksi kolme eri ratkaisua. 2 = 5 = 35 = 77 = 4 = 10 = 8
Nimi 1 ALGEBRAN KERTAUS 1) Järjestä luvut pienimmästä suurimpaan., 8 3, 8, 8 4, 908, 7, 1, 99, 167, 1, 987, 1011. 4 ) Kirjoita osoittajaan ja nimittäjään jotkin luvut, joilla yhtälöt ovat voimassa. Keksi
2.2 Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt
. Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt MÄÄRITELMÄ 3: Lukua b sanotaan luvun a neliöjuureksi, merkitään a b, jos b täyttää kaksi ehtoa: 1o b > 0 o b a Esim.1 Määritä a) 64 b) 0 c) 36 a) Luvun 64 neliöjuuri
Matematiikan peruskurssi 2
Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat
2 Raja-arvo ja jatkuvuus
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.6 Raja-arvo ja jatkuvuus. a) Kun suorakulmion kärki on kohdassa =, on suorakulmion kannan pituus. Suorakulmion korkeus on käyrän y-koordinaatti
MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 6 Maanantai
. (Teht. s. 93.) Määrää raja-arvo MATP53 Approbatur B Harjoitus 6 Maanantai 7..5 cos x x. Ratkaisu. Suora sijoitus antaa epämääräisen muodon (ei auta). Laventamalla päädytään muotoon ja päästään käyttämään
a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.
Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 4.9.09 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alustavat hyvän vastauksen piirteet on suuntaa-antava kuvaus kokeen tehtäviin odotetuista vastauksista ja tarkoitettu ensisijaisesti
1. Olkoot f ja g reaalifunktioita. Mitä voidaan sanoa yhdistetystä funktiosta g f, jos a) f tai g on rajoitettu? b) f tai g on jaksollinen?
Matematiikan johdantokurssi, sks 06 Harjoitus 8, ratkaisuista. Olkoot f ja g reaalifunktioita. Mitä voidaan sanoa hdistetstä funktiosta g f, jos a) f tai g on rajoitettu? b) f tai g on jaksollinen? Ratkaisu.
Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe klo 10 13
Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt. (a) 3 2 x 2 3 2 3 x 1 4, (b) (x + 1)(x 2)
MATP153 Approbatur 1B Ohjaus 2 Keskiviikko torstai
MATP15 Approbatur 1B Ohjaus Keskiviikko 4.11. torstai 5.11.015 1. (Opiskeluteht. 6 s. 0.) Määritä sellainen vakio a, että polynomilla x + (a 1)x 4x a on juurena luku x = 1. Mitkä ovat tällöin muut juuret?.
Positiivitermisten sarjojen suppeneminen
Positiivitermisten sarjojen suppeneminen Jono (b n ) n= on kasvava, jos b n+ b n kaikilla n =, 2,... Lemma Jokainen ylhäältä rajoitettu kasvava jono (b n ) n= raja-arvo on lim n b n = sup n Z+ b n. suppenee
2 Funktion derivaatta
ANALYYSI B, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 2018 2 Funktion derivaatta 1. Määritä derivaatan määritelmää käyttäen f (), kun (a), (b) 1 ( > 0). 2. Tutki, onko funktio sin(2) sin 1, kun 0, 2 0, kun = 0, derivoituva
Kompleksiluvut. JYM, Syksy /99
Kompleksiluvut JYM, Syksy 2014 1/99 Miksi kompleksilukuja? Reaaliluvut lukusuoran pisteet: Tiedetään, että 7 1 0 x 2 = 0 x = 0 1 7 x 2 = 1 x = 1 x = 1 x 2 = 7 x = 7 x = 7 x 2 = 1 ei ratkaisua reaalilukujen
Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x 1 ja x 2 on voimassa ehto:
4 Reaalifunktiot 4. Funktion monotonisuus Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x ja x on voimassa ehto: "jos x < x, niin f (x
1 Kompleksiluvut 1. y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2
Sisältö 1 Kompleksiluvut 1 1.1 Määritelmä............................ 1 1. Kertolasku suorakulmaisissa koordinaateissa.......... 4 1.3 Käänteisluku ja jakolasku..................... 9 1.4 Esimerkkejä.............................
Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet
Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.01 klo 10 13 t ja pisteytysohjeet 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt. (a) 3 x 3 3 x 1 4, (b)
1. Viikko. K. Tuominen MApu II 1/17 17
1. Viikko Keskeiset asiat ja tavoitteet: 1. Kompleksiluvut, kompleksitaso, polaariesitys, 2. Kompleksilukujen peruslaskutoimitukset, 3. Eulerin ja De Moivren kaavat, 4. Potenssi ja juuret, kompleksinen
Rationaalilauseke ja -funktio
4.8.07 Rationaalilauseke ja -funktio Määritelmä, rationaalilauseke ja funktio: Kahden polynomin ja osamäärä, 0 on rationaalilauseke, jonka osoittaja on ja nimittäjä. Huomaa, että pelkkä polynomi on myös
Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
YHTÄLÖITÄ ALOITA PERUSTEISTA A. Luku on yhtälön ratkaisu, jos luku toteuttaa yhtälön. a) Sijoitetaan luku = yhtälöön. 6 = 0 0 = 0 Yhtälö on tosi, joten = on yhtälön ratkaisu. Vastaus: on b) Sijoitetaan
Reaalilukuvälit, leikkaus ja unioni (1/2)
Luvut Luonnolliset luvut N = {0, 1, 2, 3,... } Kokonaisluvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Rationaaliluvut (jaksolliset desimaaliluvut) Q = {m/n m, n Z, n 0} Irrationaaliluvut eli jaksottomat desimaaliluvut
Potenssi eli potenssiin korotus on laskutoimitus, jossa luku kerrotaan itsellään useita kertoja. Esimerkiksi 5 4 = Yleisesti.
x 3 = x x x Potenssi eli potenssiin korotus on laskutoimitus, jossa luku kerrotaan itsellään useita kertoja. Esimerkiksi 4 = Yleisesti a n = a a a n kappaletta a n eksponentti kuvaa tuloa, jossa a kerrotaan
a) z 1 + z 2, b) z 1 z 2, c) z 1 z 2, d) z 1 z 2 = 4+10i 4 = 10i 5 = 2i. 4 ( 1)
Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Osoita, että kompleksilukujen yhteenlasku määriteltynä tasopisteiden kautta koordinaateittain on liitännäinen, so. z + (z + z ) = (z + z )
Kompleksiluvut., 15. kesäkuuta /57
Kompleksiluvut, 15. kesäkuuta 2017 1/57 Miksi kompleksilukuja? Reaaliluvut lukusuoran pisteet: Tiedetään, että 7 1 0 x 2 = 0 x = 0 1 7 x 2 = 1 x = 1 x = 1 x 2 = 7 x = 7 x = 7 x 2 = 1 ei ratkaisua reaalilukujen
Testaa taitosi 1: Lauseen totuusarvo
Testaa taitosi 1: Lauseen totuusarvo 1. a) Laadi lauseen A (B A) totuustaulu. b) Millä lauseiden A ja B totuusarvoilla a-kohdan lause on tosi? c) Suomenna a-kohdan lause, kun lause A on olen vihainen ja
6 Funktioita ja yhtälöitä
6 Funktioita ja yhtälöitä 6. Rationaali- ja juurifunktio LUVUN 6. YDINTEHTÄVÄT 60. a) Määritelty, kun a 0. ( a ) ( a ) a a y y ( a a )( a ( a )) a a a a y y a 6 a ( y) ( y) Toinen tapa: ( a ) ( a ) a a
Talousmatematiikan perusteet, L3 Prosentti, yhtälöt Aiheet
Talousmatematiikan perusteet, L3 Prosentti, t Toisen Prosentti 1 Jos b on p% luvusta a, eli niin b = p 100 a a = perusarvo (Mihin verrataan?) (Minkä sadasosista on kysymys.) p = prosenttiluku (Miten monta
Tekijä Pitkä matematiikka
K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π
1 Kompleksiluvut. Kompleksiluvut 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 7
Kompleksiluvut 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 7 1 Kompleksiluvut Lukualueiden laajennuksia voi lähestyä polynomiyhtälöiden ratkaisemisen kautta. Yhtälön x+1 = 0 ratkaisemiseksi tarvitaan negatiivisia lukuja.
Kompleksiluvut 1/6 Sisältö ESITIEDOT: reaaliluvut
Kompleksiluvut 1/6 Sisältö Kompleksitaso Lukukäsitteen vaiheittainen laajennus johtaa luonnollisista luvuista kokonaislukujen ja rationaalilukujen kautta reaalilukuihin. Jokaisessa vaiheessa ratkeavien
Kolmannen ja neljännen asteen yhtälöistä
Solmu /019 7 Kolmannen neljännen asteen yhtälöistä Esa V. Vesalainen Matematik och statistik, Åbo Akademi Tämän pienen artikkelin tarkoituksena on satuilla hieman algebrallisista yhtälöistä. Erityisesti
B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja?
Nimi Koulutus Ryhmä Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vastausvaihtoehto oikein. Laske tehtävät ilman laskinta.. Missä pisteessä suora y = 3x 6 leikkaa x-akselin? A. 3 D. B. E. en tiedä C. 6. Mitkä luvuista,,,
1 Peruslaskuvalmiudet
1 Peruslaskuvalmiudet 11 Lukujoukot N {1,, 3, 4,} on luonnollisten lukujen joukko (0 mukana, jos tarvitaan), Z {, 3,, 1, 0, 1,, 3,} on kokonaislukujen joukko, Q m n : m, n Z, n 0 on rationaalilukujen joukko,
1 Määritelmä ja perusominaisuuksia. 2 Laskutoimitukset kompleksiluvuilla. 3 Reaaliluvut ja kompleksiluvut. 4 Kompleksilukujen algebraa
1 ja perusominaisuuksia 2 Laskutoimitukset kompleksiluvuilla 3 Reaaliluvut ja kompleksiluvut Matematiikan peruskurssi KP3 I OSA 1: Johdatus kompleksilukuihin 4 Kompleksilukujen algebraa 5 Kompleksitaso
2.4 Korkeamman asteen yhtälö
.4 Korkeamman asteen yhtälö.4.1 Eräitä erikoistapauksia Korkeamman asteen yhtälön yleinen normaalimuoto on a x + a x + a x + + a x + a x + a = n n n 1 n 1 n n... 1 o 0 (*), missä kertoimet an, an-1,...,
A = (a 2x) 2. f (x) = 12x 2 8ax + a 2 = 0 x = 8a ± 64a 2 48a x = a 6 tai x = a 2.
MATP53 Approbatur B Harjoitus 7 Maanantai..5. (Teht. s. 9.) Neliön muotoisesta pahviarkista, jonka sivun pituus on a, taitellaan kanneton laatikko niin, että pahviarkin nurkista leikataan neliön muotoiset
HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 5 Ratkaisuehdotuksia
HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 015 Harjoitus 5 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan väitteiden todistamista tai kumoamista vastaesimerkin
y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2
Kompleksiluvut. Määritelmä Tarkastellaan euklidista tasoa R = {(, y), y R}. y y z = (, y) R Kuva : Euklidinen taso R Suorakulmaisessa koordinaatistossa on -akseli ja y-akseli. Luvut ja y ovat pisteen z
Kompleksianalyysi Funktiot
Kompleksianalyysi Funktiot Jukka Kemppainen Mathematics Division Kompleksimuuttujan funktio Aloitetaan funktion määritelmällä. Määr. 1 Kompleksimuuttujan funktio f : C C on sääntö, joka liittää joukkoon
Talousmatematiikan perusteet, L2
Talousmatematiikan perusteet, L2 orms.1030 EPKY / kevät 2011 Toisen Laskutoimitukset tehdään seuraavassa järjestyksessä 1. Sulkujen sisällä olevat (alkaen sisältä ulospäin) 2. potenssit ja juuri 3. kerto-
2 Funktion derivaatta
ANALYYSI B, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 2019 2 Funktion derivaatta 2.1 Määritelmiä ja perusominaisuuksia 1. Määritä suoraan derivaatan määritelmää käyttäen f (0), kun (a) + 1, (b) (2 + ) sin(3). 2. Olkoon
Epäyhtälöt 1/7 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt
Epäyhtälöt 1/7 Sisältö Epäyhtälö Epäyhtälöllä tarkoitetaan ehtoa, missä kahdesta lausekkeesta toinen on suurempi tai mahdollisesti yhtä suuri kuin toinen: f(x) < g(x), f(x) g(x).merkit voidaan luonnollisesti
Talousmatematiikan perusteet: Luento 4. Polynomifunktio Potenssifunktio Eksponenttifunktio Logaritmifunktio
Talousmatematiikan perusteet: Luento 4 Polynomifunktio Potenssifunktio Eksponenttifunktio Logaritmifunktio Viime luennolla Funktiolla f: A B kuvataan muuttujan y B riippuvuutta muuttujasta x A A on lähtö-
LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN
LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN 1 LUKULAUSEKKEITA Ratkaise seuraava tehtävä: Retkeilijät ajoivat kahden tunnin ajan polkupyörällä maantietä pitkin 16 km/h nopeudella, ja sitten vielä kävelivät metsäpolkua
sin x cos x cos x = sin x arvoilla x ] π
Matematiikan johdantokurssi, syksy 08 Harjoitus 0, ratkaisuista. Todenna, että = + tan x. Mutta selvitäppä millä reaaliarvoilla se oikeasti pitää paikkansa! Ratkaisu. Yhtälön molemmat puolet ovat määriteltyjä
Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 10
Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 10 1 Newtonin menetelmä Oletetaan, että haluamme löytää funktion f(x) nollakohan. Usein tämä tehtävä on mahoton suorittaa täyellisellä tarkkuuella, koska tiettyjen
3. Kirjoita seuraavat joukot luettelemalla niiden alkiot, jos mahdollista. Onko jokin joukoista tyhjä joukko?
HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät luentokalvoihin 1 14. Erityisesti esimerkistä 4 ja esimerkin
1 Rationaalifunktio , a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen.
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 Rationaalifunktio. a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen. f (50) 50 8 50 4 8 50 500 400 4 400
Harjoituskokeiden ratkaisut Painoon mennyt versio.
Harjoituskokeiden ratkaisut 8.6.7 Painoon mennyt versio. PYRAMIDI NUMEERISIA JA ALGEBRALLISIA MENETELMIÄ RATKAISUT, HARJOITUSKOE SIVU.7.7 Koe a) i) =,, = kpl ii) 9,876 =,9876,99 = 9,9 iii),66,66 =,7 =,7
Tenttiin valmentavia harjoituksia
Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.
Ensimmäisen ja toisen asteen yhtälöt
Ensimmäisen ja toisen t nimittäjien poistaminen sieventäminen ensimmäisen identtinen yhtälö yhtälö verranto toisen asteen yhtälö korkeamman ristiin kertominen suhde täydellinen toisen ratkaisukaava vaillinainen
Esitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa 1. Lähdetään sieventämään epäyhtälön vasenta puolta:
MATP00 Johdatus matematiikkaan Ylimääräisten tehtävien ratkaisuehdotuksia. Osoita, että 00 002 < 000 000. Esitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa. Lähdetään sieventämään epäyhtälön
Tämän luvun tarkoituksena on antaa perustaidot kompleksiluvuilla laskemiseen sekä niiden geometriseen tulkintaan. { (a, b) a, b œ R }
7 Kompleksiluvut Tämän luvun tarkoituksena on antaa perustaidot kompleksiluvuilla laskemiseen sekä niiden geometriseen tulkintaan. 7.1 Kompleksilukujen määritelmä Määritelmä 7.1.1. Kompleksilukujen joukko
Kurssikoe on maanantaina Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla.
HY / Avoin ylioisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 05 Harjoitus 6 Ratkaisut palautettava viimeistään tiistaina.6.05 klo 6.5. Huom! Luennot ovat salissa CK maanantaista 5.6. lähtien. Kurssikoe on
Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin
Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin Yhtälöparit ja yhtälöryhmät 6. a) x y = 7 eli,y+, sijoitetaan alempaan yhtälöön x+ 7y = (, y+, ) + 7y =,y =, y = Sijoitetaan y = yhtälöparin ylempään yhtälöön.,
f(x) f(y) x y f f(x) f(y) (x) = lim
Y1 (Matematiikka I) Haastavampia lisätehtäviä Syksy 1 1. Funktio h määritellään seuraavasti. Kuvan astiaan lasketaan vettä tasaisella nopeudella 1 l/min. Astia on muodoltaan katkaistu suora ympyräkartio,
Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 2. viikolle /
MS-A008 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/207 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 2. viikolle / 8. 2.4. Jatkuvuus ja raja-arvo Tehtävä : Määritä raja-arvot a) 3 + x, x Vihje: c)-kohdassa
MAA 2 - POLYNOMIFUNKTIOT
MAA MAA - POLYNOMIFUNKTIOT 1 On annettu muuttujan x polynomi P(x) = x + x + Mitkä ovat sen termien kertoimet, luettele kaikki neljä (?) Mitä astelukua polynomi on? Mikä on polynomin arvo, kun x = 0 Entä
määrittelyjoukko. 8 piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä tangentin yhtälö.
MAA8 Juuri- ja logaritmifunktiot 5.4.0 Jussi Tyni. a) Derivoi f ( ) 3e 5 Mikä on funktion f () = ln(5 ) 00 määrittelyjoukko. c) Derivoi g( t) 4ln( t t ). Käyrälle g( ) e 8 piirretään tangentti pisteeseen,
Sisältö MONISTEESTA...2 KOMPLEKSILUVUT...4 JOHDANNOKSI...4 KERTAUSTA LUKUJOUKOISTA...4 HUOMAUTUS...8 KOMPLEKSILUKUJEN MÄÄRITTELY...5 ARGUMENTTI...
Sisältö MONISTEESTA KOMPLEKSILUVUT4 JOHDANNOKSI4 KERTAUSTA LUKUJOUKOISTA 4 HUOMAUTUS5 KOMPLEKSILUKUJEN MÄÄRITTELY 5 HUOMAUTUS8 ARGUMENTTI 9 KOMPLEKSILUVUN ITSEISARVO9 LIITTOLUKU 0 VASTALUKU KOMPLEKSILUKUJEN
MITEN RATKAISEN POLYNOMIYHTÄLÖITÄ?
MITEN RATKAISEN POLYNOMIYHTÄLÖITÄ? Polynomiyhtälön ratkaiseminen Eri lajin yhtälöiden ratkaisutavat poikkeavat toisistaan. Siksi on tärkeää tunnistaa yhtälötyyppi. Polynomiyhtälö on yhtälö, joka voidaan