Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot.
|
|
- Kalevi Salonen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 7 Sovelluksia 90 a) Koska sin saa kaikki välillä [,] olevat arvot, niin funktion f ( ) = sin pienin arvo on = ja suurin arvo on ( ) = b) Koska sin saa kaikki välillä [0,] olevat arvot, niin funktion f ( ) = sin + pienin arvo on 0 + = ja suurin arvo on + = c) f ( ) = sincos= sin, joten sen pienin arvo on ja suurin arvo on d) Koska cos( + ) saa kaikki välillä [,] olevat arvot, niin funktion f( ) = cos( + ) pienin arvo on ja suurin arvo on 9 a) Koska sin saa kaikki välillä [,] olevat arvot, niin funktio f ( ) = + sin saa kaikki välillä [, + ] = [, ] olevat arvot b) f ( ) = sin + cos = sin + (sin + cos ) = sin + Koska sin saa kaikki välillä [0,] olevat arvot, niin f saa kaikki välillä [0 +,+ ] = [,] olevat arvot c) f on määritelty, kun + n, jolloin sin cos + sin + tan = + = = ja f ( ) = = cos Funktio f cos cos cos + tan saa siis kaikki välillä [0,] olevat arvot paitsi arvon 0, sillä määrittelyehdon mukaan täytyy olla + n Vast ]0,] d) f( ) = cos cos = cos cos = (cos ) Koska cos saa kaikki välillä [, ] = [, ] olevat arvot, (cos ) saa kaikki välillä 9 [0, ] olevat arvot, joten f saa kaikki välillä 9 [ 0, ] = [,] olevat arvot 9 a) Koska f on kaikkialla jatkuva ja derivoituva, niin se saa pienimmän ja suurimman arvonsa jossakin derivaatan nollakohdassa Yhtälön f '( ) = cos sin = 0 ratkaisut ovat = + n Koska f( + n ) = sin + cos = = ja f( + (n+ ) ) = f( + n) = sin + cos =, niin f:n pienin ja suurin arvo ovat ja Harry Silfverberg, Lauri Pippola ja Werner Söderström Osakeyhtiö 007
2 b) Koska f on kaikkialla jatkuva ja derivoituva, niin se saa pienimmän ja suurimman arvonsa jossakin derivaatan nollakohdassa Yhtälön f '( ) = cos + sin = 0 tan = ratkaisut ovat = + n Koska f( + n ) = sin( ) cos( ) = = ja f( + (n+ ) ) = f( + n) = sin( ) cos( ) = ( ) =, niin f:n pienin ja suurin arvo ovat ja 9 a) f '( ) = cos = 0 cos = =± + n Derivaatan nollakohdista vain = osuu välille [0, ] Funktion arvot välin päätepisteissä ovat f (0) = 0 ja f ( ) = ja derivaatan nollakohdassa f ( ) = = 0,8 Koska f on tarkasteluvälillä jatkuva ja derivoituva, niin se saa pienimmän ja suurimman arvonsa välin päätepisteissä tai derivaatan nollakohdissa Edellä lasketuista arvoista pienin on ja suurin Funktio f saa siis kaikki välillä [, ] olevat arvot b) f '( ) = sin + (sin + cos ) = cos = 0 = 0 tai cos = 0 = 0 tai = + n Derivaatan nollakohdista vain = 0 ja = osuvat välille [0, ] Funktion arvot välin päätepisteissä ovat f (0) = ja f ( ) = ja derivaatan toisessa nollakohdassa f ( ) = Koska f on tarkasteluvälillä jatkuva ja derivoituva, niin se saa pienimmän ja suurimman arvonsa välin päätepisteissä tai derivaatan nollakohdissa Edellä lasketuista arvoista pienin on ja suurin Funktio f saa siis kaikki välillä [, ] olevat arvot 9 f '( ) = cos( ) = 0 =± + n = + n tai = + n = + n tai = + n Välille [0, ] osuvat derivaatan nollakohdat = ja = + = Arvoista f '(0) = cos( ) =, f '( ) = cos( ) = cos( ) = ja f '( ) = cos( ) = voidaan päätellä, että derivaatta on positiivinen välillä 0< <, negatiivinen välillä < < ja taas positiivinen välillä < < Funktio f on siis vähenevä osavälillä [, ] Harry Silfverberg, Lauri Pippola ja Werner Söderström Osakeyhtiö 007
3 9 a) f '( ) = cos + sin cos = cos ( + sin ) = 0 cos = 0 tai + sin = 0 = + n tai = + n tai = + n Funktio f on kaikkialla jatkuva ja derivoituva, joten se saa pienimmän ja suurimman arvonsa jossakin derivaatan nollakohdassa Koska f( + n) = sin( + n) + sin ( + n) =± + (eli 0 tai ), f( + n ) = f( ) = + = ja f( + n ) = f( ) = f( ) =, niin f:n pienin ja suurin arvo ovat ja b) f '( ) = ( + tan ) + tan ( + tan ) = ( + tan )( + tan ) = 0 + tan = 0 tan = = + n Koska tan :n perusjaksoväli on < <, niin riittää tutkia f ( ):n arvoja tällä välillä Funktion f derivaatta on välillä < < negatiivinen (koska tan < ) ja välillä < < positiivinen, joten f:n pienin arvo on f ( ) = Suurinta arvoa ei ole, sillä f ( ) kasvaa rajatta, kun ± Graafisella laskimella piirretty kuvaaja vahvistaa tulokset 9 Funktio f on kaikkialla jatkuva ja derivoituva ja f ( ) = + sincos= + sin, joten f '( ) = + cos = + cos Koska cos, niin f '( ) 0 kaikilla :n arvoilla Derivaatan merkki ei siis vaihdu missään kohdassa, joten funktiolla f ei ole ääriarvoja 97 a) Funktio f on kaikkialla jatkuva ja derivoituva ja sen perusjaksoväli on [0, ] Suurin ja pienin arvo esiintyvät siis tällä välillä olevissa derivaatan nollakohdissa f '( ) = cos sin = cos sin cos = cos ( sin ) = 0 cos = 0 tai sin = Funktion f perusjaksovälille [0, ] osuvat derivaatan nollakohdat ovat =, =, = ja = Funktion arvot näissä kohdissa ovat f ( ) =, f ( ) =, f ( ) = ja f ( ) = Pienin arvo on siis ja suurin Harry Silfverberg, Lauri Pippola ja Werner Söderström Osakeyhtiö 007
4 b) Koska cos, niin myös cos, joten 0 cos ja 0 ( cos ) 8 Funktion f pienin arvo on siis 0 ja suurin 8 98 a) f '( ) = sin sin = 0 sin = sin sin = sin( ) = + n tai = ( ) + n = + + n n = tai = + n = n Tarkasteluvälille [0, ] osuvat derivaatan nollakohdat ovat siis = 0, = ja = Funktio f on tällä välillä jatkuva ja derivoituva, joten sen suurin ja pienin arvo esiintyvät em kohdissa Koska f (0) =, f ( ) = 0 ja f ( ) =, niin pienin ja suurin arvo ovat ja b) Huomaamme, että f( ) = sin + cos = (sin + cos + ) = (sin + cos ) + Suluissa olevan lausekkeen pienin ja suurin arvo ovat (ks 8a) ja Siis funktion f pienin arvo on ( ) + = ja suurin arvo + = 99 y' = cos + cos = 0 cos = cos cos = cos( + ) = + + n tai = ( + ) + n = + n tai = + n Välille ]0, [ osuvat derivaatan nollakohdat =, = ja = Testiarvoista y '(0) =, y '( ) =, y '( ) = ja y '( ) = nähdään, että derivaatta y ' on välillä 0< < positiivinen, välillä < < negatiivinen, välillä < < edelleen negatiivinen ja välillä < < taas positiivinen Funktiolla y on siis maksimi f ( ) = ja minimi f ( ) = (Kohdassa = ei ole ääriarvoa) Harry Silfverberg, Lauri Pippola ja Werner Söderström Osakeyhtiö 007
5 00 a) f '( ) cos 0 cos = = = =± + n =± + n Välille [, ] osuvat derivaatan nollakohdat ovat =± ja =± Testiarvoista f '( ) =, f '( ) =, f '(0) =, f '( ) = ja f '( ) = nähdään (koska f '( ) on kaikkialla jatkuva), että derivaatta on positiivinen välillä < <, negatiivinen välillä < <, positiivinen välillä < <, negatiivinen välillä < < ja taas positiivinen välillä < < Funktiolla f on siis ko välillä minimi kohdissa kohdissa =, =, = Kuvaaja vahvistaa tulokset =, =, = ja maksimi 0 a) Koska sinin arvo vaihtelee välillä [,] niin suurin korkeus on,+ = 8, (m) ja pienin korkeus on, + = 0, (m) ja niiden ero on 8, (m) b) Vesi on matalimmillaan, kun sin t = Ensimmäisen kerran näin käy, kun 7 t = eli kun t = = 9 h, jolloin kello on c) Derivaatta h'( t) =, cos t ilmoittaa nopeuden hetkellä t i) Nopeus hetkellä t = on h'() =, cos( ),7 (m/h) ii) Nopeus hetkellä t = on h'() =, cos( ) 0, (m/h) d) Pystysuuntainen nopeus on v = h'() =, cos (m/h) Kuvion perusteella pohjan suuntainen nopeus v v v = 8, (m/h) sin v Harry Silfverberg, Lauri Pippola ja Werner Söderström Osakeyhtiö 007 7
6 0 a) f '( ) = ( + tan ) = tan = 0 tan =± = + n Derivaatan nollakohdista vain = osuu tarkasteluvälille ]0, [, jossa derivaatta on jatkuva Testiarvoista f '( ) = ja f '( ) = nähdään, että derivaatta on positiivinen välillä ]0, [ ja negatiivinen välillä ], [ Funktion f suurin arvo välillä ]0, [ on siten f ( ) = tan = Pienintä arvoa ei ole, sillä f( ), kun b) Yhtälön = tan ratkaisut ovat a-kohdan funktion f ( ) = tan nollakohtia Koska f (0) = 0 ja f on aidosti kasvava välillä ]0, [, niin f:llä ei ole nollakohtia tällä osavälillä Koska f ( ) = > 0 ja lim f( ) =, niin f:llä on jatkuvan funktion nollakohtalauseen perusteella osavälillä ], [ ainakin yksi nollakohta Näitä nollakohtia on enintään yksi, sillä f on ko osavälillä aidosti vähenevä Funktiolla f on siis välillä ]0, [ täsmälleen yksi nollakohta Väite seuraa tästä 0 a) y' = 0sin= 0 = n = n On helppo nähdä, että y ' on negatiivinen välillä 0< <, positiivinen välillä < <, taas negatiivinen välillä (n ) n < < jne Yleisesti y ' 0, kun Funktio on siis kasvava näillä väleillä b) y = + cos= 0 cos= =±,8 + n ± 0, + n 0 Olkoon f ( ) = tan Silloin = + =, joten f '( ) > 0 välillä f '( ) tan tan ]0, [ Funktio f on siis aidosti kasvava, kun 0 < Koska f (0) = 0, niin f( ) > 0 kaikilla 0< < Tällä välillä on siis tan > Harry Silfverberg, Lauri Pippola ja Werner Söderström Osakeyhtiö 007 8
7 0 0cos ( sin ) 0sin 8cos sin 8cos sin 8cos f ( ) = + = = cos sin cos sin cos sin f '( ) = 0 sin 8cos = 0 (sin ) = (cos ) sin= cos tan= Derivaatalla on siis välillä 0< < täsmälleen yksi nollakohta Derivaatan f '( ) osoittaja vaihtuu tässä nollakohdassaan negatiivisesta positiiviseksi, joten f saa siinä pienimmän arvonsa ko välillä Apukolmiosta (ks kuvio) nähdään, että tässä kohdassa on sin = ja cos =, joten f( ) = + = Funktiolla f ei ole tarkasteluvälillä suurinta arvoa, sillä f( ), kun 0 + tai 0 Tapa Olkoon f ( ) = sin+ cos Huomaamme, että f( ) = sin( + ), sillä sin( + ) = sin cos + cos sin = sin + cos Näin ollen f:n suurin arvo on, Funktio f ei siis voi saada arvoa, eikä annetulla yhtälöllä ole ratkaisuja 07 Olkoon f( ) = sin ( ) = sin + Riittää todistaa, että f( ) 0kaikilla 0 Koska f '( ) = cos + 0 kaikilla :n arvoilla, niin f ( ) on kaikkialla kasvava Koska f (0) = 0, niin f( ) 0kaikilla 0 Yhtäsuuruus on voimassa, kun = 0 08 Vasemman ja oikean puolen erotus sin sin+ = (sin ) on aina 0 Väite seuraa tästä Yhtäsuuruus on voimassa, kun sin = eli kun = + n tai = + n Harry Silfverberg, Lauri Pippola ja Werner Söderström Osakeyhtiö 007 9
8 09 f '( ) = cos = 0 cos = =± + n =± + n Derivaatan nollakohdista vain = osuu välille 0 < < Testiarvoista f (0) = ja f ( ) = nähdään, että derivaatta on positiivinen, kun 0 < < ja negatiivinen, kun < < Funktio f on siis aidosti kasvava välillä ]0, [ ja aidosti vähenevä välillä ], [ Koska lisäksi f (0) = 0 ja f ( ) = > 0, niin väite seuraa 0 Riittää osoittaa, että funktio f ( ) = + sin on aidosti kasvava Derivaatta f '( ) = + cos = 0, kun = + n Muualla f '( ) > 0 Siis f on kaikkialla aidosti kasvava ja väite on näin todistettu a) Kirjoitetaan yhtälö muotoon f( ) = 7tan = 0 Derivaatalla f '( ) = 7( + tan ) = 7(tan ) on välillä ], [ nollakohdat =± Derivaatta on positiivinen kun < <, negatiivinen kun < < ja taas positiivinen kun < < 7 Funktiolla f on siis maksimi f ( ) = 7 ( ) ( ) = +,0 ja minimi 7 f ( ) = 7 ( ) = 9,0 Funktiolla ei siten ole yhtään nollakohtaa välillä < Koska funktio f on välillä < < aidosti kasvava ja f ( ) < 0 sekä lim f ( ) =, niin f:llä on tällä välillä täsmälleen yksi nollakohta Tästä väite seuraakin b) Syötetään yhtälö laskimen Solver-ohjelmaan (ks kuvio) Alkuarvolla = Solver löytää ratkaisun, Harry Silfverberg, Lauri Pippola ja Werner Söderström Osakeyhtiö 007 0
9 Piste A liikkuu y-akselilla välillä < y <, jolloin piste B liikkuu -akselilla välillä < < 0 Pisteen B -koordinaatti on kuvion mukaan = = sin = sin = cos, y t t t sillä cost on tarkasteluvälillä positiivinen Pisteen B nopeus hetkellä t on '( t) = sin t B y A O Olkoon kysytty kulma ( 0 < < ) Kuvion A merkintöjen mukaan polun pituus on 00 0 p( ) = AP + PB = cos + sin ja P sin 0cos sin cos B p'( ) = = 0 käytävä cos sin sin cos sin Yhtälöstä p'( ) = 0 sin = cos = tan = saadaan derivaatan välillä cos 0 < < oleva nollakohta 0,70 = 0 Geometrisin perustein on selvää, että kyseessä on minimikohta, jossa p( ) saa pienimmän arvonsa ko välillä, sillä p, ( ) kun 0 + tai Vast 0 Funktio f ( ) = sincos( + a) on kaikkialla jatkuva ja derivoituva, joten se saa suurimman ja pienimmän arvonsa derivaattansa nollakohdissa Derivaatta f '( ) = cos cos( + a) sin sin( + a) = cos( + + a) = cos( + a) saa arvon 0, kun a + a= + n eli kun = + n Valitsemalla n = 0 ja n = - saadaan a a nollakohdat 0 = ja = a a Funktion f arvo kohdassa 0 on f( 0 ) = sin( )cos( + ) a a a a = (sin cos cos sin )(cos cos sin sin ) a a a a a a = (cos sin ) (cos sin ) = (cos sin ) a a a a = (cos + sin sin cos ) = ( sin a) Vastaavilla laskuilla saadaan f ( ) = ( sin a) Muissa derivaatan nollakohdissa saadaan samat arvot uudelleen Näin ollen funktion suurin arvo on ( sin a) ja pienin arvo on ( sin a) käytävä Harry Silfverberg, Lauri Pippola ja Werner Söderström Osakeyhtiö 007
10 Koska Rcos( + ω) = Rcosωcos Rsinωsin, niin täytyy olla Rcosω = ja Rsinω = Tällöin R cos ω + R sin ω = R = + = 9, josta R =± Edelleen Rsinω on = tanω =, josta 0,9 n Rcosω ω + Ehdot Rcosω = ja R sin ω = toteutuvat, kun valitaan R = ja ω = 0,9 Siis f( ) = cos( + 0,9) Tästä nähdään, että f:n suurin ja pienin arvo ovat ja Edellinen saavutetaan, kun + 0,9 = n eli kun = 0,9 + n ja jälkimmäinen, kun + 0,9 = + n eli kun = 0,9 + n =,7 + n Oletetamme, että suunnistaja lähtee A:sta ja kiertää ensin suon reunaa kovaa maata pitkin matkan k (km) pisteeseen C ja oikaisee sitten suoraan suon poikki pisteeseen B matkan s (km) Olkoon α kaarta k vastaava keskuskulma, jolloin k = α Suorakulmaisesta kolmiosta OCM, missä O on ympyrän keskipiste ja M janan CB keskipiste saamme s / = sin ( α) = cos α Matkaan kuluva aika, joka ei riipu matkojen k ja s / kulkujärjestyksestä, on tällöin f ( α) = k /0 + s / = α cos α 0 + Välillä 0 α α on f ( α) = sin = 0, kun α = Koska f ( 0) = 0,, 0 0 f ( ) = + ) 0, ja f ( ) = 0, 7, funktio f saa pienimmän 0 0 arvonsa, kun α = Suunnistaja etenee siis nopeimmin kiertämällä suo sen reunaa pitkin 7 Olkoon sektorin keskuskulma ( 0 ) Koska säde on, niin sektorin kaari on myös Taivutuksessa tästä kaaresta tulee kartion pohjaympyrän piiri Siis r =, josta pohjaympyrän säde r = Kartion korkeus h r ( ) V = r h= ( ) = saa suurimman arvonsa, kun 8 f ( ) = on suurin Derivaatan f '( ) = = (8 ) 8 nollakohdat ovat = 0 ja = Koska f(0) = f( ) = 0, niin tilavuuden suurin 8 arvo saavutetaan, kun sektorin keskuskulmaksi valitaan = 9,9 h r Harry Silfverberg, Lauri Pippola ja Werner Söderström Osakeyhtiö 007
11 n 8 a) Merkitään n = + 0, n =,,,, Likiarvot saattavat olla hieman toisistaan poikkeavia eri laskimilla laskettuina Eräällä laskimella laskettuina L ( ), 009, L ( ),99998, L ( ), 98000, L ( ) 0, ja L ( ) 0, tan tan b) Koska tan =, on L ( ) = funktion f ( ) = tan erotusosamäärä kohdassa Funktio on tässä kohdassa derivoituva, joten on olemassa lim L( ) = f ( ) = = Tehtävän a-kohdan jonon pitäisi siis lähestyä cos ( ) arvoa Laskimella lasketut likiarvot eivät näytä lähestyvän tätä raja-arvoa 9 Olkoon t kulma ( 0 < t < ), jonka tukki muodostaa toisen kanavan kanssa (ks a b kuvio) Janan AB pituus on silloin f() t = cost + sin t On etsittävä tämän funktion asin t bcos t pienin arvo Derivaatan f ( t) = nollakohdat saadaan yhtälöstä sin tcos t b asin t = bcos t tan t = ( ) Tällä yhtälöllä on välillä 0 < t < vain yksi ratkaisu ja a geometrisin perustein voidaan päätellä, että se on funktion f minimikohta a Tällöin on cost = = = ja + tan t b + ( ) a + b a b ( ) tan t b sin t = = a =, jolloin janan AB pienin + tan t b + ( ) a + b a pituus ja samalla tukin suurin mahdollinen pituus on f( t) = a a + b + b a + b = a + b ( a + b ) = ( a + b ) A b a C t D B 0 Olkoon f derivoituva jaksollinen funktio perusjakso on ω Kaikilla :n arvoilla on siis f ( + ω) = f( ) Derivoimalla tämä yhtälö puolittain ja soveltamalla vasemmalla puolella yhdistetyn funktion derivoimissääntöä saadaan f '( + ω) = f '( ), joten f '( + ω) = f '( ) Funktio f '( ) on siis jaksollinen perusjaksonaan ω Jos f on jatkuva jaksollinen funktio perusjaksonaan ω, niin se saa jatkuvan funktion ääriarvolauseen perusteella suurimman ja pienimmän arvonsa välillä [0, ω ] Nämä arvot ovat samalla funktion f suurin ja pienin arvo, sillä jaksollisuuden vuoksi f saa kaikki arvonsa välillä [0, ω ] Harry Silfverberg, Lauri Pippola ja Werner Söderström Osakeyhtiö 007
Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)
Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion
LisätiedotMaksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta
Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö Funktion kasvavuus ja vähenevyys; paikalliset ääriarvot Jos derivoituvan reaalifunktion f derivaatta tietyssä pisteessä on positiivinen, f (x 0 ) > 0, niin funktion tangentti
LisätiedotJuuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77
Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07 Kertaus K. a) sin 0 = 0,77 b) cos ( 0 ) = cos 0 = 0,6 c) sin 50 = sin (80 50 ) = sin 0 = 0,77 d) tan 0 = tan (0 80 ) = tan 0 =,9 e)
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka a) Ratkaistaan nimittäjien nollakohdat. ja x = 0. x 1= Funktion f määrittelyehto on x 1 ja x 0.
Tekijä Pitkä matematiikka 6 9.5.017 K1 a) Ratkaistaan nimittäjien nollakohdat. x 1= 0 x = 1 ja x = 0 Funktion f määrittelyehto on x 1 ja x 0. Funktion f määrittelyjoukko on R \ {0, 1}. b) ( 1) ( 1) f (
LisätiedotMATP153 Approbatur 1B Harjoitus 6 Maanantai
. (Teht. s. 93.) Määrää raja-arvo MATP53 Approbatur B Harjoitus 6 Maanantai 7..5 cos x x. Ratkaisu. Suora sijoitus antaa epämääräisen muodon (ei auta). Laventamalla päädytään muotoon ja päästään käyttämään
LisätiedotJuuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1.
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4..6 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. a) Funktion f( ) = määrittelyehto on +, eli. + Ratkaistaan funktion nollakohdat. f(
LisätiedotPRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011
PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan
LisätiedotA = (a 2x) 2. f (x) = 12x 2 8ax + a 2 = 0 x = 8a ± 64a 2 48a x = a 6 tai x = a 2.
MATP53 Approbatur B Harjoitus 7 Maanantai..5. (Teht. s. 9.) Neliön muotoisesta pahviarkista, jonka sivun pituus on a, taitellaan kanneton laatikko niin, että pahviarkin nurkista leikataan neliön muotoiset
LisätiedotKertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0
Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 K. a) b) c) d) 6 6 a a a, a > 0 6 6 a a a a, a > 0 5 5 55 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 a a a a a ( a ) a a a, a > 0 K.
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 Väliarvolause Oletetaan, että funktio f on jatkuva jollain reaalilukuvälillä [a, b] ja derivoituva avoimella välillä (a, b). Funktion muutos tällä välillä on luonnollisesti
Lisätiedot5 Rationaalifunktion kulku
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 5 Rationaalifunktion kulku. Funktion f määrittelyehto on. Muodostetaan symbolisen laskennan ohjelman avulla derivaattafunktio f ja
LisätiedotKERTAUSHARJOITUKSIA. 1. Rationaalifunktio a) ( ) 2 ( ) Vastaus: a) = = 267. a) a b) a. Vastaus: a) a a a a 268.
KERTAUSHARJOITUKSIA. Rationaalifunktio 66. a) b) + + + = + + = 9 9 5) ( ) ( ) 9 5 9 5 9 5 5 9 5 = = ( ) = 6 + 9 5 6 5 5 Vastaus: a) 67. a) b) a a) a 9 b) a+ a a = = a + a + a a + a a + a a ( a ) + = a
LisätiedotJuuri 12 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.5.08 Kertaus K. a) Polynomi P() = + 8 on jaollinen polynomilla Q() =, jos = on polynomin P nollakohta, eli P() = 0. P() = + 8 = 54 08 +
LisätiedotMatematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 7 to
Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 7 to 5..2009 ratkaisut 1. (a) Määritä funktion f(x) = e x e x x + 1 derivaatan f (x) pienin mahdollinen arvo. Ratkaisu. (a) Funktio f ja sen derivaatat ovat
LisätiedotVASTAA YHTEENSÄ KUUTEEN TEHTÄVÄÄN
Matematiikan kurssikoe, Maa6 Derivaatta RATKAISUT Sievin lukio Torstai 23.9.2017 VASTAA YHTEENSÄ KUUTEEN TEHTÄVÄÄN MAOL-taulukkokirja on sallittu. Vaihtoehtoisesti voit käyttää aineistot-osiossa olevaa
LisätiedotLisätehtäviä. Rationaalifunktio. x 2. a b ab. 6u x x x. kx x
MAA6 Lisätehtäviä Laske lisätehtäviä omaan tahtiisi kurssin aikan Palauta laskemasi tehtävät viimeistään kurssikokeeseen. Tehtävät lasketaan ilman laskint Rationaalifunktio Tehtäviä Hyvitys kurssiarvosanassa
Lisätiedot1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1.
ABIKertaus.. a. Ratkaise yhtälö 8 5 4 + + 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on. 4. Jaa polynomi 8 0 5 ensimmäisen asteen tekijöihin ja ratkaise tämän avulla 4 epäyhtälö 8 0 5 0.
LisätiedotKertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0
Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8.9.07 Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) K. a) b) c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 6 6 a a a, a > 0 6 6 a
Lisätiedot5 Differentiaalilaskentaa
5 Differentiaalilaskentaa 5.1 Raja-arvo Esimerkki 5.1. Rationaalifunktiota g(x) = x2 + x 2 x 1 ei ole määritelty nimittäjän nollakohdassa eli, kun x = 1. Funktio on kuitenkin määritelty kohdan x = 1 läheisyydessä.
LisätiedotMS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1
MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Riikka Korte (Pekka Alestalon kalvojen pohjalta) Aalto-yliopisto 24.10.2016 Sisältö Derivaatta 1.1 Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: I geometrinen
LisätiedotVastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus:
. Koska F( ) on jokin funktion f ( ) integraalifunktio, niin a+ a f() t dt F( a+ t) F( a) ( a+ ) b( a b) Vastaus: Kertausharjoituksia. Lukujonot 87. + n + lim lim n n n n Vastaus: suppenee raja-arvona
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta Eksponenttifuntio Palautetaan mieliin, että Neperin luvulle e pätee: e ) n n n ) n n n n n ) n. Tästä määritelmästä seuraa, että eksponenttifunktio e x voidaan määrittää
Lisätiedot4. Kertausosa. 1. a) 12
. Kertausosa. a kun, : b kun, tai 8 . Paraabeli y a bc c aukeaa ylöspäin, jos a alaspäin, jos a a Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle a. Se aukeaa ylöspäin. b Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle
LisätiedotA-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.
PITKÄ MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 7..07 NIMI: A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.. Valitse oikea vaihtoehto ja
Lisätiedot4 Polynomifunktion kulku
4 Polynomifunktion kulku. a) Funktio on kasvava jollakin välillä, jos sen arvo kasvaa tällä välillä. Kuvaajan nousemisen ja laskemisen perusteella funktio on kasvava kohtien x,4 ja x 0, välissä. b) Funktion
LisätiedotMatriisit ja optimointi kauppatieteilijöille
Matriisit ja optimointi kauppatieteilijöille Harjoitus 4, kevät 2019 1. a) f(x) = x 3 6x 2 + 9x + 1, 3 x 3 Funktio f(x) on jatkuva ja derivoituva. Funktio f(x) saavuttaa suurimman ja pienimmän arvonsa
Lisätiedot1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a)
Pitkä matematiikka YO-koe 9..04. a) b) 7( x ) + = x ( x ) x(5 8 x) > 0 7x + = x x + 8x + 5x > 0 7x = 0 Nollakohdat: 0 8x + 5x = 0 x = 7 x(8x 5) = 0 5 5 x = 0 tai x = Vastaus: 0 < x < 8 8 c) a+ b) a b)
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 12 1 Eksponenttifuntio Palautetaan mieliin, että Neperin luvulle e pätee: e ) n n n ) n n n n n ) n. Tästä määritelmästä seuraa, että eksponenttifunktio e x voidaan
LisätiedotJuuri 12 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Kertaus K. a) Polynomi P() = 3 + 8 on jaollinen polynomilla Q() = 3, jos = 3 on polynomin P nollakohta, eli P(3) = 0. P(3) = 3 3 3 + 8 3 = 54 08 + 54 = 0. Polynomi P on jaollinen polynomilla Q. b) Jaetaan
LisätiedotRatkaisuja, Tehtävät
ja, Tehtävät 988-97 988 a) Osoita, että lausekkeiden x 2 + + x 4 + 2x 2 ja x 2 + - x 4 + 2x 2 arvot ovat toistensa käänteislukuja kaikilla x:n arvoilla. b) Auton jarrutusmatka on verrannollinen nopeuden
LisätiedotRATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu.
RATKAISUT 198 197 198. Olkoon suorakulmion erisuuntaisten sivujen pituudet a ja b sekä neliön sivun pituus c. Tehtävä on mielekäs vain, jos suorakulmio ei ole neliö, joten oletetaan, että a b. Suorakulmion
Lisätiedot2 Raja-arvo ja jatkuvuus
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.6 Raja-arvo ja jatkuvuus. a) Kun suorakulmion kärki on kohdassa =, on suorakulmion kannan pituus. Suorakulmion korkeus on käyrän y-koordinaatti
LisätiedotDiplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2018 Insinöörivalinnan matematiikan koe, , Ratkaisut (Sarja A)
Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2018 Insinöörivalinnan matematiikan koe, 2952018, Ratkaisut (Sarja A) 1 Anna kaikissa kohdissa vastaukset tarkkoina arvoina Kohdassa d), anna kulmat
LisätiedotFunktion suurin ja pienin arvo DERIVAATTA,
Funktion suurin ja pienin arvo DERIVAATTA, MAA6 1. Suurin ja pienin arvo suljetulla välillä Lause, jatkuvan funktion ääriarvolause: Suljetulla välillä a, b jatkuva funktio f saa aina pienimmän ja suurimman
Lisätiedotd Todista: dx xn = nx n 1 kaikilla x R, n N Derivaatta Derivaatta ja differentiaali
6. Derivaatta 6.. Derivaatta ja differentiaali 72. Olkoon f () = 4. Etsi derivaatan määritelmän avulla f ( 3). f ( 3) = 08. 73. Muodosta funktion f () = derivaatta suoraan määritelmän mukaan, so. tarkastelemalla
LisätiedotMatematiikkaa kauppatieteilijöille
Matematiikkaa kauppatieteilijöille Harjoitus 7, syksy 2016 1. Funktio f(x) = x 2x 2 + 4 on jatkuva ja derivoituva kaikilla x R. Nyt funktio f(x) on aidosti alaspäin kupera kun f (x) > 0 ja aidosti ylöspäin
LisätiedotJohdatus reaalifunktioihin P, 5op
Johdatus reaalifunktioihin 802161P, 5op Osa 2 Pekka Salmi 1. lokakuuta 2015 Pekka Salmi FUNK 1. lokakuuta 2015 1 / 55 Jatkuvuus ja raja-arvo Tavoitteet: ymmärtää raja-arvon ja jatkuvuuden määritelmät intuitiivisesti
LisätiedotMikäli funktio on koko ajan kasvava/vähenevä jollain välillä, on se tällä välillä monotoninen.
4.1 Polynomifunktion kulun tutkiminen s. 100 digijohdanto Funktio f on kasvava jollain välillä, jos ehdosta a < b seuraa ehto f(a) < f(b). Funktio f on vähenevä jollain välillä, jos ehdosta a < b seuraa
Lisätiedotx = 6 x = : x = KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 229.a) Funktio f ( x) = 2x+ Nollakohta f x b) Funktio gx ( ) = x
KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 9.a) Funktio f ( ) = + 6 Nollakohta f bg= + 6= = 6 :( ) = 6 = y 5 6 y = + 6 b) Funktio g ( ) = 5 Nollakohta g bg= = 5 = : 5 5 5 5 = : = = = 5 5 5 9 9
LisätiedotDifferentiaalilaskenta 1.
Differentiaalilaskenta. a) Mikä on tangentti? Mikä on sekantti? b) Määrittele funktion monotonisuuteen liittyvät käsitteet: kasvava, aidosti kasvava, vähenevä ja aidosti vähenevä. Anna esimerkit. c) Selitä,
LisätiedotMatematiikan peruskurssi 2
Matematiikan peruskurssi Demonstraatiot III, 4.5..06. Mikä on funktion f suurin mahdollinen määrittelyjoukko, kun f(x) x? Mikä on silloin f:n arvojoukko? Etsi f:n käänteisfunktio f ja tarkista, että löytämäsi
Lisätiedotx + 1 πx + 2y = 6 2y = 6 x 1 2 πx y = x 1 4 πx Ikkunan pinta-ala on suorakulmion ja puoliympyrän pinta-alojen summa, eli
BM0A5810 - Differentiaalilaskenta ja sovellukset Harjoitus, Syksy 015 1. a) Funktio f ) = 1) vaihtaa merkkinsä pisteissä = 1, = 0 ja = 1. Lisäksi se on pariton funktio joten voimme laskea vain pinta-alan
Lisätiedota(t) = v (t) = 3 2 t a(t) = 3 2 t < t 1 2 < 69 t 1 2 < 46 t < 46 2 = 2116 a(t) = v (t) = 50
BM0A5810 - Differentiaalilaskenta ja sovellukset Harjoitus 1, Syksy 015 1. (a) Kiihtyvyys on nopeuden derivaatta, eli a(t) v (t) 3 t 1 + 1 Nyt on siis selvitettävä, milloin kiihtyvyys kasvaa itseisarvoltaan
LisätiedotPreliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4
Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa A
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ Merkitään f(x) =x 3 x. Laske a) f( 2), b) f (3) ja c) YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA
1 YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 26.3.2018 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ A-osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät 1 4. Tehtävät arvostellaan pistein 0 6. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 26..208 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa
Lisätiedot= 9 = 3 2 = 2( ) = = 2
Ratkaisut 1.1. (a) + 5 +5 5 4 5 15 15 (b) 5 5 5 5 15 16 15 (c) 100 99 5 100 99 5 4 5 5 4 (d) 100 99 5 100 ( ) 5 1 99 100 4 99 5 1.. (a) ( 100 99 5 ) ( ( 4 ( ) ) 4 1 ( ) ) 4 9 4 16 (b) 100 99 ( 5 ) 1 100
Lisätiedotn. asteen polynomilla on enintään n nollakohtaa ja enintään n - 1 ääriarvokohtaa.
MAA 12 kertaus Funktion kuvaaja n. asteen polynomilla on enintään n nollakohtaa ja enintään n - 1 ääriarvokohtaa. Funktion nollakohta on piste, jossa f () = 0, eli kuvaaja leikkaa -akselin. Kuvaajan avulla
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 21.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo
LisätiedotB-OSA. 1. Valitse oikea vaihtoehto. Vaihtoehdoista vain yksi on oikea.
B-OSA 1. Valitse oikea vaihtoehto. Vaihtoehdoista vain yksi on oikea. 1.1 Mitä voidaan sanoa funktion f raja-arvosta, kun x a? I Raja-arvo on f(a), jos f on määritelty kohdassa a. II Raja-arvo on f(a),
LisätiedotHelsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe klo 10-13
Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe.6. klo -. Ratkaise seuraavat epäyhtälöt ja yhtälö: a) x +9, b) log (x) 7, c) x + x 4 =.. Määrää kaikki ne
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Funktion monotonisuus Derivoituva funktio f on aidosti kasvava, jos sen derivaatta on positiivinen eli jos f (x) > 0. Funktio on aidosti vähenevä jos sen derivaatta
LisätiedotHelsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet
Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe.6. klo - Ratkaisut ja pisteytysohjeet. Ratkaise seuraavat epäyhtälöt ja yhtälö: a) x+ x +9, b) log (x) 7,
Lisätiedot11 MATEMAATTINEN ANALYYSI
Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 0.7.08 MATEMAATTINEN ANALYYSI ALOITA PERUSTEISTA 444A. a) Funktion arvot ovat positiivisia silloin, kun kuvaaja on x-akselin yläpuolella.
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 6.3.09 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa
LisätiedotMAA7 7.1 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin!
MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni 9.1.01 1. Laske raja-arvot: a) 5 lim 5 10 b) lim 9 71. a) Määritä erotusosamäärän avulla funktion f (). f ( ) derivaatta 1 b) Millä välillä funktio f ( ) 9 on kasvava? Perustele
Lisätiedotx = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi
Mallivastaukset - Harjoituskoe F F1 a) (a + b) 2 (a b) 2 a 2 + 2ab + b 2 (a 2 2ab + b 2 ) a 2 + 2ab + b 2 a 2 + 2ab b 2 4ab b) tan x 3 x π 3 + nπ, n Z c) f(x) x2 x + 1 f (x) 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 2x2
LisätiedotMAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti!
A-osio: ilman laskinta. MAOLia saa käyttää. Laske kaikki tehtävistä 1-. 1. a) Derivoi funktio f(x) = x (4x x) b) Osoita välivaiheiden avulla, että seuraava raja-arvo -lauseke on tosi tai epätosi: x lim
Lisätiedot2 Pistejoukko koordinaatistossa
Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ (1 piste/kohta)
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 3.3.06. ( piste/kohta) Sivu / 8 Kohta Vaihtoehdon numero A B C D E F 3. a) Ainakin yhdet sulut kerrottu oikein auki 6x 4x x( 3x) Ratkaistu nollakohdat sieventämisen lisäksi
LisätiedotJuuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 14..016 Kertaus K1. a) b) x 18 ( x 9) ( x ) ( x+ ) lim = lim = lim x+ x+ ( x + ) x x x = lim (x 6) = ( ) 6 = 1 x x + 6 ( ) + 6 0 lim = =
LisätiedotRatkaisut vuosien tehtäviin
Ratkaisut vuosien 1978 1987 tehtäviin Kaikki tehtävät ovat pitkän matematiikan kokeista. Eräissä tehtävissä on kaksi alakohtaa; ne olivat kokelaalle vaihtoehtoisia. 1978 Osoita, ettei mikään käyrän y 2
LisätiedotAnna jokaisen kohdan vastaus kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella muodossa
Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä
Lisätiedotsin x cos x cos x = sin x arvoilla x ] π
Matematiikan johdantokurssi, syksy 08 Harjoitus 0, ratkaisuista. Todenna, että = + tan x. Mutta selvitäppä millä reaaliarvoilla se oikeasti pitää paikkansa! Ratkaisu. Yhtälön molemmat puolet ovat määriteltyjä
LisätiedotTekijä MAA2 Polynomifunktiot ja -yhtälöt = Vastaus a)
K1 a) Tekijä MAA Polynomifunktiot ja -yhtälöt 6.8.016 ( + + ) + ( ) = + + + = + + + = + 4 b) 4 4 ( 5 + ) ( 5 + 1) = 5 + + 5 + 1 4 = + + + 4 = + 5 5 1 1 Vastaus a) 4 + b) 4 + 1 K a) f ( ) = + 1 f () = +
LisätiedotKertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a)
Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6 Kertaus Integraalifunktio ja integrointi KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) ( )d C C b) c) d e e C cosd cosd sin C K. Funktiot F ja F ovat saman
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 2. viikolle /
MS-A008 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/207 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 2. viikolle / 8. 2.4. Jatkuvuus ja raja-arvo Tehtävä : Määritä raja-arvot a) 3 + x, x Vihje: c)-kohdassa
LisätiedotPRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015
PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä merkittyjen (*) tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. a) Ratkaise epäyhtälö >.
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 4.9.09 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alustavat hyvän vastauksen piirteet on suuntaa-antava kuvaus kokeen tehtäviin odotetuista vastauksista ja tarkoitettu ensisijaisesti
LisätiedotKertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0,
Kertausosa. a),6 60 576 Peruuttaessa pyörähdyssuunta on vastapäivään. Kulma on siis,4 60 864 a) 576 864 0,88m. a) α b 0,6769... 0,68 (rad) r,m 8cm β,90...,9 (rad) 4cm a) α 0,68 (rad) β,9 (rad). a) 5,0
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Funktion kuperuussuunnat Derivoituva funktio f (x) on pisteessä x aidosti konveksi, jos sen toinen derivaatta on positiivinen f (x) > 0. Vastaavasti f (x) on aidosti
Lisätiedot7 Differentiaalilaskenta
7 Differentiaalilaskenta 7. Raja-arvo ja jatkuvuus LUVUN 7. YDINTEHTÄVÄT 70. a) lim f( ), lim f ( ) ja f(). b) lim f ( ), lim f ( ),5 ja lim f ( ) 5 Raja-arvoa kohdassa ei ole olemassa. c) Funktio on jatkuva
LisätiedotIntegrointi ja sovellukset
Integrointi ja sovellukset Tehtävät:. Muodosta ja laske yläsumma funktiolle fx) x 5 välillä [, 4], kun väli on jaettu neljään yhtä suureen osaan.. Määritä integraalin x + ) dx likiarvo laskemalla alasumma,
Lisätiedot3.1 Väliarvolause. Funktion kasvaminen ja väheneminen
Väliarvolause Funktion kasvaminen ja väheneminen LAUSE VÄLIARVOLAUSE Oletus: Funktio f on jatkuva suljetulla välillä I: a < x < b f on derivoituva välillä a < x < b Väite: On olemassa ainakin yksi välille
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ
1 YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 25.9.2017 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ A-osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät 1 4. Tehtävät arvostellaan pistein 0 6. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän
LisätiedotMAA7 7.2 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! lim.
MAA7 7. Koe Jussi Tyni 8.1.01 1. Laske raja-arvot: a) 9 lim 6 lim 1. a) Määritä erotusosamäärän avulla funktion f (). 1 f ( ) derivaatta 1 Onko funktio f ( ) 9 kaikkialla vähenevä? Perustele vastauksesi
LisätiedotLASKIN ON SALLITTU ELLEI TOISIN MAINITTU! TARKISTA TEHTÄVÄT KOKEEN JÄLKEEN JA ANNA PISTEESI RUUTUUN!
Matematiikan TESTI 4, Maa7 Trigonometriset funktiot ATKAISUT Sievin lukio II jakso/017 VASTAA JOKAISEEN TEHTÄVÄÄN! MAOL/LIITE/taulukot.com JA LASKIN ON SALLITTU ELLEI TOISIN MAINITTU! TAKISTA TEHTÄVÄT
LisätiedotMATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2,
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 6. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + + + 4, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + +
LisätiedotÄänekosken lukio Mab4 Matemaattinen analyysi S2016
Äänekosken lukio Mab4 Matemaattinen analyysi S016 A-osa Vastaa kaikkiin A-osan tehtäviin. Vastaukset kirjoitetaan kysymyspaperiin! Taulukkokirjaa saa käyttää. Laskinta ei saa käyttää! A-osan ratkaisut
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ.0.08 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa
LisätiedotNäihin harjoitustehtäviin liittyvä teoria löytyy Adamsista: Ad6, Ad5, 4: 12.8, ; Ad3: 13.8,
TKK, Matematiikan laitos Gripenberg/Harhanen Mat-1.432 Matematiikan peruskurssi K2 Harjoitus 4, (A=alku-, L=loppuviikko, T= taulutehtävä, P= palautettava tehtävä, W= verkkotehtävä ) 12 16.2.2007, viikko
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kertausluento 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat:. Potenssisarjojen suppenemissäde, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan
LisätiedotRatkaisuehdotus 2. kurssikokeeseen
Ratkaisuehdotus 2. kurssikokeeseen 4.2.202 (ratkaisuehdotus päivitetty 23.0.207) Huomioitavaa: - Tässä ratkaisuehdotuksessa olen pyrkinyt mainitsemaan lauseen, johon kulloinenkin päätelmä vetoaa. Näin
LisätiedotRatkaisuehdotus 2. kurssikoe
Ratkaisuehdotus 2. kurssikoe 4.2.202 Huomioitavaa: - Tässä ratkaisuehdotuksessa olen pyrkinyt mainitsemaan lauseen, johon kulloinenkin päätelmä vetoaa. Näin opiskelijan on helpompi jäljittää teoreettinen
LisätiedotPyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin
Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin
LisätiedotOletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on
Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: geometrinen (käyrän tangentti sekanttien raja-asentona) fysikaalinen (ajasta riippuvan funktion hetkellinen muutosnopeus) 1 / 19 Derivaatan määritelmä Määritelmä
Lisätiedot3 Määrätty integraali
Määrätty integraali. a) Muodostuva alue on kolmio, jonka kanta on. Kolmion korkeus on funktion arvo kohdassa, eli f() = = 6. Lasketaan A() kolmion pintaalana. 6 A() 6 Vastaus: A() = 6 b) Muodostuva alue
Lisätiedotläheisyydessä. Piirrä funktio f ja nämä approksimaatiot samaan kuvaan. Näyttääkö järkeenkäyvältä?
BM20A5840 - Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 1, Kevät 2017 1. Tunnemme vektorit a = [ 1 2 3 ] ja b = [ 2 1 2 ]. Laske (i) kummankin vektorin pituus (eli itseisarvo, eli normi); (ii) vektorien
Lisätiedotmäärittelyjoukko. log x piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä millä korkeudella tangentti leikkaa y-akselin.
MAA8 Juuri- ja logaritmifunktiot 70 Jussi Tyni 5 a) Derivoi f ( ) e b) Mikä on funktion f () = ln(5 ) 00 c) Ratkaise yhtälö määrittelyjoukko log Käyrälle g( ) e 8 piirretään tangeti pisteeseen, jossa käyrä
LisätiedotKevään 2011 pitkän matematiikan ylioppilastehtävien ratkaisut Mathematicalla Simo K. Kivelä /
Kevään 0 pitkän matematiikan ylioppilastehtävien ratkaisut Mathematicalla Simo K. Kivelä / 8.7.0 a) b) c) a) Tehtävä Yhtälö ratkaistaan yleensä Solve-funktiolla: Solve x 3 x, x x 4 Joissakin tapauksissa
Lisätiedotmäärittelyjoukko. 8 piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä tangentin yhtälö.
MAA8 Juuri- ja logaritmifunktiot 5.4.0 Jussi Tyni. a) Derivoi f ( ) 3e 5 Mikä on funktion f () = ln(5 ) 00 määrittelyjoukko. c) Derivoi g( t) 4ln( t t ). Käyrälle g( ) e 8 piirretään tangentti pisteeseen,
LisätiedotTehtävien ratkaisut
Tehtävien 1948 1957 ratkaisut 1948 Kun juna matkaa AB kulkiessaan pysähtyy väliasemilla, kuluu matkaan 10 % enemmän aikaa kuin jos se kulkisi pysähtymättä. Kuinka monta % olisi nopeutta lisättävä, jotta
LisätiedotPreliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3
Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä
Lisätiedot