Juuri 2 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
|
|
|
- Tero Alanen
- 5 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Kertaus K. a) E Nouseva suora. b) A 5. asteen polynomifunktio, pariton funktio Laskettu piste f() = 5 =, joten piste (, ) on kuvaajalla. c) D Paraabelin mallinen, alaspäin aukeava. Laskettu piste f() = 4 + = 0, joten piste (, 0) on kuvaajalla. d) B 3. asteen polynomifunktio, pariton funktio Laskettu piste f() = 3 =, joten piste (, ) on kuvaajalla. e) F Toisen asteen polynomifunktio, ylöspäin aukeava paraabeli. f) C Toisen asteen polynomifunktio, alaspäin aukeava paraabeli.
2 K. a) (x + 3) + 3x = (x) x = 4x + x x = 7x + x + 9 b) (3 x)(3 + x) x = (3 x ) x = 9 x x = x + 9 c) (x 3 + )(x 3 ) = (x 3 ) = x 6 d) (x + )(x )(x + ) = (x )(x + ) = (x ) = x 4 K3. a) x(3x + 4) + = 6x + 8x + b) 3(x ) + x( 4x + 5) = 6x 3 4x + 5x = 4x + x 3 c) (x )(x + 3) = (x + 6x x 3) = (x + 5x 3) = x 5x + 3 d) (3x 4 + ) = (9x 8 + 6x 4 + ) = 9x 8 6x 4 = 9x 8 6x 4
3 K4. a) Sijoitetaan funktion f(x) = x x 3 lausekkeeseen x = ja x = 3. f( ) = ( ) ( ) 3 = + 3 = 0 f(3) = = = 0 Tosi, sillä molemmat ovat tämän funktion nollakohtia, eikä toisen asteen polynomifunktiolla voi olla muita nollakohtia. b) Sijoitetaan funktion f(x) = x x lausekkeeseen x =. f( ) = ( ) ( ) = 8 + = 0 Epätosi, sillä 0 0. c) Sijoitetaan funktion f(x) = 7x x 3 lausekkeeseen x =. f( ) = 7 ( ) ( ) 3 = 7 + = 6 Epätosi, sillä 6 8. d) Ratkaistaan funktion f(x) = x 4 + nollakohdat yhtälöstä x 4 + = 0. x 4 + = 0 x 4 = Parillinen potenssi ei voi olla negatiivinen. Yhtälöllä ei ole ratkaisua. Tosi, sillä tällä funktiolla ei ole nollakohtia.
4 K5. a) Nollakohtia on korkeintaan asteluvun verran. Parittomilla asteluvuilla nollakohtia on vähintään yksi. b) Ensimmäisen asteen polynomilausekkeen kerroin a kertoo suoran jyrkkyyden ja kulkusuunnan. Suora on nouseva, kun a > 0 ja suora on laskeva, kun a < 0. c) Toisen asteen polynomilausekkeen kerroin a kertoo paraabelin aukeamissuunnan ja paraabelin leveyden. Kun a > 0, niin paraabeli on ylöspäin aukeava. Kun a < 0, niin paraabeli on alaspäin aukeava. d) Vakio c kertoo kuvaajan ja y-akselin leikkauskohdan. K6. a) x + 6x = x(x + 3) (yhteinen tekijä x) b) x 4 = (x + )(x ) (muistikaava) c) x x + = (x ) (muistikaava) d) 9x 5 = (3x) 5 = (3x + 5)(3x 5) (muistikaava)
5 K7. a) 3x + 3x 8 = 3(x + x 6) Jaetaan polynomi x + x 6 tekijöihin nollakohtien avulla. x + x 6 = 0 4 ( 6) 5 x 4 tai x 6 3 3(x + x 6) = 3(x )(x + 3) b) x 7x + 6 Jaetaan polynomi x 7x + 6 tekijöihin nollakohtien avulla. x 7x + 6 = x tai x ( 7) ( 7) 4 6 x 7x + 6 = (x )(x 3 ) = (x ) (x 3 ) = (x )(x 3)
6 c) 0x 3x Jaetaan polynomi 0x 3x tekijöihin nollakohtien avulla. 0x 3x = 0 3 ( 3) 40 ( ) = tai (x 3x ) = 0(x )(x + 5 ) = (x ) 5(x + 5 ) = (x )(5x + ) K8. a) Nollakohdista saadaan selville tekijät. Nollakohtaa x = vastaa tekijä x ja nollakohtaa x = vastaa tekijä x ( ) = x +. Eräs mahdollinen toisen asteen polynomi on (x )(x + ) = x + x x = x x. b) Polynomilla vain yksi nollakohta x = 3, joten sillä on tekijä x 3. Kyseessä on toisen asteen polynomi, joten tekijä on kaksinkertainen. Eräs mahdollinen toisen asteen polynomi on (x 3)(x 3) = (x 3) = x 6x + 9. c) Eräs mahdollinen toisen asteen polynomi on x +. Tällä polynomilla ei ole nollakohtia, koska yhtälöllä x + = 0 x = ei ole ratkaisuja. d) Nollakohtia x = 4 ja x = 0 vastaavat tekijät ovat x 4 ja x. Eräs mahdollinen toisen asteen polynomi on x(x 4) = x 4x.
7 K9. a) 3x 5 + x 3 = 3x 3 (x + 4) b) 3x 5 x 3 = 3x 3 (x 4) = 3x 3 (x + )(x ) c) x 3 x + 3x 6 = x (x ) + 3(x ) (ryhmittely) = (x )(x + 3) d) x 4 = (x + )(x ) = (x + )(x )(x + ) K0. Jos polynomilla on nollakohta, sillä on myös tekijä. Tutkitaan diskriminantin avulla, onko polynomilla x + x + 4 nollakohtia. D = 4 4 = 5 < 0 Koska diskriminantti on negatiivinen, polynomilla ei ole nollakohtia eikä sitä voida jakaa ensimmäisen asteen tekijöihin. Tutkitaan diskriminantin avulla, onko polynomilla x + 4x + nollakohtia. D = 6 4 = > 0 Koska diskriminantti on positiivinen, polynomilla on kaksi nollakohtaa, joten se voidaan jakaa ensimmäisen asteen tekijöihin.
8 K. a) 3x + 6 = 0 3x = 6 : 3 x = b) 4x 5 = x + 6 4x x = x = : 5 c) (3 )( ) = 0 3 = 0 tai = 0 3x :3 x : x x 3 d) (3 )( ) = (3 )( ) = 0 6x 3 4x + = 0 6x 7x = 0 x(6 7) = 0 x = 0 tai 6 7 = 0 : 6 x =
9 K. a) x 80 = 0 x = 80 : x = 40 x 40 tai x 40 x 0 x 0 b) 0x = 00 0x 3 = x 3 = 80 : 0 x 3 = c) 3x = 0 3x 6 = 50 : 3 x 6 = x 50 tai x 50
10 K3. a) x x x x3( x) x3 4x3x3x Yhtälö on tosi, joten x. b) (x + ) = (x + )(x ) x + 4x + 4 = x 4 x + 4x + 4 x + 4 = 0 4x = 8 : 4 x = c) x x = 0 4 ( ) 8 x =+ tai x
11 K4. a) x x x00 ( ) ( ) 4 ( 0) tai 4 4 Nollakohdat ovat x = ja x =. Kuvaajasta luettuna toisen asteen polynomifunktion, jonka kuvaaja on paraabeli (punainen), nollakohdat ovat samat kuin lasketut nollakohdat. b) 3 x x0 xx ( x3) 0 x x 0 tai 3 0 x0 x x0 x 6 x0 x 4 x0 x3 tai x ( ) 4 ( 3) Nollakohdat ovat x =, x = 0 ja x = 3. Kuvaajasta (sininen) luettuna nollakohdat ovat samat kuin lasketut nollakohdat.
12 K5. a) f(x) = x + x 3 f(0) = = 3 b) f(x) = 3 x + x 3 = 3 x + x = 0 x(x + ) = 0 x = 0 tai x + = 0 x = 0 x = c) f(x) = x + x 3 = x + x 5 = 0 4 ( 5) 4 6 x 6 tai x 6 K6. a) 9x 6x + = 0 6 ( 6) Kuvaajasta luettuna nollakohta on sama kuin laskettu nollakohta eli. 3
13 b) x 4 + 4x 3 5x = 0 x (x 4x +5) = 0 x = 0 tai x 4x + 5 = 0 x = 0 x 4x + 5 = 0 4 ( 4) ei ratkaisua Kuvaajasta luettuna nollakohta on sama kuin laskettu nollakohta eli x = 0.
14 c) 3 4x0 3 8x0 xx ( x8) 0 x x 0 tai ( 8) 36 6 x 6 4 tai x Kuvaajasta luettuna nollakohdat ovat samat kuin lasketut nollakohdat eli x = 4, x = 0 ja x =.
15 K7. a) x 5 3x 4 x + 3 = 0 x 4 (x 3) (x 3) = 0 (x 3)(x 4 ) = 0 x 3 = 0 tai x 4 = 0 x = 3 : x 4 = x = 3 x = tai x = b) x 3 + 3x = 3x + 9 x 3 + 3x 3x 9 = 0 x (x + 3) 3(x + 3) = 0 (x + 3)(x 3) = 0 x + 3 = 0 tai x 3 = 0 x + 3 = 0 x = 3 x = 3 x = 3 tai x = 3 K8. a) f(x) = qx 3x + Funktiolla f voi olla kaksi nollakohtaa, kun se on toisen asteen polynomifuntio, eli q 0. Tutkitaan yhtälön qx 3x + = 0 diskriminanttia. Jos diskriminantti on positiivinen, yhtälöllä on kaksi ratkaisua. ( 3) 4 0 D q 98q 0 8q 9 :( 8) q 9 8 Funktiolla f on kaksi nollakohtaa, kun q < 9 ja q 0.
16 b) f(x) = 3x + qx +. Tutkitaan yhtälön 3x + qx + = 0 diskriminanttia. Jos diskriminantti on positiivinen, yhtälöllä on kaksi ratkaisua ja funktiolla kaksi nollakohtaa. D q 43 0 q 0 Lasketaan lausekkeen q nollakohdat. q 0 q q tai q q 3 tai q 3 Diskriminantti on positiivinen, kun q 3 tai q 3. Funktiolla f on kaksi nollakohtaa, kun q 3 tai q 3. K9. Funktion arvo on positiivinen, kun kuvaaja on x-akselin yläpuolella. a) x < b) x < tai x >
17 K0. Funktion arvo on positiivinen, kun epäyhtälö f(x) > 0 toteutuu. a) 0 ( ) 4 Funktion arvo on positiivinen, kun x < 4. b) x 8 > 0 Ratkaistaan nollakohdat. x 8 = 0 x = 8 : x = 4 x = tai x = Funktion arvo on positiivinen, kun x < tai x >. c) 3x x + > 0 Ratkaistaan nollakohdat. 3x x + = 0 ( ) ( ) 4 ( 3) ( 3) x 4 6 tai x Funktion arvo on positiivinen, kun, kun. 3 d) x > 0 x 3 > 6 : ( ) x 3 < 6 x < 3 6 x < 6
18 K. a) 3 x (6x3) 3 3x4x 3x4x x 4 :( ) 4 b) (x + )(x + ) > x + 5 x + x + x + x 5 > 0 x + x 3 > 0 Nollakohdat: x + x 3 = 0 4 ( 3) 6 4 x 4 tai x (x + )(x + ) > x + 5, kun x < 3 tai x >.
19 c) x < 5(x 5) x < 5x 5 x 5x + 5 < 0 Nollakohdat: x 5x + 5 = 0 5 ( 5) 4 ( ) 5 ( ) x tai x x < 5(x 5), kun x < 5 tai x > 5. d) x 3 + x x x 3 + x 0 x(x + x ) 0 Lausekkeen merkkiin vaikuttaa molempien tekijöiden merkit. Ratkaistaan nollakohdat ja laaditaan merkkikaavio. Nollakohdat: x 3 + x x = 0 x(x + x ) = 0 x = 0 tai x + x = 0 x = 4 tai x = 0 tai x = 3 4 ( ) 49 7 x 6 3 tai x 8 4
20 4 0 3 x + + x + x + + x(x + x ) + + x 3 + x x, eli x 3 + x 0, kun x 4 tai 0 x 3.
21 K. a) Funktion arvo on positiivinen, kun epäyhtälö (x + ) 4 > 0 toteutuu. Nollakohdat: (x + ) 4 = 0 (x + ) = 4 x + = tai x + = x = tai x = 3 Positiivinen, kun x < 3 tai x >. Negatiivinen, kun 3 < x <. b) Funktion arvo on positiivinen, kun epäyhtälö x x + > 0 toteutuu. Nollakohdat: x x + = 0 ( ) ( ) 4 ( ) ( ) 3 3 = 3 tai 3 = 3 Positiivinen, kun 3 < x < + 3. Negatiivinen, kun x < 3 tai x > + 3.
22 K3. a) x 3 + x 8x + 8 x 3 + x 8x 8 0 x (x + ) 8(x + ) 0 (x + )(x 8) 0 Ratkaistaan nollakohdat ja laaditaan merkkikaavio. Nollakohdat: x (x + ) 8(x + ) = 0 (x + )(x 8) = 0 (x + )(x 8) = 0 x + = 0 tai x 8 = 0 x = x = 8 x = 9 tai x = x x (x 8)(x + ) + + x 3 + x 8x + 8, eli x 3 + x 8x 8 0, kun 9 x tai x 9.
23 b) x 6 + x 5 3x 64 < 0 Ratkaistaan nollakohdat ja laaditaan merkkikaavio. Nollakohdat: x 6 + x 5 3x 64 = 0 x 5 (x + ) 3 (x + ) = 0 (x + )(x 5 3) = 0 x + = 0 tai x 5 3 = 0 x = x = 5 3 = Lasketaan lausekkeen x 6 + x 5 3x 64 arvo ja päätellään merkki nollakohtien välissä olevissa testikohdissa. x = 3: ( 3) 6 + ( 3) 5 3 ( 3) 64 = 75 > 0 x = 0: = 64 < 0 x = 3: = 055 > 0 x 6 + x 5 3x x 6 + x 5 3x 64 < 0, kun < x <. K4. a) Funktion f(x) = x + 4x 5 kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli. Funktio saa vain negatiivisia arvoja, jos sen kuvaaja on kaikilla x:n arvoilla x-akselin alapuolella eli sillä ei ole nollakohtia. Toisen asteen polynomifunktiolla ei ole nollakohtia, kun vastaavan yhtälön diskriminantti on negatiivinen. Diskriminantti D = 4 4 ( ) ( 5) = 6 0 = 4 < 0. Funktio saa vain negatiivisia arvoja. b) Molemmat tulon (x + )(x 4 + ) tekijät ovat positiivisia, koska parilliset potenssit x ja x 4 ovat aina ei-negatiivisia, joten x + > 0 ja x 4 + > 0. Näin ollen myös niiden tulo on positiivinen. Lauseke ei voi saada negatiivista arvoa, joten epäyhtälö on epätosi.
24 K5. a) x + px + 3 > 0 Tutkitaan funktiota f(x) = x + px + 3. Kyseessä on toisen asteen polynomifunktio, jonka kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli. Jos diskriminantti on negatiivinen, niin silloin funktiolla ei ole yhtään nollakohtaa, ja funktio saa vain positiivisia arvoja. D = p 4 3 = p < 0 Nollakohdat: p = 0 p = p 3 tai p 3 Diskriminantti on negatiivinen, kun 3 p 3. Epäyhtälö x + px + 3 > 0 on aina tosi, kun 3 p 3. b) x + x + p 0 Tutkitaan funktiota f(x) = x + x + p. Kyseessä on toisen asteen polynomifunktio, jonka kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli. Epäyhtälö toteutuu vain yhdellä muuttujan x arvolla, kun vain epäyhtälön yhtäsuuruus toteutuu. Kun diskriminantti on nolla, funktiolla on yksi nollakohta ja funktio saa vain negatiivisia arvoja tai arvon nolla. D = 4 ( ) p = 4 + 4p 4 + 4p = 0 4p = 4 : 4 p = Epäyhtälö x + x + p 0 toteutuu vain yhdellä muuttujan arvolla, kun p =.
4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio
4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Tutkitaan yhtälöiden ratkaisuja piirtämällä funktioiden f(x) = x, f(x) = x 3, f(x) = x 4 ja f(x) = x 5 kuvaajat. Näin nähdään, monessako
MAA02. A-osa. 1. Ratkaise. a) x 2 + 6x = 0 b) (x + 4)(x 4) = 9 a) 3x 6x
MAA0 A-osa. Ratkaise. a) x + 6x = 0 b) (x + 4)(x 4) = 9 a) 3x 6x a) Kirjoitetaan summa x + 6x yhteisen tekijän avulla tulomuotoon ja ratkaistaan yhtälö tulon nollasäännön avulla. x + 6x = 0 x(x + 6) =
3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö
Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.8.016 3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) x + x + 1 = 4 (x + 1) = 4 Luvun x + 1 tulee olla tai, jotta sen
Tekijä MAA2 Polynomifunktiot ja -yhtälöt = Vastaus a)
K1 a) Tekijä MAA Polynomifunktiot ja -yhtälöt 6.8.016 ( + + ) + ( ) = + + + = + + + = + 4 b) 4 4 ( 5 + ) ( 5 + 1) = 5 + + 5 + 1 4 = + + + 4 = + 5 5 1 1 Vastaus a) 4 + b) 4 + 1 K a) f ( ) = + 1 f () = +
MAA2.3 Koontitehtävät 2/2, ratkaisut
MAA.3 Koontitehtävät /, ratkaisut. (a) 3x 5x 4 = 0 x = ( 5) ± ( 5) 4 3 ( 4) 6 (b) (x 4) = (x 4)(x + 4) (x 4)(x 4) = (x 4)(x + 4) x 8x + 6 = x 6 x 6 8x = 3 : 8 x = 4 = 5 ± 73 6 (c) 4 x + x + = 0 4 x + 4x
Matematiikan pohjatietokurssi
Matematiikan pohjatietokurssi Demonstraatio, 8.-9.9.015, ratkaisut 1. Jaa tekijöihin (joko muistikaavojen avulla tai ryhmittelemällä) (a) x +x+ = x + x + = (x+) x +x+ = (x +x+1) = (x+1) (c) x 9 = (x) 3
Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. ILMAN LASKINTA -OSIO! LASKE KAIKKI SEURAAVAT TEHTÄVÄT:
MAA Koe 8.1.014 Arto Hekkanen ja Jussi Tyni Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. ILMAN LASKINTA -OSIO! LASKE KAIKKI SEURAAVAT TEHTÄVÄT: 1. a) Laske polynomien x x
3. Laadi f unktioille f (x) = 2x + 6 ja g(x) = x 2 + 7x 10 merkkikaaviot. Millä muuttujan x arvolla f unktioiden arvot ovat positiivisia?
Kertaustesti Nimi:. Onko väite tosi (T) vai epätosi (E)? a) Polynomin 4 3 + + asteluku on. b) F unktio f () = 8 saa positiivisia arvoja, kun > 4. c) F unktion f () = 3 4 kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli.
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 14..016 Kertaus K1. a) b) x 18 ( x 9) ( x ) ( x+ ) lim = lim = lim x+ x+ ( x + ) x x x = lim (x 6) = ( ) 6 = 1 x x + 6 ( ) + 6 0 lim = =
1 Rationaalifunktio , a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen.
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 Rationaalifunktio. a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen. f (50) 50 8 50 4 8 50 500 400 4 400
2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä
2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2.1 Ensimmäisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Muuttujan x ensimmäisen asteen yhtälöksi sanotaan yhtälöä, joka voidaan kirjoittaa muotoon ax + b = 0, missä vakiot a ja b ovat reaalilukuja
Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0
Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 K. a) b) c) d) 6 6 a a a, a > 0 6 6 a a a a, a > 0 5 5 55 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 a a a a a ( a ) a a a, a > 0 K.
A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:
MAB4 Koe Jussi Tyni 1..015 A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: 1. a. Piirrä seuraava suora mahdollisimman tarkasti ruutupaperille:
3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO
3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO POHDITTAVAA 1. Kuvasta voidaan arvioida, että frisbeegolfkiekko käy noin 9 metrin korkeudella ja se lentää noin 40 metrin päähän. Vastaus: Frisbeegolfkiekko käy n. 9 m:n
Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0
Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8.9.07 Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) K. a) b) c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 6 6 a a a, a > 0 6 6 a
Sähköinen koe (esikatselu) MAA A-osio
MAA2 2018 A-osio Laske molemmat tehtävät! Tee tehtävät huolellisesti. Muodosta vastaukset abitin kaavaeditoriin. Kysy opettajalta tarvittaessa neuvoa teknisissä ja ohjelmien käyttöön liittyvissä ongelmissa.
MAA2 POLYNOMIFUNKTIOT JA -YHTÄLÖT
MAA POLYNOMIFUNKTIOT JA YHTÄLÖT 17.11.017 Nimi: 1 3 Yhteensä Kokeessa on kolme osaa: A, B1 ja B. Aosa: Tehtävät tehdään ilman laskinta Tee kaikki neljä () tehtävää (jokainen max 6p) Kun palautat tämän
1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio
Ensimmäisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT. a) f(x) = x 4 b) Nollakohdassa funktio f saa arvon nolla eli kuvaaja kohtaa x-akselin. Kuvaajan perusteella funktion nollakohta on x,. c) Funktion f
KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4
KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + ( 1) + 3 ( 1) 3 = 3 + 3 = 4 K. a) x 3x + 7x 5x = 4x + 4x b) 5x 3 (1 x ) = 5x 3 1 + x = 6x 4 c) (x + 3)(x 4) = x 3 4x + 3x 1 = x 3 + 3x 4x 1 Vastaus: a) 4x +
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1.
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4..6 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. a) Funktion f( ) = määrittelyehto on +, eli. + Ratkaistaan funktion nollakohdat. f(
Tekijä Pitkä matematiikka a) Ratkaistaan nimittäjien nollakohdat. ja x = 0. x 1= Funktion f määrittelyehto on x 1 ja x 0.
Tekijä Pitkä matematiikka 6 9.5.017 K1 a) Ratkaistaan nimittäjien nollakohdat. x 1= 0 x = 1 ja x = 0 Funktion f määrittelyehto on x 1 ja x 0. Funktion f määrittelyjoukko on R \ {0, 1}. b) ( 1) ( 1) f (
MAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti!
A-osio: ilman laskinta. MAOLia saa käyttää. Laske kaikki tehtävistä 1-. 1. a) Derivoi funktio f(x) = x (4x x) b) Osoita välivaiheiden avulla, että seuraava raja-arvo -lauseke on tosi tai epätosi: x lim
4 Polynomifunktion kulku
4 Polynomifunktion kulku. a) Funktio on kasvava jollakin välillä, jos sen arvo kasvaa tällä välillä. Kuvaajan nousemisen ja laskemisen perusteella funktio on kasvava kohtien x,4 ja x 0, välissä. b) Funktion
3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö
3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö Yhtälön (tai funktion) y = a + b + c, missä a 0, kuvaaja ei ole suora, mutta ei ole yhtälökään ensimmäistä astetta. Funktioiden
2 Yhtälöitä ja funktioita
Yhtälöitä ja funktioita.1 Ensimmäisen asteen yhtälö 50. Sijoitetaan yhtälöön 7 ja tutkitaan, onko yhtälö tosi. a) x 18 3 x 7 7 18 3 7 14 18 3 7 4 4 Yhtälö on tosi, joten luku 7 on yhtälön ratkaisu. b)
B-OSA. 1. Valitse oikea vaihtoehto. Vaihtoehdoista vain yksi on oikea.
B-OSA 1. Valitse oikea vaihtoehto. Vaihtoehdoista vain yksi on oikea. 1.1 Mitä voidaan sanoa funktion f raja-arvosta, kun x a? I Raja-arvo on f(a), jos f on määritelty kohdassa a. II Raja-arvo on f(a),
MATP153 Approbatur 1B Ohjaus 2 Keskiviikko torstai
MATP15 Approbatur 1B Ohjaus Keskiviikko 4.11. torstai 5.11.015 1. (Opiskeluteht. 6 s. 0.) Määritä sellainen vakio a, että polynomilla x + (a 1)x 4x a on juurena luku x = 1. Mitkä ovat tällöin muut juuret?.
Epäyhtälöt 1/7 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt
Epäyhtälöt 1/7 Sisältö Epäyhtälö Epäyhtälöllä tarkoitetaan ehtoa, missä kahdesta lausekkeesta toinen on suurempi tai mahdollisesti yhtä suuri kuin toinen: f(x) < g(x), f(x) g(x).merkit voidaan luonnollisesti
3.4 Rationaalifunktion kulku ja asymptootit
.4 Rationaalifunktion kulku ja asymptootit Rationaali- eli murtofunktiolla tarkoitetaan funktiota R, jonka lauseke on kahden polynomin osamäärä: P() R(). Q() Ainakin nimittäjässä olevan polynomin asteluvun
11 MATEMAATTINEN ANALYYSI
Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 0.7.08 MATEMAATTINEN ANALYYSI ALOITA PERUSTEISTA 444A. a) Funktion arvot ovat positiivisia silloin, kun kuvaaja on x-akselin yläpuolella.
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 4.9.09 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alustavat hyvän vastauksen piirteet on suuntaa-antava kuvaus kokeen tehtäviin odotetuista vastauksista ja tarkoitettu ensisijaisesti
Integrointi ja sovellukset
Integrointi ja sovellukset Tehtävät:. Muodosta ja laske yläsumma funktiolle fx) x 5 välillä [, 4], kun väli on jaettu neljään yhtä suureen osaan.. Määritä integraalin x + ) dx likiarvo laskemalla alasumma,
x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua
Mallivastaukset - Harjoituskoe E E a) x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4,35 < 0 x 3 7 4 b) 0 / x + dx = 0 ln x + = ln + ln 0 + = ln 0 Vastaus: ln c) x 4 3x 4 = 0 Sijoitetaan x = u Tulon nollasääntö
Matematiikkaa kauppatieteilijöille
Matematiikkaa kauppatieteilijöille Harjoitus 7, syksy 2016 1. Funktio f(x) = x 2x 2 + 4 on jatkuva ja derivoituva kaikilla x R. Nyt funktio f(x) on aidosti alaspäin kupera kun f (x) > 0 ja aidosti ylöspäin
Äänekosken lukio Mab4 Matemaattinen analyysi S2016
Äänekosken lukio Mab4 Matemaattinen analyysi S016 A-osa Vastaa kaikkiin A-osan tehtäviin. Vastaukset kirjoitetaan kysymyspaperiin! Taulukkokirjaa saa käyttää. Laskinta ei saa käyttää! A-osan ratkaisut
Rationaalilauseke ja -funktio
4.8.07 Rationaalilauseke ja -funktio Määritelmä, rationaalilauseke ja funktio: Kahden polynomin ja osamäärä, 0 on rationaalilauseke, jonka osoittaja on ja nimittäjä. Huomaa, että pelkkä polynomi on myös
4. Kertausosa. 1. a) 12
. Kertausosa. a kun, : b kun, tai 8 . Paraabeli y a bc c aukeaa ylöspäin, jos a alaspäin, jos a a Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle a. Se aukeaa ylöspäin. b Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle
origo III neljännes D
Sijoita pisteet A(1,4) ja B(4,5;5) sekä C(-3,4) ja D(-4,--5) y II neljännes C A I neljännes B x origo III neljännes D IV neljännes KOTIT. Sijoita ja nimeä koordinaatistoon pisteitä niin, että pisteet yhdistettäessä
MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 6 Maanantai
. (Teht. s. 93.) Määrää raja-arvo MATP53 Approbatur B Harjoitus 6 Maanantai 7..5 cos x x. Ratkaisu. Suora sijoitus antaa epämääräisen muodon (ei auta). Laventamalla päädytään muotoon ja päästään käyttämään
KERTAUSHARJOITUKSIA. 1. Rationaalifunktio a) ( ) 2 ( ) Vastaus: a) = = 267. a) a b) a. Vastaus: a) a a a a 268.
KERTAUSHARJOITUKSIA. Rationaalifunktio 66. a) b) + + + = + + = 9 9 5) ( ) ( ) 9 5 9 5 9 5 5 9 5 = = ( ) = 6 + 9 5 6 5 5 Vastaus: a) 67. a) b) a a) a 9 b) a+ a a = = a + a + a a + a a + a a ( a ) + = a
Juuri 12 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Kertaus K. a) Polynomi P() = 3 + 8 on jaollinen polynomilla Q() = 3, jos = 3 on polynomin P nollakohta, eli P(3) = 0. P(3) = 3 3 3 + 8 3 = 54 08 + 54 = 0. Polynomi P on jaollinen polynomilla Q. b) Jaetaan
Matematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Funktion kuperuussuunnat Derivoituva funktio f (x) on pisteessä x aidosti konveksi, jos sen toinen derivaatta on positiivinen f (x) > 0. Vastaavasti f (x) on aidosti
y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6
MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+
= 9 = 3 2 = 2( ) = = 2
Ratkaisut 1.1. (a) + 5 +5 5 4 5 15 15 (b) 5 5 5 5 15 16 15 (c) 100 99 5 100 99 5 4 5 5 4 (d) 100 99 5 100 ( ) 5 1 99 100 4 99 5 1.. (a) ( 100 99 5 ) ( ( 4 ( ) ) 4 1 ( ) ) 4 9 4 16 (b) 100 99 ( 5 ) 1 100
Tekijä Pitkä matematiikka
K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π
MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin!
MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni 9.1.01 1. Laske raja-arvot: a) 5 lim 5 10 b) lim 9 71. a) Määritä erotusosamäärän avulla funktion f (). f ( ) derivaatta 1 b) Millä välillä funktio f ( ) 9 on kasvava? Perustele
Matematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Funktion monotonisuus Derivoituva funktio f on aidosti kasvava, jos sen derivaatta on positiivinen eli jos f (x) > 0. Funktio on aidosti vähenevä jos sen derivaatta
Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8..08 KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) Keskimääräinen muutosnopeus välillä [0, ] saadaan laskemalla kohtia x = 0 ja x = vastaavien kuvaajan
BM20A5840 Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 1, Kevät 2018
BM20A5840 Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 1, Kevät 2018 1. (a) Tunnemme vektorit a = [ 5 1 1 ] ja b = [ 2 0 1 ]. Laske (i) kummankin vektorin pituus (eli itseisarvo, eli normi); (ii) vektorien
Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus:
. Koska F( ) on jokin funktion f ( ) integraalifunktio, niin a+ a f() t dt F( a+ t) F( a) ( a+ ) b( a b) Vastaus: Kertausharjoituksia. Lukujonot 87. + n + lim lim n n n n Vastaus: suppenee raja-arvona
Algebra. 1. Ovatko alla olevat väittämät tosia? Perustele tai anna vastaesimerkki. 2. Laske. a) Luku 2 on luonnollinen luku.
Algebra 1. Ovatko alla olevat väittämät tosia? Perustele tai anna vastaesimerkki. a) Luku on luonnollinen luku. b) Z c) Luvut 5 6 ja 7 8 ovat rationaalilukuja, mutta luvut ja π eivät. d) sin(45 ) R e)
Funktio 1. a) Mikä on funktion f (x) = x lähtöjoukko eli määrittelyjoukko, kun 0 x 5?
Funktio. a) Mikä on funktion f (x) = x + lähtöjoukko eli määrittelyjoukko, kun 0 x 5? b) Mikä on funktion f (x) = x + maalijoukko eli arvojoukko? c) Selitä, mikä on funktion nollakohta. Anna esimerkki.
Insinöörimatematiikka A
Insinöörimatematiikka A Demonstraatio 3, 3.9.04 Tehtävissä 4 tulee käyttää Gentzenin järjestelmää kaavojen johtamiseen. Johda kaava φ (φ ) tyhjästä oletusjoukosta. ) φ ) φ φ 3) φ 4) φ (E ) (E ) (I, ) (I,
x = 6 x = : x = KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 229.a) Funktio f ( x) = 2x+ Nollakohta f x b) Funktio gx ( ) = x
KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 9.a) Funktio f ( ) = + 6 Nollakohta f bg= + 6= = 6 :( ) = 6 = y 5 6 y = + 6 b) Funktio g ( ) = 5 Nollakohta g bg= = 5 = : 5 5 5 5 = : = = = 5 5 5 9 9
4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ
Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ POHDITTAVAA 1. Merkitään toisen neliön sivun pituutta kirjaimella x. Tällöin toisen neliön sivun pituus on
MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:
MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: 1 Funktio 1.1 Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet: 1 1. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä.
4 FUNKTION ANALYSOINTIA
Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 1.1.018 4 FUNKTION ANALYSOINTIA POHDITTAVAA 1. Appletin avulla huomataan, että suorakulmion pinta-ala on mahdollisimman suuri, kun kaikki
Funktio. Funktio on kahden luvun riippuvuuden ilmaiseva sääntö, joka annetaan usein laskulausekkeena.
n ja muuttujan arvon laskeminen on kahden luvun riippuvuuden ilmaiseva sääntö, joka annetaan usein laskulausekkeena. ESIMERKKI Tarkastele funktiota f() = + 7. a) Laske funktion arvo, kun =. b) Millä muuttujan
a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.
Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin
Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 10
Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 10 1 Newtonin menetelmä Oletetaan, että haluamme löytää funktion f(x) nollakohan. Usein tämä tehtävä on mahoton suorittaa täyellisellä tarkkuuella, koska tiettyjen
Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)
Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion
2 Raja-arvo ja jatkuvuus
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.6 Raja-arvo ja jatkuvuus. a) Kun suorakulmion kärki on kohdassa =, on suorakulmion kannan pituus. Suorakulmion korkeus on käyrän y-koordinaatti
2 Pistejoukko koordinaatistossa
Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia
Lukuväleistä. MB 3 Funktio. -2 < x < 5 tai ]-2,5] x < 3 tai ]-,3]
![Lukuväleistä. MB 3 Funktio. -2 < x < 5 tai ]-2,5] x < 3 tai ]-,3]](/thumbs/47/23676089.jpg "Lukuväleistä. MB 3 Funktio. -2 < x < 5 tai ]-2,5] x < 3 tai ]-,3]")
Lukuväleistä MB Funktio - < < tai ]-,] < tai ]-,] Yksikäsitteisyys Täytyy tuntea/arvata tyyppi T 0. (sivu ) f() = a) f () = = 9 = 4 T 0. (sivu ) T 0. (sivu ) f() = f() = b) f(k) = k c) f(t + ) = (t + )
Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77
Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07 Kertaus K. a) sin 0 = 0,77 b) cos ( 0 ) = cos 0 = 0,6 c) sin 50 = sin (80 50 ) = sin 0 = 0,77 d) tan 0 = tan (0 80 ) = tan 0 =,9 e)
3.1 Väliarvolause. Funktion kasvaminen ja väheneminen
Väliarvolause Funktion kasvaminen ja väheneminen LAUSE VÄLIARVOLAUSE Oletus: Funktio f on jatkuva suljetulla välillä I: a < x < b f on derivoituva välillä a < x < b Väite: On olemassa ainakin yksi välille
YHTÄLÖ kahden lausekkeen merkitty yhtäsuuruus
YHTÄLÖ kahden lausekkeen merkitty yhtäsuuruus Ensimmäisen asteen yhtälö: :n korkein eksponentti = 1 + 5 = 4( 3) Toisen asteen yhtälö: :n korkein eksponentti = 3 5 + 4 = 0 Kolmannen asteen yhtälö: :n korkein
Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan.
MAA Koe..05 Jussi Tyni Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko. konseptin yläreunaan. A-osio. Ilman laskinta! MAOL:in taulukkokirja saa olla käytössä. Laske kaikki tehtävät. Vastaa tälle paperille.
MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:
MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla
Aloita Ratkaise Pisteytä se itse Merkitse pisteet saanut riittävästi pisteitä voit siirtyä seuraavaan osioon ei ole riittävästi
Aloita A:sta Ratkaise osion (A, B, C, D, jne ) yhtälö vihkoosi. Pisteytä se itse ohjeen mukaan. Merkitse pisteet sinulle jaettavaan tehtävä- ja arviointilappuun. Kun olet saanut riittävästi pisteitä (6)
Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a)
Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6 Kertaus Integraalifunktio ja integrointi KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) ( )d C C b) c) d e e C cosd cosd sin C K. Funktiot F ja F ovat saman
MAA7 7.2 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! lim.
MAA7 7. Koe Jussi Tyni 8.1.01 1. Laske raja-arvot: a) 9 lim 6 lim 1. a) Määritä erotusosamäärän avulla funktion f (). 1 f ( ) derivaatta 1 Onko funktio f ( ) 9 kaikkialla vähenevä? Perustele vastauksesi
1.1 Polynomifunktio ( x ) = 2 x - 6
. Polynomifunktio. a Suoran kulmakerroinn k = , joten suora on nouseva. c Suoran kulmakerroinn k =, joten suora on -akselin suuntainen vaakasuora.
Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 7 to
Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 7 to 5..2009 ratkaisut 1. (a) Määritä funktion f(x) = e x e x x + 1 derivaatan f (x) pienin mahdollinen arvo. Ratkaisu. (a) Funktio f ja sen derivaatat ovat
KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4
Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + ( 1) + 3 ( 1) 3 = 3 + 3 = 4 K. a) x 3x + 7x 5x = 4x + 4x b) 5x 3 (1 x ) = 5x 3 1 + x
Korkeamman asteen polynomifunktio
POLYNOMIFUNKTIOT JA -YHTÄLÖT, MAA Korkeamman asteen polnomifunktio Määritelmä: Jos polnomifunktion asteluku n, niin funktiota sanotaan korkeamman asteen polnomifunktioksi, P: P = a n n + a n 1 n 1 +...
sin x cos x cos x = sin x arvoilla x ] π
![sin x cos x cos x = sin x arvoilla x ] π](/thumbs/88/114931690.jpg "sin x cos x cos x = sin x arvoilla x ] π")
Matematiikan johdantokurssi, syksy 08 Harjoitus 0, ratkaisuista. Todenna, että = + tan x. Mutta selvitäppä millä reaaliarvoilla se oikeasti pitää paikkansa! Ratkaisu. Yhtälön molemmat puolet ovat määriteltyjä
Tekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y.
Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 37 Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, ) on ( x 0) + ( y ). Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Merkitään etäisyydet yhtä suuriksi ja ratkaistaan
Juuri 12 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.5.08 Kertaus K. a) Polynomi P() = + 8 on jaollinen polynomilla Q() =, jos = on polynomin P nollakohta, eli P() = 0. P() = + 8 = 54 08 +
3 Määrätty integraali
Määrätty integraali. a) Muodostuva alue on kolmio, jonka kanta on. Kolmion korkeus on funktion arvo kohdassa, eli f() = = 6. Lasketaan A() kolmion pintaalana. 6 A() 6 Vastaus: A() = 6 b) Muodostuva alue
Reaalilukuvälit, leikkaus ja unioni (1/2)
Luvut Luonnolliset luvut N = {0, 1, 2, 3,... } Kokonaisluvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Rationaaliluvut (jaksolliset desimaaliluvut) Q = {m/n m, n Z, n 0} Irrationaaliluvut eli jaksottomat desimaaliluvut
Tekijä Pitkä matematiikka
Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 110 Valitaan suoralta kaksi pistettä ja piirretään apukolmio, josta koordinaattien muutokset voidaan lukea. Vaakasuoran suoran kulmakerroin on nolla. y Suoran a kulmakerroin
MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.
KERTAUS Lukujono KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. Ratkaisussa annetaan esimerkit mahdollisista säännöistä. a) Jatketaan lukujonoa: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, Rekursiivinen sääntö on, että lukujonon ensimmäinen jäsen
5 Rationaalifunktion kulku
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 5 Rationaalifunktion kulku. Funktion f määrittelyehto on. Muodostetaan symbolisen laskennan ohjelman avulla derivaattafunktio f ja
Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä
Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja
PIENEMMISTÄ JA SUUREMMISTA EPÄYHTÄLÖISTÄ
PIENEMMISTÄ JA SUUREMMISTA EPÄYHTÄLÖISTÄ Suvi Oikarainen Pro gradu -tutkielma Kesäkuu 018 MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS TURUN YLIOPISTO TURUN YLIOPISTO Matematiikan ja tilastotieteen laitos OIKARAINEN,
( ) < ( ) Lisätehtävät. Polynomifunktio. Epäyhtälöt 137. x < 2. d) 2 3 < 8+ < 1+ Vastaus: x < 3. Vastaus: x < 5 6. x x. x < Vastaus: x < 2
Lisätehtävät Polnomifunktio 7. Epähtälöt = + 8. a) < + < + < Vastaus: ) < < Vastaus: < 8 8 8 = 8 = + c) ( ) < + ( ) < + < + < : ( > ) < Vastaus: < d) ( )
n. asteen polynomilla on enintään n nollakohtaa ja enintään n - 1 ääriarvokohtaa.
MAA 12 kertaus Funktion kuvaaja n. asteen polynomilla on enintään n nollakohtaa ja enintään n - 1 ääriarvokohtaa. Funktion nollakohta on piste, jossa f () = 0, eli kuvaaja leikkaa -akselin. Kuvaajan avulla
5 Differentiaalilaskentaa
5 Differentiaalilaskentaa 5.1 Raja-arvo Esimerkki 5.1. Rationaalifunktiota g(x) = x2 + x 2 x 1 ei ole määritelty nimittäjän nollakohdassa eli, kun x = 1. Funktio on kuitenkin määritelty kohdan x = 1 läheisyydessä.