1. Murtoluvut, murtolausekkeet, murtopotenssit ja itseisarvo

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "1. Murtoluvut, murtolausekkeet, murtopotenssit ja itseisarvo"

Transkriptio

1 1. Murtoluvut, murtolausekkeet, murtopotenssit ja itseisarvo Olkoot a, b, c mielivaltaisesti valittuja reaalilukuja eli reaaliakselin pisteitä. Ne toteuttavat seuraavat laskulait (ns. kunta-aksioomat): (1) a + b = b + a, ab = ba (vaihdantalait) (2) a + (b + c) = (a + b) + c, a(bc) = (ab)c (liitäntälait) (3) a(b + c) = ab + ac, (a + b)c = ac + bc (osittelulait) (4) a + 0 = a, a 1 = a (5) On olemassa luvut x ja y joille a + x = 0, by = 1 (jos b 0). Tässä x on luvun a vastaluku, merkitään x = a, ja luku y on luvun b käänteisluku, merkitään y = b 1. Merkinnän ab 1 asemesta käytetään usein merkintää a/b. Liitäntälakien nojalla esim. tulo abcd ja summa a + b + c + d eivät tuota tulkintaongelmia ja sulkeita voidaan asettaa vapaasti kummassakin kirjoitelmassa. Esim. Olkoot a ja b nollasta eroavia reaalilukuja. Luvun a/b käänteisluku on b/a, sillä (5) (4) (5) a b b a = (ab 1 )(ba 1 ) = a(b 1 b)a 1 {}}{ = a 1 a 1 {}}{ = aa 1 {}}{ = 1. Kunta-aksioomista seuraa mm. laskusäännöt: (6) a 0 = 0 (aina) (7) a b c d = ac bd (b, d 0) (8) a b + c d = ad+cb bd (b, d 0) Perustellaan näistä (6) ja (8), säännön (7) perusteleminen jätetään harjoitustehtäväksi. (4) (3) {}}{ {}}{ (6): a 0 = a (0 + 0) = a 0 + a 0. Lisätään molemmille puolille a 0, jolloin väite seuraa aksioomista (5) ja (4). (8): ad+cb bd (1),(3) = (ad + bc)(bd) 1 = (ad + cb)d 1 b 1 {}}{ = add 1 b 1 + cbb 1 d 1 (5) {}}{ = ab 1 + cd 1 = a + c b d. 1

2 2 Esim. Olkoot a, b, c reaalilukuja, b 0. Silloin a b + c b (8) {}}{ ab + cb = bb (3) {}}{ = = (a + c)b bb = (a + c)b b 1 b 1 (5) {}}{ = (a + c)b 1 = a + c b Esim. Olkoot a, b, c, d reaalilukuja, joista b, c, d nollasta eroavia. Silloin a b c d = a ( c b d ) 1 a d = b c (7) {}}{ = ad bc Olkoon n positiivinen kokonaisluku ja olkoon a reaaliluku. - Jos n on pariton, niin yhtälöllä x n = a on täsmällen yksi reaalinen ratkaisu. Tämä ratkaisu on luvun a n:s juuri. - Jos n on parillinen ja a on positiivinen, niin yhtälöllä x n = a on täsmälleen yksi positiivinen ratkaisu. Tällöin tämä ratkaisu on luvun a n:s juuri. - Jos n on parillinen ja a on negatiivinen, niin luvulla n ei ole (reaalista) n:ttä juurta. - Luvun a n:ttä juurta merkitään symbolilla n a tai symbolilla a 1/n. Olkoot m ja n positiivisia kokonaislukuja ja a reaaliluku. Määritellään a m = a } a {{ a} m kertaa a m/n = (a 1/n ) m (jos a 1/n on olemassa) a m/n = (a m/n ) 1 a 0 = 1 Seuraavat pikku laskulait ovat usein käyttökelpoisia: (9) a 2 b 2 = (a b)(a + b) (10) a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 (tässä oikea puoli on binomin neliö) Nämä perustellaan kertomalla sulkeet pois eli käyttämällä osittelulakeja (3).

3 3 muodossa, jossa neliöjuurta ei esiinny viivan alla eli nimit- Esitetään luku täjässä: (4) {}}{ = = (4 101)(4+ 101) (9) {}}{ = (16 ( = ) 2 ) = Reaaliluvun a itseisarvo a on reaaliakselin pisteen a etäisyys pisteestä 0 eli { a, jos a < 0, a = a, jos a 0. Esim. Olkoon a reaaliluku. Silloin 2m a 2m = a kaikilla positiivisilla kokonaisluvuilla m. Erityisesti a 2 = a. Rationaaliluku on muotoa m/n oleva reaaliluku, missä m ja n ovat kokonaislukuja joista n 0. Rationaaliluku m/n on supistetussa muodossa, jos lukujen m ja n suurin yhteinen tekijä (eli jakaja) = 1. Jos a on positiivinen reaaliluku ja x on reaaliluku, niin määritellään a x = lim n a xn, missä (x n ) on lukua x kohti suppeneva rationaalilukujono. Olkoot u, v, x, y reaalilukuja. Seuraavat laskulait ovat voimassa ( u ) x (10) (uv) x = u x v x u x (11) = v (12) u x u y = u x+y (13) ux u = y ux y (14) (u x ) y = u xy kunhan kaavojen sekä oikea että vasen puoli on määritelty. Esim. u 2 v = u v, kunhan v ei ole negatiivinen. v x

4 4 Harjoitustehtäviä Anna seuraavien lausekkeiden arvo supistetussa muodossa olevana rationaalilukuna (a) (b) (c) (d) Anna seuraavien lausekkeiden arvo supistetussa muodossa olevana rationaalilukuna 100 (a) ( ) 2 99 (b) ( 33 (c) (d) ( ) 3 (e) ) Sievennä (a) ( ) (b) (c) Esitä seuraavat lausekkeet murtolausekkeina, joissa neliöjuurta ei esiinny nimittäjässä 1 (a) 2 (b) (c) ( 2+2) 1.5. Sievennä seuraavat lausekkeet täydentämällä juurrettava binomin neliöksi (a) (b) Sievennä (a) (a2 ) 3 b 3 c 2 (abc 1 ) 2 (b) (m 2 n 1 ) 3 (mn 2 ) 1 +m 1 n 1.7. Olkoon n kokonaisluku. Sievennä (a) ( 1) 2n+1 (a + a 2 )(a a 2 ) + ( 1) 2n (a 2 ) 1 ( ) (c) x2n+1 x 2n y x 1 (d) x 2 / x 3 x n+2 x n y 2 (x+1) 2 x 2 1 2x 2 2 (b) (2a+2)(3a 1) 6a2 2+4a 4a Sievennä (a) b 2 2ab + a 2 (b) a 3 a 2 b ab 2 b 3 a b (c) a b 3 b/a 2 3 a/b 2

5 5 2. Polynomiyhtälöt, lineaarinen yhtälöpari, itseisarvo- ja juuriyhtälö, toisen asteen käyrät ja niiden tangentit Olkoot a, b, c, d mielivaltaisesti valittuja reaalilukuja, d 0. Kunta-aksioomista johdettavia, yhtälöiden käsittelyä helpottavia laskusääntöjä: (1) a = b a + c = b + c (2) ab = 0 a = 0 tai b = 0 (tulon nollasääntö) (3) a = b da = db (4) a 2 = b 2 a = ±b Olkoot a ja b reaalilukuja. Ensimmäisen asteen yhtälö (eli lineaarinen yhtälö): ax + b = 0 (1) Jos a = b = 0, tällä on ratkaisuina (eli juurina) kaikki reaaliluvut x. (2) Jos a = 0 ja b 0, tällä ei ole ratkaisuja. (3) Jos a 0, tällä on yksikäsitteinen ratkaisu x = b/a. Lineaarinen yhtälöpari: { ax + by = c cx + dy = e Tällä on yksikäsitteinen ratkaisu (x, y) jos ja vain jos ad bc 0. Se voidaan ratkaista esim. ratkaisemalla jommasta kummasta yhtälöstä x ja sijoittamalla sen lauseke toiseen yhtälöön. Olkoot a, b, c reaalilukuja, a 0. Toiseen asteen yhtälö (eli kvadraattinen yhtälö): ax 2 + bx + c = 0 Se voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä: Kerrotaan yhtälö puolittain luvulla 4/a, jolloin saamme ekvivalentin yhtälön 0 = 4x b a x + 4 c a = (2x + b a )2 ( b a )2 + 4 c a, ekvivalentisti (2x + b a )2 = ( b a )2 4 c = 1 (b 2 4ac a a 2 } {{ } ). =:D (1) Jos D < 0, niin yhtälöllä ei ole (reaalisia) ratkaisuja. (2) Jos D = 0, niin yhtälöllä on yksikäsitteinen ratkaisu x = b 2a (kaksoisjuuri). (3) Jos D > 0, niin yhtälöllä on kaksi ratkaisua x = b± D. 2a Tässä D on yhtälön diskriminantti.

6 6 Olkoon n positiivinen kokonaisluku, ja olkoot a 0, a 1,..., a n reaalilukuja, a n 0. Astetta n oleva polynomiyhtälö on muotoa p(x) = 0 oleva yhtälö, missä p(x) on astetta n oleva polynomi(funktio): Nollakohtalause: p(x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0. p(c) = 0 p(x) = (x c)h(x), missä h(x) on astetta n 1 oleva polynomi. Esim. Yhtälön x 3 + 3x 2 4 = 0 eräs ratkaisu on x = 1. Jakokulmalaskulla saadaan x 3 + 3x 2 4 = (x 1)(x 2 + 4x + 4) = (x 1)(x + 2) 2. Täten yhtälön x 3 + 3x 2 4 = 0 kaikki ratkaisut ovat x = 1 ja x = 2. Ensimmäisen asteen polynomifunktion p(x) = ax + b kuvaaja on suora y = ax + b, jonka kulmakerroin on a. Toisen asteen polynomifunktion p(x) = ax 2 + bx + c kuvaaja on paraabeli y = ax 2 + bx + c. Kuva 1. Nouseva ja laskeva suora Kuva 2. Ylös- ja alaspäin aukeava paraabeli Paraabelin lisäksi muita keskeisiä toisen asteen tasokäyriä (kartioleikkauksia) ovat: r-säteinen ympyrä: x 2 + y 2 = r 2 Ellipsi, jonka pikkuakselit ovat a ja b: Hyperbeli, jonka pikkuakselit ovat a ja b: x 2 a 2 + y2 x 2 a 2 = 1 b 2 y2 = 1 b 2 Tasokäyrää voidaan siirrellä koordinaattimuunnoksella u = x x 0, v = y y 0. Esim. Tasokäyrä (x x 0 ) 2 +(y y 0 ) 2 = r 2 on uv-koordinaatistossa ympyrä u 2 +v 2 = r 2.

7 7 Kuva 3. Ympyrä (x 2) 2 + (y 3) 2 = 4 2 Kuva 4. Ellipsi x y2 4 2 = 1 Kuva 5. Hyperbeli x2 2 2 y2 3 2 = 1 (sininen käyrä) ja sen asymptootit y = ± 3 x (punaiset suorat). 2 Suora y = ax + b sivuaa tasokäyrää F (x, y) = 0 (eli on sen tangentti), jos niillä on vain yksi leikkauspiste ts. yhtälöllä F (x, ax + b) = 0 on vain yksi ratkaisu x. Esim. Osoitetaan, että suora y = ax + 6 sivuaa paraabelia y = x 2 + 2x + 5 jos ja vain jos a = 4 tai a = 0. Yhtälöllä ax + 6 = x 2 + 2x + 5 eli yhtälöllä x 2 + (a 2)x + 1 = 0 on täsmälleen yksi ratkaisu jos ja vain jos sen diskriminantti D = 0. Koska D = (a 2) 2 4 = (a 2 2)(a 2 + 2), niin D = 0 jos ja vain jos a = 4 tai a = 0. Kuva 6. Paraabeli y = x 2 +2x+5 ja sen muotoa y = ax + 6 olevat tangentit

8 8 Harjoitustehtäviä Millä vakion a arvoilla yhtälö a 2 x = (a + 1)x + 1 on ratkeava ja mitkä ovat sen ratkaisut? 2.2. Motoristilla on 50 litraa bensiinin ja öljyn seosta jossa on 10 % öljyä, sekä 100 litraa seosta jossa on 2 % öljyä. Mikä on suurin määrä p prosenttista öljyseosta, jonka hän näitä sekoittamalla voi saada, kun (a) p = 5 (b) p = 3? 2.3. Joukko-osasto, jonka pituus on 1.5 km marssii tasaisella nopeudella tietä pitkin. Sen loppupäästä lähtee moottoripyörälähetti, joka tasaisella nopeudella ajaen saavuttaa osaston alkupään kolmessa minuutissa. Paluumatka osaston loppupäähän kestää 2.5 minuuttia. Mikä on joukko-osaston ja mikä lähetin nopeus? 2.4. Määritä ne vakion a arvot, joilla lauseke supistuu polynomiksi Ratkaise juuriyhtälöt x 3 (a + 3)x 2 + 2a 2 x 4 x 2 3x + 2 (a) x + 1 = x 1 (b) x + 6 = x (c) 2x + 3 x 2 = Ratkaise itseisarvoyhtälöt (a) x = 2 (b) x x 1 = 3 (c) x 2 1 = x 1 (d) x 2 1 x = 3x 2.7. Tutki neliöksi täydentämällä minkä tasokäyrän muodostavat yhtälön 4y 2 +9x 2 + 8y 18x = 23 ratkaisut Määritä niiden ympyrää x 2 + y 2 = 10 sivuavien suorien yhtälöt, joiden kulmakerroin on 1/2. Määritä myös sivuamispisteet Hahmottele käyrän xy = 1 kuvaaja uv-koordinaatistossa, kun x = u v ja y = u + v.

9 9 3. Epäyhtälöistä Olkoot a, b, c mielivaltaisesti valittuja reaalilukuja. Ne toteuttavat seuraavat laskulait (ns. järjestysaksioomat): (1) Täsmälleen yksi relaatioista a = b, a < b, a > b on voimassa. (2) Jos a < b ja b < c, niin a < c. (3) Jos a < b, niin a + c < b + c. (4) Jos a > 0 ja b > 0, niin ab > 0. Järjestysaksioomista seuraavia laskulakeja: (5) Jos a > 0 ja b < c, niin ab < ac. (6) Jos a < 0 ja b < c, niin ab > bc. (7) ab > 0 jos ja vain jos a ja b ovat samanmerkkiset. (8) Jos a ja b ovat positiivisia, niin a 2 < b 2 jos ja vain jos a < b. (9) a < b jos ja vain jos b < a < b. (10) a > b jos ja vain jos a > b tai a < b Jos p(x) ja q(x) ovat muuttujan x sisältäviä lausekkeita, niin epäyhtälön p(x) < q(x) ratkaisemisella tarkoitetaan kaikkien sellaisten reaalilukujen c etsimistä joilla p(c) < q(c) eli joilla käyrä y = p(x) on käyrän y = q(x) alapuolella. Esim 1. Lineaarinen epäyhtälö 2x + 5 < 1 toteutuu täsmälleen niillä muuttujan x arvoilla, joilla x > 1 (1 5) = 2 (sovelletaan sääntöjä (3) ja (6)). 2 Esim 2. Olkoon a > 0. Jos yhtälöllä ax 2 + bx + c = 0 ei ole ratkaisuja tai sillä on kaksoisjuuri, niin epäyhtälöllä ax 2 + b + c < 0 ei ole ratkaisuja. Tällöin paraabeli y = ax 2 + bx + c ei milloinkaan käy x-akselin alapuolella. Jos ax 2 + bx + ca = a(x x 0 )(x x 1 ), missä x 0 < x 1, niin soveltamalla sääntöä (7) nähdään, että epäyhtälön ax 2 + bx + c < 0 ratkaisut ovat ehdon x 0 < x < x 1 toteuttavat x:n arvot. Nämä ovat siis ne x-akselin pisteet, joissa paraabeli y = ax 2 + bx + c on x-akselin alapuolella.

10 10 Kuva 7. Paraabeli y = (x+1)(x 3) on x-akselin alapuolella välillä 1 < x < 3 Esim 3. Ratkaistaan murtoepäyhtälö x2 3x+2 x+3 1: x 2 3x+2 x+3 1 x2 3x+2 (x+3) x+3 0 x2 4x 1 x+3 0 (x (2+ 5))(x (2 5)) x+3 0. Soveltamalla sääntöjä (3) ja (7) saadaan merkkikaavio, josta voidaan päätellä ratkaisut: x 2 4x x x 2 4x 1 x Täten x2 3x+2 x+3 1 jos ja vain jos 3 < x 2 5 tai x Esim 4. Ratkaistaan itseisarvoepäyhtälö x 2 1 x + 1: x 2 1 x + 1 (9) {}}{ x 1 x 2 1 x + 1 x 1 x 2 1 ja x 2 1 x + 1 (3) {}}{ x 2 + x 0 ja x 2 x 2 0 (x + 1)x 0 ja (x + 1)(x 2) 0 (7) {}}{ (x + 1)x(x + 1)(x 2) 0 (x + 1) 2 x(x 2) 0. Tulon nollasäänön ja säännön (7) nojalla tämä epäyhtälö on ratkeava jos ja vain jos 0 x 2 tai x = 1.

11 11 Kuva 8. Epäyhtälö x 2 1 x + 1 toteutuu täsmälleen niissä x-akselin pisteissä, joissa punainen käyrä ei ole sinisen alapuolella. Esim 5. Ratkaistaan juuriepäyhtälö 3 x 2 > 2x 1: Juurrettavan on oltava ei-negatiivinen, joten välttämättä on oltava 3 x 3. Koska neliöjuuri on aina ei-negatiivinen, niin epäyhtälö on tosi jos 2x 1 < 0 eli x < 1/2 (ja x 3). Jos 2x 1 0 eli x 1/2, niin nyt säännön (8) nojalla epäyhtälö on tosi jos ja vain jos ( 3 x 2 ) 2 > (2x 1) 2 3 x 2 > 4x 2 4x + 1 5x 2 4x 2 < 0 5(x )(x ) < 0 ( <) 1 2 x < (< 3) Siispä epäyhtälö on ratkeava jos ja vain jos 3 x < Kuva 9. Epäyhtälö 3 x 2 > 2x 1 toteutuu täsmälleen niissä x-akselin pisteissä, joissa punainen käyrä on sinisen alapuolella.

12 12 Harjoitustehtäviä Ratkaise epäyhtälöt (a) 2x+6 3 < 3x 1 (b) (x 2) 2 (2x 1)(x+3) 2 > Ratkaise epäyhtälöt (a) x 2 + x + 2 > 0 (b) 4x 2 12x + 9 > 0 (c) x 2 + x 2 > Ratkaise epäyhtälöt (a) 1 x + 1 x 2 1 x 3 (b) (x 2 + x 1) 2 < x Ratkaise epäyhtälö a 2 x (2a 1)x + 1 vakion a eri arvoilla Ratkaise epäyhtälöt (a) 2x + 3 > x 1 (b) x 2 x 5 < x 2 + x Piirrä tasoon seuraavien epäyhtälöiden ratkaisujoukot: (a) (x 2) 2 + (x 1) 2 2 (b) x + y < Ratkaise epäyhtälöt (a) x < x (b) x + 1 > x 2 1 (c) x + 2 < 2x 2 (d) 4 x 2 > x + 3 (e) 1 x 2 < x

13 13 4. Trigonometrisista funktioista Olkoon t reaaliluku ja olkoon P t = (x t, y t ) se origo-keskisen yksikköympyrän x 2 + y 2 = 1 piste, jonka etäisyys pisteestä pisteestä P 0 = (1, 0) mitattuna pitkin ympyrän kaarta on t, kun kuljetaan (a) vastapäivään jos t 0, (b) myötäpäivään jos t < 0. Tällöin lukua t sanotaan pisteen P t kulmaksi ja sen yksikkö on radiaani (rad). Annetun kehäpisteen P t kulma ei ole yksikäsitteinen, sillä myös t + k 2π on sen kulma kaikilla kokonaisluvuilla k (sillä yksikköympyrän kehän pituus on 2π). Jos kulma t rajoitetaan välille 0 t < 2π, niin sitä sanotaan pisteen P t vaihekulmaksi. Koska yksikköympyrän kehän pituus on 2π, niin 2π rad = 360 ja saamme mm. piste (x, y) vaihekulma/rad vaihekulma/ (1, 0) 0 0 (0, 1) π/2 90 ( 1, 0) π 180 (0, 1) 3π/2 270 Olkoon t reaaliluku. Pisteen P t = (x t, y t ) x-koordinaattia x t sanotaan kulman t kosiniksi ja merkitään cos t. Pisteen P t y-koordinaattia y t sanotaan kulman t siniksi ja merkitään sin t. Koska piste P t on yksikköympyrällä, niin x 2 t + y 2 t = 1 ja näin ollen (1) cos 2 t + sin 2 t = 1 kaikilla reaaliluvuilla t. Koska P t = P t+k2π kaikilla kokonaisluvuilla k, niin kosini ja sini ovat 2π-jaksollisia ts. (2) cos t = cos(t + k2π), sin t = sin(t + k2π) kaikilla kokonaisluvuilla k. Kuva 10. Ympyrän x 2 + y 2 = 1 eräs piste P t = (cos t, sin t) ja sen vaihekulma t

14 14 Esim. Edellisen taulukon nojalla saamme seuraavat kosinin ja sinin arvot: t/rad cos t sin t π/2 0 1 π π/2 0-1 Esim. Lasketaan (a) sin(π/4) ja cos(π/4), (b) sin(π/3) ja cos(π/3) (ks. kuva (11)) (a) Koska π/4 on puolet kulmasta π/2, niin piste P π/4 sijaitsee suoralla y = x. Sijoittamalla x = y yksikköympyrän yhtälöön x 2 + y 2 = 1 saadaan x = y = 1/ 2 ts. sin(π/4) = cos(π/4) = 1/ 2. (b) Olkoon A = (1, 0) ja O = (0, 0). Kolmio P π/3 OA on tasakylkinen, joten sivujen AO ja AP π/3 välinen kulma on yhtä suuri kuin sivujen P π/3 O ja P π/3 A välinen kulma. Täten kolmio AP π/3 B on tasasivuinen, jonka sivu on 1. Täten cos(π/3) = 1/2 ja sin(π/3) = 1 (1/2) 2 = 3/2. Kuva 11 Sinillä ja kosinilla on seuraavat symmetriaominaisuudet (ks. kuva (12)): (3) cos( t) = cos t, (4) sin( t) = sin t (peilaus x-akselin suhteen) (4) cos(π t) = cos t, (5) sin(π t) = sin t (peilaus y-akselin suhteen) (6) cos(π + t) = cos t (7) sin(π + t) = sin t (peilaus x- ja y-akselien suhteen) Kuva 12

15 15 Perustellaan seuraavaksi keskeinen ns. kosinin yhteenlaskukaava: (8) cos(s t) = cos s cos t + sin s sin t Olkoot s ja t reaalilukuja ja O = (0, 0), A = (1, 0), P s = (x s, y s ), P t = (x t, y t ) ja P s t = (x s t, y s t ). Koska kolmiot P t OP s ja AOP s t yhtenevät (ks. kuva (13)) niin sivut P s P t ja P s t A ovat yhtä pitkät eli (x s x t ) 2 + (y s y t ) 2 = (x s t 1) 2 + (y s t 0) 2 (cos s cos t) 2 + (sin s sin t) 2 = (cos(s t) 1) 2 + (sin(s t) 0) 2 cos 2 s 2 cos s cos t + cos 2 t + sin 2 s 2 sin s sin t + sin 2 t = cos 2 (s t) 2 cos(s t) sin 2 (s t) =1 =1 { }} { { }} { cos 2 s + sin 2 s + cos 2 t + sin 2 t 2 sin s sin t 2 cos s cos t = cos 2 (s t) + sin 2 (s t) 2 cos(s t) + 1 } {{ } =1 2 2(cos s cos t + sin s sin t) = 2 2 cos(s t), mistä kaava (8) seuraa välittömästi. Kuva 13

16 16 Kaavasta (8) seuraa seuraavat kosinin ja sinin symmetriaominaisuudet (joka ovat ilmeisiä geometrisestikin): (9) sin t = cos(π/2 t), (10) cos t = sin(π/2 t) (peilaus suoran y = x suhteen). Nimittäin kaavasta (8) seuraa heti kaava (9): cos(π/2 t) = cos(π/2) cos t + sin(π/2) sin t = sin t, ja tästä seuraa myös kaava (10): sin(π/2 t) = cos(π/2 (π/2 t)) = cos t. Kaavoista (3)-(6) saadaan helposti myös seuraavat yhteenlaskukaavat: (11) cos(s + t) = cos s cos t sin s sin t (12) sin(s + t) = sin s cos t + cos s sin t (13) sin(s t) = sin s cos t cos s sin t ja monia muita trigonometrisia kaavoja, joita löytyy taulukkokirjoista. Esim. Perustellaan kaava: sin(2u) = 2 sin u cos u. Valitaan s = t = u lausekkeessa sin(s + t), jolloin kaavan (12) nojalla sin(2u) = sin(u + u) = sin u cos u + cos u sin u = 2 sin u cos u. Kulman t sinin ja kosinin osamäärä on kulman t tangentti, merkitään tan t. Se on määritelty aina kun cos t 0 ts. tan t = sin t cos t, missä t (2k + 1)π kaikilla kokonaisluvuilla k. 2 Koska tan(t + π) = niin tan t on π-jaksollinen ts. sin(t + π) cos(t + π) = sin t cos t = sin t cos t = tan t, tan t = tan(t + kπ) kaikilla kokonaisluvilla k.

17 17 Olkoon P = (x, y) tason piste ja r janan OP pituus. Olkoon OP t janan OP suuntainen yksikköympyrän säde. Koska janan OP pituus on r-kertainen janan OP t pituuteen nähden, niin sama pätee myös pisteiden P ja P t koordinaateille ts. x = rx t = r cos t y = ry t = r sin t. Tässä r ja t ovat pisteen P napakoordinaatit, kun π < t π. Nyt siis r = x 2 + y 2 ja tan t = y/x. Kuva 14. Piste P ja sen napakoordinaatit r ja t Koska sini ja kosini liittävät jokaiseen reaalilukuun t yksikäsitteisen reaaliluvun, ovat ne funktioita, nk. trigonometrisia funktioita, joiden määrittelyjoukko on R. Kummankin arvojoukko on suljettu väli [ 1, 1]. Tangentti on trigonometrinen funktio, jonka määrittelyjoukko on R poislukien muuttujan t arvot (2k + 1) π, missä k on kokonaisluku. 2 Kun siniä, kosinia ja tangenttia ajatellaan funktioina, niin tällöin usein muuttujan nimenä käytetään kirjainta x kirjaimen t asemesta. Kuva 15. Funktion f(x) = sin x kuvaaja Kuva 16. Funktion f(x) = cos x kuvaaja

18 18 Kuva 17. Funktion f(x) = tan x kuvaaja Tarkastellaan joidenkin trigonometristen yhtälöiden ratkaisemista. Olkoon a reaaliluku. (A) Jos a > 1, niin yhtälöillä sin x = a ja cos x = a ei ole ratkaisua, koska tällöin suora y = a ei milloinkaan leikkaa käyriä y = sin x ja y = cos x. (B) Jos a < 1, niin sekä yhtälöllä sin x = a että cos x = a on välillä [0, 2π) täsmälleen kaksi ratkaisua, koska suora y = a leikkaa käyriä y = sin x ja y = cos x täsmälleen kahdessa pistessä ko. välillä. (C) Jos a = 1, niin sekä yhtälöllä sin x = a että cos x = a on välillä [0, 2π) on täsmälleen yksi ratkaisu, koska suora y = a leikkaa käyriä y = sin x ja y = cos x täsmälleen yhdessä pistessä ko. välillä. Jos u on välille [0, 2π) kuuluva yhtälön sin x = a ratkaisu, niin sen toinen ko. välille kuuluva ratkaisu on π u (tai 3π u jos π u < 0), sillä sin(π u) = sin u = a. Siis sin x = sin u x = u + k2π tai x = π u + k2π, kaikilla kokonaisluvuilla k. Jos u on välille [0, 2π) kuuluva yhtälön cos x = a ratkaisu, niin sen toinen ko. välille kuuluva ratkaisu on 2π u, sillä cos(2π u) = cos( u) = cos u = a. Siis cos x = cos u x = ±u + k2π, kaikilla kokonaisluvuilla k.

19 19 Olkoon a reaaliluku. Yhtälöllä tan x = a on yksikäsitteinen ratkaisu u välillä ( π/2, π/2), sillä ko. välillä suora y = a leikkaa käyrää y = tan x täsmälleen yhdessä pisteessä. Siis tan x = tan u x = u + kπ, kaikilla kokonaisluvuilla k. Esim. Ratkaistaan yhtälö sin x = cos(3x). Kaavan (7) nojalla sin x = cos(π/2 x), joten ratkaistavana on yhtälö ekvivalentisti Täten cos(π/2 x) = cos(3x), π/2 x = ±3x + k2π. x = π 8 + k π 2 tai x = π + kπ, kaikilla kokonaisluvuilla k. 4 Esim. Ratkaistaan yhtälö sin x = 3 cos x. Tämä on ekvivalentti yhtälön tan x = 3 kanssa. Laskimesta saadaan ratkaisun likarvo x = rad = ( /π) =

20 20 Harjoitustehtäviä Laske kulmaa t vastaavan yksikköympyrän pisteen koordinaattien tarkat arvot, kun (a) t = 6002π/6 (b) t = 12015π/ Olkoon t reaaliluku, jolle sin t = π/4. Laske likiarvoja käyttämättä (a) cos t (b) tan t 4.3. (a) Laske likiarvoja käyttämättä cos(k π) 3 ja sin(k π ) kaikilla kokonaisluvuilla k. 3 (b) Piirrä tasoon pisteet (x, y) = (cos(k π), sin(k π )) kaikilla kokonaisluvuilla k Ratkaise likiarvoja käyttämättä yhtälöt (a) sin x = sin 3 (b) cos x = cos 3 (c) tan x = tan Ratkaise yhtälöt (a) sin(3x) + cos(x/2) = 0 (b) 3 sin x + (cos x)/2 = 0 (c) tan x = sin(2x) 4.6. Ratkaise yhtälöt (a) sin 2 x 2 cos x 2 = 0 (b) (x 2 1) 5 sin(2x 1) = Ratkaise likiarvoja käyttämättä yhtälöt (a) sin(cos x) = 0 (b) 2 cos(sin x) = Ratkaise likiarvoja käyttämättä epäyhtälöt (a) sin x < 1/ 2 (b) cos x > 1/2 (c) tan x Olkoon f(t) = 3 cos t + 4 sin t. Etsi sellaiset reaaliluvut A ja B, että f(t) = A sin(t + B) kaikilla reaaliluvuilla t. (Vihje: käytä yhteenlaskukaavaa lausekkeelle sin(t + B) ja vertaa kertoimia.)

21 21 5. Eksponentti- ja logaritmifunktio Olkoon k 1 positiivinen reaaliluku. Muotoa f(x) = k x olevaa funktiota sanotaan eksponenttifunktioksi ja lukua k sen kantaluvuksi ja muuttujaa x sen eksponentiksi. Eräs tärkeä kantaluvun k arvo on Neperin luku e, joka määritellään raja-arvona ( 1 ) n e = lim n n n Esim. Funktio f(x) = e 2x e 2x = (e 2 ) x. on eksponenttifunktio, jonka kantaluku on e 2, sillä Kaikille eksponenttifunktioille f(x) pätee: (1) f(x):n arvojoukko on koko positiivisten reaalilukujen joukko (2) f(x) on aidosti kasvava jos k > 1 ja aidosti vähenevä jos k < 1. (3) f(0) = 1 Kuva 18. Eksponenttifunktioiden f(x) = k x kuvaajia eri kantalukujen k arvoilla Esim. Ratkaistaan yhtälö 2 x = 3 4. Koska 3 4 = 4 1/3 = (2 2 ) 1/3 = 2 2/3, niin ratkaistavana on siis yhtälö 2 x = 2 2/3. Ominaisuuden (2) nojalla 2 x = 2 2/3 jos ja vain jos x = 2/3 eli x = ±2/3.

22 22 Esim. Ratkaistaan yhtälö 2 x x = 4. Kerrotaan yhtälö puolittain 2 x :llä, jolloin saadaan ekvivalentti yhtälö 2 2x + 4 = 4 2 x (2 x ) x + 4 = 0 (2 x 2) 2 = 0 2 x {}}{ = 2 x = 1. (2) Olkoon a positiivinen reaaliluku. Eksponenttifunktion f(x) = k x ominaisuuksien (1) ja (2) nojalla yhtälöllä k x = a on täsmälleen yksi ratkaisu. Tätä sanotaan a:n k-kantaiseksi logaritmiksi ja merkitään log k a. Merkinnän log k a asemesta käytetään joskus myös merkintää log a, jollei ole tarpeen korostaa kantalukua. Jos k = e, niin yleensä käytetään merkintää ln a merkinnän log e a asemesta. Esim. log k k = 1 sillä k 1 = k, ja log k 1 = 0 sillä k 0 = 1. Esim. log = 10 sillä 2 10 = Esim. Minkä luvun 5-kantainen logaritmi on 1/3? Ratkaisu: log 5 a = 1/3 jos ja vain jos a = 5 1/3 = 1/ 3 5. Esim. Ratkaistaan yhtälö log 3 (x + 2) = 2. Määritelmän nojalla log 3 (x + 2) = 2 jos ja vain jos 3 2 = x + 2 jos ja vain jos x = 7. Liittämällä jokaiseen positiviiseen reaalilukuun x sen logaritmi, saadaan k-kantainen logaritmifunktio f(x) = log k x. Koska k x = y x = log k y, niin logaritmifunktio on eksponenttifunktion käänteisfunktio ja niiden kuvaajat saadaat toisistaan peilaamalla ne suoran y = x suhteen.

23 23 Kuva 19. Funktion f(x) = k x ja sen käänteisfunktion f 1 (x) = log k x kuvaajat (k > 1) Olkoot a, b, c reaalilukuja ja oletetaan, että a > 0 ja b > 0. k-kantaistelle logaritmille log on voimassa seuraavat laskusäännöt: (4) log(ab) = log a + log b (5) log(a/b) = log a log b (6) log a c = c log a Perustellaan näistä sääntö (4). Sääntö (4) väittää, että yhtälön k x = ab ratkaisu on log a + log b. Näytetään, että tämä pitää paikkansa, käyttäen Luvun 1 kaavaa (12): k log a+log b = k log a k log b = ab. Laskusäännöt (5) ja (6) perustellaan samaan tapaan käyttäen Luvun 1 kaavoja (13) ja (14). Esim. Millä x:n arvoilla pätee kaava log 2x 1 1 x = log(2x 1) log(1 x)? Ratkaisu. Kaavan (5) nojalla kaava pätee kaikilla niillä x:n arvoilla, joilla molemmat puolet on määritelty. Oikea puoli on määritelty jos ja vain jos 2x 1 > 0 ja 1 x > 0 eli 1/2 < x < 1. Tällöin myös 2x 1 > 0, joten ko. kaava pätee jos ja vain jos 1/2 < x < 1. 1 x Esim. Lasketaan logaritmien laskusääntöjen avulla seuraavien logaritmien tarkat arvot: (a) log (b) (lg 50)2 (lg 2) 2 lg 5 missä lg = log 10. Ratkaisu: (a) log = log 2 (2 2 1/7 ) 1/3 = log 2 (2 8/7 ) 1/3 = 1 3 log 2(2 8/7 ) = = (b) (lg 50)2 (lg 2) 2 lg 5 = (lg 50 lg 2)(lg 50+lg 2) lg 5 = lg(50/2) lg(50 2) lg 5 = lg 25 lg 100 lg 5 = lg 52 2 lg 5 = 2 lg 5 2 lg 5 = 4.

24 24 Olkoot k, h ja a positiivisia reaalilukuja. Silloin voimme siirtyä k-kantaisesta logaritmista h-kantaiseen: (7) log h a = 1 log k h log k a, erityisesti log h a = 1 ln h ln a Nimittäin a = h log h a, joten ottamalla puolittain k-kantaiset logaritmit saadaan säännön (6) nojalla yhtälö log k a = (log h a)(log k h). Esim. Ratkaistaan yhtälö log 2 x + ln x = 3. Nyt log 2 x = 1 ln x, joten yhtälö on ln 2 ekvivalentti yhtälön ( 1 + 1) ln x = 3 kanssa. Täten ln 2 3 log 2 x + ln x = 3 ln x = x = e 3 ln 2 1+ln ln 2 Esim. Olkoot k positiivinen reaaliluku. Osoitetaan, että funktion f(x) = log 1/k (x) kuvaaja saadaan funktion g(x) = log k (x) kuvaajasta peilaamalla se x-akselin suhteen. Ts. osoitetaan, että log 1/k (x) = log k (x) kaikilla positiivisilla reaaliluvuilla x. Olkoon a positiivinen reaaliluku. Nyt (7) {}}{ 1 log 1/k a = log log k (1/k) k a = 1 {}}{ 1 log log k k 1 k a = log log k k k a = log k a. (7)

25 25 Harjoitustehtäviä Ratkaise yhtälöt (a) 2 x x 1 = 2 (b) 2 x+1 2 x 1 = Ratkaise yhtälö 3 x x = Millä vakion a arvolla yhtälö e sin x + a = 3 on ratkeava? 5.4. Ratkaise epäyhtälöt (a) e x2 sin x > 0 (b) 3 x2 5x+8 > 9 (c) 5 x Ratkaise yhtälöt (a) log 2 x = 3 (b) log x 3 = 1/2 (c) log x (x + 1) = Ratkaise yhtälöt (a) ln(x+1) ln(x 1) = 2 (b) 2 log 10(x 1) = log 10 (x + 2) Ratkaise yhtälö log x 2 log2 x = Ratkaise epäyhtälö log 1/3 (x 2 2) Ratkaise epäyhtälö log x (4x 2) > Olkoon n (> 1) positiivinen kokonaisluku. Millä kantaluvun k arvoilla pätee: log k ( 1 2 ) + log k( 2 3 ) + log k( 3 4 ) + + log k( n 1 n ) 1

= 9 = 3 2 = 2( ) = = 2

= 9 = 3 2 = 2( ) = = 2 Ratkaisut 1.1. (a) + 5 +5 5 4 5 15 15 (b) 5 5 5 5 15 16 15 (c) 100 99 5 100 99 5 4 5 5 4 (d) 100 99 5 100 ( ) 5 1 99 100 4 99 5 1.. (a) ( 100 99 5 ) ( ( 4 ( ) ) 4 1 ( ) ) 4 9 4 16 (b) 100 99 ( 5 ) 1 100

Lisätiedot

Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x 1 ja x 2 on voimassa ehto:

Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x 1 ja x 2 on voimassa ehto: 4 Reaalifunktiot 4. Funktion monotonisuus Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x ja x on voimassa ehto: "jos x < x, niin f (x

Lisätiedot

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2.1 Ensimmäisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Muuttujan x ensimmäisen asteen yhtälöksi sanotaan yhtälöä, joka voidaan kirjoittaa muotoon ax + b = 0, missä vakiot a ja b ovat reaalilukuja

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009 Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.

Lisätiedot

Eksponenttifunktio ja Logaritmit, L3b

Eksponenttifunktio ja Logaritmit, L3b ja Logaritmit, L3b eksponentti-funktio Eksponentti-funktio Linkkejä kurssi8, / Etälukio (edu.) kurssi8, logaritmifunktio / Etälukio (edu.) Potenssifunktio y = f (x) = 2 Vakiofunktion y = a kuvaaja on vaakasuora

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π

Lisätiedot

Funktion määrittely (1/2)

Funktion määrittely (1/2) Funktion määrittely (1/2) Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon a täsmälleen yhden B:n alkion b. Merkitään b = f (a). Tässä A = M f on f :n määrittelyjoukko, B on f :n maalijoukko.

Lisätiedot

PERUSASIOITA ALGEBRASTA

PERUSASIOITA ALGEBRASTA PERUSASIOITA ALGEBRASTA Matti Lehtinen Tässä luetellut lauseet ja käsitteet kattavat suunnilleen sen mitä algebrallisissa kilpatehtävissä edellytetään. Ns. algebrallisia struktuureja jotka ovat nykyaikaisen

Lisätiedot

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin

Lisätiedot

Pythagoraan polku 16.4.2011

Pythagoraan polku 16.4.2011 Pythagoraan polku 6.4.20. Todista väittämä: Jos tasakylkisen kolmion toista kylkeä jatketaan omalla pituudellaan huipun toiselle puolelle ja jatkeen päätepiste yhdistetään kannan toisen päätepisteen kanssa,

Lisätiedot

Trigonometrian kaavat 1/6 Sisältö ESITIEDOT: trigonometriset funktiot

Trigonometrian kaavat 1/6 Sisältö ESITIEDOT: trigonometriset funktiot Trigonometrian kaavat 1/6 Sisältö Ulkoa muistettavat peruskaavat Trigonometrisia funktioita koskevia kaavoja on paljon. Seuraavassa esitetään tärkeimmät ja lyhyet ohjeet niiden muistamiseen. Varsinaisesti

Lisätiedot

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)

Lisätiedot

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.8.016 3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) x + x + 1 = 4 (x + 1) = 4 Luvun x + 1 tulee olla tai, jotta sen

Lisätiedot

Tehtävien ratkaisut

Tehtävien ratkaisut Tehtävien 1948 1957 ratkaisut 1948 Kun juna matkaa AB kulkiessaan pysähtyy väliasemilla, kuluu matkaan 10 % enemmän aikaa kuin jos se kulkisi pysähtymättä. Kuinka monta % olisi nopeutta lisättävä, jotta

Lisätiedot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot 3. Funktion raja-arvo ja jatkuvuus 3.1. Reaali- ja kompleksifunktiot 43. Olkoon f monotoninen ja rajoitettu välillä ]a,b[. Todista, että raja-arvot lim + f (x) ja lim x b f (x) ovat olemassa. Todista myös,

Lisätiedot

Algebra. 1. Ovatko alla olevat väittämät tosia? Perustele tai anna vastaesimerkki. 2. Laske. a) Luku 2 on luonnollinen luku.

Algebra. 1. Ovatko alla olevat väittämät tosia? Perustele tai anna vastaesimerkki. 2. Laske. a) Luku 2 on luonnollinen luku. Algebra 1. Ovatko alla olevat väittämät tosia? Perustele tai anna vastaesimerkki. a) Luku on luonnollinen luku. b) Z c) Luvut 5 6 ja 7 8 ovat rationaalilukuja, mutta luvut ja π eivät. d) sin(45 ) R e)

Lisätiedot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot Helsingin yliopisto, Itä-Suomen yliopisto, Jyväskylän yliopisto, Oulun yliopisto, Tampereen yliopisto ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe (Ratkaisut ja pisteytys) 500 Kustakin tehtävästä saa maksimissaan

Lisätiedot

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio 4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Tutkitaan yhtälöiden ratkaisuja piirtämällä funktioiden f(x) = x, f(x) = x 3, f(x) = x 4 ja f(x) = x 5 kuvaajat. Näin nähdään, monessako

Lisätiedot

Laudatur 2 MAA2 ratkaisut kertausharjoituksiin. 1. Polynomit 332.

Laudatur 2 MAA2 ratkaisut kertausharjoituksiin. 1. Polynomit 332. Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin. Polynomit. Vakiotermi 8 Kolmannen asteen termin kerroin, 5 8 = 9, Neljännen asteen termi n kerroin, 8 9, = 7,6 Kysytty polynomi P(a) = 7,6a + 9,a +a + ya +

Lisätiedot

LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN

LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN 1 LUKULAUSEKKEITA Ratkaise seuraava tehtävä: Retkeilijät ajoivat kahden tunnin ajan polkupyörällä maantietä pitkin 16 km/h nopeudella, ja sitten vielä kävelivät metsäpolkua

Lisätiedot

Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77

Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77 Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07 Kertaus K. a) sin 0 = 0,77 b) cos ( 0 ) = cos 0 = 0,6 c) sin 50 = sin (80 50 ) = sin 0 = 0,77 d) tan 0 = tan (0 80 ) = tan 0 =,9 e)

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä merkittyjen (*) tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. a) Ratkaise epäyhtälö >.

Lisätiedot

Funktio 1. a) Mikä on funktion f (x) = x lähtöjoukko eli määrittelyjoukko, kun 0 x 5?

Funktio 1. a) Mikä on funktion f (x) = x lähtöjoukko eli määrittelyjoukko, kun 0 x 5? Funktio. a) Mikä on funktion f (x) = x + lähtöjoukko eli määrittelyjoukko, kun 0 x 5? b) Mikä on funktion f (x) = x + maalijoukko eli arvojoukko? c) Selitä, mikä on funktion nollakohta. Anna esimerkki.

Lisätiedot

Epäyhtälöt 1/7 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt

Epäyhtälöt 1/7 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt Epäyhtälöt 1/7 Sisältö Epäyhtälö Epäyhtälöllä tarkoitetaan ehtoa, missä kahdesta lausekkeesta toinen on suurempi tai mahdollisesti yhtä suuri kuin toinen: f(x) < g(x), f(x) g(x).merkit voidaan luonnollisesti

Lisätiedot

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2. MAA4 Koe 5.5.01 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla

Lisätiedot

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0 Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8.9.07 Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) K. a) b) c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 6 6 a a a, a > 0 6 6 a

Lisätiedot

3 x 1 < 2. 2 b) b) x 3 < x 2x. f (x) 0 c) f (x) x + 4 x 4. 8. Etsi käänteisfunktio (määrittely- ja arvojoukkoineen) kun.

3 x 1 < 2. 2 b) b) x 3 < x 2x. f (x) 0 c) f (x) x + 4 x 4. 8. Etsi käänteisfunktio (määrittely- ja arvojoukkoineen) kun. Matematiikka KoTiA1 Demotehtäviä 1. Ratkaise epäyhtälöt x + 1 x 2 b) 3 x 1 < 2 x + 1 c) x 2 x 2 2. Ratkaise epäyhtälöt 2 x < 1 2 2 b) x 3 < x 2x 3. Olkoon f (x) kolmannen asteen polynomi jonka korkeimman

Lisätiedot

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Riikka Korte (Pekka Alestalon kalvojen pohjalta) Aalto-yliopisto 15.11.2016 Sisältö Alkeisfunktiot 1.1 Funktio I Funktio f : A! B on sääntö, joka liittää

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: 1 Funktio 1.1 Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet: 1 1. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä.

Lisätiedot

Matemaattisten menetelmien hallinnan tason testi.

Matemaattisten menetelmien hallinnan tason testi. Matemaattisten menetelmien hallinnan tason testi. Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vaihtoehto oikein.. Laskutoimitusten a) yhteen- ja vähennyslaskun b) kerto- ja jakolaskun c) potenssiin korotuksen järjestys

Lisätiedot

2 Pistejoukko koordinaatistossa

2 Pistejoukko koordinaatistossa Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia

Lisätiedot

OSA 1: YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO

OSA 1: YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO OSA : YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupila, Katja Leinonen, Tuomo Talala, Hanna Tuhkanen ja Pekka Vaaraniemi Alkupala Kolme kaverusta, Olli, Pekka

Lisätiedot

Differentiaalilaskenta 1.

Differentiaalilaskenta 1. Differentiaalilaskenta. a) Mikä on tangentti? Mikä on sekantti? b) Määrittele funktion monotonisuuteen liittyvät käsitteet: kasvava, aidosti kasvava, vähenevä ja aidosti vähenevä. Anna esimerkit. c) Selitä,

Lisätiedot

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3. Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin

Lisätiedot

1.1. YHDISTETTY FUNKTIO

1.1. YHDISTETTY FUNKTIO 1.1. YHDISTETTY FUNKTIO (g o f) () = g(f()) Funktio g = yhdistetyn funktion g o f ulkofunktio Funktio f = yhdistetyn funktion g o f sisäfunktio E.2. Olkoon f() = 2 + 3 ja g() = 4-5. Muodosta funktio a)

Lisätiedot

3.1 Väliarvolause. Funktion kasvaminen ja väheneminen

3.1 Väliarvolause. Funktion kasvaminen ja väheneminen Väliarvolause Funktion kasvaminen ja väheneminen LAUSE VÄLIARVOLAUSE Oletus: Funktio f on jatkuva suljetulla välillä I: a < x < b f on derivoituva välillä a < x < b Väite: On olemassa ainakin yksi välille

Lisätiedot

Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0,

Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0, Kertausosa. a),6 60 576 Peruuttaessa pyörähdyssuunta on vastapäivään. Kulma on siis,4 60 864 a) 576 864 0,88m. a) α b 0,6769... 0,68 (rad) r,m 8cm β,90...,9 (rad) 4cm a) α 0,68 (rad) β,9 (rad). a) 5,0

Lisätiedot

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4 KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + ( 1) + 3 ( 1) 3 = 3 + 3 = 4 K. a) x 3x + 7x 5x = 4x + 4x b) 5x 3 (1 x ) = 5x 3 1 + x = 6x 4 c) (x + 3)(x 4) = x 3 4x + 3x 1 = x 3 + 3x 4x 1 Vastaus: a) 4x +

Lisätiedot

k-kantaisen eksponenttifunktion ominaisuuksia

k-kantaisen eksponenttifunktion ominaisuuksia 3.1.1. k-kantaisen eksponenttifunktion ominaisuuksia f() = k (k > 0, k 1) Määrittely- ja arvojoukko M f = R, A f = R + Jatkuvuus Funktio f on jatkuva Monotonisuus Funktio f aidosti kasvava, kun k > 1 Funktio

Lisätiedot

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus:

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus: . Koska F( ) on jokin funktion f ( ) integraalifunktio, niin a+ a f() t dt F( a+ t) F( a) ( a+ ) b( a b) Vastaus: Kertausharjoituksia. Lukujonot 87. + n + lim lim n n n n Vastaus: suppenee raja-arvona

Lisätiedot

Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto. Vastaus: a) 90 b) 60 c) 216 d) 1260 e) 974,03 f) ,48

Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto. Vastaus: a) 90 b) 60 c) 216 d) 1260 e) 974,03 f) ,48 Trigonometriset funktiot 169. Muutetaan asteet radiaaneiksi. 180 astetta on radiaaneina π eli 180 = π rad Tällöin 1 rad. 180 45 1 a) 45 180 4 4 65 1 b) 65 180 6 10 c) 10 180 5 5 d) 5 180 4 40 7 e) 40 180

Lisätiedot

0. Kertausta. Luvut, lukujoukot (tavalliset) Osajoukot: Yhtälöt ja niiden ratkaisu: N, luonnolliset luvut (1,2,3,... ) Z, kokonaisluvut

0. Kertausta. Luvut, lukujoukot (tavalliset) Osajoukot: Yhtälöt ja niiden ratkaisu: N, luonnolliset luvut (1,2,3,... ) Z, kokonaisluvut 0. Kertausta Luvut, lukujoukot (tavalliset) N, luonnolliset luvut (1,2,3,... ) Z, kokonaisluvut Rationaaliluvut n/m, missä n,m Z Reaaliluvut R muodostavat jatkumon fysiikan lukujoukko Kompleksiluvut C:z

Lisätiedot

Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua.

Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua. 6 Alkeisfunktiot Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua. 6. Funktion määrittely Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon

Lisätiedot

2 Toisen asteen polynomifunktio

2 Toisen asteen polynomifunktio Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4.5.017 Toisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Merkitään taulukon pisteet koordinaatistoon ja hahmotellaan niiden kautta kulkeva

Lisätiedot

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän

Lisätiedot

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja

Lisätiedot

Ratkaisuja, Tehtävät

Ratkaisuja, Tehtävät ja, Tehtävät 988-97 988 a) Osoita, että lausekkeiden x 2 + + x 4 + 2x 2 ja x 2 + - x 4 + 2x 2 arvot ovat toistensa käänteislukuja kaikilla x:n arvoilla. b) Auton jarrutusmatka on verrannollinen nopeuden

Lisätiedot

Ratkaisut vuosien tehtäviin

Ratkaisut vuosien tehtäviin Ratkaisut vuosien 1958 1967 tehtäviin 1958 Pyörähtäessään korkeusjanansa ympäri tasakylkinen kolmio muodostaa kartion, jonka tilavuus on A, ja pyörähtäessään kylkensä ympäri kappaleen, jonka tilavuus on

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi 2

Matematiikan peruskurssi 2 Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat

Lisätiedot

, c) x = 0 tai x = 2. = x 3. 9 = 2 3, = eli kun x = 5 tai x = 1. Näistä

, c) x = 0 tai x = 2. = x 3. 9 = 2 3, = eli kun x = 5 tai x = 1. Näistä Pitkä matematiikka 8.9.0, ratkaisut:. a) ( x + x ) = ( + x + x ) 6x + 6x = + 6x + 6x x = x =. b) Jos x > 0, on x = + x x = + x. Tällä ei ole ratkaisua. Jos x 0, on x = + x x = + x x =. c) x = x ( x) =

Lisätiedot

Funktiot, L4. Funktio ja funktion kuvaaja. Funktio ja kuvaus. Yhdistetty funktio. eksponenttifunktio. Logaritmi-funktio. Logaritmikaavat.

Funktiot, L4. Funktio ja funktion kuvaaja. Funktio ja kuvaus. Yhdistetty funktio. eksponenttifunktio. Logaritmi-funktio. Logaritmikaavat. Funktiot, L4 eksponentti-funktio Funktio (Käytännöllinen määritelmä) 1 Linkkejä kurssi2 / Etälukio (edu.fi) kurssi8, / Etälukio (edu.fi) kurssi8, logaritmifunktio / Etälukio (edu.fi) Funktio (Käytännöllinen

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 110 Valitaan suoralta kaksi pistettä ja piirretään apukolmio, josta koordinaattien muutokset voidaan lukea. Vaakasuoran suoran kulmakerroin on nolla. y Suoran a kulmakerroin

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4 Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa A

Lisätiedot

1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio

1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio Ensimmäisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT. a) f(x) = x 4 b) Nollakohdassa funktio f saa arvon nolla eli kuvaaja kohtaa x-akselin. Kuvaajan perusteella funktion nollakohta on x,. c) Funktion f

Lisätiedot

ALGEBRA I. Antti Majaniemi. 1 1 A x2 y2 1. x x y y. x x y y ISBN 978-952-93-5799-4

ALGEBRA I. Antti Majaniemi. 1 1 A x2 y2 1. x x y y. x x y y ISBN 978-952-93-5799-4 ALGEBRA I Antti Majaniemi x y A x y x y x x y y x x y y 05 ISBN 978-95-9-5799-4 Tämä teos on lisensoitu Creative Commons Nimeä-EiKaupallinen 40 Kansainvälinen -lisenssillä Tarkastele lisenssiä osoitteessa

Lisätiedot

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2,

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2, MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 6. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + + + 4, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + +

Lisätiedot

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a)

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a) Pitkä matematiikka YO-koe 9..04. a) b) 7( x ) + = x ( x ) x(5 8 x) > 0 7x + = x x + 8x + 5x > 0 7x = 0 Nollakohdat: 0 8x + 5x = 0 x = 7 x(8x 5) = 0 5 5 x = 0 tai x = Vastaus: 0 < x < 8 8 c) a+ b) a b)

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ

MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ YLIOPPILSTUTKINTO- LUTKUNT..7 MTEMTIIKN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ -osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän alla olevaan ruudukkoon.

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 6: Alkeisfunktioista

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 6: Alkeisfunktioista MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 6: Alkeisfunktioista Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 28.9.2016 Pekka Alestalo,

Lisätiedot

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 7. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + 5 + +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c) +

Lisätiedot

6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset

6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 51 6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt Määritelmä 6.1. Olkoon I R avoin väli. Olkoot p i : I R, i = 0, 1, 2,..., n, ja q : I R jatkuvia

Lisätiedot

MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio

MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio Olkoon a 1 = a 2 = 5 ja a n+1 = a n + 6a n 1 kun n 2. Todista induktiolla, että a n = 3 n ( 2) n, kun n on positiivinen

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa

Lisätiedot

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6 MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+

Lisätiedot

Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin

Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin Yhtälöparit ja yhtälöryhmät 6. a) x y = 7 eli,y+, sijoitetaan alempaan yhtälöön x+ 7y = (, y+, ) + 7y =,y =, y = Sijoitetaan y = yhtälöparin ylempään yhtälöön.,

Lisätiedot

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö Funktion kasvavuus ja vähenevyys; paikalliset ääriarvot Jos derivoituvan reaalifunktion f derivaatta tietyssä pisteessä on positiivinen, f (x 0 ) > 0, niin funktion tangentti

Lisätiedot

l 1 2l + 1, c) 100 l=0

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 5. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) 5 + 5 +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c)

Lisätiedot

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. Suora Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 9..07 Ennakkotehtävät. a) Kumpaankin hintaan sisältyy perusmaksu ja minuuttikohtainen maksu. Hintojen erotus on kokonaan minuuttikohtaista

Lisätiedot

1.6. Yhteen- ja vähennyslaskukaavat

1.6. Yhteen- ja vähennyslaskukaavat Yhteen- ja vähennyslaskukaavoiksi sanotaan trigonometriassa niitä kaavoja, jotka sisältävät kehitelmät kahden reaaliluvun summan tai erotuksen trigonometriselle funktiolle, kuten sin( + y) sin cos y +

Lisätiedot

MATP153 Approbatur 1B Ohjaus 2 Keskiviikko torstai

MATP153 Approbatur 1B Ohjaus 2 Keskiviikko torstai MATP15 Approbatur 1B Ohjaus Keskiviikko 4.11. torstai 5.11.015 1. (Opiskeluteht. 6 s. 0.) Määritä sellainen vakio a, että polynomilla x + (a 1)x 4x a on juurena luku x = 1. Mitkä ovat tällöin muut juuret?.

Lisätiedot

Matemaattisen analyysin tukikurssi

Matemaattisen analyysin tukikurssi Matemaattisen analyysin tukikurssi 12. Kurssikerta Petrus Mikkola 5.12.2016 Tämän kerran asiat Sini-ja kosifunktio Yksikköympyrä Tangentti- ja kotangenttifunktio Trigonometristen funktioiden ominaisuuksia

Lisätiedot

Reaalifunktioista 1 / 17. Reaalifunktioista

Reaalifunktioista 1 / 17. Reaalifunktioista säilyy 1 / 17 säilyy Jos A, B R, niin funktiota f : A B sanotaan (yhden muuttujan) reaalifunktioksi. Tällöin karteesinen tulo A B on (aiempia esimerkkejä luonnollisemmalla tavalla) xy-tason osajoukko,

Lisätiedot

Ratkaisut vuosien tehtäviin

Ratkaisut vuosien tehtäviin Ratkaisut vuosien 1978 1987 tehtäviin Kaikki tehtävät ovat pitkän matematiikan kokeista. Eräissä tehtävissä on kaksi alakohtaa; ne olivat kokelaalle vaihtoehtoisia. 1978 Osoita, ettei mikään käyrän y 2

Lisätiedot

Trigonometriaa: kolmioita ja kaavoja

Trigonometriaa: kolmioita ja kaavoja Trigonometriaa: kolmioita ja kaavoja Trigonometriset funktiot voidaan määritellä eri tavoin Yksikköympyrään x + y 1 perustuva määritelmä on yleensä selkeä Jos A 1, 0) ja t 0 on reaaliluku, on olemassa

Lisätiedot

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A) Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut

Lisätiedot

Hyvä uusi opiskelija!

Hyvä uusi opiskelija! Hyvä uusi opiskelija! Tässä tulee tärkeää tietoa heti syksyn alussa pidettävästä laskutaitotestistä. Matematiikka kuuluu tekniikan alan opiskelijan tärkeimpiin oppiaineisiin. Matematiikan opiskelu kehittää

Lisätiedot

Sinin jatkuvuus. Lemma. Seuraus. Seuraus. Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Sini on jatkuva funktio.

Sinin jatkuvuus. Lemma. Seuraus. Seuraus. Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Sini on jatkuva funktio. Sinin jatkuvuus Lemma Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Seuraus Sini on jatkuva funktio. Seuraus Kosini, tangentti ja kotangentti ovat jatkuvia funktioita. Pekka Salmi FUNK 19. syyskuuta 2016 22 / 53 Yhdistetyn

Lisätiedot

Äärettömät raja-arvot

Äärettömät raja-arvot Äärettömät raja-arvot Määritelmä Funktion f oikeanpuoleinen raja-arvo pisteessä x 0 on + mikäli kaikilla R > 0 löytyy sellainen δ > 0 että f (x) > R aina kun x 0 < x < x 0 + δ. Funktion f oikeanpuoleinen

Lisätiedot

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua Mallivastaukset - Harjoituskoe E E a) x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4,35 < 0 x 3 7 4 b) 0 / x + dx = 0 ln x + = ln + ln 0 + = ln 0 Vastaus: ln c) x 4 3x 4 = 0 Sijoitetaan x = u Tulon nollasääntö

Lisätiedot

102 Käyrä. Piste ( 3,0 ) on käyrällä, jos ja vain jos sen koordinaatit. Siis piste ( 1, 2) Siis piste ( 3,0 ) ei ole käyrällä.

102 Käyrä. Piste ( 3,0 ) on käyrällä, jos ja vain jos sen koordinaatit. Siis piste ( 1, 2) Siis piste ( 3,0 ) ei ole käyrällä. Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 1 Päivitett 19..6 11 Todistus 1 Kärä x + = x + 4 5 3 31 = x x+ 4, jos ja vain jos pisteen 3,7 koordinaatit toteuttavat kärän htälön. Kun x = 3 ja

Lisätiedot

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö 3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö Yhtälön (tai funktion) y = a + b + c, missä a 0, kuvaaja ei ole suora, mutta ei ole yhtälökään ensimmäistä astetta. Funktioiden

Lisätiedot

1.5. Trigonometriset perusyhtälöt

1.5. Trigonometriset perusyhtälöt Tämän asian otsake on takavuosina ollut Trigonometriset yhtälöt ja sen käsittely tuolloin ollut huomattavasti laajempi. Perusyhtälöillä tarkoitetaan muotoa sin x = a tan x = c cos x = b (cot x = d) olevia

Lisätiedot

a b c d + + + + + + + + +

a b c d + + + + + + + + + 28. 10. 2010!"$#&%(')'+*(#-,.*/1032/465$*784 /(9:*;9."$ *;5> *@9 a b c d 1. + + + 2. 3. 4. 5. 6. + + + + + + + + + + P1. Valitaan kannaksi sivu, jonka pituus on 4. Koska toinen jäljelle jäävistä sivuista

Lisätiedot

XXIII Keski-Suomen lukiolaisten matematiikkakilpailu 23.1.2014, tehtävien ratkaisut

XXIII Keski-Suomen lukiolaisten matematiikkakilpailu 23.1.2014, tehtävien ratkaisut XXIII Keski-Suomen lukiolaisten matematiikkakilpailu 23.1.2014, tehtävien ratkaisut 1. Avaruusalus sijaitsee tason origossa (0, 0) ja liikkuu siitä vakionopeudella johonkin suuntaan, joka ei muutu. Tykki

Lisätiedot

30 + x. 15 + 0,5x = 2,5 + x 0,5x = 12,5 x = 25. 27,5a + 27,5b = 1,00 55 = 55. 2,5a + (30 2,5)b (27,5a + 27,5b) = 45 55.

30 + x. 15 + 0,5x = 2,5 + x 0,5x = 12,5 x = 25. 27,5a + 27,5b = 1,00 55 = 55. 2,5a + (30 2,5)b (27,5a + 27,5b) = 45 55. RATKAISUT, Insinöörimatematiikan koe 1.5.201 1. Kahdessa astiassa on bensiinin ja etanolin seosta. Ensimmäisessä astiassa on 10 litraa seosta, jonka tilavuudesta 5 % on etanolia. Toisessa astiassa on 20

Lisätiedot

MAA4 Abittikokeen vastaukset ja perusteluja 1. Määritä kuvassa olevien suorien s ja t yhtälöt. Suoran s yhtälö on = ja suoran t yhtälö on = + 2. Onko väittämä oikein vai väärin? 2.1 Suorat =5 +2 ja =5

Lisätiedot

MAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen

MAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen MAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen Tehtävä 1. Onko joukon X potenssijoukon P(X) laskutoimitus distributiivinen laskutoimituksen suhteen? Onko laskutoimitus distributiivinen laskutoimituksen

Lisätiedot

1 Kompleksiluvut. Kompleksiluvut 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 7

1 Kompleksiluvut. Kompleksiluvut 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 7 Kompleksiluvut 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 7 1 Kompleksiluvut Lukualueiden laajennuksia voi lähestyä polynomiyhtälöiden ratkaisemisen kautta. Yhtälön x+1 = 0 ratkaisemiseksi tarvitaan negatiivisia lukuja.

Lisätiedot

Sini- ja kosinifunktio

Sini- ja kosinifunktio Sini- ja kosinifunktio Trigonometriset funktio voidaan määritellä muun muassa potenssisarjana tai yksikköympyrän avulla. Yksikköympyrään pohjautuvassa määritelmässä sini- ja kosinifunktion muuttujana pidetään

Lisätiedot

Kompleksiluvut., 15. kesäkuuta /57

Kompleksiluvut., 15. kesäkuuta /57 Kompleksiluvut, 15. kesäkuuta 2017 1/57 Miksi kompleksilukuja? Reaaliluvut lukusuoran pisteet: Tiedetään, että 7 1 0 x 2 = 0 x = 0 1 7 x 2 = 1 x = 1 x = 1 x 2 = 7 x = 7 x = 7 x 2 = 1 ei ratkaisua reaalilukujen

Lisätiedot

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: MAA3 Geometria Koe 5.2.2016 Jussi Tyni Lue ohjeet ja tee tehtävät huolellisesti! Tee tarvittavat välivaiheet, vaikka laskimesta voikin ottaa tuloksia. Välivaiheet perustelevat vastauksesi. Tee pisteytysruudukko

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta Eksponenttifuntio Palautetaan mieliin, että Neperin luvulle e pätee: e ) n n n ) n n n n n ) n. Tästä määritelmästä seuraa, että eksponenttifunktio e x voidaan määrittää

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle / MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 5. viikolle / 9..5. Integroimismenetelmät Tehtävä : Laske osittaisintegroinnin avulla a) π x sin(x) dx,

Lisätiedot

Kurssikoe on maanantaina 29.6. Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla.

Kurssikoe on maanantaina 29.6. Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla. HY / Avoin ylioisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 201 Harjoitus 7 Ratkaisut palautettava viimeistään perjantaina 26.6.201 klo 16.00. Huom! Luennot ovat salissa CK112 maanantaista 1.6. lähtien.

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r.

Tekijä Pitkä matematiikka Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r. Tekijä Pitkä matematiikka 4 16.12.2016 K1 Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r. 3 r s = 0 4 r+ 4s = 2 12r 4s = 0 + r+ 4s = 2 13 r = 2 r = 2 13 2 Sijoitetaan r = esimerkiksi yhtälöparin

Lisätiedot