1. Murtoluvut, murtolausekkeet, murtopotenssit ja itseisarvo

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "1. Murtoluvut, murtolausekkeet, murtopotenssit ja itseisarvo"

Transkriptio

1 1. Murtoluvut, murtolausekkeet, murtopotenssit ja itseisarvo Olkoot a, b, c mielivaltaisesti valittuja reaalilukuja eli reaaliakselin pisteitä. Ne toteuttavat seuraavat laskulait (ns. kunta-aksioomat): (1) a + b = b + a, ab = ba (vaihdantalait) (2) a + (b + c) = (a + b) + c, a(bc) = (ab)c (liitäntälait) (3) a(b + c) = ab + ac, (a + b)c = ac + bc (osittelulait) (4) a + 0 = a, a 1 = a (5) On olemassa luvut x ja y joille a + x = 0, by = 1 (jos b 0). Tässä x on luvun a vastaluku, merkitään x = a, ja luku y on luvun b käänteisluku, merkitään y = b 1. Merkinnän ab 1 asemesta käytetään usein merkintää a/b. Liitäntälakien nojalla esim. tulo abcd ja summa a + b + c + d eivät tuota tulkintaongelmia ja sulkeita voidaan asettaa vapaasti kummassakin kirjoitelmassa. Esim. Olkoot a ja b nollasta eroavia reaalilukuja. Luvun a/b käänteisluku on b/a, sillä (5) (4) (5) a b b a = (ab 1 )(ba 1 ) = a(b 1 b)a 1 {}}{ = a 1 a 1 {}}{ = aa 1 {}}{ = 1. Kunta-aksioomista seuraa mm. laskusäännöt: (6) a 0 = 0 (aina) (7) a b c d = ac bd (b, d 0) (8) a b + c d = ad+cb bd (b, d 0) Perustellaan näistä (6) ja (8), säännön (7) perusteleminen jätetään harjoitustehtäväksi. (4) (3) {}}{ {}}{ (6): a 0 = a (0 + 0) = a 0 + a 0. Lisätään molemmille puolille a 0, jolloin väite seuraa aksioomista (5) ja (4). (8): ad+cb bd (1),(3) = (ad + bc)(bd) 1 = (ad + cb)d 1 b 1 {}}{ = add 1 b 1 + cbb 1 d 1 (5) {}}{ = ab 1 + cd 1 = a + c b d. 1

2 2 Esim. Olkoot a, b, c reaalilukuja, b 0. Silloin a b + c b (8) {}}{ ab + cb = bb (3) {}}{ = = (a + c)b bb = (a + c)b b 1 b 1 (5) {}}{ = (a + c)b 1 = a + c b Esim. Olkoot a, b, c, d reaalilukuja, joista b, c, d nollasta eroavia. Silloin a b c d = a ( c b d ) 1 a d = b c (7) {}}{ = ad bc Olkoon n positiivinen kokonaisluku ja olkoon a reaaliluku. - Jos n on pariton, niin yhtälöllä x n = a on täsmällen yksi reaalinen ratkaisu. Tämä ratkaisu on luvun a n:s juuri. - Jos n on parillinen ja a on positiivinen, niin yhtälöllä x n = a on täsmälleen yksi positiivinen ratkaisu. Tällöin tämä ratkaisu on luvun a n:s juuri. - Jos n on parillinen ja a on negatiivinen, niin luvulla n ei ole (reaalista) n:ttä juurta. - Luvun a n:ttä juurta merkitään symbolilla n a tai symbolilla a 1/n. Olkoot m ja n positiivisia kokonaislukuja ja a reaaliluku. Määritellään a m = a } a {{ a} m kertaa a m/n = (a 1/n ) m (jos a 1/n on olemassa) a m/n = (a m/n ) 1 a 0 = 1 Seuraavat pikku laskulait ovat usein käyttökelpoisia: (9) a 2 b 2 = (a b)(a + b) (10) a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 (tässä oikea puoli on binomin neliö) Nämä perustellaan kertomalla sulkeet pois eli käyttämällä osittelulakeja (3).

3 3 muodossa, jossa neliöjuurta ei esiinny viivan alla eli nimit- Esitetään luku täjässä: (4) {}}{ = = (4 101)(4+ 101) (9) {}}{ = (16 ( = ) 2 ) = Reaaliluvun a itseisarvo a on reaaliakselin pisteen a etäisyys pisteestä 0 eli { a, jos a < 0, a = a, jos a 0. Esim. Olkoon a reaaliluku. Silloin 2m a 2m = a kaikilla positiivisilla kokonaisluvuilla m. Erityisesti a 2 = a. Rationaaliluku on muotoa m/n oleva reaaliluku, missä m ja n ovat kokonaislukuja joista n 0. Rationaaliluku m/n on supistetussa muodossa, jos lukujen m ja n suurin yhteinen tekijä (eli jakaja) = 1. Jos a on positiivinen reaaliluku ja x on reaaliluku, niin määritellään a x = lim n a xn, missä (x n ) on lukua x kohti suppeneva rationaalilukujono. Olkoot u, v, x, y reaalilukuja. Seuraavat laskulait ovat voimassa ( u ) x (10) (uv) x = u x v x u x (11) = v (12) u x u y = u x+y (13) ux u = y ux y (14) (u x ) y = u xy kunhan kaavojen sekä oikea että vasen puoli on määritelty. Esim. u 2 v = u v, kunhan v ei ole negatiivinen. v x

4 4 Harjoitustehtäviä Anna seuraavien lausekkeiden arvo supistetussa muodossa olevana rationaalilukuna (a) (b) (c) (d) Anna seuraavien lausekkeiden arvo supistetussa muodossa olevana rationaalilukuna 100 (a) ( ) 2 99 (b) ( 33 (c) (d) ( ) 3 (e) ) Sievennä (a) ( ) (b) (c) Esitä seuraavat lausekkeet murtolausekkeina, joissa neliöjuurta ei esiinny nimittäjässä 1 (a) 2 (b) (c) ( 2+2) 1.5. Sievennä seuraavat lausekkeet täydentämällä juurrettava binomin neliöksi (a) (b) Sievennä (a) (a2 ) 3 b 3 c 2 (abc 1 ) 2 (b) (m 2 n 1 ) 3 (mn 2 ) 1 +m 1 n 1.7. Olkoon n kokonaisluku. Sievennä (a) ( 1) 2n+1 (a + a 2 )(a a 2 ) + ( 1) 2n (a 2 ) 1 ( ) (c) x2n+1 x 2n y x 1 (d) x 2 / x 3 x n+2 x n y 2 (x+1) 2 x 2 1 2x 2 2 (b) (2a+2)(3a 1) 6a2 2+4a 4a Sievennä (a) b 2 2ab + a 2 (b) a 3 a 2 b ab 2 b 3 a b (c) a b 3 b/a 2 3 a/b 2

5 5 2. Polynomiyhtälöt, lineaarinen yhtälöpari, itseisarvo- ja juuriyhtälö, toisen asteen käyrät ja niiden tangentit Olkoot a, b, c, d mielivaltaisesti valittuja reaalilukuja, d 0. Kunta-aksioomista johdettavia, yhtälöiden käsittelyä helpottavia laskusääntöjä: (1) a = b a + c = b + c (2) ab = 0 a = 0 tai b = 0 (tulon nollasääntö) (3) a = b da = db (4) a 2 = b 2 a = ±b Olkoot a ja b reaalilukuja. Ensimmäisen asteen yhtälö (eli lineaarinen yhtälö): ax + b = 0 (1) Jos a = b = 0, tällä on ratkaisuina (eli juurina) kaikki reaaliluvut x. (2) Jos a = 0 ja b 0, tällä ei ole ratkaisuja. (3) Jos a 0, tällä on yksikäsitteinen ratkaisu x = b/a. Lineaarinen yhtälöpari: { ax + by = c cx + dy = e Tällä on yksikäsitteinen ratkaisu (x, y) jos ja vain jos ad bc 0. Se voidaan ratkaista esim. ratkaisemalla jommasta kummasta yhtälöstä x ja sijoittamalla sen lauseke toiseen yhtälöön. Olkoot a, b, c reaalilukuja, a 0. Toiseen asteen yhtälö (eli kvadraattinen yhtälö): ax 2 + bx + c = 0 Se voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä: Kerrotaan yhtälö puolittain luvulla 4/a, jolloin saamme ekvivalentin yhtälön 0 = 4x b a x + 4 c a = (2x + b a )2 ( b a )2 + 4 c a, ekvivalentisti (2x + b a )2 = ( b a )2 4 c = 1 (b 2 4ac a a 2 } {{ } ). =:D (1) Jos D < 0, niin yhtälöllä ei ole (reaalisia) ratkaisuja. (2) Jos D = 0, niin yhtälöllä on yksikäsitteinen ratkaisu x = b 2a (kaksoisjuuri). (3) Jos D > 0, niin yhtälöllä on kaksi ratkaisua x = b± D. 2a Tässä D on yhtälön diskriminantti.

6 6 Olkoon n positiivinen kokonaisluku, ja olkoot a 0, a 1,..., a n reaalilukuja, a n 0. Astetta n oleva polynomiyhtälö on muotoa p(x) = 0 oleva yhtälö, missä p(x) on astetta n oleva polynomi(funktio): Nollakohtalause: p(x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0. p(c) = 0 p(x) = (x c)h(x), missä h(x) on astetta n 1 oleva polynomi. Esim. Yhtälön x 3 + 3x 2 4 = 0 eräs ratkaisu on x = 1. Jakokulmalaskulla saadaan x 3 + 3x 2 4 = (x 1)(x 2 + 4x + 4) = (x 1)(x + 2) 2. Täten yhtälön x 3 + 3x 2 4 = 0 kaikki ratkaisut ovat x = 1 ja x = 2. Ensimmäisen asteen polynomifunktion p(x) = ax + b kuvaaja on suora y = ax + b, jonka kulmakerroin on a. Toisen asteen polynomifunktion p(x) = ax 2 + bx + c kuvaaja on paraabeli y = ax 2 + bx + c. Kuva 1. Nouseva ja laskeva suora Kuva 2. Ylös- ja alaspäin aukeava paraabeli Paraabelin lisäksi muita keskeisiä toisen asteen tasokäyriä (kartioleikkauksia) ovat: r-säteinen ympyrä: x 2 + y 2 = r 2 Ellipsi, jonka pikkuakselit ovat a ja b: Hyperbeli, jonka pikkuakselit ovat a ja b: x 2 a 2 + y2 x 2 a 2 = 1 b 2 y2 = 1 b 2 Tasokäyrää voidaan siirrellä koordinaattimuunnoksella u = x x 0, v = y y 0. Esim. Tasokäyrä (x x 0 ) 2 +(y y 0 ) 2 = r 2 on uv-koordinaatistossa ympyrä u 2 +v 2 = r 2.

7 7 Kuva 3. Ympyrä (x 2) 2 + (y 3) 2 = 4 2 Kuva 4. Ellipsi x y2 4 2 = 1 Kuva 5. Hyperbeli x2 2 2 y2 3 2 = 1 (sininen käyrä) ja sen asymptootit y = ± 3 x (punaiset suorat). 2 Suora y = ax + b sivuaa tasokäyrää F (x, y) = 0 (eli on sen tangentti), jos niillä on vain yksi leikkauspiste ts. yhtälöllä F (x, ax + b) = 0 on vain yksi ratkaisu x. Esim. Osoitetaan, että suora y = ax + 6 sivuaa paraabelia y = x 2 + 2x + 5 jos ja vain jos a = 4 tai a = 0. Yhtälöllä ax + 6 = x 2 + 2x + 5 eli yhtälöllä x 2 + (a 2)x + 1 = 0 on täsmälleen yksi ratkaisu jos ja vain jos sen diskriminantti D = 0. Koska D = (a 2) 2 4 = (a 2 2)(a 2 + 2), niin D = 0 jos ja vain jos a = 4 tai a = 0. Kuva 6. Paraabeli y = x 2 +2x+5 ja sen muotoa y = ax + 6 olevat tangentit

8 8 Harjoitustehtäviä Millä vakion a arvoilla yhtälö a 2 x = (a + 1)x + 1 on ratkeava ja mitkä ovat sen ratkaisut? 2.2. Motoristilla on 50 litraa bensiinin ja öljyn seosta jossa on 10 % öljyä, sekä 100 litraa seosta jossa on 2 % öljyä. Mikä on suurin määrä p prosenttista öljyseosta, jonka hän näitä sekoittamalla voi saada, kun (a) p = 5 (b) p = 3? 2.3. Joukko-osasto, jonka pituus on 1.5 km marssii tasaisella nopeudella tietä pitkin. Sen loppupäästä lähtee moottoripyörälähetti, joka tasaisella nopeudella ajaen saavuttaa osaston alkupään kolmessa minuutissa. Paluumatka osaston loppupäähän kestää 2.5 minuuttia. Mikä on joukko-osaston ja mikä lähetin nopeus? 2.4. Määritä ne vakion a arvot, joilla lauseke supistuu polynomiksi Ratkaise juuriyhtälöt x 3 (a + 3)x 2 + 2a 2 x 4 x 2 3x + 2 (a) x + 1 = x 1 (b) x + 6 = x (c) 2x + 3 x 2 = Ratkaise itseisarvoyhtälöt (a) x = 2 (b) x x 1 = 3 (c) x 2 1 = x 1 (d) x 2 1 x = 3x 2.7. Tutki neliöksi täydentämällä minkä tasokäyrän muodostavat yhtälön 4y 2 +9x 2 + 8y 18x = 23 ratkaisut Määritä niiden ympyrää x 2 + y 2 = 10 sivuavien suorien yhtälöt, joiden kulmakerroin on 1/2. Määritä myös sivuamispisteet Hahmottele käyrän xy = 1 kuvaaja uv-koordinaatistossa, kun x = u v ja y = u + v.

9 9 3. Epäyhtälöistä Olkoot a, b, c mielivaltaisesti valittuja reaalilukuja. Ne toteuttavat seuraavat laskulait (ns. järjestysaksioomat): (1) Täsmälleen yksi relaatioista a = b, a < b, a > b on voimassa. (2) Jos a < b ja b < c, niin a < c. (3) Jos a < b, niin a + c < b + c. (4) Jos a > 0 ja b > 0, niin ab > 0. Järjestysaksioomista seuraavia laskulakeja: (5) Jos a > 0 ja b < c, niin ab < ac. (6) Jos a < 0 ja b < c, niin ab > bc. (7) ab > 0 jos ja vain jos a ja b ovat samanmerkkiset. (8) Jos a ja b ovat positiivisia, niin a 2 < b 2 jos ja vain jos a < b. (9) a < b jos ja vain jos b < a < b. (10) a > b jos ja vain jos a > b tai a < b Jos p(x) ja q(x) ovat muuttujan x sisältäviä lausekkeita, niin epäyhtälön p(x) < q(x) ratkaisemisella tarkoitetaan kaikkien sellaisten reaalilukujen c etsimistä joilla p(c) < q(c) eli joilla käyrä y = p(x) on käyrän y = q(x) alapuolella. Esim 1. Lineaarinen epäyhtälö 2x + 5 < 1 toteutuu täsmälleen niillä muuttujan x arvoilla, joilla x > 1 (1 5) = 2 (sovelletaan sääntöjä (3) ja (6)). 2 Esim 2. Olkoon a > 0. Jos yhtälöllä ax 2 + bx + c = 0 ei ole ratkaisuja tai sillä on kaksoisjuuri, niin epäyhtälöllä ax 2 + b + c < 0 ei ole ratkaisuja. Tällöin paraabeli y = ax 2 + bx + c ei milloinkaan käy x-akselin alapuolella. Jos ax 2 + bx + ca = a(x x 0 )(x x 1 ), missä x 0 < x 1, niin soveltamalla sääntöä (7) nähdään, että epäyhtälön ax 2 + bx + c < 0 ratkaisut ovat ehdon x 0 < x < x 1 toteuttavat x:n arvot. Nämä ovat siis ne x-akselin pisteet, joissa paraabeli y = ax 2 + bx + c on x-akselin alapuolella.

10 10 Kuva 7. Paraabeli y = (x+1)(x 3) on x-akselin alapuolella välillä 1 < x < 3 Esim 3. Ratkaistaan murtoepäyhtälö x2 3x+2 x+3 1: x 2 3x+2 x+3 1 x2 3x+2 (x+3) x+3 0 x2 4x 1 x+3 0 (x (2+ 5))(x (2 5)) x+3 0. Soveltamalla sääntöjä (3) ja (7) saadaan merkkikaavio, josta voidaan päätellä ratkaisut: x 2 4x x x 2 4x 1 x Täten x2 3x+2 x+3 1 jos ja vain jos 3 < x 2 5 tai x Esim 4. Ratkaistaan itseisarvoepäyhtälö x 2 1 x + 1: x 2 1 x + 1 (9) {}}{ x 1 x 2 1 x + 1 x 1 x 2 1 ja x 2 1 x + 1 (3) {}}{ x 2 + x 0 ja x 2 x 2 0 (x + 1)x 0 ja (x + 1)(x 2) 0 (7) {}}{ (x + 1)x(x + 1)(x 2) 0 (x + 1) 2 x(x 2) 0. Tulon nollasäänön ja säännön (7) nojalla tämä epäyhtälö on ratkeava jos ja vain jos 0 x 2 tai x = 1.

11 11 Kuva 8. Epäyhtälö x 2 1 x + 1 toteutuu täsmälleen niissä x-akselin pisteissä, joissa punainen käyrä ei ole sinisen alapuolella. Esim 5. Ratkaistaan juuriepäyhtälö 3 x 2 > 2x 1: Juurrettavan on oltava ei-negatiivinen, joten välttämättä on oltava 3 x 3. Koska neliöjuuri on aina ei-negatiivinen, niin epäyhtälö on tosi jos 2x 1 < 0 eli x < 1/2 (ja x 3). Jos 2x 1 0 eli x 1/2, niin nyt säännön (8) nojalla epäyhtälö on tosi jos ja vain jos ( 3 x 2 ) 2 > (2x 1) 2 3 x 2 > 4x 2 4x + 1 5x 2 4x 2 < 0 5(x )(x ) < 0 ( <) 1 2 x < (< 3) Siispä epäyhtälö on ratkeava jos ja vain jos 3 x < Kuva 9. Epäyhtälö 3 x 2 > 2x 1 toteutuu täsmälleen niissä x-akselin pisteissä, joissa punainen käyrä on sinisen alapuolella.

12 12 Harjoitustehtäviä Ratkaise epäyhtälöt (a) 2x+6 3 < 3x 1 (b) (x 2) 2 (2x 1)(x+3) 2 > Ratkaise epäyhtälöt (a) x 2 + x + 2 > 0 (b) 4x 2 12x + 9 > 0 (c) x 2 + x 2 > Ratkaise epäyhtälöt (a) 1 x + 1 x 2 1 x 3 (b) (x 2 + x 1) 2 < x Ratkaise epäyhtälö a 2 x (2a 1)x + 1 vakion a eri arvoilla Ratkaise epäyhtälöt (a) 2x + 3 > x 1 (b) x 2 x 5 < x 2 + x Piirrä tasoon seuraavien epäyhtälöiden ratkaisujoukot: (a) (x 2) 2 + (x 1) 2 2 (b) x + y < Ratkaise epäyhtälöt (a) x < x (b) x + 1 > x 2 1 (c) x + 2 < 2x 2 (d) 4 x 2 > x + 3 (e) 1 x 2 < x

13 13 4. Trigonometrisista funktioista Olkoon t reaaliluku ja olkoon P t = (x t, y t ) se origo-keskisen yksikköympyrän x 2 + y 2 = 1 piste, jonka etäisyys pisteestä pisteestä P 0 = (1, 0) mitattuna pitkin ympyrän kaarta on t, kun kuljetaan (a) vastapäivään jos t 0, (b) myötäpäivään jos t < 0. Tällöin lukua t sanotaan pisteen P t kulmaksi ja sen yksikkö on radiaani (rad). Annetun kehäpisteen P t kulma ei ole yksikäsitteinen, sillä myös t + k 2π on sen kulma kaikilla kokonaisluvuilla k (sillä yksikköympyrän kehän pituus on 2π). Jos kulma t rajoitetaan välille 0 t < 2π, niin sitä sanotaan pisteen P t vaihekulmaksi. Koska yksikköympyrän kehän pituus on 2π, niin 2π rad = 360 ja saamme mm. piste (x, y) vaihekulma/rad vaihekulma/ (1, 0) 0 0 (0, 1) π/2 90 ( 1, 0) π 180 (0, 1) 3π/2 270 Olkoon t reaaliluku. Pisteen P t = (x t, y t ) x-koordinaattia x t sanotaan kulman t kosiniksi ja merkitään cos t. Pisteen P t y-koordinaattia y t sanotaan kulman t siniksi ja merkitään sin t. Koska piste P t on yksikköympyrällä, niin x 2 t + y 2 t = 1 ja näin ollen (1) cos 2 t + sin 2 t = 1 kaikilla reaaliluvuilla t. Koska P t = P t+k2π kaikilla kokonaisluvuilla k, niin kosini ja sini ovat 2π-jaksollisia ts. (2) cos t = cos(t + k2π), sin t = sin(t + k2π) kaikilla kokonaisluvuilla k. Kuva 10. Ympyrän x 2 + y 2 = 1 eräs piste P t = (cos t, sin t) ja sen vaihekulma t

14 14 Esim. Edellisen taulukon nojalla saamme seuraavat kosinin ja sinin arvot: t/rad cos t sin t π/2 0 1 π π/2 0-1 Esim. Lasketaan (a) sin(π/4) ja cos(π/4), (b) sin(π/3) ja cos(π/3) (ks. kuva (11)) (a) Koska π/4 on puolet kulmasta π/2, niin piste P π/4 sijaitsee suoralla y = x. Sijoittamalla x = y yksikköympyrän yhtälöön x 2 + y 2 = 1 saadaan x = y = 1/ 2 ts. sin(π/4) = cos(π/4) = 1/ 2. (b) Olkoon A = (1, 0) ja O = (0, 0). Kolmio P π/3 OA on tasakylkinen, joten sivujen AO ja AP π/3 välinen kulma on yhtä suuri kuin sivujen P π/3 O ja P π/3 A välinen kulma. Täten kolmio AP π/3 B on tasasivuinen, jonka sivu on 1. Täten cos(π/3) = 1/2 ja sin(π/3) = 1 (1/2) 2 = 3/2. Kuva 11 Sinillä ja kosinilla on seuraavat symmetriaominaisuudet (ks. kuva (12)): (3) cos( t) = cos t, (4) sin( t) = sin t (peilaus x-akselin suhteen) (4) cos(π t) = cos t, (5) sin(π t) = sin t (peilaus y-akselin suhteen) (6) cos(π + t) = cos t (7) sin(π + t) = sin t (peilaus x- ja y-akselien suhteen) Kuva 12

15 15 Perustellaan seuraavaksi keskeinen ns. kosinin yhteenlaskukaava: (8) cos(s t) = cos s cos t + sin s sin t Olkoot s ja t reaalilukuja ja O = (0, 0), A = (1, 0), P s = (x s, y s ), P t = (x t, y t ) ja P s t = (x s t, y s t ). Koska kolmiot P t OP s ja AOP s t yhtenevät (ks. kuva (13)) niin sivut P s P t ja P s t A ovat yhtä pitkät eli (x s x t ) 2 + (y s y t ) 2 = (x s t 1) 2 + (y s t 0) 2 (cos s cos t) 2 + (sin s sin t) 2 = (cos(s t) 1) 2 + (sin(s t) 0) 2 cos 2 s 2 cos s cos t + cos 2 t + sin 2 s 2 sin s sin t + sin 2 t = cos 2 (s t) 2 cos(s t) sin 2 (s t) =1 =1 { }} { { }} { cos 2 s + sin 2 s + cos 2 t + sin 2 t 2 sin s sin t 2 cos s cos t = cos 2 (s t) + sin 2 (s t) 2 cos(s t) + 1 } {{ } =1 2 2(cos s cos t + sin s sin t) = 2 2 cos(s t), mistä kaava (8) seuraa välittömästi. Kuva 13

16 16 Kaavasta (8) seuraa seuraavat kosinin ja sinin symmetriaominaisuudet (joka ovat ilmeisiä geometrisestikin): (9) sin t = cos(π/2 t), (10) cos t = sin(π/2 t) (peilaus suoran y = x suhteen). Nimittäin kaavasta (8) seuraa heti kaava (9): cos(π/2 t) = cos(π/2) cos t + sin(π/2) sin t = sin t, ja tästä seuraa myös kaava (10): sin(π/2 t) = cos(π/2 (π/2 t)) = cos t. Kaavoista (3)-(6) saadaan helposti myös seuraavat yhteenlaskukaavat: (11) cos(s + t) = cos s cos t sin s sin t (12) sin(s + t) = sin s cos t + cos s sin t (13) sin(s t) = sin s cos t cos s sin t ja monia muita trigonometrisia kaavoja, joita löytyy taulukkokirjoista. Esim. Perustellaan kaava: sin(2u) = 2 sin u cos u. Valitaan s = t = u lausekkeessa sin(s + t), jolloin kaavan (12) nojalla sin(2u) = sin(u + u) = sin u cos u + cos u sin u = 2 sin u cos u. Kulman t sinin ja kosinin osamäärä on kulman t tangentti, merkitään tan t. Se on määritelty aina kun cos t 0 ts. tan t = sin t cos t, missä t (2k + 1)π kaikilla kokonaisluvuilla k. 2 Koska tan(t + π) = niin tan t on π-jaksollinen ts. sin(t + π) cos(t + π) = sin t cos t = sin t cos t = tan t, tan t = tan(t + kπ) kaikilla kokonaisluvilla k.

17 17 Olkoon P = (x, y) tason piste ja r janan OP pituus. Olkoon OP t janan OP suuntainen yksikköympyrän säde. Koska janan OP pituus on r-kertainen janan OP t pituuteen nähden, niin sama pätee myös pisteiden P ja P t koordinaateille ts. x = rx t = r cos t y = ry t = r sin t. Tässä r ja t ovat pisteen P napakoordinaatit, kun π < t π. Nyt siis r = x 2 + y 2 ja tan t = y/x. Kuva 14. Piste P ja sen napakoordinaatit r ja t Koska sini ja kosini liittävät jokaiseen reaalilukuun t yksikäsitteisen reaaliluvun, ovat ne funktioita, nk. trigonometrisia funktioita, joiden määrittelyjoukko on R. Kummankin arvojoukko on suljettu väli [ 1, 1]. Tangentti on trigonometrinen funktio, jonka määrittelyjoukko on R poislukien muuttujan t arvot (2k + 1) π, missä k on kokonaisluku. 2 Kun siniä, kosinia ja tangenttia ajatellaan funktioina, niin tällöin usein muuttujan nimenä käytetään kirjainta x kirjaimen t asemesta. Kuva 15. Funktion f(x) = sin x kuvaaja Kuva 16. Funktion f(x) = cos x kuvaaja

18 18 Kuva 17. Funktion f(x) = tan x kuvaaja Tarkastellaan joidenkin trigonometristen yhtälöiden ratkaisemista. Olkoon a reaaliluku. (A) Jos a > 1, niin yhtälöillä sin x = a ja cos x = a ei ole ratkaisua, koska tällöin suora y = a ei milloinkaan leikkaa käyriä y = sin x ja y = cos x. (B) Jos a < 1, niin sekä yhtälöllä sin x = a että cos x = a on välillä [0, 2π) täsmälleen kaksi ratkaisua, koska suora y = a leikkaa käyriä y = sin x ja y = cos x täsmälleen kahdessa pistessä ko. välillä. (C) Jos a = 1, niin sekä yhtälöllä sin x = a että cos x = a on välillä [0, 2π) on täsmälleen yksi ratkaisu, koska suora y = a leikkaa käyriä y = sin x ja y = cos x täsmälleen yhdessä pistessä ko. välillä. Jos u on välille [0, 2π) kuuluva yhtälön sin x = a ratkaisu, niin sen toinen ko. välille kuuluva ratkaisu on π u (tai 3π u jos π u < 0), sillä sin(π u) = sin u = a. Siis sin x = sin u x = u + k2π tai x = π u + k2π, kaikilla kokonaisluvuilla k. Jos u on välille [0, 2π) kuuluva yhtälön cos x = a ratkaisu, niin sen toinen ko. välille kuuluva ratkaisu on 2π u, sillä cos(2π u) = cos( u) = cos u = a. Siis cos x = cos u x = ±u + k2π, kaikilla kokonaisluvuilla k.

19 19 Olkoon a reaaliluku. Yhtälöllä tan x = a on yksikäsitteinen ratkaisu u välillä ( π/2, π/2), sillä ko. välillä suora y = a leikkaa käyrää y = tan x täsmälleen yhdessä pisteessä. Siis tan x = tan u x = u + kπ, kaikilla kokonaisluvuilla k. Esim. Ratkaistaan yhtälö sin x = cos(3x). Kaavan (7) nojalla sin x = cos(π/2 x), joten ratkaistavana on yhtälö ekvivalentisti Täten cos(π/2 x) = cos(3x), π/2 x = ±3x + k2π. x = π 8 + k π 2 tai x = π + kπ, kaikilla kokonaisluvuilla k. 4 Esim. Ratkaistaan yhtälö sin x = 3 cos x. Tämä on ekvivalentti yhtälön tan x = 3 kanssa. Laskimesta saadaan ratkaisun likarvo x = rad = ( /π) =

20 20 Harjoitustehtäviä Laske kulmaa t vastaavan yksikköympyrän pisteen koordinaattien tarkat arvot, kun (a) t = 6002π/6 (b) t = 12015π/ Olkoon t reaaliluku, jolle sin t = π/4. Laske likiarvoja käyttämättä (a) cos t (b) tan t 4.3. (a) Laske likiarvoja käyttämättä cos(k π) 3 ja sin(k π ) kaikilla kokonaisluvuilla k. 3 (b) Piirrä tasoon pisteet (x, y) = (cos(k π), sin(k π )) kaikilla kokonaisluvuilla k Ratkaise likiarvoja käyttämättä yhtälöt (a) sin x = sin 3 (b) cos x = cos 3 (c) tan x = tan Ratkaise yhtälöt (a) sin(3x) + cos(x/2) = 0 (b) 3 sin x + (cos x)/2 = 0 (c) tan x = sin(2x) 4.6. Ratkaise yhtälöt (a) sin 2 x 2 cos x 2 = 0 (b) (x 2 1) 5 sin(2x 1) = Ratkaise likiarvoja käyttämättä yhtälöt (a) sin(cos x) = 0 (b) 2 cos(sin x) = Ratkaise likiarvoja käyttämättä epäyhtälöt (a) sin x < 1/ 2 (b) cos x > 1/2 (c) tan x Olkoon f(t) = 3 cos t + 4 sin t. Etsi sellaiset reaaliluvut A ja B, että f(t) = A sin(t + B) kaikilla reaaliluvuilla t. (Vihje: käytä yhteenlaskukaavaa lausekkeelle sin(t + B) ja vertaa kertoimia.)

21 21 5. Eksponentti- ja logaritmifunktio Olkoon k 1 positiivinen reaaliluku. Muotoa f(x) = k x olevaa funktiota sanotaan eksponenttifunktioksi ja lukua k sen kantaluvuksi ja muuttujaa x sen eksponentiksi. Eräs tärkeä kantaluvun k arvo on Neperin luku e, joka määritellään raja-arvona ( 1 ) n e = lim n n n Esim. Funktio f(x) = e 2x e 2x = (e 2 ) x. on eksponenttifunktio, jonka kantaluku on e 2, sillä Kaikille eksponenttifunktioille f(x) pätee: (1) f(x):n arvojoukko on koko positiivisten reaalilukujen joukko (2) f(x) on aidosti kasvava jos k > 1 ja aidosti vähenevä jos k < 1. (3) f(0) = 1 Kuva 18. Eksponenttifunktioiden f(x) = k x kuvaajia eri kantalukujen k arvoilla Esim. Ratkaistaan yhtälö 2 x = 3 4. Koska 3 4 = 4 1/3 = (2 2 ) 1/3 = 2 2/3, niin ratkaistavana on siis yhtälö 2 x = 2 2/3. Ominaisuuden (2) nojalla 2 x = 2 2/3 jos ja vain jos x = 2/3 eli x = ±2/3.

22 22 Esim. Ratkaistaan yhtälö 2 x x = 4. Kerrotaan yhtälö puolittain 2 x :llä, jolloin saadaan ekvivalentti yhtälö 2 2x + 4 = 4 2 x (2 x ) x + 4 = 0 (2 x 2) 2 = 0 2 x {}}{ = 2 x = 1. (2) Olkoon a positiivinen reaaliluku. Eksponenttifunktion f(x) = k x ominaisuuksien (1) ja (2) nojalla yhtälöllä k x = a on täsmälleen yksi ratkaisu. Tätä sanotaan a:n k-kantaiseksi logaritmiksi ja merkitään log k a. Merkinnän log k a asemesta käytetään joskus myös merkintää log a, jollei ole tarpeen korostaa kantalukua. Jos k = e, niin yleensä käytetään merkintää ln a merkinnän log e a asemesta. Esim. log k k = 1 sillä k 1 = k, ja log k 1 = 0 sillä k 0 = 1. Esim. log = 10 sillä 2 10 = Esim. Minkä luvun 5-kantainen logaritmi on 1/3? Ratkaisu: log 5 a = 1/3 jos ja vain jos a = 5 1/3 = 1/ 3 5. Esim. Ratkaistaan yhtälö log 3 (x + 2) = 2. Määritelmän nojalla log 3 (x + 2) = 2 jos ja vain jos 3 2 = x + 2 jos ja vain jos x = 7. Liittämällä jokaiseen positiviiseen reaalilukuun x sen logaritmi, saadaan k-kantainen logaritmifunktio f(x) = log k x. Koska k x = y x = log k y, niin logaritmifunktio on eksponenttifunktion käänteisfunktio ja niiden kuvaajat saadaat toisistaan peilaamalla ne suoran y = x suhteen.

23 23 Kuva 19. Funktion f(x) = k x ja sen käänteisfunktion f 1 (x) = log k x kuvaajat (k > 1) Olkoot a, b, c reaalilukuja ja oletetaan, että a > 0 ja b > 0. k-kantaistelle logaritmille log on voimassa seuraavat laskusäännöt: (4) log(ab) = log a + log b (5) log(a/b) = log a log b (6) log a c = c log a Perustellaan näistä sääntö (4). Sääntö (4) väittää, että yhtälön k x = ab ratkaisu on log a + log b. Näytetään, että tämä pitää paikkansa, käyttäen Luvun 1 kaavaa (12): k log a+log b = k log a k log b = ab. Laskusäännöt (5) ja (6) perustellaan samaan tapaan käyttäen Luvun 1 kaavoja (13) ja (14). Esim. Millä x:n arvoilla pätee kaava log 2x 1 1 x = log(2x 1) log(1 x)? Ratkaisu. Kaavan (5) nojalla kaava pätee kaikilla niillä x:n arvoilla, joilla molemmat puolet on määritelty. Oikea puoli on määritelty jos ja vain jos 2x 1 > 0 ja 1 x > 0 eli 1/2 < x < 1. Tällöin myös 2x 1 > 0, joten ko. kaava pätee jos ja vain jos 1/2 < x < 1. 1 x Esim. Lasketaan logaritmien laskusääntöjen avulla seuraavien logaritmien tarkat arvot: (a) log (b) (lg 50)2 (lg 2) 2 lg 5 missä lg = log 10. Ratkaisu: (a) log = log 2 (2 2 1/7 ) 1/3 = log 2 (2 8/7 ) 1/3 = 1 3 log 2(2 8/7 ) = = (b) (lg 50)2 (lg 2) 2 lg 5 = (lg 50 lg 2)(lg 50+lg 2) lg 5 = lg(50/2) lg(50 2) lg 5 = lg 25 lg 100 lg 5 = lg 52 2 lg 5 = 2 lg 5 2 lg 5 = 4.

24 24 Olkoot k, h ja a positiivisia reaalilukuja. Silloin voimme siirtyä k-kantaisesta logaritmista h-kantaiseen: (7) log h a = 1 log k h log k a, erityisesti log h a = 1 ln h ln a Nimittäin a = h log h a, joten ottamalla puolittain k-kantaiset logaritmit saadaan säännön (6) nojalla yhtälö log k a = (log h a)(log k h). Esim. Ratkaistaan yhtälö log 2 x + ln x = 3. Nyt log 2 x = 1 ln x, joten yhtälö on ln 2 ekvivalentti yhtälön ( 1 + 1) ln x = 3 kanssa. Täten ln 2 3 log 2 x + ln x = 3 ln x = x = e 3 ln 2 1+ln ln 2 Esim. Olkoot k positiivinen reaaliluku. Osoitetaan, että funktion f(x) = log 1/k (x) kuvaaja saadaan funktion g(x) = log k (x) kuvaajasta peilaamalla se x-akselin suhteen. Ts. osoitetaan, että log 1/k (x) = log k (x) kaikilla positiivisilla reaaliluvuilla x. Olkoon a positiivinen reaaliluku. Nyt (7) {}}{ 1 log 1/k a = log log k (1/k) k a = 1 {}}{ 1 log log k k 1 k a = log log k k k a = log k a. (7)

25 25 Harjoitustehtäviä Ratkaise yhtälöt (a) 2 x x 1 = 2 (b) 2 x+1 2 x 1 = Ratkaise yhtälö 3 x x = Millä vakion a arvolla yhtälö e sin x + a = 3 on ratkeava? 5.4. Ratkaise epäyhtälöt (a) e x2 sin x > 0 (b) 3 x2 5x+8 > 9 (c) 5 x Ratkaise yhtälöt (a) log 2 x = 3 (b) log x 3 = 1/2 (c) log x (x + 1) = Ratkaise yhtälöt (a) ln(x+1) ln(x 1) = 2 (b) 2 log 10(x 1) = log 10 (x + 2) Ratkaise yhtälö log x 2 log2 x = Ratkaise epäyhtälö log 1/3 (x 2 2) Ratkaise epäyhtälö log x (4x 2) > Olkoon n (> 1) positiivinen kokonaisluku. Millä kantaluvun k arvoilla pätee: log k ( 1 2 ) + log k( 2 3 ) + log k( 3 4 ) + + log k( n 1 n ) 1

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2.1 Ensimmäisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Muuttujan x ensimmäisen asteen yhtälöksi sanotaan yhtälöä, joka voidaan kirjoittaa muotoon ax + b = 0, missä vakiot a ja b ovat reaalilukuja

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009 Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.

Lisätiedot

Eksponenttifunktio ja Logaritmit, L3b

Eksponenttifunktio ja Logaritmit, L3b ja Logaritmit, L3b eksponentti-funktio Eksponentti-funktio Linkkejä kurssi8, / Etälukio (edu.) kurssi8, logaritmifunktio / Etälukio (edu.) Potenssifunktio y = f (x) = 2 Vakiofunktion y = a kuvaaja on vaakasuora

Lisätiedot

Funktion määrittely (1/2)

Funktion määrittely (1/2) Funktion määrittely (1/2) Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon a täsmälleen yhden B:n alkion b. Merkitään b = f (a). Tässä A = M f on f :n määrittelyjoukko, B on f :n maalijoukko.

Lisätiedot

Pythagoraan polku 16.4.2011

Pythagoraan polku 16.4.2011 Pythagoraan polku 6.4.20. Todista väittämä: Jos tasakylkisen kolmion toista kylkeä jatketaan omalla pituudellaan huipun toiselle puolelle ja jatkeen päätepiste yhdistetään kannan toisen päätepisteen kanssa,

Lisätiedot

PERUSASIOITA ALGEBRASTA

PERUSASIOITA ALGEBRASTA PERUSASIOITA ALGEBRASTA Matti Lehtinen Tässä luetellut lauseet ja käsitteet kattavat suunnilleen sen mitä algebrallisissa kilpatehtävissä edellytetään. Ns. algebrallisia struktuureja jotka ovat nykyaikaisen

Lisätiedot

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin

Lisätiedot

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)

Lisätiedot

LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN

LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN 1 LUKULAUSEKKEITA Ratkaise seuraava tehtävä: Retkeilijät ajoivat kahden tunnin ajan polkupyörällä maantietä pitkin 16 km/h nopeudella, ja sitten vielä kävelivät metsäpolkua

Lisätiedot

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2. MAA4 Koe 5.5.01 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse

Lisätiedot

OSA 1: YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO

OSA 1: YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO OSA : YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupila, Katja Leinonen, Tuomo Talala, Hanna Tuhkanen ja Pekka Vaaraniemi Alkupala Kolme kaverusta, Olli, Pekka

Lisätiedot

3 x 1 < 2. 2 b) b) x 3 < x 2x. f (x) 0 c) f (x) x + 4 x 4. 8. Etsi käänteisfunktio (määrittely- ja arvojoukkoineen) kun.

3 x 1 < 2. 2 b) b) x 3 < x 2x. f (x) 0 c) f (x) x + 4 x 4. 8. Etsi käänteisfunktio (määrittely- ja arvojoukkoineen) kun. Matematiikka KoTiA1 Demotehtäviä 1. Ratkaise epäyhtälöt x + 1 x 2 b) 3 x 1 < 2 x + 1 c) x 2 x 2 2. Ratkaise epäyhtälöt 2 x < 1 2 2 b) x 3 < x 2x 3. Olkoon f (x) kolmannen asteen polynomi jonka korkeimman

Lisätiedot

Matemaattisten menetelmien hallinnan tason testi.

Matemaattisten menetelmien hallinnan tason testi. Matemaattisten menetelmien hallinnan tason testi. Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vaihtoehto oikein.. Laskutoimitusten a) yhteen- ja vähennyslaskun b) kerto- ja jakolaskun c) potenssiin korotuksen järjestys

Lisätiedot

ALGEBRA I. Antti Majaniemi. 1 1 A x2 y2 1. x x y y. x x y y ISBN 978-952-93-5799-4

ALGEBRA I. Antti Majaniemi. 1 1 A x2 y2 1. x x y y. x x y y ISBN 978-952-93-5799-4 ALGEBRA I Antti Majaniemi x y A x y x y x x y y x x y y 05 ISBN 978-95-9-5799-4 Tämä teos on lisensoitu Creative Commons Nimeä-EiKaupallinen 40 Kansainvälinen -lisenssillä Tarkastele lisenssiä osoitteessa

Lisätiedot

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3. Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin

Lisätiedot

Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua.

Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua. 6 Alkeisfunktiot Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua. 6. Funktion määrittely Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

Trigonometriaa: kolmioita ja kaavoja

Trigonometriaa: kolmioita ja kaavoja Trigonometriaa: kolmioita ja kaavoja Trigonometriset funktiot voidaan määritellä eri tavoin Yksikköympyrään x + y 1 perustuva määritelmä on yleensä selkeä Jos A 1, 0) ja t 0 on reaaliluku, on olemassa

Lisätiedot

Reaalifunktioista 1 / 17. Reaalifunktioista

Reaalifunktioista 1 / 17. Reaalifunktioista säilyy 1 / 17 säilyy Jos A, B R, niin funktiota f : A B sanotaan (yhden muuttujan) reaalifunktioksi. Tällöin karteesinen tulo A B on (aiempia esimerkkejä luonnollisemmalla tavalla) xy-tason osajoukko,

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa

Lisätiedot

MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio

MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio Olkoon a 1 = a 2 = 5 ja a n+1 = a n + 6a n 1 kun n 2. Todista induktiolla, että a n = 3 n ( 2) n, kun n on positiivinen

Lisätiedot

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö 3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö Yhtälön (tai funktion) y = a + b + c, missä a 0, kuvaaja ei ole suora, mutta ei ole yhtälökään ensimmäistä astetta. Funktioiden

Lisätiedot

Yksinkertaisin (jollain tavalla mielenkiintoinen) yhtälö lienee muotoa. x + a = b,

Yksinkertaisin (jollain tavalla mielenkiintoinen) yhtälö lienee muotoa. x + a = b, Kompleksiluvut c Pekka Alestalo 013 Tämä moniste sisältää perusasiat kompleksiluvuista. Tähdellä merkityt kohdat ovat lähinnä oheislukemistoksi tarkoitettua materiaalia. 1 Lukujoukot Uuden tyyppisten lukujen

Lisätiedot

MAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen

MAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen MAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen Tehtävä 1. Onko joukon X potenssijoukon P(X) laskutoimitus distributiivinen laskutoimituksen suhteen? Onko laskutoimitus distributiivinen laskutoimituksen

Lisätiedot

XXIII Keski-Suomen lukiolaisten matematiikkakilpailu 23.1.2014, tehtävien ratkaisut

XXIII Keski-Suomen lukiolaisten matematiikkakilpailu 23.1.2014, tehtävien ratkaisut XXIII Keski-Suomen lukiolaisten matematiikkakilpailu 23.1.2014, tehtävien ratkaisut 1. Avaruusalus sijaitsee tason origossa (0, 0) ja liikkuu siitä vakionopeudella johonkin suuntaan, joka ei muutu. Tykki

Lisätiedot

3 Eksponentiaalinen malli

3 Eksponentiaalinen malli Eksponentiaalinen malli Eksponentiaalinen kasvaminen ja väheneminen 6. Kulunut aika (h) Bakteerien määrä 0 80 0 60 0 0 7 7 0 0 0 6. 90 % 0,90 Pienennöksiä (kpl) Piirroksen korkeus (cm) 0,90 6,0, 0,90 6,0,06,

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta Eksponenttifuntio Palautetaan mieliin, että Neperin luvulle e pätee: e ) n n n ) n n n n n ) n. Tästä määritelmästä seuraa, että eksponenttifunktio e x voidaan määrittää

Lisätiedot

2.2 Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt

2.2 Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt . Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt MÄÄRITELMÄ 3: Lukua b sanotaan luvun a neliöjuureksi, merkitään a b, jos b täyttää kaksi ehtoa: 1o b > 0 o b a Esim.1 Määritä a) 64 b) 0 c) 36 a) Luvun 64 neliöjuuri

Lisätiedot

a b c d + + + + + + + + +

a b c d + + + + + + + + + 28. 10. 2010!"$#&%(')'+*(#-,.*/1032/465$*784 /(9:*;9."$ *;5> *@9 a b c d 1. + + + 2. 3. 4. 5. 6. + + + + + + + + + + P1. Valitaan kannaksi sivu, jonka pituus on 4. Koska toinen jäljelle jäävistä sivuista

Lisätiedot

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: MAA3 Geometria Koe 5.2.2016 Jussi Tyni Lue ohjeet ja tee tehtävät huolellisesti! Tee tarvittavat välivaiheet, vaikka laskimesta voikin ottaa tuloksia. Välivaiheet perustelevat vastauksesi. Tee pisteytysruudukko

Lisätiedot

* Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa * Trigonometristen funktioiden kuvaajat

* Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa * Trigonometristen funktioiden kuvaajat Trigonometria. a) Määrittele trigonometriset funktiot. b) Vertaa trigonometristen funktioiden ominaisuuksia määritys- ja arvojoukko sekä perusjakso). * Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa

Lisätiedot

Koontitehtäviä luvuista 1 9

Koontitehtäviä luvuista 1 9 11 Koontitehtäviä luvuista 1 9 1. a) 3 + ( 8) + = 3 8 + = 3 b) x x 10 = 0 a =, b = 1, c = 10 ( 1) ( 1) 4 ( 10) 1 81 1 9 x 4 4 1 9 1 9 x,5 tai x 4 4 c) (5a) (a + 1) = 5a a 1 = 4a 1. a) Pythagoraan lause:

Lisätiedot

TRIGONOMETRISET JA HYPERBOLISET FUNKTIOT

TRIGONOMETRISET JA HYPERBOLISET FUNKTIOT TRIGONOMETRISET JA HYPERBOLISET FUNKTIOT ARI LEHTONEN. Trigonometriset funktiot.. Peruskaavat. tan x := sin x cos x, cos x cot x := sin x Anglosaksisissa maissa käytössä ovat myös funktiot sekantti sec

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3 Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä

Lisätiedot

Kansainväliset matematiikkaolympialaiset 2008

Kansainväliset matematiikkaolympialaiset 2008 Kansainväliset matematiikkaolympialaiset 2008 Tehtävät ja ratkaisuhahmotelmat 1. Teräväkulmaisen kolmion ABC korkeusjanojen leikkauspiste on H. Pisteen H kautta kulkeva ympyrä, jonka keskipiste on sivun

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 1 Matemaattisesta päättelystä Matemaattisen analyysin kurssin (kuten minkä tahansa matematiikan kurssin) seuraamista helpottaa huomattavasti, jos opiskelija ymmärtää

Lisätiedot

Kompleksiluvut 1/6 Sisältö ESITIEDOT: reaaliluvut

Kompleksiluvut 1/6 Sisältö ESITIEDOT: reaaliluvut Kompleksiluvut 1/6 Sisältö Kompleksitaso Lukukäsitteen vaiheittainen laajennus johtaa luonnollisista luvuista kokonaislukujen ja rationaalilukujen kautta reaalilukuihin. Jokaisessa vaiheessa ratkeavien

Lisätiedot

3.1 Funktion käsite. Ensiasteen polynomifunktio

3.1 Funktion käsite. Ensiasteen polynomifunktio 3.1 Funktion käsite. Ensiasteen polynomifunktio Arkikielessä saatetaan sanoa esimerkiksi niin, että auton jarrutusmatka on vauhdin funktio tai että jäätien kantavuus on jään paksuuden funktio. Nämä sanonnat

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 23.9.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 23.9.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 3.9.05 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe.6. klo - Ratkaisut ja pisteytysohjeet. Ratkaise seuraavat epäyhtälöt ja yhtälö: a) x+ x +9, b) log (x) 7,

Lisätiedot

Trigonometriset funktiot 1/7 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot

Trigonometriset funktiot 1/7 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot Trigonometriset funktiot 1/7 Sisältö Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa a c b Olkoon suorakulmaisen kolmion terävä kulma, a tämän vastainen kateetti, b viereinen kateetti ja c kolmion

Lisätiedot

Suora 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste

Suora 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste Suora 1/5 Sisältö KATSO MYÖS:, vektorialgebra, geometriset probleemat, taso Suora geometrisena peruskäsitteenä Pisteen ohella suora on geometrinen peruskäsite, jota varsinaisesti ei määritellä. Alkeisgeometriassa

Lisätiedot

Harjoitustehtävät, syys lokakuu 2010. Helpommat

Harjoitustehtävät, syys lokakuu 2010. Helpommat Harjoitustehtävät, syys lokakuu 010. Helpommat Ratkaisuja 1. Kellon minuutti- ja tuntiosoittimet ovat tasan suorassa kulmassa kello 9.00. Milloin ne ovat seuraavan kerran tasan suorassa kulmassa? Ratkaisu.

Lisätiedot

MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ

MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ Selvitä, mitä -akselin väliä tarkoittavat merkinnät: a) < b) U(, ) c) 4 < 0 0 Ilmoita väli a) 4 < < b) ] 5, 765[ tavalla 7 tehtävän a)-kohdan mukaisella kana, kana 0 Palautetaan

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.01 klo 10 13 t ja pisteytysohjeet 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt. (a) 3 x 3 3 x 1 4, (b)

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA7 Derivaatta Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Derivaatta (MAA7) Pikatesti ja kertauskokeet Tehtävien ratkaisut Pikatesti

Lisätiedot

Kertaustehtävien ratkaisut

Kertaustehtävien ratkaisut Kertaustehtävien ratkaisut. x y = x + 6 (x, y) 0 0 + 6 = 6 (0, 6) + 6 = (, ) + 6 = 0 (, 0) y-akselin leikkauspiste on (0, 6) ja x-akselin (, 0).. x y = x (x, y) 0 0 (0, 0) (, ) (, ) x y = x + (x, y) 0

Lisätiedot

Testaa taitosi 1. 2. Piirrä yksikköympyrään kaksi erisuurta kulmaa, joiden a) sini on 0,75 b) kosini on

Testaa taitosi 1. 2. Piirrä yksikköympyrään kaksi erisuurta kulmaa, joiden a) sini on 0,75 b) kosini on Testaa taitosi. Laske lausekkeen 60 cos80 sin arvo. Päättele sinin ja kosinin arvot yksikköympyrästä. y x. Piirrä yksikköympyrään kaksi erisuurta kulmaa, joiden a) sini on 0,75 b) kosini on y y. x x. Määritä

Lisätiedot

Kolmannen asteen yhtälön ratkaisukaava

Kolmannen asteen yhtälön ratkaisukaava TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Johanna Harju Kolmannen asteen yhtälön ratkaisukaava Matematiikan tilastotieteen laitos Matematiikka Heinäkuu 008 Tampereen yliopisto Matematiikan tilastotieteen

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 18.3.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 18.3.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 8..05 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

Reaaliluvut 1/7 Sisältö ESITIEDOT:

Reaaliluvut 1/7 Sisältö ESITIEDOT: Reaaliluvut 1/7 Sisältö Reaalilukujoukko Reaalilukujoukkoa voidaan luonnollisimmin ajatella lukusuorana, molemmissa suunnissa äärettömyyteen ulottuvana suorana, jonka pisteet ja reaaliluvut vastaavat toisiaan:

Lisätiedot

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA EB-TUTKINTO 2010 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 4. kesäkuuta 2010 KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Eurooppa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin, joka ei saa

Lisätiedot

a b c d + + + + + + +

a b c d + + + + + + + 11. 11. ÄÙ ÓÒÑ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒÖ Ø ÙØ 014 È ÖÙ Ö ÒÑÓÒ Ú Ð ÒØ Ø ØĐ ÚĐ Ø a b c d 1. +. 3. 4. 5. 6. + + + + + + + + P1. Junan nopeus (liikkeellä) on aluksi v 0 ja matka-aika T 0. Matkan pituus s on

Lisätiedot

Riemannin pintojen visualisoinnista

Riemannin pintojen visualisoinnista Riemannin pintojen visualisoinnista eli Funktioiden R R kuvaajat Simo K. Kivelä 7.7.6 Tarkastelun kohteena olkoon kompleksimuuttujan kompleksiarvoinen funktio f : C C, f(z) = w eli f(x + iy) = u(x, y)

Lisätiedot

Funktion derivoituvuus pisteessä

Funktion derivoituvuus pisteessä Esimerkki A Esimerkki A Esimerkki B Esimerkki B Esimerkki C Esimerkki C Esimerkki 4.0 Ratkaisu (/) Ratkaisu (/) Mielikuva: Funktio f on derivoituva x = a, jos sen kuvaaja (xy-tasossa) pisteen (a, f(a))

Lisätiedot

x > y : y < x x y : x < y tai x = y x y : x > y tai x = y.

x > y : y < x x y : x < y tai x = y x y : x > y tai x = y. ANALYYSIN TEORIA A Kaikki lauseet eivät ole muotoiltu samalla tavalla kuin luennolla. Ilmoita virheistä yms osoitteeseen mikko.kangasmaki@uta. (jos et ole varma, onko kyseessä virhe, niin ilmoita mieluummin).

Lisätiedot

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. KERTAUS Lukujono KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. Ratkaisussa annetaan esimerkit mahdollisista säännöistä. a) Jatketaan lukujonoa: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, Rekursiivinen sääntö on, että lukujonon ensimmäinen jäsen

Lisätiedot

3 Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt

3 Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt 3 Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt 3.1 Homogeeniset lineaariset differentiaaliyhtälöt Toisen kertaluvun differentiaaliyhtälö on lineaarinen, jos se voidaan kirjoittaa muotoon Jos r(x)

Lisätiedot

1.4 Funktion jatkuvuus

1.4 Funktion jatkuvuus 1.4 Funktion jatkuvuus Kun arkikielessä puhutaan jonkin asian jatkuvuudesta, mielletään asiassa olevan jonkinlaista yhtäjaksoisuutta, katkeamattomuutta. Tässä ei kuitenkaan käsitellä työasioita eikä ihmissuhteita,

Lisätiedot

10 %. Kuinka monta prosenttia arvo nousi yhteensä näiden muutosten jälkeen?

10 %. Kuinka monta prosenttia arvo nousi yhteensä näiden muutosten jälkeen? YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 3.3.0 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä (*) merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä

Lisätiedot

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja?

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja? Nimi Koulutus Ryhmä Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vastausvaihtoehto oikein. Laske tehtävät ilman laskinta.. Missä pisteessä suora y = 3x 6 leikkaa x-akselin? A. 3 D. B. E. en tiedä C. 6. Mitkä luvuista,,,

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät Pekka Vienonen

Numeeriset menetelmät Pekka Vienonen Numeeriset menetelmät Pekka Vienonen 1. Funktion nollakohta Newtonin menetelmällä 2. Määrätty integraali puolisuunnikassäännöllä 3. Määrätty integraali Simpsonin menetelmällä Newtonin menetelmä Newtonin

Lisätiedot

A L G E B R A N O P P I - J A E S I M E R K K I K I R J A PORVOO HELSINKI WERNER SÖDERSTRÖM OSAKEYHTIÖ KAHDESTOISTA PAINOS

A L G E B R A N O P P I - J A E S I M E R K K I K I R J A PORVOO HELSINKI WERNER SÖDERSTRÖM OSAKEYHTIÖ KAHDESTOISTA PAINOS K. V Ä I S Ä L Ä A L G E B R A N O P P I - J A E S I M E R K K I K I R J A I KAHDESTOISTA PAINOS PORVOO HELSINKI WERNER SÖDERSTRÖM OSAKEYHTIÖ Kouluhallituksen hyväksymä WERNER SÖDERSTRÖM OSAKEYHTIÖN KIRJAPAINOSSA

Lisätiedot

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä:

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Frégier n lause Simo K. Kivelä Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Suorakulmaisen kolmion kaikki kärjet sijaitsevat paraabelilla y = x 2 ; suoran kulman

Lisätiedot

2.3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. b b 4ac = 2

2.3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. b b 4ac = 2 .3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. Toisen asteen yhtälön a + b + c 0 ratkaisukaavassa neliöjuuren alla olevaa lauseketta b b 4ac + a b b 4ac a D b 4 ac sanotaan yhtälön

Lisätiedot

Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n

Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n Ylioilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 904 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten iiteiden, sisältöjen ja isteitysten luonnehdinta

Lisätiedot

f(x, y) = x 2 y 2 f(0, t) = t 2 < 0 < t 2 = f(t, 0) kaikilla t 0.

f(x, y) = x 2 y 2 f(0, t) = t 2 < 0 < t 2 = f(t, 0) kaikilla t 0. Ääriarvon laatu Jatkuvasti derivoituvan funktion f lokaali ääriarvokohta (x 0, y 0 ) on aina kriittinen piste (ts. f x (x, y) = f y (x, y) = 0, kun x = x 0 ja y = y 0 ), mutta kriittinen piste ei ole aina

Lisätiedot

Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n

Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e a m e n s n ä m n d e n MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ..0 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitsten luonnehdinta

Lisätiedot

2. Polynomien jakamisesta tekijöihin

2. Polynomien jakamisesta tekijöihin Imaginaariluvut mielikuvitustako Koska yhtälön x 2 x 1=0 diskriminantti on negatiivinen, ei yhtälöllä ole reaalilukuratkaisua Tästä taas seuraa, että yhtälöä vastaava paraabeli y=x 2 x 1 ei leikkaa y-akselia

Lisätiedot

KOMPLEKSILUVUT C. Rationaaliluvut Q. Irrationaaliluvut

KOMPLEKSILUVUT C. Rationaaliluvut Q. Irrationaaliluvut KOMPLEKSILUVUT C Luonnolliset luvut N Kokonaisluvut Z Rationaaliluvut Q Reaaliluvut R Kompleksi luvut C Negat kokonaisluvut Murtoluvut Irrationaaliluvut Imaginaariluvut Erilaisten yhtälöiden ratkaiseminen

Lisätiedot

x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi

x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi Mallivastaukset - Harjoituskoe F F1 a) (a + b) 2 (a b) 2 a 2 + 2ab + b 2 (a 2 2ab + b 2 ) a 2 + 2ab + b 2 a 2 + 2ab b 2 4ab b) tan x 3 x π 3 + nπ, n Z c) f(x) x2 x + 1 f (x) 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 2x2

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa

Lisätiedot

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti MAA8 Ko 5..04 T konsptiin pisttsruudukko! Muista kirjata nimsi ja rhmäsi. Lu ohjt huolllissti A-Osio: Ei saa kättää laskinta. MAOL saa olla alusta asti kätössä. Maksimissaan h aikaa suorittaa A- Osio.

Lisätiedot

Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.2014 klo 10 13

Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.2014 klo 10 13 Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.014 klo 10 13 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt: x + a) 3 x + 1 > 0 c) x x + 1 = 1 x 3 4 b) e x + e x 3

Lisätiedot

määrittelyjoukko. 8 piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä tangentin yhtälö.

määrittelyjoukko. 8 piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä tangentin yhtälö. MAA8 Juuri- ja logaritmifunktiot 5.4.0 Jussi Tyni. a) Derivoi f ( ) 3e 5 Mikä on funktion f () = ln(5 ) 00 määrittelyjoukko. c) Derivoi g( t) 4ln( t t ). Käyrälle g( ) e 8 piirretään tangentti pisteeseen,

Lisätiedot

1.1 Vektorit. MS-A0007 Matriisilaskenta. 1.1 Vektorit. 1.1 Vektorit. Reaalinen n-ulotteinen avaruus on joukko. x 1. R n. 1. Vektorit ja kompleksiluvut

1.1 Vektorit. MS-A0007 Matriisilaskenta. 1.1 Vektorit. 1.1 Vektorit. Reaalinen n-ulotteinen avaruus on joukko. x 1. R n. 1. Vektorit ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut 1.1 MS-A0007 Matriisilaskenta 1. ja kompleksiluvut Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 26.10.2015 Reaalinen

Lisätiedot

27. 10. joissa on 0 4 oikeata vastausta. Laskimet eivät ole sallittuja.

27. 10. joissa on 0 4 oikeata vastausta. Laskimet eivät ole sallittuja. ÄÙ ÓÒÑ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒÔ ÖÙ Ö Tehtäviä on kahdella sivulla; kuusi ensimmäistä tehtävää on monivalintatehtäviä, joissa on 0 4 oikeata vastausta. Laskimet eivät ole sallittuja. 1. Hiiri juoksee tasaisella

Lisätiedot

Lineaarialgebra MATH.1040 / trigonometriaa

Lineaarialgebra MATH.1040 / trigonometriaa Lineaarialgebra MATH.1040 / trigonometriaa 1 Aste, 1 (engl. degree) Täsi kierros on 360 (360 astetta). Yksi aste jaetaan 60 kulmaminuuttiin (1 = 60 ) ja ksi kulmaminuutti jaetaan 60 kulmasekuntiin (1 =

Lisätiedot

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran 4.1 Kaksi pistettä määrää suoran Kerrataan aluksi kurssin MAA1 tietoja. Geometrisesti on selvää, että tason suora on täysin määrätty, kun tunnetaan sen kaksi pistettä. Joskus voi tulla vastaan tilanne,

Lisätiedot

Tässä dokumentissa on ensimmäisten harjoitusten malliratkaisut MATLABskripteinä. Voit kokeilla itse niiden ajamista ja toimintaa MATLABissa.

Tässä dokumentissa on ensimmäisten harjoitusten malliratkaisut MATLABskripteinä. Voit kokeilla itse niiden ajamista ja toimintaa MATLABissa. Laskuharjoitus 1A Mallit Tässä dokumentissa on ensimmäisten harjoitusten malliratkaisut MATLABskripteinä. Voit kokeilla itse niiden ajamista ja toimintaa MATLABissa. 1. tehtävä %% 1. % (i) % Vektorit luodaan

Lisätiedot

Harjoitustehtävät, joulukuu 2013, (ehkä vähän) vaativammat

Harjoitustehtävät, joulukuu 2013, (ehkä vähän) vaativammat Harjoitustehtävät, joulukuu 013, (ehkä vähän) vaativammat Ratkaisuja 1. Viisinumeroinen luku a679b on jaollinen 7:lla. Määritä a ja b. Ratkaisu. Luvun on oltava jaollinen 8:lla ja 9:llä. Koska luku on

Lisätiedot

Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia.

Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia. Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s00doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia Yleistä Ratkaise yhtälöt n n n n n 5 a) 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 5 b) ( ) ( ) > 0 + = + c) ( ) Suureet ja

Lisätiedot

Kansainvälisten matematiikkaolympialaisten tehtävien ratkaisuja

Kansainvälisten matematiikkaolympialaisten tehtävien ratkaisuja Kansainvälisten matematiikkaolympialaisten tehtävien ratkaisuja 959 974 Useimmat tässä koosteessa esitetyt ratkaisut perustuvat vuonna 975 julkaistuun kokoelmaan Kansainväliset matematiikkaolympialaiset.

Lisätiedot

PERUSKOULUSTA PITKÄLLE

PERUSKOULUSTA PITKÄLLE Raimo Seppänen Tytti Kiiski PERUSKOULUSTA PITKÄLLE KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ LUKION PITKÄLLE MATEMATIIKALLE JA MATEMATIIKKAA VAATIVAAN AMMATILLISEEN KOULUTUKSEEN MFKA-KUSTANNUS OY HELSINKI 2007 SISÄLLYS

Lisätiedot

YHTÄLÖ kahden lausekkeen merkitty yhtäsuuruus

YHTÄLÖ kahden lausekkeen merkitty yhtäsuuruus YHTÄLÖ kahden lausekkeen merkitty yhtäsuuruus Ensimmäisen asteen yhtälö: :n korkein eksponentti = 1 + 5 = 4( 3) Toisen asteen yhtälö: :n korkein eksponentti = 3 5 + 4 = 0 Kolmannen asteen yhtälö: :n korkein

Lisätiedot

Trigonometriset funktiot

Trigonometriset funktiot Peruskäsitteet Y-peilaus X-peilaus Pistepeilaus Muistikulmat Muistikolmio 1 Muistikolmio 2 Jaksollisuus Esimerkki 5.A Esimerkki 5.B1 Esimerkki 5.B2 Esimerkki 5C.1 Esimerkki 5C.2 (1/2) (2/2) Muunnelmia

Lisätiedot

Kenguru 2016 Student lukiosarjan ratkaisut

Kenguru 2016 Student lukiosarjan ratkaisut sivu 1 / 22 Ratkaisut TEHTÄVÄ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 VASTAUS A C E C A A B A D A TEHTÄVÄ 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 VASTAUS A C B C B C D B E B TEHTÄVÄ 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 VASTAUS D C C E E

Lisätiedot

Harjoituksia MAA4 - HARJOITUKSIA. 6. Merkitse lukusuoralle ne luvut, jotka toteuttavat epäyhtälön x 2 < ½.

Harjoituksia MAA4 - HARJOITUKSIA. 6. Merkitse lukusuoralle ne luvut, jotka toteuttavat epäyhtälön x 2 < ½. MAA4 - HARJOITUKSIA 1 Esitä lauseke 3 x + x 4 ilman itseisarvomerkkejä Ratkaise yhtälö a ) 5x 9 = 6 b) 6x 9 = 0 c) 7x 9 + 6 = 0 3 Ratkaise yhtälö x 7 3 + 4x = 4 Ratkaise yhtälö 5x + = 3x 4 5 Ratkaise yhtälö

Lisätiedot

2 x 5 4x + x 2, [ 100,2].

2 x 5 4x + x 2, [ 100,2]. 7. Derivaatan sovellutuksia 7.1. Derivaatta tangentin kulmakertoimena 6. Määritä a, b ja c siten, että käyrät y = x + ax + b ja y = cx x sivuavat toisiaan pisteessä (1,). a = 0, b =, c = 4. 6. Määritä

Lisätiedot

Matematiikan olympiavalmennus

Matematiikan olympiavalmennus Matematiikan olympiavalmennus Syyskuun 2014 vaativammat valmennustehtävät, ratkaisuja 1. Onko olemassa ehdot a + b + c = d ja 1 ab + 1 ac + 1 bc = 1 ad + 1 bd + 1 cd toteuttavia reaalilukuja a, b, c, d?

Lisätiedot

plot(f(x), x=-5..5, y=-10..10)

plot(f(x), x=-5..5, y=-10..10) [] Jokaisen suoritettavan rivin loppuun ; [] Desimaalierotin Maplessa on piste. [] Kommentteja koodin sekaan voi laittaa # -merkin avulla. Esim. #kommentti tähän [] Edelliseen tulokseen voi viitata merkillä

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Analyyttinen geometria. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Analyyttinen geometria. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA Analttinen geometria Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Analttinen geometria (MAA) Pikatesti ja Kertauskokeet Tehtävien

Lisätiedot

Karteesinen tulo. Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla 1 / 21

Karteesinen tulo. Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla 1 / 21 säilyy Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla c b a 1 2 3 5 1 / 21 säilyy Esimerkkirelaatio R = {(1, b), (3, a), (5, a), (5, c)} c b a 1

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet, L2

Talousmatematiikan perusteet, L2 Talousmatematiikan perusteet, L2 orms.1030 EPKY / kevät 2011 Toisen Laskutoimitukset tehdään seuraavassa järjestyksessä 1. Sulkujen sisällä olevat (alkaen sisältä ulospäin) 2. potenssit ja juuri 3. kerto-

Lisätiedot

5.3 Ensimmäisen asteen polynomifunktio

5.3 Ensimmäisen asteen polynomifunktio Yllä olevat polynomit P ( x) = 2 x + 1 ja Q ( x) = 2x 1 ovat esimerkkejä 1. asteen polynomifunktioista: muuttujan korkein potenssi on yksi. Yleisessä 1. asteen polynomifunktioissa on lisäksi vakiotermi;

Lisätiedot

Luvuilla laskeminen. Esim. 1 Laske 6 21 7

Luvuilla laskeminen. Esim. 1 Laske 6 21 7 Luvuilla laskeminen TI-84 Plus käyttää laskujen suorittamiseen ns. yhtälönkäsittelyjärjestelmää (EOS TM, Equation Operating System), jonka avulla lausekkeiden syöttö tapahtuu matemaattisessa kirjoitusjärjestyksessä.

Lisätiedot

Käyrien välinen dualiteetti (projektiivisessa) tasossa

Käyrien välinen dualiteetti (projektiivisessa) tasossa Solmu 3/2008 1 Käyrien välinen dualiteetti (projektiivisessa) tasossa Georg Metsalo georg.metsalo@tkk.fi Tämä kirjoitus on yhteenveto kaksiosaisesta esitelmästä Maunulan yhteiskoulun matematiikkapäivänä

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Suunnattu derivaatta Aluksi tarkastelemme vektoreita, koska ymmärrys vektoreista helpottaa alla olevien asioiden omaksumista. Kun liikutaan tasossa eli avaruudessa

Lisätiedot

Tyyppi metalli puu lasi työ I 2 8 6 6 II 3 7 4 7 III 3 10 3 5

Tyyppi metalli puu lasi työ I 2 8 6 6 II 3 7 4 7 III 3 10 3 5 MATRIISIALGEBRA Harjoitustehtäviä syksy 2014 Tehtävissä 1-3 käytetään seuraavia matriiseja: ( ) 6 2 3, B = 7 1 2 2 3, C = 4 4 2 5 3, E = ( 1 2 4 3 ) 1 1 2 3 ja F = 1 2 3 0 3 0 1 1. 6 2 1 4 2 3 2 1. Määrää

Lisätiedot

1.11. 1. Kun luku 5 140 8 47 kirjoitetaan tavalliseen tapaan, niin luvussa on numeroita a) pariton määrä b) 47 c) 48 d) 141

1.11. 1. Kun luku 5 140 8 47 kirjoitetaan tavalliseen tapaan, niin luvussa on numeroita a) pariton määrä b) 47 c) 48 d) 141 %% % 1.11.!#"$ 2011 1. Kun luku 5 140 8 47 kirjoitetaan tavalliseen tapaan, niin luvussa on numeroita a) pariton määrä b) 47 c) 48 d) 141 2. Oheinen kuvio muodostuu yhdeksästä neliöstä, joista jokaisen

Lisätiedot