MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 5 Maanantai

Transkriptio

1 MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 5 Maanantai (Opiskelutet. 0 s. 81.) Selvitä, miten lauseke sin(4x 3 + cos x ) muodostuu perusfunktioista (polynomeista, trigonometrisistä funktioista jne). Ydistettyjen funktioiden kodalla selvitä, mitkä ovat sisä- ja ulkofunktiot. Muodosta sitten koko lausekkeen derivaatta. Olkoot f(x) = sin x, g(x) = cos x, (x) = 4x 3, k(x) = x. Tällöin sin(4x 3 + cos x ) = f((x) + g(k(x))). Myös funktio (x) = 4x 3 voitaisiin kirjoittaa funktioiden 4x ja x 3 ydistettynä funktiona. Samoin summafunktio (x) + g(k(x)) voitaisiin kirjoittaa omana funktionaan. Derivaataksi saadaan d dx sin(4x3 + cos x ) = d f((x) + g(k(x))) dx = f ((x) + g(k(x))) [ (x) + g (k(x))k (x)] = cos(4x 3 + cos x ) [1x sin x x] = x cos(4x 3 + cos x ) [6x sin x ].. (Tet. 5 s. 8.) Millä luvun a arvoilla käyrillä y = x +x+a ja y = 1+ax x on jossakin pisteessä yteinen vaakasuora tangentti (vai onko millään)? Jotta käyrillä olisi yteinen vaakasuora tangentti, täytyy molempien tangenttien kulmakertoimen olla 0 kyseissä pisteessä. Tangenttisuorien kulmakertoimet saadaan derivoimalla x:n suteen ja ne ovat nyt x + ja a x. Jos molemmat ovat nollia, niin tällöin x = 1 ja a = x = 1. Nyt y:n arvot ovat y = ( 1) + ( 1) + ( 1) = 0 ja y = 1 + ( 1)( 1) ( 1) = 3 0, eli tällaista yteistä pistettä ei ole, sillä välttämättä täytyisi olla x = a = 1, mutta tällöin y:n arvot eroavat eli vaikka tangenttisuorat ovat molemmat vaakasuoria, ne eivät kulje samojen pisteiden kautta. 3. (Tet. 6 s. 8.) Muodosta funktion f(x) = x x derivaatta niissä pisteissä, joissa se on madollista. Piirrä funktion ja sen derivaatan kuvaajat. Missä pisteissä funktio on määritelty/jatkuva/derivoituva? Koska, x x ja x ovat jatkuvia funktioita, niin funktio f(x) on kaikkialla jatkuva. Lisäksi M f = R. Lasketaan funktion nollakodat f(x) = x x = x x 1 = 0 x = 0 tai x = 1.

2 Funktio x x on ylöspäin aukeava paraabeli, joten f(x) 0, kun x [0, 1] ja f(x) 0 muulloin. Funktio f voidaan siis kirjoittaa seuraavasti: x x, x [0, 1] f(x) = x x, muulloin. Derivaataksi saadaan f (x) = 1 x, x (0, 1) x 1, x / [0, 1]. Tutkitaan vielä pisteet x = 0 ja x = 1. ja f() f(0) = 1 f() f(0) eli funktio f ei ole derivoituva nollassa. Vastaavasti ja f(1 + ) f(1) + f(1 + ) f(1) eli f ei ole derivoituva pisteessä x = 1. 1 = 1 (1 + ) (1 + ) = 1 + (1 + ) (1 + ) 1 + (1 + + ) 1 = 1 1.

3 (Tet. 8 s. 8, osa.) Määrää seuraavien lausekkeiden derivaatat. Selvitä myös sekä alkuperäisten lausekkeiden että niiden derivaattojen suurimmat madolliset määrittelyjoukot. (a) x 5 + 5x 4 4x (b) x 4 + x x 1 (a) Nyt f(x) = x 5 + 5x 4 4x, M f = R ja (c) f (x) = 5x 4 + 0x 8x, M f = R. 7 x 11 (d) (3x 1) 13 (b) Nyt f(x) = x 4 + x ja M x 1 f = R \ 1, 1} sillä nimittäjä on nolla pisteissä x = ±1. Derivaataksi saadaan ja M f = R \ 1, 1}. (c) Nyt f(x) = 7 x 11 f (x) = 4x 3 + d dx x(x 1) 1 = 4x 3 + (x 1) 1 x(x 1) ( x) = 4x 3 + x 1 x (x 1) = 4x 3 x + 1 (x 1), ja M f = R \ 0}. Derivoimalla saadaan f (x) = d dx 7 x 11 = 77x 1 = 77 x 1, M f = R \ 0}, (d) Nyt f(x) = (3x 1) 13 ja M f = R. Derivoidaan: f (x) = 13(3x 1) 1 3 = 39(3x 1), M f = R.

4 5. (Tet. 8 s. 8, osa.) Määrää seuraavien lausekkeiden derivaatat. Selvitä myös sekä alkuperäisten lausekkeiden että niiden derivaattojen suurimmat madolliset määrittelyjoukot. (a) (x 1) x (b) cos( x) 3 (c) cos 3 ( x) (d) cos( sin 3x) (e) (3x 1) 1 3 (a) Nyt f(x) = (x 1) x ja M f = R \ 0}. Tulon derivoimissisäännöllä saadaan f (x) = d dx (x 1) x 1 = (x 1) x 1 (x 1) x = 4x(x 1) (x 1) x x = 8x 4x (4x 4x + 1) x = 4x 1 x = 4 1 x ja M f = R \ 0}. (b) Nyt f(x) = cos( x) 3 = cos[( x) 3 ], jolloin M f = R, ja f (x) = sin[( x) 3 ] 3( x) ( 1) = 6x sin[( x) 3 ], M f = R. (c) Nyt f(x) = cos 3 ( x), jolloin M f = R, ja f (x) = 3 cos ( x) ( sin( x)) ( ) = 6 cos ( x) sin( x), M f = R. (d) Nyt f(x) = cos( sin 3x), jolloin M f = R, ja f (x) = sin( sin 3x) cos(3x) 3 = 6 sin( sin 3x) cos(3x), M f = R. (e) Nyt f(x) = (3x 1) 1 3, joten M f = R, ja f (x) = 1 3 (3x 1 1) 3 3 =, M f (3x 1) = R \ 1} (Tet. 11 s. 8 korj.) Oletetaan tiedetyksi, että funktiolla f : R R, f(x) = x + sin x on käänteisfunktio. Määrää käänteisfunktion derivaatta pisteessä π on (käänteisfunktion kuvaajan) tangentin ytälö ko. pisteessä? + 1. Mikä

5 Muistetaan kaava (f 1 ) (f(x)) = 1 f (x). Koska f( π ) = π + sin π = π + 1 ja f (x) = 1 + cos x saadaan (f 1 ) ( π + 1) = 1 f ( π ) = cos π = 1. Tämä on käänteisfunktion kuvaajan tangentin kulmakerroin pisteessä x = π + 1. Lisäksi käänteisfunktion arvo tässä pisteessä on π, joten tangentin ytälöksi saadaan y y 0 = k(x x 0 ) = y π = 1 [x ( π + 1)] = y = x (Tet. s. 86.) Määrää funktion f(x) = x 3 x derivaatta ja myös sen kaikki korkeammat derivaatat (pisteissä x 0 ja pisteessä x = 0 erikseen). Piirrä kuvaajia. Nyt f(x) = x 4, x 0 x 4 x < 0, joten f (x) = 4x 3, x > 0 = 4 x 3, 4x 3 x < 0,

6 f (x) = 1x, x > 0 1x x < 0, = 1x x, sekä f (3) (x) = 4x, x > 0 4x x < 0, = 4 x, ja f (4) (x) = 4, x > 0 4 x < 0. Kun x 0, saamme f (n) (x) = 0 kaikilla n 5. Lasketaan seuraavaksi derivaatat nollassa: f (0) f() f(0) f (0) f () f (0) = 0 4 = 0, ja f (3) (0) f () f (0) 1 = 0 f (4) (0) f (3) () f (3) (0) 4, joka ei ole määritelty, sillä oikean- ja vasemmanpuoleiset raja-arvot eroavat

7 8. (Opiskelutet. 1 s. 86 korj.) Määrää ytälön x + xy + y = 4 toteuttavan käyrän y = f(x) tangentti pisteessä (, 1). Etsi käyrältä muita pisteitä ja amottele käyrää. Tarkastetaan aluksi, että piste (, 1) todella toteuttaa ytälön. Tällöin x + xy+y = ( ) 1+ 1 = 4 eli piste (, 1) sijaitsee käyrällä. Sijoitetaan y = f(x) käyrän ytälöön. Derivoidaan puolittain, jolloin saamme x + xf(x) + f(x) = 4 x + f(x) + xf (x) + 4f(x)f (x) = 0, joon sijoitamme x = ja f( ) = 1: 0 = ( ) + 1 f ( ) f ( ) = f ( ) 3 = f ( ) = 3. Tangentin ytälö on y y 0 = f (x 0 )(x x 0 ) = y 1 = 3 [x ( )] = y = 3 x (Tet. 4 s. 90.) Osoita differentiaalilaskennan väliarvolauseen avulla, että epäytälö x + 1 < 1 + x pätee aina, kun x > 0. Olkoon f(x) = x + 1, jolloin f (x) = 1. (x + 1) 1

8 Differentiaalilaskennan väliarvolauseen nojalla on olemassa piste c (0, x) siten, että koska x, c > 0. f(x) f(0) = f (c)(x 0) x = 10. (Tet. 1 s. 93.) Määritä x 6 Merkitään x 3 16x + 84x 144 x 4 1x x 108x x (c + 1) 1 < x, f(x) = x 3 16x + 84x 144 ja g(x) = x 4 1x x 108x Koska f(6) = g(6) = 0, voimme käyttää l Hospitalin sääntöä, jolloin saamme f(x) x 6 g(x) f (x) x 6 g (x) 3x 3x + 84 x 6 4x 3 36x + 90x 108. Koska myös f (6) = g (6) = 0, voimme edelleen käyttää l Hospitalin sääntöä, jolloin saamme f (x) x 6 g (x) f (x) x 6 g (x) 6x 3 x 6 1x 7x + 90 = 4 90 = 45. Huomaa, että raja-arvon olemassaolo oikeuttaa l Hospitalin säännön käytön (kunan tilanne on 0 0 ).