Juuri 12 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Save this PDF as:

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Juuri 12 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty"

Transkriptio

1 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus K. a) Polynomi P() = + 8 on jaollinen polynomilla Q() =, jos = on polynomin P nollakohta, eli P() = 0. P() = + 8 = = 0. Polynomi P on jaollinen polynomilla Q. b) Jaetaan polynomit P ja Q ensimmäisen asteen tekijöihin. P() = + 8 = ( 6 + 9) = ( ) Q() = 6 = ( ) Polynomi P on jaollinen polynomin P kummallakin tekijällä ja, joten se on jaollinen polynomilla Q. c) Q() = + 6 = ( + ) Polynomi P ei ole jaollinen polynomin Q tekijällä +, koska P( ) 0. Tällöin P ei ole jaollinen polynomilla Q. K. a) 5 4 ( 5) 0 ( 5) ( 5) ( 5) 5 5 ( 5) b) c) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 4) ( 4) ( 4)( ) 4 4 8

2 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty K. Jaetaan polynomi P polynomilla Q. (6 ) (6 5):( ) 4 5 ( ) 5 ( 4) Jakoyhtälö on 6 5 = ( + )( 4) K4. Koska polynomi on jaollinen sekä binomilla että binomilla +, on se jaollinen niiden tulolla ( )( + ) = +. Polynomi on kolmannen asteen polynomi, joten sillä voi olla vain yksi ensimmäisen asteen tekijä tekijän + lisäksi. Tarvitaan yksi jakolasku. ( 76):( ) ( 4 ) 6 ( 6) 0 Kolmas tekijä on.

3 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty K5. Polynomi P on jaollinen polynomilla Q, jos ja vain jos se on jaollinen binomin Q tekijöillä. Q ( ) ( )( ) Tulee siis olla P( ) 0 ja P( ) 0. 4 P( ) ( ) q( ) 4 q 4 P( ) ( ) q( ) 4 q + q = 0 q = K6. Koska P( 7) = 0, on + 7 polynomin P tekijä. Selvitetään toinen tekijä jakolaskulla. ( 404):( 7) 6 ( 7 ) 6 40 ( 6 4 ) 4 ( 4) 0 P() = = ( + 7)( 6 + ) P ( ) tai 7 Yhtälön P() = 0 ratkaisu on = 7, 7 tai 7

4 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty K7. a) b) i i i tai i 90 9 tai 0 9 i ( 9) 0 = 0, = i tai = i c) 6 40 ( ) 4( ) 0 ( 4)( ) tai 0 i =, i tai i

5 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty K8. a) Kirjoitetaan yhtälö ln = sin muotoon ln sin = 0. Etsitään puolitusmenetelmällä funktion f() = ln sin nollakohta. Kuvaajan perusteella funktion ainoa nollakohta on välillä ]; [. b) f() väli välin keskikohta f() 0, f() 0,96 ], [,5 f(,5) 0, ];,5[,5 f(,5) 0,0 ];,5[,5 f(,5) 0, ],5;,5[,875 f(,875) 0,0 ],875;,5[,875 f(,875) 0,0004 ],875;,5[,475 f(,475) 0,0 ],875;,475[,6565 f(,6565) 0,008 ],875;,6565[,6565 f(,6565) 0,004 ],875;,6565[ Funktion f nollakohta ja siten myös yhtälön ratkaisu on,. f() väli f() 0, f() 0,96 ], [ f(,5) 0, ];,5[ f(,) 0,0 ],;,5[ f(,) 0,00 ],;,[ f(,5) 0,004 ],5;,[,

6 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty K9. a) Kirjoitetaan yhtälö muotoon 5 = 0. Tutkitaan jatkuvan funktion f() = 5 kulkua derivaatan avulla. f () = , kun, joten 5 4 > 0, kun >. Koska f () > 0 välillä [, ], on funktio f tällä välillä kasvava ja sillä on korkeintaan yksi nollakohta. f() = < 0 f() = 9 > 0 Koska funktio f saa välin [, ] päätepisteissä erimerkkiset arvot, on sillä Bolzanon lauseen mukaan välillä ], [ vähintään yksi nollakohta. Funktiolla f on siten täsmälleen yksi nollakohta ja siis yhtälöllä 5 = täsmälleen yksi ratkaisu välillä [, ]. b) Newtonin menetelmän mukainen rekursiokaava funktion f() = 5 nollakohdan etsimiselle on f ( n ) n n, missä f () = 5 f 4. ( ) 0 = f (),5 f () =,7845 =,675 4 =,670,67 n

7 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty K0. Tehtävänä on ratkaista yhtälö f() =, eli 4 + =. Kirjoitetaan yhtälö muotoon 4 + = 0. Tutkitaan funktion g() = 4 + nollakohtia. Kuvan perusteella nollakohtia on kaksi. Toinen on lähellä kohtaa = ja toinen lähellä kohtaa =. Newtonin menetelmän mukainen rekursiokaava funktion g nollakohdan etsimiselle on g( n ) n n, missä g () = 4 g ( ) Käytetään alkuarvoa 0 = = 5 =,795 =,867 4 =,790 5 =, =, =, =,584 9 =,586 0 =,586,58 Käytetään alkuarvoa 0 = =,79487 =,7460 =,747 4 =,7465,747 n

8 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty K. Kirjoitetaan yhtälö muotoon cos = 0 ja tutkitaan jatkuvaa funktiota f() = cos. f () = sin Koska sin, niin sin. Funktion f derivaatta f on kaikkialla negatiivinen, joten funktio f on vähenevä ja siten sillä on korkeintaan yksi nollakohta. f(0) = > 0 f() =.45 < 0 Funktio f saa välin [0, ] päätepisteissä erimerkkiset arvot, joten sillä on Bolzanon lauseen mukaan vähintään yksi nollakohta välillä ]0, [. Funktiolla f on siis täsmälleen yksi nollakohta ja siten yhtälöllä cos = yksi ratkaisu. Kirjoitetaan yhtälö kiintopistemenetelmää varten muotoon cos ja merkitään g( ) cos. 0 = = g() = 0,705 = 0,4886 = 0, = 0,457 5 = 0, = 0, = 0, = 0,4508 0,450

9 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty K. a) Kirjoitetaan yhtälö e kiintopistemenetelmää varten muotoon ja merkitään g( ). e e Piirretään kuva. Kiintopiste näyttäisi olevan lähellä kohtaa =. 0 = = g() = 0,75 = 0,890 = 0,798 4 = 0,85 5 = 0,80 5 = 0,89 6 = 0,87 7 = 0,84 0,8 b) Kirjoitetaan yhtälö muotoon e 0, merkitään f( ) e ja arvioidaan funktion f nollakohtaa Newtonin menetelmällä. f( n ) n n, missä f( ) e e. f( n ) 0 = = 0,854 = 0,8 = 0,8 0,8

10 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty K. Käytetään Newtonin menetelmää funktion f() = ln + sin e nollakohdan etsimiseen. f( n ) Newtonin menetelmän mukainen lauseke on n n, missä f( ) '( ) f cos e. n Valitaan 0 = 0,5 f( 0 ) 0 0,54667 f( 0 ) = 0,55596 = 0,55596 Funktion f nollakohta on 0, K4. Luku a, a > 0 on yhtälön = a positiivinen ratkaisu. Yhtälö = a voidaan kirjoittaa muotoon a = 0 ja arvioidaan funktion f() = a nollakohtaa Newtonin menetelmällä. Newtonin menetelmän avulla muodostettu iterointikaava on f( n) n a n n a a n n n n. f( ) n n n n

11 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty K5. Funktion f() = + erotusosamäärän lauseke kohdassa = on f ( h) f ( ) h h f ( h) f ( ) h 0,, 0, 0,9 0,0,0 0,0 0,99 0,00,00 0,00 0,999 Funktion derivaatta kohdassa = näyttäisi olevan noin. Derivointikaavalla saadaan f () = + f ( ) = + =. K6. Funktion f ( ) e keskeisdifferenssin lauseke kohdassa = on f ( h) f ( h) h p h = 0 p f ( h) f ( h) h 0 - = 0, 0, ,477 0,0 0,496 0,40 0,00 0,4804 0,48 4 0,000 0,480 0,48 5 0,0000 0,480 0,48 K7. Koska f kasvaa lineaarisesti, sen kuvaaja välillä [,9995;,0005] on likimain suora. Funktion derivaatta kohdassa = on kuvaajalle piirretyn tangentin kulmakerroin tässä kohdassa. Koska kuvaaja on kohdan = ympäristössä likimain suora, voidaan kulmakerroin määrittää funktion arvojen avulla: f(, 0005) f(), , k 0,., , 0005 f () 0,

12 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty K8. Funktion f() = cos erotusosamäärän lauseke kohdassa f h f 4 4. h Vasemmanpuoleinen erotusosamäärä: p h = 0 p f h f 4 4 h on 4 absoluuttinen virhe f h 4 f 4 f h , , , , , , Tarkin, kun p = 8. Oikeanpuoleinen erotusosamäärä: p h = 0 p f h f 4 4 h absoluuttinen virhe f h 4 f 4 f h , , , , , ,4 0 8 Tarkin, kun p = 8. Keskeisdifferenssin lauseke kohdassa f ( h) f ( h) 4 4. h on 4 p h = 0 p f h f h 4 4 h absoluuttinen virhe f h 4 f h 4 f h , , , , , Tarkin, kun p = 6.

13 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty K9. Pinta-ala on noin,4. K0. a) Välin pituus on 4 =. Koska osavälejä on, yhden osavälin pituus on. Osavälit ovat [, ], [, ] ja [, 4]. Välien keskipisteet ovat =,5, =,5 ja =,5. Arvio pinta-alalle on ( f(,5) f(,5) f(,5)) 4, ,9. b) Välin pituus on 0,5. 6 Välien keskipisteet ovat =,5, =,75, =,5, 4 =,75, 5 =,5 ja 6 =,75. Arvio pinta-alalle on 0,5( f (, 5) f (, 75) f (, 5) f (, 75) f(, 5) f(, 75)) 4,6... 4,6

14 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty K. d ( / ln ln ln) ln Merkitään f ( ). Välin [, ] pituus on. Koska jakovälejä on neljä, yhden jakovälin pituus on 0,5. Arvio integraalille on 0,5 f () f (,5) f () f (,5) f (), ,667 Määritetään suhteellinen virhe.,667 ln 0, ln Virhe on,6 %. K. Aika t on tunteja keskiyöstä. Puolisuunnikassääntöä varten tarvittava osavälin pituus on,00 tuntia. 4 0 f ()d t t,00( f (0,00) f (,00) f (6,00) f (9,00) f (,00) f (5,00) f (8,00) f (,00) f (4,00)) 45,6 4 ( )d 45,6 4, 4 4 f t t 4 0 Vuorokauden keskilämpötila on 4,4 C.

15 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty K. Välin [0, 4] pituus on 4. Osavälejä on neljä, joten yhden osavälin pituus on. Merkitään f() =. 4 f f f f f 0 d ( (0) 4 () () 4 () (4)) 64 Lasketaan integraalin tarkka arvo d / 0 Simpsonin sääntöä käytettäessä virhe on E n 80n 5 (4) ( b a) f ( t) 4. Simpsonin säännön virhe on 0, kun funktion f neljäs derivaatta f (4) (t) on 0. Jos funktio f on korkeintaan kolmannen asteen polynomifunktio, sen neljäs derivaatta on nolla. Simpsonin sääntö integroi tarkasti korkeintaan kolmannen asteen polynomifunktiot.

16 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty K4. Piirretään kuva. Alueen pinta-ala voidaan laskea integraalina f( ) g( ) d e sin d. 0 0 Merkitään h ( ) e sin Arvioidaan alueen pinta-alaa käyttäen neljää osaväliä ja Simpsonin sääntöä. Välin [0, ] pituus on. Koska osavälejä on neljä, yhden osavälin pituus on 0,5. e sin d 0 0,5 ( h (0) 4 h (0,5) h (0,5) 4 h (0,75) h ()),57... Pinta-ala on noin,5.

17 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. a) b) 6 ( ) 9 ( ) 84 Jaetaan osoittaja tekijöihin nollakohtien avulla tai ( ) ( ) ( )( ) 84 ( )( ) c) ( ) ( ) ( )( )

18 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Suoritetaan jakolasku 4 5 allekkain jakona. 4 4 ( 4 5):(4) 4 ( 4 ) Saadaan jakoyhtälö 5 5 ( ) 4 5 (4)( ) 5 4. Polynomin vakiotermin tekijät ovat ±, ±, ±7 ja ±. Yhtälön = 0 mahdollisia kokonaislukuratkaisuja ovat = ±, = ±, = ±7 ja = ±. Tutkitaan mitkä luvuista toteuttavat yhtälön. = : = 0 = : ( ) 5 ( ) 7 ( ) + = 0 = : = 48 0 = : ( ) 5 ( ) 7 ( ) + = 0 = 7: = 0 Kolmannen asteen yhtälöllä on korkeintaan kolme ratkaisua, jotka kaikki on nyt löydetty. Yhtälön toteuttavat kokonaisluvut =, = ja = 7.

19 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) = 4 4 = 0 ( 4) = 0 = 0 tai 4 = 0 = tai = Yhtälön ratkaisut ovat =, = 0 ja =. b) 4 60 () () 0 ()( ) 0 0 tai 0 i tai i Yhtälön ratkaisut ovat i, i ja. c) Polynomin + 4 vakiotermin 4 tekijät ja samalla yhtälön + 4 = 0 mahdolliset kokonaislukuratkaisut ovat ±4, ±, ±6, ±4, ±, ± ja ±. Huomataan, että näistä yhtälön toteuttavat = : ( ) + ( ) ( ) 4 = 0 = 4: = 0 = 6: ( 6) + ( 6) ( 6) 4 = 0 Yhtälö on kolmannen asteen polynomiyhtälö, joten sillä on korkeintaan kolme ratkaisua. Muita ratkaisuja ei siis voi olla. Yhtälön ratkaisut ovat = 6, = ja = 4.

20 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Polynomi P() = q + 5 on jaollinen binomilla + 5, jos niillä on sama nollakohta, eli 5. q q P 8 5 5q q q 4 5 Vakio q on. 4

21 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty P() = 4 + a + b + Tiedetään, että P( ) = P() = 0, eli = ja = ovat yhtälön P() = 0 ratkaisuja. Selvitetään kertoimet a ja b, jotta voidaan selvittää muut ratkaisut. P( ) = ( ) 4 + a( ) + b( ) ( ) + = a + b + + = a + b + 8 P() = 4 + a + b + = a + 4b 6 + = 8a + 4b + 44 Ratkaistaan yhtälöpari ab8 0 ( 4) 8a4b440 4a4b0 8a4b440 a 0 a + b + 8 = 0 b = 9 Näin ollen polynomin P lauseke on P() = Ratkaistaan yhtälö P() = 0. Koska = ja = ovat polynomin nollakohtia, polynomi P on jaollinen binomeilla ( + ) ja ( ) sekä niiden tulolla ( + )( ) =.

22 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty ( 9 ) : ( ) 4 ( 6 ) ( 4 ) ( ) 0 P() = ( )( + ) Yhtälön P() = 0 loput ratkaisut ovat polynomin + nollakohdat. 44 ( ) tai Yhtälön P() = 0 ratkaisut ovat =, ja =.

23 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Esimerkiksi: 8. Polynomi P() on jaollinen ensimmäisen asteen polynomilla a + b jos polynomin a + b nollakohta b on myös polynomin P() a nollakohta, eli P b 0. a. Lasketaan P b a.. Jos tulos on 0, polynomi P() on jaollinen ensimmäisen asteen polynomilla a + b. Muutoin polynomi P() ei ole jaollinen polynomilla a + b.

24 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Keskeisdifferenssi funktiolle p() = a + b + c kohdassa on p ( h) p ( h) h a ( h) b ( h) c( a ( h) b ( h) c) h a h h b bh c a h h b bh c h 4ah bh h a b ( ) ( ( ) ) Väite on siis osoitettu.

25 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Olkoon kolmannen asteen polynomi p() = a + b + c + d. p ( )d ( a b cd)d a / b c d 0 4 a 6 b 8 c 4 d 0 4 4a 8 bcd [ p (0) 4 p () p ()] ( d 4( abcd ) (8 a 4 b cd )) ( a 8 b 6 c 6 d ) 4a 8 bcd Väite on siis osoitettu. b) p() = p(0) = p() = = 4 p() = = 5 ( )d (445) 0 0 c) Jos p() = 4, niin d 0 / Kaavan mukaan [ p(0) 4 p() p()] (046) 0. 5 Kaava ei siis päde kaikille neljännen asteen polynomeille.

26 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty APUVÄLINEET SALLITTU. Koska polynomi P() = + a + b + c on jaollinen binomilla = ( )( + ), on se jaollinen myös binomin tekijöillä ja +. Polynomilla P() on tällöin nollakohdat = ja =, eli P() = 0 ja P( ) = 0. Lisäksi P() =. Saadaan yhtälöryhmä: P() 0 P( ) 0 P() abc0 a b c 0 84abc a =, b = ja c = P() = +

27 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Piirretään kuva. f ( ) ln f( ) Valitaan alkuarvoksi 0 = 0,5. f ( 0 ) 0 0,5946 f( 0 ) = 0,67 = 0,695 4 = 0, = 0,6997 0,690 Valitaan toisen nollakohdan etsimistä varten alkuarvoksi 0 = 7. = 7,45804 = 7,49799 = 7, ,4980 Osoitetaan vielä, että ko. kohdat ovat funktion nollakohtia. f(0,6995) = 0,0000 > 0 f(0,6905) = 0, < 0 Bolzanon lauseen mukaan 0,690 on nollakohdan viisidesimaalinen likiarvo. f(7,49795) = 7,6 0 7 < 0 f(7,49805) = 5, > 0 Bolzanon lauseen mukaan 7,4980 on nollakohdan viisidesimaalinen likiarvo.

28 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kirjoitetaan kiintopistemenetelmää varten yhtälö 5 + = 4 muotoon = g(). 5 = Käytetään alkuarvoa 0 =,5. = g(,5) = = g() =, =,09 4 =, =, =, =,974 8 =, =, =,976 =,97647 =,97664 =,97660,976 Yhtälöllä 5 + = 4 eli = 0 on muita ratkaisuja, jos funktiolla f() = on muita nollakohtia. Tarkastellaan funktion f kulkua derivaatan avulla. f () = Funktion f derivaatta on kaikkialla positiivinen, joten funktio f on kasvava. Kasvavalla funktiolla on korkeintaan yksi nollakohta. Yhtälöllä ei siis ole muita ratkaisuja.

29 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty f( ) cos Derivointikaavalla saadaan f ( ) sin 0 cos f( ) sin ja cos a) Erotusosamäärän lauseke kohdassa = π on h f ( h) f ( ) h 0, 0, , 0, ,0 0, ,0 0, ,00 0, ,00 0, f ( h) f( ). h Arvio derivaatalle on 0, joka on sama kuin derivointikaavalla saatava arvo. b) Keskeisdifferenssin lauseke kohdassa = π on h f ( h) f ( h) h f ( h) f( h). h 0, 0 0,0 0 0,00 0 Arvio derivaatalle on 0, joka on sama kuin derivointikaavalla saatava arvo.

30 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Piirretään funktioiden f() = ja g() = cos kuvaajat. Kuvaajien leikkauspisteet voidaan ratkaista yhtälöstä f() = g() = cos cos = 0. Merkitään h() = cos ja käytetään Newtonin menetelmää funktion h nollakohtien etsimiseen. h () = + sin Tehdään ensimmäinen alkuarvaus 0 =. h ( 0 ) 0 0,894 h( 0 ) = 0,8894 0,89 Tehdään toinen alkuarvaus 0 = =,856 =,86,86 Tehdään kolmas alkuarvaus 0 =,5. =,6507 =,680 =,679,64 Lasketaan leikkauspisteiden -koordinaatteja vastaavat y-koordinaattien arvot sijoittamalla :n arvot funktion f lausekkeeseen. 0,89, y,89,86, y 0,86,64, y,64 Leikkauspisteet ovat ( 0,89;,89), (,86; 0,86) ja (,64;,64)

31 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Kirjoitetaan yhtälö = 4 muotoon = g() toisella tavalla. 4 4 : n Iteraatiokaava on n. n b) : 0 4 Iteraatiokaava on n 4 n c) 0 = 4,70...,7 4,44,4 n

32 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Nopeus v on matkan s muutosnopeus eli derivaatta, joten Annan koulumatkan pituus saadaan nopeuden integraalina, eli nopeusfunktion v(t) alle jäävän alueen pinta-alana. Arvioidaan pinta-alaa puolisuunnikassäännöllä. Yhden osavälin pituus on 5 min 5 h h s v()d t t 0 v(0) v(5) v(0) v(5) v(0) ,58... Annan koulumatkan pituus on 5,6 km.

33 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Välin [0, ] pituus on yksi. Koska jakovälejä on viisi, yhden jakovälin pituus on 0,. 5 f( )d0,( f(0,) f(0,) f(0,5) f(0,7) f(0,9)) 0 0, ,947 b) Kun jakovälejä on 50, yhden jakovälin pituus on 0, f( )d0,( f(0,0) f(0,0) f(0,05)... f(0,99)) 0, ,946

34 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Merkitään f() = ln, a = ja b =. f( ) Kaarenpituus b f ( ) d välillä [, ] on a d d. Määritetään integraalin arvo puolisuunnikassäännöllä. Merkitään g( ). Yhden osaväli pituus on 0,5. 4 g g g g g d 0, 5 () (, 5) (,5) (,75) (,0), ,5 Funktion ln kuvaajan kaarenpituus välillä [, ] on,5.

35 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Puolisuunnikassäännön virhe on Nyt E n ( b a) f ''( t). n f ( ), a = 0 ja b = ja 0 < t <. f( ) f( ) Absoluuttinen virhe on ( 0) f( t) f () t En. n n Koska f( ) 0 ( ) f () t En. n kaikilla, niin Välillä [0, ] f () on suurin, kun nimittäjä ( ) on pienin, eli kun = 0. Tällöin toisen derivaatan arvo ei varmasti ylitä arvoa f (0). (0 ) 0 Absoluuttiselle virheelle saadaan yläraja E n. n Ratkaistaan epäyhtälö 0,00 n n 000 n 50 Yhtälön n 50 ratkaisut ovat n = ±9,. Pienin positiivinen kokonaisluku, joka toteuttaa epäyhtälön on 0. Osavälejä on siis oltava vähintään 0. Yhden osavälin pituus on 0,.

36 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty ,488...,48 d0, f(0) f(0,) f(0,)... f(0,9) f() Määrätyn integraalin tarkka arvo on vähintään,488 0,00 =,478 ja enintään, ,00 =,498 Tarkka arvo on siis välillä [,47;,50].

Juuri 12 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 12 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus K. a) Polynomi P() = 3 + 8 on jaollinen polynomilla Q() = 3, jos = 3 on polynomin P nollakohta, eli P(3) = 0. P(3) = 3 3 3 + 8 3 = 54 08 + 54 = 0. Polynomi P on jaollinen polynomilla Q. b) Jaetaan

Lisätiedot

jakokulmassa x 4 x 8 x 3x

jakokulmassa x 4 x 8 x 3x Laudatur MAA ratkaisut kertausarjoituksiin. Polynomifunktion nollakodat 6 + 7. Suoritetaan jakolasku jakokulmassa 5 4 + + 4 8 6 6 5 4 + 0 + 0 + 0 + 0+ 6 5 ± 5 5 4 ± 4 4 ± 4 4 ± 4 8 8 ± 8 6 6 + ± 6 Vastaus:

Lisätiedot

Harjoituskokeiden ratkaisut Painoon mennyt versio.

Harjoituskokeiden ratkaisut Painoon mennyt versio. Harjoituskokeiden ratkaisut 8.6.7 Painoon mennyt versio. PYRAMIDI NUMEERISIA JA ALGEBRALLISIA MENETELMIÄ RATKAISUT, HARJOITUSKOE SIVU.7.7 Koe a) i) =,, = kpl ii) 9,876 =,9876,99 = 9,9 iii),66,66 =,7 =,7

Lisätiedot

Tee kokeen yläreunaan pisteytysruudukko. Valitse kuusi tehtävää seuraavista kahdeksasta. Perustele vastauksesi!

Tee kokeen yläreunaan pisteytysruudukko. Valitse kuusi tehtävää seuraavista kahdeksasta. Perustele vastauksesi! MAA Loppukoe 70 Jussi Tyni Tee pisteytysruudukko konseptin yläreunaan! Vastauksiin välivaiheet, jotka perustelevat vastauksesi! Lue ohjeet huolellisesti! Tee kokeen yläreunaan pisteytysruudukko Valitse

Lisätiedot

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1.

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1. Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4..6 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. a) Funktion f( ) = määrittelyehto on +, eli. + Ratkaistaan funktion nollakohdat. f(

Lisätiedot

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0 Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 K. a) b) c) d) 6 6 a a a, a > 0 6 6 a a a a, a > 0 5 5 55 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 a a a a a ( a ) a a a, a > 0 K.

Lisätiedot

n. asteen polynomilla on enintään n nollakohtaa ja enintään n - 1 ääriarvokohtaa.

n. asteen polynomilla on enintään n nollakohtaa ja enintään n - 1 ääriarvokohtaa. MAA 12 kertaus Funktion kuvaaja n. asteen polynomilla on enintään n nollakohtaa ja enintään n - 1 ääriarvokohtaa. Funktion nollakohta on piste, jossa f () = 0, eli kuvaaja leikkaa -akselin. Kuvaajan avulla

Lisätiedot

Schildtin lukio

Schildtin lukio MAA1.9.15 Scildtin lukio LIKIARVO MUISTA: tavallisesti matematiikassa pyritään aina tarkkoiin arvoiin! Kuitenkin esim. mittaustulokset ovat aina likiarvoja. o Luvun katkaiseminen: näin tekevät mm. jotkut

Lisätiedot

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0 Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8.9.07 Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) K. a) b) c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 6 6 a a a, a > 0 6 6 a

Lisätiedot

Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77

Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77 Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07 Kertaus K. a) sin 0 = 0,77 b) cos ( 0 ) = cos 0 = 0,6 c) sin 50 = sin (80 50 ) = sin 0 = 0,77 d) tan 0 = tan (0 80 ) = tan 0 =,9 e)

Lisätiedot

5 Differentiaalilaskentaa

5 Differentiaalilaskentaa 5 Differentiaalilaskentaa 5.1 Raja-arvo Esimerkki 5.1. Rationaalifunktiota g(x) = x2 + x 2 x 1 ei ole määritelty nimittäjän nollakohdassa eli, kun x = 1. Funktio on kuitenkin määritelty kohdan x = 1 läheisyydessä.

Lisätiedot

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 14..016 Kertaus K1. a) b) x 18 ( x 9) ( x ) ( x+ ) lim = lim = lim x+ x+ ( x + ) x x x = lim (x 6) = ( ) 6 = 1 x x + 6 ( ) + 6 0 lim = =

Lisätiedot

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus:

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus: . Koska F( ) on jokin funktion f ( ) integraalifunktio, niin a+ a f() t dt F( a+ t) F( a) ( a+ ) b( a b) Vastaus: Kertausharjoituksia. Lukujonot 87. + n + lim lim n n n n Vastaus: suppenee raja-arvona

Lisätiedot

Muutoksen arviointi differentiaalin avulla

Muutoksen arviointi differentiaalin avulla Muutoksen arviointi differentiaalin avulla y y = f (x) y = f (x + x) f (x) dy y dy = f (x) x x x x x + x Luento 7 1 of 15 Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto Muutoksen arviointi differentiaalin

Lisätiedot

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 6 Maanantai

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 6 Maanantai . (Teht. s. 93.) Määrää raja-arvo MATP53 Approbatur B Harjoitus 6 Maanantai 7..5 cos x x. Ratkaisu. Suora sijoitus antaa epämääräisen muodon (ei auta). Laventamalla päädytään muotoon ja päästään käyttämään

Lisätiedot

2 Raja-arvo ja jatkuvuus

2 Raja-arvo ja jatkuvuus Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.6 Raja-arvo ja jatkuvuus. a) Kun suorakulmion kärki on kohdassa =, on suorakulmion kannan pituus. Suorakulmion korkeus on käyrän y-koordinaatti

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka a) Ratkaistaan nimittäjien nollakohdat. ja x = 0. x 1= Funktion f määrittelyehto on x 1 ja x 0.

Tekijä Pitkä matematiikka a) Ratkaistaan nimittäjien nollakohdat. ja x = 0. x 1= Funktion f määrittelyehto on x 1 ja x 0. Tekijä Pitkä matematiikka 6 9.5.017 K1 a) Ratkaistaan nimittäjien nollakohdat. x 1= 0 x = 1 ja x = 0 Funktion f määrittelyehto on x 1 ja x 0. Funktion f määrittelyjoukko on R \ {0, 1}. b) ( 1) ( 1) f (

Lisätiedot

11 MATEMAATTINEN ANALYYSI

11 MATEMAATTINEN ANALYYSI Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 0.7.08 MATEMAATTINEN ANALYYSI ALOITA PERUSTEISTA 444A. a) Funktion arvot ovat positiivisia silloin, kun kuvaaja on x-akselin yläpuolella.

Lisätiedot

A = (a 2x) 2. f (x) = 12x 2 8ax + a 2 = 0 x = 8a ± 64a 2 48a x = a 6 tai x = a 2.

A = (a 2x) 2. f (x) = 12x 2 8ax + a 2 = 0 x = 8a ± 64a 2 48a x = a 6 tai x = a 2. MATP53 Approbatur B Harjoitus 7 Maanantai..5. (Teht. s. 9.) Neliön muotoisesta pahviarkista, jonka sivun pituus on a, taitellaan kanneton laatikko niin, että pahviarkin nurkista leikataan neliön muotoiset

Lisätiedot

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua Mallivastaukset - Harjoituskoe E E a) x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4,35 < 0 x 3 7 4 b) 0 / x + dx = 0 ln x + = ln + ln 0 + = ln 0 Vastaus: ln c) x 4 3x 4 = 0 Sijoitetaan x = u Tulon nollasääntö

Lisätiedot

1 Rationaalifunktio , a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen.

1 Rationaalifunktio , a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen. Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 Rationaalifunktio. a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen. f (50) 50 8 50 4 8 50 500 400 4 400

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4 Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa A

Lisätiedot

MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin!

MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni 9.1.01 1. Laske raja-arvot: a) 5 lim 5 10 b) lim 9 71. a) Määritä erotusosamäärän avulla funktion f (). f ( ) derivaatta 1 b) Millä välillä funktio f ( ) 9 on kasvava? Perustele

Lisätiedot

Tekijä MAA2 Polynomifunktiot ja -yhtälöt = Vastaus a)

Tekijä MAA2 Polynomifunktiot ja -yhtälöt = Vastaus a) K1 a) Tekijä MAA Polynomifunktiot ja -yhtälöt 6.8.016 ( + + ) + ( ) = + + + = + + + = + 4 b) 4 4 ( 5 + ) ( 5 + 1) = 5 + + 5 + 1 4 = + + + 4 = + 5 5 1 1 Vastaus a) 4 + b) 4 + 1 K a) f ( ) = + 1 f () = +

Lisätiedot

Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot.

Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot. 7 Sovelluksia 90 a) Koska sin saa kaikki välillä [,] olevat arvot, niin funktion f ( ) = sin pienin arvo on = ja suurin arvo on ( ) = b) Koska sin saa kaikki välillä [0,] olevat arvot, niin funktion f

Lisätiedot

Differentiaalilaskenta 1.

Differentiaalilaskenta 1. Differentiaalilaskenta. a) Mikä on tangentti? Mikä on sekantti? b) Määrittele funktion monotonisuuteen liittyvät käsitteet: kasvava, aidosti kasvava, vähenevä ja aidosti vähenevä. Anna esimerkit. c) Selitä,

Lisätiedot

Kun yhtälöä ei voi ratkaista tarkasti (esim yhtälölle x-sinx = 1 ei ole tarkkaa ratkaisua), voidaan sille etsiä likiarvo.

Kun yhtälöä ei voi ratkaista tarkasti (esim yhtälölle x-sinx = 1 ei ole tarkkaa ratkaisua), voidaan sille etsiä likiarvo. Kun yhtälöä ei voi ratkaista tarkasti (esim yhtälölle x-sinx = 1 ei ole tarkkaa ratkaisua), voidaan sille etsiä likiarvo. Iterointi on menetelmä, missä jollakin likiarvolla voidaan määrittää jokin toinen,

Lisätiedot

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.8.016 3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) x + x + 1 = 4 (x + 1) = 4 Luvun x + 1 tulee olla tai, jotta sen

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a)

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a) Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6 Kertaus Integraalifunktio ja integrointi KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) ( )d C C b) c) d e e C cosd cosd sin C K. Funktiot F ja F ovat saman

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 26..208 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4 Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / 4 Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä merkittyjen (*) tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. a) Ratkaise epäyhtälö >.

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle / MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 5. viikolle / 9..5. Integroimismenetelmät Tehtävä : Laske osittaisintegroinnin avulla a) π x sin(x) dx,

Lisätiedot

Integrointi ja sovellukset

Integrointi ja sovellukset Integrointi ja sovellukset Tehtävät:. Muodosta ja laske yläsumma funktiolle fx) x 5 välillä [, 4], kun väli on jaettu neljään yhtä suureen osaan.. Määritä integraalin x + ) dx likiarvo laskemalla alasumma,

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ Merkitään f(x) =x 3 x. Laske a) f( 2), b) f (3) ja c) YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA

MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ Merkitään f(x) =x 3 x. Laske a) f( 2), b) f (3) ja c) YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 1 YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 26.3.2018 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ A-osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät 1 4. Tehtävät arvostellaan pistein 0 6. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän

Lisätiedot

5 Rationaalifunktion kulku

5 Rationaalifunktion kulku Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 5 Rationaalifunktion kulku. Funktion f määrittelyehto on. Muodostetaan symbolisen laskennan ohjelman avulla derivaattafunktio f ja

Lisätiedot

2 Toisen asteen polynomifunktio

2 Toisen asteen polynomifunktio Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4.5.017 Toisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Merkitään taulukon pisteet koordinaatistoon ja hahmotellaan niiden kautta kulkeva

Lisätiedot

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän

Lisätiedot

mlnonlinequ, Epälineaariset yhtälöt

mlnonlinequ, Epälineaariset yhtälöt Aalto-yliopisto, Matematiikan ja Systeemianalyysin laitos -e mlnonlinequ, Epälineaariset yhtälöt 1. Historiallisesti mielenkiintoinen yhtälö on x 3 2x 5 = 0, jota Wallis-niminen matemaatikko käsitteli,

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 4.9.09 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alustavat hyvän vastauksen piirteet on suuntaa-antava kuvaus kokeen tehtäviin odotetuista vastauksista ja tarkoitettu ensisijaisesti

Lisätiedot

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion

Lisätiedot

MITEN RATKAISEN POLYNOMIYHTÄLÖITÄ?

MITEN RATKAISEN POLYNOMIYHTÄLÖITÄ? MITEN RATKAISEN POLYNOMIYHTÄLÖITÄ? Polynomiyhtälön ratkaiseminen Eri lajin yhtälöiden ratkaisutavat poikkeavat toisistaan. Siksi on tärkeää tunnistaa yhtälötyyppi. Polynomiyhtälö on yhtälö, joka voidaan

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: 1 Funktio 1.1 Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet: 1 1. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä.

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 6.3.09 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

Rationaalilauseke ja -funktio

Rationaalilauseke ja -funktio 4.8.07 Rationaalilauseke ja -funktio Määritelmä, rationaalilauseke ja funktio: Kahden polynomin ja osamäärä, 0 on rationaalilauseke, jonka osoittaja on ja nimittäjä. Huomaa, että pelkkä polynomi on myös

Lisätiedot

KERTAUSHARJOITUKSIA. 1. Rationaalifunktio a) ( ) 2 ( ) Vastaus: a) = = 267. a) a b) a. Vastaus: a) a a a a 268.

KERTAUSHARJOITUKSIA. 1. Rationaalifunktio a) ( ) 2 ( ) Vastaus: a) = = 267. a) a b) a. Vastaus: a) a a a a 268. KERTAUSHARJOITUKSIA. Rationaalifunktio 66. a) b) + + + = + + = 9 9 5) ( ) ( ) 9 5 9 5 9 5 5 9 5 = = ( ) = 6 + 9 5 6 5 5 Vastaus: a) 67. a) b) a a) a 9 b) a+ a a = = a + a + a a + a a + a a ( a ) + = a

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka Ratkaisut MA Preliminääri kevät 5 PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5. a) Ratkaise epäyhtälö >. b) Määritä kaikki luvut, jotka toteuttavat vaatimuksen: Luvun neliön ja vastaluvun summa on. c) Sievennä

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät Pekka Vienonen

Numeeriset menetelmät Pekka Vienonen Numeeriset menetelmät Pekka Vienonen 1. Funktion nollakohta Newtonin menetelmällä 2. Määrätty integraali puolisuunnikassäännöllä 3. Määrätty integraali Simpsonin menetelmällä Newtonin menetelmä Newtonin

Lisätiedot

3.1 Väliarvolause. Funktion kasvaminen ja väheneminen

3.1 Väliarvolause. Funktion kasvaminen ja väheneminen Väliarvolause Funktion kasvaminen ja väheneminen LAUSE VÄLIARVOLAUSE Oletus: Funktio f on jatkuva suljetulla välillä I: a < x < b f on derivoituva välillä a < x < b Väite: On olemassa ainakin yksi välille

Lisätiedot

x j x k Tällöin L j (x k ) = 0, kun k j, ja L j (x j ) = 1. Alkuperäiselle interpolaatio-ongelmalle saadaan nyt ratkaisu

x j x k Tällöin L j (x k ) = 0, kun k j, ja L j (x j ) = 1. Alkuperäiselle interpolaatio-ongelmalle saadaan nyt ratkaisu 2 Interpolointi Olkoon annettuna n+1 eri pistettä x 0, x 1, x n R ja n+1 lukua y 0, y 1,, y n Interpoloinnissa etsitään funktiota P, joka annetuissa pisteissä x 0,, x n saa annetut arvot y 0,, y n, (21)

Lisätiedot

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A) Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut

Lisätiedot

MS-A0104 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ELEC2) MS-A0106 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ENG2)

MS-A0104 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ELEC2) MS-A0106 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ENG2) MS-A4 Differentiaali- ja integraalilaskenta (ELEC2) MS-A6 Differentiaali- ja integraalilaskenta (ENG2) Harjoitukset 3L, syksy 27 Tehtävä. a) Määritä luvun π likiarvo käyttämällä Newtonin menetelmää yhtälölle

Lisätiedot

Harjoitus 7 -- Ratkaisut

Harjoitus 7 -- Ratkaisut Harjoitus 7 -- Ratkaisut 1 Solve osaa ratkaista polynomiyhtälöitä, ainakin astelukuun 4 asti. Erikoistapauksissa korkeammankin asteen yhtälöt ratkeavat. Clear a, b, c, d, e, x ; Solve a x 3 b x 2 c 0,

Lisätiedot

Muista tutkia ihan aluksi määrittelyjoukot, kun törmäät seuraaviin funktioihin:

Muista tutkia ihan aluksi määrittelyjoukot, kun törmäät seuraaviin funktioihin: Määrittelyjoukot Muista tutkia ihan aluksi määrittelyjoukot, kun törmäät seuraaviin funktioihin:, 0 ; log, > 0 ;, 0 (parilliset juuret) ; tan, π + nπ Potenssisäännöt Ole tarkkana kantaluvun kanssa 3 3

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 2. viikolle /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 2. viikolle / MS-A008 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/207 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 2. viikolle / 8. 2.4. Jatkuvuus ja raja-arvo Tehtävä : Määritä raja-arvot a) 3 + x, x Vihje: c)-kohdassa

Lisätiedot

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1.

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1. ABIKertaus.. a. Ratkaise yhtälö 8 5 4 + + 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on. 4. Jaa polynomi 8 0 5 ensimmäisen asteen tekijöihin ja ratkaise tämän avulla 4 epäyhtälö 8 0 5 0.

Lisätiedot

Juuri 2 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 2 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus K. a) E Nouseva suora. b) A 5. asteen polynomifunktio, pariton funktio Laskettu piste f() = 5 =, joten piste (, ) on kuvaajalla. c) D Paraabelin mallinen, alaspäin aukeava. Laskettu piste f() =

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 Väliarvolause Oletetaan, että funktio f on jatkuva jollain reaalilukuvälillä [a, b] ja derivoituva avoimella välillä (a, b). Funktion muutos tällä välillä on luonnollisesti

Lisätiedot

määrittelyjoukko. 8 piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä tangentin yhtälö.

määrittelyjoukko. 8 piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä tangentin yhtälö. MAA8 Juuri- ja logaritmifunktiot 5.4.0 Jussi Tyni. a) Derivoi f ( ) 3e 5 Mikä on funktion f () = ln(5 ) 00 määrittelyjoukko. c) Derivoi g( t) 4ln( t t ). Käyrälle g( ) e 8 piirretään tangentti pisteeseen,

Lisätiedot

Luku 4. Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia.

Luku 4. Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia. 1 MAT-1343 Laaja matematiikka 3 TTY 1 Risto Silvennoinen Luku 4 Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia Derivaatan olemassaolosta seuraa funktioille eräitä säännöllisyyksiä Näistä on jo edellisessä luvussa

Lisätiedot

MAA2.3 Koontitehtävät 2/2, ratkaisut

MAA2.3 Koontitehtävät 2/2, ratkaisut MAA.3 Koontitehtävät /, ratkaisut. (a) 3x 5x 4 = 0 x = ( 5) ± ( 5) 4 3 ( 4) 6 (b) (x 4) = (x 4)(x + 4) (x 4)(x 4) = (x 4)(x + 4) x 8x + 6 = x 6 x 6 8x = 3 : 8 x = 4 = 5 ± 73 6 (c) 4 x + x + = 0 4 x + 4x

Lisätiedot

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei. PITKÄ MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 7..07 NIMI: A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.. Valitse oikea vaihtoehto ja

Lisätiedot

4 Polynomifunktion kulku

4 Polynomifunktion kulku 4 Polynomifunktion kulku. a) Funktio on kasvava jollakin välillä, jos sen arvo kasvaa tällä välillä. Kuvaajan nousemisen ja laskemisen perusteella funktio on kasvava kohtien x,4 ja x 0, välissä. b) Funktion

Lisätiedot

määrittelyjoukko. log x piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä millä korkeudella tangentti leikkaa y-akselin.

määrittelyjoukko. log x piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä millä korkeudella tangentti leikkaa y-akselin. MAA8 Juuri- ja logaritmifunktiot 70 Jussi Tyni 5 a) Derivoi f ( ) e b) Mikä on funktion f () = ln(5 ) 00 c) Ratkaise yhtälö määrittelyjoukko log Käyrälle g( ) e 8 piirretään tangeti pisteeseen, jossa käyrä

Lisätiedot

1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio

1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio Ensimmäisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT. a) f(x) = x 4 b) Nollakohdassa funktio f saa arvon nolla eli kuvaaja kohtaa x-akselin. Kuvaajan perusteella funktion nollakohta on x,. c) Funktion f

Lisätiedot

4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ

4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ POHDITTAVAA 1. Merkitään toisen neliön sivun pituutta kirjaimella x. Tällöin toisen neliön sivun pituus on

Lisätiedot

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö Funktion kasvavuus ja vähenevyys; paikalliset ääriarvot Jos derivoituvan reaalifunktion f derivaatta tietyssä pisteessä on positiivinen, f (x 0 ) > 0, niin funktion tangentti

Lisätiedot

Tekijä Pitkä Matematiikka 11 ratkaisut luku 2

Tekijä Pitkä Matematiikka 11 ratkaisut luku 2 Tekijä Pitkä matematiikka 11 0..017 170 a) Koska 8 = 4 7, luku 8 on jaollinen luvulla 4. b) Koska 104 = 4 6, luku 104 on jaollinen luvulla 4. c) Koska 4 0 = 80 < 8 ja 4 1 = 84 > 8, luku 8 ei ole jaollinen

Lisätiedot

3 Määrätty integraali

3 Määrätty integraali Määrätty integraali. a) Muodostuva alue on kolmio, jonka kanta on. Kolmion korkeus on funktion arvo kohdassa, eli f() = = 6. Lasketaan A() kolmion pintaalana. 6 A() 6 Vastaus: A() = 6 b) Muodostuva alue

Lisätiedot

Lisätehtäviä. Rationaalifunktio. x 2. a b ab. 6u x x x. kx x

Lisätehtäviä. Rationaalifunktio. x 2. a b ab. 6u x x x. kx x MAA6 Lisätehtäviä Laske lisätehtäviä omaan tahtiisi kurssin aikan Palauta laskemasi tehtävät viimeistään kurssikokeeseen. Tehtävät lasketaan ilman laskint Rationaalifunktio Tehtäviä Hyvitys kurssiarvosanassa

Lisätiedot

MATP153 Approbatur 1B Ohjaus 2 Keskiviikko torstai

MATP153 Approbatur 1B Ohjaus 2 Keskiviikko torstai MATP15 Approbatur 1B Ohjaus Keskiviikko 4.11. torstai 5.11.015 1. (Opiskeluteht. 6 s. 0.) Määritä sellainen vakio a, että polynomilla x + (a 1)x 4x a on juurena luku x = 1. Mitkä ovat tällöin muut juuret?.

Lisätiedot

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2.1 Ensimmäisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Muuttujan x ensimmäisen asteen yhtälöksi sanotaan yhtälöä, joka voidaan kirjoittaa muotoon ax + b = 0, missä vakiot a ja b ovat reaalilukuja

Lisätiedot

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2018 Insinöörivalinnan matematiikan koe, , Ratkaisut (Sarja A)

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2018 Insinöörivalinnan matematiikan koe, , Ratkaisut (Sarja A) Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2018 Insinöörivalinnan matematiikan koe, 2952018, Ratkaisut (Sarja A) 1 Anna kaikissa kohdissa vastaukset tarkkoina arvoina Kohdassa d), anna kulmat

Lisätiedot

Juuri 11 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 11 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus K1. a) 72 = 2 36 = 2 2 18 = 2 2 2 9 = 2 2 2 3 3 = 2 3 3 2 252 = 2 126 = 2 2 63 = 2 2 3 21 = 2 2 3 3 7 = 2 2 3 2 7 syt(72, 252) = 2 2 3 2 = 36 b) 252 = 72 3 + 36 72 = 36 2 syt(72, 252) = 36 c) pym(72,

Lisätiedot

Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8..08 KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) Keskimääräinen muutosnopeus välillä [0, ] saadaan laskemalla kohtia x = 0 ja x = vastaavien kuvaajan

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 2 Lisää osamurtoja Tutkitaan jälleen rationaalifunktion P(x)/Q(x) integrointia. Aiemmin käsittelimme tapauksen, jossa nimittäjä voidaan esittää muodossa Q(x) = a(x x

Lisätiedot

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio 4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Tutkitaan yhtälöiden ratkaisuja piirtämällä funktioiden f(x) = x, f(x) = x 3, f(x) = x 4 ja f(x) = x 5 kuvaajat. Näin nähdään, monessako

Lisätiedot

, c) x = 0 tai x = 2. = x 3. 9 = 2 3, = eli kun x = 5 tai x = 1. Näistä

, c) x = 0 tai x = 2. = x 3. 9 = 2 3, = eli kun x = 5 tai x = 1. Näistä Pitkä matematiikka 8.9.0, ratkaisut:. a) ( x + x ) = ( + x + x ) 6x + 6x = + 6x + 6x x = x =. b) Jos x > 0, on x = + x x = + x. Tällä ei ole ratkaisua. Jos x 0, on x = + x x = + x x =. c) x = x ( x) =

Lisätiedot

x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi

x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi Mallivastaukset - Harjoituskoe F F1 a) (a + b) 2 (a b) 2 a 2 + 2ab + b 2 (a 2 2ab + b 2 ) a 2 + 2ab + b 2 a 2 + 2ab b 2 4ab b) tan x 3 x π 3 + nπ, n Z c) f(x) x2 x + 1 f (x) 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 2x2

Lisätiedot

3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO

3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO 3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO POHDITTAVAA 1. Kuvasta voidaan arvioida, että frisbeegolfkiekko käy noin 9 metrin korkeudella ja se lentää noin 40 metrin päähän. Vastaus: Frisbeegolfkiekko käy n. 9 m:n

Lisätiedot

Mikäli funktio on koko ajan kasvava/vähenevä jollain välillä, on se tällä välillä monotoninen.

Mikäli funktio on koko ajan kasvava/vähenevä jollain välillä, on se tällä välillä monotoninen. 4.1 Polynomifunktion kulun tutkiminen s. 100 digijohdanto Funktio f on kasvava jollain välillä, jos ehdosta a < b seuraa ehto f(a) < f(b). Funktio f on vähenevä jollain välillä, jos ehdosta a < b seuraa

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 21.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo

Lisätiedot

MAA02. A-osa. 1. Ratkaise. a) x 2 + 6x = 0 b) (x + 4)(x 4) = 9 a) 3x 6x

MAA02. A-osa. 1. Ratkaise. a) x 2 + 6x = 0 b) (x + 4)(x 4) = 9 a) 3x 6x MAA0 A-osa. Ratkaise. a) x + 6x = 0 b) (x + 4)(x 4) = 9 a) 3x 6x a) Kirjoitetaan summa x + 6x yhteisen tekijän avulla tulomuotoon ja ratkaistaan yhtälö tulon nollasäännön avulla. x + 6x = 0 x(x + 6) =

Lisätiedot

Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on

Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: geometrinen (käyrän tangentti sekanttien raja-asentona) fysikaalinen (ajasta riippuvan funktion hetkellinen muutosnopeus) 1 / 19 Derivaatan määritelmä Määritelmä

Lisätiedot

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4 KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + ( 1) + 3 ( 1) 3 = 3 + 3 = 4 K. a) x 3x + 7x 5x = 4x + 4x b) 5x 3 (1 x ) = 5x 3 1 + x = 6x 4 c) (x + 3)(x 4) = x 3 4x + 3x 1 = x 3 + 3x 4x 1 Vastaus: a) 4x +

Lisätiedot

= 9 = 3 2 = 2( ) = = 2

= 9 = 3 2 = 2( ) = = 2 Ratkaisut 1.1. (a) + 5 +5 5 4 5 15 15 (b) 5 5 5 5 15 16 15 (c) 100 99 5 100 99 5 4 5 5 4 (d) 100 99 5 100 ( ) 5 1 99 100 4 99 5 1.. (a) ( 100 99 5 ) ( ( 4 ( ) ) 4 1 ( ) ) 4 9 4 16 (b) 100 99 ( 5 ) 1 100

Lisätiedot