2 Raja-arvo ja jatkuvuus

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "2 Raja-arvo ja jatkuvuus"

Transkriptio

1 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Raja-arvo ja jatkuvuus. a) Kun suorakulmion kärki on kohdassa =, on suorakulmion kannan pituus. Suorakulmion korkeus on käyrän y-koordinaatti kohdassa =. Korkeus on siis y 8 4. Pinta-ala on siis 7 9 A 4 8, Lasketaan vastaavasti suorakulmion pinta-alan arvoja, kun -akselilla oleva piste lähestyy origoa. = y A = = =,5 y 8 3,5 7,5 5 A =,5 3 6,6667, 5 5 =,3 y 8 8,3 7,3 9 A =,3 8 8, 9589, 9 73 =, y 8 8, 7, 7 A =, 8 8,766, 7 7 Vastaus: Pinta-ala näyttää lähestyvän lukua,.

2 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty b) Jos suorakulmion kärki on -akselin kohdassa, on suorakulmion kannan pituus. Suorakulmion korkeus on tällöin käyrän y- koordinaatti, eli y 8. 7 Suorakulmion pinta-ala on A ( 7) 7 Kun -akselilla oleva kärki lähestyy origoa, muuttujan arvo lähestyy arvoa. Tällöin pinta-alan lausekkeen nimittäjä + 7 lähestyy lukua 7 eli pinta-ala lähestyy lukua 8. 7 Vastaus: Tarkka arvo on Piirretään ensin kuvaaja. Funktion kuvaaja koostuu kahdesta osasta, jotka näyttävät kohtaavan kohdassa = 3. Katkos voi kuitenkin olla hyvin pieni. Lähestyttäessä kohtaa = 3 vasemmalta puolelta, lähestyy funktion arvo lukua,5 ( 3) +,5 =,85. Kohdan = 3 oikealla puolella funktion f lauseke on 3 7. Tästä ei 4 4 nähdä suoraan, mitä lukua lausekkeen arvo lähestyy kohdassa = 3, sillä 3( 3) 7. 4( 3) 4

3 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Muokataan lauseketta ( 9) 3( 3) ( 3) 44 4( 3) 4( 3) 3( 3). 4 Tästä muodosta nähdään, että kun lähestyy lukua 3, lausekkeen 3( 3) arvo lähestyy lukua 3( 3 3) 8, Lähestyttäessä kohtaa = 3 oikealta puolelta, lähestyy funktion arvo lukua,8574. Funktion f kuvaaja siis katkeaa kohdassa = 3. Jos kuvaajaa suurennetaan riittävästi, huomataan katkos kuvaajassakin. Vastaus: Funktion kuvaaja katkeaa kohdassa = 3.

4 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Funktion raja-arvo. A-IV, B-III, C-I ja D-II. a) kuvaaja - taulukko, kuvaaja - taulukko 3 ja kuvaaja 3 - taulukko 3. a) b) Merkintä sopii kaikkiin kuvaajiin. f( ) b) f( ) 5 c) f( ) d) f () = ja f(5) ei ole määritelty. 4. a) b) (3 5) 35 ( c) ( ) ) a) b) ( 5)( 5 5 ) ( 5) c) (3 )(3 9 ) ( )

5 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) f () 3 8, kun. b) f(),9,4,99,94,999,99 -,,,,6,,6 f ( ), VAHVISTAVAT TEHTÄVÄT 7. A: Väärin. Funktion ei tarvitse olla määritelty kohdassa, jossa raja-arvo lasketaan. B: Oikein. C: Väärin. Raja-arvo ja funktion arvo voivat olla tarkastelukohdassa eri suuret. 8. a) Kuvaajat ja 3. Molemmissa funktion arvo lähestyy lukua 3 kun muuttuja lähestyy lukua. b) Kuvaajaan

6 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) ( )( 4 ) ( ) 4 b) c) d) 44 ( ) ( ) a) 6) 4) 3) b) c) ( ) ( ) 3 ( 49) ( 7) ( 7) ( 7) ( 7) 7. a) Epätosi. Voi olla myös esimerkiksi a f () 3 ja a g() 6. b) Tosi. Jos osoittaja lähestyy lukua ja raja-arvo on, niin nimittäjän on lähestyttävä lukua.

7 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty ( 4) ( 4) Määritetään funktion f nollakohdat. Funktio f on määritelty, kun 4. 86, kun 4 86 ( 4) 4 4, ei täytä määrittelyehtoa. Funktiolla f ei ole nollakohtia. 3. a) 4 4 (4 )(4 ) b) f( ) 4, kun Osoittaja on positiivinen vakio ja nimittäjä on suuruudeltaan vähintään neljä, joten funktio saa vain positiivisia arvoja. Funktio ei saa koskaan arvoa nolla.

8 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Raja-arvo on noin,3. 5. Kun sijoitetaan luku = lausekkeeseen, tulee molemmista nimittäjistä nolla. Tällöin = on myös nimittäjän nollakohta ja + on tekijä. Nimittäjän toinen tekijä on +, joka saadaan selville esimerkiksi ratkaisemalla lausekkeen nollakohdat toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla. ) ( ) ( ) 3 ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 6. a) 4 8 ( 9) ( 9) ( 9) ( 9) 3 3 b) ) 7) ( 7)

9 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Jotta osamäärä supistuisi, tulee myös osoittajan tekijä olla 9 4. Huomataan, että toisen tekijän pitää tällöin olla (4 )( ) (4 ) ( ) b) Osoittaja voidaan jakaa tekijöihin ryhmittelemällä termit. 3 ( 3) 4( 3) ( 3) 3 4 ( 4) ( 3) ( 4) ( 3) Piirretään paraabeli y 3 ja pisteet (3, 3) ja a, a. 3 a) Kulmakerroin lähestyy lukua. b) Suoran kulmakerroin: 3) y a 3 y a a 3 9 ( 3)( 3 k a ) a 3. a3 3( a3) 3( a 3) 3 Kun a lähestyy lukua 3, lähestyy kulmakertoimen arvo lukua a a3 3 3

10 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty SYVENTÄVÄT TEHTÄVÄT 9. Kumpikaan funktio ei ole määritelty kohdassa =, koska se on nimittäjän nollakohta. Funktiolla voi olla raja-arvo kohdassa =, jos = on myös osoittajan nollakohta, eli jos lauseke on muotoa ja lauseke voidaan supistaa. a) f ( ) a, kun Kohta = tulee olla osoittajan a nollakohta. a =, josta a =. ( )( ) ( ) b) f ( ) a, Kohta = tulee olla osoittajan + a + nollakohta. + a + =, josta a =. ( ) ( ). Kohdassa = osoittajan lauseke saa arvon. Kohdassa = nimittäjän lauseke c saa arvon c. Raja-arvo on olemassa kun vakion c arvoksi asetetaan mikä tahansa luku siten, että nimittäjän lauseke c ei ole nolla, eli c.. Esimerkiksi f (),. Tällöin ( ) ( ) ( ).

11 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Piirretään kuvat eri tilanteista. Kun > : Kun < : Kun < < : Kärkipiste B on funktion f( ) 4 kuvaajalla, joten sen koordinaatit ovat (, 4 ). Kärkipisteen C -koordinaatti on sama kuin pisteen B, koska kulma C on suora. Pisteen C koordinaatit ovat (, ). Syntyneen kolmion kanta ja korkeus ovat janojen pituudet CA = ja CB 4. Pinta-alan lauseke on 4 A,kun ja ( ). Lausekkeen raja-arvo kohdassa = on, joten pinta-ala lähestyy arvoa.

12 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Ympyrän s ( ) (y ) keskipiste on (, ) ja säde. Piste (4, ) on ympyrän s kehällä, koska (4 ) + ( ) = 9 + =. Kun piste P lähestyy pistettä (4,), on molempien ympyröiden sisälle jäävä alue sama kuin pienemmän ympyrän ala. Ympyrän halkaisija on pisteiden (, ) ja (4, ) väatka, eli isomman ympyrän säde. Pinta-ala on π( ) π 5π 7,85. 4 b) Piste (, 3) on ympyrän s kehällä, koska ( ) + (3 ) = 9 + =. Pisteet (, 3) ja (4, ) ovat ympyrän vastakkaisilla puolilla, koska niiden väatka on ( 4) (3) 4, eli ympyrän s halkaisija. Kun piste P lähestyy pistettä (, 3), lähestyy ympyröiden yhteinen ala puoliympyrän pintaalaa π π 3,4.

13 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Toispuoliset raja-arvot YDINTEHTÄVÄT 4. a) f( ) 3 f( ) b) 3 c) Funktiolla ei ole raja-arvoa kohdassa = 3, koska sen toispuoliset rajaarvot eivät ole samat. 5, kun 3 5. f( ), kun 3 Lasketaan vasemmanpuoleinen raja-arvo: f( ) ( 5) Lasketaan oikeanpuoleinen raja-arvo: f ( ) ( ) Koska toispuoliset raja-arvot ovat eri suuret, funktiolla f ei ole raja-arvoa kohdassa = a) Kohta = 3: f () f (). 3 3 Kohta = : f ( ) 3 ja f ( ). Kohta = : b) Kohdissa = ja = 3. f ( ) f ( ). c) f( 3) = ja f() = 3. d) Funktiota ei ole määritelty kohdassa = 3.

14 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty , kun 7. a) f( ), kun Kuvaaja on suoran y = + 4 kuvaaja kohdan = vasemmalla puolen ja kohdassa = ja suoran y = + kuvaaja kohdan = oikealla puolella. b) f() = + 4 = 3 f(4) = 4 + = 5 c) Kohta = : f( ) ( 4) 4 3, f( ) ( ). Toispuoliset raja-arvot ovat eri suuret, joten kohdassa = funktiolla ei ole raja-arvoa. Kohta = 4: f( ) ( ) 4 5, 4 4 f( ) ( ) Toispuoliset raja-arvot ovat yhtä suuret, joten kohdassa = 4 funktiolla on raja-arvo. Funktion raja-arvo kohdassa = 4 on 5.

15 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Epätosi. Vasemmanpuoleisen raja-arvon perusteella ei voida päätellä oikeanpuoleista raja-arvoa, sillä tarkastelukohdassa funktion lauseke saattaa vaihtua. b) Epätosi. Funktion arvo tarkastelukohdassa voi olla erisuuri kuin rajaarvo. Raja-arvosta ei voi päätellä funktion arvoa. c) Epätosi. Funktion arvo tarkastelukohdassa voi olla erisuuri kuin rajaarvo. Funktion arvosta ei voida päätellä raja-arvoa. d) Tosi. Jos funktion raja-arvo on olemassa, niin toispuoliset raja-arvot ovat yhtä suuret. 9. a) f( ) ( ) b) f ( ) ( 5) 5 9 f( ) ( ) Koska toispuoliset raja-arvot ovat erisuuret ei raja-arvoa olemassa. f ( ) ole c) f ( ) ( 5) d) f() =

16 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty VAHVISTAVAT TEHTÄVÄT 3. a) f ( ) b) 3 f( ) 3 c) f ( ) d) 3 f( ) e) f( ) f) Raja-arvoa kohdassa = ei ole olemassa. 3. a) Kohta = : f( ) () ( ) f( ) ( ) ( ) b) Koska toispuoliset raja-arvot ovat yhtä suuret, niin kohdassa = funktiolla f on raja-arvo. Arvoa f( ) ei voida laskea, koska funktio ei ole siinä kohdassa määritelty. Kohta = : f( ) ( ) f( ) ( ) Koska toispuoliset raja-arvot ovat erisuuret, niin kohdassa = funktiolla f ei ole olemassa raja-arvoa. f ()

17 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty , kun 6 3. f ( ) 36,kun 6 6 f( ) ( 3 6) ( 6)( 6) f( ) ( 6) 66 Toispuoliset raja-arvot ovat samat, joten raja-arvo kohdassa = 6 on olemassa. Raja-arvo on. 33. a) Esimerkiksi: b) Esimerkiksi: c) Esimerkiksi:

18 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) a, kun b) f ( ) a 5, kun. f ( ) ( ) 3 f ( ) ( a5) a 5 a 5 Jotta raja-arvo olisi olemassa, toispuoliset raja-arvot ovat yhtä suuret. a 53 a a 3 a, kun 35. f ( ) a 4 a,kun f ( ) ( a3 a) a 3 a 3 f ( ) ( a 4 a) 4a 4a 3 Koska toispuoliset raja-arvot ovat molemmat 3, on funktiolla raja-arvo f( ) 3, joka ei riipu vakion a arvosta.

19 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a b, kun f ( ) 3, kun a b, kun Määritetään toispuoliset raja-arvot kohdassa = : ( a b) a b ( a b ) 4a b Koska funktiolla on raja-arvo kohdassa =, ja tämä raja-arvo on sama kuin funktion arvo f() = 3, niin toispuoleisten raja-arvojen tulee molempien olla 3. Tästä saadaan yhtälöpari: ab3 4ab3 ab4ab a a b = 3 a = 3 ( ) = 4. 4, kun Funktio on f( ) 3, kun 5, kun

20 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.6, kun b 37. Funktiolla f( ) on raja-arvo kohdassa = b, kun b jos toispuoliset raja-arvot ovat yhtä suuret. f ( ) () b b b f( ) ( ) b b b Tästä saadaan yhtälö: bb b b b b3 b tai b3 4, kun 38. a) f ( ) a,kun a Etsitään vakiolle a arvo, jolla raja-arvo on olemassa kohdassa =. f ( ) (4 ) 4 f( ) a a a 4 a a a Jotta raja-arvo olisi olemassa, toispuolisten raja-arvojen on oltava yhtä suuret: a 4 ( a ) a a4a 4 a a aa ( ) a tai a Jotta raja-arvoa ei olisi olemassa, mikä tahansa a:n arvo kelpaa lukuun ottamatta arvoja ja eli a ja a.

21 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty b) f ( ) a Jotta raja-arvo kohdassa = olisi olemassa, tulee nimittäjän nollakohdan = olla myös osoittajan nollakohta, eli a = mistä saadaan a = 4. Jotta raja-arvoa ei olisi olemassa, mikä tahansa muu luku kelpaa kuin luku 4 eli a 4., kun 39. f (), kun. a) Havaitaan, että kulmakerroin näyttäisi lähestyvän lukua liu utettiinpa pistettä P kohti origoa vasemmalta tai oikealta. b) Pisteen P koordinaatit ovat (, ), kun < ja (, ), kun >. Lasketaan kulmakertoimet: ( ) ( ) kun < k, ja kun > k. ( ) Lasketaan toispuoliset raja-arvot ( ) ( ) Tutkimalla toispuolisia raja-arvoja huomataan, että kulmakertoimen arvo on sama molemmilta puolilta eli luku.

22 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Määritetään toispuoliset raja-arvot: ( 3)( 3) 9 ( 3) ( 3) 3 3 ( 3) 3 9 3( 3)( 3) Sievennetystä muodosta huomataan, että ennen kohtaa = 3 funktio käyttäytyy lineaarisesti, sen kuvaajana on suora y = + 3. Kohdan = 3 jälkeen funktion lauseke on. Tämän lausekkeen arvot kasvavat 3 rajatta, kun lähestytään kohtaa = 3 oikealta. Funktion raja-arvo vasemmalta kohdassa = 3 on 6, mutta oikealta lähestyttäessä raja-arvoa ei ole (lauseke on muotoa ). Funktiolla ei ole raja-arvoa kohdassa = 3. SYVENTÄVIÄ TEHTÄVIÄ 4. Kun >, on = kaikilla muuttujan arvoilla ja siten. Samoin, kun >, on = ja siten. Tämän tarkastelun perusteella ei ole mielekästä antaa potenssille kumpaakaan arvoa. 4. Piirretään ehdot täyttävät puolisuorat ja määritetään niiden yhtälöt. Esimerkiksi y, f( ) on ehdon mukainen funktio. y 5,

23 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) f( ) Funktio on määritelty kohdassa =, mutta ei ole määritelty kohdassa =, koska se on nimittäjän nollakohta. Kirjoitetaan itseisarvolauseke paloittain määriteltynä.,,, Tällöin f( )., Funktiolla f ei ole raja-arvoa kohdassa =, koska sen toispuoliset raja-arvot ovat erisuuret, ja. Kohdassa = funktiolla on raja-arvo. b) f( ) Funktio on määritelty kohdassa =, mutta ei ole määritelty kohdassa =, koska se on nimittäjän nollakohta. Kirjoitetaan funktio paloittain määriteltynä., f( ), f ( ) ja f ( ), joten funktiolla f on raja-arvo kohdassa =. Funktiolla on raja-arvo kohdassa =.

24 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) f ( ) Funktio ei ole määritelty kohdassa =, koska se on nimittäjän nollakohta. Funktio on määritelty kohdassa =. Kirjoitetaan funktio paloittain määriteltynä., f ( ) ( ), f( ) ja f ( ), joten funktiolla f ei ole raja-arvoa kohdassa =. Kohdassa = funktiolla on raja-arvo f ( ). 44. a) f ( ) b) Funktion arvo on enintään, etäisyydellä raja-arvosta 6, kun 6,, 6, 6 5,999 6, :,9995 3,5 Vastaavasti 6,, kun, ,5.

25 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty f() =, kun on rationaaliluku ja f() =, kun on irrationaaliluku. a) f() = =, koska on rationaaliluku. f() = =, koska on rationaaliluku. f(,4) =,4 =,988, koska,4 on on päättyvä desimaaliluku ja siten rationaaliluku. f ( ), koska on irrationaaliluku. f(3,4) = 3,4 = 9,8596 koska 3,4 on on päättyvä desimaaliluku ja siten rationaaliluku. f() =, koska π on irrationaaliluku. Kuvaaja: b) Funktiolla on raja-arvo kohdassa =, mutta sillä ei ole raja-arvoa kohdassa =.

26 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Funktion jatkuvuus YDINTEHTÄVÄT 46. a) Funktio on määritelty kohdassa =, sillä f() on olemassa, f() =. b) Tutkitaan kuvaajasta toispuoliset raja-arvot: f( ) f( ) Toispuoliset raja-arvot ovat yhtä suuret, joten raja-arvo on olemassa kohdassa =. f( ). c) Raja-arvo ja funktion arvo ovat samat, joten funktio f on jatkuva. 47. a) Määritetään toispuoliset raja-arvot. f( ) f( ) Toispuoliset raja-arvot ovat eri suuret, joten raja-arvoa ei ole olemassa. Näin ollen funktio ei ole jatkuva. b) Määritetään toispuoliset raja-arvot. f( ) f( ) Toispuoliset raja-arvot ovat yhtä suuret, joten raja-arvo on olemassa kohdassa =. Funktion arvo f() =. Funktion arvo on eri suuri kuin raja-arvo ja näin ollen funktio f ei ole jatkuva. c) Määritetään toispuoliset raja-arvot. f( ) f( ) Toispuoliset raja-arvot ovat yhtä suuret, joten raja-arvo on olemassa kohdassa =. Funktion arvo f() =. Funktion arvo on yhtä suuri kuin raja-arvo ja näin ollen funktio on jatkuva.

27 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.6, kun 48. f( ), kun. a) f() = + =. b) Määritetään toispuoliset raja-arvot. ( ) ( ) Toispuoliset raja-arvot ovat erisuuret, joten raja-arvoa ei ole kohdassa =. c) Funktio ei ole jatkuva, sillä funktiolla ei ole raja-arvoa kohdassa =. 49. a) Esimerkiksi b) Esimerkiksi

28 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.6, 5. a) f( ), Määritetään toispuoliset raja-arvot. f( ) ja f( ). Toispuoliset raja-arvot ovat samat, joten funktiolla on raja-arvo kohdassa =. Lasketaan f() = + =. Funktion arvo ja raja-arvo ovat yhtä suuria, joten f on jatkuva kohdassa =. Kuvaajasta havaitaan myös, että funktio f on jatkuva kohdassa =. b), f( ), Lasketaan toispuoliset raja-arvot. f( ) ja f( ) ( ) Lasketaan f() = + =. Funktion arvo ja raja-arvo ovat yhtä suuria, joten f on jatkuva kohdassa =.

29 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kuvaajasta havaitaan myös, että funktio f on jatkuva kohdassa =. 5. a) Tosi. Koska f on jatkuva, niin jokaisessa kohdassa funktion arvo on yhtä suuri kuin raja-arvo. b) Tosi. Jatkuvuutta voidaan tutkia vain määritellyissä kohdissa. c) Tosi. Koska f on jatkuva, niin jokaisessa kohdassa funktion arvo on yhtä suuri kuin raja-arvo. VAHVISTAVAT TEHTÄVÄT 5. a) Määritetään toispuoliset raja-arvot. 5 (5 ) (5 ) (5 ) (3 5) Funktion arvo on f () Funktion arvo ja raja-arvo ovat samat. Funktio f on jatkuva kohdassa = b) Raja-arvo on erisuuri kuin funktion arvo. Funktio f ei ole jatkuva. 53. a) = 3: Ei, koska raja-arvo ja funktion arvo ovat eri suuret. f( ) ja f() =. 3

30 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty b) = : Ei, koska tässä kohtaa toispuoliset raja-arvot ovat eri suuret. f( ) ja f( ). c) Välillä [ 4, ]. Ei, koska tällä välillä on kohta = 3, jossa funktio ei ole jatkuva. d) Välillä [, ]. Kyllä, koska funktio on jatkuva jokaisessa välin pisteessä ja sen toispuolinen raja-arvo ja arvo ovat samat välin päätepisteissä. 54. a) Tosi. f() = < ja f() = 3 ja funktio on jatkuva välillä ], [, eli Bolzanon lauseen perusteella tällä välillä on ainakin yksi nollakohta. b) Väite voi olla tosi tai epätosi. Funktio saa erimerkkiset arvot välin [, ] ja [, 3] päätepisteissä ja funktio on jatkuva näillä väleillä. Näin ollen funktiolla on ainakin kaksi nollakohtaa Bolzanon lauseen nojalla. Funktiolla on tietojen perusteella ainakin kaksi nollakohtaa, mutta niitä voi olla useampiakin. c) Tosi. Funktiolla on ainakin kaksi nollakohtaa edellisen kohdan perusteella. 55. a) Funktio f () = on polynomifunktiona jatkuva. Lisäksi f() = < ja f() = >, joten Bolzanon lauseen perusteella funktiolla on ainakin yksi nollakohta välillä ], [. b) Etsitään nollakohdalle arvo kahden desimaalin tarkkuudella taulukoimalla funktion arvoja väliltä ], [. f() nollakohta välillä < > ], [,5,84 < ],5; [,75,34 < ],75; [,875,8 > ],75;,875[,8,6 < ],8;,875[,85,5 > ],8;,85[,84, > ],8;,84[,83,3 < ],83;,84[

31 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Nollakohta on arvojen,83 ja,84 välissä. Lasketaan vielä funktion arvo kohtien,83 ja,4 välistä, jotta tiedetään kumpaan arvoon nollakohdan arvo pyöristyy.,835, < ],835;,84[ Nollakohta on, Funktio f () = 4 3 on polynomifunktiona jatkuva. Lisäksi f( ) = ( ) 4 ( ) 3 = 5 > ja f( ) = ( ) 4 ( ) 3 = <, joten Bolzanon lauseen perusteella välillä ], [ on ainakin yksi nollakohta. Myös välillä ], [ on nollakohta, sillä f() = 4 3 = 3 < ja f() = 4 3 = >, joten Bolzanon lauseen perusteella välillä ], [ on ainakin yksi nollakohta. 57. a) a 3, kun b) Funktio f( ) on jatkuva kohdassa =, jos sen a, kun raja-arvo ja arvo ovat samat kohdassa =. Lasketaan toispuoliset rajaarvot raja-arvon määrittämiseksi. f ( ) (3 ) 3 f ( ) ( a) a Funktiolla on raja-arvo kohdassa =, kun toispuoliset raja-arvot ovat yhtä suuret. + a = a = Funktion arvo kohdassa = on f() = + a, joka on sama kuin oikeanpuoleinen raja-arvo. Funktion raja-arvo ja arvo ovat samat, kun a =. Tällöin funktio on jatkuva.

32 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty , kun 58. Funktio f ( ) a, kun on jatkuva kohdassa =, jos sen 3 a, kun raja-arvo ja arvo ovat samat kohdassa =. Lasketaan toispuoliset rajaarvot raja-arvon määrittämiseksi. f ( ) (3 ) 3 ( ) 5 f ( ) ( 3 a) 3a Funktiolla on raja-arvo kohdassa =, kun toispuoliset raja-arvot ovat yhtä suuret. 3a = 5 7 a =. 3 7 Funktiolla on raja-arvo 5 kohdassa =, kun a =. 3 Funktion arvo kohdassa = on f( ) = a, joten tulee olla a = 5. Saatu vakio a ei ole sama molemmissa tapauksissa, joten funktiota ei ole mahdollista saada jatkuvaksi millään parametrin a arvolla.

33 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty , kun 59. a) Määritetään funktion f ( ) raja-arvo 4, kun kohdassa =. 44 ( ) f( ) ( ) f( ) ( 4) 4 Toispuoliset raja-arvot ovat samat, joten funktiolla on raja-arvo kohdassa =. Jotta funktio f olisi jatkuva, pitää olla myös f() =. 4 b) Määritetään funktion f( ), raja-arvo kohdassa =. 3 6 ( )( ) ( ) 4 f 36 3( ) ( ) ( ) 4 3( ) 3 3 Jotta funktio f olisi jatkuva, pitää olla myös f() = 4. 3 a a, kun 6. a) Funktio f( ) on jatkuva kohdassa = a a,kun riippumatta parametrin a arvosta. b) Määritetään funktion f raja-arvo ja arvo kohdassa =. ( a a) a a ( a a) a a f a a a a ( ) ( ) Huomataan, että raja-arvo ja funktion arvo ovat samat. Tämä arvo ei riipu a:n arvosta.

34 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Funktio f ( ) ei ole määritelty kohdassa =, joka sisältyy välille [, 3]. Funktio ei siten ole jatkuva välillä [, 3] eikä Bolzanon lauseen ehto jatkuvuudesta siten täyty. Bolzanon lauseen perusteella ei voida sanoa nollakohtien olemassaolosta välillä ], 3[ mitään. SYVENTÄVÄT TEHTÄVÄT 3 6. Funktion f( ) 3,, määrittelyehto on 3 8, eli. 3 8 Kohta = on välillä ], 3[, eli funktio f ei ole määritelty, eikä siten myöskään jatkuva koko välillä ], 3[. Tutkitaan, onko funktiolla nollakohtaa jollakin osavälillä, johon ei sisälly kohta =, esimerkiksi välillä ];,9[. 3 3 f () ,9 3,9 59 f (,9) 3,9 8 4 f() > ja f(,9) <, joten Bolzanon lauseen mukaan funktiolla on ainakin yksi nollakohta välillä ],,9[ ja siten myös välillä ], 3[. 63. a) Funktiolle okaisessa määrittelyjoukon ( ) pisteessä = a f ( ) f( a). a a a b) Välillä [, ] on määrittelemättömyyskohta eli jatkuvuudesta ei voi sanoa mitään. Edellisessä kohdassa tämä piste = ei kuulunut tarkasteltaviin kohtiin, siksi funktio on jatkuva, mutta ei jatkuva välillä [, ].

35 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a,kun 64. a) Funktion f ( ) a, kun a b, kun ainut mahdollinen epäjatkuvuuskohta on =. Määritetään funktion raja-arvo ja arvo kohdassa =. ( ) 4 a a ( ) 4 a b a b f() a Raja-arvon ja arvon tulee olla yhtä suuret. 4 a a a 4 a 4aba 8b b 6 Tarkistetaan vielä, että toispuoliset raja-arvot ovat yhtä suuret, eli että yhtälö 4 a = 4a + b toteutuu, kun a = ja b = = 4 ( ) + 6 = Toispuoliset raja-arvot ovat yhtä suuret. Määritellään a = ja b = 6. a b,kun b) Funktion f( ) ab,kun b a,kun ainut mahdollinen epäjatkuvuuskohta on =. Määritetään funktion raja-arvo ja arvo kohdassa =.

36 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty ( a b) a b ( b a) b a f () ab Kaikilla a:n ja b:n arvoilla funktion raja-arvo ja arvo ovat samat kohdassa =. 65. a) Tosi, sillä jatkuvuus edellyttää funktion arvon määrittämistä. Jos funktiota ei ole määritelty kohdassa = a, ei voida määrittää f(a), jolloin funktio ei olisi jatkuva. b) Tosi, sillä rationaalifunktiot ovat jatkuvia määrittelyjoukossaan. c) Epätosi, sillä f ei ole määritelty välille kuuluvassa kohdassa =. 66. a) Kirjoitetaan funktion f lauseke ilman itseisarvomerkkejä., kun Koska, niin voidaan kirjoittaa, kun, kun f( ), kun Funktio f on määritelty ja jatkuva, kun. Funktio f saadaan jatkuvaksi kohdassa =, jos asetetaan sen arvo tässä kohdassa yhtä suureksi kuin sen raja-arvo. ( ) ( ) Toispuoliset raja-arvot ovat erisuuret kohdassa =, joten funktiolla ei ole raja-arvoa ja siten funktiota f ei saada jatkuvaksi kohdassa =.

37 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty b) Kirjoitetaan funktion f lauseke ilman itseisarvomerkkejä. Funktio f on määritelty, kun., kun, eli, kun, eli Kun <, on 3 3 ( ) ( ) 3 ( ) ( ) Kun on 3 3 ( ) 3 3, kun, 3 f( ) 3, kun Selvitetään jatkuvuus kohdassa =. f( ) (3) 3 3( ) ( ) 3 4 f( ) ( ) 3 f ( ) 3. 3 Raja-arvo ja funktion arvo ovat samat, joten funktio on jatkuva kohdassa =.

38 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Funktio f saadaan jatkuvaksi kohdassa =, jos asetetaan sen arvo tässä kohdassa yhtä suureksi kuin sen raja-arvo. f( ) (3) 3 ( ) 4. Määritellään, että f( ) = 4, tällöin funktio f on jatkuva koko reaalilukujoukossa. 67. a) Dirichlet n funktio ei ole jatkuva missään pisteessä. b) Funktio f on jatkuva kohdassa =. Kun lähenee nollaa, myös funktion arvot lähenevät nollaa sekä rationaalisilla, että irrationaalisilla muuttujan arvoilla.

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1.

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1. Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4..6 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. a) Funktion f( ) = määrittelyehto on +, eli. + Ratkaistaan funktion nollakohdat. f(

Lisätiedot

1 Rationaalifunktio , a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen.

1 Rationaalifunktio , a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen. Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 Rationaalifunktio. a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen. f (50) 50 8 50 4 8 50 500 400 4 400

Lisätiedot

5 Differentiaalilaskentaa

5 Differentiaalilaskentaa 5 Differentiaalilaskentaa 5.1 Raja-arvo Esimerkki 5.1. Rationaalifunktiota g(x) = x2 + x 2 x 1 ei ole määritelty nimittäjän nollakohdassa eli, kun x = 1. Funktio on kuitenkin määritelty kohdan x = 1 läheisyydessä.

Lisätiedot

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0 Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8.9.07 Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) K. a) b) c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 6 6 a a a, a > 0 6 6 a

Lisätiedot

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 14..016 Kertaus K1. a) b) x 18 ( x 9) ( x ) ( x+ ) lim = lim = lim x+ x+ ( x + ) x x x = lim (x 6) = ( ) 6 = 1 x x + 6 ( ) + 6 0 lim = =

Lisätiedot

2 Toisen asteen polynomifunktio

2 Toisen asteen polynomifunktio Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4.5.017 Toisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Merkitään taulukon pisteet koordinaatistoon ja hahmotellaan niiden kautta kulkeva

Lisätiedot

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion

Lisätiedot

5 Rationaalifunktion kulku

5 Rationaalifunktion kulku Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 5 Rationaalifunktion kulku. Funktion f määrittelyehto on. Muodostetaan symbolisen laskennan ohjelman avulla derivaattafunktio f ja

Lisätiedot

Laudatur 7. Opettajan aineisto. Derivaatta MAA 7. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava

Laudatur 7. Opettajan aineisto. Derivaatta MAA 7. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Laudatur 7 Derivaatta MAA 7 Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola Opettajan aineisto Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava SISÄLLYS Ratkaisut kirjan tehtäviin... Kokeita...57 Otavan asiakaspalvelu

Lisätiedot

Rationaalilauseke ja -funktio

Rationaalilauseke ja -funktio 4.8.07 Rationaalilauseke ja -funktio Määritelmä, rationaalilauseke ja funktio: Kahden polynomin ja osamäärä, 0 on rationaalilauseke, jonka osoittaja on ja nimittäjä. Huomaa, että pelkkä polynomi on myös

Lisätiedot

Laudatur 2 MAA2 ratkaisut kertausharjoituksiin. 1. Polynomit 332.

Laudatur 2 MAA2 ratkaisut kertausharjoituksiin. 1. Polynomit 332. Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin. Polynomit. Vakiotermi 8 Kolmannen asteen termin kerroin, 5 8 = 9, Neljännen asteen termi n kerroin, 8 9, = 7,6 Kysytty polynomi P(a) = 7,6a + 9,a +a + ya +

Lisätiedot

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio 4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Tutkitaan yhtälöiden ratkaisuja piirtämällä funktioiden f(x) = x, f(x) = x 3, f(x) = x 4 ja f(x) = x 5 kuvaajat. Näin nähdään, monessako

Lisätiedot

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.8.016 3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) x + x + 1 = 4 (x + 1) = 4 Luvun x + 1 tulee olla tai, jotta sen

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π

Lisätiedot

KERTAUSHARJOITUKSIA. 1. Rationaalifunktio a) ( ) 2 ( ) Vastaus: a) = = 267. a) a b) a. Vastaus: a) a a a a 268.

KERTAUSHARJOITUKSIA. 1. Rationaalifunktio a) ( ) 2 ( ) Vastaus: a) = = 267. a) a b) a. Vastaus: a) a a a a 268. KERTAUSHARJOITUKSIA. Rationaalifunktio 66. a) b) + + + = + + = 9 9 5) ( ) ( ) 9 5 9 5 9 5 5 9 5 = = ( ) = 6 + 9 5 6 5 5 Vastaus: a) 67. a) b) a a) a 9 b) a+ a a = = a + a + a a + a a + a a ( a ) + = a

Lisätiedot

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus:

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus: . Koska F( ) on jokin funktion f ( ) integraalifunktio, niin a+ a f() t dt F( a+ t) F( a) ( a+ ) b( a b) Vastaus: Kertausharjoituksia. Lukujonot 87. + n + lim lim n n n n Vastaus: suppenee raja-arvona

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA7 Derivaatta Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Derivaatta (MAA7) Pikatesti ja kertauskokeet Tehtävien ratkaisut Pikatesti

Lisätiedot

2 Pistejoukko koordinaatistossa

2 Pistejoukko koordinaatistossa Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia

Lisätiedot

B-OSA. 1. Valitse oikea vaihtoehto. Vaihtoehdoista vain yksi on oikea.

B-OSA. 1. Valitse oikea vaihtoehto. Vaihtoehdoista vain yksi on oikea. B-OSA 1. Valitse oikea vaihtoehto. Vaihtoehdoista vain yksi on oikea. 1.1 Mitä voidaan sanoa funktion f raja-arvosta, kun x a? I Raja-arvo on f(a), jos f on määritelty kohdassa a. II Raja-arvo on f(a),

Lisätiedot

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. Suora Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 9..07 Ennakkotehtävät. a) Kumpaankin hintaan sisältyy perusmaksu ja minuuttikohtainen maksu. Hintojen erotus on kokonaan minuuttikohtaista

Lisätiedot

Ratkaisuehdotus 2. kurssikokeeseen

Ratkaisuehdotus 2. kurssikokeeseen Ratkaisuehdotus 2. kurssikokeeseen 4.2.202 (ratkaisuehdotus päivitetty 23.0.207) Huomioitavaa: - Tässä ratkaisuehdotuksessa olen pyrkinyt mainitsemaan lauseen, johon kulloinenkin päätelmä vetoaa. Näin

Lisätiedot

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. 3 Derivaatta. a) Vastaus: Merenpinta nousee aikavälillä 00:00-06:00 ja :30-7:30. Merenpinta laskee aikavälillä 06:00-:30 ja 7:30-3:00. b) Merenpinta nousi 0,35 cm ( 0,) cm = 0,55 cm tuona aikana. Merenpinta

Lisätiedot

1.4 Funktion jatkuvuus

1.4 Funktion jatkuvuus 1.4 Funktion jatkuvuus Kun arkikielessä puhutaan jonkin asian jatkuvuudesta, mielletään asiassa olevan jonkinlaista yhtäjaksoisuutta, katkeamattomuutta. Tässä ei kuitenkaan käsitellä työasioita eikä ihmissuhteita,

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y.

Tekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 37 Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, ) on ( x 0) + ( y ). Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Merkitään etäisyydet yhtä suuriksi ja ratkaistaan

Lisätiedot

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. 5 Paraabeli Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 13..017 ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Jos a > 0, paraabeli aukeaa oikealle. Jos a < 0, paraabeli aukeaa vasemmalle. Jos a = 0, paraabeli

Lisätiedot

4 Polynomifunktion kulku

4 Polynomifunktion kulku 4 Polynomifunktion kulku. a) Funktio on kasvava jollakin välillä, jos sen arvo kasvaa tällä välillä. Kuvaajan nousemisen ja laskemisen perusteella funktio on kasvava kohtien x,4 ja x 0, välissä. b) Funktion

Lisätiedot

3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO

3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO 3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO POHDITTAVAA 1. Kuvasta voidaan arvioida, että frisbeegolfkiekko käy noin 9 metrin korkeudella ja se lentää noin 40 metrin päähän. Vastaus: Frisbeegolfkiekko käy n. 9 m:n

Lisätiedot

Funktio 1. a) Mikä on funktion f (x) = x lähtöjoukko eli määrittelyjoukko, kun 0 x 5?

Funktio 1. a) Mikä on funktion f (x) = x lähtöjoukko eli määrittelyjoukko, kun 0 x 5? Funktio. a) Mikä on funktion f (x) = x + lähtöjoukko eli määrittelyjoukko, kun 0 x 5? b) Mikä on funktion f (x) = x + maalijoukko eli arvojoukko? c) Selitä, mikä on funktion nollakohta. Anna esimerkki.

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla

Lisätiedot

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2.1 Ensimmäisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Muuttujan x ensimmäisen asteen yhtälöksi sanotaan yhtälöä, joka voidaan kirjoittaa muotoon ax + b = 0, missä vakiot a ja b ovat reaalilukuja

Lisätiedot

Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77

Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77 Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07 Kertaus K. a) sin 0 = 0,77 b) cos ( 0 ) = cos 0 = 0,6 c) sin 50 = sin (80 50 ) = sin 0 = 0,77 d) tan 0 = tan (0 80 ) = tan 0 =,9 e)

Lisätiedot

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 6 Maanantai

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 6 Maanantai . (Teht. s. 93.) Määrää raja-arvo MATP53 Approbatur B Harjoitus 6 Maanantai 7..5 cos x x. Ratkaisu. Suora sijoitus antaa epämääräisen muodon (ei auta). Laventamalla päädytään muotoon ja päästään käyttämään

Lisätiedot

4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ

4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ POHDITTAVAA 1. Merkitään toisen neliön sivun pituutta kirjaimella x. Tällöin toisen neliön sivun pituus on

Lisätiedot

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a)

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a) Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6 Kertaus Integraalifunktio ja integrointi KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) ( )d C C b) c) d e e C cosd cosd sin C K. Funktiot F ja F ovat saman

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4 Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa A

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: 1 Funktio 1.1 Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet: 1 1. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä.

Lisätiedot

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b)

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b) MAA4 ratkaisut. 5 a) Itseisarvon vastauksen pitää olla aina positiivinen, joten määritelty kun 5 0 5 5 tai ( ) 5 5 5 5 0 5 5 5 5 0 5 5 0 0 9 5 9 40 5 5 5 5 0 40 5 Jälkimmäinen vastaus ei toimi määrittelyjoukon

Lisätiedot

Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot.

Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot. 7 Sovelluksia 90 a) Koska sin saa kaikki välillä [,] olevat arvot, niin funktion f ( ) = sin pienin arvo on = ja suurin arvo on ( ) = b) Koska sin saa kaikki välillä [0,] olevat arvot, niin funktion f

Lisätiedot

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2. MAA4 Koe 5.5.01 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden

Lisätiedot

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

Ratkaisuehdotus 2. kurssikoe

Ratkaisuehdotus 2. kurssikoe Ratkaisuehdotus 2. kurssikoe 4.2.202 Huomioitavaa: - Tässä ratkaisuehdotuksessa olen pyrkinyt mainitsemaan lauseen, johon kulloinenkin päätelmä vetoaa. Näin opiskelijan on helpompi jäljittää teoreettinen

Lisätiedot

Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin

Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin Yhtälöparit ja yhtälöryhmät 6. a) x y = 7 eli,y+, sijoitetaan alempaan yhtälöön x+ 7y = (, y+, ) + 7y =,y =, y = Sijoitetaan y = yhtälöparin ylempään yhtälöön.,

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 Väliarvolause Oletetaan, että funktio f on jatkuva jollain reaalilukuvälillä [a, b] ja derivoituva avoimella välillä (a, b). Funktion muutos tällä välillä on luonnollisesti

Lisätiedot

MAA4 Abittikokeen vastaukset ja perusteluja 1. Määritä kuvassa olevien suorien s ja t yhtälöt. Suoran s yhtälö on = ja suoran t yhtälö on = + 2. Onko väittämä oikein vai väärin? 2.1 Suorat =5 +2 ja =5

Lisätiedot

MAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti!

MAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti! A-osio: ilman laskinta. MAOLia saa käyttää. Laske kaikki tehtävistä 1-. 1. a) Derivoi funktio f(x) = x (4x x) b) Osoita välivaiheiden avulla, että seuraava raja-arvo -lauseke on tosi tai epätosi: x lim

Lisätiedot

Differentiaalilaskenta 1.

Differentiaalilaskenta 1. Differentiaalilaskenta. a) Mikä on tangentti? Mikä on sekantti? b) Määrittele funktion monotonisuuteen liittyvät käsitteet: kasvava, aidosti kasvava, vähenevä ja aidosti vähenevä. Anna esimerkit. c) Selitä,

Lisätiedot

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6 MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+

Lisätiedot

3.4 Rationaalifunktion kulku ja asymptootit

3.4 Rationaalifunktion kulku ja asymptootit .4 Rationaalifunktion kulku ja asymptootit Rationaali- eli murtofunktiolla tarkoitetaan funktiota R, jonka lauseke on kahden polynomin osamäärä: P() R(). Q() Ainakin nimittäjässä olevan polynomin asteluvun

Lisätiedot

Funktion raja-arvo. lukumäärien tutkiminen. tutkiminen

Funktion raja-arvo. lukumäärien tutkiminen. tutkiminen Matematiikka algebra geometria Funktion raja-arvo analyysi tarve lukumäärien tutkiminen kuvioiden ja kappaleiden tutkiminen muutosten tutkiminen DERIVAATTA, MAA6 Yhtä vanhoja kuin ihmiskuntakin ~6 000

Lisätiedot

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p MAA..0 Muista kirjoittaa jokaiseen paperiin nimesi! Tee vastauspaperin yläreunaan pisteytysruudukko! Valitse kuusi tehtävää! Perustele vastauksesi välivaiheilla! Jussi Tyni Ratkaise: a) x x b) xy x 6y

Lisätiedot

MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin!

MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni 9.1.01 1. Laske raja-arvot: a) 5 lim 5 10 b) lim 9 71. a) Määritä erotusosamäärän avulla funktion f (). f ( ) derivaatta 1 b) Millä välillä funktio f ( ) 9 on kasvava? Perustele

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 7 to

Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 7 to Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 7 to 5..2009 ratkaisut 1. (a) Määritä funktion f(x) = e x e x x + 1 derivaatan f (x) pienin mahdollinen arvo. Ratkaisu. (a) Funktio f ja sen derivaatat ovat

Lisätiedot

Mikäli funktio on koko ajan kasvava/vähenevä jollain välillä, on se tällä välillä monotoninen.

Mikäli funktio on koko ajan kasvava/vähenevä jollain välillä, on se tällä välillä monotoninen. 4.1 Polynomifunktion kulun tutkiminen s. 100 digijohdanto Funktio f on kasvava jollain välillä, jos ehdosta a < b seuraa ehto f(a) < f(b). Funktio f on vähenevä jollain välillä, jos ehdosta a < b seuraa

Lisätiedot

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja?

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja? Nimi Koulutus Ryhmä Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vastausvaihtoehto oikein. Laske tehtävät ilman laskinta.. Missä pisteessä suora y = 3x 6 leikkaa x-akselin? A. 3 D. B. E. en tiedä C. 6. Mitkä luvuista,,,

Lisätiedot

3 Raja-arvo ja jatkuvuus

3 Raja-arvo ja jatkuvuus 3 Raja-arvo ja jatkuvuus 3. Raja-arvon käsite Raja-arvo kuvaa funktion kättätmistä jonkin lähtöarvon läheisdessä. Raja-arvoa tarvitaan toisinaan siksi, että funktion arvoa ei voida laskea kseisellä lähtöarvolla

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 110 Valitaan suoralta kaksi pistettä ja piirretään apukolmio, josta koordinaattien muutokset voidaan lukea. Vaakasuoran suoran kulmakerroin on nolla. y Suoran a kulmakerroin

Lisätiedot

origo III neljännes D

origo III neljännes D Sijoita pisteet A(1,4) ja B(4,5;5) sekä C(-3,4) ja D(-4,--5) y II neljännes C A I neljännes B x origo III neljännes D IV neljännes KOTIT. Sijoita ja nimeä koordinaatistoon pisteitä niin, että pisteet yhdistettäessä

Lisätiedot

Raja arvokäsitteen laajennuksia

Raja arvokäsitteen laajennuksia Raja arvokäsitteen laajennuksia Näitä ei ole oppikirjassa! Raja arvo äärettömyydessä: Raja arvo äärettömyydessä on luku, jota funktion arvot lähestyvät, kun muuttujan arvot kasvavat tai vähenevät rajatta.

Lisätiedot

Pyramidi 10 Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu 298 Päivitetty

Pyramidi 10 Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu 298 Päivitetty Pyramidi Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu 98 Päivitetty.5. Pyramidi Harjoituskokeet 6.5.7 Ensimmäinen julkaistu versio..7.7 Korjattu ulkoasua ja painovirheitä..8.7 Täydennetty ratkaisuja

Lisätiedot

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5.

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5. TEHTÄVIEN RATKAISUT Luku 4.1 183. a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5. Lasketaan funktioon syötetyn luvun neliö: 5 = 5. Saatuun arvoon lisätään luku 1:

Lisätiedot

n. asteen polynomilla on enintään n nollakohtaa ja enintään n - 1 ääriarvokohtaa.

n. asteen polynomilla on enintään n nollakohtaa ja enintään n - 1 ääriarvokohtaa. MAA 12 kertaus Funktion kuvaaja n. asteen polynomilla on enintään n nollakohtaa ja enintään n - 1 ääriarvokohtaa. Funktion nollakohta on piste, jossa f () = 0, eli kuvaaja leikkaa -akselin. Kuvaajan avulla

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe.6. klo - Ratkaisut ja pisteytysohjeet. Ratkaise seuraavat epäyhtälöt ja yhtälö: a) x+ x +9, b) log (x) 7,

Lisätiedot

1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio

1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio Ensimmäisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT. a) f(x) = x 4 b) Nollakohdassa funktio f saa arvon nolla eli kuvaaja kohtaa x-akselin. Kuvaajan perusteella funktion nollakohta on x,. c) Funktion f

Lisätiedot

Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan!

Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan! MAA4 koe 1.4.2016 Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan! Jussi Tyni A-osio: Ilman laskinta. Laske kaikki

Lisätiedot

3.1 Väliarvolause. Funktion kasvaminen ja väheneminen

3.1 Väliarvolause. Funktion kasvaminen ja väheneminen Väliarvolause Funktion kasvaminen ja väheneminen LAUSE VÄLIARVOLAUSE Oletus: Funktio f on jatkuva suljetulla välillä I: a < x < b f on derivoituva välillä a < x < b Väite: On olemassa ainakin yksi välille

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Juuri- ja logaritmifunktiot. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Juuri- ja logaritmifunktiot. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA8 Juuri- ja logaritmifunktiot Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Juuri- ja logaritmifunktiot (MAA8) Pikatesti ja kertauskokeet

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4 Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / 4 Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa

Lisätiedot

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A) Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut

Lisätiedot

MAA2.3 Koontitehtävät 2/2, ratkaisut

MAA2.3 Koontitehtävät 2/2, ratkaisut MAA.3 Koontitehtävät /, ratkaisut. (a) 3x 5x 4 = 0 x = ( 5) ± ( 5) 4 3 ( 4) 6 (b) (x 4) = (x 4)(x + 4) (x 4)(x 4) = (x 4)(x + 4) x 8x + 6 = x 6 x 6 8x = 3 : 8 x = 4 = 5 ± 73 6 (c) 4 x + x + = 0 4 x + 4x

Lisätiedot

Epäyhtälöt 1/7 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt

Epäyhtälöt 1/7 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt Epäyhtälöt 1/7 Sisältö Epäyhtälö Epäyhtälöllä tarkoitetaan ehtoa, missä kahdesta lausekkeesta toinen on suurempi tai mahdollisesti yhtä suuri kuin toinen: f(x) < g(x), f(x) g(x).merkit voidaan luonnollisesti

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta Eksponenttifuntio Palautetaan mieliin, että Neperin luvulle e pätee: e ) n n n ) n n n n n ) n. Tästä määritelmästä seuraa, että eksponenttifunktio e x voidaan määrittää

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Funktion monotonisuus Derivoituva funktio f on aidosti kasvava, jos sen derivaatta on positiivinen eli jos f (x) > 0. Funktio on aidosti vähenevä jos sen derivaatta

Lisätiedot

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4 KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + ( 1) + 3 ( 1) 3 = 3 + 3 = 4 K. a) x 3x + 7x 5x = 4x + 4x b) 5x 3 (1 x ) = 5x 3 1 + x = 6x 4 c) (x + 3)(x 4) = x 3 4x + 3x 1 = x 3 + 3x 4x 1 Vastaus: a) 4x +

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009 Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 12 1 Eksponenttifuntio Palautetaan mieliin, että Neperin luvulle e pätee: e ) n n n ) n n n n n ) n. Tästä määritelmästä seuraa, että eksponenttifunktio e x voidaan

Lisätiedot

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: MAB4 Koe Jussi Tyni 1..015 A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: 1. a. Piirrä seuraava suora mahdollisimman tarkasti ruutupaperille:

Lisätiedot

Matematiikan pohjatietokurssi

Matematiikan pohjatietokurssi Matematiikan pohjatietokurssi Demonstraatio, 8.-9.9.015, ratkaisut 1. Jaa tekijöihin (joko muistikaavojen avulla tai ryhmittelemällä) (a) x +x+ = x + x + = (x+) x +x+ = (x +x+1) = (x+1) (c) x 9 = (x) 3

Lisätiedot

Integrointi ja sovellukset

Integrointi ja sovellukset Integrointi ja sovellukset Tehtävät:. Muodosta ja laske yläsumma funktiolle fx) x 5 välillä [, 4], kun väli on jaettu neljään yhtä suureen osaan.. Määritä integraalin x + ) dx likiarvo laskemalla alasumma,

Lisätiedot

x = 6 x = : x = KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 229.a) Funktio f ( x) = 2x+ Nollakohta f x b) Funktio gx ( ) = x

x = 6 x = : x = KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 229.a) Funktio f ( x) = 2x+ Nollakohta f x b) Funktio gx ( ) = x KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 9.a) Funktio f ( ) = + 6 Nollakohta f bg= + 6= = 6 :( ) = 6 = y 5 6 y = + 6 b) Funktio g ( ) = 5 Nollakohta g bg= = 5 = : 5 5 5 5 = : = = = 5 5 5 9 9

Lisätiedot

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016 Vanhoja koetehtäviä Analyyttinen geometria 016 1. Määritä luvun a arvo, kun piste (,3) on käyrällä a(3x + a) = (y - 1). Suora L kulkee pisteen (5,1) kautta ja on kohtisuorassa suoraa 6x + 7y - 19 = 0 vastaan.

Lisätiedot

Anna jokaisen kohdan vastaus kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella muodossa

Anna jokaisen kohdan vastaus kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella muodossa Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä

Lisätiedot

1. Olkoon f :, Ratkaisu. Funktion f kuvaaja välillä [ 1, 3]. (b) Olkoonε>0. Valitaanδ=ε. Kun x 1 <δ, niin. = x+3 2 = x+1, 1< x<1+δ

1. Olkoon f :, Ratkaisu. Funktion f kuvaaja välillä [ 1, 3]. (b) Olkoonε>0. Valitaanδ=ε. Kun x 1 <δ, niin. = x+3 2 = x+1, 1< x<1+δ Matematiikan tilastotieteen laitos Differentiaalilaskenta, syksy 2015 Lisätehtävät 1 Ratkaisut 1. Olkoon f :, x+1, x 1, f (x)= x+3, x>1 Piirrä funktion kuvaa välillä [ 1, 3]. (a) Tutki ra-arvon (ε, δ)-määritelmän

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi 2

Matematiikan peruskurssi 2 Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat

Lisätiedot

x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi

x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi Mallivastaukset - Harjoituskoe F F1 a) (a + b) 2 (a b) 2 a 2 + 2ab + b 2 (a 2 2ab + b 2 ) a 2 + 2ab + b 2 a 2 + 2ab b 2 4ab b) tan x 3 x π 3 + nπ, n Z c) f(x) x2 x + 1 f (x) 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 2x2

Lisätiedot

jakokulmassa x 4 x 8 x 3x

jakokulmassa x 4 x 8 x 3x Laudatur MAA ratkaisut kertausarjoituksiin. Polynomifunktion nollakodat 6 + 7. Suoritetaan jakolasku jakokulmassa 5 4 + + 4 8 6 6 5 4 + 0 + 0 + 0 + 0+ 6 5 ± 5 5 4 ± 4 4 ± 4 4 ± 4 8 8 ± 8 6 6 + ± 6 Vastaus:

Lisätiedot

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei. PITKÄ MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 7..07 NIMI: A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.. Valitse oikea vaihtoehto ja

Lisätiedot

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. 4 Suora ja taso Ennakkotehtävät 1. a) Kappale kulkee yhdessä sekunnissa vektorin s, joten kahdessa sekunnissa kappale kulkee vektorin 2 s. Pisteestä A = ( 3, 5) päästään pisteeseen P, jossa kappale sijaitsee,

Lisätiedot

102 Käyrä. Piste ( 3,0 ) on käyrällä, jos ja vain jos sen koordinaatit. Siis piste ( 1, 2) Siis piste ( 3,0 ) ei ole käyrällä.

102 Käyrä. Piste ( 3,0 ) on käyrällä, jos ja vain jos sen koordinaatit. Siis piste ( 1, 2) Siis piste ( 3,0 ) ei ole käyrällä. Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 1 Päivitett 19..6 11 Todistus 1 Kärä x + = x + 4 5 3 31 = x x+ 4, jos ja vain jos pisteen 3,7 koordinaatit toteuttavat kärän htälön. Kun x = 3 ja

Lisätiedot

Koontitehtäviä luvuista 1 9

Koontitehtäviä luvuista 1 9 11 Koontitehtäviä luvuista 1 9 1. a) 3 + ( 8) + = 3 8 + = 3 b) x x 10 = 0 a =, b = 1, c = 10 ( 1) ( 1) 4 ( 10) 1 81 1 9 x 4 4 1 9 1 9 x,5 tai x 4 4 c) (5a) (a + 1) = 5a a 1 = 4a 1. a) Pythagoraan lause:

Lisätiedot

Mapu 1. Laskuharjoitus 3, Tehtävä 1

Mapu 1. Laskuharjoitus 3, Tehtävä 1 Mapu. Laskuharjoitus 3, Tehtävä Lineaarisessa approksimaatiossa funktion arvoa lähtöpisteen x 0 ympäristössä arvioidaan liikkumalla lähtöpisteeseen sovitetun tangentin kulmakertoimen mukaisesti: f(x 0

Lisätiedot

Ratkaisuja, Tehtävät

Ratkaisuja, Tehtävät ja, Tehtävät 988-97 988 a) Osoita, että lausekkeiden x 2 + + x 4 + 2x 2 ja x 2 + - x 4 + 2x 2 arvot ovat toistensa käänteislukuja kaikilla x:n arvoilla. b) Auton jarrutusmatka on verrannollinen nopeuden

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 8906 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Tutkintoaineen sensorikokous on hyväksynyt seuraavat hyvän vastauksen piirteet Hyvästä suorituksesta näkyy, miten vastaukseen on päädytty

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 4

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 4 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 4 1 Raja-arvo äärettömyydessä Tietyllä funktiolla f() voi olla raja-arvo äärettömyydessä, jota merkitään f(). Tämä tarkoittaa, että funktio f() lähestyy jotain tiettyä

Lisätiedot

Raja-arvo ja jatkuvuus, L5

Raja-arvo ja jatkuvuus, L5 ja jatkuvuus, L5 1 Wikipedia: (http://fi.wikipedia.org/wiki/ ) 2 Funktion f () = 2 4 2 a ei voi laskea kohdassa = 2. Jos eroaa kahdesta ( 2), niin funktion voidaan laskea ja seuraavasta taulukosta nähdään,

Lisätiedot

Harjoituskokeiden ratkaisut Painoon mennyt versio.

Harjoituskokeiden ratkaisut Painoon mennyt versio. Harjoituskokeiden ratkaisut 8.6.7 Painoon mennyt versio. PYRAMIDI NUMEERISIA JA ALGEBRALLISIA MENETELMIÄ RATKAISUT, HARJOITUSKOE SIVU.7.7 Koe a) i) =,, = kpl ii) 9,876 =,9876,99 = 9,9 iii),66,66 =,7 =,7

Lisätiedot