Rationaalilauseke ja -funktio

Transkriptio

1 Rationaalilauseke ja -funktio Määritelmä, rationaalilauseke ja funktio: Kahden polynomin ja osamäärä, 0 on rationaalilauseke, jonka osoittaja on ja nimittäjä. Huomaa, että pelkkä polynomi on myös rationaalilauseke, jonka nimittäjä on, siis ( 0) sanotaan myös murtolausek- Aitoa rationaalilauseketta keeksi. DERIVAATTA, MAA6. Rationaalilausekkeen määrittelemää funktiota f: f = sanotaan rationaalifunktioksi, muuttujia voi olla useampi kuin yksi (). f: f = Rationaalifunktio on määritelty aina, kun nimittäjä 0. Rationaalifunktion nollakohdat ovat ne osoittajan nollakohdat, joissa nimittäjä ei ole nolla, siis = 0 = 0 ja 0. Huomautus ) Rationaalilukuja voidaan pitää rationaalilausekkeiden erikoistapauksina, sillä onhan pelkkä luku kelpo lauseke (muista määr.). ) Nyt pitää keskittyä määrittelyjoukkojen etsimiseen ennen tehtävän ratkaisemista ne merkitään lyhyesti johonkin sivuun (lähelle). Rationaalifunktio f: f = on määritelty, kun (lyhyesti R\ ). Nollakohta = 0, eli milloin = 0. = on määritelty R miksi? Nolla- + Rationaalifunktio g: g kohdat = ±.

2 Sievennä Lavennetaan :lla, saadaan. = + = = + = +,,0. Huomaa erityisesti, että funktiot f: f = = eivät ole samoja! Niillä on eri määrittelyjoukot!, g: g = Huomautus Kuten lausekkeiden kohdalla, jos, niin rationaalifunktiota sanotaan myös murtofunktioksi. Supistaminen: Rationaalilausekkeita supistetaan (normaalisti) jakamalla osoittaja ja nimittäjä tekijöihin sekä poistamalla yhteiset tekijät. Syy: rationaalilausekkeen arvo ei muutu. Muista kuitenkin määrittelyehto (-ehdot), joka (jotka) katsotaan alkuperäisestä lausekkeesta! Nollalla ei saa edelleenkään jakaa! Huomaa, että nyt nolla voi olla esim. muodossa = + + = +, = + =, ±, miksi myös +? = 5 5 = =, 5 a b b a = a b a b =, a b

3 Muista: Supistettaessa sekä osoittajan että nimittäjän täytyy olla tulomuodossa. Summan termejä ei saa supistaa. Laventaminen: Kuten rationaaliluvuilla (murtoluvuilla). Laventaminen samannimisiksi Ensin nimittäjät jaetaan tekijöihin, minkä jälkeen lausekkeet lavennetaan puuttuvilla tekijöillä. (Saadaan ns. pienin yhteinen monikerta p.y.m.) + + = = = = + + = , 0,,,,0 Kerto- ja jakolasku: Kertolaskussa osoittajat keskenään, ja nimittäjät keskenään. Jakolasku muutetaan kertolaskuksi. a 6 a + 6 a a 4a = a : a + = a a a + = 6a a, a ± a 6 a a + 6 a 4a = a + 4 a +, a a + a,0,4 = a + a = a + 4 a 4 a a + a a 4, a ±

4 Määritelmä, asymptootti: Suoraa tai käyrää, jota (rationaali)funktion kuvaaja eli graafi rajatta lähestyy sanotaan asymptootiksi, merkitään katkoviivalla. Rationaalifunktion määrittelevän lausekkeen nimittäjän nollakohdat = 0 ovat asymptootteja. (Näihin palataan.) y y y = y = 4 = = = Rationaaliyhtälö Määritelmä, rationaalilauseke ja yhtälö: Lauseketta, joka on kahden polynomin osamäärä DERIVAATTA, MAA7, 0 tai joka voidaan muuntaa sellaiseksi, sanotaan rationaalilausekkeeksi. Yhtälö, jossa kaikki muuttujan (yleensä ) lausekkeet ovat rationaalilausekkeita on rationaaliyhtälö. Muista, että myös polynomit ja pelkät luvutkin ovat rationaalilausekkeita, tällöin siis =. Tämän vuoksi rajoitutaan jatkossa tarkastelemaan murtolausekkeita ja murtoyhtälöitä (eli ). Rationaaliyhtälöitä ratkaistaessa on varmistuttava siitä, ettei mikään nimittäjä tule nollaksi eli että yhtälön määrittelyehto (-ehdot) pysyvät voimassa! 4

5 Ratkaise yhtälö 6 = 4. Nyt määrittelyehto on, jolloin 6 = 4 6 = = = 0 = ± 7 = 5 = Vastaukset toteuttavat määrittelyehdon, eli 5 ja. Rationaaliepäyhtälö Määritelmä, rationaaliepäyhtälö: Rationaaliepäyhtälöksi sanotaan muotoa > 0, 0, olevia epäyhtälöitä (tai, jotka voidaan saattaa ko. muotoon). Merkin > tilalla voi olla <,, tai. Polynomifunktion merkki voi vaihtua vain funktion nollakohdissa (koska polynomit ovat jatkuvia kaikkialla jatkuvuus selviää kyllä). Vastaava ei päde rationaalifunktioilla, nimittäin merkki voi vaihtua myös nimittäjän nollakohdissa. Rationaaliepäyhtälöitä ratkaistaessa ei (yleensä) voida kertoa eikä jakaa tuntemattoman sisältävällä lausekkeella. Syy: ei yleensä tiedetä lausekkeen merkkiä eikä siten sitä säilyykö epäyhtälön suunta. Kuinka sitten rationaaliepäyhtälö ratkaistaan? DERIVAATTA, MAA7 5

6 Ratkaise epäyhtälö > 0. Lauseke vastaa funktiota f: f = jonka kuvaaja on oikealla., Jos kertoo lausekkeen :lla tulee / > 0 + > 0 Eli > 0, kun < tai < <. Kuvassa oikealla punaisella katkoviivalla y = + +, josta rajat < tai < <. Näin ei kuitenkaan ole suositeltavaa poistaa nimittäjää (edellisessä esimerkissä se kuitenkin toimi). Koska esim. epäyhtälöstä < seuraisi <, mutta toisaalta jos on negatiivinen niin ey. < on aina tosi. Yleisesti rationaalifunktio voi vaihtaa merkkiä vain siirryttäessä joko osoittajan tai nimittäjän nollakohdan yli. Nollakohdiksi saadaan Osoittajan nollakohta: = 0 =. Nimittäjän nollakohdat: = 0 = ± + + / Näiden kohtien välillä merkki säilyy ja lausekkeen (eli funktion f) merkki selvitetään laskemalla kultakin väliltä ns. testiarvo. f = = > 0, positiivinen f 0 = 0 0 = < 0, negatiivinen 6

7 f /4 = /4 /4 = 4 7 = 4 > 0, positiivinen 7 6 f = = = < 0, negatiivinen / Tämä tieto merkitään f + + TAI Paljon tehokkaampi väline on ns. merkkikaavio (suositeltava tapa!) / / + + f, osam Vastaus: > 0 kun < tai < <. Määr.ehto täyttyy! Rationaaliepäyhtälön ratkaisuvaiheet. Muunnetaan epäyhtälö perusmuotoon > 0, 0 ellei se jo ole sitä (<, tai, ). Merkitään määrittelyehdot näkyviin!. Jaetaan osoittaja ja nimittäjä tekijöihin ja määritetään osoittajan ja nimittäjän nollakohdat yhtälöistä = 0, = 0. Merkitään ne lukusuoralle, eli jaetaan -akseli nollakohtien avulla osiin.. Tehdään merkkikaavio. 4. Päätellään vastaus merkkikaavion perusteella; avoin ympyrä = nollakohta ei kuulu mukaan (tapaukset <, > ja ) tummennettu ympyrä = nollakohta kuuluu mukaan (tapaukset, ). 5. Tarkistetaan vastausten sopivuus määrittelyehtoon (-ihin). 7