Funktio 1. a) Mikä on funktion f (x) = x lähtöjoukko eli määrittelyjoukko, kun 0 x 5?

Transkriptio

1 Funktio. a) Mikä on funktion f (x) = x + lähtöjoukko eli määrittelyjoukko, kun 0 x 5? b) Mikä on funktion f (x) = x + maalijoukko eli arvojoukko? c) Selitä, mikä on funktion nollakohta. Anna esimerkki. d) Mitä tarkoittaa funktion jatkuvuus? Vihje: * Funktiokäsite * Funktion jatkuvuus Vastaus: a) [0,5] b) [, [ c) ks. Ratkaisu d) ks. Ratkaisu a-b) Jos x on joukon A alkio (merkitään x A) ja y tähän liittyvä joukon B alkio (y B), merkitään y = f (x) ja sanotaan, että funktio f kuvaa alkion x alkiolle y tai että y on alkion x kuva funktiossa f. Joukko A on funktion f lähtöjoukko eli määrittelyjoukko. Joukko B taas on funktion f maalijoukko. Funktion lähtöjoukko eli määrittelyjoukko sisältää funktion saavuttamat x-arvot ja funktion f (x) = x + lähtöjoukko siis [0,5]. Funktion määrittelyjoukko sisältää funktion saavuttamat y-arvot ja funktion f (x) = x + maalijoukko eli arvojoukko siis [, [. c) Funktion nollakohta on sellainen funktion kohta, jonka välittömässä ympäristössä arvot muuttuvat joko positiivisesta negatiiviseksi tai negatiivisesta positiiseksi. Tällöin funktion kuvaaja ylitää x-akselin. Esimerkiksi funktion f (x) = x nollakohta on x = 0 x =. d) Reaalifunktio f on jatkuva pisteessä a, jos funktion raja-arvo tässä pisteessä on olemassa ja se on yhtä suuri kuin funktion arvo ko. pisteessä. Toisaalta funktio on jatkuva jollakin reaaliakselin välillä, jos se on jatkuva tämän välin jokaisessa pisteessä. Havainnollisesti funktio on jatkuva, jos funktion kuvaaja on yhtenäinen käyrä tällä välillä. Esimerkiksi funktio f (x) = x on jatkuva kaikkialla. Myös funktio f (x) = x on jatkuva määrittelyjoukossaan, kun x > 0, mutta kaikkialla x R.

2 . Ratkaise funktion f nollakohdat ja piirrä kuvaaja. a) f (x) = x + b) f (x) = x 5 c) f (x) = x d) f (x) = x x + Vihje: * Funktion kuvaaja Vastaus: a) x = b) x = 0 c) x = ± d) ei nollakohtia a) Funktion f (x) = x + nollakohta on on x + = 0 x = b) Funktion f (x) = x 5 nollakohta on x 5 = 0 x =

3 c) Funktion f (x) = x nollakohdat ovat x = 0 x = ± d) Funktiolla f (x) = x x + ei ole reaalisia nollakohtia, koska toisen asteen yhtälön ratkaisukaavan diskriminantti D = 7 saa imaginäärisiä arvoja Ratkaise funktion f nollakohdat ja piirrä kuvaaja. a) f (a) = 5a b) f (a) = a +, kun a c) f (a) = a a, kun 5 a d) f (x) = x, kun f (x) > Vastaus: a) a = 0 b) a =, c) a,509 ja a 0,79 d) ei nollakohtia määrittelyalueella

4 a) Funktion f (a) = 5a nollakohta on 5a = 0 a = b) Funktion f (a) = a + nollakohta on a + = 0 a = a.,, kun c) Funktion f (a) = a a nollakohdat ovat a a = 0 a,509 ja a 0,79, kun 5 a. Nollakohdat voidaan ratkaista esimerkiksi Mathematica-, Maple- tai Matlab-laskentaohjelman avulla

5 d) Funktion f (x) = x nollakohta on x = 0 x = 0, mutta kun f (x) > funktiolla ei ole nollakohtia Ratkaise funktion f nollakohdat ja piirrä kuvaaja. a) f (x) = x b) f (x) = x + + c) f (x) = x x d) f (x) = x + + x (x + ) e) f (x) = x x + 5 Vastaus: a) x = b) x = ja x = c) x = 5, ja x = + 5, d) ei nollakohtia e) x = (5 + ), ja x = 5 (5 ),79 a) Funktion f (x) = x nollakohta on x =. Tämä nähdään esimerkiksi kuvasta.

6 - - - b) Funktion { f (x) = x + + nollakohdat saadaan yhtälöparin (x + ) + = x +, kun x + 0 x f (x) = ( x ) + = x +, kun x + < 0 x < suorien nollakohdista. Nollakohdat ovat x + = 0 x = ja x + = 0 x =. Nollakohdat nähdään myös kuvaajasta c) Funktion f (x) = x x nollakohdat saadaan paraabelin y = x x nollakohdista. Nollakohdat ovat x = 5, ja x = + 5, d) Funktiolla f (x) = x + + x (x + ) ei ole nollakohtia, koska yhtälöryhmän ( x ) (x ) x = x, kun x + < 0 x < f (x) = (x + ) + ( x + ) x = x +, kun x (x + ) + (x ) x = x, kun x > 0 x >

7 yhdelläkään suoralla ei ole nollakohtia kyseisellä välillä. Tämä nähdään myös kuvaajasta e) Funktion { f (x) = x x + 5 nollakohdat saadaan yhtälöparin x x f (x) = x + x 7 kuvaajien nollakohdista. Nollakohdat ovat x x = 0 x = (5 + ), ja x + x 7 = 0 x = 5 (5 ), Ratkaise funktion f nollakohdat ja piirrä kuvaaja. a) f (x) = x b) f (x) = x c) f (x) = x d) f (x) = x Vihje: * Juurifunktiot

8 Vastaus: a) x = 0 b) x = 0 c) x = ja x = d) x = 0 a) Funktion f (x) = x nollakohta on x = 0 x = b) Funktion f (x) = x nollakohta on x = 0 x = c) Funktion f (x) = x nollakohdat ovat x = 0 x = ja x =.

9 d) Funktion f (x) = x nollakohta on x = 0 x = Piirrä funktion f kuvaaja ja ratkaise nollakohdat. a) f (x) = cos(x) + b) f (x) = tan(x) (sin(x) ) c) f (x) = d) f (x) = sin(x) + x e) f (x) = sin(x) x Vihje: * Trigonometristen funktioiden kuvaajat Vastaus: a) ei nollakohtia b) x = 0 + n π, kun n Z

10 c) x = 0 + n π, kun n Z d) x = 0 e) x =,895 x = 0 a) Funktiolla f (x) = cos(x) + ei ole nollakohtia. Tämä nähdään kuvaajasta b) Funktion f (x) = tan(x) nollakohdat ovat x = 0 + n π, kun n Z c) Funktion f (x) = (sin(x) ) nollakohdat ovat x = 0 + n π, kun n Z

11 d) Funktion f (x) = sin(x) + x nollakohta on x = e) Funktion f (x) = sin(x) x nollakohdat ovat x =,895 ja x = 0. Nollakohta x saadaan esimerkiksi Mathematica-, Maple- tai Matlab-laskentaohjelmalla Ratkaise funktion f nollakohdat ja piirrä kuvaaja. a) f (x) = lnx b) f (x) = ln(x ) c) f (x) = 0 x Vastaus: a) x = b) x = c) ei nollakohtia

12 a) Funktion f (x) = ln x nollakohta on lnx = 0 e 0 = x x = b) Funktion f (x) = ln(x ) nollakohta on ln(x ) = 0 e 0 = x x = c) Funktiolla f (x) = 0 x ei ole nollakohtia, koska 0 x = 0 on mahdoton yhtälö. Funktio f (x), kun f (x) Ratkaise funktion nollakohdat ja piirrä kuvaaja. { x +, kun x < 0 a) y = x +, kun x 0

13 {, kun x 0 b) y = x +, kun x < 0 {, kun x c) y = x, kun x > Vihje: Tarkastele funktiota paloittain. Vastaus: a) x = b) x = c) ei nollakohtia a) Funktion y = { x +, kun x < 0 x +, kun x 0 nollakohta on x + = 0 x =. b) Funktion y = {, kun x 0 x +, kun x < 0 nollakohta on x + = 0 x =

14 c) Funktiolla y = {, kun x x, kun x > ei ole nollakohtia, koska kumpikaan yhtälöparin suorista ei leikkaa x-akselia kyseisellä välillä Piirrä funktion kuvaaja. Määritä nollakohdat ja asymptootit. a) y = x b) y = x x c) y = x + x d) y = x x + e) y = x +5x x Vihje: * Asymptootit * Liittohyperbeli ja asymptootit Vastaus: a) Ei nollakohtia, asymptootit ovat x-akseli ja suora x =. b) Nollakohta x = 0, asymptootit ovat x-akseli ja suorat x = sekä x =. c) Ei nollakohtia, asymptootit ovat y-akseli ja suora y = x. d) Nollakohdat x = ja x =, asymptootti on suora y =. e) Nollakohdat x =, x = ( ),88 ja x = ( + ) 0,88, asymptootit ovat y-akseli sekä suora y = x.

15 a) Funktiolla y = x ei ole nollakohtia. Funktion asymptootit ovat x-akseli ja suora x = 0 x =. Koordinaatistoon on piirretty myös asymptootit b) Funktion y = x nollakohta on x = 0. Funktion asymptootit ovat x-akseli ja suorat x x = 0 x = x =. Koordinaatistoon on piirretty myös asymptootit c) Funktiolla y = x + x ei ole nollakohtia. Asymptootit ovat y-akseli ja suora y = x d) Funktion y = x x + nollakohdat ovat x = ja x =. Asymptootti on suora y =.

16 e) Funktion y = x +5x nollakohdat ovat x x =, x = ( ),88 ja x = ( + ) 0,88. Asymptootit ovat y-akseli sekä suora y = x Piirrä kuvaaja. Määritä mahdolliset asymptootit ja kohdat, joissa kuvaaja leikkaa x-akselin. a) x + y 9 = b) x y = c) x + 5y = 00 d) (x ) + y = e) x y + = 0 f) y = x Vihje: * Ympyrä ja sen yhtälö * Hyperbeli * Ellipsi

17 Vastaus: a) Nollakohdat x = ja x =. b) Nollakohdat x = ja x =, asymptootit ovat suorat y = ± x. c) Nollakohdat x = 5 ja x = 5. d) Nollakohadat x = 0 ja x =. e) Kuvaaja ei leikkaa x-akselia, asymptootit ovat suorat y = ± f) Nollakohdat x = ja x =. a) Funktio x + y 9 = kuvaa ellipsiä ja se leikkaa x-akselin kohdissa x = ja x =. x b) Funktio x y = kuvaa hyperbeliä ja se leikkaa x-akselin kohdissa x = ja x =. Funktion asymptootit ovat suorat y = ± x

18 c) Funktio x + 5y = 00 x x = 5 ja x = y = kuvaa ellipsiä ja se leikkaa x-akselin kohdissa d) Funktio (x ) +y = kuvaa ympyrää ja se leikkaa x-akselin kohdissa x = 0 ja x =. - - e) Funktio x y + = 0 x y Funktion asymptootit ovat suorat y = ± = kuvaa hyperbeliä ja se ei leikkaa x-akselia. x.

19 f) Funktio y = x y = x x =, kun y 0 leikkaa x-akselin kohdissa x = ja x =. / y a) Selitä, mikä on käänteisfunktio. Anna esimerkki. b) Päättele funktion kuvaajan perusteella, onko funktiolla käänteisfunktio. )

20 ) ) ) c) Määritä funktion f : [, [ [, [, f (x) = x x käänteisfunktio f. Piirrä samaan koordinaatistoon funktioiden f ja f kuvaajat. Laske edelleen f (0). d) Muodosta funktiot f f ja f f, kun f (x) = x. Vihje:

21 * Käänteisfunktio * Reaalifunktion käänteisfunktio * Yhdistetyn funktion määritelmä Vastaus: a) ks. Ratkaisu b) Kuvien ja kuvaajilla on olemassa käänteisfunktio, mutta kuvien ja kuvaajilla ei. c) f (x) = + + x ja f (0) = d) f f = f ( f ) = x ja f f = f ( f ) = x a) Funktion f (x) käänteisfunktiota merkitään f (x). Jotta funktiolla olisi olemassa käänteisfunktio, on sen oltava joko aidosti kasvava tai aidosti vähenevä. Funktion käänteisfunktion määrittelyjoukkoa vastaa funktion arvojoukko ja arvojoukkoa määrittelyjoukko. Esimerkiksi funktiolla f (x) = x ei ole käänteisfunktiota, mutta funktiolla f (x) = x on. b) Kuvien ja kuvaajilla on olemassa käänteisfunktio, koska kuvaaja on aidosti kasvava ja kuvaaja aidosti vähenevä. Kuvien ja kuvaajilla ei ole olemassa käänteisfunktiota. c) Funktio f (x) = x x on aidosti kasvava, kun x, joten funktiolla on olemassa käänteisfunktio. Muodostetaan funktion y = x x käänteisfunktio. Ratkaistaan muuttuja x yhtälöstä y = x x x x y = 0 x = ± + y. Vaihdetaan muuttujat x ja y keskenään. Saadaan y = ± + x. Kun lisäksi huomioidaan alkuperäisen funktion määrittely- ja arvojoukko, saadaan käänteisfunktioksi f (x) = + + x, kun x [, [ [, [. Lisäksi f (0) = d) Funktion f (x) = x käänteisfunktio on f (x) = x+. Lasketaan yhdistetyt funktiot f f = f ( f ) = (x + ) = x ja f f = f ( f ) = ( x ) + = x.

22 . a) Ratkaise yhtälö ( x + ) =. (YO syksy 99, tehtävä ) b) Ratkaise epäyhtälö x < x. (YO kevät 995, tehtävä ) c) Ratkaise yhtälö + x = x. (YO syksy 98, tehtävä a) Vastaus: a) x = b) < x < c) x = a) ( x + ) = x + =. pot x = 9 x =, mikä toteuttaa reaalisuusehdon x 0 x. b) x < x. pot ( x + x ) < x x 7x + 8 < 0 x 7x + 8 = 0 x = 7± 8 x =, x = < x < c) + x = x x = x x = x x = (x ) x + x 5 = 0 x = ± x =, x = 5. pot Yhtälön ratkaisu on x =, mikä toteuttaa sekä reaalisuusehdon x 0 x että toisen potenssin käytön seurauksena saadun ehdon x 0 x eli ehdon < x.. a) Määritä yhtälön ( + x + x ) = + x + x reaalijuuret. (YO kevät 98 tehtävä )

23 b) Millä a:n arvoilla yhtälön x + (a + )x + 8 = 0 juuret ovat reaaliset? (YO kevät 988, tehtävä ) c) Millä a:n arvoilla yhtälöllä (a a + )x (a 5a + )x (a a) = 0 on enemmän kuin kaksi ratkaisua? (YO syksy 99, tehtävä 5a) Vastaus: a) x = 0 tai x = b) a, tai a + 5,7 c) a = a) Merkitsemällä + x + x = y saadaan yhtälö y = y, jonka juuret ovat y = 0 ja y =. Annettu yhtälö toteutuu siten, jos + x + x = 0 tai + x + x =. Edellisellä yhtälöllä ei ole reaalijuuria, koska + x + x = (x + ) + > 0 kaikilla x:n reaaliarvoilla. Jälkimmäinen yhtälö voidaan muuntaa muotoon x( + x) = 0, joten sen juuret ovat x = 0 tai x =. b) Yhtälön x + (a + )x + 8 = 0 x = (a+)± 9a +a juuret ovat reaaliset silloin, kun toisen asteen yhtälön ratkaisukaavan diskriminantti D = 9a + a 0 a ± a, tai a + 5,7. c) Koska toisen asteen yhtälöllä on normaalisti kaksi juurta, on ratkaisuja enemmän kuin kaksi silloin, kun kaikki yhtälön kertoimet ovat nollia. Tällöin ratkaisuja on määrä eli x R. (a a + )x (a 5a + )x (a a) = 0 a a + = 0 a 5a + = 0 a a = 0 (a = a = ) (a = a = ) (a = 0 a = ) a =. a) Ratkaise yhtälö x + 5 = x. b) Ratkaise epäyhtälö x x x+ x. c) Piirrä käyrä y = x + x sekä ratkaise sen avulla epäyhtälö x + x <. (YO kevät 979, tehtävä ) d) Piirrä käyrä y = x x ja ratkaise sitä apuna käyttäen x x = x. Tarkat arvot. (YO syksy 99, tehtävä b)

24 Vastaus: a) x = b) x 0 < x c) < x < d) x =, x = a) x + 5 = x x + 5 = x x + 5 = ( x) x x = 0 x =, x =. pot Ratkaisu x = täyttää sekä reaalisuusehdon x x 5 että toisen potenssin käytön seurauksena saadun ehdon x 0 x eli ehdon 5 x. b) x x x+ x x x x+ x x x x 0 Osamäärän osoittaja saa negatiivisia arvoja, kun x ja nimittäjä, kun x < 0. Tällöin osamäärä saa negatiivisia arvoja, kun x tai 0 < x. x +, kun x 0 c) Tarkastellaan kuvaajaa y = x + x =, kun 0 < x < paloittain, kun x 0, x, kun x 0 < x < ja x Kuvaajasta nähdään, että epäyhtälö x + x < toteutuu, kun < x <.

25 d) Tarkastellaan kuvaajaa y = x x { x, kun x <, kun x paloittain, kun x < ja x Yhtälö x x = x (x x + ) = x x x + = x toteutuu, kun x = x x =,8 ja = x x =,50.