Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77"

Transkriptio

1 Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07 Kertaus K. a) sin 0 = 0,77 b) cos ( 0 ) = cos 0 = 0,6 c) sin 50 = sin (80 50 ) = sin 0 = 0,77 d) tan 0 = tan (0 80 ) = tan 0 =,9 e) cos 90 = cos (90 60 ) = cos 0 = 0,6 f) sin 0 = sin (0 60 ) = sin ( 0 ) = sin 0 = 0,77 K. a) b) sin 7 sin( ) sin( ) sin cos 7 cos( ) cos( ) cos c) tan = tan (0 + ) = tan 0 = 0 d) cos ( 00) = cos(0 50 ) = cos 0 = e) sin( 9 ) sin( sin( ) sin( ) sin( ) f) tan( 5 ) tan( ) tan( ) tan( )

2 Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07 K. a) Tangentti on sinin ja kosinin suhde, joten sin tan cos 0 cos sin tan cos : tan 0 cos sin tan 5 cos : b) Käytetään kaavaa sin α + cos α =. sin α = cos α sin ( ) sin 9 (sin ) 8 9 sin 8 tai sin Koska kulma α on kolmannessa neljänneksessä, on sinin arvo negatiivinen, eli sin. tan sin : cos

3 Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07 K. a) b) tan sin cos sin 5 cos cos sin 5cos sin cos ( 5cos ) cos 5cos cos 6cos cos 6 cos tai cos 6 6 Koska kulma on tylppä, on kosini negatiivinen, eli cos. 6 6 sin 5cos 5 ( ) 5 6 6

4 Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07 K5. a) Taulukosta saadaan yksi ratkaisu: x. sin x x n tai x n x n, n b) Taulukosta saadaan yksi ratkaisu: x. cos x 0,5 x n tai x n, n c) Taulukosta saadaan yksi ratkaisu: tan x x n, n 8 x. 8 K6. a) Ohjelmalla saadaan yksi ratkaisu: x = 5,. sin x = 0,8 x = 5, + n 60 tai x = 80 5, + n 60 x 5 + n 60 x 7 + n 60, n. b) Kulmat, joilla on sama sini kuin kulmalla 9 ovat 9 + n 60 ja n 60 = + n 60, n.

5 Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07 K7. a) cos x = cos 5 x5n : tai x5 n : x5 n x5 n, n Ratkaisuista välille [0, 5] kuuluvat x = 5 x 5,9..., x 5 5 0,8..., x ,..., 6 x 5 5,... ja 8 x 5 5,... b) sin x x n : tai x n 6 6 x n x 5 n Koska x 5, eli x. x 5, ainut ehdon toteuttava luku x on

6 Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07 K8. a) 6cos x 0 6cos x :6 cos x x n tai x n x n6 x n6, n. b) 7 tan(x + ) = 0 tan(x + ) = 7 x + =, + n x = 0,8 + n x 0, + n, n c) sin x cos x = 0 sin x = 0 tai cos x = 0 x = n x = n Ratkaisut voi yhdistää xn, n.

7 Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07 K9. Ratkaistaan funktioiden leikkauskohdat yhtälöstä sin x = cos x. Yhtälö ei toteudu, jos cos x = 0, joten voidaan olettaa, että cos x 0. sin xcos x : cos x0 sin x cos x tan x x n, n Kuvaajat leikkaavat toisensa kohdissa x n, n. K0. Ratkaistaan yhtälö siirtämällä lauseke cos x vasemmalle, jolloin se voidaan ottaa yhteiseksi tekijäksi. Tämän jälkeen voidaan käyttää tulon nollasääntöä. sin x cos x = cos x sin x cos x cos x = 0 cos x(sin x ) = 0 cos x = 0 tai sin x = 0 x n sin x = x = n Vastaus x n sisältää myös kaikki vastaukset x = n, joten vastaukset voidaan yhdistää: x nn.

8 Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07 K. A IV Funktion sin x arvot ovat kaksinkertaiset sinifunktion sin x arvoihin nähden. Koska vain kuvaajassa IV arvot ovat välillä [, ] sen täytyy olla sin x kuvaaja. B I Funktion cos x + kuvaaja saadaan nostamalla funktion cos x kuvaajaa kaksi yksikköä ylöspäin. Kuvaajassa I arvot ovat välillä [, ], joten sen täytyy olla cos x + kuvaaja. C II Funktion cos x + jakso on ja arvot ovat välillä [0, ]. Nämä toteutuvat vain kuvaajassa II. D III Funktion sin x + jakso on ja arvot ovat välillä [, toteutuvat vain kuvaajassa III. ]. Nämä

9 Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07 K. Derivoidaan ja ratkaistaan derivaatan nollakohdat. f(x) = 6sin x + x f (x) = 6cos x + Nollakohdat: 6cosx 0 6cosx :6 cos x x n tai x n, n K. a) Sijoitetaan funktion f(x) = x sin x lausekkeeseen x. f ( ) sin 8 b) Derivoidaan funktio tulon derivoimissäännöllä ja sijoitetaan derivaattafunktioon x. f (x) = sin x + x cos x = sin x + x cos x ( ) f ( ) sin cos 8

10 Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07 K. a) Sinifunktio saa kaikki arvot väliltä [, ], eli sin x. Funktio sin x saa kaikki arvot väliltä [, ], joten sin x. Kun funktioon sin x lisätään luku, myös pienin ja suurin arvo kasvaa saman verran. Siis sin x + 7, eli funktion f arvojoukko on [, 7]. Päättelyketju kaksoisepäyhtälönä sin x sin x + sin x + 7 b) Muuttujan kertominen tai jakaminen vakiolla ei vaikuta trigonometrisen funktion arvojoukkoon. Siis funktion f() x cos 5x arvojoukko on sama kuin kosinifunktiolla eli [, ]. K5. Tangentin kulmakerroin on derivaatta kohdassa x =. Derivoidaan funktio f(x) = tan x + x ja sijoitetaan derivaatan lausekkeeseen x =. f (x) = + tan x + = + tan x f ( ) = + (tan ) = + ( ) = + = 6 Tangentin kulmakerroin on 6.

11 Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07 K6. Tutkitaan funktion f(x) = cos x + sin x arvoja. Koska funktioiden sin x ja cos x jakso on, on myös funktion f jakso. Funktio saa suurimman ja pienimmän arvonsa pituisella välillä. Tutkitaan väliä [0, ]. Funktio f on derivoituva kaikilla muuttujan x arvoilla. Näin ollen se saavuttaa suurimman ja pienimmän arvonsa suljetulla välillä [0, ] välin päätepisteessä tai välille kuuluvassa derivaattafunktion nollakohdassa. f (x) = sin x + cos x Derivaatan nollakohdat: sin x + cos x = 0 sin x = cos x : cos x 0 sin x cos x tan x x n, n Välillä [0, ] derivaatan nollakohdista ovat ja 5. Lasketaan funktion f arvo kohdissa x = 0, x =, f(0) = cos 0 + sin 0 = + 0 = f() = cos + sin = + 0 = f ( ) cos sin x ja x. f ( ) cos sin Funktion f suurin arvo on ja pienin arvo, joten sen arvojoukko on [, ].

12 Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07 K7. a) Sijoitetaan sisäfunktion sx ( ) x lauseke ulkofunktion u(x) = x 0 + x lausekkeeseen muuttujan x paikalle. 0 ( u s)( x) u( s( x)) u( x ) ( x ) x 0 0 ( u s)( ) ( ) b) Yhdistetyn funktion u s lauseke on u(s(x)) = u( x) = ( x). ( u s)( ) ( ) ( ) 9 K8. a) Esimerkiksi s(x) = x + ja u(x) = x 7. b) Esimerkiksi s(x) = x + ja u(x) = sin x. K9. a) D (x + ) 7 = 7(x + ) 6 D x = 7(x + ) 6 x = x(x + ) 6 b) D sin (x + ) = cos (x + ) D(x + ) = cos (x + ) = cos (x + ) c) D cos 5 x = D (cos x) 5 = 5(cos x) D cos x = 5cos x ( sin x) = 5sin x cos x d) D cos x 5 = sin x 5 D x 5 = = sin x 5 5x = 5x sin x 5

13 Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07 K0. Tangentin kulmakerroin on funktion f(x) = sin x derivaatta tangentin sivuamiskohdassa. f (x) = cos x = cos x kt f ( ) cos( ) cos 0 Kohtaan x piirretty tangentti on siis vaakasuora. Ratkaistaan tangentin sivuamispiste. y f ( ) sin( ) sin Kohtaan x piirretyn tangentin yhtälö on y =.

14 Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07 K. Koska cos x, niin yhtälöllä cos x = x voi olla ratkaisu vain, kun x. Kirjoitetaan yhtälö cos x = x muodossa cos x x = 0. Merkitään yhtälön vasen puoli funktioksi f(x) = cos x x. Yhtälön cos x = x ratkaisut ovat samat kuin funktion f nollakohdat. Tutkitaan funktion kulkua välillä [, ] derivaatan avulla. f (x) = sin x = sin x Ratkaistaan derivaatan nollakohdat. sinx 0 sin x : ( ) sin x 7 7 x n : tai x n : x n x n, n ( x,8n x0, n) Derivaatan nollakohdista välille ], [ kuuluu vain Määritetään derivaatan merkki testikohtien avulla. x f (x) Merkki + 0 x. f (x) + f(x)

15 Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07 Koska f( ) = cos ( ( )) ( ) = 0,58 > 0 ja funktio f on kasvava välillä [, ], niin funktiolla f ei ole nollakohtaa välillä [, ]. f ( ) cos( ( )) ( ),... 0 f() = cos ( ) =, < 0 Koska funktio f(x) = cos x x on jatkuva välillä, ja saa eri merkkiset arvot välin päätepisteissä, Bolzanon lauseen mukaan sillä on ainakin yksi nollakohta välillä,. Toisaalta funktio on vähenevä välillä,, joten sillä voi olla korkeintaan yksi nollakohta tällä välillä. Näin ollen funktiolla f on täsmälleen yksi nollakohta välillä,. Koska funktiolla f on täsmälleen yksi nollakohta, niin yhtälöllä cos x = x on täsmälleen yksi ratkaisu.

16 Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. a) Kyllä, sin = sin sin( ) Kulmien ja kehäpisteiden y- 5 5 koordinaatit ovat samat. b) Ei, cos ( ) cos. 5 5 Kulmien ja kehäpisteiden x- 5 5 koordinaatit ovat samat, eli cos ( ) cos. 5 5 c) Kyllä, sin ( ) sin. 5 5 Kulmien ja kehäpisteiden y- 5 5 koordinaatit ovat toistensa vastaluvut. d) Kyllä, tan ( ) = tan tan( ) Kulmien loppukylki tai sen jatke leikkaavat suoran x = samassa pisteessä.

17 Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Sijoitetaan kaavaan sin x + cos x = kosinin arvoksi cos x = ja ratkaistaan sin x. sin x cos x x x 9 (sin x) 8 9 sin x 8 tai sin x sin x sin x sin ( ) sin Sini voi saada arvot tai. Jos kulma x on välillä ]80, 60 [, niin sinin arvo on negatiivinen, joten sin x. Koska cos x =, on kulma neljännessä neljänneksessä. Piirretään arvioiden ympyrän neljänteen neljännekseen kulma, jonka kehäpisteen x- koordinaatti on.

18 Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kolmion kulmien summa on 80, joten x + x + x = 80 x + x + x = 80 6x = 80 :6 x = 0 (sin x + sin x + sin x) = (sin 0 + sin ( 0 ) + sin ( 0 )) (sin 0sin 60sin 90 ) ( ) ( ) Osamäärä saa arvon yksi, jos nimittäjä saa arvon. cos x Ratkaistaan yhtälö + cos x =. cos x cos x cos x tai cos x xn xn, n Vastaukset voidaan yhdistää. Osamäärä on, kun x = n, n.

19 Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) f(x) = + sin x sin x + + sin x Funktion arvojoukko on [, ]. Funktion f kuvaaja saadaan, kun funktion sin x kuvaajaa nostetaan kaksi yksikköä ylöspäin. b) f(x) = cos x cos x cos x Funktion arvojoukko on [, ]. Funktion f kuvaaja saadaan venyttämällä funktion cos x kuvaajaa pystysuunnassa niin, että kuvaajan pisteiden etäisyydet x-akselista kaksinkertaistuvat.

20 Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07 c) f(x) = sin x sin x sin x sin x Funktion arvojoukko on [, ]. Funktion f kuvaaja saadaan, kun funktion sin x kuvaajaa venytetään siten, että kuvaajan pisteiden etäisyydet x-akselista kaksinkertaistuvat ja tämän jälkeen kuvaajaa lasketaan yhden yksikön verran. 6. Sinifunktio saa kaikki arvot väliltä [, ], eli sin x. sin (00t) sin (00t) 0. Verkon suurin jännite on siis 0 volttia. Funktion u(t) = 0 sin (00t) jakso on toistuu 50 kertaa sekunnissa. (s), eli sen suurin arvo 00 50

21 Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) tan (a + 5) = tan a = 5 b) f (x) = + tan x f (a) = + tan a = + 5 = 6 c) tan a = 5 sin 5 cos cos sin 5cos : 5 cos sin 5 Sijoitetaan saatu cos α kaavaan sin α + cos α = ja ratkaistaan sin α. sin ( sin ) 5 sin sin 5 6 sin : sin 5 6 sin 5 tai sin sin 5 tai sin Kosinifunktio saa kaikki arvot väliltä [, ]. Funktio x on kasvava funktio, joten epäyhtälön korottaminen kolmanteen potenssiin säilyttää järjestyksen. cos x ( ) cos x cos x + 0 cos x Kun arvot korotetaan kolmanteen potenssiin, saadaan 0 ( cos x) 8. Funktion suurin arvo on 8 ja pienin 0.

22 Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Yhtälö cos x sin x ei toteudu, jos cos x = 0, joten voidaan olettaa, että cos x 0. cos x sin x : cos x 0 sin x : cos x sinx cos x tan x x n, n 6 b) 7 (sin x ) 7 7 sin x tai sin x sin x sin x sin x sin x 5 sin x sin x 5 5 Koska, yhtälöllä sin x ei ole ratkaisua. sin x x n tai x n x n, n

23 Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Ratkaistaan funktion nollakohdat yhtälöstä cos x sin x = 0 hyödyntäen lausetta sin x + cos x =. cos xsin x 0 cos x(cos x) 0 cos x 0 cos x cos x tai cos x 5 x n x n, n 6 6 Vastaukset voidaan yhdistää. Funktion f nollakohdat ovat x n ja x n. 6 6 Sekä sini- että kosinifunktion perusjakso on, joten funktio f(x) = cos x sin x saa kaikki arvonsa välillä [0, ]. Funktio f on derivoituva kaikilla muuttujan x arvoilla. Näin ollen se saavuttaa suurimman ja pienimmän arvonsa suljetulla välillä [0, ] välin päätepisteessä tai välille kuuluvassa derivaattafunktion nollakohdassa. f (x) = 6cos x ( sin x) sin x cos x = 8cos x sin x Ratkaistaan derivaatan nollakohdat. 8cos x sin x = 0 cos x = 0 tai sin x = 0 x n x = n, n

24 Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07 Derivaatan nollakohdista välille ]0, [ kuuluu x, x ja x. Lasketaan funktion f arvot välin päätepisteissä ja välillä olevissa derivaatan nollakohdissa. f (0) f() cos 0sin 0 0 f () cos sin 0 f ( ) cos sin 0 f ( ) cos sin 0 ( ) Funktion f suurin arvo on ja pienin.

25 Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07 APUVÄLINEET SALLITTU. a) Piirretään funktion f(x) = cos x + kuvaaja. Kuvaajan perusteella suurin arvo on, ja pienin arvo. b) Tutkitaan toteuttaako piste (,) yhtälön y = cos x +. = cos ( ) + = 0 + = Yhtälö ei toteudu, joten piste (,) ei ole kuvaajalla.

26 Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Muutosnopeus kohdassa f (x) = cos x sin x x on derivaatan arvo. f ( ) cos sin( ) Muutosnopeus on. b) Selvitetään tangentin kulmakerroin ja yksi piste. Lasketaan funktion f arvo, kun x. f ( ) cos ( ) ( ) Tangentti kulkee pisteen (, ) kautta. f (x) = cos x ( sin x) = sin x cos x = sin x f ( ) sin( ( )) Tangentin kulmakerroin k =. Sijoitetaan suoran yhtälöön y y 0 = k(x x 0 ) piste ( x0, y0) (, ) ja kulmakerroin k =. y( ) ( x( )) y x Tangentin yhtälö on y x

27 Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Sinifunktio saa kaikki arvot väliltä [, ]. sin 0t 0 0 0sin 0t sin 0t 0. Yläpaine on 0 ja alapaine 80. b) Funktion f(t) = sin 0t jakso on (min) Minuuttiin mahtuu 70 jaksoa, joten henkilön syke on 70.. Kaksinkertaisen kulman kaavan mukaan sin x = sin x cos x. Jotta sin x voidaan määrittää, tarvitaan kosinin arvo. Ratkaistaan cos x kaavasta sin x + cos x =, kun sin x sin xcos x ( ) cos x 5 cos x cos x tai cos x 7 7 Koska < x <, niin kulma x on yksikköympyrän kolmannessa neljänneksessä, jossa kosini on negatiivinen. Siis 5 cos x. 7 Nyt saadaan sin xsin xcos x 8 ) ( 5 )

28 Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Sinifunktio sin x saa kaikki arvot väliltä [, ]. Se siis heilahtelee keskikohtansa molemmille puolille yhden yksikön verran. Funktion f kuvaaja heilahtelee keskikohtansa molemmin puolin 7 cm, joten sinifunktiota on venytetty 7-kertaiseksi. Siis A = 7. Funktion 7sin Bx jakso on ja koholla kestää ylhäältä alas ja takaisin B ylös 5 = 0 sekuntia. Saadaan siis yhtälö 0, josta B B. 5 Mato-ongen kohoa voidaan siis mallintaa funktiolla f(t) = 7sin t. 5

29 Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kirjoitetaan yhtälö 5tan x = 0x muodossa 5tan x 0x = 0. Merkitään yhtälön vasen puoli funktioksi f(x) = 5tan x 0x. Yhtälön 5tan x = 0x ratkaisut ovat samat kuin funktion f nollakohdat. Tutkitaan funktion kulkua derivaatan avulla. f (x) = 5( + tan x) 0 = 5tan x 5 5tan x 50 5tan x 5 tan x tan x tai tan x x n x n, n Derivaatan nollakohdista välille ], [ kuuluu x ja x. Määritetään derivaatan merkki testikohtien avulla. x f (x) Merkki f (x) + + f(x)

30 Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07 Koska f ( ) 5tan( ) 0 ( ) 0, ja funktio f on kasvava välillä,, niin funktiolla f ei ole nollakohtaa tällä välillä.. Koska f on vähenevä välillä, ja f ( ) 0, sillä ei voi olla nollakohtaa tällä välillä. Funktio f on kasvava välillä,. Kasvava funktio ei saa samaa arvoa kahdesti, joten nollakohtia on korkeintaan yksi. f ( ) 5tan 0 5, f ( 5 ) 5tan 5 0 5, Koska funktio f(x) = 5tan x 0x on jatkuva välillä, ja saa päätepisteissä eri merkkiset arvot, Bolzanon lauseen mukaan sillä on ainakin yksi nollakohta tällä välillä. Funktiolla f on siis toisaalta ainakin yksi ja toisaalta korkeintaan yksi nollakohta, joten sillä on täsmälleen yksi nollakohta välillä ], [. Koska funktiolla f on täsmälleen yksi nollakohta, niin yhtälöllä 5tan x 0x on täsmälleen yksi juuri välillä ], [. Yhtälön juuri on x,.

31 Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Derivoidaan funktio f. f '( x) sin x x x Derivaatan nollakohtia ratkaistaessa voidaan käyttää tulon nollasääntöä. sin x 0 x x 0 tai sin x 0 x x ei ratkaisua x n x xn x x( n) x, n n Tutkitaan mitkä nollakohdsta ovat välillä ], [. Kun n = 0, on lausekkeen arvo, joten tämä nollakohta ei ole n välillä ], [. Kaikilla muilla n:n arvoilla nimittäjä + n on suurempi kuin tai pienempi kuin. Näin ollen lausekkeen arvo on välillä ], [ n kaikilla muilla n:n arvoilla kuin arvolla n = 0. Välillä ], [ olevat derivaatan nollakohdat ovat siis x, n, n0. n

32 Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Olkoon sektorin keskuskulma α. Sektorin pinta-ala on A r s r. Jotta sektorin keskuskulma olisi sama kuin sektorin pinta-ala, tulee olla r : 0 r r (tair ) Ympyrän säteen tulee olla.

33 Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Käyrän y = sin x + cos x + etäisyys x-akselista kohdassa x = on käyrän pisteen y-koordinaatin itseisarvo. y sin cos 7 7 Käyrän etäisyys y-akselista on 7. Lyhin etäisyys on funktion f(x) = sin x + cos x + pienin positiivinen tai suurin negatiivinen arvo. Tutkitaan funktion f arvoja. Sekä sini- että kosinifunktion perusjakso on, joten funktio f saa kaikki arvonsa välillä [0, ]. Funktio f on derivoituva kaikilla muuttujan x arvoilla, joten se saa suljetulla välillä [0, ] suurimman ja pienimmän arvonsa välin päätepisteessä tai välille kuuluvassa derivaattafunktion nollakohdassa. f (x) = cos x sin x Derivaattafunktion nollakohdat: cos xsin x0 cos x sin x : cos x 0 sin x cos x tan x x 0,6... n, n Derivaatan nollakohdista välille ]0, [ kuuluvat x = 0,6 ja x =,60 Lasketaan funktion f arvot välin [0, ] päätepisteissä ja välille kuuluvissa derivaatan nollakohdissa. f(0) = f() = sin 0 + cos 0 + = + =,8 f(0,6 ) = sin 0,6 + cos 0,6 + = 5,06 f(,60 ) = sin,60 + cos,60 + = 0,59 Funktion f kaikki arvot ovat positiivisia, joten käyrän lyhin etäisyys x-akseliin on funktion pienin arvo, joka on 0,59 0,6 yksikköä.

34 Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Valitaan muuttujaksi kulma 0, kuvan mukaisesti. Suolla juostun matkan AP pituus saadaan selville tasakylkisen kolmion AOP puolikkaan avulla. Kolmio AOC on suorakulmainen. AO on ympyrän säde, jonka pituus on 0,5 km. AP cos 0,5 AP cos Sektorin OBP keskuskulma β on α, koska kulma α on samaa kaarta vastaava kehäkulma. Sektorin OBP kaaren pituus on βr = α 0,5 = α. Matkan kesto saadaan jakamalla matka nopeudella. t cos 5 0 Tutkitaan aikaa kuvaavaa funktiota f ( ) cos, 0, 5 0. Funktio f on derivoituva, joten se saa suljetulla välillä 0, suurimman ja pienimmän arvonsa välin päätepisteessä tai välille kuuluvassa derivaattafunktion nollakohdassa.

35 Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07 f ( ) sin 5 0 sin sin 5 n tai n n, n Derivaattafunktion nollakohdista välillä ]0, [ on ainoastaan x = 6 Lasketaan funktion f arvot välin 0, päätepisteissä ja välillä olevassa derivaatan nollakohdassa. cos0 0 f (0) 0, cos 6 6 f ( ) 0, cos f ( ) 0 0, Funktion f pienin arvo on 0,57 h 9, min, joka saavutetaan lähtökulmalla α = (rad) = 90. Suunnistajan kannattaa siis kiertää suo kokonaan.

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0 Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8.9.07 Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) K. a) b) c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 6 6 a a a, a > 0 6 6 a

Lisätiedot

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1.

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1. Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4..6 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. a) Funktion f( ) = määrittelyehto on +, eli. + Ratkaistaan funktion nollakohdat. f(

Lisätiedot

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 14..016 Kertaus K1. a) b) x 18 ( x 9) ( x ) ( x+ ) lim = lim = lim x+ x+ ( x + ) x x x = lim (x 6) = ( ) 6 = 1 x x + 6 ( ) + 6 0 lim = =

Lisätiedot

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion

Lisätiedot

Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x 1 ja x 2 on voimassa ehto:

Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x 1 ja x 2 on voimassa ehto: 4 Reaalifunktiot 4. Funktion monotonisuus Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x ja x on voimassa ehto: "jos x < x, niin f (x

Lisätiedot

* Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa * Trigonometristen funktioiden kuvaajat

* Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa * Trigonometristen funktioiden kuvaajat Trigonometria. a) Määrittele trigonometriset funktiot. b) Vertaa trigonometristen funktioiden ominaisuuksia määritys- ja arvojoukko sekä perusjakso). * Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta Eksponenttifuntio Palautetaan mieliin, että Neperin luvulle e pätee: e ) n n n ) n n n n n ) n. Tästä määritelmästä seuraa, että eksponenttifunktio e x voidaan määrittää

Lisätiedot

5 Rationaalifunktion kulku

5 Rationaalifunktion kulku Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 5 Rationaalifunktion kulku. Funktion f määrittelyehto on. Muodostetaan symbolisen laskennan ohjelman avulla derivaattafunktio f ja

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 12 1 Eksponenttifuntio Palautetaan mieliin, että Neperin luvulle e pätee: e ) n n n ) n n n n n ) n. Tästä määritelmästä seuraa, että eksponenttifunktio e x voidaan

Lisätiedot

Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot.

Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot. 7 Sovelluksia 90 a) Koska sin saa kaikki välillä [,] olevat arvot, niin funktion f ( ) = sin pienin arvo on = ja suurin arvo on ( ) = b) Koska sin saa kaikki välillä [0,] olevat arvot, niin funktion f

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π

Lisätiedot

Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0,

Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0, Kertausosa. a),6 60 576 Peruuttaessa pyörähdyssuunta on vastapäivään. Kulma on siis,4 60 864 a) 576 864 0,88m. a) α b 0,6769... 0,68 (rad) r,m 8cm β,90...,9 (rad) 4cm a) α 0,68 (rad) β,9 (rad). a) 5,0

Lisätiedot

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 6 Maanantai

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 6 Maanantai . (Teht. s. 93.) Määrää raja-arvo MATP53 Approbatur B Harjoitus 6 Maanantai 7..5 cos x x. Ratkaisu. Suora sijoitus antaa epämääräisen muodon (ei auta). Laventamalla päädytään muotoon ja päästään käyttämään

Lisätiedot

x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi

x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi Mallivastaukset - Harjoituskoe F F1 a) (a + b) 2 (a b) 2 a 2 + 2ab + b 2 (a 2 2ab + b 2 ) a 2 + 2ab + b 2 a 2 + 2ab b 2 4ab b) tan x 3 x π 3 + nπ, n Z c) f(x) x2 x + 1 f (x) 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 2x2

Lisätiedot

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin

Lisätiedot

KERTAUSHARJOITUKSIA. 1. Rationaalifunktio a) ( ) 2 ( ) Vastaus: a) = = 267. a) a b) a. Vastaus: a) a a a a 268.

KERTAUSHARJOITUKSIA. 1. Rationaalifunktio a) ( ) 2 ( ) Vastaus: a) = = 267. a) a b) a. Vastaus: a) a a a a 268. KERTAUSHARJOITUKSIA. Rationaalifunktio 66. a) b) + + + = + + = 9 9 5) ( ) ( ) 9 5 9 5 9 5 5 9 5 = = ( ) = 6 + 9 5 6 5 5 Vastaus: a) 67. a) b) a a) a 9 b) a+ a a = = a + a + a a + a a + a a ( a ) + = a

Lisätiedot

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. 3 Derivaatta. a) Vastaus: Merenpinta nousee aikavälillä 00:00-06:00 ja :30-7:30. Merenpinta laskee aikavälillä 06:00-:30 ja 7:30-3:00. b) Merenpinta nousi 0,35 cm ( 0,) cm = 0,55 cm tuona aikana. Merenpinta

Lisätiedot

Matemaattisen analyysin tukikurssi

Matemaattisen analyysin tukikurssi Matemaattisen analyysin tukikurssi 12. Kurssikerta Petrus Mikkola 5.12.2016 Tämän kerran asiat Sini-ja kosifunktio Yksikköympyrä Tangentti- ja kotangenttifunktio Trigonometristen funktioiden ominaisuuksia

Lisätiedot

Differentiaalilaskenta 1.

Differentiaalilaskenta 1. Differentiaalilaskenta. a) Mikä on tangentti? Mikä on sekantti? b) Määrittele funktion monotonisuuteen liittyvät käsitteet: kasvava, aidosti kasvava, vähenevä ja aidosti vähenevä. Anna esimerkit. c) Selitä,

Lisätiedot

2 Toisen asteen polynomifunktio

2 Toisen asteen polynomifunktio Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4.5.017 Toisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Merkitään taulukon pisteet koordinaatistoon ja hahmotellaan niiden kautta kulkeva

Lisätiedot

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a)

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a) Pitkä matematiikka YO-koe 9..04. a) b) 7( x ) + = x ( x ) x(5 8 x) > 0 7x + = x x + 8x + 5x > 0 7x = 0 Nollakohdat: 0 8x + 5x = 0 x = 7 x(8x 5) = 0 5 5 x = 0 tai x = Vastaus: 0 < x < 8 8 c) a+ b) a b)

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi 2

Matematiikan peruskurssi 2 Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat

Lisätiedot

Epäyhtälöt 1/7 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt

Epäyhtälöt 1/7 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt Epäyhtälöt 1/7 Sisältö Epäyhtälö Epäyhtälöllä tarkoitetaan ehtoa, missä kahdesta lausekkeesta toinen on suurempi tai mahdollisesti yhtä suuri kuin toinen: f(x) < g(x), f(x) g(x).merkit voidaan luonnollisesti

Lisätiedot

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6 MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+

Lisätiedot

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. Suora Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 9..07 Ennakkotehtävät. a) Kumpaankin hintaan sisältyy perusmaksu ja minuuttikohtainen maksu. Hintojen erotus on kokonaan minuuttikohtaista

Lisätiedot

Sini- ja kosinifunktio

Sini- ja kosinifunktio Sini- ja kosinifunktio Trigonometriset funktio voidaan määritellä muun muassa potenssisarjana tai yksikköympyrän avulla. Yksikköympyrään pohjautuvassa määritelmässä sini- ja kosinifunktion muuttujana pidetään

Lisätiedot

2 Pistejoukko koordinaatistossa

2 Pistejoukko koordinaatistossa Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia

Lisätiedot

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016 Vanhoja koetehtäviä Analyyttinen geometria 016 1. Määritä luvun a arvo, kun piste (,3) on käyrällä a(3x + a) = (y - 1). Suora L kulkee pisteen (5,1) kautta ja on kohtisuorassa suoraa 6x + 7y - 19 = 0 vastaan.

Lisätiedot

MAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti!

MAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti! A-osio: ilman laskinta. MAOLia saa käyttää. Laske kaikki tehtävistä 1-. 1. a) Derivoi funktio f(x) = x (4x x) b) Osoita välivaiheiden avulla, että seuraava raja-arvo -lauseke on tosi tai epätosi: x lim

Lisätiedot

Ratkaisuja, Tehtävät

Ratkaisuja, Tehtävät ja, Tehtävät 988-97 988 a) Osoita, että lausekkeiden x 2 + + x 4 + 2x 2 ja x 2 + - x 4 + 2x 2 arvot ovat toistensa käänteislukuja kaikilla x:n arvoilla. b) Auton jarrutusmatka on verrannollinen nopeuden

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.8.016 3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) x + x + 1 = 4 (x + 1) = 4 Luvun x + 1 tulee olla tai, jotta sen

Lisätiedot

Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8..08 KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) Keskimääräinen muutosnopeus välillä [0, ] saadaan laskemalla kohtia x = 0 ja x = vastaavien kuvaajan

Lisätiedot

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei. PITKÄ MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 7..07 NIMI: A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.. Valitse oikea vaihtoehto ja

Lisätiedot

2 Raja-arvo ja jatkuvuus

2 Raja-arvo ja jatkuvuus Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.6 Raja-arvo ja jatkuvuus. a) Kun suorakulmion kärki on kohdassa =, on suorakulmion kannan pituus. Suorakulmion korkeus on käyrän y-koordinaatti

Lisätiedot

määrittelyjoukko. log x piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä millä korkeudella tangentti leikkaa y-akselin.

määrittelyjoukko. log x piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä millä korkeudella tangentti leikkaa y-akselin. MAA8 Juuri- ja logaritmifunktiot 70 Jussi Tyni 5 a) Derivoi f ( ) e b) Mikä on funktion f () = ln(5 ) 00 c) Ratkaise yhtälö määrittelyjoukko log Käyrälle g( ) e 8 piirretään tangeti pisteeseen, jossa käyrä

Lisätiedot

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A) Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut

Lisätiedot

4 Polynomifunktion kulku

4 Polynomifunktion kulku 4 Polynomifunktion kulku. a) Funktio on kasvava jollakin välillä, jos sen arvo kasvaa tällä välillä. Kuvaajan nousemisen ja laskemisen perusteella funktio on kasvava kohtien x,4 ja x 0, välissä. b) Funktion

Lisätiedot

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a)

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a) Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6 Kertaus Integraalifunktio ja integrointi KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) ( )d C C b) c) d e e C cosd cosd sin C K. Funktiot F ja F ovat saman

Lisätiedot

B-OSA. 1. Valitse oikea vaihtoehto. Vaihtoehdoista vain yksi on oikea.

B-OSA. 1. Valitse oikea vaihtoehto. Vaihtoehdoista vain yksi on oikea. B-OSA 1. Valitse oikea vaihtoehto. Vaihtoehdoista vain yksi on oikea. 1.1 Mitä voidaan sanoa funktion f raja-arvosta, kun x a? I Raja-arvo on f(a), jos f on määritelty kohdassa a. II Raja-arvo on f(a),

Lisätiedot

Laudatur 7. Opettajan aineisto. Derivaatta MAA 7. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava

Laudatur 7. Opettajan aineisto. Derivaatta MAA 7. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Laudatur 7 Derivaatta MAA 7 Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola Opettajan aineisto Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava SISÄLLYS Ratkaisut kirjan tehtäviin... Kokeita...57 Otavan asiakaspalvelu

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 7 to

Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 7 to Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 7 to 5..2009 ratkaisut 1. (a) Määritä funktion f(x) = e x e x x + 1 derivaatan f (x) pienin mahdollinen arvo. Ratkaisu. (a) Funktio f ja sen derivaatat ovat

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 2. viikolle /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 2. viikolle / MS-A008 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/207 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 2. viikolle / 8. 2.4. Jatkuvuus ja raja-arvo Tehtävä : Määritä raja-arvot a) 3 + x, x Vihje: c)-kohdassa

Lisätiedot

1.5. Trigonometriset perusyhtälöt

1.5. Trigonometriset perusyhtälöt Tämän asian otsake on takavuosina ollut Trigonometriset yhtälöt ja sen käsittely tuolloin ollut huomattavasti laajempi. Perusyhtälöillä tarkoitetaan muotoa sin x = a tan x = c cos x = b (cot x = d) olevia

Lisätiedot

5 Differentiaalilaskentaa

5 Differentiaalilaskentaa 5 Differentiaalilaskentaa 5.1 Raja-arvo Esimerkki 5.1. Rationaalifunktiota g(x) = x2 + x 2 x 1 ei ole määritelty nimittäjän nollakohdassa eli, kun x = 1. Funktio on kuitenkin määritelty kohdan x = 1 läheisyydessä.

Lisätiedot

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus:

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus: . Koska F( ) on jokin funktion f ( ) integraalifunktio, niin a+ a f() t dt F( a+ t) F( a) ( a+ ) b( a b) Vastaus: Kertausharjoituksia. Lukujonot 87. + n + lim lim n n n n Vastaus: suppenee raja-arvona

Lisätiedot

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua Mallivastaukset - Harjoituskoe E E a) x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4,35 < 0 x 3 7 4 b) 0 / x + dx = 0 ln x + = ln + ln 0 + = ln 0 Vastaus: ln c) x 4 3x 4 = 0 Sijoitetaan x = u Tulon nollasääntö

Lisätiedot

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4 Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa A

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA7 Derivaatta Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Derivaatta (MAA7) Pikatesti ja kertauskokeet Tehtävien ratkaisut Pikatesti

Lisätiedot

Radiaanit. Kun kulman α suuruus nyt mitataan tämän kaaren pituutena, saadaan kulmaan arvo radiaaneissa.

Radiaanit. Kun kulman α suuruus nyt mitataan tämän kaaren pituutena, saadaan kulmaan arvo radiaaneissa. Radiaanit Kulmia mitataan matematiikassa paitsi asteissa, myös radiaaneissa. Radiaanien taustaideana on, että kun kulmaa α asetetaan yksikköympyrään, kulmien kylkien välille muodostuu ympyrän kehälle kaari

Lisätiedot

2) Kaksi lentokonetta lähestyy toisiaan samalla korkeudella kuvan osoittamalla tavalla. Millä korkeudella ja kuinka kaukana toisistaan ne ovat?

2) Kaksi lentokonetta lähestyy toisiaan samalla korkeudella kuvan osoittamalla tavalla. Millä korkeudella ja kuinka kaukana toisistaan ne ovat? 2..207 Määritelmä, (terävän kulman) trigonometriset funktiot: Suorakulmaisessa kolmiossa terävän kulman trigonometriset funktiot ovat: kulman sini hpotenuusa sin a c kulman kosini hpotenuusa kulman tangentti

Lisätiedot

4. Kertausosa. 1. a) 12

4. Kertausosa. 1. a) 12 . Kertausosa. a kun, : b kun, tai 8 . Paraabeli y a bc c aukeaa ylöspäin, jos a alaspäin, jos a a Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle a. Se aukeaa ylöspäin. b Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle

Lisätiedot

Anna jokaisen kohdan vastaus kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella muodossa

Anna jokaisen kohdan vastaus kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella muodossa Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä

Lisätiedot

1 Rationaalifunktio , a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen.

1 Rationaalifunktio , a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen. Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 Rationaalifunktio. a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen. f (50) 50 8 50 4 8 50 500 400 4 400

Lisätiedot

Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin

Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin Yhtälöparit ja yhtälöryhmät 6. a) x y = 7 eli,y+, sijoitetaan alempaan yhtälöön x+ 7y = (, y+, ) + 7y =,y =, y = Sijoitetaan y = yhtälöparin ylempään yhtälöön.,

Lisätiedot

Testaa taitosi 1. 2. Piirrä yksikköympyrään kaksi erisuurta kulmaa, joiden a) sini on 0,75 b) kosini on

Testaa taitosi 1. 2. Piirrä yksikköympyrään kaksi erisuurta kulmaa, joiden a) sini on 0,75 b) kosini on Testaa taitosi. Laske lausekkeen 60 cos80 sin arvo. Päättele sinin ja kosinin arvot yksikköympyrästä. y x. Piirrä yksikköympyrään kaksi erisuurta kulmaa, joiden a) sini on 0,75 b) kosini on y y. x x. Määritä

Lisätiedot

4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ

4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ POHDITTAVAA 1. Merkitään toisen neliön sivun pituutta kirjaimella x. Tällöin toisen neliön sivun pituus on

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kertausluento 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat:. Potenssisarjojen suppenemissäde, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan

Lisätiedot

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja

Lisätiedot

Äärettömät raja-arvot

Äärettömät raja-arvot Äärettömät raja-arvot Määritelmä Funktion f oikeanpuoleinen raja-arvo pisteessä x 0 on + mikäli kaikilla R > 0 löytyy sellainen δ > 0 että f (x) > R aina kun x 0 < x < x 0 + δ. Funktion f oikeanpuoleinen

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Juuri- ja logaritmifunktiot. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Juuri- ja logaritmifunktiot. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA8 Juuri- ja logaritmifunktiot Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Juuri- ja logaritmifunktiot (MAA8) Pikatesti ja kertauskokeet

Lisätiedot

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö Funktion kasvavuus ja vähenevyys; paikalliset ääriarvot Jos derivoituvan reaalifunktion f derivaatta tietyssä pisteessä on positiivinen, f (x 0 ) > 0, niin funktion tangentti

Lisätiedot

Ympyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora

Ympyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora Ympyrä 1/6 Sisältö Ympyrä ja sen yhtälö Tason pisteet, jotka ovat vakioetäisyydellä kiinteästä pisteestä, muodostavat ympyrän eli ympyräviivan. Kiinteä piste on ympyrän keskipiste ja vakioetäisyys sen

Lisätiedot

jakokulmassa x 4 x 8 x 3x

jakokulmassa x 4 x 8 x 3x Laudatur MAA ratkaisut kertausarjoituksiin. Polynomifunktion nollakodat 6 + 7. Suoritetaan jakolasku jakokulmassa 5 4 + + 4 8 6 6 5 4 + 0 + 0 + 0 + 0+ 6 5 ± 5 5 4 ± 4 4 ± 4 4 ± 4 8 8 ± 8 6 6 + ± 6 Vastaus:

Lisätiedot

MATP153 Approbatur 1B Ohjaus 2 Keskiviikko torstai

MATP153 Approbatur 1B Ohjaus 2 Keskiviikko torstai MATP15 Approbatur 1B Ohjaus Keskiviikko 4.11. torstai 5.11.015 1. (Opiskeluteht. 6 s. 0.) Määritä sellainen vakio a, että polynomilla x + (a 1)x 4x a on juurena luku x = 1. Mitkä ovat tällöin muut juuret?.

Lisätiedot

1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio

1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio Ensimmäisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT. a) f(x) = x 4 b) Nollakohdassa funktio f saa arvon nolla eli kuvaaja kohtaa x-akselin. Kuvaajan perusteella funktion nollakohta on x,. c) Funktion f

Lisätiedot

Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto. Vastaus: a) 90 b) 60 c) 216 d) 1260 e) 974,03 f) ,48

Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto. Vastaus: a) 90 b) 60 c) 216 d) 1260 e) 974,03 f) ,48 Trigonometriset funktiot 169. Muutetaan asteet radiaaneiksi. 180 astetta on radiaaneina π eli 180 = π rad Tällöin 1 rad. 180 45 1 a) 45 180 4 4 65 1 b) 65 180 6 10 c) 10 180 5 5 d) 5 180 4 40 7 e) 40 180

Lisätiedot

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: MAB4 Koe Jussi Tyni 1..015 A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: 1. a. Piirrä seuraava suora mahdollisimman tarkasti ruutupaperille:

Lisätiedot

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio 4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Tutkitaan yhtälöiden ratkaisuja piirtämällä funktioiden f(x) = x, f(x) = x 3, f(x) = x 4 ja f(x) = x 5 kuvaajat. Näin nähdään, monessako

Lisätiedot

Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua.

Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua. 6 Alkeisfunktiot Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua. 6. Funktion määrittely Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y.

Tekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 37 Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, ) on ( x 0) + ( y ). Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Merkitään etäisyydet yhtä suuriksi ja ratkaistaan

Lisätiedot

Funktio 1. a) Mikä on funktion f (x) = x lähtöjoukko eli määrittelyjoukko, kun 0 x 5?

Funktio 1. a) Mikä on funktion f (x) = x lähtöjoukko eli määrittelyjoukko, kun 0 x 5? Funktio. a) Mikä on funktion f (x) = x + lähtöjoukko eli määrittelyjoukko, kun 0 x 5? b) Mikä on funktion f (x) = x + maalijoukko eli arvojoukko? c) Selitä, mikä on funktion nollakohta. Anna esimerkki.

Lisätiedot

= 9 = 3 2 = 2( ) = = 2

= 9 = 3 2 = 2( ) = = 2 Ratkaisut 1.1. (a) + 5 +5 5 4 5 15 15 (b) 5 5 5 5 15 16 15 (c) 100 99 5 100 99 5 4 5 5 4 (d) 100 99 5 100 ( ) 5 1 99 100 4 99 5 1.. (a) ( 100 99 5 ) ( ( 4 ( ) ) 4 1 ( ) ) 4 9 4 16 (b) 100 99 ( 5 ) 1 100

Lisätiedot

Ratkaisut vuosien tehtäviin

Ratkaisut vuosien tehtäviin Ratkaisut vuosien 1978 1987 tehtäviin Kaikki tehtävät ovat pitkän matematiikan kokeista. Eräissä tehtävissä on kaksi alakohtaa; ne olivat kokelaalle vaihtoehtoisia. 1978 Osoita, ettei mikään käyrän y 2

Lisätiedot

Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan!

Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan! MAA4 koe 1.4.2016 Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan! Jussi Tyni A-osio: Ilman laskinta. Laske kaikki

Lisätiedot

Äänekosken lukio Mab4 Matemaattinen analyysi S2016

Äänekosken lukio Mab4 Matemaattinen analyysi S2016 Äänekosken lukio Mab4 Matemaattinen analyysi S016 A-osa Vastaa kaikkiin A-osan tehtäviin. Vastaukset kirjoitetaan kysymyspaperiin! Taulukkokirjaa saa käyttää. Laskinta ei saa käyttää! A-osan ratkaisut

Lisätiedot

x = 6 x = : x = KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 229.a) Funktio f ( x) = 2x+ Nollakohta f x b) Funktio gx ( ) = x

x = 6 x = : x = KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 229.a) Funktio f ( x) = 2x+ Nollakohta f x b) Funktio gx ( ) = x KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 9.a) Funktio f ( ) = + 6 Nollakohta f bg= + 6= = 6 :( ) = 6 = y 5 6 y = + 6 b) Funktio g ( ) = 5 Nollakohta g bg= = 5 = : 5 5 5 5 = : = = = 5 5 5 9 9

Lisätiedot

Läpäisyehto: Kokeesta saatava 5. Uusintakoe: Arvosana määräytyy yksin uusintakokeen perusteella.

Läpäisyehto: Kokeesta saatava 5. Uusintakoe: Arvosana määräytyy yksin uusintakokeen perusteella. MAA7 Trigonometriset funktiot Arvosanan perusteet: koe 70 %, harjoitustehtävä 10 %, tuntitestit 20 %, lisäksi oppimisen ja työskentelyn havainnointi opettajan harkinnan mukaan (ks. OPS 6.2). Muu arviointi:

Lisätiedot

Mikäli funktio on koko ajan kasvava/vähenevä jollain välillä, on se tällä välillä monotoninen.

Mikäli funktio on koko ajan kasvava/vähenevä jollain välillä, on se tällä välillä monotoninen. 4.1 Polynomifunktion kulun tutkiminen s. 100 digijohdanto Funktio f on kasvava jollain välillä, jos ehdosta a < b seuraa ehto f(a) < f(b). Funktio f on vähenevä jollain välillä, jos ehdosta a < b seuraa

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus K1. a) Ratkaistaan suorakulmaisen kolmion kateetin pituus x tangentin avulla. tan9 x,5,5 x,5 tan 9 x 2,8... x» 2,8 (cm) Kateetin pituus x on 2,8 cm. b) Ratkaistaan vinokulmaisen kolmion sivun pituus

Lisätiedot

Pyramidi 10 Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu 298 Päivitetty

Pyramidi 10 Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu 298 Päivitetty Pyramidi Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu 98 Päivitetty.5. Pyramidi Harjoituskokeet 6.5.7 Ensimmäinen julkaistu versio..7.7 Korjattu ulkoasua ja painovirheitä..8.7 Täydennetty ratkaisuja

Lisätiedot

MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin!

MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni 9.1.01 1. Laske raja-arvot: a) 5 lim 5 10 b) lim 9 71. a) Määritä erotusosamäärän avulla funktion f (). f ( ) derivaatta 1 b) Millä välillä funktio f ( ) 9 on kasvava? Perustele

Lisätiedot

f(x) f(y) x y f f(x) f(y) (x) = lim

f(x) f(y) x y f f(x) f(y) (x) = lim Y1 (Matematiikka I) Haastavampia lisätehtäviä Syksy 1 1. Funktio h määritellään seuraavasti. Kuvan astiaan lasketaan vettä tasaisella nopeudella 1 l/min. Astia on muodoltaan katkaistu suora ympyräkartio,

Lisätiedot

3.1 Väliarvolause. Funktion kasvaminen ja väheneminen

3.1 Väliarvolause. Funktion kasvaminen ja väheneminen Väliarvolause Funktion kasvaminen ja väheneminen LAUSE VÄLIARVOLAUSE Oletus: Funktio f on jatkuva suljetulla välillä I: a < x < b f on derivoituva välillä a < x < b Väite: On olemassa ainakin yksi välille

Lisätiedot

origo III neljännes D

origo III neljännes D Sijoita pisteet A(1,4) ja B(4,5;5) sekä C(-3,4) ja D(-4,--5) y II neljännes C A I neljännes B x origo III neljännes D IV neljännes KOTIT. Sijoita ja nimeä koordinaatistoon pisteitä niin, että pisteet yhdistettäessä

Lisätiedot

3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO

3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO 3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO POHDITTAVAA 1. Kuvasta voidaan arvioida, että frisbeegolfkiekko käy noin 9 metrin korkeudella ja se lentää noin 40 metrin päähän. Vastaus: Frisbeegolfkiekko käy n. 9 m:n

Lisätiedot

Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on

Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: geometrinen (käyrän tangentti sekanttien raja-asentona) fysikaalinen (ajasta riippuvan funktion hetkellinen muutosnopeus) 1 / 19 Derivaatan määritelmä Määritelmä

Lisätiedot

Muutoksen arviointi differentiaalin avulla

Muutoksen arviointi differentiaalin avulla Muutoksen arviointi differentiaalin avulla y y = f (x) y = f (x + x) f (x) dy y dy = f (x) x x x x x + x Luento 7 1 of 15 Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto Muutoksen arviointi differentiaalin

Lisätiedot

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja?

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja? Nimi Koulutus Ryhmä Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vastausvaihtoehto oikein. Laske tehtävät ilman laskinta.. Missä pisteessä suora y = 3x 6 leikkaa x-akselin? A. 3 D. B. E. en tiedä C. 6. Mitkä luvuista,,,

Lisätiedot

Mapu 1. Laskuharjoitus 3, Tehtävä 1

Mapu 1. Laskuharjoitus 3, Tehtävä 1 Mapu. Laskuharjoitus 3, Tehtävä Lineaarisessa approksimaatiossa funktion arvoa lähtöpisteen x 0 ympäristössä arvioidaan liikkumalla lähtöpisteeseen sovitetun tangentin kulmakertoimen mukaisesti: f(x 0

Lisätiedot

1.1. YHDISTETTY FUNKTIO

1.1. YHDISTETTY FUNKTIO 1.1. YHDISTETTY FUNKTIO (g o f) () = g(f()) Funktio g = yhdistetyn funktion g o f ulkofunktio Funktio f = yhdistetyn funktion g o f sisäfunktio E.2. Olkoon f() = 2 + 3 ja g() = 4-5. Muodosta funktio a)

Lisätiedot

Laudatur 2 MAA2 ratkaisut kertausharjoituksiin. 1. Polynomit 332.

Laudatur 2 MAA2 ratkaisut kertausharjoituksiin. 1. Polynomit 332. Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin. Polynomit. Vakiotermi 8 Kolmannen asteen termin kerroin, 5 8 = 9, Neljännen asteen termi n kerroin, 8 9, = 7,6 Kysytty polynomi P(a) = 7,6a + 9,a +a + ya +

Lisätiedot

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1.

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1. ABIKertaus.. a. Ratkaise yhtälö 8 5 4 + + 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on. 4. Jaa polynomi 8 0 5 ensimmäisen asteen tekijöihin ja ratkaise tämän avulla 4 epäyhtälö 8 0 5 0.

Lisätiedot

, c) x = 0 tai x = 2. = x 3. 9 = 2 3, = eli kun x = 5 tai x = 1. Näistä

, c) x = 0 tai x = 2. = x 3. 9 = 2 3, = eli kun x = 5 tai x = 1. Näistä Pitkä matematiikka 8.9.0, ratkaisut:. a) ( x + x ) = ( + x + x ) 6x + 6x = + 6x + 6x x = x =. b) Jos x > 0, on x = + x x = + x. Tällä ei ole ratkaisua. Jos x 0, on x = + x x = + x x =. c) x = x ( x) =

Lisätiedot

Funktion määrittely (1/2)

Funktion määrittely (1/2) Funktion määrittely (1/2) Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon a täsmälleen yhden B:n alkion b. Merkitään b = f (a). Tässä A = M f on f :n määrittelyjoukko, B on f :n maalijoukko.

Lisätiedot