6 Funktioita ja yhtälöitä

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "6 Funktioita ja yhtälöitä"

Transkriptio

1 6 Funktioita ja yhtälöitä 6. Rationaali- ja juurifunktio LUVUN 6. YDINTEHTÄVÄT 60. a) Määritelty, kun a 0. ( a ) ( a ) a a y y ( a a )( a ( a )) a a a a y y a 6 a ( y) ( y) Toinen tapa: ( a ) ( a ) a a a a ( ) ( a a ( ) ) a a a a 66 b) Määritelty, kun a 0. a ( a) a a a a a a a a a a a c) Määritelty, kun a > 0, eli a <. a ) a a ( a) a a a a ( a) a ( a) a a

2 60. a) Yhtälöllä voi olla ratkaisuja vain kun 0. ) ) Osamäärä on nolla vain, kun osoittaja on nolla ja osamäärä on määritelty. On siis oltava 9 = 0 = 9 = tai =. Molemmat näistä täyttävät ehdon 0. Yhtälön ratkaisu on siis = tai =. Toinen tapa: Yhtälöllä voi olla ratkaisuja vain, kun 0. 0 kerrotaan ristiin, 0 9 tai Molemmat näistä täyttävät ehdon 0. Yhtälön ratkaisu on siis = tai =.

3 b) Yhtälöllä voi olla ratkaisuja vain, kun 0 eli kun. ) 0 ( ) Ratkaistaan, milloin osoittaja on nolla. = 0 ( ) = 0 = 0 tai = 0 = Molemmat näistä toteuttavat ehdon. Yhtälön ratkaisu on siis = 0 tai =. Toinen tapa: Yhtälöllä voi olla ratkaisuja vain, kun 0 eli kun. ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 0 tai 0 Molemmat näistä toteuttavat ehdon. Yhtälön ratkaisu on siis = 0 tai =.

4 c) Yhtälöllä voi olla ratkaisuja vain, kun 0 ja kun + 0. Näistä saadaan ehdot ja. Koska 0, yhtälön ratkaisujen riittää siis toteuttaa ehto. ( ) ( ) ) 0 ( ) 0 ( ) ( )( ) Ratkaistaan, milloin osoittaja on nolla. 0 ( ) 0 0 tai 0 0 Molemmat näistä toteuttavat ehdon. Yhtälön ratkaisu on siis = tai = 0.

5 Toinen tapa: Yhtälöllä voi olla ratkaisuja vain, kun 0 ja kun + 0. Näistä saadaan ehdot ja. Koska 0, yhtälön ratkaisujen riittää siis toteuttaa ehto. ( )( ) 0 ( )( ) ( )( ) 0 ( ) 0 0 tai 0 0 Molemmat näistä toteuttavat ehdon. Yhtälön ratkaisu on siis = tai = 0.

6 60. a) Osoittaja 4 on aina positiivinen, joten osamäärä on negatiivinen täsmälleen silloin, kun nimittäjä on negativiinen. 0 :( ) b) Epäyhtälöllä on ratkaisuja vain, kun 0 eli kun. ) 0 ( ) 0 ( ) Ratkaistaan osoittajan nollakohdat. + 4 = 0 = 4 Tehdään merkkikaavio Epäyhtälön 4 0 siis < 4. ja samalla epäyhtälön ratkaisu on

7 c) Epäyhtälöllä on ratkaisuja vain, kun 0 eli kun. 7 ) Ratkaistaan osoittajan nollakohdat tai 5 Tehdään merkkikaavio Epäyhtälön 65 0 ja samalla epäyhtälön ratkaisu on siis 5 < < tai > a) Neliöjuuren arvo on täsmälleen silloin, kun juurettavana on 9 eli kun + 5 = 9, mistä saadaan = 4. b) Yhtälöstä 4 0 saadaan 4. Koska juuren arvo on aina ei-negatiivinen, yhtälöllä ei ole ratkaisua c) Kuutiojuuren arvo on täsmälleen silloin, kun juurrettavana on eli kun 4 =. Tästä saadaan =, mistä edelleen tai.

8 605. a) Neliöjuuri on määritelty, kun 0 eli kun. Juuren arvo on ei-negatiivinen, kun + 0, eli kun. Molemmat ehdot toteutuvat, kun. Korotetaan yhtälö puolittain neliöön. ( ) tai 6 Näistä vain = toteuttaa ehdon. Yhtälön ratkaisu on siis =. Toinen tapa: ( ) tai 6 Tarkistetaan, toteuttavatko ratkaisuehdokkaan alkuperäisen yhtälön. + ( ) 4 + = toteuttaa 6 ( 6) = ei toteuta Yhtälön ratkaisu on siis =.

9 b) Yhtälöllä voi olla ratkaisuja vain, kun juuret ja osamäärä ovat määriteltyjä, eli kun > 0, eli kun >. 0 ( ) 4 Koska juuren arvo on aina ei-negatiivinen, on oltava 4 0, eli 4. Tällöin myös juuri on määritelty ja yhtälö voidaan siis korottaa puolittain neliöön. 4 ( 4) ( 9) tai Näistä vain = 6, toteuttaa ehdon 4. Yhtälön ratkaisu on siis = 6.

10 Toinen tapa: 0 ( ) 4 ( 4) tai 9 ( 9) Tarkistetaan, toteuttavatko ratkaisuehdokkaan alkuperäisen yhtälön ei toteuta toteuttaa Yhtälön ratkaisu on siis = 6.

11 606. a) Yhtälö = voidaan kirjoittaa myös muodossa = 0. Siis esimerkiksi funktio f() = saa arvon nolla kohdassa =. Kyseessä on rationaalifuntkio, joten f on eräs tehtävänannon ehdot täyttävä funktio. b) Rationaalifunktio ei ole määritelty nimittäjän nollakohdissa, eli kohdat = ja = on oltava nimittäjän ainoat nollakohdat. Nimittäjällä on siis oltava tekijät + ja. Eräs tällainen lauseke on ( + )( ). Kysytyksi funktioksi kelpaa nyt esimerkiksi f ( ), ( )( ) sillä se on määritelty kaikissa muissa kohdissa, paitsi = ja =. c) Koska halutaan funktio, jota ei ole määritelty kohdassa = 0, nimittäjällä tulee olla tekijä. Osoittajan etsiminen on helpompaa jos nimittäjän merkki ei vaihdu. Valitaan osamäärän nimittäjäksi näin ollen =. Tällöin osamäärän merkki riippuu vain osoittajasta. Etsitään siis osoittajaan funktio, joka saa negatiivisia arvoja vain kun >. Eräs tällainen funktio on laskeva suora. Näin ollen funktio f ( ) on eräs tehtävänannon ehdot toteuttava funktio.

12 607. Hahmotetaan tilannetta kuvan avulla. Merkitään lattiaa pitkin kulkevan osan pituutta kirjaimella, ja ilmassa kulkevan osan pituutta kirjaimella y, jolloin virtajohdon pituus on + y. Ratkaistaan y kuvan suorakulmaisesta kolmiosta Pythagoraan lauseella. y = (,0 ) +,0, josta saadaan y 6 (tai y 6 ). Virtajohdon pituutta kuvaa siis lauseke 6. Ratkaistaan ohjelman avulla millä muuttujan arvolla virtajohdon pituus on 4,5 m. 6 4,5,466 Lattiaa pitkin kulkevan osan pituus on siis,4 m.

13 6. Eksponentti- ja logaritmifunktio LUVUN 6. YDINTEHTÄVÄT 608. a) f( ) a a Koska f( ) = 4, saadaan yhtälö a 4 a 0 a 4a :4 a 4 a a 4 4. Ratkaistaan tästä a. Koska eksponenttifunktion kantaluku a on positiivinen, on oltava a. Nyt 8 8 f (8) ( ). 56 Kuvista I, II ja III vain kuvassa III on eksponenttifunktio. Kuvaajalla on piste (, 4) joten se on funktion f kuvaaja.

14 609. a) log 8 on se eksponentti, johon luku pitää korottaa, jotta saadaan 8. 8 = 9 9 = = 4, joten log 8 = 4. b) log 5 5 on se eksponentti, johon luku 5 pitää korottaa, jotta saadaan 5. Siis log 5 5 =. c) log7 7 on se eksponentti, johon luku 7 pitää korottaa, jotta saadaan 7 7. Siis log 7 7. d) log 6 5 on se eksponentti, johon luku 6 pitää korottaa, jotta saadaan 5. log6 5 Kun luku 6 nyt sitten korotetaan tähän potenssiin, saadaan 6 5. e) log on se eksponentti, johon luku pitää korottaa, jotta saadaan. Siis log =. f) log k on se eksponentti, johon luku k pitää korottaa, jotta saadaan luku. Siis log k = 0.

15 60. a) ln e 7 = log e e 7 = 7 b) lg00 lg, lg 00,,0000 lg, lg log00 4 c) ln e + ln ln e = log e e + 0 (ln + ln e ) = ln log e e = ln = ln d) ln5 ln5 loge 5 e e e 5 e) log 6 + log 6 = log 6 ( ) = log 6 6 = lg log on se eksponentti, johon luku 0 pitää korottaa, jotta saadaan f) 0 Siis lg

16 6. a) 7 = 49 7 = (7 ) 7 = 7 6 = 6 b) 4 + = 0,5 ( ) : c) 5 0, 5 (5 ) : d) = 8 : = 9 = =

17 e) = : = 7 = log 7 Toinen tapa: = : = 7 ln = ln 7 ln = ln 7 :ln = ln 7 ln f) e = 6 loge 6 : loge 6 ln 6 Tätä lauseketta voi halutessaan sieventää: ln 6 ln 6 ln 6 ln 6 ln 6 tai ln 6 ln 6 ln 6 ln 6 Toinen tapa: e 6 ( e ) 6 e 6 log 6 ln 6 e

18 6. a) ln5 ln5 log 5 (ln5) e 5 f e e e b) Selvitetään ensin, mitä on e. e 9 ( e ) e Nyt saadaan e e e ( e ). 7 7 Toinen tapa: Selvitetään ensin, mitä on. e 9 loge 9 : ln 9 ln 9 ln 9 ln 9 ln tai ln 9 ln ln ln Nyt saadaan ln ln ln e e e e e. 7 7

19 6. Vuotuinen korko,5 % tarkoittaa korkokerrointa,05. Nyt vuoden kulutta rahaa on kertynyt, euroa. Ratkaistaan, milloin rahaa on kertynyt , = : Tapa, log 4,05 ln 4 9,... ln,05 Tapa, ln,05 ln 4 4 ln, 05 ln ln, 05 ln 4 9,... ln, 05 Aikaa on siis 0 vuotta 64. Vuonna 970 aikaa on kulunut 0 vuotta, eli f(0) = A a 0 = A = 56 (miljoonaa). vuonna 00 aikaa on kulunut 40 vuotta, eli f(40) = 56 a 40 = 59. Yhtälön 56 a 40 = 59 ratkaisu on a Koska kantaluku a 56 on positiivinen saadaan a Vuonna 00 aikaa on kulunut 60 vuotta. 60 f (60) , Väkiluku on siis noin 68 miljoonaa. Ratkaistaan milloin väkiluku on 00 miljoonaa. Yhtälön ratkaisu on = 64, 56 Väkiluku ylittää siis 00 miljoonan rajan kun vuodesta 970 on kulunut vähän reilu 64 vuotta, eli vuonna 04.

20 6. Trigonometriset funktiot LUVUN 6. YDINTEHTÄVÄT 65. a) 7 kulma on siis yli = 80 mutta alle,5 = 70. Siis 5 5 kulma A on kuvassa IV. 8 9 on hieman alle = 80, eli B on kuvassa I Kulma C 70 on negatiivinen ja ainoa myötäpäivään kulkeva kulma on kuvassa II. D 90 on kuvassa III b) 80 6, siis A = I , siis B = IV , siis C = III , siis D = VI

21 66. a) Sinin arvo saadaan suoraan taulukoiduista arvoista. sin( ) b) c) d) e) f) g) tan( 7 ) tan( ) tan( ) tan( ) cos( ) cos(4 ) cos( 4) cos( ) tan( ) tan( ) 6 6 sin( 5 ) sin( 5 ) ( ) 4 4 cos( n ) cos( ) cos( ) 0 tan( 0) tan( ) 6 6 h) tan(405 ) tan(580 ) tan(5 )

22 67. a) sin(α 00) = sin(α 50 ) = sin a = 0, b) sin( α) = sin α = 0, c) sin ( α) = sin α = 0, d) cos (β + 8) = cos β = 0,4 e) cos( β) = cos β = 0,4 f) cos( β) = cos β = 0,4 g) h) sin cos 0, cos 0,04 cos cos 0,96 cos 0,96 cos 0,98 sin cos sin 0,4 sin 0,6 sin 0,84 sin 0,84 sin 0,9

23 68. Ratkaistaan sin yhtälön sin + cos = avulla. sin ( ) 5 sin 5 sin 4 5 sin 4 5 sin 5 Koska, sin < 0. Siis sin 5 tan sin 5 5 cos 5 5 sinsincos ( ) ( ) cos cos ( )

24 69. a) b) sin : Arvo löytyy taulukosta. n tai n 4 4 n, n 4 cos : Arvo löytyy taulukosta. n tai n, n c) tan : Arvo löytyy taulukosta. 5 n, n d) e) sin : Arvo löytyy taulukosta. n tai n n 6 n n6, n cos( ) cos 7 n 7 6 n : 7 n 7 tai n 7 8 n : 7 4 n, n 7

25 f) tan 00 : Arvoa ei löydy taulukosta. Etsitään siis yksi ratkaisu laskimen avulla.,56... n : 0,50... n 0,5 n, n 60. Kaikkien merkittyjen leikkauspisteiden y-koordinaatti on. Pisteiden - koordinaatit ovat yhtälön cos( ) ratkaisuja; kaksi suurinta negatiivista ratkaisua ja kolmanneksi pienin positiivinen ratkaisu. cos( ) cos( ) n tai n n n n n 6 6 Taulukoidaan arvoja. n 5 n n Pisteiden koordinaatit ovat C (, ). 6 A (, ), 6 B ( 7, ) ja 6

26 Luvun 6 vahvistavat ja syventävät tehtävät VAHVISTAVAT TEHTÄVÄT 6. a) ln = log e = = e e b) log = täsmälleen silloin, kun 8 c) d) 0,0974 lg0,0974 lg0, lg 0, lg log00 4 ln a log e a e a e a a a a

27 6. a) f () sin 0 cos ( ) sin 9 sin( 4) sin f ( 9 ) cos 9 cos( 4) cos 0 b) Koska kyseessä on kolmion kulmat, niiden summa on = 80 6 = 80 : 6 = 0 Kulmat ovat siis 0, 60 ja 90. Lasketaan pyydetty sinien summan neliö. (sin 0 + sin 60 + sin 90 ) ( ) ( ) ( )

28 6. a) Rationaalifunktion nollakohdat ovat ne osoittajan nollakohdat, joilla funktio on määritelty. Koska osoittaja on nyt aina positiivinen, sillä ei ole nollakohtia. Väite on siis tosi. b) Väïte on epätosi. Esimerkiksi f( ) täyttää annetut ehdot, mutta funktion lauseke ei sievene ensimmäisen asteen polynomiksi. c) Osamäärän arvo on positiivinen täsmälleen silloin, kun osoittaja ja nimittäjä ovat samanmerkkiset. Väite on siis tosi. d) Jos P(a) = 0, niin myös Q(a) = 0, jolloin funktiota f ei ole määritelty nimittäjän nollakohdassa = a. Koska a ei siis voi olla funktion nollakohta. Väite on siis tosi. 64. Suplementtikulmien sinit ovat yhtä suuret. Siis A III Suplementtikulmien kosinit ovat toistensa vastaluvut. Siis B I Aina sin α + cos α =. Siis C I log a = täsmälleen silloin, kun = a. Siis D III Koska a 0 =, aina kun a 0, pätee log a = 0. Siis E I Merkitään log = a. Nyt log = log + log = + log. Siis F I.

29 65. a) Epäyhtälöllä voi olla ratkaisuja vain kun 0 eli kun. 4 4( ) 0 4( ) Ratkaistaan osoittajan nollakohdat. + 5 = 0, josta = 5. Tehdään merkkikaavio Epäyhtälön 5 0 siis < 5. ja samalla epäyhtälön 4 ratkaisu on b) Yhtälöllä voi olla ratkaisuja vain, kun 0. ( )( ) 4 a b a b ( ) ( ) ( ) 0 0 tai 0 = Näistä vain = 0 toteuttaa ehdon 0. Yhtälön ratkaisu on siis = 0.

30 Toinen tapa: Yhtälöllä voi olla ratkaisuja vain, kun 0. ( )( ) ( ) 0 0 tai 0 Näistä vain = 0 toteuttaa ehdon 0. Yhtälön ratkaisu on siis = 0. =

31 66. a) Yhtälöllä voi olla ratkaisuja vain kun > 0 ja kun + > 0, eli kun >. Molemmat ehdot toteutuvat kun > 0. ln ln( ) ln ln( ( )) ln 0 tai 4 ( ) 9 Näistä vain = toteuttaa ehdon > 0. Yhtälön ratkaisu on siis =. b) Yhtälöllä voi olla ratkaisuja vain, kun + 0 > 0 eli kun > 0 mistä edelleen > 5, ja kun > 0. Molemmat ehdot toteutuvat, kun > 0. lg(0) lg lg : Ratkaisu täyttää ehdon > 0. Yhtälön ratkaisu on siis 5. 49

32 Toinen tapa: lg(0) lg log log 0 log : Ratkaisu täyttää ehdon > 0. Yhtälön ratkaisu on siis 5. 49

33 67. a) Yhtälö voidaan ratkaista tulon nollasäännön avulla. (e )(e ) = 0 e = 0 tai e = 0 e = e = e = e 0 = log e = 0 = ln b) (e )(e ) = (e ) e e + = (e ) e = 0 e (e ) = 0 e = 0 tai e = 0 ei ratkaisua e = = log e = ln c) Parillinen juuri voidaan laskea vain positiivisesta luvusta, joten yhtälöllä voi olla ratkaisuja vain, kun e 0. Ratkaistaan, milloin näin on. e 0 e : e e on kasvava log e ln ( 0,69) e 4 4 e 4 4 e ( e ) ( ) e e e : e log e ln (,)

34 Ratkaisu täyttää ehdon ln. Yhtälön ratkaisu on siis ln. Toinen tapa: e 4 4 e 4 4 e ( e ) ( ) e e e : e log e ln Tarkistetaan toteuttaako ratkaisuehdokas alkuperäisen yhtälön. 4 ln ln log e e ( e ) ( e ) ( ) ln e 4 4 Yhtälön ratkaisu on siis ln.

35 68. a) tan on kulman tangenttipisteen y-koordinaatti. Siis tan =. b) tan ( ) = tan = c) tan ( + 0) = tan = d) Ratkaistaan kuvan kolmiosta hypotenuusan pituus c. c c 5 c 5 (tai c 5) Koska kuva perusteella sin. 5 0, saadaan e) Edellisen kohdan laskujen perusteella saadaan cos. 5 e) sin( ) sin. 5

36 69. a) Pisteen A y-koordinaati saadaan suoraan annetun tiedon perusteella. A (, ). Koska ainoa sallittu keino etsiä pisteen -koordinaatti on trigonometristen kaavojen käyttäminen, hyödynnetään sitä tietoa, että kehäpisteen -koordinaatti on kulman kosini, ja että sin α + cos α =. sin cos cos cos 4 cos 4 cos 4 cos Koska kulma on. neljänneksessä cos. Näin ollen A (, ). Pisteen B y-koordinaatti on sama kuin pisteellä A, joten niiden sinit ovat samat. Suplementtikulmilla on sama sini, joten piste B on kulman suplementtikulman kehäpiste. Koska suplementtikulmien kosinit ovat toistensa vastaluvut, pisteen B -koordinaatti on pisteen A - koordinaatin vastaluku. Siis B (, ). Pisteen D -koordinaatti on sama kuin pisteellä A, joten niiden kosinit ovat samat. Vastakulmilla on sama kosini, joten piste D on kulman vastakulman kehäpiste. Koska vastakulmien sinit ovat toistensa vastaluvut, pisteen D y-koordinaatti on pisteen A y-koordinaatin vastaluku.

37 Siis D (, ). Pisteen C -koordinaatti on sama kuin pisteellä B, joten niiden kosinit ovat samat. Vastakulmilla on sama kosini, joten piste C on pistettä B vastaavan kulman vastakulman kehäpiste. Koska vastakulmien sinit ovat toistensa vastaluvut, pisteen C y-koordinaatti on pisteen B y- koordinaatin vastaluku. Siis D (, ). Tehtävänannon mukaan pistettä A vastaa kulma. Pistettä B vastaa kulman A suplementtikulma. Pistettä C vastaa pisteen B vastakulma. Tämä ei ole pyydetyllä välillä. Samaa pistettä vastaa pyydetyn välin kulma 4. Pistettä D vastaa pisteen A vastakulma. Tämä ei ole pyydetyllä välillä. Samaa pistettä vastaa pyydetyn välin kulma 5. b) P (,sin ) (, ) Q (,sin ) (, ) R ( 4,sin 4 ) ( 4, ) Q ( 5,sin 5 ) ( 5, )

38 60. a) Merkitään vektorin päätepistettä kirjaimella B, jolloin saadaan OB i j i sin( ) j 4i j j 4i j Vektorin päätepiste on siis (4, ) b) Merkitään vektorin päätepistettä kirjaimella B, jolloin saadaan OB i j i sin j 4i j j 4 i ( ) j Vektorin päätepiste on siis (4, ). c) Merkitään vektorin päätepistettä kirjaimella B, jolloin saadaan OB i j i sint j 4 i ( sin t) j Päätepisteen -koordinaatti on siis koko ajan 4. Koska 0 t, sin t käy läpi kaikki arvo väliltä [, ]. Tämän arvon muuttuminen vaikuttaa vain pisteen B y-koordinaattiin, joka on siis välillä [, + ] = [, ]. Vektorin päätepiste on siis pisteiden (4, ) ja (4, ) välisellä janalla.

39 6. a) Funktio on määritelty, kun + 0, eli kun. 88 ( 44) ( ) ( ) 4 Funktio f ei ole määritelty, kun =, ja ( ) + 4 = 0, joten suoran piste (, 0) ei ole funktion f kuvaajalla. b) Funktio on määritelty, kun 0, eli kun ja kun 0 ja kun 0. Kaikki ehdot toteutuvat väleillä 0 < ja >. ) ( ) ( ) Funktio f on määritelty kun 0 < ja >, joten piste (, ) ei ole suoralla, eikä yksikään piste (, ), jossa 0.

40 6. Koska lausekkeen halutaan olevan määritelty täsmälleen silloin kun, on juurrettavan oltava ei-negatiivinen tällä välillä. Koska 0 tällä välillä, eräs tehtävänannon määrittelyehdon täyttävä funktio on f ( ) c. Etsitään sitten vakiolle c sellainen arvo, että funktio f täyttää myös ehdon f() =. c c Voidaan siis valita f( ). Toinen tapa: Merkitään f ( ) a b. Määritetään vakioiden a ja b arvot, siten, että funktio täyttää tehtävänannon ehdot. f() ab, joten on oltava a + b = 4, eli b = 4 a. Siis f ( ) a4 a. Funktio f on määritelty kun a + 4 a 0 eli kun a a 4. Tämän epäyhtälön ratkaisun halutaan olevan. On siis oltava a < 0. Nyt saadaan jakamalla luvulla a a a 4 : a 0 4. a Näin ollen saadaan yhtälö 4, jonka ratkaisu on a =. a Voidaan siis valita f( ) 6.

41 6. a) Rationaalifunktion nollakohdat on ne osoittajan nollakohdat, joissa lauske on määritelty. Määritetään nollakohdat. Yhtälön = 0 ratkaisu on 5 tai. 4 Funktiolla f on siis yksi nollakohta silloin, kun funktiota ei ole määritelty jommallakummalla näistä luvuista eli kun jompikumpi on nimittäjän g nollakohta. Eräs tämän ehdon täyttävä funktio on g ( ) 5. b) Jotta funktion f kuvaajan pisteet ovat suoralla, osoittaja ja nimittäjä pitää pystyä supistamaan samalla ensimmäisen asteen polynomilla ( 5)(4 ) ( ) f g ( ) g ( ) g ( ) Jos nimittäjäksi valitaan + 5, niin silloin lauseke sievennee muotoon 4, mutta tämän kulmakerroin on positiivinen. Valitaan siis g() = ( + 5), jolloin saadaan 7 5 ( 5)(4 ) ( ) f 4. (5) (5) Voidaan siis valita erimerkiksi g() = ( + 5) = 5 c) Osoittaja on aina määritelty, joten se ei vaikuta funktion f määrittelyjoukkoon. Etsitään siis nimittäjään lauseke, jolla saadaan haluttu ehto. Etsitään nimittäjä juurimuotoisesta lausekkeesta: g ( ) h ( ), jolle h() > 0 kun > ja kun <. Eräs tällainen funktio on ylöspäin aukeava paraabeli ( + )( ) = 9. Voidaan siis valita g( ) 9.

42 d) Etsitään nimittäjä juurimuotoisesta lausekkeesta: g ( ) h ( ), jolle h() > 0 kun >. Eräs tällainen funktio. Voidaan siis valita g ( ). 64. a) e sin = e e sin = e sin = sini on kehäpisteen y-koordinaatti n, n b) e sin = e sin = e 0 sin = 0 sini on kehäpisteen y-koordinaatti n, n Toinen tapa: e sin = e sin = e 0 sin = 0 sini on kehäpisteen y-koordinaatti 0n tai 0n n n, n c) cos 0,5 cos cos cos kosini on kehäpisteen -koordinaatti n, n d) cos = 4 cos = cos = Koska aina cos, yhtälöllä ei ole ratkaisua.

43 65. a) f() = log () = log + log = + log = + f() = f() + b) < f() < < + e < 0 < e < Eksponenttifunktiona aina e > 0. Riittää siis osoittaa, että e <, kun < <. e e Koska e =,7. ja < <, niin e > e tällä välillä. Näin ollen osoittaja ja nimittäjä ovat molemmat positiivisia, ja nimittäjä on osoittajaa suurempi. Siis. e

44 66. a) Epäyhtälöllä voi olla ratkaisuja vain kun 4 0, eli kun 4, josta edelleen. Tällöin epäyhtälön molemmat puolet ovat einegatiiviset ja puolittain neliöön korotetulla epäyhtälöllä on samat 4 ratkaisut kuin alkuperäisellä yhtälöllä : Kaikki nämä luvut toteuttavat ehdon on 5., joten epäyhtälön ratkaisu 4 b) Epäyhtälöllä voi olla ratkaisuja vain kun 0, eli kun, josta edelleen. Tällöin epäyhtälön molemmat puolet ovat einegatiiviset ja puolittain neliöön korotetulla epäyhtälöllä on samat ratkaisut kuin alkuperäisellä yhtälöllä. 4 :( ) Näistä luvuista kaikki eivät toteuta ehtoa. Tämä ehto huomioiden saadaan epäyhtälön ratkaisuksi. c) Neliöjuuren arvo on aina ei-negatiivinen, joten epäyhtälöllä 7 ei ole ratkaisua.

45 67. a) cos = kosini on kehäpisteen -koordinaatti n : n, n Näistä välillä [, ] ovat ja. b) tan( ) tan n, n 6 Tämä tarkoittaa kulmia...,,,,, Näistä välillä [, ] on 6 Toinen tapa tan( ) n 6 5 n, n 6..., 5, 5, 5, 5, , Näistä välillä [, ] on 6

46 c) Yhtälön korottaminen puolittain kolmanteen potenssiin ei vaikuta sen ratkaisuihin sin () sin 8 sin n : tai n n : n 6 5 n, n Taulukoidaan kulmia, että löydetään välillä [, ] olevat ratkaisut. n n 5 n Välillä [, ] ovat siis ratkaisut ja 5.

47 68. a) Neliöjuuri on määritelty, kun 0 eli kun. Juuren arvo on ei-negatiivinen, kun 0, eli kun. Molemmat ehdot toteutuvat vain, kun =. Kun =, saadaan 0 0 Yhtälön ratkaisu on siis =. Toinen tapa: Korotetaan yhtälön molemmat puolet neliöön. ( ) 0 ( ) 0 0 tai Tarkistetaan, toteuttavatko ratkaisuehdokkaan alkuperäisen yhtälön. 0 0 = 0 ei toteuta = 0 0 toteuttaa Yhtälön ratkaisu on siis =.

48 b) Neliöjuuri on määritelty, kun 0 eli kun. Juuren arvo on ei-negatiivinen, kun 0. Tämä toteutuu kaikilla muuttujan arvoilla. Molemmat ehdot toteutuvat, vain kun. Korotetaan yhtälö puolittain neliöön. ( ) 0 ( ) 0 0 tai 0 Molemmat luvut toteuttavat ehdon. Yhtälön ratkaisu on siis = 0 tai =. Toinen tapa: Korotetaan yhtälön molemmat puolet neliöön. ( ) 0 ( ) 0 0 tai 0 Tarkistetaan, toteuttavatko ratkaisuehdokkaan alkuperäisen yhtälön. 0 0 = 0 toteuttaa = 0 0 toteuttaa Yhtälön ratkaisu on siis = 0 tai =.

49 c) Neliöjuuri on määritelty, kun 0 eli kun. Yhtälöllä voi siis olla ratkaisuja vain, kun. ( ) 4 tai Yhtälössä molemmat puolet ovat ei-negatiiviset, joten se voidaan korottaa puolittain toiseen, kun. 0 Tämä toteuttaa ehdon, joten se on alkuperäisen yhtälön ratkaisu. Koska juuren arvo on aina ei-negatiivinen, yhtälöllä ei ole ratkaisuja. Siis yhtälön ( ) 4 ratkaisu on = 0. Toinen tapa: ( ) 4 tai ei ratkaisua 0 Tarkistetaan toteuttaako ratkaisuehdokas = 0 alkuperäisen yhtälön. ( 0 ) ( ) 4 Siis yhtälön ratkaisu on = 0.

50 69. a) Kantaluvun k tulee toteuttaa ehto k > 0, k. log k = log k + log k log k = log k logk 4 4 k k 4 Tämä luku toteuttaa ehdon k > 0, k. Siis k = 4. Toinen tapa: Kantaluvun k tulee toteuttaa ehto k > 0, k. log k + = log k + log k k = log k k Siis log k = log k k = k : 4 = k Tämä luku toteuttaa ehdon k > 0, k. Siis k = 4. b) Kantaluvun k tulee toteuttaa ehto k > 0, k. log k 5 = 5 k 5 k 0 k 5 k 5 k 5 k 5 Kun otetaan huomioon ehto k > 0, k,saadaan vastaukseksi Toinen tapa: logk5 logk5 log k( ) 5 Koska log ( ) k, on oltava 5 k. 5 k. 5

51 640. a) e > 0 kaikilla muuttujan arvoilla, joten e + a > 0 aina kun a > 0. Koska positiivisten lukujen tulo on aina positiivinen, tulo (e + )(e + )(e + ) (e + 00) on arvoltaan positiivinen. b) e + on aina positiivinen, joten tulon merkki riippuu vain lausekkeen e e merkistä. Koska e on kasvava e < e kun <, ja niin tällöin e e < 0. Positiivisen ja negatiivisen luvun tulo on negatiivinen, joten tulo (e + )(e ) on negatiivinen, kun <.

52 64. a) e > e (e ) e > 0 e (e ) > 0 Koska e > 0 aina, tulo on positiivinen täsmälleen silloin, kun e > 0. e > 0 e > e on kasvava > ln Toinen tapa e > e : e > 0 e > e on kasvava > ln b) Muokataan alempaa yhtälöä. = 8 y = ( ) y = y = y Sijoitetaan tämä ylempään yhtälöön. + y = 4 y + y = 4 5y = 4 : 5 y 4 5 Nyt y Yhtälöryhmän ratkaisu on siis ja 5 y 4. 5

53 64. a) e e ( e ) ( e ) ( e ) ( e ) ( e ) e ( e ) 0 ( e ) e ( e ) ( e ) e e ( e ) ( e e ) e e e e, sillä e e 0 Toinen tapa: a b täsmälleen silloin, kun a 0 ja b 0 ja b = a. Koska e y > 0 kaikilla y, niin ( e e ) ( e ) e e ( e ) 0 e e e e e e e e e 0 ja e e 0. b) Jos a = 0, funktiota f ei ole määritelty, kun = 0. Siis on oltava 0. f( + ) = f() a + = a a a = a : a 0 a = Yhtälö toteutuu kaikilla muuttujan arvoilla, kun a =.

54 64. Matti vaihtoi ratkaistavan kulman kesken ratkaisun. sin n tai 5 n 6 6 Teppo unohti jakaa kaikki termit jakaessaan kolmella n tai 5 n 6 6 n tai 5 n 8 8 Oikea ratkaisu sin 0 sin n tai 5 n 6 6 n 5 n, n ( )( ) ( ) ) ( ) )

55 645. a) Vakio A > 0 on ainoa joka vaikuttaa funktion f arvojoukkoon. Funktion f arvojoukko on [ A, A]. Vakio C on ainoa, joka vaikuttaa funktion f perusjaksoon. Funktion f perusjakso on. C Vakio A > 0 skaalaa kuvaajaa pystysuunnassa korkeammaksi tai matalammaksi. Se ei siirrä kuvaaja, ainoastaan venyttää tai kutistaa. Vakio C skaalaa kuvaavaa vaakasuunnassa, eli tihentää tai harventaa sinifunktion kuvaajan heilahtelua. Vakio D siirtää kuvaajaa vaakasuunnassa. b) Koska funktion f arvojoukko on [, ], voidaan valita A = Koska funktion f perusjakso on 4, saadaan 4, C minkä perusteella C. Siis tähän asti on saatu f ( ) sin( D). Valitaan sopiva D sen tiedon avulla, että f(0) =. f(0) sin( D) täsmälleen silloin, kun sin D =. Valitaan siis D. Tarkistetaan vielä piirtämällä, että näin muodostetun funktion f( ) sin( ) kuvaaja on sama kuin tehtävänannon kuvassa.

56 c) sin sin + sin + 4 Perusjakso saadaan kertomalla muuttuja kahdella. Voidaan siis valita f() = sin +. Tarkistetaan tämä vielä kuvan avulla a) Kerroin ei vaikuta kosinifunktion perusjaskoon, joten se on. cos cos Arvojoukko on [, ]. b) Kerroin puolittaa sinifunktion perusjakson, joten perusjakso on. sin sin Arvojoukko on [0, ]. c) Kerroin lyhentää kosinifunktion perusjakson kolmasosaan joten perusjakso on. cos cos + 4 cos Arvojoukko on [, 6].

57 647. a) sin = sin sin cos + sin = 0 sin (cos + ) = 0 sin = 0 tai cos + = 0 = n cos = n tai n, n Taulukoidaan ratkaisuja n = + n n n 0 4 Välilllä ], [ on siis ratkaisu.

58 Toinen tapa sin = sin sin = sin( ) = + n tai = ( ) + n = n : = + n n, n Taulukoidaan ratkaisuja n = + n n 0 4 Välilllä ], [ on siis ratkaisu.

59 b) cos + cos = 0 cos +cos = 0 merkitään cos = t t + t = 0 t + t = 0 4 ( ) t t tai t t = t = cos = cos = = + n, n n tai n, n Taulukoidaan ratkaisuja n = + n n n 0 4 Välilllä ], [ on siis ratkaisu.

60 Toinen tapa: cos + cos = 0 cos = cos cos = cos ( ) = + n tai = ( ) + n = + n : = + n n, n Taulukoidaan ratkaisuja n = + n n Välilllä ], [ on siis ratkaisu.

61 c) cos + sin = 0 cos + sin cos = 0 cos ( + sin ) = 0 cos = 0 tai + sin = 0 n sin 7 n tai 7 n 6 6 n, n 6 Taulukoidaan ratkaisuja n n 7 n n Välilllä ], [ on siis ratkaisut, ja

62 648. a) tan tan( ) 0 tan tan( ( )) tan tan( ) n n, n b) cos sin 0 cos sin Sini ja kosini eivät saa arvoa nolla yhtä aikaa, joten yhtälö ei toteudu silloin, kun cos = 0. cos sin : cos 0 sin cos tan :( ) tan 5 n, n 6 c) sin cos( ) sin cos( ( )) sin sin( ) n tai ( ) n n : n :( ) n n, n (Ratkaisu n voidaan kirjoittaa myös muodossa n )

63 649. a) Yhtälöllä voi olla ratkaisuja vain kun > 0. ( + ln ) = + ln = tai + ln = ln = 0 ln = = e 0 = e = Molemmat luvut toteuttavat ehdon > 0. Yhtälön ratkaisu on siis = tai = e. b) Yhtälöllä voi olla ratkaisuja vain kun > 0 ja kun 5 > 0. Nämä ehdot toteutuvat täsmälleen silloin, kun > 0. ln ln 5 + = 0 ln 5 ln + = 0 ln = : ( ) ln e e Luku toteuttaa ehdon > 0. Yhtälön ratkaisu on siis e.

64 Toinen tapa: Yhtälöllä voi olla ratkaisuja vain kun > 0 ja kun 5 > 0. Nämä ehdot toteutuvat täsmälleen silloin kun > 0. 5 ln 0 ln 5 ln e kerrotaan ristiin, 0 e e Vai positiivinen vaihtoehto toteuttaa ehdon > 0. Yhtälön ratkaisu on siis e. c) 9tan :9 tan tan tai tan tan tan n 5 n, n 6 6 9tan Kun ln a b 7, niin silloin a a b 7 e. Kun luku b nyt kasvaa yhdellä lukuun b +, niin luku luvuksi b 7 b 7 b 7 b 7 b 7. e e e e e e e e a b 7 e muuttuu Luku a muuttuu siis e -kertaiseksi.

65 65. a) sin + sin cos = 0 sin (sin + cos ) = 0 sin = 0 tai sin + cos = 0 = n sin = cos cos 0 sin cos tan n, n 4 b) sin + sin + = 0 merkitään sin = t t + t + = 0 t t tai t t = sin = n t sin 7 n tai 7 n 6 6 n, n 6

66 65. a) Luvut ovat niin isoja, että niitä ei voida verrata ottamalla likiarvot laskimella. Koska logaritmifunktio ln on kasva, ln a < ln b täsmälleen silloin, kun a < b. Verrataan siis lukujen logaritmeja. ln e 000 = 000 ln 9876 = 9876 ln = 0849,8 Siis luku B on suurempi. Toinen tapa. Luvut ovat niin isoja, että niitä ei voida verrata ottamalla likiarvot laskimella. Lukuja voidaan nyt verrata kirjoittamlala ne saman kantalvuun avulla. Käyteään kantalukua e. A = e log 9876 ln ln ( e B e ) ( e ) e Eksponentissa olevan luvun likiarvo voidaan nyt laskea laskimella ln 0849,8... B e e Koska eksponenttifunktio e on kasvava, niin Siis luku B on suurempi. e 0849,8... e b) Luvut ovat niin isoja, että niitä ei voida verrata ottamalla likiarvot laskimella. Koska logaritmifunktio ln on kasva, ln a < ln b täsmälleen silloin kun a < b. Verrataan siis lukujen logaritmeja. ln ln 6 499,0... ln ln 7 507,... Siis luku B on suurempi.

67 65. Koska sin + cos =, saadaan cos = sin. f() = sin cos + = sin ( sin ) + = sin + sin 0 sin 0 sin + sin + Siis funktion f arvot eivät laita lukua tai ylitä lukua. f() = täsmälleen silloin, kun sin = 0, eli kun sin = 0. Näin käy kun n, n Integraalilla pinta-ala olisi (sin sin )d d. Tämä 0 0 sievennetty määrätty integraali kertoo välillä [0, ] positiivisia arvoja saavan funktion ja -akselin välillä [0, ] rajaaman alueen pinta-alan. Tämä alue on suorakulmainen kolmio, jonka kanta on ja korkeus. Joten sen pinta-ala on.

68 655. a) Koska f( + ) = f() kaikilla, kyseessä on jaksollinen funktio, jonka jakso on. Eräs tällainen funktio on sin () ja toinen tällainen funktio on cos (). sin ( 0) = sin 0 = 0, joten se ei kelpaa. cos ( 0) = cos 0 =, joten se kelpaa. Voidaan siis valita f() = cos (). Kaikki tehtävänannon ehdot täyttävät funktiot kelpaavat. b) Muistetaan, että logaritmille pätee log a y = log a + log a y. Lisäksi logaritmifunktio log a on määritelty, kun > 0. Funtioksi f voidaan siis valita mikä tahansa funktio f() = log a, a > 0, a. Valitaan vaikkapa f() = ln. Kaikki tehtävänannon ehdot täyttävät funktiot kelpaavat.

69 656. a) Vektorin OP cost i sin t j loppupisteen P koordinaatit on P = (cos t, sin t). Muistetaan, että yksikköympyrällä kehäpisteen -koordinaatti on kulman kosini ja kehäpisteen y-koordinaatti on kulman sini. Piste P on siis yksikköympyrällä. Kun kulma t käy läpi kaikki kulmat välillä [0, ], piste P käy läpi kaikki yksikköympyrän pisteet. Ne siis muodostavat yksikköympyrän, eli ympyrän jonka keskipiste on origossa ja säde on yksi, eli käyrän + y =. Tarkistetaan asia piirtämällä ohjelmalla liu un avulla pisteitä (cos t, sin t) kun 0 t. b) Jatkamalla a-kohdan päättelyä, kun kulma t käy läpi arvot [0, ], piste P käy läpi vain yksikköympyrän -akselin yläpuolisen osan, eli muodostuu käyrä + y = jossa y 0. Tämä voidaan kirjoittaa myös muodossa y josta saadaan y. Tarkistetaan asia piirtämällä ohjelmalla liu un avulla pisteitä (cos t, sin t) kun 0 t.

70 c) Jatkamalla a-kohdan päättelyä, kun kulma t käy läpi arvot [, ], piste P käy läpi vain yksikköympyrän -akselin alapuolisen osan, eli muodostuu käyrä + y = jossa y 0. Tämä voidaan kirjoittaa myös muodossa y josta saadaan y. Tarkistetaan asia piirtämällä ohjelmalla liu un avulla pisteitä (cos t, sin t) kun t.

71 657. Kolmion suurin kulma on aina pisintä sivua vastaan, joten tylpän kulman vastainen sivu on 9. Kulman α kosini saadaan kosinilauseella cos cos Ratkaistaan kulman sini. sin cos sin sin Koska kulma on tylppä, sen sini on positiivinen, siis sin. Kolmion pinta-ala on A 56sin 56 0.

72 658. Piirretään tilanteesta kuva. ja Eli f (). ja Eli f () 4. ) Tarkastellaan funktion f suurinta arvoa. Tarkastellaan ensin välin päätekohta =. Funktio f ei voi saada funktiota suurempia arvoja, joten sen suurin arvo on enintään 4. Pienimmillään kohdassa = funktio f saa arvon. Eli sen suurin arvo on vähintään. Välin alkukohdassa = ei saada tätä suurempia arvoja. Missään välin < < kohdassa ei voida saada arvoa 4 suurempia arvoja. Näin ollen funktion f suurin arvo on välillä [, 4]. ) Tarkastellaan funktion f pienintä arvoa. Tarkastellaan ensin välin alkukohta =. Funktio f ei voi saada funktiota pienempiä arvoja, joten sen pienin arvo on vähintään. Suurimmillaan kohdassa = funktio f saa arvon. Eli sen pienin suurin arvo on enintään Välin loppukohdassa = ei saada tätä pienempiä arvoja. Missään välin < < kohdassa ei voida saada arvoa pienempiä arvoja. Näin ollen funktion f pienin arvo on välillä [, ].

73 ) Tarkastellaan yhtälöitä f() = ja f() =,5. Funktion pienin arvo on välillä [, ] = [,4 ; ] ja suurin arvo välillä [,4]. Molemmat luvut ja,5 ovat tällä välillä. Eli yhtälöillä voisi olla ratkaisuja. Muta kuitenkin esimerkiksi funktio f() = täyttää tehtävänannon ehdot. Tällä valinnalla yhtälöillä f() = ja f() =,5 ei ole ratkaisuja. Ei siis voida sanoa, että yhtälöille löytyy ratkaisuja a) Logaritmi on määritelty silloin kun > 0. = 0 ( ) = 0 = 0 tai = Funktio on siis määritelty kun 0 < <. Luonnollinen logaritmi saa suuriman arvonsa, kun se lasketaan mahdollisimman suuresta luvusta. Alaspäin aukeava paraabeli saa suurimman arvonsa huipussa, joka on nollakohtien puolivälissä kohdassa. funktion suurin arvo on siis f ( ) ln( ( ) ) ln 9. 4 b) Neliöjuuri on määritelty silloin kun = 0 (7 ) = 0 = 0 tai = 7 Funktio on siis määritelty kun 0 7. Neliöjuuri saa suuriman arvonsa, kun se lasketaan mahdollisimman suuresta luvusta. Alaspäin aukeava paraabeli saa suurimman arvonsa huipussa, joka on nollakohtien puolivälissä kohdassa 7. funktion suurin arvo on siis f ( 7 ) 7 7 ( 7 )

74 660. Merkitään mopoilijan nopeutta km/h. Mopoilijalta kului 58 km matkaan 58 h. Nyt autoilijan nopeus on km/h. Autoilijalta kuluin 58 km matkaan 58 h 9 h. Koska 40 min 40 h h, 60 saadaan yhtälö Tämän yhtälön ratkaisu on 4,5 (km/h). Mopon keskinopeus oli siis 4,5 km/h ja auton 87 km/h.

75 66. a) Merkitään alkuperäistä aineen määrää kirjaimella M ja vuotuisen muutoksen prosenttikerrointa kirjaimella k. Saadaan yhtälö 9 k M M. Tämän yhtälön ratkaisu on k 9 0, Aineesta siis häviää 0,9764 = 0,06,4 % vuodessa. Aine on vähentynyt kolmannekseen, kun M 9 M. Tämän yhtälön ratkaisu on t= 45,96 Aikaa kuluu siis noin 46 vuotta. b) Kohdan a perusteella aineenmäärä kuvaa funktio f() t M 9. Kirjoitetaan tämä lauseke pyydetyssä muodossa. 9 t ln 9 ln 9 t t f() t M M ( e ) M e Siis ln 9, mistä saadaan ln 9. Tätä lauseketta voi halutessaan myös sieventää. 9 9 ln ln ln( ) ln( ) ln( ) ln t t

76 Toinen tapa: Kohdan a perusteella aineenmäärä kuvaa funktio f() t M 9. Kirjoitetaan tämä lauseke pyydetyssä muodossa. t f() t M 9 ln 9 t M ( e ) M e M e M e M e M e M e Siis ln. 9 ln 9 t ln( ) 9 t ln( ) t 9 ln() t 9 ln t 9 ln t 9 t

77 66. a) Merkitään valon intensiteettiä veden pinnanan tasolla kirjaimella M ja jokaisen metrin aiheuttaman muutoksen prosenttikerrointa kirjaimella 5 k. Saadaan yhtälö k M M. Tämän yhtälön ratkaisu on k 0, Valon intensiteetti siis vähenee 0,870 = 0,9... % jokaista metriä kohden. b) 7,5 metrin syvyydessä valonintensiteetti on M M 0,78... Eli jäljellä on 8 % vedenpinnan intensiteetistä. 5 7,5

78 66. Piirretään tilanteesta kuva. Kuvan merkinnöillä tehtävässä kysytään lukua, kun a + b = 8. Kirjoitetaan luvut a ja b muuttujan avulla. Pythagoraan lauseella saadaan b 4,0 b b 6 (tai 6 ). a (4,0 ),0 a 8 7 (tai a 8 7 ). Saadaan siis yhtälö ab Tämän yhtälön ratkaisu on = 0,9 tai 5,0. Näistä vaon 0,9 on mahdollinen arvo, sillä seinänkorkeus on 5 m. Kaapeli on siis nurkan kohdalla cm korkeudella maasta.

79 664. Logaritmi on määritelty kun sin > 0, eli täsmällen silloin kun sin 0, eli kun n, n. Yhtälö ln sin = 0 toteutuu kun sin = eli kun sin = tai kun sin =. Nämä yhtälöt toteutuvat, kun n, n. Kaikki nämä kulmat toteuttavat ehdon n, n. Yhtälön f() = 0 ratkaisu on siis n, n cos cos cos 7 Lausekkeen 4 + cos arvo on siis välillä [, 7]. Näin ollen lauseke 5 saa suurimmillaan arvon cos ja pienimillään arvon 5. 7 Arvo 5 saadaan, kun 4 + cos =, eli kun cos =. Näin käy kun n, n. Arvo 5 saadaan kun 4 + cos = 7, eli kun cos =. 7 Näin käy kun n, n.

80 666. Lauseke a on määritelty kun a + 0 eli kun a. Lähdetään ratkaisemaan yhtälöä. cos acos cos acos ( a)cos Yhtälö ei toteudu, jos a 0, eli jos a. Näin ei käy millään a:n arvolla, eli kerroin a 0. ( a) cos : ( a) cos a Koska cos, yhtälöllä voi olla ratkaisuja vain kun. Tämän kaksoisepäyhtälön ratkaisu on a 0. a Kaikki nämä luvut toteuttavat ehdon a. Yhtälöllä on siis ratkaisuja kun a 0.

81 667. Sijoitetaan pisteet koordinaatistoon. Kuvan perusteella suora ei sovi malliksi. Kokeillaan.,., asteen polynomeja. Sekä toisen, että kolmannen asteenpolynomit näyttät kuvaavan tilannetta hyvin. Valitaan malliksi toisen asteen polynomifunktio. Kun nopeus on 90 km/h mallin mukainen kulutus on f(90) = 5,95 6,0 litraa.

82 Etsitään ohjelman toiminnolla pienin kulutus. Mallin mukaan kulutus on pienin kun nopeuden ollessa noin 68 km/h. Vastaukset riippuvat valitus polunomimallin asteesta.

83 668. Koska kehältä valitun pisteen korkeus nousee ja laskee säännöllisesti ympyrän kehällä, kuvataan sen korkeutta funktion f() = Asin(C + D) + B avulla. Määritetään vakiot A, B, C ja D. Kehän etäisyys pyörimisakselista, eli kehäympyrän säde on 5 m ja halkaisija 50 m. Kehän laki on 54 m korkeudessa. Näin ollen alin korkeus on 54 m 50 m = 4m. Siis 4 f() 54. Tämän tiedon avulla saadaan vakiot A ja B. sin(c + D) 5 (ympyrän säde) 5 5sin(C + D) sin(C + D) Maailmanpyörä pyörähtää täyden kierroksen 6 minuutissa, eli funktion f perusjakso 6, josta 6C C ja edelleen C. Määritetän vakio D sen tiedon avulla, että f(0) = 4. f (0) 5sin( 0 D) 9 5sin( D) 9 4 5sin D 5 : 5 sin D Eräs tämän ehdon täyttävä luku on. Siis f ( ) 5sin( ) 9.

84 Tarkistetaan piirtämällä, että kuva näyttää siltä miltä pitääkin. Määritetään, milloin tarkastelupiste on 0 m korkeudella, eli ratkaistaan yhtälö 5sin( ) 9 0. Kaksi ensimmäistä ratkaisua ovat ensimmäisen kierroksen aikana, joten etsitään yhtälön välillä 0 < < 6 olevat ratkaisut. Saadaan =,48 min min 9 s ja = 4,85 min 4 min 5 s.

85 669. a) Kuuloskynnyksellä 0 db saadaanyhtälö 0 0lg I I. Ratkaistaan tästä kipukynnystä vastaava intensiteetti I. 0 0lg I :0 I0 log I 0 I0 I 0 I0 I0 I 0 I 0 Kipukynnyksen desibelimäärän intensiteetti on siis 0 -kertainen. b) Intensiteetillä I pätee L 0lg I I. Kun intensiteetti 000-kertaistuu lukuun 000I saadaan desibelilukemaksi 0lg 000I 0lg(000 I ) I0 I0 0(log0000 lg I ) I0 0( lg I ) I0 0 0lg I I0 0 L Desibelilukema siis kasvaa 0:llä. 0 0

86 c) Arvolla 85 db saadaan yhtälö lg I ja 5 db:llä kasvanut 90 I 0 db:n arvolla saadaan yhtälö intensiteetit. I lg :0 I0 I85 8,5 log0 I0 I85 8,5 0 I0 I0 8,5 I 0 I 85 0 I Ratkaistaan näistä 90 0lg 5 I lg :0 I0 9 log I I I I I0 I I 9 0 I 0 Lasketaan sitten intensiteettien suhde. 9 I I0 0 98,5 0,5 0 0,6... 6,...% 8,5 8,5 I 0 I Intensiteetti on siis kasvanut noin 6 %.

87 SYVENTÄVÄT TEHTÄVÄT 670. Hahmotellaan kulmia 5 asteen välein yksikköympyrään. (Käytetyt komennot syötekentässä ovat: ^+y^= A=(0,0) Jono((cos(n ),sin(n )),n,5,80,5) Jono(Jana(A,L(n)),n,,80/5,) Koska cos α on kehäpisteen -koordinaatti, huomataan, että yhteenlaskussa löytyy pareittain kulmat, joiden -koordinaatit ovat toistensa vastaluvut, eli niiden summa on nolla. Suplementtikulmien kosinit ovat toistensa vastaluvut, joiden summa on nolla. Näin saadaan cos + cos 79 = 0 cos + cos 78 = 0 cos + cos 77 = 0 cos 89 + cos 9 = 0 Ainoat kulmat, jotka eivät näin kumoudu ovat cos 90 = 0 ja cos 80 =. Siis cos + cos + cos + + cos 80 =.

88 67. f ab f ab e e e e ( ab ab ab ab e e e e ) ab ( ab) ab ( ab) ( ) ( ) ( ) ( ) Tarkistetaan sitten, mitä toinen lauseke antaa, jotta tiedetään, mihin tähdätään. a a ( ) ( ) ( ) b b f a f b e e ( e e ) ( a a )( b b e e e e ) ( a b a b a b a b e e e e e e e e ) ( ab ab ab ab e e e e ) Tämä on täsmälleen sama, kuin edellä, joten on osoitettu, että tällä funktiolla f(a + b) + f(a b) = f(a)f(b).

89 67. a) Logaritmi log y on määritelty kun > 0 kun y > 0, y. Logaritmi log y on määritelty, kun y > 0 kun > 0,. Kaikki ehdot ovat voimassa, eli yhtälö muodostaa käyrän, kun > 0, y > 0 ja 0 ja y 0. Koordinaatiston ensimmäisessä neljänneksessä on > 0 ja y < 0. Näin lausekkeiden määrittelyehdoista nähdään, että käyrä sijaitsee kokonaisuudessaan koordinaatiston ensimmäisessä neljänneksessä. b) Muokataan yhtälöä kirjoittamalla molemmat logaritmit saman kantaluvun avulla. Valitaan kantaluvuksi. log y log y log log y log y log y log y0 log y (log y) (log y) log y log y y y y y Käyrä siis koostuu kahdesta osasta, suorasta y = ja hyperbelistä y, kun > 0 ja, mikä kuvastakin näkyy.

90 Toinen tapa: Muokataan yhtälöä kirjoittamalla molemmat logaritmit saman kantaluvun avulla. Valitaan kantaluvuksi y. log y log y log y y log y log y log l y log y 0 log y (log y ) log y log y y y y y, 0, y 0 y y Käyrä siis koostuu kahdesta osasta, suorasta y = ja hyperbelistä y, kun > 0 ja, mikä kuvastakin näkyy. Kolmas tapa: Muokataan yhtälöä kirjoittamalla molemmat logartimit saman kantaluvun avulla. Koska ja y, kaikilla luvuilla k > 0 ja k pätee log k 0 ja log k y 0. Kantaluvuksi voidaan siis valita mikä luku k > 0, k tahansa. Valitaan kantaluvuksi e. log y log y ln ln y kerrotaan ristiin, ln 0,ln y ln y ln (ln ) (ln y) ln ln y ln ln y y ln ln y y y, 0, y 0 y y Käyrä siis koostuu kahdesta osasta, suorasta y = ja hyperbelistä y, kun > 0 ja, mikä kuvastakin näkyy.

91 67. a) Vektorin ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan täsmälleen silloin, kun niiden pistetulo on nolla. ab (cos sin )(cos sin ) (sin cos )(sin cos ) cos cossin sincos sin sin sincos cossin cos cos sin (cos sin ) 0 b) Kun 0 saadaan a (cos0 sin 0) i j (sin 0 cos0) k ( 0) i j (0 ) k i j k b (cos0 sin 0) i j (sin 0 cos0) k ( 0) i j (0 ) k i j k Nyt satb s( i j k) t( i j k) ( s ti ) ( st) j( st) k st Tästä saadaan yhtälöryhmä s t st 0. Kaksi ensimmäistä yhtälöä eivät voi toteutua samoilla vakioiden s ja t arvoilla, joten yhtälöryhmällä ei ole ratkaisua. Ei siis ole kertoimia s ja t, joila i j sa tb.

92 674. Muokataan funktioin lauseketta taulukosta löytyviä kaavoja käyttäen. f() = sin + sin + sin = sin 4sin + sin cos + sin = 4sin 4sin + sin cos = sin (4 4sin + cos ) = 0 sin = 0 eli n, n tai 4 4sin + cos = 0 4 4( cos ) + cos = cos + cos = 0 cos (cos + ) = 0 cos = 0 tai cos + = 0 cos = 0 cos n, n n, tai n n Siis n tai n tai n n n tai

93 675. Taulukosta löytyvän kaavan avulla saadaan sin( ) sin cos cossin sin cos Koska kaksinkertaisen kulman sinille on vain yksi kaava, muokataan lauseketta seuraavaksi sen avulla. sin cos sin cos cos sin cos cos Tästä päästään eteenpäin tiedon tan =, eli sin, avulla, sillä nyt cos sin = cos. sin cos cos cos cos cos cos cos Valitaan kaksinkertaisen kulman kosinin kaavoista se, jossa on vain cos. cos cos cos (cos ) cos cos ( )cos Koska nyt sin = cos ja aina sin + cos =, saadaan 4cos + cos =, mistä edelleen cos. 5 Siis ( )cos ( ) Siis sin( )

94 676. tan tan sin cos cos cos cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos cos sin cos cos sin cos sin( ) sin

95 sin tan cos tan sin cos cos sin cos cos cos sin cos cos cos sin cos cos sin cos cos sin cos cos( ) cos cos 677. cos t = cos(t + t) = cos t cos t sin t sin t = cos t(cos t ) sin t sin t cos t = cos t cos t sin t cos t = cos t cos t ( cos t)cos t = cos t cos t cos t + cos t = 4cos t cos t 8 6 = 0 8cos 6cos (4cos cos ) (cos( )) 9 (cos( )) 0

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0 Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8.9.07 Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) K. a) b) c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 6 6 a a a, a > 0 6 6 a

Lisätiedot

Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77

Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77 Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07 Kertaus K. a) sin 0 = 0,77 b) cos ( 0 ) = cos 0 = 0,6 c) sin 50 = sin (80 50 ) = sin 0 = 0,77 d) tan 0 = tan (0 80 ) = tan 0 =,9 e)

Lisätiedot

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio 4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Tutkitaan yhtälöiden ratkaisuja piirtämällä funktioiden f(x) = x, f(x) = x 3, f(x) = x 4 ja f(x) = x 5 kuvaajat. Näin nähdään, monessako

Lisätiedot

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0 Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 K. a) b) c) d) 6 6 a a a, a > 0 6 6 a a a a, a > 0 5 5 55 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 a a a a a ( a ) a a a, a > 0 K.

Lisätiedot

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin

Lisätiedot

Tekijä MAA2 Polynomifunktiot ja -yhtälöt = Vastaus a)

Tekijä MAA2 Polynomifunktiot ja -yhtälöt = Vastaus a) K1 a) Tekijä MAA Polynomifunktiot ja -yhtälöt 6.8.016 ( + + ) + ( ) = + + + = + + + = + 4 b) 4 4 ( 5 + ) ( 5 + 1) = 5 + + 5 + 1 4 = + + + 4 = + 5 5 1 1 Vastaus a) 4 + b) 4 + 1 K a) f ( ) = + 1 f () = +

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π

Lisätiedot

2 Toisen asteen polynomifunktio

2 Toisen asteen polynomifunktio Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4.5.017 Toisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Merkitään taulukon pisteet koordinaatistoon ja hahmotellaan niiden kautta kulkeva

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla

Lisätiedot

Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x 1 ja x 2 on voimassa ehto:

Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x 1 ja x 2 on voimassa ehto: 4 Reaalifunktiot 4. Funktion monotonisuus Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x ja x on voimassa ehto: "jos x < x, niin f (x

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: 1 Funktio 1.1 Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet: 1 1. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä.

Lisätiedot

1 Rationaalifunktio , a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen.

1 Rationaalifunktio , a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen. Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 Rationaalifunktio. a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen. f (50) 50 8 50 4 8 50 500 400 4 400

Lisätiedot

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.8.016 3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) x + x + 1 = 4 (x + 1) = 4 Luvun x + 1 tulee olla tai, jotta sen

Lisätiedot

MAA02. A-osa. 1. Ratkaise. a) x 2 + 6x = 0 b) (x + 4)(x 4) = 9 a) 3x 6x

MAA02. A-osa. 1. Ratkaise. a) x 2 + 6x = 0 b) (x + 4)(x 4) = 9 a) 3x 6x MAA0 A-osa. Ratkaise. a) x + 6x = 0 b) (x + 4)(x 4) = 9 a) 3x 6x a) Kirjoitetaan summa x + 6x yhteisen tekijän avulla tulomuotoon ja ratkaistaan yhtälö tulon nollasäännön avulla. x + 6x = 0 x(x + 6) =

Lisätiedot

2 Raja-arvo ja jatkuvuus

2 Raja-arvo ja jatkuvuus Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.6 Raja-arvo ja jatkuvuus. a) Kun suorakulmion kärki on kohdassa =, on suorakulmion kannan pituus. Suorakulmion korkeus on käyrän y-koordinaatti

Lisätiedot

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion

Lisätiedot

Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0,

Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0, Kertausosa. a),6 60 576 Peruuttaessa pyörähdyssuunta on vastapäivään. Kulma on siis,4 60 864 a) 576 864 0,88m. a) α b 0,6769... 0,68 (rad) r,m 8cm β,90...,9 (rad) 4cm a) α 0,68 (rad) β,9 (rad). a) 5,0

Lisätiedot

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a)

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a) Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6 Kertaus Integraalifunktio ja integrointi KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) ( )d C C b) c) d e e C cosd cosd sin C K. Funktiot F ja F ovat saman

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka a) Ratkaistaan nimittäjien nollakohdat. ja x = 0. x 1= Funktion f määrittelyehto on x 1 ja x 0.

Tekijä Pitkä matematiikka a) Ratkaistaan nimittäjien nollakohdat. ja x = 0. x 1= Funktion f määrittelyehto on x 1 ja x 0. Tekijä Pitkä matematiikka 6 9.5.017 K1 a) Ratkaistaan nimittäjien nollakohdat. x 1= 0 x = 1 ja x = 0 Funktion f määrittelyehto on x 1 ja x 0. Funktion f määrittelyjoukko on R \ {0, 1}. b) ( 1) ( 1) f (

Lisätiedot

* Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa * Trigonometristen funktioiden kuvaajat

* Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa * Trigonometristen funktioiden kuvaajat Trigonometria. a) Määrittele trigonometriset funktiot. b) Vertaa trigonometristen funktioiden ominaisuuksia määritys- ja arvojoukko sekä perusjakso). * Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa

Lisätiedot

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1.

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1. Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4..6 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. a) Funktion f( ) = määrittelyehto on +, eli. + Ratkaistaan funktion nollakohdat. f(

Lisätiedot

määrittelyjoukko. log x piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä millä korkeudella tangentti leikkaa y-akselin.

määrittelyjoukko. log x piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä millä korkeudella tangentti leikkaa y-akselin. MAA8 Juuri- ja logaritmifunktiot 70 Jussi Tyni 5 a) Derivoi f ( ) e b) Mikä on funktion f () = ln(5 ) 00 c) Ratkaise yhtälö määrittelyjoukko log Käyrälle g( ) e 8 piirretään tangeti pisteeseen, jossa käyrä

Lisätiedot

Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot.

Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot. 7 Sovelluksia 90 a) Koska sin saa kaikki välillä [,] olevat arvot, niin funktion f ( ) = sin pienin arvo on = ja suurin arvo on ( ) = b) Koska sin saa kaikki välillä [0,] olevat arvot, niin funktion f

Lisätiedot

1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio

1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio Ensimmäisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT. a) f(x) = x 4 b) Nollakohdassa funktio f saa arvon nolla eli kuvaaja kohtaa x-akselin. Kuvaajan perusteella funktion nollakohta on x,. c) Funktion f

Lisätiedot

Matemaattisen analyysin tukikurssi

Matemaattisen analyysin tukikurssi Matemaattisen analyysin tukikurssi 12. Kurssikerta Petrus Mikkola 5.12.2016 Tämän kerran asiat Sini-ja kosifunktio Yksikköympyrä Tangentti- ja kotangenttifunktio Trigonometristen funktioiden ominaisuuksia

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

2 Pistejoukko koordinaatistossa

2 Pistejoukko koordinaatistossa Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia

Lisätiedot

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus:

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus: . Koska F( ) on jokin funktion f ( ) integraalifunktio, niin a+ a f() t dt F( a+ t) F( a) ( a+ ) b( a b) Vastaus: Kertausharjoituksia. Lukujonot 87. + n + lim lim n n n n Vastaus: suppenee raja-arvona

Lisätiedot

= 9 = 3 2 = 2( ) = = 2

= 9 = 3 2 = 2( ) = = 2 Ratkaisut 1.1. (a) + 5 +5 5 4 5 15 15 (b) 5 5 5 5 15 16 15 (c) 100 99 5 100 99 5 4 5 5 4 (d) 100 99 5 100 ( ) 5 1 99 100 4 99 5 1.. (a) ( 100 99 5 ) ( ( 4 ( ) ) 4 1 ( ) ) 4 9 4 16 (b) 100 99 ( 5 ) 1 100

Lisätiedot

Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. Juurifunktio Ennakkotehtävät. a) = 6, koska 4 = 6 b) + = 6, eli = 4 c) + = + + =0 4 ( ) ( ) tai Ratkaisuista = ei toteuta alkuperäistä yhtälöä, koska. Luvun tulee siis olla. . a) b) f ( ) ( ) (6) 44 9

Lisätiedot

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän

Lisätiedot

Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin

Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin Yhtälöparit ja yhtälöryhmät 6. a) x y = 7 eli,y+, sijoitetaan alempaan yhtälöön x+ 7y = (, y+, ) + 7y =,y =, y = Sijoitetaan y = yhtälöparin ylempään yhtälöön.,

Lisätiedot

5 Rationaalifunktion kulku

5 Rationaalifunktion kulku Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 5 Rationaalifunktion kulku. Funktion f määrittelyehto on. Muodostetaan symbolisen laskennan ohjelman avulla derivaattafunktio f ja

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 110 Valitaan suoralta kaksi pistettä ja piirretään apukolmio, josta koordinaattien muutokset voidaan lukea. Vaakasuoran suoran kulmakerroin on nolla. y Suoran a kulmakerroin

Lisätiedot

A = (a 2x) 2. f (x) = 12x 2 8ax + a 2 = 0 x = 8a ± 64a 2 48a x = a 6 tai x = a 2.

A = (a 2x) 2. f (x) = 12x 2 8ax + a 2 = 0 x = 8a ± 64a 2 48a x = a 6 tai x = a 2. MATP53 Approbatur B Harjoitus 7 Maanantai..5. (Teht. s. 9.) Neliön muotoisesta pahviarkista, jonka sivun pituus on a, taitellaan kanneton laatikko niin, että pahviarkin nurkista leikataan neliön muotoiset

Lisätiedot

B-OSA. 1. Valitse oikea vaihtoehto. Vaihtoehdoista vain yksi on oikea.

B-OSA. 1. Valitse oikea vaihtoehto. Vaihtoehdoista vain yksi on oikea. B-OSA 1. Valitse oikea vaihtoehto. Vaihtoehdoista vain yksi on oikea. 1.1 Mitä voidaan sanoa funktion f raja-arvosta, kun x a? I Raja-arvo on f(a), jos f on määritelty kohdassa a. II Raja-arvo on f(a),

Lisätiedot

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4 KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + ( 1) + 3 ( 1) 3 = 3 + 3 = 4 K. a) x 3x + 7x 5x = 4x + 4x b) 5x 3 (1 x ) = 5x 3 1 + x = 6x 4 c) (x + 3)(x 4) = x 3 4x + 3x 1 = x 3 + 3x 4x 1 Vastaus: a) 4x +

Lisätiedot

, c) x = 0 tai x = 2. = x 3. 9 = 2 3, = eli kun x = 5 tai x = 1. Näistä

, c) x = 0 tai x = 2. = x 3. 9 = 2 3, = eli kun x = 5 tai x = 1. Näistä Pitkä matematiikka 8.9.0, ratkaisut:. a) ( x + x ) = ( + x + x ) 6x + 6x = + 6x + 6x x = x =. b) Jos x > 0, on x = + x x = + x. Tällä ei ole ratkaisua. Jos x 0, on x = + x x = + x x =. c) x = x ( x) =

Lisätiedot

Ratkaisuja, Tehtävät

Ratkaisuja, Tehtävät ja, Tehtävät 988-97 988 a) Osoita, että lausekkeiden x 2 + + x 4 + 2x 2 ja x 2 + - x 4 + 2x 2 arvot ovat toistensa käänteislukuja kaikilla x:n arvoilla. b) Auton jarrutusmatka on verrannollinen nopeuden

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y.

Tekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 37 Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, ) on ( x 0) + ( y ). Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Merkitään etäisyydet yhtä suuriksi ja ratkaistaan

Lisätiedot

KERTAUSHARJOITUKSIA. 1. Rationaalifunktio a) ( ) 2 ( ) Vastaus: a) = = 267. a) a b) a. Vastaus: a) a a a a 268.

KERTAUSHARJOITUKSIA. 1. Rationaalifunktio a) ( ) 2 ( ) Vastaus: a) = = 267. a) a b) a. Vastaus: a) a a a a 268. KERTAUSHARJOITUKSIA. Rationaalifunktio 66. a) b) + + + = + + = 9 9 5) ( ) ( ) 9 5 9 5 9 5 5 9 5 = = ( ) = 6 + 9 5 6 5 5 Vastaus: a) 67. a) b) a a) a 9 b) a+ a a = = a + a + a a + a a + a a ( a ) + = a

Lisätiedot

3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO

3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO 3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO POHDITTAVAA 1. Kuvasta voidaan arvioida, että frisbeegolfkiekko käy noin 9 metrin korkeudella ja se lentää noin 40 metrin päähän. Vastaus: Frisbeegolfkiekko käy n. 9 m:n

Lisätiedot

Juuri 2 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 2 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus K. a) E Nouseva suora. b) A 5. asteen polynomifunktio, pariton funktio Laskettu piste f() = 5 =, joten piste (, ) on kuvaajalla. c) D Paraabelin mallinen, alaspäin aukeava. Laskettu piste f() =

Lisätiedot

Juuri 12 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 12 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.5.08 Kertaus K. a) Polynomi P() = + 8 on jaollinen polynomilla Q() =, jos = on polynomin P nollakohta, eli P() = 0. P() = + 8 = 54 08 +

Lisätiedot

1.1. YHDISTETTY FUNKTIO

1.1. YHDISTETTY FUNKTIO 1.1. YHDISTETTY FUNKTIO (g o f) () = g(f()) Funktio g = yhdistetyn funktion g o f ulkofunktio Funktio f = yhdistetyn funktion g o f sisäfunktio E.2. Olkoon f() = 2 + 3 ja g() = 4-5. Muodosta funktio a)

Lisätiedot

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja

Lisätiedot

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A) Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut

Lisätiedot

4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ

4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ POHDITTAVAA 1. Merkitään toisen neliön sivun pituutta kirjaimella x. Tällöin toisen neliön sivun pituus on

Lisätiedot

11 MATEMAATTINEN ANALYYSI

11 MATEMAATTINEN ANALYYSI Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 0.7.08 MATEMAATTINEN ANALYYSI ALOITA PERUSTEISTA 444A. a) Funktion arvot ovat positiivisia silloin, kun kuvaaja on x-akselin yläpuolella.

Lisätiedot

MAA2.3 Koontitehtävät 2/2, ratkaisut

MAA2.3 Koontitehtävät 2/2, ratkaisut MAA.3 Koontitehtävät /, ratkaisut. (a) 3x 5x 4 = 0 x = ( 5) ± ( 5) 4 3 ( 4) 6 (b) (x 4) = (x 4)(x + 4) (x 4)(x 4) = (x 4)(x + 4) x 8x + 6 = x 6 x 6 8x = 3 : 8 x = 4 = 5 ± 73 6 (c) 4 x + x + = 0 4 x + 4x

Lisätiedot

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p MAA..0 Muista kirjoittaa jokaiseen paperiin nimesi! Tee vastauspaperin yläreunaan pisteytysruudukko! Valitse kuusi tehtävää! Perustele vastauksesi välivaiheilla! Jussi Tyni Ratkaise: a) x x b) xy x 6y

Lisätiedot

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2018 Insinöörivalinnan matematiikan koe, , Ratkaisut (Sarja A)

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2018 Insinöörivalinnan matematiikan koe, , Ratkaisut (Sarja A) Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2018 Insinöörivalinnan matematiikan koe, 2952018, Ratkaisut (Sarja A) 1 Anna kaikissa kohdissa vastaukset tarkkoina arvoina Kohdassa d), anna kulmat

Lisätiedot

2) Kaksi lentokonetta lähestyy toisiaan samalla korkeudella kuvan osoittamalla tavalla. Millä korkeudella ja kuinka kaukana toisistaan ne ovat?

2) Kaksi lentokonetta lähestyy toisiaan samalla korkeudella kuvan osoittamalla tavalla. Millä korkeudella ja kuinka kaukana toisistaan ne ovat? 2..207 Määritelmä, (terävän kulman) trigonometriset funktiot: Suorakulmaisessa kolmiossa terävän kulman trigonometriset funktiot ovat: kulman sini hpotenuusa sin a c kulman kosini hpotenuusa kulman tangentti

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4 Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa A

Lisätiedot

Epäyhtälöt 1/7 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt

Epäyhtälöt 1/7 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt Epäyhtälöt 1/7 Sisältö Epäyhtälö Epäyhtälöllä tarkoitetaan ehtoa, missä kahdesta lausekkeesta toinen on suurempi tai mahdollisesti yhtä suuri kuin toinen: f(x) < g(x), f(x) g(x).merkit voidaan luonnollisesti

Lisätiedot

Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty YHTÄLÖITÄ ALOITA PERUSTEISTA A. Luku on yhtälön ratkaisu, jos luku toteuttaa yhtälön. a) Sijoitetaan luku = yhtälöön. 6 = 0 0 = 0 Yhtälö on tosi, joten = on yhtälön ratkaisu. Vastaus: on b) Sijoitetaan

Lisätiedot

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6 MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4).

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 212 Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Vastaus esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4) 213 Merkitään pistettä

Lisätiedot

5 Differentiaalilaskentaa

5 Differentiaalilaskentaa 5 Differentiaalilaskentaa 5.1 Raja-arvo Esimerkki 5.1. Rationaalifunktiota g(x) = x2 + x 2 x 1 ei ole määritelty nimittäjän nollakohdassa eli, kun x = 1. Funktio on kuitenkin määritelty kohdan x = 1 läheisyydessä.

Lisätiedot

Sini- ja kosinifunktio

Sini- ja kosinifunktio Sini- ja kosinifunktio Trigonometriset funktio voidaan määritellä muun muassa potenssisarjana tai yksikköympyrän avulla. Yksikköympyrään pohjautuvassa määritelmässä sini- ja kosinifunktion muuttujana pidetään

Lisätiedot

Koontitehtäviä luvuista 1 9

Koontitehtäviä luvuista 1 9 11 Koontitehtäviä luvuista 1 9 1. a) 3 + ( 8) + = 3 8 + = 3 b) x x 10 = 0 a =, b = 1, c = 10 ( 1) ( 1) 4 ( 10) 1 81 1 9 x 4 4 1 9 1 9 x,5 tai x 4 4 c) (5a) (a + 1) = 5a a 1 = 4a 1. a) Pythagoraan lause:

Lisätiedot

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b)

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b) MAA4 ratkaisut. 5 a) Itseisarvon vastauksen pitää olla aina positiivinen, joten määritelty kun 5 0 5 5 tai ( ) 5 5 5 5 0 5 5 5 5 0 5 5 0 0 9 5 9 40 5 5 5 5 0 40 5 Jälkimmäinen vastaus ei toimi määrittelyjoukon

Lisätiedot

k-kantaisen eksponenttifunktion ominaisuuksia

k-kantaisen eksponenttifunktion ominaisuuksia 3.1.1. k-kantaisen eksponenttifunktion ominaisuuksia f() = k (k > 0, k 1) Määrittely- ja arvojoukko M f = R, A f = R + Jatkuvuus Funktio f on jatkuva Monotonisuus Funktio f aidosti kasvava, kun k > 1 Funktio

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi 2

Matematiikan peruskurssi 2 Matematiikan peruskurssi Demonstraatiot III, 4.5..06. Mikä on funktion f suurin mahdollinen määrittelyjoukko, kun f(x) x? Mikä on silloin f:n arvojoukko? Etsi f:n käänteisfunktio f ja tarkista, että löytämäsi

Lisätiedot

Tehtävien ratkaisut

Tehtävien ratkaisut Tehtävien 1948 1957 ratkaisut 1948 Kun juna matkaa AB kulkiessaan pysähtyy väliasemilla, kuluu matkaan 10 % enemmän aikaa kuin jos se kulkisi pysähtymättä. Kuinka monta % olisi nopeutta lisättävä, jotta

Lisätiedot

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 6 Maanantai

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 6 Maanantai . (Teht. s. 93.) Määrää raja-arvo MATP53 Approbatur B Harjoitus 6 Maanantai 7..5 cos x x. Ratkaisu. Suora sijoitus antaa epämääräisen muodon (ei auta). Laventamalla päädytään muotoon ja päästään käyttämään

Lisätiedot

Mb8 Koe Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/2

Mb8 Koe Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/2 Mb8 Koe 0.11.015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/ Kokeessa on kaksi osaa. Osa A ratkaistaan tehtäväpaperille ja osa B ratkaistaan konseptipaperille. Osa A: saat käyttää taulukkokirjaa mutta et laskinta.

Lisätiedot

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5.

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5. TEHTÄVIEN RATKAISUT Luku 4.1 183. a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5. Lasketaan funktioon syötetyn luvun neliö: 5 = 5. Saatuun arvoon lisätään luku 1:

Lisätiedot

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2.1 Ensimmäisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Muuttujan x ensimmäisen asteen yhtälöksi sanotaan yhtälöä, joka voidaan kirjoittaa muotoon ax + b = 0, missä vakiot a ja b ovat reaalilukuja

Lisätiedot

4. Kertausosa. 1. a) 12

4. Kertausosa. 1. a) 12 . Kertausosa. a kun, : b kun, tai 8 . Paraabeli y a bc c aukeaa ylöspäin, jos a alaspäin, jos a a Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle a. Se aukeaa ylöspäin. b Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle

Lisätiedot

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö 3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö Yhtälön (tai funktion) y = a + b + c, missä a 0, kuvaaja ei ole suora, mutta ei ole yhtälökään ensimmäistä astetta. Funktioiden

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi 2

Matematiikan peruskurssi 2 Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat

Lisätiedot

1. Murtoluvut, murtolausekkeet, murtopotenssit ja itseisarvo

1. Murtoluvut, murtolausekkeet, murtopotenssit ja itseisarvo 1. Murtoluvut, murtolausekkeet, murtopotenssit ja itseisarvo Olkoot a, b, c mielivaltaisesti valittuja reaalilukuja eli reaaliakselin pisteitä. Ne toteuttavat seuraavat laskulait (ns. kunta-aksioomat):

Lisätiedot

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei. PITKÄ MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 7..07 NIMI: A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.. Valitse oikea vaihtoehto ja

Lisätiedot

3 Eksponentiaalinen malli

3 Eksponentiaalinen malli Eksponentiaalinen malli Eksponentiaalinen kasvaminen ja väheneminen 6. Kulunut aika (h) Bakteerien määrä 0 80 0 60 0 0 7 7 0 0 0 6. 90 % 0,90 Pienennöksiä (kpl) Piirroksen korkeus (cm) 0,90 6,0, 0,90 6,0,06,

Lisätiedot

Vinokulmainen kolmio. Hannu Lehto. Lahden Lyseon lukio

Vinokulmainen kolmio. Hannu Lehto. Lahden Lyseon lukio Vinokulmainen kolmio Hannu Lehto Lahden Lyseon lukio Yksikköympyrä ja suunnattu kulma Yksikköympyrä 1 y 0 x -1-1 0 1 Hannu Lehto 18. maaliskuuta 2008 Lahden Lyseon lukio 2 / 8 Yksikköympyrä ja suunnattu

Lisätiedot

7 Differentiaalilaskenta

7 Differentiaalilaskenta 7 Differentiaalilaskenta 7. Raja-arvo ja jatkuvuus LUVUN 7. YDINTEHTÄVÄT 70. a) lim f( ), lim f ( ) ja f(). b) lim f ( ), lim f ( ),5 ja lim f ( ) 5 Raja-arvoa kohdassa ei ole olemassa. c) Funktio on jatkuva

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 4.9.09 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alustavat hyvän vastauksen piirteet on suuntaa-antava kuvaus kokeen tehtäviin odotetuista vastauksista ja tarkoitettu ensisijaisesti

Lisätiedot

1.5. Trigonometriset perusyhtälöt

1.5. Trigonometriset perusyhtälöt Tämän asian otsake on takavuosina ollut Trigonometriset yhtälöt ja sen käsittely tuolloin ollut huomattavasti laajempi. Perusyhtälöillä tarkoitetaan muotoa sin x = a tan x = c cos x = b (cot x = d) olevia

Lisätiedot

0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan.

0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan. Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 168 a) Lasketaan vektorien a ja b pistetulo. a b = (3i + 5 j) (7i 3 j) = 3 7 + 5 ( 3) = 1 15 = 6 Koska pistetulo a b 0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan

Lisätiedot

Differentiaalilaskenta 1.

Differentiaalilaskenta 1. Differentiaalilaskenta. a) Mikä on tangentti? Mikä on sekantti? b) Määrittele funktion monotonisuuteen liittyvät käsitteet: kasvava, aidosti kasvava, vähenevä ja aidosti vähenevä. Anna esimerkit. c) Selitä,

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä merkittyjen (*) tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. a) Ratkaise epäyhtälö >.

Lisätiedot

Funktio 1. a) Mikä on funktion f (x) = x lähtöjoukko eli määrittelyjoukko, kun 0 x 5?

Funktio 1. a) Mikä on funktion f (x) = x lähtöjoukko eli määrittelyjoukko, kun 0 x 5? Funktio. a) Mikä on funktion f (x) = x + lähtöjoukko eli määrittelyjoukko, kun 0 x 5? b) Mikä on funktion f (x) = x + maalijoukko eli arvojoukko? c) Selitä, mikä on funktion nollakohta. Anna esimerkki.

Lisätiedot

RATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu.

RATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu. RATKAISUT 198 197 198. Olkoon suorakulmion erisuuntaisten sivujen pituudet a ja b sekä neliön sivun pituus c. Tehtävä on mielekäs vain, jos suorakulmio ei ole neliö, joten oletetaan, että a b. Suorakulmion

Lisätiedot

4 Polynomifunktion kulku

4 Polynomifunktion kulku 4 Polynomifunktion kulku. a) Funktio on kasvava jollakin välillä, jos sen arvo kasvaa tällä välillä. Kuvaajan nousemisen ja laskemisen perusteella funktio on kasvava kohtien x,4 ja x 0, välissä. b) Funktion

Lisätiedot

VASTAA YHTEENSÄ KUUTEEN TEHTÄVÄÄN

VASTAA YHTEENSÄ KUUTEEN TEHTÄVÄÄN Matematiikan kurssikoe, Maa6 Derivaatta RATKAISUT Sievin lukio Torstai 23.9.2017 VASTAA YHTEENSÄ KUUTEEN TEHTÄVÄÄN MAOL-taulukkokirja on sallittu. Vaihtoehtoisesti voit käyttää aineistot-osiossa olevaa

Lisätiedot

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1.

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1. ABIKertaus.. a. Ratkaise yhtälö 8 5 4 + + 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on. 4. Jaa polynomi 8 0 5 ensimmäisen asteen tekijöihin ja ratkaise tämän avulla 4 epäyhtälö 8 0 5 0.

Lisätiedot

Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto. Vastaus: a) 90 b) 60 c) 216 d) 1260 e) 974,03 f) ,48

Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto. Vastaus: a) 90 b) 60 c) 216 d) 1260 e) 974,03 f) ,48 Trigonometriset funktiot 169. Muutetaan asteet radiaaneiksi. 180 astetta on radiaaneina π eli 180 = π rad Tällöin 1 rad. 180 45 1 a) 45 180 4 4 65 1 b) 65 180 6 10 c) 10 180 5 5 d) 5 180 4 40 7 e) 40 180

Lisätiedot