Hyvä uusi opiskelija!

Save this PDF as:

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Hyvä uusi opiskelija!"

Transkriptio

1 Hyvä uusi opiskelija! Tässä tulee tärkeää tietoa heti syksyn alussa pidettävästä laskutaitotestistä. Matematiikka kuuluu tekniikan alan opiskelijan tärkeimpiin oppiaineisiin. Matematiikan opiskelu kehittää opiskelijan käsitteellistä ajattelua, loogista päättelyä ja ongelmanratkaisutaitoja. Tekniikan alan opiskelijan asiantuntijuus rakentuu matemaattis-luonnontieteelliselle perustalle. Matemaattiset taidot ovat keskeinen osa diplomi-insinöörin ammatillista osaamista. Matematiikka on kumulatiivinen oppiaine, missä uutta rakennetaan aina vanhasta muodostuvan perustan päälle. Matematiikan opinnoissa eteneminen edellyttää, että esitiedot ovat kunnossa. Yliopistotason matematiikan kursseilla opiskelijan oletetaan hallitsevan lukion pitkän matematiikan oppimäärä. Näitä asioita ei kerrata yliopistotason matematiikan kursseilla. Kaikki opiskelijat osallistuvat matematiikan esitietojen hallintaa mittaavaan laskutaitotestiin kurssin PLA Matematiikka P1 alussa viikolla 35. Laskutaitotesti kuuluu kurssin Matematiikka P1 suoritusvaatimuksiin. Tuloksen perusteella opiskelija saa palautetta osaamisensa tasosta ja sen riittävyydestä ajatellen yliopistotasoisten diplomi-insinöörin tutkintoon sisältyvien matematiikan kurssien suorittamista. Laskutaitotesti on 10:n tehtävän monivalintatesti. Jokaiseen tehtävään annetaan 4 vastausvaihtoehtoa, joista vain 1 on oikein. Kaikkiin tehtäviin ei tarvitse vastata. Laskutaitotesti arvostellaan siten, että oikeasta vastauksesta saa yhden pisteen (+1p), tyhjästä vastauksesta ei saa mitään (0p) ja väärästä vastauksesta menettää puoli pistettä (-0.5p). Tuloksen perusteella opettaja ohjaa opiskelijaa tarvittaessa täydentämään osaamistaan riittävälle tasolle. Jos laskutaitotestin tulos on -5p +4.5p, niin suositellaan vahvasti, että opiskelija osallistuu kurssille PLA Johdatus yliopistomatematiikkaan. Jos laskutaitotestin tulos on +5p +7.5p, niin kertaamisesta voisi olla hyötyä jatkoa ajatellen. Jos laskutaitotestin tulos on +8p +10p, niin opiskelijan esitiedot yliopistotason matematiikan opiskeluun ovat erinomaisessa kunnossa. Laskutaitotesti suoritetaan itsenäisesti ilman laskinta tai muuta sellaista apuvälinettä. Myöskään kirjallisuutta ei saa käyttää. Aikaa laskutaitotestin suorittamiseen on 60 minuuttia. Annamme oheisen monisteen, jotta voitte harjoitella ennen laskutaitotestiä. Moniste sisältää harjoitustehtäviä 12 eri matematiikan aihealueelta. Harjoitustehtävät on laadittu siten, että niiden ratkaisemiseen vaadittavia taitoja tarvitaan laskutaitotestissä. Laskutaitotestin tehtävät ovat monisteen harjoitustehtävien kaltaisia tehtäviä samoilta matematiikan aihealueilta. Koska laskutaitotestissä ei saa käyttää mitään apuvälineitä, tulee tehtävien ratkaisemista harjoitella kynällä ja paperilla. Jos monisteen harjoitustehtävät tuntuvat vaikeilta, niin kannattaa kerrata niitä lukion tai ammattikorkeakoulun matematiikan kurssikirjoja, missä on käsitelty monisteen harjoitustehtävien kaltaisia tehtäviä. Kurssi PLA Johdatus yliopistomatematiikkaan tarjoaa opiskelijalle erinomaisen tilaisuuden matematiikan opiskelun esitietojen hankkimiseen ja täydentämiseen. Kurssiin kuuluvien asioiden hallitseminen on edellytys kaikilla muilla matematiikan kursseilla käsiteltävien asioiden ymmärtämiselle ja omaksumiselle. Matematiikan opiskelun esitiedot käydään kurssilla perinpohjaisesti lävitse ja asiat eivät varmasti unohdu kurssin jälkeenkään. Opiskelijalla on kurssin suoritettuaan hyvät valmiudet yliopistotasoisten matematiikan kurssien menestyksekkääseen suorittamiseen. Kurssi Johdatus yliopistomatematiikkaan on suunniteltu suoritettavaksi ensimmäisenä opiskeluvuotena yhtä aikaa opintokokonaisuuden Matematiikka P1 ja Matematiikka P2 kanssa, joiden suorittamista se tukee. Opiskelija voi sijoittaa kurssin Johdatus yliopistomatematiikkaan DI-tutkinnon vapaasti valittaviin opintoihin. Jos sinulla on kysyttävää laskutaitotestistä, niin voit ottaa yhteyttä matematiikan yliopisto-opettaja Timo Rantaan Opettaja on tavoitettavissa to saakka ja taas ma eteenpäin. Matematiikan opettajat toivottavat kaikille hyvää kesää!

2 Laskutaitotestin harjoitustehtävät /14 Rationaalifunktiot 1. Kun polynomi 6x x 2 + 7x + 8 jaetaan polynomilla 2x + 3, jakojäännös on (a) 2 (b) 0 (c) 2 (d) Kun polynomi x 4 + 2x 2 x + 5 jaetaan polynomilla x 2, jakojäännös on (a) 17 (b) 5 (c) 22 (d) Kun polynomi 5x 4 + 6x 3 7x + 1 jaetaan polynomilla x 2 + x 1, jakojäännös on (a) 10x 5 (b) 10x + 5 (c) 5x 10 (d) 5x ( 1 4. Lauseke ) 1 x+1 x 2 +1 x (x 6 + x 5 + x 4 + x 3 ) sievennettynä on 3 (a) x 5 + x 4 + 3x 3 + x 2 + x + 1 (b) x 5 + 2x 4 + x 3 + 2x 2 + x + 1 (c) x 5 + x 4 + x 3 + x 2 + 3x + 1 (d) x 5 + 3x 4 + x 3 + x 2 + x + 1. ( 1 5. Lauseke + ) ( 1 x+1 x 1 / x 1 x 2 1 x) sievennettynä on (a) 2x (b) 2x 2 (c) 2/x (d) 2/x 2. Suorat 6. Suora s kulkee pisteiden ( 1, 3) ja (2, 1) kautta. Suoran s kulmakerroin on (a) 4 (b) 4/3 (c) 4/3 (d) 2/3. 7. Suora s kulkee pisteiden ( 1, 2) ja (3, 5) kautta. Suoran s yhtälö on (a) 4x+3y = 5 (b) 3x 4y+5 = 0 (c) 3x 4y+11 = 0 (d) y = 3(x 2)/4. 8. Suora s kulkee pisteen (3, 4) kautta ja sen kulmakerroin on 3/2. Suoran s yhtälö on (a) 3x+2y = 1 (b) 3x 2y = 1 (c) 3x+2y+5 = 0 (d) 2x/3+y 5 = Suoran s 1 yhtälö on 3x y + 5 = 0 ja suoran s 2 yhtälö on x + 3y 6 = 0. Suorien s 1 ja s 2 välinen leikkauskulma on (a) 30 (b) 60 (c) 45 (d) Pisteen (1, 2) kohtisuoraetäisyys suorasta y = x + 1 on (a) 1/ 2 (b) 2 (c) 2 (d) Suorien 4x + 3y = 0, x = 0 ja 2y 3 = 0 rajaaman kolmion pinta-ala on (a) 25/32 (b) 27/32 (c) 29/32 (d) 31/ Suorien x + y 1 = 0 ja y = x 1 välinen kohtisuoraetäisyys on (a) 1 (b) 3 (c) 8/5 (d) 2.

3 2/14 Laskutaitotestin harjoitustehtävät Mikä on sen suoran yhtälö, joka kulkee pisteen (1, 3) kautta ja on kohtisuorassa suoraa 2x 3y 5 = 0 vastaan? (a) 2x 3y + 6 = 0 (b) 3x + 2y + 3 = 0 (c) 2x y + 5 = 0 (d) 2x + y = Suorat 2x + 3y 4 = 0 ja ax + 2(a 1)y + 3 = 0 ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan, kun a:n arvo on (a) 3/4 (b) 3/4 (c) 4/3 (d) Suorien 2x y + 1 = 0, y = 10x 3 ja 10x + 2y = 9 yhteinen leikkauspiste on (a) (x, y) = ( 1, 3) (b) suorilla ei ole yhteistä leikkauspistettä (c) (x, y) = (2, 5) (d) (x, y) = (1/2, 2). Logaritmit 16. Tiedetään, että log k a = 4, log k b = 1 ja log k c = 2. Lausekkeen log k (a 3 b 5 c) arvo on (a) 15 (b) 19 (c) 27 (d) Lausekkeen ln 50 + ln ln 4 arvo on (a) 3 ln 5 ln 3 (b) ln 1215 (c) 3 ln 5 + ln 3 (d) ln Yhtälö log l 15 = 5 toteutuu, kun l:n arvo on (a) 5 15 (b) 5 3 (c) (d) Lausekkeen ((ln 25) 2 (ln 5) 2 )/ ln 5 arvo on (a) 5 (b) ln 10 (c) 3 ln 10 (d) 3 ln Yhtälö e 3x+2 = 2 toteutuu x:n arvolla (a) (2 + ln 2)/3 (b) ( 2 + ln 2)/3 (c) (2 ln 2)/3 (d) ( 3 + ln 2)/ Yhtälön log 4 x log 4 (x + 3) = 2 ratkaisu on (a) x = 1/10 (b) x = 1/5 (c) x = 1/4 (d) x = Lauseke e 2 ln cos x + (ln e sin x ) 2 sievenee muotoon (a) 2 sin 2 (2x) + cos(2x) (b) 1 (c) 0 (d) 1/(sin x cos x) Funktion ln(x/(2 + x)) määrittelyalue on (a) x < 0 (b) x > 2 (c) x < 2 x > 0 (d) 2 < x < Lauseke e 2x+3 ln x voidaan esittää muodossa (a) x 3 e 2x (b) xe 2x (c) 3x 2 e x (d) x 3 e x. 25. Lausekkeen arvo on log log log log log 10 (1/10) + log 10 (1/100) (a) 2 (b) 3 (c) 4 (d) 5.

4 Laskutaitotestin harjoitustehtävät /14 Eksponentit 26. Yhtälö 2 sin x = e cos x toteutuu x:n arvolla (a) tan 1 (ln 2 + nπ) (b) cot 1 (ln 2) + nπ (c) tan 1 (ln 2) + nπ/2 (d) cot 1 (1/ ln 2), missä n Z. 27. Yhtälön (2 x ) x 1 = 0 reaalinen ratkaisu on (a) log 2 ( 2 1) (b) log 3 ( 2 1) (c) log 2 ( 2 1) (d) ln Yhtälön (ln x) 3 2(ln x) 2 2 ln x = 0 ratkaisu on (a) e 1± 2 0 (b) e 2 0 (c) e 1 (d) e 1± Yhtälön 3 3x 3 2x+1 3 2x x 1 = 0 ratkaisut ovat (a) 1 2 (b) 1 2 (c) 2 1 (d) Yhtälö x = x toteutuu reaalisella x:n arvolla (a) ln(3/2) (b) ln(2) ln(3) (c) log 2 (2)/ log 2 (3) (d) ln(3)/ ln(2). 31. Yhtälön 3/ log 10 x = x 2 reaalinen ratkaisu on (a) 1/2 (b) 2/3 (c) 1 (d) 4/ Yhtälöparin 2 log 3 x + 4 log 4 y = 0, log 3 x + 8 log 4 y = 3/2 ratkaisu on (a) (x, y) = ( 1/ 2, 3) (b) (x, y) = (1/ 2, 3) (c) (x, y) = (1/ 3, 2) (d) (x, y) = ( 3, 1/ 2). 33. Yhtälöpari x log 10 x+log 10 y = 100, xy log 10 x = 1 ratkeaa, kun (a) (x, y) = (1, 100) (b) (x, y) = (100, 1) (c) (x, y) = (1/10, 1/10) (d) (x, y) = (1, 1/10). 34. Yhtälön 4 x+2 = 2 x2 +1 ratkaisut ovat (a) 1 1 (b) 1 3 (c) 3 1 (d) Yhtälön (ln 2) x+1 = (ln 5) ln 2 ratkaisu on (a) ln 2 ln(ln 5) ln(ln 2) 1 (b) ln 2 ln(ln 5) ln(ln 5) 1 (c) Derivointi ja tangenttisuorat ln 5 ln(ln 2) ln(ln 2) 1 (d) ln 10 ln(ln 5) ln(ln 2) Funktion f(x) = (x 3 3x 1) sin x derivaatta x:n suhteen on (a) 3 sin x x 2 cos x (b) 3(x 2 1) sin x (x 3 3x + 1) cos x (c) 3(x 2 1) sin x + (x 3 3x 1) cos x (d) (x 3 3x + 1) cos x. 37. Funktion f(t) = e xt2 3xt+x 2 derivaatta t:n suhteen on (a) (t 2 3t + 2x)e xt2 3xt+x 2 (b) (2xt 3x)e xt2 3xt+x 2 (c) e xt2 3xt+x 2 (d) e xt2 +x 2.

5 4/14 Laskutaitotestin harjoitustehtävät Funktion f(x) = cos x/x derivaatta x:n suhteen on (a) ( x sin x cos x)/x 2 (b) (x sin x + cos x)/x 2 (c) (sin x cos x)/x 2 (d) (x 2 sin x + cos x)/x Funktion f(x) = ln(ln x) derivaatta x:n suhteen on (a) 1/ ln x (b) 1/(x ln x) (c) 1/x (d) x/ ln x. 40. Funktion f(x) = x x derivaatta x:n suhteen on (a) x x (b) x x (1 + ln x) (c) x x (ln x 1) (d) x x (1 ln x). 41. Polynomin p(x) = x 3 + 3x 2 1 kuvaajan pisteen (1, 1) kautta kulkevan tangenttisuoran yhtälö on (a) y = 2x 3 (b) 3x + y 3 = 0 (c) 2x 3y + 2 = 0 (d) 3x y 2 = Suoran ympyräpohjaisen kartion tilavuus V saadaan lausekkeesta V = πr 2 h/3. Oletetaan, että säde r ja korkeus h ovat ajan t funktioita. Olkoon kartion korkeuden muutosvauhti h = dh/dt. Jotta kartion tilavuus ei muuttuisi, niin kartion säteen muutosvauhdin r = dr/dt on oltava (a) rh /(2h) (b) rh /(2h) (c) h /h (d) rh /h. 43. Mihin käyrän y = e x+1 pisteeseen asetetun tangentin kulmakerroin on 2? (a) (ln 2, 2e) (b) (0, e) (c) (ln 2 1, 2) (d) (ln 2 + 1, 2e 2 ). 44. Käyrälle y = 2x 3 + 4x 2 + x 1 pisteeseen ( 1, 0) asetetun tangentin yhtälö on (a) y = x/2 1/2 (b) y = x + 1 (c) y = 2x 2 (d) y = x Funktion f(x) = (sin x + cos x) 2 derivaatalla on välillä 0 x 90 nollakohtana (a) 0 (b) 45 (c) 30 (d) Funktion f(x) = 3 x 2 sin(2x) derivaatta x:n suhteen on (a) (b) (c) (d) 1/3(x 2 sin(2x)) 2/3 (2x sin(2x) x 2 cos(2x)) 3/4(x 2 sin(2x)) 4/3 (2x sin(2x) x 2 cos(2x)) 1/3(x 2 sin(2x)) 2/3 (2x sin(2x) + x 2 cos(2x)) 2/3(x 2 sin(2x)) 2/3 (x sin(2x) + x 2 cos(2x)). 47. Funktion f(x) = e 3 cos(2x 3 ) derivaatta x:n suhteen on (a) 6e 3 x 2 sin(2x 3 ) (b) 3e 2 sin(2x 3 ) (c) e 3 cos(2x 3 ) 6e 3 x 2 sin(2x 3 ) (d) 3e 2 cos(2x 3 ) 6e 3 x 2 sin(2x 3 ).

6 Laskutaitotestin harjoitustehtävät /14 Integrointi Integraalin 1 x2 1 dx arvo on (a) 8/3 (b) 0 (c) 1 (d) Funktion 3x 2 + 2x + 1 integraalifunktio, jonka kuvaaja kulkee pisteen ( 2, 1) kautta on (a) x 3 +2x 2 +1 (b) x 3 +2x 2 +x+3 (c) x 3 /2+x 2 +x+3 (d) x 3 +x 2 +x Funktion 2x 2 integraalifunktio, jonka kuvaaja erottaa x-akselista 4 pituusyksikön jänteen on (a) 2x 2 + 2x 15/2 (b) x 2 2x 3 (c) x 2 /2 + x 3/2 (d) x 2 /4 + 2x Funktion x/(x 2 + 1) 2 integraalifunktio, jonka kuvaajan käännepisteet ovat x-akselilla on (a) 1/(x 2 + 1) + 3 (b) 1/(2(x 2 + 1)) (c) 1/(x 2 + 1) + 3/8 (d) 1/(2(x 2 + 1)) + 3/ Olkoon F (x) se funktion f(x) = x 3 + 2x + 1 integraalifunktio, joka kohdassa x = 2 saa arvon 4. Määritä F ( 2). (a) 2/3 (b) 1 (c) 3/2 (d) Funktion ln x 2x 2 integraalifunktio on (a) ln(x 2 )+1 x 2 + C (b) ln x 1 2x + C (c) ln x+1 2x 2 + C (d) ln x 1 2x + C. 54. Määritä t siten, että 2t 0 xe(x2) dx = (e 1)/2. (a) t = 0 (b) t = 1 (c) t = ±1/2 (d) t = Paraabeli y 2 2y + x = 0 ja y-akseli rajoittavat alueen, jonka pinta-ala on (a) 1 (b) 2/3 (c) 1/2 (d) 4/ Käyrät y = x ja y = x 2 2x rajoittavat alueen, jonka pinta-ala on (a) π (b) 3 (c) 9/2 (d) Integraalin 2 1 (2/x + ex )dx arvo on (a) ln 4 + e 2 e (b) 2 ln 2 (c) 2 ln 2 + e 2 (d) ln 4 + e. Ääriarvot Oletetaan, että x ja y ovat reaalimuuttujia. 58. Kun 0 x 1, mikä on funktion f(x) = e (2+x x x) minimiarvo? (a) e 9/4 (b) e 2 (c) 1/2 (d) e 5/2

7 6/14 Laskutaitotestin harjoitustehtävät Seuraavista funktioista yksi on sellainen, että sillä on paikallinen minimi, kun 1 x 3. Mikä funktio? (a) f(x) = (x + 1)(x 1)(x 3) (b) f(x) = (x + 1)(x 1)(x 3) (c) f(x) = (x + 1)(x 1)(x + 3) (d) f(x) = (x + 1)(x 1)(x + 3) 60. Kahden ei-negatiivisen reaaliluvun summa on 10. Niiden kuutioiden summan minimiarvo on (a) 200 (b) 250 (c) 300 (d) On puoliympyrä, jonka halkaisija on 2r. Tähän puoliympyrään piirretään suorakulmio siten, että yksi sivu on puoliympyrän halkaisijan päällä. Mikä on tällaisen suorakulmion suurin mahdollinen ympärysmitta? (a) 3r/ 2 (b) 4r/ 5 (c) 3r 2 (d) 10r/ Missä pisteessä funktiolla f(x) = x 3 x on paikallinen minimi? (a) x = 1/ 3 (b) x = 1/ 3 (c) x = 1 (d) x = 3/8 63. Kahden metrin naru leikataan kahtia. Ensimmäisestä pätkästä muodostetaan neliö ja toisesta pätkästä muodostetaan ympyrä. Jos halutaan, että neliön ja ympyrän pinta-alojen summa on mahdollisimman pieni, niin mikä on sen pätkän pituus, josta neliö muodostetaan? (Kaikki pituudet metreinä.) (a) 4/(4 + π) (b) 2π/(4 + π) (c) 8/(4 + π) (d) 4/(2 + π) 64. Kun 1 x 10, mikä on funktion f(x) = x x + 27/ x minimiarvo? (a) 36 (b) 28 (c) 3 (d) Funktion f(t) = t 2 1 maksimiarvo välillä 2 t 1 on (a) 1 (b) 1 (c) 3 (d) Funktio F (x) = (x 2 8)e x saa pienimmän arvonsa x:n arvolla (a) 2 (b) 4 (c) ± 2 2 (d) 0.

8 Laskutaitotestin harjoitustehtävät /14 Yhtälöiden ratkaiseminen Oletetaan, että x ja y ovat reaalimuuttujia. 67. Tarkastellaan reaalifunktiota f(x) = (x 2)(x + 2)(x 2 2x + 2). Monessako eri pisteessä funktio f(x) leikkaa x-akselin? (a) 0 (b) 2 (c) 3 (d) Laske yhtälön e x x = e 2x e 2x e 2 ratkaisu(t). (a) x = 2 ± 2 (b) x = 2 ± 2 (c) x = 0, x = 4 (d) x = Laske yhtälön x/2 = 2x 2 ratkaisu(t). (a) x = 4/3, x = 5/4 (b) x = 1/2 (c) x = 4/3, x = 4/5 (d) ei ole ratkaisua 70. Laske yhtälön 6x = 2x 4 ratkaisu(t). (a) ei ole ratkaisua (b) x = 1 (c) x = 1/2, x = 1 (d) x = 1/2 71. Tarkastellaan reaalifunktioita f 1 ja f 2 : f 1 (x) = 2x + 1, f 2 (x) = αx x + 2. Millä vakion α arvoilla funktiot f 1 ja f 2 leikkaavat tasan yhdessä pisteessä? (a) α = 2 (b) α = 0, α = 1, α = 9 (c) α = 0, α = 1, α = 9 (d) α saa olla mikä tahansa reaaliluku 72. Tarkastellaan reaalifunktioita f 1 ja f 2 : f 1 (x) = αx + 1, f 2 (x) = x Millä vakion α arvoilla funktiot f 1 ja f 2 eivät leikkaa missään pisteessä? (a) α = 1/2 (b) α = 1/2 (c) α = 1 (d) α 1/ Laske yhtälöiden ratkaisu(t). 1 x + 1 y = 4 xy ja x y = 2 (a) (x, y) = (2, 6), (x, y) = (2, 0) (b) (x, y) = (1, 3) (c) (x, y) = ( 3, 1) (d) (x, y) = ( 1, 3)

9 8/14 Laskutaitotestin harjoitustehtävät Laske yhtälöiden ratkaisu(t). y = ln(2x) + 2 ja y ln x 2 = 1 (a) (x, y) = (e, ln 2 + 2) (b) (x, y) = (2e, ln 4 + 2) (c) (x, y) = (2e, ln 4 + 3) (d) (x, y) = (e 2, ln 4 + 2) 75. Tarkastellaan seuraavaa yhtälöä: (x + 3) 2 + (y 3) 2 = 9. Monessako pisteessä tämän yhtälön kuvaaja leikkaa y-akselin? (a) 3 (b) 2 (c) 1 (d) Mikä seuraavista yhtälöryhmistä on sellainen, että sillä on tasan 2 ratkaisupistettä? (a) y = x + 1, y = 2x (b) y = x + 1, y = 2x (c) y = x + 1, y = x/2 (d) y = x + 1, y = x/2 77. Laske yhtälön 1 + x 2/(x + 2) = 0 ratkaisu(t). (a) x = 1, x = 4 (b) x = 0, x = 3 (c) x = 2 (d) ei ole reaaliratkaisua 78. Laske yhtälöiden y = 2/(1 + x) ja x = 2/(1 + y) ratkaisu(t). (a) (x, y) = (1, 2), (x, y) = (2, 1) (b) (x, y) = ( 1, 2), (x, y) = (2, 2/3) (c) (x, y) = ( 1, 1), (x, y) = (2, 2) (d) (x, y) = (1, 1), (x, y) = ( 2, 2) 79. Mikä seuraavista funktioista leikkaa x-akselin arvoilla 2 ja 1? (a) f(x) = x(x + 2) (x + 2) (b) f(x) = (x 1)/(x + 2) (c) f(x) = sin(π(x + 2)/2) (d) f(x) = 1/(x 1) 2/x Epäyhtälöiden ratkaiseminen Oletetaan, että x on reaalimuuttuja. 80. Laske seuraavan epäyhtälöryhmän ratkaisu: x 2 2, x 3 1, x 4. (a) 2 x < 4 (b) 1 x 4 (c) x = ±2 (d) 2 < x < 3 tai 3 < x < Laske epäyhtälön (x 3)(x + 2) 6 ratkaisu. (a) 2 x 3 (b) 3 x 4 (c) 0 x 1 (d) x 0

10 Laskutaitotestin harjoitustehtävät / Laske epäyhtälön e 2x+2 > 16 ratkaisu. (a) x > ln 4 (b) x > 1 2 ln 2 (c) x > 1 + ln 2 (d) x > ln Laske epäyhtälön 2x 4 x + 3 < 1 ratkaisu. (a) x < 2/3 (b) 2/3 < x < 6 (c) x > 0 (d) 3 < x < Laske epäyhtälöiden 3x 5 < 6 ja 2x ratkaisu. (a) 1/2 x < 7 (b) x 1/2 tai x 11/3 (c) 1/2 x < 11/3 (d) x = 3/2 85. Laske epäyhtälön ratkaisu x 2x 2 2 (a) 4/5 x < 1 (b) 0 x < 1 (c) 0 x < 2 (d) 2/3 x < Laske epäyhtälön e x e x e x x ratkaisu. (a) 0 x 2 (b) x 2 tai x 0 (c) x ln 2 (d) x saa olla mikä tahansa reaaliluku 87. Jos a, b ja c ovat kaikki ei-negatiivisia reaalilukuja ja a > b ja c > 0, niin mikä seuraavista on aina tosi? (a) (a c)/(b c) > 1 (b) (a + c)/(b + c) > c (c) (a + c)/(b + c) > 1 (d) (a 2 b 2 )/c > Laske epäyhtälön 1 2/(1 + x) > 1 ratkaisu. (a) 1 < x < 0 (b) 2 x < 1 (c) x 1 (d) x < 1 tai x > Laske epäyhtälön x 2 4x ratkaisu. (a) 1 x 3 (b) x < 1 tai x > 3 (c) 3 x 1 (d) 4 x Laske epäyhtälön (2x 3) 2 9 > 0 ratkaisu. (a) 0 < x < 3 (b) x < 0 tai x > 3 (c) x < 3 (d) x = ±2

11 10/14 Laskutaitotestin harjoitustehtävät Polynomit Oletetaan, että x on reaalimuuttuja. 91. Mikä polynomi seuraavista on se, jolla on kaksinkertainen nollakohta arvolla x = 2? (a) f(x) = x 2 4x + 4 (b) f(x) = x 3 4x 2 + 4x (c) f(x) = x 2 4 (d) f(x) = x 3 + 4x 2 + 4x 92. Mikä seuraavista funktioista on se, jonka arvo vähenee jatkuvasti, kun 3 < x < 2? (a) f(x) = x 2 + 5x + 6 (b) f(x) = x 2 5x + 6 (c) f(x) = x 2 x 6 (d) f(x) = x 2 + x Polynomin f(x) = x 2 +αx+8 suurin arvo saavutetaan pisteessä x = 2. Mikä on vakion α arvo? (a) 2 (b) 4 (c) 4 (d) Kun tarkastellaan polynomia f(x) = 2x 2 9x+4 välillä 0 < x < 2, seuraavista väitteistä vain yksi on tosi. Mikä niistä? (a) f:n arvo laskee kun x kasvaa (c) f saavuttaa maksimiarvonsa (b) f saavuttaa minimiarvonsa (d) f:lla on kaksi nollakohtaa 95. Kun f(x) = (x + 1) 3, laske f (f(1)). (Huom: f (x) on funktion f derivaatta eli df/dx.) (a) 64 (b) 12 (c) 8 (d) Kun f(x) = (x + 2) 4, mikä seuraavista ei ole totta? (Huom: f (x) on funktion f derivaatta eli df/dx.) (a) f(0) = f( 4) (c) f( 2) = f ( 2) (b) f(1) = f ( 1) (d) f saavuttaa minimiarvonsa, kun x = Kun f(x) = x 3 2x, laske f(f( 1)). (a) 1 (b) 1 (c) 33 (d) Montako reaalinollakohtaa yhtälöllä x(x 2 1)(x 2 + x + 1) = 0 on? (a) 4 (b) 5 (c) 3 (d) Mitkä ovat yhtälön 2x 2 + 9x 9 = 0 reaalinollakohdat? (a) ei ole reaalinollakohtaa (b) x = 3/2, x = 3 (c) x = 3, x = 6 (d) x = 3/2, x = 3

12 Laskutaitotestin harjoitustehtävät / Polynomilla f(x) = 2x 3 + 4x 2 + αx on kaksoisnollakohta, kun x = 1. Mikä on vakion α arvo? (a) 0 (b) 2 (c) 2 (d) Kun muodostetaan polynomien f(x) = (x 2) ja g(x) = (3x 3) 2 tulo, mikä on x 2 kerroin? (a) 36 (b) 36 (c) 0 (d) 3 Trigonometriset funktiot Oletetaan, että x on reaalimuuttuja Mikä seuraavista yhtälöistä on totta kuvan perusteella? α c a b (a) sin α = a 2 + b 2 (b) sin α = c/b (c) sin α = a/c (d) sin α = b/c 103. Sievennä tan x/ sin x sin x/ tan x. (a) tan x sin x (b) cos x (c) tan x/ cos x (d) cos x 104. Sievennä (cos x + cos( x))/ tan x. (a) 2 sin x (b) 0 (c) 2/ sin x 2 sin x (d) Kun x = π/4, laske tan x/ sin x cos( x). (a) 1 (b) 1/ 2 (c) 0 (d) π/ Sievennä sin(π + x)/ tan x cos( x). (a) tan x (b) 2 cos x (c) 0 (d) 2 cos x 107. Laske yhtälön 2/ 3 = tan x/ sin x ratkaisu(t). (a) x = ±π/6 + 2nπ, n on kokonaisluku (b) x = 1 (c) x = π/2 + 2nπ, n on kokonaisluku (d) x = nπ, n on kokonaisluku 108. Laske yhtälön 1 = sin(2x) ratkaisu(t). (a) x = π/2 + nπ, n on kokonaisluku (b) x = π/4 + nπ, n on kokonaisluku (c) x = π/4 + 2nπ, n on kokonaisluku (d) x = nπ/4, n on kokonaisluku

13 12/14 Laskutaitotestin harjoitustehtävät Kun 0 x < π, laske yhtälön sin 2 x cos 2 x = 0 ratkaisu(t). (a) x = π 2 (b) x = 0, x = π/2 (c) x = 0, x = π (d) x = π/4, x = 3π/ Kun 0 x < 2π, laske yhtälön 2 cos 2 x + 3 sin 2 x = 3 ratkaisu(t). (a) x = 0, x = π (b) x = π/2, x = 3π/2 (c) x = π/4, x = 5π/4 (d) x = π/ Mitkä ovat yhtälöiden y = sin x ja y = sin(x)/3 yhteiset nollakohdat? (a) x = 3nπ, n on kokonaisluku (b) x = nπ/3, n on kokonaisluku (c) x = nπ, n on kokonaisluku (d) x = n, n on kokonaisluku 112. Mikä seuraavista yhtälöistä on tosi kaikilla kulman α arvoilla? (a) sin(α) = sin( π 2 α) (b) sin(α) = cos( π 2 α) (c) sin(α) = sin(α π 2 ) (d) sin(α) = cos(α + π 2 ) 113. Mikä seuraavista epäyhtälöistä on tosi, kun π 4 < x < π 2? (a) tan x > 1 (b) tan x < 1 (c) 1 < tan x < 1 (d) tan x < Kun tan x = 3, niin (a) cot x = 1 3 (b) cot x = 3 (c) cot x = 3 3 (d) cot x = Oheisen suorakulmion pinta-ala on (a) ac cos θ (b) ac sin θ (c) ac tan θ (d) ac Oheisen suunnikkaan pinta-ala on (a) ab cos θ (b) ab tan θ (c) ab sin θ (d) ab cot θ.

14 Laskutaitotestin harjoitustehtävät /14 Geometria (x, y)-tasossa 117. Laske väli α:lle, kun tiedetään, että ympyrä (x 1) 2 + (y + 3) 2 = 4 ja suora x = α eivät leikkaa. (a) 1 < α < 4 (b) 3 < α < 6 (c) α < 1 α > 3 (d) α > Ympyrä, jonka säde on 4, ja suora y = x sivuavat vain origossa kuvan mukaisesti. Mikä on ympyrän keskipiste? y y = x x (a) ( 2, 2) (b) (2, 2) (c) (1, 1) (d) (2 2, 2 2) 119. Missä pisteessä (pisteissä) suora y = x 2 ja ympyrä, jonka säde on 5 ja keskipiste on ( 1, 2), leikkaavat? (a) (x, y) = ( 2, 1) ja (x, y) = (1, 3) (c) (x, y) = ( 2, 1) (b) (x, y) = ( 2, 0) ja (x, y) = (1, 3) (d) ei missään pisteissä 120. Kolmion pisteet (x, y)-tasossa ovat (2, 3), (4, 5) ja (4, 1). Laske kolmion pintaala. (a) 1 (b) 2 (c) 4 (d) Missä pisteessä (pisteissä) suora y = 2x + 1 ja neliö, jonka keskipiste on origo, sivut samansuuntaisia kuin x- ja y-akselit ja ympärys on 12, leikkaavat? (a) ( 3/2, 5/4) ja (3/2, 5/4) (b) ( 1, 3/2) ja (1, 3/2) (c) ( 1/4, 3/2) ja (5/4, 3/2) (d) (0, 0) ja (1, 2) 122. Laske pisteiden ( 1, 2) ja (3, 6) etäisyys. (a) 4 2 (b) 2 5 (c) 15 (d) Kun x on vaaka-akseli ja y on pystyakseli yhtälön y 2 = x 1 kuvaaja on (a) paraabeli, joka aukeaa oikealle (b) paraabeli, joka aukeaa vasemmalle (c) paraabeli, joka aukeaa alaspäin (d) paraabeli, jonka huippu on pisteessä ( 2, 1).

15 14/14 Laskutaitotestin harjoitustehtävät Mikä on alla olevan kuvaajan yhtälö? y x (a) y = x(x 2)(x 4)/4 (b) y = x(x 2)(x 4)/4 (c) y = x(x + 2)(x + 4)/4 (d) y = cos(πx/2) 125. Kun x on vaaka-akseli ja y on pystyakseli yhtälön x 2 + y 2 4x + 4 = 9 kuvaaja on (a) ympyrä, jonka keskipiste on (2,0) ja säde 3 (c) ympyrä, jonka keskipiste on (1,0) ja säde Suorat y = 2x + 1 ja (4x + 2)/y = 2 leikkaavat (a) kaikissa pisteissä (b) paraabeli, joka aukeaa ylöspäin (d) paraabeli, joka aukeaa alaspäin. (b) ei missään pisteessä (c) pisteessä ( 1, 1) (d) pisteessä (0, 1) Mikä on alla olevan kuvaajan yhtälö? y x (a) y 2 + x 2 2x + 4 = 0 (b) y x 2 /2 + 1 = 0 (c) y x = 0 (d) y 2 2x + 1 = 0

Hyvä uusi opiskelija!

Hyvä uusi opiskelija! Hyvä uusi opiskelija! Tässä tulee tärkeää tietoa heti syksyn alussa pidettävästä laskutaitotestistä. Tekniikan kieli on matematiikka. Matematiikka tarjoaa perustan tekniikan opiskelulle ja soveltamiselle

Lisätiedot

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A) Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut

Lisätiedot

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π

Lisätiedot

, c) x = 0 tai x = 2. = x 3. 9 = 2 3, = eli kun x = 5 tai x = 1. Näistä

, c) x = 0 tai x = 2. = x 3. 9 = 2 3, = eli kun x = 5 tai x = 1. Näistä Pitkä matematiikka 8.9.0, ratkaisut:. a) ( x + x ) = ( + x + x ) 6x + 6x = + 6x + 6x x = x =. b) Jos x > 0, on x = + x x = + x. Tällä ei ole ratkaisua. Jos x 0, on x = + x x = + x x =. c) x = x ( x) =

Lisätiedot

KERTAUSHARJOITUKSIA. 1. Rationaalifunktio a) ( ) 2 ( ) Vastaus: a) = = 267. a) a b) a. Vastaus: a) a a a a 268.

KERTAUSHARJOITUKSIA. 1. Rationaalifunktio a) ( ) 2 ( ) Vastaus: a) = = 267. a) a b) a. Vastaus: a) a a a a 268. KERTAUSHARJOITUKSIA. Rationaalifunktio 66. a) b) + + + = + + = 9 9 5) ( ) ( ) 9 5 9 5 9 5 5 9 5 = = ( ) = 6 + 9 5 6 5 5 Vastaus: a) 67. a) b) a a) a 9 b) a+ a a = = a + a + a a + a a + a a ( a ) + = a

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2,

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2, MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 6. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + + + 4, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + +

Lisätiedot

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: MAB4 Koe Jussi Tyni 1..015 A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: 1. a. Piirrä seuraava suora mahdollisimman tarkasti ruutupaperille:

Lisätiedot

11 MATEMAATTINEN ANALYYSI

11 MATEMAATTINEN ANALYYSI Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 0.7.08 MATEMAATTINEN ANALYYSI ALOITA PERUSTEISTA 444A. a) Funktion arvot ovat positiivisia silloin, kun kuvaaja on x-akselin yläpuolella.

Lisätiedot

Lisätehtäviä. Rationaalifunktio. x 2. a b ab. 6u x x x. kx x

Lisätehtäviä. Rationaalifunktio. x 2. a b ab. 6u x x x. kx x MAA6 Lisätehtäviä Laske lisätehtäviä omaan tahtiisi kurssin aikan Palauta laskemasi tehtävät viimeistään kurssikokeeseen. Tehtävät lasketaan ilman laskint Rationaalifunktio Tehtäviä Hyvitys kurssiarvosanassa

Lisätiedot

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016 Vanhoja koetehtäviä Analyyttinen geometria 016 1. Määritä luvun a arvo, kun piste (,3) on käyrällä a(3x + a) = (y - 1). Suora L kulkee pisteen (5,1) kautta ja on kohtisuorassa suoraa 6x + 7y - 19 = 0 vastaan.

Lisätiedot

Ratkaisut vuosien tehtäviin

Ratkaisut vuosien tehtäviin Ratkaisut vuosien 1978 1987 tehtäviin Kaikki tehtävät ovat pitkän matematiikan kokeista. Eräissä tehtävissä on kaksi alakohtaa; ne olivat kokelaalle vaihtoehtoisia. 1978 Osoita, ettei mikään käyrän y 2

Lisätiedot

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 7. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + 5 + +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c) +

Lisätiedot

l 1 2l + 1, c) 100 l=0

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 5. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) 5 + 5 +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c)

Lisätiedot

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a)

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a) Pitkä matematiikka YO-koe 9..04. a) b) 7( x ) + = x ( x ) x(5 8 x) > 0 7x + = x x + 8x + 5x > 0 7x = 0 Nollakohdat: 0 8x + 5x = 0 x = 7 x(8x 5) = 0 5 5 x = 0 tai x = Vastaus: 0 < x < 8 8 c) a+ b) a b)

Lisätiedot

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus:

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus: . Koska F( ) on jokin funktion f ( ) integraalifunktio, niin a+ a f() t dt F( a+ t) F( a) ( a+ ) b( a b) Vastaus: Kertausharjoituksia. Lukujonot 87. + n + lim lim n n n n Vastaus: suppenee raja-arvona

Lisätiedot

Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin

Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin Yhtälöparit ja yhtälöryhmät 6. a) x y = 7 eli,y+, sijoitetaan alempaan yhtälöön x+ 7y = (, y+, ) + 7y =,y =, y = Sijoitetaan y = yhtälöparin ylempään yhtälöön.,

Lisätiedot

Ympyrän yhtälö

Ympyrän yhtälö Ympyrän yhtälö ANALYYTTINEN GEOMETRIA MAA4 On melko selvää, että origokeskisen ja r-säteisen ympyrän yhtälö voidaan esittää muodossa x 2 + y 2 = r 2. Vastaavalla tavalla muodostetaan ympyrän yhtälö, jonka

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka a) Ratkaistaan nimittäjien nollakohdat. ja x = 0. x 1= Funktion f määrittelyehto on x 1 ja x 0.

Tekijä Pitkä matematiikka a) Ratkaistaan nimittäjien nollakohdat. ja x = 0. x 1= Funktion f määrittelyehto on x 1 ja x 0. Tekijä Pitkä matematiikka 6 9.5.017 K1 a) Ratkaistaan nimittäjien nollakohdat. x 1= 0 x = 1 ja x = 0 Funktion f määrittelyehto on x 1 ja x 0. Funktion f määrittelyjoukko on R \ {0, 1}. b) ( 1) ( 1) f (

Lisätiedot

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän

Lisätiedot

= 9 = 3 2 = 2( ) = = 2

= 9 = 3 2 = 2( ) = = 2 Ratkaisut 1.1. (a) + 5 +5 5 4 5 15 15 (b) 5 5 5 5 15 16 15 (c) 100 99 5 100 99 5 4 5 5 4 (d) 100 99 5 100 ( ) 5 1 99 100 4 99 5 1.. (a) ( 100 99 5 ) ( ( 4 ( ) ) 4 1 ( ) ) 4 9 4 16 (b) 100 99 ( 5 ) 1 100

Lisätiedot

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2018 Insinöörivalinnan matematiikan koe, , Ratkaisut (Sarja A)

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2018 Insinöörivalinnan matematiikan koe, , Ratkaisut (Sarja A) Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2018 Insinöörivalinnan matematiikan koe, 2952018, Ratkaisut (Sarja A) 1 Anna kaikissa kohdissa vastaukset tarkkoina arvoina Kohdassa d), anna kulmat

Lisätiedot

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6 MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi 2

Matematiikan peruskurssi 2 Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat

Lisätiedot

Differentiaalilaskenta 1.

Differentiaalilaskenta 1. Differentiaalilaskenta. a) Mikä on tangentti? Mikä on sekantti? b) Määrittele funktion monotonisuuteen liittyvät käsitteet: kasvava, aidosti kasvava, vähenevä ja aidosti vähenevä. Anna esimerkit. c) Selitä,

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 6.3.09 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1.

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1. Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4..6 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. a) Funktion f( ) = määrittelyehto on +, eli. + Ratkaistaan funktion nollakohdat. f(

Lisätiedot

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3. Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin

Lisätiedot

x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi

x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi Mallivastaukset - Harjoituskoe F F1 a) (a + b) 2 (a b) 2 a 2 + 2ab + b 2 (a 2 2ab + b 2 ) a 2 + 2ab + b 2 a 2 + 2ab b 2 4ab b) tan x 3 x π 3 + nπ, n Z c) f(x) x2 x + 1 f (x) 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 2x2

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009 Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.

Lisätiedot

4. Kertausosa. 1. a) 12

4. Kertausosa. 1. a) 12 . Kertausosa. a kun, : b kun, tai 8 . Paraabeli y a bc c aukeaa ylöspäin, jos a alaspäin, jos a a Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle a. Se aukeaa ylöspäin. b Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle

Lisätiedot

Anna jokaisen kohdan vastaus kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella muodossa

Anna jokaisen kohdan vastaus kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella muodossa Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ

MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 1 YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 25.9.2017 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ A-osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät 1 4. Tehtävät arvostellaan pistein 0 6. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän

Lisätiedot

Pyramidi 10 Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu 298 Päivitetty

Pyramidi 10 Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu 298 Päivitetty Pyramidi Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu 98 Päivitetty.5. Pyramidi Harjoituskokeet 6.5.7 Ensimmäinen julkaistu versio..7.7 Korjattu ulkoasua ja painovirheitä..8.7 Täydennetty ratkaisuja

Lisätiedot

x + 1 πx + 2y = 6 2y = 6 x 1 2 πx y = x 1 4 πx Ikkunan pinta-ala on suorakulmion ja puoliympyrän pinta-alojen summa, eli

x + 1 πx + 2y = 6 2y = 6 x 1 2 πx y = x 1 4 πx Ikkunan pinta-ala on suorakulmion ja puoliympyrän pinta-alojen summa, eli BM0A5810 - Differentiaalilaskenta ja sovellukset Harjoitus, Syksy 015 1. a) Funktio f ) = 1) vaihtaa merkkinsä pisteissä = 1, = 0 ja = 1. Lisäksi se on pariton funktio joten voimme laskea vain pinta-alan

Lisätiedot

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a)

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a) Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6 Kertaus Integraalifunktio ja integrointi KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) ( )d C C b) c) d e e C cosd cosd sin C K. Funktiot F ja F ovat saman

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y.

Tekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 37 Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, ) on ( x 0) + ( y ). Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Merkitään etäisyydet yhtä suuriksi ja ratkaistaan

Lisätiedot

Integrointi ja sovellukset

Integrointi ja sovellukset Integrointi ja sovellukset Tehtävät:. Muodosta ja laske yläsumma funktiolle fx) x 5 välillä [, 4], kun väli on jaettu neljään yhtä suureen osaan.. Määritä integraalin x + ) dx likiarvo laskemalla alasumma,

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ.0.08 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

x = 6 x = : x = KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 229.a) Funktio f ( x) = 2x+ Nollakohta f x b) Funktio gx ( ) = x

x = 6 x = : x = KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 229.a) Funktio f ( x) = 2x+ Nollakohta f x b) Funktio gx ( ) = x KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 9.a) Funktio f ( ) = + 6 Nollakohta f bg= + 6= = 6 :( ) = 6 = y 5 6 y = + 6 b) Funktio g ( ) = 5 Nollakohta g bg= = 5 = : 5 5 5 5 = : = = = 5 5 5 9 9

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 8906 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Tutkintoaineen sensorikokous on hyväksynyt seuraavat hyvän vastauksen piirteet Hyvästä suorituksesta näkyy, miten vastaukseen on päädytty

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe klo 10-13

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe klo 10-13 Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe.6. klo -. Ratkaise seuraavat epäyhtälöt ja yhtälö: a) x +9, b) log (x) 7, c) x + x 4 =.. Määrää kaikki ne

Lisätiedot

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p MAA..0 Muista kirjoittaa jokaiseen paperiin nimesi! Tee vastauspaperin yläreunaan pisteytysruudukko! Valitse kuusi tehtävää! Perustele vastauksesi välivaiheilla! Jussi Tyni Ratkaise: a) x x b) xy x 6y

Lisätiedot

2 Pistejoukko koordinaatistossa

2 Pistejoukko koordinaatistossa Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia

Lisätiedot

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0 Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8.9.07 Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) K. a) b) c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 6 6 a a a, a > 0 6 6 a

Lisätiedot

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei. PITKÄ MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 7..07 NIMI: A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.. Valitse oikea vaihtoehto ja

Lisätiedot

3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO

3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO 3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO POHDITTAVAA 1. Kuvasta voidaan arvioida, että frisbeegolfkiekko käy noin 9 metrin korkeudella ja se lentää noin 40 metrin päähän. Vastaus: Frisbeegolfkiekko käy n. 9 m:n

Lisätiedot

Pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen 1/6 Sisältö ESITIEDOT: määrätty integraali

Pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen 1/6 Sisältö ESITIEDOT: määrätty integraali Pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen 1/6 Sisältö ESITIEDOT: Tasoalueen pinta-ala Jos funktio f saa välillä [a, b] vain ei-negatiivisia arvoja, so. f() 0, kun [a, b], voidaan kuvaajan y = f(), -akselin

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4 Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / 4 Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa

Lisätiedot

Paraabeli suuntaisia suoria.

Paraabeli suuntaisia suoria. 15.5.017 Paraabeli Määritelmä, Paraabeli: Paraabeli on tason niiden pisteiden ura, jotka ovat yhtä etäällä annetusta suorasta, johtosuorasta ja sen ulkopuolella olevasta pisteestä, polttopisteestä. Esimerkki

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ Merkitään f(x) =x 3 x. Laske a) f( 2), b) f (3) ja c) YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA

MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ Merkitään f(x) =x 3 x. Laske a) f( 2), b) f (3) ja c) YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 1 YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 26.3.2018 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ A-osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät 1 4. Tehtävät arvostellaan pistein 0 6. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän

Lisätiedot

Ratkaisuja, Tehtävät

Ratkaisuja, Tehtävät ja, Tehtävät 988-97 988 a) Osoita, että lausekkeiden x 2 + + x 4 + 2x 2 ja x 2 + - x 4 + 2x 2 arvot ovat toistensa käänteislukuja kaikilla x:n arvoilla. b) Auton jarrutusmatka on verrannollinen nopeuden

Lisätiedot

Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0,

Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0, Kertausosa. a),6 60 576 Peruuttaessa pyörähdyssuunta on vastapäivään. Kulma on siis,4 60 864 a) 576 864 0,88m. a) α b 0,6769... 0,68 (rad) r,m 8cm β,90...,9 (rad) 4cm a) α 0,68 (rad) β,9 (rad). a) 5,0

Lisätiedot

MAA02. A-osa. 1. Ratkaise. a) x 2 + 6x = 0 b) (x + 4)(x 4) = 9 a) 3x 6x

MAA02. A-osa. 1. Ratkaise. a) x 2 + 6x = 0 b) (x + 4)(x 4) = 9 a) 3x 6x MAA0 A-osa. Ratkaise. a) x + 6x = 0 b) (x + 4)(x 4) = 9 a) 3x 6x a) Kirjoitetaan summa x + 6x yhteisen tekijän avulla tulomuotoon ja ratkaistaan yhtälö tulon nollasäännön avulla. x + 6x = 0 x(x + 6) =

Lisätiedot

Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77

Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77 Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07 Kertaus K. a) sin 0 = 0,77 b) cos ( 0 ) = cos 0 = 0,6 c) sin 50 = sin (80 50 ) = sin 0 = 0,77 d) tan 0 = tan (0 80 ) = tan 0 =,9 e)

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4 Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa A

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe.6. klo - Ratkaisut ja pisteytysohjeet. Ratkaise seuraavat epäyhtälöt ja yhtälö: a) x+ x +9, b) log (x) 7,

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe klo 10 13

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe klo 10 13 Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt. (a) 3 2 x 2 3 2 3 x 1 4, (b) (x + 1)(x 2)

Lisätiedot

5 Rationaalifunktion kulku

5 Rationaalifunktion kulku Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 5 Rationaalifunktion kulku. Funktion f määrittelyehto on. Muodostetaan symbolisen laskennan ohjelman avulla derivaattafunktio f ja

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.01 klo 10 13 t ja pisteytysohjeet 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt. (a) 3 x 3 3 x 1 4, (b)

Lisätiedot

* Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa * Trigonometristen funktioiden kuvaajat

* Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa * Trigonometristen funktioiden kuvaajat Trigonometria. a) Määrittele trigonometriset funktiot. b) Vertaa trigonometristen funktioiden ominaisuuksia määritys- ja arvojoukko sekä perusjakso). * Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa

Lisätiedot

Pisteessä (1,2,0) osittaisderivaatoilla on arvot 4,1 ja 1. Täten f(1, 2, 0) = 4i + j + k. b) Mihin suuntaan pallo lähtee vierimään kohdasta

Pisteessä (1,2,0) osittaisderivaatoilla on arvot 4,1 ja 1. Täten f(1, 2, 0) = 4i + j + k. b) Mihin suuntaan pallo lähtee vierimään kohdasta Laskukarnevaali Matematiikka B. fx, y, z) = x sin z + x y, etsi f,, ) Osittaisderivaatat ovat f f x = sin z + xy, y = x, f z = x cos z Pisteessä,,) osittaisderivaatoilla on arvot 4, ja. Täten f,, ) = 4i

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4).

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 212 Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Vastaus esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4) 213 Merkitään pistettä

Lisätiedot

4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ

4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ POHDITTAVAA 1. Merkitään toisen neliön sivun pituutta kirjaimella x. Tällöin toisen neliön sivun pituus on

Lisätiedot

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö Funktion kasvavuus ja vähenevyys; paikalliset ääriarvot Jos derivoituvan reaalifunktion f derivaatta tietyssä pisteessä on positiivinen, f (x 0 ) > 0, niin funktion tangentti

Lisätiedot

Johdatus reaalifunktioihin P, 5op

Johdatus reaalifunktioihin P, 5op Johdatus reaalifunktioihin 802161P, 5op Osa 2 Pekka Salmi 1. lokakuuta 2015 Pekka Salmi FUNK 1. lokakuuta 2015 1 / 55 Jatkuvuus ja raja-arvo Tavoitteet: ymmärtää raja-arvon ja jatkuvuuden määritelmät intuitiivisesti

Lisätiedot

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0 Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 K. a) b) c) d) 6 6 a a a, a > 0 6 6 a a a a, a > 0 5 5 55 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 a a a a a ( a ) a a a, a > 0 K.

Lisätiedot

Matematiikan perusteet taloustieteilij oille I

Matematiikan perusteet taloustieteilij oille I Matematiikan perusteet taloustieteilijöille I Harjoitukset syksy 2006 1. Laskeskele ja sieventele a) 3 27 b) 27 2 3 c) 27 1 3 d) x 2 4 (x 8 3 ) 3 y 8 e) (x 3) 2 f) (x 3)(x +3) g) 3 3 (2x i + 1) kun, x

Lisätiedot

b) Määritä/Laske (ei tarvitse tehdä määritelmän kautta). (2p)

b) Määritä/Laske (ei tarvitse tehdä määritelmän kautta). (2p) Matematiikan TESTI, Maa7 Trigonometriset funktiot RATKAISUT Sievin lukio II jakso/017 VASTAA JOKAISEEN TEHTÄVÄÄN! MAOL/LIITE/taulukot.com JA LASKIN ON SALLITTU ELLEI TOISIN MAINITTU! TARKISTA TEHTÄVÄT

Lisätiedot

Ratkaisut vuosien tehtäviin

Ratkaisut vuosien tehtäviin Ratkaisut vuosien 1958 1967 tehtäviin 1958 Pyörähtäessään korkeusjanansa ympäri tasakylkinen kolmio muodostaa kartion, jonka tilavuus on A, ja pyörähtäessään kylkensä ympäri kappaleen, jonka tilavuus on

Lisätiedot

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja?

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja? Nimi Koulutus Ryhmä Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vastausvaihtoehto oikein. Laske tehtävät ilman laskinta.. Missä pisteessä suora y = 3x 6 leikkaa x-akselin? A. 3 D. B. E. en tiedä C. 6. Mitkä luvuista,,,

Lisätiedot

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 6 Maanantai

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 6 Maanantai . (Teht. s. 93.) Määrää raja-arvo MATP53 Approbatur B Harjoitus 6 Maanantai 7..5 cos x x. Ratkaisu. Suora sijoitus antaa epämääräisen muodon (ei auta). Laventamalla päädytään muotoon ja päästään käyttämään

Lisätiedot

RATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu.

RATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu. RATKAISUT 198 197 198. Olkoon suorakulmion erisuuntaisten sivujen pituudet a ja b sekä neliön sivun pituus c. Tehtävä on mielekäs vain, jos suorakulmio ei ole neliö, joten oletetaan, että a b. Suorakulmion

Lisätiedot

B-OSA. 1. Valitse oikea vaihtoehto. Vaihtoehdoista vain yksi on oikea.

B-OSA. 1. Valitse oikea vaihtoehto. Vaihtoehdoista vain yksi on oikea. B-OSA 1. Valitse oikea vaihtoehto. Vaihtoehdoista vain yksi on oikea. 1.1 Mitä voidaan sanoa funktion f raja-arvosta, kun x a? I Raja-arvo on f(a), jos f on määritelty kohdassa a. II Raja-arvo on f(a),

Lisätiedot

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.8.016 3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) x + x + 1 = 4 (x + 1) = 4 Luvun x + 1 tulee olla tai, jotta sen

Lisätiedot

MAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti!

MAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti! A-osio: ilman laskinta. MAOLia saa käyttää. Laske kaikki tehtävistä 1-. 1. a) Derivoi funktio f(x) = x (4x x) b) Osoita välivaiheiden avulla, että seuraava raja-arvo -lauseke on tosi tai epätosi: x lim

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi 2

Matematiikan peruskurssi 2 Matematiikan peruskurssi Demonstraatiot III, 4.5..06. Mikä on funktion f suurin mahdollinen määrittelyjoukko, kun f(x) x? Mikä on silloin f:n arvojoukko? Etsi f:n käänteisfunktio f ja tarkista, että löytämäsi

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla

Lisätiedot

2 Toisen asteen polynomifunktio

2 Toisen asteen polynomifunktio Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4.5.017 Toisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Merkitään taulukon pisteet koordinaatistoon ja hahmotellaan niiden kautta kulkeva

Lisätiedot

A Lausekkeen 1,1 3 arvo on 1,13 3,3 1,331 B Tilavuus 0,5 m 3 on sama kuin 50 l 500 l l C Luvuista 2 3, 6 7

A Lausekkeen 1,1 3 arvo on 1,13 3,3 1,331 B Tilavuus 0,5 m 3 on sama kuin 50 l 500 l l C Luvuista 2 3, 6 7 1 Tuotteen hinta nousee ensin 10 % ja laskee sitten 10 %, joten lopullinen hinta on... alkuperäisestä hinnasta. alkuperäisestä hinnasta. YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 23.3.2016 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 2. viikolle /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 2. viikolle / MS-A008 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/207 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 2. viikolle / 8. 2.4. Jatkuvuus ja raja-arvo Tehtävä : Määritä raja-arvot a) 3 + x, x Vihje: c)-kohdassa

Lisätiedot

MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin!

MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni 9.1.01 1. Laske raja-arvot: a) 5 lim 5 10 b) lim 9 71. a) Määritä erotusosamäärän avulla funktion f (). f ( ) derivaatta 1 b) Millä välillä funktio f ( ) 9 on kasvava? Perustele

Lisätiedot

Tehtävien ratkaisut

Tehtävien ratkaisut Tehtävien 1948 1957 ratkaisut 1948 Kun juna matkaa AB kulkiessaan pysähtyy väliasemilla, kuluu matkaan 10 % enemmän aikaa kuin jos se kulkisi pysähtymättä. Kuinka monta % olisi nopeutta lisättävä, jotta

Lisätiedot

Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. Juurifunktio Ennakkotehtävät. a) = 6, koska 4 = 6 b) + = 6, eli = 4 c) + = + + =0 4 ( ) ( ) tai Ratkaisuista = ei toteuta alkuperäistä yhtälöä, koska. Luvun tulee siis olla. . a) b) f ( ) ( ) (6) 44 9

Lisätiedot

3 = Lisäksi z(4, 9) = = 21, joten kysytty lineaarinen approksimaatio on. L(x,y) =

3 = Lisäksi z(4, 9) = = 21, joten kysytty lineaarinen approksimaatio on. L(x,y) = BM20A5810 Differentiaalilaskenta ja sovellukset Harjoitus 6, Syksy 2016 1. (a) Olkoon z = z(x,y) = yx 1/2 + y 1/2. Muodosta z:lle lineaarinen approksimaatio L(x,y) siten että approksimaation ja z:n arvot

Lisätiedot

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)

Lisätiedot

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4 KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + ( 1) + 3 ( 1) 3 = 3 + 3 = 4 K. a) x 3x + 7x 5x = 4x + 4x b) 5x 3 (1 x ) = 5x 3 1 + x = 6x 4 c) (x + 3)(x 4) = x 3 4x + 3x 1 = x 3 + 3x 4x 1 Vastaus: a) 4x +

Lisätiedot

4 Polynomifunktion kulku

4 Polynomifunktion kulku 4 Polynomifunktion kulku. a) Funktio on kasvava jollakin välillä, jos sen arvo kasvaa tällä välillä. Kuvaajan nousemisen ja laskemisen perusteella funktio on kasvava kohtien x,4 ja x 0, välissä. b) Funktion

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: 1 Funktio 1.1 Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet: 1 1. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä.

Lisätiedot

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2. MAA4 Koe 5.5.01 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse

Lisätiedot