Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden

Transkriptio

1 Ylioppilastutintolautaunta S tudenteamensnämnden MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 0..0 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden ja sisältöjen luonnehdinta ei sido ylioppilastutintolautaunnan arvostelua. Lopullisessa arvostelussa äytettävistä riteereistä päättää tutintoaineen sensoriunta. Hyvästä suoritusesta näyy, miten vastauseen on päädytty. Rataisussa on oltava tarvittavat lasut tai muut riittävät perustelut ja lopputulos. Arvioinnissa iinnitetään huomiota oonaisuuteen, ja rataisu pyritään arvioimaan olmiosaisesti: alu, välivaiheet ja lopputulos. Lasuvirheet, jota eivät olennaisesti muuta tehtävän luonnetta, eivät alenna pistemäärää merittävästi. Sen sijaan tehtävän luonnetta muuttavat lasu- ja mallinnusvirheet saattavat alentaa pistemäärää huomattavasti. Lasin on oeen apuväline, jona rooli arvioidaan tehtäväohtaisesti. Jos rataisussa on äytetty symbolista lasinta, sen on äytävä ilmi suoritusesta. Analysointia vaativien tehtävien rataisemisessa pelä lasimella saatu vastaus ei riitä ilman muita perusteluja. Sen sijaan lasimesta saatu tulos yleensä riittää rutiinitehtävissä ja laajempien tehtävien rutiiniosissa. Tällaisia ovat esimerisi lauseeiden muoaaminen, yhtälöiden rataiseminen seä funtioiden derivointi ja integrointi.. a) ( ) ( )( + ) < b) c) Suoran yhtälö on < <. 8 < 7 y 7 ( ) y 0, 0 0. Siis 0. + y 0 0. Leiauspisteessä Leiauspiste on 0,0.. a) cos, cos. f f 9 b) a b ( ) i + ( + ) j + ( 7 + 5) i + j, a b c) Kun α, < < niin cosα sin α Matematiian oe, pitä oppimäärä 0..0 Hyvän vastausen piirteitä

2 a+ b ( a+ b) + ab. Kosa,. a) ( a b) a a b b Kosa, a b ab Siis ( a + b ) + 6. niin. niin a+ b. b) + y y + y y + y + y y + y + y.. Oloot oreusjanan antapiste D ja CD h. Kolmiot ADC ja CDB ovat yhdenmuotoiset, AD CD. CD DB Siis 7 h h. Kosa h > 0, h niin h. Pinta-ala on 5. Meritään ( ) AB DC 0h 5h 5. f ( ) 5 e. Derivaatan ( 5 ) ( ) + ( ) ( + + ) f e e e nollaohdat saadaan yhtälöstä tai. Nollaohta 7 ei uulu alueeseen 0. Kosa f (0) 5, f () 0,8 ja e 7 lim f( ) 0, niin funtion pienin arvo on 5 ja suurin arvo on. e 6. a) Komplementtien todennäöisyydet ovat P(ei B) 0,7 0,8 ja P(ei O) 0, 0,67. Tällöin P(enintään 9 O:ta) P(0, tai O:ta) 0, 0,67 + 0, 0,67 + 0, 0 0, Matematiian oe, pitä oppimäärä 0..0 Hyvän vastausen piirteitä

3 b) P( tai B:tä) 0,7 0,8 + 0,7 0, ,0. 7. Yhdysjanan esipiste on ( M,, ) ( 5,,). Tason normaalivetori on AB ( ) i + ( 0) j + ( ) i + j +, tason yhtälö on muotoa + y+ z+ d 0. Taso ulee pisteen M autta, d 0 d 7. Sijoittamalla yhtälöön 0 ja z 0 7. y Leiauspiste on (0,7,0)., saadaan 8. a) Leiauspisteiden -oordinaatit saadaan yhtälöstä ( + 6) Sijoittamalla nämä arvot saadaan leiauspisteisi (, 6), (0,0) ja (,). b) Meritään f ( ) 6 ja 0 ja g f( ) välillä 0, 0 ( f ( ) g( )) d+ ( g( ) f( )) d 0 g + 6. Kosa f ( ) g( ) välillä niin pinta-ala on 0 ( + 7 ) d+ ( + 7 ) d 0 ( 6 ) ( 6 ) 0 / / cos( ) + cos( ) 0 cos( ) cos( ) cos( ) cos( + ) ± ( + ) + n (n+ ) 5 (n ) 5 (n+ ) n, n Z. Matematiian oe, pitä oppimäärä 0..0 Hyvän vastausen piirteitä

4 0. Kuution poiileiaus on suoraulmio, jona sivuina ovat asi uution vastaaista särmää ja ahden sivutahon lävistäjät. Tämän suoraulmion sivujen pituudet ovat ja ja sen lävistäjän pituus on. Oloon pienen pallon säde r ja sen esipisteen etäisyys uution ärjestä. Yhdenmuotoisuuden nojalla r, r. Summa + r+ + + r on puolet suoraulmion lävistäjän pituudesta, + +. r Pienen pallon säde on r. +. Aritmeettisen jonon määritelmän muaan ln( ) ln ln( + ) ln( ), + + ln ln + + ( ) Kosa ln 6 > 0 aiilla R, niin ln. a) Pinta-ala on A() t cos. t t b) A ( t) tsint+ cost 0 cost tsint 0. Rataistaan yhtälö Newtonin menetelmällä. Meritään f () t cost tsin, t jolloin f '( t) sin t tcos t. Newtonin menetelmän reursioaava on t n+ costn tnsintn tn sint t cost n n n josta iteroimalla aluarvosta t 0 lähtien saadaan t 0,865, t 0,860 ja t t Rataisun asidesimaalinen liiarvo on t 0,86.. c) Lasetaan arvot A(0) 0, A 0 ja (0,86),., A Pinta-alan suurin arvo on,. Matematiian oe, pitä oppimäärä 0..0 Hyvän vastausen piirteitä

5 . a) A B A B A (A B) b) Kosa A (A B) on tosi, jos ja vain jos A ja B ovat tosia, niin se on evivalentti lauseen A B anssa. *. a) b) c) P + 0, P( ) ( + )( ). ( p.) A ( + ) + ( ) + B A B A B aiilla, joa + ( )( + ) ( )( + ) pätee, un A+ B 0 A B + + d) Jos > Siis, niin A B ( p.) d d d ln ln + + C ln + C ln + C + +, un. ( p.) d /ln ln ln P ln + + d P ln + ln. ( p.) ( p.) ln, un. + Matematiian oe, pitä oppimäärä 0..0 Hyvän vastausen piirteitä

6 * 5. a) Sivuamispisteeseen (, ) normaalin yhtälö on. tt piirretyn tangentin ulmaerroin on t ja y t ( ). t t Normaali leiaa y-aselin, un y t + Tämä on ympyrän esipisteen y-oordinaatti. Ympyrän esipisteen etäisyys sivuamispisteestä on t r. Siis r ( t 0) + ( t y) t +,. y r + ( p.) b) a-ohdan aavan muaan ympyrän C esipisteen y-oordinaatti on y 5 ja ympyrän C esipisteen y-oordinaatti on ( r ) +. Kesipisteiden välinen etäisyys on siis y y r. Toisaalta esipisteiden etäisyys on säteiden summa + r. Näin saadaan yhtälö ( r) + r ( r) r 0 r r. Säde on positiivinen, r. ( p.) c) a-ohdan muaan ympyrän C n esipisteen y-oordinaatti on vastaavasti ympyrän n välimata on siten C + y-oordinaatti on n+ n+ n y r + ja y r +. Kesipisteiden rn+ + r n r n+ r n Toisaalta sama välimata on rn + r n+. Näin saadaan yhtälö. ( rn+ ) ( rn) rn + r n+ ( + ) + d) Edellisen ohdan nojalla ( r ) r ( r ) r n+ n+ n n 0 ( rn rn) ± + + ± (r ) r n + n + rn+ rn + elpaa. ( p.) josta vain positiivinen rataisu n n n n r r r + r. ( p.) n ± ( r + ), n Matematiian oe, pitä oppimäärä 0..0 Hyvän vastausen piirteitä