M 2 M = sup E M 2 t. E X t = lim. niin martingaalikonvergenssilauseen oletukset ovat voimassa, eli löydämme satunnaismuuttujan M, joka toteuttaa ehdon

Transkriptio

1 Matematiian ja tilastotieteen laitos Stoastiset differentiaaliyhtälöt Rataisuehdotelma Harjoituseen 7 1. Näytä, että uvaus M M M 2, un M 2 M = sup E M 2 t 2 t 0 on normi jouossa M 2 = { M : M on martingaali ja M M 2 < }. Rataisuehdotus: Helpoin ja nopein todistus tälle, on äyttää martingaalionvergenssilausetta. Oloon M M 2. Tällöin X t := M 2 t on integroituva aiilla t, joten erityisesti X on alimartingaali. Alimartingaaliominaisuuden nojalla t E X t on asvava funtio, sillä E X t = E E X t F s ) E X s aina, un t s. Kosa M 2 = sup E X t, niin asvavuuden taia M 2 = lim E X t = lim E M 2 t. Kosa Doobin martingaaliepäyhtälön nojalla E sup s t M s M 0 ) 2 4 sup E M t M 0 ) 2 < niin martingaalionvergenssilauseen oletuset ovat voimassa, eli löydämme satunnaismuuttujan M, joa toteuttaa ehdon lim E M t M ) 2 = 0. Kolmioepäyhtälön avulla näemme siten, että t M 2 = lim E M 2 t = lim E M t M + M ) 2 = E M 2 Kosa E M 2 = M 2 2 on tavallinen L 2 -normin neliö, niin M = M 2. Kosa oiea puoli määrää normin, niin myös vasen puoli on normi. Täydellisyyden vuosi osoitamme, että E X 2 =: X 2 2 määrittelee normin toisen momentin omaavien satunnaismuuttujien jouossa. Kosa X 2 on positiivinen satunnaismuuttuja, niin X Jos X 2 2 = E X 2 = 0, niin 0 = E X 2 E X 2 [ X 2 ε 2 ] ) ε 2 P X ε )

2 joaisella ε > 0. Siispä P X ε ) = 0 joaisella ε > 0, joten P X > 0 ) P X 1/n ) = 0 n N + joten P X = 0 ) = 1 eli X = 0 melein varmasti. Edelleen λx 2 2 = λ 2 X 2 2, joten λx 2 = λ X 2. Kolmioepäyhtälön osoittamiseen sovellamme Cauchyn Schwarzin epäyhtälöä, jona avulla X + Y 2 2 = X E XY + Y 2 2 X X 2 Y 2 + Y 2 2 = X 2 + Y 2 ) Näytä, että un H Π 3 X), niin τ n = inf{ t > 0 : ˆ t on pysähdysheti ja että τ n melein varmasti. Rataisuehdotus: Meritsemme Y t := ˆ t 0 0 H 2 s d X > n } H 2 s d X. Kun H Π 3 X), niin Y t < melein varmasti joaisella t 0. Tästä seuraa integraalin määritelmän nojalla, että Y t on jatuva prosessi, sillä ˆ Y t+h Y t = Hs 2 [ s t, t + h] ] d X s joten dominoidun suppenemisen lauseen nojalla Y t+h Y t, un h 0. Siispä Y on oiealta jatuva. Vasemmalta jatuvuus osoitetaan samalla tavalla. Edelleen H t ja X t ovat ennustettavia, joten Y t on ainain adaptoitu filtraation F t suhteen. Nyt τ n = inf{ t > 0 : Y t [n, ) } on luentojen Lauseen 3.13 muaan F t )-pysähdysheti, sillä vaia Lause on muotoiltu Brownin liieelle, todistusessa tarvitsemme ainoastaan prosessin jatuvuutta ja adaptoituvuutta. Edelleen τ n τ n+1 on selviö, joten jäljellä on väite τ n. Tämäin seuraa prosessin Y t jatuvuudesta, sillä jos τ n τ, niin Y t = joaisella t τ. Tällaiset polut eivät ole jatuvia, joten τ = melein varmasti.

3 3. Näytä Kunitan Watanaben epäyhtälön todistusen puuttuva osa eli X, Y t X, Y s ) 2 X t X s ) Y t Y s ) tarastelemalla martingaalin X + λy varianssiprosessia reaaliluvun λ funtiona. Rataisuehdotus: Tarastellaan vihjeen muaisesti martingaalin X + λy varianssiprosessia. Tämä on lasettavissa X + λy t = X + λy, X + λy t = X t + λ 2 Y t + 2λ X, Y t =: p t λ) joten pλ) := p t λ) p s λ) =: aλ 2 + bλ + c on toisen asteen polynomi. Tiedämme perusoulun tiedoilla, että funtiolla p on 0, 1 tai 2 nollaohtaa. Kosa pλ) = X + λy t X + λy s 0, niin polynomilla p on oreintaan 1 nollaohta. Tämä taroittaa polynomin p disriminantti b 2 4ac 0. Siispä 4 X, Y t X, Y s ) 2 4 X t X s ) Y t Y s ) eli väite seuraa. 4. Näytä, että jos H, K bπ 1 ja X on jatuva ja rajoitettu martingaali, niin HK X = H K X) Rataisuehdotus: Oloon nyt H = H H n K = K K n, missä H j t) = C j [ t I j ] ja K j t) = D j [ t I j ], missä välit I j = a j, a j+1 ] ovat erillisiä. Tällöin Ht)Kt) = j C j D j [ t I j ], joten HK X) t = j C j D j Xa j+1 t) Xa j ))[ t > a j ] Kosa Y t = K X) t = j D j Xa j+1 t) Xa j ))[ t > a j ], ja H Y ) t = j C j Y a j+1 t) Y a j ))[ t > a j ], niin voimme lasea, että Y a j ) = D Xa +1 a j ) Xa ))[ a j > a ] = <j D Xa +1 ) Xa ))

4 ja siten Y a j+1 t)[ t > a j ] = D Xa +1 a j+1 t) Xa ))[ t > a j ][ t a j+1 > a ] = D Xa +1 a j+1 t) Xa ))[ t > a j a ][ j ] ) = D Xa +1 ) Xa )) + D j Xa j+1 t) Xa j )) [ t > a j ] <j = Y a j )[ t > a j ] + D j Xaj+1 t) Xa j ) ) [ t > a j ]. Siispä Y aj+1 t) Y a j ) ) [ t > a j ] = D j Xaj+1 t) Xa j ) ) [ t > a j ], joten H Y ) t = j = j C j Y a j+1 t) Y a j ))[ t > a j ] C j D j Xa j+1 t) Xa j ))[ t > a j ] = HK X) t. 5. Näytä, että jos määrittelemme ovarianssiprosessin erotusten tulojen summan raja-arvona, niin M, A t = 0, un M on jatuva rajoitettu martingaali ja A on jatuva rajoitetusti heilahteleva prosessi. Rataisuehdotus: Määritellään approsimoiva prosessi V M, A) n t) alusi. Meritään t,n = 2 n ja I,n = t,n, t +1,n ]. Meritään seuraavassa t +at,n ) := [ t > t,n ] at t +1,n ) at,n ) ), joa on eräänlainen ataistu differenssi. Tällöin määrittelemme t +V M, A) n t,n )[ t I,n ] := t +Mt,n ) t +At,n ) joaisella ja n. Tämä määrää ysiäsitteisen prosessin V M, A) n t) = t +V M, A) n t,n )[ t > t,n ]

5 unhan asetamme V M, A) n 0) = 0. Haluamme osoittaa, että tämä prosessi suppenee ohti nollaprosessia, joten määrittelemme avusi p-varianssin äsitteen. Sanomme, että prosessi X on p-varianssi, jos X p pt) := sup n t +V M, A) n t,n ) p [ t > t,n ] on äärellisenä olemassa stoastisen suppenemisen mielessä. Tiedämme jo, että martingaaleilla on 2-varianssi. Lisäsi loaalisti rajoitetusti heilahtelevalla prosessilla on 1-varianssi. Lisäsi havaitsemme, että supremum voidaan orvata raja-arvolla n. Määräämme arvion prosessin V M, A) 1-varianssille, eli arvioimme summaa t +Mt ) t +At ) [ t > t ]. Soveltamalla Cauchyn Schwarzin epäyhtälöä saamme arvion ) 2 t +Mt ) t +At ) [ t > t ] t +Mt ) 2 [ t > t ] t +At ) 2 [ t > t ] M 2 2 A 1 1 sup + At ) Kosa A on jatuva, niin oiea puoli on tasaisesti rajoitettu, joten V M, A) 1 M 2 2 A 1 1 lim sup n sup + At,n ) Kun n, niin prosessin A jatuvuuden nojalla sup + At,n ) 0. Olemme siten päätelleet, että V M, A) 1 = 0. Kosa väite seuraa. M, A t V M, A) 1 t) = 0