TRIGONOMETRISTEN FUNKTIOIDEN KUVAAJAT

Transkriptio

1 π TRIGONOMETRISTEN FUNKTIOIDEN KUVAAJAT π = π 3π π = π 5π 6π = 3π 7π TRIGONOMETRISET FUNKTIOT, MAA7 Tarkastellaan aluksi sini-funktiota ja lasketaan sin :n arvoja, kun saa arvoja 0:sta 0π :ään π välein (huom. siirrtään kättämään muuttujaa muuttujan α sijaan). puoli täsi kier. kier. 8π = π 9π 0π sin Funktion arvoissa havaitaan tiettä jaksollisuutta. Sijoitetaan arvoja vastaavat kulmat ksikkömprään ja piirretään kuvaaja. (TAULU!) = sin π/ π/ 3π/ 5π/ 7π/ 9π/ Sini-funktion kuvaaja on aaltomainen ja siitä voidaan erottaa π pituinen perusjakso. Eli sin saa samat arvot muuttujan arvoilla ja + π oli mikä tahansa. Lisäksi arvot kuuluvat suljetulle välille,. 5π sin π / 0,707 π sin 5π / 0,707 π 5π

2 = cos π/ π/ 3π/ 5π/ 7π/ 9π/ Mös kosinifunktio on aaltomainen ja jaksollinen, perusjaksona π. Huomaa ero sini-funktioon. Kosinin arvoille pätee cos. Laajennetaan trigonometristen funktioiden kuvaajien käsittelä. Esimerkki Piirrä funktion a) cos, b) cos, c) cos ja d) cos kuvaaja. Mikä on perusjakso? Entäpä suurin ja pienin arvo? a) Tiedetään, että pelkkä cos aaltomainen, perusjaksona π ja arvot cos. Mitä kerroin edessä tekee? = = cos = cos Se vaikuttaa amplitudiin eli aallon korkeuteen -akselista. Toisaalta aallon taajuus eli heilahtelunopeus ps vakiona, etukerroin ei vaikuta taajuuteen. Perusjakso säil π:nä. Suurin arvo on ja pienin.

3 b) cos aaltomainen, arvot cos. Mitä kerroin nt tekee? Lasketaan arvoja: Kun = π, niin = π, kun = π, niin = π ja edelleen kun = π/, niin = π, kun = π/, niin = π/. = cos = cos Se vaikuttaa taajuuteen eli heilahteluun (heilahtelunopeuteen). Mitä isompi (> ) on kerroin sitä nopeammin eli tiheämmin kuvaaja (aalto) heilahtelee lös-alas tietn jakson aikana. Vastaavasti mitä pienempi < on kerroin sitä hitaammin kuvaaja heilahtelee. Perusjakso > 0 muuttuu, mutta amplitudi ps samana, cos, R. c) cos aaltomaisuus, amplitudi -kertainen, taajuus - kertainen. Mitä miinus tekee? = cos = cos Se peilaa kuvaajan -akselin suhteen. Katsotaan lopuksi mitä summaus tai erotus kosinin sisällä tekee. 3

4 d) cos aaltomaisuus, amplitudi -kertainen, taajuus - kertainen, koska :n kerroin on ksi. = cos = cos Se siirtää kuvaajaa vaakatasossa -akselilla. Jos erotus niin oikealle (posit.) suuntaan ja jos summaus niin vasemmalle (negat.) suuntaan. Yleisesti trigonometriset funktiot (sini ja kosini) esitetään muodossa: A sin b c + d, A cos b c + d, missä parametri (muuttuja) A kertoo aallon amplitudin eli korkeuden, b aallon taajuuden eli heilahtelunopeuden ja c vaakasiirron ja d pstsiirron suuruuden. Entäpä, millainen on sin :n tai sin :n kuvaaja? Esimerkki Minkä kärän - htälö on a) = sin π, b) = sin, c) = + sin, d) = sin, e) = sin, f) = sin sin? 3 = sin Kärä on c) = + sin. Kärä on d) = sin. Kärä 3 on b) = sin. Kärä on a) = sin π.

5 Määritelmä: Funktiota f sanotaan parilliseksi jos f() = f( ) ja parittomaksi, jos f() = f( ) kaikilla funktion f määritteljoukkoon M f kuuluvilla muuttujan arvoilla. Kosini-funktion on parillinen, kun taas sini- ja tangenttifunktio ovat parittomia. Parillinen funktio on -akselin suhteen peilikuva itsensä kanssa ja pariton funktio on origon suhteen peilikuva. (ei siis kärän = ) Kosini on parillinen funktio. = cos α Sini on pariton funktio. = sin α = Vastaavasti funktio f: f = on parillinen ja f: f = 3 on pariton. = 3 5

6 Esimerkki Määritä funktion f suurin ja pienin arvo ja perusjakso. a) f: f = cos, b) f: f = 7 3 sin ja c) f: f = sin. a) ma f =, min f = ja perusjakso π. b) ma f = 0, min f = ja perusjakso π. c) Nt nimittäjässä oleva termi sin saa arvoja väliltä 0,, joten nimittäjä saa arvoja väliltä,. Näin ollen ma f =, min f = / ja perusjakso π. Kuvaaja on mielenkiintoisen näköinen. = sin = sin Esimerkki On hvä osata hahmottaa mikä osa funktiosta saa mitäkin aikaan kuvaajassa. Tarkastellaan funktiota f: f = + sin Kaksi osaa, jolloin = sin = = + sin 6

7 Esimerkki Kuten edellä, nt funktiota f: f = 3 sin cos. = 3 sin = cos = cos = 3 sin = 3 sin cos 7