Mekaniikan jatkokurssi Fys102

Transkriptio

1 Meaniian jatourssi Fys10 Sysy 009 Jua Maalampi LUENTO 6

2 Harmonisen värähdysliieen energia Jousen potentiaalienergia on U ( x missä on jousivaio ja Dx on poieama tasapainosta. Valitaan origo tasapainopisteeseen, jolloin Dx = x ja 1 U x 1 Jousen päässä vaaasuoralla alustalla liiuvan appaleen meaaninen oonaisenergia on E K U 1 mv x 1 x Kappaleella on pisteissä x = ± A pelästään potentiaalienergiaa ja pisteessä x = 0 pelästään liie-energiaa

3 Siten E 1 ( x A U ( x A A ja E( x 0 K( x 0 ( vmax 1 Jos tilanne oletetaan itattomasi, meaaninen energia säilyy, joten E(0 = E(± A, ts. 1 mv max 1 A Harmonisen värähdysliieen inematiiasta saimme aiaisemmin A v max fa A T Vertaamalla näemme: eli v max m A Huomaa: Värähtelijän meaaninen oonaisenergia on verrannollinen amplitudin neliöön. Huomaa: Värähtelyn jaso T ja taajuus f eivät riipu amplitudista.

4 Esimeri Ötöä, jona massa on 0.5 g, jää iinni hämähäin veroon. Vero alaa värähdellä taajuudella 4.0 Hz. Miä on veron jousivaio? Millä taajuudella vero värähtelisi, jos siihen tarttuisi 0.50 g:n massainen ötöä? Malli: Pidetään veroa ysinertaisena harmonisena värähtelijänä. (Todellisuudessa värähtelyjä on useammanlaisia. Rataisu: Kaavoista rataistaan : ( f m ( 3 (4.0/ s (0.510 g Nm. Taajuus on verrannollinen m -1/, joten taajuus on f g g (4.0 Hz.8 Hz.

5 Edellisellä luennolla saatiin ysinertaisen harmonisen liieen iihtyvyydelle a x d dt v x d dt d dt Newton II yhtälö on silloin x x F x ma x m x. Nyt voima on jousivoima F x = -x, joten = m eli ja iihtyvyys on m a x m d x dt x m x eli Jousen päässä olevan appaleen liieyhtälö. Toisen ertaluvun differentiaaliyhtälö.

6 Esimeri

7 x

8 Matemaattinen syrjähyppy: Liieyhtälön rataiseminen Liieyhtälö d x( t x( t dt m on toisen ertaluvun differentiaaliyhtälö. Selvästi x(t voisi olla cosini ja sini-funtio, osa ne ahdesti derivoituna palautuvat itseseen. Tehdään siis yrite ja atsotaan toimiio ja millä ehdolla. Yrite: x( t Acos( t 0 ( Ccost Dsint Derivoidaan ahdesti: dx Asin( t 0, dt d x Acos( t 0 dt A ja 0 ovat integroimisvaioita (samoin C ja D Sijoitetaan liieyhtälöön: A cos( t 0 Acos( t 0 Toteutuu jos. m m

9 Gravitaation vaiutus jousen värähtelyyn Gravitaatio vaiuttaa jousi-massa-systeemin tasapainoasemaan Tasapainoasemassa Hooen lain muainen jousivoima F sp (ylös ja appaleeseen vaiuttava gravitaatiovoima F G (alas umoavat toisensa: ( F ( F ( F L mg 0 net y sp y G y eli L mg / = jousen venymä. Asetetaan y-aselin origo uuden tasapainoaseman ohdalle. Kuvassa oiealla jousta on työnnetty asaan niin, että pl on ohdassa y. Jousivoima on silloin F sp = +(ΔL y, joten nettovoima on ( Fnet y ( L y mg ( L mg y y 0 Voima riippuu poieamasta samalla tavalla uin vaaasuorassa värähtelyssä. Siten y ( t A ( t 0 ( m cos

10

11 Heiluri Massa m ripustettu massattoman langan päähän. Vaiuttavat voimat Gravitaatiovoima F Langan jännitysvoima Liieen suunnassa vaiuttava voima on G T d s sin L L d ( F mgsin G t Tämä voima aiheuttaa appaleen rataiihtyvyyden a t d s/ dt. Newton II: ( FG t mat eli d s gsin dt Tarastellaan pieniä heilahdusia ja tehdään pienen ulman approsimaatio sin s / L. Kulma radiaaneina! Heilurin liieyhtälö pienillä ulmilla d s dt g L Ysinertainen harmoninen värähtely eli s( t Acos( t ( t cos( t max f s 0 0 g L tai

12 Kysymys Kuina pitä on sellaisen heilurin lana, jona heilahdusjaso on T = 1? 0.48 m. 1s (9.81 m/s / 1/ T g L g L f T

13 Esimeri Kulma on pieni, joten pienen ulman approsimaatio OK.

14 Fysiaalinen heiluri Massa(piste langan päässä on ysinertainen heiluri tai matemaattinen heiluri. Fysiaalinen heiluri on heilahdusliiettä suorittava marosooppinen appale. Kuvassa gravitaatiovoima aiheuttaa aselin suhteen vääntömomentin Mgd Mglsin Pienen ulman approsimaatiossa Mgl Vääntömomentti riippuu lineaarisesti ulmasta, joten liie oletettavasti ysinertaista harmonista liiettä. Liieyhtälö on t = I = d / dt eli d Mgl dt I Vertaamalla aiaisempiin tilanteisiin, saamme ulmataajuudesi d l f Mgl I

15

16 Ysinertaisen harmonisen liieen periaatteet