1 Analyyttiset funktiot

Transkriptio

1 Analyyttiset funktiot. Kompleksimuuttujan kompleksiarvoinen funktio Olkoot A ja B kompleksitason C osajoukkoja. Kuvausta f : A B sanotaan kompleksimuuttujan kompleksiarvoiseksi funktioksi. Usein on B C..Vakiokuvaus. Esimerkiksi kuvaus f : C C, f(z) z C on kompleksimuuttujan kompleksiarvoinen funktio. Yleisesti olkoon A C ja a C. Silloin kuvaus f : A C, f(z) a z A on vakiofunktiona kompleksimuuttujan kompleksiarvoinen funktio. 2.Identtinen kuvaus. Olkoon A C ja f(z) z z A. Silloin f : A A on joukon A identtinen kuvaus.. Muotoa S(z) az + b ; a, b, c, d C cz + d olevia kuvauksia sanotaan Möbius-kuvauksiksi. Jos valitaan a d ja b c 0, on S(z) z eli S : C C on identtinen kuvaus. Jos ad bc 0 ja c + d 0 (eli cz + d 0), S on vakiokuvaus: Jos c 0, on S(z) Jos d 0, on vastaavasti S(z) acz + bc c(cz + d) adz + bd d(cz + d) acz + ad c(cz + d) bcz + bd d(cz + d) a(cz + d) c(cz + d) a c b(cz + d) d(cz + d) b d. Olkoon ad bc 0. Erotetaan kaksi tapausta: a) c 0. Kuvaus S(z) az+b on määritelty, kun cz + d 0 eli kun z d. cz+d c Kuvaus on bijektio { C\ d } { a } C\, c c sillä yhtälöllä az + b cz + d az + b cz + d (a c)z d b z d b a c

2 on täsmälleen yksi ratkaisu z, kun a. (Voidaan jo nyt havaita, että c S( d ja S( ) a. Kuvaus S on siis bijektio C { } C { }. c c Ongelmaksi jää vain joukon C { } määrittely topologisena avaruutena.) b) c 0. Koska ad bc 0, on d 0. Kuvaus S(z) az + b cz + d az + b d on nyt määritelty kaikille z C. Kuvaus on bijektio C C, sillä az + b d az d b z d b a (koska ad bc 0 ja c 0, on a 0). (Tässä tapauksessa S( ), joten S : C { } C { } on bijektio.) 4. Määritellään f : C C asettamalla Koska kuvaus r r r+ f ( re iϕ) r r + eiϕ, f(0) 0. on bijektio ]0, [ ]0, [ on f : C U(0, ) bijektio. Jos merkitään z re iϕ, on r z. Tällöin f(z) + r reiϕ + z z. Kuvaus f(z) z on siis bijektio C U(0, ). + z 5. Neliöjuuri. Tarkastellaan kuvausta f : z z 2. Binomiyhtälöllä z 2 on kaksi ratkaisua, joille käytetään merkintöjä ja. Jos re iϕ, niin re i ϕ 2 ja re i( ϕ 2 +π) re i ϕ 2. Kuvaus f : C C on siis surjektio, mutta ei injektio, sillä pisteille 0 kuvautuu aina kaksi pistettä z ja z 2. (On huomattava, että ei ole mitään yleistä tapaa erottaa, kumpi neliöjuurista on z ja kumpi z 2. Jos toista merkitään :llä, niin toinen on.) Olkoon A {z Im z > 0} ja B C\{z Im z 0, Re z 0}. 2

3 z A B Kuva : Silloin f : A B on bijektio. Sen käänteiskuvausta f : B A sanotaan neliöjuuren haaraksi, joka on määritelty pitkin positiivista reaaliakselia aukileikatussa tasossa. Neliöjuuri voidaan määritellä jokaisessa origoon päättyvää sädettä pitkin aukileikatussa tasossa. Neliöjuuri on yksikäsitteinen, kun sovitaan, miten taso aukileikataan ja kumpaan puolitasoon kuuluva haara valitaan. Ennen kuin voidaan ollenkaan puhua neliöjuuresta, on valittava tason aukileikkaus. Esimerkki. Mitä vikaa on seuraavassa päättelyssä? ( ) 2 ( ) 2. jos määritellään siten, että se kuvaa aukileikatun tason ylemmälle vinolle puolitasolle I, niin kuvaa sen alemmalle puolitasolle II. Onko? Ei ole, sillä i, ja i i.

4 z re iϕ ψ - + i z re i ϕ 2 ψ/2 z Kuva 2: Onko sitten? Ei ole, sillä i ja sekä i Haaralle I on siis I Yhtälöä I I i. ja haaralle II on siis II II II. ei siis voida johtaa yhtälöstä, määriteltiinpä neliöjuuri miten hyvänsä. Voidaan huomata, että ja, sillä Siis i i ja i i. pätee haaralle I, mutta ei haaralle II. 4

5 Mõõritellõõn I Aukileikataan pitkin negatiivista imaginaariakselia I I - II II II I II I π + n2π ( π + n2π) π + nπ Kuva : pätee haaralle II, mutta ei haaralle I. 6. Kuutiojuuri. Kuvaus f(z) z on injektio esimerkiksi alueessa 0 < arg z < 2π. Sen kuva on pitkin positiivista reaaliakselia aukileikattu taso. Kuutiojuurella on tässä alueessa kolme haaraa, joiden kuvana ovat alueet I : 0 < arg z < 2π 2π II : < arg z < 4π 4π III : < arg z < 2π Yleisesti voidaan määritellä n, n 2,, 4,.... Esimerkki. Määrää suoran z + z 0 kuva Möbius-kuvauksessa S(z) z+. z Mikä suora? Yleinen tapa: x-akselin leikkauspisteessä on z z x. Siis 2x eli x. 2 y-akselin leikkauspisteessä on z iy, z iy. Siis iy iy 0 ei toteudu. Kyseessä on siis suora x. 2 z + z z z + 5

6 II I III Kuva 4: Kuvan yhtälö: z( ) z ( )( ) Ympyrä: zz + αz + βz + γ 0, α β, γ < αβ α β 2, γ, < ( 2)( 2) 4. Jos α a ib ja β a+ib, niin keskipiste on ( a, b) ja säde a 2 + b 2 γ. Kuvana on siis ympyrä, jonka keskipiste on (2, 0) ja säde on. Saamme erikoistapauksen yleisestä tuloksesta: Möbius-kuvaus kuvaa suoran ympyräksi (tai suoraksi). Yleisesti suoran x n yhtälö kompleksimuodossa on eli 2n 2x 2Re z z + z z + z 2n 0. Vastaavasti suoran y n yhtälö kompleksimuodossa on 2in 2iy z z 6

7 y x Kuva 5: eli Kuva 6: z z 2in 0. Kertomalla i:llä saadaan yhtälö normaalimuotoon αz + βz + γ 0, α β ja γ R: iz iz + 2n 0. Kuutiojuuri reaalifunktiona ja kompleksifunktiona. Kuvaus f : x x on määritelty kaikille x R. Derivaatta f (x) x 2 on määritelty kaikille x 0. Arvolla x 0 käyrän tangentti on pystysuora eikä funktuolla ole äärellistä derivaattaa. Jatkossa ehkä nähdään, että jo tämä riittää osoittamaan, ettei reaalista kuutiojuurta voida luonnollisella tavallajatkaa kompleksifunktioksi. Tarkastellaan kuutiojuurta kompleksifunktiona. Otetaan määrittelyjoukoksi pitkin negatiivista imaginaariakselia aukileikattu taso A C\{z Re z 0, Im z 0} C\{z arg z π}. 2 7

8 π + n2π < arg z < π + n2π 2 2 jokaisella arvolla n saadaan eri argumentina haara - z-taso I II III B 2 B I II... I B taso n 0 Kuva 7: Kuutiojuurella on A:ssa kolme haaraa, joiden maaleina ovat sektorialueet { B C π 6 < arg < π } n 0 { 2 B 2 C π 2 < arg < 7π } n 6 { B C 7π } π < arg < n Kuutiojuuren haarat ovat: I I II III : A B : A B 2 : A B kuvaa positiivisen reaaliakselin positiiviselle reaaliakselille ja negatiivisen reaaliakselin suoralle arg π. kuvaa positiivisen reaaliakselin suoralle arg 2π ja negatiivisen reaaliakselin negatiiviselle reaaliakselille (arg π). II kuvaa positiivisen reaaliakselin suoralle arg 4π ja negatiivisen reaaliakselin suoralle arg 5π. III Reaalinen kuutiojuuri f saadaan siis ottamalla positiivisella reaaliakselilla ja negatiivisella reaaliakselilla ja määrittelemällä f(0) 0. I II Funktion raja-arvo Olkoot A ja B kompleksitason joukkoja ja f : A B kuvaus. 8

9 Kuvauksella f on pisteessä z 0 A raja-arvo c, jos jokaista ε > 0 vastaa δ > 0 siten, että 0 < z z 0 < δ ja z A f(z) c < ε. Raja-arvoa varten riittää tarkastella jonoja z n z 0, z n A\{z 0 }. Funktiolla on raja-arvo c, jos ja vain jos kaikille tällaisille jonoille on voimassa lim f(z n) c. n Esimerkki. f(z) Re z z on määritelty joukossa A C\{0} ja 0 A. Onko olemassa raja-arvoa lim f(z)? z 0 Olkoon z n. Silloin Re z n n z n n ja f(z n ) Re z, joten z lim n f(z n ), lim z n 0. Olkoon z n i. Silloin Re z n n 0 ja f(z n ) 0, joten lim n f(z n ) 0, lim z n 0. Raja-arvoa ei siis ole olemassa. Funktio f on jatkuva pisteessä z 0 A, jos lim z z 0 f(z) f(z 0 ). Kuvaus f on jatkuva joukossa A, jos se on jatkuva jokaisessa A:n pisteessä. Oletetaan, että A on avoin joukko. Silloin f : A B on jatkuva, jos ja vain jos jokaisen avoimen joukon U C alkukuva f (U) on avoin. Funktio f u + iv on jatkuva, jos ja vain jos u : A R ja v : A R ovat jatkuvia. Olkoon I [0, ] yksikköväli. Polulla γ tarkoitetaan jatkuvaa kuvausta γ : I C γ(0) polun alkupiste γ() polun loppupiste γ(i) polun kantaja eli jälki. Jos γ(i) A, niin γ on joukon A polku. Pisteet γ(0) ja γ() on tällöin yhdistetty polulla γ joukossa A. Jos A:n kaksi pistettä voidaan aina yhdistää polulla A:ssa, niin A on polkuyhtenäinen. Jos A on lisäksi avoin, niin A on alue. Esimerkiksi joukko {z Im z 0} on polkuyhtenäinen, mutta se ei ole avoin. Sen sijaan esimerkiksi yksikkökiekko U(0, ) on sekä avoin että polkuyhtenäinen, eli siis alue. Polkuyhtenäisen joukon kuva jatkuvassa kuvauksessa on polkuyhtenäinen. 9

10 γ x γ(i) y A f f(y) f γ(i) f(x) B f(a) Kuva 8:.2 Analyyttinen funktio Olkoon f : G C kuvaus, G C. Jotta voisimme derivoida, joudumme olettamaan, että G on avoin joukko. Integrointia varten joudumme olettamaan, että G on polkuyhtenäinen. Avoimet ja yhtenäiset joukot ovat alueita. Jatkossa oletamme siis yleensä, että funktioden määrittelyjoukot ovat alueita. Olkoon G alue ja z G. Tällöin on olemassa r > 0 siten, että U(r, z) {z + < r} G. z r r z + 0 U(z, r) U(0, r) Kuva 9: Funktio f(z + ) f(z) h() on määritelty punkteeratussa kiekossa U (0, r) { 0 < < r} U(0, r)\{0} 0

11 ja 0 on U (0, r):n kasautumispiste. Edellä olleen määritelmän mukaisesti voidaan tutkia raja-arvoa a lim 0 h() lim 0 f(z + ) f(z) olemassaoloa. Jos tämä raja-arvo on olemassa, niin f on differentioituva pisteessä z ja luku a f (z) on f:n derivaatta tässä pisteessä. Funktio, joka on differentioituva alueen G jokaisessa pisteessä, on analyyttinen G:ssä. Analyyttisyyden määritelmä on erittäin vahva. Siitä seuraa mm., että myös f on analyyttinen, jolloin edelleen f on analyyttinen jne. Analyyttisellä funktiolla on siis kaikkien kertalukujen derivaatat. Funktio on analyyttinen pisteessä z, jos se on analyyttinen jossakin tämän pisteen ympäristössä. Kompleksifunktion derivaatan määrittely erotusosamäärän avulla on mahdollista, koska kompleksiluvut voidaan jakaa keskenään. Jos tarkastellaan vektorimuuttujan x R n vektoriarvoisia funktioita f : R n R n, niin derivaatan määrittely tällä tavalla ei onnistu, kun n. Tämä johtuu siitä, että lukualuetta ei voida laajentaa tasoa useampiulotteiseksi. (Hamilton ja kvaternionit 844.) Kirjoitetaan f(z + ) f(z) ε() a. Silloin f(z + ) f(z) a + ε(), () joten a on funktion f derivaatta pisteessä z, jos ja vain jos kehitelmä () pätee ja ε() 0, kun 0. Tätä kautta kompleksinen derivaatta a f (z) ja Analyysi4:n yleinen derivaatta (lineaarikuvauksena) liittyvät toisiinsa. Esimerkkejä.. Vakiokuvaus f(z) c on analyyttinen koko tasossa ja f (z) 0, sillä f(z + ) f(z) Tässä 0 f (z) ja ε() Identtinen kuvaus f(z) z on analyyttinen koko tasossa ja f (z), sillä f(z + ) f(z) + 0. Tässä f (z) ja ε() 0.. Funktio f(z) z 2 on analyyttinen koko tasossa ja f (z) 2z, sillä f(z + ) f(z) (z + ) 2 z 2 z 2 + 2z + 2 z 2 2z +.

12 Tässä f (z) 2z ja ε() 0, kun Funktiolla f(z) z ei ole derivaattaa missään pisteessä z C. Todistus. Tarkastellaan erotusosamäärää f(z + ) f(z) z + z säteillä { t, t > 0 it, t > 0 it te iϕ ϕ t Kuva 0: f(z + ) f(z) f(z + ) f(z), kun t > 0 it it, kun it, t > 0. Annetaan t 0+. Erotusosamäärällä on eri raja-arvot ( ja -) näillä säteillä, joten sillä ei ole raja-arvoa kompleksitason topologiassa. On mielenkiintoista huomata, että erotusosamäärällä on raja-arvo jokaisella origosta lähtevällä -tason säteellä te iϕ : f(z + ) f(z) te iϕ te iϕ e 2ϕ cos 2ϕ i sin 2ϕ. Jokaisella origon kautta kulkevalla suoralla saadaan eri raja-arvo. 2

13 Kehitelmän () avulla voidaan tavalliseen tapaan perustella summan, tulon, osamäärän, käänteisfunktion ja yhdistetyn funktion derivointikaavat kompleksifunktioille. Esimerkiksi, jos niin joten f (z + ) f (z) a + ε (), f 2 (z + ) f 2 (z) a 2 + ε 2 (), (f + f 2 )(z + ) (z + f 2 )(z) (a + a 2 ) + (ε () + ε 2 ()), (f + f 2 ) (z) f (z) + f 2(z). Käänteisfunktion derivaatta: Oletetaan, että funktiolla f on pisteessä z derivaatta f (z) 0 ja että käänteisfunktio f on määritelty ja jatkuva eräässä pisteen f(z) ympäristössä V. Silloin f on differentioituva pisteessä ja ( ) f () f (z) f (f ()). Todistus. (Huomaa merkinnän muuttuminen. Nyt on f(z). Merkitään siksi z:n lisäystä h:lla.) f + k f(z + h) z z + h U f (V ) f(z) V Kuva : f:n jatkuvuuden nojalla k 0, kun h 0, f : U V jatkuva bijektio, jonka käänteiskuvaus f : V U on jatkuva ja f :n jatkuvuuden nojalla h 0, kun k 0. Jos + k V, k 0, niin merkitään f ( + k) z + h. Silloin h 0 ja f ( + k) f() k z + h z f(z + h) f(z) h f (z)h + hε(h) f (z) + ε(h), kun k 0. f (z)

14 H f f(z) z 2 E z f () Kuva 2: Esimerkki. Funktio f(z) z 2 on injektio ylemmässä puolitasossa H {z Im z > 0} ja E f(h) on pitkin positiivista reaaliakselia aukileikattu taso C\[0, [. Neliöjuuri voidaan määritellä kuvauksena f : E H. Merkitään f (). Osoitetaan, että f on jatkuva E:ssä. Olkoon, 2 E ja z x + iy z 2 x 2 + iy 2 2, jolloin y > 0 ja y 2 > 0. Saadaan arvio 2 z 2 2 z 2 z2 z z + z 2 z 2 z (x + x 2 ) 2 (y + y 2 ) 2 z 2 z (y + y 2 ) > y z 2 z, mistä saadaan z 2 z < 2 y. Pidetään (ja siis myös y ) vakiona ja annetaan 2. Silloin 2 0, joten myös z 2 z 2. Näin ollen on jatkuva pisteessä. Koska (ja 2 ) valittiin mielivaltaisesti E:stä, on jatkuva E:ssä. 4

15 Käänteisfunktion derivaattaa koskevasta tuloksesta seuraa, että on derivoituva E:ssä ja sen derivatta on sillä f(z) z 2 ja f (z) 2z. Vastaavalla tavalla nähdään, että f (z) f ( ) 2, f(z) z z E Kuva : kuutiojuuri on jatkuva E:ssä ja sen derivaatta on Tulos yleistyy n:teen juureen n. f (z) f ( ) ( ) 2. Cauchy-Riemannin -yhtälöt Olkoon f : A C kuvaus ja z Ajoukon A sisäpiste. Oletetaan, että f on differentioituva pisteessä z x + iy, jolloin f(z + ) f(z) a + ε(), (2) missä ε() 0, kun 0. Hajotetaan kaikki termit reaali- ja imaginaariosiinsa: f(z) u(x, y) + iv(x, y) a α + iβ h + ik ε() ε () + iε 2 (). 5

16 Yhtälö (2) hajoaa tällöin kahdeksi reaaliseksi yhtälöksi: Koska u(x + h, y + k) u(x, y) αh βk + hε () kε 2 () v(x + h, y + k) v(x, y) βh + αk + kε () + hε 2 (). hε () kε 2 () 2 (h, k) (ε (), ε 2 ()) 2 Scharzin ey. (h, k) 2 (ε (), ε 2 ()) 2 (h 2 + k 2 )(ε () 2 + ε 2 () 2 ), on hε () kε 2 () lim 0. h 2 +k 2 0 h2 + k 2 Näin ollen funktio u : A R on (Analyysi:n ja Analyysi4:n mielessä) differentioituva pisteessä z (x, y) ja D u u x α, D 2 u u y β. Samalla perusteella v : A R on differentioituva pisteessä z (x, y) ja D v v x β, D 2 v y α. Funktiot u ja v toteuttavat siis ns. Cauchy-Riemannin differentiaaliyhtälöt { ux v y () u y v x. Oletetaan kääntäen, että funktiot u : A R ja v : A R ovat differentioituvia joukon A sisäpistessä z (x, y) ja toteuttavat tässä pisteessä Cauchy- Riemannin differentiaaliyhtälöt (). Muodostetaan funktio f u + iy : A C. Väitös: f on differentioituva pisteessä z ja f (z) u x (x, y) + iv x (x, y) v y (x, y) u y (x, y). Todistus: Differentioituvuuden määritelmän perusteella u:lla ja v:llä on kehitelmät u(x + h, y + k) u(x, y) u x (x, y)h + u y (x, y)k + ε () v(x + h, y + k) v(x, y) v x (x, y)h + v y (x, y)k + ε 2 (), 6

17 missä h + ik ja ε j 0, kun 0, j, 2,.... Yhtälöiden () nojalla on f(z + ) f(z) u x h + u y k + iv x h + iv y k + ε () + i ε 2 () Merkitään Silloin missä ε() 0, kun 0. On siis todistettu u x h + iv y k + i(v x h iu y k) + ε () + i ε 2 () u x h + iu x k + i(v x h + iv x k) + (ε () + iε 2 ()) u x (h + ik) + iv x (h + ik) + (ε () + iε 2 ()) (u x + iv x ) + (ε () + iε 2 )). a u x (x, y) + iv x (x, y) ε() (ε () + iε 2 ()). f(z + ) f(z) a + ε(), Lause Funktio f u + iv : G C on analyyttina en alueessa G, jos ja vain jos funktiot u : G R ja v : G R ovat G:ssä differentioituvia ja toteuttavat Cauchy-Riemannin yhtälöt (). Oletetaan, että olemme unohtaneet Cauchy-Riemannin yhtälöt. Miten ne voidaan palautta mieleen? Oletetaan, että derivaatta f (z) lim 0 f(z + ) f(z) on olemassa pisteessä z G. Valitaan :lle sopivia teitä lähestyä nollaa, h + ik (h, k), z x + iy (x, y): ) menee reaalisena kohti nollaa. Merkitään h (h, 0) f(z + ) f(z) u(x + h, y) + iv(x + h, y)u(x, y) iv(x, y) h u(x + h, y) u(x, y) v(x + h, y) v(x, y) + i h h u x (x, y) + iv x (x, y) f (z). 7

18 2) menee puhtaasti imaginaarisena kohti nollaa. Merkitään ik (0, k). f(z + ) f(z) u(x, y + k) + iv(x, y + k) u(x, y) iv(x, y) ik u(x, y + k) u(x, y) i(v(x, y + k) v(x, y)) i + k ik iu y (x, y) + v y (x, y) v y (x, y) iu y (x, y) f (z). Oletetaan, että f (z) on olemassa. Kohdassa on f:n osittaisderivaatta x:n suhteen: f(z + h) f(z) f x (x, y) lim f (z), h R. h 0 h Kohdassa 2 on f:n osittaisderivaatta y:n suhteen vakiolla kerrottuna: f y (x, y) lim k 0 f(z + ik) f(z) k i lim k 0 f(z + ik) f(z) k lim k 0 i(f(z + ik) f(z)) ik if (z). Siis f x (x, y) i f y(x, y) if y (x, y). Saadaan Cauchy-Riemannin yhtälöiden kompleksimuoto f x if y. 8