spektri taajuus f c f c W f c f c + W

Transkriptio

1 Kaistanpäästösignaalit Monet digitaaliset tiedonsiirtosignaalit ovat keskittyneet jonkin tietyn kantoaaltotaajuuden f c ympäristöön siten, että signaali omaa merkittäviä taajuuskomponetteja vain kaistalla f c ±W (ja f c ±W ). Tällaisia signaaleja sanotaan kaistanpäästösignaaleiksi spektri f c f c W f c f c + W taajuus 232

2 Jos signaalin kaistanleveys B on paljon pienempi kuin kantotaajuus f c eli B f c, niin signaalia sanotaan kapeakaistaiseksi Miten tämä näkyy? Se näkyy siten että signaalin verhokäyrä muuttuu hitaasti eli on likipitäen vakio usean kantoaallon jakson ajan, sitä kauemmin mitä kapeakaistaisemmasta (B/f c pieni) signaalista on kyse 233

3 signaali aika 234

4 Järjestelmien esittämisen ja analyysin kannalta kapeakaistaiset kaistanpäästösignaalit voidaan esittää ekvivalenttisen alipäästösignaalin avulla, joka on riippumaton kantoaaltotaajuudesta Useimmiten käytetään termejä kompleksinen verhokäyrä tai kantataajuinen signaali 235

5 Kompleksinen verhokäyrä Yhdellä kantotaajuudella tyypillinen tietoliikennelähetin on pelkistetysti cos 2πf c t x(t) + y(t) - sin 2πf c t Reaaliset (data)signaalit x(t) jay(t) ovat kapeakaistaisia (B f c ) ja moduloivat kantoaaltoja cos 2πf c t ja sin 2πf c t Lähetetty signaali on siis s(t) =x(t) cos 2πf c t y(t)sin2πf c t (130) 236

6 Lähetetty signaali s(t) voidaan esittää myös muodossa s(t) =Re{(x(t)+jy(t))e j2πf ct } (131) sillä =Re{(x(t)+jy(t))(cos 2πf c t + j sin 2πf c t)} =Re{x(t) cos 2πf c t y(t)sin2πf c t + jx(t)sin2πf c t + jy(t) cos 2πf c t} = x(t) cos 2πf c t y(t)sin2πf c t Merkitsemällä signaali s(t) on esitettävissä muodossa s l (t) =x(t)+jy(t) (132) s(t) =Re{s l (t)e j2πf ct } (133) Signaalia s l (t) (132) sanotaan reaalisen signaalin s(t) kompleksiseksi verhokäyräksi 237

7 Koska x(t) jay(t) moduloivat vaihekvadratuurissa (vaihe-ero 90 ) olevia kantoaaltoja, niitä kutsutaan kvadratuurikomponenteiksi Kosini-haarassa on vaiheessa oleva (in-phase) signaali. Tämä on ns. I-haara Sini-haara on vaihekvadratuurissa (quadrature). Tämä onns.qhaara Usein puhutaan I- ja Q-haaroista, ne ovat siis nämä 238

8 Kompleksiluku voidaan esittää amplitudi ja vaihetermin avulla Tästä seuraa, että jossa s l (t) =a(t)e jθ(t) (134) a(t) = x 2 (t)+y 2 (t) = s(t) (s(t):n verhokäyrä) θ(t) = arctan y(t) x(t) (s(t):n vaihe) (135) (136) Sijoittamalla tämä signaalin s(t) lausekkeeseen saadaan s(t) =Re{a(t)e j(θ(t)+2πf ct) } = a(t) cos ( 2πf c t + θ(t) ) 239

9 Kaistanpäästösignaalin spektri Kaistanpäästösignaalins(t) spektri S(f) voidaanesittää kompleksisen verhoräyrän s l (t) spektrin S l (f) avulla Määritelmän mukaan S(f) = Re{s l (t)e j2πf ct }e j2πft dt Koska kompleksiluvuille pätee Re{z} = 1 2 (z + z )(z + z = x + jy + x jy =2x =2Re{z}), niin ( S(f) = 1 sl (t)e j2πfct + s 2 l (t)e ) j2πf ct e j2πft dt = 1 2( Sl (f f c )+S l ( f f c ) ) (137) 240

10 Tämä tarkoittaa, että kaistanpäästösignaalin spektri S(f) muodostuu kompleksisen verhokäyrän spektristä siirrettynä taajuuden f c ympärille (S l (f f c )) ja verhokäyrän spektrin kompleksikonjugaatin taajuuskäänntetystä ( f) versiosta taajuuden f c ympärillä Miten niin? Ensiksi: S l (f) on keskittynyt nollataajuuden ympäristöön eli se on nolla jos f >W Toiseksi: S l (f f c ) on nollasta poikkeava vain jos f f c <W eli jos W <f f c <W eli f c W<f<f c + W Kolmanneksi: S l ( f f c ) on nollasta poikkeava vain jos f f c <Weli jos W < f f c <Weli f c W< f <f c +W eli f c + W>f> f c W 241

11 Neljänneksi: olkoon S l (f = δ) = A. Silloin S l ( f) =A jos f = δ eli f = δ eli spektri täytyy kääntää y-akselin suhteen jotta S l (f) arvoista saadaan S l ( f) arvot Näistä seuraa seuraavan kuvan mukainen johtopäätös spektri S l (f) W W taajuus spektri S l ( f f c ) S l (f f c ) f c f c W f c f c + W taajuus 242

12 Edellisessä ei tarvittu oletusta kapeakaistaisuudesta. Se oletus kuitenkin tarvitaan. Siitä osoituksena on signaalin energian laskeminen. Osoittautuu, että jos signaali on kapeakaistainen, niin käytännön laskuissa pätee s(t) 2 dt = 1 sl (t) 2 dt eli kapeakaistaisen 2 kaistanpäästösignaalin energia voidaan laskea sen kompleksisen verhokäyrän avulla (eli kantoaaltotermiä e j2πfct ei välttämättä tarvitse pyörittää mukana, jolloin laskut helpottuvat). Asia lasketaan paikkoin Sama pätee moneen muuhunkin asiaan, esim. vastaanotinten suunnitteluun Usein vastaanotettu signaali esitetään ilman kantoaaltoa eli y(t) = s l (t)+z(t) ja vastaanotin suunnitellaan tämän perusteella Käytännön laitteissa asetaan sitten halutut kantotaajuudet kohdalleen 243

13 yksinkertaistettu vastaanottimen lohkokaavio Re{s l (t)e j2πfct } BPF AD LPF s l (t) e j2π(fc f IF )t e j2πf IF t analoginen osa -analoginen sekoitus välitaajuudelle digitaalinen osa -näytteistys välitaajuudella -digit. alassekotus LPF = alipäästösuodatin BPF= kaistanpäästösuodatin suodattavat ei halutut taajuuskomponentit pois 244

14 Sitten energian laskemisen kimppuun Signaalin energia E on E = = = 1 2 s(t) 2 dt a 2 (t) cos 2 (2πf c t + θ(t)) dt a 2 (t) dt a 2 (t) cos(4πf c t +2θ(t)) dt Koska signaali on kapeakaistainen, niin a 2 (t) = s l (t) 2 ja θ(t) muuttuvat hitaasti suhteessa kosini-termiin Tällöin yo. integraalin jälkimmäinen osa on hyvin pieni verrattuna ensimmäiseen osaan. Asiaa havainnollistettu seuraavassa kuvassa 245

15 a 2 (t) cos(4πf c t + α) integroituu nollaksi joten a 2 (t) dt a 2 (t)cos(4πf c t + α) dt Täten: käytännön sovelluksissa kapeakaistaisille signaaleille s(t) pätee, että sen energia E = 1 2 s l (t) 2 dt (138) jossa s l (t) on signaalin s(t) kompleksinen verhokäyrä 246

16 Kaistanpäästösysteemit Tarkastellaan lineaarista kaistanpäästösysteemiä h(t), joka on reaalinen. Sen taajuusvasteelle pätee siis H(f) =H ( f) Kuvamuodossa kaistaanpäästössysteemin spektri on 247

17 spektri H l (f) W spektri W taajuus H l ( f f c ) H l (f f c ) Tästä saadaan taajuus f c f c W f c f c + W H(f) =H l (f f c )+H l ( f f c ) (139) jossa H l (f) on systeemin alipäästöesityksen (kompleksisen ver- 248

18 hokäyrän) taajuusvaste Tämä eroaa signaalien spektrin määritelmästä kertoimella 1/2 Käänteinen Fourier muunnos antaa h(t) =h l (t)e j2πfct + h l (t)e j2πf ct =2Re{h l (t)e j2πfct } (140) joka on vastaava kuin kaistanpäästösignaaleille 249

19 Kaistanpäästösysteemien vaste kaistanpäästösyötteille Seuraavaksi osoitetaan: kapeakaistaisen kaistanpäästösysteemin vaste kapeakaistaiselle kaistanpääästösyötteelle voidaan laskea kompleksisten verhokäyrien avulla. Tämä oneräs alipäästöesityksen hyödyistä: vaste voidaan laskea kantotaajuudesta riippumatta Systeemin vaste on R(f) =S(f)H(f), joka on R(f) = 1 ( Sl (f f c )+Sl ( f f c ) )( H l (f f c )+Hl ( f f c ) ) 2 Seuraavasta kuvasta nähdään, että 250

20 spektri H l ( f f c ) H l (f f c ) taajuus f c f c W f c f c + W spektri S l ( f f c ) S l (f f c ) taajuus f c f c W f c f c + W S l (f f c )Hl ( f f c)=0 Sl ( f f c)h l(f f c )=0 Tämä on seurausta kapeakaistaisuudesta 251

21 Vaste on siis R(f) = 1 ( Sl (f f c )H l (f f c )+Sl ( f f c )Hl ( f f c ) ) 2 = 2( 1 Rl (f f c )+Rl ( f f c ) ) (141) jossa R l (f) =S l (f)h l (f) (142) on vasteen alipäästöesitys (141) on kapeakaistaisen kaistanpäästösignaalin spektri Aika-alueessa on yhteys r l (τ) = s l (τ)h l (t τ) dτ (143) 252

22 Stokastiset kaistanpäästösignaalit Jos stokastisen signaalin PSD on keskittynyt taajuuksien ±f c ympäristöön ja kaistanleveys B f c, niin kyseessä on kapeakaistainen stokastinen kaistanpäästösignaali Sille on olemassa vastaava alipäästöesitys kuin deterministisillekin signaaleille Tarkastellaan seuraavaksi tällaisen stationaarisen signaalin ominaisuuksia keskiarvo korrelaatio ja sen tietyt ominaisuudet spektri kapeakaistainen valkoinen kohina 253

23 Olkoon n(t) kapeakaistainen, stationaarinen, stokastinen kaistanpäästösignaali ja z(t) = x(t) + jy(t) sen kompleksinen verhokäyrä Signaalin n(t) odotusarvo on E{n(t)} =E{x(t) cos 2πf c t y(t)sin2πf c t} =E{x(t)} cos 2πf c t E{y(t)} sin 2πf c t Jotta n(t) olisi stationaarinen, on sen keskiarvon oltava ajasta riippumaton Nyt tämä tapahtuu vain jos E{x(t)} =E{y(t)} = 0 eli alipäästösignaalin z(t) osakomponettien täytyy olla nollakeskiarvoisia (koska kosinija sinitermit riippuvat ajasta täytyy kertomien olla 0) Tästä seuraa että E{z(t)} =0 254

24 Autokorrelaatio on E{n(t)n(t + τ)} =E {( x(t) cos 2πf c t y(t)sin2πf c t ) ( x(t + τ) cos 2πf c (t + τ) y(t + τ)sin2πf c (t + τ) )} =E{x(t)x(t + τ)} cos 2πf c t cos 2πf c (t + τ) +E{y(t)y(t + τ)} sin 2πf c t sin 2πf c (t + τ) E{x(t)y(t + τ)} cos 2πf c t sin 2πf c (t + τ) E{y(t)x(t + τ)} sin 2πf c t cos 2πf c (t + τ) Trigonometriset kaavat sanovat että ( ) cos A cos B = 1 2 cos(a B) + cos(a + B) ( ) sin A sin B = 1 2 cos(a B) cos(a + B) ( ) sin A cos B = 1 2 sin(a B)+sin(A + B) sin A = sin A 255

25 Käyttämällä näitä E{n(t)n(t + τ)} = 1 2( E{x(t)x(t + τ)} + E{y(t)y(t + τ)} ) cos 2πfc τ + 1 2( E{x(t)x(t + τ)} E{y(t)y(t + τ)} ) cos 2πfc (2t + τ) 1 2( E{x(t)y(t + τ)} E{y(t)x(t + τ)} ) sin 2πfc τ 1 2( E{x(t)y(t + τ)} + E{y(t)x(t + τ)} ) sin 2πfc (2t + τ) Jotta n(t) olisi stationaarinen, niin osakorrelaatioiden täytyy olla stationaarisia, jolloin φ nn (τ) = 1 2( φxx (τ)+φ yy (τ) ) cos 2πf c τ + 1 2( φxx (τ) φ yy (τ) ) cos 2πf c (2t + τ) 1 2( φxy (τ) φ yx (τ) ) sin 2πf c τ 1 2( φxy (τ)+φ yx (τ) ) sin 2πf c (2t + τ) 256

26 Tämä riippuu vielä ajasta, joten vaaditaan lisäksi, että jolloin φ xx (τ) =φ yy (τ) φ xy (τ) = φ yx (τ) (144a) (144b) φ nn (τ) =φ xx (τ) cos 2πf c τ φ xy (τ)sin2πf c τ (145) =Re{φ zz (τ)e j2πfcτ } (146) jossa φ zz on kompleksisen verhokäyrän z(t) autokorrelaatio Stationaarisen kapeakaistaisen kaistanpäästösignaalin autokorrelaatio voidaan siis esittää signaalin kompleksisen verhokäyrän avulla 257

27 Kaikille ristikorrelaatiofunktioille pätee φ yx (τ) =φ xy ( τ) joten koska nyt pätee myös φ xy (τ) = φ yx (τ), niin φ xy (τ) = φ xy ( τ) (147) eli φ xy (τ) on pariton ja φ xy (0) = 0 Tästä seuraa, että x(t) jay(t + τ) ovat korreloimattomia (nollakeskiarvoisille korrelaatio ja kovarianssi ovat samat) aikaerolla τ =0 Jos φ xy (τ) =0 τ, niin kvadratuurikomponentit olisivat korreloimattomia kaikilla aikaeroilla, φ zz (τ) olisi reaalinen ja PSD olisi symmetrinen eli Φ z (f) =Φ z ( f) 258

28 Valkoinen kohina Tietoliikennesovelluksissa kohina on yleensä kaistanpäästösuodatettu, joten se ei voi olla (ideaalista) valkoista kohinaa, jonka PSD on tasainen kaikilla taajuuksilla Tietoliikennesovelluksissa valkoisella kohinalla tarkoitetaan prosessia, jonka PSD on vakio koko tarkastelukaistalla Valkoisen kohinan verhokäyrän z(t) PSD on { N 0 f 1 Φ z (f) = 2 B = W 0 f > 1 2 B (148) 259

29 Valkoisen kohinan n(t) PSD on Φ z (f) B N 0 W W taajuus Φ n (f) B N 0 /2 f c f c W f c f c + W taajuus 260

30 Verhokäyrän autokorrelaatio on sin πbτ φ z (τ) =N 0 πτ Kun kaistanleveys B kasvaa äärettömän suureksi (149) lim φ z(τ) =N 0 δ(τ) (150) B joka ideaalisen valkoisen kohinan autokorrelaatio PSD on symmetrinen, joten φ xy (τ) =0 τ eli kvadratuurikomponentit ovat korreloimattomia kaikille τ Jos z(t) Gaussinen (x(t) jay(t) yhteisjakauma Gaussinen), niin kvadratuurikomponentit ovat myös riippumattomia PSD:n symmetrisyydestä seuraa myös, että φ zz (τ) =φ xx (τ) = φ yy (τ) 261