2 b 1 + b 1 x. = b 1 (x 4) (x 2) b 1 (x 2)

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "2 b 1 + b 1 x. = b 1 (x 4) (x 2) b 1 (x 2)"

Transkriptio

1 3. Approsimointi 3.. Padén approsimaatio. Cauchyn approsimaatio: [7, I, 5.8]; Padén approsimaatio: [7, I, 5.9]; [, 9.5-8] Lagrangen interpolaatiopolynomi antaa ysinertaisen rataisun sileän funtion arvojen interpolointiin (ja jossain määrin funtion approsimointiin. Jos tarasteltavalla funtiolla on joninlaista singulaarista äyttäytymistä (uten nimittäjän nollaohdat tangentilla, voidaan interpoloinnissa/approsimoinnissa yrittää päästää parempaan tuloseen rationaalifuntioiden avulla. Cauchyn interpoloinnissa annetuille pisteille (x j, y j, j n, ja annetulle luvulle {,,..., n + } etsitään rationaalifuntiota R = P/Q (missä P ja Q ovat esenään jaottomia polynomeja siten, että R(x j = y j, j n, deg P < ja deg Q n +. Tapausessa = n + rataisu on aina olemassa: deg Q taroittaa, että Q on vaio, ja P siis voi olla miä tahansa polynomi, jona aste on enintään n. Rataisusi äy siis R = P = Lagrangen inerpolaatiopolynomi. Yleisessä tapausessa rataisua ei välttämättä löydy. Esimeri 3.. Oloot pisteet (x j, y j, j 3, ( ( ( (,,, 3,, 4 5, 3,. Oletetaan, että on olemassa rationaalifuntio R, jona osoittajan aste on enintään asi ja nimittäjän enintään ysi, ja jolle R(x j = y j, j 3. Kun R esitetään muodossa R(x = a + a x + a x, b + b x saadaan ehtojen R(x j = y j, j 3, avulla joten a = 4 b, a = 3 b, a = b, b = b, R(x = 4 b + 3 b x b x b + b x = b (x 4 (x b (x = 4 x Pisteessä x = tämä rationaalifuntio ei uitenaan saa vaadittua arvoa 4 5. Näille pisteille (x j, y j Cauchyn interpolaatio-ongelmalla ei siis ole rataisua, jolle = 3. Cauchyn interpolaatio-ongelmalle jossain mielessä lähisuuinen approsimointiongelma on Padén approsimointi. Oloon f välillä I määritelty C -funtio ja x I. Palautetaan mieleen Taylorin polynomit. Funtion f n. Taylorin polynomi P voidaan määritellä vaatimalla, että polynomi P on enintään astetta n, ja että se approsimoi funtiota f pisteen x lähellä ertaluuun n asti, t.s. f(x P (x = O( x x n+, un x x, Viimesi muutettu... 3

2 tai yhtäpitävästi polynomilla P ja funtiotalla f on ertaluvun n ontati pisteessä x, t.s. P (j (x = f (j (x, j n. Vrt. [A3] Padén approsimoinnissa, taremmin funtion f (, m-padén approsimaatiossa 3 etsitään rationaalifuntiota R = P/Q (P ja Q esenään jaottomia siten, että Q(x ja R (j (x = f (j (x, j < + m, deg P < ja deg Q m. Approsimaatio-omaisuuden nojalla tämä taroittaa, että f(x R(x = O( x x +m, un x x. Siis on olemassa M ja δ > siten, että f(x R(x M x x +m, un x x δ. Kertomalla puolittain nimittäjällä Q(x (ja olettamalla δ niin pienesi, että Q(x, x x δ, saadaan yhtäpitävästi Q(x f(x P (x Q(x M x x +m, un x x δ. Kosa Q(x pisteen x ympäristössä, saadaan yhtäpitävä ehto Q(x f(x P (x M x x +m, un x x δ, 4 eli Q(x f(x P (x = O( x x +m, un x x. Siis rationaalifuntio R = P/Q (P ja Q esenään jaottomia on funtion f Padén approsimaatio pisteessä x, jos ja vain jos Q(x ja (, m- D j (Q f(x = P (j (x, j < + m, deg P < ja deg Q m. Tästä ehdosta saadaan polynomien P ja Q ertoimille lineaarinen yhtälöryhmä. Huomaa, että polynomissa on errointa, polynomissa Q m + errointa ja yhtälöitä on + m. Osamäärässä polynomien P ja Q johtavien ertoimien suhteella ei ole meritystä, joten nimittäjän voidaan olettaa olevan pääpolynomi (t.s. polynomin Q johtava erroin voidaan olettaa yösesi. Kuten Cauchyn interpolaatio-ongelman ohdalla, Padén approsimaatio-ongelmalla ei välttämättä ole rataisua. (HT Kirjassa [7, ] äsitellään Cauchyn interpolointia ja Padén approsimointia algebrallisesta näöulmasta: interpolaatio- ja approsimaatio-ongelmien rateavuus ja rataisun määrääminen selvitetään polynomien laajennetun Euleideen algoritmin avulla. 3 Maximan omennossa pade(t,l,m on x =, t funtion f Taylorin polynomi ja l =.

3 3.. Pienimmän neliösumman menetelmä I. [, luu 7] Interpoloinnille läheistä suua ovat erilaiset approsimointimenetelmät. Seuraavassa tarastellaam ns. pienimmän neliösumman menetelmää. Oloot I R väli ja f, p : I R, m, annettuja funtioita. Oletetaan, että funtiot p, m, ovat lineaarisesti riippumattomat. Oloot x, x..., x n I esenään erisuuria. Pienimmän neliösumman menetelmässä määrätään ertoimet a R, m, siten, että neliösumma ( m (3. f(x j a p (x j j= saa pienimmän mahdollisen arvonsa. Jos meritään p(x, a,..., a m := m a p (x j, niin etsitään ertoimia a R, m, siten, että funtio ( R: (a,..., a m f(xj p(x j, a,..., a m saa pienimmän mahdollisen arvonsa. j= Esimeri 3.. Niin sanotun penimmän neliösumman suoran määräämisessä äytetään funtioita p (x := ja p (x := x, t.s. p(x, a, b := a + b x. Vrt. [DL, HT 6]. Kun summassa (3. esiintyvät neliöön orotuset suoritetaan, saadaan m m R(a,..., a m = f(x j p (x j f(x j + a a l p (x j p l (x j. j= a j=,l= Ääriarvopisteessä on R a r (a,..., a m =, r m, joten m p r (x j f(x j + p r (x j p l (x j =, r m. j= l= a l j= Vaia saatu yhtälöryhmä voi näyttää toivottomalta, ei sellaisen äsittely tietooneen avulla ole laiaan vaieaa. Esimerisi Maximassa (un m = 3 matriisiin xy_pisteet talletettuun dataan liittyvän pienimmän summan funtion p(x, a, b, c vaiot a, b ja c saadaan seuraavalla omennolla; lsquares_estimates(xy_pisteet, [x,y], y=p(x,a,b,c, [a,b,c]; Pienimmän neliösumman menetelmän virhearviointi (eli summan (3. arvioiminen on melo työlästä; s. esimerisi [, 7.4]. Esimeri 3.3. Oloot f : [, ] R, f(x := cos(π x ja 4 {x, x,..., x 4 } = { , , , , } j= 5 4 Jouo {x, x,..., x 4 } on muodostettu äyttäen Maximan satunnaisluugeraattoria; muutin lasut on tehty Maximalla.

4 Kun pienimmän neliösumman menetelmää sovelletaan pisteisiin (x j, f(x j, j 4, ja muotoa p(x = a x 4 + b x + c (a, b, c R parametreja oleviin funtioihin, saadaan p(x = x x Seuraaviin uviin on piirretty funtioiden f ja p uvaajat, pisteet (x j, f(x j, j 4, ja virheen f p uvaaja: x s(%pi*x *x *x x Edellä olleen polynomin p määrääminen Maximalla onnistuu seuraavasti (viimeisen omennon tulos lsf on etsitty p; omennolla transpose(apply(matrix,... muutetaan x- ja y-pisteistä muodostuva lista [ptsx, ptsy] matriisisi, jollaisen lsquares_estimates aipaa argumentiseen: load(lsquares$ f(x:=cos(%pi*x; ptsx:maelist(random(.-, j,,5; ptsy:float(f(ptsx; m:transpose(apply(matrix, [ptsx, ptsy]; lsquares_estimates(m, [x,y], y=a*x^4+b*x^+c, [a,b,c]; lsf:float(ev(a*x^4+b*x^+c, %; Kaavan (3. muainen neliöllinen virhe voidaan Maximalla lasea seuraavasti (muuttuja virhe on virhevetori (f(x p(x,..., f(x n p(x n : virhe:ptsy-ev(lsf,x=ptsx; virhe.virhe; Esimerin tilanteessa neliöllinen virhe on Bernsteinin polynomit. Weierstrassin approsimointilause on analyysissä varsin täreä tulos. Ysi aleellinen ja samalla onstrutiivinen todistustapa perustuu ns. Bernsteinin polynomien äyttöön. Lause 3.4 (Weierstrassin approsimointilause. Oloot f : [a, b] R jatuva funtio. Tällöin on olemassa jono polynomeja (p n n=, joa suppenee välillä [a, b] tasaisesti ohti funtiota f, t.s. sup x [a,b] f(x p n (x, un n. Todistetaan väite tapausessa a =, b = ; yleinen tapaus seuraa tästä helposti.

5 Todistus. Oloon f : [, ] R jatuva funtio. Joaiselle n Z + asetetaan ( ( n B n (x := f x ( x n. n Polynomi B n on funtion f n. Bernsteinin polynomi. Seuraavassa on eräitä binomiehitelmää täydentäviä identiteettejä. Alusi ( n (3. x ( x n = (x + ( x n = aiille x R. Kun edellissä yhtälössä luu n orvataan luvulla n, yhtälö errotaan puolittain x:llä ja vaihdetaan indesin paialle j, saadaan n ( n ( n x = x x ( x n = x j ( x n j. j Tässä ( ( n j = j n n j, joten saadaan (3.3 ( n j n j= ( n x ( x n = x aiille x R. Vastaavalaisella päättelyllä uin edellä: Korvataan n luvulla n, errotaan yhtälö (3. puolittain x :llä, vaihdetaan indesin paialle j ja äytetään identiteettiä = j j n n. Lopputulosena saadaan (3.4 Siis (3.5 ( n j ( ( n x ( x n = (n n x aiille x R. Lasetaan seuraavasi aavojen (3., (3.3 ja (3.4 avulla ( n x ( n x n ( x n x ( x = n ( n x + ( n x + ( n = n ( n = x x ( x n + n x n n + ( n ( x ( x n n = x + n x n x + n (n n x = ( n x ( n x n ( x n = x ( x n x ( x. n x ( x n ( n x ( x n aiille x R. 7

6 Arvioidaan erotusta f(x B n (x seuraavasti (apuna yhtälö (3. ( ( n f(x B n (x f(x f x n ( x n =: Σ + Σ, missä Σ on summa niiden indesien suhteen, jota toteuttavat ehdon x n < n /4, ja Σ summa muiden indesien suhteen. Oloon ε >. Kosa f on tasaisesti jatuva välillä [, ], on δ > siten, että n /4 f(t f(s < ε, un t, s [, ] ja t s < δ. Kun n δ 4, on δ, joten summassa Σ n /4 oleville indeseille on x < n δ. Tasaisen jatuvuuden ehdon nojalla f(x f( < ε, joten n Σ ( ε n x ( x n ε ( n x ( x n = ε. Summassa Σ oleville indeseille on x, joten (x n n /4 n. Siis n / n / (x n. Toisaalta, jos M := sup t [,] f(t, on f(x f( M n M n / (x n. Kosa x ( x /4, un x [, ], saadaan ( M n / x ( n x n ( x n Σ M n / ( x ( n x n ( x n / x ( x = M n n M n /. Kun nyt n (M/ε, on Σ M ε. n / Siis, un n max{δ 4, (M/ε }, on f(x B n (x Σ + Σ ε. Tämä taroittaa, että polynomijono (B n n= suppenee tasaisesti ohti funtiota f. Huomautus 3.5. Jos todistusen viimeistelyssä oltaisiin hieman tarempia, saataisiin vantitatiivisempi virhearvio. Määritellään alusi funtion f δ-heilahtelu välillä [a, b] asettamalla ω(f; δ := sup{ f(x f(x x, x [a, b] ja x x δ}. Kosa ompatilla välillä jatuva funtio on tasaisesti jatuva, on lim δ + ω(f; δ =. Jos f toteuttaa Lipschitz-ehdon f(x f(x L x x aiille x, x [a, b], missä L on vaio, niin ω(f; δ L δ (todistus: HT. Välillä [, ] määritellylle jatuvalle funtio f on voimassa Todistusen osalta atso [3, luu 5, ]. f(x B n (x 9 4 ω(f; n /. Esimeri 3.6. Oloon f : [, ] R, f(x := x. Tällöin funtion f astetta oleva Bernsteinin polynomi on B (x = 974 x x x x x x x x x x x + 8

7 Kuvasta näyy se, mitä voi odottaain: funtion f derivoitumattomuuspisteen x = lähellä approsimaatio on heio, muualla hyvä: 9 fun abs(*x Weierstrassin approsimointilause II. [,.8.3], [7, luu XII, 3] Edellä osoitettiin, että joaista jatuvaa funtiota f : [a, b] R voidaan approsimoida tasaisesti polynomeilla. Jos f on jasollinen, toivottavaa olisi, että approsimoivat funtiotin olisivat jasollisia. Tavallisilla polynomeilla tätä ei uitenaan saavuteta. Trigonometrinen polynomi on muotoa ( s(x = α + α cos x + β sin x oleva funtio, missä n Z +, α,..., α n R, β,..., β n R. Tämän ohdan taroitusena on todistaa Lause 3.7 (Fejér. Oloon f : R R jatuva π-jasoinen funtio. Tällöin on olemassa trigonometristen polynomien jono (σ n n=, joa suppenee tasaisesti ohti funtiota f, un n Aluvalmisteluja. Esponenttifuntio määritellään omplesitasoon asettamalla (s. [C] e ix+y := (cos x + i sin x e y, x, y R. Tällöin esponenttifuntio toteuttaa tutun yhteenlasuominaisuuden e z+z = e z e z aiille z, z C. Erityisesti siis e ix = (e ix aiille Z. Geometrisen sarjan osasummien aavalla saadaan aiille x πz e ix ix einx = e e = einx/ e inx/ e i(n+x/ = sin(nx/ ix e ix/ e ix/ sin(x/ ei(n+x/ Ottamalla tästä aavasta puolittain reaaliosat saadaan cos(x = sin(nx/ sin(x/ cos((n + x/ = sin((n + x/ + sin(x/ x

8 ja vastaavasti imaginaariosille sin(x = sin(nx/ sin((n + x/ sin(x/ Kun x πz, saadaan e i( x = e ix e i(x = sin nx sin x einx seä reaali- ja imaginaariosille sin nx cos( x = sin x, sin( x = sin nx sin x Oloon f : R R jatuva π-jasoinen funtio. Funtion f Fourier n ertoimisi utsutaan luujonoja a = f(t cos(t dt, b = f(t sin(t dt. π π Summa s n (x := a + n (a cos x + b sin x (s (x = a on funtion f Fourier n sarjan n. osasumma. Funtion f Fourier n sarjan osasummat voidaan esittää integraalimuodossa ns. Dirichlet n ytimen avulla: D n (t := + cos t = { sin((n+t/ sin(t/, t πz, n +, t πz. Sijoittamalla funtion f Fourier n ertoimet integraalien avulla esitettyjä osasummaan s n, saadaan s n (x = ( π + (cos t cos x + sin t sin x f(t dt = π ( = π ( + cos (t x f(t dt = π D n (τ f(x + τ dτ ( = π D n (t x f(t dt D n (τ (f(x + τ + f(x τ dτ, missä ohdassa ( on äytetty muuttujanvaihtoa t x = τ seä funtioiden f ja D n π-jasoisuutta ( x =, ja ohdassa ( jaoa = + seä välillä x [, ] muuttujanvaihtoa τ τ. Muodostetaan seuraavasi osasummista s aritmeettisten esiarvojen jono σ n (x := s (x. n + Edellä osasummille s n saadun integraaliesitysen avulla näille esiarvoille, ns. Cesàron summille, saadaan vastaava integraaliesitys ns. Fejér n ytimen avulla: Kun K n (t := ( sin( (n + t, D (t = un < t < π, n + (n + sin t 3

9 niin σ n (x = π (f(x + t + f(x t K n (t dt. Fejér n ytimillä K n on seuraavat ominaisuudet, jota seuraavat helposti edellä esitetystä (huomaa: D n(t dt = π: ( K n on jatuva, parillinen ja K n ; ( π K π n(t dt = π K π n(t dt = ; (3 K n (t π, un < t < π. (n+ t Fejérin lauseen todistus. Oloon ε >. Kosa f on tasaisesti jatuva, on olemassa δ > siten, että δ < π ja f(x + t + f(x t f(x ε, un t δ, ja x [, π]. Kosa π K π n(t dt =, on π f(x K n (t dt = f(x. π 3 Siis σ n (x f(x = π π = π δ (f(x + t + f(x t K n (t dt π f(x + t + f(x t f(x K n (t dt + π δ =: I + I. f(x K n (t dt Integraalille I on I π δ ε K n (t dt π ε K n (t dt = ε. Kosa f on rajoittu välillä [, π], f(t M, saadaan integraalille I yläraja I π δ 4M K n (t dt 4M π Kun nyt n valitaan riittävän suuresi, saadaan I ε. Siis δ π 4M ( dt = (n + t n + δ. π σ n (x f(x I + I ε aiille x [, π], joten σ n f tasaisesti, un n.

10 3 D[](x K[](x 8 6 y Kirjassa [7, luu XII, 3; luu XI, ] funtiojonoa, jolla on samanaltaiset ominaisuudet uin Fejér n ytimillä, utsutaan Diracin jonosi. Jonojen (s n n= ja (σ n n= integraaliesitys on erioistapaus funtioiden f ja g onvoluutiosta (f g(x := f(t g(x t dt: s n = π f D n, σ n = π f K n. x 3.5. Pienimmän neliösumman menetelmä II. [, luu 7] (ortogonaaliset polynomit; Fourier n sarjat; [5, luu IX, 8 9] Määritelmä 3.8. Oloot f, g : [, π] R jatuvia funtioita. Asetetaan (f g := f(xg(x dx, funtioiden f ja g sisätulo. Lisäsi asetetaan f := (f f = f(x dx, funtion f L -normi. Määritelmä 3.9. Funtiot f ja g ovat ortogonaaliset (tai ohtisuorassa toisiaan vastaan, jos (f g =. Jouo {g j j J} jatuvia funtioita g j : [, π] R on ortogonaalinen, jos aiille j, i J, missä j i, funtiot g j ja g i ovat ortogonaaliset. Jouo {g j j J} on ortonormaali, jos se on ortogonaalinen ja g j = aiille j J. Lause 3.. Sisätulolla ja normilla on seuraavat ominaisuudet: Kun f, g, h: [, π] R ovat jatuvia funtioita ja a, b R, on (i (g f = (f g (symmetrisyys; (ii (af +bh g = a (f g+b (h g (lineaarisuus ensimmäisen muuttujan suhteen; (iii (f g f g (Cauchyn, Bunjaovsin ja Schwarzin epäyhtälö; (iv af = a f (positiivihomogeenisuus; (v f + g f + g (olmioepäyhtälö; (vi f ja f = vain, un f = (definiittisyys.

11 Lause 3.. Oloot f (x :=, f (x := cos x, f (x := sin x, un Z +. Tällöin jouo {f n N} on ortogonaalinen. Todistus. Väite saadaan suoraan integroimalla seuraavien trigonometristen identiteettien avulla: cos a cos b = ( cos(a + b + cos(a b, sin a sin b = ( cos(a b cos(a + b, sin a cos b = ( sin(a + b + sin(a b. Kun Z,, on cos(x dx = π sin(x =, ja sin(x dx = Oloon n > m >. Tällöin ( (f n f m = cos(nx + mx + cos(nx mx dx = (f n f m = (f n f m = (f n f n = (f n f n = (f f m = (f f m = (f f = ( cos(nx mx cos(nx + mx dx = ( sin(nx mx + sin(nx + mx dx = ( π cos(nx + nx + cos(nx nx dx = ( cos(nx nx cos(nx + nx dx = cos(nx dx = sin(nx dx = 33 π ( cos(x =. dx = π dx = π dx = π Erityisesti, funtiot e (x := π, e n (x := π cos nx, e n (x := π sin nx, un n Z +, muodostavat ortonormeeratun jouon. Määritelmä 3.. Trigonometrinen polynomi on muotoa ( s(x = α + α cos x + β sin x, oleva funtio, missä n Z +, α,..., α n R, β,..., β n R.

12 Määritelmä 3.3. Oloon f : [, π] R jatuva funtio. Luuja a, N, ja b, Z +, a := π f(x cos(x dx, b := π f(x sin(x dx, utsutaan funtion f Fourier n ertoimisi. Kun luvut a ja b ovat funtion f Fourier n ertoimet, meritään f(x a + ( a cos x + b sin x. Oiealla esiintyvää sarjaa utsutaan funtion f Fourier n sarjasi. Sinin parittomuudesta seuraa, että parittoman funtion f (t.s. f( x = f(x Fourier n ertoimet a =, joten parittoman funtion f Fourier n sarja on sinisarja f(x b sin x. Vastaavasti osinin parillisuudesta seuraa, että parillisen funtion f (t.s. f( x = f(x Fourier n ertoimet b =, joten parillisen funtion f Fourier n sarja on osinisarja f(x a + a cos x. Merinnällä f(x... halutaan orostaa, että oiean puolen sarja on muodostettu funtion f avulla; sarjan suppenevuudesta tai siitä, että sarjan summa olisi f(x, ei sanota mitään. 5 Huomautus 3.4. Trigonometristen funtioiden muodostama ortogonaalinen funtiojouo ei ole ainoa sovellusten annalta täreä tapaus. Usein funtioisi e valitaan ysinertaisia funtioita. Toisinaan funtioiden f ja g sisätulo aipaa paino- /tiheysfuntion p, b f(xg(x p(x dx (integraali mahdollisesti epäoleellinen. Esimerisi Tsebysevin a polynomeille T n (x = n cos(n arccos x, a =, b =, p(x = ja Laguerren polynomeille L n (x = e x D n (x n e x, a =, b = +, p(x = e x. x, Ks. [3, osa I, luu II, 9, 8]. Monet ortogonaaliset funtiojouot syntyvät toisen ertaluvun differentiaaliyhtälöiden reuna-arvotehtävien rataisuina. Rataisujen ortogonaalisuus on monesti helpointa selvittää a.o. differentiaaliyhtälön avulla. Kirjallisuudesta aihetta äsitellään usein Sturmin ja Liouvillen (ominaisarvo-ongelman nimellä; s. [3, osa I, luuv, 3; luu VII], [, luu 6], [6, luu XI]. 5 Olemassa jatuvia, π-jasoisia funtioita f, joiden Fourier n sarja hajaantuu ylinumeroituvassa pistejouossa; s. [4, luu II, 3]. 34

13 Lemma 3.5. Oloot f : [, π] R jatuva funtio seä e, e, e,... edellä määritelty ortonormaali funtiojono. Tällöin f (f e e = f (f e. Lisäsi aiille λ,..., λ n R on voimasssa f λ e = f (f e e + Todistus. Suoraan lasemalla: ( f (f e e = f ((f e λ. (f e e f (f e j e j = (f f + j= (f e j (f e j j= (f e (f e j (e e j j, = f (f e. (f e (e f Jälimmäistä väitettä varten meritään c = (f e. Tällöin f λ e = f λ (f e λ (e f + Toisaalta, Siis (c λ = f = f λ c c λ c + c λ λ e = f + λ c + (c λ joten väite seuraa ensisi todistetusta aavasta. λ c, Huomautus 3.6. Funtion f Fourier n sarjan avulla funtiolle f saadaan paras mahdollinen approsimaatio L -normin mielessä; aiien, enintään astetta n olevien trigonometristen polynomien n λ e jouossa polynomi n (f e e minimoi normin f n λ e : f λ e = f (f e e + ((f e λ f (f e e. λ λ 35

14 Seuraus 3.7 (Besselin epäyhtälö. Oloot a, b jatuvan funtion f : [, π] R Fourier n ertoimet. Tällöin π ( a + π a + b = (f e f. joten Todistus. Edellisen lemman nojalla aiille n Z + on voimassa f (f e = f (f e e, (f e f. Epäyhtälö seuraa, un n. Yhtäsuuruus saadaan, un muistetaan, että a = π (f e, b = π (f e, un >, ja a = π (f e. Lemma 3.8. Oloon f : R R jatuvasti derivoituva, π-jasoinen funtio. Tällöin derivaatan f Fourier n ertoimet a ja b ovat a =, a = b, b = a. Todistus. Kun >, saadaan osittaisintegroinnilla πa = f (x cos(x dx = π π cos(x + f(x sin(x dx = πb. f(x Jälimmäinen väite seuraa vastaavasti. Lause 3.9. Oloon f : R R jatuvasti derivoituva, π-jasoinen funtio. Tällöin funtion f Fourier n sarja suppenee tasaisesti ja sen summa on f(x. Todistus. Oloon s n funtion f Fourier n sarjan n. osasumma, t.s. s n (x := a + ( a cos x + b sin x. Edellisestä lemmasta seuraa, että derivaatan f Fourier n sarja on ( f (x a sin x + b cos x, joten derivaatan f Fourier n sarjan n. osasumma on s n. Funtioiden e ortogonaalisuusominaisuudesta saadaan ( s n = (s n s n = π a + b. 36

15 Besselin epäyhtälön nojalla on s n f, joten ( π a + b f. Siis positiiviterminen sarja ( a + b suppenee. Cauchyn-Schwarzin epäyhtälön nojalla ( a + b = ( a + b ( /( ( a + b / Kosa yliharmoninen sarja suppenee, seuraa edellisestä, että positiiviterminen sarja ( a + b suppenee. Weierstrassin M-testin perusteella Fourier n sarja g(x := a + ( a cos x + b sin x suppenee tasaisesti. Sen summa g on tällöin jatuva funtio. Kosa funtion g Fourier n sarja suppenee tasaisesti, voidaan funtion g Fourier n ertoimet lasea integroimalla sarja termeittäin. Ortogonaalisuusominaisuusien nojalla ertoimet ovat juuri a ja b. Siis funtioiden f ja g Fourier n ertoimet ovat esenään yhtäsuuret. Väite seuraa, josta tästä ehdosta voidaan osoittaa seuraavan f = g. Tämä seuraa Weierstrassin approsimointilauseesta jasollisille funtioille (eli Fejérin lauseesta 3.7. Siirtymällä tarastelemaan erotusta f g nähdään, että riittää osoittaa: jos f on jatuva, π-jasoinen funtio, jolle (f e n = aiille n N, niin f =. Ehdosta (f e n = aiille n N seuraa, että (f s = aiille trigonometrisille polynomeille s. Fejérin lauseen 3.7 nojalla on olemassa jono trigonometrisia polynomeja (s j j= siten, että s j f tasaisesti, un j (valitse ε = /j ja s j = vastaava σ. Tällöin (f s j = aiille j Z +. Toisaalta, tasaisen suppenemisen nojalla on (f s j = f(xs j(x dx f(xf(x dx = (f f, un j. Siis (f f = eli f(xf(x dx =. Kosa f on jatuva, on f =. Lause 3. (Parseval. Ainain jatuvasti derivoituvien, π-jasoisten funtioiden f ja f : R R Fourier n ertoimille a, b ja ã, b on voimassa π a ( ã + π a ã + b b = (f e ( f e = (f f. Huomautus 3.. Luujonojen äyttäytymistä uvataan usein ns. Landaun O- symbolin avulla. Oloot (c ja (d annettuja luujonoja. Meritään c = O(d, un, jos on olemassa vaiot M R ja K Z + siten, että c M d, un K. Jatuvan funtion Fourier n ertoimien jonot (a ja (b ovat rajoitettuja, a = O( ja b = O( (esimerisi a π f(x cos(x dx f(x dx. π π 37

16 Käyttämällä lausetta 3.8 toistuvasti, saadaan: Jos f on l ertaa jatuvasti derivoituva, niin a = O( l ja b = O( l. Käyttämällä samanaltaista menettelyä uin lauseen 3.9 todistusessa, saadaan osittain äänteinen tulos: Jos funtion f Fourier n ertoimille on voimassa a = O( s ja b = O( s, missä s >, niin f on l ertaa jatuvasti derivoituva, missä l = s, jos s on oonaisluu, ja l = s, jos s ei ole oonaisluu. Erityisen aunis yhteys saadaan C -funtioiden ja nopeasti vähenevien jonojen välille: π-jasoisen funtion f : R R, jolla on aiien ertaluujen derivaatat, Fourier n ertoimien jonot ovat nopeasti väheneviä eli toteuttavat aiille s Z + on a = O( s ja b = O( s. Kääntäen, jos π-jasoisen funtion f : R R Fourier n ertoimien jonot ovat nopeasti väheneviä, niin f on C -funtio. 38

u(0, t) = 0 kaikille t > 0: lämpötila pidetään vakiona pisteessä x = 0;

u(0, t) = 0 kaikille t > 0: lämpötila pidetään vakiona pisteessä x = 0; 3. Lämmönjohtumisyhtälö I Yksiulotteisessa lämmönjohtumisyhtälössä u t = u γ x tuntematon funktio u = u(x, t) kuvaa lämpötilaa yksiulotteisen kappaleen (ohut sauva; x-akseli) kohdassa x hetkellä t. Kun

Lisätiedot

funktiojono. Funktiosarja f k a k (x x 0 ) k

funktiojono. Funktiosarja f k a k (x x 0 ) k SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 3 4. Funtiosarjat Tässä luvussa esitettävissä funtiosarjojen tulosissa yhdistämme luujen 3 teoriaa. Esimeri 4.. Geometrinen sarja x suppenee aiilla x ], [ ja hajaantuu

Lisätiedot

2 Taylor-polynomit ja -sarjat

2 Taylor-polynomit ja -sarjat 2 Taylor-polynomit ja -sarjat 2. Taylor-polynomi Taylor-polynomi P n (x; x 0 ) funtion paras n-asteinen polynomiapprosimaatio (derivoinnin annalta) pisteen x 0 lähellä. Maclaurin-polynomi: tapaus x 0 0.

Lisätiedot

f(x) sin k x dx, c k = 1

f(x) sin k x dx, c k = 1 f ( n) n 3. Fourier n sarjoista I [1, 8.16, luku 11], [, luku 15], [3, luku IX, 8 9]. [5, luku I], [6, luku XII, 3], [7, luku 8], [8, luku 4], [9, luku 8] Trigonometrinen polynomi on muotoa a + ( ak cos

Lisätiedot

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee

Lisätiedot

III. SARJATEORIAN ALKEITA. III.1. Sarjan suppeneminen. x k = x 1 + x 2 + x ,

III. SARJATEORIAN ALKEITA. III.1. Sarjan suppeneminen. x k = x 1 + x 2 + x , III. SARJATEORIAN ALKEITA Sarja on formaali summa III.. Sarjan suppeneminen = x + x 2 + x 3 +..., missä R aiilla N (merintä ei välttämättä taroita mitään reaaliluua). Luvut x, x 2,... ovat sarjan yhteenlasettavat

Lisätiedot

Tehtävä 3. Määrää seuraavien jonojen raja-arvot 1.

Tehtävä 3. Määrää seuraavien jonojen raja-arvot 1. Jonotehtävät, 0/9/005, sivu / 5 Perustehtävät Tehtävä. Muotoile matemaattiset vastineet seuraavien väitteiden negaatioille (ts. vastaohdat).. Jono (a n ) suppenee ohti luua a.. Jono (a n ) on asvava. 3.

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 1. viikolle /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 1. viikolle / MS-A8 Differentiaali- ja integraalilasenta, V/27 Differentiaali- ja integraalilasenta Rataisut. viiolle /. 3.4. Luujonot Tehtävä : Mitä ovat luujonon viisi ensimmäistä termiä, un luujono on a) (a n ) n=,

Lisätiedot

M 2 M = sup E M 2 t. E X t = lim. niin martingaalikonvergenssilauseen oletukset ovat voimassa, eli löydämme satunnaismuuttujan M, joka toteuttaa ehdon

M 2 M = sup E M 2 t. E X t = lim. niin martingaalikonvergenssilauseen oletukset ovat voimassa, eli löydämme satunnaismuuttujan M, joka toteuttaa ehdon Matematiian ja tilastotieteen laitos Stoastiset differentiaaliyhtälöt Rataisuehdotelma Harjoituseen 7 1. Näytä, että uvaus M M M 2, un M 2 M = sup E M 2 t 2 t 0 on normi jouossa M 2 = { M : M on martingaali

Lisätiedot

JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 1, MALLIRATKAISUT

JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 1, MALLIRATKAISUT JOHDATUS LUKUTEORIAAN (sysy 2017) HARJOITUS 1, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. (i) Etsi luvun 111312 aii teijät. (ii) Oloot a ja b positiivisia oonaisluuja joilla a b ja b a. Osoita, että silloin a = b. Rataisu

Lisätiedot

termit on luontevaa kirjoittaa summamuodossa. Tällöin päädymme lukusarjojen teoriaan: a k = s.

termit on luontevaa kirjoittaa summamuodossa. Tällöin päädymme lukusarjojen teoriaan: a k = s. SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 7 3. Luusarjat Josus luujonon (b ) termit on luontevairjoittaa summamuodossa. Tällöin päädymme luusarjojen teoriaan: Määritelmä 3.. Oloon ( ), R luujono. Symboli (3.)

Lisätiedot

J1 (II.6.9) J2 (X.5.5) MATRIISILASKENTA(TFM) MALLIT AV 6

J1 (II.6.9) J2 (X.5.5) MATRIISILASKENTA(TFM) MALLIT AV 6 MATRIISILASKENTA(TFM) MALLIT AV 6 J (II.6.9) Päättele, että avaruusvetorit a, b ja c ovat lineaarisesti riippuvat täsmälleen un vetoreiden virittämän suuntaissärmiön tilavuus =. Tuti tällä riteerillä ovato

Lisätiedot

8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa

8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa 8 Potenssisarjoista 8. Määritelmä Olkoot a 0, a, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.. Muotoa a 0 + a (x c) + a 2 (x c) 2 + olevaa sarjaa sanotaan c-keskiseksi potenssisarjaksi. Selvästi jokainen

Lisätiedot

Tehtävä 2 Todista luennoilla annettu kaava: jos lukujen n ja m alkulukuesitykset. ja m = k=1

Tehtävä 2 Todista luennoilla annettu kaava: jos lukujen n ja m alkulukuesitykset. ja m = k=1 Luuteoria Harjoitus 1 evät 2011 Alesis Kosi 1 Tehtävä 1 Näytä: jos a ja b ovat positiivisia oonaisluuja joille (a, b) = 1 ja a c, seä lisäsi b c, niin silloin ab c. Vastaus Kosa a c, niin jaollisuuden

Lisätiedot

x j x k Tällöin L j (x k ) = 0, kun k j, ja L j (x j ) = 1. Alkuperäiselle interpolaatio-ongelmalle saadaan nyt ratkaisu

x j x k Tällöin L j (x k ) = 0, kun k j, ja L j (x j ) = 1. Alkuperäiselle interpolaatio-ongelmalle saadaan nyt ratkaisu 2 Interpolointi Olkoon annettuna n+1 eri pistettä x 0, x 1, x n R ja n+1 lukua y 0, y 1,, y n Interpoloinnissa etsitään funktiota P, joka annetuissa pisteissä x 0,, x n saa annetut arvot y 0,, y n, (21)

Lisätiedot

2. Fourier-sarjoista. Aaltoliikkeen ja lämmöjohtumisen matemaattinen tarkastelu

2. Fourier-sarjoista. Aaltoliikkeen ja lämmöjohtumisen matemaattinen tarkastelu 2. Fourier-sarjoista Fourier-analyysi: Aaltoliikkeen ja lämmöjohtumisen matemaattinen tarkastelu Matemaattisen analyysin täkein työväline "Jokainen funktio" voidaan esittää harmonisten värähtelyjen, so.

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiian tuiurssi Kurssierta 5 Sarjojen suppeneminen Kiinnostusen ohteena on edelleen sarja a n = a + a 2 + a 3 + a 4 + n= Tämä summa on mahdollisesti äärellisenä olemassa, jolloin sanotaan että sarja

Lisätiedot

Konvergenssilauseita

Konvergenssilauseita LUKU 4 Konvergenssilauseita Lause 4.1 (Monotonisen konvergenssin lause). Olkoon (f n ) kasvava jono Lebesgueintegroituvia funktioita. Asetetaan f(x) := f n (x). Jos f n

Lisätiedot

Olkoot X ja Y riippumattomia satunnaismuuttujia, joiden odotusarvot, varianssit ja kovarianssi ovat

Olkoot X ja Y riippumattomia satunnaismuuttujia, joiden odotusarvot, varianssit ja kovarianssi ovat Mat-.3 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit. harjoituset Mat-.3 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit. harjoituset / Rataisut Aiheet: Avainsanat: Satunnaismuuttujat ja todennäöisyysjaaumat Kertymäfuntio

Lisätiedot

7. Tasaisen rajoituksen periaate

7. Tasaisen rajoituksen periaate 18 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin

Lisätiedot

Luento 2. S Signaalit ja järjestelmät 5 op TKK Tietoliikenne Laboratorio 1. Jean Baptiste Joseph Fourier ( )

Luento 2. S Signaalit ja järjestelmät 5 op TKK Tietoliikenne Laboratorio 1. Jean Baptiste Joseph Fourier ( ) Luento Jasollisten signaalien Fourier-sarjat Viivaspetri S-.7. Signaalit ja järjestelmät 5 op KK ietoliienne Laboratorio Jean Baptiste Joseph Fourier (768-83) Ransalainen matemaatio ja fyysio. Esitti Fourier-sarjat

Lisätiedot

Matemaattinen Analyysi

Matemaattinen Analyysi Vaasan yliopisto, evät 05 / ORMS00 Matemaattinen Analyysi 6. harjoitus. Approsimoi toisen asteen polynomilla P(x) = b 0 +b x+b x oheisen tauluon muaisia havaintoja. (Teorian löydät opetusmonisteen sivuilta

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 19.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo

Lisätiedot

6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset

6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 51 6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt Määritelmä 6.1. Olkoon I R avoin väli. Olkoot p i : I R, i = 0, 1, 2,..., n, ja q : I R jatkuvia

Lisätiedot

5. Potenssisarjat 5.1. Määritelmä ja suppeneminen 84. 85. 86. 87. 88. 89.

5. Potenssisarjat 5.1. Määritelmä ja suppeneminen 84. 85. 86. 87. 88. 89. 5. Potenssisarjat 5.1. Määritelmä ja suppeneminen 84. Määritä seuraavien potenssisarjojen suppenemisympyrät: a) ( ) z + 3, b) 2 [ z 2 + ( 1) ], c) a) Koo omplesitaso; b) z =, R = 1; c) z = i, R = 4. 85.

Lisätiedot

Perustehtäviä. Sarjateorian tehtävät 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 24

Perustehtäviä. Sarjateorian tehtävät 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 24 Sarjateorian tehtävät 0. syysuuta 2005 sivu / 24 Perustehtäviä. Muunna sarja telesooppimuotoon ja osoita, että se suppenee. Lase myös sarjan summa. ( + ) = 2 + 6 + 2 +... 2. Osoita suoraan määritelmään

Lisätiedot

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Funktiot Tässä luvussa käsitellään reaaliakselin osajoukoissa määriteltyjä funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Avoin väli: ]a, b[ tai ]a, [ tai ],

Lisätiedot

5. Fourier-sarjat. f(x) e inx dx. c n (cos(nx) + i sin(nx)), n= N. f(x) e inx dx = f(n)

5. Fourier-sarjat. f(x) e inx dx. c n (cos(nx) + i sin(nx)), n= N. f(x) e inx dx = f(n) FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 73 5. Fourier-sarjat Fourier esitti vuonna 1822 lämmönjohtamista koskevien tutkimusten yhteydessä kuuluisan menetelmänsä esittää mielivaltainen -jaksollinen funktio kehitelmänä

Lisätiedot

Mat / Mat Matematiikan peruskurssi C3-I / KP3-I Harjoitus 5 / vko 42, loppuviikko, syksy 2008

Mat / Mat Matematiikan peruskurssi C3-I / KP3-I Harjoitus 5 / vko 42, loppuviikko, syksy 2008 Mat-.3 / Mat-.33 Matematiikan peruskurssi C3-I / KP3-I Harjoitus 5 / vko 4, loppuviikko, syksy 8 Ennen malliratkaisuja, muistin virkistämiseksi kaikkien rakastama osittaisintegroinnin kaava: b a u(tv (t

Lisätiedot

1 sup- ja inf-esimerkkejä

1 sup- ja inf-esimerkkejä Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Kaarenpituus. Olkoon r: [a, b] R

Lisätiedot

1 sup- ja inf-esimerkkejä

1 sup- ja inf-esimerkkejä Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Nollakohdan olemassaolo. Kaikki tuntevat

Lisätiedot

Joulukuun vaativammat valmennustehtävät ratkaisut

Joulukuun vaativammat valmennustehtävät ratkaisut Jouluuun vaativammat valmennustehtävät rataisut. Tapa. Pätee z = x + y, joten z = (x + y = x + y, josta sieventämällä seuraa xy 4x 4y + 4 = 0. Siispä (x (y =. Tästä yhtälöstä saadaan suoraan x =, y = 4

Lisätiedot

Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle

Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle Olkoon X sisätuloavaruus ja Y X äärellisulotteinen aliavaruus. Tällöin on olemassa lineaarisesti riippumattomat vektorit y 1, y 2,..., yn, jotka

Lisätiedot

k=0 saanto jokaisen kolmannen asteen polynomin. Tukipisteet on talloin valittu

k=0 saanto jokaisen kolmannen asteen polynomin. Tukipisteet on talloin valittu LIS AYKSI A kirjaan Reaalimuuttujan analyysi 1.6. Numeerinen integrointi: Gaussin kaavat Edella kasitellyt numeerisen integroinnin kaavat eli kvadratuurikaavat Riemannin summa, puolisuunnikassaanto ja

Lisätiedot

Seuraava topologisluonteinen lause on nk. Bairen lause tai Bairen kategorialause, n=1

Seuraava topologisluonteinen lause on nk. Bairen lause tai Bairen kategorialause, n=1 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 115 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 8. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 8. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 8 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 8 () Numeeriset menetelmät 11.4.2013 1 / 35 Luennon 8 sisältö Interpolointi ja approksimointi Funktion approksimointi Tasainen

Lisätiedot

Todennäköisyysjakaumat 1/5 Sisältö ESITIEDOT: todennäköisyyslaskenta, määrätty integraali

Todennäköisyysjakaumat 1/5 Sisältö ESITIEDOT: todennäköisyyslaskenta, määrätty integraali Todennäöissjaaumat /5 Sisältö ESITIEDOT: lasenta, määrätt Haemisto KATSO MYÖS: tilastomatematiia P (X = )=p. Nämä ovat 0 ja niiden summa on p =. Pistetodennäöisdet voidaan graafisesti esittää pstsuorien

Lisätiedot

LUKU 3. Ulkoinen derivaatta. dx i 1. dx i 2. ω i1,i 2,...,i k

LUKU 3. Ulkoinen derivaatta. dx i 1. dx i 2. ω i1,i 2,...,i k LUKU 3 Ulkoinen derivaatta Olkoot A R n alue k n ja ω jatkuvasti derivoituva k-muoto alueessa A Muoto ω voidaan esittää summana ω = ω i1 i 2 i k dx i 1 dx i 2 1 i 1

Lisätiedot

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 1 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 1 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma Johdatus luuteoriaan Harjoitus 1 ss 008 Eemeli Blåsten Rataisuehdotelma Tehtävä 1 Oloot a ja b positiivisia oonaisluuja. Osoita, että on olemassa siäsitteinen luu h ('luujen a ja b pienin hteinen jaettava',

Lisätiedot

1 Sisätulo- ja normiavaruudet

1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1.1 Sisätuloavaruus Määritelmä 1. Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V R on reaalinen sisätulo eli pistetulo, jos (a) v w = w v (symmetrisyys); (b) v + u w = v

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I MS-A00 Disreetin matematiian perusteet Esimerejä ym., osa I G. Gripenberg Jouo-oppi ja logiia Todistuset logiiassa Indutioperiaate Relaatiot ja funtiot Funtiot Aalto-yliopisto. maalisuuta 0 Kombinatoriia

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät

Numeeriset menetelmät Numeeriset menetelmät Luento 8 To 29.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 8 To 29.9.2011 p. 1/36 p. 1/36 Interpolointi kuutiosplinillä Osavälit: I i = [t i 1,t i ], i = 1,2,...,n

Lisätiedot

5. Fourier-sarjat. f(x)e inx dx. c n (cos(nx) + i sin(nx)), n= N. 2π f(x)e inx dx = 1 2π. k= N. e inx, n Z. 2π f(x)e inx dx = 1 (f e n ) 2π

5. Fourier-sarjat. f(x)e inx dx. c n (cos(nx) + i sin(nx)), n= N. 2π f(x)e inx dx = 1 2π. k= N. e inx, n Z. 2π f(x)e inx dx = 1 (f e n ) 2π 78 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 5. Fourier-sarjat Fourier esitti vuonna 1822 lämmönjohtamista koskevien tutkimusten yhteydessä kuuluisan menetelmänsä esittää mielivaltainen -jaksollinen funktio kehitelmänä

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 6. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 6 () Numeeriset menetelmät / 33

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 6. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 6 () Numeeriset menetelmät / 33 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 6 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 6 () Numeeriset menetelmät 4.4.2013 1 / 33 Luennon 6 sisältö Interpolointi ja approksimointi Polynomi-interpolaatio: Vandermonden

Lisätiedot

Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden

Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden Ylioppilastutintolautaunta S tudenteamensnämnden MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 0..0 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden ja sisältöjen luonnehdinta ei sido ylioppilastutintolautaunnan

Lisätiedot

Analyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1

Analyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1 Analyysi III Jari Taskinen 28. syyskuuta 2002 Luku Sisältö Sarjat 2. Lukujonoista........................... 2.2 Rekursiivisesti määritellyt lukujonot.............. 8.3 Sarja ja sen suppenminen....................

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle / MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 5. viikolle / 9..5. Integroimismenetelmät Tehtävä : Laske osittaisintegroinnin avulla a) π x sin(x) dx,

Lisätiedot

VI. TAYLORIN KAAVA JA SARJAT. VI.1. Taylorin polynomi ja Taylorin kaava

VI. TAYLORIN KAAVA JA SARJAT. VI.1. Taylorin polynomi ja Taylorin kaava VI. TAYLORIN KAAVA JA SARJAT VI.. Taylorin polynomi ja Taylorin kaava Olkoon n N ja x, c, c, c 2,..., c n R. Tehtävä: Etsittävä sellainen R-kertoiminen polynomi P, että sen aste deg P n ja P (x ) = c,

Lisätiedot

Pienimmän neliösumman menetelmä

Pienimmän neliösumman menetelmä Pienimmän neliösumman menetelmä Keijo Ruotsalainen Division of Mathematics Funktion sovitus Datapisteet (x 1,...,x n ) Annettu data y i = f(x i )+η i, missä f(x) on tuntematon funktio ja η i mittaukseen

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet MS-A0402 Disreetin matematiian perusteet Osa 3: Kombinatoriia Riia Kangaslampi 2017 Matematiian ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kombinatoriia Summaperiaate Esimeri 1 Opetusohjelmaomiteaan valitaan

Lisätiedot

Harjoitus Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia:

Harjoitus Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia: Differentiaaliyhtälöt, Kesä 216 Harjoitus 2 1. Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia: (a) y = (2 y) 3, (b) y = (y 1) 2, (c) y = 2y y 2. 2. Etsi seuraavien

Lisätiedot

Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus

Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Lause 17 Oletetaan, että A on n n -matriisi. Oletetaan, että λ 1,..., λ m ovat matriisin A eri ominaisarvoja, ja oletetaan, että v 1,..., v m ovat jotkin

Lisätiedot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot 3. Funktion raja-arvo ja jatkuvuus 3.1. Reaali- ja kompleksifunktiot 43. Olkoon f monotoninen ja rajoitettu välillä ]a,b[. Todista, että raja-arvot lim + f (x) ja lim x b f (x) ovat olemassa. Todista myös,

Lisätiedot

VALIKOITUJA KOHTIA LUKUTEORIASTA

VALIKOITUJA KOHTIA LUKUTEORIASTA VALIKOITUJA KOHTIA LUKUTEORIASTA ARI LEHTONEN 1. Laajennettu Euleideen algoritmi 1.1. Jaoyhtälö. Oloot r 0, r 1 Z, r 0 r 1 > 0. Tällöin on olemassa ysiäsitteiset luvut q 1 ja r 2 Z siten, että r 0 = q

Lisätiedot

3. Markovin prosessit ja vahva Markovin ominaisuus

3. Markovin prosessit ja vahva Markovin ominaisuus 30 STOKASTISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 3. Marovin prosessit ja vahva Marovin ominaisuus Aloitamme nyt edellisen appaleen päättäneen esimerin yleistämisen Brownin liieelle. Käymme ysitellen läpi esimerin

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi 2

Matematiikan peruskurssi 2 Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat

Lisätiedot

802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA II BASICS OF NUMBER THEORY PART II. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO

802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA II BASICS OF NUMBER THEORY PART II. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO 802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA II BASICS OF NUMBER THEORY PART II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 Sisältö 1 KERTOMAT, BINOMIKERTOIMET 2 1.0.1 Kertoma/Factorial......................

Lisätiedot

MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS

MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS f ( n) JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS n Funktionaalianalyysi Ei harjoituksia 1.4.2015 Funktionaalista viihdettä pääsiäistauolle: viikolla 14 (ma 30.3., ti 31.3. ja ke 1.4.)

Lisätiedot

8. Avoimen kuvauksen lause

8. Avoimen kuvauksen lause 116 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 8. Avoimen kuvauksen lause Palautamme aluksi mieleen Topologian kursseilta ehkä tutut perusasiat yleisestä avoimen kuvauksen käsitteestä. Määrittelemme ensin avoimen

Lisätiedot

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Hannu Pajula. Stirlingin luvuista

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Hannu Pajula. Stirlingin luvuista TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutielma Hannu Pajula Stirlingin luvuista Informaatiotieteiden ysiö Matematiia Maalisuu 2014 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden ysiö PAJULA, HANNU: Stirlingin luvuista

Lisätiedot

Analyysin peruslause

Analyysin peruslause LUKU 10 Analyysin peruslause 10.1. Peruslause I Aiemmin Cantorin funktion ψ kohdalla todettiin, että analyysin peruslause II ei päde: [0,1] ψ (x) dm(x) < ψ(1) ψ(0). Kasvavalle funktiolle analyysin peruslauseesta

Lisätiedot

(iv) Ratkaisu 1. Sovelletaan Eukleideen algoritmia osoittajaan ja nimittäjään. (i) 7 = , 7 6 = = =

(iv) Ratkaisu 1. Sovelletaan Eukleideen algoritmia osoittajaan ja nimittäjään. (i) 7 = , 7 6 = = = JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 07) HARJOITUS 7, MALLIRATKAISUT Tehtävä Etsi seuraavien rationaalilukujen ketjumurtokehitelmät: (i) 7 6 (ii) 4 7 (iii) 65 74 (iv) 63 74 Ratkaisu Sovelletaan Eukleideen algoritmia

Lisätiedot

7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi

7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi 7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi Z p [x]/(m), missä m on polynomirenkaan Z p [x] jaoton polynomi (ks. määritelmä 3.19).

Lisätiedot

Heilurin differentiaaliyhtälö

Heilurin differentiaaliyhtälö LUKU 4 Heilurin differentiaaliyhtälö 4.. Konservatiiviset systeemit Fysiaalisissa sovellutusissa täreitä ovat ns. onservatiiviset systeemit. Ysiulotteinen onservatiivinen systeemi (tai onservatiivinen

Lisätiedot

u = 2 u (9.1) x + 2 u

u = 2 u (9.1) x + 2 u 9. Poissonin integraali 9.. Poissonin integraali. Ratkaistaan Diriclet n reuna-arvotehtävä origokeskisessä, R-säteisessä ympyrässä D = {(x, y) R x +y < R }, t.s. kun f : D R on annettu jatkuva funktio,

Lisätiedot

6. Lineaariset operaattorit

6. Lineaariset operaattorit 96 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 6. Lineaariset operaattorit Luvussa 5 osoitimme, että Fourier-sarjat suppenevat L 2 -normissa (kts. Seuraus 5.8 sivulla 80). Osoitimme myös, että kun f on jatkuva ja

Lisätiedot

Matriisiteoria Harjoitus 1, kevät Olkoon. cos α sin α A(α) = . sin α cos α. Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on?

Matriisiteoria Harjoitus 1, kevät Olkoon. cos α sin α A(α) = . sin α cos α. Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on? Harjoitus 1, kevät 007 1. Olkoon [ ] cos α sin α A(α) =. sin α cos α Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on?. Olkoon a x y A = 0 b z, 0 0 c missä a, b, c 0. Määrää käänteismatriisi

Lisätiedot

LUKU 6. Mitalliset funktiot

LUKU 6. Mitalliset funktiot LUKU 6 Mitalliset funktiot Määritelmistä 3. ja 3.0 seuraa, että jokainen Lebesgue-integroituva funktio on porrasfunktiojonon raja-arvo melkein kaikkialla. Kuitenkin moni tuttu funktio ei ole Lebesgue-integroituva.

Lisätiedot

Funktioiden approksimointi ja interpolointi

Funktioiden approksimointi ja interpolointi Funktioiden approksimointi ja interpolointi Keijo Ruotsalainen Division of Mathematics interpolaatio-ongelma 8 Eksponenttifunktion exp(x) interpolointi 3.5 Funktion e^{0.25x} \sin(x) interpolointi 7 3

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 21.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo

Lisätiedot

Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on

Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: geometrinen (käyrän tangentti sekanttien raja-asentona) fysikaalinen (ajasta riippuvan funktion hetkellinen muutosnopeus) 1 / 19 Derivaatan määritelmä Määritelmä

Lisätiedot

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö Funktion kasvavuus ja vähenevyys; paikalliset ääriarvot Jos derivoituvan reaalifunktion f derivaatta tietyssä pisteessä on positiivinen, f (x 0 ) > 0, niin funktion tangentti

Lisätiedot

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45 MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko 5 Tehtävä 1 (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 3 =, b) z + 3 i < 3, c) 1/z >. Yleisesti: ehto z = R, z C muodostaa kompleksitasoon

Lisätiedot

Epäyhtälöt ovat yksi matemaatikon voimakkaimmista

Epäyhtälöt ovat yksi matemaatikon voimakkaimmista 6 Epäyhtälöitä Epäyhtälöt ovat yksi matemaatikon voimakkaimmista työvälineistä. Yhtälö a = b kertoo sen, että kaksi ehkä näennäisesti erilaista asiaa ovat samoja. Epäyhtälö a b saattaa antaa keinon analysoida

Lisätiedot

Tenttiin valmentavia harjoituksia

Tenttiin valmentavia harjoituksia Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.

Lisätiedot

Funktiojonot ja funktiotermiset sarjat Funktiojono ja funktioterminen sarja Pisteittäinen ja tasainen suppeneminen

Funktiojonot ja funktiotermiset sarjat Funktiojono ja funktioterminen sarja Pisteittäinen ja tasainen suppeneminen 4. Funktiojonot ja funktiotermiset sarjat 4.1. Funktiojono ja funktioterminen sarja 60. Tutki, millä muuttujan R arvoilla funktiojono f k suppenee, kun Mikä on rajafunktio? a) f k () = 2k 2k + 1, b) f

Lisätiedot

8. Avoimen kuvauksen lause

8. Avoimen kuvauksen lause FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 125 8. Avoimen kuvauksen lause Palautamme aluksi mieleen Topologian kursseilta ehkä tutut perusasiat yleisestä avoimen kuvauksen käsitteestä. Määrittelemme ensin avoimen

Lisätiedot

[ ] [ 2 [ ] [ ] ( ) [ ] Tehtävä 1. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2( ) = 1. E v k 1( ) R E[ v k v k ] E e k e k e k e k. e k e k e k e k.

[ ] [ 2 [ ] [ ] ( ) [ ] Tehtävä 1. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2( ) = 1. E v k 1( ) R E[ v k v k ] E e k e k e k e k. e k e k e k e k. ehtävä. x( + ) x( y x( + e ( y x( + e ( E v E e ( ) e ( R E[ v v ] E e e e e e e e e 6 estimointivirhe: ~ x( x( x$( x( - b y ( - b y ( estimointivirheen odotusarvo: x( - b x( - b e ( - b x( - b e ( ( -

Lisätiedot

Luento 8: Epälineaarinen optimointi

Luento 8: Epälineaarinen optimointi Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori 0 = (0,..., 0). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään

Lisätiedot

Funktion approksimointi

Funktion approksimointi Funktion approksimointi Päivikki Vesterinen Matematiikan pro gradu Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kevät 2015 Tiivistelmä: Päivikki Vesterinen, Funktion approksimointi (engl.

Lisätiedot

Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 139 Päivitetty a) 402 Suplementtikulmille on voimassa

Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 139 Päivitetty a) 402 Suplementtikulmille on voimassa Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien rataisut sivu 9 Päivitetty 9..6 4 a) 4 Suplementtiulmille on voimassa b) a) α + β 8 α + β 8 β 6 c) b) c) α 6 6 + β 8 β 8 6 β 45 β 6 9 α 9 9 + β 8 β 8 + 9 β 7 Pyramidi

Lisätiedot

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Syksy Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko A = x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu.

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Syksy Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko A = x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu. Analyysi Harjoituksia lukuihin 3 / Syksy 204. Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko { 2x A = x ]4, [. x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu. 2. Anna jokin ylä- ja alaraja joukoille { x( x) A = x ], [,

Lisätiedot

Ennen kuin mennään varsinaisesti tämän harjoituksen asioihin, otetaan aluksi yksi merkintätekninen juttu. Tarkastellaan differenssiyhtälöä

Ennen kuin mennään varsinaisesti tämän harjoituksen asioihin, otetaan aluksi yksi merkintätekninen juttu. Tarkastellaan differenssiyhtälöä DEE-00 Lineaariset järjestelmät Harjoitus, rataisuehdotuset Ennen uin mennään varsinaisesti tämän harjoitusen asioihin, otetaan alusi ysi merintäteninen juttu Tarastellaan differenssiyhtälöä y y y 0 Vaihtoehtoinen

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (5) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Momenttiemäfunktio Diskreettien jakaumien momenttiemäfunktioita

Lisätiedot

13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista. Muodosta viidennen asteen Taylorin polynomi kehityskeskuksena origo funktiolle

13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista. Muodosta viidennen asteen Taylorin polynomi kehityskeskuksena origo funktiolle 13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista 13.1. Taylorin polynomi 552. Muodosta funktion f (x) = x 4 + 3x 3 + x 2 + 2x + 8 kaikki Taylorin polynomit T k (x, 2), k = 0,1,2,... (jolloin siis potenssien

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa : Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (7) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio

Lisätiedot

Esimerkki 19. Esimerkissä 16 miniminormiratkaisu on (ˆx 1, ˆx 2 ) = (1, 0).

Esimerkki 19. Esimerkissä 16 miniminormiratkaisu on (ˆx 1, ˆx 2 ) = (1, 0). Esimerkki 9 Esimerkissä 6 miniminormiratkaisu on (ˆx, ˆx (, 0 Seuraavaksi näytetään, että miniminormiratkaisuun siirtyminen poistaa likimääräisongelman epäyksikäsitteisyyden (mutta lisääntyvän ratkaisun

Lisätiedot

e int) dt = 1 ( 2π 1 ) (0 ein0 ein2π

e int) dt = 1 ( 2π 1 ) (0 ein0 ein2π Matematiikan ja tilastotieteen laitos Funktionaalianalyysin peruskurssi Kevät 9) Harjoitus 7 Ratkaisuja Jussi Martin). E Hilbert avaruus L [, π]) ja gt) := t, t [, π]. Määrää funktion g Fourier kertoimet

Lisätiedot

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)

Lisätiedot

9 Lukumäärien laskemisesta

9 Lukumäärien laskemisesta 9 Luumäärie lasemisesta 9 Biomiertoimet ja osajouoje luumäärä Määritelmä 9 Oletetaa, että, N Biomierroi ilmaisee, uia mota -alioista osajouoa o sellaisella jouolla, jossa o aliota Meritä luetaa yli Lasimesta

Lisätiedot

Reaaliluvut. tapauksessa metrisen avaruuden täydellisyyden kohdalla. 1 fi.wikipedia.org/wiki/reaaliluku 1 / 13

Reaaliluvut. tapauksessa metrisen avaruuden täydellisyyden kohdalla. 1 fi.wikipedia.org/wiki/reaaliluku 1 / 13 Reaaliluvut Reaalilukujen joukko R. Täsmällinen konstruointi palautuu rationaalilukuihin, jossa eri mahdollisuuksia: - Dedekindin leikkaukset - rationaaliset Cauchy-jonot - desimaaliapproksimaatiot. Reaalilukujen

Lisätiedot

Sarja. Lukujonosta (a k ) k N voi muodostaa sen osasummien jonon (s n ): s 1 = a 1, s 2 = a 1 + a 2, s 3 = a 1 + a 2 + a 3,...,

Sarja. Lukujonosta (a k ) k N voi muodostaa sen osasummien jonon (s n ): s 1 = a 1, s 2 = a 1 + a 2, s 3 = a 1 + a 2 + a 3,..., Sarja Lukujonosta (a k ) k N voi muodostaa sen osasummien jonon (s n ): Määritelmä 1 s 1 = a 1, s 2 = a 1 + a 2, s 3 = a 1 + a 2 + a 3,..., n s n = a k. Jos osasummien jonolla (s n ) on raja-arvo s R,

Lisätiedot

(1.1) Ae j = a k,j e k.

(1.1) Ae j = a k,j e k. Lineaarikuvauksen determinantti ja jälki 1. Lineaarikuvauksen matriisi. Palautetaan mieleen, mikä lineaarikuvauksen matriisi annetun kannan suhteen on. Olkoot V äärellisulotteinen vektoriavaruus, n = dim

Lisätiedot

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Riikka Korte (Pekka Alestalon kalvojen pohjalta) Aalto-yliopisto 24.10.2016 Sisältö Derivaatta 1.1 Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: I geometrinen

Lisätiedot

4.3 Moniulotteinen Riemannin integraali

4.3 Moniulotteinen Riemannin integraali 4.3 Moniulotteinen Riemannin integraali Tässä luvussa opitaan miten integroidaan usean muuttujan reaaliarvoista tai vektoriarvoista funktiota, millaisten joukkojen yli jatkuvaa funktiota voi integroida,

Lisätiedot

HILBERTIN AVARUUDET 802652S MIKAEL LINDSTRÖM KEVÄÄN 2010 ANALYYSI 3 -LUENTOJEN PERUSTEELLA TOIMITTANEET TOMI ALASTE JA LAURI BERKOVITS

HILBERTIN AVARUUDET 802652S MIKAEL LINDSTRÖM KEVÄÄN 2010 ANALYYSI 3 -LUENTOJEN PERUSTEELLA TOIMITTANEET TOMI ALASTE JA LAURI BERKOVITS HILBRTIN AVARUUDT 802652S MIKAL LINDSTRÖM KVÄÄN 2010 ANALYYSI 3 -LUNTOJN PRUSTLLA TOIMITTANT TOMI ALAST JA LAURI BRKOVITS Sisältö 1 Hilbertin Avaruudet 3 1.1 Normi- ja L p -avaruudet........................

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja

MS-C1340 Lineaarialgebra ja MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Matriisinormi, häiriöalttius Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Matriisinormi Matriisinormi Matriiseille

Lisätiedot

= 2 L L. f (x)dx. coshx dx = 1 L. sinhx nπ. sin. sin L + 2 L. a n. L 2 + n 2 cos. tehdään approksimoinnissa virhe, jota voidaan arvioida integraalin

= 2 L L. f (x)dx. coshx dx = 1 L. sinhx nπ. sin. sin L + 2 L. a n. L 2 + n 2 cos. tehdään approksimoinnissa virhe, jota voidaan arvioida integraalin BMA7 - Integraalimuunnokset Harjoitus 9. Määritä -jaksollisen funktion f x = coshx, < x < Fourier-sarja. Funktion on parillinen, joten b n = kun n =,,3,... Parillisuudesta johtuen kertoimet a ja a n saadaan

Lisätiedot

Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: b) 0 e x + 1

Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: b) 0 e x + 1 Tehtävä : Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: a) a) x b) e x + Integraali voisi ratketa muuttujanvaihdolla. Integroitava on muotoa (a x ) n joten sopiva muuttujanvaihto voisi olla

Lisätiedot

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Riikka Korte (Pekka Alestalon kalvojen pohjalta) Aalto-yliopisto 15.11.2016 Sisältö Alkeisfunktiot 1.1 Funktio I Funktio f : A! B on sääntö, joka liittää

Lisätiedot