Luento 4 Fourier muunnos

Transkriptio

1 Luento 4 Luento 4 Fourier muunnos 4. F muunnos F muunnos Oppenheim Energiaspektri (spektritiheys) Rayleigh'n energia teoreema, energiaspektri Kaistanleveys Boden diagrammi 4.3 F muunnoksen ominaisuudet, muunnoskaavoja F muunnoksen ominaisuuksia Oppenheim 4.3, 4.6 Konvoluutio aika ja taajuusalueessa Oppenheim 4.4, Erikoissignaalien F muunnokset Periodisten signaalien F muunnos Oppenheim 4. Epäjatkuvat signaalit: Diracin delta, signum ja askel

2 4. Fourier-muunnos

3 Fourier-sarja Fourier-sarjan avulla pystyttiin esittämään jaksollinen (periodinen) signaali, jonka jaksonaika on T 0. Fourier-sarja Fourier-sarjan kertoimet Entäpä jaksottomat (aperiodiset) signaalit, joilla jaksonaika T 0? 3

4 Fourier-muunnos Esitetään signaali Fourier-sarjana: Raja-arvo T 0 k kf0 f, df, df T T T 0 0 k 0 V(f) Euler integral ELEC-A Signaalit ja järjestelmät 5 op 4

5 Fourier-muunnos Fourier-muunnos Käänteismuunnos Dirichlet n ehdot Fourier muuntuvalle energiasignaalille I: Signaali on itseisesti integroituva vt () dt II: Signaalin maksimi- ja minimiarvot ovat äärellisiä jokaisella äärellisellä aikavälillä t( a, b) sup (, ) ( ) ( ), ti t st i i sti a ti ti b i III: Signaalin epäjatkuvuuskohtia on rajallinen määrä lim äärellisessä määrässä 0 st ( 0 ) vt ( 0 ) 0 pisteitä välillä t 0 (-,) 5

6 Kausaaliset signaalit Signaali on kausaalinen, jos v(t)=0, t<0. Kausaalisen signaalin Fourier-muunnos Verrataan yksipuoliseen Laplace-muunnokseen Jos =0 ja =f, Laplace-muunnoksesta tulee Fourier-muunnos Laplace-muunnos on olemassa laajemmalle joukolle signaaleita kuin Fourier-muunnos. 6

7 Esimerkki Tarkastellaan eksponentiaalista signaalia at vt () e, t0 Fourier muunnos: Dirichlet n ehto I:, a 0 at at vt () dte dt e a 0 0 0, a 0 a eli Fourier-muunnos on olemassa kun - <a<0 (myöhemmin osoittautuu, että myös tapaus a=0 on muunnettavissa) at i ft Fv() t e e dt, a0 0 ai f Laplace-muunnos: at st at e e dt e dt, Re s a as 0 0 Laplace-muunnos löytyy myös tapaukselle a>0 7

8 4. Energiaspektri

9 Desibeli Desibeli (db) on dimensioton yksikkö, joka vertailee suureiden suhteita logaritmisella asteikolla. Desibeli on kahden luvun logaritminen suhde mitattu teho (W) mitattu amplitudi (V) db 0 log0 0 log0 vertailuteho (W) vertailuamplitudi (V) Esim. Signaalin. amplitudi on V ja signaalin 4. amplitudi on V, tällöin signaalin. teho on 0log0(4/) 3 db suurempi kuin signaalin. teho Vertailutason mukaan voidaan määrittää mm. dbw dbm dbp mitattu teho (W) 0 log W mitattu teho (W) mw mitattu teho (W) pw 0 0log0 0 log0 9

10 Boden diagrammi Amplitudi spektritiheys Vaihespektritiheys Boden diagrammi: Amplitudin neliö (db) ja vaihe kulmataajuuden funktiona 0log 0 ( V(f) ) db arg(v(f) rad f rad/s f rad/s 0

11 Boden diagrammi: RC-suodatin RC-suodatin d C v() t i() t dt d wt () Rit () RC vt () vt () et () dt et () wt () vt () Alkuarvot e(t) w(t) R C v(t) v(0)=v 0 dv(t)/dt=0, kun t=0 Ratkaisu (impulssivaste) d () () () exp vt vt vt tv 0 dt RC RC

12 Boden diagrammi: RC suodatin Esimerkki: RC=, v(0)= Fourier-muunnos Amplitudi ja vaihe: V( f) V( f) e V( f) iarg V( f ) f f arg ( ) arctan arctan V f f Im V( f) e Re iarg V( f )

13 Boden diagrammi: RC-suodatin 0log 0 ( V(f) ) Magnitude (db) Bode Diagram Phase (deg) Frequency (rad/sec) 3

14 Energiaspektri/Spektritiheys Rayleigh n Energia teoreema * * Ev vtv () () tdt V( f ) V ( f ) dt * * Ev v() t v () t dt v() t V( f)expi ftdf dt * * v() t V ( f )exp i ft df dt v()exp t i ft dtv ( f ) df V( f ) * V ( f ) V ( f ) V ( f ) Tulkinta: kertoo miten signaalin energia on jakautunut eri taajuuksille (J/Hz) 4

15 Pulssin energiaspektri I Pulssi, jonka energia on J t st () rect T T Fourier-muunnos (suoraan määritelmästä) S( f) s( t)expi ftdt expi ftdt T T T. rect t 0 t t T T expi f expi f i f T expi ftexpi ft T ft i sin ft T T sinc ft ft sinc x S( f) Tsinc ft sin x x 5

16 Pulssin energiaspektri II Fourier-muunnos käyttäen hyväksi signaalin ominaisuuksia: Pulssi on reaalinen ja parillinen. Sen Fouriermuunnos on siis reaalinen ja parillinen. Fourier-muunnos on siis (ks. kalvo 6) V( f) v( t)cos ft dt 0 Muunnokseksi saadaan T t S( f ) s( t)cos ftdt cos ftdt t0 0 0 T T T sin f sin f0 sin ft T sinc ft f T T f S( f) Tsinc ft T sin cos ax dx ax C a sin ft f 6

17 Pulssin energiaspektri 0log S( f) Pulse T= T= T=3 Spectral density (db/hz) Frequency (Hz) f 7

18 Kaistanleveys Kaistanleveys B määrittää millä taajuusalueella merkittävä osa (esim. 95%) signaalin tehosta/energiasta on. Kaistanleveyden määrittämisessä huomioidaan vain positiiviset taajuudet. S(f) X(f) 95% B s 95% B x f Moduloidun signaalin kaistanleveys on kaksinkertainen kantataajuiseen signaaliin nähden: B x =B s 8

19 Kaistanleveys Yksinkertainen määritelmä on puolen tehon (energian) kaistanleveys. S(f) max S( f ) f max f S ( fb ) b -3 db B s S( fb) f 0 b max S( f ) B B s x f f b f b b Kantataajuinen signaali Moduloitu signaali 9

20 Kaistanleveys Pulssin puolen tehon kaistanleveys S( fb) sinc ft b 0.9 max S( f ) f b sinc ft b fb T Bs fb T Bx fb T Moduloidun pulssin taajuuskaista on kääntäen verrannollinen pulssin pituuteen sinc(ft) ft 0

21 Kaistanleveys 0 Pulse db -6 S(f) /max( S(f) ) T= -8 T= T= Frequency (Hz)

22 Energiaspektri Mikä on pulssin S(f) 3 db kaistanleveys? Mikä on pulssin energia? Mikä osuus energiasta on 3dB kaistalla? S(f) f (Hz)

23 4.3 Fourier-muunnoksen ominaisuuksia, muunnoskaavoja

24 Symmetria ominaisuudet Jos vt (), V(f) on hermiittinen: Toisin sanoen Parillinen Asia on helppo todentaa: i f t i ft V( f) v( t) e dt v( t) e dt * * i ft i ft V ( f) v () t e dt v() t e dt V( f) vt v t vt * () () () Vastaavasti, jos v(t) on imaginäärinen, V(f) on antihermiittinen: V f V f * ( ) ( ) Pariton 4

25 Symmetria ominaisuudet Tarkastellaan tapausta, jossa vt () Jos v(t) on parillinen v(-t)=v(t) V( f) v( t)cos ft dt 0 on reaalinen. Tällöin V f V f V f * ( ) ( ) ( ) eli V(f) on reaalinen ja parillinen Jos v(t) on pariton v(-t)=-v(t) V( f) i v( t)sin ft dt on imaginäärinen. Tällöin V f V f V f 0 * ( ) ( ) ( ) eli V(f) on imaginäärinen ja pariton 5

26 Symmetria ominaisuudet Tarkastellaan tapausta vt () ivq() t, Im vt () vq() t Jos v Q (t) on parillinen v Q (-t)=v Q (t) V( f) i v ( t)cos ft dt on imaginäärinen. Tällöin V ( f ) V ( f ) eli V(f) on imaginäärinen ja parillinen. Jos v Q (t) on pariton v Q (-t)=-v Q (t) on reaalinen. Tällöin V ( f ) V( f ) 0 Q V( f) v ( t)sin ft dt 0 Q eli V(f) on reaalinen ja pariton cos x cos( x) sin x sin( x) 6

27 Symmetria ominaisuudet Tarkastellaan nyt tapausta yleistä tapausta vt () Fourier-muunnos on lineaarinen operaatio, joten F vt () F Re vt () i F Im vt () Re{v(t)} Im{v(t)} Re{V(f)} Im{V(f)} Parillinen Pariton Reaalinen Parillinen Pariton Imaginaarinen Parillinen Hermiittinen Pariton Anti-hermiittinen Pariton Parillinen Parillinen Parillinen Parillinen Parillinen Parillinen Pariton Reaalinen Pariton Parillinen Imaginaarinen Pariton Pariton Pariton Pariton 7

28 Fourier muunnoksen ominaisuuksia Lineaarisuus (superpositio) Aikasiirto Aikaskaalaus Konjugaatti F av() t av () t av( f) av ( f) i ( ) V( f) e F v t f Fv( t) V Duaalisuus F Vt () v( f ) * * F v t V f () ( ) f Derivaatta n d n F vt () ( ) n i f V f dt Integraali t n F... v( n) dn... d V( f) n i f Konvoluutio F h( ) vt d H( f ) V ( f ) Kertolasku () () ( ) F h t v t H V f d 8

29 Superpositio Fourier muunnos on lineaarinen operaattori, joten osista koostuva signaali voidaan Fourier-muuntaa osissa () () () () F vt ut F vt F ut Esimerkki, signaali jonka energia on J s(t) T T T t = + t t st ( ) rect rect T T t F rect T sinc ft T T S( f) T sinc( ft) sinc( f ) 9

30 Aikasiirto Tarkastellaan signaalia s(t), jonka Fourier muunnos on S(f) Signaalia viivästetään :n verran. s(t) s(t-) Ratkaistaan viivästetyn signaalin Fourier-muunnos i ft Tehdään muuttujan vaihdos Fs( t) s( t) e dt t ' t t t ', dt ' dt (') i f t' ' i f (') i ft' ' s t e dt e s t e dt Aikasiirretyn signaalin Fourier-muunnos: i f F st ( ) e S( f) S( f ) 30

31 Taajuussirto Tarkastellaan signaalia s(t), jonka Fourier muunnos on S(f) Taajuussiirto S(f-f 0 ) S(f) S(f-f 0 ) Käänteismuunnos ( i ft 0) ( 0) F S f f S f f e df i f0t i f ' t e S f e df ( ') ' Taajuussiirretyn signaalin muunnospari: i f t i f t F S( f f ) F S( f) e s( t) e F ste () S( f f) i f0t 0 f 0 Tehdään muuttujan vaihdos f ' f f f f ' f, df ' df 0 0 3

32 Lineaarinen modulaatio Moduloitu signaali x() t s()cos t fct Voidaan kirjoittaa muotoon xt () st () e e ste () ste () Fourier muunnos X ( f) S( f fc) S( f fc) i f t i f t i f t i f t c c c c F ste () S( f f) i f0t Modulaatio siirtää signaalin taajuuskaistan f c ympäristöön: S(f) X(f) 0 -f c f c 3

33 Aika- ja taajuusskaalaus Aikaskaalaus Taajuusskaalaus F s( at) Todistus f S a a i ft F s( at) s( at) e dt t' dt t' at t, dt a a sgn( a) i ft' F sat ( ) st ( ') e dt a sgn( a) F s( at) f S a a a a 0 ( ) t F S af s a a Muuttujan vaihto Jos sgn(a)=- integrointi rajat vaihtuvat, tällöin tarvitaan kaavaa b a f ( xdx ) f( xdx ) a b 33

34 Duaalisuus Jos muunnospari Fst (()) S( f) tunnetaan, pätee signaalille y St () F St () s( f) F s( f) S( t) Todistus ( ()) () i ft F St Ste dt Ste () i f t dt S f e df s t s f i t' f ( ') ' ( ') ( ) S(f):n käänteismuunnoksen määritelmä f =t t =-f 34

35 Ideaalinen alipäästösuodatin Ideaalinen kaistanpäästösuodatin, jonka taajuuskaista on B S(f) B f S( f) rect B Vastaavan aikatason signaalin (impulssivasteen) Fourier-muunnos on t S( f) F rect Tsinc ft T T rect t 0 t t Duaalisuudesta seuraa, että f F S( f) F B rect BsincBt B B ja koska sinc on parillinen, saadaan st () Bsinc( Bt) 35

36 Derivoimiskeino Lausutaan signaali käänteismuunnoksen avulla s() t F s() t S( f) e i ft df Signaalin aikaderivaatta d dt n n n d i ft s() t S( f) e df n dt n d i ft S( f) e df n dt n i ft S( f) i f e df d F dt n s() t Koska integraali ei ole muuttujan t suhteen, voidaan derivaatta operaattori viedä integraalin sisälle n Derivoidun signaalin Fourier-muunnos n d n Muunnoskaavaksi saadaan F s() t i f S( f) n dt 36

37 Integroimiskeino Tarkastellaan signaalia t yt ( )... s( ) d... dn n kpl Tällöin n d s() t y() t n dt Derivoimiskeinosta seuraa n n d S( f) F s( t) i f Y( f) n Joten Y( f) S( f) n i f Muunnoskaavaksi saadaan: F st () i f S( f) dt t F... s( ) d... dn S( f) n i f n kpl n 37

38 Kolmiopulssi (/) Kolmiopulssi A -T T st () A T t t T 0 t T Kolmiopulssin aikaderivaatta A t ( ) rect T d A A t rect T st dt T T T T -T T -A rect t 0 t t 38

39 Kolmiopulssi (/) Fourier-muunnetaan aikaderivaatta t ( ) rect T d A A t rect T st dt T T T T t FArect ATsinc ft T i f F s( t ) e S( f) d A A F s( t) sinc fte sinc fte dt T T iasinc ft sin ft T T i f i f s(t):n Fourier-muunnos saadaan nyt integroimiskeinon avulla t d iasinc ft sin ft S( f) F s( t) i f dt i f T T sin Asinc ft ft f ATsinc ft F... s( ) d... d n S( f) n i f n kpl 39

40 Gaussin pulssi (/5) GSM-järjestelmässä käytetään Gaussian Minimum Shift Keying GMSK-modulaatiota, jossa lähetettävä informaatiobitti ohjaa kantoaallon vaihetta. Lähetettävää informaatiosymbolia kuvataan kanttipulsilla, jonka merkki riippuu lähetettävästä bitistä. Kanttipulssia suodatetaan usealla sarjassa olevalla alipäästösuodattimella. Tuloksena saadaan Gaussin pulssi. Suodatuksen ansiosta tiedonsiirron tarvitsema kaistanleveys minimoituu. 40

41 Gaussin pulssi (/5) Gaussin pulssi: t st () Aexp T Pulssi on parillinen: s( t) s( t) t Pulssin derivaatta: s(t) d t t t st () A exp st () dt T T T 4

42 Gaussin pulssi (3/5). Gaussin-pulssin derivaatta: d dt t st () st () T. Derivaatan F-muunnos d F s() t i fs( f ) dt 3. Sovelletaan duaalisuutta derivaatan F-muunnokseen: F v( f) V( f) d F v() t i fv( f) dt d F v( f ) i tv( t) df 4. Huomataan yhteys kohtien. ja 3. välillä: s( t) s( t) d t st () st () i t s( t) dt T it V( t) joten d d F st () S( f ) dt it df d v ( f ) df F d v( f ) df 4

43 Gaussin pulssi (4/5) 5. Kootaan tulokset yhteen Kohdan. perusteella d F s() t i fs( f ) dt ja kohdan 4. perusteella d d F s() t S( f) dt it df Eli, it d S ( f ) i fs ( f ) df 6. Ratkaistaan differentiaali yhtälö d S f ft S f df ds( f ) ft df S( f) ln ( ) ( ) ( ) S f f T C S( f) exp( f T )exp( C) k exp( C) C ln( k) k 43

44 Gaussin pulssi (5/5) 7. Vakio k määräytyy Rayleigh n energia teoreemasta S( f ) df st ( ) dt t k exp( T f ) df A exp dt t' T Tf t ' T f, df dt' T T t' dt' t k exp A exp dt T T T k AT Muuttujan vaihto 8. Tulokseksi saatiin S f AT f T ( ) exp( ) 44

45 Gaussin pulssi -II (/) Toinen tapa: Käytetään hyväksi integrointikaavaa Signaali t st () Aexp T Fourier-muunnos: t exp dt t T T S( f) Aexp exp i ft dt Aexp t i ft dt 45

46 Gaussin pulssi -II (/) Täydennetään neliöksi 4 4 S( f ) Aexp t ift t f T f T dt T t ift t ift T Aexp f T exp dt T T AT exp f T t exp dt 46

47 Gaussin pulssi Gaussin pulssi Fourier-muunnos t st () Aexp S( f ) AT exp( Tf ) T T=0. Pulssin muoto säilyy Fourier-muunnoksessa s(t) 0.5 S(f) t f 47

48 Kanttipulssi vs Gaussin pulssi s(t) 0.5 S(f) t t 48

49 Konvoluutiointegraali Tarkastellaan kahta energiasignaalia u(t) ja h(t), joiden Fourier-muunnokset ovat U(f) ja H(f). Signaalien välinen konvoluutio on y(t): Signaalin y(t) Fourier-muunnos -i 49

50 Kertolasku Tarkastellaan kahta energiasignaalia u(t) ja h(t), joiden Fourier-muunnokset ovat U(f) ja H(f). Signaalien tulo yt () utht () () Signaalien tulon Fourier-muunnos: i ft it i ft Futht () () uthte () () dt U( ) e dhte () dt H( f ) Muunnos on konvoluutiointegraali ut () i f t U( ) h( t) e dtd U( ) H( f ) d F u() t h() t U( ) H( f ) d 50

51 Katkaistu signaali Tarkastellaan signaalia s(t), jonka Fourier-muunnos on S(f). Katkaistaan signaalista jakso t(-t/,t/). Katkaistu signaali t yt () st () T Katkaistun signaalin Fourier-muunnos Y( f) S( ) Tsinc ( f ) T d on signaalin Fourier-muunnoksen ja sinc-funktion konvoluutio. 5

52 Katkaistu sinisignaali Sinimuotoinen signaali st () cos ft t[, ] c S( f) Katkaistu signaali Y( f) T cos ft c t yt () T 0 t Jotta spektri ei katkaistessa leviäisi, käytetään katkaisuun ikkunafunktioita. Tästä lisää myöhemmin.. 5

53 4.4 Erikoissignaalien F-muunnos

54 Fourier-muunnos Fourier-muunnos Käänteismuunnos Dirichlet n ehdot Fourier muuntuvalle energiasignaalille I: Signaali on itseisesti integroituva vt () dt II: Signaalin maksimi- ja minimiarvot ovat äärellisiä jokaisella äärellisellä aikavälillä t( a, b) sup (, ) ( ) ( ), ti t st i i sti a ti ti b i III: Signaalin epäjatkuvuuskohtia on rajallinen määrä lim äärellisessä määrässä 0 st ( 0 ) vt ( 0 ) 0 pisteitä välillä t(-,) 54

55 Fourier-muunnos On olemassa joukko signaaleita, jotka eivät täytä Dirichlet n ehtoja, mutta niille voidaan kuitenkin esittää Fourier-muunnos siten, että muunnoksen yleiset ominaisuudet ovat voimassa. Esim. Impulssifunktio Tasavirta Askel- ja signmum-funktiot Sini-signaali Näitä signaaleja kutsutaan yleistetyiksi signaaleiksi. Yleistetyt signaalit ovat tehosignaaleja 55

56 Impulssifunktio/Diracin delta-funktio Äärettömän kapea pulssi, jonka pinta-ala on. 0 0 () tdt () tdt Impulssifunktio (t) voidaan johtaa raja-arvona pulssista, jonka pituus on ja korkeus /, kun 0. Suorakaidepulssin tapauksessa: t t lim 0 x x 0 muutoin 56

57 Impulssifunktio 0 Suorakaidepulssi 0 Gaussin pulssi T= T=0.5 T= Amplitudi 5 4 Amplitudi Aika Aika 57

58 Impulssifunktio Signaalin kertominen impulssifunktiolla s( t) ( tt ) s t ( tt ) Näytteenotto s() t ( tt ) dt s( t ) Signaalin konvoluutio impulssifunktion kanssa (impulssivaste) s() t () t s( ) ( t) dt s() t 58

59 Impulssifunktion Fourier muunnos Impulssifunktion Fourier-muunnos x(t) X(f) F t Raja-arvona pulssin Fourier-muunnkosesta: t F sinc f t lim0 F lim0sinc f sin f f cos f lim0 im0 f f l Hôpital t f Signaalin energia on jakaantunut tasan kaikille taajuuksille t FA ATsinc ft T 59

60 Impulssifunktion käänteismuunnos Raja-arvoja käyttäen suoraan F-muunnoksen määritelmästä: i ft i f 0 F t t e dt e t dt s( t) ( t t ) s t ( tt ) () tdt () tdt 0 60

61 Impulssifunktion käänteismuunnos Impulssifunktion käänteismuunnos F f x(t) X(f) Todistus F f f e df e 0 f dt i ft i t DC-komponentin (vakion) Fourier-muunnos F A A f ( ) Taajuussiirros i F f f e 0 0 Todistus i f0t i f0t F f f f f e df e f f dt e i ft f t! t tietoverkkotekniikan laitos! f 6

62 Sini-signaalin Fourier-muunnos Sinimuotoinen signaali Eulerin kaavalla sinimuotoinen signaali voidaan kirjoittaa kahden osoittimen avulla, joita taajuustasossa vastaa taajuussiirros. sin cos i it it t e e it it t e e i 0 0 F f f e f t Spektri: A i Y( f) f f0e f f0e A f 0 Y( f) f 0 i f 6

63 Jaksollisen signaalin Fourier-muunnos Jaksollinen signaali voidaan esittää Fourier-sarjan avulla k vt () vk expi t k T0 Sovelletaan taajuussiirroksen Fourier-muunnosta k Fv() t vkfexpi t vk f k k T0 k T0 i f0t 0 F e f f Jaksollisen signaalin Fourier-muunnos saa nollasta poikkeavia arvoja ainoastaan harmonisilla taajuuksilla. Integraali spektritiheyden yli antaa signaalin keskimääräisen tehon ( ) * ( ) k v k V f V f dt v P 63

64 Epäjatkuva-amplitudiset signaalit Askelfunktio u(t) t 0 t 0 ut () ( ) d t 0 Epäjatkuvuuskohdan derivaatta voidaan lausua impulssifunktion avulla d ut () () t dt u(t) u (t) t t 64

65 Epäjatkuva-amplitudiset signaalit Epäjatkuvuuskohta ajanhetkellä t 0 d xt () '() t x t x t t t dt '( t) on signaalin jatkuvan termin derivaatta, joka täyttää Dirichlet n ehdot x(t 0+ ) x(t 0- ) t 0 x(t) t Signaalin Fourier-muunnos saadaan integrointikeinon avulla x() t '( ) x t x t t d F x() t t t n i f n kpl i ft0 '( ) 0 0 F t x t x t e i f F... s( ) d... d S( f) n 65

66 Epäjatkuva-amplitudiset signaalit Monta epäjatkuvuuskohtaa d xt () '() t xt ( k) t t dt x( t ) x t x t k k k k k F x() t F '( t) x( t ) e k i f k i ft k Esimerkki Pulssi 0 t T t xt ( ) Arect T A t T d x () t A T A T dt i f T i f T A x(t) x (t) e e sin ft F xt () A AT ATsinc( ft ) i f ft 66 t t

67 Tehtävä Mikä on oheisen pulssin derivaatta? -/ / - 67

68 Signum-funktio Signumfunktio t 0 xt () sgn( t) 0 t0 t 0 Ratkaistaan derivaatta d dt d xt ( ) sgn( t) dt x(0 ) x(0 ) () t () t () t Derivaatan Fourier-muunnos tunnetaan, joten x(t):n Fourier-muunnos saadaan integrointikeinolla d F xt () F xt () X(f) i f dt F ( t) i f i f - x(t) dx(t)/dt t t 68

69 Signum-funktio Tarkistetaan tulos käänteismuuntamalla se ft ft i ft cos ft sin ft F e df df i df i f i f i f i f cos sin i df df f f cos ft vt () f v( t) v( t) Funktio on pariton, joten (pinta-ala) integraali sen yli =0 sinc f ' df ' t 0 sin ft i f f sinc f ' df ' t 0 F df sinc ft tdf sgn( t) sinc f ' df ' sgn( t) sinc( tdt ) f ' ft df df ELEC-A700 Signaalit ja järjestelmät 5 op Aalto-yliopisto Tietoliikenne- t ja Muuttujan vaihto

70 Yksikköaskelfunktio Askelfunktio voidaan esittää tasavirtakomponentin ja signum-funktion avulla 0 t 0 sgn(t) ut ( ) sgn( t) t Fourier-muunnos Fu() t F F sgn( t) f j f - u(t) t - U(f) t 70