VII. KOMPLEKSILUVUT. VII.1. Laskutoimitukset

Transkriptio

1 VII. KOMPLEKSILUVUT Kompleksilukujen joukko on VII.1. Laskutoimitukset C = {(x, y x R ja y R} ; siis joukkona C = taso R 2. Kun z = (x, y C, niin x R on z:n reaaliosa ja y R imaginaariosa, merkitään x = Re (z ja y = Im (z. Järjestettyjen parien perusominaisuus: kun z 1 = (x 1, y 1 C ja z 2 = (x 2, y 2 C, niin z 1 = z 2 x 1 = x 2 ja y 1 = y 2 Re (z 1 = Re (z 2 ja Im (z 1 = Im (z Määritelmä. Kompleksilukujen z 1 = (x 1, y 1 C ja z 2 = (x 2, y 2 C summa on z 1 + z 2 = (x 1 + x 2, y 1 + y 2 C. Huom. z 1 + z 2 = vastaavien tason vektorien summa Lause. (C, + on Abelin ryhmä, ts. i z 1 + (z 2 + z 3 = (z 1 + z 2 + z 3 kaikilla z 1, z 2, z 3 C (yhteenlaskun liitännäisyys, ii z 1 + z 2 = z 2 + z 1 kaikilla z 1, z 2 C (+:n vaihdannaisuus, iii z + (0, 0 = z kaikilla z C (+:n neutraalialkio, iv jokaista z C kohti on olemassa z C s.e. z + ( z = (0, 0 (vasta-alkio. Tod. Tämä on tunnettua R 2 :n vektoreille (Lin.-alg. I. Huom. Kuten aina ryhmässä, neutraalialkio (0, 0 ja luvun z = (x, y C vasta-alkio z = ( x, y C ovat yksikäsitteisiä. Jos z, w C, niin erotus u = w z = w + ( z on se yksikäsitteinen luku u C, jolla z + u = w Määritelmä. Kompleksilukujen z 1 = (x 1, y 1 C ja z 2 = (x 2, y 2 C tulo on z 1 z 2 = (x 1 x 2 y 1 y 2, x 1 y 2 + y 1 x 2 C Lause. Kaikilla z j = (x j, y j C on i z 1 (z 2 z 3 = (z 1 z 2 z 3 (kertolaskun liitännäisyys, ii z 1 z 2 = z 2 z 1 (kertolaskun vaihdannaisuus, iii z 1 (z 2 + z 3 = z 1 z 2 + z 1 z 3 (osittelulaki. Lisäksi iv (1, 0 z = z kaikilla z C (ykkösalkio, ja v jos (a, b C, (a, b (0, 0, niin on olemassa täsmälleen yksi sellainen (x, y C, että (a, b (x, y = (1, 0, nimittäin ( (x, y = a a 2 + b 2, b a 2 + b (käänteisalkio.

2 Tod. i Reaalilukujen laskusääntöjen mukaan (x 1, y 1 ((x 2, y 2 (x 3, y 3 = (x 1, y 1 (x 2 x 3 y 2 y 3, x 2 y 3 + y 2 x 3 = ( x 1 (x 2 x 3 y 2 y 3 y 1 (x 2 y 3 + y 2 x 3, x 1 (x 2 y 3 + y 2 x 3 + y 1 (x 2 x 3 y 2 y 3 = ( x 1 x 2 x 3 x 1 y 2 y 3 y 1 x 2 y 3 y 1 y 2 x 3, x 1 x 2 y 3 + x 1 y 2 x 3 + y 1 x 2 x 3 y 1 y 2 y 3 = ( (x 1 x 2 y 1 y 2 x 3 (x 1 y 2 + y 1 x 2 y 3, (x 1 x 2 y 1 y 2 y 3 + (x 1 y 2 y 1 x 2 x 3 = ( x 1 x 2 y 1 y 2, x 1 y 2 + y 1 x 2 (x3, y 3 = ( (x 1, y 1 (x 2, y 2 (x 3, y 3. ii ja iii seuraavat vastaavasti R:n laskulaeista. iv (1, 0 (x, y = (1 x 0 y, 1 y + 0 x = (x, y. v (a, b (0, 0 a 0 tai b 0 a 2 + b 2 > 0. Tällöin (a, b (x, y = (1, 0 (ax by, ay + bx = (1, 0 { ax by = 1 bx + ay = 0 x = 1.5. Seuraus. (C, +, on kunta. a a 2 + b 2, y = b a 2 + b 2, sillä a b b a = a2 + b 2 0. Erityisesti jokaisella z C, z (0, 0, on siis C:ssä käänteisluku z 1, ks. L 1.4.v. Jos myös w C, niin yhtälöllä z u = w on yksikäsitteinen ratkaisu u C, joka on w:n ja z:n osamäärä u = z 1 w = w z Määritelmä. Kompleksiluvun z = (x, y C liittoluku on z = (x, y C Lause. a (z = z kaikilla z C. b (z 1 + z 2 = z 1 + z 2 kaikilla z 1, z 2 C. c (z 1 z 2 = z 1 z 2 kaikilla z 1, z 2 C. d (z 1 = (z 1 kaikilla z C, z (0, 0. Tod. a ja b ovat triviaaleja. c z j = (x j, y j (j = 1, 2 = d Kohdan c mukaan saadaan (z 1 z 2 = (x 1 x 2 y 1 y 2, x 1 y 2 + y 1 x 2 = (x 1 x 2 y 1 y 2, x 1 y 2 y 1 x 2 = (x 1 x 2 ( y 1 ( y 2, x 1 ( y 2 + ( y 1 x 2 = (x 1, y 1 (x 2, y 2 = z 1 z 2. z (z 1 = (z z 1 = (1, 0 = (1, 0, joten (z 1 on z:n käänteisluku. Tarkastellaan joukkoa C 1 = {(x, 0 x R} C. Kuvaus f(x = (x, 0 on bijektio f: R C 1 ja säilyttää laskutoimitukset eli f(x + x = (x + x, 0 = (x, 0 + (x, 0 = f(x + f(x f(xx = (xx, 0 = (x, 0(x, 0 = f(xf(x. 122

3 Lisäksi f(1 R = (1, 0 = 1 C, joten f on kuntien isomorfismi. Siten f:n kuvajoukko f(r = C 1 C on kunnan R kanssa isomorfinen C:n alikunta, alkioina reaaliset kompleksiluvut. Voidaan siis samastaa R ja C 1, kun asetetaan x = (x, 0 kaikilla x R. Kompleksiluvut (0, y, y R {0}, ovat puhtaasti imaginaarisia. Eräs tällainen on imaginaariyksikkö i = (0, 1, jolle pätee Tällöin kaikilla (x, y C on i 2 = (0, 1 (0, 1 = (0 1, = ( 1, 0 = (1, 0 = 1. (x, y = (x, 0 + (0, y = (x, 0 + (0, 1 (y, 0 = x + iy. Siis jokainen kompleksiluku z voidaan esittää muodossa z = x + iy, missä x = Re (z R ja y = Im (z R. Tässä esitysmuodossa kompleksilukujen summat ja tulot voidaan laskea suoraan kunnan C laskulakien ja identiteetin i 2 = 1 avulla: (x 1 + iy 1 + (x 2 + iy 2 = x 1 + iy 1 + x 2 + iy 2 = (x 1 + x 2 + i(y 1 + y 2, (x 1 + iy 1 (x 2 + iy 2 = x 1 (x 2 + iy 2 + iy 1 (x 2 + iy 2 = x 1 x 2 + ix 1 y 2 + iy 1 x 2 + i 2 y 1 y 2 = (x 1 x 2 y 1 y 2 + i(x 1 y 2 + y 1 x 2. Jakolaskussa auttaa liittoluvun käyttö (poistetaan i nimittäjästä: x + iy a + ib = (x + iy(a ib (a + ib(a ib = xa + yb + i(ya xb a 2 + b 2. Kun z = x + iy C (x, y R, on z + z = (x + iy + (x iy = 2x = 2 Re (z ja z z = (x + iy (x iy = 2iy = 2i Im (z, joten Re (z = z + z 2 ja Im (z = z z 2i Toisen asteen yhtälöt. Olkoon w = u + iv C (u, v R. Ratkaisemme yhtälön z 2 = w ja lausumme sen juuret z = x + iy C (x, y R u:n ja v:n avulla. Tapaus 1: v = 0, ts. w = u R. Tällöin Tapaus 2: v 0, ts. w R. ± u ( R, jos u > 0, z 2 = w = u z = 0 ( R, jos u = 0, ±i u ( R, jos u < 0. z 2 = w (x 2 y 2 + i 2xy = u + iv ( { x 2 y 2 = u 2xy = v { x ( = 4 2x 2 y 2 + y 4 = u 2 4x 2 y 2 = v 2 = (x 2 + y 2 2 = u 2 + v 2 = x 2 + y 2 = u 2 + v 2 (+, koska x 2 + y

4 Siis ( = { x 2 y 2 = u x 2 + y 2 = u 2 + v 2 = x 2 = 2( 1 u2 + v 2 + u (, y 2 = 1 2 u2 + v 2 u 1 = x = ± 2( u2 + v 2 + u, y = ± 1 2( u2 + v 2 u. Kääntäen, kaikki tästä saatavat 4 paria (x, y toteuttavat yhtälöt x 2 y 2 = u ja (2xy 2 = v 2. Yhtälö 2xy = v toteutuu x:n ja y:n merkit valitaan niin, että tulon xy merkki = v:n merkki. Määritellään { +1, jos v > 0, sign(v = 1, jos v < 0. Yhtälön z 2 = w ratkaisut ovat siis ( 1 z = ± 2( u2 + v 2 + u 1 + sign(v i 2( u2 + v 2 u. Yleisen 2. asteen yhtälön az 2 + bz + c = 0 (a, b, c C, a 0 ratkaiseminen palautuu eo. erikoistapaukseen, sillä ( az 2 + bz + c = 0 z + b 2 b 2 4ac = 2a 4a Esimerkki. z 2 (3 + iz i = 0 ( z 3 + i 2 (3 + i 2 = 2 4 Kun w = x + iy (x, y R, niin 2 2i = 1 2 i. w 2 = 1 2 i x2 y 2 = 0 ja 2xy = 1 2 [ y = x tai y = x ] ja 4xy = 1 y = x ja 4xy = 1 (jos y = x, ei voisi olla 4xy = 1 < 0 y = x ja 4x 2 = 1 x = ± 1 2, y = x w = ± 1 2 (1 i. Alkuperäisen yhtälön juuret ovat siis z = 3 + i 2 + w = 3 + i 2 ± 1 2 (1 i = { i. VII.2. Moduli ja argumentti Kompleksiluvun z = x + iy (x, y R moduli eli itseisarvo on reaaliluku siis z = pisteen (x, y R 2 etäisyys origosta. z = x 2 + y 2 0; 2.1. Lause. Olkoon z, z C. a z = 0 z = 0; z 0 z > 0. b z 2 = z z. 124

5 c z z = z z. d z z z + z z + z ( kolmioepäyhtälö. e Re (z z, Im (z z ja z Re (z + Im (z. Tod. Olkoon z = x + iy, x, y R. a z = 0 = z = 0 selvästi. Jos z 0, niin x 0 tai y 0, jolloin x 2 > 0 tai y 2 > 0, ja toinenkin 0. Siis x 2 + y 2 > 0, joten z > 0. b z z = (x + iy(x iy = x 2 (iy 2 = x 2 + y 2 = z 2. c z z 2 = (z z (z z = zz zz = (zz (z z = z 2 z 2. d Kolmioepäyhtälö on todistettu tason R 2 vektoreille sivulla 39 (polun pituuden yhteydessä. e Re (z = x = x 2 x 2 + y 2 = z, samoin Im (z z. Kolmioepäyhtälön avulla saadaan z = x + iy x + iy = x + i y = x + y = Re (z + Im (z. Olkoon z = x + iy C kuten edellä. Piste (x, y R 2 voidaan esittää napakoordinaattien (r, ϕ avulla: { x = r cos ϕ y = r sin ϕ, missä r = z = x 2 + y 2 ja cos ϕ = x r, sin ϕ = y, mikäli z 0. r Sanotaan, että ϕ R on luvun z C (eräs argumentti eli vaihekulma, merkitään ϕ = arg(z, jos Re (z = z cos ϕ ja Im (z = z sin ϕ. Huom. Jokainen ϕ R on luvun 0 C argumentti. Jos z 0 ja ϕ = arg(z on eräs z:n argumentti, niin muut argumentit ovat ϕ + k 2π, k Z. Jokainen z C voidaan siis esittää muodossa z = r(cos ϕ+i sin ϕ, r = z 0, ϕ = arg(z R. Erityisesti z = 1 z = cos ϕ + i sin ϕ jollakin ϕ R. Huom. Geometrisesti {z C : z = 1} = {cos ϕ + i sin ϕ ϕ R} on origokeskisen yksikköympyrän kehä. Kun ϕ R, merkitsemme (tässä vaiheessa formaalisti e iϕ = cos ϕ + i sin ϕ C (Eulerin kaava (Euler Jos ϕ 1, ϕ 2 R, niin sinin ja kosinin summakaavojen mukaan e i(ϕ 1+ϕ 2 = cos(ϕ 1 + ϕ 2 + i sin(ϕ 1 + ϕ 2 = (cos ϕ 1 cos ϕ 2 sin ϕ 1 sin ϕ 2 + i(sin ϕ 1 cos ϕ 2 + cos ϕ 1 sin ϕ 2 = (cos ϕ 1 + i sin ϕ 1 (cos ϕ 2 + i sin ϕ 2 = e iϕ1 e iϕ 2. Kun ϕ R, on erityisesti e iϕ e i( ϕ = e i(ϕ+( ϕ = e i0 = 1, joten e i( ϕ = (e iϕ 1. Merkitään e iϕ = e i( ϕ = (e iϕ 1 = cos ϕ i sin ϕ. 125

6 Kun ϕ 1, ϕ 2 R, on vielä e i(ϕ 1 ϕ 2 = e i(ϕ 1+( ϕ 2 = e iϕ1 e i( ϕ 2 = e iϕ1 (e iϕ 2 1 = eiϕ 1 e iϕ 2. Oletetaan, että z 1, z 2 C. Tällöin z j = r j e iϕ j, missä r j = z j ja ϕ j = arg(z j (j = 1, 2, joten Saadaan siis z 1 z 2 = r 1 r 2 e i(ϕ 1+ϕ 2, z 1 = r 1 e i(ϕ 1 ϕ 2, jos z 2 0. z 2 r Lause. arg(z 1 z 2 = arg(z 1 + arg(z 2 ; arg(z 1 /z 2 = arg(z 1 arg(z 2, jos z 2 0. Huom. Geometrisesti e iϕ z saadaan kiertämällä vektoria z kulman ϕ verran Seuraus. Jos z C ja n N, niin z n = z n ja arg(z n = n arg(z. Erityisesti on voimassa Moivren kaava (cos ϕ + i sin ϕ n = cos(nϕ + i sin(nϕ eli (e iϕ n = e inϕ kaikilla ϕ R, n N Esimerkkejä. 1 Määritä (1 + i 6 muodossa x + iy. Ratk. 1 + i = 2 ( cos(π/4 + i sin(π/4 = 2 e i(π/4 = (1 + i 6 = ( 2 e i(π/4 6 = ( 2 6 e i(6π/4 = 8e i(3π/2 = 8 ( cos(3π/2 + i sin(3π/2 = 8i. TAI: (1 + i 2 = 1 + 2i + i 2 = 2i = (1 + i 6 = (2i 3 = 8i 3 = 8i. 2 Lausu cos 5ϕ ja sin 5ϕ cos ϕ:n ja sin ϕ:n avulla. Ratk. Moivren kaavan mukaan cos 5ϕ + i sin 5ϕ = (cos ϕ + i sin ϕ 5 = cos 5 ϕ + 5 cos 4 ϕ i sin ϕ + 10 cos 3 ϕ(i sin ϕ cos 2 ϕ(i sin ϕ cos ϕ(i sin ϕ 4 + (i sin ϕ 5 = cos 5 ϕ 10 cos 3 ϕ sin 2 ϕ + 5 cos ϕ sin 4 ϕ + i(5 cos 4 ϕ sin ϕ 10 cos 2 ϕ sin 3 ϕ + sin 5 ϕ = { cos 5ϕ = cos 5 ϕ 10 cos 3 ϕ sin 2 ϕ + 5 cos ϕ sin 4 ϕ sin 5ϕ = 5 cos 4 ϕ sin ϕ 10 cos 2 ϕ sin 3 ϕ + sin 5 ϕ. 126

7 VII.3. Binomiyhtälö Olkoon w C ja n N. Etsimme kaikki luvut z C, jotka toteuttavat binomiyhtälön z n = w (tapaus n = 2 oli jo edellä toisen asteen yhtälöä ratkaistaessa. Jos w = 0, on z n = w = 0 z = 0. Käsitellään seuraavaksi tapausta w = 1. Olkoon z = re iϕ, missä r > 0 ja ϕ R. Tällöin z n = 1 (re iϕ n = 1 = e i0 r n e inϕ = e i0 r n = 1 ja nϕ = k 2π, k Z r = 1 ja ϕ = k 2π n, k Z z = e i k(2π/n, k Z. Kun k Z, on olemassa yksikäsitteiset p, k 0 Z siten, että 0 k 0 < n ja k = pn + k 0. Siis e ik(2π/n = } e ipn(2π/n {{} e ik0(2π/n = (e i(2π/n k 0 = ε k 0 n, =1 missä ε n = e i(2π/n ja luvut ε k 0 n, k 0 = 0, 1,..., n 1, ovat erisuuria (yksikköympyrän sisään piirretyn säännöllisen n-kulmion kärjet. Tulokseksi saadaan 3.1. Lause. Yhtälön z n = 1 juuret eli n:nnet ykkösen juuret ovat 1, ε n, ε 2 n,..., ε n 1 n, missä ε n = e i(2π/n. Huom. U n = {1, ε n, ε 2 n,..., εn n 1 } on kertolaskun suhteen n-alkioinen syklinen ryhmä. Tarkastellaan sitten binomiyhtälöä z n = w, w = ρe iψ, ρ = w > 0, ψ R. Kun z = re iϕ, r 0, ϕ R, on z n = w r n e inϕ = ρe iψ r n = ρ ja nϕ = ψ + k 2π, k Z r = n ρ ja ϕ = ψ n + k 2π n, k Z z = n ρ e i(ψ/n+ik (2π/n = ( n ρ e i(ψ/n (e i(2π/n k, k Z Lause. Yhtälön z n = w ( 0 eri juuret ovat z 0 ε k n, k = 0, 1, 2,..., n 1, missä z 0 = n ρ e i(ψ/n ja ε n = e i(2π/n Esimerkkejä. 1 Yhtälön z 3 = 1 juuret ovat 1, ε 2 = e i(2π/3 = cos(2π/3+i sin(2π/3 = 1 2 ( 1 + i 3 ja ε 2 3 = e i(4π/3 = cos(4π/3 + i sin(4π/3 = 1 2 ( 1 i 3. 2 Ratkaise yhtälö z 4 = 16. Tässä 16 = 16e iπ ja ε 4 = e i(π/2 = i, joten juuret ovat seuraavat: z 0 = 4 16 e i(π/4 = 2 ( cos(π/4 + i sin(π/4 = 2(1 + i, z 1 = z 0 ε 4 = 2(1 + i i = 2( 1 + i, z 2 = z 0 ε 2 4 = 2(1 + i ( 1 = 2( 1 i z 3 = z 0 ε 3 4 = 2(1 + i ( i = 2(1 i. ja 127

8 VII.4. Jonon ja sarjan suppeneminen Olkoon z n = x n + iy n C, n N, ja z = x + iy C (x, x 1, x 2,... R, y, y 1, y 2,... R Määritelmä. Jono (z n suppenee ja z on sen raja-arvo, jos jokaista ε > 0 kohti on olemassa sellainen n ε N, että Tällöin merkitään lim z n = z tai z n z. z n z < ε kaikilla n > n ε. Huom. z n z < ε z n B(z, ε, missä B(z, ε = {w C : w z < ε} on ε-säteinen avoin kiekko. Selvästi z n z z n z Lause. z n z x n x 0 ja y n y Tod. Lauseen 2.1.e perusteella on 0. 0 x n x z n z ja 0 y n y z n z kaikilla n N, 0 z n z x n x + y n y kaikilla n N, Siispä z n z 0 x n x 0 ja y n y 0. w n Jonojen raja-arvoille pätevät tavanomaiset laskusäännöt. Jos esimerkiksi z n z ja w (w n = u n + iv n, w = u + iv; u n, v n, u, v R, niin z n + w n = (x n + u n + i(y n + v n (x + u + i(y + v = z + w, z n w n = (x n u n y n v n + i(x n v n + y n u n (xu yv + i(xv + yu = z w Määritelmä. Kompleksiterminen sarja Tällöin merkitään myös ja Koska n z k = z k = z. n x k + i 4.4. Lause. Sarja n z k z k suppenee ja sen summa on z, jos z. n y k kaikilla n N, saadaan: z k suppenee ja sen summa on z = x + iy, jos ja vain jos sarjat y k molemmat suppenevat ja niiden summat ovat x ja y. Huom. Jos z k suppenee, summa = z, niin z n = 128 n n 1 z k z k z z = 0. x k

9 4.5. Esimerkki. Geometrinen sarja sen summa on aq k (a, q C, a 0 suppenee q < 1. Tällöin aq k = a 1 q. Tod. Jos q 1, aq k = a q k 0, kun k, joten sarja ei suppene. Jos q < 1, niin q n = q n 0, joten q n 0 ja n 1 aq k = a(1 qn 1 q a(1 0 = a 1 q 1 q Määritelmä. Sarja z k suppenee itseisesti, jos z k suppenee Lause. Itseisesti suppeneva sarja suppenee. Tod. Oletetaan, että z k suppenee. Koska 0 x k z k ja 0 y k z k kaikilla k N, niin majoranttiperiaatteen mukaan sarjat ja y k suppenevat, joten z k suppenee. x k ja y k suppenevat. Tällöin siis sarjat x k VII.5. Eksponentti-, sini- ja kosinifunktiot Sarja z k suppenee itseisesti kaikilla z C, sillä sarja reaalisen sarjan perusteella (ja sen summa = e z Määritelmä. e z = z k C kaikilla z C. z k = z k suppenee Mertensin lause III.4.2 on voimassa myös C-termisille sarjoille; sivulla 75 esitetty todistus pätee tässäkin tapauksessa. Kuten reaalisen sarjan e x x k = tapauksessa (sivun 76 ensimmäinen esimerkki nähdään, että e z+w = e z e w kaikilla z, w C. Erityisesti, kun z = x + iy C (x, y R, on e z = e x+iy = e x e iy. 129

10 Tässä e x = x k R on sama kuin aiemminkin, ja e iy = (iy k = i k yk = 1 + iy y2 2! iy3 3! + y4 4! + iy5 5!... = (1 y2 2! + y4 4!... + i (y y3 3! + y5 5!... = cos y + i sin y, ts. saatiin Eulerin kaava. Kaikkiaan eksponenttifunktiolle pätee e z = e x (cos y + i sin y, z = x + iy C (x, y R; Re (e z = e x cos y, Im (e z = e x sin y ; e z = e x, arg(e z = y (+k 2π, k Z. Eulerin kaavan erikoistapauksena saatava yhtälö sisältää matemaattisen analyysin perusvakiot. e iπ + 1 = 0 Tarkastellaan vielä kuvausta f: C C, f(z = e z, geometrisesti. Kun x 0, y 0 R, on f({x 0 + iy y R} = {e x0 e iy y R} = {w C : w = e x 0 }, f({x + iy 0 x R} = {e x e iy 0 x R} = {w C w 0, arg(w = y 0 }. Siis imaginaariakselin suuntainen suora {x 0 + iy y R} kuvautuu (ei-injektiivisesti e x 0 -säteisen origokeskisen ympyrän kehäksi ja reaaliakselin suuntainen suora {x + iy 0 x R} kuvautuu (bijektiivisesti origosta lähteväksi säteeksi, joka on vektorin (cos y 0, sin y 0 suuntainen. 130

11 Olkoon w = re iϕ C, r 0, ϕ R. Tarkastellaan yhtälöä e z = w, z C. Jos w = 0, tällä ei ole ratkaisua ( e z = e x > 0 kaikilla z = x + iy C. Olkoon sitten w 0 eli r > 0. Kun z = x + iy, x, y R, on e z = w e x e iy = re iϕ e x = r ja y = ϕ + k 2π, k Z x = ln r ja y = ϕ + k 2π, k Z z = ln r + iϕ + k 2πi, k Z Määritelmä. Kompleksiluvun w = re iϕ 0, r > 0, logaritmilla on äärettömän monta arvoa ln w = ln r + iϕ + k 2πi, k Z. Siis kuvaus z e z on surjektio, mutta ei injektio C C {0}. Sen sijaan esim. rajoittuma {z C π < Im (z < π} C {x x R, x 0} on bijektio, jonka käänteiskuvaus on logaritmin eräs haara. Kun x R, niin Eulerin kaavan mukaan { e ix = cos x + i sin x e ix = cos x i sin x = Yleistetään nämä kaavat määrittelemällä kaikilla z C sin z = 1 2i (eiz e iz, cos z = 1 2 (eiz + e iz. sin x = 1 2i (eix e ix cos x = 1 2 (eix + e ix. Jos lisäksi merkitään sinh z = 1 2 (ez e z ja cosh z = 1 2 (ez + e z kaikilla z C, on siis kaikilla z C. Toisaalta i sin z = sinh(iz ja cos z = cosh(iz sin z = 1 2i (eiz e iz = 1 ( (iz k 2i = 1 [ i k ( i k] zk 2i = 1 (2iz 2i z3 2i 3! + 2iz5 5!... = z z3 3! + z5 5! z7 7! +... ( iz k 131

12 ja vastaavasti cos z = 1 z2 2! + z4 4! z6 6! +... kaikilla z C. Edelleen, jos z = x + iy (x, y R, on sin z = 1 2i (eiz e iz = 1 2i (e y+ix e y ix = 1 ( e y (cos x + i sin x e y (cos x i sin x 2i = sin x cosh y + i cos x sinh y, cos z = 1 2 (eiz + e iz = 1 2 (e y+ix + e y ix = 1 ( e y (cos x + i sin x + e y (cos x i sin x 2 = cos x cosh y i sin x sinh y = { Re (sin z = sin x cosh y Im (sin z = cos x sinh y ja { Re (cos z = cos x cosh y Im (sin z = sin x sinh y. Esim. Ratkaise yhtälö sin z = 2. Ratk. Olkoon z = x + iy C, x, y R siten, että sin z = 2 eli { sin x cosh y = 2 cos x sinh y = 0. Todetaan aluksi, että cos x sinh y = 0 = cos x = 0 tai sinh y = 0. Jos sinh y = 0 eli y = 0, on sin x cosh y = sin x 1 < 2, joten ei ole ratkaisua. Näin ollen täytyy olla cos x = 0 eli x = ± 1 2π + k 2π, k Z. Jos x = 1 2π + k 2π (k Z, niin sin x cosh y = cosh y < 0 < 2, joten ei ole ratkaisua. Siis täytyy olla x = 1 2π + k 2π (k Z, jolloin sin x cosh y = 2 cosh y = 2 y = ± ar cosh 2 = ± ln( = ± ln( ja siis z = 1 2 π + k 2π ± i ln(2 + 3, k Z. Kääntäen, kaikki nämä z:n arvot toteuttavat yhtälön sin z = 2. Huomautus neliöjuuresta. Kohdassa 1.8 ratkaistiin yhtälö z 2 = w ja saatiin z = ±(. Jos w C, ei ole järkevää sääntöä, kumpi yhtälön z 2 = w juurista olisi merkittävä w ja kumpi w. Toisin sanoen merkintää w ei ilman lisäselvityksiä pidä käyttää ellei ole w R ja w 0. Myöskään merkintää 1 = i ei saa soveltaa neliöjuurten laskusääntöjen mukaan. Tästä vielä varoittava esimerkki: 2 = i 2 ( 2 2 = (i 2(i 2 = = 2 2 = ( 2( 2 = 4 =