KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012
|
|
- Siiri Saarinen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 01 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 5. Eksponenttifunktio ja sini- ja kosinifunktiot Kertausta. (1 Reaaliselle eksponenttifunktiolle e x : R R + pätee e x x k = kaikilla x R. k! ( Kompleksitermisen potenssisarjan z k k! suppenemissäde on R =, ja erityisesti siis tämä potenssisarja on itseisesti suppeneva koko kompleksitasossa. Sarja z k k! määrittelee siis analyyttisen funktion C C. (Itse asiassa sarjan määrittelemän funktion arvot kuuluvat joukkoon C \ {0} Määritelmä. Kompleksinen eksponenttifunktio exp: C C määritellään asettamalla z k exp(z := k!. 5.. Huomautus. Koska reaalisen eksponenttifunktion x e x Taylorin kehitelmä on e x x k = kaikilla x R, k! niin exp(x = e x kaikilla x R. Date:
2 Kompleksianalyysin kurssi/rhs 5.1. Kompleksisen eksponenttifunktion ominaisuuksia. 1. o Eksponenttifunktio on analyyttinen koko kompleksitasossa ja exp (z = exp(z jokaisella z C : Esimerkin 4.8 ( ja Lauseen 4.37 nojalla exp (z = n 1 n! zn 1 = n=1 n=1 z n 1 (n 1! = z n n! = exp(z.. o exp(z + w = exp(z exp(w kaikilla z, w C: Mertensin lauseen nojalla Cauchyn tulokaava sarjoille (Kotitehtävä 5.4 ja binomikaava antavat ( ( n exp(z exp(w = = = 1 n! 1 n! zn n p=0 1 k! wk = n! p!(n p! zp w n p = 1 n! (z + wn = exp(z + w 3. o Eksponenttifunktiolla ei ole nollakohtia: p=0 1 1 p! zp (n p! wn p 1 n! n p=0 1 = exp(0 = exp(z + ( z = exp(z exp( z. Lisäksi edellä olevasta seuraa, että exp( z = 1 exp(z. ( n z p w n p p 4. o Jokaiselle kompleksiluvulle z pätee exp(z = exp(z : Sarjan määritelmän, Lauseen 1.18 ja Lauseen.16 nojalla n (z k n z exp(z = lim = lim k n n k! n k! = lim z k n k! = lim n n z k k! = exp(z. 5. o Piste iy, missä y R, kuvautuu yksikkökiekon kehälle: exp(iy = exp(iy exp(iy 4.o = exp(iy exp(iy = exp(iy exp( iy.o = exp(iy + ( iy = exp(0 = 1.
3 Kompleksianalyysin kurssi/rhs 3 6. o exp(z exp( z kaikilla z C, sillä sarja z n suppenee itseisesti kaikilla z C n!. 7. o exp(z = exp(re(z = e Re(z kaikilla z C : exp(z = exp(zexp(z 4.o = exp(z exp(z.o = exp(z + z = exp ( Re(z = exp ( Re(z + Re(z. o = ( exp(re(z ( exp(re(z = [ exp(re(z ]. Luvut exp(z ja exp(re(z ovat positiivisia reaalilukuja, ja väite seuraa. 5.. Eulerin kaava. Annoimme 1. Luvussa merkinnän e iα := cos(α + i sin(α, α R. Silloin e iα oli vain lyhennetty merkintä oikealle puolelle cos(α+i sin(α, kun α R. Voimme nyt todistaa, että kun α R: (iα k exp(iα = = k! = exp(iα = cos(α + i sin(α, ( 1 k (k! αk + i = cos(α + i sin(α, i k k! αk ( 1 k (k + 1! αk+1 reaalisten sini- ja kosinifunktioiden Taylorin sarjojen avulla. Seuraavalla ei ole vastaavuutta reaaliselle eksponenttifunktiolle Lause. Eksponenttifunktiolla on jaksona πi eli kaikilla z C pätee exp(z + πi = exp(z. Jos α on jokin toinen jakso eli niin α = kπi jollain k Z. exp(z + α = exp(z kaikilla z C, Todistus: Eksponenttifunktion summakaavan. o ja Eulerin kaavan nojalla exp(z + πi = exp(z exp(πi = exp(z(cos }{{ π} +i sin }{{ π} = exp(z. =1 =0
4 4 Kompleksianalyysin kurssi/rhs Olkoon α jokin toinen jakso. Tällöin jaksollisuuden määritelmän nojalla exp(α = exp (α + 0 = exp(0 = 1. Siis exp(α = 1. Jos α = x + iy, missä x R ja y R, niin 1 = exp(α = exp(x + iy = exp(x exp iy = exp(x exp(iy 5.o = exp(x, joka on reaalinen eksponenttifunktio, eli exp(x = e x (0,, kun x R ja siis x = 0. Siis α = iy ja 1 = exp(iy = cos y + i sin y, jolla ainoat ratkaisut ovat y = πn jollain n Z Lause. Kuvaus z exp(z on bijektio joukolta joukolle C \ {0}. {z : 0 Im z < π} = Ω 5.5. Huomautus. Bijektio on one-to-one and onto. Todistus. 1. exp(z 0 kaikilla z. Kuvaus on hyvin määritelty.. one-to-one : Olkoot z 1 = x 1 + iy 1 Ω, z = x + iy Ω, missä x k R ja y k R, kun k = 1,, siten, että exp(z 1 = exp(z. On osoitettava, että z 1 = z. Koska exp(z 1 = exp(z, niin siis x 1 = x. Lisäksi e x 1 = exp(z 1 = exp(z = e x, y 1 + πn = arg(exp(z 1 = arg(exp(z = y + πk ; n Z, k Z y 1 y = πh, h Z. Koska Ω:n määrittelyn nojalla 0 y 1, y < π, niin y 1 = y. Siis z 1 = z. 3. onto : exp : Ω C\{0} kuvaus. Olkoon w C\{0} annettu. On osoitettava, että on olemassa z Ω siten, että exp(z = w. Olkoon siis w C\{0} annettu. Valitaan ψ [0, π siten, että ψ = arg w. Merkitään z = ln w + iψ. Silloin z Ω ja exp(z = exp(ln w + iψ = e ln w (cos ψ + i sin ψ = w (cos(arg w + i sin(arg w = w.
5 Kompleksianalyysin kurssi/rhs Lause. Kuvaus z exp(z kuvaa jokaisen imaginaariakselin suuntaisen suoran {z C : Re z = x 0 } ympyrälle {w C : w = e x 0 } ja jokaisen reaaliakselin suuntaisen suoran {z C : Im z = y 0 } origosta lähtevälle säteelle {z C : arg z = y 0 }. Todistus. Olkoon z = x 0 + iy, missä x 0 R on kiinnitetty ja y R muuttuu. z = x 0 + iy exp(z = exp(x 0 + iy exp(x 0 + iy = exp(x 0 exp(iy = e x 0 (cos y + i sin y. Siis parametriesitys { u(t = e x 0 cos t v(t = e x 0 sin t, t R, joka on origokeskinen ympyrä säteenä e x 0. Tai exp({z C : Re z = x 0 } = {exp(x 0 + iy : y R} = {e x 0 (cos y + i sin y : y R} = {w C : w = e x 0 }. Olkoon z = x + iy 0, missä x R muuttuu ja y 0 R on kiinnitetty. z = x + iy 0 exp(z = exp(x + iy 0 exp(x + iy 0 = exp(x exp(iy 0 = e x (cos y 0 + i sin y 0. Siis parametriesitys { u(t = e t cos y 0 v(t = e t sin y 0, t R, joka on puolisuora origosta. Origo ei kuulu puolisuoraan ja puolisuora kulkee pisteen cos y 0 + i sin y 0 läpi. Tai exp({z C : Im z = y 0 } = {exp(x + iy 0 : x R} = {e x (cos y 0 + i sin y 0 : x R} = {r(cos y 0 + i sin y 0 : r > 0} = {w C\{0} : arg w = y 0 } Kompleksiset sini- ja kosinifunktiot. Olkoon y R. Silloin ja e iy = cos y + i sin y e i( y = cos( y + i sin( y = cos y i sin y,
6 6 Kompleksianalyysin kurssi/rhs koska kosini on parillinen funktio ja sini on pariton funktio. Kun laskemme puolittain yhteen ja vähennämme puolittain, saamme ja cos y = e iy + e iy eli cos y = 1 (eiy + e iy i sin y = e iy e iy eli sin y = 1 i (eiy e iy, missä y R. Tässä siis cos ja sin ovat reaaliset kosini- ja sinifunktiot. Olkoon nyt z C. Määritellään kompleksinen sinifunktio asettamalla sin(z := 1 i ja kompleksinen kosinifunktio asettamalla sin: C C ( exp(iz exp( iz cos: C C cos(z := 1 ( exp(iz + exp( iz. Toteamme heti, että reaaliset sini- ja kosinifunktiot eivät tule eri tavalla määritellyiksi kuin ennen. Olkoon z = x R. Lähdemme kompleksisen sinifunktion määrittelystä ja käytämme Eulerin kaavaa, jolla saamme reaalisen sinifunktion pisteessä x: sin x = 1 ( exp(ix exp( ix i = 1 ( cos x + i sin x ( cos( x + i sin( x i = 1 i( cos x + i sin x cos x + i sin x = sin x. Lähdimme siis kompleksisesta sinifunktiosta pisteessä x R ja päädyimme reaaliseen sinifunktioon pisteessä x R. Vastaavasti voimme todeta, että reaaliselle kosinifunktiolle määritelmä on kunnossa Huomautus. Suoraan kompleksisten sini- ja kosinifunktioiden määrittelystä saamme kuuluisan Eulerin kaavan kaikilla z C: exp(iz = cos z + i sin z.
7 5.8. Huomautus. Kompleksianalyysin kurssi/rhs 7 sin(z = cos(z = ( 1 n z n+1 (n + 1! ( 1 n z n (n! Muistutus: Olkoon z = x + iy C, missä x R ja y R. Silloin eksponenttifunktion summakaavan. o ja Eulerin kaavan perusteella exp(z = exp(x exp(iy = e x( cos y + i sin y. Varoitus: Toisin kuin reaalisessa tapauksessa, kompleksinen sini ja kompleksinen kosini eivät ole rajoitettuja. Esimerkiksi, kun y R ja y +, niin sin(iy = 1 ( exp(i y exp( i y = 1 exp( y exp(y i i( Kun y R, niin = 1 i (e y e y. sin(iy = 1 i ( exp(i y exp( i y = 1 i( exp( y exp(y, kun y. Huomautus: Sinin ja kosinin määrittelyalue on koko C. Suoraan kompleksisten sini- ja kosinifunktioiden määrittelystä ja eksponenttifunktion yhteenlaskukaavasta saamme yhteenlaskukaavat kompleksisille sini- ja kosinifunktioille: Olkoot z 1 C ja z C. Silloin sin(z 1 + z = sin z 1 cos z + sin z cos z 1, cos(z 1 + z = cos z 1 cos z sin z 1 sin z Määritelmä. Yhden kompleksimuuttujan kompleksiarvoinen funktio f : C C on jaksollinen, jaksona α, jos f(z + α = f(z kaikilla z C Lause. Kompleksiluku α on sinifunktion jakso, jos ja vain jos α = πn, n Z. Kompleksiluku α on kosinifunktion jakso, jos ja vain jos α = πn, n Z...
8 8 Kompleksianalyysin kurssi/rhs Todistus: Jos α = πn, n Z, niin α on sekä sini- että kosinifunktion jakso. Tämä saadaan suoraan sinin ja kosinin märittelystä ja siitä, että eksponenttifunktion jakso on πin, n Z. Olkoon α sinifunktion jakso. Yhteenlaskukaavan nojalla ( π sin + z = cos z. Siis cos(z + α = sin( π + z + α = sin( π + z = cos z. Siis α on myös kosinin jakso. Näin ollen Eulerin kaavaa käyttämällä exp(i(z + α = cos(z + α + i sin(z + α = cos z + i sin z = exp(iz. Koska πin on eksponenttifunktion jakso, niin iα = πin, n Z, eli α = πn, n Z. Siis sinin ja kosinin jakso on πn, n Z Lause. Olkoon z C. Silloin (1 cos z = 0, jos ja vain jos z = nπ + π, ( sin z = 0, jos ja vain jos z = nπ, missä n Z. Todistus: Koska cos z = sin ( π + z, niin riittää todistaa väite (. Nimittäin, yhteenlaskukaavan nojalla ( π cos z = 0, jos ja vain jos sin + z = 0, jos ja vain jos π + z = nπ, n Z, (tämä siis todistetaan jos ja vain jos z = nπ π = π((n Ensinnäkin sin z = 0, jos ja vain jos 1 ( (5.1 exp(iz exp( iz = 0. i Kun kerromme yhtälön (5.1 molemmat puolet luvulla i exp(iz 0, niin yhtälö (5.1 on voimassa, jos ja vain jos exp(iz ( exp(iz exp( iz = 0 eli exp(iz exp(0 = 0
9 eli eli eli eli 5.1. Lause. kaikilla z C. Kompleksianalyysin kurssi/rhs 9 exp(iz 1 = 0 exp(iz = 1 = exp(0 = exp(0 + nπi d d cos z = sin z, dz iz = nπi z = nπ. sin z = cos z dz Todistus: Suoraan määritelmästä. Esimerkiksi, d dz sin(z = d ( 1 exp(iz exp( iz dz i( = 1 ( i exp(iz ( i exp( iz i = 1 ( exp(iz + exp( iz = cos z ( Kompleksiset tangentti- ja kotangenttifunktiot. Jos z n + 1 π, n Z, niin cos z 0 ja voimme määritellä tan z = sin z cos z. Kun asetamme { ( Ω = z C : z n + 1 } π, n Z, niin funktio tan: Ω C on kompleksisesti derivoituva jokaisessa alueen Ω pisteessä. Lisäksi Vastaavasti voimme määritellä kun z nπ, n Z. D tan z = 1 + tan z jokaisella z Ω. cot z = cos z sin z, Sini- ja kosinifunktioiden yhteenlaskukaavoista saamme tan(z 1 + z = tan z 1 + tan z 1 tan z 1 tan z,
10 10 Kompleksianalyysin kurssi/rhs kun z 1 Ω, z Ω ja z 1 + z Ω. Siis tan(z + π = tan z. Luku π on siis tangenttifunktion jakso. Itse asiassa tangenttifunktion ainoat jaksot ovat πn, n Z Esimerkki. sin i =? sin i = 1 i (exp(i i exp( i i = i (e 1 e Kompleksiset hyperboliset trigonometriset funktiot. Määrittelemme kompleksiset hyperboliset sini- ja kosinifunktiot, ja asettamalla ja sinh z = 1 sinh: C C cosh: C C ( exp(z exp( z cosh z = 1 ( exp(z + exp( z, missä z C. Funktioiden jaksoina ovat πni, n Z. Kompleksiset hyperboliset tangentti- ja kotangenttifunktiot ovat kun z i ( n + 1 π, n Z, ja tanh z = sinh z cosh z = exp(z 1 exp(z + 1, coth z = cosh z sinh z = exp(z + 1 exp(z 1, kun z nπi, n Z. Kompleksiset hyperboliset trigonometriset funktiot eivät pelkästään ole erityisiä kombinaatioita eksponenttifunktiosta, vaan ne liittyvät kompleksisiin trigonometrisiin funktioihin: sinh(iz = 1 ( i ( exp(iz exp( iz = exp(iz exp( iz i = i sin z ja Toisaalta myös cosh(iz = cos z. sin iz = i sinh z ja cos iz = cosh z :
11 Kompleksianalyysin kurssi/rhs 11 sin iz = 1 ( exp(i z exp( i z = 1 exp( z exp(z i i( = i ( i ( exp( z + exp(z = exp(z exp( z = i sinh z ja cos iz = 1 ( exp(i z + exp( i z = 1 ( exp( z + exp(z = cosh z. Kompleksiset hyperboliset funktiot esiintyvät kompleksisten sini- ja kosinifunktioiden reaali- ja imaginaariosien esityksissä: Olkoon z = x + iy C, missä x R ja y R. Silloin sin z = sin x cosh y + i cos x sinh y, cos z = cos x cosh y i sin x sinh y Esimerkki. exp(πi + exp( πi cosh(πi = cos π + i sin π + cos( π + i sin( π = = Kompleksinen logaritmifunktio. Reaaliselle eksponenttifunktiolle e x : R R +, x e x on olemassa käänteisfunktio ln: R + R, x ln x; koska reaalinen eksponenttifunktio on aidosti kasvava, se on bijektio väliltä (0, reaaliakselille. Kompleksinen eksponenttifunktio ei kuitenkaan ole bijektio exp(z : C C \ {0}, Lause 5.3 ja Lause 5.4. Sovitaan merkintä ln( reaaliselle logaritmifunktiolle. Sovitaan merkintä log( kompleksiselle logaritmille. Etsitään kompleksisen logaritmin log(z kaikki mahdolliset arvot. Siis kiinnitetään z ja etsitään w, joka ratkaisee yhtälön z = exp(w. Jos z = 0, niin yhtälöllä ei ole koskaan ratkaisua. Siis log(0 ei ole määritelty. Olkoon z 0. Kirjoitetaan w = x + iy, missä x R ja y R. Silloin yhtälö on z = e x exp(iy. siis e x = z ja y = arg(z. Siis saamme määrättyä w = x+iy, koska nyt tiedämme luvut x ja y annetun luvun z avulla. Siis w = ln z +i arg(z. Argumentti on määritelty vain luvun π monikertoja vaille, 1.8 ja Huomatus Siis myös w on moniarvoinen.
12 1 Kompleksianalyysin kurssi/rhs Määritelmä. Jos z C \ {0}, niin luvun z logaritmi log z on jokin luku w C siten, että Jos z = r exp(iϕ, r > 0, niin exp(w = z. (5. log z = ln r + iϕ + nπi = ln r + i arg z + nπi, n Z, eli log z = ln z + i arg z + nπi, n Z Huomautus. Olkoon z 0 C\{0}. Silloin luvulla z 0 on aina logaritmi log z 0, mutta se on määritelty vain luvun πi monikertaa vaille. Kompleksinen logaritmi on moniarvoinen Esimerkki. log(1 = ln 1 + iπn = iπn, n Z. log(1 + i = ln 1 + i + i arg(i + i = ln + i( π 4 + πk, k Z Esimerkki. exp(iz = + 3. Määrää kaikki mahdolliset ratkaisut z. exp(iz = + 3 = exp(log( + 3 iz = ln( πin, n Z z = i ln( πn, n Z z = πn i ln( + 3, n Z Huomautus. Argumentin haaroista: Argumentin päähaara on nimeltään yleensä argumentti, joka ottaa arvot ( π, π], Huomautus Tämä haara on kuvaus Arg : C\{0} R ja tämä kuvaus on epäjatkuva negatiivisella reaaliakselilla, Laskuharjoitus 3.1. Argumentilla on muitakin haaroja ja päähaaraksi voidaan sopia muukin haara: Olkoon α R. Määritellään kuvaus Arg (α,α+π] : C\{0} (α, α + π], z Arg (α,α+π] (z. Erityisesti, Arg ( π,π] = Arg, joka on standardi päähaara. Argumentin haara Arg (α,α+π] on epäjatkuva joukossa {z = r exp(iα : r 0} eli puolisuoralla {z C : arg(z = α}. Siis argumentin haarat ovat jatkuvia kuvauksia koko tasossa lukuunottamatta yhtä origosta lähtevää puolisuoraa, {z C : arg(z = α}. (Haaralla Arg (α,α+π on ns branch cut säteellä {z : α = arg z}.
13 Kompleksianalyysin kurssi/rhs 13 Kierretään epäjatkuvuusongelma määrittelemälla kuvaus z Arg(z joukossa C\{z C : Re z 0}. Tällöin saadaan määrittelyjoukossa C\{z C : Re z 0} jatkuva kuvaus. Jokainen argumentin haara määrää logaritmin haaran. Argumentin päähaara Arg määrää logaritmin päähaaran, Log, Log z = ln z + i Arg(z Esimerkki. Log(1 + i = ln + i π 4. Argumentin haara Arg (α,α+π] määrää logaritmin haaran, Log (α,α+π], Log (α,α+π] (z = ln z + i Arg (α,α+π] (z, toisin sanoen w = log(z, α < arg(z α + π Esimerkki. Log ( π, 5π ](1 + i = ln + i 9π 4. Logaritmin haara on epäjatkuva kuvaus puolisuoralla {z = r exp(iα : r 0} eli puolisuoralla {z C : arg(z = α}. Epäjatkuva funktio ei ole analyyttinen. Funktion analyyttisyys on määritelty avoimessa joukossa. Siis olemme kiinnostuneita logaritmin haarasta joukossa C\{z = r exp(iα : r 0}. Logaritmin haara Log (α,α+π] kuvaa alueen alueelle C\{z = r exp(iα : r 0} {w C : α < Im(w < α + π}. Merkinnöistä: Merkintöjen Log ja Log (α,α+π tilalla voidaan lyhyesti kirjoittaa log, kun asiayhteydestä on selvää, mikä argumentin haara on kyseessä. Logaritmin haaran määrittely voitaisiin muotoilla myös seuraavasti, jolloin epäjatkuvuus suljettaisiin heti pois. 5.. Määritelmä. Olkoon Ω = {z = r exp(iθ : r > 0, α < θ < α + π}. Jos määritellään log z = ln r + iθ,
14 14 Kompleksianalyysin kurssi/rhs missä r ja θ (eli pari (r, θ ovat yhtälön z = r exp(iθ yksikäsitteinen ratkaisu siten, että r > 0 ja θ (α, α+π, niin sanomme, että funktio z log z on logaritmin haara Huomautus. Tähän voit törmätä kirjallisuudessa. Termistä logaritmin päähaara: Olkoon α kiinnitetty siten, että π α 0, niin on ollut tapana viitata funktioon log(r exp(iθ = ln r + iθ, kun r > 0 ja α < θ < π + α logaritmin päähaarana. Meillä päähaaralle α = π Lause. Olkoon Ω = {z = r exp(iθ : r > 0, α < θ < α + π}, missä α R on kiinnitetty. (1 log : Ω C analyyttinen. ( log (z = 1 z, z Ω. (3 log(ω = {w : α < Im w < α + π}. (4 exp(log(z = z z Ω. (5 Jos z 1, z, z 1 z Ω, niin log(z 1 z = log z 1 + log z + nπi, jollakin n Z. Edellisessä lauseessa Ω = C\{z : arg(z = α} Esimerkki. Olkoon arg z (0, π. (Siis α = 0 alueen Ω määrittelyssä. Silloin mutta log(( 1 i(1 i = log( = ln + πi, log( 1 i = ln + i 5π 4, log(1 i == ln + i 7π 4 ja siis log( 1 i + log(1 i = log( = ln ( 5π + 7π + i 4 = ln + πi + πi. Siis kun z 1 = 1 i ja z = 1 i, niin log z 1 z eroaa luvusta log z 1 + log z luvulla πi.
15 Kompleksianalyysin kurssi/rhs Yleinen potenssifunktio. Jos z C \ {0} ja a C, niin määrittelemme z a = exp(a log z Huomautus. Koska niin missä n Z. log z = ln z + i arg z + nπi, n Z, z a = exp(a log z = exp(a(ln z + i arg z + nπi = z a exp(ia(arg z + nπ, Jos yleisestä potenssifunktiosta halutaan yksiarvoinen funktio, niin logaritmille valitaan haara ja se määrää yleiselle potenssifunktiolle haaran. Olkoon Ω = {z = r exp(iθ : r > 0, θ 0 < θ < θ 0 + π}. Olkoon α C. Määrittelemme kuvauksen z z α alueessa Ω siten, että z α = exp(α log z. Saatu funktio on yleisen potenssifunktion z α haara Lemma. Olkoon p α : Ω C, p α (z = z α. Silloin p α on analyyttinen alueessa Ω ja p α(z = αp α 1 (z Huomautus. Jos α Z ja z = r exp(iθ, niin z α = r α exp(iαθ. Luvulla z α on siis vain yksi arvo silloin Huomautus. On ehkä parempi käsitellä potenssifunktiota z α kirjoittamalla se exp(α log z. Todistus. Muistutus: D(f g(z = f (g(zg (z. Koska niin p α (z = z α = exp(α log z, p α(z = D exp(α log z = (exp(α log zα 1 z exp(α log z = α z = α zα z = αzα 1.
16 16 Kompleksianalyysin kurssi/rhs Esimerkki. Määrää kompleksisen potenssin z i haara, joka on jatkuva vasemmassa puolitasossa {z Re(z < 0} ja jonka antama kuva luvusta 1 on e 5π Esimerkki. a Määrää luvun i π kaikki arvot. ( i π = exp(π log i = exp π (ln 1 + i π + nπi ( ( 1 = exp π i + n, n Z. Erityisesti, jos n = 0, i π = cos π π + i sin. b Määrää luvun i i kaikki arvot. ( i i = exp(i log i = exp i (ln 1 + i π + nπi ( ( 1 = exp π + n, n Z.
1. Viikko. K. Tuominen MApu II 1/17 17
1. Viikko Keskeiset asiat ja tavoitteet: 1. Kompleksiluvut, kompleksitaso, polaariesitys, 2. Kompleksilukujen peruslaskutoimitukset, 3. Eulerin ja De Moivren kaavat, 4. Potenssi ja juuret, kompleksinen
1 Määritelmä ja perusominaisuuksia. 2 Laskutoimitukset kompleksiluvuilla. 3 Reaaliluvut ja kompleksiluvut. 4 Kompleksilukujen algebraa
1 ja perusominaisuuksia 2 Laskutoimitukset kompleksiluvuilla 3 Reaaliluvut ja kompleksiluvut Matematiikan peruskurssi KP3 I OSA 1: Johdatus kompleksilukuihin 4 Kompleksilukujen algebraa 5 Kompleksitaso
2. Funktiot. Keijo Ruotsalainen. Mathematics Division
2. Funktiot Keijo Ruotsalainen Mathematics Division Kompleksimuuttujan funktio Kompleksimuuttujan z kompleksiarvoinen funktio f(z) voi olla yksiarvoinen tai moniarvoinen, esimerkiksi f(z) = e z f(z) =
KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012
KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 8. Integraalilauseiden sovelluksia 1. Analyyttisen funktion sarjaesitys. (eli jokainen analyyttinen funktio on lokaalisti suppenevan potenssisarjan
Sini- ja kosinifunktio
Sini- ja kosinifunktio Trigonometriset funktio voidaan määritellä muun muassa potenssisarjana tai yksikköympyrän avulla. Yksikköympyrään pohjautuvassa määritelmässä sini- ja kosinifunktion muuttujana pidetään
Kompleksianalyysi Funktiot
Kompleksianalyysi Funktiot Jukka Kemppainen Mathematics Division Kompleksimuuttujan funktio Aloitetaan funktion määritelmällä. Määr. 1 Kompleksimuuttujan funktio f : C C on sääntö, joka liittää joukkoon
Matemaattisen analyysin tukikurssi
Matemaattisen analyysin tukikurssi 12. Kurssikerta Petrus Mikkola 5.12.2016 Tämän kerran asiat Sini-ja kosifunktio Yksikköympyrä Tangentti- ja kotangenttifunktio Trigonometristen funktioiden ominaisuuksia
VII. KOMPLEKSILUVUT. VII.1. Laskutoimitukset
VII. KOMPLEKSILUVUT Kompleksilukujen joukko on VII.1. Laskutoimitukset C = {(x, y x R ja y R} ; siis joukkona C = taso R 2. Kun z = (x, y C, niin x R on z:n reaaliosa ja y R imaginaariosa, merkitään x
Sarjoja ja analyyttisiä funktioita
3B Sarjoja ja analyyttisiä funktioita 3B a Etsi funktiolle z z 5 potenssisarjaesitys kiekossa B0, 5. b Etsi funktiolle z z potenssisarjaesitys kiekossa, jonka keskipiste on z 0 4. Mikä on tämän potenssisarjan
1 Kompleksiluvut 1. y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2
Sisältö 1 Kompleksiluvut 1 1.1 Määritelmä............................ 1 1. Kertolasku suorakulmaisissa koordinaateissa.......... 4 1.3 Käänteisluku ja jakolasku..................... 9 1.4 Esimerkkejä.............................
KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY exp z., k = 1, 2,... Eksponenttifunktion z exp(z) Laurent-sarjan avulla
KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 11. Integrointi erillisen erikoispisteen ympäri Olkoot f analyyttinen punkteeratussa kiekossa D(z 0.r\{z 0 }. Funktiolla f on erikoispiste z 0.
KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012
KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 212 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 6.1. Poluista. 6. Kompleksinen integrointi Olkoon [α, β] suljettu reaaliakselin väli, α < β, ja olkoon A kompleksitason avoin joukko. Polku on
6 Eksponentti- ja logaritmifunktio
ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 019 6 Eksponentti- ja logaritmifunktio 6.1 Eksponenttifunktio 1. Määritä (a) e 3 e + 5, (b) e, (c) + 3e e cos.. Tutki, onko funktiolla f() = 1 e tan + 1 ( π + nπ, n
KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012
KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 2. Kompleksitason topologiaa Kompleksianalyysi on kompleksiarvoisten kompleksimuuttujien funktioiden teoriaa. Tällä kurssilla käsittelemme vain
TRIGONOMETRISET JA HYPERBOLISET FUNKTIOT
TRIGONOMETRISET JA HYPERBOLISET FUNKTIOT ARI LEHTONEN. Trigonometriset funktiot.. Peruskaavat. tan x := sin x cos x, cos x cot x := sin x Anglosaksisissa maissa käytössä ovat myös funktiot sekantti sec
1 Analyyttiset funktiot
Analyyttiset funktiot. Kompleksimuuttujan kompleksiarvoinen funktio Olkoot A ja B kompleksitason C osajoukkoja. Kuvausta f : A B sanotaan kompleksimuuttujan kompleksiarvoiseksi funktioksi. Usein on B C..Vakiokuvaus.
Kompleksianalyysi, viikko 5
Kompleksianalyysi, viikko 5 Jukka Kemppainen Mathematics Division Kompleksiset jonot Aloitetaan jonon suppenemisesta. Määr. 1 Kompleksiluvuista z 1,z 2,...,z n,... koostuva jono suppenee kohti raja-arvoa
Kompleksianalyysi, viikko 6
Kompleksianalyysi, viikko 6 Jukka Kemppainen Mathematics Division Funktion erikoispisteet Määr. 1 Jos f on analyyttinen pisteen z 0 aidossa ympäristössä 0 < z z 0 < r jollakin r > 0, niin sanotaan, että
OLLI HUOPIO JOHDANTO KOMPLEKSISIIN MONIARVOISIIN FUNKTIOI- HIN. Kandidaatintyö
OLLI HUOPIO JOHDANTO KOMPLEKSISIIN MONIARVOISIIN FUNKTIOI- HIN Kandidaatintyö Tarkastaja: Petteri Laakkonen 1.12.2017 i TIIVISTELMÄ OLLI HUOPIO: Johdanto kompleksisiin moniarvoisiin funktioihin Tampereen
exp(x) = e x x n n=0 v(x, y) = e x sin y
4 Alkisfunktioita 41 Eksponnttifunktio Eksponnttifunktio xp : R R on määritlty khitlmällä xp(x) = x x n = n! Pyrimm laajntamaan määritlmän koko tasoon C sitn, ttä 1 xp : C C on analyyttinn ja xp(x) = x,
Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua.
6 Alkeisfunktiot Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua. 6. Funktion määrittely Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon
a) z 1 + z 2, b) z 1 z 2, c) z 1 z 2, d) z 1 z 2 = 4+10i 4 = 10i 5 = 2i. 4 ( 1)
Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Osoita, että kompleksilukujen yhteenlasku määriteltynä tasopisteiden kautta koordinaateittain on liitännäinen, so. z + (z + z ) = (z + z )
Kompleksiluvut Kompleksitaso Kompleksifunktiot ja kuvaukset Funktioiden raja-arvo, jatkuvuus ja derivaatta Eräitä kompleksifun.
17. lokakuuta 2016 Kompleksiluvut Kompleksiluku Kompleksiluku z on järjestetty reaalilukupari missä x ja y ovat reaalilukuja. z = (x, y), Lukuparin reaaliosa on x ja imaginaariosa on y. Lukuparin reaaliosa
Äärettömät raja-arvot
Äärettömät raja-arvot Määritelmä Funktion f oikeanpuoleinen raja-arvo pisteessä x 0 on + mikäli kaikilla R > 0 löytyy sellainen δ > 0 että f (x) > R aina kun x 0 < x < x 0 + δ. Funktion f oikeanpuoleinen
2 Funktion derivaatta
ANALYYSI B, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 2019 2 Funktion derivaatta 2.1 Määritelmiä ja perusominaisuuksia 1. Määritä suoraan derivaatan määritelmää käyttäen f (0), kun (a) + 1, (b) (2 + ) sin(3). 2. Olkoon
y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2
Kompleksiluvut. Määritelmä Tarkastellaan euklidista tasoa R = {(, y), y R}. y y z = (, y) R Kuva : Euklidinen taso R Suorakulmaisessa koordinaatistossa on -akseli ja y-akseli. Luvut ja y ovat pisteen z
Matriisilaskenta Luento 10: Polaarimuoto ja kompleksilukujen geometriaa
Matriisilaskenta Luento 10: Polaarimuoto ja kompleksilukujen geometriaa Antti Rasila 2016 Polaarimuoto Kuvasta nähdään: { x = r cos θ, y = r sin θ. Siis z = x + iy = r cos θ + ir sin θ. Saadaan kompleksiluvun
3.3 Funktion raja-arvo
3.3 Funktion raja-arvo Olkoot A ja B kompleksitason joukkoja ja f : A B kuvaus. Kuvauksella f on pisteessä z 0 A raja-arvo c, jos jokaista ε > 0 vastaa δ > 0 siten, että 0 < z z 0 < δ ja z A f(z) c < ε.
Fysiikan matematiikka P
Fysiikan matematiikka 763101P Luennoija: Kari Rummukainen, Fysikaalisten tieteiden laitos Tavoite: tarjota opiskelijalle nopeasti fysikaalisten tieteiden tarvitsemia matematiikan perustietoja ja taitoja.
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 6: Alkeisfunktioista
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 6: Alkeisfunktioista Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 28.9.2016 Pekka Alestalo,
Kompleksiluvut., 15. kesäkuuta /57
Kompleksiluvut, 15. kesäkuuta 2017 1/57 Miksi kompleksilukuja? Reaaliluvut lukusuoran pisteet: Tiedetään, että 7 1 0 x 2 = 0 x = 0 1 7 x 2 = 1 x = 1 x = 1 x 2 = 7 x = 7 x = 7 x 2 = 1 ei ratkaisua reaalilukujen
1 Kompleksiluvut. Kompleksiluvut 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 7
Kompleksiluvut 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 7 1 Kompleksiluvut Lukualueiden laajennuksia voi lähestyä polynomiyhtälöiden ratkaisemisen kautta. Yhtälön x+1 = 0 ratkaisemiseksi tarvitaan negatiivisia lukuja.
Kompleksianalyysi. Tero Kilpeläinen
Kompleksianalyysi Tero Kilpeläinen Luentomuistiinpanoja keväälle 2005 26. huhtikuuta 2006 Alkusanat Seuraavilla sivuilla on luentomuistiinpanoja kompleksianalyysin laudatur-kurssille. Toivoakseni kirjoitus
0. Kertausta. Luvut, lukujoukot (tavalliset) Osajoukot: Yhtälöt ja niiden ratkaisu: N, luonnolliset luvut (1,2,3,... ) Z, kokonaisluvut
0. Kertausta Luvut, lukujoukot (tavalliset) N, luonnolliset luvut (1,2,3,... ) Z, kokonaisluvut Rationaaliluvut n/m, missä n,m Z Reaaliluvut R muodostavat jatkumon fysiikan lukujoukko Kompleksiluvut C:z
Funktion määrittely (1/2)
Funktion määrittely (1/2) Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon a täsmälleen yhden B:n alkion b. Merkitään b = f (a). Tässä A = M f on f :n määrittelyjoukko, B on f :n maalijoukko.
Kompleksitermiset jonot ja sarjat
Kompleksitermiset jonot ja sarjat Aalto MS-C300, 205, v., Kari Eloranta Tutkitaan kompleksitermisten jonojen ja sarjojen ominaisuuksia. Päätavoite on kompleksifunktioiden sarjakehitelmien ymmärrys. Määritelmä
1. Piirrä kompleksitasoon seuraavat matemaattiset objektit/alueet.
BM0A5700 - Integraalimuunnokset Harjoitus 1 1. Piirrä kompleksitasoon seuraavat matemaattiset objektit/alueet. a Piste z 1 i. Ympyrä z 1 i. Avoin kiekko z 1 i
Kompleksianalyysi viikko 3
Kompleksianalyysi viikko 3 Jukka Kemppainen Mathematics Division Derivaatta Oletetaan seuraavassa, että joukko A C on avoin, eli jokaista z 0 A kohti on olemassa sellainen ǫ > 0, että z z 0 < ǫ z A. f
Kompleksiluvut Kompleksitaso
. Kompleksiluvut.. Kompleksitaso 8. Todista kompleksilukujen yhteen- ja kertolaskun (lukuparien avulla annettuihin) määritelmiin perustuen osittelulaki: z (z + z ) = z z + z z. 8. Todista kompleksilukujen
MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1
MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Riikka Korte (Pekka Alestalon kalvojen pohjalta) Aalto-yliopisto 15.11.2016 Sisältö Alkeisfunktiot 1.1 Funktio I Funktio f : A! B on sääntö, joka liittää
Kompleksianalyysi 1. Tero Kilpeläinen
Kompleksianalyysi 1 Tero Kilpeläinen Luentomuistiinpanoja keväälle 2015 6. maaliskuuta 2015 Alkusanat Seuraavilla sivuilla on luentomuistiinpanoja Kompleksianalyysi 1 -kurssille. Nämä on muokattu kompleksianalyysin
Positiivitermisten sarjojen suppeneminen
Positiivitermisten sarjojen suppeneminen Jono (b n ) n= on kasvava, jos b n+ b n kaikilla n =, 2,... Lemma Jokainen ylhäältä rajoitettu kasvava jono (b n ) n= raja-arvo on lim n b n = sup n Z+ b n. suppenee
Kompleksianalyysi, viikko 4
Kompleksianalyysi, viikko 4 Jukka Kemppainen Mathematics Division Reaalimuuttujan kompleksiarvoisen funktion integraali Aloitetaan reaalimuuttujan kompleksiarvoisen funktion integraalin määrittelyllä,
Perustehtävät. Kompleksitehtävät, 10/9/2005, sivu 1 / 10. Tehtävä 1. Sievennä 1.
Kompleksitehtävät, 10/9/2005, sivu 1 / 10 Perustehtävät Tehtävä 1. Sievennä 1. 2 5i 1+2i 2. ( 2 i 2) 150 Tehtävä 2. Olkoon P mielivaltainen reaalikertoiminen polynomi. Osoita, että jos luku z C toteuttaa
Mat-1.1331 Matematiikan pk KP3-i - kertaus
Mat-.33 Matematiikan pk KP3-i - kertaus J.v.Pfaler TKK 24. lokakuuta 2007 Kurssin ensimmäisen puoliskon selkäranka on Kompleksitason funktioiden teoria, sisältäen analyyttiset funktiot, auchy integraali
KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN
KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 1. Möbius-kuvauksista 13. Konformikuvauksista 13.1. Johdantoa. Seuraavassa α ja β ovat annettuja kompleksilukuja ja k ja t 0 ovat reaalisia vakioita.
Simo K. Kivelä. Kompleksiluvut. 30.8.2009 Versio 1.01, 23.10.2012
Simo K. Kivelä Kompleksiluvut 30.8.2009 Versio 1.01, 23.10.2012 c Simo K. Kivelä Tämän teoksen käyttöoikeutta koskee Creative Commons Nimeä-JaaSamoin 3.0 Muokkaamaton -lisenssi (http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/deed.fi)
KOMPLEKSIANALYYSIN KURSSI SYKSY 2012
KOMPLEKSIANALYYSIN KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 1. Kompleksiluvuista Kaksiulotteinen reaalinen vektoriavaruus R 2 koostuu lukupareista (x 1, x 2 ), missä x 1 ja x 2 ovat reaalilukuja, eli R 2
l 1 2l + 1, c) 100 l=0 AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 7. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + 5 + +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c) +
Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x 1 ja x 2 on voimassa ehto:
4 Reaalifunktiot 4. Funktion monotonisuus Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x ja x on voimassa ehto: "jos x < x, niin f (x
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2,
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 6. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + + + 4, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + +
(a) avoin, yhtenäinen, rajoitettu, alue.
1. Hahmottele seuraavat tasojoukot. Mitkä niistä ovat avoimia, suljettuja, kompakteja, rajoitettuja, yhtenäisiä, alueita? (a) {z C 1 < 2z + 1 < 2} (b) {z C z i + z + i = 4} (c) {z C z + Im z < 1} (d) {z
Residylaskenta ja sen sovelluksena äärettömien sarjojen summien laskeminen ja Mittag-Leerin laajennuslause
Residylaskenta ja sen sovelluksena äärettömien sarjojen summien laskeminen ja Mittag-Leerin laajennuslause Pro Gradu-tutkielma Urho Erkkilä Matemaattisten tieteiden laitos Oulun Yliopisto Kevät 03 Sisältö
l 1 2l + 1, c) 100 l=0
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 5. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) 5 + 5 +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c)
Kompleksiluvut 1/6 Sisältö ESITIEDOT: reaaliluvut
Kompleksiluvut 1/6 Sisältö Kompleksitaso Lukukäsitteen vaiheittainen laajennus johtaa luonnollisista luvuista kokonaislukujen ja rationaalilukujen kautta reaalilukuihin. Jokaisessa vaiheessa ratkeavien
Potenssisarja, suppenemissäde. Potenssisarja ja derivointi. Potenssisarja ja analyyttiset funktiot. Potenssisarja ja integrointi.
Matematiikan peruskurssi KP3 I OSA 4: Taylorin sarja, residymenetelmä A.Rasila J.v.Pfaler 26. syyskuuta 2007 Kompleksista sarjoista Jono, suppeneminen, summasarja Potenssisarja, suppenemissäde ja analyyttiset
Mat / Mat Matematiikan peruskurssi C3-I / KP3-I Harjoitus 5 / vko 42, loppuviikko, syksy 2008
Mat-.3 / Mat-.33 Matematiikan peruskurssi C3-I / KP3-I Harjoitus 5 / vko 4, loppuviikko, syksy 8 Ennen malliratkaisuja, muistin virkistämiseksi kaikkien rakastama osittaisintegroinnin kaava: b a u(tv (t
Ratkaisu: Tutkitaan derivoituvuutta Cauchy-Riemannin yhtälöillä: f(x, y) = u(x, y) + iv(x, y) = 2x + ixy 2. 2 = 2xy xy = 1
1. Selvitä missä tason pisteissä annetut funktiot ovat derivoituvia/analyyttisiä. Määrää funktion derivaatta niissä pisteissä, joissa se on olemassa. (a) (x, y) 2x + ixy 2 (b) (x, y) cos x cosh y i sin
Analyysi I. Visa Latvala. 3. joulukuuta 2004
Analyysi I Visa Latvala 3. joulukuuta 004 95 Sisältö 6 Kompleksiluvut 96 6.1 Yhteen- ja kertolasku.............................. 96 6. Napakoordinaattiesitys............................. 10 96 6 Kompleksiluvut
1.1 Vektorit. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. 1.1 Vektorit. 1.1 Vektorit. Reaalinen n-ulotteinen avaruus on joukko. x 1. R n.
ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut 1.1 MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 1. ja kompleksiluvut Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 8.9.015 Reaalinen
1 Kompleksitason geometriaa ja topologiaa
1 Kompleksitason geometriaa ja topologiaa Tavallisessa analyyttisessä geometriassa käyrien yhtälöt esitetään x-koordinaattien ja y-koordinaattien avulla, esimerkiksi y = 1 x esittää tasasivuista hyperbeliä,
KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012
KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 3. Kompleksinen derivointi 3.1. Määritelmä. Olkoon G kompleksitason C epätyjä osajoukko. Olkoon z 0 joukon G sisäpiste. Funktio f : G C on kompleksisesti
KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012
KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 7. Integaalilauseita 7.1. Gousatin lemma. (Edouad Jean-Baptiste Gousat, 1858-1936, anskalainen matemaatikko) Olkoon R tason suljettu suoakaide,
Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i. Osa I. Kompleksiluvut. TKK lokakuuta Määritelmä ja perusominaisuuksia
Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i A.Rasila J.v.Pfaler TKK27 19. lokakuuta 27 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 1 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331
Kompleksilukujen historia alkoi yhtälönratkaisusta. Lineaarisella yhtälöllä on aina yksi ratkaisu, mutta jo toisen asteen yhtälön
Kompleksiluvut Aalto MS-C1300, 2015, v1.1, Kari Eloranta Kompleksilukujen historia alkoi yhtälönratkaisusta. Lineaarisella yhtälöllä on aina yksi ratkaisu, mutta jo toisen asteen yhtälön ax 2 +bx +c =
MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1
MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Kompleksiluvut Riikka Korte (muokannut Riikka Kangaslammen materiaalin pohjalta) Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 5.11.2015 1 /
Matematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kertausluento 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat:. Potenssisarjojen suppenemissäde, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan
A = (a 2x) 2. f (x) = 12x 2 8ax + a 2 = 0 x = 8a ± 64a 2 48a x = a 6 tai x = a 2.
MATP53 Approbatur B Harjoitus 7 Maanantai..5. (Teht. s. 9.) Neliön muotoisesta pahviarkista, jonka sivun pituus on a, taitellaan kanneton laatikko niin, että pahviarkin nurkista leikataan neliön muotoiset
Mat-1.433/443 Matematiikan peruskurssit K3/P3 syksy 2004 KOMPLEKSILUVUT JA -FUNKTIOT. Sisältö
Mat-1.433/443 Matematiikan peruskurssit K3/P3 syksy 2004 KOMPLEKSILUVUT JA -FUNKTIOT Sisältö Päivitetty 16. syyskuuta 2004 Johdanto ii 1. Kompleksiluvun määritelmä ja perusominaisuudet 1 1.1. Kompleksiluvun
z 1+i (a) f (z) = 3z 4 5z 3 + 2z (b) f (z) = z 4z + 1 f (z) = 12z 3 15z 2 + 2
BM20A5700 - Integraauunnokset Harjoitus 2 1. Laske seuraavat raja-arvot. -kohta ratkeaa, kun pistät sekä yläkerran että alakerran muotoon (z z 1 )(z z 2 ), missä siis z 1 ja z 2 ovat näiden lausekkeiden
Matematiikan peruskurssi 2
Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat
z Im (z +1) 2 = 0. Mitkä muut kompleksitason pisteet toteuttavat tämän yhtälön? ( 1) 0 z ( 1) z ( 1) arg = arg(z 0) arg(z ( 1)), z ( 1) z ( 1)
. Osoita geometrisesti, että jos = ja niin pätee Im +) = 0. Mitkä muut kompleksitason pisteet toteuttavat tämän htälön? Kirjoitetaan +) = 0 ) ), ) 0 jossa, ja 0 vastaavat kolmion pisteitä kompleksitasossa.
Sinin ja kosinin erilaiset määrittelytavat
Sinin ja kosinin erilaiset määrittelytavat Anu Pääkkö Matematiikan pro gradu Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Syksy 01 Tiivistelmä: Pääkkö, A. 01, Sinin ja kosinin erilaiset määrittelytavat,
Reaalisten funktioiden integrointia kompleksianalyysin keinoin
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Mervi Paavola Reaalisten funktioiden integrointia kompleksianalyysin keinoin Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden
Kompleksianalyysi I. Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Syyslukukausi Kari Astala
Kompleksianalyysi I Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Syyslukukausi 2016 Kari Astala Teksti hyödyntää myös Pekka Niemisen ja Ritva Hurri-Syrjäsen aikaisempia muistiinpanoja. Kuvat:
1. Osoita juuren määritelmän ja potenssin (eksponenttina kokonaisluku) laskusääntöjen. xm = ( n x) m ;
MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Analyysi I Ohjaus 11 7.1.009 alkavalle viikolle Ratkaisut (AK) Luennoilla on nyt menossa vaihe, missä Hurri-Syrjäsen monistetta käyttäen tutustutaan tärkeiden transkendenttifunktioiden
Kompleksiluvut. JYM, Syksy /99
Kompleksiluvut JYM, Syksy 2014 1/99 Miksi kompleksilukuja? Reaaliluvut lukusuoran pisteet: Tiedetään, että 7 1 0 x 2 = 0 x = 0 1 7 x 2 = 1 x = 1 x = 1 x 2 = 7 x = 7 x = 7 x 2 = 1 ei ratkaisua reaalilukujen
MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Analyysi I Harjoitus alkavalle viikolle Ratkaisuehdotuksia (7 sivua) (S.M)
MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Analyysi I Harjoitus 7. 2. 2009 alkavalle viikolle Ratkaisuehdotuksia (7 sivua) (S.M) Luennoilla on nyt menossa vaihe, missä Hurri-Syrjäsen monistetta käyttäen tutustutaan
Osa VI. Fourier analyysi. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246
Osa VI Fourier analyysi A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta 2007 127 / 246 1 Johdanto 2 Fourier-sarja 3 Diskreetti Fourier muunnos A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331
Matematiikan peruskurssi 2
Matematiikan peruskurssi Demonstraatiot III, 4.5..06. Mikä on funktion f suurin mahdollinen määrittelyjoukko, kun f(x) x? Mikä on silloin f:n arvojoukko? Etsi f:n käänteisfunktio f ja tarkista, että löytämäsi
Reaaliset sin ja cos voidaan palauttaa eksponenttifunktioon Eulerin kaavan avulla: Jos x on reaaliluku, niin e ix = cos x i sin x
2 1. Trigonometriset ja hyperboliset funktiot Reaaliset sin ja cos voidaan palauttaa eksponenttifunktioon Eulerin kaavan avulla: Jos x on reaaliluku, niin e ix = cos x + i sin x, e ix = cos x i sin x Jos
Johdatus reaalifunktioihin P, 5op
Johdatus reaalifunktioihin 802161P, 5op Osa 2 Pekka Salmi 1. lokakuuta 2015 Pekka Salmi FUNK 1. lokakuuta 2015 1 / 55 Jatkuvuus ja raja-arvo Tavoitteet: ymmärtää raja-arvon ja jatkuvuuden määritelmät intuitiivisesti
Valintakoe
Valintakoe 7.3.05 Kokeessa saa käyttää kirjoitusvälinewiden lisäksi ainoastaan kokeessa jaettavaa funktiolaskinta ja taulukkoa Pisteytys 8*3p=4p. Tehtävien alakohtien pistemäärät voivat poiketa toisistaan..
Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot
3. Funktion raja-arvo ja jatkuvuus 3.1. Reaali- ja kompleksifunktiot 43. Olkoon f monotoninen ja rajoitettu välillä ]a,b[. Todista, että raja-arvot lim + f (x) ja lim x b f (x) ovat olemassa. Todista myös,
(a, 0) + (c, 0) = (a + c, 0)
. Kompleksiluvut Kompleksiluvut C saadaan varustamalla taso R komponenteittaisella yhteenlaskulla (Esimerkki.3 (b)) ja kertolaskulla, joka määritellään asettamalla Huomaa, että ja (a, b)(c, d) =(ac bd,
5 Funktion jatkuvuus ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT Määritelmä ja perustuloksia
ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 2018 5 Funktion jatkuvuus 5.1 Määritelmä ja perustuloksia 1. Tarkastellaan väitettä a > 0: b > 0: c > 0: d U c (a): f(d) / U b (f(a)), missä a, b, c, d R. Mitä funktion
HYPERBOLINEN JA KVASIHYPERBOLINEN GEOMETRIA
HYPERBOLINEN JA KVASIHYPERBOLINEN GEOMETRIA Markus Glader Pro gradu -tutkielma Syyskuu 2011 MATEMATIIKAN LAITOS TURUN YLIOPISTO TURUN YLIOPISTO Matematiikan laitos GLADER, MARKUS: Hyperbolinen ja kvasihyperbolinen
Funktioteoria I. Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Syyslukukausi 2009
Funktioteoria I Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Syyslukukausi 2009 Kari Astalan muistiinpanoista (2005) muokannut Pekka Nieminen Kuvat: Martti Nikunen Funktioteorian eli kompleksianalyysin
Eulerin summia. Kai Kaskela. Matematiikan pro gradu
Eulerin summia Kai Kaskela Matematiikan pro gradu Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kevät 4 Tiivistelmä: Kai Kaskela, Eulerin summia, matematiikan pro gradu -tutkielma, 37 s.,
Kompleksianalyysi. Jukka Kemppainen. Mathematics Division
Kompleksianalyysi Jukka Kemppainen Mathematics Division Sisältö 1. Kompleksiluvut 2. Funktiot 3. Differentiaalilaskentaa 4. Integrointi 5. Sarjat 6. Residylaskentaa 7. Diskreetti systeemi 2 / 43 Kompleksiluvut
5 Funktion jatkuvuus ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT Määritelmä ja perustuloksia. 1. Tarkastellaan väitettä
ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 2019 5 Funktion jatkuvuus 5.1 Määritelmä ja perustuloksia 1. Tarkastellaan väitettä a > 0: b > 0: c > 0: d U c (a): f(d) / U b (f(a)), missä a, b, c, d R. Mitä funktion
Kompleksianalyysi ja integraalimuunnokset. Seppo Hassi
Kompleksianalyysi ja integraalimuunnokset Seppo Hassi Syksy 6 iii Esipuhe Tämä on Kompleksianalyysi ja integraalimuunnokset -kurssille laadittu opetusmoniste, jonka sisältö perustuu Vaasan yliopistossa
Kaikki tarpeellinen kompleksiluvuista
Solmu 1 Kaikki tarpeellinen kompleksiluvuista Matti Lehtinen Maanpuolustuskorkeakoulu Kompleksiluvut ovat poistumassa lukion matematiikan opetussunnitelmista Ne ovat kuitenkin keskeinen osa matematiikan
MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio
MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio Olkoon a 1 = a 2 = 5 ja a n+1 = a n + 6a n 1 kun n 2. Todista induktiolla, että a n = 3 n ( 2) n, kun n on positiivinen
Johdatus matematiikkaan
Johdatus matematiikkaan Luento 7 Mikko Salo 11.9.2017 Sisältö 1. Funktioista 2. Joukkojen mahtavuus Funktioista Lukiomatematiikassa on käsitelty reaalimuuttujan funktioita (polynomi / trigonometriset /
Reaalifunktioista 1 / 17. Reaalifunktioista
säilyy 1 / 17 säilyy Jos A, B R, niin funktiota f : A B sanotaan (yhden muuttujan) reaalifunktioksi. Tällöin karteesinen tulo A B on (aiempia esimerkkejä luonnollisemmalla tavalla) xy-tason osajoukko,
VI. TAYLORIN KAAVA JA SARJAT. VI.1. Taylorin polynomi ja Taylorin kaava
VI. TAYLORIN KAAVA JA SARJAT VI.. Taylorin polynomi ja Taylorin kaava Olkoon n N ja x, c, c, c 2,..., c n R. Tehtävä: Etsittävä sellainen R-kertoiminen polynomi P, että sen aste deg P n ja P (x ) = c,
Matematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 12 1 Eksponenttifuntio Palautetaan mieliin, että Neperin luvulle e pätee: e ) n n n ) n n n n n ) n. Tästä määritelmästä seuraa, että eksponenttifunktio e x voidaan
Analyyttinen jatke ja Riemannin pinnat
Analyyttinen jatke ja Riemannin pinnat Eero Hakavuori Matematiikan pro gradu Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kevät 2014 Tiivistelmä: Eero Hakavuori, Analyyttinen jatke ja Riemannin
Integroimistekniikkaa Integraalifunktio
. Integroimistekniikkaa.. Integraalifunktio 388. Vertaa funktioiden ln ja ln, b) arctan ja arctan + k k, c) ln( + 2 ja ln( 2, missä a >, derivaattoja toisiinsa. Tutki funktioiden erotusta muuttujan eri