KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012"

Transkriptio

1 KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 01 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 5. Eksponenttifunktio ja sini- ja kosinifunktiot Kertausta. (1 Reaaliselle eksponenttifunktiolle e x : R R + pätee e x x k = kaikilla x R. k! ( Kompleksitermisen potenssisarjan z k k! suppenemissäde on R =, ja erityisesti siis tämä potenssisarja on itseisesti suppeneva koko kompleksitasossa. Sarja z k k! määrittelee siis analyyttisen funktion C C. (Itse asiassa sarjan määrittelemän funktion arvot kuuluvat joukkoon C \ {0} Määritelmä. Kompleksinen eksponenttifunktio exp: C C määritellään asettamalla z k exp(z := k!. 5.. Huomautus. Koska reaalisen eksponenttifunktion x e x Taylorin kehitelmä on e x x k = kaikilla x R, k! niin exp(x = e x kaikilla x R. Date:

2 Kompleksianalyysin kurssi/rhs 5.1. Kompleksisen eksponenttifunktion ominaisuuksia. 1. o Eksponenttifunktio on analyyttinen koko kompleksitasossa ja exp (z = exp(z jokaisella z C : Esimerkin 4.8 ( ja Lauseen 4.37 nojalla exp (z = n 1 n! zn 1 = n=1 n=1 z n 1 (n 1! = z n n! = exp(z.. o exp(z + w = exp(z exp(w kaikilla z, w C: Mertensin lauseen nojalla Cauchyn tulokaava sarjoille (Kotitehtävä 5.4 ja binomikaava antavat ( ( n exp(z exp(w = = = 1 n! 1 n! zn n p=0 1 k! wk = n! p!(n p! zp w n p = 1 n! (z + wn = exp(z + w 3. o Eksponenttifunktiolla ei ole nollakohtia: p=0 1 1 p! zp (n p! wn p 1 n! n p=0 1 = exp(0 = exp(z + ( z = exp(z exp( z. Lisäksi edellä olevasta seuraa, että exp( z = 1 exp(z. ( n z p w n p p 4. o Jokaiselle kompleksiluvulle z pätee exp(z = exp(z : Sarjan määritelmän, Lauseen 1.18 ja Lauseen.16 nojalla n (z k n z exp(z = lim = lim k n n k! n k! = lim z k n k! = lim n n z k k! = exp(z. 5. o Piste iy, missä y R, kuvautuu yksikkökiekon kehälle: exp(iy = exp(iy exp(iy 4.o = exp(iy exp(iy = exp(iy exp( iy.o = exp(iy + ( iy = exp(0 = 1.

3 Kompleksianalyysin kurssi/rhs 3 6. o exp(z exp( z kaikilla z C, sillä sarja z n suppenee itseisesti kaikilla z C n!. 7. o exp(z = exp(re(z = e Re(z kaikilla z C : exp(z = exp(zexp(z 4.o = exp(z exp(z.o = exp(z + z = exp ( Re(z = exp ( Re(z + Re(z. o = ( exp(re(z ( exp(re(z = [ exp(re(z ]. Luvut exp(z ja exp(re(z ovat positiivisia reaalilukuja, ja väite seuraa. 5.. Eulerin kaava. Annoimme 1. Luvussa merkinnän e iα := cos(α + i sin(α, α R. Silloin e iα oli vain lyhennetty merkintä oikealle puolelle cos(α+i sin(α, kun α R. Voimme nyt todistaa, että kun α R: (iα k exp(iα = = k! = exp(iα = cos(α + i sin(α, ( 1 k (k! αk + i = cos(α + i sin(α, i k k! αk ( 1 k (k + 1! αk+1 reaalisten sini- ja kosinifunktioiden Taylorin sarjojen avulla. Seuraavalla ei ole vastaavuutta reaaliselle eksponenttifunktiolle Lause. Eksponenttifunktiolla on jaksona πi eli kaikilla z C pätee exp(z + πi = exp(z. Jos α on jokin toinen jakso eli niin α = kπi jollain k Z. exp(z + α = exp(z kaikilla z C, Todistus: Eksponenttifunktion summakaavan. o ja Eulerin kaavan nojalla exp(z + πi = exp(z exp(πi = exp(z(cos }{{ π} +i sin }{{ π} = exp(z. =1 =0

4 4 Kompleksianalyysin kurssi/rhs Olkoon α jokin toinen jakso. Tällöin jaksollisuuden määritelmän nojalla exp(α = exp (α + 0 = exp(0 = 1. Siis exp(α = 1. Jos α = x + iy, missä x R ja y R, niin 1 = exp(α = exp(x + iy = exp(x exp iy = exp(x exp(iy 5.o = exp(x, joka on reaalinen eksponenttifunktio, eli exp(x = e x (0,, kun x R ja siis x = 0. Siis α = iy ja 1 = exp(iy = cos y + i sin y, jolla ainoat ratkaisut ovat y = πn jollain n Z Lause. Kuvaus z exp(z on bijektio joukolta joukolle C \ {0}. {z : 0 Im z < π} = Ω 5.5. Huomautus. Bijektio on one-to-one and onto. Todistus. 1. exp(z 0 kaikilla z. Kuvaus on hyvin määritelty.. one-to-one : Olkoot z 1 = x 1 + iy 1 Ω, z = x + iy Ω, missä x k R ja y k R, kun k = 1,, siten, että exp(z 1 = exp(z. On osoitettava, että z 1 = z. Koska exp(z 1 = exp(z, niin siis x 1 = x. Lisäksi e x 1 = exp(z 1 = exp(z = e x, y 1 + πn = arg(exp(z 1 = arg(exp(z = y + πk ; n Z, k Z y 1 y = πh, h Z. Koska Ω:n määrittelyn nojalla 0 y 1, y < π, niin y 1 = y. Siis z 1 = z. 3. onto : exp : Ω C\{0} kuvaus. Olkoon w C\{0} annettu. On osoitettava, että on olemassa z Ω siten, että exp(z = w. Olkoon siis w C\{0} annettu. Valitaan ψ [0, π siten, että ψ = arg w. Merkitään z = ln w + iψ. Silloin z Ω ja exp(z = exp(ln w + iψ = e ln w (cos ψ + i sin ψ = w (cos(arg w + i sin(arg w = w.

5 Kompleksianalyysin kurssi/rhs Lause. Kuvaus z exp(z kuvaa jokaisen imaginaariakselin suuntaisen suoran {z C : Re z = x 0 } ympyrälle {w C : w = e x 0 } ja jokaisen reaaliakselin suuntaisen suoran {z C : Im z = y 0 } origosta lähtevälle säteelle {z C : arg z = y 0 }. Todistus. Olkoon z = x 0 + iy, missä x 0 R on kiinnitetty ja y R muuttuu. z = x 0 + iy exp(z = exp(x 0 + iy exp(x 0 + iy = exp(x 0 exp(iy = e x 0 (cos y + i sin y. Siis parametriesitys { u(t = e x 0 cos t v(t = e x 0 sin t, t R, joka on origokeskinen ympyrä säteenä e x 0. Tai exp({z C : Re z = x 0 } = {exp(x 0 + iy : y R} = {e x 0 (cos y + i sin y : y R} = {w C : w = e x 0 }. Olkoon z = x + iy 0, missä x R muuttuu ja y 0 R on kiinnitetty. z = x + iy 0 exp(z = exp(x + iy 0 exp(x + iy 0 = exp(x exp(iy 0 = e x (cos y 0 + i sin y 0. Siis parametriesitys { u(t = e t cos y 0 v(t = e t sin y 0, t R, joka on puolisuora origosta. Origo ei kuulu puolisuoraan ja puolisuora kulkee pisteen cos y 0 + i sin y 0 läpi. Tai exp({z C : Im z = y 0 } = {exp(x + iy 0 : x R} = {e x (cos y 0 + i sin y 0 : x R} = {r(cos y 0 + i sin y 0 : r > 0} = {w C\{0} : arg w = y 0 } Kompleksiset sini- ja kosinifunktiot. Olkoon y R. Silloin ja e iy = cos y + i sin y e i( y = cos( y + i sin( y = cos y i sin y,

6 6 Kompleksianalyysin kurssi/rhs koska kosini on parillinen funktio ja sini on pariton funktio. Kun laskemme puolittain yhteen ja vähennämme puolittain, saamme ja cos y = e iy + e iy eli cos y = 1 (eiy + e iy i sin y = e iy e iy eli sin y = 1 i (eiy e iy, missä y R. Tässä siis cos ja sin ovat reaaliset kosini- ja sinifunktiot. Olkoon nyt z C. Määritellään kompleksinen sinifunktio asettamalla sin(z := 1 i ja kompleksinen kosinifunktio asettamalla sin: C C ( exp(iz exp( iz cos: C C cos(z := 1 ( exp(iz + exp( iz. Toteamme heti, että reaaliset sini- ja kosinifunktiot eivät tule eri tavalla määritellyiksi kuin ennen. Olkoon z = x R. Lähdemme kompleksisen sinifunktion määrittelystä ja käytämme Eulerin kaavaa, jolla saamme reaalisen sinifunktion pisteessä x: sin x = 1 ( exp(ix exp( ix i = 1 ( cos x + i sin x ( cos( x + i sin( x i = 1 i( cos x + i sin x cos x + i sin x = sin x. Lähdimme siis kompleksisesta sinifunktiosta pisteessä x R ja päädyimme reaaliseen sinifunktioon pisteessä x R. Vastaavasti voimme todeta, että reaaliselle kosinifunktiolle määritelmä on kunnossa Huomautus. Suoraan kompleksisten sini- ja kosinifunktioiden määrittelystä saamme kuuluisan Eulerin kaavan kaikilla z C: exp(iz = cos z + i sin z.

7 5.8. Huomautus. Kompleksianalyysin kurssi/rhs 7 sin(z = cos(z = ( 1 n z n+1 (n + 1! ( 1 n z n (n! Muistutus: Olkoon z = x + iy C, missä x R ja y R. Silloin eksponenttifunktion summakaavan. o ja Eulerin kaavan perusteella exp(z = exp(x exp(iy = e x( cos y + i sin y. Varoitus: Toisin kuin reaalisessa tapauksessa, kompleksinen sini ja kompleksinen kosini eivät ole rajoitettuja. Esimerkiksi, kun y R ja y +, niin sin(iy = 1 ( exp(i y exp( i y = 1 exp( y exp(y i i( Kun y R, niin = 1 i (e y e y. sin(iy = 1 i ( exp(i y exp( i y = 1 i( exp( y exp(y, kun y. Huomautus: Sinin ja kosinin määrittelyalue on koko C. Suoraan kompleksisten sini- ja kosinifunktioiden määrittelystä ja eksponenttifunktion yhteenlaskukaavasta saamme yhteenlaskukaavat kompleksisille sini- ja kosinifunktioille: Olkoot z 1 C ja z C. Silloin sin(z 1 + z = sin z 1 cos z + sin z cos z 1, cos(z 1 + z = cos z 1 cos z sin z 1 sin z Määritelmä. Yhden kompleksimuuttujan kompleksiarvoinen funktio f : C C on jaksollinen, jaksona α, jos f(z + α = f(z kaikilla z C Lause. Kompleksiluku α on sinifunktion jakso, jos ja vain jos α = πn, n Z. Kompleksiluku α on kosinifunktion jakso, jos ja vain jos α = πn, n Z...

8 8 Kompleksianalyysin kurssi/rhs Todistus: Jos α = πn, n Z, niin α on sekä sini- että kosinifunktion jakso. Tämä saadaan suoraan sinin ja kosinin märittelystä ja siitä, että eksponenttifunktion jakso on πin, n Z. Olkoon α sinifunktion jakso. Yhteenlaskukaavan nojalla ( π sin + z = cos z. Siis cos(z + α = sin( π + z + α = sin( π + z = cos z. Siis α on myös kosinin jakso. Näin ollen Eulerin kaavaa käyttämällä exp(i(z + α = cos(z + α + i sin(z + α = cos z + i sin z = exp(iz. Koska πin on eksponenttifunktion jakso, niin iα = πin, n Z, eli α = πn, n Z. Siis sinin ja kosinin jakso on πn, n Z Lause. Olkoon z C. Silloin (1 cos z = 0, jos ja vain jos z = nπ + π, ( sin z = 0, jos ja vain jos z = nπ, missä n Z. Todistus: Koska cos z = sin ( π + z, niin riittää todistaa väite (. Nimittäin, yhteenlaskukaavan nojalla ( π cos z = 0, jos ja vain jos sin + z = 0, jos ja vain jos π + z = nπ, n Z, (tämä siis todistetaan jos ja vain jos z = nπ π = π((n Ensinnäkin sin z = 0, jos ja vain jos 1 ( (5.1 exp(iz exp( iz = 0. i Kun kerromme yhtälön (5.1 molemmat puolet luvulla i exp(iz 0, niin yhtälö (5.1 on voimassa, jos ja vain jos exp(iz ( exp(iz exp( iz = 0 eli exp(iz exp(0 = 0

9 eli eli eli eli 5.1. Lause. kaikilla z C. Kompleksianalyysin kurssi/rhs 9 exp(iz 1 = 0 exp(iz = 1 = exp(0 = exp(0 + nπi d d cos z = sin z, dz iz = nπi z = nπ. sin z = cos z dz Todistus: Suoraan määritelmästä. Esimerkiksi, d dz sin(z = d ( 1 exp(iz exp( iz dz i( = 1 ( i exp(iz ( i exp( iz i = 1 ( exp(iz + exp( iz = cos z ( Kompleksiset tangentti- ja kotangenttifunktiot. Jos z n + 1 π, n Z, niin cos z 0 ja voimme määritellä tan z = sin z cos z. Kun asetamme { ( Ω = z C : z n + 1 } π, n Z, niin funktio tan: Ω C on kompleksisesti derivoituva jokaisessa alueen Ω pisteessä. Lisäksi Vastaavasti voimme määritellä kun z nπ, n Z. D tan z = 1 + tan z jokaisella z Ω. cot z = cos z sin z, Sini- ja kosinifunktioiden yhteenlaskukaavoista saamme tan(z 1 + z = tan z 1 + tan z 1 tan z 1 tan z,

10 10 Kompleksianalyysin kurssi/rhs kun z 1 Ω, z Ω ja z 1 + z Ω. Siis tan(z + π = tan z. Luku π on siis tangenttifunktion jakso. Itse asiassa tangenttifunktion ainoat jaksot ovat πn, n Z Esimerkki. sin i =? sin i = 1 i (exp(i i exp( i i = i (e 1 e Kompleksiset hyperboliset trigonometriset funktiot. Määrittelemme kompleksiset hyperboliset sini- ja kosinifunktiot, ja asettamalla ja sinh z = 1 sinh: C C cosh: C C ( exp(z exp( z cosh z = 1 ( exp(z + exp( z, missä z C. Funktioiden jaksoina ovat πni, n Z. Kompleksiset hyperboliset tangentti- ja kotangenttifunktiot ovat kun z i ( n + 1 π, n Z, ja tanh z = sinh z cosh z = exp(z 1 exp(z + 1, coth z = cosh z sinh z = exp(z + 1 exp(z 1, kun z nπi, n Z. Kompleksiset hyperboliset trigonometriset funktiot eivät pelkästään ole erityisiä kombinaatioita eksponenttifunktiosta, vaan ne liittyvät kompleksisiin trigonometrisiin funktioihin: sinh(iz = 1 ( i ( exp(iz exp( iz = exp(iz exp( iz i = i sin z ja Toisaalta myös cosh(iz = cos z. sin iz = i sinh z ja cos iz = cosh z :

11 Kompleksianalyysin kurssi/rhs 11 sin iz = 1 ( exp(i z exp( i z = 1 exp( z exp(z i i( = i ( i ( exp( z + exp(z = exp(z exp( z = i sinh z ja cos iz = 1 ( exp(i z + exp( i z = 1 ( exp( z + exp(z = cosh z. Kompleksiset hyperboliset funktiot esiintyvät kompleksisten sini- ja kosinifunktioiden reaali- ja imaginaariosien esityksissä: Olkoon z = x + iy C, missä x R ja y R. Silloin sin z = sin x cosh y + i cos x sinh y, cos z = cos x cosh y i sin x sinh y Esimerkki. exp(πi + exp( πi cosh(πi = cos π + i sin π + cos( π + i sin( π = = Kompleksinen logaritmifunktio. Reaaliselle eksponenttifunktiolle e x : R R +, x e x on olemassa käänteisfunktio ln: R + R, x ln x; koska reaalinen eksponenttifunktio on aidosti kasvava, se on bijektio väliltä (0, reaaliakselille. Kompleksinen eksponenttifunktio ei kuitenkaan ole bijektio exp(z : C C \ {0}, Lause 5.3 ja Lause 5.4. Sovitaan merkintä ln( reaaliselle logaritmifunktiolle. Sovitaan merkintä log( kompleksiselle logaritmille. Etsitään kompleksisen logaritmin log(z kaikki mahdolliset arvot. Siis kiinnitetään z ja etsitään w, joka ratkaisee yhtälön z = exp(w. Jos z = 0, niin yhtälöllä ei ole koskaan ratkaisua. Siis log(0 ei ole määritelty. Olkoon z 0. Kirjoitetaan w = x + iy, missä x R ja y R. Silloin yhtälö on z = e x exp(iy. siis e x = z ja y = arg(z. Siis saamme määrättyä w = x+iy, koska nyt tiedämme luvut x ja y annetun luvun z avulla. Siis w = ln z +i arg(z. Argumentti on määritelty vain luvun π monikertoja vaille, 1.8 ja Huomatus Siis myös w on moniarvoinen.

12 1 Kompleksianalyysin kurssi/rhs Määritelmä. Jos z C \ {0}, niin luvun z logaritmi log z on jokin luku w C siten, että Jos z = r exp(iϕ, r > 0, niin exp(w = z. (5. log z = ln r + iϕ + nπi = ln r + i arg z + nπi, n Z, eli log z = ln z + i arg z + nπi, n Z Huomautus. Olkoon z 0 C\{0}. Silloin luvulla z 0 on aina logaritmi log z 0, mutta se on määritelty vain luvun πi monikertaa vaille. Kompleksinen logaritmi on moniarvoinen Esimerkki. log(1 = ln 1 + iπn = iπn, n Z. log(1 + i = ln 1 + i + i arg(i + i = ln + i( π 4 + πk, k Z Esimerkki. exp(iz = + 3. Määrää kaikki mahdolliset ratkaisut z. exp(iz = + 3 = exp(log( + 3 iz = ln( πin, n Z z = i ln( πn, n Z z = πn i ln( + 3, n Z Huomautus. Argumentin haaroista: Argumentin päähaara on nimeltään yleensä argumentti, joka ottaa arvot ( π, π], Huomautus Tämä haara on kuvaus Arg : C\{0} R ja tämä kuvaus on epäjatkuva negatiivisella reaaliakselilla, Laskuharjoitus 3.1. Argumentilla on muitakin haaroja ja päähaaraksi voidaan sopia muukin haara: Olkoon α R. Määritellään kuvaus Arg (α,α+π] : C\{0} (α, α + π], z Arg (α,α+π] (z. Erityisesti, Arg ( π,π] = Arg, joka on standardi päähaara. Argumentin haara Arg (α,α+π] on epäjatkuva joukossa {z = r exp(iα : r 0} eli puolisuoralla {z C : arg(z = α}. Siis argumentin haarat ovat jatkuvia kuvauksia koko tasossa lukuunottamatta yhtä origosta lähtevää puolisuoraa, {z C : arg(z = α}. (Haaralla Arg (α,α+π on ns branch cut säteellä {z : α = arg z}.

13 Kompleksianalyysin kurssi/rhs 13 Kierretään epäjatkuvuusongelma määrittelemälla kuvaus z Arg(z joukossa C\{z C : Re z 0}. Tällöin saadaan määrittelyjoukossa C\{z C : Re z 0} jatkuva kuvaus. Jokainen argumentin haara määrää logaritmin haaran. Argumentin päähaara Arg määrää logaritmin päähaaran, Log, Log z = ln z + i Arg(z Esimerkki. Log(1 + i = ln + i π 4. Argumentin haara Arg (α,α+π] määrää logaritmin haaran, Log (α,α+π], Log (α,α+π] (z = ln z + i Arg (α,α+π] (z, toisin sanoen w = log(z, α < arg(z α + π Esimerkki. Log ( π, 5π ](1 + i = ln + i 9π 4. Logaritmin haara on epäjatkuva kuvaus puolisuoralla {z = r exp(iα : r 0} eli puolisuoralla {z C : arg(z = α}. Epäjatkuva funktio ei ole analyyttinen. Funktion analyyttisyys on määritelty avoimessa joukossa. Siis olemme kiinnostuneita logaritmin haarasta joukossa C\{z = r exp(iα : r 0}. Logaritmin haara Log (α,α+π] kuvaa alueen alueelle C\{z = r exp(iα : r 0} {w C : α < Im(w < α + π}. Merkinnöistä: Merkintöjen Log ja Log (α,α+π tilalla voidaan lyhyesti kirjoittaa log, kun asiayhteydestä on selvää, mikä argumentin haara on kyseessä. Logaritmin haaran määrittely voitaisiin muotoilla myös seuraavasti, jolloin epäjatkuvuus suljettaisiin heti pois. 5.. Määritelmä. Olkoon Ω = {z = r exp(iθ : r > 0, α < θ < α + π}. Jos määritellään log z = ln r + iθ,

14 14 Kompleksianalyysin kurssi/rhs missä r ja θ (eli pari (r, θ ovat yhtälön z = r exp(iθ yksikäsitteinen ratkaisu siten, että r > 0 ja θ (α, α+π, niin sanomme, että funktio z log z on logaritmin haara Huomautus. Tähän voit törmätä kirjallisuudessa. Termistä logaritmin päähaara: Olkoon α kiinnitetty siten, että π α 0, niin on ollut tapana viitata funktioon log(r exp(iθ = ln r + iθ, kun r > 0 ja α < θ < π + α logaritmin päähaarana. Meillä päähaaralle α = π Lause. Olkoon Ω = {z = r exp(iθ : r > 0, α < θ < α + π}, missä α R on kiinnitetty. (1 log : Ω C analyyttinen. ( log (z = 1 z, z Ω. (3 log(ω = {w : α < Im w < α + π}. (4 exp(log(z = z z Ω. (5 Jos z 1, z, z 1 z Ω, niin log(z 1 z = log z 1 + log z + nπi, jollakin n Z. Edellisessä lauseessa Ω = C\{z : arg(z = α} Esimerkki. Olkoon arg z (0, π. (Siis α = 0 alueen Ω määrittelyssä. Silloin mutta log(( 1 i(1 i = log( = ln + πi, log( 1 i = ln + i 5π 4, log(1 i == ln + i 7π 4 ja siis log( 1 i + log(1 i = log( = ln ( 5π + 7π + i 4 = ln + πi + πi. Siis kun z 1 = 1 i ja z = 1 i, niin log z 1 z eroaa luvusta log z 1 + log z luvulla πi.

15 Kompleksianalyysin kurssi/rhs Yleinen potenssifunktio. Jos z C \ {0} ja a C, niin määrittelemme z a = exp(a log z Huomautus. Koska niin missä n Z. log z = ln z + i arg z + nπi, n Z, z a = exp(a log z = exp(a(ln z + i arg z + nπi = z a exp(ia(arg z + nπ, Jos yleisestä potenssifunktiosta halutaan yksiarvoinen funktio, niin logaritmille valitaan haara ja se määrää yleiselle potenssifunktiolle haaran. Olkoon Ω = {z = r exp(iθ : r > 0, θ 0 < θ < θ 0 + π}. Olkoon α C. Määrittelemme kuvauksen z z α alueessa Ω siten, että z α = exp(α log z. Saatu funktio on yleisen potenssifunktion z α haara Lemma. Olkoon p α : Ω C, p α (z = z α. Silloin p α on analyyttinen alueessa Ω ja p α(z = αp α 1 (z Huomautus. Jos α Z ja z = r exp(iθ, niin z α = r α exp(iαθ. Luvulla z α on siis vain yksi arvo silloin Huomautus. On ehkä parempi käsitellä potenssifunktiota z α kirjoittamalla se exp(α log z. Todistus. Muistutus: D(f g(z = f (g(zg (z. Koska niin p α (z = z α = exp(α log z, p α(z = D exp(α log z = (exp(α log zα 1 z exp(α log z = α z = α zα z = αzα 1.

16 16 Kompleksianalyysin kurssi/rhs Esimerkki. Määrää kompleksisen potenssin z i haara, joka on jatkuva vasemmassa puolitasossa {z Re(z < 0} ja jonka antama kuva luvusta 1 on e 5π Esimerkki. a Määrää luvun i π kaikki arvot. ( i π = exp(π log i = exp π (ln 1 + i π + nπi ( ( 1 = exp π i + n, n Z. Erityisesti, jos n = 0, i π = cos π π + i sin. b Määrää luvun i i kaikki arvot. ( i i = exp(i log i = exp i (ln 1 + i π + nπi ( ( 1 = exp π + n, n Z.

1. Viikko. K. Tuominen MApu II 1/17 17

1. Viikko. K. Tuominen MApu II 1/17 17 1. Viikko Keskeiset asiat ja tavoitteet: 1. Kompleksiluvut, kompleksitaso, polaariesitys, 2. Kompleksilukujen peruslaskutoimitukset, 3. Eulerin ja De Moivren kaavat, 4. Potenssi ja juuret, kompleksinen

Lisätiedot

1 Määritelmä ja perusominaisuuksia. 2 Laskutoimitukset kompleksiluvuilla. 3 Reaaliluvut ja kompleksiluvut. 4 Kompleksilukujen algebraa

1 Määritelmä ja perusominaisuuksia. 2 Laskutoimitukset kompleksiluvuilla. 3 Reaaliluvut ja kompleksiluvut. 4 Kompleksilukujen algebraa 1 ja perusominaisuuksia 2 Laskutoimitukset kompleksiluvuilla 3 Reaaliluvut ja kompleksiluvut Matematiikan peruskurssi KP3 I OSA 1: Johdatus kompleksilukuihin 4 Kompleksilukujen algebraa 5 Kompleksitaso

Lisätiedot

2. Funktiot. Keijo Ruotsalainen. Mathematics Division

2. Funktiot. Keijo Ruotsalainen. Mathematics Division 2. Funktiot Keijo Ruotsalainen Mathematics Division Kompleksimuuttujan funktio Kompleksimuuttujan z kompleksiarvoinen funktio f(z) voi olla yksiarvoinen tai moniarvoinen, esimerkiksi f(z) = e z f(z) =

Lisätiedot

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 8. Integraalilauseiden sovelluksia 1. Analyyttisen funktion sarjaesitys. (eli jokainen analyyttinen funktio on lokaalisti suppenevan potenssisarjan

Lisätiedot

Sini- ja kosinifunktio

Sini- ja kosinifunktio Sini- ja kosinifunktio Trigonometriset funktio voidaan määritellä muun muassa potenssisarjana tai yksikköympyrän avulla. Yksikköympyrään pohjautuvassa määritelmässä sini- ja kosinifunktion muuttujana pidetään

Lisätiedot

Kompleksianalyysi Funktiot

Kompleksianalyysi Funktiot Kompleksianalyysi Funktiot Jukka Kemppainen Mathematics Division Kompleksimuuttujan funktio Aloitetaan funktion määritelmällä. Määr. 1 Kompleksimuuttujan funktio f : C C on sääntö, joka liittää joukkoon

Lisätiedot

Matemaattisen analyysin tukikurssi

Matemaattisen analyysin tukikurssi Matemaattisen analyysin tukikurssi 12. Kurssikerta Petrus Mikkola 5.12.2016 Tämän kerran asiat Sini-ja kosifunktio Yksikköympyrä Tangentti- ja kotangenttifunktio Trigonometristen funktioiden ominaisuuksia

Lisätiedot

1 Kompleksiluvut 1. y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2

1 Kompleksiluvut 1. y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2 Sisältö 1 Kompleksiluvut 1 1.1 Määritelmä............................ 1 1. Kertolasku suorakulmaisissa koordinaateissa.......... 4 1.3 Käänteisluku ja jakolasku..................... 9 1.4 Esimerkkejä.............................

Lisätiedot

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY exp z., k = 1, 2,... Eksponenttifunktion z exp(z) Laurent-sarjan avulla

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY exp z., k = 1, 2,... Eksponenttifunktion z exp(z) Laurent-sarjan avulla KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 11. Integrointi erillisen erikoispisteen ympäri Olkoot f analyyttinen punkteeratussa kiekossa D(z 0.r\{z 0 }. Funktiolla f on erikoispiste z 0.

Lisätiedot

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 212 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 6.1. Poluista. 6. Kompleksinen integrointi Olkoon [α, β] suljettu reaaliakselin väli, α < β, ja olkoon A kompleksitason avoin joukko. Polku on

Lisätiedot

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 2. Kompleksitason topologiaa Kompleksianalyysi on kompleksiarvoisten kompleksimuuttujien funktioiden teoriaa. Tällä kurssilla käsittelemme vain

Lisätiedot

TRIGONOMETRISET JA HYPERBOLISET FUNKTIOT

TRIGONOMETRISET JA HYPERBOLISET FUNKTIOT TRIGONOMETRISET JA HYPERBOLISET FUNKTIOT ARI LEHTONEN. Trigonometriset funktiot.. Peruskaavat. tan x := sin x cos x, cos x cot x := sin x Anglosaksisissa maissa käytössä ovat myös funktiot sekantti sec

Lisätiedot

Kompleksianalyysi, viikko 6

Kompleksianalyysi, viikko 6 Kompleksianalyysi, viikko 6 Jukka Kemppainen Mathematics Division Funktion erikoispisteet Määr. 1 Jos f on analyyttinen pisteen z 0 aidossa ympäristössä 0 < z z 0 < r jollakin r > 0, niin sanotaan, että

Lisätiedot

Kompleksianalyysi, viikko 5

Kompleksianalyysi, viikko 5 Kompleksianalyysi, viikko 5 Jukka Kemppainen Mathematics Division Kompleksiset jonot Aloitetaan jonon suppenemisesta. Määr. 1 Kompleksiluvuista z 1,z 2,...,z n,... koostuva jono suppenee kohti raja-arvoa

Lisätiedot

exp(x) = e x x n n=0 v(x, y) = e x sin y

exp(x) = e x x n n=0 v(x, y) = e x sin y 4 Alkisfunktioita 41 Eksponnttifunktio Eksponnttifunktio xp : R R on määritlty khitlmällä xp(x) = x x n = n! Pyrimm laajntamaan määritlmän koko tasoon C sitn, ttä 1 xp : C C on analyyttinn ja xp(x) = x,

Lisätiedot

1 Analyyttiset funktiot

1 Analyyttiset funktiot Analyyttiset funktiot. Kompleksimuuttujan kompleksiarvoinen funktio Olkoot A ja B kompleksitason C osajoukkoja. Kuvausta f : A B sanotaan kompleksimuuttujan kompleksiarvoiseksi funktioksi. Usein on B C..Vakiokuvaus.

Lisätiedot

Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua.

Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua. 6 Alkeisfunktiot Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua. 6. Funktion määrittely Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon

Lisätiedot

a) z 1 + z 2, b) z 1 z 2, c) z 1 z 2, d) z 1 z 2 = 4+10i 4 = 10i 5 = 2i. 4 ( 1)

a) z 1 + z 2, b) z 1 z 2, c) z 1 z 2, d) z 1 z 2 = 4+10i 4 = 10i 5 = 2i. 4 ( 1) Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Osoita, että kompleksilukujen yhteenlasku määriteltynä tasopisteiden kautta koordinaateittain on liitännäinen, so. z + (z + z ) = (z + z )

Lisätiedot

Kompleksiluvut Kompleksitaso Kompleksifunktiot ja kuvaukset Funktioiden raja-arvo, jatkuvuus ja derivaatta Eräitä kompleksifun.

Kompleksiluvut Kompleksitaso Kompleksifunktiot ja kuvaukset Funktioiden raja-arvo, jatkuvuus ja derivaatta Eräitä kompleksifun. 17. lokakuuta 2016 Kompleksiluvut Kompleksiluku Kompleksiluku z on järjestetty reaalilukupari missä x ja y ovat reaalilukuja. z = (x, y), Lukuparin reaaliosa on x ja imaginaariosa on y. Lukuparin reaaliosa

Lisätiedot

Äärettömät raja-arvot

Äärettömät raja-arvot Äärettömät raja-arvot Määritelmä Funktion f oikeanpuoleinen raja-arvo pisteessä x 0 on + mikäli kaikilla R > 0 löytyy sellainen δ > 0 että f (x) > R aina kun x 0 < x < x 0 + δ. Funktion f oikeanpuoleinen

Lisätiedot

y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2

y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2 Kompleksiluvut. Määritelmä Tarkastellaan euklidista tasoa R = {(, y), y R}. y y z = (, y) R Kuva : Euklidinen taso R Suorakulmaisessa koordinaatistossa on -akseli ja y-akseli. Luvut ja y ovat pisteen z

Lisätiedot

Matriisilaskenta Luento 10: Polaarimuoto ja kompleksilukujen geometriaa

Matriisilaskenta Luento 10: Polaarimuoto ja kompleksilukujen geometriaa Matriisilaskenta Luento 10: Polaarimuoto ja kompleksilukujen geometriaa Antti Rasila 2016 Polaarimuoto Kuvasta nähdään: { x = r cos θ, y = r sin θ. Siis z = x + iy = r cos θ + ir sin θ. Saadaan kompleksiluvun

Lisätiedot

3.3 Funktion raja-arvo

3.3 Funktion raja-arvo 3.3 Funktion raja-arvo Olkoot A ja B kompleksitason joukkoja ja f : A B kuvaus. Kuvauksella f on pisteessä z 0 A raja-arvo c, jos jokaista ε > 0 vastaa δ > 0 siten, että 0 < z z 0 < δ ja z A f(z) c < ε.

Lisätiedot

Fysiikan matematiikka P

Fysiikan matematiikka P Fysiikan matematiikka 763101P Luennoija: Kari Rummukainen, Fysikaalisten tieteiden laitos Tavoite: tarjota opiskelijalle nopeasti fysikaalisten tieteiden tarvitsemia matematiikan perustietoja ja taitoja.

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 6: Alkeisfunktioista

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 6: Alkeisfunktioista MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 6: Alkeisfunktioista Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 28.9.2016 Pekka Alestalo,

Lisätiedot

Kompleksiluvut., 15. kesäkuuta /57

Kompleksiluvut., 15. kesäkuuta /57 Kompleksiluvut, 15. kesäkuuta 2017 1/57 Miksi kompleksilukuja? Reaaliluvut lukusuoran pisteet: Tiedetään, että 7 1 0 x 2 = 0 x = 0 1 7 x 2 = 1 x = 1 x = 1 x 2 = 7 x = 7 x = 7 x 2 = 1 ei ratkaisua reaalilukujen

Lisätiedot

1 Kompleksiluvut. Kompleksiluvut 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 7

1 Kompleksiluvut. Kompleksiluvut 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 7 Kompleksiluvut 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 7 1 Kompleksiluvut Lukualueiden laajennuksia voi lähestyä polynomiyhtälöiden ratkaisemisen kautta. Yhtälön x+1 = 0 ratkaisemiseksi tarvitaan negatiivisia lukuja.

Lisätiedot

Kompleksianalyysi. Tero Kilpeläinen

Kompleksianalyysi. Tero Kilpeläinen Kompleksianalyysi Tero Kilpeläinen Luentomuistiinpanoja keväälle 2005 26. huhtikuuta 2006 Alkusanat Seuraavilla sivuilla on luentomuistiinpanoja kompleksianalyysin laudatur-kurssille. Toivoakseni kirjoitus

Lisätiedot

Funktion määrittely (1/2)

Funktion määrittely (1/2) Funktion määrittely (1/2) Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon a täsmälleen yhden B:n alkion b. Merkitään b = f (a). Tässä A = M f on f :n määrittelyjoukko, B on f :n maalijoukko.

Lisätiedot

0. Kertausta. Luvut, lukujoukot (tavalliset) Osajoukot: Yhtälöt ja niiden ratkaisu: N, luonnolliset luvut (1,2,3,... ) Z, kokonaisluvut

0. Kertausta. Luvut, lukujoukot (tavalliset) Osajoukot: Yhtälöt ja niiden ratkaisu: N, luonnolliset luvut (1,2,3,... ) Z, kokonaisluvut 0. Kertausta Luvut, lukujoukot (tavalliset) N, luonnolliset luvut (1,2,3,... ) Z, kokonaisluvut Rationaaliluvut n/m, missä n,m Z Reaaliluvut R muodostavat jatkumon fysiikan lukujoukko Kompleksiluvut C:z

Lisätiedot

Kompleksitermiset jonot ja sarjat

Kompleksitermiset jonot ja sarjat Kompleksitermiset jonot ja sarjat Aalto MS-C300, 205, v., Kari Eloranta Tutkitaan kompleksitermisten jonojen ja sarjojen ominaisuuksia. Päätavoite on kompleksifunktioiden sarjakehitelmien ymmärrys. Määritelmä

Lisätiedot

1. Piirrä kompleksitasoon seuraavat matemaattiset objektit/alueet.

1. Piirrä kompleksitasoon seuraavat matemaattiset objektit/alueet. BM0A5700 - Integraalimuunnokset Harjoitus 1 1. Piirrä kompleksitasoon seuraavat matemaattiset objektit/alueet. a Piste z 1 i. Ympyrä z 1 i. Avoin kiekko z 1 i

Lisätiedot

Kompleksianalyysi viikko 3

Kompleksianalyysi viikko 3 Kompleksianalyysi viikko 3 Jukka Kemppainen Mathematics Division Derivaatta Oletetaan seuraavassa, että joukko A C on avoin, eli jokaista z 0 A kohti on olemassa sellainen ǫ > 0, että z z 0 < ǫ z A. f

Lisätiedot

Kompleksiluvut Kompleksitaso

Kompleksiluvut Kompleksitaso . Kompleksiluvut.. Kompleksitaso 8. Todista kompleksilukujen yhteen- ja kertolaskun (lukuparien avulla annettuihin) määritelmiin perustuen osittelulaki: z (z + z ) = z z + z z. 8. Todista kompleksilukujen

Lisätiedot

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Riikka Korte (Pekka Alestalon kalvojen pohjalta) Aalto-yliopisto 15.11.2016 Sisältö Alkeisfunktiot 1.1 Funktio I Funktio f : A! B on sääntö, joka liittää

Lisätiedot

Kompleksianalyysi, viikko 4

Kompleksianalyysi, viikko 4 Kompleksianalyysi, viikko 4 Jukka Kemppainen Mathematics Division Reaalimuuttujan kompleksiarvoisen funktion integraali Aloitetaan reaalimuuttujan kompleksiarvoisen funktion integraalin määrittelyllä,

Lisätiedot

Kompleksianalyysi 1. Tero Kilpeläinen

Kompleksianalyysi 1. Tero Kilpeläinen Kompleksianalyysi 1 Tero Kilpeläinen Luentomuistiinpanoja keväälle 2015 6. maaliskuuta 2015 Alkusanat Seuraavilla sivuilla on luentomuistiinpanoja Kompleksianalyysi 1 -kurssille. Nämä on muokattu kompleksianalyysin

Lisätiedot

Perustehtävät. Kompleksitehtävät, 10/9/2005, sivu 1 / 10. Tehtävä 1. Sievennä 1.

Perustehtävät. Kompleksitehtävät, 10/9/2005, sivu 1 / 10. Tehtävä 1. Sievennä 1. Kompleksitehtävät, 10/9/2005, sivu 1 / 10 Perustehtävät Tehtävä 1. Sievennä 1. 2 5i 1+2i 2. ( 2 i 2) 150 Tehtävä 2. Olkoon P mielivaltainen reaalikertoiminen polynomi. Osoita, että jos luku z C toteuttaa

Lisätiedot

Simo K. Kivelä. Kompleksiluvut. 30.8.2009 Versio 1.01, 23.10.2012

Simo K. Kivelä. Kompleksiluvut. 30.8.2009 Versio 1.01, 23.10.2012 Simo K. Kivelä Kompleksiluvut 30.8.2009 Versio 1.01, 23.10.2012 c Simo K. Kivelä Tämän teoksen käyttöoikeutta koskee Creative Commons Nimeä-JaaSamoin 3.0 Muokkaamaton -lisenssi (http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/deed.fi)

Lisätiedot

Mat-1.1331 Matematiikan pk KP3-i - kertaus

Mat-1.1331 Matematiikan pk KP3-i - kertaus Mat-.33 Matematiikan pk KP3-i - kertaus J.v.Pfaler TKK 24. lokakuuta 2007 Kurssin ensimmäisen puoliskon selkäranka on Kompleksitason funktioiden teoria, sisältäen analyyttiset funktiot, auchy integraali

Lisätiedot

KOMPLEKSIANALYYSIN KURSSI SYKSY 2012

KOMPLEKSIANALYYSIN KURSSI SYKSY 2012 KOMPLEKSIANALYYSIN KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 1. Kompleksiluvuista Kaksiulotteinen reaalinen vektoriavaruus R 2 koostuu lukupareista (x 1, x 2 ), missä x 1 ja x 2 ovat reaalilukuja, eli R 2

Lisätiedot

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 7. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + 5 + +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c) +

Lisätiedot

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2,

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2, MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 6. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + + + 4, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + +

Lisätiedot

Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x 1 ja x 2 on voimassa ehto:

Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x 1 ja x 2 on voimassa ehto: 4 Reaalifunktiot 4. Funktion monotonisuus Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x ja x on voimassa ehto: "jos x < x, niin f (x

Lisätiedot

Residylaskenta ja sen sovelluksena äärettömien sarjojen summien laskeminen ja Mittag-Leerin laajennuslause

Residylaskenta ja sen sovelluksena äärettömien sarjojen summien laskeminen ja Mittag-Leerin laajennuslause Residylaskenta ja sen sovelluksena äärettömien sarjojen summien laskeminen ja Mittag-Leerin laajennuslause Pro Gradu-tutkielma Urho Erkkilä Matemaattisten tieteiden laitos Oulun Yliopisto Kevät 03 Sisältö

Lisätiedot

l 1 2l + 1, c) 100 l=0

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 5. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) 5 + 5 +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c)

Lisätiedot

(a) avoin, yhtenäinen, rajoitettu, alue.

(a) avoin, yhtenäinen, rajoitettu, alue. 1. Hahmottele seuraavat tasojoukot. Mitkä niistä ovat avoimia, suljettuja, kompakteja, rajoitettuja, yhtenäisiä, alueita? (a) {z C 1 < 2z + 1 < 2} (b) {z C z i + z + i = 4} (c) {z C z + Im z < 1} (d) {z

Lisätiedot

Kompleksiluvut 1/6 Sisältö ESITIEDOT: reaaliluvut

Kompleksiluvut 1/6 Sisältö ESITIEDOT: reaaliluvut Kompleksiluvut 1/6 Sisältö Kompleksitaso Lukukäsitteen vaiheittainen laajennus johtaa luonnollisista luvuista kokonaislukujen ja rationaalilukujen kautta reaalilukuihin. Jokaisessa vaiheessa ratkeavien

Lisätiedot

Analyysi I. Visa Latvala. 3. joulukuuta 2004

Analyysi I. Visa Latvala. 3. joulukuuta 2004 Analyysi I Visa Latvala 3. joulukuuta 004 95 Sisältö 6 Kompleksiluvut 96 6.1 Yhteen- ja kertolasku.............................. 96 6. Napakoordinaattiesitys............................. 10 96 6 Kompleksiluvut

Lisätiedot

Potenssisarja, suppenemissäde. Potenssisarja ja derivointi. Potenssisarja ja analyyttiset funktiot. Potenssisarja ja integrointi.

Potenssisarja, suppenemissäde. Potenssisarja ja derivointi. Potenssisarja ja analyyttiset funktiot. Potenssisarja ja integrointi. Matematiikan peruskurssi KP3 I OSA 4: Taylorin sarja, residymenetelmä A.Rasila J.v.Pfaler 26. syyskuuta 2007 Kompleksista sarjoista Jono, suppeneminen, summasarja Potenssisarja, suppenemissäde ja analyyttiset

Lisätiedot

Ratkaisu: Tutkitaan derivoituvuutta Cauchy-Riemannin yhtälöillä: f(x, y) = u(x, y) + iv(x, y) = 2x + ixy 2. 2 = 2xy xy = 1

Ratkaisu: Tutkitaan derivoituvuutta Cauchy-Riemannin yhtälöillä: f(x, y) = u(x, y) + iv(x, y) = 2x + ixy 2. 2 = 2xy xy = 1 1. Selvitä missä tason pisteissä annetut funktiot ovat derivoituvia/analyyttisiä. Määrää funktion derivaatta niissä pisteissä, joissa se on olemassa. (a) (x, y) 2x + ixy 2 (b) (x, y) cos x cosh y i sin

Lisätiedot

Mat / Mat Matematiikan peruskurssi C3-I / KP3-I Harjoitus 5 / vko 42, loppuviikko, syksy 2008

Mat / Mat Matematiikan peruskurssi C3-I / KP3-I Harjoitus 5 / vko 42, loppuviikko, syksy 2008 Mat-.3 / Mat-.33 Matematiikan peruskurssi C3-I / KP3-I Harjoitus 5 / vko 4, loppuviikko, syksy 8 Ennen malliratkaisuja, muistin virkistämiseksi kaikkien rakastama osittaisintegroinnin kaava: b a u(tv (t

Lisätiedot

1.1 Vektorit. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. 1.1 Vektorit. 1.1 Vektorit. Reaalinen n-ulotteinen avaruus on joukko. x 1. R n.

1.1 Vektorit. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. 1.1 Vektorit. 1.1 Vektorit. Reaalinen n-ulotteinen avaruus on joukko. x 1. R n. ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut 1.1 MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 1. ja kompleksiluvut Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 8.9.015 Reaalinen

Lisätiedot

1 Kompleksitason geometriaa ja topologiaa

1 Kompleksitason geometriaa ja topologiaa 1 Kompleksitason geometriaa ja topologiaa Tavallisessa analyyttisessä geometriassa käyrien yhtälöt esitetään x-koordinaattien ja y-koordinaattien avulla, esimerkiksi y = 1 x esittää tasasivuista hyperbeliä,

Lisätiedot

Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i. Osa I. Kompleksiluvut. TKK lokakuuta Määritelmä ja perusominaisuuksia

Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i. Osa I. Kompleksiluvut. TKK lokakuuta Määritelmä ja perusominaisuuksia Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i A.Rasila J.v.Pfaler TKK27 19. lokakuuta 27 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 1 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331

Lisätiedot

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 7. Integaalilauseita 7.1. Gousatin lemma. (Edouad Jean-Baptiste Gousat, 1858-1936, anskalainen matemaatikko) Olkoon R tason suljettu suoakaide,

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kertausluento 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat:. Potenssisarjojen suppenemissäde, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan

Lisätiedot

Mat-1.433/443 Matematiikan peruskurssit K3/P3 syksy 2004 KOMPLEKSILUVUT JA -FUNKTIOT. Sisältö

Mat-1.433/443 Matematiikan peruskurssit K3/P3 syksy 2004 KOMPLEKSILUVUT JA -FUNKTIOT. Sisältö Mat-1.433/443 Matematiikan peruskurssit K3/P3 syksy 2004 KOMPLEKSILUVUT JA -FUNKTIOT Sisältö Päivitetty 16. syyskuuta 2004 Johdanto ii 1. Kompleksiluvun määritelmä ja perusominaisuudet 1 1.1. Kompleksiluvun

Lisätiedot

Kompleksilukujen historia alkoi yhtälönratkaisusta. Lineaarisella yhtälöllä on aina yksi ratkaisu, mutta jo toisen asteen yhtälön

Kompleksilukujen historia alkoi yhtälönratkaisusta. Lineaarisella yhtälöllä on aina yksi ratkaisu, mutta jo toisen asteen yhtälön Kompleksiluvut Aalto MS-C1300, 2015, v1.1, Kari Eloranta Kompleksilukujen historia alkoi yhtälönratkaisusta. Lineaarisella yhtälöllä on aina yksi ratkaisu, mutta jo toisen asteen yhtälön ax 2 +bx +c =

Lisätiedot

Osa VI. Fourier analyysi. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246

Osa VI. Fourier analyysi. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246 Osa VI Fourier analyysi A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta 2007 127 / 246 1 Johdanto 2 Fourier-sarja 3 Diskreetti Fourier muunnos A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi 2

Matematiikan peruskurssi 2 Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat

Lisätiedot

Sinin ja kosinin erilaiset määrittelytavat

Sinin ja kosinin erilaiset määrittelytavat Sinin ja kosinin erilaiset määrittelytavat Anu Pääkkö Matematiikan pro gradu Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Syksy 01 Tiivistelmä: Pääkkö, A. 01, Sinin ja kosinin erilaiset määrittelytavat,

Lisätiedot

Reaalisten funktioiden integrointia kompleksianalyysin keinoin

Reaalisten funktioiden integrointia kompleksianalyysin keinoin TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Mervi Paavola Reaalisten funktioiden integrointia kompleksianalyysin keinoin Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden

Lisätiedot

z Im (z +1) 2 = 0. Mitkä muut kompleksitason pisteet toteuttavat tämän yhtälön? ( 1) 0 z ( 1) z ( 1) arg = arg(z 0) arg(z ( 1)), z ( 1) z ( 1)

z Im (z +1) 2 = 0. Mitkä muut kompleksitason pisteet toteuttavat tämän yhtälön? ( 1) 0 z ( 1) z ( 1) arg = arg(z 0) arg(z ( 1)), z ( 1) z ( 1) . Osoita geometrisesti, että jos = ja niin pätee Im +) = 0. Mitkä muut kompleksitason pisteet toteuttavat tämän htälön? Kirjoitetaan +) = 0 ) ), ) 0 jossa, ja 0 vastaavat kolmion pisteitä kompleksitasossa.

Lisätiedot

Kompleksiluvut. JYM, Syksy /99

Kompleksiluvut. JYM, Syksy /99 Kompleksiluvut JYM, Syksy 2014 1/99 Miksi kompleksilukuja? Reaaliluvut lukusuoran pisteet: Tiedetään, että 7 1 0 x 2 = 0 x = 0 1 7 x 2 = 1 x = 1 x = 1 x 2 = 7 x = 7 x = 7 x 2 = 1 ei ratkaisua reaalilukujen

Lisätiedot

1. Osoita juuren määritelmän ja potenssin (eksponenttina kokonaisluku) laskusääntöjen. xm = ( n x) m ;

1. Osoita juuren määritelmän ja potenssin (eksponenttina kokonaisluku) laskusääntöjen. xm = ( n x) m ; MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Analyysi I Ohjaus 11 7.1.009 alkavalle viikolle Ratkaisut (AK) Luennoilla on nyt menossa vaihe, missä Hurri-Syrjäsen monistetta käyttäen tutustutaan tärkeiden transkendenttifunktioiden

Lisätiedot

MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Analyysi I Harjoitus alkavalle viikolle Ratkaisuehdotuksia (7 sivua) (S.M)

MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Analyysi I Harjoitus alkavalle viikolle Ratkaisuehdotuksia (7 sivua) (S.M) MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Analyysi I Harjoitus 7. 2. 2009 alkavalle viikolle Ratkaisuehdotuksia (7 sivua) (S.M) Luennoilla on nyt menossa vaihe, missä Hurri-Syrjäsen monistetta käyttäen tutustutaan

Lisätiedot

Reaaliset sin ja cos voidaan palauttaa eksponenttifunktioon Eulerin kaavan avulla: Jos x on reaaliluku, niin e ix = cos x i sin x

Reaaliset sin ja cos voidaan palauttaa eksponenttifunktioon Eulerin kaavan avulla: Jos x on reaaliluku, niin e ix = cos x i sin x 2 1. Trigonometriset ja hyperboliset funktiot Reaaliset sin ja cos voidaan palauttaa eksponenttifunktioon Eulerin kaavan avulla: Jos x on reaaliluku, niin e ix = cos x + i sin x, e ix = cos x i sin x Jos

Lisätiedot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot 3. Funktion raja-arvo ja jatkuvuus 3.1. Reaali- ja kompleksifunktiot 43. Olkoon f monotoninen ja rajoitettu välillä ]a,b[. Todista, että raja-arvot lim + f (x) ja lim x b f (x) ovat olemassa. Todista myös,

Lisätiedot

Valintakoe

Valintakoe Valintakoe 7.3.05 Kokeessa saa käyttää kirjoitusvälinewiden lisäksi ainoastaan kokeessa jaettavaa funktiolaskinta ja taulukkoa Pisteytys 8*3p=4p. Tehtävien alakohtien pistemäärät voivat poiketa toisistaan..

Lisätiedot

(a, 0) + (c, 0) = (a + c, 0)

(a, 0) + (c, 0) = (a + c, 0) . Kompleksiluvut Kompleksiluvut C saadaan varustamalla taso R komponenteittaisella yhteenlaskulla (Esimerkki.3 (b)) ja kertolaskulla, joka määritellään asettamalla Huomaa, että ja (a, b)(c, d) =(ac bd,

Lisätiedot

Funktioteoria I. Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Syyslukukausi 2009

Funktioteoria I. Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Syyslukukausi 2009 Funktioteoria I Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Syyslukukausi 2009 Kari Astalan muistiinpanoista (2005) muokannut Pekka Nieminen Kuvat: Martti Nikunen Funktioteorian eli kompleksianalyysin

Lisätiedot

Eulerin summia. Kai Kaskela. Matematiikan pro gradu

Eulerin summia. Kai Kaskela. Matematiikan pro gradu Eulerin summia Kai Kaskela Matematiikan pro gradu Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kevät 4 Tiivistelmä: Kai Kaskela, Eulerin summia, matematiikan pro gradu -tutkielma, 37 s.,

Lisätiedot

Kompleksianalyysi. Jukka Kemppainen. Mathematics Division

Kompleksianalyysi. Jukka Kemppainen. Mathematics Division Kompleksianalyysi Jukka Kemppainen Mathematics Division Sisältö 1. Kompleksiluvut 2. Funktiot 3. Differentiaalilaskentaa 4. Integrointi 5. Sarjat 6. Residylaskentaa 7. Diskreetti systeemi 2 / 43 Kompleksiluvut

Lisätiedot

HYPERBOLINEN JA KVASIHYPERBOLINEN GEOMETRIA

HYPERBOLINEN JA KVASIHYPERBOLINEN GEOMETRIA HYPERBOLINEN JA KVASIHYPERBOLINEN GEOMETRIA Markus Glader Pro gradu -tutkielma Syyskuu 2011 MATEMATIIKAN LAITOS TURUN YLIOPISTO TURUN YLIOPISTO Matematiikan laitos GLADER, MARKUS: Hyperbolinen ja kvasihyperbolinen

Lisätiedot

Kaikki tarpeellinen kompleksiluvuista

Kaikki tarpeellinen kompleksiluvuista Solmu 1 Kaikki tarpeellinen kompleksiluvuista Matti Lehtinen Maanpuolustuskorkeakoulu Kompleksiluvut ovat poistumassa lukion matematiikan opetussunnitelmista Ne ovat kuitenkin keskeinen osa matematiikan

Lisätiedot

Reaalifunktioista 1 / 17. Reaalifunktioista

Reaalifunktioista 1 / 17. Reaalifunktioista säilyy 1 / 17 säilyy Jos A, B R, niin funktiota f : A B sanotaan (yhden muuttujan) reaalifunktioksi. Tällöin karteesinen tulo A B on (aiempia esimerkkejä luonnollisemmalla tavalla) xy-tason osajoukko,

Lisätiedot

MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio

MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio Olkoon a 1 = a 2 = 5 ja a n+1 = a n + 6a n 1 kun n 2. Todista induktiolla, että a n = 3 n ( 2) n, kun n on positiivinen

Lisätiedot

Johdatus matematiikkaan

Johdatus matematiikkaan Johdatus matematiikkaan Luento 7 Mikko Salo 11.9.2017 Sisältö 1. Funktioista 2. Joukkojen mahtavuus Funktioista Lukiomatematiikassa on käsitelty reaalimuuttujan funktioita (polynomi / trigonometriset /

Lisätiedot

VI. TAYLORIN KAAVA JA SARJAT. VI.1. Taylorin polynomi ja Taylorin kaava

VI. TAYLORIN KAAVA JA SARJAT. VI.1. Taylorin polynomi ja Taylorin kaava VI. TAYLORIN KAAVA JA SARJAT VI.. Taylorin polynomi ja Taylorin kaava Olkoon n N ja x, c, c, c 2,..., c n R. Tehtävä: Etsittävä sellainen R-kertoiminen polynomi P, että sen aste deg P n ja P (x ) = c,

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 12 1 Eksponenttifuntio Palautetaan mieliin, että Neperin luvulle e pätee: e ) n n n ) n n n n n ) n. Tästä määritelmästä seuraa, että eksponenttifunktio e x voidaan

Lisätiedot

Analyyttinen jatke ja Riemannin pinnat

Analyyttinen jatke ja Riemannin pinnat Analyyttinen jatke ja Riemannin pinnat Eero Hakavuori Matematiikan pro gradu Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kevät 2014 Tiivistelmä: Eero Hakavuori, Analyyttinen jatke ja Riemannin

Lisätiedot

Kompleksianalyysi ja integraalimuunnokset. Seppo Hassi

Kompleksianalyysi ja integraalimuunnokset. Seppo Hassi Kompleksianalyysi ja integraalimuunnokset Seppo Hassi Syksy 6 iii Esipuhe Tämä on Kompleksianalyysi ja integraalimuunnokset -kurssille laadittu opetusmoniste, jonka sisältö perustuu Vaasan yliopistossa

Lisätiedot

Integroimistekniikkaa Integraalifunktio

Integroimistekniikkaa Integraalifunktio . Integroimistekniikkaa.. Integraalifunktio 388. Vertaa funktioiden ln ja ln, b) arctan ja arctan + k k, c) ln( + 2 ja ln( 2, missä a >, derivaattoja toisiinsa. Tutki funktioiden erotusta muuttujan eri

Lisätiedot

Diskreetin LTI-systeemin stabiilisuus

Diskreetin LTI-systeemin stabiilisuus Diskreetin LTI-systeemin stabiilisuus LuK-tutkielma Johannes Ylitalo 2372956 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Kevät 2016 Sisältö Johdanto 2 Merkintöjä 2 1 Kompleksifunktiot 3 2 Signaalianalyysi

Lisätiedot

Tenttiin valmentavia harjoituksia

Tenttiin valmentavia harjoituksia Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.

Lisätiedot

Johdatus matematiikkaan

Johdatus matematiikkaan Johdatus matematiikkaan Luento 6 Mikko Salo 6.9.2017 Sisältö 1. Kompleksitaso 2. Joukko-oppia Kompleksiluvut Edellisellä luennolla huomattiin, että toisen asteen yhtälö ratkeaa aina, jos ratkaisujen annetaan

Lisätiedot

1.6. Yhteen- ja vähennyslaskukaavat

1.6. Yhteen- ja vähennyslaskukaavat Yhteen- ja vähennyslaskukaavoiksi sanotaan trigonometriassa niitä kaavoja, jotka sisältävät kehitelmät kahden reaaliluvun summan tai erotuksen trigonometriselle funktiolle, kuten sin( + y) sin cos y +

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kertausta 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat: 1. Potenssisarjojen suppenemissäe, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan laskeminen

Lisätiedot

JATKUVUUS. Funktio on jatkuva jos sen kuvaaja voidaan piirtää nostamatta kynää paperista.

JATKUVUUS. Funktio on jatkuva jos sen kuvaaja voidaan piirtää nostamatta kynää paperista. JATKUVAT FUNKTIOT JATKUVUUS Jatkuva funktio Epäjatkuva funktio Funktio on jatkuva jos sen kuvaaja voidaan piirtää nostamatta kynää paperista., suomennos Matti Pauna JATKUVUUS Jatkuva funktio Epäjatkuva

Lisätiedot

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 6 Maanantai

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 6 Maanantai . (Teht. s. 93.) Määrää raja-arvo MATP53 Approbatur B Harjoitus 6 Maanantai 7..5 cos x x. Ratkaisu. Suora sijoitus antaa epämääräisen muodon (ei auta). Laventamalla päädytään muotoon ja päästään käyttämään

Lisätiedot

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45 MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko 5 Tehtävä 1 (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 3 =, b) z + 3 i < 3, c) 1/z >. Yleisesti: ehto z = R, z C muodostaa kompleksitasoon

Lisätiedot

Sinin jatkuvuus. Lemma. Seuraus. Seuraus. Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Sini on jatkuva funktio.

Sinin jatkuvuus. Lemma. Seuraus. Seuraus. Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Sini on jatkuva funktio. Sinin jatkuvuus Lemma Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Seuraus Sini on jatkuva funktio. Seuraus Kosini, tangentti ja kotangentti ovat jatkuvia funktioita. Pekka Salmi FUNK 19. syyskuuta 2016 22 / 53 Yhdistetyn

Lisätiedot

Kompleksilukujen alkeet

Kompleksilukujen alkeet Kompleksilukuje alkeet Samuli Reuae Soja Kouva Kuva 1: Abraham De Moivre (1667-175) Sisältö 1 Kompleksiluvut ja kompleksitaso 1.1 Yhtee- ja väheyslasku...................... 1. Kertolasku ja z = x + yi

Lisätiedot

u = 2 u (9.1) x + 2 u

u = 2 u (9.1) x + 2 u 9. Poissonin integraali 9.. Poissonin integraali. Ratkaistaan Diriclet n reuna-arvotehtävä origokeskisessä, R-säteisessä ympyrässä D = {(x, y) R x +y < R }, t.s. kun f : D R on annettu jatkuva funktio,

Lisätiedot

Derivaatta. Joukko A C on avoin, jos jokaista z 0 A kohti on olemassa ǫ > 0: jos z z 0 < ǫ, niin z A. f : A C on yksiarvoinen.

Derivaatta. Joukko A C on avoin, jos jokaista z 0 A kohti on olemassa ǫ > 0: jos z z 0 < ǫ, niin z A. f : A C on yksiarvoinen. Derivaatta Joukko A C on avoin, jos jokaista z 0 A kohti on olemassa ǫ > 0: jos z z 0 < ǫ, niin z A. f : A C on yksiarvoinen. Määritelmä Funktio f : A C on derivoituva pisteessä z 0 A jos raja-arvo (riippumatta

Lisätiedot

Yksinkertaisin (jollain tavalla mielenkiintoinen) yhtälö lienee muotoa. x + a = b,

Yksinkertaisin (jollain tavalla mielenkiintoinen) yhtälö lienee muotoa. x + a = b, Kompleksiluvut c Pekka Alestalo 013 Tämä moniste sisältää perusasiat kompleksiluvuista. Tähdellä merkityt kohdat ovat lähinnä oheislukemistoksi tarkoitettua materiaalia. 1 Lukujoukot Uuden tyyppisten lukujen

Lisätiedot

Matemaattisen analyysin tukikurssi

Matemaattisen analyysin tukikurssi Matemaattisen analyysin tukikurssi 11. Kurssikerta Petrus Mikkola 29.11.2016 Tämän kerran asiat Eksponenttifunktio Eksponenttifunktion määritelmä Eksponenttifunktion ominaisuuksia Luonnolinen logaritmi

Lisätiedot

HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 5 Ratkaisuehdotuksia

HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 5 Ratkaisuehdotuksia HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 015 Harjoitus 5 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan väitteiden todistamista tai kumoamista vastaesimerkin

Lisätiedot

Tehtävä 1. Miksi seuraavat esimerkit eivät ole funktioita? 1. f : R Z, f(x) = x 2. 2 kun x on parillinen,

Tehtävä 1. Miksi seuraavat esimerkit eivät ole funktioita? 1. f : R Z, f(x) = x 2. 2 kun x on parillinen, Funktiotehtävät, 10. syyskuuta 005, sivu 1 / 4 Perustehtävät Tehtävä 1. Miksi seuraavat esimerkit eivät ole funktioita? 1. f : R Z, f(x) = x. kun x on parillinen, f : N {0, 1, }, f(x) = 1 kun x on alkuluku,

Lisätiedot