VI. TAYLORIN KAAVA JA SARJAT. VI.1. Taylorin polynomi ja Taylorin kaava

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "VI. TAYLORIN KAAVA JA SARJAT. VI.1. Taylorin polynomi ja Taylorin kaava"

Transkriptio

1 VI. TAYLORIN KAAVA JA SARJAT VI.. Taylorin polynomi ja Taylorin kaava Olkoon n N ja x, c, c, c 2,..., c n R. Tehtävä: Etsittävä sellainen R-kertoiminen polynomi P, että sen aste deg P n ja P (x ) = c, P (x ) = c,..., P (n ) (x ) = c n. Ratkaisu: Jos P on olemassa, niin P (x) = b +b x+...+b n x n. Sijoitetaan x = x +(x x ), jolloin P tulee muotoon P (x) = a + a (x x ) a n (x x ) n. Tutkitaan, voidaanko kertoimet a, a,..., a n R valita niin, että vaaditut ehdot ovat voimassa. Lauseen V.2.5 mukaan P (k) (x ) = a k, k =,, 2,..., n (ja P (k) (x ) = kaikilla k n). Siispä P toteuttaa vaaditut ehdot a = c, a = c, 2! a 2 = c 2,..., (n )! a n = c n n c k P (x) = c + (x x ) k kaikilla x R. Löydettiin siis -käsitteinen ratkaisu (itse asiassa tämä seuraa potenssisarjan yksikäsitteisyyslauseesta 2.6, koska polynomi on potenssisarja, jonka lopputermit ovat nollia). Huom. Jos ei vaadita, että deg P n, ehdot P (x ) = c, P (x ) = c,..., P (n ) (x ) = c n toteuttavia polynomeja P on ääretön määrä (P (x) = a + a (x x ) a m (x x ) m, m n = a n, a n+,..., a m saavat olla mitä tahansa). Toisaalta voi olla deg P < n (jos c n = ). Merkitään B(x, h) = ]x h, x + h[, kun h >. Oletetaan, että f: B(x, h) R on funktio, jolle - on olemassa derivaatat f (x), f (2) (x),..., f (n 2) (x) kaikilla x B(x, h), - on olemassa f (n ) (x ). Valitsemalla edellä c = f(x ) ja c k = f (k) (x ), kun k =, 2,..., n, saadaan f:n pisteeseen x kuuluva Taylorin polynomi n T n (x; x ) = f(x ) + f (k) (x ) (x x ) k ; P (x) = T n (x; x ) on se -käsitteinen polynomi, jolla deg P n ja P (x ) = f(x ), P (x ) = f (x ),..., P (n ) (x ) = f (n ) (x ). Erikoistapauksessa x = puhutaan myös Maclaurinin polynomista. (Taylor ja Maclaurin ) Uusi tehtävä: Tutkittava erotusta f(x) T n (x; x ). Vahvennetaan hieman f:ää koskevia oletuksia.

2 .. Taylorin kaava. Olkoon x R, n N. Jos f C n (B(x, h)) eräällä h >, niin kaikilla x B(x, h) on f(x) = T n (x; x ) + R n (x; x ), missä jäännöstermi R n (x; x ) saadaan kaavasta R n (x; x ) = x f (n) (t)(x t) n dt. (n )! x Tod. (d Alembert , Lagrange ) Induktio n:n suhteen. n = : Jos f C (B(x, h)) eli f on jatkuva, niin kaikilla x B(x, h) on f(x) = f(x ) + (f(x) f(x )) = f(x ) + = R (x; x ) = f(x) T (x; x ) = / x x f(t) = T (x; x ) + x x f (t) dt. x x f (t) dt n > : Jos f C n (B(x, h)), niin myös f C n (B(x, h)). Induktio-oletuksen perusteella kaikilla x B(x, h) on x f(x) T n 2 (x; x ) = f (n ) (t)(x t) n 2 dt. (n 2)! x Väite seuraa osittaisintegroinnilla: x x f (n ) (t)(x t) n 2 dt = / x x f (n ) (t) (x t)n n = f (n ) (x ) (x x ) n + n n = f(x) T n 2 (x; x ) f (n ) (x ) (x x ) n = (n )! }{{} = T n (x; x ) x f (n) (x t)n (t) x n x x f (n) (t)(x t) n dt dt x f (n) (t)(x t) n dt. (n )! x Huom. ) Taylorin kaavan jäännöstermi R n (x; x ) ei ole yleensä minkään (suppenevan) sarjan jäännöstermi eikä edes määritelty kaikilla n N. 2) Seuraavassa lauseessa R n (x; x ) esitetään käytännöllisemmässä muodossa..2. Lagrangen jäännöstermimuoto. Edellisen lauseen tilanteessa R n (x; x ) = f (n) (ξ) (x x ) n x B(x, h), missä ξ = ξ x on jokin x :n ja x:n välissä oleva luku. Tod. R n (x; x ):n lausekkeessa funktio t (x t) n säilyttää merkkinsä integroimisvälillä [x, x] (tai [x, x ]) ja f (n) on jatkuva. Integraalilaskennan yleistetyn väliarvolauseen I.4.2.a) mukaan 2

3 R n (x; x ) = x (n )! = f (n) (ξ) (n )! / x jollakin ξ, joka on x :n ja x:n välissä. x x f (n) (t)(x t) n dt = (x t)n n = f (n) (ξ) (x x ) n x (n )! f (n) (ξ) (x t) n dt x Huom. ) Erikoistapauksessa n = on R (x; x ) = f (ξ)(x x ) ja T (x; x ) = f(x ). Tällöin siis f(x) = f(x ) + f (ξ)(x x ) eli saadaan diff.-laskennan väliarvolause, joten Lagrangen jäännöstermi on sen yleistys. 2) Muista: Taylorin kaava ja Lagrangen jäännöstermi pätevät kaikille f C n (B(x, h)); f:llä ei tarvitse olla potenssisarjaesitystä eikä edes (n + ):ttä derivaattaa..3. Esimerkkejä. ) Funktiolle f(x) = e x on f (k) (x) = e x ja siis f (k) () = kaikilla k. Kun n N ja x R, on siis missä ξ x on :n ja x:n välissä. T n (x; ) = + x + x2 2! xn (n )! ja R n (x; ) = eξ x xn, 2) Jos f(x) = sin x, niin f (x) = cos x, f (x) = sin x, f (3) (x) = cos x, f (4) (x) = sin x,..., joten (f (k) ()) k= = (,,,,,,...). Kun n N, x R, on siis T 2n (x; ) = T 2n (x; ) = x x3 3! + x5 5!... + ( )n x 2n (2n )!, R 2n (x; ) = R 2n+ (x; ) = f (2n+) (ξ x ) (2n + )! missä ξ x on :n ja x:n välissä. x 2n+ = ( ) n cos ξ x (2n + )! x2n+, 3) Jos f(x) = cos x, niin f (x) = sin x, f (x) = cos x, f (3) (x) = sin x, f (4) (x) = cos x,..., joten (f (k) ()) k= = (,,,,,,...). Kun n N, x R, on siis T 2n 2 (x; ) = T 2n (x; ) = x2 2! + x4 4!... + ( )n x 2n 2 (2n 2)!, R 2n (x; ) = R 2n (x; ) = f (2n) (ξ x ) (2n)! missä ξ x on :n ja x:n välissä. 4) Olkoon f(x) = x 3 ja keskus x =. Tällöin 3x 2, kun x >, f (x) = 3x 2, kun x <,, kun x =, x 2n = ( ) n cos ξ x (2n)! x2n, 6x, kun x >, ja f (x) = 6x, kun x <,, kun x =. Koska f () = ja f () =, niin T 2 (x; ) =. Nyt kuitenkaan f (3) () ei ole olemassa, joten myöskään T 3 (x; ) ei ole olemassa. 3

4 Jos f (n) (x) M < kaikilla x B(x, h), niin L.2 mukaan f(x) T n (x; x ) = R n (x; x ) M hn kaikilla x B(x, h). Tästä on hyötyä, jos halutaan approksimoida f:ää polynomilla T n (x; x )..4. Esimerkkejä. ) Laskettava Taylorin kaavan avulla /e niin tarkasti, että virhe < 4. Ratk. Edell. esim..3.) mukaan e x = + x + x2 2! xn (n )! + R n(x; ) ja R n (x; ) = eξ xn, missä ξ on :n ja x:n välissä. Valitaan x =, jolloin < ξ < ja R n ( ; ) = eξ e ξ ( )n = <. Koska 7! = 54 ja 8! = 432, niin R 8 ( ; ) < /8! <, Kun valitaan n = 8, saadaan siis e T 7( ; ) = + 2! 3! + 4! 5! + 6! 7! = = 3 (, 36786), 28 missä virhe <, Jos tulos ilmoitetaan desimaalilukuna 3/28, 3679, niin pyöristysvirhe <, 5 4. Koska tällöin vielä (, 25 +, 5) 4 < 4, niin /e, 3679 on riittävän tarkka likiarvo. 2) Approksimoitava funktiota f(x) = cos x välillä ] π/4, π/4[ sopivalla Taylorin polynomilla niin, että virhe < 4. Ratk. Esimerkin.3.3) mukaan f(x) = T 2n 2 (x; ) + R 2n (x; ), missä R 2n (x; ) = cos ξ x x 2n x2n (2n)! (2n)! < (π/4)2n (2n)! < ] (2n)!, kun x π 4, π [ 4 (ξ x on :n ja x:n välissä). Koska (2 3)! = 72 ja (2 4)! = 432, niin riittävän tarkka approksimaatio saadaan, kun valitaan n = 4. Vaaditulla tarkkuudella siis cos x T 6 (x; ) = x2 2 + x4 24 x6 72, x < π 4. VI.2. Kehitelmän yksikäsitteisyys Palautetaan mieleen Diff.I.:stä: Jos on olemassa f (x ) ja merkitään ε(x) = f(x) f(x ) x x f (x ), x x, niin lim ε(x) = ja ε(x)(x x ) = f(x) f(x ) f (x )(x x ). x x f(x ) + f (x )(x x ) = T (x; x ), joten Saadussa lausekkeessa on f(x) = T (x; x ) + (x x )ε(x), missä lim ε(x) =. x x 4

5 Jos f C n (B(x, h)), niin Taylorin kaavan ja Lagrangen jäännöstermin mukaan on f(x) T n (x; x ) = R n (x; x ) = f (n) (ξ x ) (x x ) n, missä ξ x on x :n ja x:n välissä. Jos merkitään ε(x) = f (n) (ξ x ) (x x ), niin f(x) T n (x; x ) = (x x ) n ε(x), missä ε(x) = f (n) (ξ x ) (x x ), kun x x. Itse asiassa voidaan helposti saada vähän vahvempikin muoto: 2.. Lause. Jos f C n (B(x, h)), niin f:llä on Taylorin kehitelmä f(x) = T n (x; x ) + (x x ) n ε(x), missä lim ε(x) =. x x Tod. Kuten edellä f(x) T n (x; x ) = f (n) (ξ x ) (x x ) n, missä ξ x on x :n ja x:n välissä. Koska f (n) on jatkuva pisteessä x, niin lim x x f (n) (x) = f (n) (x ). Kun x x, niin ξ x x, joten f (n) (ξ x ) = f (n) (x ) + ε (x), missä ε (x), kun x x. Siis f(x) = T n (x; x ) + f (n) (x ) (x x ) n + ε (x) (x x ) n = T n (x; x ) + (x x ) n ε(x), missä ε(x) = ε (x). x x 2.2. Yksikäsitteisyyslause. Olkoon f määritelty ympäristössä B(x, h) ja olkoon f(x) = a + a (x x ) a n (x x ) n + (x x ) n ε (x) = b + b (x x ) b n (x x ) n + (x x ) n ε 2 (x), missä lim x x ε j (x) =, j =, 2. Tällöin a k = b k kaikilla k ja siis ε (x) = ε 2 (x) kaikilla x B(x, h), ts. kehitelmät ovat identtiset. Tod. Vastaoletus: a k b k jollakin k {,, 2,..., n}. Olkoon k pienin tällainen indeksi. Tällöin kaikilla x B(x, h) on = f(x) f(x) = (a k b k )(x x ) k (a n b n )(x x ) n + (x x ) n [ε (x) ε 2 (x)] Oletetaan, että x x ja jaetaan (x x ) k :lla, jolloin kaikilla x B(x, h), x x, on = (a k b k ) (a n b n )(x x ) n k + (x x ) n k [ε (x) ε 2 (x)]. Kun annetaan x x, niin a k b k = eli a k = b k, RISTIRIITA. Täytyy siis olla a k = b k kaikilla k, ja siten myös ε (x) = ε 2 (x), kun x x. 5

6 2.3. Seuraus. Jos f C n (B(x, h)) ja f:llä on edelläoleva kehitelmä f(x) = a + a (x x ) a n (x x ) n + (x x ) n ε(x) kaikilla x B(x, h), missä lim x x ε(x) =, niin kyseessä on f:n Taylorin kehitelmä, ts. kaikilla x B(x, h) on { Tn (x; x ) = a + a (x x ) a n (x x ) n R n+ (x; x ) = (x x ) n ε(x). Tod. Lauseen 2. mukaan f:llä on Taylorin kehitelmä ja L 2.2 nojalla Taylorin kehitelmä on identtinen annetun kehitelmän kanssa. Huom. ) Seurauksessa 2.3 on (x x ) n ε(x) = R n+ (x; x ) = f(x) T n (x; x ), joten ε(x) = f(x) T n(x; x ) (x x ) n kaikilla x B(x, h), x x. Siten mm. on olemassa jatkuvat derivaatat ε (x),..., ε (n) (x), kun < x x < h. 2) Seurauksen 2.3 merkitys on siinä, että sen avulla Taylorin polynomit on usein helpompi muodostaa kuin laskemalla derivaatat Lause. Olkoon potenssisarjan a k (x x ) k suppenemissäde R >. Jos f(x) = k= a k (x x ) k kaikilla x B(x, h) (missä siis h R), niin f:n pisteeseen x liittyvät Taylorin k= polynomit ovat sarjan osasummat T n (x; x ) = ja jäännöstermillä on lauseke R n+ (x; x ) = n a k (x x ) k k= k=n+ a k (x x ) k, kun x B(x, h). Tod. L V.2.5 = f C (B(x, h)) ja f (k) (x ) = a k. Siis f(x) = T n (x; x ) + a k (x x ) k = T n (x; x ) + (x x ) n ε(x), missä ε(x) = väitteen. k=n+ k=n+ a k (x x ) k n. Lauseen V.2.2 nojalla 2.5. Esimerkkejä. ) Muodosta T n (x; ) funktiolle f, f(x) = x 2. Ratk. Geometrisen sarjan summakaavan mukaan kaikilla x ], [ on Koska f C (B(, )), niin f(x) = x 2 = + x2 + x x 2k +... = lim ε(x) =, joten Seuraus 2.3 antaa x x (x 2 ) k = k= x 2k. k= T n (x; ) = + x 2 + x x 2k, kun n = 2k tai n = 2k +. 6

7 2) Muodosta T 4 (x; ) funktiolle f: R R, f(x) = e x2. Ratk. Taylorin kaavan nojalla on Sijoittamalla y = x 2 saadaan e y = + y + y2 2 + y2 ε(y), missä lim y ε(y) =. ( ) e x2 = + x 2 + x4 2 + x4 ε(x), ε(x) = ε(x 2 ). Koska lim ε(x) = lim ε(x 2 ) = ja f C 4 (R) (jopa f C (R)), niin edellä ( ):ssä on saatu f:n x x Taylorin kehitelmä, joten erityisesti on T 4 (x; ) = + x x4 funktiolle f. 3) Esim. IV.3.7 mukaan f(x) = ln( + x) = ( ) k xk k = x x2 2 + x3 3 x4 +..., kun x <. 4 Lisäksi ketjusäännön mukaan f C (B(, )), joten L 2.4 ja S 2.3 perusteella f:llä on Taylorin kehitelmä ln( + x) = x x2 2 + x3 3 x4 xn ( )n 4 n + xn ε(x), lim ε(x) =. x 4) Muodosta T 4 (x; ) funktiolle f: R R, f(x) = ln(+2x 2 ), lähtemällä funktion x ln(+x) kehitelmästä. Ratk. Kun y <, niin ln( + y) = y 2 y2 + y 2 ε(y), missä lim ε(y) =. Sijoitetaan y y = 2x 2 : 2x 2 < x < / 2. Jos siis x < / 2, niin ( ) f(x) = ln( + 2x 2 ) = 2x 2 2 4x4 + 4x 4 ε(2x 2 ) = 2x 2 2x 4 + x 4 ε(x), missä ε(x) = 4ε(2x 2 ), kun x. Koska lisäksi f C 4 (R), niin ( ) on f:n Taylorin kehitelmä ja siis T 4 (x; ) = 2x 2 2x 4. Erityisesti f () =, f () = 2! 2 = 4, f (3) () = ja f (4) () = 4! ( 2) = Lause. Oletetaan, että f, g C n (B(x, h)) ja α R on vakio. Olkoot f:n ja g:n Taylorin kehitelmät missä f(x) = T f n (x; x ) + R f n+ (x; x ) ja g(x) = T g n(x; x ) + R g n+ (x; x ), { T f n (x; x ) = a + a (x x ) a n (x x ) n = T f (x) T g n(x; x ) = b + b (x x ) b n (x x ) n = T g (x) ja jäännöstermit ovat muotoa R f n+ (x; x ) = (x x ) n ε f (x), R g n+ (x; x ) = (x x ) n ε g (x), 7 lim ε f (x) =, x x lim ε g (x) =. x x

8 Tällöin a) summafunktiolla f + g on Taylorin kehitelmä f(x) + g(x) = [T f n (x; x ) + T g n(x; x )] + [R f n+ (x; x ) + R g n+ (x; x )], b) funktiolla αf on Taylorin kehitelmä ja c) tulofunktiolla f g on Taylorin kehitelmä (αf)(x) = αt f n (x; x ) + αr f n+ (x; x ) f(x)g(x) = T fg n (x; x ) + (x x ) n ε(x), missä Tn fg (x; x ) = a b + (a b + a b )(x x ) (a b n + a b n a n b )(x x ) n ja ε(x), kun x x. Tod. a) Koska (f + g) (k) (x) = f (k) (x) + g (k) (x) ja deg(tn f (x; x ) + Tn(x; g x ) n, niin Tn f (x; x )+Tn(x; g x ) on (f +g):n n:s Taylorin polynomi. Koska lisäksi R f n+ (x; x )+R g n+ (x; x ) = (x x ) n ε(x), missä ε(x) = ε f (x) + ε g (x), kun x x, ja f + g C n (B(x, h)), niin kohta a) on todistettu. b) Vastaavasti. c) Todetaan aluksi, että f, g C n (B(x, h)) = fg C n (B(x, h)). Perustelu: D(fg) = Df g + f Dg = D (2) (fg) = D (2) f g + Df Dg + Df Dg + f D (2) g = D (2) f g + 2Df Dg + f D (2) g ja yleisesti D (k) (fg) = binomikerroin. Nyt i+j=k ( i j ) D (i) f D (j) g, missä f(x)g(x) = Tn fg (x; x ) + (x x ) n+ Q(x) + T f (x)(x x ) n ε g (x) + T g (x)(x x ) n e f (x) + (x x ) n+n ε f (x)ε g (x) = Tn fg (x; x ) + (x x ) n ε(x) missä Q(x) on korkeintaan astetta n oleva polynomi ja ε(x) = (x x )Q(x) + T f (x)ε g (x) + T g (x)e f (x) + (x x ) n ε f (x)ε g (x). ( i j ) on Koska tässä ε(x), kun x x, niin saatu kehitelmä on fg:n Taylorin kehitelmä. Esim. Muodostettava T 4 (x; ) funktiolle f(x) = sin x ln( + x). Ratk. Käytetään suoraan yksikäsitteisyyslauseen seurausta 2.3 (eikä vedota edelliseen lauseeseen). Esim..3.2) ja 2.5.3) mukaan sin x = x 6 x3 + x 4 ε (x) (x R), ln( + x) = x 2 x2 + 3 x3 + x 3 ε 2 (x) ( x < ), missä lim x ε i (x) =, i =, 2. Siis kaikilla x ], [ on sin x ln( + x) = x x x 2 x2 + x 3 x3 + x x 3 ε 2 (x) 6 x3 x + 6 x3 2 x2 6 x3 3 x3 6 x3 x 3 ε 2 (x) + x 4 ε (x) x x 4 ε (x) 2 x2 + x 4 ε (x) 3 x3 + x 4 ε (x) x 3 ε 2 (x) 8

9 = x 2 2 x3 + 6 x4 + x 4 ε(x), missä ε(x) = ε 2 (x) + x [ 2 + ε (x)] + x 2 [ 8 2 ε (x) 6 ε 2(x)] + x 3 [ 3 ε (x) + ε (x)ε 2 (x)]. Koska ε(x), kun x, ja f C 4 (], [), niin on saatu Taylorin kehitelmä, ja erityisesti T 4 (x; ) = x 2 2 x3 + 6 x4. Siten f() = f () =, f () = 2! = 2, f (3) () = 3! ( 2 ) = 3 ja f (4) () = 4!/6 = 4. Huom. Koska sin x:n ja ln( + x):n kehitelmissä vakiotermi =, niin T 4 (x; ):n saamiseksi funktiolle f(x) = sin x ln( + x) riitti ottaa T 3 (x; ):t sin x:lle ja ln( + x):lle. VI.3. Taylorin kaavan sovelluksia 3.. Raja-arvojen laskeminen. Jos on olemassa kehitelmä f(x) = T n (x; x ) + R n+ (x; x ) pisteen x ympäristössä, niin f:n käyttäytyminen x :n lähellä hallitaan hyvin (sitä paremmin mitä suurempi n on). Tästä voi olla hyötyä laskettaessa raja-arvoja, joissa x x. sin x x Esim.. Määritä lim x x( cos x). Ratk. Aikaisempien esimerkkien perusteella kaikilla x R on sin x = x 6 x3 + x 4 ε (x) ja cos x = 2 x2 + x 3 ε 2 (x), missä lim x ε i (x) = (i =, 2). Kun < x < π, on siis sin x x x( cos x) = 6 x3 + x 4 ε (x) 2 x3 x 4 ε 2 (x) = 6 + xε (x) 2 xε 2(x) /6 x /2 = 3. ( Esim. 2. Määritä lim cos ( x ) ) n 2, kun x R. n n Ratk. cos ( x ) x >, kun n n < π 2 n > 2 ( π x. Merkitään y n = cos ( x ) ) n 2 ja tarkastellaan jonoa (ln y n ). n Koska niin cos y = 2 y2 + y 3 ε (y), lim ε (y) =, y ln( + z) = z + zε 2 (z) = z( + ε 2 (z)), z <, ( ln y n = n 2 ln cos ( x = ln y n = n 2 z( + ε 2 (z)) = (kun n, niin z ). Siis lim ε 2 (z) =, z n) ) = n 2 ln( + z), missä z = x 2 ( x + 2( n) n ( 2 x2 + x3 n ε ( x n lim y n = lim n n eln y n = e 2 x2. 9 ) 3ε ( x ) n ) ) ( + ε 2 (z)) n 2 x2

10 Esim. 3. Määritä lim x sin(sin x) sin x x 3. sin y = y 6 y3 + y 4 ε(y), lim ε(y) =. y Sijoittamalla y = sin x saadaan sin(sin x) = sin x 6 (sin x)3 + (sin 4 x)ε(sin x) = sin(sin x) sin x x 3 = 6 ( sin x x ) 3 ( sin x ) 3(sin + x)ε(sin x) x x 6 + = Integraalien likiarvot. Esim.. Lasketaan e x2 dx, :n tarkkuudella. e y = + y + y2 2! yn (n )! + eξ yn, missä ξ on :n ja y:n välissä ja y. Sijoittamalla y = x 2 saadaan e x2 = + x 2 + x4 2! x2(n ) (n )! + eξ x2n, < ξ < x 2. Nyt < x = < ξ < x 2 = R 2n (x) = eξ x2n e x2n, joten integroitaessa virhetermille saadaan arvio R 2n (x) dx e x 2n dx = e / x 2n+ (2n + ) = e <,, (2n + ) kun n 5 (tällöin itse asiassa on virhe <, 3). Haettu likiarvo on (pyöristys desimaaliluvuksi mahtuu vielä virheeseen mukaan) ) ( + x 2 + x4 2 + x6 6 + x8 dx = = 5, Esim. 2. Laske likiarvo integraalille ln( + x) dx, :n tarkkuudella korvaamalla in- x tegroitava sopivalla Taylorin polynomilla.,2 Ratk. Esimerkin IV.3.7 mukaan ln( + x) = ( ) k xk, kun x <, joten k ln( + x) x = ( ) k xk k kun x, x <.

11 ln( + x) Koska nyt lim x x nimittäin määritellään =, niin integraalin epäoleellisuus alarajalla on vain näennäistä. Jos niin g on jatkuva ja { ln( + x) g: ], [ R, g(x) =, kun x ], [, x x, kun x =,,2 ln( + x) dx = x,2 g(x) dx. Tällöin g(x) = ( ) k xk k = T n (x; ) + R n (x; ), x <. Sarja toteuttaa Leibnizin lauseen oletukset, kun < x <, joten ja R n (x; ) < xn n +, kun < x <, ja R n(; ) = (n =, 2,...),2,2,2 x n /,2 R n (x; ) dx R n (x; ) dx < n + dx = x n+ (, 2)n+ = (n + ) 2 (n + ) 2. Jos n =, niin (, 2)2 2 2 =,. Siis riittää korvata g(x) T (x; ) =, jolloin,2 ln( + x) dx = x,2 g(x) dx,2 dx =, Ääriarvot. Kertausta: Jos f:llä on (lokaali) ääriarvokohta pisteessä x ja jos on olemassa f (x ), niin f (x ) = (ei kääntäen). Jos lisäksi on olemassa f (x ), niin x on minimikohta, kun f (x ) >, ja x on maksimikohta, kun f (x ) <. Jos kuitenkin f (x ) =, ei tiedetä vielä mitään Lause. Olkoon f C n (B(x, h)) ja oletetaan, että f (x ) = f (x ) =... = f (n ) (x ) = ja f (n) (x ). Tällöin a) n parillinen, f (n) (x ) < = x on (oleellinen lokaali) maksimikohta, b) n parillinen, f (n) (x ) > = x on (oleellinen lokaali) minimikohta, c) n pariton = ei ääriarvoa x :ssa. Tod. Koska f (x ) = f (x ) =... = f (n ) (x ) =, niin T n (x; x ) = f(x ). Jos siis < x x < h, niin Taylorin kaavan mukaan on ( ) f(x) f(x ) = f (n) { (ξ x ) (x x ) n ]x, x[, jos x > x, ξ x, ]x, x [, jos x < x. Oletuksen mukaan f (n) on jatkuva pisteessä x, joten on olemassa sellainen r >, r h, että f (n) (x) on samanmerkkinen kuin f (n) (x ) aina, kun x x < r. Siis myös f (n) (ξ x ) on samanmerkkinen kuin f (n) (x ) aina, kun < x x < r ( ξ x x < x x ). Kun < x x < r, voidaan tapauksissa a) c) päätellä:

12 a) Koska f (n) (ξ x ) < ja (x x ) n >, niin ( ) = f(x) f(x ) <, joten x on maksimikohta (ja oleellinen). b) Nyt f (n) (ξ x ) >, (x x ) n >, joten ( ) = f(x) f(x ) > ja siis x on minimikohta (myös oleellinen). { >, kun x > c) Koska (x x ) n x, ja f (n) (ξ <, kun x < x x ) säilyttää merkkinsä, niin ( ):n mukaan f(x) f(x ) vaihtaa merkkinsä, kun x ohitetaan, joten x ei ole ääriarvokohta. Esim. Onko funktiolla f, f(x) = cos x + cosh x, ääriarvoa kohdassa x =? f (x) = sin x + sinh x = f () = f (x) = cos x + cosh x = f () = + = f (x) = sin x + sinh x = f () = f (4) (x) = cos x + cosh x = f (4) () = + = 2 >, 4 parillinen Siis f:llä on :ssa lokaali minimi. VI.4. Taylorin sarja Olkoon x R, h > ja B(x, h) = ]x h, x + h[. Kun f C (B(x, h)), potenssisarja (TS) f(x ) + f (k) (x ) (x x ) k k= on f:n Taylorin sarja riippumatta siitä, suppeneeko sarja vai ei (sopimalla f () (x ) = f(x ) voidaan tämäkin termi siirtää summaan mukaan). 4.. Esim. Olkoon potenssisarjan a k (x x ) k suppenemissäde h ja f ko. sarjan summafunktio. Lauseen V.2.5 mukaan f C (B(x, h)) ja f (k) (x ) = ()a k kaikilla k, ts. on summafunktionsa f Taylorin sarja. a k (x x ) k Olkoon f C (B(x, h)) ja n N. Funktion f Taylorin sarjan (TS) n:s osasumma on f:n Taylorin polynomi T n (x; x ). Koska f C n (B(x, h)), niin Taylorin kaavan mukaan ja Lagrangen jäännöstermin mukaan on missä ξ x,n on x :n ja x:n välissä. f(x) T n (x; x ) = R n (x; x ) = f (n) (ξ x,n ) (x x ) n, 4.2. Lause. Funktio f C (B(x, h)) on välillä ]x r, x +r[ ( < r h) jonkin suppenevan potenssisarjan a k (x x ) k summa k= R n (x; x ) n kaikilla x ]x r, x + r[. 2 k=

13 Tällöin a k (x x ) k on f:n Taylorin sarja (TS), ja siis k= ( ) f(x) = f(x ) + f (k) (x ) (x x ) k x ]x r, x + r[. Tod. = : Esim. 4. = ( ) pätee. Taylorin kaavan jäännöstermi on nyt tämän suppenevan sarjan jäännöstermi. =: Kun x B(x, h), niin R n (x; x ) n T n (x; x ) n f(x) (TS) suppenee ja sen summa = f(x). Funktio f C (B(x, h)) ei välttämättä ole suppenevan potenssisarjan summa millään välillä ]x r, x + r[. Tällaisessa tapauksessa joko (TS) suppenee vain pisteessä x (ts. suppenemissäde = ) tai (TS):n suppenemissäde >, mutta ( ) ei päde millään r >. Esimerkin V.2. funktio f C (R) ja f (k) () = kaikilla k. Tästä seuraa, että f:n Taylorin sarja (TS) (jossa x = ) on =, joten (TS):n summa = < f(x) kaikilla x >. Siten ( ) ei päde millään r > Muutamien funktioiden Taylorin sarjoja:. Eksponenttifunktio. Jo esimerkissä IV.3.9.2) todettiin, että e x = k= x k = + x + x2 2! + x3 3! +... x R. Tämän tuloksen voi johtaa myös e x :n Taylorin kehitelmien avulla: Esim..3.) mukaan kaikilla n N ja x R on e x = + x + x2 2! xn (n )! + R n(x; ), missä R n (x; ) = eξx,n missä ξ x,n on :n ja x:n välissä. Kiinteällä x R on siis x k koska sarja suppenee. k= Jos x R, on siis myös R n (x; ) max(, e x ) x n e x = e x +(x x ) = e x e x x = e x + ex ts. e x saatiin kehitettyä (x x ):n potenssien mukaan. Jos kantalukuna on a >, saadaan a x = e x ln a = + ln a!, n x n,! (x x ) + ex 2! (x x ) x R, (ln a)2 x + x x R. 2! 3

14 2. Trigonometriset funktiot. Esimerkin.3.2) mukaan kaikilla n N ja x R on sin x = x x3 3! + x5 5!... + ( )n x 2n (2n )! + R 2n+(x; ), R 2n+ (x; ) = ( ) n cos ξ x,n (2n + )! x2n+ (ξ x,n on :n ja x:n välissä). Koska jokaisella kiinteällä x R on R 2n+ (x; ) x 2n+ (2n + )! sin x = x x3 3! + x5 5!... x R., niin n Vastaavasti cos x = x2 2! + x4 4!... x R. Samoin 3. Logaritmifunktio. Esimerkissä IV.3.7 todettiin, että ln( + x) = x x2 2 + x3 3 x4 +..., kun < x. 4 ln( x) = x x2 2 x3 3 x4 +..., kun x <. 4 Koska ln + x = ln( + x) ln( x), niin eo. kehitelmistä vähentämällä saadaan x ln + x x = 2 ( x + x3 3 + x ), kun < x <. Tästä sarjasta voi laskea luvun ln y likiarvoja millä tahansa y >, sillä jokaista y > kohti on olemassa yksikäsitteinen x ], [ s.e. y = ( + x)/( x): + x y = y + x = y xy x = x y +. Esim. Koska 2 = + x x x = ( 3, niin ln 2 = ( ) 3 3 ( ) 5 ) Tämä 3 suppenee huomattavasti nopeammin kuin sarja ln 2 = Jos merkitään 4 R 2n+ = ln 2 2( 3 + ( ) 3 3 ( ) 2n ) n, 3 niin ( < R 2n+ = 2 = 2 2n + ( 3 ( ) 2n+ 2n + ( ) 2n+3 ) + 3 2n ) 2n+ ( + 2n + ) 2 2n + ) 4 ) n + 3( 3 2n + 5( 3 4

15 2 < 2n + ( 3 2 = 2n + ( 3 Jos valitaan n = 3, niin < R 7 < 4 7( 3 ) 2n+ ( ( ) 2 ( 4 ) ) ) 2n+ (/9) = ln 2 2( 3 + ( ) 3 3 ( ) 5 ) missä virhe <, 2 (laskin ln 2 =, ). ( 4(2n + ) 3 ) 5 = 684 < 2 4, joten 4. Arkustangenttifunktio. Esimerkin V.2.8.2) mukaan ) 2n. = 842 =, , 25 arc tan x = x x3 3 + x5 5 x x [, ]. 7 Luvun π likiarvojen laskemiseen saadaan tehokkaampi sarja seuraavasti. Todistetaan ensin ns. Machin in kaava: (M) π 4 = 4 arc tan arc tan Merkitään β = arc tan(/5), γ = arc tan(/239) ja α = 4β γ. Koska kaikilla x > on < arc tan x < x, niin < 4β < (4/5), < γ < (/239) ja (/239) < α < (4/5), joten erityisesti 2 π < α < 2π. Siten riittää osoittaa, että tan α = = tan(π/4). Tangentin yhteenlaskukaavan nojalla saadaan tan 2β = ja tan α = 2 tan β tan 2 β = 2/5 /25 = 5 2 tan 2β, tan 4β = 2 tan 2 2β = /2 25/44 = 2 9 tan 4β tan γ + tan 4β tan γ joten (M) on osoitettu oikeaksi. Koska arc tan x = ( ) k x2k+, x [, ], niin 2k + k= 2/9 / = = + 2/(9 239) =, ( ) k π = 6 (2k + ) 5 2k+ 4 ( ) k (2k + ) 239 2k+ k= k= ( = ) ( ) Molemmat sarjat toteuttavat Leibnizin lauseen ehdot, joten esimerkiksi ( π ) < 4 ( = π ) ±, 3, 46 ±, Vielä pari esimerkkiä Taylorin sarjoista: 5

16 4.4. Esimerkkejä. ) Muodosta (x+3):n potenssien mukaan etenevä Taylorin sarja funktiolle x x 2 4. Ratk. Merkitään x + 3 = t. Ol. x ±2. x 2 4 = [ 4 x 2 ] = [ x t 5 ] t = [ 4 t ] [ 5 = (t/5) 4 t k 5 k= ( = ) ( 4 5 k+ t k = ( 4 5 k= k= k= ( ) ] k t 5 ) k+ ) (x + 3) k, kun x+3 = t < eli 4 < x < 2, jolloin molemmat edelläolevat geometriset sarjat suppenevat. 2) Muodosta x:n potenssien mukaan etenevä Taylorin sarja funktiolle x 2 π π/2 dt x cos 2 t. Ratk. Jos x <, niin myös x cos 2 t <, joten integroitava voidaan kehittää geometriseksi sarjaksi x cos 2 t = + x cos2 t + x 2 cos 4 t + x 3 cos 6 t x k cos 2k t Olkoon x ], [ kiinteä. Koska tällöin x k cos 2k t x k kaikilla t R ja k x k suppenee, niin Weierstrassin lauseen mukaan eo. sarja suppenee tasaisesti arvoilla t R, erityisesti arvoilla t [, 2π]. Voidaan siis integroida termeittäin: 2 π π/2 dt x cos 2 t = 2 π ( π/2 π 2 + x cos 2 t dt + x 2 = + 2 x x π/2 cos 4 t dt x k 3... (2k ) (2k) kaikilla < x < (integroinnista katso esim. I.8.B.2, s. 27). π/2 x k +... ) cos 2k t dt Trigonometristen funktioiden olemassaolo. Seuraavassa esitetään tapa, millä sinija kosinifunktiot voidaan määritellä käyttämättä kulman käsitettä. Unohdetaan kaikki, mitä olemme kuvitelleet tietävämme sini- ja kosinifunktioista. Tarkastellaan potenssisarjoja (s) x x3 3! + x5 5!... ja (c) x2 2! + x4 4!.... 6

17 o. Sarjat (s) ja (c) suppenevat itseisesti kaikilla x R. Tod. Merkitään f k (x) = ( ) k x 2k+. Jos x, niin (2k + )! f k+ (x) f k (x) = x 2k+3 (2k + )! (2k + 3)! x 2k+ = x 2 (2k + 2)(2k + 3) k ts. (s) suppenee suhdetestin mukaan itseisesti arvolla x; sarja (c) vastaavasti. Määritellään nyt sin x = x x3 3! + x5 5!... x R, cos x = x2 2! + x4 4!... x R ja todetaan seuraavat ominaisuudet. 2 o. sin = ja cos = selvästi. 3 o. Sarjoista termeittäin derivoimalla saadaan D sin x = cos x ja D cos x = sin x. Olkoon x R, jota pidetään kiinteänä. Merkitään A(y) = sin(x + y) sin x cos y cos x sin y, A() = sin x sin x =, B(y) = cos(x + y) cos x cos y + sin x sin y, B() = cos x cos x =, { A (y) = cos(x + y) + sin x sin y cos x cos y = B(y) = B (y) = sin(x + y) + cos x sin y + sin x cos y = A(y). Määritellään F (y) = A(y) 2 + B(y) 2 kaikilla y R. Tällöin F (y) = 2A(y)A (y) + 2B(y)B (y) = 2A(y)B(y) 2B(y)A(y) = kaikilla y R, joten F (y) = C (vakio) kaikilla y R. Koska F () =, niin C =, joten kaikilla y R on F (y) = = A(y) 2 + B(y) 2 A(y) = = B(y). Siis kaikilla x, y R on voimassa sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y cos(x + y) = cos x cos y sin x sin y. 4 o. Sarjojen määritelmien mukaan sin( x) = sin x ja cos( x) = cos x, joten = cos = cos(x x) = cos x cos( x) sin x sin( x) = cos 2 x + sin 2 x kaikilla x R. 5 o. Kun x, niin sin x x = x2 3! +... = sin x x. x Yhteyden trigonometriasta tunnettuihin määritelmiin antaa seuraava tulos: Huom. Olkoon s yksikköympyrän pisteiden (, ) ja (x, y ) välisen kaaren pituus. Silloin on x = cos s ja y = sin s. Tod. Kaarella on parametriesitys α(t) = (x(t), y(t)) = (cos t, sin t), t t, jossa x = x(t ) = cos t ja y = y(t ) = sin t. Kaaren pituus on s = t x (t) 2 + y (t) 2 dt = t 7 sin 2 t + cos 2 t dt = t.

18 4.6. Binomisarja. Olkoon µ R vakio. Tarkastellaan funktiota f(x) = ( + x) µ, kun x > (eräillä µ R on ( + x) µ määritelty myös muilla x:n arvoilla). Selvästi f C (], [) ja f (k) (x) = µ(µ )... (µ k + )( + x) µ k x >. Erityisesti f (k) () = µ(µ )... (µ k + ) kaikilla k N, joten funktion f origossa muodostettu Taylorin sarja on µ(µ )... (µ k + ) (BS) + x k = + a k x k. }{{} =a k Jos µ = n N {}, on a k = (Binomikerroin binomikaava Huom. Yleisesti n(n )... (n k + ) ( ) n k = ( n k ), kun k > n, =, kun k n. (n k)! on Pascalin kolmion n:nnen rivin k:s alkio, k =,,..., n.) ( + x) n = + ( ) ( ) n n = ja k n k (a + b) n = a n( + b a n a k x k = ( ) n =. ) n = a n n k= n k= ( ) n ( b k a ( ) n x k x R. k ) k = n k= ( ) n a n k b k. k Saadaan siis Osoitamme, että myös tapauksessa µ N {} sarjan (BS) summa = ( + x) µ, kun x < Lause. Kaikilla x ], [ on ( + x) µ = + a k x k, a k = µ(µ )... (µ k + ) Tod. Tapaus µ N {} on selvä (polynomi, päättyvä sarja). Olkoon µ N {}. Tällöin a k kaikilla k ja a k = µ(µ )... (µ k + ) (k + )! µ(µ )... (µ k) = k + µ k = + (/k) (µ/k) a k+., k joten (BS):n suppenemisväli on ], [. Olkoon S(x) = (BS):n summa, kun x ], [. Tällöin S on derivoituva välillä ], [ ja (termeittäin derivoimalla) S (x) = µ(µ )... (µ k + ) x k = (k )! }{{} =b k 8 b k x k,

19 missä b k = ka k. Nyt ja tässä b k+ + b k = b k µ k k ( + x)s (x) = b k x k + b k x k = µ + b k x k + b k x k ( ) ( + x)s (x) = µ + k=2 = µ + b k+ x k + b k x k = µ + (b k+ + b k )x k + b k = b k ( µ k k ( µa k x k = µ + ) + = b k µ k = µa k, jolloin a k x k) = µs(x) x ], [. Olkoon g(x) = S(x)( + x) µ, kun x <. Tällöin kaikilla x ], [ on g (x) = S (x)( + x) µ + S(x)( µ)( + x) µ = ( + x) µ [( + x)s (x) µs(x)] = ( ), joten g(x) = C = vakio. Koska C = g() = S() =, niin S(x) = ( + x) µ, kun x < Esimerkkejä. ) Tuttu geometrinen sarja on myös binomisarja: kun x <, niin + x = ( + x) = x + ( )( 2) x 2 + ( )( 2)( 3) x ! 3! = x + x 2 x ) Kun x <, niin + x = ( + x) /2 = + = 2 x x x ( 2 )( 2 )... ( 2 k + ) x k 3) Funktiolle x arc sin x saadaan sarjakehitelmä, koska sen derivaatta voidaan kehittää binomisarjaksi. t 2 = ( t2 ) /2 = + ( 2 )( 2 )... ( 2 k + ) ( t 2 ) k = + 2 t t t6 +..., t < x dt = arc sin x = = t 2 = x + 2 x x x , x <. 9

20 4.9. Juurien likiarvot. Olkoon a > ja n N. Muodostettava sarjakehitelmä luvulle n a ja etsittävä sen avulla likiarvo juurelle n a. Olkoon q luvun n a likiarvo ja merkitään r = a q n ja α = r. Kun lähtökohdaksi valitaan qn niin tarkka likiarvo, että α <, niin binomisarjasta saadaan n a = a /n = (r + q n ) /n = q( + α) /n = q [ + n α + n ( n ) α 2 + 2! ja tästä voidaan laskea likiarvoja juurelle n a. n ( n )( n 2) 3! ] α Esim. Etsittävä sarjakehitelmä luvulle 3 ja laskettava sen avulla 3:n likiarvo 4 :n tarkkuudella. Ratk. Valitaan q = 7/4 =, 75, jolloin α = / = 6 = 7 49 = = 7 4 = 7 [ 2 + ( 2 )... ( 2 k + ) 4 = 7 4 = 7 4 missä < x k = 7 8 < [ 2 [ k=2 49 k=2 ( ) k +k ( ) /2 49 ( ) k ] 49 2 ( 2 )... (k 2 ) ( k ] 49) 3... (2k 3) ( k ] 2 k = 49) (2k 3) ( ) k ( ) k, < kun k 2. Koska (2k) k=n+ x k < k=n+ ( 49 kun n 2, niin riittävällä tarkkuudella on (laskimella 3 =, ). ) k = ( 49 ) n+ 7 x k, k=2 (/49) = 49 n 48 < 4, = 9 =,

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee

Lisätiedot

8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa

8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa 8 Potenssisarjoista 8. Määritelmä Olkoot a 0, a, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.. Muotoa a 0 + a (x c) + a 2 (x c) 2 + olevaa sarjaa sanotaan c-keskiseksi potenssisarjaksi. Selvästi jokainen

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 5: Taylor-polynomi ja sarja

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 5: Taylor-polynomi ja sarja MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 5: Taylor-polynomi ja sarja Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 26.9.2016 Pekka Alestalo,

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kertausluento 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat:. Potenssisarjojen suppenemissäde, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan

Lisätiedot

13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista. Muodosta viidennen asteen Taylorin polynomi kehityskeskuksena origo funktiolle

13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista. Muodosta viidennen asteen Taylorin polynomi kehityskeskuksena origo funktiolle 13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista 13.1. Taylorin polynomi 552. Muodosta funktion f (x) = x 4 + 3x 3 + x 2 + 2x + 8 kaikki Taylorin polynomit T k (x, 2), k = 0,1,2,... (jolloin siis potenssien

Lisätiedot

Luku 4. Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia.

Luku 4. Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia. 1 MAT-1343 Laaja matematiikka 3 TTY 1 Risto Silvennoinen Luku 4 Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia Derivaatan olemassaolosta seuraa funktioille eräitä säännöllisyyksiä Näistä on jo edellisessä luvussa

Lisätiedot

H7 Malliratkaisut - Tehtävä 1

H7 Malliratkaisut - Tehtävä 1 H7 Malliratkaisut - Tehtävä Eelis Mielonen 7. lokakuuta 07 a) Palautellaan muistiin Maclaurin sarjan määritelmä (Taylorin sarja origon ympäristössä): f n (0) f(x) = (x) n Nyt jos f(x) = ln( + x) saadaan

Lisätiedot

MS-A0104 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ELEC2) MS-A0106 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ENG2)

MS-A0104 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ELEC2) MS-A0106 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ENG2) MS-A4 Differentiaali- ja integraalilaskenta (ELEC2) MS-A6 Differentiaali- ja integraalilaskenta (ENG2) Harjoitukset 3L, syksy 27 Tehtävä. a) Määritä luvun π likiarvo käyttämällä Newtonin menetelmää yhtälölle

Lisätiedot

Kompleksianalyysi, viikko 5

Kompleksianalyysi, viikko 5 Kompleksianalyysi, viikko 5 Jukka Kemppainen Mathematics Division Kompleksiset jonot Aloitetaan jonon suppenemisesta. Määr. 1 Kompleksiluvuista z 1,z 2,...,z n,... koostuva jono suppenee kohti raja-arvoa

Lisätiedot

infoa Viikon aiheet Potenssisarja a n = c n (x x 0 ) n < 1

infoa Viikon aiheet Potenssisarja a n = c n (x x 0 ) n < 1 infoa Viikon aiheet Tentti ensi viikolla ma 23.0. klo 9.00-3.00 Huomaa, alkaa tasalta! D0 (Sukunimet A-) E204 (Sukunimet S-Ö) Mukaan kynä ja kumi. Ei muuta materiaalia. Tentissä kaavakokoelma valmiina.

Lisätiedot

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI II kevät 2018 Ratkaisut 1. välikokeen preppaustehtäviin. 1. a) Muodostetaan osasummien jono. S n =

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI II kevät 2018 Ratkaisut 1. välikokeen preppaustehtäviin. 1. a) Muodostetaan osasummien jono. S n = MATEMATIIKAN PERUSKURSSI II kevät 208 Ratkaisut. välikokeen preppaustehtäviin. a) Muodostetaan osasummien jono S n = n ( k k) k= josta saadaan = ( 0 ) + ( 2) + ( 2 3) + ( n 2 n ) + ( n n) = n, n =, 2,...,

Lisätiedot

Funktiojonot ja funktiotermiset sarjat Funktiojono ja funktioterminen sarja Pisteittäinen ja tasainen suppeneminen

Funktiojonot ja funktiotermiset sarjat Funktiojono ja funktioterminen sarja Pisteittäinen ja tasainen suppeneminen 4. Funktiojonot ja funktiotermiset sarjat 4.1. Funktiojono ja funktioterminen sarja 60. Tutki, millä muuttujan R arvoilla funktiojono f k suppenee, kun Mikä on rajafunktio? a) f k () = 2k 2k + 1, b) f

Lisätiedot

Matemaattinen Analyysi

Matemaattinen Analyysi Vaasan yliopisto, 009-010 / ORMS1010 Matemaattinen Analyysi 7 harjoitus 1 Määritä seuraavien potenssisarjojen suppenemissäteet a) k k x 5)k b) k=1 k x 5)k = k k 1) k ) 1) Suppenemissäteen R käänteisarvo

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 21.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo

Lisätiedot

Taylorin sarja ja Taylorin polynomi

Taylorin sarja ja Taylorin polynomi Taylorin sarja ja 1 Potenssisarja c k (x a) k = f (x) määrittelee x:n funktion. Seuraavaksi toteamme mikä yhteys potenssisarjalla on sen määrittelemän funktion derivaattoihin f (a),f (a),f (a),f (3) (a),...

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kertausta 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat: 1. Potenssisarjojen suppenemissäe, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan laskeminen

Lisätiedot

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Riikka Korte (Pekka Alestalon kalvojen pohjalta) Aalto-yliopisto 24.10.2016 Sisältö Derivaatta 1.1 Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: I geometrinen

Lisätiedot

Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua.

Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua. 6 Alkeisfunktiot Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua. 6. Funktion määrittely Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon

Lisätiedot

Analyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1

Analyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1 Analyysi III Jari Taskinen 28. syyskuuta 2002 Luku Sisältö Sarjat 2. Lukujonoista........................... 2.2 Rekursiivisesti määritellyt lukujonot.............. 8.3 Sarja ja sen suppenminen....................

Lisätiedot

7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi

7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi 7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi Z p [x]/(m), missä m on polynomirenkaan Z p [x] jaoton polynomi (ks. määritelmä 3.19).

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle / MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 5. viikolle / 9..5. Integroimismenetelmät Tehtävä : Laske osittaisintegroinnin avulla a) π x sin(x) dx,

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 6: Alkeisfunktioista

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 6: Alkeisfunktioista MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 6: Alkeisfunktioista Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 28.9.2016 Pekka Alestalo,

Lisätiedot

Integroimistekniikkaa Integraalifunktio

Integroimistekniikkaa Integraalifunktio . Integroimistekniikkaa.. Integraalifunktio 388. Vertaa funktioiden ln ja ln, b) arctan ja arctan + k k, c) ln( + 2 ja ln( 2, missä a >, derivaattoja toisiinsa. Tutki funktioiden erotusta muuttujan eri

Lisätiedot

funktiojono. Funktiosarja f k a k (x x 0 ) k

funktiojono. Funktiosarja f k a k (x x 0 ) k SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 3 4. Funtiosarjat Tässä luvussa esitettävissä funtiosarjojen tulosissa yhdistämme luujen 3 teoriaa. Esimeri 4.. Geometrinen sarja x suppenee aiilla x ], [ ja hajaantuu

Lisätiedot

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2,

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2, MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 6. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + + + 4, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + +

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 12

Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 12 Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 2 Tenttiin valmentavia harjoituksia Huomio. Tähän tulee lisää ratkaisuja sitä mukaan kun ehin niitä kirjoittaa. Kurssilla käyään läpi tehtävistä niin monta kuin mahollista.

Lisätiedot

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion

Lisätiedot

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Riikka Korte (Pekka Alestalon kalvojen pohjalta) Aalto-yliopisto 15.11.2016 Sisältö Alkeisfunktiot 1.1 Funktio I Funktio f : A! B on sääntö, joka liittää

Lisätiedot

2 Taylor-polynomit ja -sarjat

2 Taylor-polynomit ja -sarjat 2 Taylor-polynomit ja -sarjat 2. Taylor-polynomi Taylor-polynomi P n (x; x 0 ) funtion paras n-asteinen polynomiapprosimaatio (derivoinnin annalta) pisteen x 0 lähellä. Maclaurin-polynomi: tapaus x 0 0.

Lisätiedot

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3. Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin

Lisätiedot

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 7. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + 5 + +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c) +

Lisätiedot

6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset

6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 51 6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt Määritelmä 6.1. Olkoon I R avoin väli. Olkoot p i : I R, i = 0, 1, 2,..., n, ja q : I R jatkuvia

Lisätiedot

Konvergenssilauseita

Konvergenssilauseita LUKU 4 Konvergenssilauseita Lause 4.1 (Monotonisen konvergenssin lause). Olkoon (f n ) kasvava jono Lebesgueintegroituvia funktioita. Asetetaan f(x) := f n (x). Jos f n

Lisätiedot

Ratkaisuehdotus 2. kurssikokeeseen

Ratkaisuehdotus 2. kurssikokeeseen Ratkaisuehdotus 2. kurssikokeeseen 4.2.202 (ratkaisuehdotus päivitetty 23.0.207) Huomioitavaa: - Tässä ratkaisuehdotuksessa olen pyrkinyt mainitsemaan lauseen, johon kulloinenkin päätelmä vetoaa. Näin

Lisätiedot

H5 Malliratkaisut - Tehtävä 1

H5 Malliratkaisut - Tehtävä 1 H5 Malliratkaisut - Tehtävä Eelis Mielonen 30. syyskuuta 07 a) 3a (ax + b)3/ + C b) a cos(ax + b) + C a) Tässä tehtävässä päästään harjoittelemaan lukiosta tuttua integrointimenetelmää. Ensimmäisessä kohdassa

Lisätiedot

MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio

MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio Olkoon a 1 = a 2 = 5 ja a n+1 = a n + 6a n 1 kun n 2. Todista induktiolla, että a n = 3 n ( 2) n, kun n on positiivinen

Lisätiedot

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy Tutki funktion f(x) = x 2 + x 2 jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1.

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy Tutki funktion f(x) = x 2 + x 2 jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1. Analyysi 1 Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy 014 1. Tutki funktion x + x jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1.. Määritä vakiot a ja b siten, että funktio a x cos x + b x + b sin x, kun x 0, x 4, kun x

Lisätiedot

Mat / Mat Matematiikan peruskurssi C3-I / KP3-I Harjoitus 5 / vko 42, loppuviikko, syksy 2008

Mat / Mat Matematiikan peruskurssi C3-I / KP3-I Harjoitus 5 / vko 42, loppuviikko, syksy 2008 Mat-.3 / Mat-.33 Matematiikan peruskurssi C3-I / KP3-I Harjoitus 5 / vko 4, loppuviikko, syksy 8 Ennen malliratkaisuja, muistin virkistämiseksi kaikkien rakastama osittaisintegroinnin kaava: b a u(tv (t

Lisätiedot

Ratkaisuehdotus 2. kurssikoe

Ratkaisuehdotus 2. kurssikoe Ratkaisuehdotus 2. kurssikoe 4.2.202 Huomioitavaa: - Tässä ratkaisuehdotuksessa olen pyrkinyt mainitsemaan lauseen, johon kulloinenkin päätelmä vetoaa. Näin opiskelijan on helpompi jäljittää teoreettinen

Lisätiedot

l 1 2l + 1, c) 100 l=0

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 5. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) 5 + 5 +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c)

Lisätiedot

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Funktiot Tässä luvussa käsitellään reaaliakselin osajoukoissa määriteltyjä funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Avoin väli: ]a, b[ tai ]a, [ tai ],

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ

MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 1 YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 25.9.2017 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ A-osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät 1 4. Tehtävät arvostellaan pistein 0 6. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän

Lisätiedot

Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on

Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: geometrinen (käyrän tangentti sekanttien raja-asentona) fysikaalinen (ajasta riippuvan funktion hetkellinen muutosnopeus) 1 / 19 Derivaatan määritelmä Määritelmä

Lisätiedot

Sarjat ja differentiaaliyhtälöt, harjoitustehtäviä

Sarjat ja differentiaaliyhtälöt, harjoitustehtäviä Sarjat ja differentiaaliyhtälöt, harjoitustehtäviä. L Hospitalin sääntö on tuttu Analyysi :n kurssilta. Se on näppärä keino laskea tiettyjä raja-arvoja, mutta sen käytössä on oltava kuitenkin varovainen.

Lisätiedot

Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: b) 0 e x + 1

Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: b) 0 e x + 1 Tehtävä : Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: a) a) x b) e x + Integraali voisi ratketa muuttujanvaihdolla. Integroitava on muotoa (a x ) n joten sopiva muuttujanvaihto voisi olla

Lisätiedot

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)

Lisätiedot

Numeerinen integrointi ja derivointi

Numeerinen integrointi ja derivointi Numeerinen integrointi ja derivointi Keijo Ruotsalainen Division of Mathematics Interpolaatiokaavat Approksimoitava integraali I = b a f(x)dx. Tasavälinen hila: x i = a+ (b a)i n, i = 0,...,n Funktion

Lisätiedot

Muuttujan vaihto. Viikon aiheet. Muuttujan vaihto. Muuttujan vaihto. ) pitää muistaa lausua t:n avulla. Integroimisen työkalut: Kun integraali

Muuttujan vaihto. Viikon aiheet. Muuttujan vaihto. Muuttujan vaihto. ) pitää muistaa lausua t:n avulla. Integroimisen työkalut: Kun integraali Viikon aiheet Integroimisen työkalut: Rationaalifunktioiden jako osamurtoihin Rekursio integraaleissa CDH: Luku 4, Prujut206: Luvut 4-4.2.5, Prujut2008: s. 89-6 Kun integraali h(x) ei näytä alkeisfunktioiden

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi 2

Matematiikan peruskurssi 2 Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat

Lisätiedot

Tenttiin valmentavia harjoituksia

Tenttiin valmentavia harjoituksia Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.

Lisätiedot

MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Analyysi I Harjoitus alkavalle viikolle Ratkaisuehdotuksia (7 sivua) (S.M)

MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Analyysi I Harjoitus alkavalle viikolle Ratkaisuehdotuksia (7 sivua) (S.M) MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Analyysi I Harjoitus 7. 2. 2009 alkavalle viikolle Ratkaisuehdotuksia (7 sivua) (S.M) Luennoilla on nyt menossa vaihe, missä Hurri-Syrjäsen monistetta käyttäen tutustutaan

Lisätiedot

Sarja. Lukujonosta (a k ) k N voi muodostaa sen osasummien jonon (s n ): s 1 = a 1, s 2 = a 1 + a 2, s 3 = a 1 + a 2 + a 3,...,

Sarja. Lukujonosta (a k ) k N voi muodostaa sen osasummien jonon (s n ): s 1 = a 1, s 2 = a 1 + a 2, s 3 = a 1 + a 2 + a 3,..., Sarja Lukujonosta (a k ) k N voi muodostaa sen osasummien jonon (s n ): Määritelmä 1 s 1 = a 1, s 2 = a 1 + a 2, s 3 = a 1 + a 2 + a 3,..., n s n = a k. Jos osasummien jonolla (s n ) on raja-arvo s R,

Lisätiedot

Funktion määrittely (1/2)

Funktion määrittely (1/2) Funktion määrittely (1/2) Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon a täsmälleen yhden B:n alkion b. Merkitään b = f (a). Tässä A = M f on f :n määrittelyjoukko, B on f :n maalijoukko.

Lisätiedot

RATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu.

RATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu. RATKAISUT 198 197 198. Olkoon suorakulmion erisuuntaisten sivujen pituudet a ja b sekä neliön sivun pituus c. Tehtävä on mielekäs vain, jos suorakulmio ei ole neliö, joten oletetaan, että a b. Suorakulmion

Lisätiedot

2. Fourier-sarjoista. Aaltoliikkeen ja lämmöjohtumisen matemaattinen tarkastelu

2. Fourier-sarjoista. Aaltoliikkeen ja lämmöjohtumisen matemaattinen tarkastelu 2. Fourier-sarjoista Fourier-analyysi: Aaltoliikkeen ja lämmöjohtumisen matemaattinen tarkastelu Matemaattisen analyysin täkein työväline "Jokainen funktio" voidaan esittää harmonisten värähtelyjen, so.

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 19.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa : Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (7) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio

Lisätiedot

2.2.1 Ratkaiseminen arvausta sovittamalla

2.2.1 Ratkaiseminen arvausta sovittamalla 2.2.1 Ratkaiseminen arvausta sovittamalla Esimerkki: lomitusjärjestäminen (edellä) Yleistys: Ratkaistava T (1) c T (n) g(t (1),..., T (n 1), n) missä g on n ensimmäisen parametrin suhteen kasvava. (Ratkaisu

Lisätiedot

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 8. Integraalilauseiden sovelluksia 1. Analyyttisen funktion sarjaesitys. (eli jokainen analyyttinen funktio on lokaalisti suppenevan potenssisarjan

Lisätiedot

Funktioiden approksimointi ja interpolointi

Funktioiden approksimointi ja interpolointi Funktioiden approksimointi ja interpolointi Keijo Ruotsalainen Division of Mathematics interpolaatio-ongelma 8 Eksponenttifunktion exp(x) interpolointi 3.5 Funktion e^{0.25x} \sin(x) interpolointi 7 3

Lisätiedot

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Syksy Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko A = x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu.

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Syksy Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko A = x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu. Analyysi Harjoituksia lukuihin 3 / Syksy 204. Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko { 2x A = x ]4, [. x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu. 2. Anna jokin ylä- ja alaraja joukoille { x( x) A = x ], [,

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 12 1 Eksponenttifuntio Palautetaan mieliin, että Neperin luvulle e pätee: e ) n n n ) n n n n n ) n. Tästä määritelmästä seuraa, että eksponenttifunktio e x voidaan

Lisätiedot

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö Funktion kasvavuus ja vähenevyys; paikalliset ääriarvot Jos derivoituvan reaalifunktion f derivaatta tietyssä pisteessä on positiivinen, f (x 0 ) > 0, niin funktion tangentti

Lisätiedot

Seuraava topologisluonteinen lause on nk. Bairen lause tai Bairen kategorialause, n=1

Seuraava topologisluonteinen lause on nk. Bairen lause tai Bairen kategorialause, n=1 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 115 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin

Lisätiedot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot 3. Funktion raja-arvo ja jatkuvuus 3.1. Reaali- ja kompleksifunktiot 43. Olkoon f monotoninen ja rajoitettu välillä ]a,b[. Todista, että raja-arvot lim + f (x) ja lim x b f (x) ovat olemassa. Todista myös,

Lisätiedot

3 x 1 < 2. 2 b) b) x 3 < x 2x. f (x) 0 c) f (x) x + 4 x 4. 8. Etsi käänteisfunktio (määrittely- ja arvojoukkoineen) kun.

3 x 1 < 2. 2 b) b) x 3 < x 2x. f (x) 0 c) f (x) x + 4 x 4. 8. Etsi käänteisfunktio (määrittely- ja arvojoukkoineen) kun. Matematiikka KoTiA1 Demotehtäviä 1. Ratkaise epäyhtälöt x + 1 x 2 b) 3 x 1 < 2 x + 1 c) x 2 x 2 2. Ratkaise epäyhtälöt 2 x < 1 2 2 b) x 3 < x 2x 3. Olkoon f (x) kolmannen asteen polynomi jonka korkeimman

Lisätiedot

1 sup- ja inf-esimerkkejä

1 sup- ja inf-esimerkkejä Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Nollakohdan olemassaolo. Kaikki tuntevat

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta Eksponenttifuntio Palautetaan mieliin, että Neperin luvulle e pätee: e ) n n n ) n n n n n ) n. Tästä määritelmästä seuraa, että eksponenttifunktio e x voidaan määrittää

Lisätiedot

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS Huomautus. Analyysin yksi keskeisimmistä käsitteistä on jatkuvuus! Olkoon A R mielivaltainen joukko

Lisätiedot

Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x 1 ja x 2 on voimassa ehto:

Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x 1 ja x 2 on voimassa ehto: 4 Reaalifunktiot 4. Funktion monotonisuus Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x ja x on voimassa ehto: "jos x < x, niin f (x

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät

Numeeriset menetelmät Numeeriset menetelmät Luento 7 Ti 27.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 7 Ti 27.9.2011 p. 1/39 p. 1/39 Interpolointi Ei tunneta funktion f : R R lauseketta, mutta tiedetään funktion

Lisätiedot

ANALYYSI 3. Tero Kilpeläinen

ANALYYSI 3. Tero Kilpeläinen ANALYYSI 3 Tero Kilpeläinen Luentomuistiinpanoja syksyltä 2005 14. helmikuuta 2014 Sisältö 1. Esitietoja 2 1.1. Riemann-integraali............................ 2 1.2. Derivaatta.................................

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 2. viikolle /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 2. viikolle / MS-A008 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/207 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 2. viikolle / 8. 2.4. Jatkuvuus ja raja-arvo Tehtävä : Määritä raja-arvot a) 3 + x, x Vihje: c)-kohdassa

Lisätiedot

0. Kertausta. Luvut, lukujoukot (tavalliset) Osajoukot: Yhtälöt ja niiden ratkaisu: N, luonnolliset luvut (1,2,3,... ) Z, kokonaisluvut

0. Kertausta. Luvut, lukujoukot (tavalliset) Osajoukot: Yhtälöt ja niiden ratkaisu: N, luonnolliset luvut (1,2,3,... ) Z, kokonaisluvut 0. Kertausta Luvut, lukujoukot (tavalliset) N, luonnolliset luvut (1,2,3,... ) Z, kokonaisluvut Rationaaliluvut n/m, missä n,m Z Reaaliluvut R muodostavat jatkumon fysiikan lukujoukko Kompleksiluvut C:z

Lisätiedot

Fysiikan matematiikka P

Fysiikan matematiikka P Fysiikan matematiikka 763101P Luennoija: Kari Rummukainen, Fysikaalisten tieteiden laitos Tavoite: tarjota opiskelijalle nopeasti fysikaalisten tieteiden tarvitsemia matematiikan perustietoja ja taitoja.

Lisätiedot

Ratkaisu: Tutkitaan derivoituvuutta Cauchy-Riemannin yhtälöillä: f(x, y) = u(x, y) + iv(x, y) = 2x + ixy 2. 2 = 2xy xy = 1

Ratkaisu: Tutkitaan derivoituvuutta Cauchy-Riemannin yhtälöillä: f(x, y) = u(x, y) + iv(x, y) = 2x + ixy 2. 2 = 2xy xy = 1 1. Selvitä missä tason pisteissä annetut funktiot ovat derivoituvia/analyyttisiä. Määrää funktion derivaatta niissä pisteissä, joissa se on olemassa. (a) (x, y) 2x + ixy 2 (b) (x, y) cos x cosh y i sin

Lisätiedot

Viikon aiheet. Funktion lineaarinen approksimointi

Viikon aiheet. Funktion lineaarinen approksimointi Viikon aiheet Funktion ääriarvot Funktion lineaarinen approksimointi Vektorit, merkintätavat, pituus, yksikkövektori, skalaarilla kertominen, kanta ja kannan vaihto Funktion ääriarvot 6 Väliarvolause Implisiittinen

Lisätiedot

MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS

MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS f ( n) JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS n Funktionaalianalyysi Ei harjoituksia 1.4.2015 Funktionaalista viihdettä pääsiäistauolle: viikolla 14 (ma 30.3., ti 31.3. ja ke 1.4.)

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (5) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Momenttiemäfunktio Diskreettien jakaumien momenttiemäfunktioita

Lisätiedot

Monisteessa määritellään integraalifunktio ja esitetään perusominaisuuksia. Tässä pari esimerkkiä. = x x3 + 2 x + C.

Monisteessa määritellään integraalifunktio ja esitetään perusominaisuuksia. Tässä pari esimerkkiä. = x x3 + 2 x + C. Integraalifunktio Integraalifunktion määritelmä Monisteessa määritellään integraalifunktio ja esitetään perusominaisuuksia Tässä pari esimerkkiä On integroitava funktio + 5 + / Saadaan ( + 5 + ) + 5 +

Lisätiedot

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 9 Korkeamman asteen derivaatat Tutkitaan nyt funktiota f, jonka kaikki derivaatat on olemassa. Kuten tunnettua, funktion toista derivaattaa pisteessä x merkitään f (x).

Lisätiedot

Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77

Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77 Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07 Kertaus K. a) sin 0 = 0,77 b) cos ( 0 ) = cos 0 = 0,6 c) sin 50 = sin (80 50 ) = sin 0 = 0,77 d) tan 0 = tan (0 80 ) = tan 0 =,9 e)

Lisätiedot

Luento 8: Epälineaarinen optimointi

Luento 8: Epälineaarinen optimointi Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori 0 = (0,..., 0). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään

Lisätiedot

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI II

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI II MTEMTIIKN PERUKURI II Harjoitustehtäviä kevät 17 1. Tutki, suppenevatko seuraavat lukujonot: a) d) ( k ) + 5 k, b) k 1 x 5 dx, e) ( ln(k + 1) k ), c) k 1 cos(πx) dx, f) k e x dx, 1 k e k k kx dx.. Olkoon

Lisätiedot

LUKU 3. Ulkoinen derivaatta. dx i 1. dx i 2. ω i1,i 2,...,i k

LUKU 3. Ulkoinen derivaatta. dx i 1. dx i 2. ω i1,i 2,...,i k LUKU 3 Ulkoinen derivaatta Olkoot A R n alue k n ja ω jatkuvasti derivoituva k-muoto alueessa A Muoto ω voidaan esittää summana ω = ω i1 i 2 i k dx i 1 dx i 2 1 i 1

Lisätiedot

Vastausehdotukset analyysin sivuainekurssin syksyn välikokeeseen

Vastausehdotukset analyysin sivuainekurssin syksyn välikokeeseen Vastausehdotukset analyysin sivuainekurssin syksyn 015 1. välikokeeseen Heikki Korpela November 1, 015 1. Tehtävä: funktio f : R R toteuttaa ehdot ax, kun x 1 f(x) x + 1, kun x < 1 Tutki, millä vakion

Lisätiedot

Luento 8: Epälineaarinen optimointi

Luento 8: Epälineaarinen optimointi Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori = (,..., ). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään

Lisätiedot

Mapu I Laskuharjoitus 2, tehtävä 1. Derivoidaan molemmat puolet, aloitetaan vasemmasta puolesta. Muistetaan että:

Mapu I Laskuharjoitus 2, tehtävä 1. Derivoidaan molemmat puolet, aloitetaan vasemmasta puolesta. Muistetaan että: Mapu I Laskuharjoitus 2, tehtävä 1 1. Eräs trigonometrinen ientiteetti on sin2x = 2sinxcosx Derivoimalla yhtälön molemmat puolet x:n suhteen, joha lauseke cos 2x:lle. Ratkaisu: Derivoiaan molemmat puolet,

Lisätiedot

7. Tasaisen rajoituksen periaate

7. Tasaisen rajoituksen periaate 18 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin

Lisätiedot

Sarjat ja differentiaaliyhtälöt

Sarjat ja differentiaaliyhtälöt Sarjat ja differentiaaliyhtälöt Johdanto Tämä luentomoniste on tarkoitettu korvaamaan luentomuistiinpanoja Sarjat ja differentiaaliyhtälöt-kurssilla. Tämä ei kuitenkaan ole oppikirja, mikä tarkoittaa sitä,

Lisätiedot

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Tentti ja välikokeiden uusinta

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Tentti ja välikokeiden uusinta MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Tentti ja välikokeiden uusinta 8..206 Gripenberg, Nieminen, Ojanen, Tiilikainen, Weckman Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi

Lisätiedot

1.7 Gradientti ja suunnatut derivaatat

1.7 Gradientti ja suunnatut derivaatat 1.7 Gradientti ja suunnatut derivaatat Funktion ensimmäiset osittaisderivaatat voidaan yhdistää yhdeksi vektorifunktioksi seuraavasti: Missä tahansa pisteessä (x, y), jossa funktiolla f(x, y) on ensimmäiset

Lisätiedot

ANALYYSI 3 HELI TUOMINEN

ANALYYSI 3 HELI TUOMINEN ANALYYSI 3 HELI TUOMINEN Alkusanat Tässä on muistiinpanot syksyllä 202 luennoimastani kurssista Analyysi 3. Kurssin pohana on Tero Kilpeläisen luentomoniste samannimiselle kurssille. Tässä monisteessa

Lisätiedot

u(0, t) = 0 kaikille t > 0: lämpötila pidetään vakiona pisteessä x = 0;

u(0, t) = 0 kaikille t > 0: lämpötila pidetään vakiona pisteessä x = 0; 3. Lämmönjohtumisyhtälö I Yksiulotteisessa lämmönjohtumisyhtälössä u t = u γ x tuntematon funktio u = u(x, t) kuvaa lämpötilaa yksiulotteisen kappaleen (ohut sauva; x-akseli) kohdassa x hetkellä t. Kun

Lisätiedot

MS-A010X Differentiaali- ja integraalilaskenta 1

MS-A010X Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 MS-A010X Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Pekka Alestalo Aalto-yliopisto 1.9.2016 Pekka Alestalo (Aalto-yliopisto) MS-A010X Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 1.9.2016 1 / 200 Sisältö Nämä

Lisätiedot

Matematiikan perusteet taloustieteilij oille I

Matematiikan perusteet taloustieteilij oille I Matematiikan perusteet taloustieteilijöille I Harjoitukset syksy 2006 1. Laskeskele ja sieventele a) 3 27 b) 27 2 3 c) 27 1 3 d) x 2 4 (x 8 3 ) 3 y 8 e) (x 3) 2 f) (x 3)(x +3) g) 3 3 (2x i + 1) kun, x

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 2 Lisää osamurtoja Tutkitaan jälleen rationaalifunktion P(x)/Q(x) integrointia. Aiemmin käsittelimme tapauksen, jossa nimittäjä voidaan esittää muodossa Q(x) = a(x x

Lisätiedot

(0 desimaalia, 2 merkitsevää numeroa).

(0 desimaalia, 2 merkitsevää numeroa). NUMEERISET MENETELMÄT DEMOVASTAUKSET SYKSY 20.. (a) Absoluuttinen virhe: ε x x ˆx /7 0.4 /7 4/00 /700 0.004286. Suhteellinen virhe: ρ x x ˆx x /700 /7 /00 0.00 0.%. (b) Kahden desimaalin tarkkuus x ˆx

Lisätiedot

, c) x = 0 tai x = 2. = x 3. 9 = 2 3, = eli kun x = 5 tai x = 1. Näistä

, c) x = 0 tai x = 2. = x 3. 9 = 2 3, = eli kun x = 5 tai x = 1. Näistä Pitkä matematiikka 8.9.0, ratkaisut:. a) ( x + x ) = ( + x + x ) 6x + 6x = + 6x + 6x x = x =. b) Jos x > 0, on x = + x x = + x. Tällä ei ole ratkaisua. Jos x 0, on x = + x x = + x x =. c) x = x ( x) =

Lisätiedot