Hilbertin muunnos ja sen sovelluksia

Transkriptio

1 Hilberin muunno ja en ovellukia LuK-ukielma Olli Sarala Maemaaien ieeiden laio Oulun yliopio Syky 27

2 Siälö Johdano 2 Eiieoja 3. ääarvoinegraali Hilberin muunno reaaliakelilla 4 2. Muunnoken peruominaiuukia Vinoymmeria Kääneimuunno Hilberin muunno EKG-käyrille 3. QRS-kompleki Sydänkäyriä ja muunnokia Lähdelueelo 5 A Malab-koodi 5

3 Johdano Hilberin muunno on inegraalimuunno kuen unneu Fourier- ja Laplacemuunnoke. On vaikea anoa kenen käialaa muunno alunperin on, mua ainakin G.H Hardy käieli iä ämälliei 9-luvun alkupuolella. Eimerkiki inin muunnokaava unneiin jo lähe vuoa aiemmin ja Alfred Tauberin vuoden 89 julkaiua eiinyy Hilberin muunnoken alkumuooa. David Hilber pääyi muunnokeen ukieaan ykikkökiekolla analyyien funkioiden reaali- ja imaginäärioien yheyä. Vuonna 924 Hardy nimei muunnoken Hilberin muunnokeki, jona e nykyään unneaan. Tää ukielmaa uuuaan muun muaa Hilberin muunnoken määrielmään reaaliakelilla, Cauchyn pääarvoinegraalin lakenaan ja odieaan muuamia muunnoken peruominaiuukia. Liäki lopua kaoaan Hilberin muunnoken käyännön ovelamia EKG-käyrien analyoinnia. Läheenä eoriaoaan käyeään päääänöiei eoa ja ovelluoaa 2. Läheinä käyeylle daalle ja daan käielyyn arviuihin yökaluihin ova 3 ja 4. Tukielman kuva on pääoin ehy ie käyäen Malabohjelmaa 5 ja yki on vapaaa käyöä Wikipediaa. 2

4 Eiieoja Yrieään lakea euraava inegraali: 3 dx 2 ε 2 x = lim ε dx 3 2 x + lim ε 2 = lim 2 ε ln(2 x) ε ln ε + ln 2 = lim ε =. 2 x + lim 3 ln(x 2) ε2 2+ε 2 ln + ln ε 2 + lim ε2 2+ε 2 dx Selväi arviaan jokin keino inegraalin arvon määräämieen, illä edellinen ulo on epämääräinen.. ääarvoinegraali Cauchyn pääarvoinegraalilla on uuri merkiy lakeaea edellien kalaiia inegraaleja. Inegroidea funkioia örmäään uein ilaneiiin, miä poiamalla pieni ymmerinen pala inegroimialuea ingulaaripieen ympärilä, voidaan aada määräyä inegraalin arvo ykikäieiei. Tarkaellaan ää kappaleea pääarvoinegraalin määrielyä ja en käyöä eimerkin kaua. Määrielmä.. Olkoon f(x) jakuva reaaliarvoinen funkio reaaliakelilla R. Tällöin inegraalin f(x) dx pääarvoinegraali on f(x) dx = lim R jo raja-arvo on olemaa. Liäki, jo niin a, b, c R, a < b < c, c jo raja-arvo on olemaa. a b a R R f(x) dx = ± ja b ε f(x) dx = lim f(x) dx + ε + a f(x) dx, c b c b+ε f(x) dx =, f(x) dx, 3

5 Eimerkki.2. Ny enimmäinen inegraali aadaan lakeua euraavai: 3 dx 2 ε 2 x = lim ε = lim ε = lim ε = ln 2. dx 3 2 x + dx 2+ε 2 x 2 ε ln(2 x) 3 ln(x 2) 2+ε ln ε + ln 2 ln + ln ε Eimerkki.3. Tiedeään, eä inegroidea funkioa f(x) = x reaaliakelin yli, päädyään ongelmaan pieeä x = ja läheyäeä ääreönä. Lakeaan ämä ny käyäen hyväki pääarvoinegraalia. dx x = lim R ε + = lim R ε + ε R dx R x + +ε dx x = lim R ε + ln ε ln R + ln R ln ε ln x =. ε R + ln x Liäki määriellään vielä ukielmaa eiinyvä merkkifunkio gn(x). R ε Määrielmä.4., x > gn(x) =, x =, x <. 2 Hilberin muunno reaaliakelilla Rajoiuaan arkaelemaan Hilberin muunnoa reaaliakelilla, reaaliarvoiilla analyyiillä funkioilla. Tuuuaan ää kappaleea ukielman pääaiheen määrielmään ja lakeaan havainnolliavia eimerkkejä. Liäki nähdään, mien pääarvoinegraali liiyy aiheeeen. Huomion arvoia on, eei kirjalliuudea Hilberin muunnoken määrielmää ole äyä ykimieliyyä. Riippuen eokea, voi loppuuloke vaihdella ±-merkin oala. Määrielmä 2.. Olkoon f inegroiuva reaaliarvoinen funkio. Tällöin funkion f Hilberin muunno pieeä x R on Hf(x) = π f()d x. 4

6 Muunnokea ii kerroaan funkioa f ydinfunkiolla k(x, ) = π(x ) ja lakeaan ulon pääarvoinegraali koko reaaliakelin yli. Siihen, uppeneeko muunno mihinkään järkevään loppuulokeen, ei määrielmää oea kanaa. Lähdeään liikkeelle melko ykinkeraiea apaukea. Eimerkki 2.2. Olkoon c(x) = c vakiofunkio. Tällöin ekemällä muuujanvaihdo x = ja hyödynäen Eimerkin.3 uloa aadaan Hc(x) = π cd x = c π d = c π =. Vakiofunkion muunno on ii nolla. Lakeaan euraavaki muunno hieman vaikeammalle apaukelle. α, α >. Hyödynämällä oamuroha- α 2 +x 2 Eimerkki 2.3. Olkoon f(x) = joelmaa aadaan Ny eli (α )(x ) = α 2 + x 2 x + Hf(x) = π = α π α 2 + x 2 αd (α 2 + x 2 )(x ) d x + x x α α d α d. 2 α d x = d ( ) x α 2 + = x lim 2 R α arcan R = πx α R α d α 2 + = 2 2 lim ln(α ) ε + ln(α ) R = R R ε ε + Hf(x) = α π πx = α 2 + x 2 α x α 2 + x 2. Kaoaan euraavaki Hilberin muunnoa rigonomerielle funkiolle. Tarkaelun ykinkeraiamieki eieään enin lemmana kaki unneua pääarvoinegraalia ja odieaan ne. 5

7 Lemma 2.4. Olkoon α R. Tällöin co(α)d Todiu. Olkoon α R. Tällöin co(α)d = lim R ε + = lim R ε + =, ε R R ε co(α)d in(α)d co(α)d + R + = gn(α)π. ε R ε co(α)d co(α)d mikä ooiaa enimmäien oan. Ny 6,.7 on odieu, eä in(x)dx x = π 2. Olkoon ny α >, jolloin muuujanvaihdokella α = aadaan in(α)d Jo α <, niin amaan apaan in(α)d Viimeienä α =, jolloin = 2 = 2 = 2 in(α)d α in() d α = 2 π 2 = π. α in() d α in()d = = 2 π 2 = π. d =. =, Eimerkki 2.5. Olkoon g(x) = co αx, α >. Hyödynämällä idenieeiä co(α β) = co α co β + in α in β ja Lemmaa 2.4 aadaan muuujanvaihdokella x = Hg(x) = π co αd = x π co(αx α)d co αx co(α)d in αx in(α)d = + π π in αx = π = in αx. π 6

8 2. Muunnoken peruominaiuukia Lakeaea muunnokia voi olla hyödylliä unea joiain en peruominaiuukia. Mielenkiinoiia kyymykiä ova muun muaa, mien muunno kuvaa funkion derivaaaa ai oaa huomioon en parieein. Oeaan ny muuamia valikoiuja peruominaiuukia laueena ja odieaan ne. Laue 2.6. Olkoon Hf(x) = g(x), Hf (x) = g (x), Hf 2 (x) = g 2 (x) ja a, a, a 2 R. Tällöin Hilberin muunnokelle on voimaa. Ha f (x) + a 2 f 2 (x) = a g (x) + a 2 g 2 (x) 2. Hf(x a) = g(x a) 3. Hf(ax) = gn(a)g(ax) d 4. n g(x) = H d n f(x) dx n dx n 5. Jo f(x) parillinen, niin g(x) parion 6. Jo f(x) parion, niin g(x) parillinen. Todiu. Olkoon Laueen 2.6 oleuke voimaa. Tällöin. Inegraalin lineaariuuden nojalla Ha f (x) + a 2 f 2 (x) = π = a π = a g (x) + a 2 g 2 (x). a f () + a 2 f 2 ()d x f ()d x + a 2 π 2. Tekemällä muuujanvaihdo a = aadaan f 2 ()d x Hf(x a) = π = g(x a). f( a)d x = π f()d (x a) 3. Olkoon a >. Tekemällä muuujanvaihdo a = aadaan Hf(ax) = π f(a)d x = π f()d ax = g(ax). 7

9 Toiaala, jo a <, niin ekemällä muuujanvaihdo a = aadaan Hf(ax) = π f(a)d = x π f()d ax = π f()d ax = g(ax). Lopuki, jo a =, niin kyeeä on vakion muunno ja H f(ax) =. Sien Hf(ax) = gn(a)g(ax). 4. Todiu indukiolla: Oleeaan, eä funkion f n: derivaaa on inegroiuva. Aloieaan apaukea k =. Tekemällä muuujanvaihdo x = ja palauamalla = x derivoinnin jälkeen aadaan g (x) = d dx Hf(x) = d dx π = π f (x )d f()d x = d dx π = π f ()d x = Hf (x). f(x )d Oleeaan euraavaki, eä väie on oi, kun k = n, oiin anoen d n d n g(x) = H f(x). dxn dxn Olkoon ny k = n, jolloin indukio-oleuken nojalla amoilla muuujan vaihdokilla kuin k = apaukea aadaan d n dx g(x) = d d n d d n g(x) = n dx dxn dx H f(x) dxn = d d n dx π f(x )d dx n = π d n = H dx f(x). n Sien indukioperiaaeen nojalla väie on oi. d n dx n f(x )d 5&6. arieeia varen on muokaava Hilberin muunnoken määrielmän lauekea euraavai: Hf(x) = π f()d x = π f()d x + π f()d x = π f( )d + x + π f()d x = f() π x + f( ) d. x + 8

10 Jo funkio f on parillinen, eli f( x) = f(x), niin Hf(x) = f() π x + f( ) d = π f() x + x + f() d x + = 2x π f()d x 2, 2 mikä on parion. Jo aa funkio f on parion, eli f( x) = f(x), niin Hf(x) = f() π x + f( ) d = π f() x + x f() d x + = 2 π f()d x 2, 2 mikä on parillinen. Todeakoon, eä parieein odiukea johdeu kaava voiva olla käyännön ovelluen kannala mielekkäämpiä kuin yleinen määrielmä. Jo haluaan muunaa, eimerkiki miaua ajaa riippuvaa ignaalia, on loogiempaa aeaa aloiu ajanhekeen = kuin =. Liäki parieeikaavoilla on mahdollia vähenää lakuia arviavia välivaiheia, jo iedeään muunneavan funkion parieei. 2.2 Vinoymmeria Tarkaellaan euraavaki Hilberin muunnoken vinoymmeriaominaiuua. Tää voidaan myöhemmin käyää hyväki kääneimuunnoken johamiea. Olkoon g funkio, jolle g = Hf eli g(x) = π f()d x. Tällöin voidaan ooiaa käyäen hyväki Hilberin- ja Fourier muunnoken väliä yheyä, eä f(x) = π g()d x. Todiu ivuueaan, illä ooiu vaaii ieoa Fourier muunnokea, johon ää ukielmaa ei yvennyä. Yheydeä euraa kuienkin, eä jo Hf(x) = g(x), niin Hg(x) = f(x) eli muunnokelle on voimaa vinoymmeria. Voidaan anoa, eä funkio f ja g ova kääneiarvoinen pari. 9

11 2.3 Kääneimuunno Johdeaan euraavana Hilberin muunnoken kääneimuunno. Olkoon funkio f anneu. Vinoymmerian nojalla on olemaa funkion f kääneiarvoinen pari g, jolle g(x) = Hf(x). Tällöin Operaaorimerkinnöin jolloin H 2 f(x) = H Hf(x) = Hg(x) = f(x). H 2 = I, H = H. Lakeaan euraavaki havainnolliavia eimerkkejä. kääneimuunno. Hyö- Eimerkki 2.7. Lakeaan funkion g(x) = dynämällä oamurohajoelmaa (α )(x ) = x α 2 + x 2 x + aadaan Hg(x) = π = π α 2 + x 2 d (α )(x ) x Ny Eimerkin 2.3 mukaiei joia euraa, eä Sien d x + x x x α 2 d α = α d x = d α 2 + = 2 x α 2 +x 2 x α α2 α d α 2 + α 2 d. 2 α αd α = απ Hg(x) = π α 2 + x απ = α 2 α 2 + x. 2 H g(x) = Hg(x) = α α 2 + x 2.

12 Lakeaan vielä ovellua varen inifunkion muunno hyödynämällä kääneimuunnoa. Eimerkki 2.8. Eimerkiä 2.5 lakeiin, eä H co(αx) = in(αx). Tällöin oamalla muunno puoliain aadaan H in(αx) = H 2 co(αx) = co(αx). Todeakoon, eä operaaori merkinnöiä voidaan lakea Hilberin muunnoken ominaiarvo. Olkoon Hf = λf. Tällöin oamalla muunno puoliain aadaan H 2 f = λhf, eli Sien f = λ 2 f. λ 2 = λ = ±i. Tää voidaan hyödynää käyännön lakennaa määriämällä analyyinen ignaali h() = f() + ig(), miä funkio f ja g = Hf ova reaali- ja kääneiarvoie. Tällöin ignaalin h Hilberin muunno aadaan keromalla oikeaa puola i:llä. Liäki reaaliarvoinen ignaali f on aau laajenneua komplekieki. 3 Hilberin muunno EKG-käyrille Hilberin muunnokelle löyyy käyännön ovellukia muun muaa ignaalianalyyiä. Syvennyään ää kappaleea iihen, mien muunnoa voidaan käyää EKG-käyrien analyoiniin. Aloieaan pienellä johdaelulla. Tarkaellaan jakuvaa ignaalia f() = in ja en muunnoa g() = co. Jo piirreään ignaalien kuvaaja (f, g)-koordinaaioon, aadaan yki äeinen ympyrä (Kuva ). Voidaan ii oleaa, eä amankalainen käyö voii olla voimaa jakuville, periodiille ignaaleille. 3. QRS-kompleki QRS-komplekilla arkoieaan ydänähkökäyrää eiinyvää erävää piikkiä (Kuva 2). Ei mennä yvemmälle muihin kuvaajaa eiinyviin ilmiöihin, mua huomaaan piikin yhdennäköiyy Diracin delafunkion kana. Voidaan ooiaa, eä delafunkiolle päee f()δ( x)d = f(x), δ( x) = δ(x).

13 co(x) in(x) in x H in x Hδ(x) = π = x δ()d x = π δ( x)d = πx x

14 3.2 Sydänkäyriä ja muunnokia EKG, eli ydänähkökäyrä on ydämen oiminnan ähköieä miaukea aaava käyrä, joa voidaan ajaella ajaa riippuvana analyyienä ignaalina. Tarkaellaan ny kaha oikeila koehenkilöilä aaua miaudaaa 4. Sydämen ykkeen vuoki käyrän muodoa on havaiavia periodiuua ja amankalaia käyöä kuin iniaalloa (Kuva 3). Käyrälle on mahdollia mv.5 mv Kuva 3: Kahden henkilön miaudaa. ehdä numeeriei Hilberin muunno (Kuva 4). Nähdään, kuinka jokainen ydänkäyrän piikki on muununu :n kalaieki pulin ajanhekeä vaaavaan kohaan. iirreään vielä muunneuia- ja muunamaomia ignaa- x leia kuvaaja kuen ignaalin f() apaukea (Kuva 5) Kuva 4: Hilber muunneu miaudaa. Ny nähdään, eei kuvaaja ole enää niin iii, kuin inifunkiolla. Havaiavia on kuienkin muoo, joa kuvaaja noudaaa pienellä variaaiolla. 3

15 oikkeama perumuodoa johuva lyönienväliiä pieniä vaiheluia, ja ova iä uurempia miä kauempana aarymiä, ai voimakkuudea, lyönni ova. Tää ominaiuua voidaan käyää ydänähkökäyrien analyoiniin ieokoneella, muun muaa rymihäiriöiden havaiemieen uurea määrää miaukia. Liäki muunnoken avulla on mahdollia ehdä ydämen oiminaa reaaliajaa euraavia algorimejä, joka voiva anaa eimerkiki varoiuken, jo havaiaan poikkeamaa ieyiä viiearvoia. Hilberin muunno on ehoka havaiemaan QRS-muodon delafunkion Kuva 5: Muunamaoma ja Hilber muunneu käyrä amaa kuvaa. muunnoken anioa, muei kuienkaan ole äydellinen. Jo puli on liian pieni verrauna ignaalin häiriöihin, voi e edelleen jäädä havaiemaa, riippuen ieyi iiä, mien poikkeamaa miaava algorimi on kirjoieu. Ei kuienkaan mennä aiheea yvemmälle. 4

16 Lähdelueelo F W King: Hilber ranform, vol.. Cambridge Univeriy re, M Klingpor: Hilber Tranform: Mahemaical heory and applicaion o ignal proceing. Linköping Univeriy, 25 3 Taddei A, Diane G, Emdin M, iani, Moody GB, Zeelenberg C, Marchei C: The European ST-T Daabae: andard for evaluaing yem for he analyi of ST-T change in ambulaory elecrocardiography, European Hear Journal 3: (992) 4 Goldberg AL, Amaral LAN, Gla L, Haudor JM, Ivanov Ch, Mark RG, Mieu JE, Moody GB, eng C-K, Sanley HE, hyiobank, hyiotoolki, and hyione: Componen of a New Reearch Reource for Complex hyiologic Signal Circulaion (23):e25-e22 Circulaion Elecronic age; hp://circ.ahajournal.org/conen//23/e25.full; 2 (June 3) 5 Silva, I, Moody, G. "An Open-ource Toolbox for Analying and roceing hyione Daabae in MATLAB and Ocave."Journal of Open Reearch Sofware 2():e27 hp://dx.doi.org/.5334/jor.bi ; 24 (Sepember 24). 6 Oborne A D, Complex variable and heir applicaion, Addion Weleg, 999. A Malab-koodi ~,config=wfdbloadlib; N=; m,ecg=rdamp('daa',,n); figure;plo(m,ecg,'k'); axi equal; xlabel ''; ylabel 'mv'; prin('-depc2','kuva.ep') au,cmdou=yem('epopdf kuva.ep'); Käyey daa: 'e3','e5' 5