Potenssisarja, suppenemissäde. Potenssisarja ja derivointi. Potenssisarja ja analyyttiset funktiot. Potenssisarja ja integrointi.

Transkriptio

1 Matematiikan peruskurssi KP3 I OSA 4: Taylorin sarja, residymenetelmä A.Rasila J.v.Pfaler 26. syyskuuta 2007 Kompleksista sarjoista Jono, suppeneminen, summasarja Potenssisarja, suppenemissäde ja analyyttiset funktiot Taylorin sarja Taylorin lause Esimerkkejä sarjaesityksistä Laurentin lause 2 Analyyttisen funktion singulariteetit Singulariteettien luokittelu Nollakohta, kertaluku 3 Residymenetelmä Residyjen laskeminen A.Rasila, J.v.Pfaler () KP3 Kompleksiluvut 26. syyskuuta 2007 / 30 A.Rasila, J.v.Pfaler () KP3 Kompleksiluvut 26. syyskuuta / 30 Kertausta, suppeneva jono, summasarja Jonoompleksilukuja z, z 2,... merkitään (z n ). Jono (z n ) suppenee kohden lukua c, jos kaikilla ε > 0 on olemassa sellainen N, että z n c < ε, kun n > N. Merkitään lim n z n = c tai z n c, Sanomme, että jono hajaantuu jos se ei suppene. Tutkitaan jonoa s n = z + z z n. Jos jono (s n ) suppenee, eli lim n s n = s, niin kirjoitetaan Esimerkkejä sarjoista Jono,,,,... eli () suppenee. Sarja () hajaantuu. Jono (i k ) hajaantuu: s 4k =, s 4k+ = i, s 4k+2 =, s 4k+3 = i. Sarja (z k ) suppenee, zk = z, kun z <. s = z m = z + z 2 + z , m= jutsutaan lukua s sarjan (z n ) summaksi.. A.Rasila, J.v.Pfaler () KP3 Kompleksiluvut 26. syyskuuta / 30 A.Rasila, J.v.Pfaler () KP3 Kompleksiluvut 26. syyskuuta / 30

2 Potenssisarja, suppenemissäde Potenssisarja on sarja, joka on muotoa a n (z z 0 ) n = a 0 + a (z z 0 ) + a 2 (z z 0 ) Lukua z 0 sanotaan sarjan kehityskeskukseksi tai keskukseksi. Potenssisarja suppenee kiekossa D = {z : z z 0 < r} (uniformisti) jollakin r 0. Suurinta lukua R = sup r, jolla sarja suppenee, kutsutaan sarjan suppenemissäteeksi. R = lim a n { }. n a n+ Sarja hajaantuu suljetun kiekon ulkopuolella z D eli z z 0 > R. Potenssisarja ja derivointi Termeittäin derivoidulla potenssisarjalla d dz (z z 0) k = k (z z 0 ) k k= on sama suppenemissäde kuin alkuperäisellä sarjalloska (k ) lim k k = lim( k ) = lim = R Termeittäin derivoidun sarjan summa on sarjan summan derivaatta (yhteisessä suppenemisalueessaan): f (z) := (z z 0 ) k f (z) = k= d dz (z z 0) k Huomaa summausindeksin muutos sarjassa. A.Rasila, J.v.Pfaler () KP3 Kompleksiluvut 26. syyskuuta / 30 A.Rasila, J.v.Pfaler () KP3 Kompleksiluvut 26. syyskuuta / 30 Potenssisarja ja analyyttiset funktiot Potenssisarja ja integrointi Potenssisarjaa f (z) voidaan integroida termeittäin, kaikilla z D: Seuraus Potenssisarjan summa (z z0) k on analyyttinen funktio suppenemisalueessaan. f (z) dz = f (z) := mielivaltaiselle käyrälle D. (z z 0 ) k (z z 0 ) k dz = k + (z z 0) k+ A.Rasila, J.v.Pfaler () KP3 Kompleksiluvut 26. syyskuuta / 30 A.Rasila, J.v.Pfaler () KP3 Kompleksiluvut 26. syyskuuta / 30

3 Potenssisarja ja analyyttiset funktiot... Derivoimalla potenssisarjaa f (z) := (z z 0 ) k saadaan suppenemisalueessa f (n) (z) = = k=n = n! a n + d n dz n (z z 0) k k! (k n)! (z z 0 ) k n k= joten kun z = z 0, erityisesti a 0 = f (z 0 ) ja yleisesti a n = n! f (n) (z 0 ). (k + n)! a n+k (z z 0 ) k k! Taylorin sarja Funktion f (z) kompleksinen Taylorin sarjehityskeskuksessa z 0 on a n (z z 0 ) n, missä a n = n! f (n) (z 0 ). n= auchyn integraalilauseen nojalla toisaalta a n = f (w) dw, 2πi (w z 0 ) n+ missä f on analyyttinen yhdesti yhtenäisessä alueessa D ja integrointi suoritetaan vastapäivään pitkin yksinkertaista suljettua polkua D, joka sulkee sisäänsä pisteen z 0. Jos z 0 = 0, niin Taylorin sarjautsutaan Maclaurinin sarjaksi. A.Rasila, J.v.Pfaler () KP3 Kompleksiluvut 26. syyskuuta / 30 A.Rasila, J.v.Pfaler () KP3 Kompleksiluvut 26. syyskuuta / 30 Taylorin lause Esimerkki, geometrinen sarja Lause Oletetaan, että f (z) on analyyttinen alueessa D, z 0 D. Tällöin on olemassa täsmällen yksi Taylorin sarja, jonkeskipiste on z 0, joka edustaa funktiota f (z). Sarja suppenee kaikissa z 0 -keskisessä kiekossa jossa f on analyyttinen. B(z 0, r) := {z : z z 0 < r}, Taylorin sarjan kertoimet toteuttavat epäyhtälön r n a n max{ f (z) : z z 0 = r}. Tarkastellaan funktiota /( z) kehityskeskuksena z 0 = 0. Saadaan f (n) (z) = n!/( z) n+ ja c n = n! f (n) (0) =. Maclaurinin sarjaksi saadaan z = z n = + z + z Suppenemissäde R =. Toisaalta f :llä on singulariteetti pisteessä z =. Tämä piste on suppenemisäteisen kiekon reunalla. Todistus. Sivuutetaan A.Rasila, J.v.Pfaler () KP3 Kompleksiluvut 26. syyskuuta 2007 / 30 A.Rasila, J.v.Pfaler () KP3 Kompleksiluvut 26. syyskuuta / 30

4 Esimerkki, geometrinen sarja... Esimerkki, geometrinen sarja... Tarkastellaan funktiota /( z) kehityskeskuksena z 0 =. Saadaan f (n) (z) = n!/( z) n+ ja c n = n! f (n) ( ) = 2 n, Taylor sarjaksi pisteessä z 0 = saadaan z = (z + ) n 2 n+ = 2 + z + (z + ) Suppenemissäde R = lim 2 n 2 n = 2. Toisaalta f :llä on singulariteetti pisteessä z =. Tämä piste on suppenemisäteisen kiekon reunalla, z 0 = 2. Tarkastellaan funktiota /( z) kehityskeskuksena z 0 = i. Saadaan f (n) (z) = n!/( z) n+ ja c n = n! f (n) ( i) = ( + i) n. Taylor sarjaksi pisteessä z 0 = i saadaan z = ( + i) n (z + i) n Suppenemissäde R = lim n (+i) n+ (+i) n = limn + i = 2. Toisaalta f :llä on singulariteetti pisteessä z =. Tämä piste on suppenemisäteisen kiekon reunalla, z 0 = 2. A.Rasila, J.v.Pfaler () KP3 Kompleksiluvut 26. syyskuuta / 30 A.Rasila, J.v.Pfaler () KP3 Kompleksiluvut 26. syyskuuta / 30 Esimerkki 2, eksponenttifunktio Tarkastellaan funktiota e z. Funktio f on kokonainen (entire) eli analyyttinen koko kompleksitasossa, ja f (z) = e z. Maclaurinin sarjaksi, z 0 = 0, saadaan e z = jonka suppenemissäde on z n n! = + z + z2 2! + z3 3! +... (n + )! R = lim = lim (n + ) = n n! n Laurentin lause Lause 3 Oletetaan, että f (z) on analyyttinen kahden samankeskisen ympyrän, 2 väliin jäävässä alueessa D = {z : r < z z 0 < r 2 }. Tällöin f : D voidaan esittää Laurentin sarjana n= a n (z z 0 ) n Huomaa indeksointi! Sarjan kertoimet a n saadaan kaavasta a n = f (w) dw, 2πi (w z 0 ) n+ missä integrointi suoritetaan vastapäivään pitkin polkua, joka kiertää sisemmän ympyrän kerran vastapäivään alueessa D. Todistus. Sivuutetaan. A.Rasila, J.v.Pfaler () KP3 Kompleksiluvut 26. syyskuuta / 30 A.Rasila, J.v.Pfaler () KP3 Kompleksiluvut 26. syyskuuta / 30

5 Analyyttisen funktion singulariteetit Singulariteettien luokittelu Oletetaan, että f (z) ei ole analyyttinen (mahdollisesti ei edes määritelty) pisteessä z 0. Oletetaan lisäksi, että jokainen z 0 :n ympäristö sisältää pisteitä, joissa f on analyyttinen. Tällöin sanomme pistettä z 0 f (z):n singulaariseksi pisteeksi. Pistettä z 0 kutsutaan f (z):n isoloiduksi singulariteetiksi, jos z 0 :lla on ympäristö, jossa ei ole muita pisteitä, joissa f olisi singulaarinen. Esimerkki: tan z:lla on isoloitu singulariteetti pisteissä ±π/2, ±3π/2,..., mutta tan(/z):lla on ei-isoloitu singulariteetti 0:ssa, sen singulariteetit ovat pisteissä ±2 kπ 0, k =, 3, 5,.... Idea: Laurentin sarjaa voidaan käyttää funktion f (z) isoloitujen singulariteettien luokitteluun pisteessä z 0. n= a n (z z 0 ) n = a n (z z n= 0 ) n }{{} principal part + a n (z z 0 ) n. } {{ } analytical part Jos singulariteetti z 0 on isoloitu, löytyy (riittävän pieni) R jolla sarjaesitys on voimassa alueessa D = {z : 0 < z z 0 < R}. Huomaa että z 0 D. Sarjaesityksen esimmäistä, negatiivisia potensseja sisältävää osaa kutsutaan sarjan olennaiseksi osaksi (principal part). Jälkimmäinen, vain ei negatiivisia exponentteja sisältä osa on analyyttinen funktio, erään funktion Taylor sarja. A.Rasila, J.v.Pfaler () KP3 Kompleksiluvut 26. syyskuuta / 30 A.Rasila, J.v.Pfaler () KP3 Kompleksiluvut 26. syyskuuta / 30 Singulariteettien luokittelu, jatkoa Jos olennaisessa osassa on vain äärellinen määrä termejä, (a n = 0, kun n > m) olennainen osa (principal part) voidaan kirjoittaa äärellisenä summana: a n (z z n= 0 ) n }{{} principal part = a z z a m (z z 0 ) m, (a m 0). f (z):n singulariteettia z 0 kutsutaan f :n navaksi (pole) ja m:ää navan asteeksi. Kun m = sanomme, että kyseessä on yksinkertainen napa (simple pole). Jos olennaisessa osassa on ääretön määrä termejä, singulariteettia kutsutaan olennaiseksi (essential). Ei-isoloituja singulariteetteja ei tarkastella tässä. Lause Olkoon f kompleksimuuttujan kompleksiarvoinen funktio. Seuraavat kolme kohtaa ovat ekvivalentit a) Funktiolla f on napa pisteessä z 0 astetta m. b) Funktiolla f on Laurent esitys pisteen z 0 ympäristössä: k= m (z z 0 ) k jossa a m 0 ja 0 < z z 0 < r jollakin säteellä r > 0. c) Funktio g, { (z z0 ) g(z) = m f (z), z z 0 lim z z0 (z z 0 ) m f (z), z = z 0 on analyyttinen pisteen z 0 avoimessa ympäristössä; 0 z z 0 < r jollakin säteellä r > 0. A.Rasila, J.v.Pfaler () KP3 Kompleksiluvut 26. syyskuuta / 30 A.Rasila, J.v.Pfaler () KP3 Kompleksiluvut 26. syyskuuta / 30

6 Huomaa erityisesti edellä että: a) Napa tarkoittaa että singulariteetti on myös isoloitu. b) Jos esitys on olemassa, mutta a m = 0, sinulariteetti z 0 on korkeintaan astetta m. c) Funktiolla g on Taylor-sarja g(z) = m (z z 0 ) k koska g(z) = (z z 0 ) m k= m (z z 0 ) k (z z 0 ) m c) Jos jo tiedämme, että z 0 on isoloitu singulariteetti, riittää tarkastella raja-arvoa lim(z z0) m f (z). Jos se on määritelty, g on analyyttinen, ja piste on z 0 on singulariteetti korkeintaan astetta m, koska... c) g(z 0 ) = a m. Esimerkki 3 Funktiolla z(z 2) z(z 2)3 = (z 2) 2 z(z 2) 5 on yksinkertainen napa pisteessä z = 0, koska lim z z Vertailun vuoksi: (lim z 0 f (z) ei ole olemassa, ja lim z ei ole olemassa. Funktiolla on kertalukua 5 oleva napa pisteessä z = 2: lim (z + 2(2 z 2 2)5 2)3 2 = 2 0, A.Rasila, J.v.Pfaler () KP3 Kompleksiluvut 26. syyskuuta / 30 A.Rasila, J.v.Pfaler () KP3 Kompleksiluvut 26. syyskuuta / 30 Nollakohta, kertaluku Nollakohta, kertaluku... Analogisesti Laurent -sarjan ja napojen yhteyden kanssa, Analyyttisen funktion nollakohta on piste z 0, jossa f (z 0 ) = 0. Nollakohta on kertalukua m, jos kaikill = 0,..., m f (k) (z 0 ) = 0, ja f (m) (z 0 ) 0. Kertalukua olevia nollakohtiutsutaan myös yksinkertaisiksi. Lause Olkoon funktio f on analyyttinen z 0 ympäristössä. Ekvivalentisti Funktiolla on m-asteen nollakohtohdassa z 0. Funktiolla on Taylor-sarja muotoa (z z 0 ) k, a m 0. k=m Funktio g : z (z z 0 ) m f (z) on analyyttinen z 0 ympäristössä ja g(z 0 ) 0. A.Rasila, J.v.Pfaler () KP3 Kompleksiluvut 26. syyskuuta / 30 A.Rasila, J.v.Pfaler () KP3 Kompleksiluvut 26. syyskuuta / 30

7 Residymenetelmä, johdanto auchyn residymenetelmän etsimme tapaa laskea muotoa f (z) dz, olevompleksinen käyräintegraali. Oletetaan jatkossa, että on suunnattu vastapäivää jiertää kunkin pisteen vain kerran. Tämä vain helpottaa merkintöjä. Residymenetelmä, johdanto... Oletetaan, että f on analyyttinen rajaamalla alueella, lukuunottamatta napoja z, z 2,..., z n. Analyyttisyyden nojalla voimme kirjoittaa, joillekin suljetuille käyrille i, kukin kiertäen vain singulariteetin z i, n f (z) dz = f (z) dz. j j= A.Rasila, J.v.Pfaler () KP3 Kompleksiluvut 26. syyskuuta / 30 A.Rasila, J.v.Pfaler () KP3 Kompleksiluvut 26. syyskuuta / 30 Residymenetelmä, johdanto... jatkuu... Tarkastelaan vain yhtä osakäyrää i. Olkoon z i napertalukua m i. Kehittämällä f Laurent-sarjaksi jossakin muotoa D = {z : 0 < z z i < R i } olevassa alueessa (joka sisältää i :n). saamme f (z) dz = (z z i ) k dz = 2πi a i i k= m i Residyjen laskeminen Lause Jos f :llä on m-kertainen napohdassa z 0 niin Res z=z0 (f ) = lim z z0 g (m ) (z), Merkitsemme a =: Res z=zi f (z). Kutsumme lukua Res z=zi f (z) funktion f residyksi pisteessä z i. Saamme f (z) dz = n j= j f (z) dz = 2πi n Res z=zj f (z) j= Residue (engl,fr); murto-osa, jäljelle jäävä osa (integroinnin jälkeen). jossa g(z) = (z z 0 ) m f (z). A.Rasila, J.v.Pfaler () KP3 Kompleksiluvut 26. syyskuuta / 30 A.Rasila, J.v.Pfaler () KP3 Kompleksiluvut 26. syyskuuta / 30

8 Residyjen laskeminen... Todistus seuraa suoraan Laurent-sarjasta. Olkoon f :llä Laurent sarja (z z 0 ) k k= m tällöin g:llä on Taylor-sarja g(z) = (z z 0 ) m (z z 0 ) k = = m k= m (z z 0 ) k g (k) (z 0 )(z z 0 ) k. Selvästi g (m ) (z 0 ) = a, sillä k m =, jos k = m. Residyjen laskeminen... Vaihtoehtoinen todistus suoraan auchyn integraalilauseella f (z) dz = (z z 0 ) }{{ m (z z 0 ) m f (z) }{{}} =:g(z) singuilar analytic = 2πi g (m ) (z 0 ) dz A.Rasila, J.v.Pfaler () KP3 Kompleksiluvut 26. syyskuuta / 30 A.Rasila, J.v.Pfaler () KP3 Kompleksiluvut 26. syyskuuta / 30