Sinin ja kosinin erilaiset määrittelytavat

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Sinin ja kosinin erilaiset määrittelytavat"

Transkriptio

1 Sinin ja kosinin erilaiset määrittelytavat Anu Pääkkö Matematiikan pro gradu Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Syksy 01

2 Tiivistelmä: Pääkkö, A. 01, Sinin ja kosinin erilaiset määrittelytavat, Jyväskylän yliopisto, Matematiikan ja tilastotieteen laitos, matematiikan pro gradu - tutkielma. Trigonometriset funktiot sini ja kosini ovat tuttuja kulman funktioita. Ne määritellään useimmiten geometrisesti yksikköympyrän avulla. On olemassa kuitenkin muitakin määrittelytapoja, jotka palvelevat eri päämääriä. Jos halutaan käsitellä täsmällisesti siniä ja kosinia sekä niiden sovelluksia, esimerkiksi Fourier n sarjoja, ilman geometrisiä tulkintoja, on järkevää käyttää jotakin muuta kuin geometristä sinin ja kosinin määritelmää. Erilaiset lähestymistavat myös laajentavat ja tukevat käsityksiä kyseisistä funktioista. Tässä tutkielmassa tutustutaan sinin ja kosinin erilaisiin määrittelytapoihin. Yksikköympyrää lähtökohtana käyttävän geometrisen määritelmän rinnalla tarkastellaan potenssisarjojen, differentiaaliyhtälöiden, käänteisfunktioiden ja aksioomien avulla tehtyjä sinin ja kosinin määritelmiä. Työssä näytetään, että jokaisen määritelmän avulla voidaan osoittaa seuraavat sinin ja kosinin perustulokset: Pythagoraan identiteetti, sinin parittomuus ja kosinin parillisuus, sinin ja kosinin jaksollisuus sekä summa- ja derivointikaavat. Lisäksi tutkielmassa tehdään pieni katsaus sinin ja kosinin historiaan. Tutkielmassa selviää, että luvulla π on keskeinen rooli määriteltäessä siniä ja kosinia. Määritelmästä riippuen luku π määritellään yksikköympyrän alaksi, arcussinifunktion avulla tai siten, että π on pienin positiivinen kosinin nollakohta. Määritelmät osoitetaan luonnollisesti yhtäpitäviksi. Lisäksi tutkielmassa korostuu sinin ja kosinin keskinäinen riippuvuussuhde. Erityisesti tämä ilmenee käänteisfunktioiden avulla tehtävässä määritelmässä, jossa kosini määritellään sinin derivaattaa käyttäen.

3 Sisältö Johdanto 1 Luku 1. Sinin ja kosinin erilaiset määrittelytavat 1. Geometrinen määritelmä. Määritelmä potenssisarjojen avulla 9 3. Määritelmä differentiaaliyhtälöiden avulla Määritelmä käänteisfunktioiden avulla 1 5. Määritelmä aksiomaattisesti 30 Luku. Lyhyt katsaus sinin ja kosinin historiaan 34 Lähdeluettelo 38 i

4 Johdanto Sini ja kosini ovat tunnetuimpia trigonometrisiä funktioita. Niitä tarvitaan muun muassa kolmion kulmia tarkasteltaessa sekä mallinnettassa jaksollisia ilmiöitä. Jo peruskoulussa sini ja kosini opitaan tuntemaan kolmion sivujen suhteina. Myöhemmin lukiossa määrittely tapahtuu yksikköympyrää apuna käyttäen. Useimmat tuntevat enintään nämä kaksi sinin ja kosinin määritelmää, vaikkakin kyseiset funktiot voidaan yhtäpitävästi määritellä myös potenssisarjakehitelmien, differentiaaliyhtälöiden, käänteisfunktioiden tai muutaman aksiooman avulla. Määrittely potenssisarjakehitelmien tai differentiaaliyhtälöiden avulla ei yllättäen olekaan tuoreinta matematiikkaa: Itse asiassa Isaac Newton esitti sinin ja kosinin sekä yksikköympyrän että potenssisarjakehitelmien avulla jo 1600-luvun loppupuolella. Leonhard Euler taas tunnisti sinin olevan erään värähtelyä kuvaavan differentiaaliyhtälön ratkaisu 1700-luvulla. Tämän työn tarkoituksena on tutkia edellä mainittuja erilaisia sinin ja kosinin määrittelytapoja. Lisäksi halutaan osoittaa, että kukin määritelmä johtaa seuraaviin sinin ja kosinin perustuloksiin: Pythagoran identiteetti, sinin parittomuus ja kosinin parillisuus, sinin ja kosinin jaksollisuus sekä summa- ja derivointikaavat. Pythagoraan identiteetillä tarkoitetaan keskeistä sinin ja kosinin perustulosta, jonka mukaan jokaisella x R pätee sin x + cos x 1. Pariton ja parillinen funktio toteuttavat tietyt symmetriaehdot. Pariton funktio on piste-symmetrinen origon suhteen eli funktio saa arvoikseen vastaluvut yhtäkaukana origosta olevissa pisteissä. Parittomalle funktiolle pätee siis f( x) f(x) jokaisella x R. Parillinen funktio on taas peilikuva-symmetrinen y-akselin suhteen eli funktio saa saman arvon yhtä kaukana y-akselista olevissa kohdissa. Näin ollen parilliselle fuktiolle pätee f( x) f(x) jokaisella x R. Jaksollisessa funktiossa toistuvat samat arvot tietyn jakson välein. Muodollisemmin ilmaistuna funktio on jaksollinen jaksonaan p 0, jos sille pätee f(x) f(x + kp) jokaisella x R, k Z. Tutkielma jakaantuu kahteen lukuun, joista ensimmäisessä luvussa käsitellään sinin ja kosinin erilaisia määrittelytapoja ja jokaisen määrittelytavan yhteydessä osoitetaan sinin ja kosinin yllä mainitut perustulokset. Toisessa luvussa keskitytään sinin ja kosinin historiaan. 1

5 LUKU 1 Sinin ja kosinin erilaiset määrittelytavat 1. Geometrinen määritelmä Tämän kappaleen tarkoituksena on määritellä sini- ja kosinifunktio yksikköympyrää apuna käyttäen. Kyseistä määritelmää varten täytyy ensin täsmentää muutamia määritelmälle olennaisia käsitteitä. Alkuoletuksena on, että pinta-alan käsite ja sen ominaisuudet ovat tunnettuja. Tämän kappaleen pääasiallisina lähteinä toimivat Langin A First Course in Calculus [7], Apostolin Calculus [1] ja Spivakin Calculus [11]. Määritelmä 1.1. Yksikköympyräksi kutsutaan karteesisen koordinaatiston yksisäteistä, origokeskistä ympyrää. Määritelmä 1.. Luku π määritellään yksikköympyrän alaksi. Lemma 1.3. Olkoon S jokin alue tasossa ja olkoon A alueen S pinta-ala. Kertomalla alueen S pisteiden joukko kertoimella r saadaan muokatun alueen alaksi r A. Todistus. Todistus sivuutetaan. Ks. [7], s Esimerkki 1.4. Koska π määriteltiin yksikköympyrän alaksi, niin r-säteisen ympyrän ala on siten πr. Määritelmä 1.5. Suunnattu kulma α on sellainen kulma, joka muodostuu puolisuoran kiertyessä tasossa alkupisteensä ympäri. Puolisuoran alkuasentoa sanotaan kulman α alkukyljeksi l 1 ja loppuasemaa kulman α loppukyljeksi l. Yksikköympyrässä suunnatun kulman α kärkenä on origo O ja alkukylkenä l 1, positiivinen horisontaalinen akseli. Tällöin l 1 leikkaa yksikköympyrää pisteessä A (1, 0). Suunnatun kulman määrittää kulman α loppukylki l ja yksikköympyrän kehän leikkauspiste P (a, b). Määritelmä 1.6. Yksikköympyrän sektori AOP on suunnatun kulman AOP sisällä oleva ympyrän alue. Määritelmä 1.7. Suunnatun kulman AOP suuruus on kaksi kertaa ympyrän sektorin AOP ala jaettuna säteen neliöllä. Erityisesti kulman AOP suuruus on x radiaania, jos yksikköympyrän sektorin AOP ala on x. Huomautus 1.8. (a) Lemman 1.3 nojalla kulman suuruus on riippumaton säteen pituudesta, joten kulmamitta on hyvin määritelty myös yksikköympyrälle. (b) Jos piste P on aluksi P (1, 0) ja jos se liikkuu vastapäivään yksikköympyrällä, niin sektorin AOP ala kasvaa saaden jokaisen arvon välillä [0, π] tasan kerran. Siten myös kulman AOP suuruus saa jokaisen arvon välillä [0, π] tasan kerran.

6 1. GEOMETRINEN MÄÄRITELMÄ 3 Kuva 1. Suunnattu kulma. Esimerkki 1.9. Jos P ( 1, 0), niin sektori AOP on puoliympyrä, jolloin sen ala on π. Siten kulman AOP suuruus on π radiaania. Seuraavaksi halutaan määritellä yksikköympyrän kulman AOP sini ja kosini. Oikeastaan määritellään luvun x sini ja kosini, jotta sini ja kosini voidaan määritellä reaalisiksi funktioiksi. Määritelmä Olkoot 0 x < π ja P (a, b) yksikköympyrän kehäpiste siten, että sektorin AOP ala on x. Tällöin luvun x kosini ja sini ovat cos x a ja sin x b. Esimerkki Jos x π, niin sektorin AOP ala on π, jolloin P (0, 1). Siten 4 cos π 0 ja sin π 1. Huomautus 1.1. Kosinin ja sinin määritelmä on voimassa puoliavoimella välillä [0, π). Laajennetaan määritelmä koskemaan koko reaaliakselia seuraavasti: Olkoon x R. Tällöin voidaan merkitä x x 0 + πk, missä k Z ja x 0 [0, π), jolloin määritellään sin x sin x 0 ja cos x cos x 0. Lause sin x ja cos x ovat jaksollisia jaksonaan π ja π on sinin ja kosinin lyhin jakso. Todistus. Väitteen ensimmäinen osa seuraa suoraan Huomautuksesta 1.1 ja jaksollisen funktion määritelmästä. Osoitetaan väitteen jälkimmäinen osa: Osoitetaan ensin, että kosinin lyhimmän jakson pituus on π. Tehdään antiteesi ja oletetaan, että on olemassa sellainen luku k (0, π), jolle pätee cos(x + k) cos x. Määritelmän nojalla kosinin arvo määräytyy yksikköympyrän kehäpisteen P (a, b) koordinaatista a. Tarkastelemalla kosinin nollakohtia yksikköympyrän avulla huomataan, että kosini saa arvon nolla, kun P (0, 1) tai P (0, 1) eli kun x π tai x 3π (päättely kuten Esimerkissä 1.9). Siten, koska kosinin jakso k < π, niin on oltava k π. Tällöin, koska Esimerkin 1.11 mukaisella päättelyllä saadaan cos π 1, niin 1 cos 0 cos(0 + k) cos(0 + π) cos π 1,

7 1. GEOMETRINEN MÄÄRITELMÄ 4 mikä on ristiriita. Siispä π on kosinin lyhin jakso. Osoitetaan seuraavaksi, että sinin lyhimmän jakson pituus on myös π. Tehdään antiteesi ja oletetaan, että on olemassa luku k (0, π), jolle pätee sin(x+k ) sin x. Määritelmän nojalla sinin arvo määräytyy yksikköympyrän kehäpisteen P (a, b) koordinaatista b. Tarkastelemalla sinin nollakohtia nähdään, että sini saa arvon nolla, kun P (1, 0) tai P ( 1, 0) eli kun x 0 tai x π. Siispä, koska sinin jakso k < π, niin on oltava k π. Näin ollen, koska Esimerkin 1.11 mukaisella päättelyllä saadaan sin 3π 1, niin 1 sin π sin(π + k ) sin( π + π) sin 3π 1, mikä on ristiriita. Siten π on sinin lyhin jakso. Seuraavassa lauseessa todistetaan äskeistä sinin ja kosinin määritelmää lähtökohtana käyttäen osa sinin ja kosinin perusidentiteeteistä. Lause Jokaisella x R ja y R pätee (a) sin x + cos x 1, (b) sin( x) sin x ja cos( x) cos x, (c) cos(x + y) cos x cos y sin x sin y. Todistus. (a) Jos x [0, π), niin sinin ja kosinin määritelmän sekä Pythagoraan lauseen nojalla sin x + cos x b + a r 1. Jos taas x / [0, π), niin voidaan merkitä x x 0 + πk, missä k Z ja x 0 (0, π). Siten huomautuksen 1.1 nojalla saadaan, että sin x sin x 0 ja cos x cos x 0, jolloin tarkastelu palautuu tapaukseen x (0, π). Kuva. Kulman peilaus. (b) Tutkitaan erikseen tapaukset x [0, π) ja x / [0, π): Jos x [0, π), niin x (π x) π x 0 + πk, missä x 0 π x ja k 1. Siten huomautuksen 1.1 nojalla (1.1) sin( x) sin(π x) ja cos( x) cos(π x).

8 1. GEOMETRINEN MÄÄRITELMÄ 5 Kuten Kuvan tapauksessa tarkastellaan nyt kehäpistettä P 1 (a, b), joka määrää kulman, joka on x radiaania. Jos kehäpiste P 1 ( 1, 0), niin peilaamalla P 1 horisontaalisen akselin ympäri saadaan kehäpiste P (a, b), joka määrää kulman, joka on π x radiaania. Siten yhtälöiden 1.1 sekä sinin ja kosinin määritelmän nojalla pätee sin( x) sin(π x) b sin x ja cos( x) cos(π x) a cos x. Jos taas kehäpiste P 1 ( 1, 0), niin x π esimerkin 1.9 mukaisesti ja edelleen x 0 π π π, jolloin yhtälöiden 1.1 mukaan sin( π) sin π 0 ja cos( π) cos π. Jos taas x / [0, π), niin samalla tavoin kuten (a)-kohdan todistuksessa tarkastelu palautuu tapaukseen x [0, π). (c) Tarkastellaan erikseen tapauksia x + y [0, π) ja x + y / [0, π), joissa x, y R: Olkoot x, y R sellaisia, että x + y [0, π) sekä P ja Q yksikköympyrän kehäpisteitä. Tarkoituksena on selvittää pisteiden P ja Q etäisyys toisistaan käyttämällä kahta erilaista koordinaattisysteemiä. Ensin valitaan koordinaatisto Kuvan 3 mukaisesti. Kuva 3. Kulmien yhteenlasku 1. Nyt P (1, 0) ja kosinin ja sinin määritelmän nojalla Q (cos(x+y), sin(x+y)). Pisteiden P (a 1, b 1 ) ja Q (a, b ) etäisyyden neliö on siten dist(p, Q) (b b 1 ) + (a a 1 ) (sin(x + y) 0) + (cos(x + y) 1) sin (x + y) + cos (x + y) cos(x + y) + 1. Siten (a)-kohdan nojalla dist(p, Q) cos(x + y) +. Seuraavaksi asetetaan koordinaatisto Kuvan 4 tavalla. Siten kehäpiste P (cos( x), sin( x)) (cos x, sin x) sinin parittomuuden ja kosinin parillisuuden nojalla. Lisäksi Q (cos y, sin y). Siispä dist(p, Q) (sin y ( sin x)) + (cos y cos x) sin y + sin x sin y + sin x + cos y cos y cos x + cos x,

9 1. GEOMETRINEN MÄÄRITELMÄ 6 Kuva 4. Kulmien yhteenlasku. joka (a)-kohdan nojalla saa muodon dist(p, Q) + sin x sin y cos x cos y. Nyt asettamalla etäisyydet yhtä suuriksi saadaan cos(x + y) + + sin x sin y cos x cos y, mistä seuraa väite. Tapauksen x + y / [0, π) tarkastelu palautuu tapaukseen x + y [0, π) samalla tapaan kuten (a)-kohdan todistuksessa. Huomautus Edellisen todistuksen kuvat liittyvät tapaukseen x > 0 ja y > 0. Todistus pätee kuitenkin kaikilla x, y R. Jotta pystytään todistamaan myös sinin kulmien yhteenlaskua koskeva tulos, tarvitaan apuna seuraavan lemman (a)-kohtaa. Lemman (b)-kohtaa tarvitaan kosinin derivaatan määrittämiseen. Lemma Jokaisella x R pätee (a) sin x cos(x π), (b) sin( π x) cos x. Todistus. (a) Koska esimerkin 1.11 ja sinin parittomuuden sekä kosinin parillisuuden nojalla sin( π ) sin π 1 ja cos( π ) cos π 0, niin kosinin summakaavan nojalla saadaan cos(x π ) cos x cos( π ) sin x sin( π ) cos x 0 sin x ( 1) sin x.

10 1. GEOMETRINEN MÄÄRITELMÄ 7 Kuva 5. Raja-arvon määritys. (b) Kohdan (a) ja kosinin parillisuuden nojalla sin( π x) cos(π x π ) cos( x) cos x. Lause Jokaisella x R pätee sin(x + y) sin x cos y + cos x sin y. Todistus. Kosinin yhteenlaskukaavan, sinin parittomuuden ja lemman 1.16 nojalla saadaan sin(x + y) cos(x + y π ) cos x cos(y π ) sin x sin(y π ) cos x sin y + sin x sin( π y) cos x sin y + sin x cos y. Seuraavaksi halutaan määrittää sinin ja kosinin derivaatat. Sitä varten tarvitaan kuitenkin tärkeitä raja-arvoja koskeva aputulos: Lemma sin x lim x 0 x cos x 1 1 ja lim x 0 x Todistus. Todistetaan ensin ensimmäinen väite ja oletetaan aluksi, että x on positiivinen. Tarkastellaan Kuvan 5 mukaista tilannetta: Olkoot OB yksikköympyrän säde, piste C (1, 0) ja kulma COB x radiaania. Olkoot s pienemmän kolmion OAB korkeus ja t suuremman kolmion OCD korkeus. Käyttämällä merkintää 0.

11 1. GEOMETRINEN MÄÄRITELMÄ 8 OA : janan OA pituus ja tarkastelemalla kehäpistettä B saadaan sinin ja kosinin määritelmän nojalla, että sin x s ja cos x OA. Edelleen kehäpisteen D avulla ja merkitsemällä OD : janan OD pituus saadaan sin x cos x t 1 t. Huomataan, että kolmion OAB ala < sektorin OCB ala < kolmion OCD ala. Nyt määritelmän 1.7 nojalla sektorin OCB ala on x ja edelleen saadaan 1 cos x sin x < 1 x < 1 1 sin x cos x eli (1.) cos x sin x < x < sin x cos x. Koska oletettiin, että x > 0, niin yksikköympyrästä katsottuna luvun 0 läheisyydessä sin x > 0, jolloin jakamalla epäyhtälö (1.) puolittain termillä sin x saadaan cos x < x sin x < 1 cos x. Koska yksikköympyrästä katsottuna cos x x 0 1 ja siten 1 x x 0 1. Edelleen, koska sin x 1, niin sin x x x/ sin x sin x lim x 0 x 1 lim x 0 x sin x 1. cos x x 0 1, niin on oltava Oletetaan seuraavaksi, että x < 0. Voidaan merkitä x k, kun k > 0. Nyt sinin parittomuuden nojalla sin x x sin( x) sin k sin k x k k. Lisäksi, kun x 0, niin myös k 0. Siten todistus palautuu tapauksen x > 0 todistukseen, sillä k > 0. cos x 1 Todistetaan seuraavaksi jälkimmäinen väite. Muokataan termi termeiksi, x joiden raja-arvot nollassa tunnetaan. Lauseen 1.14 (a)-kohdan nojalla saadaan Nyt, koska sin x x cos x 1 x (cos x 1)(cos x + 1) x(cos x + 1) cos x + 1 x(cos x + 1) sin x x(cos x + 1) sin x x (sin x) 1 cos x + 1. x 0 1, sin x x ja cos x+1 cos x 1 lim x 0 x x 0 1, niin

12 . MÄÄRITELMÄ POTENSSISARJOJEN AVULLA 9 Lause Funktiot sin x ja cos x ovat derivoituvia koko reaaliakselilla ja jokaisella x R pätee d(sin x) cos x sekä d(cos x) sin x. Todistus. Sinin yhteenlaskukaavan avulla saadaan sinin erotusosamääräksi sin(x + h) sin x h joten lemman 1.18 nojalla saadaan sin(x + h) sin x lim h 0 h sin x cos h + cos x sin h sin x h cos x sin h + sin x(cos h 1) h cos x sin h h h 1 + sin xcos, h lim(cos x sin h h 1 + sin xcos ) h 0 h h cos x 1 + sin x 0 cos x. d(sin x) Siis cos x. Käytetään kosinin derivaatan todistuksessa apuna lemman 1.16 (b)-kohtaa, jonka nojalla sin( π x) cos x. Olkoon y π x ja käytetään ketjusääntöä, jolloin saadaan d(cos x) d(sin y) dy dy. Nyt dy 1 ja siten kosinin parillisuuden ja lemman 1.16 nojalla d(cos x) cos y ( 1) cos( π x) ( 1) cos(x π ) sin x.. Määritelmä potenssisarjojen avulla Tässä kappaleessa sini ja kosini määritellään kompleksista eksponenttifunktiota apuna käyttäen, mikä johtaa sinin ja kosinin potenssisarjakehitelmiin. Pääasiallisina lähdeteoksina tässä kappaleessa toimivat Denlingerin Elements of Real Analysis [4], Taon Analysis II [1] ja Rudinin Principles of Mathematical Analysis [10].

13 . MÄÄRITELMÄ POTENSSISARJOJEN AVULLA 10 Määritelmä.1. Olkoon z C ja n N. Kompleksisen eksponenttifunktion potenssisarjakehitelmä on tällöin e z z n n! ja n0 1 + z + z! + z3 3! + z4 4! + Määritelmä.. Olkoon z C. Tällöin kosini ja sini ovat cos z eiz + e iz ja sin z eiz e iz. i Huomautus.3. (a) i : (0, 1) C on imaginääriyksikkö, jolle pätee i 1. (b) Määritelmistä seuraa, että cos z eiz + e iz (iz) n n0 + ( iz) n n! n0 n! (iz) 1 + iz + + (iz)3 + (iz) iz + ( iz) + ( iz)3 + ( iz)4 +! 3! 4!! 3! 4! z + z4! 4! 1 z! + z4 4! ( 1) n z n (n)! n0 sin z eiz e iz i (iz) n n0 ( iz) n n! n0 n! i (iz) 1 + iz + + (iz)3 + (iz) iz ( iz) ( iz)3 ( iz)4 ( iz)5! 3! 4!! 3! 4! 5! i iz3 iz + iz5 3! 5! i z z3 3! + z5 5! ( 1) n z n+1. (n + 1)! n0 (c) Kohdan (b) avulla huomataan, että cos z ja sin z ovat reaalisia, jos z R. Tästä eteenpäin tarkastellaankin vain reaalisia kosinia ja siniä.

14 . MÄÄRITELMÄ POTENSSISARJOJEN AVULLA 11 Jotta kosinin ja sinin määritelmät ovat järkeviä, pitäisi kosinin ja sinin potenssisarjakehitelmien olla suppenevia. Seuraavaa lausetta apuna käyttäen osoitetaan, että kosinin ja sinin sarjakehitelmät todellakin suppenevat. Lause.4. Olkoot a n R, n N ja a n 0 kaikilla n N. Jos on olemassa luku a q < 1, jolle lim n+1 n a n q, niin sarja n0 a n suppenee. Todistus. Todistus sivuutetaan. Ks. [16], s.34. Lause.5. Kosinin ja sinin potenssisarjakehitelmät ( 1) n z n ( 1) n z n+1 cos z ja sin z (n)! (n + 1)! suppenevat kaikilla z R. n0 Todistus. Koska cos ja sin , niin sarjat suppenevat, kun z 0. Voidaan siis olettaa, että z R\{0}. Osoitetaan ensin, että kosinin potenssisarja suppenee. Nyt Siten a n+1 lim n a n n0 a n ( 1)n z n zn 0 kaikilla n N. (n)! (n)! zn+ (n+)! n zn (n)! lim lim n z (n + 1)(n + ) 0 < 1, joten potenssisarja ( 1) n z n n0 suppenee kaikilla z R Lauseen.4 nojalla. (n)! Osoitetaan seuraavaksi, että sinin potenssisarja suppenee. Nyt Siten b n ( 1)n z n+1 (n + 1)! b n+1 lim n b n zn+3 (n+3)! n zn+1 lim z n+1 0 kaikilla n N. (n + 1)! n (n+1)! lim z (n + )(n + 3) 0 < 1, joten potenssisarja ( 1) n z n+1 n0 suppenee kaikilla z R Lauseen.4 nojalla. (n+1)! Seuraavaksi halutaan osoittaa kosinin ja sinin määritelmään pohjautuen tärkeitä kosinin ja sinin perusidentiteettejä. Seuraavaa lausetta tarvitaan avuksi derivaattojen määrittämiseen. Lause.6. Olkoon R potenssisarjan n0 a n(x x 0 ) n suppenemissäde. Funktiolla f : (x 0 R, x 0 + R) R, f(x) a n (x x 0 ) n n0 on kaikkien kertalukujen derivaatat suppenemisvälillä (x 0 R, x 0 + R). Lisäksi f (x) na n (x x 0 ) n 1 kaikilla x (x 0 R, x 0 + R). n0 Todistus. Todistus sivuutetaan. Ks. [16], s.56.

15 . MÄÄRITELMÄ POTENSSISARJOJEN AVULLA 1 Lause.7. Jokaisella x R pätee (a) cos( x) cos x ja sin( x) sin x, (b) cos 0 1 ja sin 0 0, (c) sini ja kosini ovat derivoituvia koko reaaliakselilla ja d(sin x) cos x sekä d(cos x) sin x. Todistus. (a) Nähdään suoraan kosinin ja sinin sarjakehitelmistä. (b) Todettu Lauseen.5 todistuksessa. (c) Derivoituvuus koko reaaliakselilla seuraa suoraan Lauseesta.6, sillä sinin ja kosinin suppenemissäde on Lauseen.5 ja suppenemissäteen määritelmän nojalla ääretön. Lisäksi saman lauseen nojalla ja d(cos x) n0 d(sin x) ( 1) n (n + 1)x n (n + 1)! n0 ( 1) n nx n (n)! n1 ( 1) n x n cos x (n)! n0 ( 1) n x n 1 (n 1)! n0 ( 1) n x n+1 (n + 1)! sin x. Lause.8. Jokaisella x R pätee (a) sin x + cos x 1, (b) cos(x + y) cos x cos y sin x sin y ja sin(x + y) sin x cos y + cos x sin y. Todistus. (a) Muodostetaan funktio f(x) sin x + cos x, jolle Lauseen.7 (c)-kohdan ja ketjusäännön nojalla on f (x) sin x cos x + cos x( sin x) 0. Siis f on vakiofunktio ja siten kaikille x R pätee Lauseen.7 (b)-kohdan nojalla. (b) Tarkastellaan funktiota f(x) f(0) sin 0 + cos f(x) [sin(x + y) sin x cos y cos x sin y] + [cos(x + y) cos x cos y + sin x sin y], missä y R on vakio. Nyt Lauseen.7 (c)-kohdan ja ketjusäännön nojalla on f (x) (sin(x + y) sin x cos y cos x sin y)(cos(x + y) cos x cos y + sin x sin y) + + (cos(x + y) cos x cos y + sin x sin y)( sin(x + y) + sin x cos y + cos x sin y) 0. Siis f on vakiofunktio eli kaikilla x R pätee f(x) f(0) [sin y 0 cos y 1 sin y] + [cos y 1 cos y + 0 sin y] 0, joten aluksi määritellyn funktion hakasulkeissa olevien lausekkeiden täytyy kummankin olla nolla, mistä väite seuraa.

16 . MÄÄRITELMÄ POTENSSISARJOJEN AVULLA 13 Huomautus.9. (a) Edeltävän Lauseen (a)-kohdasta seuraa, että jokaisella x R pätee sin x 1 cos x 1, jolloin myös jokaisella x R cos x 1. (b) Äskeisen Lauseen (b)-kohdan todistuksessa käytettiin hyväksi vain sinin ja kosinin derivointikaavoja sekä arvoja pisteessä x 0. Lopuksi halutaan vielä todistaa, että kosini ja sini ovat jaksollisia funktioita ja että niiden lyhin jakso on π. Aluksi määritellään, mitä tarkoitetaan luvulla π. Luku π halutaan määritellä siten, että π on pienin positiivinen reaaliluku x, jolle cos x 0. Jotta määritelmä olisi järkevä täytyy osoittaa, että tällainen luku todella on olemassa. Lemma.10. On olemassa jokin positiivinen reaaliluku x, jolle cos x 0. Todistus. Koska sin x on jatkuva erityisesti suljetulla välillä [0, ] ja derivoituva avoimella välillä (0, ), niin differentiaalilaskennan väliarvolauseen nojalla on olemassa ξ (0, ) siten, että sin sin 0 d(sin ξ) cos ξ. 0 dξ Koska sin 0 0 ja sin 1 Huomautuksen.9 (a)-kohdan mukaan, niin cos ξ sin 1 cos ξ 1 4. Siten kosinin yhteenlaskukaavan ja Lauseen.8 (a)-kohdan mukaan cos ξ cos(ξ + ξ) cos ξ sin ξ cos ξ (1 cos ξ) cos ξ 1 < 0. Nyt, koska cos x on jatkuva erityisesti välillä [0, ξ] ja cos 0 1 > 0 sekä cos ξ < 0, niin Bolzanon lauseen nojalla on olemassa luku x (0, ξ) siten, että cos x 0. Lemma.11. On olemassa pienin positiivinen reaaliluku x siten, että cos x 0. Todistus. Olkoon A {x 0 : cos x 0}. Täytyy siis osoittaa, että joukolla A on olemassa pienin alkio. Lemman.10 nojalla A on epätyhjä. Nyt, koska nolla on eräs joukon A alaraja ja A on epätyhjä, niin on olemassa u inf A. Lisäksi, koska funktio f(x) cos x on jatkuva erityisesti, kun x [0, ) ja koska jatkuvan funktion alkukuva suljetusta joukosta on suljettu, niin f 1 (0) {x : f(x) 0} on suljettu joukko välillä [0, ). Siten A on suljettu. Koska suljettu joukko sisältää infimuminsa, niin u inf A A. Määritelmä.1. Määritellään luku π siten, että π u, missä u min{x > 0 : cos x 0}. Kosinin ja sinin lyhimmän jakson π osoittamiseen tarvitaan seuraavaa lausetta:

17 . MÄÄRITELMÄ POTENSSISARJOJEN AVULLA 14 Lause.13. Kosinille ja sinille pätevät seuraavat ominaisuudet: (a) cos π 0 ja sin π 1, (b) sin π 0, cos π 1, sin π 0, cos π 1, (c) sin x on kasvava välillä [ π, π] ja cos x on vähenevä välillä [0, π], (d) sin x cos(x π ) jokaisella x R, (e) cos(x + π) cos x jokaisella x R. Todistus. (a) Piin määritelmän nojalla cos π 0 ja edelleen, koska Lauseen.8 (a)-kohdan nojalla cos π + sin π 1, niin sin π ±1. Nyt, koska cos 0 1 ja cos π 0 ja koska π on pienin positiivinen kosinin nollakohta, niin cos x > 0, kun x (0, π d(sin x) ). Lisäksi, koska cos x > 0, kun x (0, π ), niin sin x on aidosti kasvava välillä [0, π]. Siten sin π 1, sillä sin 0 0. (b) (a)-kohdan, kosinin ja sinin yhteenlaskukaavojen sekä kosinin parillisuuden ja sinin parittomuuden nojalla 0 cos π cos(π π ) cos π cos( π ) sin π sin( π ) ja cos π cos π + sin π(sin π ) cos π 0 + sin π 1 sin π 1 sin π sin(π π ) sin π cos( π ) + cos π sin( π ) cos π ( 1) cos π eli cos π 1. Samaan tapaan saadaan sin π 0 ja cos π 1. (c) Aiemmin todettiin jo, että cos x 0, kun x [0, π ]. Lisäksi, koska kosinin parillisuuden nojalla cos( x) cos x jokaisella x R, niin cos x 0 jokaisella x [ π d(sin x), 0]. Siten, koska cos x 0, kun x [ π, π ], niin sin x on kasvava välillä [ π, π]. Nyt, koska sin 0 0 ja koska sin x on kasvava välillä [0, π ], niin sin x 0 jokaisella x [0, π d(cos x) ]. Lisäksi, koska sin x 0 jokaisella x [0, π ], niin cos x on vähenevä välillä [0, π]. (d) Käyttämällä (a)-kohtaa, sinin parittomuutta ja kosinin parillisuutta sekä kosinin summakaavaa hyväksi väite osoitetaan vastaavasti kuten Lemman 1.16 (b)-kohdan todistuksessa.

18 . MÄÄRITELMÄ POTENSSISARJOJEN AVULLA 15 (e) Kosinin yhteenlaskukaavan ja (b)-kohdan nojalla saadaan cos(x + π) cos x cos π sin x sin π cos x. Lause.14. Funktiot sin x ja cos x ovat jaksollisia jaksonaan π, ja π on sinin ja kosinin lyhin jakso. Todistus. Täytyy siis osoittaa, että π on pienin reaaliluku k, jolle jokaisella x R pätee sin(x + k) sin x ja cos(x + k) cos x. Nyt sinin ja kosinin yhteenlaskukaavojen ja Lauseen.13 (b)-kohdan mukaan jokaisella x R pätee ja edelleen sin(x + π) sin x cos π + cos x sin π sin x 1 + cos x 0 sin x cos(x + π) cos x cos π sin x sin π cos x 1 sin x 0 cos x. Näytetään ensin, että π on kosinin lyhin jakso. Tehdään antiteesi: On olemassa luku k (0, π), jolle pätee yhtälö cos(x + k) cos x. Tällöin kosinin yhteenlaskukaavan nojalla ja edelleen 1 cos 0 cos(0 + k) cos 0 cos k sin 0 sin k 1 cos k 0 sin k cos k 1 cos k cos( k + k ) cos k cos k sin k sin k cos k sin k. Lisäksi, koska Lauseen.8 (a)-kohdan mukaan sin k + cos k 1, niin saadaan sin k sin k 1,

19 . MÄÄRITELMÄ POTENSSISARJOJEN AVULLA 16 josta seuraa sin k 0 ja edelleen sin k 0. Siten sinin yhteenlaskukaavan nojalla 0 sin k sin( k 4 + k 4 ) sin k 4 cos k 4 + cos k 4 sin k 4 cos k 4 sin k 4, mistä seuraa, että cos k 4 0 tai sin k 4 0. Nyt, koska k (0, π), niin k (0, π) ja koska sin x on aidosti kasvava välillä [0, π] 4 sekä sin 0 0, niin on oltava sin k 0. Siispä cos k 0, mutta tämä on ristiriita, 4 4 sillä π on kosinin pienin positiivinen, reaalinen nollakohta. Siis π on kosinin lyhin jakso. Näytetään seuraavaksi, että π on myös sinin lyhin jakso. Tehdään jälleen antiteesi: On olemassa luku k (0, π), jolle pätee sin(x + k ) sin x. Siten käyttämällä Lauseen.13 (d)-kohtaa saadaan 0 sin 0 sin(0 + k ) cos(0 + k π ) cos(k π ). Yllä olevan yhtälön nojalla kosinilla pitäisi siis olla nollakohta pisteessä x k π ja lisäksi k π ( π, 3π ). Osoitetaan, että tämän pisteen täytyy vastata pistettä x π, jolloin sinin jaksoksi saadaan k π, mistä edelleen johdetaan ristiriita. Tarkastellaan aluksi tapausta k π ( π, 0). Tiedetään, että sini on aidosti kasvava ja jatkuva välillä ( π, 0) ja sin 0 0 sekä sin( π) sin π 1, joten sin x < 0, kun x ( π, 0). Siten, koska d cos x sin x > 0, kun x ( π, 0), niin kosini on aidosti kasvava välillä ( π, 0). Lisäksi cos( π ) 0, joten cos x > 0 välillä ( π, 0). Toisin sanoen kosinilla ei voi olla nollakohtia välillä ( π, 0), joten on oltava k π [0, 3π). Toisaalta tiedetään, että kosinin pienin positiivinen nollakohta on π, joten riittää siis tutkia tapausta k π [ π, 3π). Koska tiedetään, että välillä ( π, π) kosinilla

20 . MÄÄRITELMÄ POTENSSISARJOJEN AVULLA 17 ei ole nollakohtia, π on kosinin pienin positiivinen nollakohta ja että kosinille pätee cos(x + π) cos x, niin kosinilla ei voi olla nollakohtia välillä ( π, 3π ). Niinpä on oltava k π π, jolloin k π. Siten jokaisella x R pätee sin x sin(x + k ) sin(x + π) sin x cos π + cos x sin π sin x, mutta tämä on ristiriita, sillä esimerkiksi sin π 1 1 sin π. Siispä sinin lyhin jakson pituus on myös π. Lopuksi osoitetaan vielä, että Määritelmässä 3.6 määritelty luku pii vastaa geometrisessa Määritelmässä 1. määriteltyä piitä. Koska geometrisessa määritelmässä pii määritellään vastaamaan yksikköympyrän alaa, niin riittää siis osoittaa, että Määritelmässä 3.6 määritetylle piille π vastaa neljäsosaa yksikköympyrän alasta. Tätä todistusta varten osoitetaan ensin seuraava 4 aputulos: Lemma.15. cos x 1+cos x jokaisella x R. Todistus. Koska kosinin summakaavan mukaan jokaisella x R niin Lauseen.8 (a)-kohdan nojalla 1 + cos x cos x cos(x + x) cos x cos x sin x sin x cos x sin x, 1 + cos x sin x Lause.16. π x. 0 0 cos x + cos x cos x. Todistus. Koska sinifunktio on kasvava ja derivoituva välillä [0, π ] ja sin 0 0 sekä sin π 1, niin käyttämällä sijoitusta x sin t saadaan 1 π 1 x 1 sin t cos tdt. Lisäksi, koska cos x 0, kun x [0, π ], niin Lauseen.8 (a)-kohdan ja Lemman.15 nojalla kaikille x [0, π] pätee 1 sin x cos x cos 1 + cos x x. Siten π π 1 sin 1 + cos t t cos tdt 0 0 Toisaalta, koska ketjusäännön nojalla kaikille x [0, π] pätee d (x sin x + ) 1 cos x + 4 dt. 1 + cos x,

21 3. MÄÄRITELMÄ DIFFERENTIAALIYHTÄLÖIDEN AVULLA 18 niin Analyysin peruslauseen nojalla saadaan π cos t dt π / ( x 0 sin x + ) π 4 4. Huomautus.17. (a) Lemman.15 todistuksessa käytetään vain kosinin summakaavaa sekä pythagoraan identiteettiä. (b) Lauseen.16 osoituksessa käytetään seuraavia tuloksia: sini on kasvava ja derivoituva välillä [0, π d(sin x) ], cos x, sin 0 0, sin π 1, cos x 0 välillä [0, π] ja pythagoraan identiteettiä. 3. Määritelmä differentiaaliyhtälöiden avulla Tässä kappaleessa halutaan määritellä kosini- ja sinifunktio differentiaaliyhtälöiden avulla. Jotta nähdään, että määritelmä on järkevä, tarvitaan Globaalia olemassaoloja yksikäsitteisyyslausetta toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöille. Kappaleen päälähteenä toimii Fitzpatrickin Advanced Calculus [5]. Lause 3.1. Olkoon R väli, (x 0, y 0, y 1 ) R ja f : R R jatkuva funktio, jolle osittaisderivaatat f f ja ovat jatkuvia sekä rajoitettuja jokaisessa y y joukossa [a, b] R R. Tällöin jokaisella alkuarvotehtävällä y f(x, y, y ) y(x 0 ) y 0 y (x 0 ) y 1 on olemassa yksikäsitteinen ratkaisu y : R koko välillä. Todistus. Merkitsemällä z(x) y (x) yhtälö y f(x, y, y ) voidaan esittää muodossa { y z z f(x, y, z), joka on erikoistapaus ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöparista { y 1 f(x, y 1, y ) y f(x, y 1, y ). Tämä voidaan korvata vektorimuotoisella normaaliryhmällä Y (x) F (x, Y (x)), missä Y (x) (y 1 (x), y (x)) ja F : R R, F (x, y 1, y ) (f 1 (x, y 1, y ), f (x, y 1, y )). Ensimmäisen kertaluvun normaalimuotoisen yhtälöparin lokaali olemassaolo ja yksikäsitteisyys osoitetaan lähes samaan tapaan kuin ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälölle (Ks. [13], s.3). Muutoksena on vain lähinnä itseisarvomerkkien korvaaminen vektorin normilla. Globaaliolemassaolo ensimmäisen kertaluvun normaalimuotoiselle yhtälöparille osoitetaan myös lähes samaan tapaan kuin ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälölle (Ks. [9], s.38 ja s.83-84).

22 3. MÄÄRITELMÄ DIFFERENTIAALIYHTÄLÖIDEN AVULLA 19 Määritelmä 3.. Funktio cos : R R on alkuarvo-ongelman { y (3.1) (x) + y(x) 0 kaikilla x R y(0) 1 ja y (0) 0 yksikäsitteinen ratkaisu. Funktio sin : R R on alkuarvo-ongelman { g (3.) (x) + g(x) 0 kaikilla x R g(0) 0 ja g (0) 1 yksikäsitteinen ratkaisu. Huomautus 3.3. Globaalin olemassaolo- ja yksikäsitteisyyslauseen nojalla alkuarvoongelmille (3.1) ja (3.) on olemassa yksikäsitteiset ratkaisut, joten kosinin ja sinin määritelmät ovat järkeviä. Äskeiseen määritelmään pohjautuen osoitetaan seuraavaksi tärkeitä kosinin ja sinin perusidentiteettejä: Lause 3.4. Sinille ja kosinille pätevät seuraavat ominaisuudet jokaisella x R ja y R: d(sin x) d(cos x) (a) cos x sekä sin x, (b) sin x + cos x 1, (c) cos(x + y) cos x cos y sin x sin y ja sin(x + y) sin x cos y + cos x sin y, Todistus. (a) Merkitsemällä h(x) sin (x) saadaan 0 sin (x) + sin(x) h (x) + sin(x), joten h (0) sin(0) 0 ja h(0) sin (0) 1. Koska sinifunktion määritelmän nojalla sin (x) sin(x), niin sinifunktiolla on olemassa kolmas derivaatta. Siten, koska sin (x) h (x), niin derivoimalla saadaan Siispä määritelmän 3. nojalla 0 sin (x) + sin (x) h (x) + h(x). d(sin x) d(cos x) h(x) cos(x) sekä h (x) sin(x). (b) Todistus samaan tapaan kuin Lauseen.8 (a)-kohdan todistus. (c) Todistus samaan tapaan kuin Lauseen.7 (a)-kohdan todistus. Katso myös Huomautus.9. Huomautus 3.5. Myös kosinin ja sinin erotuskaavojen cos(x y) cos x cos y + sin x sin y ja sin(x y) sin x cos y cos x sin y todistus menee samaan tapaan kuin Lauseen.7 (a)-kohdan todistus. Seuraavaksi määritellään luku pii kosinin pienimmäksi positiiviseksi nollakohdaksi kuten kappaleessa Määritelmä potenssisarjojen avulla (Koska kosini ja sini ovat jatkuvia ja derivoituvia koko reaaliakselilla, niin Lauseiden.10 ja.11 tapaan voidaan osoittaa, että on olemassa pienin positiivinen kosinin nollakohta).

23 3. MÄÄRITELMÄ DIFFERENTIAALIYHTÄLÖIDEN AVULLA 0 Määritelmä 3.6. Määritellään luku π siten, että π u, missä u min{x > 0 : cos x 0}. Lause 3.7. (a) cos π 0 ja sin π 1, (b) cos π 1 ja sin π 0, (c) cos( x) cos x ja sin( x) sin x kaikilla x R. Todistus. (a) Ensimmäinen kohta seuraa suoraan piin määritelmästä ja toinen kohta osoitetaan samaan tapaan kuin Lauseen.13 (a)-kohta. (b) Käyttämällä kosinin kulmien summakaavaa saadaan cos π cos π cos π sin π sin π Samaan tapaan todistetaan myös väitteen jälkimmäinen kohta. (c) Kosinin kulmien erotuskaavan nojalla cos( x) cos(0 x) cos 0 cos x + sin 0 sin x 1 cos x + 0 sin x cos x. Lisäksi kohdista (a) ja (b) sekä sinin kulien erotuskaavasta seuraa, että cos( π ( x)) cos π cos( x) + sin π sin( x) 0 cos x + 1 sin( x) sin( x) ja samoin saadaan, että cos( π x) sin x. Siten sin( x) cos( π + x) cos(π ( π x)) cos π cos( π x) + sin π sin(π x) 1 sin x + 0 sin( π x) sin x. Jaksollisuuden todistaminen sinille ja kosinille menee samaan tapaan kuin kappaleessa Määritelmä potenssisarjojen avulla: Voidaan osoittaa, että sini on aidosti kasvava välillä [ π, π ] kuten Lauseen.13 kohdan (c) todistuksessa. Lauseen.13 (b)-kohdan todistuksen tapaan voidaan myös osoittaa, että sin π 0 ja cos π 1. Kuten Lemman 1.16 (b)-kohdassa voidaan osoittaa, että sin x cos(x π ) ja lisäksi Lauseen.13 (e)-kohdan tapaan voidaan osoittaa, että cos(x + π) cos x. Näiden tietojen avulla voidaan osoittaa sinin ja kosinin jaksollisuus kuten Lauseessa.14. Lisäksi kuten kappaleessa Määritelmä potenssisarjojen avulla voidaan osoittaa, että luku π, joka edellä määriteltiin kuten Määritelmässä 3.6 vastaa geometrisesti määriteltyä piitä. Todistus etenee kuten Lauseen.16 todistus. Todistukseen tarvittavista tuloksista (ks. Huomautus.17 (b)-kohta) on osoitettava vielä, että cos 1+cos x x, mutta tämä pystytään osoitettamaan samaan tapaan kuten Lauseen.15 todistus (ks. Huomautus.17 (a)-kohta). Lisäksi on todistettava vielä, että cos x 0 välillä

24 4. MÄÄRITELMÄ KÄÄNTEISFUNKTIOIDEN AVULLA 1 [0, π ], mutta tämän osoitus tehdään samaan tapaan kuin Lauseen.13 (a)-kohdan todistuksessa. 4. Määritelmä käänteisfunktioiden avulla Määritellään aluksi sinin käänteisfuntio Riemann-integraalin avulla ja käytetään sitä lähtökohtana sinin määrittelemisessä. Tämän jälkeen kosinifunktio määritelllään sinifunktion derivaatan avulla. Tämän kappaleen päälähteenä toimii Denlingerin Elements of real Analysis [4]. Määritelmä 4.1. Määritellään funktio arcsin : ( 1, 1) R asettamalla arcsin(x) x 0 dt 1 t. Huomautus 4.. Määritelmä on järkevä, sillä f : ( 1, 1) R, f(t) 1 1 t jatkuva ja Riemann-integroituva funktio yli välin [0, x]. Koska sini halutaan määritellä arcussinin avulla, niin täytyy osoittaa, että arcussinillä todella on käänteisfunktio. Halutaan siis osoittaa, että arcussini on jatkuva ja aidosti kasvava funktio suljetulla välillä [ 1, 1]. Seuraava lause kertoo arcussinin jatkuvuuden ja monotonisuuden lisäksi arcussinin derivoituvuudesta ja parittomuudesta. Näitä tuloksia käytetään apuna edelleen sinin derivaatan määrittämisessä ja parittomuuden osoittamisessa. Lause 4.3. Funktiolla arcsin x on seuraavat ominaisuudet: (a) arcsin x on jatkuva välillä ( 1, 1), (b) arcsin x on derivoituva välillä ( 1, 1) ja d arcsin x 1 (c) arcsin x on aidosti kasvava välillä ( 1, 1), (d) arcsin x on pariton funktio välillä ( 1, 1). 1 x, Todistus. (a) Koska f : ( 1, 1) R, f(x) 1 1 x on jatkuva ja Riemannintegroituva, niin myös sen integraalifunktio F : ( 1, 1) R, F (x) arcsin x on jatkuva. (b) Koska funktio f : ( 1, 1) R, f(x) 1 1 x on jatkuva, niin Analyysin peruslauseen nojalla arcsin x on derivoituva välillä ( 1, 1) ja d arcsin x d x 0 dt 1. 1 t 1 x (c) Koska funktio arcsin : ( 1, 1) R on jatkuva ja derivoituva ja d arcsin x 1 > 0 jokaisella x ( 1, 1), 1 x niin arcsin x on aidosti kasvava välillä ( 1, 1). (d) Funktio f : ( 1, 1) R, f(x) 1 1 x f( x) on parillinen funktio, sillä 1 1 f(x). 1 ( x) 1 x Siten f on symmetrinen y-akselin suhteen ja symmetrisyyden nojalla arcsin( x) x 0 dt 0 1 t x dt x 1 t 0 dt 1 t arcsin x on

25 4. MÄÄRITELMÄ KÄÄNTEISFUNKTIOIDEN AVULLA eli arcsin x on pariton funktio. Edelleen halutaan laajentaa arcsin x jatkuvaksi ja aidosti kasvavaksi funktioksi suljetulla välillä [ 1, 1]. Seuraava lemma osoittaa, että tämä on mahdollista: Lemma 4.4. Olkoon f : I R jatkuva, aidosti kasvava ja rajoitettu avoimella välillä I (a, b), missä a < b. Tällöin f(i) on rajoitettu avoin väli. Erityisesti f(i) (c, d), missä c inf f(i) ja d sup f(i). Lisäksi funktio f voidaan jatkaa jatkuvaksi, aidosti kasvavaksi funktioksi f : [a, b] R määrittelemällä f(a) c ja f(b) d. Tällöin f on jatkuva ja aidosti kasvava välillä [a, b] ja f([a, b]) [c, d]. Todistus. Koska f(i) on ylhäältä ja alhaalta rajoitettu, niin reaalilukujen täydellisyysaksiooman nojalla on olemassa inf f(i) ja sup f(i). Erityisesti siis pätee f(i) [inf f(i), sup f(i)]. Koska f on aidosti kasvava ja väli (a, b) on avoin väli, niin joukolla A f(i) ei ole pienintä eikä suurinta alkiota, joten inf A, sup A / A. Siten f(i) (inf A, sup A). Osoitetaan seuraavaksi, että määrittelemällä f(a) inf f(i) ja f(b) sup f(i) saadaan f laajennettua jatkuvaksi ja aidosti kasvavaksi funktioksi suljetulla välillä [a, b]: Funktion f aidosti kasvavuus suljetulla välillä [a, b] seuraa oletuksesta ja äskeisestä määritelmästä suoraan. Lisäksi oletuksen nojalla f on jatkuva avoimella välillä (a, b), joten riittää siis tutkia funktion jatkuvuus välin [a, b] päätepisteissä: Olkoot ɛ > 0. Tällöin on olemassa sellaiset f(x 1 ) ja f(x ) f(i), joille pätee f(x 1 ) inf f(i) + ɛ ja f(x ) sup f(i) ɛ f(x 1 ) f(a) ɛ ja f(b) f(x ) ɛ. Valitsemalla δ x 1 a niin kaikilla x, joille x a < δ, pätee a < x < x 1. Siten, koska f on aidosti kasvava, niin f(a) < f(x) < f(x 1 ). Näin ollen joten f(x 1 ) f(a) f(x 1 ) f(a) ɛ, f(x) f(a) ɛ, kun x a < δ. Siispä funktio f on jatkuva pisteessä a. Funktion jatkuvuus pisteessä b osoitetaan samaan tapaan. Lisäksi selvästi f([a, b]) [inf f(i), sup f(i)]. Huomautus 4.5. (a) Funktio arcsin x on rajoitettu välillä ( 1, 1): Olkoon 0 x < 1. Koska x 1 1 x > 0 jokaisella x [0, 1), niin x dt 0 1 t 0. Lisäksi

26 4. MÄÄRITELMÄ KÄÄNTEISFUNKTIOIDEN AVULLA 3 käyttämällä muuttujan vaihtoa s 1 t saadaan x dt x dt 0 1 t 0 ( 1 t)( 1 + t) x dt 1 t Koska x 1 1 x kun 1 < x < 0, joten 0 1 x 1 ds s (1 1 x) <. on symmetrinen y-akselin suhteen, niin pätee x 0 x 0 dt 1 t <, kun 1 < x < 1. dt 1 t >, (b) Koska arcsin x on jatkuva, aidosti kasvava ja rajoitettu välillä ( 1, 1), niin Lemman 4.4 nojalla arcsin x voidaan laajentaa jatkuvaksi ja aidosti kasvavaksi funktioksi suljetulla välillä [ 1, 1] ja arcsin([ 1, 1]) [c, d], missä c inf{arcsin x : 1 < x < 1} lim arcsin x x 1 + lim x 1 + x 0 dt 1 t ja x dt d sup{arcsin x : 1 < x < 1} lim arcsin x lim. x 1 x t Näillä tiedoilla ei vielä kuitenkaan osata laskea arvoja arcussinifunktiolle. Sitä varten määritellään luku π hyödyntäen huomautuksen 4.5(b)-kohtaa seuraavasti: Määritelmä 4.6. Määritellään luku π seuraavasti: π arcsin 1 sup{arcsin x : 1 < x < 1} lim arcsin x x 1 lim x 1 x 0 dt 1 t. Huomautus 4.7. (a) Määritelmän nojalla arcsin 1 π ja koska arcsin x on pariton funktio, niin arcsin( 1) π. (b) Funktio arcsin : [ 1, 1] [ π, π ] on bijektio, sillä se on jatkuva ja aidosti kasvava. Siten funktiolla arcsin : [ 1, 1] [ π, π ] on olemassa jatkuva käänteisfunktio. Määritelmä 4.8. Funktion arcsin : [ 1, 1] [ π, π ] käänteisfunktio on sinifunktio, sin : [ π, π ] [ 1, 1]. Esimerkki 4.9. Koska arcsin 1 π, niin sin π sin , ja koska arcsin 0 0, niin

27 4. MÄÄRITELMÄ KÄÄNTEISFUNKTIOIDEN AVULLA 4 Määritelmän nojalla sinifunktio on määritelty suljetulle välille [ π, π ]. Tarkoituksena on kuitenkin määritellä sinifuntio koko reaaliakselille. Tämä määrittely tapahtuu osissa siten, että sinifunktion määritelmää laajennetaan niin, että sinistä tulee jatkuva ja jaksollinen funktio määrittelyjoukossaan. Tämän jälkeen Lauseen 4.14 avulla nähdään, että sinifunktio voidaan laajentaa jaksolliseksi funktioksi koko reaaliakselille. Seuraavaa aputulosta käytetään hyväksi sinin jatkuvuuden todistamisessa. Lemma Olkoon I väli ja f : I R jatkuva ja aidosti kasvava. Silloin f 1 : f(i) I on jatkuva ja aidosti kasvava. Todistus. Todistus sivuutetaan. Ks. [14], s. ja s.55. Lause (a) Funktio sin x on jatkuva ja aidosti kasvava välillä [ π, π ]. (b) Funktio sin x on pariton funktio välillä [ π, π ]. Todistus. (a) Seuraa suoraan Lemmasta (b) Olkoot x [ 1, 1] ja y [ π, π ] ja arcsin x y, jolloin sin y x. Koska arcsin x on pariton funktio välillä [ 1, 1], niin arcsin( x) arcsin x y, jolloin sin( y) x sin y eli sin x on pariton funktio välillä [ π, π]. Määritelmä 4.1. Määritellään sinifunktio välille π x 3π sin x sin(x π) kaikilla x [ π, 3π ]. asettamalla Huomautus (a) Funktio sin : [ π, 3π ] R on jatkuva määrittelyjoukossaan: Lauseen 4.11 mukaan funktio sin : [ π, π ] [ 1, 1] on jatkuva määrit- telyjoukossaan. Lisäksi, kun π x 3π, niin π x π π, joten funktio sin : [ π, 3π ] R, sin x sin(x π) on jatkuva määrittelyjoukossaan. Tämän lisäksi sin x on jatkuva pisteessä x π, sillä, kun x π, niin kummatkin puolet määrittelevästä yhtälöstä sin x sin(x π) ovat samat. (b) Määritelmän mukaan sin 3π sin( 3π π) sin π. Siten sin x on jaksollinen välillä [ π, 3π] jaksonaan 3π ( π) π. Lemma Jos f : R R on jaksollinen jakson pituutenaan p ja derivoituva välillä [a, a + p), niin silloin f on jaksollinen ja derivoituva koko reaaliakselilla. Todistus. Olkoon f jaksollinen välillä [a, a+p) jakson pituutenaan p 0. Tällöin pätee f(x + kp) f(x) jokaisella x [a, a + p), k Z. Olkoon x R. Tällöin voidaan merkitä x x 0 + kp, missä k Z ja x 0 [a, a + p). Koska f on jaksollinen välillä [a, a + p), niin f(x) f(x 0 + kp) f(x 0 ). Siten f(x + kp) f(x 0 + kp) f(x 0 ) f(x), joten f on jaksollinen koko reaaliakselilla. Osoitetaan sitten, että f on derivoituva koko reaaliakselilla: Koska f on derivoituva välillä [a, a + p), niin funktion f erotusosamäärän raja-arvo on olemassa eli f(x 0 + h) f(x 0 ) lim h 0 h f (x 0 ) kaikilla x 0 [a, a + p).

28 4. MÄÄRITELMÄ KÄÄNTEISFUNKTIOIDEN AVULLA 5 Nyt funktion f jaksollisuuden nojalla jokaisella x R pätee f(x + h) f(x) lim h 0 h Siispä funktio f on derivoituva koko reaaliakselilla. f(x 0 + kp + h) f(x 0 + kp) lim h 0 h f(x 0 + h) f(x 0 ) lim h 0 h f (x 0 ). Määritelmä Olkoon x R. Merkitään x x 0 + πk, missä k Z ja x 0 [ π, 3π ], jolloin sinifunktio määritellään koko reaaliakselille asettamalla sin x sin x 0. Huomautus (a) Määritelmän nojalla sin x on jaksollinen funktio koko reaaliakselilla jaksonaan π. Myöhemmin osoitetaan vielä, että π on lyhin sinin jakso. (b) Määritelmästä ja Huomautuksesta 4.13 seuraa, että sinifunktio on jatkuva koko reaaliakselilla. Lauseen 4.11 (b)-kohdassa osoitettiin, että sini on pariton funktio välillä [ π, π ]. Nyt osoitetaan, että sini on pariton funktio myös koko reaaliakselilla: Lause Funktio sin : R R on pariton funktio koko reaaliakselilla. Todistus. Osoitetaan ensin, että sin x on pariton funktio välillä [ π, 3π ]. Lauseen 4.11 mukaan sin x on pariton välillä [ π, π], joten riittää tarkastella väliä [ π, 3π ]. Nyt 3π x π eli π x π + π π, jolloin, koska sini on jaksollinen ja pariton välillä [ π, π ], pätee jokaiselle x [ π, 3π ] sin( x) sin( x π) sin( x π + π) sin(x + π π) sin(x π) sin x. Siten sin x on pariton koko välillä [ π, 3π ]. Nyt sinin jaksollisuudesta seuraa, että sini on pariton koko reaaliakselilla. Seuraavaksi halutaan todistaa, että sinifunktio on derivoituva koko reaaliakselilla. Osoitetaan ensin, että sinifunktio on derivoituva välillä [ π, 3π ) ja jaksollisuutta käyttäen näytetään, että sinifunktio on derivoituva koko reaaliakselilla. Seuraavaa käänteisfunktion derivaattaa koskevaa tulosta tarvitaan määritettäessä sinin derivaattaa: Lause Olkoon funktio f derivoituva välillä (a, b) ja f (x) > 0 jokaisella x (a, b). Tällöin funktion f käänteisfunktio f 1 on derivoituva pisteessä y f(x) ja d dy f 1 (y) 1 f (x).

29 4. MÄÄRITELMÄ KÄÄNTEISFUNKTIOIDEN AVULLA 6 Todistus. Todistus sivuutetaan. Ks. [15], s.54. Lemma Sinifunktio on derivoituva välillä ( π, π) ja jokaiselle x ( π, π) pätee d(sin x) 1 sin x. Todistus. Koska Lauseen 4.3 nojalla funktio y f(x) arcsin x on derivoituva välillä ( 1, 1) ja f (x) 1 1 x > 0 jokaisella x ( 1, 1), niin Lauseesta 4.18 seuraa, että funktion f käänteisfunktio f 1 (x) sin x on derivoituva pisteessä y ( π, π) ja d(sin y) d dy dy f 1 (y) 1 f (x) x 1 sin y. 1 x Lemma 4.0. Sinifunktio on derivoituva välillä ( π, 3π) ja jokaiselle x ( π, 3π) pätee d(sin x) 1 sin x. Todistus. Määritelmän 4.1 ja ketjusäännön nojalla jokaiselle x ( π, 3π) pätee d(sin x) d ( sin(x π)) 1 sin (x π) 1 sin x. Lause 4.1. Olkoon funktio f jatkuva pisteessä x 0 ja derivoituva jollakin pisteen x 0 sisältämällä välillä lukuunottamatta pistettä x x 0. Jos lisäksi lim x x0 f (x) on olemassa, niin tällöin f (x 0 ) on olemassa ja f (x 0 ) lim x x0 f (x). Todistus. Olkoon funktio f jatkuva pisteessä x 0 ja derivoituva jollakin pisteen x 0 sisältämällä välillä lukuunottamatta pistettä x x 0 ja olkoon lim x x0 f (x) olemassa. Derivaatan määritelmän nojalla f f(x 0 + h) f(x 0 ) (x 0 ) lim. h 0 h Tarpeeksi pienellä h > 0 funktio f on jatkuva välillä [x 0, x 0 + h] ja derivoituva välillä (x 0, x 0 + h). Siten differentiaalilaskennan väliarvolauseen nojalla on olemassa luku ξ (x 0, x 0 + h) siten, että f(x 0 + h) f(x 0 ) f (ξ). h Nyt, koska ξ (x 0, x 0 + h), niin ξ x 0, kun h 0. Näin ollen, koska lim x x0 f (x) on olemassa, niin f f(x 0 + h) f(x 0 ) (x 0 ) lim h 0 h Todistus etenee samaan tapaan myös oletuksella h < 0. lim h 0 f (ξ) lim x x0 f (x). Lemma 4.. Sinifunktio on derivoituva pisteessä x π ja d(sin x) 0, kun x π.

30 4. MÄÄRITELMÄ KÄÄNTEISFUNKTIOIDEN AVULLA 7 Todistus. Koska sinifunktio on jatkuva koko reaaliakselilla, niin 1 sin x d(sin x) lim x π lim x π 0 lim ( 1 sin x) x π + lim x π + d(sin x). Siten lim x π d(sin x) 0, jolloin Lauseen 4.1 nojalla d(sin x) x π lim d(sin x) x π 0. Seuraus 4.3. Sinifunktio on derivoituva välillä ( π, 3π ) ja d(sin x) { 1 sin x, kun x ( π, π ] 1 sin x, kun x [ π, 3π ). Seuraus 4.4. Sinifunktio on derivoituva koko reaaliakselilla, ja { d(sin x) 1 sin x, kun x [ π + kπ, π + kπ], k Z 1 sin x, kun x [ π + kπ, 3π + kπ], k Z. Todistus. Osoitetaan ensin, että sini on derivoituva pisteessä x π : Koska parittoman funktion derivaattafunktio on parillinen eli symmetrinen y-akselin suhteen, niin Siten lim x π d(sin x) d(sin x) lim x π lim 1 sin x x π + 0 lim ( 1 sin x) x π lim x π + d(sin x). 0, jolloin Lauseen 4.1 mukaan d(sin x)) x π lim d(sin x) x π Nyt siis sin x on derivoituva välillä [ π, 3π ), jolloin Lemman 4.14 nojalla sin x on derivoituva koko reaaliakselilla. Lisäksi, kun x x 0 + πk, missä x 0 [ π, 3π] ja k Z, niin { d sin(x) d 1 sin sin x 0 x, kun x 0 [ π, π] 1 sin x, kun x 0 [ π, 3π]. 0.

31 4. MÄÄRITELMÄ KÄÄNTEISFUNKTIOIDEN AVULLA 8 Nyt voidaan määritellä kosinifunktio sinin derivaatan avulla ja tämän jälkeen edelleen laajennetaan kosinifuntio koko reaaliakselille. Määritelmä 4.5. Määritellään kosinifunktio cos : [ π, 3π] R asettamalla { 1 sin cos x x, kun x [ π, π] 1 sin x, kun x [ π, 3π]. Esimerkki 4.6. Määritelmän nojalla cos( π ) 0 cos 3π ja cos 0 1. Määritelmä 4.7. Olkoon x R. Merkitään x x 0 + πk, missä k Z ja x 0 [ π, 3π ], jolloin kosinifunktio määritellään koko reaaliakselille asettamalla cos x cos x 0. Pitäen nämä sinin ja kosinin määritelmät lähtökohtana voidaan alkaa osoittaa tärkeitä sinin ja kosinin perusidentiteettejä todeksi sekä määrittää sinin ja kosinin derivaatat. Lause 4.8. (a) Funktio cos x on parillinen funktio koko reaaliakselilla. (b) Jokaisella x R pätee sin x + cos x 1. Todistus. (a) Koska sin x on pariton funktio koko reaaliakselilla, niin sin ( x) sin( x) sin( x) sin x( sin x) sin x. Edelleen kosinin määritelmän nojalla, kun x [ π, π ], niin cos( x) 1 sin ( x) 1 sin x cos x ja, kun x [ π, 3π ], niin cos( x) 1 sin ( x) 1 sin x cos x. Siten cos x on parillinen funktio välillä [ π, 3π ]. Lisäksi kosinin jaksollisuudesta seuraa, että kosini on parillinen funktio koko reaaliakselillla. (b) Nyt kosinin määritelmän nojalla saadaan helposti, että jokaisella x R pätee sin x + cos x sin x + 1 sin x 1. Lause 4.9. Sini- ja kosinifunktio ovat derivoituvia koko reaaliakselilla ja jokaisella x R pätee d sin x d cos x cos x ja sin x. Todistus. Seurauksen 4.4 ja kosinin määritelmän nojalla saadaan sinille derivaataksi { d(sin x) 1 sin x cos x, kun x kπ [ π, π], k Z 1 sin x cos x, kun x kπ [ π, 3π ], k Z.

32 4. MÄÄRITELMÄ KÄÄNTEISFUNKTIOIDEN AVULLA 9 Tarkastellaan seuraavaksi kosinin derivoituvuutta: Kosinin määritelmän nojalla cos x on derivoituva väleillä ( π, π) ja ( π, 3π ) yhdistettynä funktiona derivoituvista funktioista, koska sin x 1 (seuraa Lauseen 4.8 (b)-kohdasta, ks..9 (a)-kohta) ja koska siten 1 sin x 0 jokaisella x R. Lisäksi ketjusäännön nojalla d d(cos x) 1 sin x 1 sin x cos x sin x cos x sin x, kun x [ 1 sin π, π) x cos x d ( 1 sin x) 1 sin x cos x 1 sin x sin x cos x cos x sin x, kun x ( π, 3π ]. Edelleen cos x on derivoituva pisteessä x π, sillä sinin jatkuvuuden nojalla d(cos x) d(cos x) lim x π lim ( sin x) x π 1 lim ( sin x) x π + d(cos x) lim. x π + Siten lim x π 1, jolloin Lauseen 4.1 nojalla d(cos x) x π lim d(cos x) 1. x π Lisäksi Lemman 4.14 nojalla kosinifunktio on derivoituva koko reaaliakselilla, ja kun x x 0 + πk, missä x 0 [ π, 3π ] ja k Z, niin d cos x d(cos x 0) Lause Jokaisella x R pätee sin x. cos(x + y) cos x cos y sin x sin y ja sin(x + y) sin x cos y + cos x sin y. Todistus. Osoitetaan samaan tapaan kuten Lauseen.8 todistus. Katso vielä Huomautus.9. Osoitetaan vielä, että sinin ja kosinin lyhimmän jakson pituus on π. Lause Sinin ja kosinin lyhimmän jakson pituus on π. Todistus. Todistus etenee samaan tapaan kuin Lauseen.14 todistus. Todistuksen lopussa ristiriita saadaan aikaiseksi tiedosta, että kosinilla ei voi olla nollakohtaa välillä (0, π ): Ensinnäkin d(cos x) sin x < 0, kun x (0, π ), sillä sin x on aidosti kasvava välillä [0, π] sekä sin 0 0 ja sin π 1. Siten cos x on aidosti vähenevä välillä [0, π], ja koska cos 0 1 ja cos π 0 määritelmän nojalla, niin kosinilla ei voi olla nollakohtia välillä (0, π). Lisäksi voidaan vielä osoittaa, että Määritelmässä 4.6 määritelty luku pii vastaa geometrisesti määriteltyä piitä. Todistus tehdään samaan tapaan kuten Lauseen.16

8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa

8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa 8 Potenssisarjoista 8. Määritelmä Olkoot a 0, a, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.. Muotoa a 0 + a (x c) + a 2 (x c) 2 + olevaa sarjaa sanotaan c-keskiseksi potenssisarjaksi. Selvästi jokainen

Lisätiedot

Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua.

Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua. 6 Alkeisfunktiot Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua. 6. Funktion määrittely Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon

Lisätiedot

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta Eksponenttifuntio Palautetaan mieliin, että Neperin luvulle e pätee: e ) n n n ) n n n n n ) n. Tästä määritelmästä seuraa, että eksponenttifunktio e x voidaan määrittää

Lisätiedot

Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x 1 ja x 2 on voimassa ehto:

Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x 1 ja x 2 on voimassa ehto: 4 Reaalifunktiot 4. Funktion monotonisuus Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x ja x on voimassa ehto: "jos x < x, niin f (x

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 12 1 Eksponenttifuntio Palautetaan mieliin, että Neperin luvulle e pätee: e ) n n n ) n n n n n ) n. Tästä määritelmästä seuraa, että eksponenttifunktio e x voidaan

Lisätiedot

Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77

Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77 Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07 Kertaus K. a) sin 0 = 0,77 b) cos ( 0 ) = cos 0 = 0,6 c) sin 50 = sin (80 50 ) = sin 0 = 0,77 d) tan 0 = tan (0 80 ) = tan 0 =,9 e)

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 19.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo

Lisätiedot

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Riikka Korte (Pekka Alestalon kalvojen pohjalta) Aalto-yliopisto 15.11.2016 Sisältö Alkeisfunktiot 1.1 Funktio I Funktio f : A! B on sääntö, joka liittää

Lisätiedot

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS Huomautus. Analyysin yksi keskeisimmistä käsitteistä on jatkuvuus! Olkoon A R mielivaltainen joukko

Lisätiedot

Äärettömät raja-arvot

Äärettömät raja-arvot Äärettömät raja-arvot Määritelmä Funktion f oikeanpuoleinen raja-arvo pisteessä x 0 on + mikäli kaikilla R > 0 löytyy sellainen δ > 0 että f (x) > R aina kun x 0 < x < x 0 + δ. Funktion f oikeanpuoleinen

Lisätiedot

Matemaattisen analyysin tukikurssi

Matemaattisen analyysin tukikurssi Matemaattisen analyysin tukikurssi 12. Kurssikerta Petrus Mikkola 5.12.2016 Tämän kerran asiat Sini-ja kosifunktio Yksikköympyrä Tangentti- ja kotangenttifunktio Trigonometristen funktioiden ominaisuuksia

Lisätiedot

MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Analyysi I Harjoitus alkavalle viikolle Ratkaisuehdotuksia (7 sivua) (S.M)

MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Analyysi I Harjoitus alkavalle viikolle Ratkaisuehdotuksia (7 sivua) (S.M) MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Analyysi I Harjoitus 7. 2. 2009 alkavalle viikolle Ratkaisuehdotuksia (7 sivua) (S.M) Luennoilla on nyt menossa vaihe, missä Hurri-Syrjäsen monistetta käyttäen tutustutaan

Lisätiedot

1 sup- ja inf-esimerkkejä

1 sup- ja inf-esimerkkejä Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Nollakohdan olemassaolo. Kaikki tuntevat

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 6: Alkeisfunktioista

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 6: Alkeisfunktioista MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 6: Alkeisfunktioista Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 28.9.2016 Pekka Alestalo,

Lisätiedot

Derivaattaluvut ja Dini derivaatat

Derivaattaluvut ja Dini derivaatat Derivaattaluvut Dini derivaatat LuK-tutkielma Helmi Glumo 2434483 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Taustaa 2 2 Määritelmät 4 3 Esimerkkejä lauseita 7 Lähdeluettelo

Lisätiedot

Sini- ja kosinifunktio

Sini- ja kosinifunktio Sini- ja kosinifunktio Trigonometriset funktio voidaan määritellä muun muassa potenssisarjana tai yksikköympyrän avulla. Yksikköympyrään pohjautuvassa määritelmässä sini- ja kosinifunktion muuttujana pidetään

Lisätiedot

Reaaliluvuista. Yleistä funktio-oppia. Trigonometriset funktiot. Eksponentti- ja logaritmifunktiot. LaMa 1U syksyllä 2011

Reaaliluvuista. Yleistä funktio-oppia. Trigonometriset funktiot. Eksponentti- ja logaritmifunktiot. LaMa 1U syksyllä 2011 Toisen viikon luennot Reaaliluvuista. Yleistä funktio-oppia. Trigonometriset funktiot. Eksponentti- ja logaritmifunktiot. LaMa 1U syksyllä 2011 Perustuu paljolti lukion oppikirjoihin ja Trench in verkkokirjaan,

Lisätiedot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot 3. Funktion raja-arvo ja jatkuvuus 3.1. Reaali- ja kompleksifunktiot 43. Olkoon f monotoninen ja rajoitettu välillä ]a,b[. Todista, että raja-arvot lim + f (x) ja lim x b f (x) ovat olemassa. Todista myös,

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kertausluento 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat:. Potenssisarjojen suppenemissäde, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan

Lisätiedot

Luku 4. Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia.

Luku 4. Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia. 1 MAT-1343 Laaja matematiikka 3 TTY 1 Risto Silvennoinen Luku 4 Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia Derivaatan olemassaolosta seuraa funktioille eräitä säännöllisyyksiä Näistä on jo edellisessä luvussa

Lisätiedot

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion

Lisätiedot

Sinin jatkuvuus. Lemma. Seuraus. Seuraus. Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Sini on jatkuva funktio.

Sinin jatkuvuus. Lemma. Seuraus. Seuraus. Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Sini on jatkuva funktio. Sinin jatkuvuus Lemma Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Seuraus Sini on jatkuva funktio. Seuraus Kosini, tangentti ja kotangentti ovat jatkuvia funktioita. Pekka Salmi FUNK 19. syyskuuta 2016 22 / 53 Yhdistetyn

Lisätiedot

Tenttiin valmentavia harjoituksia

Tenttiin valmentavia harjoituksia Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.

Lisätiedot

1 Määrittelyjä ja aputuloksia

1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1.1 Supremum ja infimum Aluksi kerrataan pienimmän ylärajan (supremum) ja suurimman alarajan (infimum) perusominaisuuksia ja esitetään muutamia myöhemmissä todistuksissa tarvittavia

Lisätiedot

Mat / Mat Matematiikan peruskurssi C3-I / KP3-I Harjoitus 5 / vko 42, loppuviikko, syksy 2008

Mat / Mat Matematiikan peruskurssi C3-I / KP3-I Harjoitus 5 / vko 42, loppuviikko, syksy 2008 Mat-.3 / Mat-.33 Matematiikan peruskurssi C3-I / KP3-I Harjoitus 5 / vko 4, loppuviikko, syksy 8 Ennen malliratkaisuja, muistin virkistämiseksi kaikkien rakastama osittaisintegroinnin kaava: b a u(tv (t

Lisätiedot

Pyramidi 10 Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu 298 Päivitetty

Pyramidi 10 Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu 298 Päivitetty Pyramidi Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu 98 Päivitetty.5. Pyramidi Harjoituskokeet 6.5.7 Ensimmäinen julkaistu versio..7.7 Korjattu ulkoasua ja painovirheitä..8.7 Täydennetty ratkaisuja

Lisätiedot

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Funktiot Tässä luvussa käsitellään reaaliakselin osajoukoissa määriteltyjä funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Avoin väli: ]a, b[ tai ]a, [ tai ],

Lisätiedot

Ratkaisuehdotus 2. kurssikokeeseen

Ratkaisuehdotus 2. kurssikokeeseen Ratkaisuehdotus 2. kurssikokeeseen 4.2.202 (ratkaisuehdotus päivitetty 23.0.207) Huomioitavaa: - Tässä ratkaisuehdotuksessa olen pyrkinyt mainitsemaan lauseen, johon kulloinenkin päätelmä vetoaa. Näin

Lisätiedot

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 6 Maanantai

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 6 Maanantai . (Teht. s. 93.) Määrää raja-arvo MATP53 Approbatur B Harjoitus 6 Maanantai 7..5 cos x x. Ratkaisu. Suora sijoitus antaa epämääräisen muodon (ei auta). Laventamalla päädytään muotoon ja päästään käyttämään

Lisätiedot

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 8. Integraalilauseiden sovelluksia 1. Analyyttisen funktion sarjaesitys. (eli jokainen analyyttinen funktio on lokaalisti suppenevan potenssisarjan

Lisätiedot

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö Funktion kasvavuus ja vähenevyys; paikalliset ääriarvot Jos derivoituvan reaalifunktion f derivaatta tietyssä pisteessä on positiivinen, f (x 0 ) > 0, niin funktion tangentti

Lisätiedot

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on 13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu

Lisätiedot

Rollen lause polynomeille

Rollen lause polynomeille Rollen lause polynomeille LuK-tutkielma Anna-Helena Hietamäki 7193766 Matemaattisten tieteiden tutkinto-ohjelma Oulun yliopisto Kevät 015 Sisältö 1 Johdanto 1.1 Rollen lause analyysissä.......................

Lisätiedot

Luku 2. Jatkuvien funktioiden ominaisuuksia.

Luku 2. Jatkuvien funktioiden ominaisuuksia. 1 MAT-1343 Laaja matematiikka 3 TTY 21 Risto Silvennoinen Luku 2. Jatkuvien funktioiden ominaisuuksia. Jatkossa väli I tarkoittaa jotakin seuraavista reaalilukuväleistä: ( ab, ) = { x a< x< b} = { x a

Lisätiedot

Ratkaisuehdotus 2. kurssikoe

Ratkaisuehdotus 2. kurssikoe Ratkaisuehdotus 2. kurssikoe 4.2.202 Huomioitavaa: - Tässä ratkaisuehdotuksessa olen pyrkinyt mainitsemaan lauseen, johon kulloinenkin päätelmä vetoaa. Näin opiskelijan on helpompi jäljittää teoreettinen

Lisätiedot

Poistumislause Kandidaatintutkielma

Poistumislause Kandidaatintutkielma Poistumislause Kandidaatintutkielma Mikko Nikkilä 013618832 26. helmikuuta 2011 Sisältö 1 Johdanto................................... 2 2 Olemassaolon ja yksikäsitteisyyden historiaa............ 3 3 Esitietoja..................................

Lisätiedot

Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on

Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: geometrinen (käyrän tangentti sekanttien raja-asentona) fysikaalinen (ajasta riippuvan funktion hetkellinen muutosnopeus) 1 / 19 Derivaatan määritelmä Määritelmä

Lisätiedot

Tehtävä 1. Miksi seuraavat esimerkit eivät ole funktioita? 1. f : R Z, f(x) = x 2. 2 kun x on parillinen,

Tehtävä 1. Miksi seuraavat esimerkit eivät ole funktioita? 1. f : R Z, f(x) = x 2. 2 kun x on parillinen, Funktiotehtävät, 10. syyskuuta 005, sivu 1 / 4 Perustehtävät Tehtävä 1. Miksi seuraavat esimerkit eivät ole funktioita? 1. f : R Z, f(x) = x. kun x on parillinen, f : N {0, 1, }, f(x) = 1 kun x on alkuluku,

Lisätiedot

x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi

x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi Mallivastaukset - Harjoituskoe F F1 a) (a + b) 2 (a b) 2 a 2 + 2ab + b 2 (a 2 2ab + b 2 ) a 2 + 2ab + b 2 a 2 + 2ab b 2 4ab b) tan x 3 x π 3 + nπ, n Z c) f(x) x2 x + 1 f (x) 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 2x2

Lisätiedot

Kompleksiluvut., 15. kesäkuuta /57

Kompleksiluvut., 15. kesäkuuta /57 Kompleksiluvut, 15. kesäkuuta 2017 1/57 Miksi kompleksilukuja? Reaaliluvut lukusuoran pisteet: Tiedetään, että 7 1 0 x 2 = 0 x = 0 1 7 x 2 = 1 x = 1 x = 1 x 2 = 7 x = 7 x = 7 x 2 = 1 ei ratkaisua reaalilukujen

Lisätiedot

MATP153 Approbatur 1B Ohjaus 2 Keskiviikko torstai

MATP153 Approbatur 1B Ohjaus 2 Keskiviikko torstai MATP15 Approbatur 1B Ohjaus Keskiviikko 4.11. torstai 5.11.015 1. (Opiskeluteht. 6 s. 0.) Määritä sellainen vakio a, että polynomilla x + (a 1)x 4x a on juurena luku x = 1. Mitkä ovat tällöin muut juuret?.

Lisätiedot

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A) Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 21.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo

Lisätiedot

Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot.

Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot. 7 Sovelluksia 90 a) Koska sin saa kaikki välillä [,] olevat arvot, niin funktion f ( ) = sin pienin arvo on = ja suurin arvo on ( ) = b) Koska sin saa kaikki välillä [0,] olevat arvot, niin funktion f

Lisätiedot

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy Tutki funktion f(x) = x 2 + x 2 jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1.

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy Tutki funktion f(x) = x 2 + x 2 jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1. Analyysi 1 Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy 014 1. Tutki funktion x + x jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1.. Määritä vakiot a ja b siten, että funktio a x cos x + b x + b sin x, kun x 0, x 4, kun x

Lisätiedot

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Syksy Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko A = x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu.

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Syksy Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko A = x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu. Analyysi Harjoituksia lukuihin 3 / Syksy 204. Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko { 2x A = x ]4, [. x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu. 2. Anna jokin ylä- ja alaraja joukoille { x( x) A = x ], [,

Lisätiedot

0. Kertausta. Luvut, lukujoukot (tavalliset) Osajoukot: Yhtälöt ja niiden ratkaisu: N, luonnolliset luvut (1,2,3,... ) Z, kokonaisluvut

0. Kertausta. Luvut, lukujoukot (tavalliset) Osajoukot: Yhtälöt ja niiden ratkaisu: N, luonnolliset luvut (1,2,3,... ) Z, kokonaisluvut 0. Kertausta Luvut, lukujoukot (tavalliset) N, luonnolliset luvut (1,2,3,... ) Z, kokonaisluvut Rationaaliluvut n/m, missä n,m Z Reaaliluvut R muodostavat jatkumon fysiikan lukujoukko Kompleksiluvut C:z

Lisätiedot

1. Määritä funktion f : [ 1, 3], f (x)= x 3 3x, suurin ja pienin arvo.

1. Määritä funktion f : [ 1, 3], f (x)= x 3 3x, suurin ja pienin arvo. Matematiikan ja tilastotieteen laitos Differentiaalilaskenta, syksy 01 Lisätetävät Ratkaisut 1. Määritä funktion f : [ 1, 3], suurin ja pienin arvo. f (x)= x 3 3x, Ratkaisu. Funktio f on jatkuva suljetulla

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi 2

Matematiikan peruskurssi 2 Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat

Lisätiedot

1.6. Yhteen- ja vähennyslaskukaavat

1.6. Yhteen- ja vähennyslaskukaavat Yhteen- ja vähennyslaskukaavoiksi sanotaan trigonometriassa niitä kaavoja, jotka sisältävät kehitelmät kahden reaaliluvun summan tai erotuksen trigonometriselle funktiolle, kuten sin( + y) sin cos y +

Lisätiedot

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Valitse seuraaville säännöille mahdollisimman laajat lähtöjoukot ja sopivat maalijoukot niin, että syntyy kahden muuttujan funktiot (ks. monisteen

Lisätiedot

Funktiojonon tasainen suppeneminen

Funktiojonon tasainen suppeneminen TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Taina Saari Funktiojonon tasainen suppeneminen Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Elokuu 2009 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen

Lisätiedot

Cantorin joukon suoristuvuus tasossa

Cantorin joukon suoristuvuus tasossa Cantorin joukon suoristuvuus tasossa LuK-tutkielma Miika Savolainen 2380207 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Cantorin joukon esittely 2 2 Suoristuvuus ja

Lisätiedot

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee

Lisätiedot

d Todista: dx xn = nx n 1 kaikilla x R, n N Derivaatta Derivaatta ja differentiaali

d Todista: dx xn = nx n 1 kaikilla x R, n N Derivaatta Derivaatta ja differentiaali 6. Derivaatta 6.. Derivaatta ja differentiaali 72. Olkoon f () = 4. Etsi derivaatan määritelmän avulla f ( 3). f ( 3) = 08. 73. Muodosta funktion f () = derivaatta suoraan määritelmän mukaan, so. tarkastelemalla

Lisätiedot

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Riikka Korte (Pekka Alestalon kalvojen pohjalta) Aalto-yliopisto 24.10.2016 Sisältö Derivaatta 1.1 Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: I geometrinen

Lisätiedot

JATKUVUUS. Funktio on jatkuva jos sen kuvaaja voidaan piirtää nostamatta kynää paperista.

JATKUVUUS. Funktio on jatkuva jos sen kuvaaja voidaan piirtää nostamatta kynää paperista. JATKUVAT FUNKTIOT JATKUVUUS Jatkuva funktio Epäjatkuva funktio Funktio on jatkuva jos sen kuvaaja voidaan piirtää nostamatta kynää paperista., suomennos Matti Pauna JATKUVUUS Jatkuva funktio Epäjatkuva

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ

MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 1 YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 25.9.2017 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ A-osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät 1 4. Tehtävät arvostellaan pistein 0 6. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän

Lisätiedot

3.4 Käänteiskuvauslause ja implisiittifunktiolause

3.4 Käänteiskuvauslause ja implisiittifunktiolause 3.4 Käänteiskuvauslause ja implisiittifunktiolause Tässä luvussa käsitellään kahta keskeistä vektorianalyysin lausetta. Esitellään aluksi kyseiset lauseet ja tutustutaan niiden käyttötapoihin. Lause 3.4.1

Lisätiedot

Fysiikan matematiikka P

Fysiikan matematiikka P Fysiikan matematiikka 763101P Luennoija: Kari Rummukainen, Fysikaalisten tieteiden laitos Tavoite: tarjota opiskelijalle nopeasti fysikaalisten tieteiden tarvitsemia matematiikan perustietoja ja taitoja.

Lisätiedot

Differentiaalilaskenta 1.

Differentiaalilaskenta 1. Differentiaalilaskenta. a) Mikä on tangentti? Mikä on sekantti? b) Määrittele funktion monotonisuuteen liittyvät käsitteet: kasvava, aidosti kasvava, vähenevä ja aidosti vähenevä. Anna esimerkit. c) Selitä,

Lisätiedot

Analyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1

Analyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1 Analyysi III Jari Taskinen 28. syyskuuta 2002 Luku Sisältö Sarjat 2. Lukujonoista........................... 2.2 Rekursiivisesti määritellyt lukujonot.............. 8.3 Sarja ja sen suppenminen....................

Lisätiedot

Konvergenssilauseita

Konvergenssilauseita LUKU 4 Konvergenssilauseita Lause 4.1 (Monotonisen konvergenssin lause). Olkoon (f n ) kasvava jono Lebesgueintegroituvia funktioita. Asetetaan f(x) := f n (x). Jos f n

Lisätiedot

Funktion määrittely (1/2)

Funktion määrittely (1/2) Funktion määrittely (1/2) Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon a täsmälleen yhden B:n alkion b. Merkitään b = f (a). Tässä A = M f on f :n määrittelyjoukko, B on f :n maalijoukko.

Lisätiedot

6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset

6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 51 6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt Määritelmä 6.1. Olkoon I R avoin väli. Olkoot p i : I R, i = 0, 1, 2,..., n, ja q : I R jatkuvia

Lisätiedot

Osa VI. Fourier analyysi. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246

Osa VI. Fourier analyysi. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246 Osa VI Fourier analyysi A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta 2007 127 / 246 1 Johdanto 2 Fourier-sarja 3 Diskreetti Fourier muunnos A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331

Lisätiedot

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus:

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus: . Koska F( ) on jokin funktion f ( ) integraalifunktio, niin a+ a f() t dt F( a+ t) F( a) ( a+ ) b( a b) Vastaus: Kertausharjoituksia. Lukujonot 87. + n + lim lim n n n n Vastaus: suppenee raja-arvona

Lisätiedot

Kompleksianalyysi, viikko 5

Kompleksianalyysi, viikko 5 Kompleksianalyysi, viikko 5 Jukka Kemppainen Mathematics Division Kompleksiset jonot Aloitetaan jonon suppenemisesta. Määr. 1 Kompleksiluvuista z 1,z 2,...,z n,... koostuva jono suppenee kohti raja-arvoa

Lisätiedot

2. Fourier-sarjoista. Aaltoliikkeen ja lämmöjohtumisen matemaattinen tarkastelu

2. Fourier-sarjoista. Aaltoliikkeen ja lämmöjohtumisen matemaattinen tarkastelu 2. Fourier-sarjoista Fourier-analyysi: Aaltoliikkeen ja lämmöjohtumisen matemaattinen tarkastelu Matemaattisen analyysin täkein työväline "Jokainen funktio" voidaan esittää harmonisten värähtelyjen, so.

Lisätiedot

7. Tasaisen rajoituksen periaate

7. Tasaisen rajoituksen periaate 18 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin

Lisätiedot

Trigonometriset funktiot

Trigonometriset funktiot Peruskäsitteet Y-peilaus X-peilaus Pistepeilaus Muistikulmat Muistikolmio 1 Muistikolmio 2 Jaksollisuus Esimerkki 5.A Esimerkki 5.B1 Esimerkki 5.B2 Esimerkki 5C.1 Esimerkki 5C.2 (1/2) (2/2) Muunnelmia

Lisätiedot

Jaksollisen signaalin spektri

Jaksollisen signaalin spektri Jaksollisen signaalin spektri LuK-tutkielma Topi Suviaro 2257699 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 215 Sisältö Johdanto 2 1 Jaksollisuudesta 2 2 Spektristä 3 2.1 Symmetrian vaikutuksesta

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 Väliarvolause Oletetaan, että funktio f on jatkuva jollain reaalilukuvälillä [a, b] ja derivoituva avoimella välillä (a, b). Funktion muutos tällä välillä on luonnollisesti

Lisätiedot

13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista. Muodosta viidennen asteen Taylorin polynomi kehityskeskuksena origo funktiolle

13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista. Muodosta viidennen asteen Taylorin polynomi kehityskeskuksena origo funktiolle 13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista 13.1. Taylorin polynomi 552. Muodosta funktion f (x) = x 4 + 3x 3 + x 2 + 2x + 8 kaikki Taylorin polynomit T k (x, 2), k = 0,1,2,... (jolloin siis potenssien

Lisätiedot

Ratkaisut vuosien tehtäviin

Ratkaisut vuosien tehtäviin Ratkaisut vuosien 1978 1987 tehtäviin Kaikki tehtävät ovat pitkän matematiikan kokeista. Eräissä tehtävissä on kaksi alakohtaa; ne olivat kokelaalle vaihtoehtoisia. 1978 Osoita, ettei mikään käyrän y 2

Lisätiedot

Epäyhtälöt 1/7 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt

Epäyhtälöt 1/7 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt Epäyhtälöt 1/7 Sisältö Epäyhtälö Epäyhtälöllä tarkoitetaan ehtoa, missä kahdesta lausekkeesta toinen on suurempi tai mahdollisesti yhtä suuri kuin toinen: f(x) < g(x), f(x) g(x).merkit voidaan luonnollisesti

Lisätiedot

TRIGONOMETRISET JA HYPERBOLISET FUNKTIOT

TRIGONOMETRISET JA HYPERBOLISET FUNKTIOT TRIGONOMETRISET JA HYPERBOLISET FUNKTIOT ARI LEHTONEN. Trigonometriset funktiot.. Peruskaavat. tan x := sin x cos x, cos x cot x := sin x Anglosaksisissa maissa käytössä ovat myös funktiot sekantti sec

Lisätiedot

4.3 Moniulotteinen Riemannin integraali

4.3 Moniulotteinen Riemannin integraali 4.3 Moniulotteinen Riemannin integraali Tässä luvussa opitaan miten integroidaan usean muuttujan reaaliarvoista tai vektoriarvoista funktiota, millaisten joukkojen yli jatkuvaa funktiota voi integroida,

Lisätiedot

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3. Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin

Lisätiedot

* Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa * Trigonometristen funktioiden kuvaajat

* Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa * Trigonometristen funktioiden kuvaajat Trigonometria. a) Määrittele trigonometriset funktiot. b) Vertaa trigonometristen funktioiden ominaisuuksia määritys- ja arvojoukko sekä perusjakso). * Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

Viikon aiheet. Funktion lineaarinen approksimointi

Viikon aiheet. Funktion lineaarinen approksimointi Viikon aiheet Funktion ääriarvot Funktion lineaarinen approksimointi Vektorit, merkintätavat, pituus, yksikkövektori, skalaarilla kertominen, kanta ja kannan vaihto Funktion ääriarvot 6 Väliarvolause Implisiittinen

Lisätiedot

Radiaanit. Kun kulman α suuruus nyt mitataan tämän kaaren pituutena, saadaan kulmaan arvo radiaaneissa.

Radiaanit. Kun kulman α suuruus nyt mitataan tämän kaaren pituutena, saadaan kulmaan arvo radiaaneissa. Radiaanit Kulmia mitataan matematiikassa paitsi asteissa, myös radiaaneissa. Radiaanien taustaideana on, että kun kulmaa α asetetaan yksikköympyrään, kulmien kylkien välille muodostuu ympyrän kehälle kaari

Lisätiedot

3.3 Funktion raja-arvo

3.3 Funktion raja-arvo 3.3 Funktion raja-arvo Olkoot A ja B kompleksitason joukkoja ja f : A B kuvaus. Kuvauksella f on pisteessä z 0 A raja-arvo c, jos jokaista ε > 0 vastaa δ > 0 siten, että 0 < z z 0 < δ ja z A f(z) c < ε.

Lisätiedot

f(x) f(y) x y f f(x) f(y) (x) = lim

f(x) f(y) x y f f(x) f(y) (x) = lim Y1 (Matematiikka I) Haastavampia lisätehtäviä Syksy 1 1. Funktio h määritellään seuraavasti. Kuvan astiaan lasketaan vettä tasaisella nopeudella 1 l/min. Astia on muodoltaan katkaistu suora ympyräkartio,

Lisätiedot

Reaaliarvoisen yhden muuttujan funktion raja arvo LaMa 1U syksyllä 2011

Reaaliarvoisen yhden muuttujan funktion raja arvo LaMa 1U syksyllä 2011 Neljännen viikon luennot Reaaliarvoisen yhden muuttujan funktion raja arvo LaMa 1U syksyllä 2011 Perustuu Trench in verkkokirjan lukuun 2.1. Esko Turunen esko.turunen@tut.fi Funktion y = f (x) on intuitiivisesti

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 12

Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 12 Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 2 Tenttiin valmentavia harjoituksia Huomio. Tähän tulee lisää ratkaisuja sitä mukaan kun ehin niitä kirjoittaa. Kurssilla käyään läpi tehtävistä niin monta kuin mahollista.

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 5: Taylor-polynomi ja sarja

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 5: Taylor-polynomi ja sarja MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 5: Taylor-polynomi ja sarja Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 26.9.2016 Pekka Alestalo,

Lisätiedot

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 212 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 6.1. Poluista. 6. Kompleksinen integrointi Olkoon [α, β] suljettu reaaliakselin väli, α < β, ja olkoon A kompleksitason avoin joukko. Polku on

Lisätiedot

, c) x = 0 tai x = 2. = x 3. 9 = 2 3, = eli kun x = 5 tai x = 1. Näistä

, c) x = 0 tai x = 2. = x 3. 9 = 2 3, = eli kun x = 5 tai x = 1. Näistä Pitkä matematiikka 8.9.0, ratkaisut:. a) ( x + x ) = ( + x + x ) 6x + 6x = + 6x + 6x x = x =. b) Jos x > 0, on x = + x x = + x. Tällä ei ole ratkaisua. Jos x 0, on x = + x x = + x x =. c) x = x ( x) =

Lisätiedot

Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto. Vastaus: a) 90 b) 60 c) 216 d) 1260 e) 974,03 f) ,48

Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto. Vastaus: a) 90 b) 60 c) 216 d) 1260 e) 974,03 f) ,48 Trigonometriset funktiot 169. Muutetaan asteet radiaaneiksi. 180 astetta on radiaaneina π eli 180 = π rad Tällöin 1 rad. 180 45 1 a) 45 180 4 4 65 1 b) 65 180 6 10 c) 10 180 5 5 d) 5 180 4 40 7 e) 40 180

Lisätiedot

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY exp z., k = 1, 2,... Eksponenttifunktion z exp(z) Laurent-sarjan avulla

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY exp z., k = 1, 2,... Eksponenttifunktion z exp(z) Laurent-sarjan avulla KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 11. Integrointi erillisen erikoispisteen ympäri Olkoot f analyyttinen punkteeratussa kiekossa D(z 0.r\{z 0 }. Funktiolla f on erikoispiste z 0.

Lisätiedot

Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle

Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle Olkoon X sisätuloavaruus ja Y X äärellisulotteinen aliavaruus. Tällöin on olemassa lineaarisesti riippumattomat vektorit y 1, y 2,..., yn, jotka

Lisätiedot

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 01 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 5. Eksponenttifunktio ja sini- ja kosinifunktiot Kertausta. (1 Reaaliselle eksponenttifunktiolle e x : R R + pätee e x x k = kaikilla x R. k! (

Lisätiedot

1 Sisätulo- ja normiavaruudet

1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1.1 Sisätuloavaruus Määritelmä 1. Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V R on reaalinen sisätulo eli pistetulo, jos (a) v w = w v (symmetrisyys); (b) v + u w = v

Lisätiedot

Perustehtävät. Kompleksitehtävät, 10/9/2005, sivu 1 / 10. Tehtävä 1. Sievennä 1.

Perustehtävät. Kompleksitehtävät, 10/9/2005, sivu 1 / 10. Tehtävä 1. Sievennä 1. Kompleksitehtävät, 10/9/2005, sivu 1 / 10 Perustehtävät Tehtävä 1. Sievennä 1. 2 5i 1+2i 2. ( 2 i 2) 150 Tehtävä 2. Olkoon P mielivaltainen reaalikertoiminen polynomi. Osoita, että jos luku z C toteuttaa

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle / MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 5. viikolle / 9..5. Integroimismenetelmät Tehtävä : Laske osittaisintegroinnin avulla a) π x sin(x) dx,

Lisätiedot

Ympyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora

Ympyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora Ympyrä 1/6 Sisältö Ympyrä ja sen yhtälö Tason pisteet, jotka ovat vakioetäisyydellä kiinteästä pisteestä, muodostavat ympyrän eli ympyräviivan. Kiinteä piste on ympyrän keskipiste ja vakioetäisyys sen

Lisätiedot

5 Differentiaalilaskentaa

5 Differentiaalilaskentaa 5 Differentiaalilaskentaa 5.1 Raja-arvo Esimerkki 5.1. Rationaalifunktiota g(x) = x2 + x 2 x 1 ei ole määritelty nimittäjän nollakohdassa eli, kun x = 1. Funktio on kuitenkin määritelty kohdan x = 1 läheisyydessä.

Lisätiedot