Newton-Cotesin ja Gaussin integrointimenetelmistä

Transkriptio

1 TAMPEREEN YLIOPISTO Pro grdu -tutkielm Anniin Julku Newton-Cotesin j Gussin integrointimenetelmistä Informtiotieteiden yksikkö Mtemtiikk Toukokuu 215

2 Tmpereen yliopisto Informtiotieteiden yksikkö JULKU, ANNIINA: Newton-Cotesin j Gussin integrointimenetelmistä Pro grdu -tutkielm, 37 s. Mtemtiikk Toukokuu 215 Tiivistelmä Tämä tutkielm käsittelee numeerisen integroinnin kht integrointimenetelmää, Newton-Cotesin j Gussin integrointimenetelmiä. Grfisesti integrointi trkoitt tietyn käyrän j x-kselin väliin jäävän pint-ln määrittämistä integrointivälin päätepisteiden välissä, kun käyrää vstv funktio on positiivinen. Newton-Cotesin integrointimenetelmä on yleisin numeerisist integrointimenetelmistä. Menetelmä perustuu siihen, että hnklsti integroitv funktio korvtn pproksimoidull funktioll, jok on helppo integroid. Kun trkstelln integrointivälin tsvälistä jko j käytetään Lgrngen interpoltiokv, pproksimoidulle polynomille sdn johdettu summluseke pinoineen j pisteineen. Eri pinot vstvt Newton-Cotesin kvoj. Yleensä Newton-Cotesin kvoj ei sovellet koko integrointivälille, vn yksitellen osväleillä, joihin integrointiväli on jettu. Kun integrli rvioidn osvälien pproksimtioiden summll, sdn yhdistettyjä sääntöjä. Gussin integrointimenetelmässä integrli on esitetty pinofunktion j funktion tulon. Integrointiväliä ei kuitenkn jet tsisiin väleihin, sillä päästään prempiin tuloksiin, jos pisteet vlitn trkn integroitumisen knnlt optimlisell tvll. Ennen Gussin integrointisääntöjen muotoilu käydään läpi keskeisiä tuloksi pinofunktioist, ortogonlisist polynomeist j tridigonlimtriiseist. Pinofunktio j sklritulo määritellään, j käydään läpi ortogonlisiin polynomeihin liittyviä luseit, jotk krkterisoivt pinoj j pisteitä. Lopuksi trkstelln Gussin integrointikvoj etukäteen kiinnitetyillä luvuill j pinoill. Näin sdn säännöt Rdun j Lobtton integroinnille. Tärkeimmät viitekirjt työssä ovt J. Stoerin j R. Bulirschin Introduction to Numericl Anlysis j P. J. Dvisin j P. Rbinowitzin Methods of Numericl Integrtion. 2

3 Sisältö 1 Johdnto 4 2 Esitietoj 6 3 Newton-Cotesin integrointimenetelmistä Newton-Cotesin kvoist Yhdistetyistä säännöistä Gussin integrointimenetelmistä Pinofunktioist Perustuloksi ortogonlisist polynomeist Tridigonlimtriiseist Gussin integrointikvoist etukäteen määrätyillä luvuill.. 31 Viitteet 37 3

4 1 Johdnto Olkoon f(x) jokin nnettu relinen funktio. Kyseisen funktion määrätyn integrlin f(x) dx rvon lskeminen on klssinen ongelm. Voimme esittää joidenkin yksinkertisten integrndien f(x) integrlin x f(x) dx = F (x), missä F (x) = f(x), suljetuss muodoss, muuttujn x lgebrllisen esityksenä j tunnettuin lkeisfunktioin. Tällöin smme integrlille trkn rvon lskemll (1.1) f(x) dx = F (b) F (), missä F (x) on funktion f(x) määräämätön integrli (ntiderivtt). Jos määräämätön integrli on helposti stviss j riittävän yksinkertinen, kvll (1.1) voimme sd erittäin nopeit lskutoimituksi. Usein integrointi joht kuitenkin uusiin lkeisfunktioihin. Esimerkiksi integroimll lusekkeen funktion 1 x dx smme logritmin, mikä ei ole lgebrllinen funktio, vikk se onkin lkeisfunktio. Toislt integroimll funktion e x2 dx, smme funktion, jot emme voi esittää lkeisfunktioiden vull. Vikk määräämätön integrli olisi lkeisfunktio j sisimme sen ilmn kohtuutont työmäärää, sen luseke voi oll niin pitkä j monimutkinen, että keskeytämme lskemisen ennen kvn (1.1) soveltmist. Näiden syiden tki rvioimme usein integrlej. (Vrt. [2, s. 2]). Yleensä lskemme määrättyjä integrlej rvioimll integrli äärellisillä summill siten, että summt vstvt integrointivälin [, b] jko. Simpsonin sääntö on tyypillinen esimerkki edellä minitust menetelmästä, j se on yhä prhiten tunnetttu j eniten käytetty integrointimenetelmä Newton- Cotesin kvoist. (Vrt. [6, s. 117]). Tässä pro grdu -tutkielmss trkstelemme Newton-Cotesin j Gussin integrointimenetelmiä. Luvuss 2 esitämme interpoltion perusiden sekä Lgrngen j Hermiten interpoltiokvt lusein. Luvuss 3 esitämme 4

5 muutmi Newton-Cotesin integrointisääntöjä koko integrointivälille j sen osväleille. Luvuss 4 määrittelemme pinofunktion, sklritulon, ortogonlisuuden j todistmme keskeisiä tuloksi ortogonlisist polynomeist. Lopuksi esitämme Gussin integrointisääntöjen erikoistpuksi sekä Lobtton j Rdun integroinnin. Edellytämme lukijlt joidenkin nlyysin, diskreetin mtemtiikn j linerilgebrn perussioiden tuntemist. Edellytämme muun muss, että lukij tuntee yhden muuttujn differentili- j integrlilskennn perusteet. Pääsillisin lähdeteoksin käytämme J. Stoerin j R. Bulirschin Introduction to Numericl Anlysis -kirj j P. J. Dvisin j P. Rbinowitzin Methods of Numericl Integrtion -kirj. 5

6 2 Esitietoj Käymme tässä luvuss läpi pro grdu -tutkielmss käytettäviä merkintöjä sekä Lgrngen j Hermiten interpoltiokvt. (Vrt. [6, s , s. 49, s , s. 56]). Esitämme luksi muutmn merkinnän huomtuksin. Huomutus 2.1. Merkitsemme symbolill Π n kikkien polynomien P, P (x) = + 1 x + + n x n, joukko, joiden ste on korkeintn n. Huomutus 2.2. Käytämme merkintää Π n := {P P (x) = + 1 x + + n 1 x n 1 + x n } stett n olevien normeerttujen polynomien joukolle. Normeermme polynomit P siten, että polynomin korkeimmn steen termin kerroin on 1. Huomutus 2.3. Merkinnällä := trkoitmme on määritelmän mukn. Merkinnällä trkoitmme, että ovt yhtäpitäviä (ekvivlenttej). Olkoot p j q luseit. Nyt luse p := q trkoitt, että p on määritelmän mukn q. Luse p q trkoitt, että p on yhtäpitävä luseen q knss. Huomutus 2.4. Merkinnällä V = C n [, b] trkoitmme funktioiden, joill on jtkuv n:s derivtt välillä [, b], muodostm joukko. Merkinnällä C[, b] trkoitmme jtkuvien funktioiden joukko. Huomutus 2.5. Merkinnällä I[x,..., x n, x] trkoitmme pienintä väliä, jok sisältää luvut x,..., x n j x. Määrittelemme seurvksi, mitä trkoitmme integrointimenetelmän kertluvull. Voimme trkstell kertluku polynomien integrointitrkkuuden ti virhervion vull. Esitämme seurvksi määritelmän kertluvust, jok perustuu virhervioon j jot käytämme jtkoss trkstellessmme Newton- Cotesin yhdistettyjä sääntöjä (ks. luku 3.2). Määritelmä 2.1. Jos osvälien jkmiseen perustuvn yhdistetyn säännön virhe on suuruusluokk O(h r ), mutt ei suuruusluokk O(h r+1 ), snomme, että kyseenomisen menetelmän kertluku on r. (Vrt. [3, s. 1 12]). Yleisesti, jos r = m + 1, numeerinen sääntö integroi osväleillä trksti polynomin, jonk ste on m, mutt ei polynomi stett m + 1. Tällöin menetelmän kertluku on m, j kertluku perustuu integrointitrkkuuteen. Käytämme tätä määritelmää kertluvulle luvuss

7 Ennen käytimme polynomien interpoltiot, kun interpoloimme tulukoist kerättyjen funktioiden rvoj. Menetelmällä rvioimme nnettu funktiot nnetull välillä. Nykyisten tietokoneiden ikkudell meillä ei ole enää trvett käyttää tulukoituj funktioiden rvoj. Kuitenkin polynomien interpoltio on tärkeä teoreettinen pohj useille numeerisen integroinnin kvoille, joten käymme seurvksi läpi interpoltion perusiden j muutmi interpoltiokvoj. Trkoitmme polynomien interpoltioll polynomin sovitust dtn. Olkoot nnettu dtpisteet x, x 1,..., x n 1, y, y 1,..., y n 1. Kun hlumme sovitt polynomin dtn, meidän on vlittv korkeintn (n 1):ttä stett olev polynomi, jolle (2.1) p(x k ) y k, missä k =,..., n 1. Jos vdimme, että yllä olev ehto toteutuu täsmällisesti, kyseessä on interpoltiotehtävä. Jos pisteet x k ovt erillisiä, smme yksikäsitteisen rtkisun. Esitämme seurvksi luseen, jonk mukn voimme rtkist interpoltio-ongelmn in polynomien vull. Luse 2.1 (Lgrngen interpoltiokv). Olkoot n + 1 kpplett pisteprej (x i, f i ), missä i =,..., n, x i x k jokisell i k. Näitä pisteprej kohti on olemss yksikäsitteinen polynomi P Π n, jolle P (x i ) = f i, missä i =,..., n. Todistus. Todistmme ensin yksikäsitteisyyden. Olkoot P 1, P 2 Π n kksi mielivltist polynomi, joille on voimss P 1 (x i ) = P 2 (x i ) = f i, missä i =,..., n. Polynomin P := P 1 P 2 Π n ste on korkeintn n, j sillä on vähintään n + 1 eri nollkoht, nimittäin x i, missä i =,..., n. Jos polynomi ei ole identtisesti noll, lgebrn perusluseest seur, että polynomin juurien määrä on korkeintn polynomin steen verrn. Polynomin P ste on korkeintn n, mutt sillä on nollkohti n + 1 kpplett, missä on ristiriit. Täten polynomin P täytyy oll identtisesti noll, jolloin P 1 = P 2. Todistmme seurvksi olemssolon. Konstruoimme interpoloivn polynomin P eksplisiittisesti polynomien L i Π n, missä i =,..., n, vull, joille on voimss 1, jos i = k, (2.2) L i (x k ) = δ ik =, jos i k. 7

8 Seurvt Lgrngen polynomit (2.3) L i (x) : (x x ) (x x i 1 )(x x i+1 ) (x x n ) (x i x ) (x i x i 1 )(x i x i+1 ) (x i x n ) ω(x) (x x i )ω (x i ), missä n ω(x) : (x x i ), täyttävät ehdon (2.2). Huomutmme, että tähän stinen todistus osoitt inostn sen, että ehto (2.2) määrää yksikäsitteisesti Lgrngen polynomit. Voimme nyt ilmist interpoltio-ongelmn rtkisun P suorn polynomien L i termien vull, jolloin P (x) f i L i (x) f i n k= k i x x k x i x k. Määritelmä 2.2. Snomme luseess 2.1 esiintyvä kv (2.4) P (x) f i L i (x) f i Lgrngen interpoltiokvksi. n k= k i x x k x i x k. Lgrngen interpoltiokv osoitt, että polynomin P kertoimet riippuvt lineerisesti luvuist f i. Vikk Lgrngen kv on teoreettisesti tärkeä, emme voi yleensä käyttää sitä vrsiniseen lskemiseen, vrsinkin jos dtpisteitä on pljon. Jok kert kun vihdmme dtpistettä x i, joudumme lskemn uudelleen kikki Lgrngen polynomit. Lgrngen kv on kuitenkin hyödyllinen tilnteess, joss rtkisemme interpoltio-ongelmn smoill dtpisteillä x i, mutt eri luvuill f i (i =,..., n). Esitämme seurvksi esimerkin Lgrngen interpoltiokvn käytöstä. Esimerkki 2.1. Olkoon n = 3. Olkoot (x i, f i ) prej siten, että x i f i 1 3 4, 8

9 kun i =, 1, 2, 3. Etsimme polynomin P (z) Π 3 rvo muuttujn z rvoll 5, kun P (x i ) = f i kikill i =, 1, 2, 3. Smme Lgrngen polynomeiksi Smme L (x) = (x x 1)(x x 2 )(x x 3 ) (x x 1 )(x x 2 )(x x 3 ) L 1 (x) = (x x )(x x 2 )(x x 3 ) (x 1 x )(x 1 x 2 )(x 1 x 3 ) L 2 (x) = (x x )(x x 1 )(x x 3 ) (x 2 x )(x 2 x 1 )(x 2 x 3 ) L 3 (x) = (x x )(x x 1 )(x x 2 ) (x 3 x )(x 3 x 1 )(x 3 x 2 ) = (x 1)(x 2)(x 3) ( 1)( 2)( 3), = (x )(x 2)(x 3) (1 )(1 2)(1 3), = (x )(x 1)(x 3) (2 )(2 1)(2 3), = (x )(x 1)(x 2) (3 )(3 1)(3 2). P (5) = 1 L (5) + L 1 (5) + 3 L 2 (5) + 4 L 3 (5) = = 1 ( 4) ( 2) = 24. Esitämme seurvksi Hermiten interpoltiokvn, jonk vull voimme myös rtkist interpoltio-ongelmi. Luse 2.2 (Hermiten interpoltiokv). Mielivltisi relilukuj ξ < ξ 1 < < ξ m j y (k) i, missä k =, 1,..., n i 1 j i =, 1,..., m, kohti on olemss täsmälleen yksi polynomi jok toteutt ehdon m P Π n, missä n := n i 1, (2.5) P (k) (ξ i ) = y (k) i, missä k =, 1,..., n i 1 j i =, 1,..., m. Todistus. Osoitmme ensin yksikäsitteisyyden. Trkstelemme polynomej P 1, P 2 Π n, joille Q(x) := P 1 (x) P 2 (x). Vlitsemme polynomit siten, että ehto (2.5) on voimss polynomeille P 1 j P 2. Kosk Q (k) (ξ i ) =, missä k =, 1,..., n i 1 j i =, 1,..., m, 9

10 niin ξ i on polynomin Q inkin n i -kertinen juuri. Polynomill Q on yhteensä inkin m n i = n + 1 juurt, joist jokinen on lskettu esiintymiskertojens mukn. Täten Q:n on oltv noll, sillä sen ste on pienempi kuin n + 1. Olemssolo seur yksikäsitteisyydestä. Kvn (2.5) yhtälöt muodostvt yhtälöryhmän, joss on n + 1 linerist yhtälöä j n + 1 kpplett polynomin P (x) = c + c 1 x + + c n x n tuntemttomi kertoimi c j. Tätä yhtälöryhmää vstv mtriisi on kääntyvä, kosk sillä on yksikäsitteiset rtkisut. Täten tällöin linerisell yhtälöryhmällä (2.5) on yksikäsitteiset rtkisut mielivltisille oiken puolen rvoille y (k) i. Esitämme lopuksi luseen, jot trvitsemme myöhemmin luvuss 4. Luse 2.3. Olkoon relifunktio f n + 1 kert differentioituv välillä [, b]. Trkstelemme pisteitä ξ i [, b], joille ξ < ξ 1 < < ξ m j joit on m + 1 kpplett. Jos polynomi P on korkeintn stett n, toisin snoen m n i = n + 1, j P toteutt interpoltion ehdot P (k) (ξ i ) = f (k) (ξ i ), missä k =, 1,..., n i 1 j i =, 1,..., m, niin tällöin jokist luku x [, b] kohti on olemss ξ I[ξ,..., ξ m, x] siten, että f( x) P ( x) = ω( x)f (n+1) ( ξ), (n + 1)! missä ω(x) := (x ξ ) n (x ξ 1 ) n1 (x ξ m ) nm. Todistus (vrt. [3, s. 311]). Sivuutmme todistuksen. 1

11 3 Newton-Cotesin integrointimenetelmistä Tässä luvuss trkstelemme Newton-Cotesin integrointimenetelmiä. Ensiksi esitämme Newton-Cotesin kvt koko integrointivälille, j sitten sovellmme kvoj integrointivälin osväleille, jolloin smme yhdistettyjä sääntöjä. (Ks. [6, s ]). 3.1 Newton-Cotesin kvoist Smme Newton-Cotesin integrointikvt, kun korvmme integrndin sopivll polynomill P (x). Tällöin integrli on pproksimoitu rvo integrlille P (x) dx f(x) dx. Trkstelemme suljetun välin [, b] tsvälistä jko, jonk jkopisteet voimme kirjoitt muodoss missä jkovälin pituus h on x i = + ih, missä i =,..., n, h := (b ), missä n Z +. n Olkoon P n (x) interpoltiopolynomi, jolle deg (P n ) n j jolle pätee P n (x i ) = f i := f(x i ), missä i =, 1,..., n. Lgrngen interpoltiokvn nojll smme, että P n (x) f i L i (x), missä L i (x) = n k= k i x x k x i x k. Kun esittelemme uuden muuttujn t siten, että x = +ht, voimme kirjoitt jälkimmäisen lusekkeen uudelleen muodoss L i (x) = ϕ i (t) := 11 n k= k i t k i k.

12 Integroimll smme P n (x) dx = f i L i (x) dx n =h f i ϕ i (t) dt =h f i α i, missä α i := n ϕ i (t) dt. Kertoimet ti pinot α i riippuvt inostn n:stä. Erityisesti huommme, että pinot eivät riipu integroitvst funktiost f ti integrointivälin päätepisteistä j b. Seurvksi esitämme kksi esimerkkiä, jotk hvinnollistvt pproksimointi. Esimerkki 3.1. Olkoon n = 2. Tällöin α = α 1 = α 2 = t 1 1 t 2 2 dt = 1 2 (t 2 3t + 2t) dt = 1 ( ) = 1 3, t 1 t dt = t 2 t dt = 1 2 (t 2 t) dt = Smme seurvn pproksimtion integrlille ( ) 8 (t 2 2t) dt = 3 4 = 4 3, P 2 (x) dx = h 3 (f + 4f 1 + f 2 ) f(x) dx. ( = 2) 1 3. Approksimtioss f j f 2 ovt funktion f rvot integrointivälin päätepisteissä j f 1 on funktion rvo välin keskipisteessä. Tämä on Simpsonin sääntö. Simpsonin säännössä interpoloimme funktiot 2. steen polynomill tsvälisellä jkovälillä eli sovitmme dtpisteisiin prbelin. 12

13 Esimerkki 3.2. Olkoon n = 3. Tällöin smme pinoiksi 3 t 1 α = 1 t 2 2 t 3 3 dt = 1 ( t 3 + 6t 2 11t + 6) dt 6 = 1 ( 81 ) = 3 8, 3 t α 1 = 1 t t dt = 1 2 = 1 ( ) = 9 8, 3 t α 2 = 2 t t dt = 1 2 = 1 ( ) = 9 2 8, 3 t α 3 = 3 t t dt = 1 6 = 1 ( ) = 3 8. Smme seurvn pproksimtion integrlille (t 3 5t 2 + 6t) dt ( t 3 + 4t 2 3t) dt (t 3 3t 2 + 2t) dt P 3 (x) dx = 3h 8 (f + 3f 1 + 3f 2 + f 3 ) f(x) dx. Tämä on 3/8-sääntö. Approksimtioss f j f 3 ovt funktion f rvot integrointivälin päätepisteissä sekä f 1 j f 2 ovt funktion rvoj päätepisteiden välissä. Voimme joht muit Newton-Cotesin kvoj vstvll tvll kuin esimerkeissä 3.1 j 3.2. Newton-Cotesin kvoill (3.1) P n (x) dx = h f i α i, missä f i = f( + ih) j h = b, missä n Z n +, smme pproksimtion integrlille f(x) dx. 13

14 Pinoj α i, missä i =, 1,..., n, on tulukoitu. Ne ovt rtionlilukuj, joill on ominisuus (3.2) α i = n. Smme johdettu tämän ominisuuden seurvll tvll. Asetmme, että f(x) : 1. Tällöin soveltmll funktion rvo kvn (3.1) smme, että polynomi P n (x) : 1, sillä Newton-Cotesin kv on integrlin f(x) trkk pproksimtio. Tällöin smme ominisuuden (3.2). Jos s on pinojen α i yhteinen jkj, niin tällöin luvut σ i =: sα i, missä i =, 1,..., n, ovt kokonislukuj. Smme kvn (3.1) muotoon (3.3) P n (x) dx = h f i α i = b ns σ i f i. Approksimoinneiss syntyy in virheitä, kosk rvioimme lkuperäistä integrli. Voimme osoitt, että smme pproksimointivirheen seurvn muotoon (ks. [5, s. 167]) (3.4) P n (x) dx f(x) dx = h p+1 K f (p) (ξ), missä ξ (, b), missä h = b on jkovälin pituus, K on relilukuvkio, p on derivtn n kertluku j f (p) on funktion f p:s derivtt. Edellä (, b) trkoitt voint väliä :st b:hen. Lukujen p j K rvot riippuvt vin luvust n, mutt eivät integrndist f. Esimerkiksi puolisuunnikssäännön (ks. tulukko 1) pproksimointivirhe on h f (2) (ξ), kun p = 2 j K = 1 kvss (3.4). Myös virheitä on tulukoitu. 12 Seurvn tulukkoon olemme koonneet Newton-Cotesin kvoj, kun n = 1, 2,..., 6. Suuremmill n:n rvoill joistkin luvun σ i rvoist tulee negtiivisi. Näitä rvoj vstvt kvt ovt sopimttomi numeerisiin trkoituksiin, sillä termejä kumoutuu lskiessmme summ (3.3) j tällöin lskuihin syntyy virheitä. 14

15 Tulukko 1: Newton-Cotesin sääntöjä. n σ i ns Virhe Nimi h 3 1 (ξ) 12 Puolisuunnikssääntö h 5 1 (ξ) 9 Simpsonin sääntö h 5 3 (ξ) 8 3/8-sääntö h 7 8 (ξ) 945 Milnen sääntö h (ξ) h 9 9 (ξ) 14 Weddlen sääntö Esitämme seurvksi esimerkin 3/8-säännöstä. Esimerkki 3.3. Etsimme funktion f(x) = 5x 5 4x 4 + 3x 3 2x 2 + 1x +, 25 integrlin pproksimtiot 3/8-säännöllä integrointivälillä nollst khteen. Tiedämme, että f() =, 25 j f(2) = 11 4, 25 j integrlin trkk rvo on 364, 5. Kuv 1: Funktion f(x) määrätty integrli välillä [, 2]. Nyt h = b = 2 = Luvun h vull smme tsvälisen jon j sitä vstvt funktion rvot, jolloin f() =, 25; f( ) = 3 972, f( ) =, f(2) = 11 4,

16 Pisteet x, x 1, x 2 j x 3 ovt tsvälisen jon pisteet, joiden rvot olemme lskeneet edellä. Nyt 2 f(x) 3h 8 [f(x ) + 3f(x 1 ) + 3f(x 2 ) + f(x 3 )] = [, = 3889, , 25] Integrlin trkk rvo j pproksimtio erovt toisistn 3889, , 5 364, 5 1 % = 6, 8 %. Virheen ylärjss luku ξ on tuntemton, mutt voimme rvioid, että luseke f (4) (ξ) on suurimmilln silloin, kun funktion f(x) neljäs derivtt f (4) (x) = 6 x 96 s suurimmn rvons välillä [, 2]. Tällöin smme lusekkeen f (4) (x) rvoksi Nyt smme virheeen ylärjksi kun h = 2 3 h f (4) (ξ) = = 11 4 = 545, 1851; on jkovälin pituus. Smme lisää integrointikvoj integrndin f Hermiten interpoltioll (ks. luku 2 luse 2.2) käyttämällä polynomi P Π n, jonk ste on pienempi ti yhtä suuri kuin n. Yksinkertisimmss tpuksess korvmme integrndin f polynomill P Π 3, jolle P () = f(), P () = f (), P (b) = f(b), P (b) = f (b). Kun käytämme yleistettyä Lgrngen kv (ks. [6, s. 53]) tpuksess = j b = 1, polynomille P pätee P (t) =f()[(t 1) 2 + 2t(t 1) 2 ] + f(1)[t 2 2t 2 (t 1)] + f ()t(t 1) 2 + f (1)t 2 (t 1). Kun integroimme tämän polynomin, smme 1 P (t) dt = 1 2 (f() + f(1)) (f () f (1)). Smme yllä olevst kvst integrointisäännön yksinkertisell muuttujn vihdoksell yleisessä tpuksess, kun < b (h := b ), jolloin (3.5) f(x) dx M(h) := h h2 (f() + f(b)) (f () f (b)). 16

17 Jos f C 4 [, b], voimme kirjoitt säännön (3.5) pproksimointivirheen seurvss muodoss (ks. [6, s. 12]) (3.6) M(h) f(x) dx = h5 72 f (4) (ξ), missä ξ (, b) j h = (b ). Jos luvut x i, missä i =, 1,..., n, x = j x n = b, eivät ole jkutuneet tsisesti välille h, smme integrndin f(x) interpoloinnill eri integrointisääntöjä. Tällä tvll smme myös Gussin integrointisääntöjä, joit käsittelemme myöhemmin luvuss Yhdistetyistä säännöistä Emme yleensä sovell Newton-Cotesin kvoj ti muit vstvi kvoj koko integrointivälille [, b], vn käytämme niitä yksitellen osväleillä, joihin kyseinen integrointiväli on jettu. Arvioimme koko integrli osvälien pproksimtioiden summll. Snomme, että pikllisesti käytetty integrointisääntö on ljennettu, mistä smme yhdistetyn säännön. Jtkmme trkstelemll joitkin tällisi yhdistettyjä sääntöjä tässä liluvuss. Kun n = 1, smme puolisuunnikssäännöstä (ks. tulukko 1) pproksimoidun rvon I i := h 2 [f(x i) + f(x i+1 )] osvälillä [x i, x i+1 ] j osituksell x i = + ih, missä i =, 1,..., N j missä h := (b )/N. Smme koko integrointivälille pproksimtion T (h) := N 1 I i = h[ f() 2 + f( + h) + f( + 2h) + + f(b h) + f(b) 2 ], mikä on puolisuunnikssumm jkovälin pituudelle h. Jokisell osvälillä [x i, x i+1 ] smme virheeksi I i x i+1 x i f(x) dx = h3 12 f (2) (ξ i ), missä ξ i (x i, x i+1 ), kun oletmme, että f C 2 [, b]. Kun lskemme kikkien osvälien virheet yhteen, smme T (h) f(x) dx = h3 N 1 f (2) (ξ i ) = h (b ) 1 N 1 f (2) (ξ i ). N Kosk minf (2) (ξ i ) 1 N 1 f (2) (ξ i ) mxf (2) (ξ i ) i N i 17

18 j funktio f (2) (x) on jtkuv, niin on olemss ξ [min i ξ i, mx i ξ i ] (, b) j f (2) (ξ) = 1 N N 1 f (2) (ξ i ), kun [min i ξ i, mx i ξ i ] on väli ξ i :n pienimmästä rvost suurimpn rvoon. Nyt smme virheeksi T (h) f(x) dx = b 12 h2 f (2) (ξ), missä ξ (, b). Kun pienennämme jkovälin pituutt h (j ksvtmme smll luku N), pproksimtiovirhe lähestyy noll nopeudell h 2, joten menetelmä on toist kertluku. Jos N on prillinen, voimme sovelt Simpsonin sääntöä yksitellen jokisell osvälillä [x 2i, x 2i+1, x 2i+2 ], missä i =, 1,..., N/2 1, jolloin smme pproksimtion h 3 (f(x 2i) + 4f(x 2i+1 ) + f(x 2i+2 )). Kun lskemme yhteen N/2 pproksimtiot, smme Simpsonin säännön yhdistetyn säännön S(h) = h [f() + 4f( + h) + 2f( + 2h) + 4f( + 3h) f(b 2h) + 4f(b h) + f(b)] koko integrointivälille. Smme yhdistetyn säännön S(h) virheen, kun lskemme kikki yksittäiset N/2 virhettä yhteen, jolloin S(h) f(x) dx = h5 (N/2) 1 9 f (4) (ξ i ) = h4 9 b 2 2 N (N/2) 1 f (4) (ξ i ). Voimme sd vstvill perusteluill kuin puolisuunnikssummll virheeksi S(h) f(x) dx = b 18 h4 f (4) (ξ), missä ξ (, b), kun f C 4 [, b]. Tällöin menetelmä on neljättä kertluku, sillä pproksimtiovirhe lähestyy noll nopeudell h 4. Kun ljennmme yhtälön (3.5) integrointisääntöä M(h), huommme merkittävän vikutuksen. Kun lskemme yhteen jokisen osintegrlin rvot x i+1 x i f(x) dx, missä i =, 1,..., N 1, 18

19 kikki sisäpuoliset derivtt f (x i ), missä < i < N, kumoutuvt. Smme nyt seurvn pproksimtion koko integrlille. Tällöin U(h) :=h [ f() 2 + f( + h) + + f(b h) + f(b) ] + h [f () f (b)] = T (h) + h2 12 [f () f (b)]. Voimme jtell tätä kv puolisuunnikssummn T (h) korjuksen. Voimme ljent integrointisäännön M(h) virheen (3.6) yhdistetyn säännön U(h) virhekvksi vstvll tvll kuin iemmin. Täten (3.7) U(h) f(x) dx = b 72 h4 f (4) (ξ), missä ξ (, b), kun f C 4 [, b]. Kun vertmme tätä virhettä puolisuunnikssummn virheeseen, huommme, että menetelmän kertluku on prntunut khdell. Simme prnnuksen ikn hyvin pienellä lisätyöllä - derivttojen f () j f (b) lskemisell. Jos nämä kksi rjderivtt ovt smoj (esimerkiksi jksoittisill funktioill), puolisuunnikssumm itsessään trjo menetelmän, jonk kertluku on vähintään 4. 19

20 4 Gussin integrointimenetelmistä Tässä luvuss trkstelemme integrlej, jotk ovt muoto I(f) := ω(x)f(x) dx. Tässä integrndiss funktio ω(x) on nnettu ei-negtiivinen pinofunktio välillä [, b]. Pinofunktioiden määrittelyn jälkeen käymme läpi keskeisiä tuloksi ortogonlisist polynomeist. Näiden tulosten vull voimme myöhemmin muotoill Gussin integrointisääntöjä. (Ks. [6, s ] j [2, s , s. 29]). 4.1 Pinofunktioist Määrittelemmme ensin pinofunktion ω(x) välillä [, b]. Määritelmä 4.1. Olkoon ω(x) nnettu ei-negtiivinen funktio välillä [, b]. Snomme funktion ω(x) olevn pinofunktio, jos se toteutt seurvn ehdon. Jos funktio ω(x) kikill x [, b] j ω(x) dx >, niin tällöin pinofunktio ω(x) on määritelty välillä [, b]. Esitämme seurvksi esimerkin pinofunktiost. Esimerkki 4.1. Jos funktio ω(x) on positiivinen j jtkuv äärellisellä suljetull välillä [, b], niin määritelmän 4.1 ehdo toteutuu. Tällöin funktio ω(x) on pinofunktio. Oletmme jtkoss, että integrndi ω(x)f(x) on Riemnn-integroituv j pinofunktio ω(x) on jtkuv. Huomutus 4.1. Olkoot s(x) ei-negtiivisi polynomej välillä [, b]. Jos integrli ω(x)s(x) dx =, niin tällöin kikille polynomeille s(x) pätee s(x). Tämä on ekvivlentti sen knss, että ω(x) dx >. (Ks. [6, s. 156]). 2

21 Siirrymme seurvksi tutkimn integrlin pproksimtioit j summlusekkeit, jotk ovt muoto (4.1) Ĩ(f) := ω i f(x i ), i=1 missä Ĩ trkoitt integrlin I likirvo. Newton-Cotesin kvt (ks. luku 3) ovt myös tätä muoto, mutt tällöin vdimme lukujen x i muodostvn tsvälisen jon välillä [, b]. Tässä luvuss lievennämme kyseistä rjoitust. Yritämme vlit luvut x i j pinot ω i siten, että smme mhdollisimmn suuren kertluvun integrointimenetelmälle. Tässä kertluku perustuu integrointitrkkuuteen. Yritämme siis sd mhdollisimmn suuren steen, johon sti polynomit integroituvt trksti kvn 4.1 vull. Huommme, että tämä on mhdollist j että se joht luokkn hyvinmääriteltyjä Gussin integrointisääntöjä ti Gussin kvdrtuuristen kvojen luokkn. Trvitsemme ensin joitkin perustuloksi ortogonlisist polynomeist ennen, kuin voimme määrittää Gussin integrointisääntöjen pisteet j pinot. 4.2 Perustuloksi ortogonlisist polynomeist Määrittelemme luksi, mitä trkoitmme funktioiden ortogonlisuudell. Määritelmä 4.2. Olkoon V = C[, b]. Olkoon pinofunktio ω(x) Riemnn-integroituv välillä [, b] siten, että ω(x) dx >. Snomme, että funktioiden f, g V sklritulo on (f, g) := ω(x)f(x)g(x) dx. Snomme, että funktiot f j g ovt ortogonlisi, mikäli niiden sklritulolle pätee (f, g) =. Olkoon edelleen V = C[, b]. Jos f, f 1,... on V :n äärellinen ti ääretön osjoukko siten, että (f i, f j ) =, missä i j, niin osjoukko on ortogonlinen. Jos lisäksi niin osjoukko on ortonormli. (f i, f i ) = 1, missä i =, 1,..., 21

22 Huomutus 4.2. Merkintä xp i trkoitt polynomi, jok s rvon xp i (x) kikill x. Seurv luse osoitt preittin ortogonlisten polynomien, jotk liittyvät pinofunktioon ω(x), jonon olemssolon. Luse 4.1. On olemss polynomit p j Π j, missä j =, 1, 2,..., siten, että (p i, p k ) = kikill i k. Ne voidn määritellä yksikäsitteisesti rekursioll (4.2) p (x) 1, (4.3) p i+1 (x) (x δ i+1 )p i (x) γ 2 i+1p i 1 (x), jos i, j missä p 1 (x), (4.4) δ i+1 := (xp i, p i ), jos i, (p i, p i ) (4.5) γ 2 i+1 := { (p i,p i ) (p i 1,p i 1 ), kun i =,, kun i 1. Todistus. Todistmme luseen 4.1 induktioll. Voimme konstruoid polynomej rekursiivisesti Grm-Schmidt ortogonlistio -tekniikll. Näemme selvästi, että polynomi p (x) 1, sillä Π = {p p(x) = x = 1}. Oletmme sitten induktio-oletuksen, että kikki ortogonliset polynomit, joill on luseess 4.1 minitut ominisuudet, on konstruoitu jokiselle j i. Oletmme lisäksi, että nämä polynomit on osoitettu yksikäsitteisiksi. Osoitmme seurvksi, että on olemss yksikäsitteinen polynomi p i+1 Π i+1, jonk sklritulo (4.6) (p i+1, p j ) = kikill j i j jok toteut luseen 4.1 ehdon (4.3). Jokinen polynomi p i+1 Π i+1 voidn kirjoitt yksikäsitteisesti muodoss p i+1 (x) (x δ i+1 )p i (x) + c i 1 p i 1 (x) + c i 2 p i 2 (x) c p (x), kosk suurimmn termin j polynomien p j, missä j i, suurimpien termien kertoimien rvot ovt 1. Kosk (p j, p k ) = kikill j, joille k i j j k, kv (4.6) on voimss, jos j vin jos (4.7) (p i+1, p i ) = (xp i, p i ) δ i+1 (p i, p i ) =, 22

23 (4.8) (p i+1, p j 1 ) = (xp j 1, p i ) + c j 1 (p j 1, p j 1 ) = kikill j i. Huomutuksen 4.1 ehto, missä on vstvsti käytetty polynomej p 2 i j p 2 j 1 ei-negtiivisen polynomin s, estää sen, että sklrituloille pätisi (p i, p i ) =, (p j 1, p j 1 ) =, kun 1 j i. Täten voimme rtkist yhtälöt (4.7) j (4.8) yksikäsitteisesti. Yhtälöstä (4.7) smme yhtälön (4.4). Induktio-oletuksest seur, että p j (x) (x δ j )p j 1 (x) γ 2 j p j 2 (x) kikill j i. Kun rtkisemme tästä polynomin xp j 1 (x), rtkisun vull voimme osoitt, että (xp j 1, p i ) = (p j, p i ) jokisell j i. Täten smme rtkisemll yhtälön (4.8), että c j 1 = (p { j, p i ) γ (p j 1, p j 1 ) = 2 i+1, kun j = i,, kun j < i. Täten luseen koht (4.3) pätee rvoll i + 1. Huomutus 4.3. Jtkoss polynomi p n trkoitt luseess 4.1 esiintyvää polynomi. Voimme esittää jokisen polynomin p Π k ortogonlisten polynomien p i, kun i k, linerikombintion. Smme seurvn seuruksen. Seurus 4.1. Sklritulo (p, p n ) = kikill polynomeill p Π n 1. Luse 4.2. Polynomin p n juuret x i, missä i = 1,..., n, ovt relisi j yksinkertisi. Kikki polynomin p n juuret x i kuuluvt voimelle välille (, b). Todistus. Trkstelemme polynomin p n juuri, jotk kuuluvt voimelle välille (, b) j jotk ovt pritont kertluku. Toisin snoen juuret ovt kohdiss, joiss polynomi p n viht merkkiä eli Polynomi < x 1 < < x l < b. l q(x) := (x x j ) Π l j=1 on sellinen, että polynomi p n (x)q(x) ei muut merkkiänsä suljetull välillä [, b], joten huomutuksen 4.1 nojll (p n, q) = ω(x)p n (x)q(x)dx. Täten polynomin q steelle on voimss, että deg(q) = l = n, sillä muuten pätisi (p n, q) = seuruksen 4.1 nojll. 23

24 Luse 4.3. Jos A on n n mtriisi, missä p (t 1 )... p (t n ) A :=.., p n 1 (t 1 )... p n 1 (t n ) niin mtriisi A on kääntyvä kikill keskenään erillisillä rgumenteill t i, missä i = 1,..., n. Todistus. Teemme vstoletuksen, ettei mtriisi A ole kääntyvä. Tällöin on olemss sellinen rivivektori c, että c T = (c,..., c n 1 ), j rivivektorin j mtriisin tulolle on voimss c T A =. Siis polynomill q(x) : n 1 c i p i (x), jolle deg (p) < n, on n erillistä juurt t 1,..., t n j polynomin täytyy oll identtisesti noll. Olkoon l suurin indeksi, joll c l. Tällöin pätee p l (x) = 1 l 1 c i p i (x). c l Tämä on ristiriit, sillä oikenpuoleisen polynomin ste on pienempi kuin polynomin p l Π l ste. Edellinen luse osoitt, että interpoltio-ongelm, jok koskee muoto (4.9) p(x) n 1 c i p i (x), missä p(t i ) = f i (i = 1,..., n), olevn funktion löytämistä, on in yksikäsitteisesti rtkistviss. Luseen ehdon mukn millä thns muoto (4.9) olevll polynomill on korkeintn n 1 nollkoht. Seurvksi totemme j todistmme tämän luvun päätuloksen. Luse 4.4. () Olkoot x 1, x 2,..., x n n:nnen steen ortogonlisen polynomin p n (x) juuret. Olkoon w 1, w 2,..., w n kääntyvää mtriisi vstvn yhtälöryhmän { (p, p (4.1) p k (x i )w i = ), jos k =,, jos k = 1, 2,..., n 1, i=1 rtkisu. Tällöin w i > kikill i = 1, 2,..., n, j kikill polynomeill p Π 2n 1 pätee, että (4.11) ω(x)p(x)dx = w i p(x i ). i=1 Snomme, että positiiviset luvut w i ovt "pinoj". 24

25 (b) Kääntäen, jos luvut x i j w i, missä i = 1,..., n, ovt sellisi, että ehto (4.11) pitää pikkns kikill p Π 2n 1, niin luvut x i ovt polynomin p n juuret j pinot w i toteuttvt ehdon (4.1). (c) Ei ole mhdollist löytää sellisi pisteitä x i j w i, missä i = 1,..., n, että ehto (4.11) pitäisi pikkns kikill polynomeill p Π 2n. Todistus. Luseen 4.2 mukn polynomin p n juuret x i, missä i = 1,..., n, ovt relisi j preittin erillisiä lukuj välillä (, b). Tällöin n n-mtriisi p (x 1 )... p (x n ) (4.12) A =.. p n 1 (x 1 )... p n 1 (x n ) on kääntyvä luseen (4.3) nojll, sillä kikki rgumentit ovt erillisiä. Täten yhtälöryhmällä (4.1) on yksikäsitteinen rtkisu. Trkstelemme stunnist polynomi p Π 2n 1. Voimme kirjoitt sen muodoss (4.13) p(x) p n (x)q(x) + r(x), missä q j r ovt polynomej joukost Π n 1. Voimme ilmist polynomit q j r ortogonlisten polynomien linerisin kombintioin j q(x) r(x) n 1 k= n 1 k= α k p k (x) β k p k (x). Kosk p (x) 1, ehdost (4.13) j seuruksest 4.1 seur, että ω(x)p(x)dx = (p n, q) + (r, p ) = β (p, p ). Toislt ehdost (4.13) (sillä p n (x i ) = ) j yhtälöstä (4.1) seur, että ( n 1 n ) w i p(x i ) = w i r(x i ) = β k w i p k (x i ) = β (p, p ). i=1 i=1 k= Siis ω(x)p(x) dx = β (p, p ) = w i p(x i ). i=1 Täten ehto (4.11) on täytetty. Todistmme seurvksi puväitteen ennen, kuin stmme todistuksen loppuun. 25

26 Apuväite 4.1. Jos luvut x i j w i, missä i = 1,..., n, ovt sellisi, että yhtälö (4.11) pitää pikkns kikill polynomeill p Π 2n 1, niin w i > kikill i = 1,..., n. Voimme todent tämän tuloksen soveltmll yhtälöä (4.11) polynomeihin n p j (x) : (x x h ) 2 Π 2n 2, h=1 h j missä j = 1,..., n. Huommme, että n < ω(x) p j (x) dx = w i p j (x i ) = w j i=1 h=1 h j (x j x h ) 2 huomutuksen 4.1 nojll. Tämä täydentää luseen 4.4 kohdn () todistuksen. Stmme nyt loppuun luseen todistuksen. Oletmme, että luvut x i j w i, missä i = 1,..., n, ovt sellisi, että ehto (4.11) pätee kikill polynomeill p Π 2n. Tällöin n p(x) : (x x j ) 2 Π 2n, j=1 mikä iheutt ristiriidn oletuksemme knss, sillä huomutuksen 4.1 nojll < ω(x) p(x) dx = w i p(x i ) =. Tämä todist luseen 4.4 kohdn (c). Todistksemme luseen 4.4 kohdn (b) oletmme seurvksi, että luvut x i j w i, missä i = 1,..., n, ovt sellisi, että yhtälö (4.11) pitää pikkns kikill p Π 2n 1. Pisteiden x i pitää oll erilliset, sillä muuten voisimme muodost smn integrointisäännön käyttäen vin n 1 kpplett lukuj x i, mikä on ristiriidss luseen 4.4 kohdn (c) knss. Soveltmll yhtälöä (4.11) ortogonlisiin polynomeihin p = p k, missä k =,..., n 1, smme { (p, p w i p k (x i ) = ω(x)p k (x) dx = (p k, p ) = ), jos k =,, jos k = 1,..., n 1. i=1 Toisin snoen pinojen w i täytyy toteutt yhtälö (4.1). Kun sovellmme yhtälöä (4.11) polynomeihin i=1 p(x) : p k (x)p n (x), missä k =,..., n 1, 26

27 smme seuruksen 4.1 nojll = (p k, p n ) = w i p n (x i )p k (x i ), missä k =,..., n 1. i=1 Toisin snoen vektori c := (w 1 p n (x 1 ),..., w n p n (x n )) T rtkisee homogeenisen yhtälöryhmän Ac =, missä mtriisi A on muoto (4.12). Kosk pisteet x i, missä i = 1,..., n, ovt erilliset, mtriisi A on kääntyvä luseen (4.3) nojll. Täten c = j w i p n (x i ) = kikill i = 1,..., n. Kosk pinoille pätee w i > puväitteen 4.1 nojll, smme p n (x i ) =, missä i = 1,..., n. Tämä stt loppuun luseen 4.4 kohdn (b) todistuksen. Guss on ensimmäisenä todistnut luseen 4.4 yleisimmällä pinofunktioll ω(x) 1 j suljetull välillä [ 1, 1]. Vstvt ortogonliset polynomit ovt (4.14) p k (x) : k! d k (2k)! dx k (x2 1) k, missä k =, 1,.... Näille polynomeille on voimss, että p k Π k, j osittisintegrointi osoitt, että sklritulolle pätee (p i, p k ) =, kun i k. Snomme, että polynomit (4.14) ovt Legendren polynomej kerroint lukuun ottmtt. Legendren polynomit ovt Legendren differentiliyhtälön (ks. [2, s ]) (1 x 2 )y 2xy + n(n + 1)y =, missä y = P n (x), rtkisut, kun n on luonnollinen luku. Legendren polynomit voidn määritellä myös rekursiivisesti siten, että (n + 1)P n+1 (x) = (2n + 1)xP n (x) np n 1 (x), missä P (x) = 1 j P 1 (x) = 1. Voimme esittää Legendren polynomit myös Rodriguesin kvn vull muodoss d n P n (x) = 1 2 n n! dx n [(x2 1) n ]. Seurvss tulukoss nnmme joitkin rvoj luvuille x i j pinoille w i tässä tärkeässä erityistpuksess. Enemmän rvoj löytyy kirjst Ntionl Bureu of Stndrd s Hndbook of Mthemticl Functions (ks. [1, s. 916]). 27

28 Tulukko 2: Pinoj w i j lukuj x i. n w i x i 1 w 1 = 2 x 1 = 2 w 1 = w 2 = 1 x 2 = x 1 =, w 1 = w 3 = 5 9 x 3 = x 1 =, w 2 = 8 9 x 2 = 4 w 1 = w 4 =, x 4 = x 1 =, w 2 = w 3 =, x 3 = x 2 =, w 1 = w 5 =, x 5 = x 1 =, w 2 = w 4 =, x 4 = x 2 =, w 3 = x 3 = Muit tärkeitä tpuksi, jotk johtvt Gussin integrointisääntöihin, on myös tulukoitu (ks. [6, s. 148]). 4.3 Tridigonlimtriiseist Olemme krkterisoineet luvut x i j pinot w i, jotk voimme sijoitt Gussin integrointisäännöille nnetuille pinofunktioille. Emme ole vielä esitelleet menetelmiä, joill vrsinisesti lskemme Gussin integrointisääntöjen sijoituksi. Sijoitmme Gussin integrointisääntöihin pisteitä, jotk ovt ortogonlisen polynomin nollkohti. Voimme ilmist Gussin integrointisäännöt muodoss ω(x)f(x) dx = w i f(x i ), b missä ω(x) on nnettu pinofunktio j missä n on nnettu luonnollinen luku (ks. [4, s. 121]). Trkstelemme edellä minittu ongelm sellisen oletuksen pohjlt, että rekursion (4.2) j (4.3) kertoimet δ i j γ i on nnettu (ks. luse 4.1). Ortogonlisten polynomien teori liittyy relisten tridigonlimtriisien δ 1 γ 2 γ 2 (4.15) J n = i=1 γ n γ n δ n 28

29 j niiden päälimtriisien δ 1 γ 2 γ 2 J j = γ j γ j δ j teorin. Hvitsemme, että päälimtriisin J j krkteristiset polynomit p j toteuttvt rekursion (4.2) j (4.3) luseess 4.1, kun mtriisin lkiot δ i j γ i ovt kertoimin (ks. [6, s. 149]). Täten p n on tridigonlimtriisin J n krkteristinen polynomi. Smme seuruksen seurvn luseen. Luse 4.5. Ortogonlisen polynomin p n juuret x i, missä i = 1,..., n, ovt tridigonlimtriisin J n ominisrvot. Esitämme seurvksi luseen, jok liittää pinot w i tridigonlimtriiseihin J n. Luse 4.6. Olkoon J n tridigonlimtriisi (4.14) j v (i) := (v (i) 1,..., v (i) n ) T sen ominivektori ominisrvoll x i siten, että J n v (i) = x i v (i). Olkoon lisäksi v (i) sklttu siten, että Tällöin pinoille pätee v (i)t v (i) = (p, p ) = ω(x) dx. w i = (v (i) 1 ) 2, missä i = 1,..., n. Todistus (ks. [6, s ]). Todistus sivuutetn. Lopuksi rvioimme Gussin integrointimenetelmän virhettä. Luse 4.7. Jos f C 2n [, b], niin jollekin ξ (, b). ω(x)f(x) dx i=1 w i f(x i ) = f (2n) (ξ) (p n, p n ) (2n)! Todistus. Trkstelemme Hermiten interpoltio-ongelmn (ks. luku 2 luse 2.2) h(x i ) = f(x i ), h (x i ) = f (x i ), missä i = 1,..., n, rtkisu h Π 2n 1. 29

30 Kosk deg(h) < 2n, niin luseen 4.4 nojll ω(x)h(x) dx = w i h(x i ) = w i f(x i ). i=1 i=1 Täten smme virhetermille integrliesityksen ω(x)f(x) dx w i f(x i ) = ω(x)f(x) dx ω(x)h(x) dx i=1 = ω(x)(f(x) h(x)) dx. Polynomin p n (x) Π n juuret ovt x i. Nyt smme luseen 2.3 nojll f(x) h(x) = f (2n) (ζ) (2n)! (x x 1 ) 2 (x x n ) 2 = f (2n) (ζ) p 2 (2n)! n(x) jollekin ζ = ζ(x) välillä I(x 1,..., x n, x). Tässä väli I(x 1,..., x n, x) trkoitt pienintä voint väliä, jok sisältää luvut x 1,..., x n j x. Lisäksi f (2n) (ζ(x)) (2n)! = f(x) h(x) p 2 n(x) on jtkuv välillä [, b], joten voimme käyttää integrlilskennn yleistettyä välirvolusett. Tällöin ω(x)(f(x) h(x)) dx = jollekin luvulle ξ (, b). ω(x)f (2n) (ζ(x)) (2n)! p 2 n(x) dx = f (2n) (ξ) (p n, p n ) (2n)! Kun vertmme Newton-Cotesin j Gussin integrointimenetelmiä, huommme, että Gussin menetelmä on numeerisesti stbiili. Gussin integrointikvojen pinot ovt in positiivisi riippumtt pisteiden lukumäärästä n. Gussin integrointimenetelmä nt myös trkimmt tulokset, jos lskennllinen työskentely on smnveroist molemmiss menetelmissä. Jos tietäisimme etukäteen, kuink n pitäisi vlit siten, että svuttisimme ennlt määrätyn trkkuuden mille thns integrlille, Gussin integrointimenetelmä olisi ylivoiminen verrttun muihin numeerisiin integrointimenelmiin. Vlitettvsti meillä ei kuitenkn usein ole mhdollisuutt käyttää lusett 4.7 tätä trkoitust vrten, kosk derivtn korken kertluvun vuoksi trvittvien pisteiden määrän ennlt rvioiminen voi oll viket. Edellä minittujen syiden tki sovellmme yleensä Gussin integrointimenetelmää ksvvill n:n rvoill, kunnes peräkkäiset pproksimtiot täsmäävät tietylle trkkuudelle. Kosk emme yleensä voi käyttää luvulle n lskettuj funktion rvoj myös luvulle n + 1 (inkn klssisess tpuksess ω(x) 1), menetämme nopesti Gussin integrtiomenetelmän ilmeiset edut. 3

31 4.4 Gussin integrointikvoist etukäteen määrätyillä luvuill Tässä liluvuss trkstelemme Gussin integrointikvoj, kun meillä on tietty määrä etukäteen määrättyjä lukuj (ks. [2, s ]). Trkoitmme tällä kv, jok on muoto (4.16) m ω(x)f(x) dx k f(y k ) + ω k f(x k ), k=1 k=1 missä olemme kiinnittäneet j määränneet luvut y k etukäteen j määritämme m + 2n vkiot k, ω k j x k siten, että sääntö on trkk mhdollisimmn korke-steiselle polynomille (eli polynomille, jonk ste on m + 2n 1). Olkoot r(x) j s(x) sellisi polynomej, että r(x) = (x y 1 )(x y 2 ) (x y m ) j s(x) = (x x 1 )(x x 2 ) (x x n ). Luse 4.8. Sääntö (4.16) on trkk kikille polynomeille, joiden ste on pienempi ti yhtä suuri kuin m + 2n 1, jos j vin jos () se on trkk kikille polynomeille, joiden ste on m + n 1, (b) jos jokisen polynomin p(x) steluku on korkeitn n 1, niin tällöin ω(x)r(x)s(x)p(x) dx =. Todistus. Luseen 4.8 kohdn () välttämättömyys on trivili. Olkoon polynomi p(x) stett deg(p(x)) n 1. Tällöin polynomi t(x) = r(x)s(x)p(x) on polynomi, jonk ste on korkeintn m + 2n 1. Täten, jos kv (4.16) on trkk polynomille t(x), niin m ω(x)t(x) dx = k t(y k ) + ω k t(x k ). b k=1 k=1 Mutt nyt on voimss t(y k ) =, missä k = 1, 2,..., m, j t(x k ) =, missä k = 1, 2,..., n. Täten kohdn (b) välttämättömyys seur. Oletetn kääntäen, että kohdt () j (b) pitävät pikkns. Olkoon t(x) polynomi, jonk ste on korkeintn m + 2n 1. Tällöin kyseinen polynomi voidn kirjoitt muodosss t(x) = r(x)s(x)q(x) + v(x), missä q(x) on polynomi korkeintn stett n 1 j v(x) on polynomi, jonk ste on korkeintn 31

32 m + n 1. Nyt on voimss, että t(y k ) = v(y k ), missä k = 1, 2,..., m, j t(x k ) = v(x k ), missä k = 1, 2,..., n. Tällöin smme ω(x)t(x) dx = = ω(x)[r(x)s(x)q(x) + v(x)] dx ω(x)v(x) dx, sillä kohdn (b) nojll ω(x)r(x)s(x)q(x) dx =. Mutt kohdst () smme, että Tämä todist riittävyyden. m ω(x)v(x) dx = k v(y k ) + ω k v(x k ) k=1 k=1 m = k t(y k ) + ω k t(x k ). k=1 k=1 Jott voisimme edetä numeerisesti, meidän täytyy määritellä polynomit s(x) = (x x 1 ) (x x n ) ortogonlisin polynomein välillä [, b] pinon ω(x)r(x) suhteen. Tällöin smme Gussin integrointimenetelmän pohjksi kyseiset polynomit siten, että niiden ortogonlisuusreltioiss esiintyvät pinofunktiot ovt integrndin tekijöinä. Luse 4.9. Olkoot p n (x), missä n =, 1,..., ortonormlisi polynomej välillä [, b] pinon ω(x) suhteen. Olkoon r(x) = (x y 1 )(x y 2 ) (x y m ) välillä [, b]. Oletetn, että luvut y i ovt erillisiä. Oletetn lisäksi, että polynomit q n (x), missä n =, 1,..., ovt ortogonlisi polynomej välillä [, b] pinon ω(x)r(x) suhteen. Tällöin p n (x) p n+1 (x) p n+m (x) p n (y 1 ) p n+1 (y 1 ) p n+m (y 1 ) (4.17) r(x)q n (x) =.... p n (y m ) p n+1 (y m ) p n+m (y m ) Todistus. On selvää, että kvn (4.17) oike puoli kuuluu joukkoon Π n+m. Lisäksi oike puoli kto, kun x = y 1, x = y 2,..., x = y m eli determinntin vkrivit ovt yhtä suuret. Täten se voidn kirjoitt muodoss r(x)q n (x), missä q n (x) Π n. 32

33 Osoitmme seurvksi, että polynomi q n (x) on ortogonlinen eli kohtisuorss kikki joukon Π n 1 lkioit vstn pinon ω(x)r(x) suhteen. Olkoon q(x) Π n 1. Kosk r(x)q n (x) on selvästi tietty linerikombintio polynomeist p n (x),..., p n+m (x), niin smme Smme, että ω(x)r(x)q n (x)q(x) dx = r(x)q n (x) = c 1 p n (x) + + c m+1 p n+m (x). ω(x)[c 1 p n (x) + + c m+1 p n+m (x)]q(x) dx =, sillä jokinen ortonormli polynomi on ortogonlinen lemmn steen polynomien suhteen. Lopuksi osoitmme, että polynomin q n (x) ste on täsmälleen n. Smme osoitettu tämän näyttämällä, ettei polynomin p n+m (x) kerroin c m+1 ole noll. Tämä kerroin on p n (y 1 ) p n+1 (y 1 ) p n+m 1 (y 1 ) (4.18) c m+1 =.... p n (y m ) p n+1 (y m ) p n+m 1 (y m ) Jos olisi c m+1 =, löytäisimme vkiot d 1, d 2,..., d m, joist kikki eivät ole nolli, siten, että polynomi (4.19) s(x) = d 1 p n (x) + d 2 p n+1 (x) + + d m p n+m 1 (x) ktoisi, kun x = y 1, x = y 2,..., x = y m. Nyt polynomi s(x) olisi muoto s(x) = r(x)t(x), missä t(x) Π n 1. Lisäksi s(x) olisi tietenkin ortogonlinen kikkien joukon Π n 1 lkioiden suhteen. Tästä seurisi, että = ω(x)s(x)t(x) dx = ω(x)r(x)t 2 (x) dx. Tällöin t(x) huomutuksen 4.1 nojll. Tämä on ristiriidss sen knss, että kikki luvut d i eivät ole nolli. Jos otmme integrointivälin päätepisteet mukn khteen yleisimpään Gussin integrointisääntöön j vlitsemme pinoiksi ω(x) = 1 j loput pisteet x k siten, että smme mhdollisimmn korken kertluvun menetelmälle, päädymme Rdun j Lobtton integrointiin. (Ks. [2, s ]). Esitämme nämä lusein 4.1 j

34 Luse 4.1 (Rdun integrointi). Olkoon funktio f(x) C 2n 1 [ 1, 1]. Tällöin (4.2) 1 1 f(x) dx = 2 n 1 n f( 1) + 2 j=1 ω j f(x j ) + E, missä x j on j:s noll lusekkeess (4.21) missä P n 1 (x) + P n (x), P (x) = Legendren polynomi (ks. luku 4.2), x 1 (4.22) ω j = 1 n 2 1 x j [P n 1 (x j )] 2 = 1 1 x j 1 [P n 1(x j )] 2, j missä (4.23) E = E(f) = 22n 1 n [(2n 1)!] 3 [(n 1)!]4 f (2n 1) (ξ), missä 1 < ξ < 1. Seurvss luseess esitämme Lobtton integroinnin. Luse 4.11 (Lobtton integrointi). Olkoon f(x) C 2n 2 [ 1, 1]. Tällöin (4.24) 1 1 f(x) dx = n 1 2 n(n 1) [f(1) + f( 1)] + ω j f(x j ) + E, j=2 missä x j on polynomin P n 1(x) (j 1):s nollkoht, kun P (x) on Legendren polynomi. Tässä kvss (4.24) luvuille ω j j E pätee, että (4.25) ω j = j (4.26) 2 n(n 1)[P n 1 (x j )] 2, missä x j 1, x j 1, E = E(f) = n(n 1)3 2 2n 1 [(n 2)!] 4 (2n 1)[(2n 2)!] 3 f (2n 2) (ξ), missä 1 < ξ < 1. Rdun j Lobtton integrointisäännöt ovt usein hyödyllisiä pproksimoinniss seurviss tilnteiss (vrt. [2, s ]). (1) Funktio s pisteessä 1 ti 1 yksinkertisen rvon, esimerkiksi nolln. 34

35 (2) Rdun kv on hyödyllinen, kun rtkisemme tvllisen yhden muuttujn differentiliyhtälön (4.27) y = f(x, y) seurvsti (4.28) y(1) = y( 1) f(x, y) dx y( 1) + 2 n 1 n f( 1, y( 1)) + 2 i=1 w i f(x i, y(x i )). Tässä luvut x i ovt Rdun integrointisäännön lukuj j ω i vstvi pinoj. Jos lskemme rvot f(x i, y(x i )) jollkin stndrdimenetelmällä, niin ylläolev pproksimtio prnt termin y(1) rvo. Lopuksi nnmme esimerkin Rdun j Lobtton integrointisäännöistä eri integrndeill. Esimerkki 4.2. Olkoot L 4 Lobtton neljän pisteen sääntö, L 1 Lobtton kymmenen pisteen sääntö, R 6 Rdun kuuden pisteen vsemmn puoleinen sääntö j R 6 kuuden pisteen oiken puoleinen sääntö. Näissä säännöissä esimerkiksi neljän pisteen säännössä n = 4 j kymmenen pisteen säännössä n = 1. Rdun vsemmn puoleisell säännöllä trkoitmme, että olemme vlinneet pisteet integrointivälin osvälien vsemmlt puolelt. Vstvsti Rdun oiken puoleisell säännöllä trkoitmme, että olemme vlinneet pisteet integrointivälin osvälien oikelt puolelt. All oleviin tulukkoihin olemme koonneet sääntöjä vstvi tuloksi eri integrndeill. Tulukko 3: Sääntöjä vstvi tuloksi. Sääntö 1 x 1 2 dx 1 x 3 2 dx 1 1 dx x dx 1+x 4 L 4, , , , L 1, , 4 199, , R 6, , 4 232, , R 6, , , , Trkk rvo, , 4, ,

36 Tulukko 4: Sääntöjä vstvi tuloksi. 1 Sääntö L 4, , L 1, , R 6, , R 6, , Trkk rvo, , dx 1+e x 1 2 dx 2+sin 1πx Kun trkstelemme n:n pisteen Gussin säännön G n j n 1:n pisteen Lobtton säännön virhetermejä (ks. luseet 4.7 j 4.11), huommme, että termien f (2n) (ξ) kertoimet näissä khdess säännösssä ovt melkein smt j vstkkismerkkiset. Tällöin jos f (2n) ei muut merkkiänsä integrointivälillä, niin integrlin I(f) rvo on näiden khden rvon välillä. Pinotetull keskirvoll n + 1 2n + 1 G n + n 2n + 1 L n+1 smme yleensä premmn pproksimtion integrlin I(f) rvolle kuin kummllkn säännöllä G n ti L n+1. Kun luvun n rvo on suuri j funktio on hyvin käyttäytyvä, tämä pitää yleisesti pikkns. 36

37 Viitteet [1] Abrmowitz, M., nd Stegun, I. A., Hndbook of Mthemticl Functions. Ntionl Bureu of Stndrds, Applied Mthemtics series 55. 6th ed. Wshington DC.: U.S. Government Printing Office, [2] Dvis, P.J., nd Rbinowitz P., Methods of numericl integrtion, 2nd ed. The United Sttes of Americ: Acdemic Press, Inc., [3] Kincid, D., nd Cheney, W., Numericl Anlysis, Interntionl Student Edition. The United Sttes of Americ: Wdsworth, Inc., [4] Press, W. H., Flnnery, B. P., Teukolsky, S. A., Vetterling, W. T., Numericl Recipes. The Art of Scientific Computing. The United Sttes of Americ: The Cmbridge University Press, [5] Steffensen, J. F., Interpoltion, 2nd ed. New York: Chelse Publishing Co., 195. [6] Stoer, J., nd Bulirsch, R., Introduction to numericl nlysis, The United Sttes of Americ: Springer-Verlg New York Inc,