Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 4. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 4 () Numeeriset menetelmät / 44

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 4. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 4 () Numeeriset menetelmät / 44"

Transkriptio

1 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 4 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 4 () Numeeriset menetelmät / 44

2 Luennon 4 sisältö Lineaarisen yhtälöryhmän ratkaisemisesta: Choleskyn menetelmä yhtälöryhmän ratkaisemiseen Nauhamaiset yhtälöryhmät Virhe- ja stabiilisuusanalyysiä Epälineaarisen yhtälöryhmän ratkaisemisesta Luento 4 () Numeeriset menetelmät / 44

3 3.3. Choleskyn menetelmä 3.3. Choleskyn menetelmä Edellä esitetty LU-hajotelma on tarkoitettu yleiselle yhtälöryhmälle Ax = b. Jos matriisilla A on erityisominaisuuksia, niitä hyödyntämällä saadaan usein tehokkaampia algoritmeja. Esimerkiksi A positiivisesti definiitti A nauhamatriisi Luento 4 () Numeeriset menetelmät / 44

4 3.3. Choleskyn menetelmä Positiivinen definiittisyys Matriisi A R n n on positiivisesti definiitti, jos se on symmetrinen ja x T Ax > 0 kaikille 0 x R n. Käytännössä annetusta matriisista on vaikea sanoa suoraan eo. määritelmän avulla onko se positiivisesti definiitti vai ei. Definiittisyys tiedetään yleensä yhtälöryhmään johtaneen lähtöprobleeman ominaisuuksista. Luento 4 () Numeeriset menetelmät / 44

5 3.3. Choleskyn menetelmä Positiivinen definiittisyys jatkuu Lause Jos matriisi A on positiivisesti definiitti, niin matriisin A suurin alkio on diagonaalilla ja diagonaalialkiot sekä ominaisarvot ovat > 0. matriisi A on kääntyvä, on olemassa yksikäsitteinen alakolmiomatriisi L, jonka diagonaalialkiot ovat aidosti positiivisia ja jolle pätee A = LL T. Positiivisesti definiitti matriisi A on kääntyvä ja siten yhtälöryhmällä Ax = b on aina yksikäsitteinen ratkaisu. Luento 4 () Numeeriset menetelmät / 44

6 Choleskyn menetelmä 3.3. Choleskyn menetelmä Oletetaan jatkossa, että yhtälöryhmän kerroinmatriisi A R n n on positiivisesti definiitti. Choleskyn menetelmässä muodostetaan kolmiohajotelma A = LL T ja yhtälöryhmä saadaan siten muotoon Ax = LL T x = L(L T x) = b. Yhtälöryhmät Ly = b ja L T x = y ratkaistaan etenevillä ja takenevilla sijoituksilla kuten LU-hajotelman yhteydessä. Luento 4 () Numeeriset menetelmät / 44

7 Choleskyn menetelmä jatkuu 3.3. Choleskyn menetelmä Matriisin L alkiot voidaan johtaa muodostamalla matriisitulo LL T ja vertaamalla vastinalkioihin matriisissa A. Matriisien kertolaskusäännön mukaan tulee olla n l ik l jk = k=1 j 1 j l ik l jk = l ij l jj + l ik l jk = a ij, k=1 k=1 josta saadaan matr. L diag. alapuolisille alkioille l ij esitys l ij = 1 j 1 (a ij l ik l jk ), i = 1,..., n, j = 1,..., i 1, i j. l jj k=1 Luento 4 () Numeeriset menetelmät / 44

8 Choleskyn menetelmä jatkuu 3.3. Choleskyn menetelmä Diagonaalialkioille asetetaan ao. kaavassa j = i ja saadaan j 1 l ij l jj + k=1 l ii = i 1 l ik l jk = a ij lii 2 + ( i 1 a ii k=1 l 2 ik k=1 l 2 ik = a ii ) 1 2, i = 1,.., n. (1) Luento 4 () Numeeriset menetelmät / 44

9 Choleskyn menetelmä jatkuu 3.3. Choleskyn menetelmä Alakolmiomatriisin alkiot l ij voidaan laskea esimerkiksi riveittäin: l 11 = (a 11 ) 1 2 l 21 = a 21 /l 11, l 22 = (a 22 l21) l 31 = a 31 /l 11, l 32 = (a 32 l 31 l 21 )/l 22, l 33 = (a 33 l31 2 l32) jne. Choleskyn menetelmä on tehokkaampi kuin LU-hajotelma, koska tarvitsee muodostaa vain kolmiomatriisi kokonaisen LU-matriisin sijaan. Luento 4 () Numeeriset menetelmät / 44

10 3.4 Nauhamaiset yhtälöryhmät 3.4 Nauhamaiset yhtälöryhmät Matriisi A on nauhamatriisi, jos a ij = 0, kun i j > m. - m on sivudiagonaalien lukumäärä - luku 2m + 1 on matriisin A nauhanleveys. m = 1 : tridiagonaalinen matriisi (nauhan leveys = 3). b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 A = a 3 b 3 c a n 1 b n 1 c n 1 a n b n Luento 4 () Numeeriset menetelmät / 44

11 3.4 Nauhamaiset yhtälöryhmät Nauhamaiset yhtälöryhmät jatkuu jos A on nauhamatriisi, niin LU-hajotelman (ilman tuentaa eli rivien vaihtoa) kolmiotekijät L ja U ovat myös nauhamatriiseja, joilla on sama nauhanleveys kuin A:lla. Sama pätee hajotelmalle LL T (eli Choleskyn menetelmälle). matriiseista A, L ja U riittää tallentaa diagonaalin ympärillä olevat alkiot; matriisien sisältämä informaatio esitetään tiiviisti ja turha laskenta nollilla poistuu. Luento 4 () Numeeriset menetelmät / 44

12 3.4 Nauhamaiset yhtälöryhmät Esimerkki 3.2 Tarkastellaan toisen kertaluvun reuna-arvotehtävän { u (x) + u (x) = f (x), 0 < x < 1 u(0) = u(1) = 0 (2) ratkaisemista differenssimenetelmällä. Ratkaistaan tehtävä likimääräisesti pisteissä x i = i h, i = 1,..., n, h = 1 n + 1 (n + 1 osaväliä, lasketaan vain sisäpisteissä, koska u:n arvot kiinnitettyjä välin päätepisteissä). Luento 4 () Numeeriset menetelmät / 44

13 Esimerkki 3.2 jatkuu 3.4 Nauhamaiset yhtälöryhmät Korvataan derivaatat erotusosamäärillä (i = 1,..., n): u(x i + h) + 2u(x i ) u(x i h) + u(x i) u(x i h) h 2 h Merkitään x i+1 := x i + h, x i 1 := x i h = f (x i ). Tällöin saadaan ( 1 ( u(x h 2 i+1 ) + 2u(x i ) u(x i 1 ) + h u(x i ) u(x i 1 )) ) = f (x i ) ja edelleen (1 + h)u(x i 1 ) + (2 + h)u(x i ) u(x i+1 ) = h 2 f (x i ). Luento 4 () Numeeriset menetelmät / 44

14 Esimerkki 3.2 jatkuu 3.4 Nauhamaiset yhtälöryhmät Merkitään nyt Tällöin saadaan u i := u(x i ), f i := f (x i ) (1 + h)u i 1 + (2 + h)u i u i+1 = h 2 f i. Siten yhtälöt voidaan kirjoittaa matriisimuodossa h 1 (1 + h) 2 + h (1 + h) 2 + h (1 + h) 2 + h u 1 u 2. u n 1 u n 3 2 = h 2 f 1 h 2 f 2. h 2 f n 1 h 2 f n Luento 4 () Numeeriset menetelmät / 44

15 Tridiagonaalinen matriisi 3.4 Nauhamaiset yhtälöryhmät Yleinen tridiagonaalinen matriisi on siis muotoa b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 A = a 3 b 3 c a n 1 b n 1 c n 1 a n b n Luento 4 () Numeeriset menetelmät / 44

16 Tridiagonaalinen matriisi jatkuu 3.4 Nauhamaiset yhtälöryhmät Oletetaan, että tridiagonaalisen matriisin A LU-hajotelma voidaan muodostaa numeerisesti stabiilisti ilman rivien vaihtoa. Tehdään arvaus, että kolmiotekijät ovat muotoa 1 β 2 1 L = β 3 1. β n 1 ω 1 α 1 ja U = missä vakiot ω i, α i ja β i ovat toistaiseksi tuntemattomia. ω 2 α 2.. α n 1 ω n, Luento 4 () Numeeriset menetelmät / 44

17 Tridiagonaalinen matriisi jatkuu 3.4 Nauhamaiset yhtälöryhmät Kertomalla kolmiotekijät L ja U keskenään, saadaan ω 1 α 1 β 2 ω 1 α 1 β 2 + ω 2 α 2 LU = β 3 ω 2 α 2 β 3 + ω 3 α , β n ω n 1 α n 1 β n + ω n eli matriisi LU on tridiagonaalinen. Luento 4 () Numeeriset menetelmät / 44

18 Tridiagonaalinen matriisi jatkuu 3.4 Nauhamaiset yhtälöryhmät Vertaamalla vastinalkioita matriiseissa A ja LU saadaan β i, ω i ja α i laskettua riveittäin: ω 1 = b 1, α 1 = c 1, β i = a i /ω i 1, ω i = b i α i 1 β i, α i = c i, i = 2, 3,..., n 1, β n = a n /ω n 1, ω n = b n α n 1 β n. Vastaavasti voidaan johtaa Choleskyn hajotelma positiivisesti definiitille tridiagonaalimatriisille. Luento 4 () Numeeriset menetelmät / 44

19 3.5 Virhe- ja stabiilisuusanalyysiä 3.5 Virhe- ja stabiilisuusanalyysiä periaatteessa Ax = b voidaan ratkaista tarkasti äärellisellä määrällä peruslaskutoimituksia käytännössä ratkaisu on aina likiarvo. - mallin parametrit A ja b sisältää mittaus ym. virheitä. - A ja b talletetaan liukulukuapproksimaatioina. - liukulukulaskennassa käytetyt aritmeettiset operaatiot ovat epätarkkoja Oletetaan jatkossa, että A on kääntyvä matriisi. Luento 4 () Numeeriset menetelmät / 44

20 Vektorinormeja Luku 3: Yhtälöryhmien ratkaisemisesta 3.5 Virhe- ja stabiilisuusanalyysiä ( n ) 1/p x p = x i p, 1 p < x 1 = i=1 ( n n ) 1/2 x i, x 2 = x i 2 i=1 x = max x i i i=1 Luento 4 () Numeeriset menetelmät / 44

21 3.5 Virhe- ja stabiilisuusanalyysiä Matriisinormeista Matriisin A ns. operaattorinormi määritellään vektorinormiin liittyen Ax A = sup x 0 x. Näin määritelty matriisinormi toteuttaa ehdon Ax A x x R n. Esim. Ax p A p = sup x 0 x p Luento 4 () Numeeriset menetelmät / 44

22 Matriisinormeista jatkuu 3.5 Virhe- ja stabiilisuusanalyysiä Usein käytettyjä matriisinormeja A 1 = max j n a ij (max sarakkeiden summista) i=1 A = max i n a ij (max rivien summista) j=1 Luento 4 () Numeeriset menetelmät / 44

23 3.5 Virhe- ja stabiilisuusanalyysiä Virhe- ja stabiilisuusanalyysiä Tarkastellaan aluksi vektorin b häiriöiden vaikutusta ratkaisuun x Oletetaan käytetyt aritmeettiset operaatiot tarkoiksi. Oletetaan, että A on kääntyvä matriisi. Luento 4 () Numeeriset menetelmät / 44

24 3.5 Virhe- ja stabiilisuusanalyysiä Virhe- ja stabiilisuusanalyysiä Alkuperäinen tehtävä Ax = b. Häiritään vektoria b tekijällä δb Aˆx = b + δb (ˆx häirityn tehtävän ratkaisu). Merkitään e = ˆx x. Saadaan Ae = Aˆx Ax = b + δb b = δb ( e = A 1 δb) ja edelleen e = A 1 δb A 1 δb e x A 1 δb. x : x Luento 4 () Numeeriset menetelmät / 44

25 3.5 Virhe- ja stabiilisuusanalyysiä Virhe- ja stabiilisuusanalyysiä Koska saadaan Ax = b { b = Ax A x x = A 1 b x = A 1 b A 1 b, x A 1 b A 1 A x : x b A 1 x A 1 A b Nyt edellisen kalvon alin lauseke + ylläoleva antaa e x A 1 δb x A A 1 δb b. Luento 4 () Numeeriset menetelmät / 44

26 3.5 Virhe- ja stabiilisuusanalyysiä Virhe- ja stabiilisuusanalyysiä Ratkaisun suhteellista virhettä voidaan siten arvioida oikean puolen suhteellisen virheen avulla: e x κ(a) δb b, missä lukua κ(a) = A A 1 kutsutaan matriisin A häiriöalttiudeksi (matrix condition number). Häiriöalttius κ(a) kertoo kuinka hyvää tarkkuutta ratkaisulta voidaan käytännössä odottaa. Jos esimerkiksi κ(a) = 10 3 ja oikean puolen tarkkuus on luokkaa 10 6, on ratkaisun virhe pahimmassa tapauksessa luokkaa = Luento 4 () Numeeriset menetelmät / 44

27 3.5 Virhe- ja stabiilisuusanalyysiä Virhe- ja stabiilisuusanalyysiä Häiriöalttiuden κ(a) numeerinen arvo riippuu käytetystä matriisinormista. (merkitään esim. κ (A) = A A 1 ) κ(a):n tarkan arvon laskeminen on kalliimpi operaatio kuin itse yhtälöryhmän ratkaiseminen. κ(a):n suuruusluokkaa voidaan arvioida LU-hajotelman avulla ja tämä on yleensä käytännössä riittävää. Luento 4 () Numeeriset menetelmät / 44

28 3.5 Virhe- ja stabiilisuusanalyysiä Esimerkki 3.3 Hilbertin matr. A R n n, a ij = 1 i+j 1 Kun n = 5, niin κ (A) on erittäin häiriöaltis. Olkoon b = A[ ] T, jolloin yhtälöryhmän Ax = b tarkan ratkaisun kaikki komponentit ovat ykkösiä. Jos vektoria b häiritään 10 7 verran yhdessä komponentissa, pätee ratkaisulle e x Edellä johdettu epäyhtälö antaa suhteelliselle virheelle ylärajan κ (A) δb b Luento 4 () Numeeriset menetelmät / 44

29 3.5 Virhe- ja stabiilisuusanalyysiä Lause 3.3. Olkoon x yhtälön Ax = b ratkaisu ja olkoon x + e häirityn yhtälön (A + δa)(x + e) = b + δb ratkaisu. Silloin e x κ(a) 1 κ(a) δa A ( δa A + δb ). b Luento 4 () Numeeriset menetelmät / 44

30 Huomautus 3.4. Luku 3: Yhtälöryhmien ratkaisemisesta 3.5 Virhe- ja stabiilisuusanalyysiä Jos det A = 0, niin määritellään κ(a) =. Yleisesti determinantin arvon perusteella ei voi sanoa mitään matriisin häiriöalttiudesta. Esim D n = , B n = det D n = 10 n 0, kun n, mutta κ(d n ) = 1 kaikilla n. det B n = 1 kaikilla n, mutta κ(b n ), kun n. 1 Luento 4 () Numeeriset menetelmät / 44

31 a posteriori -virhearvio 3.5 Virhe- ja stabiilisuusanalyysiä Edellä johdetut virhearviot ovat a priori -virhearvioita: Ratkaisematta tehtävää, ts. lähtötiedon perusteella arvioidaan sitä, kuinka hyvää tarkkuutta tehtävän ratkaisulta voidaan odottaa. Sen jälkeen, kun tehtävä on ratkaistu jollakin numeerisella menetelmällä, saadun ratkaisun tarkkuutta voidaan arvioida a posteriori -virhearviota käyttäen. a posteriori -virhearvio saadaan laskettua ns. residuaalia käyttäen. Luento 4 () Numeeriset menetelmät / 44

32 a posteriori -virhearvio 3.5 Virhe- ja stabiilisuusanalyysiä Olkoon ˆx yhtälöryhmän Ax = b numeerinen ratkaisu. Sen voidaan ajatella olevan häirityn yhtälöryhmän tarkka ratkaisu. (A + δa)ˆx = b + δb Tällöin yleensä δa, δb 0 ja ratkaisua ˆx vastaavalle residuaalille r = b Aˆx on voimassa r 0. Luento 4 () Numeeriset menetelmät / 44

33 a posteriori -virhearvio 3.5 Virhe- ja stabiilisuusanalyysiä Pelkkä residuaali on kuitenkin hyödytön ratkaisun tarkkuuden mittari: Tehtävän skaalaaminen vakiolla: αax = αb, α 0, ei muuta ratkaisua, mutta residuaali r tulee kerrotuksi samalla vakiolla. Skaalaamalla tehtävää residuaali saadaan mielivaltaisen pieneksi tai suureksi. Pyöristysvirheistä johtuvien häiriöiden δa ja δb normeille ei voi antaa yksinkertaisia yleisiä arvioita. Luento 4 () Numeeriset menetelmät / 44

34 3.5 Virhe- ja stabiilisuusanalyysiä a posteriori -virhearvio Johdetaan a posteriori -virhearvio ratkaisulle ˆx: b Ax = 0 x = A 1 b, b Aˆx = r ˆx = A 1 (b r) Nyt e := x ˆx = A 1 b A 1 (b r) = A 1 b A 1 b + A 1 r = A 1 r, mistä saadaan e A 1 r : x e x A 1 r. x Luento 4 () Numeeriset menetelmät / 44

35 a posteriori -virhearvio 3.5 Virhe- ja stabiilisuusanalyysiä Edellä saatiin e x A 1 r. x Käyttämällä hyväksi epäyhtälöä 1 A x b, saadaan virhearvio e x A 1 r x A A 1 r b κ(a) r b. Ts. pieni suht. residuaalin normi pieni suht. virhe ratkaisussa vain jos matriisin häiriöalttius on pieni. Luento 4 () Numeeriset menetelmät / 44

36 Esimerkki 3.4. Luku 3: Yhtälöryhmien ratkaisemisesta 3.5 Virhe- ja stabiilisuusanalyysiä Esimerkissä 3.3. tarkasteltiin Hilbertin matriisia A R n n, a ij = 1, ja tilannetta b = A[ i+j 1 1]T, jolloin yhtälöryhmän Ax = b tarkka ratkaisu on x = [ ] T. Ratk. sama yhtälöryhmä numeerisesti LU-hajotelman avulla käyttäen 64-bittistä liukulukuaritmetiikkaa. Tällöin edellä johdetun virhearvion antama yläraja on ja todellinen suhteellinen virhe on κ (A) r b e x Luento 4 () Numeeriset menetelmät / 44

37 3.5 Virhe- ja stabiilisuusanalyysiä Lineaarisen yhtälöryhmän ratkaiseminen Käsiteltiin suoria menetelmiä: Yhtälöryhmän tarkka ratkaisu saadaan äärellisellä määrällä peruslaskutoimituksia, kun käytetään tarkkaa aritmetiikkaa. Suorat menetelmät ok pienille tehtäville, mutta vaadittavien laskutoimitusten määrä kasvaa nopeasti suureksi, kun tehtävän koko n kasvaa. Iteratiiviset menetelmät monesti tehokkaampia suurten lineaaristen yhtälöryhmien ratkaisemiseen. Lähtien alkuarvauksesta x (0), muodostetaan likiratkaisujen jono {x (k) }, joka suppenee kohti ratkaisua x. Iteratiivisia menetelmiä ei käsitellä tällä kurssilla. Luento 4 () Numeeriset menetelmät / 44

38 3.7 Suosituksia algoritmien valintaan 3.7 Suosituksia algoritmien valintaan Lineaarisen yhtälöryhmän ratkaisemiseen on vapaasti saatavilla tehokkaita implementointeja suorista perusmenetelmistä, mm. LAPACK-kirjasto. (Myös Matlab käyttää LAPACK-rutiineja) yhtälöryhmän ratkaiseminen LAPACK-kirjaston tiheille matriiseille tarkoitetulla LU-aliohjelmalla käy hetkessä tavallisella kotimikrolla; tämän kokoisten tehtävien ratkaisemisessa ei kannata käyttää monimutkaisempia tietorakenteita tai menetelmiä. Suuremmille (realistisemmille) tehtäville iteratiiviset menetelmät ovat usein ainoa tapa saada tehtävä ratkaistua. Luento 4 () Numeeriset menetelmät / 44

39 3.8 Epälineaarisen yhtälöryhmän ratkaisemisesta 3.8 Epälineaarisen yhtälöryhmän ratkaisemisesta Tarkastellaan epälineaarisen yhtälöryhmän f 1 (x) f 2 (x) f (x) =. = 0, missä x = [ ] T x 1 x 2... x n f n (x) ja funktiot f i ovat epälineaarisia, numeerista ratkaisemista. Nyt siis f : R n R n on vektoriarvoinen funktio. Ratkaisumenetelmissä pyritään usein palauttamaan epälineaarinen yhtälöryhmä jonoksi lineaarisia yhtälöryhmiä. Luento 4 () Numeeriset menetelmät / 44

40 3.8.1 Newtonin menetelmä 3.8 Epälineaarisen yhtälöryhmän ratkaisemisesta Olkoon x (0) alkuarvaus yhtälöryhmän ratkaisulle. Muod. funktion f 1. kl Taylorin kehitelmä pisteessä x (0) : f (x (0) + h) = f (x (0) ) + J(x (0) ) h + O( h 2 ). Tässä J(x) = f 1 (x) x 1 f 2 (x) x 1. f n(x) x 1 f 1 (x) x 2... f 2 (x) f 1 (x) x n f 2 (x) x n x f n(x) x 2... f n(x) x n on funktion f jacobiaani pisteessä x. Luento 4 () Numeeriset menetelmät / 44

41 3.8 Epälineaarisen yhtälöryhmän ratkaisemisesta Newtonin menetelmä jatkuu Asetetaan funktion f lineaarinen approksimaatio nollaksi: f (x (0) ) + J(x (0) )h = 0 J(x (0) )h = f (x (0) ) h = J(x (0) ) 1 f (x (0) ). saatiin laskukaava korjausvektorille h. Uusi approksimaatio yhtälöryhmän ratkaisulle saadaan siten asettamalla x (1) = x (0) + h = x (0) J(x (0) ) 1 f (x (0) ). 1-ulotteisen Newton-askeleen yleistys useampiulotteiseen tapaukseen. Luento 4 () Numeeriset menetelmät / 44

42 Newtonin menetelmä jatkuu 3.8 Epälineaarisen yhtälöryhmän ratkaisemisesta Käytännössä Jacobiaanin käänteismatriisia ei muodosteta eksplisiittisesti vaan ratkaistaan h yhtälöryhmästä ja päivitetään J(x (k) )h = f (x (k) ) x (k+1) = x (k) + h. Luento 4 () Numeeriset menetelmät / 44

43 Lause 3.8 Luku 3: Yhtälöryhmien ratkaisemisesta 3.8 Epälineaarisen yhtälöryhmän ratkaisemisesta Olkoon x yhtälön f (x) = 0 ratkaisu. Oletetaan että det J(x ) 0 ja funktion f kaikki toisen kertaluvun osittaisderivaatat ovat jatkuvia. Tällöin on olemassa luku ε > 0 siten, että jos x (0) x ε, niin Newton-algoritmin generoima vektorijono {x (k) } konvergoi kohti ratkaisua x. Konvergenssin kertaluku on kaksi. Luento 4 () Numeeriset menetelmät / 44

44 3.8 Epälineaarisen yhtälöryhmän ratkaisemisesta Newtonin menetelmä jatkuu Newtonin menetelmän ongelmat: Alkuarvauksen on oltava hyvä, jotta menetelmä konvergoisi. Jacobiaani voi olla numeerisesti singulaarinen jossakin pisteessä. Askel, jossa ratkaistaan h on kallis, kun n on suuri. Luento 4 () Numeeriset menetelmät / 44

Numeeriset menetelmät

Numeeriset menetelmät Numeeriset menetelmät Luento 4 To 15.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 4 To 15.9.2011 p. 1/38 p. 1/38 Lineaarinen yhtälöryhmä Lineaarinen yhtälöryhmä matriisimuodossa Ax = b

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 5. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 5 () Numeeriset menetelmät / 28

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 5. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 5 () Numeeriset menetelmät / 28 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 5 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 5 () Numeeriset menetelmät 3.4.2013 1 / 28 Luennon 5 sisältö Luku 4: Ominaisarvotehtävistä Potenssiinkorotusmenetelmä QR-menetelmä

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja

MS-C1340 Lineaarialgebra ja MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Matriisinormi, häiriöalttius Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Matriisinormi Matriisinormi Matriiseille

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 6. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 6 () Numeeriset menetelmät / 33

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 6. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 6 () Numeeriset menetelmät / 33 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 6 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 6 () Numeeriset menetelmät 4.4.2013 1 / 33 Luennon 6 sisältö Interpolointi ja approksimointi Polynomi-interpolaatio: Vandermonden

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 3. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 3 () Numeeriset menetelmät / 45

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 3. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 3 () Numeeriset menetelmät / 45 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 3 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 3 () Numeeriset menetelmät 20.3.2013 1 / 45 Luennon 3 sisältö Luku 2: Epälineaarisen yhtälön ratkaiseminen Polynomin reaaliset

Lisätiedot

Iteratiiviset ratkaisumenetelmät

Iteratiiviset ratkaisumenetelmät Iteratiiviset ratkaisumenetelmät Keijo Ruotsalainen Division of Mathematics Yleinen iteraatio Lineaarisen yhtälöryhmän iteratiivinen ratkaisumenetelmä voidaan esittää muodossa: Anna alkuarvaus: x 0 R n

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Matriisinormi, häiriöalttius Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 14 R. Kangaslampi matriisiteoriaa Matriisinormi

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 8. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 8. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 8 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 8 () Numeeriset menetelmät 11.4.2013 1 / 35 Luennon 8 sisältö Interpolointi ja approksimointi Funktion approksimointi Tasainen

Lisätiedot

Matriisilaskenta Luento 8: LU-hajotelma

Matriisilaskenta Luento 8: LU-hajotelma Matriisilaskenta Luento 8: LU-hajotelma Antti Rasila 2016 Matriisihajotelmat 1/2 Usein matriisiyhtälön Ax = y ratkaiseminen on epäkäytännöllistä ja hidasta. Siksi numeerisessa matriisilaskennassa usein

Lisätiedot

Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 2

Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 2 Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 2 Kevät 2012 1 Lineaarinen inversio-ongelma Määritelmä 1.1. Yleinen (reaaliarvoinen) lineaarinen inversio-ongelma voidaan esittää muodossa m = Ax +

Lisätiedot

(0 desimaalia, 2 merkitsevää numeroa).

(0 desimaalia, 2 merkitsevää numeroa). NUMEERISET MENETELMÄT DEMOVASTAUKSET SYKSY 20.. (a) Absoluuttinen virhe: ε x x ˆx /7 0.4 /7 4/00 /700 0.004286. Suhteellinen virhe: ρ x x ˆx x /700 /7 /00 0.00 0.%. (b) Kahden desimaalin tarkkuus x ˆx

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät

Numeeriset menetelmät Numeeriset menetelmät Luento 6 To 22.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 6 To 22.9.2011 p. 1/38 p. 1/38 Ominaisarvotehtävät Monet sovellukset johtavat ominaisarvotehtäviin Yksi

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät

Numeeriset menetelmät Numeeriset menetelmät Luento 3 Ti 13.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 3 Ti 13.9.2011 p. 1/37 p. 1/37 Epälineaariset yhtälöt Newtonin menetelmä: x n+1 = x n f(x n) f (x n ) Sekanttimenetelmä:

Lisätiedot

Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 3

Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 3 Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 3 Kevät 2011 1 Singulaariarvohajotelma (Singular Value Decomposition, SVD) Olkoon A R m n matriisi 1. Tällöin A voidaan esittää muodossa A = UΣV T,

Lisätiedot

Luento 5: Suurten lineaaristen yhtälöryhmien ratkaiseminen iteratiivisilla menetelmillä

Luento 5: Suurten lineaaristen yhtälöryhmien ratkaiseminen iteratiivisilla menetelmillä Luento 5: Suurten lineaaristen yhtälöryhmien ratkaiseminen iteratiivisilla menetelmillä Matriisit voivat olla kooltaan niin suuria, että LU-hajotelman laskeminen ei ole järkevä tapa ratkaista lineaarista

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 12. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 12. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 12 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 12 () Numeeriset menetelmät 25.4.2013 1 / 33 Luennon 2 sisältö Tavallisten differentiaaliyhtälöiden numeriikasta Rungen

Lisätiedot

1. Normi ja sisätulo

1. Normi ja sisätulo Kurssimateriaalia K3/P3-kursille syksyllä 3 83 Heikki Apiola Sisältää otteita Timo Eirolan L3-kurssin lineaarialgebramonisteesta, jonka lähdekoodin Timo on ystävällisesti antanut käyttööni Normi ja sisätulo

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät

Numeeriset menetelmät Numeeriset menetelmät Luento 2 To 8.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 2 To 8.9.2011 p. 1/33 p. 1/33 Lukujen tallennus Kiintoluvut (integer) tarkka esitys aritmeettiset operaatiot

Lisätiedot

Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 7 8

Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 7 8 Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 7 8 Kevät 2011 1 Iteratiivisista menetelmistä Tähän mennessä on tarkasteltu niin sanottuja suoria menetelmiä, joissa (likimääräinen) ratkaisu saadaan

Lisätiedot

Osittaistuenta Gaussin algoritmissa: Etsitään 1. sarakkeen itseisarvoltaan suurin alkio ja vaihdetaan tämä tukialkioiksi (eli ko. rivi 1. riviksi).

Osittaistuenta Gaussin algoritmissa: Etsitään 1. sarakkeen itseisarvoltaan suurin alkio ja vaihdetaan tämä tukialkioiksi (eli ko. rivi 1. riviksi). Liukuluvut Tietokonelaskuissa käytetään liukulukuja: mikä esittää lukua ± α α α M β k ± ( M α i β i )β k, i= β on järjestelmän kantaluku, α α M liukuluvun mantissa, α,, α M lukuja,,,, β, siten että α Esimerkki

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 1 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a

Lisätiedot

MATEMATIIKAN JAOS NUMEERISET MENETELMÄT

MATEMATIIKAN JAOS NUMEERISET MENETELMÄT MATEMATIIKAN JAOS NUMEERISET MENETELMÄT Harjoitustehtäviä, kevät 2012 1. Tarkastellaan summaa S = 1+0.4+0.3+0.2+0.04+0.03+0.02+0.01. a) Laske summa laskukoneella vasemmalta oikealle käyttäen liukulukuaritmetiikkaa,

Lisätiedot

Kohdeyleisö: toisen vuoden teekkari

Kohdeyleisö: toisen vuoden teekkari Julkinen opetusnäyte Yliopisto-opettajan tehtävä, matematiikka Klo 8:55-9:15 TkT Simo Ali-Löytty Aihe: Lineaarisen yhtälöryhmän pienimmän neliösumman ratkaisu Kohdeyleisö: toisen vuoden teekkari 1 y y

Lisätiedot

Paikannuksen matematiikka MAT

Paikannuksen matematiikka MAT TA M P E R E U N I V E R S I T Y O F T E C H N O L O G Y M a t h e m a t i c s Paikannuksen matematiikka MAT-45800 4..008. p.1/4 Käytännön järjestelyt Kotisivu: http://math.tut.fi/courses/mat-45800/ Luennot:

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 2. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 2 () Numeeriset menetelmät / 39

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 2. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 2 () Numeeriset menetelmät / 39 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 2 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 2 () Numeeriset menetelmät 14.3.2013 1 / 39 Luennon 2 sisältö Luvusta 1: Numeerinen stabiilisuus Liite A: Liukulukuaritmetiikasta

Lisätiedot

Epälineaaristen yhtälöiden ratkaisumenetelmät

Epälineaaristen yhtälöiden ratkaisumenetelmät Epälineaaristen yhtälöiden ratkaisumenetelmät Keijo Ruotsalainen Division of Mathematics Perusoletus Lause 3.1 Olkoon f : [a, b] R jatkuva funktio siten, että f(a)f(b) < 0. Tällöin funktiolla on ainakin

Lisätiedot

Kevät Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto Tietotekniikan laitos

Kevät Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto Tietotekniikan laitos Numeeriset menetelmät TIEA381 Kevät 2013 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Tietotekniikan laitos Luento 1 () Numeeriset menetelmät 13.3.2013 1 / 34 Luennon 1 sisältö Käytännön asioita Numeerisen matematiikan

Lisätiedot

5.1. Normi ja suppeneminen Vektoriavaruus V on normiavaruus, jos siinä on määritelty normi : V R + = [0, ) jolla on ominaisuudet:

5.1. Normi ja suppeneminen Vektoriavaruus V on normiavaruus, jos siinä on määritelty normi : V R + = [0, ) jolla on ominaisuudet: 5.. Normi ja suppeneminen Vektoriavaruus V on normiavaruus, jos siinä on määritelty normi : V R + = [, ) jolla on ominaisuudet: x = x = x + y x + y, x, y V a x = a x, x V, a K (= R tai C) Esimerkki 5..

Lisätiedot

Liittomatriisi. Liittomatriisi. Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä. 1) i+j det A ij.

Liittomatriisi. Liittomatriisi. Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä. 1) i+j det A ij. Liittomatriisi Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä (cof A) ij =( 1) i+j det A ij kaikilla i, j = 1,...,n. Huomautus 8 Olkoon A 2 M(n, n). Tällöin kaikilla

Lisätiedot

Reuna-arvotehtävien ratkaisumenetelmät

Reuna-arvotehtävien ratkaisumenetelmät Reuna-arvotehtävien ratkaisumenetelmät Keijo Ruotsalainen Division of Mathematics Malliprobleema Kahden pisteen reuna-arvotehtävä u (x) = f (x) (1) u() = u(1) = Jos u C ([,1]) ratkaisu, niin missä x u(x)

Lisätiedot

Yhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.

Yhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5. 2. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 5.9.25 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x + x 2

Lisätiedot

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat.

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat. MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat. Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 2016 1 Perustuu

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M Hirvensalo mikhirve@utufi V Junnila viljun@utufi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M Hirvensalo mikhirve@utufi V Junnila viljun@utufi Luentokalvot 5 1

Lisätiedot

i=1 Näistä on helppo näyttää ominaisuudet (1)-(4). Ellei toisin mainita, käytetään R n :ssä

i=1 Näistä on helppo näyttää ominaisuudet (1)-(4). Ellei toisin mainita, käytetään R n :ssä Kurssimateriaalia K3/P3-kursille syksyllä 003. 8.0.003 Heikki Apiola Sisältää otteita Timo Eirolan L3-kurssin lineaarialgebramonisteesta, jonka lähdekoodin Timo on ystävällisesti antanut käyttööni.. Normi

Lisätiedot

Numeerinen analyysi Harjoitus 1 / Kevät 2017

Numeerinen analyysi Harjoitus 1 / Kevät 2017 Numeerinen analyysi Harjoitus 1 / Kevät 2017 Palautus viimeistään perjantaina 3.3. Tehtävä 1: Oheinen MATLAB-funktio toteuttaa eksponenttifunktion evaluoinnin. 1 function y = seriesexp ( x ) 2 oldsum =

Lisätiedot

Luento 8: Epälineaarinen optimointi

Luento 8: Epälineaarinen optimointi Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori 0 = (0,..., 0). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään

Lisätiedot

5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT

5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT 5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT Ominaisarvo-ongelma Käsitellään neliömatriiseja: olkoon A n n-matriisi. Luku on matriisin A ominaisarvo (eigenvalue), jos on olemassa vektori x siten, että Ax = x () Yhtälön

Lisätiedot

Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 4

Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 4 Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 4 Kevät 20 Regularisointi Eräs keino yrittää ratkaista (likimääräisesti) huonosti asetettuja ongelmia on regularisaatio. Regularisoinnissa ongelmaa

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät

Numeeriset menetelmät Numeeriset menetelmät Luento 14 To 20.10.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 14 To 20.10.2011 p. 1/39 p. 1/39 Nopeat Fourier-muunnokset Diskreetti Fourier-muunnos ˆf k = 1 N 1 N

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät

Numeeriset menetelmät Numeeriset menetelmät Keijo Ruotsalainen Division of Mathematics Kurssitiedot Luennot alkavat ke 11.1.2012 Ke 12-14 L3 To 14-16 L6 Kurssin viimeinen luento To 22.3 2012 Kurssin suorittaminen välikokein:

Lisätiedot

. Kun p = 1, jono suppenee raja-arvoon 1. Jos p = 2, jono hajaantuu. Jono suppenee siis lineaarisesti. Vastaavasti jonolle r k+1 = r k, suhde on r k+1

. Kun p = 1, jono suppenee raja-arvoon 1. Jos p = 2, jono hajaantuu. Jono suppenee siis lineaarisesti. Vastaavasti jonolle r k+1 = r k, suhde on r k+1 TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-.39 Optimointioppi Kimmo Berg 8. harjoitus - ratkaisut. a)huomataan ensinnäkin että kummankin jonon raja-arvo r on nolla. Oletetaan lisäksi että

Lisätiedot

Matematiikka B2 - Avoin yliopisto

Matematiikka B2 - Avoin yliopisto 6. elokuuta 2012 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus

Lisätiedot

Matriisien tulo. Matriisit ja lineaarinen yhtälöryhmä

Matriisien tulo. Matriisit ja lineaarinen yhtälöryhmä Matriisien tulo Lause Olkoot A, B ja C matriiseja ja R Tällöin (a) A(B + C) =AB + AC, (b) (A + B)C = AC + BC, (c) A(BC) =(AB)C, (d) ( A)B = A( B) = (AB), aina, kun kyseiset laskutoimitukset on määritelty

Lisätiedot

Matematiikka B2 - TUDI

Matematiikka B2 - TUDI Matematiikka B2 - TUDI Miika Tolonen 3. syyskuuta 2012 Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 1 Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus

Lisätiedot

BM20A0700, Matematiikka KoTiB2

BM20A0700, Matematiikka KoTiB2 BM20A0700, Matematiikka KoTiB2 Luennot: Matti Alatalo, Harjoitukset: Oppikirja: Kreyszig, E.: Advanced Engineering Mathematics, 8th Edition, John Wiley & Sons, 1999, luku 7. 1 Kurssin sisältö Matriiseihin

Lisätiedot

Likimääräisratkaisut ja regularisaatio

Likimääräisratkaisut ja regularisaatio Luku 3 Likimääräisratkaisut ja regularisaatio Käytännön inversio-ongelmissa annettu data y ei aina ole tarkkaa, vaan sisältää häiriöitä. Tuntemattomasta x on annettu häiriöinen data y F (x + }{{}}{{} ε.

Lisätiedot

6. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa.

6. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa. 1 MAT-13450 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 2010 6. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa. Olemme keskittyneet tässä kurssissa ensimmäisen kertaluvun

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 9 1 Implisiittinen derivointi Tarkastellaan nyt yhtälöä F(x, y) = c, jossa x ja y ovat muuttujia ja c on vakio Esimerkki tällaisesta yhtälöstä on x 2 y 5 + 5xy = 14

Lisätiedot

BM20A1501 Numeeriset menetelmät 1 - AIMO

BM20A1501 Numeeriset menetelmät 1 - AIMO 6. marraskuuta 2014 Opetusjärjestelyt Luennot + Harjoitukset pe 7.11.2014 10-14 2310, 14-17 7337 la 8.11.2014 9-12 2310, 12-16 7337 pe 14.11.2014 10-14 2310, 14-17 6216 la 15.11.2014 9-12 2310, 12-16 7337

Lisätiedot

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0. Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +

Lisätiedot

Käänteismatriisin ominaisuuksia

Käänteismatriisin ominaisuuksia Käänteismatriisin ominaisuuksia Lause 1.4. Jos A ja B ovat säännöllisiä ja luku λ 0, niin 1) (A 1 ) 1 = A 2) (λa) 1 = 1 λ A 1 3) (AB) 1 = B 1 A 1 4) (A T ) 1 = (A 1 ) T. Tod.... Ortogonaaliset matriisit

Lisätiedot

12. Hessen matriisi. Ääriarvoteoriaa

12. Hessen matriisi. Ääriarvoteoriaa 179 12. Hessen matriisi. Ääriarvoteoriaa Tarkastelemme tässä luvussa useamman muuttujan (eli vektorimuuttujan) n reaaliarvoisia unktioita : R R. Edellisessä luvussa todettiin, että riittävän säännöllisellä

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 11. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 11 () Numeeriset menetelmät / 37

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 11. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 11 () Numeeriset menetelmät / 37 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 11 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 11 () Numeeriset menetelmät 24.4.2013 1 / 37 Luennon 11 sisältö Numeerisesta integroinnista ja derivoinnista Adaptiiviset

Lisätiedot

Luento 8: Epälineaarinen optimointi

Luento 8: Epälineaarinen optimointi Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori = (,..., ). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään

Lisätiedot

2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio

2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio x = x 2 = 5/2 x 3 = 2 eli Ratkaisu on siis x = (x x 2 x 3 ) = ( 5/2 2) (Tarkista sijoittamalla!) 5/2 2 Tämä piste on alkuperäisten tasojen ainoa leikkauspiste Se on myös piste/vektori jonka matriisi A

Lisätiedot

MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta

MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 4. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 4. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto..25 Tarkastellaan neliömatriiseja. Kun matriisilla kerrotaan vektoria, vektorin

Lisätiedot

1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät

1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät 1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät 11 Yhtälöryhmä matriisimuodossa m n-matriisi sisältää mn kpl reaali- tai kompleksilukuja, jotka on asetetettu suorakaiteen muotoiseksi kaavioksi: a 11 a 12 a 1n

Lisätiedot

Epälineaaristen yhtälöiden ratkaisumenetelmät

Epälineaaristen yhtälöiden ratkaisumenetelmät Epälineaaristen yhtälöiden ratkaisumenetelmät Keijo Ruotsalainen Division of Mathematics Perusoletus Lause 3.1 Olkoon f : [a, b] R jatkuva funktio siten, että f(a)f(b) < 0. Tällöin funktiolla on ainakin

Lisätiedot

802118P Lineaarialgebra I (4 op)

802118P Lineaarialgebra I (4 op) 802118P Lineaarialgebra I (4 op) Tero Vedenjuoksu Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2012 Lineaarialgebra I Yhteystiedot: Tero Vedenjuoksu tero.vedenjuoksu@oulu.fi Työhuone M206 Kurssin kotisivu

Lisätiedot

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos: 8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät

Numeeriset menetelmät Numeeriset menetelmät Luento 7 Ti 27.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 7 Ti 27.9.2011 p. 1/39 p. 1/39 Interpolointi Ei tunneta funktion f : R R lauseketta, mutta tiedetään funktion

Lisätiedot

3.2.2 Tikhonovin regularisaatio

3.2.2 Tikhonovin regularisaatio 3 Tikhonovin regularisaatio Olkoon x 0 R n tuntematon, M R m n teoriamatriisi ja y Mx + ε R m (316 annettu data Häiriöherkässä ongelmassa pienimmän neliösumman miniminormiratkaisu x M + y Q N (M x + M

Lisätiedot

Luku 4. Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia.

Luku 4. Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia. 1 MAT-1343 Laaja matematiikka 3 TTY 1 Risto Silvennoinen Luku 4 Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia Derivaatan olemassaolosta seuraa funktioille eräitä säännöllisyyksiä Näistä on jo edellisessä luvussa

Lisätiedot

Matriisiteoria Harjoitus 1, kevät Olkoon. cos α sin α A(α) = . sin α cos α. Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on?

Matriisiteoria Harjoitus 1, kevät Olkoon. cos α sin α A(α) = . sin α cos α. Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on? Harjoitus 1, kevät 007 1. Olkoon [ ] cos α sin α A(α) =. sin α cos α Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on?. Olkoon a x y A = 0 b z, 0 0 c missä a, b, c 0. Määrää käänteismatriisi

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 10. Lineaarikuvaus Matriisin aste Determinantti Käänteismatriisi

Talousmatematiikan perusteet: Luento 10. Lineaarikuvaus Matriisin aste Determinantti Käänteismatriisi Talousmatematiikan perusteet: Luento 10 Lineaarikuvaus Matriisin aste Determinantti Käänteismatriisi Lineaarikuvaus Esim. Yritys tekee elintarviketeollisuuden käyttämää puolivalmistetta, jossa käytetään

Lisätiedot

Ominaisarvo ja ominaisvektori

Ominaisarvo ja ominaisvektori Ominaisarvo ja ominaisvektori Määritelmä Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Reaaliluku λ on matriisin ominaisarvo, jos on olemassa sellainen vektori v R n, että v 0 ja A v = λ v. Vektoria v, joka

Lisätiedot

5 Differentiaaliyhtälöryhmät

5 Differentiaaliyhtälöryhmät 5 Differentiaaliyhtälöryhmät 5.1 Taustaa ja teoriaa Differentiaaliyhtälöryhmiä tarvitaan useissa sovelluksissa. Toinen motivaatio yhtälöryhmien käytölle: Korkeamman asteen differentiaaliyhtälöt y (n) =

Lisätiedot

Ei välttämättä, se voi olla esimerkiksi Reuleaux n kolmio:

Ei välttämättä, se voi olla esimerkiksi Reuleaux n kolmio: Inversio-ongelmista Craig, Brown: Inverse problems in astronomy, Adam Hilger 1986. Havaitaan oppositiossa olevaa asteroidia. Pyörimisestä huolimatta sen kirkkaus ei muutu. Projisoitu pinta-ala pysyy ilmeisesti

Lisätiedot

MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat.

MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat. MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 2016 Antti Rasila

Lisätiedot

k=0 saanto jokaisen kolmannen asteen polynomin. Tukipisteet on talloin valittu

k=0 saanto jokaisen kolmannen asteen polynomin. Tukipisteet on talloin valittu LIS AYKSI A kirjaan Reaalimuuttujan analyysi 1.6. Numeerinen integrointi: Gaussin kaavat Edella kasitellyt numeerisen integroinnin kaavat eli kvadratuurikaavat Riemannin summa, puolisuunnikassaanto ja

Lisätiedot

Luento 10: Optimointitehtävien numeerinen ratkaiseminen; optimointi ilman rajoitusehtoja

Luento 10: Optimointitehtävien numeerinen ratkaiseminen; optimointi ilman rajoitusehtoja Luento 10: Optimointitehtävien numeerinen ratkaiseminen; optimointi ilman rajoitusehtoja Seuraavassa esitetään optimointitehtävien numeerisia ratkaisumenetelmiä, eli optimointialgoritmeja, keittokirjamaisesti.

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät

Numeeriset menetelmät Numeeriset menetelmät Luento 8 To 29.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 8 To 29.9.2011 p. 1/36 p. 1/36 Interpolointi kuutiosplinillä Osavälit: I i = [t i 1,t i ], i = 1,2,...,n

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I, HY Kurssikoe Ratkaisuehdotus. 1. (35 pistettä)

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I, HY Kurssikoe Ratkaisuehdotus. 1. (35 pistettä) Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I, HY Kurssikoe 26.10.2017 Ratkaisuehdotus 1. (35 pistettä) (a) Seuraavat matriisit on saatu eräistä yhtälöryhmistä alkeisrivitoimituksilla. Kuinka monta ratkaisua yhtälöryhmällä

Lisätiedot

Lineaariset yhtälöryhmät ja matriisit

Lineaariset yhtälöryhmät ja matriisit Lineaariset yhtälöryhmät ja matriisit Lineaarinen yhtälöryhmä a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2. a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n = b m, (1) voidaan esittää

Lisätiedot

1.1. Määritelmiä ja nimityksiä

1.1. Määritelmiä ja nimityksiä 1.1. Määritelmiä ja nimityksiä Luku joko reaali- tai kompleksiluku. R = {reaaliluvut}, C = {kompleksiluvut} R n = {(x 1, x 2,..., x n ) x 1, x 2,..., x n R} C n = {(x 1, x 2,..., x n ) x 1, x 2,..., x

Lisätiedot

1 Kertaus. Lineaarinen optimointitehtävä on muotoa:

1 Kertaus. Lineaarinen optimointitehtävä on muotoa: 1 Kertaus Lineaarinen optimointitehtävä on muotoa: min c 1 x 1 + c 2 x 2 + + c n x n kun a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n b 2 (11) a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n

Lisätiedot

Konjugaattigradienttimenetelmä

Konjugaattigradienttimenetelmä Konjugaattigradienttimenetelmä Keijo Ruotsalainen Division of Mathematics Konjugaattigradienttimenetelmä Oletukset Matriisi A on symmetrinen: A T = A Positiivisesti definiitti: x T Ax > 0 kaikille x 0

Lisätiedot

ax + y + 2z = 0 2x + y + az = b 2. Kuvassa alla on esitetty nesteen virtaus eräässä putkistossa.

ax + y + 2z = 0 2x + y + az = b 2. Kuvassa alla on esitetty nesteen virtaus eräässä putkistossa. BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 7, Syksy 206 Tutkitaan yhtälöryhmää x + y + z 0 2x + y + az b ax + y + 2z 0 (a) Jos a 0 ja b 0 niin mikä on yhtälöryhmän ratkaisu? Tulkitse ratkaisu

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt, osa 1 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 20 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

Lisätiedot

5 Lineaariset yhtälöryhmät

5 Lineaariset yhtälöryhmät 5 Lineaariset yhtälöryhmät Edellisen luvun lopun esimerkissä päädyttiin yhtälöryhmään, jonka ratkaisemisesta riippui, kuuluuko tietty vektori eräiden toisten vektorien virittämään aliavaruuteen Tämäntyyppisiä

Lisätiedot

Lineaarikuvauksen R n R m matriisi

Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lauseessa 21 osoitettiin, että jokaista m n -matriisia A vastaa lineaarikuvaus L A : R n R m, jolla L A ( v) = A v kaikilla v R n. Osoitetaan seuraavaksi käänteinen tulos:

Lisätiedot

Teknillinen tiedekunta, matematiikan jaos Numeeriset menetelmät

Teknillinen tiedekunta, matematiikan jaos Numeeriset menetelmät Numeeriset menetelmät 1. välikoe, 14.2.2009 1. Määrää matriisin 1 1 a 1 3 a a 4 a a 2 1 LU-hajotelma kaikille a R. Ratkaise LU-hajotelmaa käyttäen yhtälöryhmä Ax = b, missä b = [ 1 3 2a 2 a + 3] T. 2.

Lisätiedot

Liite. Matriisilaskentaa

Liite. Matriisilaskentaa Liite A Matriisilaskentaa A. Matriisinormi Jos A = [a ij ] on dimensiota n m oleva reaalinen matriisi, niin sen (Euklidinen) normi on määritelmän mukaan v u nx kak = t a ij : i= On selvää, että määritelmä

Lisätiedot

Numeeriset Menetelmät, P. Keijo Ruotsalainen Teknillinen tiedekunta matematiikan jaos

Numeeriset Menetelmät, P. Keijo Ruotsalainen Teknillinen tiedekunta matematiikan jaos Numeeriset Menetelmät, 031022P Keijo Ruotsalainen Teknillinen tiedekunta matematiikan jaos 11. helmikuuta 2010 2 Sisältö 1 Johdanto 7 1.1 Varoitus.............................. 7 1.2 Numeeriset menetelmät

Lisätiedot

6. Luennon sisältö. Lineaarisen optimoinnin duaaliteoriaa

6. Luennon sisältö. Lineaarisen optimoinnin duaaliteoriaa JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO 6. Luennon sisältö Lineaarisen optimoinnin duaaliteoriaa työkalu ratkaisun analysointiin Jälki- ja herkkyysanalyysiä mitä tapahtuu optimiratkaisulle, jos tehtävän vakiot hieman muuttuvat

Lisätiedot

MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 7: Pienimmän neliösumman menetelmä ja Newtonin menetelmä.

MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 7: Pienimmän neliösumman menetelmä ja Newtonin menetelmä. MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 7: Pienimmän neliösumman menetelmä ja Newtonin menetelmä. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 2016

Lisätiedot

Luento 9: Newtonin iteraation sovellus: optimointiongelma

Luento 9: Newtonin iteraation sovellus: optimointiongelma Luento 9: Newtonin iteraation sovellus: optimointiongelma ilman rajoitusehtoja Optimointiongelmassa tehtävänä on löytää annetun reaaliarvoisen jatkuvan funktion f(x 1,x,,x n ) maksimi tai minimi jossain

Lisätiedot

Ortogonaalisen kannan etsiminen

Ortogonaalisen kannan etsiminen Ortogonaalisen kannan etsiminen Lause 94 (Gramin-Schmidtin menetelmä) Oletetaan, että B = ( v 1,..., v n ) on sisätuloavaruuden V kanta. Merkitään V k = span( v 1,..., v k ) ja w 1 = v 1 w 2 = v 2 v 2,

Lisätiedot

Numeeriset Menetelmät, P. Keijo Ruotsalainen Teknillinen tiedekunta matematiikan jaos

Numeeriset Menetelmät, P. Keijo Ruotsalainen Teknillinen tiedekunta matematiikan jaos Numeeriset Menetelmät, 031022P Keijo Ruotsalainen Teknillinen tiedekunta matematiikan jaos 11. helmikuuta 2009 2 Sisältö 1 Johdanto 7 1.1 Varoitus.............................. 7 1.2 Numeeriset menetelmät

Lisätiedot

Vektoreiden virittämä aliavaruus

Vektoreiden virittämä aliavaruus Vektoreiden virittämä aliavaruus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,... v k R n. Näiden vektoreiden virittämä aliavaruus span( v 1, v 2,... v k ) tarkoittaa kyseisten vektoreiden kaikkien lineaarikombinaatioiden

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

f(x 1, x 2 ) = x x 1 k 1 k 2 k 1, k 2 x 2 1, 0 1 f(1, 1)h 1 = h = h 2 1, 1 12 f(1, 1)h 1 h 2

f(x 1, x 2 ) = x x 1 k 1 k 2 k 1, k 2 x 2 1, 0 1 f(1, 1)h 1 = h = h 2 1, 1 12 f(1, 1)h 1 h 2 HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 7 Harjoitus 6 Ratkaisuehdotukset 6.. Olkoon f : G R, G = {(x, x ) R x > }, f(x, x ) = x x. Etsi differentiaalit d k f(, ), k =,,. Ratkaisu:

Lisätiedot

Ominaisarvo ja ominaisvektori

Ominaisarvo ja ominaisvektori Määritelmä Ominaisarvo ja ominaisvektori Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Reaaliluku λ on matriisin ominaisarvo, jos on olemassa sellainen vektori v R n, että v 0 ja A v = λ v. Vektoria v, joka

Lisätiedot

Lineaariset kongruenssiyhtälöryhmät

Lineaariset kongruenssiyhtälöryhmät Lineaariset kongruenssiyhtälöryhmät LuK-tutkielma Jesse Salo 2309369 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Sisältö Johdanto 2 1 Kongruensseista 3 1.1 Kongruenssin ominaisuuksia...................

Lisätiedot

Lineaarisen kokonaislukuoptimointitehtävän ratkaiseminen

Lineaarisen kokonaislukuoptimointitehtävän ratkaiseminen Lineaarisen kokonaislukuoptimointitehtävän ratkaiseminen Jos sallittuja kokonaislukuratkaisuja ei ole kovin paljon, ne voidaan käydä kaikki läpi yksitellen Käytännössä tämä ei kuitenkaan ole yleensä mahdollista

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

A = a b B = c d. d e f. g h i determinantti on det(c) = a(ei fh) b(di fg) + c(dh eg). Matriisin determinanttia voi merkitä myös pystyviivojen avulla:

A = a b B = c d. d e f. g h i determinantti on det(c) = a(ei fh) b(di fg) + c(dh eg). Matriisin determinanttia voi merkitä myös pystyviivojen avulla: 11 Determinantti Neliömatriisille voidaan laskea luku, joka kertoo muun muassa, onko matriisi kääntyvä vai ei Tätä lukua kutsutaan matriisin determinantiksi Determinantilla on muitakin sovelluksia, mutta

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 30.5.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/19 Käytännön asioita Kurssi on suunnilleen puolessa välissä. Kannattaa tarkistaa tavoitetaulukosta, mitä on oppinut ja

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot