BM20A5840 Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 7, Kevät 2018

Transkriptio

1 BM20A5840 Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 7, Kevät 2018 Tehtävä 8 on tällä kertaa pakollinen. Aloittakaapa siitä. 1. Kun tässä tehtävässä sanotaan sopii mahdollisimman hyvin, sillä tarkoitetaan virheiden neliöllisen integraalin minimoimista. Riittää kirjoittaa näkyviin yhtälöryhmä (matriisimuodossa) josta kertoimet saatasiin ratkaistua. Tee ensimmäisessä kohdassa välivaiheet ja yritä kirjoittaa seuraaviin kohtiin suoraan lopputulos (jos joudut kirjoittamaan kaikissa kohdissa välivaiheet auki osittaisderivaattojen nollakohdista lähtien, niin kestää muuten aika kauan). (a) Etsi sellaiset parametrit a 1 ja a 2, funktio g(x) = a 1 ψ 1 (x)+a 2 ψ 2 (x) sopii mahdollisimman hyvin funktioon f(x) = x 2 välillä 1 x 1. Tässä siis funktiot ψ 1 (x) ja ψ 2 (x) ajatellaan tunnetuiksi rakennuspalikoiksi. Seuraavissa kohdissa sitten niille on annettu myös lauseke. (b) Etsi sellaiset parametrit a ja b, että suora y = ax + b sopii mahdollisimman hyvin funktioon y = x 2 välillä 1 x 1. (c) Etsi sellaiset parametrit a ja b, että suora y = ax + b sopii mahdollisimman hyvin funktioon y = x 2 välillä 0 x 1. (d) Etsi sellaiset parametrit a ja b, että suora ax + b sopii mahdollisimman hyvin funktioon y = x 3 mahdollisimman hyvin välillä 1 x 1. (e) Määrää se lineaarinen kahden muuttujan funktio (taso), joka sopii mahdollisimman hyvin funktioon f(x, y) = x 3 + y 3 määrittelyalueessa { (x, y) 1 x 1, 1 y 1 }. (f) Etsi parametrit a ja b siten, että paraabeli p(x) = ax 2 + b sopii mahdollisimman hyvin funktioon y = cos(x) välillä π x π. (g) Funktioista x = y, x = y 3 ja x = y 5 muodostetaan lineaarikombinaatio niin, että tämä lineaarikombinaatio sopii funktioon x = tan(y) mahdollisimman hyvin, välillä 10 y 10. Miten määrittelisit tämän lineaarikombinaation parametrit (jotka kertovat, minkä verran kutakin funktiota tähän kombinaatioon laitetaan)? 2. Oletamme, että erään tapahtuman todennäköisyys riippuu kahdesta parametrista lineaarisesti. Todennäköisyystiheysfunktio voidaan kirjoittaa f(x, y) = c(x + y + 1), määrittelyalueen ollessa { (x, y) 0 x 1, 0 y 1 }. (a) Vaikka funktio kuvaakin todennäköisyyttä, voit mieltää sen kappaleeksi, joka jää annetun xy-tason alueen ja annetun funktion väliin. Hahmottele tämä kappale. (b) Jotta funktiota voitaisiin kutsua todennäköisyystiheysfunktioksi, täytyy päteä Ω f(x, y) = 1, missä Ω on annettu määrittelyalue. Ratkaise vakio c niin, että tämä ehto täyttyy. (c) Kappale tuetaan eräästä xy-tason pisteeseestä, ja kappale on täydellisessä tasapainossa. Mikä on tämä piste? Mekaanisesti ajatellen tämä on tasapainopiste, todennäköisyysfunktioiden maailmassa tämä on tapahtuman odotusarvo (expected value). 1

2 (d) Millä todennäköisyydellä 0.2 x 0.4 ja 0 y 0.5? 3. (a) Muodosta funktiolle f(x) = e x2 kolmannen asteen Taylorin polynomi kehitettynä pisteessä a = 1. Arvioi Taylorin virhetermiä käyttäen maksimaalista virhettä, jos alkuperäisen funktion arvoa approksimoidaan muodostetulla polynomilla (a) välillä 0 x 1, (b) välillä 1 x 2. (b) Muodosta funktiolle f(x) = 1 + x 2 ensimmäisen asteen Taylorin polynomi kehitettynä pisteessä a = 1. Arvioi Taylorin virhetermiä käyttäen maksimaalista virhettä, jos alkuperäisen funktion arvoa approksimoidaan muodostetulla polynomilla (a) välillä 0 x 1, (b) välillä 1 x Tutkitaan samankaltaista PNS-sovitetta, kuin oli aiemman viikon omakotitalotehtävässä. Siinä kaksi lineaarista termiä vaikuttin talon hintaan, pinta-ala ja ikä. Pinta-ala nosti lineaarisesti hintaa, ja ikä pudotti sitä. Pohditaan nyt mallia auton hinnalle, ja pitäydytään jälleen kahdessa vaikuttavassa tekijässä; nyt ne ovat auton ikä, ja ajetut kilometrit. Kun autoon kertyy ajettuja kilometrejä, hinta tippuu (oletamme hinnan tippuvan kilsojen mukaan lineaarisesti). Auton iän mallinnamme vaikuttavan auton hintaan toisen asteen polynomin tavoin. Kun auto on uusi, se on kallis. Kun se on 20 vuotta vanha, se nähdään vanhana romuna, ja hinta on alhaalla. Kun ikää taas on 50 vuotta, auto nähdään jo museokamana, ja hinta on jälleen korkealla. Tälläisen käyttäytymisen mallintamiseen ei lineaarinen termi riittäisi, ja näin ollen tarvitaan mukaan mainittu toisen asteen termi. Oletetaan, että meillä on datana n kappaletta datapisteitä {x i, y i, z i }, joissa z on auton hinta, x on ajetut kilometrit, ja y on auton ikä. (a) Sovita ennustefunktio f(x, y) = a + by + cy 2 + dx näihin datapisteisiin pienimmän neliösumman mielessä. Kirjoita näkyviin muoto Ap = b, josta parametrit voitaisiin ratkaista. Tässä siis p = [ a b c d ] T, ja A:n ja b:n sisältö voitaisiin laskea datasta {x i, y i, z i } (ja näin ollen päätyisivät olemaan tunnettuja numeerisia arvoja). (b) Jos sovitettava malli olisikin muotoa f(x, y) = a + by + cy 2, mikä olisi ratkaistava yhtälöryhmä? 5. (a) i. Laske jonon {a n } = 9 + 3(n 1) seitsemäs osasumma (siis 7 i=1 a n. ii. Laske jonon {a n } = 4n + 20 neljästoista osasumma. (b) iii. Laske lukujonon { 6, 0, 6,, 66, 72} termien summa. i. Kirjoita annettu sarja käyttäen -notaatiota. Laske sarjan kuudes osasumma. Mikä on sarjan summan arvo, kun n =? S = ii. Kirjoita annetusta sarjasta auki muutama ensimmäinen termi. Laske sarjan summan lukuarvo. ( ) 1 n 1 S = 3 2 i=1 iii. Kirjoita annetusta sarjasta auki muutama ensimmäinen termi. Laske sarjan summan lukuarvo, kun n = 6. Laske sarjan summan lukuarvo, kun n =. S = n ( ) 1 n i=1 2

3 6. Onko alla annettu muutamia funktioita potenssisarjoina. (i) Tunnista näistä suppenemiskeskus ja laske suppenemissäde. Anna (avoin) väli missä sarja suppenee varmasti ja toinen avoin väli missä sarja hajaantuu varmasti. (ii) Määritä funktioiden derivaatat (sarjoina) (iii) Määritä funktioiden integraalit (sarjoina) yli välin [0, 2], mikäli sarja suppenee tällä välillä. Ylimääräisenä harjoitteena voit tutkia myös sarjojen suppenemista suppenemisvälin päätepisteissä. Tätä ei kuitenkaan nyt pisteiden ansaintaan vaadita. (a) a(x) = (b) b(x) = (d) d(x) = (a) p(x) = (b) q(x) = ( 1) n! x n n=0 n=0 x n n! n 1 xn n x n (n + 2) 2 n+1 (x 1) n (n + 1) 2 7. (a) Alla on annettu jokin sarja kirjoittamalla esiin muutama ensimmäinen termi. Kirjoita sarja käyttäen -notaatiota. Millä avoimella välillä sarja suppenee varmasti? Entä millä avoimella välillä sarja varmasti hajaantuu? Suppenemisvälin päätepisteitä ei tässä tarvitse nyt alkaa tutkimaan. (i) S = 1 x x2 2 4 x x4 4 6 (ii) S = 1 x2 2! + x4 4! x6 6! + x8 8! (iii) S = x 2 + 2x x x4 5 + (iv) S = 1 + x (x + 1)2 (x + 1)3 (x + 1) Vinkki: Muut ovat suoraan potenssisarjoja, mutta (ii) kohdassa käytä apumerkintää t = x 2. (b) Alla olevista sarjoista ensimmäinen suppenee tietyllä välillä, seuraava kaikkialla ja viimeinen hyvin hyvin harvoilla x:n arvoilla. Osoita tämä. 3

4 (i) c(x) = (ii) r(x) = (iii) s(x) = ( 1) n 1 x2n 1 sin(n! x) n 2 2n 1 n! cos(n! x) n 2 Vinkkejä: Ensimmäisessä tutki sarjaa xc(x), joka toki suppenee juurikin samoilla arvoilla kuin c(x). Toisessa sarjassa muista trigonometristen funktioiden ominaisuuksia sekä vaikkapa integraalitestiä. Kolmannessa sarjassa muista sarjojen suppenemiselle välttämätön ominaisuus termien konvergoinnista. 8. (a) Mietitään alla olevaa vaihtuvatermistä sarjaa s = ( 1) n 1 1 n 4 Kuinka suuri täytyisi olla luvun N jotta katkaistun sarjan s N = N ( 1) n 1 1 n 4 ja alkuperäisen sarjan erotus olisi alle ? (b) Millaista arvosanaa arvioisit osaamisesi vastaavan. Tuutorit kirjatkoon järjestelmään tästä tehtävästä pisteiksi luvun arvosana+1. 4

5 Vastaukset (b) c = 1 2 (c) (a, b) = ( 13 24, ) 3. (a) Välillä 0 x 1 pätee R Välillä 1 x 2 pätee R (b) Välillä 0 x 1 pätee R Välillä 1 x 2 pätee R

6 Malliratkaisut