Laajennetut Preparata-koodit
|
|
- Inkeri Pauliina Saarnio
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Laajennetut Preparata-koodit Pro gradu -tutkielma Petri Eklund Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Kevät 2016
2 Sisältö 1 Esitietoja 1.1 Yleistä Tiedonvälitysjärjestelmä Äärelliset kunnat Äärellisen kunnan F p m konstruointi Lineaarisista koodeista Yleistä Määritelmä ja perusominaisuuksia Sykliset koodit ja BCH-koodit Laajennetut Preparata-koodit 22.1 Yleistä Laajennetun Preparata-koodin P (r ) määritelmä Koodin sanojen etäisyydestä Koodin P (r ) minimietäisyys ja epälineaarisuus Koodausalgoritmi laajennetuille Preparata-koodeille Yleistä Koodin P (r ) koodisanojen lukumäärä Koodin P (r ) koodausalgoritmi Dekoodausalgoritmi laajennetuille Preparata-koodeille Yleistä Vastaanotetussa sanassa esiintyvien virheiden sijainneista Koodin P (r ) dekoodausalgoritmi Lähdeluettelo 60
3 Johdanto Tässä Pro gradu tutkielmassa käsitellään laajennettuja Preparata-koodeja. Tutkielman alussa esitetään yleisiä koodausteorian käsitteitä ja perustuloksia sekä äärellisiä kuntia koskevia tuloksia, jotka toimivat esitietoina tutkielman varsinaiselle aiheelle. Lukijan oletetaan tuntevan ryhmiin, renkaisiin ja kuntiin liittyvät määritelmät ja peruskäsitteet sekä äärellisten kuntien perusteet. Tutkielman ensimmäisessä luvussa kerrotaan, mitä tarkoitetaan koodausteorialla ja minkälaisia sovelluskohteita sillä on. Luvussa esitellään tiedonvälitysjärjestelmän peruskäsitteet sekä äärellisiä kuntia koskevia perustuloksia. Toisessa luvussa esitetään tutkielman pääaiheen käsittelyssä tarvittavat määritelmät ja tulokset. Näitä ovat lineaarisiin koodeihin liittyvät määritelmät ja perustulokset, syklisten koodien perusteet sekä BCH-koodit. Kolmannessa luvussa on tutkielman keskeinen teoria. Luvussa esitetään laajennettujen Preparata-koodien määritelmä sekä useita koodeja koskevia tuloksia, joiden avulla voidaan mm. muodostaa uusia koodisanoja tunnettujen koodisanojen avulla. Lisäksi luvussa osoitetaan laajennetut Preparata-koodit etäisyysinvarianteiksi sekä löydetään niiden minimietäisyys, joka on 6. Tästä tuloksesta saadaan selville myös koodin virheenkorjauskyky. Luvun päätuloksena osoitetaan, että laajennetut Preparata-koodit ovat epälineaarisia. Loppuosa tutkielmasta keskittyy laajennettujen Preparata-koodien koodaukseen ja dekoodaukseen. Neljännessä ja viidennessä luvussa esitetään algoritmit viestisanan koodaamiseksi koodisanaksi sekä vastaanotetun koodisanan dekoodaus takaisin viestisanaksi sekä esimerkit näistä. Koodausalgoritmin yhteydessä saadaan myös selville laajennettujen Preparata-koodien koodisanojen lukumäärä. Dekoodausalgoritmi puolestaan sisältää menetelmän enintään kahden koodisanassa esiintyvän virheen korjaamiseksi. 2
4 Luku 1 Esitietoja 1.1 Yleistä Koodausteorian taustalla voidaan ajatella olevan yksinkertainen tiedonsiirtojärjestelmä, joka koostuu kolmesta osasta: tietolähteestä, tiedonsiirtokanavasta ja tiedon vastaanottajasta. Tietolähde lähettää tiedonsiirtokanavaan viestin. Kanava voi aiheuttaa virheitä lähetettyyn viestiin. Koska vastaanottaja ei voi tietää kanavaan lähetettyä viestiä, on hänen pystyttävä tulkitsemaan viesti kanavasta vastaanotetun viestin perusteella, vaikka siinä olisi virheitä. Virheenkorjauksen mahdollistamiseksi lisätään tiedonsiirtojärjestelmään kaksi osaa: kooderi ja dekooderi. Kooderi muodostaa lähetetystä viestistä m koodisanan c, joka lähetetään kanavaan. Vastaanottaja vastaanottaa tiedon r. Jos viestiin on tullut kanavassa virheitä, on c r. Dekooderi arvaa vastaanotetun tiedon r perusteella, mikä alkuperäinen viesti on, ts. se muodostaa arvauksen m. Tiedonsiirtojärjestelmässä käsiteltävä tieto on yleensä jonkin äärellisen kunnan vektori. Tässä luvussa esitellään yleisiä koodausteoriaan liittyviä tuloksia, joita tarvitaan laajennetuista Preparata-koodeista kertovan pääosion tukena. Suurin osa tuloksista on todistettu Koodausteoria-kurssilla sekä muilla Oulun yliopiston Matemaattisten tieteiden laitoksen algebraan liittyvillä kursseilla.
5 1.2 Tiedonvälitysjärjestelmä Määritellään seuraavaksi tiedonvälitysjärjestelmä täsmällisemmin. Olkoot M ja A äärellisiä epätyhjiä joukkoja, n Z + ja γ injektio M A n. Määritelmä Järjestettyä nelikköä (M, A, n, γ ) sanotaan koodausjärjestelmäksi. Joukkoa M sanotaan viestiaakkostoksi ja joukkoa A koodiaakkostoksi. Joukkoa C = γ (M) sanotaan koodiksi, lukua n koodin C pituudeksi ja kuvausta γ koodauskuvaukseksi. Olkoon? symboli, joka ei kuulu joukkoon M ja δ kuvaus A n M {?}, jolle δ (γ (m)) = m kaikilla m M. Määritelmä Järjestettyä kuusikkoa (M, A, n, γ,?, δ ) sanotaan koodaus-dekoodausjärjestelmäksi. Kuvausta δ sanotaan dekoodauskuvaukseksi ja symbolia? virheilmoitussymboliksi. Määritelmä Järjestettyä paria (K, D), missä K on Määritelmän mukainen koodaus-dekoodausjärjestelmä ja D on diskreetti muistiton kanava, sanotaan tiedonvälitysjärjestelmäksi. Kanavan D syöttö- ja tulostusaakkosto on äärellinen epätyhjä joukko A. Jatkossa merkintä F q tarkoittaa kertalukua q olevaa äärellistä kuntaa. Oletetaan, että A = F q. Mikäli kunnan kertaluvusta ei ole epäselvyyttä, voidaan sitä merkitä lyhyesti F. Joukkoa F n = {(f 1, f 2,..., f n ) f i F} tarkastellaan lineaariavaruutena kunnan F suhteen. Määritelmä Avaruuden F n alkioiden a ja b Hamming-etäisyydeksi sanotaan niiden komponenttien lukumäärää, joissa vektorit a ja b eroavat toisistaan. Tätä merkitään d H (a, b) = d(a, b). Määritelmä Avaruuden F n alkion a Hamming-painoksi sanotaan vektorin a nolla-alkiosta eroavien komponenttien määrää. Tätä merkitään wt H (a) = wt(a). Vektorin a paino on siis wt(a) = d(a, 0). 4
6 Pari (F n, d H ) muodostaa metrisen avaruuden. Joukkoa B(a, e) = { x F n d(x, a) e } sanotaan a-keskiseksi e-säteiseksi palloksi. Joukkoa S(a, e) = { x F n d(x, a) = e } sanotaan a-keskisen e-säteisen pallon pinnaksi. Määritelmä Koodin C minimietäisyydeksi sanotaan lukua d min C = min {d(a, b) a, b C, a b}. Jos koodin C kaikki koodisanakeskiset e-säteiset pallot ovat erillisiä, sanotaan koodia e virhettä korjaavaksi koodiksi. Jos lisäksi nämä pallot yhdessä täyttävät koko avaruuden F n, sanotaan koodiac täydelliseksi e virhettä korjaavaksi koodiksi. Huomautus Sen, että koodi C on e virhettä korjaava, voi ilmaista myös muodossa d min C 2e + 1. Määritelmä Dekoodausfunktiota δ sanotaan e virhettä korjaavaksi, jos δ (r) = m aina, kun d(γ (m), r)) e. 1. Äärelliset kunnat Jos kunnan alkioiden lukumäärä on äärellinen, sanotaan sitä äärelliseksi kunnaksi. Äärellisiä kuntia kutsutaan myös Galois n kunniksi ja niitä merkitään GF(n), missä n on kunnan kertaluku. Tarkastellaan aluksi muutamia äärellisten kuntien perusominaisuuksia. Olkoot m Z + ja a,b Z. Sanotaan, että luvut a ja b ovat kongruentteja modulo m, jos m (a b). Kongruenssi modulo m on ekvivalenssirelaatio, joka jakaa joukon Z alkiot jäännösluokkiin modulo m. Tällöin alkion a Z määräämä jäännösluokka on a = {a + nm n Z}. Näitä jäännösluokkia on m kappaletta ja niiden muodostamalle joukolle käytetään merkintää Z m. 5
7 Määritellään joukon Z m alkioiden yhteenlaskuksi a +b = a + b ja kertolaskuksi a b = ab, jolloin joukosta Z m saadaan rengas. Lause Jäännösluokkarengas Z m on kunta, jos ja vain jos m on alkuluku. Määritelmä Olkoon F kunta. Jos on olemassa pienin sellainen luku n Z +, jolle na = a } + {{ + } a = 0 kaikilla a F, n kpl sanotaan lukua n kunnan F karakteristikaksi. Jos tällaista lukua n ei ole olemassa, kunnan F karakteristika on 0. Lause 1... Kunnan karakteristika on aina alkuluku tai 0. Lause Äärellisen kunnan F alkioiden lukumäärä, eli kertaluku F onp m, missä p on alkuluku ja m Z +. Tällöin kunnan F karakteristika on p. Lause Kaikki samaa kertalukua olevat äärelliset kunnat ovat isomorfisia. 1.4 Äärellisen kunnan F p m konstruointi Merkitään polynomirengasta kunnan F suhteen merkinnällä F[x]. Olkoon д F[x] astetta m 1 oleva polynomi ja p,q F[x] polynomeja. Polynomit p ja q ovat kongruentteja modulo д jos д (p q). Tätä merkitään p q (mod д). Kongruenssi modulo д on ekvivalenssirelaatio, joka jakaa joukon F[x] alkiot jäännösluokkiin modulo д. Mille tahansa polynomille f F[x] pätee jakoyhtälö f (x) = s(x)д(x) + r (x), missä deg r (x) < m. Kun nollapolynomin asteeksi sovitaan deg 0 =, voi edellä olla r (x) = 0. Näin ollen jakoyhtälön perusteella f r (mod д), joten jokaisesta jäännösluokasta löytyy edustaja, jonka aste on pienempi kuin m. Edellä esitetyssä tapauksessa f { r + pд p F[x] } = r, joten kyseessä on polynomin r määräämä jäännösluokka. 6
8 Toisaalta, jos r 1 ja r 2 ovat kaksi eri polynomia, joille deg r 1 < m ja deg r 2 < m, niin r 1 r 2, koska д (r 1 r 2 ). Jäännösluokkien modulo д joukko on siis F[x]/ д(x) = r m 1 r (x) = a i x i, a i F. i=0 Määritellään joukon F[x]/ д(x) alkioiden yhteenlaskuksi r 1 + r 2 = r 1 + r 2 ja kertolaskuksi r 1 r 2 = r 1 r 2, jolloin joukosta F[x]/ д(x) saadaan rengas. Lause Olkoon p alkuluku ja д Z p [x] astetta m 1 oleva polynomi. Tällöin jäännösluokkarengas Z p [x]/ д(x) on kunta jos ja vain jos д on jaoton. Kyseisessä kunnassa on p m alkiota. Merkitään β = x jäännösluokkarenkaassa Z p [x]/ д(x). Tällöin yllä olevan mukaan F p m = m 1 a i β i a i Z p,д(β) = 0, i=0 missä д Z p [x] on jaoton polynomi ja degд = m 1. Kunta F p m voidaan siis konstruoida, kun löydetään astetta m oleva jaoton polynomi. Määritelmä Kunnan F alkion a F kertaluvuksi sanotaan pienintä sellaista lukua k Z +, että a k = 1. Tätä merkitään k = ord a tai k = a. Määritelmä Kunnan F q alkiota γ 0 sanotaan primitiiviseksi, eli kunnan F q primitiivialkioksi, jos ord γ = q 1. Tällöin F q = γ = { γ k 0 k < q 1 }. Astetta m olevaa polynomirenkaan F q [x] polynomia sanotaan primitiiviseksi, jos sillä on nollakohta, joka on kunnan F q m primitiivialkio. Lause Äärellisen kunnan nolla-alkiosta eroavien alkioiden muodostama ryhmä on syklinen, eli jokaisessa äärellisessä kunnassa on primitiivialkio. Jos γ on kunnan F q yksi primitiivialkio, niin kunnan F q primitiivialkiot ovat täsmälleen alkiot γ j, missä syt(j,q 1) = 1. 7
9 Lause Jos kunnan F karakteristika on p, niin kunnassa pätee yhtälö (x + y) p = x p + y p. Esimerkki Konstruoidaan kunta F 2 = F 8 käyttämällä renkaassa Z 2 [x] jaotonta polynomia д(x) = x + x + 1. Olkoon β kunnan primitiivialkio, jolle β + β + 1 = 0. Tällöin F 8 = 2 a i β i a i Z 2, β + β + 1 = 0, ts. β = β + 1. i=0 Kunnan alkiot ovat siis 0, 1, β, β 2, β = β + 1, β 4 = β 2 + β, β 5 = β 2 + β + 1, β 6 = β Jos kunnan alkioilla suoritetaan laskutoimituksia, on usein alkio a 0 + a 1 β + a 2 β 2 käytännöllistä ilmaista jonona a 0 a 1 a 2. Kunnan alkiot tällä tavalla esitettynä ovat 0 = = 100 β = 010 β 2 = 001 β = 110 β 4 = 011 β 5 = 111 β 6 = 101 8
10 Luku 2 Lineaarisista koodeista 2.1 Yleistä Tässä luvussa esitellään lineaaristen koodien määritelmä sekä niihin liittyviä perustuloksia. Lisäksi luvussa perehdytään muutamiin syklisten koodien tuloksiin ja esitellään BCH-koodi, joka on tietyntyyppisen polynomin generoima syklinen koodi. Näiden koodien osalta esitellään joitain lähdeteoksien [1] ja [2] tuloksia, jotka koskevat syklisiä koodeja ja BCH-koodeja. Näitä tuloksia ei todisteta tässä yhteydessä. 2.2 Määritelmä ja perusominaisuuksia Olkoon F äärellinen kunta. Joukko F n on vektoriavaruus kunnan F suhteen. Määritelmä Koodausjärjestelmää (M, F, n, γ ) sanotaan lineaariseksi, jos M on vektoriavaruus F k, missä k n ja koodauskuvausγ on injektiivinen lineaarinen kuvaus M F n. Tällöin koodi C = γ (M) on selvästi avaruuden F n k-ulotteinen aliavaruus. Määritelmä Lineaariseksi koodiksi sanotaan lineaarisen koodausjärjestelmän koodia C = γ (M), joka on avaruuden F n k-ulotteinen aliavaruus. Tämän 9
11 perusteella jokainen lineaarisen koodin koodisanoista muodostettu lineaarikombinaatio on myös koodisana. Aliavaruuden ollessa k-ulotteinen ja koodin minimietäisyyden ollessa d, koodia kutsutaan [n, k, d]-koodiksi tai lyhyemmin [n, k]- koodiksi. Lukua k sanotaan myös lineaarisen koodin dimensioksi. Jos C on [n, k]-koodi ja {g 1,..., g k } sen kanta, niin koodin C sanat ovat muotoa a 1 g 1 + a 2 g a k g k = (a 1... a k )G, missä kertoimet a 1,..., a k F ja G = g 1 g 2. g k k n. Koodauskuvaus γ voidaan siis valita niin, että viestivektori m F k kerrotaan matriisilla G, eli valitaan γ (m) = mg. Tällöin C = {c c = mg, m F k }. Määritelmä Edellä mainittua koodin kantavektoreista muodostettua k n- matriisia G sanotaan [n, k]-koodin C generoijamatriisiksi. Esimerkki Seuraavassa on esimerkkejä lineaarisista koodeista kunnan F 2 suhteen annettuna generoijamatriisin avulla. C 1 : G 1 = C 2 : G 2 = C : G = [, 2]-koodi [5, 2]-koodi [7, 4]-koodi
12 Valitsemalla matriisiksi G muotoa [ I k P ] oleva matriisi, missä I k on k-rivinen yksikkömatriisi ja P on k (n k)-matriisi, saadaan koodisana c = mg muotoon, jossa k ensimmäistä komponenttia muodostavat viestisanan m ja muut n k komponenttia ovat tarkistussymboleja: } {{ }. }....{{.....}. k informaatio n k tarkistus Tätä muotoa olevaa koodausta sanotaan systemaattiseksi koodaukseksi. Määritelmä Lineaarisen [n, k]-koodin C tarkistusmatriisiksi kutsutaan sellaista n (n k)-matriisia H, jolle C = {x F n xh = 0}. Lause Olkoon C [n, k]-koodi ja olkoon sen generoijamatriisi systemaattisessa muodossa G = [ I k P ]. Silloin matriisi H = P T on koodin C tarkistusmatriisi. I n k Todistus. Ks. [2], Lause.2.. Esimerkki Olkoon C kunnan F 2 suhteen oleva [6,]-koodi, jonka generoijamatriisi G on G =
13 ja tarkistusmatriisi H on H = Koodin C sanat c i ovat kaikki vektoriavaruuden F 2 vektorit kerrottuna matriisilla G, eli c 1 = c 2 = c = c 4 = c 5 = c 6 = c 7 = c 8 = Tarkistusmatriisia hyödynnetään lineaaristen koodien dekoodauksessa. Oletetaan, että lähetettäessä kanavaan sana c saadaan sana r = c + e, missä e on häiriön aiheuttama virhe. Dekoodaaja ei tunne vektoria c eikä vektoria e. Näiden löytämiseksi käytetään syndromia. Määritelmä Vektorin x F n syndromiksi sanotaan vektoria s(x) = xh. Määritelmästä seuraa, että s(x) = 0 täsmälleen silloin, kun x C. Koska C on ryhmä yhteenlaskun suhteen, voidaan muodostaa sivuluokat x+c = {x+c c C}. Osoitetaan, että syndromin arvo liittyy juuri sivuluokkiin. Lause Vektorit x ja y ovat samassa koodin C sivuluokassa täsmälleen silloin, kun niillä on sama syndromi. Todistus. Ks. [2], Lause..2. Jos s(r) = s, niin virhevektori e voi olla mikä tahansa sana, jonka syndromi on s, ts. mikä tahansa sivuluokan r + C alkio. Todennäköisimmät ehdokkaat ovat ne, joiden painot ovat pienimmät. Valitaan jokaisesta sivuluokasta tällainen alkio ja sanotaan sitä kyseisen sivuluokan johtajaksi. Tarkastellaan seuraavaa standardikaaviota, jonka 12
14 1. ensimmäiselle riville tulee koodisanat vektorista 0, sivuluokan C johtajasta, alkaen: 0, c 2,..., c q k ; 2. ensimmäiseen sarakkeeseen tulee sivuluokkien johtajat 0, e 2,..., e q n k ;. rivin i ja sarakkeen j risteykseen tulee alkio e i + c j. Dekoodaaja δ käyttää taulukkoa seuraavasti: saatu sana r muutetaan sen yläpuolella olevaksi koodisanaksi c, jolloin wt(r c ) on pienin mahdollinen eli r c on todennäköisin virhe. Esimerkki Olkoon C [4, 2]-koodi kunnan F = {0, 1, 2} suhteen ja olkoon sen generoijamatriisi G = Tarkistusmatriisiksi tulee 2 2 H = Koodille C saadaan seuraava standardikaavio: r c 1 c 2 c c 4 c 5 c 6 c 7 c 8 e 9 e e e e e e e e e Edellä esitetty täydellinen kaavio vaatii yleensä liikaa tilaa. Koska jokaisella rivillä on sama syndromi, riittää tallentaa sivuluokkien johtajat ja niiden syndromit. 1
15 Näin saadun syndromiluettelon avulla voidaan toimia seuraavasti: Jos saadaan sana r, niin 1. lasketaan syndromi rh; 2. etsitään syndromiluettelon avulla vastaava sivuluokan johtaja e i ;. lasketaan r e i = c. Esimerkki Esimerkin koodille saadaan seuraava syndromiluettelo: e 1 : s(0000) = 00 e 4 : s(0100) = 21 e 7 : s(0020) = 20 e 2 : s(1000) = 22 e 5 : s(0200) = 12 e 8 : s(0001) = 01 e : s(2000) = 11 e 6 : s(0010) = 10 e 9 : s(0002) = 02 Esimerkiksi sanan r = 1221 syndromi on 2 2 s(r) = rh = (1221) = 22, joten todennäköisin virhe on e 2 ja r tulee dekoodattua sanaksi c = r e 2 = Vastaavasti s(1110) = (1110)H = 20 = s(e 7 ), ja c = = Sykliset koodit ja BCH-koodit Laajennettujen Preparata-koodien koodauksessa hyödynnetään erään BCH-koodin tarkistusmatriisia. BCH-koodit ovat lineaaristen ja syklisten koodien alalaji, joiden hyöty perustuu suhteellisen helppoon dekoodausalgoritmiin. Ennen BCH-koodin määrittelyä esitetään muutamia syklisten koodien tuloksia. 14
16 Olkoon F = F p m, missä p on alkuluku. Syklisten koodien yhteydessä käytetään jäännösluokkarengasta jonka alkiot ovat jäännösluokkia R n = F[x]/ x n 1, f = {f (x) + h(x)(x n 1) h(x) F[x]}. Koska deg(x n 1) = n, kappaleen 1.4 tarkastelujen mukaan jäännösluokkien edustajistoksi voidaan valita joukko {a 0 + a 1 x + + a n 1 x n 1 a i F}. Käytetään seuraavassa polynomia a 0 +a 1 x + +a n 1 x n 1 tarkoittamaan myös sen määräämää jäännösluokkaa. Asiayhteydestä käy ilmi, onko kyseessä polynomi vai jäännösluokka. Summa ja tulo määritellään renkaassa R n tuttuun tapaan edustajien avulla: Jos f (x) = a 0 + a 1 x + + a n 1 x n 1 R n ja д(x) = b 0 + b 1 x + + b n 1 x n 1 R n, niin f (x) + д(x) = (a 0 + b 0 ) + (a 1 + b 1 )x + + (a n 1 + b n 1 )x n 1 R n ja missä ja f (x)д(x) = r (x) R n, f (x)д(x) = h(x)(x n 1) + r (x) deg r n 1. Jakojäännös r (x) saadaan tulosta f (x)д(x) nopeasti huomaamalla, että renkaassa 15
17 R n pätee x n = 1, x n+1 = x, jne. Jäännösluokkarengas R n varustettuna yhteenlaskulla ja skalaarilla, eli kunnan F alkiolla, kertomisella on vektoriavaruus kunnan F suhteen. Tämä vektoriavaruus on isomorfinen vektoriavaruuden F n kanssa ja isomorfismin välittää kuvaus a 0 + a 1 x + + a n 1 x n 1 (a 0, a 1,..., a n 1 ) = a 0 a 1... a n 1. Seuraavassa samaistetaan nämä kolme merkintää ja puhutaan samaa tarkoittaen polynomeista, vektoreista ja sanoista. Jäännösluokkarenkaan R n rengasrakennetta ja edellä mainittua isomorfiaa käyttäen saadaan määriteltyä vektoriavaruudessa F n kertolasku asettamalla ab = c, kun a(x) R n a F n, b(x) R n b F n, a(x)b(x) R n c F n. Syklisten koodien kannalta renkaan R n keskeinen ominaisuus on se, että alkiolla x kertominen merkitsee yhden askelen syklistä siirtoa: x (a 0, a 1,..., a n 1 ) = x (a 0 + a 1 x + + a n 1 x n 1 ) = a 0 x + a 1 x a n 2 x n 1 + a n 1 = (a n 1, a 0, a 1,..., a n 2 ). Määritelmä Polynomia, jonka korkeimman potenssin kerroin on 1, sanotaan pääpolynomiksi. Tarkastellaan kunnan F q äärellistä laajennuskuntaa F q r. Jokainen α F q r toteuttaa yhtälön x qr x = 0, joten jokainen α F q r on renkaan F q [x] jonkin pääpolynomin nollakohta. Määritelmä Alkion α F q r minimipolynomiksi kunnan F q suhteen, merkitään m α (x), sanotaan sitä mahdollisimman alhaista astetta olevaa renkaan F q [x] pääpolynomia, jonka nollakohtana α on, ts. m α (α) = 0. 16
18 Minimipolynomi m α on yksikäsitteinen. Jos α F q, niin m α (x) = x α. Määritelmä 2... Lineaarista koodia C F n sanotaan sykliseksi koodiksi, jos (c n 1,c 0,c 1,...,c n 2 ) C aina, kun (c 0,c 1,...,c n 1 ) C. Lause Olkoon jäännösluokkarengas R n = F[x]/ x n 1. Jos д(x) (x n 1) renkaassa F[x] ja degд(x) = n k, niin polynomin д(x) generoima jäännösluokkarenkaan R n ideaali д(x) on syklinen [n, k]-koodi. Jos C on syklinen [n, k]-koodi, niin on olemassa sellainen astetta n k oleva pääpolynomi д(x), että д(x) (x n 1) renkaassa F[x] ja C on polynomin д(x) generoima renkaan R n ideaali. Todistus. Ks. [2], Lause Määritelmä Lauseessa 2..4 esiintyvää [n, k]-koodin C mahdollisimman alhaista astetta olevaa pääpolynomia д(x) sanotaan syklisen koodin C generoijapolynomiksi. Olkoon д(x) = д 0 +д 1 x + +д n k x n k koodin C generoijapolynomi, eli koodi C on [n, k]-koodi. Tällöin joukko {д(x), xд(x),..., x k 1 д(x)} on koodin C kanta, ja generoijamatriisiksi voidaan ottaa matriisi G = д 0 д д n k д 0 д д n k д 0 д д n k k n. Olkoon m(x) viestisana m esitettynä polynomimuodossa. Koodauskuvaukseksi voidaan valita generoijapolynomilla д(x) kertominen: m(x)д(x) = (m 0 д 0, m 0 д 1 + m 1 д 0, m 0 д 2 + m 1 д 1 + m 2 д 0,..., m k 1 д n k ) = mg. Koska deg(m(x)) = k 1, voidaan polynomi m(x) muodostaa F k eri tavalla. Tulo m(x)д(x) muodostaa siis F k kappaletta keskenään erilaisia koodin C koodisanoja. Lisäksi deg(m(x)д(x)) < n, koska deg(д(x)) = n k. Koodin C koodisanojen lukumäärä on F k, joten tuloa m(x)д(x) ei tarvitse laskea jäännösluokkarenkaassa F[x]/ x n 1, vaan se voidaan laskea polynomirenkaassa F[x]. 17
19 Syklisen koodin kaikki koodisanat saadaan siis kertomalla kaikki polynomirenkaan F[x] polynomit m(x), joille deg(m(x)) < k generoijapolynomilla д(x). Lemma Tarkastellaan kuntaa F q. Olkoon luku n Z + sellainen, joka toteuttaa ehdon syt(n,q) = 1. Tällöin on olemassa sellainen luku m Z +, että n (q m 1). Tästä johtuen jossakin kunnan F q laajennuksessa F q m on olemassa primitiivinen n:s ykkösen juuri α, jolle α n = 1, α i α j kaikilla 0 i < j n 1. Todistus. Ks. [2], kappale Olkoon F = F q, syt(n,q) = 1 ja m luvun q multiplikatiivinen kertaluku modulo n, jolloin n (q m 1). Olkoon α kunnan F q m primitiivinen n:s ykkösen juuri. Kuten aiemmin, käytetään alkion α i minimipolynomille merkintää m α i (x). Määritelmä Polynomin pyj(m α (x),m α 2 (x),...,m α d 1 (x)) generoimaa n-pituista syklistä koodia sanotaan (kapea-alaiseksi) BCH-koodiksi, jonka suunniteltu etäisyys on d. BCH-koodi voidaan siis konstruoida usealla eri polynomilla riippuen siitä, mikä virheenkorjauskyky koodille halutaan. Jos BCH-koodin suunniteltu etäisyys on 2t + 1, sanotaan sitä tavallisesti t virhettä korjaavaksi BCH-koodiksi. Esimerkki Olkoon kunta F 2 4 konstruoitu polynomin p(x) = x 4 +x +1 avulla ja β kunnan primitiivialkio, eli primitiivinen 15. ykkösen juuri. Tällöin m β (x) = m β 2 (x) = m β 4 (x) = x 4 + x + 1 ja m β (x) = x 4 + x + x 2 + x + 1 ovat alkioiden β, β 2, β ja β 4 minimipolynomit. (Ks. [1], Esim ) Nyt polynomi д(x) = pyj ( m β (x),m β 2 (x),m β (x),m β 4 (x) ) = m β (x)m β (x) = x 8 + x 7 + x 6 + x generoi kaksi virhettä korjaavan BCH-koodin, jonka pituus on
20 Lemma Olkoon β kunnan F 2 r primitiivialkio. Matriisi H = β 0 β 0 β 1 β β 2 β 6.. β i β i.. β 2r 2 β (2r 2) on tarkistusmatriisi kaksi virhettä korjaavalle BCH-koodille. Tämän koodin pituus on 2 r 1 ja sen generoi polynomi д(x) = m β 1 (x)m β (x). Tarkistusmatriisin H koko on tällöin (2 r 1) (2r ), kun alkiot β i käsitellään r-pituisina vaakavektoreina. Lisäksi deg(m β (x)) = deg(m β (x)) = r, joten deg(д(x)) = 2r. Näin ollen koodin dimensio on k = 2 r 2r 1. Todistus. Ks. [1], Lemma Lause Olkoon β kunnan F 2 r primitiivialkio ja olkoon r 4 kokonaisluku. Tällöin on olemassa polynomin д(x) = m β 1 (x)m β (x) generoima kaksi virhettä korjaava BCH-koodi. Tämän koodin pituus on n = 2 r 1, dimensio on k = 2 r 2r 1 ja minimietäisyys on d = 5. Todistus. Ks. [1], Lause Lemma Olkoon β kunnan F 2 r primitiivialkio. Tarkastellaan kaksi virhettä korjaavaa BCH-koodia, jonka generoi polynomi д(x) = m β 1 (x)m β (x). Olkoon matriisi H lemman 2..9 mukainen tarkistusmatriisi kyseiselle koodille. Tällöin matriisin H mitkä tahansa 2r perättäistä riviä ovat lineaarisesti riippumattomia. Todistus. Koska BCH-koodi on syklinen, niin sen kaikki koodisanat saadaan kertomalla kaikki polynomirenkaan F[x] polynomit m(x), joille deg(m(x)) < k, koodin generoijapolynomilla д(x). Näin ollen minkään polynomimuodossa esitetyn koodisanan aste ei voi olla pienempi kuin generoijapolynomin aste deg(д(x)) = 2r. Oletetaan nyt, että mielivaltaisesti valitut 2r peräkkäistä matriisin H riviä ovat lineaarisesti riippuvaisia. Tällöin on olemassa nollavektorista poikkeava vektori 19
21 c F n 2 muotoa c = [0,..., 0,c i,...,c i+2r 1, 0,..., 0], 1 i n 2r, jolle ch = 0. Koska H on tarkistusmatriisi, niin määritelmän perusteella c on koodisana. Edelleen, koska BCH-koodi on syklinen koodi, ovat kaikki koodisanasta c määritelmän 2.. mukaisesti syklisillä siirroilla saadut sanat koodisanoja. Näin ollen myös sana c = [c i,...,c i+2r 1, 0,..., 0] on koodisana. Polynomimuodossa tämä tarkoittaa polynomia c (x) = c i + c i+1 x + c i+2 x c i+2r 1 x 2r 1. Näin ollen on olemassa koodisana c (x), jolle deg(c (x)) < 2r. Tämä on ristiriita, joten minkä tahansa matriisista H valittujen 2r perättäisen rivin on oltava lineaarisesti riippumattomia. Nyt lemman perusteella minkä tahansa matriisin H alimatriisin, joka on muodostettu 2r peräkkäisestä rivistä, aste on 2r ja sillä on olemassa käänteismatriisi. Olkoon A matriisin H alimatriisi, joka muodostuu matriisin H viimeisistä 2r rivistä. Tällä matriisilla on olemassa käänteismatriisi A 1. Olkoon H matriisin H alimatriisi, joka muodostuu poistamalla matriisista H sen 2r alinta riviä. Näitä matriiseja tarvitaan kappaleessa 4.2 olevien tulosten osoittamiseen. Esimerkki Olkoon kunta F 8 konstruoitu polynomin x +x +1 avulla, kuten esimerkissä Tällöin H = β 0 β 0 β 1 β β 2 β 6 β β 9 β 4 β 12 β 5 β 15 β 6 β 18 = β 0 β 0 β 1 β β 2 β 6 β β 2 β 4 β 5 β 5 β 1 β 6 β 4 =
22 ja A = β 1 β β 2 β 6 β β 2 β 4 β 5 β 5 β 1 β 6 β 4 = , jolloin A 1 =
23 Luku Laajennetut Preparata-koodit.1 Yleistä Laajennetut Preparata-koodit määritellään kunnan F 2 r osajoukkojen avulla. Osajoukot kuvataan kunnan F 2 vektoreiksi, joiden on täytettävä tietyt ehdot ollakseen koodisanoja. Laajennetuilla Preparata-koodeilla on useita samankaltaisia ominaisuuksia kuin lineaarisilla koodeilla. Esimerkkinä voidaan mainita, että laajennetut Preparatakoodit ovat etäisyysinvariantteja, kuten lineaariset kooditkin. Kuitenkin tässä luvussa tullaan osoittamaan, että laajennetut Preparata-koodit ovat epälineaarisia. Näin ollen lineaaristen koodien koodaus- ja dekoodausmenetelmiä ei voida soveltaa niihin. Mielenkiintoinen laajennettujen Preparata-koodien ominaisuus on myös se, että niiden minimietäisyys on aina sama riippumatta luvun r arvosta..2 Laajennetun Preparata-koodin P (r ) määritelmä Laajennettujen Preparata-koodien määrittelyssä käytetään kunnan GF(2 r ) = F 2 r alkioita, missä r Z +. Olkoon β kunnan F 2 r primitiivialkio ja U F 2 r. Olkoon χ kuvaus, joka kuvaa osajoukon U kunnan F 2 vektoriksi (sanaksi), jonka pituus on 2 r. Määritellään χ (U ) olemaan sana, jossa on 22
24 1 kohdassa i jos β i U (0 i 2 r 2), 1 kohdassa 2 r 1 jos 0 U, 0 muulloin. Esimerkki.2.1. Olkoon β kunnan F 8 primitiivialkio. Tällöin χ ({0}) = , χ ({ β, β, β 5}) = , χ ({ 1, β 2, β 5, β 6}) = , ja χ ({ }) = Jos α on kunnan F 2 r alkio jau F 2 r, niin olkoon joukkou +α = {u + α u U } ja joukko αu = {αu u U }. Määritellään lisäksi joukkojen U F 2 r ja V F 2 r symmetrinen erotus U V olemaan joukko {x x U tai x V mutta x U V }. Olkoon β edelleen kunnan F 2 r primitiivialkio ja i Z, 0 i 2 r 2. Jos β i U tai β i V, mutta β i U V, on tällöin sanan χ (U V ) kohdassa i arvo 1, muutoin arvo 0. Samoin jos 0 U tai 0 V, mutta 0 U V, on tällöin sanan χ (U V ) kohdassa 2 r 1 arvo 1, muutoin arvo 0. Näin ollen χ (U ) + χ (V ) = χ (U V ). Määritelmä.2.2. Laajennettu Preparata-koodi P (r ) on niiden koodisanojen joukko, jonka alkuosa koostuu sanasta χ (U ) ja loppuosa sanasta χ (V ), missä U ja V ovat kunnan F 2 r osajoukkoja ja täyttävät seuraavat ehdot: (i) U ja V ovat parillisia, (ii) (iii) u = v, u U v V u + u u U u U = v, v V (iv) luku r on pariton. Merkitään laajennetun Preparata-koodin koodisanoja merkinnällä [χ (U ), χ (V )]. Koska molempien osien pituus on 2 r, on koodin P (r ) pituus 2 r+1. 2
25 Mikäli U =, niin määritellään u U u = 0 ja jos V =, niin määritellään v V v = 0. Esimerkki.2.. Olkoon F 8 konstruoitu samalla tavalla kuin esimerkissä Olkoon U = { β, β 2, β 5, 0 } ja V = { 1, β, β 2, β, β 6, 0 }. Tutkitaan, onko [χ (U ), χ (V )] koodin P () koodisana. Merkitään laskuissa kunnan F 8 alkiota a 0 + a 1 β + a 2 β 2 jonona a 0 a 1 a 2, jolloin laskut ovat helpommin seurattavissa. Huomioidaan myös, että β 7 = 1 = β 0. (i) U = 4 ja V = 6, joten ehto (i) toteutuu. (ii) u = β + β 2 + β = = 100 = β 0 = 1 u U ja v = 1 + β + β 2 + β + β v V = = 100 = β 0 = 1, joten ehto (ii) toteutuu. (iii) u = β + β 6 + β = β + β 6 + β u U = = 001 = β 2 ja u + u u U u U = β = = 101 = β 6 24
26 sekä v = 1 + β + β 6 + β 9 + β = 1 + β + β 6 + β 2 + β 4 v V = = 101 = β 6, joten ehto (iii) toteutuu. (iv) Luku r = on pariton, joten ehto (iv) toteutuu. Näin ollen [χ (U ), χ (V )] = on koodin P () koodisana. Huomataan, että alkion 0 kuuluminen joukkoihin U ja V ei vaikuta määritelmän.2.2 ehtojen (ii) ja (iii) laskuihin, eikä ehdon (iv) toteutumiseen. Laajennettujen Preparata-koodien koodisanojen osat χ (U ) ja χ (V ) ovat molemmat pariteetiltaan parillisia, eli niiden nollasta eroavien alkioiden määrä on aina parillinen. Käytännössä alkiolla 0 siis vaikutetaan vain siihen, toteutuuko ehto (i), eli ovatko U ja V parillisia. Näin ollen sanojen χ (U ) ja χ (V ) kohdassa 2 r 1 oleva arvo toimii pariteetintarkistusbittinä kyseisille sanoille.. Koodin sanojen etäisyydestä Lemma..1. Olkoot [χ (U ), χ (V )] ja [χ (A), χ (B)] koodin P (r ) koodisanoja. Olkoon α = u U u. Tällöin [χ (U A + α), χ (V B)] on myös koodin P (r ) koodisana. Todistus. Osoitetaan, että sana [χ (U A + α), χ (V B)] toteuttaa Määritelmän.2.2 ehdot (i)-(iii). Ehto (iv) on selvästi voimassa, koska luvun r arvo ei muutu. (i) Koska U, V, A ja B ovat parillisia sekä U A + α = U A, niin U A + α = U A = U + A 2 U A on parillinen, ja V B = V + B 2 V B on parillinen. 25
27 (ii) Olkoot I ja J kunnan F 2 r osajoukkoja ja β kunnan primitiivialkio. Tällöin on voimassa yhtälö x = x + x. x I J x I x J Yhtäsuuruus on selvä sellaisten alkioiden osalta, jotka sisältyvät vain joukkoon I tai vain joukkoon J. Tarkastellaan vielä mitä tahansa alkiota β i, joka sisältyy molempiin joukkoihin I ja J. Tällöin β i ei esiinny ollenkaan yhtälön vasemman puolen summalausekkeessa, mutta β i esiintyy yhteensä kaksi kertaa yhtälön oikean puolen summalausekkeissa. Huomioidaan, että 2β i = 0, koska kunnan F 2 r karakteristika on 2. Näin ollen alkio, joka sisältyy molempiin joukkoihin I ja J, ei vaikuta yhtälön yhtäsuuruuteen. Tästä saadaan x = (y + α) = y + α U A. x U A+α y U A y U A Koska U A on parillinen, on α U A = 0. Tämän perusteella lauseke saadaan muotoon y + y + 0 = y + y = y. y U y A y V y B y V B Näin ollen ja ehto (ii) on voimassa. x = y x U A+α y V B (iii) Tarkastellaan ehdon (iii) mukaista summaa x + x x U A+α x U A+α. Ehdon (ii) perusteella x = y, x U A+α y V B 26
28 joten x + x = (y + α) + x U A+α x U A+α y U A = (y + α) + (y + α) + y + y y U y A y V y B = y + α y + α U + y + α y U + y y V y U y 2 + α 2 y U + y V y 2 y B y + y y V y B y A 2 y + y B y V B y y A y 2 + α 2 y A y. y + α A Huomioidaan nyt, että y U y = y V y ja y A y = y B y sekä lauseen mukaan ( y V y ) 2 = y V y 2, jolloin lauseke saadaan muotoon 2 y + α y + α 2 y + α U + y + α y y U y U y U y A y A y + y y + y y + y. y U y U y A y U y A y A 2 + α 2 y A y + α A Seuraavaksi hyödynnetään tulosta α = y U y = y V y, jonka jälkeen lauseke saadaan muotoon y + αα 2 + α 2 α + α U + y + α y y U y A y A + y 2 + α 2 y + α y + y y U y A y A y A 2 + α 2 y A y + α A Kaikki lausekkeessa esiintyvät summan termit ovat kunnan F 2 r alkioita ja lisäksi kunnan F 2 r karakteristika on 2. Tämän perusteella kaikki lausekkeessa parillisen määrän kertoja esiintyvät summan termit eivät vaikuta summan suuruuteen, ts. 2a = 0 kaikille a F 2 r. Hyödyntämällä tätä tietoa sekä huo- 27
29 maamalla, että U ja A ovat parillisia, lauseke saadaan muotoon y + y y U y U + y + y A y A Hyödynnetään vielä määritelmää.2.2, jolloin saadaan Näin ollen y y + y + y + y = y + y = y U y U } {{ y A } y A } {{ y V y B } = y V y = y B y ja ehto (iii) on voimassa. x + x x U A+α x U A+α = y V B. y y V B y. Määritelmä..2. Koodia sanotaan etäisyysinvariantiksi, jos mille tahansa koodisanaparille c 1 ja c 2 pätee se, että koodisanasta c 1 etäisyydellä i sijaitsevien koodisanojen lukumäärä on sama kuin koodisanasta c 2 etäisyydellä i sijaitsevien koodisanojen lukumäärä, missä 1 i n ja n on koodin pituus. Huomautus... Määritelmästä..2 seuraa suoraan se, että etäisyysinvariantille koodille C pätee d min C = min{wt(x) x C, x 0}. Lemma..4. Olkoot A, B,C F 2 r ja α F 2 r. Tällöin (a) d(χ (A), χ (B)) = d(χ (A + α), χ (B + α)), (b) d(χ (A), χ (B)) = d(χ (A C), χ (B C)). Todistus. (a) Nyt d(χ (A), χ (B)) = (A B) \ (A B) = {x x A tai x B mutta x A U }. 28
30 Koska A + α = {a + α a A} ja B + α = {b + α b B}, on myös (A + α B + α) \ (A + α B + α) = (A B) \ (A B), joten d(χ (A), χ (B)) = d(χ (A + α), χ (B + α)). (b) Olkoon χ (A) = a 1 a 2... a n, χ (B) = b 1 b 2... b n ja χ (C) = c 1 c 2... c n. Jos sanojen χ (A) ja χ (B) mielivaltaisessa kohdassa k olevat komponentit a k ja b k ovat samat, ovat sanojen χ (A C) ja χ (B C) vastaavassa kohdassa olevat komponentit molemmat joko 0 tai 1 riippuen c k :n arvosta. Jos taas sanojen χ (A) ja χ (B) mielivaltaisessa kohdassa olevat komponentit a k ja b k ovat erisuuret, ovat sanojen χ (A C) ja χ (B C) vastaavassa kohdassa olevat komponentit erisuuria. Näin ollen d(χ (A), χ (B)) = d(χ (A C), χ (B C)). Seuraus..5. Olkoot [χ (U ), χ (V )] ja [χ (A), χ (B)] laajennetun Preparata-koodin koodisanoja sekä α F 2 r ja C F 2 r. Tällöin pätee (a) d([χ (U ), χ (V )], [χ (A), χ (B)]) = d([χ (U + α), χ (V )], [χ (A + α), χ (B)]), (b) d([χ (U ), χ (V )], [χ (A), χ (B)]) = d([χ (U C), χ (V )], [χ (A C), χ (B)]). Lause..6. Koodi P (r ) on etäisyysinvariantti. Todistus. Olkoot [χ (U ), χ (V )] ja [χ (A), χ (B)] mielivaltaisia koodin P (r ) koodisanoja, joiden välinen etäisyys on i 1. Olkoon α = u U u. Lemman..1 perusteella myös sanat [χ (U U + α), χ (V V )] ja [χ (U A + α), χ (V B)] 29
31 ovat koodisanoja. Seurauksen..5 mukaan d([χ (U U + α), χ (V V )], [χ (U A + α), χ (V B)]) = i. Koska joukko U U = V V =, niin [χ (U U + α), χ (V V )] = [χ ( ), χ ( )] on nollasana. Näin ollen sanan [χ (U A + α), χ (V B)] paino on i. Siis jokaista mielivaltaisesti valittua koodisanaparia, joiden etäisyys toisistaan on i 1, kohden löytyy yksi koodisana, jonka paino on i. Olkoon nyt koodisanan [χ (C), χ (D)] paino i ja olkoon koodisana [χ (S), χ (T )] mielivaltainen. Olkoon lisäksi β = s S. Lemman..1 perusteella myös sanat [χ (S + β), χ (T )] = [χ (S + β), χ (T )] ja [χ (C S + β), χ (D T )] ovat koodisanoja. Edelleen seurauksen..5 perusteella wt([χ (C), χ (D)]) = d ([χ ( ), χ ( )], [χ (C), χ (D)]) = d ([χ ( S + β), χ ( T )], [χ (C S + β), χ (D T )]) = d ([χ (S + β), χ (T )], [χ (C S + β), χ (D T )]) = i. Näin ollen jokaista koodisanaa [χ (C), χ (D)], jonka paino on i, vastaa koodisanapari [χ (S + β), χ (T )], [χ (C S + β), χ (D T )], joiden välinen etäisyys on i. Nyt siis jokaista mielivaltaisesti valittua koodisanaparia, joiden välinen etäisyys in i, kohti löydetään sellainen koodisana, jonka paino on i ja samaan aikaan jokaista mielivaltaisesti valittua koodisanaa, jonka paino on i, kohti löydetään nollasanasta eroavat kaksi koodisanaa, joiden välinen etäisyys on i. Näin ollen koodi P (r ) on etäisyysinvariantti. 0
32 .4 Koodin P (r ) minimietäisyys ja epälineaarisuus Lemma.4.1. Oletetaan, että [χ (U ), χ (V )] on koodin P (r ) koodisana ja α F 2 r on mielivaltainen. Tällöin koodi P (r ) sisältää myös seuraavat koodisanat: (a) [χ (V ), χ (U )], (b) [χ (U + α), χ (V + α)] mille tahansa α F 2 r, (c) [χ (αu ), χ (αv )] mille tahansa α F 2 r, α 0. Todistus. Todistetaan, että väitetyt koodisanat toteuttavat määritelmän.2.2 mukaiset ehdot (i)-(iv). Huomioidaan laskuissa erityisesti se, että char F 2 r = 2, joten 2a = 0 kaikille a F 2 r. (a) Määritelmän.2.2 ehdot (i), (ii) ja (iv) ovat selvästi voimassa. Tarkastellaan ehdon (iii) mukaista summaa v + v. v V v V Huomioidaan, että [χ (U ), χ (V )] on koodisana, jolloin voidaan hyödyntää määritelmän.2.2 ehtoja (ii) ja (iii) ja saadaan v + v v V v V = u + v u U v v = u + u + v u U u U v V + v = u. v V u U Näin ollen ehto (iii) on voimassa ja [χ (V ), χ (U )] on koodin P (r ) koodisana. (b) Määritelmän.2.2 ehto (iv) on selvästi voimassa. Osoitetaan muiden ehtojen voimassaolo (i) Koska U + α = U on parillinen ja V + α = V on parillinen, ehto on voimassa. 1
33 (ii) Tarkastellaan ehdon (ii) mukaista summaa u U +α u. Huomioidaan jälleen, että [χ (U ), χ (V )] on koodisana, jolloin saadaan u = (x + α) x + α U = x = y u U +α x U x U = y + α V = (y + α) = y V y V v V +α v. x U y V Näin ollen ja ehto on voimassa. u = v u U +α v V +α (iii) Tarkastellaan ehdon (iii) mukaista summaa u + u = (y + α) + u U +α u U +α y U y U = y + α y 2 + α 2 y + α U + y U y U y U y U (y + α) y + α U Tämän jälkeen huomioidaan, että y U y 2 = ( y U y ) 2 ja U on parillinen, jolloin lauseke saadaan muotoon 2 y + α y + α 2 y + α U + y y U y U y U y U 2 = y + y + α y + α 2 y + α U. y U y U y U y U Koska [χ (U ), χ (V )] on koodisana, niin y U y = y V y ja y U y + (y U y ) = y V y. Lisäksi α U = 0 = α V, koska U ja V ovat parillisia. Myös y U y 2 = ( y U y ) 2. Huomioidaan vielä ehdon (ii) voi-. 2
34 massaolo, jolloin lauseke saadaan muotoon Näin ollen y + α y y V y V = y + α y 2 + α 2 y V y V y V = (y + α) = v. y V 2 v V +α u + u u U +α u U +α + α 2 y V y + α U = y + α V v V +α joten ehto on voimassa ja [χ (U + α), χ (V + α)] on koodin P (r ) koodisana. (c) Määritelmän.2.2 ehto (iv) on selvästi voimassa. Osoitetaan muiden ehtojen voimassaolo: (i) Koska αu = U on parillinen ja αv = V on parillinen, ehto on voimassa. (ii) Tarkastellaan ehdon (ii) mukaista summaa u αu u. Huomioidaan jälleen, että [χ (U ), χ (V )] on koodisana, jolloin saadaan u αu x U x U y V y V v, u = (αx) = α x = α y = (αy) = v. v αv Näin ollen ja ehto on voimassa. u = v u αu v αv
35 (iii) Tarkastellaan ehdon (iii) mukaista summaa u + u u αu u αu =α y + α y U y U = (αy) + αy y U y U = α y + y U y U y y. Koska [χ (U ), χ (V )] on koodisana, niin y U y + ( y U y ) = y V y, jolloin lauseke saadaan muotoon Näin ollen α y = (αy) = v. y V y V u + u u αu u αu = v αv v, v αv joten ehto on voimassa ja [χ (αu ), χ (αv )] on koodin P (r ) koodisana. Esimerkki.4.2. Tarkastellaan koodia P (). Olkoon U = { β, β 2, β 5, 0 } ja V = { 1, β, β 2, β, β 6, 0 }. Esimerkin.2. perusteella näistä joukoista muodostettu sana [χ (U ), χ (V )] = on koodisana koodissa P (). Soveltamalla lemmaa.4.1 tähän koodisanaan käyttämällä arvoa α = β saadaan kolme uutta koodisanaa: (a) [χ (V ), χ (U )] = (b) [χ (U + α), χ (V + α)] = [ χ ({ β 0, β 5, β 2, β }), χ ({ β, β 0, β 5, 0, β 4, β })] =
36 (c) [χ (αu ), χ (αv )] = [ χ ({ β 4, β 5, β, 0 }), χ ({ β, β 4, β 5, β 6, β 2, 0 })] = Lemma.4.1 yksinkertaistaa koodin P (r ) minimietäisyyttä koskevan tuloksen osoittamista. Ennen minimietäisyyttä koskevaa tulosta tarvitaan vielä kaksi lemmaa. Lemma.4.. (a) Olkoon r pariton luku. Tällöin 2 r 1 1 (mod ). (b) Olkoon r parillinen luku. Tällöin 2 r 1 0 (mod ). Todistus. Käytetään induktiota. (a) Perusaskel r = 1: Nyt = 1 1 (mod ) pätee. Induktio-oletus r = k: Oletetaan, että 2 k 1 1 (mod ), ts. 2 k 1 = x + 1 jollekin luvulle x. Tällöin 2 k = x + 2. Induktioväite: Väite on voimassa, kun r = k + 2. Nyt 2 (k+2) 1 = 4 2 k 1. Induktio-oletuksen perusteella 4 2 k 1 = 4 (x + 2) 1 = 12x + 7 = (4x + 2) + 1, eli 2 (k+2) 1 1 (mod ). Induktioperiaatteen nojalla väite on tosi. (b) Perusaskel r = 2: Nyt = 0 (mod ) pätee. Induktio-oletus r = k: Oletetaan, että 2 k 1 0 (mod ), ts. 2 k 1 = x jollekin luvulle x. Tällöin 2 k = x
37 Induktioväite: Väite on voimassa, kun r = k + 2. Nyt 2 (k+2) 1 = 4 2 k 1. Induktio-oletuksen perusteella 4 2 k 1 = 4 (x + 1) 1 = 12x + = (4x + 1), eli 2 (k+2) 1 0 (mod ). Induktioperiaatteen nojalla väite on tosi. Seuraava lemma perustelee syyn sille, että luvun r on oltava pariton. Lemma.4.4. Olkoon β kunnan F 2 r primitiivialkio. Tällöin myös β on kunnan F 2 r primitiivialkio, jos luku r on pariton. Alkio β ei ole kunnan F 2 r primitiivialkio, jos luku r on parillinen. Todistus. Lauseen perusteella tiedetään, että alkio β i on kunnan primitiivialkio jos ja vain jos syt(i, 2 r 1) = 1. Lemman.4. perusteella tiedetään, että jos luku r on pariton, niin 2 r 1 1 (mod ) ja jos luku r on parillinen, niin 2 r 1 0 (mod ). Jos siis luku r on parillinen, on 2 r 1 = x jollekin kokonaisluvulle x, joten β ei ole primitiivialkio. Jos taas luku r on pariton, niin 2 r 1 = x + 1, joten β on primitiivialkio. Seuraus.4.5. Jos luku r on pariton, niin tällöin jokaista nolla-alkiosta eroavaa alkiota x F 2 r kohden on olemassa yksikäsitteinen alkio y, jolle y = x. Lause.4.6. Koodin P (r ) minimietäisyys on 6. Todistus. Jos koodin P (r ) sisältämän koodisanan [χ (U ), χ (V )] paino on d, niin d = wt(χ (U )) + wt(χ (V )) = U + V. 6
38 Koodin P (r ) määritelmästä seuraa, että d ei voi olla pariton. Koodi P (r ) on etäisyysinvariantti. Tällöin riittää osoittaa, että d 2, d 4 ja että on olemassa koodisana, jonka paino on 6. Oletetaan, että d = 2. Lemman.4.1 kohdan (a) perusteella voidaan olettaa, että U = 2 ja V = 0. Lemman.4.1 kohdan (b) perusteella voidaan olettaa, että U = {0, x} jollain x F 2 r, x 0. Tällöin kuitenkin u = 0 + x = x. u U Koska V =, ei määritelmän.2.2 ehto (ii) voi toteutua, joten d 2. Oletetaan nyt, että d = 4. Lemman.4.1 kohdan (a) perusteella voidaan olettaa, että joko U = 4 ja V = 0 tai U = 2 ja V = 2. Oletetaan aluksi, että U = 4 ja V = 0. Tällöin voidaan Lemman.4.1 kohdan (b) perusteella olettaa, että U = { 0, x,y, z }, missä x,y, z F 2 r ovat kaikki erisuuria ja nolla-alkiosta eroavia. Määritelmän.2.2 kohdan (iii) perusteella 0 + x + y + z + (0 + x + y + z) = 0. (.1) Yhtälön (2.1) jälkimmäinen osa voidaan saattaa muotoon (0 + x + y + z) = x + y + z + x 2 y + x 2 z + xy 2 + y 2 z + xz 2 + yz 2 + 6xyz = x + y + z + x 2 y + x 2 z + xy 2 + y 2 z + xz 2 + yz 2 + 2xyz + 2(x 2 y + x 2 z + xy 2 + y 2 z + xz 2 + yz 2 + 2xyz) = x + y + z + (x + y)(x + z)(y + z). Sijoitetaan tämä tulos yhtälöön (2.1), jolloin saadaan 0 + x + y + z + (0 + x + y + z) = 0, eli x + y + z + x + y + z + (x + y)(x + z)(y + z) = 0, 7
39 joten (x + y)(x + z)(y + z) = 0, mikä on mahdotonta, koska x, y ja z ovat keskenään erisuuria ja nolla-alkiosta eroavia. Oletetaan seuraavaksi, että U = 2 ja V = 2. Tällöin voidaan edelleen Lemman.4.1 kohdan (b) perusteella olettaa, että U = {0, x} ja V = { y, z }, y z. Tällöin määritelmän.2.2 kohdan (iii) perusteella 0 + x + (0 + x) = y + z, eli y + z = 0. Seurauksen.4.5 perusteella tiedetään, että josy = z, niiny = z, mikä on ristiriita. Näin ollen d 4. Etsitään seuraavaksi koodisana, jonka paino on 6. Olkoon x,y, z F 2 r, missä x, y ja z ovat kaikki erisuuria ja nolla-alkiosta eroavia. Seurauksen.4.5 perusteella on olemassa yksikäsitteinen w F 2 r, jolle w = x + y + z. Alkiolle w pätee w x, w y ja w z, koska jos olisi esimerkiksi w = x, niin w = x, jolloin olisi 0 = y + z ja seurauksen.4.5 perusteella edelleen y = z, mikä on ristiriita. Määritellään seuraavaksi alkio u = w + x + y + z. Koska summa w + (x + y + z) = x + y + z + (x + y + z) = x + y + z + x + y + z + (x + y)(x + z)(y + z) = (x + y)(x + z)(y + z) 0, niin w (x + y + z) ja seurauksen.4.5 perusteella myös w x + y + z. Näin ollen u 0. Olkoon nyt U = {0,u} ja V = { w, x,y, z }. Osoitetaan, että sana [χ (U ), χ (V )] on koodin P (r ) koodisana. Määritelmän.2.2 ehdot (i) ja (iv) ovat selvästi voimassa. Tarkatellaan ehdon (ii) mukaista summaa: a = u = w + x + y + z = b. a U b V 8
40 Näin ollen ehto (ii) on voimassa. Tarkastellaan ehdon (iii) vasenta puolta: a + a U a U = u + u = 0. Tarkastellaan seuraavaksi ehdon (iii) oikeata puolta: b = w + x + y + z = w + w = 0. b V Näin ollen a + a a U a U = b, b V ja [χ (U ), χ (V )] on koodin P (r ) koodisana, jonka paino on 6. Esimerkki.4.7. Olkoon F 8 konstruoitu kuten esimerkissä Olkoot x = β, y = β ja z = β 5 kunnan F 8 alkioita. Määritellään tämän jälkeen alkio w F 8 siten, että w = x + y + z = β + β 9 + β 15 = β + β 2 + β = = 101 = β 6 = ( β 2), joten w = β 2. Olkoon u = w + x + y + z = β 2 + β + β + β 5 = = 010 = β. Määritellään joukot U = { 0, β } ja V = { β 2, β, β, β 5}. Tällöin sana [χ (U ), χ (V )] = on koodin P () koodisana, jonka paino on 6. Lause.4.8. Koodi P (r ) ei ole lineaarinen. Todistus. Lineaarinen koodi on lineaariavaruus, jolloin kaikki koodisanojen lineaarikombinaatiot ovat myös koodisanoja. 9
41 Aiemmin on todettu, että [χ (U ), χ (V )] + [χ (A), χ (B)] = [χ (U A), χ (V B)]. Lauseen.4.6 avulla voidaan konstruoida koodin P (r ) koodisanat [χ (U ), χ (V )] ja [χ (A), χ (B)] siten, että U = {0,u 1 }, V = { w 1, x 1,y 1, z 1 }, A = {0,u2 } ja B = { w2, x 2,y 2, z 2 }. Lemman..1 perusteella sana [χ (U A + u1 ), χ (V B)] on koodin P (r ) koodisana. Koska U A + u 1 2, niin d ([χ (U A + u 1 ), χ (V B)], [χ (U A), χ (V B)]) 2 U A + u 1 4. Koodin P (r ) minimietäisyys on 6, joten sana [χ (U A), χ (V B)] ei ole koodin P (r ) koodisana. Näin ollen koodi P (r ) ei ole lineaarinen. 40
42 Luku 4 Koodausalgoritmi laajennetuille Preparata-koodeille 4.1 Yleistä Tässä luvussa esitellään algoritmi, jonka avulla viestivektoreita koodataan laajennettujen Preparata-koodien koodisanoiksi. Algoritmissa hyödynnetään aikaisemmin esiteltyjä BCH-koodeja koskevia tuloksia sekä aiemmin esitettyä kaksi virhettä korjaavan BCH-koodin tarkistusmatriisia H. Koska laajennetut Preparata-koodit eivät ole lineaarisia, ei niillä ole dimensiota. Tämä tarkoittaa myös sitä, että koodin P (r ) koodisanojen lukumäärää ei vielä tiedetä. Sanojen lukumäärä saadaan kuitenkin määriteltyä koodausalgoritmia käsittelevän teorian yhteydessä. 4.2 Koodin P (r ) koodisanojen lukumäärä Olkoon matriisi H lemman 2..9 mukainen kaksi virhettä korjaavan BCH-koodin tarkistusmatriisi, eli 41
43 β 0 β 0 β 1 β β 2 β 6 H =... β i β i.. β 2r 2 β (2r 2) Olkoon A matriisin H alimatriisi, joka muodostuu matriisin H viimeisistä 2r rivistä. Olkoon H matriisin H alimatriisi, joka muodostuu poistamalla matriisista H sen 2r alinta riviä. Lemman perusteella matriisin A aste on 2r, joten käänteismatriisi A 1 on olemassa. Olkoon m = [m L,m R ] mikä tahansa binäärinen sana, jonka pituus on 2 r+1 2r 2, r 1, ja missä sanan m L pituus on 2 r 1 ja sanan m R pituus on 2 r 2r 1. Tulkitaan sen jälkeen sanat m L ja m R polynomeiksi sillä tavalla, että ja 2 r 1 m L (x) = a i x i, missä a i = m Li m R (x) = i=0 2 r 2r 1 i=0 b i x i, missä b i = m Ri. Tällä tavalla tulkittuna saadaan muodostettua seuraavat sanat, jotka muodostuvat kahdesta kunnan F 2 r alkiosta: [m L (β),m L (β )] = m L H ja [m R (β),m R (β )] = m R H, 42
44 Määritellään lisäksi pituudeltaan 2r oleva sana v R = [m L (β) + m R (β),m L (β ) + (m L (β)) + m R (β )]A 1, missä ensimmäinen osa m L (β) +m R (β) tulkitaan binäärivektoriksi sillä tavalla, että yhteenlaskun jälkeen alkio m L (β) + m R (β) muutetaan binäärivektoriksi, jonka pituus on r. Jälkimmäinen osa m L (β ) + (m L (β)) + m R (β ) tulkitaan vastaavalla tavalla binäärivektoriksi, jonka pituus on r. Lause Olkoon r pariton luku ja m = [m L,m R ] binäärinen sana, jonka pituus on 2 r+1 2r 2. Olkoot χ (U ) = [m L,p L ], missä p L {0, 1} siten, että wt([m L,p L ]) on parillinen ja χ (V ) = [m R,v R,p R ], missä p R {0, 1} siten, että wt([m R,v R,p R ]) on parillinen. Alkioita p L ja p R kutsutaan pariteetintarkistusbiteiksi. Tällöin sana [χ (U ), χ (V )] = [m L,p L,m R,v R,p R ] on koodin P (r ) koodisana. Todistus. Olkoot matriisit H, H ja A määritelty samalla tavalla kuin aikaisemmin. Tällöin [m R,v R ]H = [m R ]H + [v R ]A = [m R (β),m R (β )] + [m L (β) + m R (β),m L (β ) + (m L (β)) + m R (β )]A 1 A = [m R (β) + m L (β) + m R (β),m R (β ) + m L (β ) + (m L (β)) + m R (β )] = [m L (β),m L (β ) + (m L (β)) ]. Joukko U on nyt U = {b i sanan χ (U ) kohdassa i on 1, 0 i 2 r 2} { 0, jos p L = 1 } ja joukko V on V = {b i sanan χ (V ) kohdassa i on 1, 0 i 2 r 2} { 0, jos p R = 1 } Näin ollen [m R,v R ]H = v, v. v V v V 4
45 Vastaavasti m L (β) = u u U ja m L (β ) + (m L (β)) = u + u u U u U. Nyt v, v = [m R,v R ]H v V v V =[m L (β),m L (β ) + (m L (β)) ] = u U u + u, u U u U u, joten v, v = v V v V u U u + u, u U u U u, eli u = v u U v V ja u + u u U u U = v. Näin ollen määritelmän.2.2 ehdot (ii) ja (iii) ovat voimassa. Myös määritelmän.2.2 ehdot (i) ja (iv) ovat selvästi voimassa. Tämä tarkoittaa, että sana [χ (U ), χ (V )] on koodin P (r ) koodisana. v V 44
46 Seuraus Koodissa P (r ) on 2 2r +1 2r 2 koodisanaa. Todistus. Lauseessa on 2 2r +1 2r 2 eri tapaa valita sanam = [m L,m R ]. Jokaisesta erilaisesta valinnasta saadaan erilainen koodisana, jonka osat p L,v R ja p R määrittyvät yksikäsitteisesti sanan m perusteella. Näin ollen koodissa P (r ) on yhteensä 2 2r +1 2r 2 koodisanaa. 4. Koodin P (r ) koodausalgoritmi Algoritmi [Laajennetun Preparata-koodin P (r ) koodaus] Olkoon m L binäärinen sana, jonka pituus on 2 r 1 ja olkoon m R binäärinen sana, jonka pituus on 2 r 2r 1. Määritellään v R samalla tavalla kuin lauseessa Tällöin sana [m L,p L,m R,v R,p R ] on viestiä m = [m L,m R ] vastaava koodisana. Esimerkki Olkoot r =, m L = ja m R = 1. Tällöin m L (β) = β + β 2 + β 5 = β 0 ja m R (β) = β 0, m L (β ) = β + β 6 + β 15 = β 2 ja m R (β ) = β 0. Olkoon matriisi A 1 muodostettu samalla tavoin kuin esimerkissä Tällöin saadaan muodostettua v R = [β 0 + β 0, β 2 + β 0 + β 0 ]A 1 = [0, β 2 ]A = [000001] =
Koodausteoria, Kesä 2014
Koodausteoria, Kesä 2014 Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos Koodausteoria 10 op Kontaktiopetusta 50 h, 26.5. - 26.6. ma 10-14, ti 10-13, to 10-13 Aloitusviikolla poikkeuksellisesti ke 10-13 torstain
LisätiedotKoodausteoria, Kesä 2014
Koodausteoria, Kesä 2014 Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 3.3 Lineaarisen koodin dekoodaus Oletetaan, että lähetettäessä kanavaan sana c saadaan sana r = c + e, missä e on häiriön aiheuttama
LisätiedotKoodausteoria, Kesä 2014
Koodausteoria, Kesä 2014 Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 3. Lineaariset koodit Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 2 / 22 3.1 Lineaarisen koodin määrittely Olkoon F äärellinen kunta.
LisätiedotKoodausteoria, Kesä 2014
Koodausteoria, Kesä 2014 Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 5 BCH-, RS- ja Goppa-koodit Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 2 / 15 5.1 BCH-koodien määrittely Olkoon jälleen F = F q, syt(n,
LisätiedotKoodausteoria, Kesä 2014
Koodausteoria, Kesä 2014 Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 6. Ryöppyvirheitä korjaavat koodit Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 2 / 34 6.1 Peruskäsitteitä Aiemmin on implisiittisesti
LisätiedotKoodausteoria, Kesä 2014
Koodausteoria, Kesä 2014 Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 4.7 Syklisen koodin jälkiesitys Olkoon F = F q ja K = F q m kunnan F laajennuskunta. Määritelmä 4.7.1. Kuntalaajennuksen K/F jälkifunktioksi
LisätiedotKoodausteoria, Kesä 2014
Koodausteoria, Kesä 2014 Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 5.2 BCH-koodin dekoodaus Tarkastellaan t virhettä korjaavaa n-pituista BCH-koodia. Olkoon α primitiivinen n:s ykkösen juuri, c = c(x)
Lisätiedot7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi
7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi Z p [x]/(m), missä m on polynomirenkaan Z p [x] jaoton polynomi (ks. määritelmä 3.19).
Lisätiedot1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus
1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus
LisätiedotKoodausteoria, Kesä 2014
Koodausteoria, Kesä 2014 Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 3.5 Reedin-Mullerin koodit Olkoon tässä kappaleessa F = F2 = Z2 ja n = 2 m. Määritellään avaruuteen F n kertolasku koordinaateittain:
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/141 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA I
802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä
Lisätiedotja jäännösluokkien joukkoa
3. Polynomien jäännösluokkarenkaat Olkoon F kunta, ja olkoon m F[x]. Polynomeille f, g F [x] määritellään kongruenssi(-relaatio) asettamalla g f mod m : m g f g = f + m h jollekin h F [x]. Kongruenssi
Lisätiedoton Abelin ryhmä kertolaskun suhteen. Tämän joukon alkioiden lukumäärää merkitään
5. Primitiivinen alkio 5.1. Täydennystä lukuteoriaan. Olkoon n Z, n 2. Palautettakoon mieleen, että kokonaislukujen jäännösluokkarenkaan kääntyvien alkioiden muodostama osajoukko Z n := {x Z n x on kääntyvä}
LisätiedotKOODAUSTEORIA S
KOODAUSTEORIA 800667S syksy 2009 Marko Rinta-aho Sisältö 1 Perusteita 1 1.1 Johdanto.............................. 1 1.2 Kanavista............................. 2 1.3 Koodaus-dekoodausjärjestelmä..................
LisätiedotLineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus
Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus 1 / 51 Lineaarikombinaatio Johdattelua seuraavaan asiaan (ei tarkkoja määritelmiä): Millaisen kuvan muodostaa joukko {λv λ R, v R 3 }? Millaisen
LisätiedotLineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44
Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44 Tehtävät 1-3 lasketaan alkuviikon harjoituksissa, verkkotehtävien dl on lauantaina aamuyöllä. Tehtävät 4 ja 5 lasketaan loppuviikon harjoituksissa.
LisätiedotReedin ja Solomonin koodit Katariina Huttunen
Pro Gradu Reedin ja Solomonin koodit Katariina Huttunen Jyväskylän yliopisto Matematiikan laitos Lokakuu 2016 Tiivistelmä Huttunen Katariina, Reedin ja Solomonin koodit, matematiikan pro gradututkielma,
LisätiedotKannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:
8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden
Lisätiedotkoska 2 toteuttaa rationaalikertoimisen yhtälön x 2 2 = 0. Laajennuskunnan
4. Äärellisten kuntien yleisiä ominaisuuksia 4.1. Laajenuskunnat. Tarkastellaan aluksi yleistä kuntaparia F ja K, missä F on kunnan K alikunta. Tällöin sanotaan, että kunta K on kunnan F laajennuskunta
LisätiedotJohdatus matemaattiseen päättelyyn
Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 2 3 Joukko-oppia Tässä luvussa tarkastellaan joukko-opin
LisätiedotKoodausteoria, Kesä 2014
Koodausteoria, Kesä 2014 Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 5.6 Alternanttikoodin dekoodaus, kun esiintyy pyyhkiytymiä ja virheitä Joissakin tilanteissa vastaanotetun sanan kirjainta ei saa tulkittua
LisätiedotTekijä Pitkä Matematiikka 11 ratkaisut luku 2
Tekijä Pitkä matematiikka 11 0..017 170 a) Koska 8 = 4 7, luku 8 on jaollinen luvulla 4. b) Koska 104 = 4 6, luku 104 on jaollinen luvulla 4. c) Koska 4 0 = 80 < 8 ja 4 1 = 84 > 8, luku 8 ei ole jaollinen
LisätiedotMitään muita operaatioita symbolille ei ole määritelty! < a kaikilla kokonaisluvuilla a, + a = kaikilla kokonaisluvuilla a.
Polynomit Tarkastelemme polynomirenkaiden teoriaa ja polynomiyhtälöiden ratkaisemista. Algebrassa on tapana pitää erillään polynomin ja polynomifunktion käsitteet. Polynomit Tarkastelemme polynomirenkaiden
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta II Syksy 2009 Laskuharjoitus 1 ( ) Ratkaisuehdotuksia Vesa Ala-Mattila
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Syksy 29 Laskuharjoitus (9. - 3..29) Ratkaisuehdotuksia Vesa Ala-Mattila Tehtävä. Olkoon V vektoriavaruus. Todistettava: jos U V ja W V ovat V :n aliavaruuksia, niin
LisätiedotPolynomien suurin yhteinen tekijä ja kongruenssi
Polynomien suurin yhteinen tekijä ja kongruenssi Pro gradu -tutkielma Outi Aksela 2117470 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Renkaat 3 1.1 Rengas...............................
LisätiedotEsko Turunen Luku 3. Ryhmät
3. Ryhmät Monoidia rikkaampi algebrallinen struktuuri on ryhmä: Määritelmä (3.1) Olkoon joukon G laskutoimitus. Joukko G varustettuna tällä laskutoimituksella on ryhmä, jos laskutoimitus on assosiatiivinen,
Lisätiedot9. Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista
29 9 Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista Tarkastelemme kertalukua n olevia lineaarisia differentiaaliyhtälöitä y ( x) + a ( x) y ( x) + + a ( x) y( x) + a ( x) y= b( x) ( n) ( n
Lisätiedotk=1 b kx k K-kertoimisia polynomeja, P (X)+Q(X) = (a k + b k )X k n+m a i b j X k. i+j=k k=0
1. Polynomit Tässä luvussa tarkastelemme polynomien muodostamia renkaita polynomien ollisuutta käsitteleviä perustuloksia. Teemme luvun alkuun kaksi sopimusta: Tässä luvussa X on muodollinen symboli, jota
Lisätiedotei ole muita välikuntia.
ALGEBRA II 41 Lause 4.15. F q m on polynomin x qm x hajoamiskunta kunnan F q suhteen. Todistus. Olkoon α kunnan F q m primitiivialkio. Nyt F qm =< α > muodostuu täsmälleen polynomin x qm 1 1nollakohdistajatäten
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
LisätiedotBijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio.
Määritelmä Bijektio Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Sanotaan, että kuvaus f on bijektio, jos se on sekä injektio että surjektio. Huom. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin
LisätiedotVapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.
Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +
LisätiedotSalausmenetelmät. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006)
Salausmenetelmät Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA 3. Kongruenssit à 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi Määritelmä 3.1 Kaksi lukua a ja b ovat keskenään kongruentteja (tai
LisätiedotLineaarikuvauksen R n R m matriisi
Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lauseessa 21 osoitettiin, että jokaista m n -matriisia A vastaa lineaarikuvaus L A : R n R m, jolla L A ( v) = A v kaikilla v R n. Osoitetaan seuraavaksi käänteinen tulos:
LisätiedotLiite 2. Ryhmien ja kuntien perusteet
Liite 2. Ryhmien ja kuntien perusteet 1. Ryhmät 1.1 Johdanto Erilaisissa matematiikan probleemoissa törmätään usein muotoa a + x = b tai a x = b oleviin yhtälöihin, joissa tuntematon muuttuja on x. Lukujoukkoja
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Vektoriavaruudet Riikka Kangaslampi kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Idea Lineaarisen systeemin ratkaiseminen Olkoon
LisätiedotLineaariset kongruenssiyhtälöryhmät
Lineaariset kongruenssiyhtälöryhmät LuK-tutkielma Jesse Salo 2309369 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Sisältö Johdanto 2 1 Kongruensseista 3 1.1 Kongruenssin ominaisuuksia...................
LisätiedotEsimerkki A1. Jaetaan ryhmä G = Z 17 H = 4 = {1, 4, 4 2 = 16 = 1, 4 3 = 4 = 13, 4 4 = 16 = 1}.
Jaetaan ryhmä G = Z 17 n H = 4 sivuluokkiin. Ratkaisu: Koska 17 on alkuluku, #G = 16, alkiona jäännösluokat a, a = 1, 2,..., 16. Määrätään ensin n H alkiot: H = 4 = {1, 4, 4 2 = 16 = 1, 4 3 = 4 = 13, 4
LisätiedotAvaruuden R n aliavaruus
Avaruuden R n aliavaruus 1 / 41 Aliavaruus Esimerkki 1 Kuva: Suora on suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen suhteen. 2 / 41 Esimerkki 2 Kuva: Suora ei ole suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla
Lisätiedota b 1 c b n c n
Algebra Syksy 2007 Harjoitukset 1. Olkoon a Z. Totea, että aina a 0, 1 a, a a ja a a. 2. Olkoot a, b, c, d Z. Todista implikaatiot: a) a b ja c d ac bd, b) a b ja b c a c. 3. Olkoon a b i kaikilla i =
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet
MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Osa 4: Modulaariaritmetiikka Riikka Kangaslampi 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Modulaariaritmetiikka Jakoyhtälö Määritelmä 1 Luku
Lisätiedot1 Sisätulo- ja normiavaruudet
1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1.1 Sisätuloavaruus Määritelmä 1. Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V R on reaalinen sisätulo eli pistetulo, jos (a) v w = w v (symmetrisyys); (b) v + u w = v
LisätiedotTeema 4. Homomorfismeista Ihanne ja tekijärengas. Teema 4 1 / 32
1 / 32 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.2 Esimerkki 4B.1 Esimerkki 4B.2 Esimerkki 4B.3 Esimerkki 4C.1 Esimerkki 4C.2 Esimerkki 4C.3 2 / 32 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.2 Esimerkki 4B.1 Esimerkki
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Vektoriavaruudet Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 17 R. Kangaslampi Vektoriavaruudet Vektoriavaruus
LisätiedotAlgebran ja lukuteorian harjoitustehtäviä. 1. Tutki, ovatko seuraavat relaatiot ekvivalenssirelaatioita joukon N kaikkien osajoukkojen
Algebran ja lukuteorian harjoitustehtäviä Versio 1.0 (27.1.2006) Turun yliopisto Lukuteoria 1. Tutki, ovatko seuraavat relaatiot ekvivalenssirelaatioita joukon N kaikkien osajoukkojen joukolla: a) C D
LisätiedotR : renkaan R kääntyvien alkioiden joukko; R kertolaskulla varustettuna on
0. Kertausta ja täydennystä Kurssille Äärelliset kunnat tarvittavat esitiedot löytyvät Algebran kurssista [Alg]. Hyödyksi voivat myös olla (vaikka eivät välttämättömiä) Lukuteorian alkeet [LTA] ja Salakirjoitukset
LisätiedotKuvauksista ja relaatioista. Jonna Makkonen Ilari Vallivaara
Kuvauksista ja relaatioista Jonna Makkonen Ilari Vallivaara 20. lokakuuta 2004 Sisältö 1 Esipuhe 2 2 Kuvauksista 3 3 Relaatioista 8 Lähdeluettelo 12 1 1 Esipuhe Joukot ja relaatiot ovat periaatteessa äärimmäisen
LisätiedotAlgebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 9 (6 sivua) OT
Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 9 (6 sivua) 28.3.-1.4.2011 OT 1. a) Osoita, että rengas R = {[0] 10, [2] 10, [4] 10, [6] 10, [8] 10 } on kokonaisalue. Mikä
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2014 Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentokalvot 3 1 of 16 Kertausta Lineaarinen riippuvuus
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA II
802320A LINEAARIALGEBRA OSA II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 64 Sisätuloavaruus Määritelmä 1 Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus on reaalinen
LisätiedotKantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen
Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen Lause 18 Oletetaan, että V ja W ovat vektoriavaruuksia. Oletetaan lisäksi, että ( v 1,..., v n ) on avaruuden V kanta ja w 1,..., w n W. Tällöin
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
LisätiedotDiofantoksen yhtälön ratkaisut
Diofantoksen yhtälön ratkaisut Matias Mäkelä Matemaattisten tieteiden tutkinto-ohjelma Oulun yliopisto Kevät 2017 Sisältö Johdanto 2 1 Suurin yhteinen tekijä 2 2 Eukleideen algoritmi 4 3 Diofantoksen yhtälön
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA III
802320A LINEAARIALGEBRA OSA III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 56 Määritelmä Määritelmä 1 Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V
LisätiedotMAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen
MAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen Tehtävä 1. Onko joukon X potenssijoukon P(X) laskutoimitus distributiivinen laskutoimituksen suhteen? Onko laskutoimitus distributiivinen laskutoimituksen
LisätiedotÄärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause
Tero Harju (2008/2010) Äärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause Merkintä X on joukon koko ( eli #X). Vapaat Abelin ryhmät Tässä kappaleessa käytetään Abelin ryhmille additiivista merkintää.
LisätiedotJarkko Peltomäki. Aliryhmän sentralisaattori ja normalisaattori
Jarkko Peltomäki Aliryhmän sentralisaattori ja normalisaattori Matematiikan aine Turun yliopisto Syyskuu 2009 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Määritelmiä ja perusominaisuuksia 3 2.1 Aliryhmän sentralisaattori ja
LisätiedotMääritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V. Termejä: Lineaarikuvaus, Lineaarinen kuvaus.
1 Lineaarikuvaus 1.1 Määritelmä Määritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V W on lineaarinen, jos (a) L(v + w) = L(v) + L(w); (b) L(λv) = λl(v) aina, kun v, w V ja λ K. Termejä:
Lisätiedota k+1 = 2a k + 1 = 2(2 k 1) + 1 = 2 k+1 1. xxxxxx xxxxxx xxxxxx xxxxxx
x x x x x x x x Matematiikan johdantokurssi, syksy 08 Harjoitus, ratkaisuista Hanoin tornit -ongelma: Tarkastellaan kolmea pylvästä A, B ja C, joihin voidaan pinota erikokoisia renkaita Lähtötilanteessa
Lisätiedotd Z + 17 Viimeksi muutettu
5. Diffien ja Hellmanin avaintenvaihto Miten on mahdollista välittää salatun viestin avaamiseen tarkoitettu avain Internetin kaltaisen avoimen liikennöintiväylän kautta? Kuka tahansahan voi (ainakin periaatteessa)
LisätiedotLuento 8: Epälineaarinen optimointi
Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori 0 = (0,..., 0). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään
LisätiedotDihedraalinen ryhmä Pro gradu Elisa Sonntag Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2013
Dihedraalinen ryhmä Pro gradu Elisa Sonntag Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2013 Sisältö Johdanto 2 1 Ryhmä 3 2 Symmetrinen ryhmä 6 3 Symmetriaryhmä 10 4 Dihedraalinen ryhmä 19 Lähdeluettelo
Lisätiedot802355A Algebralliset rakenteet Luentorunko Syksy Markku Niemenmaa Kari Myllylä Topi Törmä Marko Leinonen
802355A Algebralliset rakenteet Luentorunko Syksy 2016 Markku Niemenmaa Kari Myllylä Topi Törmä Marko Leinonen Sisältö 1 Kertausta kurssilta Algebran perusteet 3 2 Renkaat 8 2.1 Renkaiden teoriaa.........................
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
LisätiedotLiittomatriisi. Liittomatriisi. Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä. 1) i+j det A ij.
Liittomatriisi Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä (cof A) ij =( 1) i+j det A ij kaikilla i, j = 1,...,n. Huomautus 8 Olkoon A 2 M(n, n). Tällöin kaikilla
Lisätiedotkaikille a R. 1 (R, +) on kommutatiivinen ryhmä, 2 a(b + c) = ab + ac ja (b + c)a = ba + ca kaikilla a, b, c R, ja
Renkaat Tarkastelemme seuraavaksi rakenteita, joissa on määritelty kaksi binääristä assosiatiivista laskutoimitusta, joista toinen on kommutatiivinen. Vaadimme muuten samat ominaisuudet kuin kokonaisluvuilta,
Lisätiedot(2n 1) = n 2
3.5 Induktiotodistus Induktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa väite P (n) on totta kaikille n =0, 1, 2,... Tässä väite P (n) riippuu n:n arvosta. Todistuksessa
Lisätiedot2 Renkaat ja kunnat. toteutuvat: 1. pari (K, +) on Abelin ryhmä, jonka neutraalialkio on 0 K,
1 Ryhmät Olkoot S on joukko ja X S. Jos kuvaus : S S S, (x, y) x y toteuttaa ehdon x y X kaikilla x, y X, niin sanotaan, että binäärinen operaatio on suljettu joukon X suhteen. Määritelmä 1. Olkoot G joukko
Lisätiedot6 Vektoriavaruus R n. 6.1 Lineaarikombinaatio
6 Vektoriavaruus R n 6.1 Lineaarikombinaatio Määritelmä 19. Vektori x œ R n on vektorien v 1,...,v k œ R n lineaarikombinaatio, jos on olemassa sellaiset 1,..., k œ R, että x = i v i. i=1 Esimerkki 30.
Lisätiedot2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut
2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut m n-matriisi A Lineaarikuvaus A : V Z, missä V ja Z ovat sopivasti valittuja, dim V = n, dim Z = m (yleensä V = R n tai C n ja Z = R m tai C m ) Kuva-avaruus ja
LisätiedotTOOLS. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO TOOLS 1 / 28
TOOLS Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO 2018 TOOLS 1 / 28 Merkintöjä ja algebrallisia rakenteita Lukujoukkoja N = {0, 1, 2,..., GOOGOL 10,...} = {ei-negatiiviset kokonaisluvut}. TOOLS
Lisätiedotg : R R, g(a) = g i a i. Alkio g(a) R on polynomin arvo pisteessä a. Jos g(a) = 0, niin a on polynomin g(x) nollakohta.
ALGEBRA II 27 on homomorfismi. Ensinnäkin G(a + b) a + b G(a)+G(b) (f), G(ab) ab G(a)G(b) G(a) G(b) (f), ja koska kongruenssien vasempien ja oikeiden puolten asteet ovat pienempiä kuin f:n aste, niin homomorfiaehdot
LisätiedotSalausmenetelmät LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) 3. Kongruenssit. à 3.4 Kongruenssien laskusääntöjä
Salausmenetelmät Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA 3. Kongruenssit à 3.4 Kongruenssien laskusääntöjä Seuraavassa lauseessa saamme kongruensseille mukavia laskusääntöjä.
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
Lisätiedot2017 = = = = = = 26 1
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 2, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. Sovella Eukleiden algoritmia ja (i) etsi s.y.t(2017, 753) (ii) etsi kaikki kokonaislukuratkaisut yhtälölle 405x + 141y = 12. Ratkaisu
LisätiedotKanta ja dimensio 1 / 23
1 / 23 Kuten ollaan huomattu, saman aliavaruuden voi virittää eri määrä vektoreita. Seuraavaksi määritellään mahdollisimman pieni vektorijoukko, joka virittää aliavaruuden. Jokainen aliavaruuden alkio
Lisätiedot7 Vapaus. 7.1 Vapauden määritelmä
7 Vapaus Kuten edellisen luvun lopussa mainittiin, seuraavaksi pyritään ratkaisemaan, onko annetussa aliavaruuden virittäjäjoukossa tarpeettomia vektoreita Jos tällaisia ei ole, virittäjäjoukkoa kutsutaan
Lisätiedota 2 ba = a a + ( b) a = (a + ( b))a = (a b)a, joten yhtälö pätee mielivaltaiselle renkaalle.
Harjoitus 10 (7 sivua) Ratkaisuehdotuksia/Martina Aaltonen Tehtävä 1. Mitkä seuraavista yhtälöistä pätevät mielivaltaisen renkaan alkioille a ja b? a) a 2 ba = (a b)a b) (a + b + 1)(a b) = a 2 b 2 + a
Lisätiedot= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120
Tehtävä 1 : 1 Merkitään jatkossa kirjaimella H kaikkien solmujoukon V sellaisten verkkojen kokoelmaa, joissa on tasan kolme särmää. a) Jokainen verkko G H toteuttaa väitteen E(G) [V]. Toisaalta jokainen
LisätiedotLineaariavaruudet. Span. Sisätulo. Normi. Matriisinormit. Matriisinormit. aiheita. Aiheet. Reaalinen lineaariavaruus. Span. Sisätulo.
Lineaariavaruudet aiheita 1 määritelmä Nelikko (L, R, +, ) on reaalinen (eli reaalinen vektoriavaruus), jos yhteenlasku L L L, ( u, v) a + b ja reaaliluvulla kertominen R L L, (λ, u) λ u toteuttavat seuraavat
Lisätiedot3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä
1 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a
Lisätiedotisomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta.
Tehtävä 2 : 1 Esitetään aluksi eräitä havaintoja. Jokaisella n Z + symbolilla H (n) merkitään kaikkien niiden verkkojen joukkoa, jotka vastaavat jotakin tehtävänannon ehtojen mukaista alkaanin hiiliketjua
Lisätiedot3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä
3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21
LisätiedotKuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160
Kuvaus Määritelmä Oletetaan, että X ja Y ovat joukkoja. Kuvaus eli funktio joukosta X joukkoon Y on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon X alkioon täsmälleen yhden alkion, joka kuuluu joukkoon Y. Merkintä
Lisätiedot14. Juurikunnat Määritelmä ja olemassaolo.
14. Juurikunnat Mielivaltaisella polynomilla ei välttämättä ole juuria tarkasteltavassa kunnassa. Tässä luvussa tutkitaan sellaisia algebrallisia laajennoksia, jotka saadaan lisäämällä polynomeille juuria.
LisätiedotVapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.
Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +
LisätiedotMääritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m )
Määritelmä 519 Olkoon T i L V i, W i, 1 i m Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m h v 1 v 2 v m T 1 v 1 T 2 v 2 T m v m 514 sanotaan olevan kuvausten T 1,, T m indusoima ja sitä
LisätiedotMiten osoitetaan joukot samoiksi?
Miten osoitetaan joukot samoiksi? Määritelmä 1 Joukot A ja B ovat samat, jos A B ja B A. Tällöin merkitään A = B. Kun todistetaan, että A = B, on päättelyssä kaksi vaihetta: (i) osoitetaan, että A B, ts.
LisätiedotHY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina klo
HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 10.8.2015 klo 16.15. Tehtäväsarja I Tutustu lukuun 15, jossa vektoriavaruuden
Lisätiedot{I n } < { I n,i n } < GL n (Q) < GL n (R) < GL n (C) kaikilla n 2 ja
5. Aliryhmät Luvun 4 esimerkeissä esiintyy usein ryhmä (G, ) ja jokin vakaa osajoukko B G siten, että (B, B ) on ryhmä. Määrittelemme seuraavassa käsitteitä, jotka auttavat tällaisten tilanteiden käsittelyssä.
Lisätiedot[E : F ]=[E : K][K : F ].
ALGEBRA II 35 Lause 4.4 (Astelukulause). Olkoot E/K/Fäärellisiä kuntalaajennuksia. Silloin [E : F ]=[E : K][K : F ]. Todistus. Olkoon {α 1,...,α n } kanta laajennukselle E/K ja {β 1,...,β m } kanta laajennukselle
LisätiedotDeterminantti 1 / 30
1 / 30 on reaaliluku, joka on määritelty neliömatriiseille Determinantin avulla voidaan esimerkiksi selvittää, onko matriisi kääntyvä a voidaan käyttää käänteismatriisin määräämisessä ja siten lineaarisen
Lisätiedot802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO
8038A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 016 Sisältö 1 Irrationaaliluvuista Antiikin lukuja 6.1 Kolmio- neliö- ja tetraedriluvut...................
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
LisätiedotYhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia
Yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia Voidaan osoittaa, että avaruuden R n vektoreilla voidaan laskea tuttujen laskusääntöjen mukaan. Huom. Lause tarkoittaa väitettä, joka voidaan perustella
LisätiedotTensorialgebroista. Jyrki Lahtonen A = A n. n=0. I n, I = n=0
Tensorialgebroista Esitysteorian kesäopintopiiri, Turun yliopisto, 2012 Jyrki Lahtonen Olkoon k jokin skalaarikunta. Kerrataan k-algebran käsite: A on k-algebra, jos se on sekä rengas että vektoriavaruus
LisätiedotR 1 = Q 2 R 2 + R 3,. (2.1) R l 2 = Q l 1 R l 1 + R l,
2. Laajennettu Eukleideen algoritmi Määritelmä 2.1. Olkoot F kunta ja A, B, C, D F [x]. Sanotaan, että C jakaa A:n (tai C on A:n jakaja), jos on olemassa K F [x] siten, että A = K C; tällöin merkitään
LisätiedotLineaariset ryhmät Pro gradu -tutkielma Miia Lillstrang Matematiikan yksikkö Oulun yliopisto 2016
Lineaariset ryhmät Pro gradu -tutkielma Miia Lillstrang 2187044 Matematiikan yksikkö Oulun yliopisto 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Esitietoja 3 1.1 Ryhmät.............................. 3 1.1.1 Ryhmä ja aliryhmä....................
LisätiedotOminaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus
Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Lause 17 Oletetaan, että A on n n -matriisi. Oletetaan, että λ 1,..., λ m ovat matriisin A eri ominaisarvoja, ja oletetaan, että v 1,..., v m ovat jotkin
Lisätiedot