Tekijä Pitkä Matematiikka 11 ratkaisut luku 2

Transkriptio

1 Tekijä Pitkä matematiikka a) Koska 8 = 4 7, luku 8 on jaollinen luvulla 4. b) Koska 104 = 4 6, luku 104 on jaollinen luvulla 4. c) Koska 4 0 = 80 < 8 ja 4 1 = 84 > 8, luku 8 ei ole jaollinen luvulla 4. d) Koska 3 = 4 8, luku 3 on jaollinen luvulla 4. Vastaus a) on, koska 8 = 4 7 b) on, koska 104 = 4 6 c) ei ole, koska 4 0 = 80 < 8 ja 4 1 = 84 > 8 d) on, koska 3 = 4 8

2 171 a) Koska 1 1 = 1 < 35 ja 1 = 4 > 35, luku 35 ei ole jaollinen luvulla 1. b) Koska 4 = 1 ( ), luku 4 on jaollinen luvulla 1. c) Koska 1 10 = 10 < 19 ja 1 11 = 31 > 19, luku 19 ei ole jaollinen luvulla 1. d) Koska 105 = 1 ( 5), luku 105 on jaollinen luvulla 1. Vastaus a) ei, koska 1 1 = 1 < 35 ja 1 = 4 > 35 b) on, koska 4 = 1 ( ) c) ei, koska 1 10 = 10 < 19 ja 1 11 = 31 > 19 d) on, koska 105 = 1 ( 5)

3 17 a) Huomataan, että 10 = 0 ja 7 0 = 7. Luku 10 menee 7:ään kertaa, ja yli jää 7. Jakolaskun 7 : 10 osamäärä on ja jakojäännös 7. Jakoyhtälö on 7 = b) Huomataan, että = 300 ja = 5. Luku 100 menee 305:een 3 kertaa, ja yli jää 5. Jakolaskun 305 : 100 osamäärä on 3 ja jakojäännös 5. Jakoyhtälö on 305 = c) Huomataan, että = 9000 ja = 999. Luku 1000 menee 9999:ään 9 kertaa, ja yli jää 999. Jakolaskun 9999 : 1000 osamäärä on 9 ja jakojäännös 999. Jakoyhtälö on 9999 = Vastaus a) osamäärä, jakojäännös 7 ja jakoyhtälö 7 = b) osamäärä 3, jakojäännös 5 ja jakoyhtälö 305 = c) osamäärä 9, jakojäännös 999 ja jakoyhtälö 9999 =

4 173 a) Huomataan, että 5 7 = 35 ja = 1. Luku 5 menee 36:een 7 kertaa, ja yli jää 1. Jakolaskun 36 : 5 osamäärä on 7 ja jakojäännös 1. Jakoyhtälö on 36 = b) Huomataan, että 5 14 = 70 ja 7 70 =. Luku 5 menee 7:een 14 kertaa, ja yli jää. Jakolaskun 7 : 5 osamäärä on 14 ja jakojäännös. Jakoyhtälö on 7 = c) Huomataan, että 50 = 0 ja 3 0= 3. Luku 5 menee 3:een 0 kertaa, ja yli jää 3. Jakolaskun 3 : 5 osamäärä on 0 ja jakojäännös 3. Jakoyhtälö on 3=

5 d) Huomataan, että 5 0 = 100 ja = 4. Luku 5 menee 104:ään 0 kertaa, ja yli jää 4. Jakolaskun 104 : 5 osamäärä on 0 ja jakojäännös 4. Jakoyhtälö on 104 = Vastaus a) osamäärä 7, jakojäännös 1 ja jakoyhtälö on 36 = b) osamäärä 14, jakojäännös ja jakoyhtälö on 7 = c) osamäärä 0, jakojäännös 3 ja jakoyhtälö on 3= d) osamäärä 0, jakojäännös 4 ja jakoyhtälö on 104 =

6 174 a) Huomataan, että 1: 3 = 7 Luku 3 menee 1:een 7 kertaa ja jako menee tasan. Siis 1 = b) Laskimella saadaan 43: 3 = 14, Etsitään suurin luvun 3 monikerta, joka on pienempi kuin = 4 < = 45 > 43 Lasketaan lukujen 43 ja 4 erotus: 43 4 = 1 Siis 43 = c) Laskimella saadaan 8 : 3 = 9, Etsitään suurin luvun 3 monikerta, joka on pienempi kuin 8. 3 ( 9) = 7 > 8 3 ( 10) = 30 < 8 Lasketaan lukujen 8 ja 30 erotus: 8 ( 30) = Siis 8 = 3 ( 10) +.

7 d) Laskimella saadaan 44 : 3 = 14, Etsitään suurin luvun 3 monikerta, joka on pienempi kuin ( 14) = 4 > 44 3 ( 15) = 45 < 44 Lasketaan lukujen 44 ja 45 erotus: 44 ( 45) = 1 Siis 44 = 3 ( 15) + 1. Vastaus a) 1 = b) 43 = c) 8 = 3 ( 10) + d) 44 = 3 ( 15) + 1

8 175 a) Saadaan 4 :10 =, 4 Etsitään suurin luvun 10 monikerta, joka on pienempi kuin = 0 < = 30 > 4 Lasketaan lukujen 4 ja 0 erotus: 4 0 = 4. Siis 4 = b) Saadaan 541:10 = 54,1 Etsitään suurin luvun 10 monikerta, joka on pienempi kuin = 540 < = 550 > 541 Lasketaan lukujen 541 ja 540 erotus: = 1. Siis 541 =

9 c) Saadaan 8 :10 =,8 Etsitään suurin luvun 10 monikerta, joka on pienempi kuin ( ) = 0 > 8 10 ( 3) = 30 < 8 Lasketaan lukujen 8 ja 30 erotus: 8 ( 30) =. Siis 8 = 10 ( 3) +. d) Saadaan 91:10 = 9,1 Etsitään suurin luvun 10 monikerta, joka on pienempi kuin ( 9) = 90 > ( 10) = 100 < 91 Lasketaan lukujen 91 ja 100 erotus: 91 ( 100) = 9. Siis 91 = 10 ( 10) + 9. Vastaus a) 4 = b) 541 = c) 8 = 10 ( 3) + d) 91 = 10 ( 10) + 9

10 176 a) Laskimella saadaan 37 :15 =, Etsitään suurin luvun 15 monikerta, joka on pienempi kuin = 30 < = 45 > 4 Lasketaan lukujen 37 ja 30 erotus: = 7. Siis 37 = b) Laskimella saadaan 6 :15 = 0, 4 Etsitään suurin luvun 15 monikerta, joka on pienempi kuin = 0 < = 15 > 6 Lasketaan lukujen 6 ja 0 erotus: 6 0= 6. Siis 6 =

11 c) Laskimella saadaan 4 :15 = 14, Etsitään suurin luvun 15 monikerta, joka on pienempi kuin ( 14) = 10 > 4 15 ( 15) = 5 < 4 Lasketaan lukujen 4 ja 5 erotus: 4 ( 5) = 1. Siis 4 = 15 ( 15) + 1. d) Laskimella saadaan 18 :15 = 8, Etsitään suurin luvun 15 monikerta, joka on pienempi kuin ( 8) = 10 > ( 9) = 135 < 18 Lasketaan lukujen 18 ja 135 erotus: 18 ( 135) = 7. Siis 18 = 15 ( 9) + 7. Vastaus a) 37 = b) 6 = c) 4 = 15 ( 15) + 1 d) 18 = 15 ( 9) + 7

12 177 Jos kokonaisluvuista pienintä merkitään kirjaimella k, niin sitä seuraavat 4 kokonaislukua ovat k + 1, k +, k + 3, k + 4. Oletus Luku k on kokonaisluku. Väite Summa k + ( k + 1) + ( k + ) + ( k + 3) + ( k + 4) on jaollinen luvulla 5. Todistus Summa k + ( k + 1) + ( k + ) + ( k + 3) + ( k + 4) on aritmeettinen, koska kahden peräkkäisen termin erotus on aina yksi. Summassa on 5 termiä. Ensimmäinen termi on k ja viimeinen on k + 4. k + ( k + 1) + ( k + ) + ( k + 3) + ( k + 4) ( k + ( k + 4)) =5 ( = 5 k + 4 = 5 ( k + ) Koska luku k + on kokonaisluku, luku 5 ( k + ) on jaollinen luvulla 5. Siis 5:n peräkkäisen kokonaisluvun summa on jaollinen luvulla 5.

13 178 a) Oletus Luku a on jaollinen luvulla 8 ja luku b on jaollinen luvulla 1. Väite Luku a + b on jaollinen luvulla 7. Todistus Koska luku a on jaollinen luvulla 8, voidaan merkitä a = 8q ja koska luku b on jaollinen luvulla 1, voidaan merkitä b= 1r. Luvut q ja r ovat kokonaislukuja. Muodostetaan summa a + b. a+ b= 8q+ 1r = 7 4q+ 7 3r ( ( Erotetaan 7 yhteiseksi tekijäksi. = 7 (4q+ 3 r) Koska luku 4q+ 3r on kokonaisluku, luku 5 ( k + ) on jaollinen luvulla 7. Siis luku a + b on jaollinen luvulla 7.

14 b) Oletus Luku a on jaollinen luvulla 8 ja luku b on jaollinen luvulla 1. Väite Luku ab on jaollinen luvulla 1. Todistus Koska luku a on jaollinen luvulla 8, voidaan merkitä a = 8q ja koska luku b on jaollinen luvulla 1, voidaan merkitä b= 1r. Luvut q ja r ovat kokonaislukuja. Muodostetaan tulo ab. ab = 8q 1r = 7 4 q 7 3 r = 1 49 qr Koska luku 49 qr on kokonaisluku, luku 1 49 qr on jaollinen luvulla 1. Siis luku ab on jaollinen luvulla 1.

15 179 Oletus Luku n on kokonaisluku. Väite Luku nn ( + 8) on jaollinen luvulla 3. Todistus Jakoyhtälön nojalla jokainen kokonaisluku n voidaan esittää muodossa n = 3 q, n = 3q+ 1 tai n = 3q +, missä q on kokonaisluku. Sijoitetaan nämä yksi kerrallaan lausekkeeseen nn ( + 8). n 3q 3q + 1 3q + 3 q((3 q) + 8) = 3 q(9 q + 8) nn ( + 8) (3q+ 1)((3q+ 1) + 8) = (3q+ 1)((3 q) + 3 q ) = (3q+ 1) (9q + 6q+ 9) (( ( ( Erotetaan 3 yhteiseksi tekijäksi. = (3q+ 1) 3 (3q + q+ 3) = 3 (3q+ 1)(3q + q+ 3) (3q+ )((3q+ ) + 8) = (3q+ )((3 q) + 3q + + 8) = (3q+ ) (9q + 1q+ 1) (( (( Erotetaan 3 yhteiseksi tekijäksi. = (3q+ ) 3 (3q + 4q+ 4) = 3 (3q+ )(3q + 4q+ 4) Jokaisessa tapauksessa luku nn ( + 8) voidaan esittää kokonaislukujen tulona niin, että yksi tulon tekijöistä on luku 3. Siis nn ( + 8) on aina jaollinen luvulla 3.

16 180 a) Koska 6 6 = 36 < 38 ja 6 7 = 4 > 38, luku 38 ei ole jaollinen luvulla 6. b) Koska 7 = 6 1, luku 7 on jaollinen luvulla 6. c) Koska 6 ( 8) = 48 > 5 ja 6 ( 9) = 54 < 5, luku 5 ei ole jaollinen luvulla 6. d) Koska 10 = 6 17, luku 10 on jaollinen luvulla 6. Vastaus a) ei, koska 6 6 = 36 < 38 ja 6 7 = 4 > 38 b) on, koska 7 = 6 1 c) ei, koska 6 ( 8) = 48 > 5 ja 6 ( 9) = 54 < 5 d) on, koska 10 = 6 17

17 181 a) Koska 016 = 4 504, vuosi 016 oli karkausvuosi. b) Koska = 1996 < 1998 ja = 000 > 1998, vuosi 1998 ei ollut karkausvuosi. c) Koska 1880 = 4 470, vuosi 1880 oli karkausvuosi. d) Koska = 1600 < 1800 ja = 000 > 1800, vuosi 1800 ei ollut karkausvuosi. e) Koska 000 = 400 5, vuosi 000 oli karkausvuosi. Vastaus a) on b) ei c) on d) ei e) on

18 18 a) Huomataan, että 5 = 50 ja = 1. Luku menee 51:een 5 kertaa, ja yli jää 1. Jakolaskun 51 : osamäärä on 5 ja jakojäännös 1. Jakoyhtälö on 51 = b) Huomataan, että 3 31 = 93. Luku 3 menee 93:een 31 kertaa, ja yli jää 0. Jakolaskun 93 : 3 osamäärä on 31 ja jakojäännös 0 Jakoyhtälö on 93 = c) Huomataan, että 4 5 = 100 ja = 3. Luku 4 menee 103:een 5 kertaa, ja yli jää 3. Jakolaskun 103 : 4 osamäärä on 5 ja jakojäännös 3. Jakoyhtälö on 103 =

19 d) Huomataan, että 8 15 = 1000 ja = 5. Luku 8 menee 1005:een 15 kertaa, ja yli jää 5. Jakolaskun 1005 : 8 osamäärä on 15 ja jakojäännös 5. Jakoyhtälö on 1005 = Vastaus a) osamäärä 5, jakojäännös 1 ja jakoyhtälö on 51 = b) osamäärä 31, jakojäännös 0 ja jakoyhtälö on 93 = c) osamäärä 5, jakojäännös 3 ja jakoyhtälö on 103 = d) osamäärä 15, jakojäännös 5 ja jakoyhtälö on 1005 =

20 183 a) Laskimella saadaan 111:10 = 11,1 Etsitään suurin luvun 10 monikerta, joka on pienempi kuin = 110 < = 10 > 111 Lasketaan lukujen 111 ja 110 erotus: = 1 Siis 111 = b) Huomataan, että 1000 :10 = 100 Luku 10 menee 1000:een 100 kertaa ja jako menee tasan. Siis 1000 = c) Laskimella saadaan 109 :10 = 10,9 Etsitään suurin luvun 10 monikerta, joka on pienempi kuin ( 10) = 100 > ( 11) = 110 < 109 Lasketaan lukujen 109 ja 110 erotus: 109 ( 110) = 1 Siis 109 = 10 ( 11) + 1.

21 d) Laskimella saadaan 998 :10 = 99,8 Etsitään suurin luvun 10 monikerta, joka on pienempi kuin 10 ( 99) = 990 > ( 99) = 990 > ( 100) = 1000 < 998 Lasketaan lukujen 998 ja 1000 erotus: 998 ( 1000) = Siis 998 = 10 ( 100) +. Vastaus a) 111 = b) 1000 = c) 109 = 10 ( 11) + 1 d) 998 = 10 ( 100) +

22 184 a) Laskimella saadaan 37 :18 =, Etsitään suurin luvun 18 monikerta, joka on pienempi kuin = 36 < = 54 > 37 Lasketaan lukujen 37 ja 36 erotus: = 1 Siis 37 = b) Huomataan, että 6 :18 = 0, Etsitään suurin luvun 18 monikerta, joka on pienempi kuin = 0 < = 18 > 6 Lasketaan lukujen 6 ja 0 erotus: 6 0= 6 Siis 6 =

23 c) Laskimella saadaan 15:18 = 11, Etsitään suurin luvun 18 monikerta, joka on pienempi kuin = 198 < = 16 > 15 Lasketaan lukujen 15 ja 198 erotus: = 17 Siis 15 = d) Laskimella saadaan 18 :18 = 7, Etsitään suurin luvun 18 monikerta, joka on pienempi kuin ( 7) = 16 > ( 8) = 144 < 18 Lasketaan lukujen 18 ja 144 erotus: 18 ( 144) = 16 Siis 18 = 18 ( 8) Vastaus a) 37 = b) 6 = c) 15 = d) 18 = 18 ( 8) + 16

24 185 a) Oletus c a, kun a on kokonaisluku ja c on positiivinen kokonaisluku. Väite c na, kun n on kokonaisluku. Todistus Oletuksen mukaan c a eli luku a on jaollinen luvulla c. Voidaan siis kirjoittaa: a = Sijoitetaan saatu arvo tuloon na. na = ncq = cnq cq, kun q on kokonaisluku. Nyt na = cnq eli luku na on jaollinen luvulla c. Väite c na pitää paikkansa.

25 b) Oletus c a ja c b, kun a ja b ovat kokonaislukuja ja c on positiivinen kokonaisluku. Väite c a+ b. Todistus Oletuksen mukaan c a eli luku a on jaollinen luvulla c ja c b eli luku b on jaollinen luvulla c. Voidaan siis kirjoittaa: a = cq ja b = cr, kun q ja r ovat kokonaislukuja. Sijoitetaan saadut arvot summaan a+ b. a + b = cq + cr Erotetaan c yhteiseksi tekijäksi. = cq ( + r) Nyt a+ b= cq ( + r ) eli luku a+ b on jaollinen luvulla c. Väite c a+ b pitää paikkansa.

26 c) Oletus c a ja c / b, kun a ja b ovat kokonaislukuja ja c on positiivinen kokonaisluku. Väite c / a+ b. Todistus Oletuksen mukaan c a eli luku a on jaollinen luvulla c ja c / b eli luku b ei ole jaollinen luvulla c. Oletetaan vastoin väitettä, että c a+ b. Tällöin a + b = cq, kun q on kokonaisluku. Ratkaistaan saadusta yhtälöstä b. a + b = cq b = cq a b = cq cr b= cq ( r) Koska a on jaollinen c:llä, a = cr, kun r Z. Nyt b= cq ( + r ) eli luku b on jaollinen luvulla c. On päädytty ristiriitaan, sillä edellä todettiin, että b ei ole jaollinen luvulla c. Väite c / a+ b pitää paikkansa.

27 186 Oletus Luku n on kokonaisluku. Väite Luku ( n+ 1) ( n 1) on jaollinen luvulla 4. Todistus Sievennetään luku ( n+ 1) ( n 1). ( n+ 1) ( n 1) = n + n+ 1 ( n n+ 1) = n + n+ 1 n + n 1 = 4n Saatiin ( n+ 1) ( n 1) = 4n Eli luku ( n+ 1) ( n 1) on jaollinen luvulla 4.

28 187 Oletus Luku n on kokonaisluku. Väite Luku nn ( + 1)(n + 1) on jaollinen luvulla 6. Todistus Jakoyhtälön nojalla jokainen kokonaisluku n voidaan esittää muodossa n = 6 q, n = 6q+ 1, n = 6q +, n = 6q+ 3, n = 6q+ 4, n = 6q + 5, missä q on kokonaisluku.

29 Sijoitetaan nämä yksi kerrallaan lausekkeeseen nn ( + 1)(n + 1). n nn ( + 1)(n + 1) 6q 6 q(6q+ 1)( 6q + 1) (6q+ 1)((6q+ 1) + 1)((6q+ 1) + 1) = (6q+ 1) (6q+ )(1q+ + 1) 6q + 1 6q + 6q + 3 Kerrotaan keskenään. = (6q+ 1) (7q + 18q+ 4q+ 6) = (6q+ 1) 6 (1q + 7q+ 6) ((( ((( Erotetetaan 6 yhteiseksi tekijäksi. = 6 (6q+ 1)(1q + 7 q+ 6) (( (( (6q+ )((6q+ ) + 1)((6q+ ) + 1) = (6q+ )(6q+ 3) (( ( ( (1q+ 5) Kerrotaan keskenään. = ( 36q + 18q+ 1q+ 6 )(1q+ 5) = 6 (6q + 5q+ 1)(1q+ 5) ( ( ((( Otetaan 6 yhteiseksi tekijäksi. (6q+ 3)((6q+ 3) + 1)((6q+ 3) + 1) = (6q+ 3)(6q+ 4) (1q+ 7) (( ( ( Kerrotaan keskenään. = ( 36q + 4q+ 18q+ 1 ((( ((( )(1q+ 7) = 6 (6q + 7q+ )(1q+ 7) Erotetaan 6 yhteiseksi tekijäksi. (6q+ 4)((6q+ 4) + 1)((6q+ 4) + 1) = (6q+ 4)(6q+ 5)(1q+ 9) 6q + 4 6q + 5 = (6q+ 4)(1q+ 9) (6q+ 5) = ( (( (( 7q + 54q+ 48q+ 36 ((( ((( )(6q+ 5) Kerrotaan keskenään. Erotetaan 6 yhteiseksi tekijäksi. = 6 (1q + 17q+ 6)( 6 q+ 5) (6q+ 5)((6q+ 5) + 1)((6q+ 5) + 1) = (6q+ 5)( 6q+ 6 )(1q+ 11) Erotetaan 6 yhteise si te ijä si. = (6q+ 5) 6 ( q+ 1)(1q+ 11) = 6 (6q+ 5)( q+ 1)( 1 q+ 11)

30 Jokaisessa tapauksessa luku nn ( + 1)(n + 1) voidaan esittää kokonaislukujen tulona niin, että yksi tulon tekijöistä on luku 6. Siis nn ( + 1)(n + 1) on aina jaollinen luvulla 6.

31 188 Oletus Luku n + 1 on pariton kokonaisluku. Väite Luku (n + 1) 1 on jaollinen luvulla 8. Todistus Jotta luku on jaollinen luvulla 8 sen pitää olla jaollinen sekä luvulla että myös luvulla 4. Muokataan lukua (n + 1) 1. (n+ 1) 1 = 4 ( n + ( 4n Erotetaan 4n yhteiseksi tekijäksi. = 4 nn ( + 1) Saatiin (n + 1) 1 = 4 n ( n + 1) eli luku (n + 1) 1 on jaollinen luvulla 4. Luvut n ja n + 1 ovat peräkkäisiä kokonaislukuja. Tällöin toinen niistä on välttämättä pariton ja toinen parillinen. Eli luku (n + 1) 1 on jaollinen myös luvulla. Koska luku (n + 1) 1 on jaollinen luvulla 4 ja lisäksi jaollinen luvulla, luku (n + 1) 1 on jaollinen luvulla 8.

32 189 Oletus Väite Todistus Summa muodostuu parittomasta määrästä peräkkäisiä kokonaislukuja. Summa on jaollinen yhteenlaskettavien lukumäärällä. Jos summa muodostuu parittomasta määrästä peräkkäisiä kokonaislukuja, summassa on n + 1 yhteenlaskettavaa. Summa voidaan kirjoittaa: k + ( k + 1) + ( k + ) ( k + n ) (((((( (((((( n+ 1 kpl Sievennetään summa. k + ( k + 1) + ( k + ) ( k + n) (((((( (((((( Aritmeettinen summa, jossa 1. yhteenlaskettava on k, viimein k+ n ja yhteenlaskettavia on yhteensä n+ 1. k + ( k + n) = (n + 1) = (n + 1) k + n = (n + 1) ( k + n) k + ( k + 1) + ( k + ) ( k + n) = (n+ 1)( k + n ) eli kun lasketaan yhteen pariton määrä peräkkäisiä kokonaislukuja, muodostuva summa on jaollinen yhteenlaskettavien lukumäärällä.

33 190 Oletus Väite Todistus Summa muodostuu parillisesta määrästä peräkkäisiä kokonaislukuja. Summa ei ole jaollinen yhteenlaskettavien lukumäärällä. Jos summa muodostuu parillisesta määrästä peräkkäisiä kokonaislukuja, summassa on n yhteenlaskettavaa. Summa voidaan kirjoittaa: k + ( k + 1) + ( k + ) ( k + n 1) (((((( (((((( n kpl Sievennetään summa. k + ( k + 1) + ( k + ) ( k + n 1) (((((( (((((( Aritmeettinen summa, jossa 1. yhteenlaskettava on k, viimein k+ n 1 ja yhteenlaskettavia on yhteensä n. k + ( k + n 1) = ( n) = ( n) k + n 1 = ( n)( k + n 1 ) Saatiin: k + ( k + 1) + ( k + ) ( k + n 1) = ( n)( k + n 1 ) Koska ( k + n 1 ) ei ole kokonaisluku, summa ei ole jaollinen yhteenlaskettavien lukumäärällä.

34 191 a) Oletus Luku a3 + b 3, jossa a ja b ovat kokonaislukuja, on jaollinen luvulla 3. Väite Luku ( a+ b ) 3 on jaollinen luvulla 3. Todistus Jos luku a3 + b 3, jossa a ja b ovat kokonaislukuja, on jaollinen luvulla 3, niin a3 + b3 = 3q (q on kokonaisluku). Sievennetään luku ( a+ b ) 3. binomin kuutio ( a + b) = a ((( ((( + 3a b + 3ab + b ( ( 3 3 Hyödynnetään tietoa a + b = 3 q. = 3q + 3a b + 3ab (( (( Erotetaan luku 3 yhteiseksi tekijäksi. = 3( q + a b + ab ) Saatiin: ( a + b) 3 = 3( q + ab + ab ) Eli ( a+ b) 3on jaollinen luvulla 3.

35 b) Oletus Luku ( a+ b ) 3, jossa a ja b ovat kokonaislukuja, on jaollinen luvulla 3. Väite Luku a3 + b 3 on jaollinen luvulla 3. Todistus Jos luku ( a+ b ) 3, jossa a ja b ovat kokonaislukuja, on jaollinen luvulla 3, niin ( a+ b) 3 = 3q (q on kokonaisluku). Ratkaistaan a3 + b 3 binomin kuution lausekkeesta ( a + b) = a + 3a b + 3ab + b q a + b = ( a + b) 3a b 3ab ( ( 3 3 a + b = 3q 3a b 3ab (( (( 3 3 Erotetaan luku 3 yhteiseksi tekijäksi. a + b = 3( q a b ab ) Saatiin: a3 + b3 = 3( q ab ab ) Eli a3 + b 3 on jaollinen luvulla 3.

36 19 Väite Luku on jaollinen luvulla 3. Todistus Tehtävässä 191 on todistettu, että jos luku ( a+ b ) 3, jossa a ja b ovat kokonaislukuja, on jaollinen luvulla 3, myös luku a3 + b 3 on jaollinen luvulla 3. Tutkitaan, onko luku ( ) 3 jaollinen luvulla ( ) = 3000 ( ab) = a b = (3 1000) ( ( n n n = = Koska luku ( ) 3 on jaollinen luvulla 3, on myös luku jaollinen luvulla 3.

37 193 Oletus Luku n on luonnollinen luku. Väite 3n+ 1+ n + on jaollinen luvulla 7 on tosi kaikilla n = 0, 1,,. Todistus 1) Alkuaskel Osoitetaan väite todeksi alkuarvolla eli kun n = = 3+ 4= 7 Väite on tosi, kun n = 0. ) Induktioaskel Induktio-oletus: 3n+ 1+ n + on jaollinen luvulla 7 eli 3n+ 1+ n+ = 7k (k on kokonaisluku) on tosi mielivaltaisella n = 0, 1,.... Induktioväite: 3( n+ 1) ( n + 1) + on jaollinen luvulla 7.

38 Induktioväitteen todistus: Muokataan induktioväitettä hyödyntämällä tietoa n+ 1 n+ n+ n = 7 k eli = 7k 3. ( n+ 1) + 1 ( n+ 1) + n+ + 1 n = 3 + n+ 1 n+ = n+ = 1 n+ 1 n+ 1 = (7 3 ) n+ 1 n+ 1 = n+ 1 = 7 (( 3 + ( ( 7 Erotetaan lu u 7 yhteise si te ijä si. n+ 1 = 7 (3 + ) Saatiin ( + 1) + 1 ( + 1) n n + n = 7 (3 n + k ). 3 k on kokonaisluku, kun k on kokonaisluku ja n on luonnollinen luku. Induktioväite siis on tosi. On todistettu alkuaskel ja induktioaskel. Alkuperäinen väite on näin todistettu.

39 194 a) Jaetaan luku 96 luvulla 3 ja esitetään tulos jakoyhtälönä. 96 = syt(96, 3) = 3 Viimeinen nollaa suurempi jakojäännös on kysytty suurin yhteinen tekijä. Siis syt(96, 3) = 3. b) Jaetaan luku 45 luvulla 18 ja esitetään tulos jakoyhtälönä. 45 = syt(45, 18) = syt(18, 9) Jaetaan jakaja 18 jakojäännöksellä 9 ja esitetään tulos jakoyhtälönä. 18 = syt(18, 9) = 9 Viimeinen nollaa suurempi jakojäännös on kysytty suurin yhteinen tekijä. Siis syt(45, 18) = 9.

40 c) Jaetaan luku 450 luvulla 4 ja esitetään tulos jakoyhtälönä. 450 = syt(450, 4) = syt(4, 30) Jaetaan jakaja 4 jakojäännöksellä 30 ja esitetään tulos jakoyhtälönä. 4 = syt(4, 30) = syt(30, 1) Jaetaan jakaja 30 jakojäännöksellä 1 ja esitetään tulos jakoyhtälönä. 30 = syt(30, 1) = syt(1, 6) Jaetaan jakaja 1 jakojäännöksellä 6 ja esitetään tulos jakoyhtälönä. 1 = syt(1, 6) = 6 Viimeinen nollaa suurempi jakojäännös on kysytty suurin yhteinen tekijä. Siis syt(450, 4) = 6. Vastaus: a) 3 b) 9 c) 6

41 195 a) Jaetaan luku 160 luvulla 54 ja esitetään tulos jakoyhtälönä. 160 = syt(160, 54) = syt(54, 5) Jaetaan jakaja 54 jakojäännöksellä 5 ja esitetään tulos jakoyhtälönä. 54 = syt(54, 5) = syt(5, ) Jaetaan jakaja 5 jakojäännöksellä ja esitetään tulos jakoyhtälönä. 5 = syt(5, ) = Viimeinen nollaa suurempi jakojäännös on kysytty suurin yhteinen tekijä. Siis syt(160, 54) =.

42 b) Jaetaan luku 69 luvulla 111 ja esitetään tulos jakoyhtälönä. 69 = syt(69, 111) = syt(111, 74) Jaetaan jakaja 111 jakojäännöksellä 74 ja esitetään tulos jakoyhtälönä. 111 = syt(111, 74) = syt(74, 37) Jaetaan jakaja 74 jakojäännöksellä 37 ja esitetään tulos jakoyhtälönä. 74 = syt(74, 37) = 37 Viimeinen nollaa suurempi jakojäännös on kysytty suurin yhteinen tekijä. Siis syt(69, 111) = 37. Vastaus: a) b) 37

43 196 a) Muodostetaan jakoyhtälöt. 495 = syt(495, 364) = syt(364, 131) 364 = syt(364, 131) = syt(131, 10) 131 = syt(131, 10) = syt(10, 9) 10 = syt(10, 9) = syt(9, 15) 9 = syt(9, 15) = syt(15, 14) 15 = syt(15, 14) = syt(14, 1) 14 = syt(14, 1) = 1 Saatiin syt(495, 364) = 1. b) Koska lukujen 364 ja 495 ainoa yhteinen tekijä on 1, niin murtolukua 364 ei voi supistaa. 495 Vastaus: a) syt(364, 495) = 1 b) ei voi supistaa

44 197 Etsitään Eukleideen algoritmin avulla suurin luku, jolla murtoluku 168 voidaan supistaa. 18 Muodostetaan jakoyhtälöt. 18 = syt(18, 168) = syt(168, 14) 168 = syt(168, 14) = 14 Saatiin syt(18, 168) = 14. Eli 14 on suurin luku, jolla murtoluku 168 voidaan supistaa. 18 Vastaus: 14

45 198 a) Määritetään ensin lukujen suurin yhteinen tekijä Eukleideen algoritmilla. 18 = syt(18, 140) = syt(140, 4) 140 = syt(140, 4) = syt(4, 14) 4 = syt(4, 14) = 14 Saatiin syt(18, 140) = 14. Lasketaan seuraavaksi lukujen pienin yhteinen monikerta = = 180 pym( ab, )= ab syt( ab, ) b) Määritetään ensin lukujen suurin yhteinen tekijä Eukleideen algoritmilla. 300 = syt(300, 55) = syt(55, 45) 55 = syt(55, 45) = syt(45, 30) 45 = syt(45, 30) = syt(30, 15) 30 = syt(30, 15) = 15 Saatiin syt(300, 55) = 15. Lasketaan seuraavaksi lukujen pienin yhteinen monikerta Vastaus: a) 1800 b) 5100 = 0 55 = 5100 pym( ab, )= ab syt( ab, )

46 199 a) Etsitään luvuille 116 ja 87 pienin yhteinen monikerta. Määritetään ensin lukujen suurin yhteinen tekijä Eukleideen algoritmilla. 116 = syt(116, 87) = syt(87, 9) 87 = syt(87, 9) = 9 Saatiin syt(116, 87) = 9. Lasketaan seuraavaksi lukujen pienin yhteinen monikerta = = 348 pym( ab, )= ab st y( ab, ) Selvitetään laventajat = = 348 = 4 87 = Yhteinen nimittäjä on 348. Laventajat ovat 3 ja 4. 3) 4) 1 = 3 1 =

47 b) Etsitään luvuille 70 ja 5 pienin yhteinen monikerta. Määritetään ensin lukujen suurin yhteinen tekijä Eukleideen algoritmilla. 70 = syt(70, 5) = syt(5, 0) 5 = syt(5, 0) = syt(0, 5) 0 = syt(0, 5) = 5 Saatiin syt(70, 5) = 5. Lasketaan seuraavaksi lukujen pienin yhteinen monikerta = 70 5 = 350 pym( ab, )= ab syt( ab, ) Selvitetään laventajat = 70 5 = = 14 5 = Yhteinen nimittäjä on 350. Laventajat ovat 5 ja 14. 5) 14) 3 = 15 4 = Vastaus: a) yhteinen nimittäjä 348, laventajat 3 ja 4. b) yhteinen nimittäjä 350, laventajat 5 ja 14

48 00 Tumman neliön sivu on lukujen 378 ja 180 pienin yhteinen monikerta eli pym(378, 180) Selvitetään ensin lukujen suurin yhteinen tekijä Eukleideen algoritmilla. 378 = syt(378, 180) = syt(180, 18) 180 = syt(180, 18) = 18 Saatiin syt(378, 180) = 18. Lasketaan seuraavaksi lukujen pienin yhteinen monikerta = 3780 pym( ab, ) = ab syt( ab, ) Neliön sivun pituus on siis 3780 mm. Neliön ala on siten: 3780 mm 3780 mm = mm 14,3 m. Selvitetään pienimmän yhteisen monikerran lauseketta laventamalla neliön sivuihin tarvittavien laattojen määrät: = = = = 3780 Laattoja tarvitaan 1 10 = 10. Vastaus: 10 laattaa, pinta-ala 14,3 m

49 01 Määritetään lukujen 70, 315 ja 133 suurin yhteinen tekijä syt abc,, = syt syt ab,, c. ( ) hyödyntämällä tietoa: ( ) ( ) syt(70, 315, 133) = syt(syt(70, 315), 133) Selvitetään ensin lukujen 70 ja 315 suurin yhteinen tekijä. 315 = syt(315, 70) = syt(70, 35) 70 = syt(70, 35) = 35 Saatiin syt(315, 70) = 35. Selvitetään lukujen 35 ja 133 suurin yhteinen tekijä. 133 = syt(133, 35) = syt(35, 8) 35 = syt(35, 8) = syt(8, 7) 8 = syt(8, 7) = 7 Saatiin syt(133, 35) = 7. Eli syt(70, 315, 133) = 7. Vastaus: 7

50 0 a) Jaetaan luku 0 luvulla 10 ja esitetään tulos jakoyhtälönä. 0 = syt(0, 10) = syt(10, 100) Jaetaan jakaja 10 jakojäännöksellä 100 ja esitetään tulos jakoyhtälönä. 10 = syt(10, 100) = syt(100, ) Jaetaan jakaja 100 jakojäännöksellä ja esitetään tulos jakoyhtälönä. 100 = syt(100, ) = Viimeinen nollaa suurempi jakojäännös on kysytty suurin yhteinen tekijä. Siis syt(0, 10) =.

51 b) Jaetaan luku 308 luvulla 165 ja esitetään tulos jakoyhtälönä. 308 = syt(308, 165) = syt(165, 143) Jaetaan jakaja 165 jakojäännöksellä 143 ja esitetään tulos jakoyhtälönä. 165 = syt(165, 143) = syt(143, ) Jaetaan jakaja 143 jakojäännöksellä ja esitetään tulos jakoyhtälönä. 143 = syt(143, ) = syt(, 11) Jaetaan jakaja 1 jakojäännöksellä 6 ja esitetään tulos jakoyhtälönä. = syt(, 11) = 11 Viimeinen nollaa suurempi jakojäännös on kysytty suurin yhteinen tekijä. Siis syt(308, 165) = 11. Vastaus: a) b) 11

52 03 a) Ratkaistaan Eukleideen algoritmilla = syt(9614, 11055) = syt(11055, 7504) = syt(11055, 7504) = syt(7504, 3551) 7504 = syt(7504, 3551) = syt(3551, 40) 3551 = syt(3551, 40) = syt(40, 335) 40 = syt(40, 335) = syt(335, 67) 335 = syt(335, 67) = 67 Viimeinen nollaa suurempi jakojäännös on kysytty suurin yhteinen tekijä. Siis syt(9 614, ) = 67. b) Koska syt(9 614, 11055) = 67, murtolausekkeen voi supistaa luvulla 67. Vastaus: a) 67 b) Voi supistaa luvulla 67.

53 04 a) Määritetään ensin lukujen suurin yhteinen tekijä Eukleideen algoritmilla. 396 = syt(396, 363) = syt(363, 33) 363 = syt(363, 33) = 33 Saatiin syt(396, 363) = 33. Lasketaan seuraavaksi lukujen pienin yhteinen monikerta = = 4356 pym( ab, )= ab syt( ab, ) Saatiin pym(396, 363) = 4356.

54 b) Määritetään ensin lukujen suurin yhteinen tekijä Eukleideen algoritmilla. 504 = syt(504, 30) = syt(30, 184) 30 = syt(30, 184) = syt(184, 136) 184 = syt(184, 136) = syt(36, 4) 136 = syt(136, 48) = syt(48, 40) 48 = syt(48, 40) = syt(40, 8) 40 = syt(40, 8) = 8 Saatiin syt(504, 30) = 8. Lasketaan seuraavaksi lukujen pienin yhteinen monikerta = = 0160 pym( ab, )= ab syt( ab, ) Saatiin pym(504, 30) = 0160 Vastaus: a) 4356 b) 0160

55 05 a) Etsitään luvuille 130 ja 49 pienin yhteinen monikerta. Määritetään ensin lukujen suurin yhteinen tekijä Eukleideen algoritmilla. 49 = syt(49, 130) = syt(130, 39) 130 = syt(130, 39) = syt(39, 13) 39 = syt(39, 13) = 13 Saatiin syt(49, 130) = 13. Lasketaan seuraavaksi lukujen pienin yhteinen monikerta = = 490 pym( ab, )= ab syt( ab, ) Selvitetään laventajat = = = = 40 9 Yhteinen nimittäjä on 490. Laventajat ovat 10 ja ) 10) 1 = 33 1 =

56 b) Etsitään luvuille 0 ja 99 pienin yhteinen monikerta. Määritetään ensin lukujen suurin yhteinen tekijä Eukleideen algoritmilla. 0 = 99 + syt(0, 99) = syt(99, ) 99 = syt(99, ) = syt(, 11) = syt(, 11) = 11 Saatiin syt(0, 99) = 11. Lasketaan seuraavaksi lukujen pienin yhteinen monikerta = 0 9 = 1980 pym( ab, )= ab st y( ab, ) Selvitetään laventajat = 0 9 = = 0 99 = 1980 Yhteinen nimittäjä on Laventajat ovat 9 ja 0. 9) 0) 3 = 7 5 = Vastaus: a) yhteinen nimittäjä 490, laventajat 10 ja 3 b) yhteinen nimittäjä 1980, laventajat 9 ja 0

57 06 Tiedetään, että syt(x, 8) = 14 ja pym(x, 8) = 84. Hyödynnetään pienimmän yhteisen monikerran laskukaavaa: pym( ab, )= ab syt( ab, ). Saadaan: x 8 = x = x = 4. Vastaus: x = 4

58 07 Määritetään lukujen 510, 1938 ja 3740 suurin yhteinen tekijä syt abc,, = syt syt ab,, c. ( ) hyödyntämällä tietoa: ( ) ( ) syt(510, 1938, 3740) = syt(syt(510, 1938), 3740) Selvitetään ensin lukujen 510 ja 1938 suurin yhteinen tekijä = syt(1938, 510) = syt(510, 408) 510 = syt(510, 408) = syt(408, 10) 408 = syt(408, 10) = 10 Saatiin syt(1938, 510) = 10. Selvitetään lukujen 10 ja 3740 suurin yhteinen tekijä = syt(3740, 10) = syt(10, 68) 10 = syt(10, 68) = syt(68, 34) 68 = syt(68, 34) = 34 Saatiin syt(3740, 10) = 34. Eli syt(510, 1938, 3740) = 34 Vastaus: 34

59 08 Määritetään lukujen 1, 18 ja 5 pienin yhteinen monikerta pym abc,, = pym pym ab,, c. ( ) hyödyntämällä tietoa: ( ) ( ) pym(1, 18, 5) = pym(pym(1, 18), 5) Selvitetään ensin lukujen 1 ja 18 suurin yhteinen tekijä. 18 = syt(18, 1) = syt(1, 6) 1 = syt(1, 6) = 6 Saatiin syt(18, 1) = 6. Selvitetään lukujen 18 ja 1 pienin yhteinen monikerta = 18 = 36 pym( ab, )= ab syt( ab, ) Saatiin pym(18, 1) = 36. Selvitetään lukujen 36 ja 5 suurin yhteinen tekijä. 36 = syt(36, 5) = syt(5, 11) 5 = syt(5, 11) = syt(11, 3) 11 = syt(11, 3) = syt(3, ) 3 = syt(3, ) = syt(, 1) = syt(, 1) = 1 Saatiin syt(36, 5) = 1.

60 Selvitetään lukujen 36 ja 5 pienin yhteinen monikerta = 900 pym( ab, )= ab 1 syt( ab, ) Saatiin pym(36, 5) = 900. Eli pym(1, 18, 5) = 900 Vastaus: 90

61 09 Kuution särmän pituus on lukujen 4, 18 ja 8 pienin yhteinen monikerta eli pym(4, 18, 8). Määritetään lukujen 4, 18 ja 8 pienin yhteinen monikerta pym abc,, = pym pym ab,, c. ( ) hyödyntämällä tietoa: ( ) ( ) pym(4, 18, 8) = pym(pym(4, 18), 8) Selvitetään ensin lukujen 4 ja 18 suurin yhteinen tekijä. 4 = syt(4, 18) = syt(18, 6) 18 = syt(18, 6) = 6 Saatiin syt(4, 18) = 6. Selvitetään lukujen 4 ja 18 pienin yhteinen monikerta = 4 3 = 7 pym( ab, )= ab syt( ab, ) Saatiin pym(4, 18) = 7. Selvitetään lukujen 7 ja 8 suurin yhteinen tekijä. 7 = syt(7, 8) = 8 Saatiin syt(7, 8) = 8.

62 Selvitetään lukujen 7 ja 8 pienin yhteinen monikerta = 7 pym( ab, )= ab syt( ab, ) Saatiin pym(7, 8) = 7. Eli kuution särmä on 7 cm. Tällöin kuution tilavuus on 73 = (cm 3) 0,37 (m 3) Koska 7 = ja 7 = ja 7 = , tiiliä kuutioon tarvitaan = 108. Vastaus: 108 tiiltä, tilavuus 0,37 m 3

63 10 Oletus Väite Todistus Luku n on luonnollinen luku. Lukujen 11n + 3 ja 7n + suurin yhteinen tekijä on luku 1. Etsitään lukujen 11n + 3 ja 7n + suurin yhteinen tekijä Eukleideen algoritmin avulla. 11n+ 3 = (7n+ ) 1 + (4n+ 1) 7n+ = (4n+ 1) 1 + (3n+ 1) 4n+ 1 = (3n+ 1) 1 + n 3n+ 1= n 3+ 1 n = 1 n+ 0 Saatiin syt(11n + 3, 7n + ) = 1. Siispä lukujen 11n + 3 ja 7n + suurin yhteinen tekijä on luku 1.

64 11 a) Määritetään ensin kertoimien 9 ja 11 suurin yhteinen tekijä Eukleideen algoritmilla. 9 = = = = = 3 1 Siis syt(9, 11) = 1. Ratkaistaan seuraavaksi jakoyhtälöistä jakojäännökset. 7 = = = = 4 3 1

65 Aloitetaan viimeisestä yhtälöstä ja sijoitetaan vuorollaan jokaisen jakojäännöksen lauseke. 1 = Sijoitetaan 3 = = 4 (7 4 1) Poistetaan sulkeet. = Yhdistetään kertoimet. = 4 7 Sijoitetaan 4 = = (11 7 1) 7 Poistetaan sulkeet. = Yhdistetään kertoimet. = Sijoitetaan 7 = = 11 (9 11 ) 3 Poistetaan sulkeet. = Yhdistetään kertoimet. = = 9 ( 3) Yhtälön 9x+ 11y = 1 eräs ratkaisu on x = 3 ja y = 8.

66 b) Tiedetään, että yhtälö 9x+ 11y = 1 toteutuu, kun x = 3 ja y = 8. Eli: 9 ( 3) = ( 3) = ( 39) = 13 Yhtälön 9x+ 11y = 13 eräs ratkaisu on x = 39 ja y = 104. Vastaus: a) esimerkiksi x = 3 ja y = 8 b) esimerkiksi x = 39 ja y = 104.

67 1 a) Määritetään ensin kertoimien 15 ja 8 suurin yhteinen tekijä Eukleideen algoritmilla. 15 = = = 1 7 Siis syt(15, 8) = 1. Ratkaistaan seuraavaksi jakoyhtälöistä jakojäännökset. 7 = = Aloitetaan viimeisestä yhtälöstä ja sijoitetaan vuorollaan jokaisen jakojäännöksen lauseke. 1 = Sijoitetaan 7 = = 8 (15 8 1) Poistetaan sulkeet. = Yhdistetään kertoimet. = = 15 ( 1) + 8 Yhtälön 15x+ 8y = 1 eräs ratkaisu on x = 1 ja y =. Muut ratkaisut ovat: x = 1+ n 8 = 1+ 8 n ja y = n 15 = 15 n, n. 1 1

68 b) Tiedetään, että yhtälö 15x+ 8y = 1 toteutuu, kun x = 1 ja y =. Eli: 15 ( 1) + 8 = ( 1) = ( 50) = 50 Yhtälön 15x+ 8y = 50 eräs ratkaisu on x = 50 ja y = 100. Muut ratkaisut ovat: x = 50 + n 8 = n ja y = 100 n 15 = n, n Z. 1 1 Vastaus: a) x = 1+ 8 n ja y = 15 n, n. b) x = n ja y = n, n.

69 13 a) Määritetään ensin kertoimien 37 ja 7 suurin yhteinen tekijä Eukleideen algoritmilla. 37 = = = = = 1 3 Siis syt(37, 7) = 1. Ratkaistaan seuraavaksi jakoyhtälöistä jakojäännökset. 10 = = = = 7 3

70 Aloitetaan viimeisestä yhtälöstä ja sijoitetaan vuorollaan jokaisen jakojäännöksen lauseke. 1= 7 3 = 7 (10 7 1) = = = 10 + (7 10 ) 3 = = = (37 7 1) = = 37 ( 8) Sijoitetaan 3 = Poistetaan sulkeet. Yhdistetään kertoimet. Sijoitetaan 7 = Poistetaan sulkeet. Yhdistetään kertoimet. Sijoitetaan 10 = Poistetaan sulkeet. Yhdistetään kertoimet. Yhtälön 37x+ 7 y = 1 eräs ratkaisu on x = 8 ja y = 11. Muut ratkaisut ovat: x = 8 + n 7 = n ja y = 11 n 37 = n, n. 1 1

71 b) Tiedetään, että yhtälö 37x+ 7 y = 1 toteutuu, kun x = 8 ja y = 11. Eli: 37 ( 8) = ( 8) = ( 8000) = 1000 Yhtälön 37x+ 7 y = 1000 eräs ratkaisu on x = 8000 ja y = Muut ratkaisut ovat: x = n 7 = n ja 1 y = n 37 = n, n. 1 Vastaus: a) x = n ja y = n, missä n. b) x = n ja y = n, missä n.

72 14 Oletus Väite Todistus Luku r n on kokonaislukujen a ja b ( a > b) suurin yhteinen tekijä. Luku r n on jaollinen jokaisella lukujen a ja b yhteisellä tekijällä. Olkoon luku c mielivaltainen lukujen a ja b yhteinen tekijä. Eukleideen algoritmin perusteella: a = bq + r 1 1 b= rq + r 1 r = rq + r rn = rn 1q+ rn r = rq + 0 n 1 n n+ 1 Nyt siis syt(a, b) = r n. Jos luku c on lukujen a ja b yhteinen tekijä, niin se on myös lukujen b ja r 1 yhteinen tekijä. Jos luku c on lukujen b ja r 1 yhteinen tekijä, se on myös lukujen r 1 ja r yhteinen tekijä. Näin jatkaen havaitaan, että luku c on myös lukujen r n 1 ja r n yhteinen tekijä. On siis osoitettu, että luku n r on jaollinen jokaisella lukujen a ja b yhteisellä tekijällä.

73 15 Tulee osoittaa: 1) jos luku d on lukujen a, b ja c yhteinen tekijä, niin se on lukujen syt(a, b) ja c yhteinen tekijä. ja ) jos luku d on lukujen syt(a, b) ja c yhteinen tekijä, niin se on lukujen a, b ja c yhteinen tekijä. Osoitetaan ensin kohta 1). Olkoon d lukujen a, b ja c yhteinen tekijä. Koska d on lukujen a ja b yhteinen tekijä, on se myös luvun syt(a, b) tekijä (tehtävän 14 perusteella). Siten luku d on lukujen syt(a, b) ja c yhteinen tekijä. Osoitetaan sitten kohta ). Olkoon d lukujen syt(a, b) ja c yhteinen tekijä. Koska d on luvun syt(a, b) tekijä, niin syt( ab, ) = d m, missä m on kokonaisluku. Koska molemmat luvuista a ja b ovat jaollisia luvulla syt( ab, ) = d m, niin molemmat luvuista a ja b ovat jaollisia myös luvulla d. Siten d on lukujen a, b ja c yhteinen tekijä.

74 Koska kohtien 1) ja ) perusteella lukujen a, b ja c yhteiset tekijät ovat samat kuin lukujen syt(a, b) ja c, niin niiden suurin yhteinen tekijäkin on sama. On siis osoitettu, että syt(a, b, c) = syt(syt(a, b), c).

75 16 a) Koska165 = (mod 1), kello näyttää aikaa b) Koska165 = (mod 4), kello näyttää aikaa Vastaus: a) 9.00 b) 1.00

76 17 a) Osoitetaan, että lukujen 71 ja 3 erotus on jaollinen luvulla = 68 = 4 17 Siis 71 3 (mod 4). b) Osoitetaan, että lukujen 48 ja 1 erotus on jaollinen luvulla ( 1) = 49 = 7 7 Siis 48 1 (mod 7). c) Osoitetaan, että luku 7 on jaollinen luvulla 1. 7 = 1 6 Siis 7 0 (mod 1).

77 18 a) Lasketaan lukujen 754 ja 41 erotus = 333 = Koska erotus on jaollinen luvulla 3, niin (mod 3). Siten luvuilla 754 ja 41 on sama jakojäännös, kun ne jaetaan luvulla 3. b) Lasketaan lukujen ja 75 9 erotus (75 9) = 1 = 3 7 Koska erotus on jaollinen luvulla 3, niin (mod 3). Siten luvuilla ja 75 9 on sama jakojäännös, kun ne jaetaan luvulla 3. c) Lasketaan lukujen 83 1 ja erotus ( + 1) = ( ) 5 ( + 1) = = 6 = 3 ( ) Koska erotus on jaollinen luvulla 3, niin ( mod 3) Siten luvuilla 83 1 ja on sama jakojäännös, kun ne jaetaan luvulla 3.

78 19 Kun luvut jaetaan luvulla 3, niin jakojäännös on 1. Kahden luvun erotus on aina jaollinen luvulla 3. Luvut ovat kongruentit modulo 3.

79 0 Jakolaskun 74 : 8 jakojäännös on, joten 74 ( mod 8 ). Jakolaskun 65 : 8 jakojäännös on 1, joten 65 1 ( mod 8 ). Jakolaskun 57 : 8 jakojäännös on 1, joten 57 1 ( mod 8 ). Korvataan laskutoimituksen luvut kongruenteilla luvuilla modulo (mod 8) Kongruenteilla luvuilla on sama jakojäännös. Kun luku jaetaan luvulla 8, niin jakojäännös on 4. Vastaus: 4

80 1 Väite (mod 4) Todistus Tulee siis todistaa, että luku on jaollinen luvulla 4. Todistetaan jaollisuus kongruenssin avulla. Jakolaskun 9 : 4 jakojäännös on 1, joten 9 1 ( mod 4 ). Jakolaskun 5 : 4 jakojäännös on 1, joten 5 1 ( mod 4 ). Korvataan laskutoimituksen luvut kongruenteilla luvuilla modulo (mod 4) Väite (mod 4) pitää paikkansa.

81 a) Erotus 0 ( 1) = 1 on jaollinen luvulla 1, joten 0 1 ( mod 1 ). Korvataan laskutoimituksen luku kongruentilla luvulla modulo ( 1) 1 0 (mod 1) Jakojäännös on 0. b) Erotus 6 ( 1) = 63 = 1 3 on jaollinen luvulla 1, joten 63 1 ( mod 1 ). Erotus 85 1 = 84 = 1 4 on jaollinen luvulla 1, joten 85 1 mod 1. ( ) Korvataan laskutoimituksen luvut kongruenteilla luvuilla modulo ( 1) (mod 1) Jakojäännös on 0. Vastaus: a) 0 b) 0

82 3 Todistetaan jaollisuus kongruenssin avulla. Luku on jaollinen luvulla 3, jos se on kongruentti nollan kanssa modulo 3. Erotus = on jaollinen luvulla 3, joten ( ) Erotus ( 1) mod 3. = on jaollinen luvulla 3, joten ( ) 1 mod 3. Korvataan laskutoimituksen luvut kongruenteilla luvuilla modulo ( 1) 1 + ( 1) 0 (mod 3) Jakojäännös on 0, joten luku on jaollinen luvulla 3.

83 Tekijä Pitkä matematiikka Määritetään jakojäännös kongruenssin avulla. Muokataan lukua = ( ) = 8 Erotus = on jaollinen luvulla 7, joten ( ) 8 1 mod 7. Korvataan laskutoimituksen luku kongruentilla luvulla modulo 7. Jakojäännös on 1. Vastaus: (mod 7)

84 5 a) Erotus = 999 = on jaollinen luvulla 111, joten mod 111. ( ) b) Osoitetaan jaollisuus kongruenssin avulla =1(mod 111), 110 = 1 (mod 111) ( 1) (mod 111) Saatiin (mod 111) eli luku on jaollinen luvulla 111.

85 6 a) Erotus 34 ( 1) = = 8 = 41 on jaollinen luvulla 41, 34 1 mod 41. joten ( ) b) Tutkitaan jaollisuutta kongruenssin avulla (3 4) ( 1) ( 1) 0 (mod 41) Saatiin (mod 41) eli luku on jaollinen luvulla 41. Vastaus: b) on

86 7 Luvun 318 viimeinen numero on jakojäännös, kun luku jaetaan luvulla 10. Tutkitaan siis kongruenssia modulo (3 ) 9 64 ( 1) 64 1 (mod 10) 3 3 (mod 10) = 3 = (3 ) 9 1 (mod 10) Saatiin (mod 10) eli luvun 318 viimeinen numero on luku 1. Vastaus: 1

87 8 Uudenvuodenpäivästä vuonna 000 uudenvuodenpäivään vuonna 017 on kulunut 17 vuotta. Tälle ajalle osuvat vuosien 000, 004, 008, 01 ja 016 karkauspäivät. Ajanjakson päivien lukumäärä on Määritetään kongruenssin avulla jakojäännös, kun päivien lukumäärä jaetaan luvulla (mod 7) 17 3 = 14 = (mod 7) = 364 = (mod 7) Jakojäännös on 1. Vuoden 000 uudenvuodenpäivästä on kulunut kokonaisten viikkojen lisäksi päivää. Koska vuoden 017 uudenvuodenpäivä oli sunnuntai, vuoden 000 uudenvuodenpäivä oli 1 viikonpäivää aiemmin eli lauantaina. Vastaus: Lauantai

88 9 Oletus Luku n on kokonaisluku. Väite Luku nn ( + 5) on jaollinen luvulla 3. Todistus Todistetaan jaollisuus kongruenssin avulla. Jokainen kokonaisluku n toteuttaa yhden kongruensseista n 0, n 1 tai n (mod 3) Osoitetaan, että kaikissa tapauksissa nn ( + 5) 0 (mod 3). 1) Jos n 0 (mod 3), niin nn ( + 5) 0(0 + 5) 0 (mod 3). ) Jos n 1 (mod 3), niin nn ( + 5) 1(1 + 5) (mod 3). 3) Jos n (mod 3), niin nn ( + 5) ( + 5) (mod 3). Huomataan, että aina nn ( + 5) 0 (mod 3). Siispä kaikilla kokonaisluvuilla n luku nn ( + 5) on jaollinen luvulla 3.

89 30 Oletus Luku n on kokonaisluku. Väite Luku n 5 n on jaollinen luvulla 5. Todistus Todistetaan jaollisuus kongruenssin avulla. Jokainen kokonaisluku n toteuttaa yhden kongruensseista n 0, n 1, n, n 3 tai n 4 (mod 5) Osoitetaan, että kaikissa tapauksissa n 5 n 0 (mod 5). 1) Jos n 0 (mod 5), niin n5 n (mod 5). ) Jos n 1 (mod 5), niin n5 n (mod 5). 3) Jos n (mod 5), niin n5 n (mod 5). 4) Jos n 3 (mod 5), niin n5 n (mod 5). 5) Jos n 4 (mod 5), niin n5 n (mod 5). Huomataan, että aina n 5 n 0 (mod 5). Siispä kaikilla kokonaisluvuilla n luku jaollinen luvulla 5. n 5 n on

90 31 a) Koska 394 = (mod 4) ja = 19 kello näyttää aikaa = b) Koska 17 = (mod 1) ja 9 1= 8 kello näyttää aikaa Vastaus: a) b) 8.00

91 3 a) Osoitetaan, että lukujen 33 ja 1 erotus on jaollinen luvulla ( 1) = 333 = Siis 33 1 (mod 111). b) Osoitetaan, että lukujen 43 ja 193 erotus on jaollinen luvulla = 150 = 5 ( 86) Siis (mod 5). c) Osoitetaan, että luku 1000 on jaollinen luvulla = 8 15 Siis (mod 8).

92 33 Lasketaan lukujen 60 3 ja erotus ( ) = 3 ( ) 18 = = 1 = 7 ( 3) Koska erotus on jaollinen luvulla 7, niin ( mod 7). Siten luvuilla 60 3 ja on sama jakojäännös, kun ne jaetaan luvulla 7.

93 34 Kun luvut jaetaan luvulla 5, niin jakojäännös on 3. Kahden luvun erotus on aina jaollinen luvulla 5. Luvut ovat kongruentit modulo 5.

94 35 Muodostetaan lukujen 16, 8 ja 4 kongruentit luvut modulo ( mod 5) 8 3 ( mod 5) 4 1 ( mod 5) Korvataan laskutoimituksen luvut kongruenteilla luvuilla modulo ( 1) 1 3 ( 1) 4 (mod 5) Kongruenteilla luvuilla on sama jakojäännös. Kun luku jaetaan luvulla 5, niin jakojäännös on 4. Vastaus: 4

95 36 Todistetaan jaollisuus kongruenssin avulla. Luku on jaollinen luvulla 3, jos se on kongruentti nollan kanssa modulo 3. = on jaollinen luvulla 3, joten ( ) Erotus Erotus ( 1) mod 3. = on jaollinen luvulla 3, joten ( ) 1 mod 3. Korvataan laskutoimituksen luvut kongruenteilla luvuilla modulo ( 1) 1 + ( 1) 0 (mod 3) Jakojäännös on 0, joten luku on jaollinen luvulla 3.

96 37 Tutkitaan luvun17 3 kongruenssia modulo 15. Erotus = on jaollinen luvulla 15, joten ( ) 17 mod 15. Korvataan laskutoimituksen luku 17 kongruentilla luvulla modulo (mod 15) Vastaus: x = 8

97 38 a) Erotus 11 4 = 11 4 = 117 on jaollinen luvulla 117, joten 11 4 mod 117. ( ) b) Osoitetaan jaollisuus kongruenssin avulla (11 ) ( ) (mod 117) 11 4(mod 117) Saatiin (mod 117) eli luku on jaollinen luvulla 117.

98 39 a) Luvun kaksi viimeistä numeroa ovat jakojäännös, kun luku jaetaan luvulla 100. Tutkitaan siis kongruenssia modulo ( 1) (mod 1 99 (mod 100) 100) Saatiin (mod 100) eli luvun viimeinen numero on luku 99. b) Luvun kaksi viimeistä numeroa ovat jakojäännös, kun luku jaetaan luvulla 100. Tutkitaan siis kongruenssia modulo (51 ) (mod 100) (mod 100) Saatiin (mod 100) eli luvun kaksi viimeistä numeroa ovat 01. Vastaus: a) 99 b) 01

99 40 Tälle ajalle osuvat karkausvuodet vuodesta 190 vuoteen 016 eli yhteensä 5 karkauspäivää. Ajanjakson päivien lukumäärä on Määritetään kongruenssin avulla jakojäännös, kun päivien lukumäärä jaetaan luvulla (mod 7) 100 = 98 = (mod 7) = 364 = (mod 7) 5 4 = 1 = (mod 7) Jakojäännös on 6. Joulukuun 6. päivästä vuonna 1917 on kulunut kokonaisten viikkojen lisäksi 6 päivää. Koska on keskiviikko, oli 6 viikonpäivää aiemmin eli torstaina. Vastaus: torstai

100 41 Oletus Luku n on positiivinen kokonaisluku. Väite Luku 16 7n 8 3 n 3 on jaollinen luvulla 5. Todistus Todistetaan jaollisuus kongruenssin avulla (mod 5) 7 (mod 5) 8 3 (mod 5) 3 (mod 5) Korvataan laskutoimituksen luvut kongruenteilla luvuilla modulo 5. n n n 3 ( ) n+ 3 3 ( ) ( ) (1 + 4) n 5 n 55 0 (mod 5) n 3 n n n n n ( ) =, koska n on parillinen. Erotetaan yhteiseksi tekijäksi. Havaitaan, että 16 7n 8 3n (mod 5). Luku 16 7n 8 3 n + 3 on jaollinen luvulla 5 kaikilla positiivisilla kokonaisluvuilla n.

101 4 Oletus Luku n on pariton positiivinen kokonaisluku. Väite Luku 1n + n + 3n + 4n + 5n on jaollinen luvulla 5. Todistus Todistetaan jaollisuus kongruenssin avulla. 3 (mod 5) 4 1 (mod 5) 5 0 (mod 5) Korvataan laskutoimituksen luvut kongruenteilla luvuilla modulo 5. n n n n n ( ) + ( 1) + 0 n n n n n n n n n 1 + ( ) (1 ) 0 (mod 5) n n n n ( ) = ( ) ja ( 1) = (1 ) koska n on pariton. Havaitaan, että1n + n + 3n + 4n + 5n 0 (mod 5). Luku 1n + n + 3n + 4n + 5n on jaollinen luvulla 5 kaikilla parittomilla positiivisilla kokonaisluvuilla n.

102 43 Oletus Luku n on kokonaisluku. Väite Luku nn ( + 1)( n + 4) on jaollinen luvulla 5. Todistus Todistetaan jaollisuus kongruenssin avulla. Jokainen kokonaisluku n toteuttaa yhden kongruensseista n 0, n 1, n, n 3 tai n 4 (mod 5) Osoitetaan, että kaikissa tapauksissa nn ( + 1)( n + 4) 0 (mod 5). 1) Jos n 0 (mod 5), niin nn ( + 1)( n + 4) 0 (0 + 1) (0 + 4) 0 (mod 5). ) Jos n 1 (mod 5), niin nn ( + 1)( n + 4) 1 (1 + 1) (1 + 4) (mod 5). 3) Jos n (mod 5), niin nn ( + 1)( n + 4) ( + 1) ( + 4) (mod 5). 4) Jos n 3 (mod 5), niin nn ( + 1)( n + 4) 3 (3 + 1) (3 + 4) (mod 5). 5) Jos n 4 (mod 5), niin nn ( + 1)( n + 4) 4 (4 + 1) (4 + 4) (mod 5).

103 Huomataan, että aina nn ( + 1)( n + 4) 0 (mod 5). Siispä kaikilla kokonaisluvuilla n luku nn ( + 1)( n + 4) on jaollinen luvulla 5.

104 44 Oletus Luku n ei ole jaollinen luvulla 3. Väite Luku n 6 1 on jaollinen luvulla 9. Todistus Todistetaan jaollisuus kongruenssin avulla. Jos luku n ei ole jaollinen luvulla 3, silloin tarkastellaan lukuja n, jotka toteuttavat kongruenssit n 1, n, n 4, n 5, n 7 tai n 8 (mod 9). Osoitetaan, että kaikissa tapauksissa n (mod 9). 1) Jos n 1 (mod 9), niin n (mod 9). ) Jos n (mod 9), niin n (mod 9). 3) Jos n 4 (mod 9), niin n (mod 9). 4) Jos n 5 (mod 9), niin n (mod 9). 5) Jos n 7 (mod 9), niin n (mod 9). 6) Jos n 8 (mod 9), niin n (mod 9).

105 Huomataan, että aina, kun n ei ole jaollinen luvulla 3, n (mod 9). Siispä nn ( + 1)( n + 4) on jaollinen luvulla 9, kun n ei ole jaollinen luvulla 3.

106 45 Oletus Luku n on satanumeroinen kokonaisluku, jonka kaikki numerot ovat yhdeksikköjä. Väite Luku n on jaollinen luvulla 101. Todistus Luku n voidaan kirjoittaa muodossa Todistetaan jaollisuus kongruenssin avulla (10 ) ( 1) (mod 101) (mod 101) Huomataan, että (mod 101). Siispä satanumeroinen kokonaisluku, jonka kaikki numerot ovat yhdeksikköjä on jaollinen luvulla 101.

107 46 a) Merkitään a = nq1+ r 1 ja b = nq + r, missä q1, q ja luvut r1 ja rovat suurempia tai yhtä suuria kuin nolla sekä pienempiä kuin luku n. Luvut ovat kongruentit modulo n, jos niiden erotus on jaollinen luvulla n. Tutkitaan lukujen a ja b erotusta. a b = nq1+ r1 ( nq + r) = nq1 nq + r1 r = nq ( q) + r r 1 1 Huomataan, että lukujen a ja b erotus on jaollinen luvulla n jos ja vain jos r1 r = 0 eli r1 = r. Eli saatiin, että luvut a ja b ovat kongruentit modulo n, jos ja vain jos luvuilla a ja b on sama jakojäännös, kun ne jaetaan luvulla n.

108 b) Koska tiedetään, että jakolaskun a: n jakojäännös on r, merkitään a = nq + r, missä q ja 0 r< n. Luvut ovat kongruentit modulo n, jos niiden erotus on jaollinen luvulla n. Muodostetaan lukujen a ja r erotus. a r = ( nq + r) r = nq Huomataan, että lukujen erotus on jaollinen luvulla n. Luvut a ja r ovat siten kongruentit modulo n.

109 47 a) Koska 89 = 9, täytyy tutkia jaollisuutta alkuluvuilla, jotka ovat pienempiä tai yhtä suuria kuin luku 9 eli alkuluvuilla, 3, 5 ja 7. Tarvitaan siis korkeintaan 4 jakolaskua. b) Koska 751 = 7, täytyy tutkia jaollisuutta alkuluvuilla, jotka ovat pienempiä tai yhtä suuria kuin luku 7 eli alkuluvuilla, 3, 5, 7, 11, 13, 17 ja 3. Tarvitaan siis korkeintaan 8 jakolaskua. c) Koska 4507 = 67, täytyy tutkia jaollisuutta alkuluvuilla, jotka ovat pienempiä tai yhtä suuria kuin luku 67 eli alkuluvuilla, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 3, 9, 31, 41, 43, 47, 51, 53, 57, 59, 61 ja 67. Tarvitaan siis korkeintaan 19 jakolaskua. Vastaus: a) 4 b) 8 c) 19

110 48 a) Koska 79 = 8, täytyy tutkia jaollisuutta alkuluvuilla, jotka ovat pienempiä tai yhtä suuria kuin luku 8 eli alkuluvuilla, 3, 5 ja : = 39,5 79 : 3 = 7, : 5 = 15,8 79 : 7 = 11,85 Koska mikään jakolaskuista ei mene tasan, luku 79 on alkuluku. b) Koska 143 = 11, täytyy tutkia jaollisuutta alkuluvuilla, jotka ovat pienempiä tai yhtä suuria kuin luku 11 eli alkuluvuilla, 3, 5, 7 ja : = 71,5 143 : 3 = 47, : 5 = 8,6 143 : 7 = 0, : 11 = 13 Koska jakolasku 143 : 11 = 13 menee tasan, luku 143 ei ole alkuluku.

111 c) Koska 961 = 31 täytyy tutkia jaollisuutta alkuluvuilla, jotka ovat pienempiä tai yhtä suuria kuin luku 31 eli alkuluvuilla, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 3, 9, : = 480,5 961 : 3 = 30, : 5 = 19, 961 : 7 = 137, : 11 = 87, : 13 = 73, : 17 = 56, : 19 = 50, : 3 = 41, : 9 = 33, : 31 = 31 Koska jakolasku 961 : 31 = 31 menee tasan, luku 961 ei ole alkuluku. Tämä nähdään toisaalta jo suoraan laskutoimituksesta 961 = 31, josta seuraa, että = 961. Vastaus: a), 3, 5, 7, on alkuluku b), 3, 5, 7, 11, ei ole alkuluku c), 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 3, 9, 31, ei ole alkuluku