Tekijä Pitkä Matematiikka 11 ratkaisut luku 2

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Tekijä Pitkä Matematiikka 11 ratkaisut luku 2"

Transkriptio

1 Tekijä Pitkä matematiikka a) Koska 8 = 4 7, luku 8 on jaollinen luvulla 4. b) Koska 104 = 4 6, luku 104 on jaollinen luvulla 4. c) Koska 4 0 = 80 < 8 ja 4 1 = 84 > 8, luku 8 ei ole jaollinen luvulla 4. d) Koska 3 = 4 8, luku 3 on jaollinen luvulla 4. Vastaus a) on, koska 8 = 4 7 b) on, koska 104 = 4 6 c) ei ole, koska 4 0 = 80 < 8 ja 4 1 = 84 > 8 d) on, koska 3 = 4 8

2 171 a) Koska 1 1 = 1 < 35 ja 1 = 4 > 35, luku 35 ei ole jaollinen luvulla 1. b) Koska 4 = 1 ( ), luku 4 on jaollinen luvulla 1. c) Koska 1 10 = 10 < 19 ja 1 11 = 31 > 19, luku 19 ei ole jaollinen luvulla 1. d) Koska 105 = 1 ( 5), luku 105 on jaollinen luvulla 1. Vastaus a) ei, koska 1 1 = 1 < 35 ja 1 = 4 > 35 b) on, koska 4 = 1 ( ) c) ei, koska 1 10 = 10 < 19 ja 1 11 = 31 > 19 d) on, koska 105 = 1 ( 5)

3 17 a) Huomataan, että 10 = 0 ja 7 0 = 7. Luku 10 menee 7:ään kertaa, ja yli jää 7. Jakolaskun 7 : 10 osamäärä on ja jakojäännös 7. Jakoyhtälö on 7 = b) Huomataan, että = 300 ja = 5. Luku 100 menee 305:een 3 kertaa, ja yli jää 5. Jakolaskun 305 : 100 osamäärä on 3 ja jakojäännös 5. Jakoyhtälö on 305 = c) Huomataan, että = 9000 ja = 999. Luku 1000 menee 9999:ään 9 kertaa, ja yli jää 999. Jakolaskun 9999 : 1000 osamäärä on 9 ja jakojäännös 999. Jakoyhtälö on 9999 = Vastaus a) osamäärä, jakojäännös 7 ja jakoyhtälö 7 = b) osamäärä 3, jakojäännös 5 ja jakoyhtälö 305 = c) osamäärä 9, jakojäännös 999 ja jakoyhtälö 9999 =

4 173 a) Huomataan, että 5 7 = 35 ja = 1. Luku 5 menee 36:een 7 kertaa, ja yli jää 1. Jakolaskun 36 : 5 osamäärä on 7 ja jakojäännös 1. Jakoyhtälö on 36 = b) Huomataan, että 5 14 = 70 ja 7 70 =. Luku 5 menee 7:een 14 kertaa, ja yli jää. Jakolaskun 7 : 5 osamäärä on 14 ja jakojäännös. Jakoyhtälö on 7 = c) Huomataan, että 50 = 0 ja 3 0= 3. Luku 5 menee 3:een 0 kertaa, ja yli jää 3. Jakolaskun 3 : 5 osamäärä on 0 ja jakojäännös 3. Jakoyhtälö on 3=

5 d) Huomataan, että 5 0 = 100 ja = 4. Luku 5 menee 104:ään 0 kertaa, ja yli jää 4. Jakolaskun 104 : 5 osamäärä on 0 ja jakojäännös 4. Jakoyhtälö on 104 = Vastaus a) osamäärä 7, jakojäännös 1 ja jakoyhtälö on 36 = b) osamäärä 14, jakojäännös ja jakoyhtälö on 7 = c) osamäärä 0, jakojäännös 3 ja jakoyhtälö on 3= d) osamäärä 0, jakojäännös 4 ja jakoyhtälö on 104 =

6 174 a) Huomataan, että 1: 3 = 7 Luku 3 menee 1:een 7 kertaa ja jako menee tasan. Siis 1 = b) Laskimella saadaan 43: 3 = 14, Etsitään suurin luvun 3 monikerta, joka on pienempi kuin = 4 < = 45 > 43 Lasketaan lukujen 43 ja 4 erotus: 43 4 = 1 Siis 43 = c) Laskimella saadaan 8 : 3 = 9, Etsitään suurin luvun 3 monikerta, joka on pienempi kuin 8. 3 ( 9) = 7 > 8 3 ( 10) = 30 < 8 Lasketaan lukujen 8 ja 30 erotus: 8 ( 30) = Siis 8 = 3 ( 10) +.

7 d) Laskimella saadaan 44 : 3 = 14, Etsitään suurin luvun 3 monikerta, joka on pienempi kuin ( 14) = 4 > 44 3 ( 15) = 45 < 44 Lasketaan lukujen 44 ja 45 erotus: 44 ( 45) = 1 Siis 44 = 3 ( 15) + 1. Vastaus a) 1 = b) 43 = c) 8 = 3 ( 10) + d) 44 = 3 ( 15) + 1

8 175 a) Saadaan 4 :10 =, 4 Etsitään suurin luvun 10 monikerta, joka on pienempi kuin = 0 < = 30 > 4 Lasketaan lukujen 4 ja 0 erotus: 4 0 = 4. Siis 4 = b) Saadaan 541:10 = 54,1 Etsitään suurin luvun 10 monikerta, joka on pienempi kuin = 540 < = 550 > 541 Lasketaan lukujen 541 ja 540 erotus: = 1. Siis 541 =

9 c) Saadaan 8 :10 =,8 Etsitään suurin luvun 10 monikerta, joka on pienempi kuin ( ) = 0 > 8 10 ( 3) = 30 < 8 Lasketaan lukujen 8 ja 30 erotus: 8 ( 30) =. Siis 8 = 10 ( 3) +. d) Saadaan 91:10 = 9,1 Etsitään suurin luvun 10 monikerta, joka on pienempi kuin ( 9) = 90 > ( 10) = 100 < 91 Lasketaan lukujen 91 ja 100 erotus: 91 ( 100) = 9. Siis 91 = 10 ( 10) + 9. Vastaus a) 4 = b) 541 = c) 8 = 10 ( 3) + d) 91 = 10 ( 10) + 9

10 176 a) Laskimella saadaan 37 :15 =, Etsitään suurin luvun 15 monikerta, joka on pienempi kuin = 30 < = 45 > 4 Lasketaan lukujen 37 ja 30 erotus: = 7. Siis 37 = b) Laskimella saadaan 6 :15 = 0, 4 Etsitään suurin luvun 15 monikerta, joka on pienempi kuin = 0 < = 15 > 6 Lasketaan lukujen 6 ja 0 erotus: 6 0= 6. Siis 6 =

11 c) Laskimella saadaan 4 :15 = 14, Etsitään suurin luvun 15 monikerta, joka on pienempi kuin ( 14) = 10 > 4 15 ( 15) = 5 < 4 Lasketaan lukujen 4 ja 5 erotus: 4 ( 5) = 1. Siis 4 = 15 ( 15) + 1. d) Laskimella saadaan 18 :15 = 8, Etsitään suurin luvun 15 monikerta, joka on pienempi kuin ( 8) = 10 > ( 9) = 135 < 18 Lasketaan lukujen 18 ja 135 erotus: 18 ( 135) = 7. Siis 18 = 15 ( 9) + 7. Vastaus a) 37 = b) 6 = c) 4 = 15 ( 15) + 1 d) 18 = 15 ( 9) + 7

12 177 Jos kokonaisluvuista pienintä merkitään kirjaimella k, niin sitä seuraavat 4 kokonaislukua ovat k + 1, k +, k + 3, k + 4. Oletus Luku k on kokonaisluku. Väite Summa k + ( k + 1) + ( k + ) + ( k + 3) + ( k + 4) on jaollinen luvulla 5. Todistus Summa k + ( k + 1) + ( k + ) + ( k + 3) + ( k + 4) on aritmeettinen, koska kahden peräkkäisen termin erotus on aina yksi. Summassa on 5 termiä. Ensimmäinen termi on k ja viimeinen on k + 4. k + ( k + 1) + ( k + ) + ( k + 3) + ( k + 4) ( k + ( k + 4)) =5 ( = 5 k + 4 = 5 ( k + ) Koska luku k + on kokonaisluku, luku 5 ( k + ) on jaollinen luvulla 5. Siis 5:n peräkkäisen kokonaisluvun summa on jaollinen luvulla 5.

13 178 a) Oletus Luku a on jaollinen luvulla 8 ja luku b on jaollinen luvulla 1. Väite Luku a + b on jaollinen luvulla 7. Todistus Koska luku a on jaollinen luvulla 8, voidaan merkitä a = 8q ja koska luku b on jaollinen luvulla 1, voidaan merkitä b= 1r. Luvut q ja r ovat kokonaislukuja. Muodostetaan summa a + b. a+ b= 8q+ 1r = 7 4q+ 7 3r ( ( Erotetaan 7 yhteiseksi tekijäksi. = 7 (4q+ 3 r) Koska luku 4q+ 3r on kokonaisluku, luku 5 ( k + ) on jaollinen luvulla 7. Siis luku a + b on jaollinen luvulla 7.

14 b) Oletus Luku a on jaollinen luvulla 8 ja luku b on jaollinen luvulla 1. Väite Luku ab on jaollinen luvulla 1. Todistus Koska luku a on jaollinen luvulla 8, voidaan merkitä a = 8q ja koska luku b on jaollinen luvulla 1, voidaan merkitä b= 1r. Luvut q ja r ovat kokonaislukuja. Muodostetaan tulo ab. ab = 8q 1r = 7 4 q 7 3 r = 1 49 qr Koska luku 49 qr on kokonaisluku, luku 1 49 qr on jaollinen luvulla 1. Siis luku ab on jaollinen luvulla 1.

15 179 Oletus Luku n on kokonaisluku. Väite Luku nn ( + 8) on jaollinen luvulla 3. Todistus Jakoyhtälön nojalla jokainen kokonaisluku n voidaan esittää muodossa n = 3 q, n = 3q+ 1 tai n = 3q +, missä q on kokonaisluku. Sijoitetaan nämä yksi kerrallaan lausekkeeseen nn ( + 8). n 3q 3q + 1 3q + 3 q((3 q) + 8) = 3 q(9 q + 8) nn ( + 8) (3q+ 1)((3q+ 1) + 8) = (3q+ 1)((3 q) + 3 q ) = (3q+ 1) (9q + 6q+ 9) (( ( ( Erotetaan 3 yhteiseksi tekijäksi. = (3q+ 1) 3 (3q + q+ 3) = 3 (3q+ 1)(3q + q+ 3) (3q+ )((3q+ ) + 8) = (3q+ )((3 q) + 3q + + 8) = (3q+ ) (9q + 1q+ 1) (( (( Erotetaan 3 yhteiseksi tekijäksi. = (3q+ ) 3 (3q + 4q+ 4) = 3 (3q+ )(3q + 4q+ 4) Jokaisessa tapauksessa luku nn ( + 8) voidaan esittää kokonaislukujen tulona niin, että yksi tulon tekijöistä on luku 3. Siis nn ( + 8) on aina jaollinen luvulla 3.

16 180 a) Koska 6 6 = 36 < 38 ja 6 7 = 4 > 38, luku 38 ei ole jaollinen luvulla 6. b) Koska 7 = 6 1, luku 7 on jaollinen luvulla 6. c) Koska 6 ( 8) = 48 > 5 ja 6 ( 9) = 54 < 5, luku 5 ei ole jaollinen luvulla 6. d) Koska 10 = 6 17, luku 10 on jaollinen luvulla 6. Vastaus a) ei, koska 6 6 = 36 < 38 ja 6 7 = 4 > 38 b) on, koska 7 = 6 1 c) ei, koska 6 ( 8) = 48 > 5 ja 6 ( 9) = 54 < 5 d) on, koska 10 = 6 17

17 181 a) Koska 016 = 4 504, vuosi 016 oli karkausvuosi. b) Koska = 1996 < 1998 ja = 000 > 1998, vuosi 1998 ei ollut karkausvuosi. c) Koska 1880 = 4 470, vuosi 1880 oli karkausvuosi. d) Koska = 1600 < 1800 ja = 000 > 1800, vuosi 1800 ei ollut karkausvuosi. e) Koska 000 = 400 5, vuosi 000 oli karkausvuosi. Vastaus a) on b) ei c) on d) ei e) on

18 18 a) Huomataan, että 5 = 50 ja = 1. Luku menee 51:een 5 kertaa, ja yli jää 1. Jakolaskun 51 : osamäärä on 5 ja jakojäännös 1. Jakoyhtälö on 51 = b) Huomataan, että 3 31 = 93. Luku 3 menee 93:een 31 kertaa, ja yli jää 0. Jakolaskun 93 : 3 osamäärä on 31 ja jakojäännös 0 Jakoyhtälö on 93 = c) Huomataan, että 4 5 = 100 ja = 3. Luku 4 menee 103:een 5 kertaa, ja yli jää 3. Jakolaskun 103 : 4 osamäärä on 5 ja jakojäännös 3. Jakoyhtälö on 103 =

19 d) Huomataan, että 8 15 = 1000 ja = 5. Luku 8 menee 1005:een 15 kertaa, ja yli jää 5. Jakolaskun 1005 : 8 osamäärä on 15 ja jakojäännös 5. Jakoyhtälö on 1005 = Vastaus a) osamäärä 5, jakojäännös 1 ja jakoyhtälö on 51 = b) osamäärä 31, jakojäännös 0 ja jakoyhtälö on 93 = c) osamäärä 5, jakojäännös 3 ja jakoyhtälö on 103 = d) osamäärä 15, jakojäännös 5 ja jakoyhtälö on 1005 =

20 183 a) Laskimella saadaan 111:10 = 11,1 Etsitään suurin luvun 10 monikerta, joka on pienempi kuin = 110 < = 10 > 111 Lasketaan lukujen 111 ja 110 erotus: = 1 Siis 111 = b) Huomataan, että 1000 :10 = 100 Luku 10 menee 1000:een 100 kertaa ja jako menee tasan. Siis 1000 = c) Laskimella saadaan 109 :10 = 10,9 Etsitään suurin luvun 10 monikerta, joka on pienempi kuin ( 10) = 100 > ( 11) = 110 < 109 Lasketaan lukujen 109 ja 110 erotus: 109 ( 110) = 1 Siis 109 = 10 ( 11) + 1.

21 d) Laskimella saadaan 998 :10 = 99,8 Etsitään suurin luvun 10 monikerta, joka on pienempi kuin 10 ( 99) = 990 > ( 99) = 990 > ( 100) = 1000 < 998 Lasketaan lukujen 998 ja 1000 erotus: 998 ( 1000) = Siis 998 = 10 ( 100) +. Vastaus a) 111 = b) 1000 = c) 109 = 10 ( 11) + 1 d) 998 = 10 ( 100) +

22 184 a) Laskimella saadaan 37 :18 =, Etsitään suurin luvun 18 monikerta, joka on pienempi kuin = 36 < = 54 > 37 Lasketaan lukujen 37 ja 36 erotus: = 1 Siis 37 = b) Huomataan, että 6 :18 = 0, Etsitään suurin luvun 18 monikerta, joka on pienempi kuin = 0 < = 18 > 6 Lasketaan lukujen 6 ja 0 erotus: 6 0= 6 Siis 6 =

23 c) Laskimella saadaan 15:18 = 11, Etsitään suurin luvun 18 monikerta, joka on pienempi kuin = 198 < = 16 > 15 Lasketaan lukujen 15 ja 198 erotus: = 17 Siis 15 = d) Laskimella saadaan 18 :18 = 7, Etsitään suurin luvun 18 monikerta, joka on pienempi kuin ( 7) = 16 > ( 8) = 144 < 18 Lasketaan lukujen 18 ja 144 erotus: 18 ( 144) = 16 Siis 18 = 18 ( 8) Vastaus a) 37 = b) 6 = c) 15 = d) 18 = 18 ( 8) + 16

24 185 a) Oletus c a, kun a on kokonaisluku ja c on positiivinen kokonaisluku. Väite c na, kun n on kokonaisluku. Todistus Oletuksen mukaan c a eli luku a on jaollinen luvulla c. Voidaan siis kirjoittaa: a = Sijoitetaan saatu arvo tuloon na. na = ncq = cnq cq, kun q on kokonaisluku. Nyt na = cnq eli luku na on jaollinen luvulla c. Väite c na pitää paikkansa.

25 b) Oletus c a ja c b, kun a ja b ovat kokonaislukuja ja c on positiivinen kokonaisluku. Väite c a+ b. Todistus Oletuksen mukaan c a eli luku a on jaollinen luvulla c ja c b eli luku b on jaollinen luvulla c. Voidaan siis kirjoittaa: a = cq ja b = cr, kun q ja r ovat kokonaislukuja. Sijoitetaan saadut arvot summaan a+ b. a + b = cq + cr Erotetaan c yhteiseksi tekijäksi. = cq ( + r) Nyt a+ b= cq ( + r ) eli luku a+ b on jaollinen luvulla c. Väite c a+ b pitää paikkansa.

26 c) Oletus c a ja c / b, kun a ja b ovat kokonaislukuja ja c on positiivinen kokonaisluku. Väite c / a+ b. Todistus Oletuksen mukaan c a eli luku a on jaollinen luvulla c ja c / b eli luku b ei ole jaollinen luvulla c. Oletetaan vastoin väitettä, että c a+ b. Tällöin a + b = cq, kun q on kokonaisluku. Ratkaistaan saadusta yhtälöstä b. a + b = cq b = cq a b = cq cr b= cq ( r) Koska a on jaollinen c:llä, a = cr, kun r Z. Nyt b= cq ( + r ) eli luku b on jaollinen luvulla c. On päädytty ristiriitaan, sillä edellä todettiin, että b ei ole jaollinen luvulla c. Väite c / a+ b pitää paikkansa.

27 186 Oletus Luku n on kokonaisluku. Väite Luku ( n+ 1) ( n 1) on jaollinen luvulla 4. Todistus Sievennetään luku ( n+ 1) ( n 1). ( n+ 1) ( n 1) = n + n+ 1 ( n n+ 1) = n + n+ 1 n + n 1 = 4n Saatiin ( n+ 1) ( n 1) = 4n Eli luku ( n+ 1) ( n 1) on jaollinen luvulla 4.

28 187 Oletus Luku n on kokonaisluku. Väite Luku nn ( + 1)(n + 1) on jaollinen luvulla 6. Todistus Jakoyhtälön nojalla jokainen kokonaisluku n voidaan esittää muodossa n = 6 q, n = 6q+ 1, n = 6q +, n = 6q+ 3, n = 6q+ 4, n = 6q + 5, missä q on kokonaisluku.

29 Sijoitetaan nämä yksi kerrallaan lausekkeeseen nn ( + 1)(n + 1). n nn ( + 1)(n + 1) 6q 6 q(6q+ 1)( 6q + 1) (6q+ 1)((6q+ 1) + 1)((6q+ 1) + 1) = (6q+ 1) (6q+ )(1q+ + 1) 6q + 1 6q + 6q + 3 Kerrotaan keskenään. = (6q+ 1) (7q + 18q+ 4q+ 6) = (6q+ 1) 6 (1q + 7q+ 6) ((( ((( Erotetetaan 6 yhteiseksi tekijäksi. = 6 (6q+ 1)(1q + 7 q+ 6) (( (( (6q+ )((6q+ ) + 1)((6q+ ) + 1) = (6q+ )(6q+ 3) (( ( ( (1q+ 5) Kerrotaan keskenään. = ( 36q + 18q+ 1q+ 6 )(1q+ 5) = 6 (6q + 5q+ 1)(1q+ 5) ( ( ((( Otetaan 6 yhteiseksi tekijäksi. (6q+ 3)((6q+ 3) + 1)((6q+ 3) + 1) = (6q+ 3)(6q+ 4) (1q+ 7) (( ( ( Kerrotaan keskenään. = ( 36q + 4q+ 18q+ 1 ((( ((( )(1q+ 7) = 6 (6q + 7q+ )(1q+ 7) Erotetaan 6 yhteiseksi tekijäksi. (6q+ 4)((6q+ 4) + 1)((6q+ 4) + 1) = (6q+ 4)(6q+ 5)(1q+ 9) 6q + 4 6q + 5 = (6q+ 4)(1q+ 9) (6q+ 5) = ( (( (( 7q + 54q+ 48q+ 36 ((( ((( )(6q+ 5) Kerrotaan keskenään. Erotetaan 6 yhteiseksi tekijäksi. = 6 (1q + 17q+ 6)( 6 q+ 5) (6q+ 5)((6q+ 5) + 1)((6q+ 5) + 1) = (6q+ 5)( 6q+ 6 )(1q+ 11) Erotetaan 6 yhteise si te ijä si. = (6q+ 5) 6 ( q+ 1)(1q+ 11) = 6 (6q+ 5)( q+ 1)( 1 q+ 11)

30 Jokaisessa tapauksessa luku nn ( + 1)(n + 1) voidaan esittää kokonaislukujen tulona niin, että yksi tulon tekijöistä on luku 6. Siis nn ( + 1)(n + 1) on aina jaollinen luvulla 6.

31 188 Oletus Luku n + 1 on pariton kokonaisluku. Väite Luku (n + 1) 1 on jaollinen luvulla 8. Todistus Jotta luku on jaollinen luvulla 8 sen pitää olla jaollinen sekä luvulla että myös luvulla 4. Muokataan lukua (n + 1) 1. (n+ 1) 1 = 4 ( n + ( 4n Erotetaan 4n yhteiseksi tekijäksi. = 4 nn ( + 1) Saatiin (n + 1) 1 = 4 n ( n + 1) eli luku (n + 1) 1 on jaollinen luvulla 4. Luvut n ja n + 1 ovat peräkkäisiä kokonaislukuja. Tällöin toinen niistä on välttämättä pariton ja toinen parillinen. Eli luku (n + 1) 1 on jaollinen myös luvulla. Koska luku (n + 1) 1 on jaollinen luvulla 4 ja lisäksi jaollinen luvulla, luku (n + 1) 1 on jaollinen luvulla 8.

32 189 Oletus Väite Todistus Summa muodostuu parittomasta määrästä peräkkäisiä kokonaislukuja. Summa on jaollinen yhteenlaskettavien lukumäärällä. Jos summa muodostuu parittomasta määrästä peräkkäisiä kokonaislukuja, summassa on n + 1 yhteenlaskettavaa. Summa voidaan kirjoittaa: k + ( k + 1) + ( k + ) ( k + n ) (((((( (((((( n+ 1 kpl Sievennetään summa. k + ( k + 1) + ( k + ) ( k + n) (((((( (((((( Aritmeettinen summa, jossa 1. yhteenlaskettava on k, viimein k+ n ja yhteenlaskettavia on yhteensä n+ 1. k + ( k + n) = (n + 1) = (n + 1) k + n = (n + 1) ( k + n) k + ( k + 1) + ( k + ) ( k + n) = (n+ 1)( k + n ) eli kun lasketaan yhteen pariton määrä peräkkäisiä kokonaislukuja, muodostuva summa on jaollinen yhteenlaskettavien lukumäärällä.

33 190 Oletus Väite Todistus Summa muodostuu parillisesta määrästä peräkkäisiä kokonaislukuja. Summa ei ole jaollinen yhteenlaskettavien lukumäärällä. Jos summa muodostuu parillisesta määrästä peräkkäisiä kokonaislukuja, summassa on n yhteenlaskettavaa. Summa voidaan kirjoittaa: k + ( k + 1) + ( k + ) ( k + n 1) (((((( (((((( n kpl Sievennetään summa. k + ( k + 1) + ( k + ) ( k + n 1) (((((( (((((( Aritmeettinen summa, jossa 1. yhteenlaskettava on k, viimein k+ n 1 ja yhteenlaskettavia on yhteensä n. k + ( k + n 1) = ( n) = ( n) k + n 1 = ( n)( k + n 1 ) Saatiin: k + ( k + 1) + ( k + ) ( k + n 1) = ( n)( k + n 1 ) Koska ( k + n 1 ) ei ole kokonaisluku, summa ei ole jaollinen yhteenlaskettavien lukumäärällä.

34 191 a) Oletus Luku a3 + b 3, jossa a ja b ovat kokonaislukuja, on jaollinen luvulla 3. Väite Luku ( a+ b ) 3 on jaollinen luvulla 3. Todistus Jos luku a3 + b 3, jossa a ja b ovat kokonaislukuja, on jaollinen luvulla 3, niin a3 + b3 = 3q (q on kokonaisluku). Sievennetään luku ( a+ b ) 3. binomin kuutio ( a + b) = a ((( ((( + 3a b + 3ab + b ( ( 3 3 Hyödynnetään tietoa a + b = 3 q. = 3q + 3a b + 3ab (( (( Erotetaan luku 3 yhteiseksi tekijäksi. = 3( q + a b + ab ) Saatiin: ( a + b) 3 = 3( q + ab + ab ) Eli ( a+ b) 3on jaollinen luvulla 3.

35 b) Oletus Luku ( a+ b ) 3, jossa a ja b ovat kokonaislukuja, on jaollinen luvulla 3. Väite Luku a3 + b 3 on jaollinen luvulla 3. Todistus Jos luku ( a+ b ) 3, jossa a ja b ovat kokonaislukuja, on jaollinen luvulla 3, niin ( a+ b) 3 = 3q (q on kokonaisluku). Ratkaistaan a3 + b 3 binomin kuution lausekkeesta ( a + b) = a + 3a b + 3ab + b q a + b = ( a + b) 3a b 3ab ( ( 3 3 a + b = 3q 3a b 3ab (( (( 3 3 Erotetaan luku 3 yhteiseksi tekijäksi. a + b = 3( q a b ab ) Saatiin: a3 + b3 = 3( q ab ab ) Eli a3 + b 3 on jaollinen luvulla 3.

36 19 Väite Luku on jaollinen luvulla 3. Todistus Tehtävässä 191 on todistettu, että jos luku ( a+ b ) 3, jossa a ja b ovat kokonaislukuja, on jaollinen luvulla 3, myös luku a3 + b 3 on jaollinen luvulla 3. Tutkitaan, onko luku ( ) 3 jaollinen luvulla ( ) = 3000 ( ab) = a b = (3 1000) ( ( n n n = = Koska luku ( ) 3 on jaollinen luvulla 3, on myös luku jaollinen luvulla 3.

37 193 Oletus Luku n on luonnollinen luku. Väite 3n+ 1+ n + on jaollinen luvulla 7 on tosi kaikilla n = 0, 1,,. Todistus 1) Alkuaskel Osoitetaan väite todeksi alkuarvolla eli kun n = = 3+ 4= 7 Väite on tosi, kun n = 0. ) Induktioaskel Induktio-oletus: 3n+ 1+ n + on jaollinen luvulla 7 eli 3n+ 1+ n+ = 7k (k on kokonaisluku) on tosi mielivaltaisella n = 0, 1,.... Induktioväite: 3( n+ 1) ( n + 1) + on jaollinen luvulla 7.

38 Induktioväitteen todistus: Muokataan induktioväitettä hyödyntämällä tietoa n+ 1 n+ n+ n = 7 k eli = 7k 3. ( n+ 1) + 1 ( n+ 1) + n+ + 1 n = 3 + n+ 1 n+ = n+ = 1 n+ 1 n+ 1 = (7 3 ) n+ 1 n+ 1 = n+ 1 = 7 (( 3 + ( ( 7 Erotetaan lu u 7 yhteise si te ijä si. n+ 1 = 7 (3 + ) Saatiin ( + 1) + 1 ( + 1) n n + n = 7 (3 n + k ). 3 k on kokonaisluku, kun k on kokonaisluku ja n on luonnollinen luku. Induktioväite siis on tosi. On todistettu alkuaskel ja induktioaskel. Alkuperäinen väite on näin todistettu.

39 194 a) Jaetaan luku 96 luvulla 3 ja esitetään tulos jakoyhtälönä. 96 = syt(96, 3) = 3 Viimeinen nollaa suurempi jakojäännös on kysytty suurin yhteinen tekijä. Siis syt(96, 3) = 3. b) Jaetaan luku 45 luvulla 18 ja esitetään tulos jakoyhtälönä. 45 = syt(45, 18) = syt(18, 9) Jaetaan jakaja 18 jakojäännöksellä 9 ja esitetään tulos jakoyhtälönä. 18 = syt(18, 9) = 9 Viimeinen nollaa suurempi jakojäännös on kysytty suurin yhteinen tekijä. Siis syt(45, 18) = 9.

40 c) Jaetaan luku 450 luvulla 4 ja esitetään tulos jakoyhtälönä. 450 = syt(450, 4) = syt(4, 30) Jaetaan jakaja 4 jakojäännöksellä 30 ja esitetään tulos jakoyhtälönä. 4 = syt(4, 30) = syt(30, 1) Jaetaan jakaja 30 jakojäännöksellä 1 ja esitetään tulos jakoyhtälönä. 30 = syt(30, 1) = syt(1, 6) Jaetaan jakaja 1 jakojäännöksellä 6 ja esitetään tulos jakoyhtälönä. 1 = syt(1, 6) = 6 Viimeinen nollaa suurempi jakojäännös on kysytty suurin yhteinen tekijä. Siis syt(450, 4) = 6. Vastaus: a) 3 b) 9 c) 6

41 195 a) Jaetaan luku 160 luvulla 54 ja esitetään tulos jakoyhtälönä. 160 = syt(160, 54) = syt(54, 5) Jaetaan jakaja 54 jakojäännöksellä 5 ja esitetään tulos jakoyhtälönä. 54 = syt(54, 5) = syt(5, ) Jaetaan jakaja 5 jakojäännöksellä ja esitetään tulos jakoyhtälönä. 5 = syt(5, ) = Viimeinen nollaa suurempi jakojäännös on kysytty suurin yhteinen tekijä. Siis syt(160, 54) =.

42 b) Jaetaan luku 69 luvulla 111 ja esitetään tulos jakoyhtälönä. 69 = syt(69, 111) = syt(111, 74) Jaetaan jakaja 111 jakojäännöksellä 74 ja esitetään tulos jakoyhtälönä. 111 = syt(111, 74) = syt(74, 37) Jaetaan jakaja 74 jakojäännöksellä 37 ja esitetään tulos jakoyhtälönä. 74 = syt(74, 37) = 37 Viimeinen nollaa suurempi jakojäännös on kysytty suurin yhteinen tekijä. Siis syt(69, 111) = 37. Vastaus: a) b) 37

43 196 a) Muodostetaan jakoyhtälöt. 495 = syt(495, 364) = syt(364, 131) 364 = syt(364, 131) = syt(131, 10) 131 = syt(131, 10) = syt(10, 9) 10 = syt(10, 9) = syt(9, 15) 9 = syt(9, 15) = syt(15, 14) 15 = syt(15, 14) = syt(14, 1) 14 = syt(14, 1) = 1 Saatiin syt(495, 364) = 1. b) Koska lukujen 364 ja 495 ainoa yhteinen tekijä on 1, niin murtolukua 364 ei voi supistaa. 495 Vastaus: a) syt(364, 495) = 1 b) ei voi supistaa

44 197 Etsitään Eukleideen algoritmin avulla suurin luku, jolla murtoluku 168 voidaan supistaa. 18 Muodostetaan jakoyhtälöt. 18 = syt(18, 168) = syt(168, 14) 168 = syt(168, 14) = 14 Saatiin syt(18, 168) = 14. Eli 14 on suurin luku, jolla murtoluku 168 voidaan supistaa. 18 Vastaus: 14

45 198 a) Määritetään ensin lukujen suurin yhteinen tekijä Eukleideen algoritmilla. 18 = syt(18, 140) = syt(140, 4) 140 = syt(140, 4) = syt(4, 14) 4 = syt(4, 14) = 14 Saatiin syt(18, 140) = 14. Lasketaan seuraavaksi lukujen pienin yhteinen monikerta = = 180 pym( ab, )= ab syt( ab, ) b) Määritetään ensin lukujen suurin yhteinen tekijä Eukleideen algoritmilla. 300 = syt(300, 55) = syt(55, 45) 55 = syt(55, 45) = syt(45, 30) 45 = syt(45, 30) = syt(30, 15) 30 = syt(30, 15) = 15 Saatiin syt(300, 55) = 15. Lasketaan seuraavaksi lukujen pienin yhteinen monikerta Vastaus: a) 1800 b) 5100 = 0 55 = 5100 pym( ab, )= ab syt( ab, )

46 199 a) Etsitään luvuille 116 ja 87 pienin yhteinen monikerta. Määritetään ensin lukujen suurin yhteinen tekijä Eukleideen algoritmilla. 116 = syt(116, 87) = syt(87, 9) 87 = syt(87, 9) = 9 Saatiin syt(116, 87) = 9. Lasketaan seuraavaksi lukujen pienin yhteinen monikerta = = 348 pym( ab, )= ab st y( ab, ) Selvitetään laventajat = = 348 = 4 87 = Yhteinen nimittäjä on 348. Laventajat ovat 3 ja 4. 3) 4) 1 = 3 1 =

47 b) Etsitään luvuille 70 ja 5 pienin yhteinen monikerta. Määritetään ensin lukujen suurin yhteinen tekijä Eukleideen algoritmilla. 70 = syt(70, 5) = syt(5, 0) 5 = syt(5, 0) = syt(0, 5) 0 = syt(0, 5) = 5 Saatiin syt(70, 5) = 5. Lasketaan seuraavaksi lukujen pienin yhteinen monikerta = 70 5 = 350 pym( ab, )= ab syt( ab, ) Selvitetään laventajat = 70 5 = = 14 5 = Yhteinen nimittäjä on 350. Laventajat ovat 5 ja 14. 5) 14) 3 = 15 4 = Vastaus: a) yhteinen nimittäjä 348, laventajat 3 ja 4. b) yhteinen nimittäjä 350, laventajat 5 ja 14

48 00 Tumman neliön sivu on lukujen 378 ja 180 pienin yhteinen monikerta eli pym(378, 180) Selvitetään ensin lukujen suurin yhteinen tekijä Eukleideen algoritmilla. 378 = syt(378, 180) = syt(180, 18) 180 = syt(180, 18) = 18 Saatiin syt(378, 180) = 18. Lasketaan seuraavaksi lukujen pienin yhteinen monikerta = 3780 pym( ab, ) = ab syt( ab, ) Neliön sivun pituus on siis 3780 mm. Neliön ala on siten: 3780 mm 3780 mm = mm 14,3 m. Selvitetään pienimmän yhteisen monikerran lauseketta laventamalla neliön sivuihin tarvittavien laattojen määrät: = = = = 3780 Laattoja tarvitaan 1 10 = 10. Vastaus: 10 laattaa, pinta-ala 14,3 m

49 01 Määritetään lukujen 70, 315 ja 133 suurin yhteinen tekijä syt abc,, = syt syt ab,, c. ( ) hyödyntämällä tietoa: ( ) ( ) syt(70, 315, 133) = syt(syt(70, 315), 133) Selvitetään ensin lukujen 70 ja 315 suurin yhteinen tekijä. 315 = syt(315, 70) = syt(70, 35) 70 = syt(70, 35) = 35 Saatiin syt(315, 70) = 35. Selvitetään lukujen 35 ja 133 suurin yhteinen tekijä. 133 = syt(133, 35) = syt(35, 8) 35 = syt(35, 8) = syt(8, 7) 8 = syt(8, 7) = 7 Saatiin syt(133, 35) = 7. Eli syt(70, 315, 133) = 7. Vastaus: 7

50 0 a) Jaetaan luku 0 luvulla 10 ja esitetään tulos jakoyhtälönä. 0 = syt(0, 10) = syt(10, 100) Jaetaan jakaja 10 jakojäännöksellä 100 ja esitetään tulos jakoyhtälönä. 10 = syt(10, 100) = syt(100, ) Jaetaan jakaja 100 jakojäännöksellä ja esitetään tulos jakoyhtälönä. 100 = syt(100, ) = Viimeinen nollaa suurempi jakojäännös on kysytty suurin yhteinen tekijä. Siis syt(0, 10) =.

51 b) Jaetaan luku 308 luvulla 165 ja esitetään tulos jakoyhtälönä. 308 = syt(308, 165) = syt(165, 143) Jaetaan jakaja 165 jakojäännöksellä 143 ja esitetään tulos jakoyhtälönä. 165 = syt(165, 143) = syt(143, ) Jaetaan jakaja 143 jakojäännöksellä ja esitetään tulos jakoyhtälönä. 143 = syt(143, ) = syt(, 11) Jaetaan jakaja 1 jakojäännöksellä 6 ja esitetään tulos jakoyhtälönä. = syt(, 11) = 11 Viimeinen nollaa suurempi jakojäännös on kysytty suurin yhteinen tekijä. Siis syt(308, 165) = 11. Vastaus: a) b) 11

52 03 a) Ratkaistaan Eukleideen algoritmilla = syt(9614, 11055) = syt(11055, 7504) = syt(11055, 7504) = syt(7504, 3551) 7504 = syt(7504, 3551) = syt(3551, 40) 3551 = syt(3551, 40) = syt(40, 335) 40 = syt(40, 335) = syt(335, 67) 335 = syt(335, 67) = 67 Viimeinen nollaa suurempi jakojäännös on kysytty suurin yhteinen tekijä. Siis syt(9 614, ) = 67. b) Koska syt(9 614, 11055) = 67, murtolausekkeen voi supistaa luvulla 67. Vastaus: a) 67 b) Voi supistaa luvulla 67.

53 04 a) Määritetään ensin lukujen suurin yhteinen tekijä Eukleideen algoritmilla. 396 = syt(396, 363) = syt(363, 33) 363 = syt(363, 33) = 33 Saatiin syt(396, 363) = 33. Lasketaan seuraavaksi lukujen pienin yhteinen monikerta = = 4356 pym( ab, )= ab syt( ab, ) Saatiin pym(396, 363) = 4356.

54 b) Määritetään ensin lukujen suurin yhteinen tekijä Eukleideen algoritmilla. 504 = syt(504, 30) = syt(30, 184) 30 = syt(30, 184) = syt(184, 136) 184 = syt(184, 136) = syt(36, 4) 136 = syt(136, 48) = syt(48, 40) 48 = syt(48, 40) = syt(40, 8) 40 = syt(40, 8) = 8 Saatiin syt(504, 30) = 8. Lasketaan seuraavaksi lukujen pienin yhteinen monikerta = = 0160 pym( ab, )= ab syt( ab, ) Saatiin pym(504, 30) = 0160 Vastaus: a) 4356 b) 0160

55 05 a) Etsitään luvuille 130 ja 49 pienin yhteinen monikerta. Määritetään ensin lukujen suurin yhteinen tekijä Eukleideen algoritmilla. 49 = syt(49, 130) = syt(130, 39) 130 = syt(130, 39) = syt(39, 13) 39 = syt(39, 13) = 13 Saatiin syt(49, 130) = 13. Lasketaan seuraavaksi lukujen pienin yhteinen monikerta = = 490 pym( ab, )= ab syt( ab, ) Selvitetään laventajat = = = = 40 9 Yhteinen nimittäjä on 490. Laventajat ovat 10 ja ) 10) 1 = 33 1 =

56 b) Etsitään luvuille 0 ja 99 pienin yhteinen monikerta. Määritetään ensin lukujen suurin yhteinen tekijä Eukleideen algoritmilla. 0 = 99 + syt(0, 99) = syt(99, ) 99 = syt(99, ) = syt(, 11) = syt(, 11) = 11 Saatiin syt(0, 99) = 11. Lasketaan seuraavaksi lukujen pienin yhteinen monikerta = 0 9 = 1980 pym( ab, )= ab st y( ab, ) Selvitetään laventajat = 0 9 = = 0 99 = 1980 Yhteinen nimittäjä on Laventajat ovat 9 ja 0. 9) 0) 3 = 7 5 = Vastaus: a) yhteinen nimittäjä 490, laventajat 10 ja 3 b) yhteinen nimittäjä 1980, laventajat 9 ja 0

57 06 Tiedetään, että syt(x, 8) = 14 ja pym(x, 8) = 84. Hyödynnetään pienimmän yhteisen monikerran laskukaavaa: pym( ab, )= ab syt( ab, ). Saadaan: x 8 = x = x = 4. Vastaus: x = 4

58 07 Määritetään lukujen 510, 1938 ja 3740 suurin yhteinen tekijä syt abc,, = syt syt ab,, c. ( ) hyödyntämällä tietoa: ( ) ( ) syt(510, 1938, 3740) = syt(syt(510, 1938), 3740) Selvitetään ensin lukujen 510 ja 1938 suurin yhteinen tekijä = syt(1938, 510) = syt(510, 408) 510 = syt(510, 408) = syt(408, 10) 408 = syt(408, 10) = 10 Saatiin syt(1938, 510) = 10. Selvitetään lukujen 10 ja 3740 suurin yhteinen tekijä = syt(3740, 10) = syt(10, 68) 10 = syt(10, 68) = syt(68, 34) 68 = syt(68, 34) = 34 Saatiin syt(3740, 10) = 34. Eli syt(510, 1938, 3740) = 34 Vastaus: 34

59 08 Määritetään lukujen 1, 18 ja 5 pienin yhteinen monikerta pym abc,, = pym pym ab,, c. ( ) hyödyntämällä tietoa: ( ) ( ) pym(1, 18, 5) = pym(pym(1, 18), 5) Selvitetään ensin lukujen 1 ja 18 suurin yhteinen tekijä. 18 = syt(18, 1) = syt(1, 6) 1 = syt(1, 6) = 6 Saatiin syt(18, 1) = 6. Selvitetään lukujen 18 ja 1 pienin yhteinen monikerta = 18 = 36 pym( ab, )= ab syt( ab, ) Saatiin pym(18, 1) = 36. Selvitetään lukujen 36 ja 5 suurin yhteinen tekijä. 36 = syt(36, 5) = syt(5, 11) 5 = syt(5, 11) = syt(11, 3) 11 = syt(11, 3) = syt(3, ) 3 = syt(3, ) = syt(, 1) = syt(, 1) = 1 Saatiin syt(36, 5) = 1.

60 Selvitetään lukujen 36 ja 5 pienin yhteinen monikerta = 900 pym( ab, )= ab 1 syt( ab, ) Saatiin pym(36, 5) = 900. Eli pym(1, 18, 5) = 900 Vastaus: 90

61 09 Kuution särmän pituus on lukujen 4, 18 ja 8 pienin yhteinen monikerta eli pym(4, 18, 8). Määritetään lukujen 4, 18 ja 8 pienin yhteinen monikerta pym abc,, = pym pym ab,, c. ( ) hyödyntämällä tietoa: ( ) ( ) pym(4, 18, 8) = pym(pym(4, 18), 8) Selvitetään ensin lukujen 4 ja 18 suurin yhteinen tekijä. 4 = syt(4, 18) = syt(18, 6) 18 = syt(18, 6) = 6 Saatiin syt(4, 18) = 6. Selvitetään lukujen 4 ja 18 pienin yhteinen monikerta = 4 3 = 7 pym( ab, )= ab syt( ab, ) Saatiin pym(4, 18) = 7. Selvitetään lukujen 7 ja 8 suurin yhteinen tekijä. 7 = syt(7, 8) = 8 Saatiin syt(7, 8) = 8.

62 Selvitetään lukujen 7 ja 8 pienin yhteinen monikerta = 7 pym( ab, )= ab syt( ab, ) Saatiin pym(7, 8) = 7. Eli kuution särmä on 7 cm. Tällöin kuution tilavuus on 73 = (cm 3) 0,37 (m 3) Koska 7 = ja 7 = ja 7 = , tiiliä kuutioon tarvitaan = 108. Vastaus: 108 tiiltä, tilavuus 0,37 m 3

63 10 Oletus Väite Todistus Luku n on luonnollinen luku. Lukujen 11n + 3 ja 7n + suurin yhteinen tekijä on luku 1. Etsitään lukujen 11n + 3 ja 7n + suurin yhteinen tekijä Eukleideen algoritmin avulla. 11n+ 3 = (7n+ ) 1 + (4n+ 1) 7n+ = (4n+ 1) 1 + (3n+ 1) 4n+ 1 = (3n+ 1) 1 + n 3n+ 1= n 3+ 1 n = 1 n+ 0 Saatiin syt(11n + 3, 7n + ) = 1. Siispä lukujen 11n + 3 ja 7n + suurin yhteinen tekijä on luku 1.

64 11 a) Määritetään ensin kertoimien 9 ja 11 suurin yhteinen tekijä Eukleideen algoritmilla. 9 = = = = = 3 1 Siis syt(9, 11) = 1. Ratkaistaan seuraavaksi jakoyhtälöistä jakojäännökset. 7 = = = = 4 3 1

65 Aloitetaan viimeisestä yhtälöstä ja sijoitetaan vuorollaan jokaisen jakojäännöksen lauseke. 1 = Sijoitetaan 3 = = 4 (7 4 1) Poistetaan sulkeet. = Yhdistetään kertoimet. = 4 7 Sijoitetaan 4 = = (11 7 1) 7 Poistetaan sulkeet. = Yhdistetään kertoimet. = Sijoitetaan 7 = = 11 (9 11 ) 3 Poistetaan sulkeet. = Yhdistetään kertoimet. = = 9 ( 3) Yhtälön 9x+ 11y = 1 eräs ratkaisu on x = 3 ja y = 8.

66 b) Tiedetään, että yhtälö 9x+ 11y = 1 toteutuu, kun x = 3 ja y = 8. Eli: 9 ( 3) = ( 3) = ( 39) = 13 Yhtälön 9x+ 11y = 13 eräs ratkaisu on x = 39 ja y = 104. Vastaus: a) esimerkiksi x = 3 ja y = 8 b) esimerkiksi x = 39 ja y = 104.

67 1 a) Määritetään ensin kertoimien 15 ja 8 suurin yhteinen tekijä Eukleideen algoritmilla. 15 = = = 1 7 Siis syt(15, 8) = 1. Ratkaistaan seuraavaksi jakoyhtälöistä jakojäännökset. 7 = = Aloitetaan viimeisestä yhtälöstä ja sijoitetaan vuorollaan jokaisen jakojäännöksen lauseke. 1 = Sijoitetaan 7 = = 8 (15 8 1) Poistetaan sulkeet. = Yhdistetään kertoimet. = = 15 ( 1) + 8 Yhtälön 15x+ 8y = 1 eräs ratkaisu on x = 1 ja y =. Muut ratkaisut ovat: x = 1+ n 8 = 1+ 8 n ja y = n 15 = 15 n, n. 1 1

68 b) Tiedetään, että yhtälö 15x+ 8y = 1 toteutuu, kun x = 1 ja y =. Eli: 15 ( 1) + 8 = ( 1) = ( 50) = 50 Yhtälön 15x+ 8y = 50 eräs ratkaisu on x = 50 ja y = 100. Muut ratkaisut ovat: x = 50 + n 8 = n ja y = 100 n 15 = n, n Z. 1 1 Vastaus: a) x = 1+ 8 n ja y = 15 n, n. b) x = n ja y = n, n.

69 13 a) Määritetään ensin kertoimien 37 ja 7 suurin yhteinen tekijä Eukleideen algoritmilla. 37 = = = = = 1 3 Siis syt(37, 7) = 1. Ratkaistaan seuraavaksi jakoyhtälöistä jakojäännökset. 10 = = = = 7 3

70 Aloitetaan viimeisestä yhtälöstä ja sijoitetaan vuorollaan jokaisen jakojäännöksen lauseke. 1= 7 3 = 7 (10 7 1) = = = 10 + (7 10 ) 3 = = = (37 7 1) = = 37 ( 8) Sijoitetaan 3 = Poistetaan sulkeet. Yhdistetään kertoimet. Sijoitetaan 7 = Poistetaan sulkeet. Yhdistetään kertoimet. Sijoitetaan 10 = Poistetaan sulkeet. Yhdistetään kertoimet. Yhtälön 37x+ 7 y = 1 eräs ratkaisu on x = 8 ja y = 11. Muut ratkaisut ovat: x = 8 + n 7 = n ja y = 11 n 37 = n, n. 1 1

71 b) Tiedetään, että yhtälö 37x+ 7 y = 1 toteutuu, kun x = 8 ja y = 11. Eli: 37 ( 8) = ( 8) = ( 8000) = 1000 Yhtälön 37x+ 7 y = 1000 eräs ratkaisu on x = 8000 ja y = Muut ratkaisut ovat: x = n 7 = n ja 1 y = n 37 = n, n. 1 Vastaus: a) x = n ja y = n, missä n. b) x = n ja y = n, missä n.

72 14 Oletus Väite Todistus Luku r n on kokonaislukujen a ja b ( a > b) suurin yhteinen tekijä. Luku r n on jaollinen jokaisella lukujen a ja b yhteisellä tekijällä. Olkoon luku c mielivaltainen lukujen a ja b yhteinen tekijä. Eukleideen algoritmin perusteella: a = bq + r 1 1 b= rq + r 1 r = rq + r rn = rn 1q+ rn r = rq + 0 n 1 n n+ 1 Nyt siis syt(a, b) = r n. Jos luku c on lukujen a ja b yhteinen tekijä, niin se on myös lukujen b ja r 1 yhteinen tekijä. Jos luku c on lukujen b ja r 1 yhteinen tekijä, se on myös lukujen r 1 ja r yhteinen tekijä. Näin jatkaen havaitaan, että luku c on myös lukujen r n 1 ja r n yhteinen tekijä. On siis osoitettu, että luku n r on jaollinen jokaisella lukujen a ja b yhteisellä tekijällä.

73 15 Tulee osoittaa: 1) jos luku d on lukujen a, b ja c yhteinen tekijä, niin se on lukujen syt(a, b) ja c yhteinen tekijä. ja ) jos luku d on lukujen syt(a, b) ja c yhteinen tekijä, niin se on lukujen a, b ja c yhteinen tekijä. Osoitetaan ensin kohta 1). Olkoon d lukujen a, b ja c yhteinen tekijä. Koska d on lukujen a ja b yhteinen tekijä, on se myös luvun syt(a, b) tekijä (tehtävän 14 perusteella). Siten luku d on lukujen syt(a, b) ja c yhteinen tekijä. Osoitetaan sitten kohta ). Olkoon d lukujen syt(a, b) ja c yhteinen tekijä. Koska d on luvun syt(a, b) tekijä, niin syt( ab, ) = d m, missä m on kokonaisluku. Koska molemmat luvuista a ja b ovat jaollisia luvulla syt( ab, ) = d m, niin molemmat luvuista a ja b ovat jaollisia myös luvulla d. Siten d on lukujen a, b ja c yhteinen tekijä.

74 Koska kohtien 1) ja ) perusteella lukujen a, b ja c yhteiset tekijät ovat samat kuin lukujen syt(a, b) ja c, niin niiden suurin yhteinen tekijäkin on sama. On siis osoitettu, että syt(a, b, c) = syt(syt(a, b), c).

75 16 a) Koska165 = (mod 1), kello näyttää aikaa b) Koska165 = (mod 4), kello näyttää aikaa Vastaus: a) 9.00 b) 1.00

76 17 a) Osoitetaan, että lukujen 71 ja 3 erotus on jaollinen luvulla = 68 = 4 17 Siis 71 3 (mod 4). b) Osoitetaan, että lukujen 48 ja 1 erotus on jaollinen luvulla ( 1) = 49 = 7 7 Siis 48 1 (mod 7). c) Osoitetaan, että luku 7 on jaollinen luvulla 1. 7 = 1 6 Siis 7 0 (mod 1).

77 18 a) Lasketaan lukujen 754 ja 41 erotus = 333 = Koska erotus on jaollinen luvulla 3, niin (mod 3). Siten luvuilla 754 ja 41 on sama jakojäännös, kun ne jaetaan luvulla 3. b) Lasketaan lukujen ja 75 9 erotus (75 9) = 1 = 3 7 Koska erotus on jaollinen luvulla 3, niin (mod 3). Siten luvuilla ja 75 9 on sama jakojäännös, kun ne jaetaan luvulla 3. c) Lasketaan lukujen 83 1 ja erotus ( + 1) = ( ) 5 ( + 1) = = 6 = 3 ( ) Koska erotus on jaollinen luvulla 3, niin ( mod 3) Siten luvuilla 83 1 ja on sama jakojäännös, kun ne jaetaan luvulla 3.

78 19 Kun luvut jaetaan luvulla 3, niin jakojäännös on 1. Kahden luvun erotus on aina jaollinen luvulla 3. Luvut ovat kongruentit modulo 3.

79 0 Jakolaskun 74 : 8 jakojäännös on, joten 74 ( mod 8 ). Jakolaskun 65 : 8 jakojäännös on 1, joten 65 1 ( mod 8 ). Jakolaskun 57 : 8 jakojäännös on 1, joten 57 1 ( mod 8 ). Korvataan laskutoimituksen luvut kongruenteilla luvuilla modulo (mod 8) Kongruenteilla luvuilla on sama jakojäännös. Kun luku jaetaan luvulla 8, niin jakojäännös on 4. Vastaus: 4

80 1 Väite (mod 4) Todistus Tulee siis todistaa, että luku on jaollinen luvulla 4. Todistetaan jaollisuus kongruenssin avulla. Jakolaskun 9 : 4 jakojäännös on 1, joten 9 1 ( mod 4 ). Jakolaskun 5 : 4 jakojäännös on 1, joten 5 1 ( mod 4 ). Korvataan laskutoimituksen luvut kongruenteilla luvuilla modulo (mod 4) Väite (mod 4) pitää paikkansa.

81 a) Erotus 0 ( 1) = 1 on jaollinen luvulla 1, joten 0 1 ( mod 1 ). Korvataan laskutoimituksen luku kongruentilla luvulla modulo ( 1) 1 0 (mod 1) Jakojäännös on 0. b) Erotus 6 ( 1) = 63 = 1 3 on jaollinen luvulla 1, joten 63 1 ( mod 1 ). Erotus 85 1 = 84 = 1 4 on jaollinen luvulla 1, joten 85 1 mod 1. ( ) Korvataan laskutoimituksen luvut kongruenteilla luvuilla modulo ( 1) (mod 1) Jakojäännös on 0. Vastaus: a) 0 b) 0

82 3 Todistetaan jaollisuus kongruenssin avulla. Luku on jaollinen luvulla 3, jos se on kongruentti nollan kanssa modulo 3. Erotus = on jaollinen luvulla 3, joten ( ) Erotus ( 1) mod 3. = on jaollinen luvulla 3, joten ( ) 1 mod 3. Korvataan laskutoimituksen luvut kongruenteilla luvuilla modulo ( 1) 1 + ( 1) 0 (mod 3) Jakojäännös on 0, joten luku on jaollinen luvulla 3.

83 Tekijä Pitkä matematiikka Määritetään jakojäännös kongruenssin avulla. Muokataan lukua = ( ) = 8 Erotus = on jaollinen luvulla 7, joten ( ) 8 1 mod 7. Korvataan laskutoimituksen luku kongruentilla luvulla modulo 7. Jakojäännös on 1. Vastaus: (mod 7)

84 5 a) Erotus = 999 = on jaollinen luvulla 111, joten mod 111. ( ) b) Osoitetaan jaollisuus kongruenssin avulla =1(mod 111), 110 = 1 (mod 111) ( 1) (mod 111) Saatiin (mod 111) eli luku on jaollinen luvulla 111.

85 6 a) Erotus 34 ( 1) = = 8 = 41 on jaollinen luvulla 41, 34 1 mod 41. joten ( ) b) Tutkitaan jaollisuutta kongruenssin avulla (3 4) ( 1) ( 1) 0 (mod 41) Saatiin (mod 41) eli luku on jaollinen luvulla 41. Vastaus: b) on

86 7 Luvun 318 viimeinen numero on jakojäännös, kun luku jaetaan luvulla 10. Tutkitaan siis kongruenssia modulo (3 ) 9 64 ( 1) 64 1 (mod 10) 3 3 (mod 10) = 3 = (3 ) 9 1 (mod 10) Saatiin (mod 10) eli luvun 318 viimeinen numero on luku 1. Vastaus: 1

87 8 Uudenvuodenpäivästä vuonna 000 uudenvuodenpäivään vuonna 017 on kulunut 17 vuotta. Tälle ajalle osuvat vuosien 000, 004, 008, 01 ja 016 karkauspäivät. Ajanjakson päivien lukumäärä on Määritetään kongruenssin avulla jakojäännös, kun päivien lukumäärä jaetaan luvulla (mod 7) 17 3 = 14 = (mod 7) = 364 = (mod 7) Jakojäännös on 1. Vuoden 000 uudenvuodenpäivästä on kulunut kokonaisten viikkojen lisäksi päivää. Koska vuoden 017 uudenvuodenpäivä oli sunnuntai, vuoden 000 uudenvuodenpäivä oli 1 viikonpäivää aiemmin eli lauantaina. Vastaus: Lauantai

88 9 Oletus Luku n on kokonaisluku. Väite Luku nn ( + 5) on jaollinen luvulla 3. Todistus Todistetaan jaollisuus kongruenssin avulla. Jokainen kokonaisluku n toteuttaa yhden kongruensseista n 0, n 1 tai n (mod 3) Osoitetaan, että kaikissa tapauksissa nn ( + 5) 0 (mod 3). 1) Jos n 0 (mod 3), niin nn ( + 5) 0(0 + 5) 0 (mod 3). ) Jos n 1 (mod 3), niin nn ( + 5) 1(1 + 5) (mod 3). 3) Jos n (mod 3), niin nn ( + 5) ( + 5) (mod 3). Huomataan, että aina nn ( + 5) 0 (mod 3). Siispä kaikilla kokonaisluvuilla n luku nn ( + 5) on jaollinen luvulla 3.

89 30 Oletus Luku n on kokonaisluku. Väite Luku n 5 n on jaollinen luvulla 5. Todistus Todistetaan jaollisuus kongruenssin avulla. Jokainen kokonaisluku n toteuttaa yhden kongruensseista n 0, n 1, n, n 3 tai n 4 (mod 5) Osoitetaan, että kaikissa tapauksissa n 5 n 0 (mod 5). 1) Jos n 0 (mod 5), niin n5 n (mod 5). ) Jos n 1 (mod 5), niin n5 n (mod 5). 3) Jos n (mod 5), niin n5 n (mod 5). 4) Jos n 3 (mod 5), niin n5 n (mod 5). 5) Jos n 4 (mod 5), niin n5 n (mod 5). Huomataan, että aina n 5 n 0 (mod 5). Siispä kaikilla kokonaisluvuilla n luku jaollinen luvulla 5. n 5 n on

90 31 a) Koska 394 = (mod 4) ja = 19 kello näyttää aikaa = b) Koska 17 = (mod 1) ja 9 1= 8 kello näyttää aikaa Vastaus: a) b) 8.00

91 3 a) Osoitetaan, että lukujen 33 ja 1 erotus on jaollinen luvulla ( 1) = 333 = Siis 33 1 (mod 111). b) Osoitetaan, että lukujen 43 ja 193 erotus on jaollinen luvulla = 150 = 5 ( 86) Siis (mod 5). c) Osoitetaan, että luku 1000 on jaollinen luvulla = 8 15 Siis (mod 8).

92 33 Lasketaan lukujen 60 3 ja erotus ( ) = 3 ( ) 18 = = 1 = 7 ( 3) Koska erotus on jaollinen luvulla 7, niin ( mod 7). Siten luvuilla 60 3 ja on sama jakojäännös, kun ne jaetaan luvulla 7.

93 34 Kun luvut jaetaan luvulla 5, niin jakojäännös on 3. Kahden luvun erotus on aina jaollinen luvulla 5. Luvut ovat kongruentit modulo 5.

94 35 Muodostetaan lukujen 16, 8 ja 4 kongruentit luvut modulo ( mod 5) 8 3 ( mod 5) 4 1 ( mod 5) Korvataan laskutoimituksen luvut kongruenteilla luvuilla modulo ( 1) 1 3 ( 1) 4 (mod 5) Kongruenteilla luvuilla on sama jakojäännös. Kun luku jaetaan luvulla 5, niin jakojäännös on 4. Vastaus: 4

95 36 Todistetaan jaollisuus kongruenssin avulla. Luku on jaollinen luvulla 3, jos se on kongruentti nollan kanssa modulo 3. = on jaollinen luvulla 3, joten ( ) Erotus Erotus ( 1) mod 3. = on jaollinen luvulla 3, joten ( ) 1 mod 3. Korvataan laskutoimituksen luvut kongruenteilla luvuilla modulo ( 1) 1 + ( 1) 0 (mod 3) Jakojäännös on 0, joten luku on jaollinen luvulla 3.

96 37 Tutkitaan luvun17 3 kongruenssia modulo 15. Erotus = on jaollinen luvulla 15, joten ( ) 17 mod 15. Korvataan laskutoimituksen luku 17 kongruentilla luvulla modulo (mod 15) Vastaus: x = 8

97 38 a) Erotus 11 4 = 11 4 = 117 on jaollinen luvulla 117, joten 11 4 mod 117. ( ) b) Osoitetaan jaollisuus kongruenssin avulla (11 ) ( ) (mod 117) 11 4(mod 117) Saatiin (mod 117) eli luku on jaollinen luvulla 117.

98 39 a) Luvun kaksi viimeistä numeroa ovat jakojäännös, kun luku jaetaan luvulla 100. Tutkitaan siis kongruenssia modulo ( 1) (mod 1 99 (mod 100) 100) Saatiin (mod 100) eli luvun viimeinen numero on luku 99. b) Luvun kaksi viimeistä numeroa ovat jakojäännös, kun luku jaetaan luvulla 100. Tutkitaan siis kongruenssia modulo (51 ) (mod 100) (mod 100) Saatiin (mod 100) eli luvun kaksi viimeistä numeroa ovat 01. Vastaus: a) 99 b) 01

99 40 Tälle ajalle osuvat karkausvuodet vuodesta 190 vuoteen 016 eli yhteensä 5 karkauspäivää. Ajanjakson päivien lukumäärä on Määritetään kongruenssin avulla jakojäännös, kun päivien lukumäärä jaetaan luvulla (mod 7) 100 = 98 = (mod 7) = 364 = (mod 7) 5 4 = 1 = (mod 7) Jakojäännös on 6. Joulukuun 6. päivästä vuonna 1917 on kulunut kokonaisten viikkojen lisäksi 6 päivää. Koska on keskiviikko, oli 6 viikonpäivää aiemmin eli torstaina. Vastaus: torstai

100 41 Oletus Luku n on positiivinen kokonaisluku. Väite Luku 16 7n 8 3 n 3 on jaollinen luvulla 5. Todistus Todistetaan jaollisuus kongruenssin avulla (mod 5) 7 (mod 5) 8 3 (mod 5) 3 (mod 5) Korvataan laskutoimituksen luvut kongruenteilla luvuilla modulo 5. n n n 3 ( ) n+ 3 3 ( ) ( ) (1 + 4) n 5 n 55 0 (mod 5) n 3 n n n n n ( ) =, koska n on parillinen. Erotetaan yhteiseksi tekijäksi. Havaitaan, että 16 7n 8 3n (mod 5). Luku 16 7n 8 3 n + 3 on jaollinen luvulla 5 kaikilla positiivisilla kokonaisluvuilla n.

101 4 Oletus Luku n on pariton positiivinen kokonaisluku. Väite Luku 1n + n + 3n + 4n + 5n on jaollinen luvulla 5. Todistus Todistetaan jaollisuus kongruenssin avulla. 3 (mod 5) 4 1 (mod 5) 5 0 (mod 5) Korvataan laskutoimituksen luvut kongruenteilla luvuilla modulo 5. n n n n n ( ) + ( 1) + 0 n n n n n n n n n 1 + ( ) (1 ) 0 (mod 5) n n n n ( ) = ( ) ja ( 1) = (1 ) koska n on pariton. Havaitaan, että1n + n + 3n + 4n + 5n 0 (mod 5). Luku 1n + n + 3n + 4n + 5n on jaollinen luvulla 5 kaikilla parittomilla positiivisilla kokonaisluvuilla n.

102 43 Oletus Luku n on kokonaisluku. Väite Luku nn ( + 1)( n + 4) on jaollinen luvulla 5. Todistus Todistetaan jaollisuus kongruenssin avulla. Jokainen kokonaisluku n toteuttaa yhden kongruensseista n 0, n 1, n, n 3 tai n 4 (mod 5) Osoitetaan, että kaikissa tapauksissa nn ( + 1)( n + 4) 0 (mod 5). 1) Jos n 0 (mod 5), niin nn ( + 1)( n + 4) 0 (0 + 1) (0 + 4) 0 (mod 5). ) Jos n 1 (mod 5), niin nn ( + 1)( n + 4) 1 (1 + 1) (1 + 4) (mod 5). 3) Jos n (mod 5), niin nn ( + 1)( n + 4) ( + 1) ( + 4) (mod 5). 4) Jos n 3 (mod 5), niin nn ( + 1)( n + 4) 3 (3 + 1) (3 + 4) (mod 5). 5) Jos n 4 (mod 5), niin nn ( + 1)( n + 4) 4 (4 + 1) (4 + 4) (mod 5).

103 Huomataan, että aina nn ( + 1)( n + 4) 0 (mod 5). Siispä kaikilla kokonaisluvuilla n luku nn ( + 1)( n + 4) on jaollinen luvulla 5.

104 44 Oletus Luku n ei ole jaollinen luvulla 3. Väite Luku n 6 1 on jaollinen luvulla 9. Todistus Todistetaan jaollisuus kongruenssin avulla. Jos luku n ei ole jaollinen luvulla 3, silloin tarkastellaan lukuja n, jotka toteuttavat kongruenssit n 1, n, n 4, n 5, n 7 tai n 8 (mod 9). Osoitetaan, että kaikissa tapauksissa n (mod 9). 1) Jos n 1 (mod 9), niin n (mod 9). ) Jos n (mod 9), niin n (mod 9). 3) Jos n 4 (mod 9), niin n (mod 9). 4) Jos n 5 (mod 9), niin n (mod 9). 5) Jos n 7 (mod 9), niin n (mod 9). 6) Jos n 8 (mod 9), niin n (mod 9).

105 Huomataan, että aina, kun n ei ole jaollinen luvulla 3, n (mod 9). Siispä nn ( + 1)( n + 4) on jaollinen luvulla 9, kun n ei ole jaollinen luvulla 3.

106 45 Oletus Luku n on satanumeroinen kokonaisluku, jonka kaikki numerot ovat yhdeksikköjä. Väite Luku n on jaollinen luvulla 101. Todistus Luku n voidaan kirjoittaa muodossa Todistetaan jaollisuus kongruenssin avulla (10 ) ( 1) (mod 101) (mod 101) Huomataan, että (mod 101). Siispä satanumeroinen kokonaisluku, jonka kaikki numerot ovat yhdeksikköjä on jaollinen luvulla 101.

107 46 a) Merkitään a = nq1+ r 1 ja b = nq + r, missä q1, q ja luvut r1 ja rovat suurempia tai yhtä suuria kuin nolla sekä pienempiä kuin luku n. Luvut ovat kongruentit modulo n, jos niiden erotus on jaollinen luvulla n. Tutkitaan lukujen a ja b erotusta. a b = nq1+ r1 ( nq + r) = nq1 nq + r1 r = nq ( q) + r r 1 1 Huomataan, että lukujen a ja b erotus on jaollinen luvulla n jos ja vain jos r1 r = 0 eli r1 = r. Eli saatiin, että luvut a ja b ovat kongruentit modulo n, jos ja vain jos luvuilla a ja b on sama jakojäännös, kun ne jaetaan luvulla n.

108 b) Koska tiedetään, että jakolaskun a: n jakojäännös on r, merkitään a = nq + r, missä q ja 0 r< n. Luvut ovat kongruentit modulo n, jos niiden erotus on jaollinen luvulla n. Muodostetaan lukujen a ja r erotus. a r = ( nq + r) r = nq Huomataan, että lukujen erotus on jaollinen luvulla n. Luvut a ja r ovat siten kongruentit modulo n.

109 47 a) Koska 89 = 9, täytyy tutkia jaollisuutta alkuluvuilla, jotka ovat pienempiä tai yhtä suuria kuin luku 9 eli alkuluvuilla, 3, 5 ja 7. Tarvitaan siis korkeintaan 4 jakolaskua. b) Koska 751 = 7, täytyy tutkia jaollisuutta alkuluvuilla, jotka ovat pienempiä tai yhtä suuria kuin luku 7 eli alkuluvuilla, 3, 5, 7, 11, 13, 17 ja 3. Tarvitaan siis korkeintaan 8 jakolaskua. c) Koska 4507 = 67, täytyy tutkia jaollisuutta alkuluvuilla, jotka ovat pienempiä tai yhtä suuria kuin luku 67 eli alkuluvuilla, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 3, 9, 31, 41, 43, 47, 51, 53, 57, 59, 61 ja 67. Tarvitaan siis korkeintaan 19 jakolaskua. Vastaus: a) 4 b) 8 c) 19

110 48 a) Koska 79 = 8, täytyy tutkia jaollisuutta alkuluvuilla, jotka ovat pienempiä tai yhtä suuria kuin luku 8 eli alkuluvuilla, 3, 5 ja : = 39,5 79 : 3 = 7, : 5 = 15,8 79 : 7 = 11,85 Koska mikään jakolaskuista ei mene tasan, luku 79 on alkuluku. b) Koska 143 = 11, täytyy tutkia jaollisuutta alkuluvuilla, jotka ovat pienempiä tai yhtä suuria kuin luku 11 eli alkuluvuilla, 3, 5, 7 ja : = 71,5 143 : 3 = 47, : 5 = 8,6 143 : 7 = 0, : 11 = 13 Koska jakolasku 143 : 11 = 13 menee tasan, luku 143 ei ole alkuluku.

111 c) Koska 961 = 31 täytyy tutkia jaollisuutta alkuluvuilla, jotka ovat pienempiä tai yhtä suuria kuin luku 31 eli alkuluvuilla, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 3, 9, : = 480,5 961 : 3 = 30, : 5 = 19, 961 : 7 = 137, : 11 = 87, : 13 = 73, : 17 = 56, : 19 = 50, : 3 = 41, : 9 = 33, : 31 = 31 Koska jakolasku 961 : 31 = 31 menee tasan, luku 961 ei ole alkuluku. Tämä nähdään toisaalta jo suoraan laskutoimituksesta 961 = 31, josta seuraa, että = 961. Vastaus: a), 3, 5, 7, on alkuluku b), 3, 5, 7, 11, ei ole alkuluku c), 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 3, 9, 31, ei ole alkuluku

Juuri 11 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 11 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus K1. a) 72 = 2 36 = 2 2 18 = 2 2 2 9 = 2 2 2 3 3 = 2 3 3 2 252 = 2 126 = 2 2 63 = 2 2 3 21 = 2 2 3 3 7 = 2 2 3 2 7 syt(72, 252) = 2 2 3 2 = 36 b) 252 = 72 3 + 36 72 = 36 2 syt(72, 252) = 36 c) pym(72,

Lisätiedot

Testaa taitosi 1: Lauseen totuusarvo

Testaa taitosi 1: Lauseen totuusarvo Testaa taitosi 1: Lauseen totuusarvo 1. a) Laadi lauseen A (B A) totuustaulu. b) Millä lauseiden A ja B totuusarvoilla a-kohdan lause on tosi? c) Suomenna a-kohdan lause, kun lause A on olen vihainen ja

Lisätiedot

LUKUTEORIA johdantoa

LUKUTEORIA johdantoa LUKUTEORIA johdantoa LUKUTEORIA JA TODISTAMINEN, MAA11 Lukuteorian tehtävä: Lukuteoria tutkii kokonaislukuja, niiden ominaisuuksia ja niiden välisiä suhteita. Kokonaislukujen maailma näyttää yksinkertaiselta,

Lisätiedot

Valitse kuusi tehtävää! Kaikki tehtävät ovat 6 pisteen arvoisia.

Valitse kuusi tehtävää! Kaikki tehtävät ovat 6 pisteen arvoisia. MAA11 Koe 8.4.013 5 5 1. Luvut 6 38 ja 43 4 jaetaan luvulla 17. Osoita, että tällöin jakojäännökset ovat yhtäsuuret. Paljonko tämä jakojäännös on?. a) Tutki onko 101 alkuluku. Esitä tutkimuksesi tueksi

Lisätiedot

1 Lukujen jaollisuudesta

1 Lukujen jaollisuudesta Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 1 1 Lukujen jaollisuudesta Lukujoukoille käytetään seuraavia merkintöjä: N = {1, 2, 3, 4,... } Luonnolliset luvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Kokonaisluvut Kun

Lisätiedot

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti!

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! MAA11 Koe.4.014 Jussi Tyni Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! A-Osio: Ei saa käyttää laskinta. MAOL saa olla alusta asti käytössä. Maksimissaan

Lisätiedot

2.1. Tehtävänä on osoittaa induktiolla, että kaikille n N pätee n = 1 n(n + 1). (1)

2.1. Tehtävänä on osoittaa induktiolla, että kaikille n N pätee n = 1 n(n + 1). (1) Approbatur 3, demo, ratkaisut Sovitaan, että 0 ei ole luonnollinen luku. Tällöin oletusta n 0 ei tarvitse toistaa alla olevissa ratkaisuissa. Se, pidetäänkö nollaa luonnollisena lukuna vai ei, vaihtelee

Lisätiedot

= 3 = 1. Induktioaskel. Induktio-oletus: Tehtävän summakaava pätee jollakin luonnollisella luvulla n 1. Induktioväite: n+1

= 3 = 1. Induktioaskel. Induktio-oletus: Tehtävän summakaava pätee jollakin luonnollisella luvulla n 1. Induktioväite: n+1 Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka tutuksi Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia 4-810 1 Osoita induktiolla, että luku 15 jakaa luvun 4 n 1 aina, kun n Z + Todistus Tarkastellaan ensin väitettä

Lisätiedot

Lukuteorian kertausta

Lukuteorian kertausta Lukuteorian kertausta Jakoalgoritmi Jos a, b Z ja b 0, niin on olemassa sellaiset yksikäsitteiset kokonaisluvut q ja r, että a = qb+r, missä 0 r < b. Esimerkki 1: Jos a = 60 ja b = 11, niin 60 = 5 11 +

Lisätiedot

Suurin yhteinen tekijä (s.y.t.) ja pienin yhteinen monikerta (p.y.m.)

Suurin yhteinen tekijä (s.y.t.) ja pienin yhteinen monikerta (p.y.m.) Suurin yhteinen tekijä (s.y.t.) ja pienin yhteinen monikerta (p.y.m.) LUKUTEORIA JA TODISTAMINEN, MAA11 Määritelmä, yhteinen tekijä ja suurin yhteinen tekijä: Annettujen lukujen a ja b yhteinen tekijä

Lisätiedot

Ratkaisut Summa on nolla, sillä luvut muodostavat vastalukuparit: ( 10) + 10 = 0, ( 9) + 9 = 0,...

Ratkaisut Summa on nolla, sillä luvut muodostavat vastalukuparit: ( 10) + 10 = 0, ( 9) + 9 = 0,... Ratkaisut 1 1. Summa on nolla, sillä luvut muodostavat vastalukuparit: ( 10) + 10 = 0, ( 9) + 9 = 0,.... Nolla, koska kerrotaan nollalla. 3. 16 15 50 = ( 8) 15 50 = (8 15) ( 50) = 1000 500 = 500 000. 4.

Lisätiedot

Esitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa 1. Lähdetään sieventämään epäyhtälön vasenta puolta:

Esitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa 1. Lähdetään sieventämään epäyhtälön vasenta puolta: MATP00 Johdatus matematiikkaan Ylimääräisten tehtävien ratkaisuehdotuksia. Osoita, että 00 002 < 000 000. Esitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa. Lähdetään sieventämään epäyhtälön

Lisätiedot

Jokainen kokonaisluku n voidaan esittää muodossa (missä d on positiivinen kok.luku) Tässä q ja r ovat kokonaislukuja ja 0 r < d.

Jokainen kokonaisluku n voidaan esittää muodossa (missä d on positiivinen kok.luku) Tässä q ja r ovat kokonaislukuja ja 0 r < d. Jakoyhtälö: Jokainen kokonaisluku n voidaan esittää muodossa (missä d on positiivinen kok.luku) n = d*q + r Tässä q ja r ovat kokonaislukuja ja 0 r < d. n = d * q + r number divisor quotient residue numero

Lisätiedot

Lukuteoria. Eukleides Aleksandrialainen (n. 300 eaa)

Lukuteoria. Eukleides Aleksandrialainen (n. 300 eaa) Lukuteoria Lukuteoria on eräs vanhimmista matematiikan aloista. On sanottu, että siinä missä matematiikka on tieteiden kuningatar, on lukuteoria matematiikan kuningatar. Perehdymme seuraavassa luonnollisten

Lisätiedot

811120P Diskreetit rakenteet

811120P Diskreetit rakenteet 811120P Diskreetit rakenteet 2016-2017 6. Alkeislukuteoria 6.1 Jaollisuus Käsitellään kokonaislukujen perusominaisuuksia: erityisesti jaollisuutta Käytettävät lukujoukot: Luonnolliset luvut IN = {0,1,2,3,...

Lisätiedot

Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7

Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7 Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7 2 Alkuluvuista 2.1 Alkuluvut Määritelmä 2.1 Positiivinen luku a 2 on alkuluku, jos sen ainoat positiiviset tekijät ovat 1 ja a. Jos a 2 ei ole alkuluku, se on yhdistetty

Lisätiedot

Diofantoksen yhtälön ratkaisut

Diofantoksen yhtälön ratkaisut Diofantoksen yhtälön ratkaisut Matias Mäkelä Matemaattisten tieteiden tutkinto-ohjelma Oulun yliopisto Kevät 2017 Sisältö Johdanto 2 1 Suurin yhteinen tekijä 2 2 Eukleideen algoritmi 4 3 Diofantoksen yhtälön

Lisätiedot

2017 = = = = = = 26 1

2017 = = = = = = 26 1 JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 2, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. Sovella Eukleiden algoritmia ja (i) etsi s.y.t(2017, 753) (ii) etsi kaikki kokonaislukuratkaisut yhtälölle 405x + 141y = 12. Ratkaisu

Lisätiedot

Matematiikassa väitelauseet ovat usein muotoa: jos P on totta, niin Q on totta.

Matematiikassa väitelauseet ovat usein muotoa: jos P on totta, niin Q on totta. Väitelause Matematiikassa väitelauseet ovat usein muotoa: jos P on totta, niin Q on totta. Tässä P:tä kutsutaan oletukseksi ja Q:ta väitteeksi. Jos yllä oleva väitelause on totta, sanotaan, että P:stä

Lisätiedot

4 Matemaattinen induktio

4 Matemaattinen induktio 4 Matemaattinen induktio Joidenkin väitteiden todistamiseksi pitää näyttää, että kaikilla luonnollisilla luvuilla on jokin ominaisuus P. Esimerkkejä tällaisista väitteistä ovat vaikkapa seuraavat: kaikilla

Lisätiedot

Salausmenetelmät. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006)

Salausmenetelmät. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) Salausmenetelmät Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA 3. Kongruenssit à 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi Määritelmä 3.1 Kaksi lukua a ja b ovat keskenään kongruentteja (tai

Lisätiedot

Salausmenetelmät LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) 3. Kongruenssit. à 3.4 Kongruenssien laskusääntöjä

Salausmenetelmät LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) 3. Kongruenssit. à 3.4 Kongruenssien laskusääntöjä Salausmenetelmät Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA 3. Kongruenssit à 3.4 Kongruenssien laskusääntöjä Seuraavassa lauseessa saamme kongruensseille mukavia laskusääntöjä.

Lisätiedot

R : renkaan R kääntyvien alkioiden joukko; R kertolaskulla varustettuna on

R : renkaan R kääntyvien alkioiden joukko; R kertolaskulla varustettuna on 0. Kertausta ja täydennystä Kurssille Äärelliset kunnat tarvittavat esitiedot löytyvät Algebran kurssista [Alg]. Hyödyksi voivat myös olla (vaikka eivät välttämättömiä) Lukuteorian alkeet [LTA] ja Salakirjoitukset

Lisätiedot

3. Kongruenssit. 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi

3. Kongruenssit. 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi 3. Kongruenssit 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi Tässä kappaleessa esitellään kokonaislukujen modulaarinen aritmetiikka (ns. kellotauluaritmetiikka), jossa luvut tyypillisesti korvataan niillä jakojäännöksillä,

Lisätiedot

802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO

802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO 8038A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 016 Sisältö 1 Irrationaaliluvuista Antiikin lukuja 6.1 Kolmio- neliö- ja tetraedriluvut...................

Lisätiedot

1. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 summa? 2. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 tulo? =?

1. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 summa? 2. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 tulo? =? Tehtävät 1 1. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 summa? 2. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 tulo? 3. 16 125 250 =? 4. Kirjoita lausekkeeseen sulut siten, että tulos on nolla. 2 + 2 2 2 : 2 + 2 2 2

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Osa 4: Modulaariaritmetiikka Riikka Kangaslampi 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Modulaariaritmetiikka Jakoyhtälö Määritelmä 1 Luku

Lisätiedot

Yhtäpitävyys. Aikaisemmin osoitettiin, että n on parillinen (oletus) n 2 on parillinen (väite).

Yhtäpitävyys. Aikaisemmin osoitettiin, että n on parillinen (oletus) n 2 on parillinen (väite). Yhtäpitävyys Aikaisemmin osoitettiin, että n on parillinen (oletus) n 2 on parillinen (väite). Toisaalta ollaan osoitettu, että n 2 on parillinen (oletus) n on parillinen (väite). Nämä kaksi väitelausetta

Lisätiedot

Python-ohjelmointi Harjoitus 2

Python-ohjelmointi Harjoitus 2 Python-ohjelmointi Harjoitus 2 TAVOITTEET Kerrataan tulostuskomento ja lukumuotoisen muuttujan muuttaminen merkkijonoksi. Opitaan jakojäännös eli modulus, vertailuoperaattorit, ehtorakenne jos, input-komento

Lisätiedot

(mod 71), 2 1(mod 71) (3 ) 3 (2 ) 2

(mod 71), 2 1(mod 71) (3 ) 3 (2 ) 2 46. Väite: Luku 3 1 704 71 on jaollinen luvulla 71. Todistus: 1704 71 70 4+ 4 70 3+ 31 70 4 4 70 3 31 70 70 3 3 3 1(mod 71), 1(mod 71) 1 3 4 4 1 3 3 31 4 31 (3 ) 3 ( ) 36 40 67(mod 71) Luku 3 1 704 71

Lisätiedot

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Liisa Ilonen. Primitiiviset juuret

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Liisa Ilonen. Primitiiviset juuret TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Liisa Ilonen Primitiiviset juuret Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Joulukuu 2009 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos ILONEN,

Lisätiedot

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten Ratkaisuehdotelma Tehtävä 1 1. Etsi lukujen 4655 ja 12075 suurin yhteinen tekijä ja lausu se kyseisten lukujen lineaarikombinaationa ilman laskimen

Lisätiedot

802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III

802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III 802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LUKUTEORIA 1 / 77 Irrationaaliluvuista Määritelmä 1 Luku α C \ Q on

Lisätiedot

Todistusmenetelmiä Miksi pitää todistaa?

Todistusmenetelmiä Miksi pitää todistaa? Todistusmenetelmiä Miksi pitää todistaa? LUKUTEORIA JA TO- DISTAMINEN, MAA11 Todistus on looginen päättelyketju, jossa oletuksista, määritelmistä, aksioomeista sekä aiemmin todistetuista tuloksista lähtien

Lisätiedot

LUKUTEORIAN ALKEET HELI TUOMINEN

LUKUTEORIAN ALKEET HELI TUOMINEN LUKUTEORIAN ALKEET HELI TUOMINEN Sisältö 1. Lukujärjestelmät 2 1.1. Kymmenjärjestelmä 2 1.2. Muita lukujärjestelmiä 2 1.3. Yksikäsitteisyyslause 4 2. Alkulukuteoriaa 6 2.1. Jaollisuus 6 2.2. Suurin yhteinen

Lisätiedot

Merkitse kertolasku 3 3 3 3 potenssin avulla ja laske sen arvo.

Merkitse kertolasku 3 3 3 3 potenssin avulla ja laske sen arvo. 13 Luvun potenssi Kertolasku, jonka kaikki tekijät ovat samoja, voidaan merkitä lyhyemmin potenssin avulla. Potenssimerkinnässä eksponentti ilmaisee, kuinka monta kertaa kantaluku esiintyy tulossa. Potenssin

Lisätiedot

Tekijä MAA2 Polynomifunktiot ja -yhtälöt = Vastaus a)

Tekijä MAA2 Polynomifunktiot ja -yhtälöt = Vastaus a) K1 a) Tekijä MAA Polynomifunktiot ja -yhtälöt 6.8.016 ( + + ) + ( ) = + + + = + + + = + 4 b) 4 4 ( 5 + ) ( 5 + 1) = 5 + + 5 + 1 4 = + + + 4 = + 5 5 1 1 Vastaus a) 4 + b) 4 + 1 K a) f ( ) = + 1 f () = +

Lisätiedot

Määritelmä, alkuluku/yhdistetty luku: Esimerkki . c) Huomautus Määritelmä, alkutekijä: Esimerkki

Määritelmä, alkuluku/yhdistetty luku: Esimerkki . c) Huomautus Määritelmä, alkutekijä: Esimerkki Alkuluvut LUKUTEORIA JA TODISTAMINEN, MAA11 Jokainen luku 0 on jaollinen ainakin itsellään, vastaluvullaan ja luvuilla ±1. Kun muita eri ole, niin kyseinen luku on alkuluku. Määritelmä, alkuluku/yhdistetty

Lisätiedot

(d) 29 4 (mod 7) (e) ( ) 49 (mod 10) (f) (mod 9)

(d) 29 4 (mod 7) (e) ( ) 49 (mod 10) (f) (mod 9) 1. Pätevätkö seuraavat kongruenssiyhtälöt? (a) 40 13 (mod 9) (b) 211 12 (mod 2) (c) 126 46 (mod 3) Ratkaisu. (a) Kyllä, sillä 40 = 4 9+4 ja 13 = 9+4. (b) Ei, sillä 211 on pariton ja 12 parillinen. (c)

Lisätiedot

MAA11 Ratkaisuja Vapaa matikka 11-kirjan tehtäviin

MAA11 Ratkaisuja Vapaa matikka 11-kirjan tehtäviin MAA11 Ratkaisuja Vapaa matikka 11-kirjan tehtäviin Samuli Hanski 28. huhtikuuta 2014 Tehtävät ja niiden numerointi pohjautuvat oppikirjan 2., korjattuun painokseen. 5.1 Jaollisuus ja jakojäännös Harjoitustehtäviä

Lisätiedot

Jaollisuus kymmenjärjestelmässä

Jaollisuus kymmenjärjestelmässä Jaollisuus kymmenjärjestelmässä Lauseen 4.5 mukaan jokaiselle n N on yksikäsitteiset kokonaisluvut s 0 ja a 0, a 1,..., a s, joille n = a s 10 s + a s 1 10 s 1 + + a 1 10 + a 0 = a s a a 1... a 0, (1)

Lisätiedot

(iv) Ratkaisu 1. Sovelletaan Eukleideen algoritmia osoittajaan ja nimittäjään. (i) 7 = , 7 6 = = =

(iv) Ratkaisu 1. Sovelletaan Eukleideen algoritmia osoittajaan ja nimittäjään. (i) 7 = , 7 6 = = = JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 07) HARJOITUS 7, MALLIRATKAISUT Tehtävä Etsi seuraavien rationaalilukujen ketjumurtokehitelmät: (i) 7 6 (ii) 4 7 (iii) 65 74 (iv) 63 74 Ratkaisu Sovelletaan Eukleideen algoritmia

Lisätiedot

Johdatus matematiikkaan

Johdatus matematiikkaan Johdatus matematiikkaan Luento 4 Mikko Salo 4.9.2017 Sisältö 1. Rationaali ja irrationaaliluvut 2. Induktiotodistus Rationaaliluvut Määritelmä Reaaliluku x on rationaaliluku, jos x = m n kokonaisluvuille

Lisätiedot

+ 3 2 5 } {{ } + 2 2 2 5 2. 2 kertaa jotain

+ 3 2 5 } {{ } + 2 2 2 5 2. 2 kertaa jotain Jaollisuustestejä (matematiikan mestariluokka, 7.11.2009, ohjattujen harjoitusten lopputuloslappu) Huom! Nämä eivät tietenkään ole ainoita jaollisuussääntöjä; ovatpahan vain hyödyllisiä ja ainakin osittain

Lisätiedot

Juuri 12 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 12 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.5.08 Kertaus K. a) Polynomi P() = + 8 on jaollinen polynomilla Q() =, jos = on polynomin P nollakohta, eli P() = 0. P() = + 8 = 54 08 +

Lisätiedot

Algebra I, harjoitus 5,

Algebra I, harjoitus 5, Algebra I, harjoitus 5, 7.-8.10.2014. 1. 2 Osoita väitteet oikeiksi tai vääriksi. a) (R, ) on ryhmä, kun asetetaan a b = 2(a + b) aina, kun a, b R. (Tässä + on reaalilukujen tavallinen yhteenlasku.) b)

Lisätiedot

LUKUTEORIA 1 JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO

LUKUTEORIA 1 JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO LUKUTEORIA 1 JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO Matemaatikot eivät ole tyytyväisiä tietäessään asioita neljästä miljoonasta tai neljästä miljardista kokonaisluvusta. He haluavat tietää asioita jokaisesta äärettömän

Lisätiedot

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku Kaikki luvut on kokonaislukuja. Luonnollisia lukuja ovat 35, 7 ja 0.

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku Kaikki luvut on kokonaislukuja. Luonnollisia lukuja ovat 35, 7 ja 0. TEHTÄVIEN RATKAISUT Luku.. Kaikki luvut on kokonaislukuja. Luonnollisia lukuja ovat, 7 ja 0.. a) Luvun vastaluku on, koska + ( ) 0. b) Luvun 7 vastaluku on 7, koska 7 + ( 7) 0. c) Luvun 0 vastaluku on

Lisätiedot

a k+1 = 2a k + 1 = 2(2 k 1) + 1 = 2 k+1 1. xxxxxx xxxxxx xxxxxx xxxxxx

a k+1 = 2a k + 1 = 2(2 k 1) + 1 = 2 k+1 1. xxxxxx xxxxxx xxxxxx xxxxxx x x x x x x x x Matematiikan johdantokurssi, syksy 08 Harjoitus, ratkaisuista Hanoin tornit -ongelma: Tarkastellaan kolmea pylvästä A, B ja C, joihin voidaan pinota erikokoisia renkaita Lähtötilanteessa

Lisätiedot

4.3. Matemaattinen induktio

4.3. Matemaattinen induktio 4.3. Matemaattinen induktio Matemaattinen induktio: Deduktion laji Soveltuu, kun ominaisuus on osoitettava olevan voimassa luonnollisilla luvuilla. Suppea muoto P(n) : Ominaisuus, joka joka riippuu luvusta

Lisätiedot

Liite 1. Laajennettu Eukleideen algoritmi suoraviivainen tapa

Liite 1. Laajennettu Eukleideen algoritmi suoraviivainen tapa Liite 1. Laajennettu Eukleideen algoritmi suoraviivainen tapa - johdanto - matemaattinen induktiotodistus - matriisien kertolaskun käyttömahdollisuus - käsinlaskuesimerkkejä - kaikki välivaiheet esittävä

Lisätiedot

1. OSA: MURTOLUVUT, JAOLLISUUS JA ARKIPÄIVÄN MATEMATIIKKAA

1. OSA: MURTOLUVUT, JAOLLISUUS JA ARKIPÄIVÄN MATEMATIIKKAA 1. OSA: MURTOLUVUT, JAOLLISUUS JA ARKIPÄIVÄN MATEMATIIKKAA Tekijät: Hellevi Kupila, Katja Leinonen, Tuomo Talala, Hanna Tuhkanen, Pekka Vaaraniemi Alkupala Seuraavien tehtävien tekemiseen tarvitset tulitikkuja

Lisätiedot

! 7! = N! x 8. x x 4 x + 1 = 6.

! 7! = N! x 8. x x 4 x + 1 = 6. 9. 10. 2008 1. Pinnalta punaiseksi maalattu 3 3 3-kuutio jaetaan 27:ksi samankokoiseksi kuutioksi. Mikä osuus 27 pikkukuution kokonaispinta-alasta on punaiseksi maalattu? 2. Positiivisen kokonaisluvun

Lisätiedot

1 Rationaalifunktio , a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen.

1 Rationaalifunktio , a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen. Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 Rationaalifunktio. a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen. f (50) 50 8 50 4 8 50 500 400 4 400

Lisätiedot

rm + sn = d. Siispä Proposition 9.5(4) nojalla e d.

rm + sn = d. Siispä Proposition 9.5(4) nojalla e d. 9. Renkaat Z ja Z/qZ Tarkastelemme tässä luvussa jaollisuutta kokonaislukujen renkaassa Z ja todistamme tuloksia, joita käytetään jäännösluokkarenkaan Z/qZ ominaisuuksien tarkastelussa. Jos a, b, c Z ovat

Lisätiedot

Lukuteorian kurssi lukioon

Lukuteorian kurssi lukioon TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Sini Siira Lukuteorian kurssi lukioon Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Huhtikuu 2015 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö SIIRA, SINI: Lukuteorian

Lisätiedot

ALKULUKUJA JA MELKEIN ALKULUKUJA

ALKULUKUJA JA MELKEIN ALKULUKUJA ALKULUKUJA JA MELKEIN ALKULUKUJA MINNA TUONONEN Versio: 12. heinäkuuta 2011. 1 2 MINNA TUONONEN Sisältö 1. Johdanto 3 2. Tutkielmassa tarvittavia määritelmiä ja apulauseita 4 3. Mersennen alkuluvut ja

Lisätiedot

. Silloin 1 c. Toisaalta, koska c on lukujen a d ja b d. (a 1,a 2,..., a n )

. Silloin 1 c. Toisaalta, koska c on lukujen a d ja b d. (a 1,a 2,..., a n ) Lukuteorian alkeita Matematiikkakilpailuissa on yleensä tehtäviä, joiden aiheala on alkeellinen lukuteoria. Tässä esitellään perustellen ne lukuteorian tiedot, joihin lukuteoria-aiheisissa tehtävissä yleensä

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä Luonnollisten lukujen joukko N on joukko N = {1, 2, 3,...} ja kokonaislukujen

Lisätiedot

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 6 (8 sivua) OT. 1. a) Määritä seuraavat summat:

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 6 (8 sivua) OT. 1. a) Määritä seuraavat summat: Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 6 (8 sivua) 21.2.-25.2.2011 OT 1. a) Määritä seuraavat summat: [2] 4 + [3] 4, [2] 5 + [3] 5, [2] 6 + [2] 6 + [2] 6, 7 [3]

Lisätiedot

Jokaisen parittoman kokonaisluvun toinen potenssi on pariton.

Jokaisen parittoman kokonaisluvun toinen potenssi on pariton. 3 Todistustekniikkaa 3.1 Väitteen kumoaminen vastaesimerkillä Monissa tilanteissa kohdataan väitteitä, jotka koskevat esimerkiksi kaikkia kokonaislukuja, kaikkia reaalilukuja tai kaikkia joukkoja. Esimerkkejä

Lisätiedot

Jäännösluokat. Alkupala Aiemmin on tullut sana jäännösluokka vastaan. Tarkastellaan

Jäännösluokat. Alkupala Aiemmin on tullut sana jäännösluokka vastaan. Tarkastellaan Jäännösluokat LUKUTEORIA JA TODIS- TAMINEN, MAA Alkupala Aiemmin on tullut sana jäännösluokka vastaan. Tarkastellaan lukujoukkoja 3k k Z =, 6, 3, 0, 3, 6, 3k + k Z =,,,,, 7, 3k + k Z =,,,,, 8, Osoita,

Lisätiedot

a b 1 c b n c n

a b 1 c b n c n Algebra Syksy 2007 Harjoitukset 1. Olkoon a Z. Totea, että aina a 0, 1 a, a a ja a a. 2. Olkoot a, b, c, d Z. Todista implikaatiot: a) a b ja c d ac bd, b) a b ja b c a c. 3. Olkoon a b i kaikilla i =

Lisätiedot

Ensimmäinen induktioperiaate

Ensimmäinen induktioperiaate Ensimmäinen induktioperiaate Olkoon P(n) luonnollisilla luvuilla määritelty predikaatti. (P(n) voidaan lukea luvulla n on ominaisuus P.) Todistettava, että P(n) on tosi jokaisella n N. ( Kaikilla luonnollisilla

Lisätiedot

Perustehtävät. Kompleksitehtävät, 10/9/2005, sivu 1 / 10. Tehtävä 1. Sievennä 1.

Perustehtävät. Kompleksitehtävät, 10/9/2005, sivu 1 / 10. Tehtävä 1. Sievennä 1. Kompleksitehtävät, 10/9/2005, sivu 1 / 10 Perustehtävät Tehtävä 1. Sievennä 1. 2 5i 1+2i 2. ( 2 i 2) 150 Tehtävä 2. Olkoon P mielivaltainen reaalikertoiminen polynomi. Osoita, että jos luku z C toteuttaa

Lisätiedot

Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015

Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015 Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 015 Avoimen sarjan tehtävät ja niiden ratkaisuja 1. Olkoot a ja b peräkkäisiä kokonaislukuja, c = ab ja d = a + b + c. a) Osoita, että d on kokonaisluku. b) Mitä

Lisätiedot

2 Toisen asteen polynomifunktio

2 Toisen asteen polynomifunktio Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4.5.017 Toisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Merkitään taulukon pisteet koordinaatistoon ja hahmotellaan niiden kautta kulkeva

Lisätiedot

Ensimmäinen induktioperiaate

Ensimmäinen induktioperiaate 1 Ensimmäinen induktioperiaate Olkoon P(n) luonnollisilla luvuilla määritelty predikaatti. (P(n) voidaan lukea luvulla n on ominaisuus P.) Todistettava, että P(n) on tosi jokaisella n N. ( Kaikilla luonnollisilla

Lisätiedot

Valitse vain 6 tehtävää! Kaikkiin tehtäviin tarvittavat välivaiheet esille!

Valitse vain 6 tehtävää! Kaikkiin tehtäviin tarvittavat välivaiheet esille! 1. Onko lause ( A B) ( A B) tautologia?. Jaa luvut 16 360 ja 8 65 alkutekijöihin. Määrää myös syt(16 360, 8 65) ja pym(16 360, 8 65). 3. a) Laadi totuustaulu lauseelle ( A B) B. Milloin lause on tosi?

Lisätiedot

2 j =

2 j = 1. Modulaariaritmetiikkaa Yksinkertaisissa salausjärjestelmissä käytettävä matematiikka on paljolti lukuteoriaan pohjautuvaa suurten lukujen modulaariaritmetiikkaa (lasketaan kokonaisluvuilla modulo n).

Lisätiedot

Alkulukujen harmoninen sarja

Alkulukujen harmoninen sarja Alkulukujen harmoninen sarja LuK-tutkielma Markus Horneman Oiskelijanumero:2434548 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun ylioisto Syksy 207 Sisältö Johdanto 2 Hyödyllisiä tuloksia ja määritelmiä 3. Alkuluvuista............................

Lisätiedot

= = = 1 3.

= = = 1 3. 9. 10. 2008!"$#&%(')'*,#.-/* P1. lkuperäisen punaisen kuution pinta koostuu kuudesta 3 3-neliöstä, joten sen ala on 6 3 2 = 54. Koska 3 3 =, kuutio jakautuu leikatessa yksikkökuutioksi, joiden kokonaispinta-ala

Lisätiedot

a b c d + + + + + + + + +

a b c d + + + + + + + + + 28. 10. 2010!"$#&%(')'+*(#-,.*/1032/465$*784 /(9:*;9."$ *;5> *@9 a b c d 1. + + + 2. 3. 4. 5. 6. + + + + + + + + + + P1. Valitaan kannaksi sivu, jonka pituus on 4. Koska toinen jäljelle jäävistä sivuista

Lisätiedot

Algebran perusteet. 44 ϕ(105) = (105). Näin ollen

Algebran perusteet. 44 ϕ(105) = (105). Näin ollen Algebran perusteet Harjoitus 4, ratkaisut kevät 2016 1 a) Koska 105 = 5 21 = 3 5 7 ja 44 = 2 2 11, niin syt(44, 105) = 1 Lisäksi ϕ(105) = ϕ(3 5 7) = (3 1)(5 1)(7 1) = 2 4 6 = 48, joten Eulerin teoreeman

Lisätiedot

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.8.016 3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) x + x + 1 = 4 (x + 1) = 4 Luvun x + 1 tulee olla tai, jotta sen

Lisätiedot

Miten osoitetaan joukot samoiksi?

Miten osoitetaan joukot samoiksi? Miten osoitetaan joukot samoiksi? Määritelmä 1 Joukot A ja B ovat samat, jos A B ja B A. Tällöin merkitään A = B. Kun todistetaan, että A = B, on päättelyssä kaksi vaihetta: (i) osoitetaan, että A B, ts.

Lisätiedot

c) 22a 21b x + a 2 3a x 1 = a,

c) 22a 21b x + a 2 3a x 1 = a, Tehtäviä on kahdella sivulla; kuusi ensimmäistä tehtävää on monivalintatehtäviä, joissa on 0 4 oikeata vastausta. 1. Lukion A ja lukion B oppilasmäärien suhde oli a/b vuoden 2017 lopussa. Vuoden 2017 aikana

Lisätiedot

2. Eukleideen algoritmi

2. Eukleideen algoritmi 2. Eukleideen algoritmi 2.1 Suurimman yhteisen tekijän tehokas laskutapa Tässä luvussa tarkastellaan annettujen lukujen suurimman yhteisen tekijän etsimistä tehokkaalla tavalla. Erinomaisen käyttökelpoinen

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 2 3 Joukko-oppia Tässä luvussa tarkastellaan joukko-opin

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5 1 Jonoista Matematiikassa jono (x n ) on yksinkertaisesti järjestetty, päättymätön sarja numeroita Esimerkiksi (1,, 3, 4, 5 ) on jono Jonon i:ttä jäsentä merkitään

Lisätiedot

1 PERUSLASKUTAITOJA. ALOITA PERUSTEISTA 1A. a) = 4 15 = 11. Vastaus: 11. b) 2 ( 6 + 5) = 2 ( 1) = 2. Vastaus: 2. c)

1 PERUSLASKUTAITOJA. ALOITA PERUSTEISTA 1A. a) = 4 15 = 11. Vastaus: 11. b) 2 ( 6 + 5) = 2 ( 1) = 2. Vastaus: 2. c) Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.7.08 PERUSLASKUTAITOJA ALOITA PERUSTEISTA A. a) 5 = 5 = Vastaus: b) ( 6 + 5) = ( ) = Vastaus: c) 0 0 6 Vastaus: 6 d) 8 + 8 : = 8

Lisätiedot

Lukuteoria. Eukleides Aleksandrialainen (n. 300 eaa)

Lukuteoria. Eukleides Aleksandrialainen (n. 300 eaa) Lukuteoria Lukuteoria on eräs vanhimmista matematiikan aloista. On sanottu, että siinä missä matematiikka on tieteiden kuningatar, on lukuteoria matematiikan kuningatar. Perehdymme seuraavassa luonnollisten

Lisätiedot

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 11 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 11 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma Johdatus lukuteoriaan Harjoitus syksy 008 Eemeli Blåsten Ratkaisuehdotelma Tehtävä Todista ketjumurtoluvun peräkkäisille konvergenteille kaava ( ) n induktiolla käyttämällä jonojen ( ) ja ( ) rekursiokaavaa.

Lisätiedot

MAA 2 - POLYNOMIFUNKTIOT

MAA 2 - POLYNOMIFUNKTIOT MAA MAA - POLYNOMIFUNKTIOT 1 On annettu muuttujan x polynomi P(x) = x + x + Mitkä ovat sen termien kertoimet, luettele kaikki neljä (?) Mitä astelukua polynomi on? Mikä on polynomin arvo, kun x = 0 Entä

Lisätiedot

4 LUKUJONOT JA SUMMAT

4 LUKUJONOT JA SUMMAT Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 0.7.08 4 LUKUJONOT JA SUMMAT ALOITA PERUSTEISTA 45A. Määritetään lukujonon (a n ) kolme ensimmäistä jäsentä ja sadas jäsen a 00 sijoittamalla

Lisätiedot

41 s. Neljännessä luvussa käsitellään erikseen parillisia täydellisiä lukuja. Luvussa osoitetaan Eukleides Euler teoreema,

41 s. Neljännessä luvussa käsitellään erikseen parillisia täydellisiä lukuja. Luvussa osoitetaan Eukleides Euler teoreema, Tiedekunta/Osasto Fakultet/Sektion Faculty Matemaattis luonnontieteellinen tiedekunta Tekijä/Författare Author Katja Niemistö Työn nimi / Arbetets titel Title Täydelliset luvut Oppiaine /Läroämne Subject

Lisätiedot

Multiplikatiiviset funktiot

Multiplikatiiviset funktiot TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Ilona Kiiveri Multiplikatiiviset funktiot Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Toukokuu 2015 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö KIIVERI, ILONA:

Lisätiedot

isomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta.

isomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta. Tehtävä 2 : 1 Esitetään aluksi eräitä havaintoja. Jokaisella n Z + symbolilla H (n) merkitään kaikkien niiden verkkojen joukkoa, jotka vastaavat jotakin tehtävänannon ehtojen mukaista alkaanin hiiliketjua

Lisätiedot

Salausmenetelmät / Osa I Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006)

Salausmenetelmät / Osa I Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) Salausmenetelmät / Osa I Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) Liite 1. Laajennettu Eukleideen algoritmi suoraviivainen tapa - johdanto - matemaattinen induktiotodistus - matriisien kertolaskun käyttömahdollisuus

Lisätiedot

a ord 13 (a)

a ord 13 (a) JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 4, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. Etsi asteet ord p (a) luvuille a 1, 2,..., p 1 kun p = 13 ja kun p = 17. (ii) Mitkä jäännösluokat ovat primitiivisiä juuria (mod

Lisätiedot

Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 7.2.2013 Ratkaisuita

Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 7.2.2013 Ratkaisuita Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu..013 Ratkaisuita 1. Eräs kirjakauppa myy pokkareita yhdeksällä eurolla kappale, ja siellä on meneillään mainoskampanja, jossa seitsemän sellaista ostettuaan

Lisätiedot

Alkulukujen teoriaa ja Goldbachin otaksuma

Alkulukujen teoriaa ja Goldbachin otaksuma TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Teemu Lehtonen Alkulukujen teoriaa ja Goldbachin otaksuma Matematiikan, tilastotieteen ja losoan laitos Matematiikka Maaliskuu 2004 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Alkuluvuista

Lisätiedot

Kurssikoe on maanantaina Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla.

Kurssikoe on maanantaina Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla. HY / Avoin ylioisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 05 Harjoitus 6 Ratkaisut palautettava viimeistään tiistaina.6.05 klo 6.5. Huom! Luennot ovat salissa CK maanantaista 5.6. lähtien. Kurssikoe on

Lisätiedot

a b c d

a b c d 1. 11. 011!"$#&%(')'+*(#-,.*/103/465$*784 /(9:*;9."$ *;5> *@9 a b c d 1. + +. 3. 4. 5. 6. + + + + + + + + + + P1. 5 140 8 47 = 5 140 ( 3 ) 47 = 5 140 3 47 = 5 140 141 = (5 ) 140 = 10 140, jossa on

Lisätiedot

ALKULUVUISTA (mod 6)

ALKULUVUISTA (mod 6) Oulun Yliopisto Kandidaatintutkielma ALKULUVUISTA (mod 6) Marko Moilanen Opiskelijanro: 1681871 17. joulukuuta 2014 Sisältö 1 Johdanto 2 1.1 Tutkielman sisältö........................ 2 1.2 Alkulukujen

Lisätiedot

Vastaoletuksen muodostaminen

Vastaoletuksen muodostaminen Vastaoletuksen muodostaminen Vastaoletus (Antiteesi) on väitteen negaatio. Sitä muodostettaessa on mietittävä, mitä tarkoittaa, että väite ei ole totta. Väite ja vastaoletus yhdessä sisältävät kaikki mahdolliset

Lisätiedot

LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN

LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN 1 LUKULAUSEKKEITA Ratkaise seuraava tehtävä: Retkeilijät ajoivat kahden tunnin ajan polkupyörällä maantietä pitkin 16 km/h nopeudella, ja sitten vielä kävelivät metsäpolkua

Lisätiedot