= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120
|
|
- Minna Lattu
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Tehtävä 1 : 1 Merkitään jatkossa kirjaimella H kaikkien solmujoukon V sellaisten verkkojen kokoelmaa, joissa on tasan kolme särmää. a) Jokainen verkko G H toteuttaa väitteen E(G) [V]. Toisaalta jokainen kolme alkiota sisältävä särmäjoukko E [V ] tuottaa kokoelmaan H kuuluvan verkon. Tällöin joukon H koko selviää laskemalla joukon [V ] kolme eri alkiota sisältävien osajoukkojen lukumäärä. Joukon [V] koko on ( ) 5 = 5!!3! = 5 4 = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä ( ) 10 = 10! 3 3!7! = = 10 3 eri tavalla. Kysytynlaisia verkkoja on siis yhteensä 10 kappaletta. b) Tuodaan aluksi esille eräs yksinkertainen havainto. Lemma. Olkoot H ja K äärellisiä verkkoja ja f : V (H) V(K) niiden välinen isomorfismi. Tällöin jokaisella x V(H) on ehto deg H (x) = deg K ( f (x)) voimassa. Todistus. Olkoon solmu x V (H) mielivaltainen. Isomorfian määritelmän nojalla jokaisella y V(H) on ehto {x,y} E(H) { f (x), f (y)} E(K) voimassa. Toisaalta kuvaus f on bijektio. Siten saadaan suoraan tulos deg H (x) = {y V (H) : {x,y} E(H)} = {z V(K) : { f (x),z} E(K)} = deg K ( f (x)), mikä osoittaa halutun väitteen todeksi. 1
2 Aloitetaan tehtävän varsinaisen väitteen tarkastelu kiinnittämällä kokoelman H eräitä jäseniä. Otetaan käyttöön merkinnät ( A := V, { {0,1},{0,},{0,3} }), ( B := V, { {0,1},{0,},{1,} }), ( C := V, { {0,1},{0,},{1,3} }) sekä ( D := V, { {0,1},{0,},{3,4} }) A B Nämä neljä verkkoa ovat kokoelman H jäseniä. Lisäksi ne ovat kaikki keskenään epäisomorfisia, mikä voidaan perustella edellisen aputuloksen avulla. Verkko A on nimittäin ainoa, jossa jonkin solmun aste kolme. Toisaalta verkko B on nimetyistä verkoista ainoa, jossa on kolme eri solmua, joiden kaikkien aste on kaksi. Edelleen ainoastaan verkossa D on neljä eri solmua, joiden kaikkien aste on yksi. Olkoon seuraavaksi verkko G H mielivaltainen. Osoitetaan nyt, että jokin edellä nimetyistä neljästä verkosta on isomorfinen verkon G kanssa. Huomataan aluksi, että verkon G kaikkien solmujen aste on korkeintaan kolme ja että verkon G kaikkien solmujen asteiden summa on tasan kuusi. Tarkastellaan ensin tapausta, jossa jollakin a V(G) on deg G (a) = 3. Tällöin on olemassa kolme eri solmua x ja y sekä z siten, että niistä kaikista on särmä solmuun a. Jäljelle jäävä solmu r on eristetty solmu. Tällöin kaavan {(0,a),(1,x),(,y),(3,z),(4,r)} (1) määrittelemä kuvaus on isomorfismi verkolta A verkolle G. Oletetaan seuraavaksi verkon G kaikkien solmujen asteen olevan korkeintaan kaksi. Tällöin jollakin a V(G) on ehto deg G (a) = voimassa. Muutoin verkossa G olisi kolme särmää viiden yksiasteisen solmun välillä. Tarkastellaan edelleen alitapauksia sen mukaan, kuinka monta eristettyä solmua verkossa G on. C D
3 Jos verkossa G on kaksi eristettyä solmua r ja s, niin niiden solmujen x ja y, joista on särmä solmuun a, asteiden on oltava kaksi. Tällöin kaava 1 tuottaa isomorfismin verkkojen B ja G välille. Jos taas eristettyjä solmuja ei ole yhtään, niin solmun a naapurisolmujen x ja y aste on yksi ja jäljellä olevien solmujen r ja s välillä on särmä. Tässä tapauksessa kuvaus 1 on verkkojen D ja G isomorfismi. Viimeisessä tapauksessa verkossa G on tasan yksi eristetty piste s. Tällöin pisteellä a on oltava naapurisolmu x, josta on särmä sellaiseen solmuun r, joka ei ole s eikä solmun a naapurisolmu. Jäljelle jäävä solmu y on yksiasteinen solmun a naapurisolmu. Nyt kaava 1 antaa isomorfismin verkkojen C ja G välille. On siis osoitettu, että jokainen G H on isomorfinen jonkin neljän nimetyn verkon kanssa. Toisaalta kyseessä olevista neljästä verkosta kaikki ovat keskenään pareittain epäisomorfisia. Näin ollen joukossa H on isomorfiaa vaille tasan neljä erilaista verkkoa. Tehtävä 1 : Olkoon G = (V, E) äärellinen verkko, jossa on ainakin kaksi solmua. Todistetaan, että vähintään kahdella verkon G eri solmulla on keskenään sama aste. Tehdään tämä osoittamalla, että kuvaus deg G ei ole injektio. Kuvauksen deg G määritelmästä seuraa, että kuvajoukko deg G (V) on joukon {0,..., V 1} osajoukko. Jokaisesta solmusta voi nimittäin olla enintään yksi särmä verkon G kaikkiin muihin solmuihin. Näytetään seuraavaksi, että kuitenkin korkeintaan toinen luvuista 0 ja V 1 voi kuulua joukkoon deg G (V). Oletetaan vastaoletuksena, että molemmat luvuista 0 ja V 1 ovat mukana joukossa deg G (V). Tällöin jonkin solmun a V aste on 0 ja jonkin solmun b V aste on V 1. Solmuun a ei ole särmää mistään verkon G solmusta. Toisaalta solmuun b on särmä verkon jokaisesta muusta solmusta, sillä särmää solmuun itseensä ei määritelmän mukaan sallita. Saatu ristiriita osoittaa, että kuvajoukko deg G (V) on joukon {0,..., V 1} aito osajoukko. Kuvauksen deg G määrittelyjoukon koko on äärellinen luku V ja arvojoukon koko on edellisen päättelyn perusteella korkeintaan V 1. Laatikkoperiaatteen 3
4 nojalla kuvaus deg G ei ole injektio. Siten vähintään kahdella verkon G eri solmulla on keskenään sama aste. Tehtävä 1 : 3 Olkoon solmu n Z + mielivaltainen. Jokaisella luvulla m Z + pätee 1 m n n n m n m n. Huomataan lisäksi, että verkon G solmusta n ei ole särmää solmuun n itseensä, joten edellisen päättelyn ja havainnon n Z+ nojalla saadaan kysytty tulos { deg G (n) = m Z + : 1 m } { n 1 = n m Z + : m n} 1 ( ) n n n = n = n = n +. Tehtävä 1 : 4 Verkko G on yhtenäinen, joten sen kaikkien solmujen x ja y välillä on olemassa jokin polku ja siten myös lyhyin polku. Erityisesti jokaisen kahden solmun välinen etäisyys on jokin luonnollinen luku. Osoitetaan, että etäisyyskuvaus d toteuttaa metriikalta vaaditut ehdot. Olkoot aluksi solmut x V ja y V mielivaltaiset. Määritelmän mukaan luku d(x,y) on pienin luku n N, jolla on olemassa sellainen verkon G polku P, että solmut x ja y ovat sen päätepisteitä ja että sen pituus on n. Tällöin symmetriaehto d(x, y) = d(y, x) toteutuu suoraan. Jos toisaalta ehto d(x,y) = 0 pätee, niin solmujen x ja y välinen polku P on ({x, y}, ). Tämä on kuitenkin polun määritelmän nojalla mahdollista vain, jos ehto x = y toteutuu. Muutoin polussa P olisi nimittäin oltava mukana särmä {x,y}. Toisaalta polku ({x}, ) on verkon G lyhyin polku solmusta x itseensä. Siis myös ehto d(x,y) = 0 x = y on voimassa. 4
5 Käsitellään vielä viimeisenä kolmioepäyhtälön toteutuminen. Olkoot x ja y sekä z mielivaltaisia verkon G solmuja. Jos on x = y, niin pätee d(x,z) = d(y,z) = 0 + d(y,z) = d(x,y) + d(y,z). Jos pätee y = z, niin väite d(x,z) = d(x,y) + d(y,z) toteutuu vastaavasti. Jos taas ehto x = z pätee, niin saadaan d(x,z) = 0 d(x,y) + d(y,z). Voidaan siis selkeyden vuoksi olettaa, että kyseiset kolme solmua ovat kaikki eri alkioita ja että niiden etäisyydet pareittain ovat aidosti positiivisia. Olkoon joukko A := {u 0,...,u n } jollakin n Z + ilman toistoja lueteltuna sellainen, että pätee u 0 = x sekä u n = y ja että verkko (A, { {u 0,u 1 }...,{u n 1,u n } }) on solmujen x ja y välinen lyhyin polku verkossa G. Sen pituus on n. Olkoon vastaavasti joukko B := {w 0,...,w m } jollakin m Z + ilman toistoja lueteltuna sellainen, että ehdot w 0 = y sekä w m = z toteutuvat ja että (B, { {w 0,w 1 },...,{w m 1,w m } }) on lyhyin polku solmujen y ja z välillä. Polun pituus on m. Nyt pätee u n = y B, joten joukko {k {0,...,n} : u k B} on epätyhjä ja siten on olemassa sen pienin alkio i. Tällöin jollakin j {0,...,m} pätee u i = w j. Merkitään kirjaimella C joukkoa {u 0,...,u i,w j+1,...,w m }. Nyt verkko (C, { {u 0,u 1 },...,{u i 1,u i },{u i,w j+1 },...,{w m 1,w m } }) on verkon G polku solmujen x ja y välillä. Kyseessä on polku, sillä jokaisella k {0,...,m} pätee w k / {u 0,...,u i 1 } luvun i valinnan nojalla. Lisäksi tämän polun pituus on i + (m j). Saadaan siis tulos d(x,z) i + (m j) n + m d(x,y) + d(y,z). Näin ollen on osoitettu, että kuvaus d on metriikka verkon G solmujoukossa. 5
6 Tehtävä 1 : 5 a) Käsitellään aluksi eräs aputulos syklien lukumäärän huolellista käsittelyä varten. Kyseistä tulosta ei kuitenkaan tarvita tehtävän ratkaisemiseen. Lemma. Olkoon H verkko ja olkoon sen aliverkko C sykli. Jos aliverkko C ei ole verkon H indusoitu sykli, niin on olemassa verkon H aliverkot A ja B siten, että A ja B ovat syklejä ja että ehdot V (C) = V(A) V(B) sekä E(C) = E(A) E(B) toteutuvat. Operaatio tarkoittaa annettujen joukkojen symmetristä erotusta. Todistus. Olkoon {x 1,...,x n } syklin C solmujen joukko ilman toistoja lueteltuna niin, että {{x n,x 1 },{x 1,x },...,{x n 1,x n }} on syklin C särmäjoukko. Aliverkko C ei ole verkon H indusoitu sykli, joten on olemassa sellaiset joukon {1,...,n} luvut i ja j, että pätee i + 1 < j ja että särmäjoukon E(C) {{x i,x j }} virittämä verkon H aliverkko ei ole sykli. Kuitenkin ehto {x i,x j } E(H) toteutuu. Olkoon A särmäjoukon {{x j,x i },{x i,x i+1 },...,{x j 1,x j }} virittämä verkon H aliverkko ja olkoon B särmäjoukon E(C) E(A) virittämä verkon H aliverkko. Tällöin aliverkot A ja B ovat syklejä ja toteuttavat ehdon V (C) = V (A) V(B) sekä ehdon E(C) = E(A) E(B). Todistetaan nyt yksi havainto syklien ja indusoitujen syklien välisestä yhteydestä. Lemma. Olkoon H mielivaltainen verkko ja olkoon verkon H aliverkko C sykli. Tällöin on olemassa sellainen joukko {D 1,...,D m } verkon H indusoituja syklejä, että ehto E(C) = E(D 1 )... E(D m ) on voimassa. Todistus. Olkoon K niiden lukujen n N joukko, joilla on olemassa sellainen verkon H sykli C, että syklin C koko n ja että sykliä C ei voida esittää verkon H äärellisen monen indusoidun syklin symmetrisenä erotuksena. Osoitetaan joukko K tyhjäksi tekemällä vastaoletus, että K on epätyhjä. Tällöin on olemassa joukon K pienin alkio k ja sellainen verkon H sykli C, että syklin C koko on k ja että sykliä C ei voida esittää indusoitujen syklien äärellisenä symmetrisenä erotuksena. Vastaoletuksen perusteella sykli C ei ole verkon H indusoitu sykli. Edellisen aputuloksen nojalla on edelleen olemassa verkon H syklit A ja B niin, että ehdot 6
7 V (C) = V (A) V (B) sekä E(C) = E(A) E(B) toteutuvat. Jokaisessa syklissä on vähintään kolme solmua, joten sykleissä A ja B on kummassakin korkeintaan k 1 solmua. Tällöin vastaoletuksen nojalla syklit A ja B voidaan esittää verkon H äärellisen monen indusoidun syklin symmetrisenä erotuksena. Olkoot {A 1,...,A i } ja {B 1,...,B j } sellaisia joukkoja verkon H indusoituja syklejä, että ehdot E(A) = E(A 1 )... E(A i ) ja E(B) = E(B 1 )... E(B j ) ovat voimassa. Symmetrisen erotuksen ottaminen on liitännäinen operaatio, joten tiedosta E(C) = E(A) E(B) saadaan E(C) = E(A 1 )... E(A i ) E(B 1 )... E(B j ). Näin ollen sykli C on saatu esitettyä äärellisen monen verkon G indusoidun syklin symmetrisenä erotuksena. Tämä tulos on kuitenkin ristiriidassa syklin C ja luvun k valinnan kanssa. Täten joukko K on tyhjä, mistä haluttu väite seuraa. Jatketaan nyt varsinaisen tehtävän käsittelyä. Nimetään verkon G solmut joukon {1,..., 8} numeroilla edeten tehtävänannon kuvassa järjestyksessä vasemmalta oikealle ja ylhäältä alas Otetaan käyttöön merkinnät ( {1,,4,5 } { } ) A :=, {1,},{,5},{5,4},{4,1}, ( {,3,5,6 } { } ) B :=, {,3},{3,6},{6,5},{5,} sekä ( {4,5,6,7,8 } { } ) C :=, {4,5},{5,6},{6,8},{8,7},{7,4}. Nämä kolme verkkoa ovat verkon G indusoituja syklejä. Nimittäin verkossa G ei ole yhtään sellaista särmää, joka yhdistäisi kaksi eri solmua jossakin näistä 7
8 sykleistä ja joka samalla ei kuuluisi kyseiseen sykliin. Muita indusoituja syklejä verkolla G ei ole. Tämän tarkka todistus kuitenkin sivuutetaan kuvaan vetoamalla. Verkon G jokainen sykli määräytyy yksikäsitteisesti ja kääntäen suoraan oman särmäjoukkonsa virittämänä verkon G aliverkkona. Edellisen aputuloksen nojalla verkon G syklejä on siten korkeintaan yhtä monta kuin on indusoiduista sykleistä saatuja epätyhjiä kombinaatioita. Syklejä on toisin sanoen korkeintaan 3 1 = 7 kappaletta. Toisaalta havaitaan, että verkot ( {1,,3,4,5,6 } { } ) K :=, {1,},{,3},{3,6},{6,5},{5,4},{4,1}, ( {1,,4,5,6,7,8 } { } ) L :=, {1,},{,5},{5,6},{6,8},{8,7},{7,4},{4,1}, ( {,3,4,5,6,7,8 } { } ) M :=, {,3},{3,6},{6,8},{8,7},{7,4},{4,5},{5,} ja ( {1,,3,4,6,7,8 } { } ) N :=, {1,},{,3},{3,6},{6,8},{8,7},{7,4},{4,1} ovat verkon G syklejä, jotka eroavat kaikki toisistaan sekä verkon G kolmesta indusoidusta syklistä. Näin ollen verkosta G on löydetty seitsemän eri sykliä. Siten verkossa G on tasan seitsemän sykliä. b) Käytetään verkon G mielivaltaisten solmujen x ja y potentiaalierosta V(x, y) jatkossa lyhyesti merkintää (x, y). Nyt kaikki Kirchhoffin toisesta laista seuraavat yhtälöt sykleille annettujen nimien aakkosjärjestyksen mukaisesti esitettynä ovat 0 = (1,) + (,5) + (5,4) + (4,1) () 0 = (,3) + (3,6) + (6,5) + (5,) (3) 0 = (4,5) + (5,6) + (6,8) + (8,7) + (7,4) (4) 0 = (1,) + (,3) + (3,6) + (6,5) + (5,4) + (4,1) (5) 0 = (1,) + (,5) + (5,6) + (6,8) + (8,7) + (7,4) + (4,1) (6) 0 = (,3) + (3,6) + (6,8) + (8,7) + (7,4) + (4,5) + (5,) (7) 0 = (1,) + (,3) + (3,6) + (6,8) + (8,7) + (7,4) + (4,1) (8) 8
9 Tehtävä 1 : 6 Indusoituja syklejä ovat edellisen tehtävän ratkaisun perusteella sykli A ja B sekä C. Sykliä A vastaava yhtälö on edellisen tehtävän loppuosan yhtälö. Sykliä B vastaava yhtälö on vastaavasti 3. Edelleen yhtälö 4 vastaa sykliä C. Osoitetaan, että indusoiduista sykleistä voi johtaa muut yhtälöt. Huomataan aluksi, että verkon G kaikilla pisteillä x ja y pätee (x,y) = (y,x). Tällöin pätee (,5) + (5,) = 0, joten yhtälöiden ja 3 summana saadaan yhtälö 5. Lisäksi on (4,5) + (5,4) = 0 ja siten yhtälöiden ja 4 summana saadaan yhtälö 6. Vastaavasti pätee myös (6,5) + (5,6), joten yhtälöiden 3 ja 4 summa on yhtälö 7. Edelleen voidaan yhtälöistä ja 3 sekä 4 saada yhtälö 8. Näin ollen kaikki Kirchhoffin toisen lain mukaiset yhtälöt voidaan johtaa pelkistä indusoituja syklejä vastaavista yhtälöistä. 9
verkkojen G ja H välinen isomorfismi. Nyt kuvaus f on bijektio, joka säilyttää kyseisissä verkoissa esiintyvät särmät, joten pari
Tehtävä 9 : 1 Merkitään kirjaimella G tehtäväpaperin kuvan vasemmanpuoleista verkkoa sekä kirjaimella H tehtäväpaperin kuvan oikeanpuoleista verkkoa. Kuvan perusteella voidaan havaita, että verkko G on
Lisätiedotisomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta.
Tehtävä 2 : 1 Esitetään aluksi eräitä havaintoja. Jokaisella n Z + symbolilla H (n) merkitään kaikkien niiden verkkojen joukkoa, jotka vastaavat jotakin tehtävänannon ehtojen mukaista alkaanin hiiliketjua
Lisätiedotb) Olkoon G vähintään kaksi solmua sisältävä puu. Sallitaan verkon G olevan
Tehtävä 7 : 1 a) Olkoon G jokin epäyhtenäinen verkko. Tällöin väittämä V (G) 2 pätee jo epäyhtenäisyyden nojalla. Jokaisella joukolla X on ehto X 0 voimassa, joten ehdot A < 0 ja F < 0 toteuttavilla joukoilla
LisätiedotNäytetään nyt relaatioon liittyvien ekvivalenssiluokkien olevan verkon G lohkojen särmäjoukkoja. Olkoon siis f verkon G jokin särmä.
Tehtävä 6 : 1 Oletetaan ensin joukon X olevan sisältymisen suhteen minimaalinen solmut a ja b toisistaan erotteleva joukon V(G)\{a, b} osajoukko. Olkoon x joukon X alkio. Oletuksen nojalla joukko X\{x}
LisätiedotNäin ollen saadaan tulos rad(g) diam(g). Toisaalta huomataan, että verkon G kaikilla solmuilla x ja y pätee kolmioepäyhtälön nojalla havainto
Tehtävä 3 : 1 Olkoon G mielivaltainen epätyhjä verkko. Erityisesti siltä ei vaadita äärellisyyttä. Polut ovat verkon G koosta riippumatta määritelmän mukaan aina äärellisiä, joten kahden solmun välisen
LisätiedotTehtävä 8 : 1. Tehtävä 8 : 2
Tehtävä 8 : 1 Merkitään kirjaimella G tarkasteltavaa Petersenin verkkoa. Olkoon A joukon V(G) niiden solmujen joukko, joita vastaavat solmut sijaitsevat tehtäväpaperin kuvassa ulkokehällä. Joukon A jokaisella
LisätiedotTehtävä 4 : 2. b a+1 (mod 3)
Tehtävä 4 : 1 Olkoon G sellainen verkko, jonka solmujoukkona on {1,..., 9} ja jonka särmät määräytyvät oheisen kuvan mukaisesti. Merkitään lisäksi kirjaimella A verkon G kaikkien automorfismien joukkoa,
LisätiedotOlkoon seuraavaksi G 2 sellainen tasan n solmua sisältävä suunnattu verkko,
Tehtävä 1 : 1 a) Olkoon G heikosti yhtenäinen suunnattu verkko, jossa on yhteensä n solmua. Määritelmän nojalla verkko G S on yhtenäinen, jolloin verkoksi T voidaan valita jokin verkon G S virittävä alipuu.
LisätiedotTehtävä 10 : 1. Tehtävä 10 : 2
Tehtävä 0 : Kuvassa Etelä-Amerikan valtioita vastaavat solmut on sijoitettu toisiinsa nähden niiden pääkaupunkien keskinäistä sijaintia vastaavalla tavalla. Kuvioon on joukon {0,, 2, 3 alkioilla merkitty
LisätiedotTehtävä 5 : 1. Tehtävä 5 : 2
Tehtävä 5 : 1 Merkitään kirjaimella H kuvan punaisten solmujen virittämää verkon G yhtenäistä aliverkkoa, jossa on yhteensä kolme särmää. Aliverkosta H voidaan kahdella tavalla valita kahden solmun joukko
LisätiedotMiten osoitetaan joukot samoiksi?
Miten osoitetaan joukot samoiksi? Määritelmä 1 Joukot A ja B ovat samat, jos A B ja B A. Tällöin merkitään A = B. Kun todistetaan, että A = B, on päättelyssä kaksi vaihetta: (i) osoitetaan, että A B, ts.
LisätiedotÄärellisten mallien teoria
Äärellisten mallien teoria Harjoituksen 5 ratkaisut (Hannu Niemistö) Tehtävä 1 OlkootGjaG neljän solmun verkkoja Määritä, milloing = 2 G eli verkot ovat osittaisesti isomorfisia kahden muuttujan suhteen
LisätiedotKaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle.
Kombinatoriikka, kesä 2010 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia (RT (5 sivua Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle. 1. Osoita, että vuoden
LisätiedotRatkaisu: a) Kahden joukon yhdisteseen poimitaan kaikki alkiot jotka ovat jommassakummassa joukossa (eikä mitään muuta).
Matematiikan laitos Johdatus Diskreettiin Matematiikaan Harjoitus 1 03.11.2010 Ratkaisuehdotuksia Aleksandr Nuija 1. Tarkastellaan joukkoja A = {1,3,4}, B = {2,3,7,9} ja C = {2, 5, 7}. Määritä joukot (a)
LisätiedotDihedraalinen ryhmä Pro gradu Elisa Sonntag Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2013
Dihedraalinen ryhmä Pro gradu Elisa Sonntag Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2013 Sisältö Johdanto 2 1 Ryhmä 3 2 Symmetrinen ryhmä 6 3 Symmetriaryhmä 10 4 Dihedraalinen ryhmä 19 Lähdeluettelo
LisätiedotJohdatus matematiikkaan
Johdatus matematiikkaan Luento 7 Mikko Salo 11.9.2017 Sisältö 1. Funktioista 2. Joukkojen mahtavuus Funktioista Lukiomatematiikassa on käsitelty reaalimuuttujan funktioita (polynomi / trigonometriset /
LisätiedotEsko Turunen MAT Algebra1(s)
Määritelmä (4.1) Olkoon G ryhmä. Olkoon H G, H. Jos joukko H varustettuna indusoidulla laskutoimituksella on ryhmä, se on ryhmän G aliryhmä. Jos H G on ryhmän G aliryhmä, merkitään usein H G, ja jos H
LisätiedotTehtävä 1. Arvioi mitkä seuraavista väitteistä pitävät paikkansa. Vihje: voit aloittaa kokeilemalla sopivia lukuarvoja.
Tehtävä 1 Arvioi mitkä seuraavista väitteistä pitävät paikkansa. Vihje: voit aloittaa kokeilemalla sopivia lukuarvoja. 1 Jos 1 < y < 3, niin kaikilla x pätee x y x 1. 2 Jos x 1 < 2 ja y 1 < 3, niin x y
LisätiedotJohdatus matemaattiseen päättelyyn
Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 2 3 Joukko-oppia Tässä luvussa tarkastellaan joukko-opin
LisätiedotEsitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa 1. Lähdetään sieventämään epäyhtälön vasenta puolta:
MATP00 Johdatus matematiikkaan Ylimääräisten tehtävien ratkaisuehdotuksia. Osoita, että 00 002 < 000 000. Esitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa. Lähdetään sieventämään epäyhtälön
Lisätiedoton Abelin ryhmä kertolaskun suhteen. Tämän joukon alkioiden lukumäärää merkitään
5. Primitiivinen alkio 5.1. Täydennystä lukuteoriaan. Olkoon n Z, n 2. Palautettakoon mieleen, että kokonaislukujen jäännösluokkarenkaan kääntyvien alkioiden muodostama osajoukko Z n := {x Z n x on kääntyvä}
LisätiedotYhtenäisyydestä. Johdanto. Lähipisteavaruus. Tuomas Korppi
Solmu 2/2012 1 Yhtenäisyydestä Tuomas Korppi Johdanto Tarkastellaan kuvassa 1 näkyviä verkkoa 1 ja R 2 :n (eli tason) osajoukkoa. Kuvan 2 verkko voidaan jakaa kolmeen osaan niin, että osien välillä ei
Lisätiedot1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus
1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus
LisätiedotAlgebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) OT
Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) 31.1.-4.2.2011 OT 1. Määritellään kokonaisluvuille laskutoimitus n m = n + m + 5. Osoita, että (Z, ) on ryhmä.
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA I
802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä
LisätiedotJohdatus graafiteoriaan
Johdatus graafiteoriaan Syksy 2017 Lauri Hella Tampereen yliopisto Luonnontieteiden tiedekunta 62 Luku 2 Yhtenäisyys 2.1 Polku 2.2 Lyhin painotettu polku 2.3 Yhtenäinen graafi 2.4 Komponentti 2.5 Aste
LisätiedotTäydellisyysaksiooman kertaus
Täydellisyysaksiooman kertaus Luku M R on joukon A R yläraja, jos a M kaikille a A. Luku M R on joukon A R alaraja, jos a M kaikille a A. A on ylhäältä (vast. alhaalta) rajoitettu, jos sillä on jokin yläraja
Lisätiedot5.6 Yhdistetty kuvaus
5.6 Yhdistetty kuvaus Määritelmä 5.6.1. Oletetaan, että f : æ Y ja g : Y æ Z ovat kuvauksia. Yhdistetty kuvaus g f : æ Z määritellään asettamalla kaikilla x œ. (g f)(x) =g(f(x)) Huomaa, että yhdistetty
LisätiedotTehtävä 1. Päättele resoluutiolla seuraavista klausuulijoukoista. a. 1 {p 3 } oletus. 4 {p 1, p 2, p 3 } oletus. 5 { p 1 } (1, 2) 7 (4, 6)
Tehtävä 1 Päättele resoluutiolla seuraavista klausuulijoukoista. a. {{p 0 }, {p 1 }, { p 0, p 2 }, {p 1, p 2, p 3 }, { p 2, p 3 }, {p 3 }}, b. {{ p 0, p 2 }, {p 0, p 1 }, {{ p 1, p 2 }, { p 2 }}, c. {{p
LisätiedotSekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä
Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja
LisätiedotLineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus
Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus 1 / 51 Lineaarikombinaatio Johdattelua seuraavaan asiaan (ei tarkkoja määritelmiä): Millaisen kuvan muodostaa joukko {λv λ R, v R 3 }? Millaisen
Lisätiedotmissä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen!
Matematiikan johdantokurssi Kertausharjoitustehtävien ratkaisuja/vastauksia/vihjeitä. Osoita todeksi logiikan lauseille seuraava: P Q (P Q). Ratkaisuohje. Väite tarkoittaa, että johdetut lauseet P Q ja
LisätiedotKuvauksista ja relaatioista. Jonna Makkonen Ilari Vallivaara
Kuvauksista ja relaatioista Jonna Makkonen Ilari Vallivaara 20. lokakuuta 2004 Sisältö 1 Esipuhe 2 2 Kuvauksista 3 3 Relaatioista 8 Lähdeluettelo 12 1 1 Esipuhe Joukot ja relaatiot ovat periaatteessa äärimmäisen
LisätiedotInjektio. Funktiota sanotaan injektioksi, mikäli lähtöjoukon eri alkiot kuvautuvat maalijoukon eri alkioille. Esim.
Injektio Funktiota sanotaan injektioksi, mikäli lähtöjoukon eri alkiot kuvautuvat maalijoukon eri alkioille. Esim. Funktio f on siis injektio mikäli ehdosta f (x 1 ) = f (x 2 ) seuraa, että x 1 = x 2.
LisätiedotHY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Johdatus logiikkaan I, syksy 2018 Harjoitus 5 Ratkaisuehdotukset
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Johdatus logiikkaan I, syksy 2018 Harjoitus 5 Ratkaisuehdotukset 1. Päättele resoluutiolla seuraavista klausuulijoukoista: (a) {{p 0 }, {p 1 }, { p 0, p 2 },
LisätiedotMatematiikan peruskurssi 2
Matematiikan peruskurssi Demonstraatiot III, 4.5..06. Mikä on funktion f suurin mahdollinen määrittelyjoukko, kun f(x) x? Mikä on silloin f:n arvojoukko? Etsi f:n käänteisfunktio f ja tarkista, että löytämäsi
Lisätiedot2017 = = = = = = 26 1
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 2, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. Sovella Eukleiden algoritmia ja (i) etsi s.y.t(2017, 753) (ii) etsi kaikki kokonaislukuratkaisut yhtälölle 405x + 141y = 12. Ratkaisu
LisätiedotMääritelmä, alkuluku/yhdistetty luku: Esimerkki . c) Huomautus Määritelmä, alkutekijä: Esimerkki
Alkuluvut LUKUTEORIA JA TODISTAMINEN, MAA11 Jokainen luku 0 on jaollinen ainakin itsellään, vastaluvullaan ja luvuilla ±1. Kun muita eri ole, niin kyseinen luku on alkuluku. Määritelmä, alkuluku/yhdistetty
LisätiedotDiskreetin matematiikan perusteet Esimerkkiratkaisut 3 / vko 10
Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkiratkaisut / vko 0 Tuntitehtävät - lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät - loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät - tarkastetaan loppuviikon harjoituksissa.
Lisätiedot1. Esitä rekursiivinen määritelmä lukujonolle
Matematiikan laitos Johdatus Diskrettiin Matematiikkaan Harjoitus 4 24.11.2011 Ratkaisuehdotuksia Aleksandr Pasharin 1. Esitä rekursiivinen määritelmä lukujonolle (a) f(n) = (2 0, 2 1, 2 2, 2 3, 2 4,...)
LisätiedotDiofantoksen yhtälön ratkaisut
Diofantoksen yhtälön ratkaisut Matias Mäkelä Matemaattisten tieteiden tutkinto-ohjelma Oulun yliopisto Kevät 2017 Sisältö Johdanto 2 1 Suurin yhteinen tekijä 2 2 Eukleideen algoritmi 4 3 Diofantoksen yhtälön
LisätiedotDiskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuhahmotelmia viikko 1. ( ) Jeremias Berg
Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuhahmotelmia viikko 1. (14.3-18.3) Jeremias Berg 1. Luettele kaikki seuraavien joukkojen alkiot: (a) {x Z : x 3} (b) {x N : x > 12 x < 7} (c) {x N : 1 x 7} Ratkaisu:
LisätiedotInduktiotodistus: Tapaus n = 0 selvä; ol. väite pätee kun n < m.
Väite: T (n) (a + b)n 2 + a. Induktiotodistus: Tapaus n = 0 selvä; ol. väite pätee kun n < m. Huomaa että funktion x x 2 + (m 1 x) 2 kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, joten funktio saavuttaa suurimman
LisätiedotÄärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause
Tero Harju (2008/2010) Äärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause Merkintä X on joukon koko ( eli #X). Vapaat Abelin ryhmät Tässä kappaleessa käytetään Abelin ryhmille additiivista merkintää.
Lisätiedot1 sup- ja inf-esimerkkejä
Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Nollakohdan olemassaolo. Kaikki tuntevat
LisätiedotMatematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista
Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Valitse seuraaville säännöille mahdollisimman laajat lähtöjoukot ja sopivat maalijoukot niin, että syntyy kahden muuttujan funktiot (ks. monisteen
LisätiedotAlgebra I, Harjoitus 6, , Ratkaisut
Algebra I Harjoitus 6 9. 13.3.2009 Ratkaisut Algebra I Harjoitus 6 9. 13.3.2009 Ratkaisut (MV 6 sivua 1. Olkoot M ja M multiplikatiivisia monoideja. Kuvaus f : M M on monoidihomomorfismi jos 1 f(ab = f(af(b
Lisätiedot2.1. Tehtävänä on osoittaa induktiolla, että kaikille n N pätee n = 1 n(n + 1). (1)
Approbatur 3, demo, ratkaisut Sovitaan, että 0 ei ole luonnollinen luku. Tällöin oletusta n 0 ei tarvitse toistaa alla olevissa ratkaisuissa. Se, pidetäänkö nollaa luonnollisena lukuna vai ei, vaihtelee
LisätiedotKuinka määritellään 2 3?
Kuinka määritellään 2 3? y Nyt 3 = 1,7320508.... Luvut 3 2 x x 3 2 x 2 1 = 2, 2 1,7 3,2490, 2 1,73 3,3173, 2 1,732 3,3219,... ovat hyvin määriteltyjä koska näihin tarvitaan vain rationaalilukupotenssin
LisätiedotMS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Malliratkaisut 5 / vko 48
MS-A3/A5 Matriisilaskenta Malliratkaisut 5 / vko 48 Tehtävä (L): a) Onko 4 3 sitä vastaava ominaisarvo? b) Onko λ = 3 matriisin matriisin 2 2 3 2 3 7 9 4 5 2 4 4 ominaisvektori? Jos on, mikä on ominaisarvo?
Lisätiedotmissä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen!
Matematiikan johdantokurssi Kertausharjoitustehtävien ratkaisuja/vastauksia/vihjeitä. Osoita todeksi logiikan lauseille seuraava: P Q (P Q). Ratkaisuohje. Väite tarkoittaa, että johdetut lauseet P Q ja
LisätiedotEsko Turunen Luku 3. Ryhmät
3. Ryhmät Monoidia rikkaampi algebrallinen struktuuri on ryhmä: Määritelmä (3.1) Olkoon joukon G laskutoimitus. Joukko G varustettuna tällä laskutoimituksella on ryhmä, jos laskutoimitus on assosiatiivinen,
LisätiedotBijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio.
Määritelmä Bijektio Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Sanotaan, että kuvaus f on bijektio, jos se on sekä injektio että surjektio. Huom. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin
LisätiedotApprobatur 3, demo 1, ratkaisut A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat.
Approbatur 3, demo 1, ratkaisut 1.1. A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat. Käydään kaikki vaihtoehdot läpi. Jos A on rehti, niin B on retku, koska muuten
LisätiedotKannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:
8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden
Lisätiedot33. pohjoismainen matematiikkakilpailu 2019 Ratkaisut
33. pohjoismainen matematiikkakilpailu 2019 Ratkaisut 1. Kutsutaan (eri) positiivisten kokonaislukujen joukkoa merkitykselliseksi, jos sen jokaisen äärellisen epätyhjän osajoukon aritmeettinen ja geometrinen
LisätiedotTarkastelemme ensin konkreettista esimerkkiä ja johdamme sitten yleisen säännön, joilla voidaan tietyissä tapauksissa todeta kielen ei-säännöllisyys.
Ei-säännöllisiä kieliä [Sipser luku 1.4] Osoitamme, että joitain kieliä ei voi tunnistaa äärellisellä automaatilla. Tulos ei sinänsä ole erityisen yllättävä, koska äärellinen automaatti on äärimmäisen
Lisätiedot14. Juurikunnat Määritelmä ja olemassaolo.
14. Juurikunnat Mielivaltaisella polynomilla ei välttämättä ole juuria tarkasteltavassa kunnassa. Tässä luvussa tutkitaan sellaisia algebrallisia laajennoksia, jotka saadaan lisäämällä polynomeille juuria.
Lisätiedotg : R R, g(a) = g i a i. Alkio g(a) R on polynomin arvo pisteessä a. Jos g(a) = 0, niin a on polynomin g(x) nollakohta.
ALGEBRA II 27 on homomorfismi. Ensinnäkin G(a + b) a + b G(a)+G(b) (f), G(ab) ab G(a)G(b) G(a) G(b) (f), ja koska kongruenssien vasempien ja oikeiden puolten asteet ovat pienempiä kuin f:n aste, niin homomorfiaehdot
LisätiedotMatematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka tutuksi Harjoitus 2, malliratkaisut
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka tutuksi Harjoitus, malliratkaisut 1.-5.9.009 1. Muodosta joukot A B, A B ja A\B sekä laske niiden alkioiden lukumäärät (mikäli kyseessä on äärellinen
Lisätiedot1 Supremum ja infimum
Pekka Alestalo, 2018 Tämä moniste täydentää reaalilukuja ja jatkuvia reaalifunktioita koskevaa kalvosarjaa lähinnä perustelujen ja todistusten osalta. Suurin osa määritelmistä jms. on esitetty jo kalvoissa,
LisätiedotHN = {hn h H, n N} on G:n aliryhmä.
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8, 23.27.3.2009 5 sivua Rami Luisto 1. Osoita, että kullakin n N + lukujen n 5 ja n viimeiset numerot kymmenkantaisessa
LisätiedotDiskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8
Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8 Tuntitehtävät 1-2 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 5- loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 3-4 tarkastetaan loppuviikon
LisätiedotAlgoritmi on periaatteellisella tasolla seuraava:
Algoritmi on periaatteellisella tasolla seuraava: Dijkstra(V, E, l, v 0 ): S := { v 0 } D[v 0 ] := 0 for v V S do D[v] := l(v 0, v) end for while S V do valitse v V S jolle D[v] on minimaalinen S := S
LisätiedotKonvergenssilauseita
LUKU 4 Konvergenssilauseita Lause 4.1 (Monotonisen konvergenssin lause). Olkoon (f n ) kasvava jono Lebesgueintegroituvia funktioita. Asetetaan f(x) := f n (x). Jos f n
LisätiedotHieman joukko-oppia. A X(A a A b A a b).
Hieman joukko-oppia Seuraavassa esittelen hieman alkeellista joukko-oppia. Päämääränäni on saada käyttöön hyvinjärjestyslause, jota tarvitsemme myöhemmin eräissä todistuksissa. Esitykseni on aika, vaikkei
Lisätiedot1. Osoita, että joukon X osajoukoille A ja B on voimassa toinen ns. de Morganin laki (A B) = A B.
HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan muun muassa kahden joukon osoittamista samaksi sekä joukon
Lisätiedotr > y x z x = z y + y x z y + y x = r y x + y x = r
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 018 Harjoitus Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Osoita, että avoin kuula on avoin joukko ja suljettu kuula on suljettu joukko. Ratkaisu.
Lisätiedot[a] ={b 2 A : a b}. Ekvivalenssiluokkien joukko
3. Tekijälaskutoimitus, kokonaisluvut ja rationaaliluvut Tässä luvussa tutustumme kolmanteen tapaan muodostaa laskutoimitus joukkoon tunnettujen laskutoimitusten avulla. Tätä varten määrittelemme ensin
Lisätiedotkaikille a R. 1 (R, +) on kommutatiivinen ryhmä, 2 a(b + c) = ab + ac ja (b + c)a = ba + ca kaikilla a, b, c R, ja
Renkaat Tarkastelemme seuraavaksi rakenteita, joissa on määritelty kaksi binääristä assosiatiivista laskutoimitusta, joista toinen on kommutatiivinen. Vaadimme muuten samat ominaisuudet kuin kokonaisluvuilta,
LisätiedotTekijä Pitkä Matematiikka 11 ratkaisut luku 2
Tekijä Pitkä matematiikka 11 0..017 170 a) Koska 8 = 4 7, luku 8 on jaollinen luvulla 4. b) Koska 104 = 4 6, luku 104 on jaollinen luvulla 4. c) Koska 4 0 = 80 < 8 ja 4 1 = 84 > 8, luku 8 ei ole jaollinen
LisätiedotTekijäryhmiä varten määritellään aluksi sivuluokat ja normaalit aliryhmät.
3 Tekijäryhmät Tekijäryhmän käsitteen avulla voidaan monimutkainen ryhmä jakaa osiin. Ideana on, että voidaan erikseen tarkastella, miten laskutoimitus vaikuttaa näihin osiin kokonaisuuksina, ja jättää
LisätiedotJohdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma
Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten Ratkaisuehdotelma Tehtävä 1 1. Etsi lukujen 4655 ja 12075 suurin yhteinen tekijä ja lausu se kyseisten lukujen lineaarikombinaationa ilman laskimen
LisätiedotJarkko Peltomäki. Aliryhmän sentralisaattori ja normalisaattori
Jarkko Peltomäki Aliryhmän sentralisaattori ja normalisaattori Matematiikan aine Turun yliopisto Syyskuu 2009 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Määritelmiä ja perusominaisuuksia 3 2.1 Aliryhmän sentralisaattori ja
LisätiedotLukuteoria. Eukleides Aleksandrialainen (n. 300 eaa)
Lukuteoria Lukuteoria on eräs vanhimmista matematiikan aloista. On sanottu, että siinä missä matematiikka on tieteiden kuningatar, on lukuteoria matematiikan kuningatar. Perehdymme seuraavassa luonnollisten
LisätiedotKurssikoe on maanantaina 29.6. Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla.
HY / Avoin ylioisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 201 Harjoitus 7 Ratkaisut palautettava viimeistään perjantaina 26.6.201 klo 16.00. Huom! Luennot ovat salissa CK112 maanantaista 1.6. lähtien.
Lisätiedot4. Ryhmien sisäinen rakenne
4. Ryhmien sisäinen rakenne Tässä luvussa tarkastellaan joitakin tapoja päästä käsiksi ryhmien sisäiseen rakenteeseen. Useimmat tuloksista ovat erityisen käyttökelpoisia äärellisten ryhmien tapauksessa.
LisätiedotJoukot metrisissä avaruuksissa
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Saara Lahtinen Joukot metrisissä avaruuksissa Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Elokuu 2013 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Metriset avaruudet 1 2.1 Tarvittavia
LisätiedotPositiivitermisten sarjojen suppeneminen
Positiivitermisten sarjojen suppeneminen Jono (b n ) n= on kasvava, jos b n+ b n kaikilla n =, 2,... Lemma Jokainen ylhäältä rajoitettu kasvava jono (b n ) n= raja-arvo on lim n b n = sup n Z+ b n. suppenee
LisätiedotLuonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen
Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen LuK-tutkielma Jussi Piippo Matemaattisten tieteiden yksikkö Oulun yliopisto Kevät 2017 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Esitietoja 3 2.1 Joukko-opin perusaksioomat...................
LisätiedotAvaruuden R n aliavaruus
Avaruuden R n aliavaruus 1 / 41 Aliavaruus Esimerkki 1 Kuva: Suora on suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen suhteen. 2 / 41 Esimerkki 2 Kuva: Suora ei ole suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla
LisätiedotPolkuintegraali yleistyy helposti paloitain C 1 -poluille. Määritelmä Olkoot γ : [a, b] R m paloittain C 1 -polku välin [a, b] jaon
Polkuintegraali yleistyy helposti paloitain C 1 -poluille. Määritelmä 4.1.3. Olkoot : [a, b] R m paloittain C 1 -polku välin [a, b] jaon P = {a = t 1 < < t k = b} ja joukko D R m sellainen, että ([a, b])
LisätiedotJohdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 2, Osoita että A on hyvin määritelty. Tee tämä osoittamalla
Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 2, 23.9.2015 1. Osoita että A on hyvin määritelty. Tee tämä osoittamalla a) että ei ole olemassa surjektiota f : {1,, n} {1,, m}, kun n < m. b) että a) kohdasta
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet
MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Osa : Relaatiot ja funktiot Riikka Kangaslampi 017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Relaatiot Relaatio Määritelmä 1 Relaatio joukosta A
LisätiedotJoukot. Georg Cantor ( )
Joukot Matematiikassa on pyrkimys määritellä monimutkaiset asiat täsmällisesti yksinkertaisempien asioiden avulla. Tarvitaan jokin lähtökohta, muutama yleisesti hyväksytty ja ymmärretty käsite, joista
Lisätiedot15. Laajennosten väliset homomorfismit
15. Laajennosten väliset homomorfismit Rakenteiden väliset homomorfismit auttavat selvittämään rakenteiden suhteita toisiinsa. Rakenteen sisäiset isomorfismit niin sanotut automorfismit auttavat vastaavasti
LisätiedotPysähtymisongelman ratkeavuus [Sipser luku 4.2]
Pysähtymisongelman ratkeavuus [Sipser luku 4.2] Osoitamme nyt vihdoin, että jotkin Turing-tunnistettavat kielet ovat ratkeamattomia ja jotkin kielet eivät ole edes Turing-tunnistettavia. Lisäksi toteamme,
LisätiedotMääritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m )
Määritelmä 519 Olkoon T i L V i, W i, 1 i m Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m h v 1 v 2 v m T 1 v 1 T 2 v 2 T m v m 514 sanotaan olevan kuvausten T 1,, T m indusoima ja sitä
LisätiedotÄärellisten mallien teoria
Äärellisten mallien teoria Harjoituksen 4 ratkaisut Tehtävä 1. Määritä suurin aste k, johon saakka kuvan verkot G ja G ovat osittaisesti isomorfisia: Ratkaisu 1. Huomataan aluksi, että G =4 G : Ehrenfeucht-Fraïssé
LisätiedotOminaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus
Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Lause 17 Oletetaan, että A on n n -matriisi. Oletetaan, että λ 1,..., λ m ovat matriisin A eri ominaisarvoja, ja oletetaan, että v 1,..., v m ovat jotkin
LisätiedotRelaatioista. 1. Relaatiot. Alustava määritelmä: Relaatio on kahden (tai useamman, saman tai eri) joukon alkioiden välinen ominaisuus tai suhde.
Relaatioista 1. Relaatiot. Alustava määritelmä: Relaatio on kahden (tai useamman, saman tai eri) joukon alkioiden välinen ominaisuus tai suhde. Esimerkkejä Kokonaisluvut x ja y voivat olla keskenään mm.
LisätiedotJokaisen parittoman kokonaisluvun toinen potenssi on pariton.
3 Todistustekniikkaa 3.1 Väitteen kumoaminen vastaesimerkillä Monissa tilanteissa kohdataan väitteitä, jotka koskevat esimerkiksi kaikkia kokonaislukuja, kaikkia reaalilukuja tai kaikkia joukkoja. Esimerkkejä
Lisätiedot(2n 1) = n 2
3.5 Induktiotodistus Induktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa väite P (n) on totta kaikille n =0, 1, 2,... Tässä väite P (n) riippuu n:n arvosta. Todistuksessa
Lisätiedotd ) m d (I n ) = 2 d n d. Koska tämä pätee kaikilla
MAT21007 Mitta ja integraali Harjoitus 2 viikko 25.3-29.3 2019) Palauta mieleen: monisteen luku 0; Topologia I) avaruuden d euklidinen etäisyys, avoimet kuulat ja joukot. Ohjausta laskuharjoitusten tekoon:
LisätiedotKantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen
Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen Lause 18 Oletetaan, että V ja W ovat vektoriavaruuksia. Oletetaan lisäksi, että ( v 1,..., v n ) on avaruuden V kanta ja w 1,..., w n W. Tällöin
LisätiedotLuonnollisen päättelyn luotettavuus
Luonnollisen päättelyn luotettavuus Luotettavuuden todistamiseksi määrittelemme täsmällisesti, milloin merkkijono on deduktio. Tässä ei ole sisällytetty päättelysääntöihin iteraatiosääntöä, koska sitä
LisätiedotVastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa.
Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa. Vastaus 2. Vertaillaan
Lisätiedot1 sup- ja inf-esimerkkejä
Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Kaarenpituus. Olkoon r: [a, b] R
LisätiedotTenttiin valmentavia harjoituksia
Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.
LisätiedotTodistusmenetelmiä Miksi pitää todistaa?
Todistusmenetelmiä Miksi pitää todistaa? LUKUTEORIA JA TO- DISTAMINEN, MAA11 Todistus on looginen päättelyketju, jossa oletuksista, määritelmistä, aksioomeista sekä aiemmin todistetuista tuloksista lähtien
Lisätiedot