Diofantoksen yhtälön ratkaisut

Transkriptio

1 Diofantoksen yhtälön ratkaisut Matias Mäkelä Matemaattisten tieteiden tutkinto-ohjelma Oulun yliopisto Kevät 2017

2 Sisältö Johdanto 2 1 Suurin yhteinen tekijä 2 2 Eukleideen algoritmi 4 3 Diofantoksen yhtälön ratkaisut 5 4 Lineaarisen kongruenssiyhtälön ratkaisut 8 Lähdeluettelo 11 1

3 Johdanto Tämän tutkielman pääasiana on Diofantoksen yhtälön ax + by = c ratkaiseminen ja ratkaisujen olemassaolo. Sitä ennen esitellään suurin yhteinen tekijä ja Eukleideen algoritmi, joitten avulla saadaan Diofantoksen yhtälön tarkastelu tehtyä. Lisäksi käsitellään lineaarisen kongruenssiyhtälön ratkaisemista ja ratkaisujen olemassaoloa. Tutkielmassa on käytetty lähteenä teosta [1]. 1 Suurin yhteinen tekijä Lause 1. Olkoot a ja b kokonaislukuja, joista ainakin toinen on nollasta eroava. Jos d on suurin sellainen positiivinen kokonaisluku, että d a ja d b, niin on olemassa sellaiset kokonaisluvut x ja y, että d = ax + by. Todistus. Olkoon epätyhjä joukko A = {ax+by a, b, x, y Z, ax+by > 0}. Olkoon d joukon A pienin alkio, joten on olemassa sellaiset x 1 ja y 1, että d = ax 1 + by 1. Lisäksi on olemassa alkiot q ja r, joilla a = d q + r, 0 r < d. Osoitetaan, että d a. Toisin sanoen, tulemme näyttämään, että r = 0. Tehdään vastaoletus r 0, jolloin Tällöin r = a d q = a (ax 1 + by 1 )q. r = a(1 x 1 q) + b( y 1 q). Oletuksen nojalla tiedämme, että r 0. Täten on selvää, että r > 0 ja r = ax 2 + by 2, jossa x 2 = 1 x 1 ja y 2 = y 1 q. Tämän pitäisi kuitenkin olla mahdotonta oletuksen nojalla, sillä d on joukon A pienin alkio. Täten r = 0, josta seuraa d a. Samoin voidaan osoittaa, että d b. Siis d on alkioiden a ja b yhteinen jakaja. Olkoon m kokonaislukujen a ja b yhteinen tekijä. Siten m ax 1 + by 1 ja täten m d, mistä seuraa, että m d. Näin d on suurin kokonaislukujen a ja b yhteisistä tekijöistä eli d = d = ax + by kaikilla x, y Z. Huomautus 1. Edellisen lauseen positiivinen kokonaisluku d on yksikäsitteinen. Jos on kaksi positiivista kokonaislukua d 1 ja d 2 näillä omaisuuksilla, niin d 1 d 2 ja d 2 d 1. Täten d 1 = d 2. Edellisestä lauseesta seuraa tulos: 2

4 Seuraus 2. Jokaisella kokonaisluvulla e, joilla on e a ja e b, seuraa e d. Määritelmä 1. Olkoon a ja b Z, missä ainakin toinen kokonaisluvuista ei ole nolla. Kokonaislukua d > 0 kutsutaan alkioiden a ja b suurimmaksi yhteiseksi tekijäksi (jota merkitään d = syt(a, b)) jos ja vain jos d a ja d b sekä kaikilla positiivisilla kokonaisluvuilla e, joilla on e a ja e b, pätee e d. Lause 3. Olkoon d = syt(a 1, a 2,..., a n ), missä a 1, a 2,..., a n Z. Tällöin ( a1 syt d, a 2 d,, a ) n = 1. d Todistus. On selvää, että d a 1, d a 2,..., d a n. Täten a 1 = k 1 d, a 2 = k 2 d,..., a n = k n d, (1) missä k 1 Z jokaisella i = 1, 2,..., n. Olkoon ( a1 syt d, a 2 d,, a ) n = d > 1. d Vastaavasti saadaan d a 1 d, d a 2 d,..., d a n d. Tästä seuraa, että on olemassa k 1, k 2,..., k n, joille a 1 d = k 1d, a 2 d = k 2d,..., a n d = k nd. (2) Tällöin yhtälöryhmien (1) ja (2) nojalla saadaan Täten, a 1 = k 1d d, a 2 = k 2d d,..., a n = k nd d. d d a 1, d d a 2,..., d d a n. Siten, dd d, mikä on mahdotonta sillä d > 1. Täten d = 1. Lause 4. Olkoon a, b ja c Z ja a bc. Jos syt(a, b) = 1, niin a c. Todistus. Jos syt(a, b) = 1, niin 1 = ax + by, missä x, y Z. Täten Koska a acx ja a bcy, niin a c. c = acx + bcy. 3

5 2 Eukleideen algoritmi Olkoon a ja b kokonaislukuja. Yksi tapa kokonaislukujen a ja b suurimman yhteisen tekijän tuottamiseen on löytää pienin luku joukosta A = {ax + by a, b, x, y Z, ax + by > 0}. On kuitenkin olemassa paljon tehokkaampi keino suurimman yhteisen tekijän löytämiseen. Sitä kutsutaan Euklidiseksi algoritmiksi ja seuravassa näytämme, miten se toimii. Jos haluamme tuottaa suurimman yhteisen tekijän syt(a, b), ilman että menettäisimme oletuksen b a. Siis syt(a, b) = syt(b, r), missä r on jakojäännös alkiosta a jaettuna alkiolla b. Tämä tapahtuu, koska a = bq + r tai r = a bq, jollakin kokonaisluvulla q ja siten syt(a, b) r. Lisäksi syt(a, b) b. Täten suurimman yhteisen tekijän määritelmän nojalla saadaan syt(a, b) syt(b, r). (3) Samoin, koska a = bq + r, saamme syt(b, r) b ja syt(b, r) a. Täten syt(b, r) syt(a, b). (4) Yhtälöryhmistä (3) ja (4) saadaan yhtälö syt(a, b) = syt(b, r). Jos b = a, niin syt(a, b) = syt(a, 0) = syt(0, b) = a = b ja algoritmi päättyy. Yleensä saadaan kuitenkin syt(a, b) = syt(b, r 1 ) = syt(r 1, r 2 ) = = syt(r n 1, r n ) = syt(r n, 0) = r n, missä a = bq 1 + r 1, b a b = r 1 q 2 + r 2, 0 r 1 < b r 1 = r 2 q 3 + r 3, 0 r 2 < r 1. r n 2 = r n 1 q n + r n, 0 r n < r n 1 r n 1 = r n q n+1 + 0, 0 r n < r n 1. Tällöin r n on lukujen a ja b suurin yhteinen tekijä. 4

6 Esimerkki 1. Olkoot kokonaisluvut 1234 ja 250 ja lasketaan niiden suurin yhteinen tekijä. Tällöin Eukleideen algoritmin avulla 1234 = , = , < = , 0 16 < = , 0 10 < = , 0 6 < 10 6 = , 0 4 < 6 4 = < 4. Tällöin Eukleideen algoritmin nojalla syt(1234, 50) = 2. 3 Diofantoksen yhtälön ratkaisut Lause 5. Olkoon a, b ja c kokonaislukuja, joista ainakin a tai b ovat erisuuria kuin nolla. Jos d = syt(a, b) ja d c, niin Diofantoksen yhtälöllä on äärettömän monta ratkaisua ax + by = c x = x 0 + b d n, y = y 0 a d n, missä n on kokonaisluku ja (x 0, y 0 ) on yhtälön ratkaisu. Jos d ei jaa kokonaislukua c, niin Diofantoksen yhtälöllä ei ole ratkaisua. ax + by = c Todistus. Tapaus 1. Jos d c, niin on olemassa kokonaisluku k, jolla c = kd. Koska d on kokonaislukujen a ja b suurin yhteinen tekijä, Lauseen 1 mukaan on olemassa kokonaisluvut k 1 ja k 2, joilla saadaan yhtälö d = k 1 a + k 2 b, ja siten c = kk 1 a + kk 2 b. 5

7 Tällöin on ainakin yksi pari kokonaislukuja x 0 = kk 1 ja y 0 = kk 2, jotka ovat Diofantoksen yhtälön ratkaisuja. Pitää osoittaa, että on äärettömän monta ratkaisua ja varsinkin muodossa x = x 0 + b d n, y = y 0 + a d n, jossa (x, y) on Diofantoksen yhtälön mielivaltainen ratkaisu. Tällöin meillä on ax + by = c ja Täten eli joten Täten Koska ax 0 + by 0 = c. a(x x 0 ) + b(y y 0 ) = 0 a(x x 0 ) = b(y 0 y), a d (x x 0) = b d (y 0 y). (5) b d a d (x x 0). syt( a d, b d ) = 1, niin b d (x x 0). On siis olemassa kokonaisluku n, jolla saadaan yhtälö x = x 0 + n b d. (6) Tehdään oletus, että b ei ole nolla. Tällöin yhtälöiden (5) ja (6) nojalla saadaan a d n b d = b d (y 0 y) eli eli a d n = y 0 y y = y 0 a d n. 6

8 Tapauksessa a 0 menetelmä on samanlainen ja päättyy samaan tulokseen. Tällöin kiinnitetylle kokonaisluvulle n saadaan pari (x, y), missä x = x 0 + b d n, y = y 0 a d n, joka on yhtälön ax + by = c ratkaisu. Jos t on sellainen kokonaisluku, että niin x = x 0 + b d t, y = y 0 a d t, c = a(x 0 + b d t) + b(y 0 a d t) = ax 0 + ab d t + by 0 ba d t = ax 0 + by 0, mikä pitää paikkansa. Täten Diofantoksen yhtälöllä ax + by = c on ääretön määrä ratkaisua x = x 0 + b d n, y = y 0 a d n, missä n on kokonaisluku. Tapaus 2. Oletetaan, että d ei jaa lukua c. Kuitenkin d a ja d b, joten d ax + by, joten d c, mikä on ristiriita. Tässä tapauksessa Diofantoksen yhtälöllä ax + by = c ei ole yhtään ratkaisua. Esimerkki 2. Olkoon kokonaisluvut a = 12, b = 21 ja c = 100. Tällöin syt(12, 21) = 3. Kuitenkaan kokonaisluku 3 ei jaa kokonaislukua 100, joten Diofantoksen yhtälöllä 12x + 21y = 100 ei ole ratkaisua. Esimerkki 3. Olkoon kokonaisluvut a = 18, b = 28, ja c = 24. Tällöin syt(18, 28) = 2. Nyt 2 24 eli Diofantoksen yhtälöllä on äärettömän monta ratkaisua missä n on kokonaisluku. 18x + 28y = 24, x = x n, y = y 0 9n, 7

9 4 Lineaarisen kongruenssiyhtälön ratkaisut Lause 6. Olkoon a ja b kokonaislukuja ja m luonnollinen luku. Jos d = syt(a, m) ja d b, niin lineaarisella kongruenssiyhtälöllä ax b (mod m) on d kappaletta pareittain erilaisia ratkaisuja modulo m. Jos d ei jaa kokonaislukua b, niin lineaarisella kongruenssiyhtälöllä ei ole ratkaisua. Huomautus 2. Kaksi ratkaisua x 1 ja x 2 ovat erilaiset jos ja vain jos ne eivät ole ekvivalentteja toistensa kanssa modulo m. Todistus. Tapaus 1. Jos d b, niin lineaarisella kongruenssiyhtälöllä ax b (mod m) on ratkaisu, jos Diofantoksen yhtälöllä ax my = b (7) on ratkaisu. Yhtälöllä (7) on äärettömän monta ratkaisua x = x 0 m d n, missä (x 0, y 0 ) on yhtälön (7) ratkaisu. Aiomme osoittaa, että äärettömän monesta lineaarisen kongruenssiyhtälön ax b (mod m) ratkaisuista ainostaan pareittain erilaisia ovat d kappaletta. Huomataan, että kaikki kokonaisluvut x 0, x 0 m d, x 0 2 m d,, x 0 (d 1) m d ovat lineaarisen kongruenssiyhtälön ax b (mod m) ratkaisuja. Nämä ratkaisut ovat parettain erilaiset, sillä jos olisi sellaiset ratkaisuparit, jossa m x 0 n 1 d x m 0 n 2 d (mod m), missä n 1 ja n 2 ovat kokonaislukuja sekä 1 n 1 < n 2 d 1, niin eli m n 1 d n m 2 d (mod m) m (n 1 n 2 ) m d. 8

10 Tästä seuraa, että d (n 1 n 2 ), joka on ristiriita, sillä 1 n 1 < n 2 d 1. Tällöin ratkaisut x 0, x 0 m d, x 0 2 m d,, x 0 (d 1) m d ovat parettain erilaiset. Aiomme nyt todistaa, että lineaarisella kongruenssiyhtälöllä ax b (mod m) ei ole muita kuin pareittain erilaiset ratkaisut. Olkoon kokonaisluku k lineaarisen kongruenssiyhtälön ratkaisu, mutta erilainen kuin aikaisemmat. Tällöin ak b (mod m), kun tiedämme, että ax 0 b (mod m) on myös voimassa. Tällöin saadaan ak ax 0 (mod m). (8) Koska syt(a, m) = d, niin a = λ 1 d, m = λ 2 d, missä λ 1 ja λ 2 ovat kokonaislukuja. Yhtälön (8) nojalla saadaan λ 1 dk λ 1 dx 0 (mod λ 2 d). Täten λ 2 λ 1 (k x 0 ). Koska syt(λ 1, λ 2 ) = 1, niin λ 2 (k x 0 ). Tällöin on olemassa sellainen kokonaisluku ν, että k = x 0 + νλ 2. Jakoalgoritmilla saadaan ν = dq + r, missä q ja r, 0 r < d, ovat kokonaislukuja. Tästä saadaan k = x 0 + dλ 2 q + λ 2 r = x 0 + mq + m d r (9) ja täten mq = k (x 0 + m d r). 9

11 Näin k x 0 + m d r (mod m), missä 0 r d 1. Tällöin k ei ole yhtälölle uusi pareittain erilainen ratkaisu, mikä on ristiriidassa oletuksen kanssa. Tämä todistaa väitteen, että lineaarisella kongruenssilla ax b (mod m) on d kappaletta pareittain erilaisia ratkaisuja modulo m. Tapaus 2. Jos d ei jaa kokonaislukua b, niin Diofantoksen yhtälöllä ax my = b ei ole ratkaisua. Täten lineaarisella kongruenssilla ei ole myöskään ratkaisua. ax b (mod m) Huomautus 3. Silloin, kun syt(a, m) = 1, lineaarisella kongruensilla ax b (mod m) on yksikäsitteinen ratkaisu. Esimerkki 4. Olkoot kokonaisluvut a = 7 ja b = 11 sekä luonnollinen luku m = 21. Tällöin syt(7, 21) = 3, mutta kokonaisluku 7 ei jaa kokonaislukua 11. Tällöin lineaarisella kongruenssilla 7x 11 (mod 21) ei ole yhtään ratkaisua. Esimerkki 5. Olkoot kokonaisluvut a = 8 ja b = 12 sekä luonnollinen luku m = 20. Tällöin syt(8, 20) = 4 ja Tällöin lineaarisella kongruenssilla 8x 12 (mod 20) on 4 kappaletta pareittain erilaisia ratkaisuja. 10

12 Lähdeluettelo [1] Michael Th. Rassias: Problem-Solving and Selected Topics in Number Theory; In the Spirit of the Mathematical Olympiads, Spinger,