2 Renkaat ja kunnat. toteutuvat: 1. pari (K, +) on Abelin ryhmä, jonka neutraalialkio on 0 K,

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "2 Renkaat ja kunnat. toteutuvat: 1. pari (K, +) on Abelin ryhmä, jonka neutraalialkio on 0 K,"

Transkriptio

1 1 Ryhmät Olkoot S on joukko ja X S. Jos kuvaus : S S S, (x, y) x y toteuttaa ehdon x y X kaikilla x, y X, niin sanotaan, että binäärinen operaatio on suljettu joukon X suhteen. Määritelmä 1. Olkoot G joukko ja joukon G suhteen suljettu binäärinen operaatio. Pari (G, ) on ryhmä, mikäli seuraavat ehdot toteutuvat: 1. (a b) c = a (b c) kaikilla a, b, c G, 2. on olemassa sellainen e G, että x e = x = e x kaikilla x G ja 3. jokaista x G kohti on olemassa sellainen x 1 G, että xx 1 = e = x 1 x. Jos lisäksi x y = y x kaikilla x, y G, niin pari (G, ) on Abelin ryhmä. Ryhmän operaatio jätetään usein jatkossa merkitsemättä. Ryhmän G osajoukko H on aliryhmä, mikäli pari (H, ) on ryhmä. Lause 2 (Aliryhmäkriteeri). Ryhmän G osajoukko H on aliryhmä jos ja vain jos ab 1 H kaikilla a, b H. Olkoon seuraavassa (G, +) Abelin ryhmä ja käytetään additiivista notaatiota eli ryhmän G neutraalialkio on 0 ja alkion a käänteisalkio on a. Jos T, S ovat ryhmän G ei-tyhjiä osajoukkoja, niin merkitään T + S = {t + s t T, s S} = S + T. Tapauksessa T = {a} merkitään vain a + S = T + S. Koska G on Abelin ryhmä, niin merkinnät ovat hyvin määriteltyjä. Jos H on ryhmän G aliryhmä, niin joukkoja a + H, missä a G, kutsutaan aliryhmän H sivuluokiksi ryhmässä G. Jos a, b G, niin joko luokat a + H ja b + H ovat pistevieraita tai a+h = b+h (tämä on yhtäpitävää sen kanssa, että a b H). Sivuluokat ovat ryhmän G ekvivalenssiluokkia. ja jokainen ryhmän g alkio kuuluu täsmälleen yhteen aliryhmän H sivuluokkaan ryhmässä G. Merkitään ja tällöin pätee G/H = {a + H a G} (a + H) + (b + H) = (a + b) + H kaikilla a, b G. Pari (G/H, +) on nyt ryhmän G tekijäryhmä, kun laskutoimitus + tulkitaan joukon G/H binääriseksi operaatioksi. Ryhmässä G/H neutraalialkio on joukko 0 + H = H ja sivuluokan a + H käänteisalkio on sivuluokka a + H. Ryhmäteorian perustulokset ja -määritelmät oletetaan muutoin tutuksi. 1

2 2 Renkaat ja kunnat Määritelmä 3. Olkoon R joukko, jolla on joukon R suhteen suljetut binääriset operaatiot + ja. Kolmikko (R, +, ) on rengas, mikäli seuraavat ehdot toteutuvat: 1. pari (R, +) on Abelin ryhmä, jonka neutraalialkio on 0 R, 2. on olemassa sellainen 1 R \ {0}, että 1 x = x = x 1 kaikilla x R, 3. (a + b) c = a c + b c kaikilla a, b, c R, 4. a (b c) = (a b) c kaikilla a, b, c R ja 5. a b = b a kaikilla a, b R. Joissakin yhteyksissä renkaan määritelmästä saataan jättää pois kertolaskun assosiatiivisuus, kommutatiivisuus ja/tai ykkösellisyys, mutta näin ei tehdä tällä kurssilla. Renkaan R osajoukko S on alirengas, mikäli kolmikko (S, +, ) on rengas ja niillä on sama ykkösalkio. Tämä on yhtäpitävää sen kanssa, että {0, 1} S R, pari (S, +) on ryhmän (R, +) aliryhmä ja binäärinen operaatio on suljettu joukon S suhteen (alirengaskriteeri). Renkaan yhteenlaskuryhmän (R, +) neutraalialkiota sanotaan jatkossa nollaksi ja merkintänä käytetään renkaasta riippumatta 0. Renkaan yhteenlaskuryhmässä (R, +) käytetään additiivista notaatiota eli alkion a käänteisalkio on a ja a + a = 2a, a + a + a = 3a,... ja niin edelleen. Vastaavasti a + a = a a = 2a ja niin edelleen. Mekaanisesti laskemalla voi todeta, että na + ka = (n + k)a kaikilla a R ja n, k Z. Renkaan kertolaskun neutraalialkiota sanotaan ykköseksi ja merkintänä käytetään renkaasta riippumatta 1. Lisäksi renkaan kertolaskun operaatio jätetään yleensä merkitsemättä eli a b = ab. Määritelmä 4. Olkoon K joukko, jolla on joukon K suhteen suljetut binääriset operaatiot + ja. Kolmikko (K, +, ) on kunta, mikäli seuraavat ehdot toteutuvat: 1. pari (K, +) on Abelin ryhmä, jonka neutraalialkio on 0 K, 2. pari (K \ {0}, ) on Abelin ryhmä ja 3. (a + b) c = a c + b c kaikilla a, b, c K. Jokainen kunta on myös rengas. Jatkossa käytetään merkintöjä = 2, = 3,..., n 1 = n1 = n. Kunnan kertolaskuryhmälle käytetään merkintää K = K \ {0}. 2

3 Kunnan K osajoukko F on alikunta, mikäli kolmikko (F, +, ) on kunta. Tämä on yhdenpitävää sen kanssa, että pari (F, +) on ryhmän (K, +) aliryhmä ja pari (F \ {0}, ) on ryhmän (K \ {0}, ) aliryhmä. Olkoon m Z ja m > 0. Luvut a, b Z ovat kongruentteja modulo m, mikäli m jakaa erotuksen a b. Tällöin merkitään a b mod (m). Kongruenssi modulo m on ekvivalenssirelaatio ja sen ekvivalenssiluokkio kutsutaan jäännösluokiksi modulo m. Luvun a Z määrämä jäännösluokka on [a] = {a + nm n Z}. Jäännösluokkia on m kappaletta modulo m ja merkitään näiden joukkoa Z m. Asetetaan kaikilla a, b Z, että [a] + [b] = [a + b] [a] [b] = [ab]. Kolmikko (Z m, +, ) on rengas, jonka nolla on [0] ja ykkönen [1]. Jatkossa yleensä samaistetaan jäännösluokat edustajansa kanssa jätetään kertolaskuoperaatio merkitsemättä laskettaessa jäännösluokilla. Ryhmäteoreettisesti jäännösluokat modulo m > 0 ovat kokonaislukujen yhteenlaskuryhmän (Z, +) tekijäryhmä Z/mZ, missä mz = {am a Z} on luvun m generoima syklinen aliryhmä. Lause 5. Rengas Z m on kunta jos ja vain jos m on alkuluku. Todistus. Jos Z m on kunta, niin Z m \ {0} on ryhmä renkaan kertolaskun suhteen. Oletetaan, että m = nk eli [nk] = 0. Jos [k] 0, niin kertomalla alkion [k] käänteisalkiolla saadaan [n] = 0 eli m jakaa luvun n. Vastaavasti jos [n] 0, niin m jakaa luvun k. Täten luvulla m ei ole aitoja tekijöitä ja se on siis alkuluku. Vastaavasti jos luku m on alkuluku, niin olkoon n Z m \ {0} mielivaltainen. Rajoituksetta voidaan olettaa, että 0 < n < m. Koska syt (n, m) = 1, niin Euklideen algoritmin nojalla on olemassa sellaiset alkiot a, b Z, että an + mb = 1. Täten [a][n] = [1] eli joukko Z m \ {0} on ryhmä kertolaskun suhteen. Määritelmä 6. Kunnan F karakteristika on ykkösen generoiman syklisen ryhmän {n1 n Z} (yhteenlaskun suhteen) kertaluku, mikäli ryhmä on äärellinen. Muutoin karakteristika on 0. Äärellisen kunnan karakteristika on alkuluku. Jos kunnan F karakteristika on p, niin pa = p a = 0 kaikilla a F. Tarkastelemalla kunnan F suppeinta alikuntaa (kunnan alikuntien mielivaltainen leikkaus on alikunta) ja ykkösen moninkertoja saadaan 3

4 Lause 7. Jos kunnan karakteristika on p, niin sen suppein alikunta on isomorfinen kunnan Z p kanssa. Jos kunnan karakteristika on 0, niin sen suppein alikunta on isomorfinen kunnan Q kanssa. Tämän suora seuraus on, että jos kunnassa F on p alkiota, missä p on alkuluku, niin kunnat F ja Z p ovat keskenään isomorfisia. Lause 8. Äärellisen kunnan F kertaluku on muotoa p n, missä p on kunnan F karakteristika (ja siis alkuluku) ja n Z +. Vastaavasti jos p on alkuluku ja n Z +, niin on olemassa kunta, jonka kertaluku on p n. Kaikki samaa kertalukua olevat äärelliset kunnat ovat keskenään isomorfisia. Tämän lauseen mukaan jokaista alkulukua p ja positiivista luonnollista lukua n kohti on olemassa yksikäsitteinen (isomorfian suhteen) äärellinen kunta, jonka kertaluku on p n. Toisaalta kaikkien äärellisten kuntien kertaluku on tätä muotoa. Täten äärellisiä kuntia kutsutaan usein Galois n kunniksi ja kertalukua q olevaa kuntaa merkitään F q tai GF (q). 4

5 3 Vektoriavaruudet Olkoot V Abelin ryhmän W aliryhmä ja F kunnan K alikunta. Operaatiota K W W, (s, w) sw sanotaan joukon V skalaarituloksi kunnan F suhteen, mikäli fv V kaikilla f F ja v V. Määritelmä 9. F-kertoiminen vektoriavaruus on Abelin ryhmä (V, ) varustettuna skalaaritulolla kunnan (F, +, ) suhteen, mikäli skalaaritulo totettaa seuraavat ehdot kaikilla a, b F ja v, w V : 1. 1v = v, missä 1 on kunnan F ykkösalkio, 2. (a + b)v = av bv, 3. a(v w) = av aw ja 4. (a b)v = a(bv). Kerroinkunnan F alkioita kutsutaan yleensä skalaareiksi ja vektoriavaruuden V alkioita taasen vektoreiksi. Jatkossa sekä vektorien yhteenlaskulle ja skalaarien yhteenlaskulle käytetään yhteistä merkintää +, vaikka laskutoimitukset voisivatkin olla eri joukkojen laskutoimituksia. Jos V on F-kertoiminen vektoriavaruus, niin ryhmän V aliryhmä H on aliavaruus, mikäli myös H on F-kertoiminen vektoriavaruus. Tämä on yhtäpitävää sen kanssa, että Lause 10. F-kertoimisen vektoriavaruuden V ei-tyhjä osajoukko H on aliavaruus jos ja vain jos ehto av + bw H toteutuu kaikilla a, b F ja v, w H. Kunnilla on myös vektoriavaruuden rakenne alikuntiensa suhteen. Lause 11. Jos F on kunta ja K on sen alikunta, niin kunta F on K- kertoiminen vektoriavaruus. Tällöin kunta K on myös K-kertoimisen vektoriavaruuden F aliavaruus. Todistus. Olkoon F kunta ja K sen eräs alikunta. Kunnan K alkion kertominen kunnan F alkiolla on joukon F skalaaritulo joukon K suhteen. Nyt (F, +) on Abelin ryhmä ja (K, +, ) on kunta ja tälle skalaaritulolle pätee kaikilla v, w F ja k, n K kv F 1v = v (k + n)v = kv + nv k(v + w) = kv + kw k(nv) = (kn)v eli F on K-kertoiminen vektoriavaruus. Viimeinen väite on selvä. 5

6 3.1 Lineaarinen riippuvuus F-kertoimisen vektoriavaruuden V osajoukko S = {s 1, s 2,..., s n } on lineaarisesti riippumaton (tai vapaa), jos yhtälöllä a 1 s 1 + a 2 s a n s n = 0 on vain triviaali ratkaisu a 1 = a 2 =... = a n = 0 kunnassa F. Jos osajoukko S ei ole lineaarisesti riippumaton, niin se on lineaarisesti riippuva. Tämä on yhtäpitävää sen kanssa, että jos i = 1, 2,..., n, niin on olemassa sellaiset a 1,..., a i 1, a i+1,..., a k F, että s i = a 1 s a i 1 s i 1 + a i+1 s i a n s n. F-kertoimisen vektoriavaruuden V osajoukon S = {s 1, s 2,..., s n } virittämä aliavaruus on span S = {a 1 s 1 + a 2 s a n s n a 1, a 2,..., a n F}. Vektoriavaruuden V lineaarisesti vapaa osajoukko S on avaruuden V kanta, mikäli V = span S. Jos vektoriavaruudella V on äärellinen kanta, niin vektoriavaruuden V jokaisessa kannassa on yhtä monta vektoria (saman kerroinkunnan F yli). Avaruuden V {0} dimensio dim V on siis avaruuden jonkin kannan vektoreiden lukumäärä (mikäli äärellisenä olemassa). Jos V = {0}, niin dim V = 0. Jos vektoriavaruudella dim V = n, niin vektoriavaruuden jokainen n + 1 alkion osajoukko on lineaarisesti riippuvainen. Vektoriavaruuden kannan merkittävä ominaisuus on se, että jokainen vektoriavaruuden alkio voidaan esittää yksikäsitteisesti kannan vektorien lineaarisena yhdisteenä. Kanta ei ole yksikäsitteinen. Lisäksi vektoriavaruuden dimensio riippuu kerroinkunnasta. Kompleksiluvuilla C on R-kertoimisena vektoriavaruutena kanta {1, i}, mutta C-kertoimisena vektoriavaruutena kanta voi olla vaikkapa {1} (tai mikä tahansa yhden alkion joukko, jonka alkio ei ole nolla). Lause 12. Jos F on äärellinen kunta, jonka karakteristika on p, niin kunnassa F on p n alkiota eräällä n Z +. Todistus. Olkoon K kunnan F suppein alikunta eli K koostuu ykkösen moninkerroista. Tarkastellaan nyt kuntaa F K-kertoimisina vektoriavaruutena. Koska F on äärellinen kunta, niin sen dimensio on äärellinen. Olkoon joukko {e 1, e 2,..., e n } jokin kunnan F kannoista. Täten F = {x 1 e 1 + x 2 + e x n e n x i K} ja jokaisen kunnan F alkiolla on yksikäsitteinen esitys kannan vektorien {e 1, e 2,..., e n } lineaariyhdisteenä. Koska alikunnassa K on p alkiota, niin kunnassa F on p n alkiota. 6

7 3.2 Vektorit ja matriisit Olkoon R rengas ja m, n positiivisia kokonaislukuja. Funktiota A : {1, 2,..., m} {1, 2,..., n} R sanotaan R-kertoimiseksi (m n)-matriisiksi. Yleensä käytetään merkintöjä a 11 a a 1n a 21 a a 2n A = R m n a m1 a m2... a mn missä a ij = A(i, j). Lyhyemmin voidaan merkitä myös A = (a ij ) m n. Erityistapauksina (m 1)-matriiseja kutsutaan m-pituisiksi pystyvektoreiksi ja (1 n)-matriiseja kutsutaan n-pituisiksi vaakavektoreiksi. Renkaan R alkiot eli skaalarit voidaan samaistaa (1 1)-matriisien kanssa. Jatkossa tarkastelemme lähinnä F-kertoisimia matriiseja, missä F on kunta. Nollamatriisi 0 on matriisi, jonka jokainen alkio on kunnan nolla-alkio. Identiteettimatriisi on (n n)-matriisi I n =.... = diag (1, 1,..., 1) Matriiseja on usein hyödyllistä kirjoittaa blokkimuodossa (lohko-), jossa matriisin alkioita korvataan pienemmillä matriiseilla, joiden alkiot vastaavat alkuperäisen matriisin alkioita. Esimerkiksi A = = P 1 P 2 P 3 P 4 P 5 P 6 missä P 1 on 2 3-matriisi, jonka alkioina on ykkösiä, P 2 on 2 1-matriisi, jonka alkioina on kakkosia, P 3 ja P 5 ovat 1 3-matriisi, jonka alkioina on kolmosia ja viitosia sekä P 4 ja P 6 ovat 1 1-matriiseja. Erikoistapauksina matriisin blokkimuodosta on matriisin kirjoittaminen pystysarake- tai vaakarivivektoriensa avulla A = (A 1 A 2... A n ) = B 1 B 2. B m., 7

8 Blokkimuodossa olevien matriisien lohkot voidaan yhteen- ja kertolaskuissa operoida kuten matriisien oikeita alkioita, kunhan vain pidetään huolta siitä, että lohkojen koot ja sijainti osuvat kohdalleen. Matriisin A = (a ij ) m n F m n transpoosi on matriisi A T F n m, jolla A(i, j) = A T (j, i). Transpoosimatriisin pystyrivit ovat siis alkuperäisen matriisin vaakarivit ja päinvastoin. Erityisesti vaakavektorin transpoosi on pystyvektori ja päinvastoin. Matriisien A = (a ij ) m n ja B = (b ij ) m n summamatriisi on A + B = (a ij + b ij ) m n. Matriisien A = (a ij ) m n ja B = (b ij ) n k tulomatriisi AB on m k-matriisi, jolla (AB)(i, j) = n a is b sj. s=1 Matriisien laskutoimituksille pätee (mikäli matriisien koot täsmäävät) seuraavat yhtälöt. A + 0 = A A + B = B + A AI n = A I m A = A A(BC) = (AB)C A(B + C) = AB + AC (B + C)A = BA + CA (A T ) T = A (A + B) T = A T + B T (AB) T = B T A T (λa) T = λa T, λ F. 8

9 3.3 Matriisit ja lineaariset kuvaukset Seuraavassa F on kunta ja F n on F-kertoimisten n-pituisten vaakavektorien muodostama joukko. Vastaavasti F (n) on F-kertoimisten n-pituisten pystyvektorien muodostama joukko. Seuraavat tulokset pätevät sekä pystyettä vaakavektoreille. Vaakavektorien tapauksessa tarkastellaan vain tuloa xa F m, missä x F n ja A F n m. Jos V ja W ovat F-kertoimisia vektoriavaruuksia, niin lineaarinen kuvaus on funktio f : V W, jolla pätee f(v + w) = f(v) + f(w) f(kv) = kf(v) kaikilla v, w V ja k F. Jos A = F m n, x, y F (n) ja λ F, niin A(x + y) = Ax + Ay A(λx) = λax eli matriisi generoi lineaarisen kuvauksen f : F (n) F (m), f(x) = Ax. Toisaalta jos f : F (n) F (m) on lineaarinen kuvaus ja joukko {x 1, x 2,..., x n } on vektoriavaruuden V kanta, niin muodostetaan matriisi A = F m n, jonka i:s pystyrivi on vektori f(x i ). Jos x = a 1 x 1 + a 2 x a n x n, niin f(x) = a 1 f(x 1 ) + a 2 f(x 2 ) + + a n f(x n ) = Ay, missä y = (a 1, a 2,..., a n ) T F (n). Täten tarkasteltaessa vektoriavaruudelta F (n) lähteviä lineaarikuvauksia ne voidaan samaistaa matriiseihin tiettyyn rajaan asti. Esimerkiksi lineaarikuvausta vastaava matriisi ei ole yksikäsitteinen, vaan sen esitys riippuu vektoriavaruuden esityksessä käytetystä kannasta. Matriisin A = F m n ydin (kernel) on joukko ja kuva-avaruus on Ker A = {x F (n) Ax = 0} F (n) Im A = {Ax x F (n) } F (m). Sekä ydin että kuva-avaruus ovat vektoriavaruuksia. Ytimen dimensiota dim Ker A kutsutaan matriisin A nolla-avaruudeksi null A. Nyt Ax = Ay jos ja vain jos A(x y) = 0 eli x y Ker A. Saadaan siis Lause 13. Olkoon A = F m n matriisi. Tällöin seuraavat ehdot ovat yhtäpitäviä 9

10 1. Ker A = {0}, 2. kuvaus f : F (n) F (m), f(x) = Ax on injektio. Lause 14. Olkoon A = F m n matriisi. Tällöin seuraavat asiat ovat yhtäpitäviä: 1. matriisilla A on k lineaarisesti riippumatonta pystyvektoria, mutta sen jokainen k + 1:n pystyvektorin kokoelma on lineaarisesti riippuvainen 2. matriisilla A on k lineaarisesti riippumatonta vaakavektoria, mutta sen jokainen k + 1:n vaakavektorin kokoelma on lineaarisesti riippuvainen 3. matriisin kuva-avaruuden Im A = {Ax x F (n) } dimensio on k. Matriisin asteeksi asetetaan rank A = dim Im A. On helppo nähdä, että matriisin elementaariset vaakarivimuutokset (vaakarivien järjestyksen permutoiminen, vaakarivin lisääminen toiseen vaakariviin ja vaakarivin kertominen nollasta eroavalla skalaarilla) eivät muuta matriisin astetta. Vastaavasti myöskään elementaariset pystyrivimuunnokset eivät vaikuta matriisin asteeseen. Lause 15. Jos A on (m n)-matriisi, niin rank A + null A = n. Todistus. Jos null A = n, niin Im A = {0} ja väite on tosi. Jos taas null A = 0, niin kuvaus f : F (n) Im A, f(x) = Ax on bijektio ja täten rank A = n. Voidaan siis olettaa, että 0 < null A < n. Olkoon joukko {x 1, x 2,..., x k } F (n) matriisin A ytimen kanta eli null A = k. Tämä kanta voidaan laajentaa avaruuden F (n) kannaksi {x 1, x 2,..., x n }. Olkoon y Im A mielivaltainen. Täten on olemassa sellainen x F (n), että Ax = y. Olkoon x = a 1 x 1 +a 2 x a n k n, missä a i F. Nyt y = Ax = a 1 Ax 1 + a 2 Ax a n Ax n = a k+1 Ax k+1 + a k+2 Ax k a n Ax n. Koska y oli mielivaltainen kuva-avaruuden alkio, niin riittää enää osoittaa, että joukko {Ax k+1, Ax k+2,..., Ax n } on lineaarisesti riippumaton. Oletetaan on olemassa sellaiset alkiot b k+1, b k+2,..., b n F, että b k+1 Ax k+1 + b k+2 Ax k b n Ax n = 0 ja ainakin jokin alkioista on nollasta eroava. Mutta nyt A(b k+1 x k+1 + b k+2 x k b n x n ) = 0 eli vektori 0 b k+1 x k+1 + b k+2 x k b n x n Ker A. Täten joukko {x 1, x 2,..., x n } ei ole avaruuden F (n) kanta, mikä on ristiriita. Siispä joukko {Ax k+1, Ax k+2,..., Ax n } on avaruuden Im A kanta. 10

11 Tarkastellaan hetken muotoa xa olevia tuloja, missä x F n ja A F n m. Tällöin ydin on joukko ja kuvajoukko on Ker A = {x F n xa = 0} F n Im A = {xa x F n } F m. Lause 15 eli Rank-nullity teoreema on tällöin muotoa Lause 16. Jos A on (n m)-matriisi, niin rank A + null A = n. Muistisääntönä voi siis käyttää sitä, että asteen ja nolla-avaruuden summa on aina kerrottavan vektorin puoleinen koordinaatti (tai kertovan vektorin pituus). Lauseiden ero selittyy sillä, että muotoa Ax olevassa kertolaskussa kuva-avaruus Im A = {Ax x F (n) } on pystyvektoreiden lineaarinen yhdiste (ja niitä on n kappaletta). Muotoa xa olevassa kertolaskussa kuva-avaruus Im A = {xa x F n } on taas vaakavektorien lineaarinen yhdiste (ja niitä on n kappaletta). 11

12 4 Ideaalit ja tekijärenkaat Määritelmä 17. Olkoon kolmikko (R, +, ) rengas. Renkaan ei-tyhjää osajoukkoa I R sanotaan ideaaliksi, mikäli 1. (I, +) on ryhmä eli se on ryhmän (R, +) aliryhmä ja 2. ra I kaikilla r R ja a I. Jokaisella renkaalla on triviaalit ideaalit {0} ja R. Jos ykkönen on ideaalin I alkio, niin R I. Täten ideaali I on (ykkösellisen) renkaan alirengas jos ja vain jos I = R. Ideaalien (mielivaltainen indeksijoukko) leikkaus on aina ideaali. Täten alkion a R generoimaksi ideaaliksi (a) voidaan määritellä alkion a sisältävien renkaan R ideaalien leikkaus. Koska joukko Ra = {ra r R} on ideaali, niin (r) = Ra. Kokonaislukujen renkaan Z ideaaleja ovat joukot nz = {nz z Z} = (n), missä n Z. Kunnat voidaan ajatella renkaina, joilla ei ole ei-triviaaleja ideaaleja. Lause 18. Olkoon R rengas. Tällöin R on kunta jos ja vain jos renkaalla R on vain triviaalit ideaalit. Todistus. Jos I {0} on kunnan F ideaali, niin valitaan 0 a I. Tällöin 1 = aa 1 I eli I = R. Toisaalta, jos R on rengas, jolla on vain triviaalit ideaalit, niin olkoon 0 a R. Tällöin {0} (a) eli R = (a) = Ra. On siis olemassa alkio 0 x R, jolla ax = xa = 1 eli R \ {0} on ryhmä. Renkaan R ideaali I on Abelin ryhmän (R, +) aliryhmä. Täten ryhmälle R voidaan muodostaa tekijäryhmä R/I = {r + I r R}, jonka yhteenlasku on määritelty (r 1 + I) + (r 2 + I) = (r 1 + r 2 ) + I kaikilla r 1, r 2 R. Asetetaan joukolle R/I kertolasku (r 1 + I)(r 2 + I) = r 1 r 2 + I. Koska RI = {ra r R, a I} I, niin operaatio on hyvin määritelty. Renkaan R kertolaskun assosiatiivisuudesta/kommutatiivisuudesta seuraa joukon R/I kertolaskun assosiatiivisuus/kommutatiivisuus. Lisäksi ekvivalenssiluokka 1 + I toteuttaa ehdon (1 + I)(r + I) = r + I = (r + I)(1 + I) kaikilla r R. Täten kolmikko (R/I, +, ) on rengas. 12

13 Määritelmä 19. Ideaali I {0} on maksimaalinen renkaassa R, mikäli ehdoista J on renkaan R ideaali ja I J seuraa joko I = J tai J = R. Lause 20. Olkoon I renkaan R ideaali. Jos J on renkaan ideaali ja I J, niin joukko J/I = {j +I j J} on renkaan R/I ideaali. Toisaalta jos J/I on renkaan R/I ideaali eräällä I J R, niin joukko J on renkaan R ideaali. Aliryhmäkriteerin avulla on helppo nähdä, että (J, +) (R, +) jos ja vain jos (J/I, +) (R/I, +). Toisaalta (r + I)(j + I) = rj + I J/I jos ja vain jos rj J kaikilla r R ja j J. Täten ideaali I on maksimaalinen renkaassa R jos ja vain jos renkaalla R/I on triviaalit ideaalit. Näin saadaan Lause 21. Olkoon I on renkaan R ideaali. Tällöin R/I on kunta jos ja vain jos I on maksimaalinen renkaassa R. Jos kokonaisluku k jakaa luvun n, niin tällöin (n) (k) kokonaislukujen renkaassa Z. Siis ideaali (m) = mz on maksimaalinen kokonaislukujen renkaassa jos ja vain jos m Z on alkuluku (tai alkuluvun vastaluku). Täten tekijärengas Z m = Z/mZ on kunta jos ja vain jos m on alkuluku. 13

14 5 Polynomirenkaat Jos F on kunta, niin F-kertoimista polynomirengasta merkitään F[x]. Formaalisti se on joukko kuvauksia f : N F, joille pätee, että jokaisella f on olemassa sellainen n N, että f(k) = 0 kaikilla k > n. Pienintä tämän ehdon täyttävää lukua n N sanotaan polynomin f asteeksi deg f. Jos f(k) = 0 kaikilla k N eli f on nollapolynomi, niin deg f =. Yleensä astetta n 0 olevalle polynomille f käytetään merkintää f(x) = f(0) + f(1)x + f(2)x f(n)x n, missä x F. Vakiopolynomeja ovat nollapolynomi ja astetta 0 olevat polynomit. Jos f, g F[x] ja a F, niin (af)(k) = af(k) (f + g)(k) = f(k) + g(k) (fg)(k) = f(i)g(j). i+j=k Tällöin polynomit F[x] varustettuna yhteenlaskulla ja kertolaskulla on rengas, jonka nolla-alkio on nollapolynomi 0 ja ykkösalkio on vakiopolynomi 1. Toisaalta F-kertoimiset polynomit muodostavat myös F-kertoimisen vektoriavaruuden, jonka kanta on ääretön joukko {1, x, x 2,...}. Jos F on kunnan K alikunta, niin F-kertoiminen polynomi on myös K- kertoiminen polynomi. Koska kunnassa pätee ab 0 kaikilla a, b 0, niin saadaan seuraava polynomin astetta koskeva tulos Lause 22. Jos F on kunta, niin deg pq = deg p + deg q kaikilla p, q F[x]. Astettan n olevan polynomin f(x) F[x] nollakohdaksi kutsutaan alkiota a F, jolla pätee f(a) = f(0) + f(1)a + f(2)a f(n)a n = 0. Ykköspolynomiksi sanotaan polynomeja, joiden korkeimman asteen termin kerroin on 1, eli astetta n 0 olevalla ykköspolynomilla pätee f(n) = 1. Polynomi p(x) F[x] jakaa polynomin f(x) F[x] renkaassa F[x], mikäli on olemassa polynomi q(x) F[x], jolla f(x) = p(x)q(x). Tällöin polynomi p(x) on polynomin f(x) tekijä. Mikäli astetta n 1 olevalla polynomilla ei ole tekijöitä, joiden aste kuuluu joukkoon {1, 2,..., n 1}, niin polynomi on jaoton. Kannattaa huomata, että jos astetta n oleva polynomi a 0 + a 1 x a n 1 x n 1 + a n x n 14

15 jakaa polynomin f(x) renkaassa F[x], niin myös ykköspolynomi a 0 a 1 n + a 1 a 1 n x +... a n 1 a 1 n x n 1 + x n jakaa polynomin f(x) renkaassa F[x]. Polynomien jaollisuus on riippuvainen kerroinkunnasta. Polynomi f(x) = x Q[x] on jaoton, mutta f(x) = (x i)(x + i) C[x] on jaollinen. Kunnan polynomirenkaan polynomeille pätee jakoyhtälö. Lause 23. Jos f(x), g(x) F[x], missä F on kunta ja g(x) 0, niin on olemassa sellaiset yksikäsitteiset polynomit q(x), r(x) F[x] joilla pätee missä deg r(x) < deg g(x). f(x) = g(x)q(x) + r(x), Jakoyhtälön käyttö mahdollistaa polynomin nollakohtien ja ensimmäisen asteen tekijöiden samaistamisen. Lause 24. Olkoon F kunta. Jos f(x) F[x] ja a F, niin f(a) = 0 jos ja vain jos polynomi x a jakaa polynomin f(x) renkaassa F[x]. Tämän seurauksena astetta n > 0 olevalla polynomilla on korkeintaan n nollakohtaa. Lisäksi toisen ja kolmannen asteet polynomit ovat jaottomia renkaassa F[x] jos ja vain jos niillä ei ole nollakohtia kunnassa F. Renkaan R ideaalia I sanotaan alkion a R generoimaksi pääideaaliksi, mikäli I = {ra r R}. Tällöin merkittiin I = (a). Huomaa, että {0} = (0) ja R = (1). Lisäksi joukko {ra r R} on suppein alkion a R sisältävä renkaan R ideaali. Rengas on pääideaalirengas, mikäli sen jokainen ideaali on pääideaali. Kokonaislukujen rengas Z on pääideaalirengas, koska kaikki sen ideaalit ovat muotoa nz, missä n Z. Myös kunnan polynomirenkaat ovat pääideaalirenkaita. Lause 25. Jos F on kunta, niin renkaan F[x] jokainen ideaali on pääideaali. Todistus. Olkoon I eräs renkaan F[x] ideaali. Rajoituksetta voidaan olettaa, että I {0}, joten renkaassa on jokin ei-nollapolynomi. Valitaan näistä polynomeista asteluvultaan pienin ja olkoon se f(x) 0. Jakoalgoritmilla saadaan, että I = (f(x)). Jos f(x), g(x) F[x] ja F on kunta, niin joukko I = {a(x)f(x) + b(x)g(x) a(x), b(x) F[x]} 15

16 eli alkioiden f(x) ja g(x) lineaariset yhdisteet renkaassa F[x] muodostavat renkaan F[x] ideaalin. Koska se on pääideaali, niin on olemassa sellainen ykköspolynomi s(x) F[x], että I = (s(x)). Tätä polynomia s(x) kutsutaan polynomien f(x) ja g(x) suurimmaksi yhteiseksi tekijäksi syt (f(x), g(x)) renkaassa F[x], mikäli f(x) 0 ja g(x) 0. Lause 26. Olkoot 0 f(x), g(x) F[x] ja F on kunta. Jos renkaassa F[x], niin pätee, että s(x) = syt (f(x), g(x)) 1. s(x) jakaa polynomit f(x) ja g(x) renkaassa F[x] ja 2. s(x) on ensimmäisen ehdon toteuttavista polynomeista asteeltaan suurin. Lisäksi suurin yhteinen tekijä on yksikäsitteisesti määritelty. Todistus. Olkoot s(x) ykköspolynomi ja (s(x)) = {a(x)f(x) + b(x)g(x) a(x), b(x) F[x]}. Koska f(x), g(x) (s(x)), niin polynomi s(x) jakaa polynomit f(x) ja g(x) renkaassa F[x]. Jos p(x) F[x] on polynomi, joka jakaa renkassa F[x] polynomit f(x) ja g(x), niin tällöin se jakaa niiden jokaisen lineaarisen yhdisteen renkaassa F[x]. Siis p(x) jakaa jokaisen ideaalin (s(x)) alkion. Erityisesti polynomi p(x) jakaa polynomin s(x). Täten polynomin p(x) aste on korkeintaan polynomin s(x) aste. Suurimman yhteisen tekijän yksikäsitteisyyden todistamiseksi oletetaan, että myös polynomi r(x) on polynomien f(x) ja g(x) suurin yhteinen tekijä renkaassa F[x]. Aikaisemman nojalla polynomi s(x) jakaa polynomin r(x) ja päinvaistoin. Siis r(x) = s(x), koska molemmat ovat ykköspolynomeja. Polynomirenkaan alkioille on oma versionsa Euklideen algoritmista. Jos 0 f(x), g(x) F[x], niin merkitään r 0 = f(x) ja r 1 = g(x). Nyt rekursiivisesti määritellään, että r i 1 (x) = q i+1 (x)r i (x) + r i+1 (x), missä deg r i+1 < deg r i ja polynomit q i+1 (x), r i+1 (x) F[x] saadaan jakoalgoritmilla. Koska jakojäännöspolynomin aste laskee joka askeleella, niin on olemassa sellainen k Z, että r k+1 on nollapolynomi. Tällöin syt (f(x), g(x)) renkaassa F[x] saadaan kertomalla r k (x) sen korkeimman asteen termin käänteisalkiolla. Kelaamalla algoritmi vastakkaiseen suuntaan saadaan polynomit a(x), b(x) F[x], joilla syt (f(x), g(x)) = a(x)f(x) + b(x)g(x). 16

17 Esimerkki 27. Olkoon F = Z 2. Tarkastellaan polynomeja x 4 + x 2 + x + 1 F[x] ja x 2 + x F[x]. Tällöin x 4 + x 2 + x + 1 = (x 2 + x)(x 2 + x) + x + 1, x 2 + x = x(x + 1) + 0 eli syt (x 4 + x 2 + x + 1, x 2 + x) = x + 1. Täten (x + 1) on suppein renkaan F[x] ideaali, joka sisältää polynomit x 4 + x 2 + x + 1 ja x 2 + x. 17

18 6 Kuntalaajennus Olkoon F kunta ja f(x) = a 0 + a 1 x a n x n renkaan F[x] polynomi. Olkoon I polynomin f(x) generoima pääideaali. Tällöin tekijärenkaan F[x]/I alkiot ovat muotoa g(x) + I, missä g(x) F[x]. Jakoalgoritmia käyttämällä saadaan, että g(x) = f(x)q(x) + r(x), missä q(x), r(x) F[x] ja deg r(x) < deg f(x). Siis g(x) + I = r(x) + I ja täten tekijärenkaan F[x]/(f(x)) alkiot voidaan esittää muodossa (b 0 + b 1 x b n 1 x n 1 ) + I, missä b 0, b 1,..., b n 1 F. Täten tekijärenkaassa F[x]/I on F n alkiota, mikäli F on äärellinen kunta. Tunnetusti kunnan polynomirenkaan tekijäryhmän kertolaskuryhmän rakenne tulee riippumaan generoivan polynomin jaollisuudesta. Lause 28. Olkoon F kunta. Tällöin renkaan F[x] ideaalin I = (f(x)) avulla muodostettu tekijärengas F[x]/I on kunta jos ja vain jos polynomi f(x) on jaoton renkaassa F[x]. Todistus. Lauseen 21 nojalla riittää osoittaa, että ideaali I = (f(x)) on maksimaalinen jos ja vain jos polynomi f(x) on jaoton renkaassa F[x]. Oletetaan että polynomi f(x) on jaoton renkaassa F[x]. Olkoon J renkaan R ideaali, joka sisältää ideaalin I = (f(x)) aidosti. Ideaalin J täytyy myös olla pääideaali, joten J = (g(x)) eräällä f(x) g(x) F[x]. Koska I J, niin on olemassa sellainen q(x) F[x], että f(x) = g(x)q(x). Polynomin f(x) jaottomuuden perusteella g(x) = 1 eli J = R ja ideaali I on maksimaalinen renkaassa F[x]. Oletetaan seuraavaksi, että ideaali I = (f(x)) on maksimaalinen renkaassa F[x]. Jos f(x) = g(x)h(x) eräillä g(x), h(x) F[x], niin tällöin ideaali I = (f(x)) sisältyy ideaaleihin (g(x)) ja (h(x)). Maksimaalisuuden nojalla polynomin f(x) täytyy olla jaoton renkaassa F[x]. Usein merkitään, että α = x + I. Nyt α k = (x + I) k = x k + I. 18

19 Jos kuntalaajennuksessa käytettävä polynomi on astetta n, niin joukko {1, α, α 2,..., α n 1 }, on kuntalaajennuksen F[x]/I kanta F-kertoimisena vektoriavaruutena. Koska generoiva polynomi f(x) on jaoton renkaassa F[x], niin polynomilla f(x) ei ole nollakohtia kunnassa F. Toisaalta f(x) on myös (F[x]/I)-kertoiminen polynomi, koska joukko {a + I a F} on kuntalaajennuksen alikunta, joka on isomorfinen alkuperäisen kunnan F kanssa. Täten f(α) = a 0 + a 1 α a n α n = f(x) + I = 0. eli laajennuksessa käytettävä polynomilla on nollakohtia laajennuskunnassa F[x]/I. Täten tekijärenkaassa F[x]/I pätee yhtälö a n α n = (a 0 + a 1 α a n 1 α n 1 ), jonka avulla alkion α potenssia pystyy tarvittaessa alentamaan. Jaottomalla polynomilla f(x) F[x] on nollakohta laajennuskunnassa F[x]/(f(x)). Tästä voimme induktiivisesti päätellä, että jokaisella astetta n olevalla polynomilla f(x) F[x] löytyy sellainen kunta K, joka sisältää kunnan F alikuntanaan ja polynomilla f(x) on n nollakohtaa kunnassa K. Esimerkki 29. Tässä esimerkissä F = Z 2, K = F[x]/(f(x)) ja f(x) = x 2 + x + 1 F[x]. Koska deg f(x) = 2 ja polynomilla ei ole nollakohtia kunnassa F, niin se on jaoton renkaassa F[x]. Täten K on kunta. Merkitään α = x + (f(x)). Tällöin f(α) = 0 eli α 2 = α + 1. Kunnan K alkiot ovat {0, 1, α, α+1} eli K = 2 2. Kantana kunnan F yli toimii esimerkiksi joukko {1, α}. Kertolaskuryhmä K = {1, α, α + 1} ja sen generaattoreina toimivat alkiot α ja α + 1. Jos a 0 + a 1 α K eli a 0, a 1 F, niin kunnan K alkiot voidaan esittää vektoreina a 0 a 1. Tällöin yhteen- ja kertolaskutauluiksi muodostuvat ja Lisäksi renkaassa K[x] pätee, että (x + α)(x + (α + 1)) = x 2 + (α + α + 1)x + α(α + 1) = f(x). 19

20 7 Vielä kerran kunnista... Jatkossa F q tarkoittaa kertalukua q olevaa kuntaa. Tällöin tietenkin q = p n eräällä alkuluvulla p ja positiivisella kokonaisluvulla n. Kunnan kertolaskuryhmän alkiota a F = F \ {0} kutsutaan kunnan F primitiiviseksi alkioksi, mikäli kertolaskuryhmä F on alkion a generoima syklinen ryhmä a. Eulerin φ-funktio on kuvaus φ : Z + Z +, missä φ(n) = {k Z + k n ja syt (n, k) = 1}. Olkoon g F kertalukua r oleva alkio ja tutkitaan polynomin f(x) = x r 1 F[x] nollakohtia. Nyt alkiot g, g 2,..., g r 1, g r = 1 ovat polynomin f(x) nollakohdat. Täten alkion y F kertaluku ryhmässä F on r jos ja vain jos y = g s, missä syt (r, s) = 1. Näitä alkioita on φ(r) kappaletta. Lause 30. Kunnalla F q on φ(q 1) primitiivistä alkiota. Todistus. Tutkitaan polynomia f(x) = x q 1 1 F[x]. Koska kertolaskuryhmän F kertaluku on q 1, niin jokainen ryhmän F alkio on polynomin f(x) nollakohta. Olkoot g kertolaskuryhmän alkioista kertaluvultaan suurin ja g = r. Olkoon y F mielivaltainen alkio, jonka kertaluku on s. Jos p on alkuluku ja r = p a b ja s = p c d, missä p ei jaa lukuja b ja d, niin alkioiden g pa ja y d kertaluvut ovat b ja p c. Täten alkion g pa y d kertaluku on p c b r = p a b eli c a. Tästä voidaan päätellä, että alkion y kertaluku jakaa luvun r ja alkio y on polynomin x r 1 nollakohta. Siis r = q 1 ja primitiivisiä alkioita on φ(r) kappaletta. Koska φ(n) 1 kaikilla n 1, niin jokaisella äärellisellä kunnalla F on primitiivinen alkio eli kertolaskuryhmä F on syklinen ryhmä. Todistuksessa käytettiin seuraavaa, lähes triviaalia, mutta äärimmäisen tärkeää huomiota. Kertolaskuryhmän F q, jonka kertaluku on q 1, jokainen alkio toteuttaa yhtälön x q 1 = 1. Siis x q = x kaikilla x F q. Lause 31. Kunnassa F q jokainen alkio toteuttaa yhtälön x q x = 0. Erityisesti x q x = α F q (x α). Tällä on taas seuraava hyödyllinen seuraus. 20

21 Lause 32. Olkoon F q kunnan F alikunta. Jos α F, niin α F q jos ja vain jos α q = α. niin Koska alkuluku p jakaa binomikertoimen ( p k) kaikilla k = 1, 2,..., p 1, (x + y) p = Induktiolla tästä saadaan p i=0 ( ) p x i y p i x p + y p mod(p). i Lause 33. Jos kunnan F karakteristika on p, niin siellä pätee kaikilla x, y F ja n Z + yhtälö (x + y) pn = x pn + y pn. Tämä yleistyy tietenkin myös useamman summattavan tilanteisiin eli (x 1 + x x k ) pn = x pn 1 + x pn x pn k Edelliset tulokset voidaan tulkita myös polynomien potensseille. Lause 34. Jos f(x) F q [x], niin kaikilla n Z +. (f(x)) qn = f(x qn ) Harjoituksissa todistetaan, että luku k jakaa luvun n jos ja vain jos luku p k 1 jakaa luvun p n 1. Koska Lagrangen lauseen nojalla aliryhmän kertaluvun täytyy jakaa äärellisen ryhmän kertaluvun, niin näiden perusteella tiedämme kertalukua p n olevan kunnan alikuntien kertalukujen täytyy olla muotoa p k, missä luku k jakaa luvun n. Lause 35. Olkoon p alkuluku. Kunnalla F p n on kertalukua p k oleva alikunta jos ja vain jos luku k jakaa luvun n. Todistus. Oletetaan ensiksi, että kunta F p k on kunnan F p n alikunta. Nyt kunnan F p k primitiivisen alkion α kertaluku on p k 1. Koska α F pn, niin α pn 1 = 1 eli luku p k 1 jakaa luvun p n 1. Täten luku k jakaa luvun n. Oletetaan siis, että luku k jakaa luvun n eli luku p k 1 jakaa luvun p n 1. Siis (p k 1)d = p n 1 eräällä d Z +. Jos α on kunnan F p n primitiivinen alkio, niin tällöin polynomilla f(x) = x pk

22 on nollakohdat 1, α d, α 2d,..., α (pk 2)d. Kahden nollakohdan tulo on edelleen nollakohta. Toisaalta (α sd + α td ) pk = α sdpk + α tdpk = α s(pn 1)+sd + α t(pn 1)+td = α sd + α td. Täten joko α sd + α td = 0 tai α sd + α td on polynomin f(x) nollakohta. Siispä alkiot 0, 1, α d, α 2d,..., α (pk 2)d muodostavat kertalukua p k olevan kunnan. Täten esimerkiksi kertalukua 8 = 2 3 olevalla kunnalla ei ole kertalukua 4 = 2 2 olevaa alikuntaa. 22

23 8 Minimaalipolynomit Olkoon F q r kunnan F q laajennuskunta. Jokainen α F q r toteuttaa yhtälön x qr x = 0. Täten voidaan määritellä, että alkion α F q r minimaalipolynomi m α (x) kunnan F q suhteen on renkaan F q [x] ykköspolynomi, jolla m α (α) = 0 ja jonka asteluku on mahdollisimman alhainen. Nyt α F q jos ja vain jos m α (x) = x α. Lause 36. Olkoon α F q r ja m α (x) sen minimaalipolynomi kunnan F q suhteen. Tällöin minimaalipolynomi m α on jaoton renkaassa F q [x] ja jos f F q [x] ja f(α) = 0, niin m α (x) jakaa polynomin f(x). Todistus. Jos m α (x) = p(x)q(x) ja deg p, deg q < deg m α, niin α on joko polynomin p(x) tai polynomin q(x) nollakohta. Tämä ei ole mahdollista, joten m α (x) on jaoton renkaassa F q [x]. Olkoot f(x) F q [x], f(α) = 0 ja f(x) = q(x)m α (x) + r(x), missä q(x), r(x) F q [x] ja deg r < deg m α. Nyt 0 = f(α) = q(α)m α (α) + r(α) = r(α) ja minimaalipolynomin määritelmän nojalla r(x) on nollapolynomi. Lause 37. Olkoon α F q r ja m α (x) sen minimaalipolynomi kunnan F q suhteen. Tällöin m α (x) = (x α)(x α q ) (x α qs 1 ), missä s on pienin ehdon α qs = α toteuttava positiivinen kokonaisluku. Todistus. Tutkitaan polynomia f(x) = (x α)(x α q ) (x α qs 1 ) ja osoitetaan että f = m α. Näytetään ensiksi, että f(x) F q [x]. Olkoon ja f(x) = a 0 + a 1 x a s 1 x s 1 + x s g(x) = a q 0 + a q 1x a q s 1x s 1 + x s missä a i F q r. Nyt kaikilla k = 1, 2,..., s pätee (f(α qk 1 )) q = a q 0 + a q 1α qk + a q 2α 2qk α sqk = g(α qk ) Täten polynomit f ja g ovat astetta s olevia ykköspolynomeja ja niillä on täsmälleen samat nollakohdat α, α q,..., α qs 1. Siis f = g ja a i = a q i eli a i 23

24 F q kaikilla i = 1, 2,..., s. Niinpä f(x) F q [x] ja m α jakaa polynomin f(x). Toisaalta 0 = (m α (α)) qk = m α (α qk ) kaikilla k = Z +. Jos k s, niin α qk = α qi, missä i = 1, 2,..., s 1. Koska polynomi m α (x) jakaa polynomin f(x), niin polynomeilla on täsmälleen samat nollakohdat. Koska molemmat ovat ykköspolynomeja, niin m α = f. Lauseen suora seuraus on, että jos α F q r on kunnan F q r primitiivinen alkio, niin minimaalipolynomin aste kunnan F q suhteen on r. Toisaalta α q = α jos ja vain jos α F q eli s = 1 on pienin ehdon α qs = α toteuttava kokonaisluku. Lause 38. Olkoon α F q r ja m α (x) sen minimaalipolynomi kunnan F q suhteen. Tällöin tekijärengas F q [x]/(m α (x)) on kunnan F q r alikunta ja minimaalipolynomin aste s = deg m α jakaa luvun r. Todistus. Koska m α on jaoton renkaassa F q [x], niin K = F q [x]/(m α (x)) on kertalukua q s oleva kunta. Oletetaan, että alkiot b 0, b 1,..., b s 1 F q toteuttavat ehdon b 0 + b 1 α b s 1 α s 1 = 0. Jos väite b 0 = b 1 =... = b s 1 = 0 ei päde, niin on olemassa korkeintaan astetta s 1 oleva polynomi f(x), jolla f(α) = 0. Lauseen 36 perusteella m α (x) jakaa polynomin f(x), mikä on ristiriita. Siis b 0 = b 1 =... = b s 1 = 0 ja joukko {1, α, α 2,..., α s 1 } on kunnan K kanta. Koska α F q r, niin K on kunnan F q r alikunta. Jaollisuusväite seuraa Lauseesta 35. Esimerkissä 29 alkion α minimaalipolynomi kunnan Z 2 suhteen oli polynomi x 2 + x + 1 = (x + α)(x + α 2 ), missä α 2 = α + 1 ja α 4 = α = α. 24

25 9 Formaali derivaatta Olkoon F kunta ja f(x) F[x]. Jos polynomi f(x) on muotoa f(x) = a 0 + a 1 x a n x n, niin sen formaali derivaatta on polynomi Df(x) = a 1 + 2a 2 x na n x n 1 F[x]. Formaalille derivaatalle voidaan osoittaa suoraan laskemalla tutut laskusäännöt. Lause 39. Jos f(x), g(x) F[x] ja a F, niin 1. D(f + g) = Df + Dg, 2. D(af) = adf ja 3. D(fg) = gdf + fdg. Äärellisten kuntien tapauksessa formaalilla derivaatalla voi kuitenkin olla tutusta poikkeavia ominaisuuksia. Jos esimerkiksi kunnan F karakteristika on p, niin tällöin Dx p = px p 1 = 0. Formaalin derivaatan hyödyllisyys on moninkertaisten nollakohtien löytämisessä. Jos a F on renkaan F[x] polynomin nollakohta, niin se on polynomin moninkertainen nollakohta, mikäli (x a) 2 jakaa polynomin f(x) renkaassa F[x]. Lause 40. Olkoon f(x) F[x], missä F on kunta. Tällöin polynomin f(x) F[x] nollakohta a F on moninkertainen nollakohta jos ja vain jos f(a) = f (a) = 0. 25

26 10 Kertalukua p n olevan kunnan olemassa olo Olkoon seuraavassa p alkuluku ja pyritään laskemaan renkaan Z p [x] jaottomien astetta m olevien ykköspolynomien lukumäärä. Lause 41. Polynomi x pm x Z p [x] on renkaan Z p [x] sellaisten jaottomien ykköspolynomien tulo, joiden aste jakaa luvun m. Todistus. Olkoon f(x) Z p [x] mielivaltainen astetta r oleva jaoton ykköspolynomi. Tarkastellaan sitten kuntaa K = Z p [x]/(p(x)), jossa on p r alkiota. Koska f(x) on jaoton renkaassa Z p [x] ja f(x + (f(x))) = 0, niin f(x) on alkion x + (f(x)) minimaalipolynomi kunnassa Z p. Täten f(x) jakaa polynomin x pr 1 1 renkaassa Z p [x]. Harjoitusten nojalla jos r jakaa luvun m, niin polynomi f(x) jakaa polynomin x pm 1 1. Oletetaan nyt, että astetta r oleva jaoton ykköspolynomi f(x) Z p [x] jakaa polynomin x pm x. Tapaus f(x) = x on selvä, joten voimme olettaa, että f(x) jakaa polynomin x pm 1 1 renkaassa Z p [x]. Tarkasteellaan kuntaa K = Z p [x]/(f(x)), jossa on p r alkiota ja olkoon γ kunnan K primitiivinen alkio. Nyt γ = a 0 + a 1 α a r 1 α r 1, missä a i Z p ja α = x + (f(x)). Koska f(x) jakaa polynomin x pm x, niin α pm = α. Täten myös γ pm = γ. Siis luvun γ kertaluku p r 1 jakaa luvun p m 1, joten harjoitusten nojalla luku r jakaa luvun m. Polynomin x pm 1 formaali derivaatta on (p m )x pm 1 1 = 1. Nyt Lauseen 40 nojalla polynomilla x pm 1 ei ole moninkertaisia nollakohtia missään kunnassa, jonka karakteristika on p. Koska jokaisella polynomilla on nollakohta sopivassa laajennuskunnassa, niin täten polynomin x pm 1 tekijät esiintyvät tulossa täsmälleen yhden kerran. Olkoon I p (m) kertalukua p olevan kunnan jaottomien astetta m olevien ykköspolynomien lukumäärä edellä mainitussa tulossa. Summaamalla asteet saadaan p m = d m di p (d). Täten voidaan arvioida, että di p (d) p d ja siis mi p (m) = p m d m,d<m di p (d) p m m 1 d=1 p d = p m pm 1 p 1 > 0 eli I p (m) 1. Täten kunnalla Z p on jaoton kertalukua m > 1 oleva polynomi. Siis on olemassa kertalukua p m oleva kunta. 26

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus

Lisätiedot

ja jäännösluokkien joukkoa

ja jäännösluokkien joukkoa 3. Polynomien jäännösluokkarenkaat Olkoon F kunta, ja olkoon m F[x]. Polynomeille f, g F [x] määritellään kongruenssi(-relaatio) asettamalla g f mod m : m g f g = f + m h jollekin h F [x]. Kongruenssi

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I 802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä

Lisätiedot

Polynomien suurin yhteinen tekijä ja kongruenssi

Polynomien suurin yhteinen tekijä ja kongruenssi Polynomien suurin yhteinen tekijä ja kongruenssi Pro gradu -tutkielma Outi Aksela 2117470 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Renkaat 3 1.1 Rengas...............................

Lisätiedot

koska 2 toteuttaa rationaalikertoimisen yhtälön x 2 2 = 0. Laajennuskunnan

koska 2 toteuttaa rationaalikertoimisen yhtälön x 2 2 = 0. Laajennuskunnan 4. Äärellisten kuntien yleisiä ominaisuuksia 4.1. Laajenuskunnat. Tarkastellaan aluksi yleistä kuntaparia F ja K, missä F on kunnan K alikunta. Tällöin sanotaan, että kunta K on kunnan F laajennuskunta

Lisätiedot

7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi

7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi 7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi Z p [x]/(m), missä m on polynomirenkaan Z p [x] jaoton polynomi (ks. määritelmä 3.19).

Lisätiedot

802355A Algebralliset rakenteet Luentorunko Syksy Markku Niemenmaa Kari Myllylä Topi Törmä Marko Leinonen

802355A Algebralliset rakenteet Luentorunko Syksy Markku Niemenmaa Kari Myllylä Topi Törmä Marko Leinonen 802355A Algebralliset rakenteet Luentorunko Syksy 2016 Markku Niemenmaa Kari Myllylä Topi Törmä Marko Leinonen Sisältö 1 Kertausta kurssilta Algebran perusteet 3 2 Renkaat 8 2.1 Renkaiden teoriaa.........................

Lisätiedot

Koodausteoria, Kesä 2014

Koodausteoria, Kesä 2014 Koodausteoria, Kesä 2014 Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 4.7 Syklisen koodin jälkiesitys Olkoon F = F q ja K = F q m kunnan F laajennuskunta. Määritelmä 4.7.1. Kuntalaajennuksen K/F jälkifunktioksi

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141 Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/141 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.

Lisätiedot

on Abelin ryhmä kertolaskun suhteen. Tämän joukon alkioiden lukumäärää merkitään

on Abelin ryhmä kertolaskun suhteen. Tämän joukon alkioiden lukumäärää merkitään 5. Primitiivinen alkio 5.1. Täydennystä lukuteoriaan. Olkoon n Z, n 2. Palautettakoon mieleen, että kokonaislukujen jäännösluokkarenkaan kääntyvien alkioiden muodostama osajoukko Z n := {x Z n x on kääntyvä}

Lisätiedot

a b 1 c b n c n

a b 1 c b n c n Algebra Syksy 2007 Harjoitukset 1. Olkoon a Z. Totea, että aina a 0, 1 a, a a ja a a. 2. Olkoot a, b, c, d Z. Todista implikaatiot: a) a b ja c d ac bd, b) a b ja b c a c. 3. Olkoon a b i kaikilla i =

Lisätiedot

Koodausteoria, Kesä 2014

Koodausteoria, Kesä 2014 Koodausteoria, Kesä 2014 Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos Koodausteoria 10 op Kontaktiopetusta 50 h, 26.5. - 26.6. ma 10-14, ti 10-13, to 10-13 Aloitusviikolla poikkeuksellisesti ke 10-13 torstain

Lisätiedot

802355A Renkaat, kunnat ja polynomit Luentorunko Syksy 2013

802355A Renkaat, kunnat ja polynomit Luentorunko Syksy 2013 802355A Renkaat, kunnat ja polynomit Luentorunko Syksy 2013 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä, Antti Torvikoski, Topi Törmä Sisältö 1 Kertausta kurssilta Lukuteoria ja ryhmät

Lisätiedot

[E : F ]=[E : K][K : F ].

[E : F ]=[E : K][K : F ]. ALGEBRA II 35 Lause 4.4 (Astelukulause). Olkoot E/K/Fäärellisiä kuntalaajennuksia. Silloin [E : F ]=[E : K][K : F ]. Todistus. Olkoon {α 1,...,α n } kanta laajennukselle E/K ja {β 1,...,β m } kanta laajennukselle

Lisätiedot

800333A Algebra I Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä

800333A Algebra I Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä 800333A Algebra I Luentorunko Kevät 2010 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä Sisältö 1 Lukuteorian alkeita 3 1.1 Kongruenssiin liittyviä perustuloksia.............. 7 2 Ekvivalenssirelaatio

Lisätiedot

Liite 2. Ryhmien ja kuntien perusteet

Liite 2. Ryhmien ja kuntien perusteet Liite 2. Ryhmien ja kuntien perusteet 1. Ryhmät 1.1 Johdanto Erilaisissa matematiikan probleemoissa törmätään usein muotoa a + x = b tai a x = b oleviin yhtälöihin, joissa tuntematon muuttuja on x. Lukujoukkoja

Lisätiedot

Esko Turunen Luku 3. Ryhmät

Esko Turunen Luku 3. Ryhmät 3. Ryhmät Monoidia rikkaampi algebrallinen struktuuri on ryhmä: Määritelmä (3.1) Olkoon joukon G laskutoimitus. Joukko G varustettuna tällä laskutoimituksella on ryhmä, jos laskutoimitus on assosiatiivinen,

Lisätiedot

(x + I) + (y + I) = (x + y)+i. (x + I)(y + I) =xy + I. kaikille x, y R.

(x + I) + (y + I) = (x + y)+i. (x + I)(y + I) =xy + I. kaikille x, y R. 11. Ideaalit ja tekijärenkaat Rengashomomorfismi φ: R R on erityisesti ryhmähomomorfismi φ: (R, +) (R, +) additiivisten ryhmien välillä. Rengashomomorfismin ydin määritellään tämän ryhmähomomorfismin φ

Lisätiedot

Lineaariset ryhmät Pro gradu -tutkielma Miia Lillstrang Matematiikan yksikkö Oulun yliopisto 2016

Lineaariset ryhmät Pro gradu -tutkielma Miia Lillstrang Matematiikan yksikkö Oulun yliopisto 2016 Lineaariset ryhmät Pro gradu -tutkielma Miia Lillstrang 2187044 Matematiikan yksikkö Oulun yliopisto 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Esitietoja 3 1.1 Ryhmät.............................. 3 1.1.1 Ryhmä ja aliryhmä....................

Lisätiedot

1 Algebralliset perusteet

1 Algebralliset perusteet 1 Algebralliset perusteet 1.1 Renkaat Tämän luvun jälkeen opiskelijoiden odotetaan muistavan, mitä ovat renkaat, vaihdannaiset renkaat, alirenkaat, homomorfismit, ideaalit, tekijärenkaat, maksimaaliset

Lisätiedot

Mitään muita operaatioita symbolille ei ole määritelty! < a kaikilla kokonaisluvuilla a, + a = kaikilla kokonaisluvuilla a.

Mitään muita operaatioita symbolille ei ole määritelty! < a kaikilla kokonaisluvuilla a, + a = kaikilla kokonaisluvuilla a. Polynomit Tarkastelemme polynomirenkaiden teoriaa ja polynomiyhtälöiden ratkaisemista. Algebrassa on tapana pitää erillään polynomin ja polynomifunktion käsitteet. Polynomit Tarkastelemme polynomirenkaiden

Lisätiedot

g : R R, g(a) = g i a i. Alkio g(a) R on polynomin arvo pisteessä a. Jos g(a) = 0, niin a on polynomin g(x) nollakohta.

g : R R, g(a) = g i a i. Alkio g(a) R on polynomin arvo pisteessä a. Jos g(a) = 0, niin a on polynomin g(x) nollakohta. ALGEBRA II 27 on homomorfismi. Ensinnäkin G(a + b) a + b G(a)+G(b) (f), G(ab) ab G(a)G(b) G(a) G(b) (f), ja koska kongruenssien vasempien ja oikeiden puolten asteet ovat pienempiä kuin f:n aste, niin homomorfiaehdot

Lisätiedot

802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä

802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä 802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät 2017 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä Sisältö 1 Lukuteoriaa 3 1.1 Jakoalgoritmi ja alkuluvut.................... 3 1.2 Suurin yhteinen tekijä......................

Lisätiedot

kaikille a R. 1 (R, +) on kommutatiivinen ryhmä, 2 a(b + c) = ab + ac ja (b + c)a = ba + ca kaikilla a, b, c R, ja

kaikille a R. 1 (R, +) on kommutatiivinen ryhmä, 2 a(b + c) = ab + ac ja (b + c)a = ba + ca kaikilla a, b, c R, ja Renkaat Tarkastelemme seuraavaksi rakenteita, joissa on määritelty kaksi binääristä assosiatiivista laskutoimitusta, joista toinen on kommutatiivinen. Vaadimme muuten samat ominaisuudet kuin kokonaisluvuilta,

Lisätiedot

Määritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V. Termejä: Lineaarikuvaus, Lineaarinen kuvaus.

Määritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V. Termejä: Lineaarikuvaus, Lineaarinen kuvaus. 1 Lineaarikuvaus 1.1 Määritelmä Määritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V W on lineaarinen, jos (a) L(v + w) = L(v) + L(w); (b) L(λv) = λl(v) aina, kun v, w V ja λ K. Termejä:

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44 Tehtävät 1-3 lasketaan alkuviikon harjoituksissa, verkkotehtävien dl on lauantaina aamuyöllä. Tehtävät 4 ja 5 lasketaan loppuviikon harjoituksissa.

Lisätiedot

Algebran ja lukuteorian harjoitustehtäviä. 1. Tutki, ovatko seuraavat relaatiot ekvivalenssirelaatioita joukon N kaikkien osajoukkojen

Algebran ja lukuteorian harjoitustehtäviä. 1. Tutki, ovatko seuraavat relaatiot ekvivalenssirelaatioita joukon N kaikkien osajoukkojen Algebran ja lukuteorian harjoitustehtäviä Versio 1.0 (27.1.2006) Turun yliopisto Lukuteoria 1. Tutki, ovatko seuraavat relaatiot ekvivalenssirelaatioita joukon N kaikkien osajoukkojen joukolla: a) C D

Lisätiedot

Äärelliset kunnat ja polynomien jako alkutekijöihin

Äärelliset kunnat ja polynomien jako alkutekijöihin TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Heidi Kananoja Äärelliset kunnat ja polynomien jako alkutekijöihin Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Matematiikka Syyskuu 2007 Tampereen yliopisto

Lisätiedot

k=1 b kx k K-kertoimisia polynomeja, P (X)+Q(X) = (a k + b k )X k n+m a i b j X k. i+j=k k=0

k=1 b kx k K-kertoimisia polynomeja, P (X)+Q(X) = (a k + b k )X k n+m a i b j X k. i+j=k k=0 1. Polynomit Tässä luvussa tarkastelemme polynomien muodostamia renkaita polynomien ollisuutta käsitteleviä perustuloksia. Teemme luvun alkuun kaksi sopimusta: Tässä luvussa X on muodollinen symboli, jota

Lisätiedot

MAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen

MAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen MAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen Tehtävä 1. Onko joukon X potenssijoukon P(X) laskutoimitus distributiivinen laskutoimituksen suhteen? Onko laskutoimitus distributiivinen laskutoimituksen

Lisätiedot

H = : a, b C M. joten jokainen A H {0} on kääntyvä matriisi. Itse asiassa kaikki nollasta poikkeavat alkiot ovat yksiköitä, koska. a b.

H = : a, b C M. joten jokainen A H {0} on kääntyvä matriisi. Itse asiassa kaikki nollasta poikkeavat alkiot ovat yksiköitä, koska. a b. 10. Kunnat ja kokonaisalueet Määritelmä 10.1. Olkoon K rengas, jossa on ainakin kaksi alkiota. Jos kaikki renkaan K nollasta poikkeavat alkiot ovat yksiköitä, niin K on jakorengas. Kommutatiivinen jakorengas

Lisätiedot

MAT Algebra I (s) periodeilla IV ja V/2009. Esko Turunen

MAT Algebra I (s) periodeilla IV ja V/2009. Esko Turunen MAT-41150 Algebra I (s) periodeilla IV ja V/2009. Esko Turunen Tämä tiedosto sisältää kurssin kaikki laskuharjoitukset. viikottain uusia tehtäviä. Tiedostoon lisätään To 05.02.09 pidetyt harjoitukset.

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA III

802320A LINEAARIALGEBRA OSA III 802320A LINEAARIALGEBRA OSA III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 56 Määritelmä Määritelmä 1 Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V

Lisätiedot

Lukuteorian kertausta

Lukuteorian kertausta Lukuteorian kertausta Jakoalgoritmi Jos a, b Z ja b 0, niin on olemassa sellaiset yksikäsitteiset kokonaisluvut q ja r, että a = qb+r, missä 0 r < b. Esimerkki 1: Jos a = 60 ja b = 11, niin 60 = 5 11 +

Lisätiedot

Algebra II. Syksy 2004 Pentti Haukkanen

Algebra II. Syksy 2004 Pentti Haukkanen Algebra II Syksy 2004 Pentti Haukkanen 1 Sisällys 1 Ryhmäteoriaa 3 1.1 Ryhmän määritelmä.... 3 1.2 Aliryhmä... 3 1.3 Sivuluokat...... 4 1.4 Sykliset ryhmät... 7 1.5 Ryhmäisomorfismi..... 11 2 Polynomeista

Lisätiedot

Äärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause

Äärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause Tero Harju (2008/2010) Äärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause Merkintä X on joukon koko ( eli #X). Vapaat Abelin ryhmät Tässä kappaleessa käytetään Abelin ryhmille additiivista merkintää.

Lisätiedot

Kuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160

Kuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160 Kuvaus Määritelmä Oletetaan, että X ja Y ovat joukkoja. Kuvaus eli funktio joukosta X joukkoon Y on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon X alkioon täsmälleen yhden alkion, joka kuuluu joukkoon Y. Merkintä

Lisätiedot

Esimerkki A1. Jaetaan ryhmä G = Z 17 H = 4 = {1, 4, 4 2 = 16 = 1, 4 3 = 4 = 13, 4 4 = 16 = 1}.

Esimerkki A1. Jaetaan ryhmä G = Z 17 H = 4 = {1, 4, 4 2 = 16 = 1, 4 3 = 4 = 13, 4 4 = 16 = 1}. Jaetaan ryhmä G = Z 17 n H = 4 sivuluokkiin. Ratkaisu: Koska 17 on alkuluku, #G = 16, alkiona jäännösluokat a, a = 1, 2,..., 16. Määrätään ensin n H alkiot: H = 4 = {1, 4, 4 2 = 16 = 1, 4 3 = 4 = 13, 4

Lisätiedot

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto 3. Oletetaan, että kunnan K karakteristika on 3. Tutki,

Lisätiedot

Koodausteoria, Kesä 2014

Koodausteoria, Kesä 2014 Koodausteoria, Kesä 2014 Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 5 BCH-, RS- ja Goppa-koodit Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 2 / 15 5.1 BCH-koodien määrittely Olkoon jälleen F = F q, syt(n,

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Koodausteoria, Kesä 2014

Koodausteoria, Kesä 2014 Koodausteoria, Kesä 2014 Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 5.2 BCH-koodin dekoodaus Tarkastellaan t virhettä korjaavaa n-pituista BCH-koodia. Olkoon α primitiivinen n:s ykkösen juuri, c = c(x)

Lisätiedot

Esko Turunen MAT Algebra1(s)

Esko Turunen MAT Algebra1(s) Määritelmä (4.1) Olkoon G ryhmä. Olkoon H G, H. Jos joukko H varustettuna indusoidulla laskutoimituksella on ryhmä, se on ryhmän G aliryhmä. Jos H G on ryhmän G aliryhmä, merkitään usein H G, ja jos H

Lisätiedot

Kuvauksista ja relaatioista. Jonna Makkonen Ilari Vallivaara

Kuvauksista ja relaatioista. Jonna Makkonen Ilari Vallivaara Kuvauksista ja relaatioista Jonna Makkonen Ilari Vallivaara 20. lokakuuta 2004 Sisältö 1 Esipuhe 2 2 Kuvauksista 3 3 Relaatioista 8 Lähdeluettelo 12 1 1 Esipuhe Joukot ja relaatiot ovat periaatteessa äärimmäisen

Lisätiedot

Teema 4. Homomorfismeista Ihanne ja tekijärengas. Teema 4 1 / 32

Teema 4. Homomorfismeista Ihanne ja tekijärengas. Teema 4 1 / 32 1 / 32 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.2 Esimerkki 4B.1 Esimerkki 4B.2 Esimerkki 4B.3 Esimerkki 4C.1 Esimerkki 4C.2 Esimerkki 4C.3 2 / 32 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.2 Esimerkki 4B.1 Esimerkki

Lisätiedot

(xa) = (x) (a) = (x)0 = 0

(xa) = (x) (a) = (x)0 = 0 11. Ideaalit ja tekijärenkaat Rengashomomorfismi : R! R 0 on erityisesti ryhmähomomorfismi :(R, +)! (R 0, +) additiivisten ryhmien välillä. Rengashomomorfismin ydin määritellään tämän ryhmähomomorfismin

Lisätiedot

{I n } < { I n,i n } < GL n (Q) < GL n (R) < GL n (C) kaikilla n 2 ja

{I n } < { I n,i n } < GL n (Q) < GL n (R) < GL n (C) kaikilla n 2 ja 5. Aliryhmät Luvun 4 esimerkeissä esiintyy usein ryhmä (G, ) ja jokin vakaa osajoukko B G siten, että (B, B ) on ryhmä. Määrittelemme seuraavassa käsitteitä, jotka auttavat tällaisten tilanteiden käsittelyssä.

Lisätiedot

Bijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio.

Bijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio. Määritelmä Bijektio Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Sanotaan, että kuvaus f on bijektio, jos se on sekä injektio että surjektio. Huom. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin

Lisätiedot

4. Ryhmien sisäinen rakenne

4. Ryhmien sisäinen rakenne 4. Ryhmien sisäinen rakenne Tässä luvussa tarkastellaan joitakin tapoja päästä käsiksi ryhmien sisäiseen rakenteeseen. Useimmat tuloksista ovat erityisen käyttökelpoisia äärellisten ryhmien tapauksessa.

Lisätiedot

ei ole muita välikuntia.

ei ole muita välikuntia. ALGEBRA II 41 Lause 4.15. F q m on polynomin x qm x hajoamiskunta kunnan F q suhteen. Todistus. Olkoon α kunnan F q m primitiivialkio. Nyt F qm =< α > muodostuu täsmälleen polynomin x qm 1 1nollakohdistajatäten

Lisätiedot

11. Jaollisuudesta. Lemma Oletetaan, että a, b R.

11. Jaollisuudesta. Lemma Oletetaan, että a, b R. 11. Jaollisuudesta Edellisen luvun esimerkissä tarvittiin tietoa erään polynomin jaottomuudesta. Tämä on hyvin tavallista kuntalaajennosten yhteydessä. Seuraavassa tarkastellaan hieman jaollisuuskäsitettä

Lisätiedot

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 (7 sivua)

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 (7 sivua) Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin ( sivua).... Nämä ovat kurssin Algebra I harjoitustehtävien ratkaisuehdoituksia. Ratkaisut koostuvat kahdesta osiosta,

Lisätiedot

9. Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista

9. Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista 29 9 Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista Tarkastelemme kertalukua n olevia lineaarisia differentiaaliyhtälöitä y ( x) + a ( x) y ( x) + + a ( x) y( x) + a ( x) y= b( x) ( n) ( n

Lisätiedot

Algebran perusteet. 44 ϕ(105) = (105). Näin ollen

Algebran perusteet. 44 ϕ(105) = (105). Näin ollen Algebran perusteet Harjoitus 4, ratkaisut kevät 2016 1 a) Koska 105 = 5 21 = 3 5 7 ja 44 = 2 2 11, niin syt(44, 105) = 1 Lisäksi ϕ(105) = ϕ(3 5 7) = (3 1)(5 1)(7 1) = 2 4 6 = 48, joten Eulerin teoreeman

Lisätiedot

802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä

802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä 802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät 2018 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä Sisältö 1 Lukuteoriaa 3 1.1 Jakoalgoritmi ja alkuluvut.................... 3 1.2 Suurin yhteinen tekijä......................

Lisätiedot

802354A Lukuteoria ja ryhmät Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä, Antti Torvikoski, Topi Törmä

802354A Lukuteoria ja ryhmät Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä, Antti Torvikoski, Topi Törmä 802354A Lukuteoria ja ryhmät Luentorunko Kevät 2014 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä, Antti Torvikoski, Topi Törmä Sisältö 1 Ekvivalenssirelaatio 3 2 Lukuteoriaa 4 2.1 Lukuteorian

Lisätiedot

Syklinen ryhmä Pro Gradu -tutkielma Taava Kuha Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2016

Syklinen ryhmä Pro Gradu -tutkielma Taava Kuha Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2016 Syklinen ryhmä Pro Gradu -tutkielma Taava Kuha Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Ryhmäteoriaa 4 1.1 Ryhmän määritelmä....................... 4 1.2 Kertaluku.............................

Lisätiedot

R 1 = Q 2 R 2 + R 3,. (2.1) R l 2 = Q l 1 R l 1 + R l,

R 1 = Q 2 R 2 + R 3,. (2.1) R l 2 = Q l 1 R l 1 + R l, 2. Laajennettu Eukleideen algoritmi Määritelmä 2.1. Olkoot F kunta ja A, B, C, D F [x]. Sanotaan, että C jakaa A:n (tai C on A:n jakaja), jos on olemassa K F [x] siten, että A = K C; tällöin merkitään

Lisätiedot

d Z + 17 Viimeksi muutettu

d Z + 17 Viimeksi muutettu 5. Diffien ja Hellmanin avaintenvaihto Miten on mahdollista välittää salatun viestin avaamiseen tarkoitettu avain Internetin kaltaisen avoimen liikennöintiväylän kautta? Kuka tahansahan voi (ainakin periaatteessa)

Lisätiedot

renkaissa. 0 R x + x =(0 R +1 R )x =1 R x = x

renkaissa. 0 R x + x =(0 R +1 R )x =1 R x = x 8. Renkaat Tarkastelemme seuraavaksi rakenteita, joissa on määritelty kaksi assosiatiivista laskutoimitusta, joista toinen on kommutatiivinen. Vaadimme näiltä kahdella laskutoimituksella varustetuilta

Lisätiedot

a 2 ba = a a + ( b) a = (a + ( b))a = (a b)a, joten yhtälö pätee mielivaltaiselle renkaalle.

a 2 ba = a a + ( b) a = (a + ( b))a = (a b)a, joten yhtälö pätee mielivaltaiselle renkaalle. Harjoitus 10 (7 sivua) Ratkaisuehdotuksia/Martina Aaltonen Tehtävä 1. Mitkä seuraavista yhtälöistä pätevät mielivaltaisen renkaan alkioille a ja b? a) a 2 ba = (a b)a b) (a + b + 1)(a b) = a 2 b 2 + a

Lisätiedot

Algebra I, harjoitus 5,

Algebra I, harjoitus 5, Algebra I, harjoitus 5, 7.-8.10.2014. 1. 2 Osoita väitteet oikeiksi tai vääriksi. a) (R, ) on ryhmä, kun asetetaan a b = 2(a + b) aina, kun a, b R. (Tässä + on reaalilukujen tavallinen yhteenlasku.) b)

Lisätiedot

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) OT

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) OT Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) 31.1.-4.2.2011 OT 1. Määritellään kokonaisluvuille laskutoimitus n m = n + m + 5. Osoita, että (Z, ) on ryhmä.

Lisätiedot

Renkaat ja modulit. Tässä osassa käsiteltävät renkaat ovat vaihdannaisia, ellei toisin mainita. 6. Ideaalit

Renkaat ja modulit. Tässä osassa käsiteltävät renkaat ovat vaihdannaisia, ellei toisin mainita. 6. Ideaalit Renkaat ja modulit Tässä osassa käsiteltävät renkaat ovat vaihdannaisia, ellei toisin mainita. 6. Ideaalit Tekijärenkaassa nollan ekvivalenssiluokka on alkuperäisen renkaan ideaali. Ideaalin käsitteen

Lisätiedot

Ideaalit ja tekijärenkaat Ryhmähomomorfismin φ : G G ydin on ryhmän G normaali aliryhmä. Esko Turunen Luku 7. Ideaalit ja tekijärenkaat

Ideaalit ja tekijärenkaat Ryhmähomomorfismin φ : G G ydin on ryhmän G normaali aliryhmä. Esko Turunen Luku 7. Ideaalit ja tekijärenkaat Ideaalit ja tekijärenkaat Ryhmähomomorfismin φ : G G ydin on ryhmän G normaali aliryhmä. Ideaalit ja tekijärenkaat Ryhmähomomorfismin φ : G G ydin on ryhmän G normaali aliryhmä. Rengashomomorfismi ψ :

Lisätiedot

HN = {hn h H, n N} on G:n aliryhmä.

HN = {hn h H, n N} on G:n aliryhmä. Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8, 23.27.3.2009 5 sivua Rami Luisto 1. Osoita, että kullakin n N + lukujen n 5 ja n viimeiset numerot kymmenkantaisessa

Lisätiedot

rm + sn = d. Siispä Proposition 9.5(4) nojalla e d.

rm + sn = d. Siispä Proposition 9.5(4) nojalla e d. 9. Renkaat Z ja Z/qZ Tarkastelemme tässä luvussa jaollisuutta kokonaislukujen renkaassa Z ja todistamme tuloksia, joita käytetään jäännösluokkarenkaan Z/qZ ominaisuuksien tarkastelussa. Jos a, b, c Z ovat

Lisätiedot

Dihedraalinen ryhmä Pro gradu Elisa Sonntag Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2013

Dihedraalinen ryhmä Pro gradu Elisa Sonntag Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2013 Dihedraalinen ryhmä Pro gradu Elisa Sonntag Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2013 Sisältö Johdanto 2 1 Ryhmä 3 2 Symmetrinen ryhmä 6 3 Symmetriaryhmä 10 4 Dihedraalinen ryhmä 19 Lähdeluettelo

Lisätiedot

R : renkaan R kääntyvien alkioiden joukko; R kertolaskulla varustettuna on

R : renkaan R kääntyvien alkioiden joukko; R kertolaskulla varustettuna on 0. Kertausta ja täydennystä Kurssille Äärelliset kunnat tarvittavat esitiedot löytyvät Algebran kurssista [Alg]. Hyödyksi voivat myös olla (vaikka eivät välttämättömiä) Lukuteorian alkeet [LTA] ja Salakirjoitukset

Lisätiedot

Osoita, että täsmälleen yksi vektoriavaruuden ehto ei ole voimassa.

Osoita, että täsmälleen yksi vektoriavaruuden ehto ei ole voimassa. LINEAARIALGEBRA Harjoituksia 2016 1. Olkoon V = R 2 varustettuna tavallisella yhteenlaskulla. Määritellään reaaliluvulla kertominen seuraavasti: λ (x 1, x 2 ) = (λx 1, 0) (x 1, x 2 ) R 2 ja λ R. Osoita,

Lisätiedot

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos: 8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden

Lisätiedot

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Jarmo Niemelä. Primitiivisistä juurista ja. alkuluokkaryhmistä

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Jarmo Niemelä. Primitiivisistä juurista ja. alkuluokkaryhmistä TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Jarmo Niemelä Primitiivisistä juurista ja alkuluokkaryhmistä Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Matematiikka Marraskuu 2000 2 TAMPEREEN YLIOPISTO

Lisätiedot

Algebra 1, harjoitus 9, h = xkx 1 xhx 1. a) Käytetään molemmissa tapauksissa isomorfialausetta. Tarkastellaan kuvauksia

Algebra 1, harjoitus 9, h = xkx 1 xhx 1. a) Käytetään molemmissa tapauksissa isomorfialausetta. Tarkastellaan kuvauksia Algebra 1, harjoitus 9, 11.-12.11.2014. 1. Olkoon G ryhmä ja H G normaali aliryhmä. Tiedetään, että tällöin xhx 1 H kaikilla x G. Osoita, että itse asiassa xhx 1 = H kaikilla x G. Ratkaisu: Yritetään osoittaa,

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Osa 4: Modulaariaritmetiikka Riikka Kangaslampi 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Modulaariaritmetiikka Jakoyhtälö Määritelmä 1 Luku

Lisätiedot

HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina klo

HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina klo HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 10.8.2015 klo 16.15. Tehtäväsarja I Tutustu lukuun 15, jossa vektoriavaruuden

Lisätiedot

Liittomatriisi. Liittomatriisi. Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä. 1) i+j det A ij.

Liittomatriisi. Liittomatriisi. Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä. 1) i+j det A ij. Liittomatriisi Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä (cof A) ij =( 1) i+j det A ij kaikilla i, j = 1,...,n. Huomautus 8 Olkoon A 2 M(n, n). Tällöin kaikilla

Lisätiedot

2017 = = = = = = 26 1

2017 = = = = = = 26 1 JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 2, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. Sovella Eukleiden algoritmia ja (i) etsi s.y.t(2017, 753) (ii) etsi kaikki kokonaislukuratkaisut yhtälölle 405x + 141y = 12. Ratkaisu

Lisätiedot

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 9 (6 sivua) OT

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 9 (6 sivua) OT Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 9 (6 sivua) 28.3.-1.4.2011 OT 1. a) Osoita, että rengas R = {[0] 10, [2] 10, [4] 10, [6] 10, [8] 10 } on kokonaisalue. Mikä

Lisätiedot

Koodausteoria, Kesä 2014

Koodausteoria, Kesä 2014 Koodausteoria, Kesä 2014 Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 3. Lineaariset koodit Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 2 / 22 3.1 Lineaarisen koodin määrittely Olkoon F äärellinen kunta.

Lisätiedot

pdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 1 LUKUTEORIAA JA MUITA TYÖKALUJA SALAUKSEEN Lukujoukot Sekalaisia merkintöjä...

pdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 1 LUKUTEORIAA JA MUITA TYÖKALUJA SALAUKSEEN Lukujoukot Sekalaisia merkintöjä... pdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 Sisältö 1 LUKUTEORIAA JA MUITA TYÖKALUJA SALAUKSEEN 0-2 2 Merkintöjä 0-3 2.1 Lukujoukot................... 0-3 2.2 Sekalaisia merkintöjä.............. 0-4 2.3 Tärkeitä kaavoja................

Lisätiedot

jonka laskutoimitus on matriisien kertolasku. Vastaavasti saadaan K-kertoiminen erityinen lineaarinen ryhmä

jonka laskutoimitus on matriisien kertolasku. Vastaavasti saadaan K-kertoiminen erityinen lineaarinen ryhmä 4. Ryhmät Tässä luvussa tarkastelemme laskutoimituksella varustettuja joukkoja, joiden laskutoimitukselta oletamme muutamia yksinkertaisia ominaisuuksia: Määritelmä 4.1. Laskutoimituksella varustettu joukko

Lisätiedot

Lineaarialgebra Kerroinrenkaat. Kevät Kerkko Luosto Informaatiotieteiden yksikkö, Tampereen yliopisto

Lineaarialgebra Kerroinrenkaat. Kevät Kerkko Luosto Informaatiotieteiden yksikkö, Tampereen yliopisto Lineaarialgebra 2 Kevät 2014 Kerkko Luosto Informaatiotieteiden yksikkö, Tampereen yliopisto Á Ë Ð Ö Ø Ú ØÓÖ Ø 1. Kerroinrenkaat 1.1. Määritelmä. Yhden laskutoimituksen rakenne(g, + on Abelin ryhmä, jos

Lisätiedot

1.1. Määritelmiä ja nimityksiä

1.1. Määritelmiä ja nimityksiä 1.1. Määritelmiä ja nimityksiä Luku joko reaali- tai kompleksiluku. R = {reaaliluvut}, C = {kompleksiluvut} R n = {(x 1, x 2,..., x n ) x 1, x 2,..., x n R} C n = {(x 1, x 2,..., x n ) x 1, x 2,..., x

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Avainsanat Nyckelord Keywords Nullstellensatz, Hilbertin nollajoukkolause, algebrallinen geometria

Avainsanat Nyckelord Keywords Nullstellensatz, Hilbertin nollajoukkolause, algebrallinen geometria HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Tiedekunta/Osasto Fakultet/Sektion Faculty Laitos Institution Department Matemaattis-luonnontieteellinen Tekijä Författare Author Sampo

Lisätiedot

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten Ratkaisuehdotelma Tehtävä 1 1. Etsi lukujen 4655 ja 12075 suurin yhteinen tekijä ja lausu se kyseisten lukujen lineaarikombinaationa ilman laskimen

Lisätiedot

Laitos/Institution Department Matematiikan ja tilastotieteen laitos. Aika/Datum Month and year Huhtikuu 2014

Laitos/Institution Department Matematiikan ja tilastotieteen laitos. Aika/Datum Month and year Huhtikuu 2014 Tiedekunta/Osasto Fakultet/Sektion Faculty Matemaattis-luonnontieteellinen tiedekunta Laitos/Institution Department Matematiikan ja tilastotieteen laitos Tekijä/Författare Author Anna-Mari Pulkkinen Työn

Lisätiedot

Tensorialgebroista. Jyrki Lahtonen A = A n. n=0. I n, I = n=0

Tensorialgebroista. Jyrki Lahtonen A = A n. n=0. I n, I = n=0 Tensorialgebroista Esitysteorian kesäopintopiiri, Turun yliopisto, 2012 Jyrki Lahtonen Olkoon k jokin skalaarikunta. Kerrataan k-algebran käsite: A on k-algebra, jos se on sekä rengas että vektoriavaruus

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21

Lisätiedot

Eräitä ratkeavuustarkasteluja

Eräitä ratkeavuustarkasteluja Eräitä ratkeavuustarkasteluja Pro gradu-tutkielma Milla Jantunen 2124227 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Kevät 2014 Sisältö 1 Ryhmät ja aliryhmät 3 1.1 Ryhmä...............................

Lisätiedot

Algebran ja lukuteorian harjoitustehtävien ratkaisut

Algebran ja lukuteorian harjoitustehtävien ratkaisut Algebran ja lukuteorian harjoitustehtävien ratkaisut Versio 1.0 (27.1.2006 Turun yliopisto Lukuteoria 1. a Tarkistetaan ekvivalenssirelaation ehdot. on refleksiivinen, sillä identiteettikuvaus, id : C

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /310

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /310 Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/310 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 1 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a

Lisätiedot

Määritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m )

Määritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m ) Määritelmä 519 Olkoon T i L V i, W i, 1 i m Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m h v 1 v 2 v m T 1 v 1 T 2 v 2 T m v m 514 sanotaan olevan kuvausten T 1,, T m indusoima ja sitä

Lisätiedot

Päättelyn voisi aloittaa myös edellisen loppupuolelta ja näyttää kuten alkupuolella, että välttämättä dim W < R 1 R 1

Päättelyn voisi aloittaa myös edellisen loppupuolelta ja näyttää kuten alkupuolella, että välttämättä dim W < R 1 R 1 Lineaarialgebran kertaustehtävien b ratkaisuista. Määritä jokin kanta sille reaalikertoimisten polynomien lineaariavaruuden P aliavaruudelle, jonka virittää polynomijoukko {x, x+, x x }. Ratkaisu. Olkoon

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Matriisiteoria Harjoitus 1, kevät Olkoon. cos α sin α A(α) = . sin α cos α. Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on?

Matriisiteoria Harjoitus 1, kevät Olkoon. cos α sin α A(α) = . sin α cos α. Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on? Harjoitus 1, kevät 007 1. Olkoon [ ] cos α sin α A(α) =. sin α cos α Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on?. Olkoon a x y A = 0 b z, 0 0 c missä a, b, c 0. Määrää käänteismatriisi

Lisätiedot

4 Abelin ryhmät. 4.1 Suorat tulot ja summat

4 Abelin ryhmät. 4.1 Suorat tulot ja summat 4 Abelin ryhmät Ensimmäisellä ryhmäteorian kurssilla käytiin läpi lähinnä syklisiä ryhmiä. Tällä kurssilla keskitymme epäkommutatiivisiin esimerkkeihin. On kuitenkin niin, että äärellisesti viritettyjen

Lisätiedot

Koodausteoria, Kesä 2014

Koodausteoria, Kesä 2014 Koodausteoria, Kesä 2014 Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 6. Ryöppyvirheitä korjaavat koodit Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 2 / 34 6.1 Peruskäsitteitä Aiemmin on implisiittisesti

Lisätiedot

Transversaalit ja hajoamisaliryhmät

Transversaalit ja hajoamisaliryhmät Transversaalit ja hajoamisaliryhmät Graduseminaariesitelmä Miikka Rytty Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2006 Motivointi Esimerkki 1 (Ryhmäteorian kurssin harjoitustehtävä). Jos G on ryhmä,

Lisätiedot