R 1 = Q 2 R 2 + R 3,. (2.1) R l 2 = Q l 1 R l 1 + R l,

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "R 1 = Q 2 R 2 + R 3,. (2.1) R l 2 = Q l 1 R l 1 + R l,"

Transkriptio

1 2. Laajennettu Eukleideen algoritmi Määritelmä 2.1. Olkoot F kunta ja A, B, C, D F [x]. Sanotaan, että C jakaa A:n (tai C on A:n jakaja), jos on olemassa K F [x] siten, että A = K C; tällöin merkitään C A. (i) Polynomi C on polynomien A ja C yhteinen tekijä, jos C A ja C B. (ii) Polynomi D on polynomien A ja B suurin yhteinen tekijä (lyh. s.y.t.), jos D on A:n ja B:n yhteinen tekijä ja lisäksi pätee: jos C A ja C B, niin C D. (iii) Polynomi C on polynomien A ja B yhteinen jaettava jos A C ja B C. (iv) Polynomi D on polynomien A ja B pienin yhteinen jaettava (lyh. p.y.j.), jos D on A:n ja B:n yhteinen jaettava ja lisäksi pätee: jos A C ja B C, niin D C. Huomautus 2.2. Polynomien s.y.t. ei ole yksikäsitteisesti määrätty; jos D on jokin polynomien A, B F [B] suurin yhteinen tekijä, on myös r D A:n ja B:n s.y.t. kaikille r F, r 0. Kääntäen, jos C ja D ovat A:n ja B:n suurimpia yhteisiä tekijöitä, on C D ja D C, joten C = r D jollekin r F, r 0. Polynomeille s.y.t. saadaan yksikäsitteiseksi, kun vaaditaan, että s.y.t. on pääpolynomi. Jatkossa käytetään merkintää C = syt(a, B), jos C on A:n ja B:n suurin yhteinen tekijä ja C on pääpolynomi. Eukleideen algoritmi (EA) on polynomien jakoyhtälöä käyttävä menetelmä, jolla voidaan määrätä kahden polynomin A, B F [x] suurin yhteinen tekijä D F [x]. Olkoot F, G F [x], deg F deg G. Asetetaan R 0 := F, R 1 := G. Jakoyhtälön nojalla on olemassa yksikäsitteiset polynomit Q 1, R 2 F [x] siten, että R 0 = Q 1 R 1 + R 2 ja deg R 2 < deg R 1. Kun jakoyhtälöä toistetaan, löydetään l N, Q i, R i F [x], 1 i l, siten, että deg R i 1 < deg R i, kun 1 i l, ja R 0 = Q 1 R 1 + R 2, (2.1) R 1 = Q 2 R 2 + R 3,. R l 2 = Q l 1 R l 1 + R l, R l 1 = Q l R l + 0. Mukavuussyistä asetetaan R l+1 := 0. Tällöin Eukleideen algoritmin viimeinen rivi on samaa muotoa kuin muutkin: R l 1 = Q l R l + R l+1. Lemma 2.3. Kun A, B, R F [x], on syt(a, B) = syt(a, B R A). Todistus. Jos D A ja D B, on D A ja D B R A. Jos taas D A ja D B R A, on D A ja D B = (B R A) + R A. Siis A:n ja B:n yhteiset tekijät ovat samat kuin A:n ja B R A:n. Koska EA:ssa on R i+1 = R i 1 Q i R i, on edellisen lemman nojalla syt(r i, R i 1 ) = syt(r i, R i+1 ), 7 Viimeksi muutettu

2 joten syt(f, G) = syt(r 0, R 1 ) =... = syt(r l, R l+1 ) = syt(r l, 0) = R l. Kuten kokonaisluvuille, voidaan Eukleideen algoritmi laskea takaperin läpi ja löytää polynomit S l, T l F [x] siten, että syt(f, G) = S l F + T l G. Tämä tulos tunnetaan Bézout n yhtälönä. Tämä menetelmä kertoimien S l ja T l määräämiseksi ei ole kuitenkaan kovin käyttökelpoinen tietokoneella laskettaessa; Eukleideen algoritmista saatavat välivaiheet pitäisi tallettaa muistiin, jotta niitä voitaisiin käyttää kertoimien S l ja T l määräämiseen. Kertoimet S l ja T l voidaan kuitenkin määrätä suoraan käyttämällä ns. laajennettua Eukleideen algoritmia (LEA). Olkoot l, Q i ja R i kuten Eukleideen algoritmissa (2.1). Pyritään etsimään polynomit S i ja T i siten, että S i R 0 + T i R 1 = R i kaikille 0 i l. Oletetaan aluksi, että tällaiset luvut ovat olemassa. Kun tätä oletusta sovelletaan indekseihin i 1, i ja i + 1, saadaan Eukleideen algoritmin avulla (2.2) R i+1 = R i 1 Q i R i = (S i 1 R 0 + T i 1 R 1 ) Q i (S i R 0 + T i R 1 ) = (S i 1 Q i S i )R 0 + (T i 1 Q i T i )R 1. Toisaalta R i+1 = S i+1 R 0 + T i+1 R 1. Valitaan kertoimet seuraavan palautuskaavan mukaisesti S i+1 = S i 1 Q i S i, (2.3) T i+1 = T i 1 Q i T i. Tällöin yhtälöstä (2.2) seuraa, että jos S k R 0 + T k R 1 = R k arvoilla k = i 1 ja k = i ja kertoimet S k ja T k on määrätty palautuskaavojen (2.3) avulla, niin yhtälö S k R 0 + T k R 1 = R k on voimassa myös, kun k = i + 1. Riittää siis löytää sopivat aloitusarvot. Tällaiset ovat S 0 = 1, T 0 = 0, S 1 = 0, T 1 = 1. Laajennetussa Eukleideen algoritmissa määrätään l N, Q i, R i, S i, T i F [x], 1 i l + 1, siten, että 0 deg R i < deg R i 1, kun 1 i l, ja S 0 = 1, T 0 = 0 (2.4) S 1 = 0, T 1 = 1 R i 1 = Q i R i + R i+1 S i 1 = Q i S i + S i+1 T i 1 = Q i T i + T i+1 Tällöin S i R 0 + T i R 1 = R i kaikille 0 i l ja R l = syt(r 0, R 1 ). Huomautus 2.4. a) Jos deg F deg G, on jakoyhtälössä F = Q G + R, deg R < deg G, voimassa Q 0. Tällöin deg(q G) deg G > deg R, joten deg F = deg(q G + R) = deg(q G) = deg(q) + deg(g). Erityisesti, koska EA:ssa R i 1 = Q i R i + R i+1, on deg R i 1 = deg(q i R i ), joten deg Q i > 0, kun i = 2,..., l. b) Seuraavat on helppo osoittaa induktiolla: 1 T i R i 1 T i 1 R i = ( 1) i 1 F, kun 1 i l + 1; 2 S i R i 1 S i 1 R i = ( 1) i G, kun 1 i l + 1; 3 S i T i 1 S i 1 T i = ( 1) i, kun 1 i l + 1; 12

3 4 deg F = deg T i + deg R i 1 = i 1 j=1 deg Q j + deg R i 1, kun 1 i l + 1; 5 deg G = deg S i + deg R i 1 = i 1 j=2 deg Q j + deg R i 1, kun 2 i l + 1. Määritelmä 2.5. Olkoon F kunta. Polynomi P F [x], jolle deg P > 0, on jaoton (tai redusoitumaton) renkaassa F [x] (tai kunnan F suhteen), jos ei ole olemassa polynomeja A, B F [x] siten, että P = A B ja deg A > 0 ja deg A > 0; muutoin P on jaollinen (tai redusoituva). Huomautus 2.6. Tarkemmin jaottomuutta käsittelevässä kirjallisuudessa erotetaan käsitteet alkualkio ja redusoitumaton alkio. Tosin osa kirjoista, jotka eivät käsittele molempia käsitteitä, saattaa käyttää nimityksiä väärin. Esimerkiksi kirjoittajan työpöydällä kuljeksivassa kirjassa [3, luku IV, 6] prime (alkio) tarkoittaa redusoitumatonta, kun taas kirjassa [6, luku II, 2] termiä prime käytetään vain ilmaisuissa prime ideal, prime field ja prime ring. Alkualkio on määritelty Algeran kurssilla näin: Olkoot R kokonaisalue ja p R nollasta eroava ja ei-kääntyvä. Alkio p on alkualkio, jos ehdoista p a b, a, b R seuraa, että p a tai p b. Alkio p R on puolestaan redusoitumaton, jos ehdoista p = a b, a, b R seuraa, että a on kääntyvä tai b on kääntyvä. Alkualkio on aina redusoitumaton, mutta redusoitumattomuus ei takaa alkualkioominaisuutta. Esimerkki tällaisesta on peräisin Dirichlet ltä (1863): R := Z[ 5] = {a + b 5 a, b Z}. Tässä renkaassa luvulla 6 on kaksi oleellisesti erilaista tuloesitystä redusoitumattomien alkioiden avulla: 2 3 = 6 = (1 + 5)(1 5). Rengas Z[ 5] antaa myös esimerkin lukujen avulla rakennetusta renkaasta, jossa aritmetiikan peruslause ei pidä paikkaansa. Kokonaisalue, jossa on voimassa aritmetiikan peruslausetta vastaava tulos, 8 on rengas, jossa redusoitumaton alkio on aina alkualkio. Polynomirenkaassa F [x] on helppo osoittaa, että redusoitumaton alkio on aina alkualkio. Todistus on samankaltainen kuin kokonaisluvuille, ja avuksi riittää (laajennetun) Eukleideen algoritmin antama Bézout n yhtälö. Asiasta enemmän: [3, luku IV, 6], [6, luku II, 4] ja [5, 8.3]. Lemma 2.7 (Eukleideen lemma). Olkoot P F [x] jaoton ja A, B F [x]. Jos P A B, niin P A tai P B. Todistus. Todistus menee samalla tavalla kuin kokonaislukujen renkaalle. Yksityiskohdat jätetään lukijan tehtäväksi; vrt. [Alg, lemma 9.12]. Lause 2.8. Jokainen nollasta eroava kuntakertoiminen polynomi voidaan esittää jaottomien polynomien tulona. Esitys on tekijöiden järjestystä ja nollasta erovalla vakiolla kertomista lukuunottamatta yksikäsitteinen. Todistus jätetään lukijalle. Vrt. [Alg, lause 9.13/Aritmetiikan peruslause]. Huomautus 2.9. Polynomin jaottomuus riipppuu oleellisella tavalla kerroinkunnasta (tai kerroinrenkaasta, jos määritelmässä kerroinkunnan F tilalle olisi ollut vaikka vain kokonaisalue). Esimerkiksi kokonaislukukertoiminen polynomi x 4 2 jakautuu 8 Jokainen nollasta eroava ei-kääntyvä alkio voidaan esittää redusoitumattomien alkioiden tulona (oleellisesti yksikäsitteisellä tavalla). 13

4 14 jaottomiin tekijöihin seuraavasti: x 4 2 = (x 4 2) (x + 4 2) (x i 4 2) (x + i 4 2) = (x 4 2) (x + 4 2) (x 2 + 2) renkaassa R[x] = x 4 2 renkaassa Q[x], t.s. polynomi on jaoton. renkaassa C[x] Ensimmäinen kohta on helppo perustella: jaoton polynomi on enintään ensimmäistä astetta ja itse asiassa ensimmäisen asteen polynomit ovat aina jaottomia. Algebran peruslause, jolle todistus esitetään Lukualueiden ja Kompleksianalyysin kursseilla, antaa enemmän: renkaan C[x] ainoat jaottomat polynomit ovat ensimmäisen asteen polynomit. Algebran peruslauseesta saadaan reaalikertoimisille polynomeille seuraavaa: Jos polynomi P R[x] hajotetaan ensimmäisen asteen tekijöihin renkaassa C[x], jolloin tekijät ovat muotoa x x j, missä x j C ovat polynomin P juuret kunnassa C R, jokaisen ei-reaalisen juuren x j kompleksikonjugaatti x j on myös juuri. Tällöin myös tulo (x x j ) (x x j ) jakaa polynomin P (x). Mutta (x x j ) (x x j ) = x 2 (x j + x j )+ x j 2 on reaalikertoiminen polynomi. Siis renkaan R[x] jaottomat polynomit ovat ensimmäisen asteen polynomit ja ne toisen asteen polynomit, joilla ei ole reaalista nollakohtaa. Rationaalikertoimiset polynomit ovat ongelmallisempia (ja rationaalikertoimisia jaottomia polynomeja on enemmän). Toisen ja kolmannen asteen polynomeille P F [x] on voimassa yleisesti: polynomi P on jaoton, jos ja vain jos sillä on juuri kunnassa F. Tämän todistus jätetään lukijan tehtäväksi. Korkeampiasteisille polynomeille tämä karakterisaatio ei päde. Esimerkiksi Z 2 kertoimiselle polynomille x 4 + x on x 4 + x = (x 2 + x + 1), jonka arvo pisteissä x = 0 ja x = 1 on 1. Polynomin x 4 2 jaottomuus renkaassa Q[x] on helppo päätellä seuraavan yleisen idean avulla: Olkoot K ja F kuntia, F kunnan K alikunta, ja P F [x] annettu ei-vakio polynomi. Jos P on jaollinen renkaassa F [x], on olemassa F -kertoimiset polynomit A ja B siten, että P = A B. Tällöin polynomi P voidaan esittää myös renkaan K[x] polynomien A ja B tulona, joten P on jaollinen myös renkaassa K[x]. Jos nyt polynomi x 4 2 Q[x] hajoaisi jaottomien rationaalikertoimisten polynomien A 1,..., A k tuloksi, P = A 1 A k, olisivat A 1,..., A k polynomin P tekijöitä myös renkaassa R[x]. Oletetaan, että k > 1. Jos polynomin A 1 aste on yksi, sen pitäisi renkaan R[x] hajotelman yksikäsitteisyyden nojalla olla toinen tekijöistä x 4 2 tai x Jos taas polynomin A 1 aste on kaksi, sen pitäisi olla x tai tulo (x 4 2) (x + 4 2), jos tämä olisi jaoton rationaalikertoiminen polynomi, mitä se ei ole. Jos taas polynomin A 1 aste on kolme, olisi P/A 1 toinen tekijöistä x 4 2 tai x Toisaalta polynomin P/A 1 pitäisi olla rationaalikertoiminen. Tästä ideasta (tutkitaan renkaan Q[x] polynomin jaottomuutta siirtymällä laajempaan kerroinkuntaan R) on seuraanlainen yleistys: Olkoot R ja S kokonaisalueita ja ϕ: R S rengashomomorfismi. Polynomille A(x) R[x], A(x) = a n x n + + a 0 asetetaan ϕ(a(x)) := ϕ(a n ) x n + +ϕ(a 0 ), jolloin ϕ(a(x)) on renkaan S[x] polynomi. (Huomaa: tässä ei ole kyse yhdistetystä funktiosta.) Väite. Olkoon P (x) = a n x n + + a 0 R[x], a n 0. Jos polynomi ϕ(p (x)) on jaoton renkaassa S(x) ja jos polynomin P (X) johtavalle kertoimelle a n on ϕ(a n ) 0, niin myös polynomi P R[x] on jaoton.

5 Tämän väitteen todistus jätetään lukijan tehtäväksi. Tulosta voidaan käyttää esimerkiksi tilanteessa R = Z, S = Z p, p alkuluku, ja ϕ: Z Z p luonnollinen kuvaus k [k] p. Väitteen oletus ϕ(a n ) 0 tarkoittaa tässä tapauksessa, että p ei jaa johtavaa kerrointa a n. Pääpolynomeja B Z p [x], joille deg B < d, on vain äärellinen määrä (p d kpl), joten astetta d olevan polynomin Q Z p [x] jaottmuus voidaan (ainakin periaatteessa) selvittää laskemalla kaikki polynomijakolaskut Q/B, B Z p [x], deg B < d. 15 Myöhempää tarvetta varten: Lause Olkoot m, n Z +. Tällöin syt(x m 1, x n 1) = x syt(m,n) 1. Todistus. Induktiolla luvun max{m, n} suhteen. Jos max{m, n} = 1, tai jos m = n, on väite selvä. Oletetaan, että m < n. Koska (x n 1) x n m (x m 1) = x n m 1, saadaan syt(x m 1, x n 1) = syt(x m 1, x n m 1) lemma (2.3) = x syt(m,n m) 1 (induktio-oletus) Seuraus Olkoot q, m, n Z +. Tällöin = x syt(n,m) 1 lemma (2.3) eksponenttiin. syt(x qm x, x qn x) = x qsyt(m,n) x. Todistus. Jätetään lukijan tehtäväksi. Huomautus Kokonaislukujen renkaalla Z ja polynomirenkaalla F [x] näyttäisi olevan paljon yhteistä (enemmänkin on). Algebrasta (ja lukuteoriasta) löytyy useita renkaita, jotka käyttäytyvät samankaltaisesti. Osaa näistä saattaa yhdistää se, että renkaat ovat euklidisia alueita. Tällainen on kokonaisalue R, johon on löytyy funktio d: R N { } siten, että seuraava yleistys jakoyhtälölle on voimassa: kaikille a, b R, b 0, on olemassa q, r R siten, että a = q b + r ja d(r) < d(b). Aritmetiikan peruslause yleistyy euklidisiin alueisiin, samoin (laajennettu) Eukleideen algoritmi suurimman yhteisen tekijän määräämiseksi. Algebran (ja lukuteorian) tutkimus on kuitenkin tuonut esiin sellaisiakin kokonaisalueita, joihin aritmetiikan peruslause yleistyy, mutta jotka eivät ole euklidisia alueita. Kokonaisalueista, joihin aritmetiikan peruslause yleistyy, käytetään englannin kielessä nimitystä unique factorization domain, lyh. UFD, tai factorial ring. Pääideaalirenkailla eli kokonaisalueilla, joissa jokainen ideaali on yhden alkion virittämä, on UFD-ominaisuus; ks. [6, luku II, 4] tai [3, luku IV, 6].

R : renkaan R kääntyvien alkioiden joukko; R kertolaskulla varustettuna on

R : renkaan R kääntyvien alkioiden joukko; R kertolaskulla varustettuna on 0. Kertausta ja täydennystä Kurssille Äärelliset kunnat tarvittavat esitiedot löytyvät Algebran kurssista [Alg]. Hyödyksi voivat myös olla (vaikka eivät välttämättömiä) Lukuteorian alkeet [LTA] ja Salakirjoitukset

Lisätiedot

ja jäännösluokkien joukkoa

ja jäännösluokkien joukkoa 3. Polynomien jäännösluokkarenkaat Olkoon F kunta, ja olkoon m F[x]. Polynomeille f, g F [x] määritellään kongruenssi(-relaatio) asettamalla g f mod m : m g f g = f + m h jollekin h F [x]. Kongruenssi

Lisätiedot

11. Jaollisuudesta. Lemma Oletetaan, että a, b R.

11. Jaollisuudesta. Lemma Oletetaan, että a, b R. 11. Jaollisuudesta Edellisen luvun esimerkissä tarvittiin tietoa erään polynomin jaottomuudesta. Tämä on hyvin tavallista kuntalaajennosten yhteydessä. Seuraavassa tarkastellaan hieman jaollisuuskäsitettä

Lisätiedot

on Abelin ryhmä kertolaskun suhteen. Tämän joukon alkioiden lukumäärää merkitään

on Abelin ryhmä kertolaskun suhteen. Tämän joukon alkioiden lukumäärää merkitään 5. Primitiivinen alkio 5.1. Täydennystä lukuteoriaan. Olkoon n Z, n 2. Palautettakoon mieleen, että kokonaislukujen jäännösluokkarenkaan kääntyvien alkioiden muodostama osajoukko Z n := {x Z n x on kääntyvä}

Lisätiedot

Lukuteorian kertausta

Lukuteorian kertausta Lukuteorian kertausta Jakoalgoritmi Jos a, b Z ja b 0, niin on olemassa sellaiset yksikäsitteiset kokonaisluvut q ja r, että a = qb+r, missä 0 r < b. Esimerkki 1: Jos a = 60 ja b = 11, niin 60 = 5 11 +

Lisätiedot

1 Algebralliset perusteet

1 Algebralliset perusteet 1 Algebralliset perusteet 1.1 Renkaat Tämän luvun jälkeen opiskelijoiden odotetaan muistavan, mitä ovat renkaat, vaihdannaiset renkaat, alirenkaat, homomorfismit, ideaalit, tekijärenkaat, maksimaaliset

Lisätiedot

1 Lukujen jaollisuudesta

1 Lukujen jaollisuudesta Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 1 1 Lukujen jaollisuudesta Lukujoukoille käytetään seuraavia merkintöjä: N = {1, 2, 3, 4,... } Luonnolliset luvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Kokonaisluvut Kun

Lisätiedot

7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi

7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi 7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi Z p [x]/(m), missä m on polynomirenkaan Z p [x] jaoton polynomi (ks. määritelmä 3.19).

Lisätiedot

Mitään muita operaatioita symbolille ei ole määritelty! < a kaikilla kokonaisluvuilla a, + a = kaikilla kokonaisluvuilla a.

Mitään muita operaatioita symbolille ei ole määritelty! < a kaikilla kokonaisluvuilla a, + a = kaikilla kokonaisluvuilla a. Polynomit Tarkastelemme polynomirenkaiden teoriaa ja polynomiyhtälöiden ratkaisemista. Algebrassa on tapana pitää erillään polynomin ja polynomifunktion käsitteet. Polynomit Tarkastelemme polynomirenkaiden

Lisätiedot

koska 2 toteuttaa rationaalikertoimisen yhtälön x 2 2 = 0. Laajennuskunnan

koska 2 toteuttaa rationaalikertoimisen yhtälön x 2 2 = 0. Laajennuskunnan 4. Äärellisten kuntien yleisiä ominaisuuksia 4.1. Laajenuskunnat. Tarkastellaan aluksi yleistä kuntaparia F ja K, missä F on kunnan K alikunta. Tällöin sanotaan, että kunta K on kunnan F laajennuskunta

Lisätiedot

k=1 b kx k K-kertoimisia polynomeja, P (X)+Q(X) = (a k + b k )X k n+m a i b j X k. i+j=k k=0

k=1 b kx k K-kertoimisia polynomeja, P (X)+Q(X) = (a k + b k )X k n+m a i b j X k. i+j=k k=0 1. Polynomit Tässä luvussa tarkastelemme polynomien muodostamia renkaita polynomien ollisuutta käsitteleviä perustuloksia. Teemme luvun alkuun kaksi sopimusta: Tässä luvussa X on muodollinen symboli, jota

Lisätiedot

rm + sn = d. Siispä Proposition 9.5(4) nojalla e d.

rm + sn = d. Siispä Proposition 9.5(4) nojalla e d. 9. Renkaat Z ja Z/qZ Tarkastelemme tässä luvussa jaollisuutta kokonaislukujen renkaassa Z ja todistamme tuloksia, joita käytetään jäännösluokkarenkaan Z/qZ ominaisuuksien tarkastelussa. Jos a, b, c Z ovat

Lisätiedot

Todistus. Eliminoidaan Euleideen algoritmissa jakojäännökset alhaaltaylöspäin.

Todistus. Eliminoidaan Euleideen algoritmissa jakojäännökset alhaaltaylöspäin. 18 ALGEBRA II missä r n (x) =syt(f(x),g(x)). Lause 2.7. Olkoot f(x),g(x) K[x]. Silloin syt(f(x),g(x)) = a(x)f(x)+b(x)g(x), joillakin a(x),b(x) K[x]. Todistus. Eliminoidaan Euleideen algoritmissa jakojäännökset

Lisätiedot

2 j =

2 j = 1. Modulaariaritmetiikkaa Yksinkertaisissa salausjärjestelmissä käytettävä matematiikka on paljolti lukuteoriaan pohjautuvaa suurten lukujen modulaariaritmetiikkaa (lasketaan kokonaisluvuilla modulo n).

Lisätiedot

(x + I) + (y + I) = (x + y)+i. (x + I)(y + I) =xy + I. kaikille x, y R.

(x + I) + (y + I) = (x + y)+i. (x + I)(y + I) =xy + I. kaikille x, y R. 11. Ideaalit ja tekijärenkaat Rengashomomorfismi φ: R R on erityisesti ryhmähomomorfismi φ: (R, +) (R, +) additiivisten ryhmien välillä. Rengashomomorfismin ydin määritellään tämän ryhmähomomorfismin φ

Lisätiedot

H = : a, b C M. joten jokainen A H {0} on kääntyvä matriisi. Itse asiassa kaikki nollasta poikkeavat alkiot ovat yksiköitä, koska. a b.

H = : a, b C M. joten jokainen A H {0} on kääntyvä matriisi. Itse asiassa kaikki nollasta poikkeavat alkiot ovat yksiköitä, koska. a b. 10. Kunnat ja kokonaisalueet Määritelmä 10.1. Olkoon K rengas, jossa on ainakin kaksi alkiota. Jos kaikki renkaan K nollasta poikkeavat alkiot ovat yksiköitä, niin K on jakorengas. Kommutatiivinen jakorengas

Lisätiedot

PERUSASIOITA ALGEBRASTA

PERUSASIOITA ALGEBRASTA PERUSASIOITA ALGEBRASTA Matti Lehtinen Tässä luetellut lauseet ja käsitteet kattavat suunnilleen sen mitä algebrallisissa kilpatehtävissä edellytetään. Ns. algebrallisia struktuureja jotka ovat nykyaikaisen

Lisätiedot

11. Jaollisuudesta. vuoksi tarkastellaan tässä yhteydessä vain kokonaisalueita.

11. Jaollisuudesta. vuoksi tarkastellaan tässä yhteydessä vain kokonaisalueita. 11. Jaollisuudesta Kuntalaajennosten yhteydessään käytetään usein apuna jaottomia polynomeja. Tarkastellaan seuraavaksi hieman jaollisuuskäsitettä yleensä ja todistetaan joitain kriteerejä erityisesti

Lisätiedot

Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7

Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7 Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7 2 Alkuluvuista 2.1 Alkuluvut Määritelmä 2.1 Positiivinen luku a 2 on alkuluku, jos sen ainoat positiiviset tekijät ovat 1 ja a. Jos a 2 ei ole alkuluku, se on yhdistetty

Lisätiedot

d Z + 17 Viimeksi muutettu

d Z + 17 Viimeksi muutettu 5. Diffien ja Hellmanin avaintenvaihto Miten on mahdollista välittää salatun viestin avaamiseen tarkoitettu avain Internetin kaltaisen avoimen liikennöintiväylän kautta? Kuka tahansahan voi (ainakin periaatteessa)

Lisätiedot

2017 = = = = = = 26 1

2017 = = = = = = 26 1 JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 2, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. Sovella Eukleiden algoritmia ja (i) etsi s.y.t(2017, 753) (ii) etsi kaikki kokonaislukuratkaisut yhtälölle 405x + 141y = 12. Ratkaisu

Lisätiedot

Diofantoksen yhtälön ratkaisut

Diofantoksen yhtälön ratkaisut Diofantoksen yhtälön ratkaisut Matias Mäkelä Matemaattisten tieteiden tutkinto-ohjelma Oulun yliopisto Kevät 2017 Sisältö Johdanto 2 1 Suurin yhteinen tekijä 2 2 Eukleideen algoritmi 4 3 Diofantoksen yhtälön

Lisätiedot

Polynomien suurin yhteinen tekijä ja kongruenssi

Polynomien suurin yhteinen tekijä ja kongruenssi Polynomien suurin yhteinen tekijä ja kongruenssi Pro gradu -tutkielma Outi Aksela 2117470 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Renkaat 3 1.1 Rengas...............................

Lisätiedot

800333A Algebra I Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä

800333A Algebra I Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä 800333A Algebra I Luentorunko Kevät 2010 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä Sisältö 1 Lukuteorian alkeita 3 1.1 Kongruenssiin liittyviä perustuloksia.............. 7 2 Ekvivalenssirelaatio

Lisätiedot

2.1. Tehtävänä on osoittaa induktiolla, että kaikille n N pätee n = 1 n(n + 1). (1)

2.1. Tehtävänä on osoittaa induktiolla, että kaikille n N pätee n = 1 n(n + 1). (1) Approbatur 3, demo, ratkaisut Sovitaan, että 0 ei ole luonnollinen luku. Tällöin oletusta n 0 ei tarvitse toistaa alla olevissa ratkaisuissa. Se, pidetäänkö nollaa luonnollisena lukuna vai ei, vaihtelee

Lisätiedot

Renkaat ja modulit. Tässä osassa käsiteltävät renkaat ovat vaihdannaisia, ellei toisin mainita. 6. Ideaalit

Renkaat ja modulit. Tässä osassa käsiteltävät renkaat ovat vaihdannaisia, ellei toisin mainita. 6. Ideaalit Renkaat ja modulit Tässä osassa käsiteltävät renkaat ovat vaihdannaisia, ellei toisin mainita. 6. Ideaalit Tekijärenkaassa nollan ekvivalenssiluokka on alkuperäisen renkaan ideaali. Ideaalin käsitteen

Lisätiedot

ei ole muita välikuntia.

ei ole muita välikuntia. ALGEBRA II 41 Lause 4.15. F q m on polynomin x qm x hajoamiskunta kunnan F q suhteen. Todistus. Olkoon α kunnan F q m primitiivialkio. Nyt F qm =< α > muodostuu täsmälleen polynomin x qm 1 1nollakohdistajatäten

Lisätiedot

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Jukka Vilen. Polynomirenkaista

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Jukka Vilen. Polynomirenkaista TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Jukka Vilen Polynomirenkaista Informaatiotieteiden tiedekunta Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Matematiikka Kesäkuu 2005 Tampereen yliopisto Matematiikan,

Lisätiedot

x j x k Tällöin L j (x k ) = 0, kun k j, ja L j (x j ) = 1. Alkuperäiselle interpolaatio-ongelmalle saadaan nyt ratkaisu

x j x k Tällöin L j (x k ) = 0, kun k j, ja L j (x j ) = 1. Alkuperäiselle interpolaatio-ongelmalle saadaan nyt ratkaisu 2 Interpolointi Olkoon annettuna n+1 eri pistettä x 0, x 1, x n R ja n+1 lukua y 0, y 1,, y n Interpoloinnissa etsitään funktiota P, joka annetuissa pisteissä x 0,, x n saa annetut arvot y 0,, y n, (21)

Lisätiedot

MAT Algebra I (s) periodeilla IV ja V/2009. Esko Turunen

MAT Algebra I (s) periodeilla IV ja V/2009. Esko Turunen MAT-41150 Algebra I (s) periodeilla IV ja V/2009. Esko Turunen Tämä tiedosto sisältää kurssin kaikki laskuharjoitukset. viikottain uusia tehtäviä. Tiedostoon lisätään To 05.02.09 pidetyt harjoitukset.

Lisätiedot

MAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen

MAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen MAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen Tehtävä 1. Onko joukon X potenssijoukon P(X) laskutoimitus distributiivinen laskutoimituksen suhteen? Onko laskutoimitus distributiivinen laskutoimituksen

Lisätiedot

kaikille a R. 1 (R, +) on kommutatiivinen ryhmä, 2 a(b + c) = ab + ac ja (b + c)a = ba + ca kaikilla a, b, c R, ja

kaikille a R. 1 (R, +) on kommutatiivinen ryhmä, 2 a(b + c) = ab + ac ja (b + c)a = ba + ca kaikilla a, b, c R, ja Renkaat Tarkastelemme seuraavaksi rakenteita, joissa on määritelty kaksi binääristä assosiatiivista laskutoimitusta, joista toinen on kommutatiivinen. Vaadimme muuten samat ominaisuudet kuin kokonaisluvuilta,

Lisätiedot

a b 1 c b n c n

a b 1 c b n c n Algebra Syksy 2007 Harjoitukset 1. Olkoon a Z. Totea, että aina a 0, 1 a, a a ja a a. 2. Olkoot a, b, c, d Z. Todista implikaatiot: a) a b ja c d ac bd, b) a b ja b c a c. 3. Olkoon a b i kaikilla i =

Lisätiedot

Salausmenetelmät. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006)

Salausmenetelmät. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) Salausmenetelmät Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA 3. Kongruenssit à 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi Määritelmä 3.1 Kaksi lukua a ja b ovat keskenään kongruentteja (tai

Lisätiedot

Algebra I, harjoitus 5,

Algebra I, harjoitus 5, Algebra I, harjoitus 5, 7.-8.10.2014. 1. 2 Osoita väitteet oikeiksi tai vääriksi. a) (R, ) on ryhmä, kun asetetaan a b = 2(a + b) aina, kun a, b R. (Tässä + on reaalilukujen tavallinen yhteenlasku.) b)

Lisätiedot

1 Kertausta algebran kurssilta 1. 4 Kuntalaajennukset Kuntalaajennuksen aste Harppi-viivoitin-konstruktiot Hajoituskunnat 88

1 Kertausta algebran kurssilta 1. 4 Kuntalaajennukset Kuntalaajennuksen aste Harppi-viivoitin-konstruktiot Hajoituskunnat 88 Sisältö 1 Kertausta algebran kurssilta 1 2 Lisää polynomeista 10 3 Kertausta Q:n konstruktiosta; jakokunta 20 4 Kuntalaajennukset 27 5 Kuntalaajennuksen aste 49 6 Harppi-viivoitin-konstruktiot 64 7 Galois

Lisätiedot

802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä

802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä 802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät 2017 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä Sisältö 1 Lukuteoriaa 3 1.1 Jakoalgoritmi ja alkuluvut.................... 3 1.2 Suurin yhteinen tekijä......................

Lisätiedot

Liite 1. Laajennettu Eukleideen algoritmi suoraviivainen tapa

Liite 1. Laajennettu Eukleideen algoritmi suoraviivainen tapa Liite 1. Laajennettu Eukleideen algoritmi suoraviivainen tapa - johdanto - matemaattinen induktiotodistus - matriisien kertolaskun käyttömahdollisuus - käsinlaskuesimerkkejä - kaikki välivaiheet esittävä

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Osa 4: Modulaariaritmetiikka Riikka Kangaslampi 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Modulaariaritmetiikka Jakoyhtälö Määritelmä 1 Luku

Lisätiedot

Tehtävä 1. Arvioi mitkä seuraavista väitteistä pitävät paikkansa. Vihje: voit aloittaa kokeilemalla sopivia lukuarvoja.

Tehtävä 1. Arvioi mitkä seuraavista väitteistä pitävät paikkansa. Vihje: voit aloittaa kokeilemalla sopivia lukuarvoja. Tehtävä 1 Arvioi mitkä seuraavista väitteistä pitävät paikkansa. Vihje: voit aloittaa kokeilemalla sopivia lukuarvoja. 1 Jos 1 < y < 3, niin kaikilla x pätee x y x 1. 2 Jos x 1 < 2 ja y 1 < 3, niin x y

Lisätiedot

802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO

802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO 8038A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 016 Sisältö 1 Irrationaaliluvuista Antiikin lukuja 6.1 Kolmio- neliö- ja tetraedriluvut...................

Lisätiedot

g : R R, g(a) = g i a i. Alkio g(a) R on polynomin arvo pisteessä a. Jos g(a) = 0, niin a on polynomin g(x) nollakohta.

g : R R, g(a) = g i a i. Alkio g(a) R on polynomin arvo pisteessä a. Jos g(a) = 0, niin a on polynomin g(x) nollakohta. ALGEBRA II 27 on homomorfismi. Ensinnäkin G(a + b) a + b G(a)+G(b) (f), G(ab) ab G(a)G(b) G(a) G(b) (f), ja koska kongruenssien vasempien ja oikeiden puolten asteet ovat pienempiä kuin f:n aste, niin homomorfiaehdot

Lisätiedot

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten Ratkaisuehdotelma Tehtävä 1 1. Etsi lukujen 4655 ja 12075 suurin yhteinen tekijä ja lausu se kyseisten lukujen lineaarikombinaationa ilman laskimen

Lisätiedot

Rollen lause polynomeille

Rollen lause polynomeille Rollen lause polynomeille LuK-tutkielma Anna-Helena Hietamäki 7193766 Matemaattisten tieteiden tutkinto-ohjelma Oulun yliopisto Kevät 015 Sisältö 1 Johdanto 1.1 Rollen lause analyysissä.......................

Lisätiedot

802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA II BASICS OF NUMBER THEORY PART II

802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA II BASICS OF NUMBER THEORY PART II 802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA II BASICS OF NUMBER THEORY PART II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LUKUTEORIA 1 / 94 KERTOMAT, BINOMIKERTOIMET Kertoma/Factorial Määritellään

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I 802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä

Lisätiedot

Aritmetiikan peruslause algebrallisten kokonaislukujen renkaissa

Aritmetiikan peruslause algebrallisten kokonaislukujen renkaissa Aritmetiikan peruslause algebrallisten kokonaislukujen renkaissa Pro gradu -tutkielma Itä-Suomen yliopisto Yliopistonkatu 2, 80101 Joensuu Fysiikan ja matematiikan laitos Tuomas Manninen, 243034 11. joulukuuta

Lisätiedot

802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä

802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä 802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät 2018 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä Sisältö 1 Lukuteoriaa 3 1.1 Jakoalgoritmi ja alkuluvut.................... 3 1.2 Suurin yhteinen tekijä......................

Lisätiedot

811120P Diskreetit rakenteet

811120P Diskreetit rakenteet 811120P Diskreetit rakenteet 2016-2017 6. Alkeislukuteoria 6.1 Jaollisuus Käsitellään kokonaislukujen perusominaisuuksia: erityisesti jaollisuutta Käytettävät lukujoukot: Luonnolliset luvut IN = {0,1,2,3,...

Lisätiedot

Teema 4. Homomorfismeista Ihanne ja tekijärengas. Teema 4 1 / 32

Teema 4. Homomorfismeista Ihanne ja tekijärengas. Teema 4 1 / 32 1 / 32 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.2 Esimerkki 4B.1 Esimerkki 4B.2 Esimerkki 4B.3 Esimerkki 4C.1 Esimerkki 4C.2 Esimerkki 4C.3 2 / 32 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.2 Esimerkki 4B.1 Esimerkki

Lisätiedot

LUKUTEORIAN ALKEET HELI TUOMINEN

LUKUTEORIAN ALKEET HELI TUOMINEN LUKUTEORIAN ALKEET HELI TUOMINEN Sisältö 1. Lukujärjestelmät 2 1.1. Kymmenjärjestelmä 2 1.2. Muita lukujärjestelmiä 2 1.3. Yksikäsitteisyyslause 4 2. Alkulukuteoriaa 6 2.1. Jaollisuus 6 2.2. Suurin yhteinen

Lisätiedot

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus

Lisätiedot

802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III

802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III 802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LUKUTEORIA 1 / 77 Irrationaaliluvuista Määritelmä 1 Luku α C \ Q on

Lisätiedot

Salausmenetelmät LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) 3. Kongruenssit. à 3.4 Kongruenssien laskusääntöjä

Salausmenetelmät LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) 3. Kongruenssit. à 3.4 Kongruenssien laskusääntöjä Salausmenetelmät Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA 3. Kongruenssit à 3.4 Kongruenssien laskusääntöjä Seuraavassa lauseessa saamme kongruensseille mukavia laskusääntöjä.

Lisätiedot

[E : F ]=[E : K][K : F ].

[E : F ]=[E : K][K : F ]. ALGEBRA II 35 Lause 4.4 (Astelukulause). Olkoot E/K/Fäärellisiä kuntalaajennuksia. Silloin [E : F ]=[E : K][K : F ]. Todistus. Olkoon {α 1,...,α n } kanta laajennukselle E/K ja {β 1,...,β m } kanta laajennukselle

Lisätiedot

Koodausteoria, Kesä 2014

Koodausteoria, Kesä 2014 Koodausteoria, Kesä 2014 Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 4.7 Syklisen koodin jälkiesitys Olkoon F = F q ja K = F q m kunnan F laajennuskunta. Määritelmä 4.7.1. Kuntalaajennuksen K/F jälkifunktioksi

Lisätiedot

1 Kompleksiluvut. Kompleksiluvut 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 7

1 Kompleksiluvut. Kompleksiluvut 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 7 Kompleksiluvut 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 7 1 Kompleksiluvut Lukualueiden laajennuksia voi lähestyä polynomiyhtälöiden ratkaisemisen kautta. Yhtälön x+1 = 0 ratkaisemiseksi tarvitaan negatiivisia lukuja.

Lisätiedot

1 Tätä dokumenttia, Ketjumurtoluvuista.pdf, saa levittää vain yhdessä lähdekoodinsa

1 Tätä dokumenttia, Ketjumurtoluvuista.pdf, saa levittää vain yhdessä lähdekoodinsa Sisältö Eukleideen algoritmi Jakoyhtälö positiivisille kokonaisluvuille 2 2 Eukleideen algoritmi 2 3 Laajennettu Eukleideen algoritmi 3 2 Ketjumurtoluvut 4 2 Irrationaalilukujen ketjumurtolukukehitelmä

Lisätiedot

1. Jakokunta. b + c d

1. Jakokunta. b + c d ÁÁÁ ÃÙÒØ Ø ÓÖ 1. Jakokunta Kunnan alirenkaat ovat aina kokonaisalueita. Tämä herättää luonnollisen kysymyksen, karakterisoiko tämä ominaisuus kokonaisalueet eli onko jokainen kokonaisalue jonkin kunnan

Lisätiedot

(iv) Ratkaisu 1. Sovelletaan Eukleideen algoritmia osoittajaan ja nimittäjään. (i) 7 = , 7 6 = = =

(iv) Ratkaisu 1. Sovelletaan Eukleideen algoritmia osoittajaan ja nimittäjään. (i) 7 = , 7 6 = = = JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 07) HARJOITUS 7, MALLIRATKAISUT Tehtävä Etsi seuraavien rationaalilukujen ketjumurtokehitelmät: (i) 7 6 (ii) 4 7 (iii) 65 74 (iv) 63 74 Ratkaisu Sovelletaan Eukleideen algoritmia

Lisätiedot

Fermat n pieni lause. Heikki Pitkänen. Matematiikan kandidaatintutkielma

Fermat n pieni lause. Heikki Pitkänen. Matematiikan kandidaatintutkielma Fermat n pieni lause Heikki Pitkänen Matematiikan kandidaatintutkielma Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kevät 2009 Sisältö Johdanto 3 1. Fermat n pieni lause 3 2. Pseudoalkuluvut

Lisätiedot

3. Kongruenssit. 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi

3. Kongruenssit. 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi 3. Kongruenssit 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi Tässä kappaleessa esitellään kokonaislukujen modulaarinen aritmetiikka (ns. kellotauluaritmetiikka), jossa luvut tyypillisesti korvataan niillä jakojäännöksillä,

Lisätiedot

Shorin algoritmin matematiikkaa Edvard Fagerholm

Shorin algoritmin matematiikkaa Edvard Fagerholm Edvard Fagerholm 1 Määritelmiä Määritelmä 1 Ryhmä G on syklinen, jos a G s.e. G = a. Määritelmä 2 Olkoon G ryhmä. Tällöin alkion a G kertaluku ord(a) on pienin luku n N \ {0}, jolla a n = 1. Jos lukua

Lisätiedot

802355A Renkaat, kunnat ja polynomit Luentorunko Syksy 2013

802355A Renkaat, kunnat ja polynomit Luentorunko Syksy 2013 802355A Renkaat, kunnat ja polynomit Luentorunko Syksy 2013 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä, Antti Torvikoski, Topi Törmä Sisältö 1 Kertausta kurssilta Lukuteoria ja ryhmät

Lisätiedot

Äärelliset kunnat ja polynomien jako alkutekijöihin

Äärelliset kunnat ja polynomien jako alkutekijöihin TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Heidi Kananoja Äärelliset kunnat ja polynomien jako alkutekijöihin Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Matematiikka Syyskuu 2007 Tampereen yliopisto

Lisätiedot

802656S ALGEBRALLISET LUVUT OSA I ALGEBRAIC NUMBERS PART I

802656S ALGEBRALLISET LUVUT OSA I ALGEBRAIC NUMBERS PART I 802656S ALGEBRALLISET LUVUT OSA I ALGEBRAIC NUMBERS PART I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2017 Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802656S ALGEBRALLISET YLIOPISTO LUVUT

Lisätiedot

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Liisa Ilonen. Primitiiviset juuret

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Liisa Ilonen. Primitiiviset juuret TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Liisa Ilonen Primitiiviset juuret Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Joulukuu 2009 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos ILONEN,

Lisätiedot

Konvergenssilauseita

Konvergenssilauseita LUKU 4 Konvergenssilauseita Lause 4.1 (Monotonisen konvergenssin lause). Olkoon (f n ) kasvava jono Lebesgueintegroituvia funktioita. Asetetaan f(x) := f n (x). Jos f n

Lisätiedot

ALGEBRA. Tauno Metsänkylä. K f. id K

ALGEBRA. Tauno Metsänkylä. K f. id K ALGEBRA Tauno Metsänkylä K f τ K f τ 1 K(α 1 ) K(α 1 ) K id K K SISÄLTÖ 1 Sisältö 1 MODULI 4 1.1 Moduli; alimoduli................................ 4 1.2 Modulihomomorfia; tekijämoduli.......................

Lisätiedot

Trooppisen algebran peruslause

Trooppisen algebran peruslause TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Jari Ahonen Trooppisen algebran peruslause Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Helmikuu 2013 Tiivistelmä Tutkielmassa käsitellään yhden muuttujan trooppisia

Lisätiedot

Lukuteoria. Eukleides Aleksandrialainen (n. 300 eaa)

Lukuteoria. Eukleides Aleksandrialainen (n. 300 eaa) Lukuteoria Lukuteoria on eräs vanhimmista matematiikan aloista. On sanottu, että siinä missä matematiikka on tieteiden kuningatar, on lukuteoria matematiikan kuningatar. Perehdymme seuraavassa luonnollisten

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141 Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/141 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.

Lisätiedot

Valitse kuusi tehtävää! Kaikki tehtävät ovat 6 pisteen arvoisia.

Valitse kuusi tehtävää! Kaikki tehtävät ovat 6 pisteen arvoisia. MAA11 Koe 8.4.013 5 5 1. Luvut 6 38 ja 43 4 jaetaan luvulla 17. Osoita, että tällöin jakojäännökset ovat yhtäsuuret. Paljonko tämä jakojäännös on?. a) Tutki onko 101 alkuluku. Esitä tutkimuksesi tueksi

Lisätiedot

Liite 2. Ryhmien ja kuntien perusteet

Liite 2. Ryhmien ja kuntien perusteet Liite 2. Ryhmien ja kuntien perusteet 1. Ryhmät 1.1 Johdanto Erilaisissa matematiikan probleemoissa törmätään usein muotoa a + x = b tai a x = b oleviin yhtälöihin, joissa tuntematon muuttuja on x. Lukujoukkoja

Lisätiedot

4. Eulerin ja Fermat'n lauseet

4. Eulerin ja Fermat'n lauseet 4. Eulerin ja Fermat'n lauseet 4.1 Alkuluokka ja Eulerin φ-funktio Yleensä olemme kiinnostuneita vain niistä jäännösluokista modulo m, joiden alkiot ovat suhteellisia alkulukuja luvun m kanssa. Näiden

Lisätiedot

n (n 1) avainten vaihtoa. Miljoonalle käyttäjälle avainten vaihtoja tarvittaisiin

n (n 1) avainten vaihtoa. Miljoonalle käyttäjälle avainten vaihtoja tarvittaisiin 3. RSA Salausjärjestelmien käytön perusongelma oli pitkään seuraava: Kun Liisa ja Pentti haluavat vaihtaa salakirjoitettuja viestejä keskenään ja jos heidän käyttämänsä salausmenetelmä on symmetrinen,

Lisätiedot

Viidennen asteen yhtälön ratkaisukaavan olemassaolon mahdottomuus Galois n teorian pohjalta

Viidennen asteen yhtälön ratkaisukaavan olemassaolon mahdottomuus Galois n teorian pohjalta Viidennen asteen yhtälön ratkaisukaavan olemassaolon mahdottomuus Galois n teorian pohjalta Teppo Lahti Matematiikan pro gradu Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kevät 2014 Tiivistelmä

Lisätiedot

(ψ + ζ)φ(a) = ψφ(a) + ζφ(a) = (ψφ + ζφ)(a), φ(ψ + ζ)(a) = φ(ψ(a) + ζ(a)) = φψ(a) + φζ(a) = (φψ + φζ)(a).

(ψ + ζ)φ(a) = ψφ(a) + ζφ(a) = (ψφ + ζφ)(a), φ(ψ + ζ)(a) = φ(ψ(a) + ζ(a)) = φψ(a) + φζ(a) = (φψ + φζ)(a). ALGEBRA 2007 15 Todistus. Mieti, miksi kuvaus on hyvin määritelty! Surjektiivisuus on selvää. Lisäksi φ(xkyk) = φ(xyk) = xyh = xhyh = φ(xk)φ(yk), joten kuvaus on homomorfismi. Jos y H, niin φ(yk) = yh

Lisätiedot

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)

Lisätiedot

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 11 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 11 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma Johdatus lukuteoriaan Harjoitus syksy 008 Eemeli Blåsten Ratkaisuehdotelma Tehtävä Todista ketjumurtoluvun peräkkäisille konvergenteille kaava ( ) n induktiolla käyttämällä jonojen ( ) ja ( ) rekursiokaavaa.

Lisätiedot

Koodausteoria, Kesä 2014

Koodausteoria, Kesä 2014 Koodausteoria, Kesä 2014 Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 5.2 BCH-koodin dekoodaus Tarkastellaan t virhettä korjaavaa n-pituista BCH-koodia. Olkoon α primitiivinen n:s ykkösen juuri, c = c(x)

Lisätiedot

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Jarmo Niemelä. Primitiivisistä juurista ja. alkuluokkaryhmistä

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Jarmo Niemelä. Primitiivisistä juurista ja. alkuluokkaryhmistä TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Jarmo Niemelä Primitiivisistä juurista ja alkuluokkaryhmistä Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Matematiikka Marraskuu 2000 2 TAMPEREEN YLIOPISTO

Lisätiedot

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto 3. Oletetaan, että kunnan K karakteristika on 3. Tutki,

Lisätiedot

ALKULUKUJA JA MELKEIN ALKULUKUJA

ALKULUKUJA JA MELKEIN ALKULUKUJA ALKULUKUJA JA MELKEIN ALKULUKUJA MINNA TUONONEN Versio: 12. heinäkuuta 2011. 1 2 MINNA TUONONEN Sisältö 1. Johdanto 3 2. Tutkielmassa tarvittavia määritelmiä ja apulauseita 4 3. Mersennen alkuluvut ja

Lisätiedot

Primitiiviset juuret: teoriaa ja sovelluksia

Primitiiviset juuret: teoriaa ja sovelluksia TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Outi Sutinen Primitiiviset juuret: teoriaa ja sovelluksia Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Matematiikka Huhtikuu 2006 Tampereen yliopisto Matematiikan,

Lisätiedot

Koodausteoria, Kesä 2014

Koodausteoria, Kesä 2014 Koodausteoria, Kesä 2014 Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos Koodausteoria 10 op Kontaktiopetusta 50 h, 26.5. - 26.6. ma 10-14, ti 10-13, to 10-13 Aloitusviikolla poikkeuksellisesti ke 10-13 torstain

Lisätiedot

802354A Lukuteoria ja ryhmät Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä, Antti Torvikoski, Topi Törmä

802354A Lukuteoria ja ryhmät Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä, Antti Torvikoski, Topi Törmä 802354A Lukuteoria ja ryhmät Luentorunko Kevät 2014 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä, Antti Torvikoski, Topi Törmä Sisältö 1 Ekvivalenssirelaatio 3 2 Lukuteoriaa 4 2.1 Lukuteorian

Lisätiedot

802645S LUKUTEORIA A (5op) Tapani Matala-aho

802645S LUKUTEORIA A (5op) Tapani Matala-aho 802645S LUKUTEORIA A (5op) Tapani Matala-aho 25. lokakuuta 2015 Sisältö 1 Johdanto 3 2 Valittuja kaavoja 4 3 Valittuja jaollisuuden tuloksia 4 4 Renkaan yksikköryhmä 6 5 Eulerin funktio 7 6 Euler-Fermat

Lisätiedot

Liittomatriisi. Liittomatriisi. Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä. 1) i+j det A ij.

Liittomatriisi. Liittomatriisi. Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä. 1) i+j det A ij. Liittomatriisi Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä (cof A) ij =( 1) i+j det A ij kaikilla i, j = 1,...,n. Huomautus 8 Olkoon A 2 M(n, n). Tällöin kaikilla

Lisätiedot

(xa) = (x) (a) = (x)0 = 0

(xa) = (x) (a) = (x)0 = 0 11. Ideaalit ja tekijärenkaat Rengashomomorfismi : R! R 0 on erityisesti ryhmähomomorfismi :(R, +)! (R 0, +) additiivisten ryhmien välillä. Rengashomomorfismin ydin määritellään tämän ryhmähomomorfismin

Lisätiedot

802355A Algebralliset rakenteet Luentorunko Syksy Markku Niemenmaa Kari Myllylä Topi Törmä Marko Leinonen

802355A Algebralliset rakenteet Luentorunko Syksy Markku Niemenmaa Kari Myllylä Topi Törmä Marko Leinonen 802355A Algebralliset rakenteet Luentorunko Syksy 2016 Markku Niemenmaa Kari Myllylä Topi Törmä Marko Leinonen Sisältö 1 Kertausta kurssilta Algebran perusteet 3 2 Renkaat 8 2.1 Renkaiden teoriaa.........................

Lisätiedot

pdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 3 Valittuja jaollisuuden tuloksia Renkaan yksikköryhmä Eräs kongruenssiryhmä 0-17

pdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 3 Valittuja jaollisuuden tuloksia Renkaan yksikköryhmä Eräs kongruenssiryhmä 0-17 pdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 Sisältö 1 Johdanto 0-3 2 Valittuja kaavoja 0-5 3 Valittuja jaollisuuden tuloksia 0-7 4 Renkaan yksikköryhmä 0-9 5 Eulerin funktio 0-11 6 Euler-Fermat 0-16 7 Eräs kongruenssiryhmä

Lisätiedot

Reaalilukuvälit, leikkaus ja unioni (1/2)

Reaalilukuvälit, leikkaus ja unioni (1/2) Luvut Luonnolliset luvut N = {0, 1, 2, 3,... } Kokonaisluvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Rationaaliluvut (jaksolliset desimaaliluvut) Q = {m/n m, n Z, n 0} Irrationaaliluvut eli jaksottomat desimaaliluvut

Lisätiedot

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 9 (6 sivua) OT

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 9 (6 sivua) OT Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 9 (6 sivua) 28.3.-1.4.2011 OT 1. a) Osoita, että rengas R = {[0] 10, [2] 10, [4] 10, [6] 10, [8] 10 } on kokonaisalue. Mikä

Lisätiedot

Analyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1

Analyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1 Analyysi III Jari Taskinen 28. syyskuuta 2002 Luku Sisältö Sarjat 2. Lukujonoista........................... 2.2 Rekursiivisesti määritellyt lukujonot.............. 8.3 Sarja ja sen suppenminen....................

Lisätiedot

3. Kirjoita seuraavat joukot luettelemalla niiden alkiot, jos mahdollista. Onko jokin joukoista tyhjä joukko?

3. Kirjoita seuraavat joukot luettelemalla niiden alkiot, jos mahdollista. Onko jokin joukoista tyhjä joukko? HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät luentokalvoihin 1 14. Erityisesti esimerkistä 4 ja esimerkin

Lisätiedot

LUKUTEORIAN ALKEET KL 2007

LUKUTEORIAN ALKEET KL 2007 LUKUTEORIAN ALKEET KL 2007 HELI TUOMINEN Sisältö 1. Lukujärjestelmät 2 1.1. Kymmenjärjestelmä 2 1.2. Muita lukujärjestelmiä 2 1.3. Yksikäsitteisyyslause 4 2. Alkulukuteoriaa 5 2.1. Jaollisuus 6 2.2. Suurin

Lisätiedot

Lukuteoria. Eukleides Aleksandrialainen (n. 300 eaa)

Lukuteoria. Eukleides Aleksandrialainen (n. 300 eaa) Lukuteoria Lukuteoria on eräs vanhimmista matematiikan aloista. On sanottu, että siinä missä matematiikka on tieteiden kuningatar, on lukuteoria matematiikan kuningatar. Perehdymme seuraavassa luonnollisten

Lisätiedot

Ideaalit ja tekijärenkaat Ryhmähomomorfismin φ : G G ydin on ryhmän G normaali aliryhmä. Esko Turunen Luku 7. Ideaalit ja tekijärenkaat

Ideaalit ja tekijärenkaat Ryhmähomomorfismin φ : G G ydin on ryhmän G normaali aliryhmä. Esko Turunen Luku 7. Ideaalit ja tekijärenkaat Ideaalit ja tekijärenkaat Ryhmähomomorfismin φ : G G ydin on ryhmän G normaali aliryhmä. Ideaalit ja tekijärenkaat Ryhmähomomorfismin φ : G G ydin on ryhmän G normaali aliryhmä. Rengashomomorfismi ψ :

Lisätiedot

Teemu Ojansivu Polynomien resultanteista

Teemu Ojansivu Polynomien resultanteista PRO GRADU -TUTKIELMA Teemu Ojansivu Polynomien resultanteista TAMPEREEN YLIOPISTO Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Helmikuu 2015 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ojansivu,

Lisätiedot