d Z + 17 Viimeksi muutettu

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "d Z + 17 Viimeksi muutettu"

Transkriptio

1 5. Diffien ja Hellmanin avaintenvaihto Miten on mahdollista välittää salatun viestin avaamiseen tarkoitettu avain Internetin kaltaisen avoimen liikennöintiväylän kautta? Kuka tahansahan voi (ainakin periaatteessa) lukea kaikkea, mitä Internet-verkon kautta välitetään. Eräs varhaisimmista tällaiseen tarkoitukseen sopivista menetelmistä on peräisin W. Diffieltä ja M. E. Hellmanilta. Tämän Diffien ja Hellmanin avaintenvaihtomenetelmän turvallisuus perustuu ns. diskreettilogaritmiongelmaan. Laskettavat suureet ovat eksponenttifunktion diskreettejä sukulaisia, mutta ongelma on käänteisfunktion, diskreetin logaritmin, määrääminen. Diskreetin logaritmin käsittelyyn kaivataan kuitenkin lisätietoja kunnista Z p (p alkuluku) Primitiivinen alkio. Tarkastellaan äärellistä kuntaa K, siis kommutatiivista rengasta, jossa jokaisella nollasta eroavalla alkiolla on käänteisalkio, ja jossa on äärellisen monta alkiota. Tällaisia ovat esimerkiksi jäännösluokkarenkaat Z p, kun p on alkuluku, mutta muitakin on (Z n ei ole kunta, jos n ei ole alkuluku). Se tarkemmin yksityiskohtiin puuttumatta mainittakoon, että jos K on äärellinen kunta, sen alkioiden lukumäärä q on muotoa q = p n, missä p on alkuluku ja n Z +. Kääntäen, jos q = p n, missä p on alkuluku ja n Z +, niin on olemassa oleellisesti yksi ja vain yksi kunta, jossa on q alkiota. ( Oleellisesti tarkoittaa, että mitkä tahansa kaksi äärellistä kuntaa, joissa on yhtä monta alkiota, ovat rengasisomorfiset.) Olkoon nyt äärellinen K kunta, jossa on q alkiota. Tällöin sen kääntyvien alkioiden joukko K = K \ {0} on kertolaskun suhteen Abelin ryhmä. (Vastaava tapahtuu jäännösluokkarenkaille Z n, mutta kääntyvien alkioiden joukko Z n on vaikeampi karakterisoida.) Ryhmän (K, ) kertaluku on q 1. Palautetaan mieleen, että (multiplikatiivinen) ryhmä on G syklinen, jos on olemassa alkio g G siten, että G = g = {g k k Z}. Osoitetaan seuraavaksi, että äärellisen kunnan multiplikatiivinen ryhmä K on syklinen. Tämän todistamiseksi riittää osoittaa, että on olemassa ainakin yksi alkio g K, jonka kertaluku on q 1. Väitteen todistus tulee antamaan hieman enemmän: jokaista luvun q 1 tekijää d kohti on olemassa alkioita, joiden kertaluku on d. Lisäksi tällaisten alkioiden lukumäärä pystytään laskemaan. Väitteen todistamiseksi tarvitaan Eulerin ϕ-funktioon liittyvä kaunis kaava: Lause 5.1. Olkoon n positiivinen kokonaisluku. Tällöin ϕ(d) = n, d Z + d n missä summa lasketaan kaikille sellaisille luvuille d Z +, jotka jakavat luvun n. Ennen lauseen todistamista yleisesti tarkastellaan yksinkertaista numeerista esimerkkiä, josta todistuksen idea selviää. Luvun n = 6 jakajat ovat d {1, 2, 3, 6} =: D. Osamäärät j, missä j {1,..., 6}, voidaan esittää supistetussa muodossa ja sen jälkeen ne voidaan ryhmitellä nimittäjän mukaan 6 seuraavasti: T := { j 6 j {1,..., 6}} = { 1 6, 1 3, 1 2, 2 3, 5 6, 1 1 } = S 1 S 2 S 3 S 6, missä S 1 = { 1}, S 1 2 = { 1}, S 2 3 = { 1, 2} ja S = { 1, 5 }, t.s. yleisesti jokaiselle d D 6 6 on S d := { t t {1,..., d} ja syt(t, d) = 1}. Tässä esimerkkitilanteessa joukko d 17 Viimeksi muutettu

2 T jakautuu pistevieraisiin osiin S d, joten joukkojen alkioiden lukumääriä on helppo verrrata. Vastaava voidaan tehdä yleisesti. Todistus. Olkoot D := {d Z + d n}, T := { j j {1,..., n}} ja n S d := { t t {1,..., d} ja syt(t, d) = 1}, kun d D. d Tällöin joukon T alkioiden lukumäärä on n ja joukon S d vastaavasti ϕ(d). Osoitetaan, että T = d D S d, ja että joukot S d ovat pistevieraita. Kun tämä osoitettu, väite seuraa välittömsti. T d D S d: Joukon T jokainen luku on muotoa j jollekin j {1,..., n}. Olkoon n s := syt(j, n). Tällöin on olemassa kokonaisluvut t ja d siten, että j = t s ja n = d s. Luvuille t ja d on syt(t, d) = 1, t {1,..., d}, d {1,..., n} ja d n, joten d D ja j = t S n d d. T d D S d: Olkoot d D, jolloin tyypillinen joukon S d luku on muotoa t, missä d t {1,..., d}. Olkoot s := n ja j := t s. Tällöin s Z d +, j {1,..., n} ja t = j, d n joten t T. d S d S d =, kun d d : Tehdään antiteesi: on olemassa d, d D siten, että d d, mutta S d S d. Olkoon r S d S d. Tällöin on olemassa t {1,..., d} ja t {1,..., d } siten, että r = t = t ja syt(t, d) = 1 ja syt(t, d ) = 1. Tällöin d d t d = t d. Koska syt(t, d) = 1 ja d t d = t d, on d d, joten on olemassa k Z + siten, että d = k d. Siis t d = t d = t k d, joten t = t d = t k. Mutta tällöin luvuilla t ja d on yhteinen tekijä k, mikä on vastoin oletusta lukuunottamatta sitä tilannetta, että k = 1. Mutta jos k = 1, olisi d = d, mikä on vastoin oletusta. Siis antiteesi on väärä, ja S d S d =. Lause 5.2. Olkoon K äärellinen kunta, jossa on q alkiota. Tällöin jokaiselle luvun q 1 jakajalle d ryhmässä K on täsmälleen ϕ(d) alkiota, jonka kertaluku on d. Erityisesti ryhmässä K on ϕ(q 1) alkiota, jonka kertaluku on q 1. Todistus. Koska ryhmässä K on q 1 alkiota, on sen jokaisen alkion kertaluku luvun q 1 tekijä (lause 3.2). Olkoon d luvun q 1 tekijä. Olkoon ψ(d) kaikkien niiden ryhmän K alkioiden lukumäärä, joiden kertaluku on d. Väite seuraa, kun osoitetaan, että ψ(d) = ϕ(d). Oletetaan aluksi, että ψ(d) > 0, ja osoitetaan tämän avulla, että ψ(d) = ϕ(d). Ehto ψ(d) > 0 merkitsee, että ryhmässä K on ainakin yksi alkio, jonka kertaluku on d. Olkoon a K, jonka kertaluku on d. Alkion potenssit a e, 0 e < d, ovat keskenään erisuuria, koska alkion a kertaluku on d. Toisaalta, jokainen potenssi a e on polynomin x d 1 nollakohta, koska (a e ) d 1 = (a d ) e 1 = 0. Koska polynomin x d 1 aste on d, on sillä enintään d nollakohtaa. (Tämä kaipaa hieman lisäperusteluja; Rabinin salaimen yhteydessä nähtiin, että alkiolla [c] n Z n voi olla neljä neliöjuurta, t.s. polynomilla voi olla astelukuaan enemmän nollakohtia.) Siis tässä tilanteessa polynomilla x d 1 on täsmälleen d nollakohtaa, ja ne ovat potenssit a e, 0 e < d. Se, että alkion kertaluku on d tarkoittaa, että se on polynomin x d 1 nollakohta, joten jokainen kertalukua d oleva alkio on jokin alkion a potenssi a e. Aiemmin todistetun nojalla alkion a potenssin a e kertaluku on d, jos ja vain jos syt(e, d) = 1. Kertalukua 37

3 d olevia alkioita on siis yhtä monta kuin lukuja e, joille 0 e < d ja syt(e, d) = 1. Tällaisia lukuja on ϕ(d) kappaletta. Siis kertalukua d olevia alkioita on ϕ(d) kappaletta, jos sellaisia ylipäätään on olemassa. Osoitetaan lopuksi, että ψ(d) > 0 jokaiselle luvun q 1 tekijälle. Tehdään antiteesi: Luvulla q 1 on tekijä d siten, että ψ(d) = 0. Todistuksen alkuosassa osoitettiin, että jos ψ(d) > 0, niin ψ(d) = ϕ(d). Jos taas ψ(d) = 0, niin 0 = ψ(d) < ϕ(d). Koska ryhmän K jokaisen alkion kertaluku on luvun q 1 tekijä, antaa summa d Z +, d q 1 ψ(d) ryhmän K alkioiden lukumäärään. Siis edellisessä lauseessa Eulerin ϕ-funktiolle todistetun kaavan nojalla saadaan q 1 = ψ(d) < ϕ(d) = q 1. d Z +, d q 1 d Z +, d q 1 38 Päädytään ristiriitaan, jos oletetaan, että ψ(d) = 0 jollekin luvun q 1 tekijälle d. Määritelmä 5.3. Olkoon K äärellinen kunta. Alkiota g K, jonka virittämä ryhmä g = {g k k Z} on K, kutsutaan kunnan K primitiiviseksi alkioksi. Edellisen lauseen nojalla äärellisellä kunnalla, jossa on q alkiota, on ϕ(q 1) primitiivistä alkiota. Huomautus 5.4. Edellisesta lauseesta 5.2 tarvitaan ennenkaikkea tieto, että jokaisella äärellisellä kunnalla on primitiivinen alkio. Tämä voitaisiin todistaa yksinkertaisemminkin. Nimittäin, äärellisen kunnan jokaisella nollasta eroavalla alkiolla on äärellinen kertaluku. Koska näitä kertalukuja on äärellisen monta, voidaan niistä valita suurin. Olkoon se d, ja olkoon a K jokin alkio, jonka kertaluku on d. Tällöin potenssit a, a 2,..., a d = 1 ovat keskenään erisuuret. Ne ovat polynomin x d 1 nollakohtia, ja koska niitä on asteluvun mukaiset d kappaletta, muita nollakohtia polynomilla x d 1 ei ole. Jos d < q 1, on olemassa b K, joka ei ole mikään alkion a potenssi. Suurimmalla kertaluvulla d on kuitenkin se ominaisuus, että minkä tahansa muun alkion kertaluku jakaa kertaluvun d. Erityisesti alkion b kertaluvun pitäisi jakaa d. Mutta jos alkion b kertaluku jakaa luvun b, toteuttaa b yhtälön b d 1 = 0. Tällöin b olisi polynomin x d 1 nollakohtia, joten se olisi jokin potensseista a, a 2,..., a d = 1. Päädytään ristiriitaan. Katso tarkemmin [10, luku VIII, 3] tai [4, 1.7]. Edellä esitetyn todistuksen etuna tähän päättelyyn nähden on, että se kertoo jotain erilaisten alkioiden lukumääristä Eulerin ϕ-funktion avulla. Haittapuolelle jää se, että lauseelle 5.2 esitetty todistus ei ole sen konstruktiivisempi kuin tässä esitetty todistushahmotelma. RSA-menetelmän yhteydessä käytettiin tulosta (lemma 3.13), jonka todistamiseksi olisi tarvittu kunnan primitiivista alkiota: Lukuja a Z +, joille syt(a, n) = 1 ja jäännösluokkien [a k ] p ja [a k ] q kertaluvut ovat keskenään erisuuret, on ainakin (p 1)(q 1)/2 kappaletta. Kerrataan merkintöjä: Luvut p ja q ovat keskenään erisuuria parittomia alkulukuja, n = p q, e (1, ϕ(n)) on kääntyvä modulo ϕ(n) ja d (1, ϕ(n)) on luvun e käänteisalkio modulo ϕ(n). Luku s valittiin niin, että se on suurin positiivinen kokonaisluku, jolle 2 s d e 1; tällöin d e 1 = 2 s k, missä k on pariton. Tälle luvun k valinnalle alkion [a k ] n kertaluku ryhmässä Z n on muotoa 2 j jollekin j {0, 1,..., s}.

4 Lemman 3.11 jälkeisen tarkastelun nojalla alkion [a k ] p kertaluku ryhmässä Z p on muotoa 2 t jollekin t j. Vastaava pätee myös alkion [a k ] q kertaluvulle. Lauseen 3.6 nojalla: jos alkion g kertaluku on d, alkion g j kertaluku on d/ syt(d, j). Lemman 3.13 todistus. Edellisen lauseen nojalla äärellisellä kunnalla Z p on primitiivinen alkio [g p ] p. Vastaavasti kunnalla Z q on primitiivinen alkio [g q ] q. Kiinalaisen jäännöslauseen nojalla on olemassa kokonaisluku g siten, että g g p mod p ja g g q mod q. Tällöin [g] p on kunnan Z p primitiivinen alkio ja [g] q on kunnan Z q primitiivinen alkio. Kaikille luvun g potensseille g x on syt(g x, n) = 1. Nimittäin muuten olisi syt(g x, p) > 1 tai syt(g x, q) > 1. Jos syt(g x, p) > 1, olisi p g, jolloin g 0 mod p, eikä [g] p voisi olla kunnan kunnan Z p primitiivinen alkio. Lemman 3.11 nojalla alkioiden [g k ] p ja [g k ] q kertaluvut kunnissa Z p ja Z q ovat muotoa 2 j, missä j s. Koska g antaa primitiiviset alkiot kuntiin Z p ja Z q, on luonnollista, että luvut a etsitään luvun g potensseina. Oletetaan aluksi, että jäännösluokan [g k ] p kertaluku d on suurempi kuin jäännösluokan [g k ] q, jonka kertaluku olkoon d. Olkoot x {1, 2,..., p 1} pariton ja y {0, 1,..., q 2}. Olkoon a pienin ei-negatiivinen kokonaisluku, joka ratkaisee kongruenssiparin (5.1) a g x mod p, a g y mod q. Tällöin a {1, 2,..., n 1}. Koska [a k ] p = [a] k p = [g x ] k p = [(g x ) k ] p = [(g k ) x ] p = [g k ] x p, alkion [g k ] p kertaluku d on muotoa 2 j ja x on pariton, on alkion [a k ] p kertaluku d/ syt(d, x) = d. Vastaavasti, koska [a k ] q = [g y ] k q = [g k ] y q ja alkion [g k ] q kertaluku on d, on alkion [a k ] q kertaluku d / syt(d, y) d. Koska oletettiin, että d > d, on siis alkion [g k ] p kertaluku suurempi kuin alkion [a k ] q kertaluku. Kahta eri paria (x, y) vastaavat kongruenssiparin (5.1) ratkaisut ovat keskenään erisuuret. Jos nimittäin myös pari (x, y ) toteuttaa kongruenssiparin (5.1), niin g x g x mod p ja g y g y mod q. Koska [g] p on kunnan Z p primitiivinen alkio ja x, x {1, 2,..., p 1}, on x = x. Vastaavasti y = y. Tästä seuraa, että tällä tavalla löytyviä lukuja a on (p 1)(q 1)/2 kappaletta. Oletetaan nyt, että jäännösluokkien [g k ] p ja [g k ] q kertaluvut ovat yhtä suuret. Koska ainoa alkio, jonka kertaluku on yksi, on neutraalialkio [1], on jäännösluokkien [g k ] p ja [g k ] q yhteinen kertaluku d 2. Olkoot x {1, 2,..., p 1} pariton ja y {0, 1,..., q 2} parillinen. Kuten edellä olkoon a pienin ei-negatiivinen kokonaisluku, joka ratkaisee kongruenssiparin (5.1). Koska alkion [g k ] p kertaluku d on muotoa 2 j ja x on pariton, on alkion [a k ] p = [g k ] x p kertaluku d/ syt(d, x) = d. Koska alkion [g k ] q kertaluku d on muotoa 2 j, d 2 ja y on parillinen, on alkion [a k ] q = [g k ] y q kertaluku d/ syt(d, y) d/2 < d. On helppo todeta, että kahta eri paria (x, y) vastaavat kongruenssiparin (5.1) ratkaisut ovat keskenään erisuuret. Tällä tavalla löytyviä lukuja a on (p 1)(q 1)/4 kappaletta. Loput ratkaisut a löydetään kongruenssiparin (5.1) ratkaisuina, missä nyt x {0, 1,..., p 1} on parillinen ja y {0, 1,..., q 2} pariton. 39

5 5.2. Polynomien nollakohdista. Lauseen 5.2 todistus käytti vahvasti apunaan sitä tuttua tietoa, että d-asteisella polynomilla on enintään d nollakohtaa. Rabinin salaimen yhteydessä kuitenkin nähtiin, että toisen asteen yhtälöllä x 2 = c voi olla neljä ratkaisua renkaassa Z n. Tilanne kuitenkin normalisoituu, kun polynomin kertoimet ovat jonkin kunnan alkioita, eivät mielivaltaisen (kommutatiivisen) renkaan alkioita. Muistetaan, että kun K on kunta, niin K-kertoimiset polynomit f(x) ovat äärellisiä summia f(x) = a 0 + a 1 x + + a d x d, missä a 0, a 1,..., a d K. Nollasta eroavan polynomin aste on suurin luku d Z siten, että a d 0. Mekitään deg f(x) = d. Nollapolynomin asteeksi sovitaan. Polynomeista tarkemmin (todistuksineen) löytyy Algebran kurssista tai vaikka kirjoista [10, luku V, 1], [1, 2.18, 2.19] ja [2, 2.4]. Oleellinen apuväline polynomien käsittelyssä on jakoyhtälö, jonka todistus on lähinnä (induktiomuotoon kirjoitettu variantti) polynomien jakolaskusta jakokulmassa. Oleellista tässä jakolaskussa on, että nollasta eroavalla johtavalla kertoimella voidaan jakaa; tämä onnistuu, kun kertoimien joukkona on kunta. Seuraavissa päättelyissä käytetään myös tietoa deg(f(x) g(x)) = deg f(x) + deg g(x). Tämäkin pitää paikkansa, kun polynomit ovat kuntakertoimisia, mutta ei enää yleisemmin. Lause 5.5 (Polynomien jakoyhtälö). Olkoot K kunta sekä f(x) ja g(x) muuttujan x K-kertoimisia polynomeja. Oletetaan, että g(x) ei ole nollapolynomi. Tällöin on olemassa yksikäsitteisesti määrätyt K-kertoimiset polynomit q(x) ja r(x) siten, että f(x) = q(x) g(x) + r(x) ja deg r(x) < deg g(x). Alkio a K on K-kertoimisen polynomin f(x) = a 0 + a 1 x + + a d x d nollakohta (tai yhtälön f(x) = 0 juuri), jos a 0 + a 1 a + + a d a d = 0. Seuraus 5.6. Olkoot K kunta, f(x) muuttujan x K-kertoiminen polynomi ja a K. Tällöin a on polynomin f(x) nollakohta, jos ja vain jos f(x) = q(x) (x a) jollekin K-kertoimiselle polynomille q(x) (t.s. jos ja vain jos polynomi x a jakaa polynomin f(x)). Todistus. Jos f(x) = q(x) (x a), niin a on polynomin f(x) nollakohta. Kääntäen, sovelletaan polynomien jakoyhtälöä jakajaan g(x) := x a. Tällöin f(x) = q(x) (x a)+r(x), missä jakojäännökselle on deg r(x) < deg(x a) = 1, joten r(x) on vakio =: b. Koska a on polynomin f(x) nollakohta, saadaan 0 = q(a) (a a) + b = b. Siis f(x) = q(x) (x a). Seuraus 5.7. Olkoot K kunta ja f(x) nollasta eroava muuttujan x K-kertoiminen polynomi. Tällöin polynomilla f(x) on enintään deg f(x) nollakohtaa. Todistus. Olkoon d := deg f(x). Jos d = 0, on f(x) = a 0 0, joten polynomilla f(x) on nolla nollakohtaa. Olkoon d > 0. Jos polynomilla f(x) ei ole nollakohtia, on väite tosi. Oletetaan nyt, että polynomilla f(x) on nollakohta a 1 K. Edellisen seurauksen nojalla on olemassa polynomi f 1 (x) siten, että f(x) = f 1 (x) (x a 1 ). Tällöin d = deg f(x) = deg f 1 (x) + deg(x a 1 ) = deg f 1 (x) + 1, joten deg f 1 (x) = d 1. Toistamalla tätä päättelyä löydetään a 2,..., a k K ja polynomit f 2 (x),..., f k (x) siten, että f(x) = f k (x) (x a 1 ) (x a k ). Tässä alkiot a j ovat polynomin f(x) nollakohtia ja deg f k (x) = d k, joten pitää olla k d. 40

6 5.3. Gaussin algoritmi primitiivisen alkion määräämiseksi. Seuraavassa alkion a kertalukua ryhmässä G merkitään ord G (a) tai lyhyesti ord(a). Lauseen 3.6 nojalla ryhmästä G valitun alkion a potenssien a k kertaluvut ovat enintään alkion a kertaluvun suuruisia. Etsittäessä äärelliselle kunnalla K primitiivistä alkiota, tarvitaan jokin menetelmä, jolla jo valitun alkion kertalukua voidaan nostaa. Seuraava lemma antaa idean siihen, miten kertaluku saadaan kasvamaan nopeimmin. Ryhmän laskutoimitus olkoon kertolasku, vaikka ryhmä oletetaankin kommutatiiviseksi (tulosta on tarkoitus soveltaa ryhmään (K, )). Lemma 5.8. Olkoot G äärellinen Abelin ryhmä ja a, b G siten, että niiden kertaluvut ovat keskenään jaottomat, syt(ord(a), ord(b)) = 1. Tällöin ord(a b) = ord(a) ord(b). Todistus. Olkoot n := ord(a), m := ord(b) ja k := ord(a b). Tällöin (a b) n m = a n m b n m = (a n ) m (b m ) n = e m e n = e, joten k n m. Toisaalta e = e n = (a b) n k = (a n ) k b n k = e k b n k = b n k, joten m n k. Koska syt(n, m) = 1, on m k. Vastaavalla tavalla todetaan, että n k. Koska syt(n, m) = 1, on n m k. Siis k = n m. Gaussin algoritmi antaa menetelmän, jolla löydetään jono alkioita a j K siten, että ord(a 1 ) < ord(a 2 ) <.... Koska alkioiden kertaluvut ovat kokonaislukuja ja kunnassa K on vain äärellisen monta alkiota, näin saatu jono päättyy alkioon, jonka pitää olla kunnan primitiivinen alkio. 1 Valitaan a 1 K, a 1 0. Olkoon t 1 := ord(a 1 ). 2 Jos t 1 = q 1, niin a 1 on kunnan K primitiivinen alkio. 3 Jos t 1 < q 1, valitaan b K \ a 1. Olkoon s := ord(b). Jos s = q 1, niin b on kunnan K primitiivinen alkio. 4 Jos s < q 1, määrätään luvut d ja e Z + siten, että d t 1, e s, syt(d, e) = 1 ja d e = pyj(t 1, s). Asetetaan a 2 := a t 1/d 1 b s/e ja t 2 := pyj(t 1, s). Vaihdetaan edellä alion a 1 tilalle a 2 ja luvun t 1 tilalle t 2, ja toistetaan kohdasta 2. Todistuksen sijasta tyydytään muutamaan selittävään kommentiin: (i) Alkion b kertaluku s ei voi olla luvun t 1 tekijä; muutoin olisi b t 1 = 1, jolloin b olisi yhtälön x t 1 1 = 0 juuri. Mutta tällä yhtälöllä on jo t 1 eri juurta a j 1, 1 j t 1, ja b siis kuuluisi joukkoon a 1. Tästä seuraa myös, että pyj(t 1, s) > t 1. (ii) Kohdan 4 väite luvuille d ja e on yleinen: Kun m Z + ja n Z +, niin on olemassa luvut d ja e siten, että d m, e n, syt(d, e) = 1 ja d e = pyj(m, n). Väite on helppo todistaa esimerkiksi aritmetiikan peruslauseen avulla (ja jätetään lukijan tehtäväksi). (iii) Kohdassa 4 alkion a t 1/d 1 kertaluku on d ja alkion b s/e kertaluku on e. Edellisen lemman nojalla näiden tulon kertaluku on d e = pyj(t 1, s) > t 1. 41

7 Kuva 5.1. Diskreetti eksponettifunktio kunnalle Z p, kun p = 997 ja g = 7. Kuvasta käy hyvin ilmi, että kun [A] p Z p on annettu (yakselilta), ei diskreetin logaritmin a (x-akselilta), jolle [A] p = [g] a p, löytäminen ole lainkaan ilmeistä. Kuvaan on merkitty pisteet (a, A), joille 445 A Diskreetti logaritmi. Olkoon p alkuluku. Edellä todistetun nojalla kunnalla Z p on primitiivinen alkio, t.s. on olemassa kokonaisluku g {1, 2,..., p 1} siten, että {[g] k p k Z} = Z p. Koska primitiivisen alkion kertaluku on p 1, on Z p = {[g] k p k {0, 1,..., p 2}}. Jokaiselle kokonaisluvulle A {1, 2,..., p 1} on olemassa yksi ja vain yksi a {0, 1,..., p 2} siten, että [A] p = [g] a p t.s. A g a mod p. Lukua a kutsutaan luvun A g-kantaiseksi diskreetiksi logaritmiksi; merkitään a =: dlog g A. (Yhtä hyvin, tai paremminkin voitaisiin sanoa, että luku a on alkion [A] p [g] p - kantainen diskreetti logaritmi, jolloin diskreettiä logaritmia olisi luonnollista merkitä a = dlog [g]p [A] p.) Kuvausta Z Z p, a [g] a p, on vastaavasti luonnollista kutsua diskreetiksi [g] p -kantaiseksi eksponenttifunktioksi. Huomaa, että tämä kuvaus on jaksollinen, jakson pituutena alkion [g] p kertaluku. Huomautus 5.9. Diskreetti eksponenttifunktio ja diskreetti logaritmifunktio ovat luonnollisia käsitteitä minkä tahansa sykliselle ryhmälle G = g. Jos virittävän alkion g kertaluku on d, on kuvaus Z G, a g a, d-jaksoinen diskreetti g-kantainen eksponenttifunktio, ja kuvaus G {1, 2,..., d}, A dlog g A = a, kun A = g a ja a {1, 2,..., d}, on g-kantainen diskreetti logaritmi. Eräs varsin tärkeä ryhmä saadaan

8 ns. elliptisistä käyristä, kun ne varustetaan näihin käyriin liittyvällä yhteenlaskulla. Katso [1, 12.2], [8, luku VI], [9, luku 6] tai [16]. Jos ryhmäksi valitaan additiivinen ryhmä (Z n, +), jolla on virittäjä g = [1] n, on diskreetti eksponenttifunktio kuvaus Z Z n, a a [1] n = [a] n. Alkion A Z n diskreetti logaritmi on a {1, 2,..., n}, jolle A = a [1] n. Ryhmän (Z n, +) muut virittäjät ovat g = [c] n, missä syt(c, n) = 1. Tälle kanta-alkiolle alkion A Z n diskreetin logaritmin määrääminen palautuu Eukleideen algoritmiin: pitää määrätä a {1, 2,..., n}, jolle A = a [c] n = [a] n [c] n, t.s. [a] n = [c] 1 n A. Se, että diskreetilla eksponenttifunktiolla ja diskreetillä logaritmifunktiolla on merkitystä salausmenetelmissä, perustuu siihen, että kunnan Z p tapauksessa diskreetin eksponenttifunktion laskeminen on helppoa (muista toistettu neliöinti), mutta diskreetin logaritmin määräämiseen ei tunneta nopeita menetelmiä Diffien ja Hellmanin avaintenvaihto. Kun Liisa ja Pentti haluavat sopia yhteisestä salausavaimesta, he voivat menetellä seuraavasti: Aluksi valitaan (suuri) alkuluku p ja kunnan Z p primitiivinen alkio γ := [g] p. Luku p ja alkio γ ovat julkisia suureita. Luvulta g voidaan olettaa, että 2 g p 2. Muistettekoon, että primitiiviselle alkiolle γ on voimassa {γ k k {0, 1,..., p 2}} = Z p = Z p \ {0}. Liisa valitsee satunnaisesti luvun a {0, 1,..., p 2} ja laskee A := γ a. Liisa pitää luvun a salaisena avaimenaan ja lähettää Pentille alkion A. Pentti valitsee satunnaisesti luvun b {0, 1,..., p 2} ja laskee B := γ b. Pentti pitää luvun b salaisena avaimenaan ja lähettää Liisalle alkion B. Liisa ja Pentti pystyvät nyt määräämään yhteisen salausavaimen: Liisa pystyy laskemaan B a = (γ b ) a = γ a b. Vastaavasti Pentti voi laskea A b = (γ a ) b = γ a b. Yhteinen salausavain on siis K = γ a b. On selvää, että Erkki pystyy saamaan selville Liisan ja Pentin yhteisen salausavaimen K, jos Erkki pystyy ratkaisemaan ns. diskreettilogaritmiongelman: Kun on annettuna kunnan Z p primitiivinen alkio γ ja C Z p, on määrättävä c {0, 1,..., p 2} siten, että γ c = C. Diskreettilogaritmiongelman ratkaiseminen ei ole välttämätöntä sille, että Erkki saisi selville Liisan ja Pentin yhteisen salausavaimen. Riittää, että Erkki pystyy ratkaisemaan Diffien ja Hellmanin ongelman: Kun on annettuna kunnan Z p primitiivinen alkio γ sekä alkiot A = γ a ja B = γ b, on määrättävä K = γ a b suureiden γ, A ja B avulla. On helppo todeta, että jos Erkki pystyy ratkaisemaan diskreettilogaritmiongelman, pystyy hän ratkaisemaan Diffien ja Hellmanin ongelman. Ei kuitenkaan tiedetä, voidaanko Diffien ja Hellmanin ongelma ratkaista muuten kuin ratkaisemalla diskreettilogaritmiongelma, t.s. laskemalla diskreettejä logaritmeja. 43

9 5.6. ElGamalin salain. W. Diffien ja E. M. Hellmanin avaintenvaihtomenetelmä on (kirjoittajan käsityksen mukaan) peräisin vuodelta 1976 ja on ensimmäinen julkisavaimen vaihtoon esitetty menetelmä. Siihen läheisesti liittyvä T. ElGamalin salausmenetelmä on vuodelta ElGamalin menetelmän hyvänä puolena on mm. se, että se soveltuu yhtä hyvin elliptisten käyrien avulla tapahtuvaan salaukseen kuin tässä esiteltävään kunnan Z p tilanteeseen. ElGamalin menetelmässä Liisa valitsee satunnaisesti luvun a {0, 1,..., p 2} ja laskee A := γ a. Liisan julkisavain on pari (γ, A) ja salainen avain luku a. Selväkielisten ja salattujen viestien joukko on Z p = {0, 1,..., p 1} (tässä [x] p Z p ja x Z samaistetaan). Kun Pentti haluaa lähettää Liisalle viestin m Z p, hän valitsee satunnaisesti luvun b {0, 1,..., p 2} ja laskee B := γ b. Penti salaa viestin m laskemalla c := A b m. Pentti lähettää Liisalle parin (B, c). Liisa avaa vastaanottamansa viestin (B, c) laskemalla m := (B a ) 1 c. Tässä esiintyvän käänteisalkion laskemiseen sijasta Liisa voi laskea m = B p 1 a c. Nimittäin B p 1 = (γ b ) p 1 = (γ p 1 ) b = 1 b = 1, joten B p 1 a = B p 1 B a = B a. Liisan laskema suure m alkuperäinen viesti m, sillä m = (B a ) 1 c = (γ b ) a A b m = (γ a ) b (γ a ) b m = m. Huomautus Vaikka Diffien ja Hellmanin avaintenvaihtomenetelmä tuleekin tässä yhteydessä esiin lähinnä ElGamalin salausmenetelmän apuvälineenä, voidaan sitä käyttää yleisemminkin. Diffien ja Hellmanin avaintenvaihto mahdollistaa yhteisen salausavaimen K määräämisen. Kun avain K Z p tulkitaan bittijonoksi (b 1,..., b k ) Z k 2 (tietokoneelle se on valmiiksi sitä), voidaan bittijono (m 1,..., m k ) Z k 2 salata yksinkertaisesti komponenteittaisella Z 2 -yhteenlaskulla, (m 1,..., m k ) (m 1,..., m k ) (b 1,..., b k ) = (m 1 + b 1,..., m k + b k ). Tämän menetelmän etuihin kuuluu laskennallinen tehokkuus; käytetty komponenteittainen Z 2 -yhteenlasku (tietokoneelle bittikohtainen XOR), on tietokoneelle lähes ilmainen laskutoimistus. 44

on Abelin ryhmä kertolaskun suhteen. Tämän joukon alkioiden lukumäärää merkitään

on Abelin ryhmä kertolaskun suhteen. Tämän joukon alkioiden lukumäärää merkitään 5. Primitiivinen alkio 5.1. Täydennystä lukuteoriaan. Olkoon n Z, n 2. Palautettakoon mieleen, että kokonaislukujen jäännösluokkarenkaan kääntyvien alkioiden muodostama osajoukko Z n := {x Z n x on kääntyvä}

Lisätiedot

n (n 1) avainten vaihtoa. Miljoonalle käyttäjälle avainten vaihtoja tarvittaisiin

n (n 1) avainten vaihtoa. Miljoonalle käyttäjälle avainten vaihtoja tarvittaisiin 3. RSA Salausjärjestelmien käytön perusongelma oli pitkään seuraava: Kun Liisa ja Pentti haluavat vaihtaa salakirjoitettuja viestejä keskenään ja jos heidän käyttämänsä salausmenetelmä on symmetrinen,

Lisätiedot

R : renkaan R kääntyvien alkioiden joukko; R kertolaskulla varustettuna on

R : renkaan R kääntyvien alkioiden joukko; R kertolaskulla varustettuna on 0. Kertausta ja täydennystä Kurssille Äärelliset kunnat tarvittavat esitiedot löytyvät Algebran kurssista [Alg]. Hyödyksi voivat myös olla (vaikka eivät välttämättömiä) Lukuteorian alkeet [LTA] ja Salakirjoitukset

Lisätiedot

Nimittäin, koska s k x a r mod (p 1), saadaan Fermat n pienen lauseen avulla

Nimittäin, koska s k x a r mod (p 1), saadaan Fermat n pienen lauseen avulla 6. Digitaalinen allekirjoitus Digitaalinen allekirjoitus palvelee samaa tarkoitusta kuin perinteinen käsin kirjotettu allekirjoitus, t.s. Liisa allekirjoittaessaan Pentille lähettämän viestin, hän antaa

Lisätiedot

R 1 = Q 2 R 2 + R 3,. (2.1) R l 2 = Q l 1 R l 1 + R l,

R 1 = Q 2 R 2 + R 3,. (2.1) R l 2 = Q l 1 R l 1 + R l, 2. Laajennettu Eukleideen algoritmi Määritelmä 2.1. Olkoot F kunta ja A, B, C, D F [x]. Sanotaan, että C jakaa A:n (tai C on A:n jakaja), jos on olemassa K F [x] siten, että A = K C; tällöin merkitään

Lisätiedot

ja jäännösluokkien joukkoa

ja jäännösluokkien joukkoa 3. Polynomien jäännösluokkarenkaat Olkoon F kunta, ja olkoon m F[x]. Polynomeille f, g F [x] määritellään kongruenssi(-relaatio) asettamalla g f mod m : m g f g = f + m h jollekin h F [x]. Kongruenssi

Lisätiedot

7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi

7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi 7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi Z p [x]/(m), missä m on polynomirenkaan Z p [x] jaoton polynomi (ks. määritelmä 3.19).

Lisätiedot

Mitään muita operaatioita symbolille ei ole määritelty! < a kaikilla kokonaisluvuilla a, + a = kaikilla kokonaisluvuilla a.

Mitään muita operaatioita symbolille ei ole määritelty! < a kaikilla kokonaisluvuilla a, + a = kaikilla kokonaisluvuilla a. Polynomit Tarkastelemme polynomirenkaiden teoriaa ja polynomiyhtälöiden ratkaisemista. Algebrassa on tapana pitää erillään polynomin ja polynomifunktion käsitteet. Polynomit Tarkastelemme polynomirenkaiden

Lisätiedot

x j x k Tällöin L j (x k ) = 0, kun k j, ja L j (x j ) = 1. Alkuperäiselle interpolaatio-ongelmalle saadaan nyt ratkaisu

x j x k Tällöin L j (x k ) = 0, kun k j, ja L j (x j ) = 1. Alkuperäiselle interpolaatio-ongelmalle saadaan nyt ratkaisu 2 Interpolointi Olkoon annettuna n+1 eri pistettä x 0, x 1, x n R ja n+1 lukua y 0, y 1,, y n Interpoloinnissa etsitään funktiota P, joka annetuissa pisteissä x 0,, x n saa annetut arvot y 0,, y n, (21)

Lisätiedot

Shorin algoritmin matematiikkaa Edvard Fagerholm

Shorin algoritmin matematiikkaa Edvard Fagerholm Edvard Fagerholm 1 Määritelmiä Määritelmä 1 Ryhmä G on syklinen, jos a G s.e. G = a. Määritelmä 2 Olkoon G ryhmä. Tällöin alkion a G kertaluku ord(a) on pienin luku n N \ {0}, jolla a n = 1. Jos lukua

Lisätiedot

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Liisa Ilonen. Primitiiviset juuret

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Liisa Ilonen. Primitiiviset juuret TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Liisa Ilonen Primitiiviset juuret Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Joulukuu 2009 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos ILONEN,

Lisätiedot

Lukuteorian kertausta

Lukuteorian kertausta Lukuteorian kertausta Jakoalgoritmi Jos a, b Z ja b 0, niin on olemassa sellaiset yksikäsitteiset kokonaisluvut q ja r, että a = qb+r, missä 0 r < b. Esimerkki 1: Jos a = 60 ja b = 11, niin 60 = 5 11 +

Lisätiedot

Algebra I, harjoitus 5,

Algebra I, harjoitus 5, Algebra I, harjoitus 5, 7.-8.10.2014. 1. 2 Osoita väitteet oikeiksi tai vääriksi. a) (R, ) on ryhmä, kun asetetaan a b = 2(a + b) aina, kun a, b R. (Tässä + on reaalilukujen tavallinen yhteenlasku.) b)

Lisätiedot

Primitiiviset juuret: teoriaa ja sovelluksia

Primitiiviset juuret: teoriaa ja sovelluksia TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Outi Sutinen Primitiiviset juuret: teoriaa ja sovelluksia Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Matematiikka Huhtikuu 2006 Tampereen yliopisto Matematiikan,

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Osa 4: Modulaariaritmetiikka Riikka Kangaslampi 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Modulaariaritmetiikka Jakoyhtälö Määritelmä 1 Luku

Lisätiedot

koska 2 toteuttaa rationaalikertoimisen yhtälön x 2 2 = 0. Laajennuskunnan

koska 2 toteuttaa rationaalikertoimisen yhtälön x 2 2 = 0. Laajennuskunnan 4. Äärellisten kuntien yleisiä ominaisuuksia 4.1. Laajenuskunnat. Tarkastellaan aluksi yleistä kuntaparia F ja K, missä F on kunnan K alikunta. Tällöin sanotaan, että kunta K on kunnan F laajennuskunta

Lisätiedot

1 Lukujen jaollisuudesta

1 Lukujen jaollisuudesta Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 1 1 Lukujen jaollisuudesta Lukujoukoille käytetään seuraavia merkintöjä: N = {1, 2, 3, 4,... } Luonnolliset luvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Kokonaisluvut Kun

Lisätiedot

a b 1 c b n c n

a b 1 c b n c n Algebra Syksy 2007 Harjoitukset 1. Olkoon a Z. Totea, että aina a 0, 1 a, a a ja a a. 2. Olkoot a, b, c, d Z. Todista implikaatiot: a) a b ja c d ac bd, b) a b ja b c a c. 3. Olkoon a b i kaikilla i =

Lisätiedot

[E : F ]=[E : K][K : F ].

[E : F ]=[E : K][K : F ]. ALGEBRA II 35 Lause 4.4 (Astelukulause). Olkoot E/K/Fäärellisiä kuntalaajennuksia. Silloin [E : F ]=[E : K][K : F ]. Todistus. Olkoon {α 1,...,α n } kanta laajennukselle E/K ja {β 1,...,β m } kanta laajennukselle

Lisätiedot

2 j =

2 j = 1. Modulaariaritmetiikkaa Yksinkertaisissa salausjärjestelmissä käytettävä matematiikka on paljolti lukuteoriaan pohjautuvaa suurten lukujen modulaariaritmetiikkaa (lasketaan kokonaisluvuilla modulo n).

Lisätiedot

2.1. Tehtävänä on osoittaa induktiolla, että kaikille n N pätee n = 1 n(n + 1). (1)

2.1. Tehtävänä on osoittaa induktiolla, että kaikille n N pätee n = 1 n(n + 1). (1) Approbatur 3, demo, ratkaisut Sovitaan, että 0 ei ole luonnollinen luku. Tällöin oletusta n 0 ei tarvitse toistaa alla olevissa ratkaisuissa. Se, pidetäänkö nollaa luonnollisena lukuna vai ei, vaihtelee

Lisätiedot

k=1 b kx k K-kertoimisia polynomeja, P (X)+Q(X) = (a k + b k )X k n+m a i b j X k. i+j=k k=0

k=1 b kx k K-kertoimisia polynomeja, P (X)+Q(X) = (a k + b k )X k n+m a i b j X k. i+j=k k=0 1. Polynomit Tässä luvussa tarkastelemme polynomien muodostamia renkaita polynomien ollisuutta käsitteleviä perustuloksia. Teemme luvun alkuun kaksi sopimusta: Tässä luvussa X on muodollinen symboli, jota

Lisätiedot

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Jarmo Niemelä. Primitiivisistä juurista ja. alkuluokkaryhmistä

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Jarmo Niemelä. Primitiivisistä juurista ja. alkuluokkaryhmistä TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Jarmo Niemelä Primitiivisistä juurista ja alkuluokkaryhmistä Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Matematiikka Marraskuu 2000 2 TAMPEREEN YLIOPISTO

Lisätiedot

rm + sn = d. Siispä Proposition 9.5(4) nojalla e d.

rm + sn = d. Siispä Proposition 9.5(4) nojalla e d. 9. Renkaat Z ja Z/qZ Tarkastelemme tässä luvussa jaollisuutta kokonaislukujen renkaassa Z ja todistamme tuloksia, joita käytetään jäännösluokkarenkaan Z/qZ ominaisuuksien tarkastelussa. Jos a, b, c Z ovat

Lisätiedot

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten Ratkaisuehdotelma Tehtävä 1 1. Etsi lukujen 4655 ja 12075 suurin yhteinen tekijä ja lausu se kyseisten lukujen lineaarikombinaationa ilman laskimen

Lisätiedot

diskreetin logaritmin laskemisen käytännössä mahdottomaksi. Olkoon γ kunnan F q primitiivinen alkio. Luku q ja alkio γ ovat julkisia suureita.

diskreetin logaritmin laskemisen käytännössä mahdottomaksi. Olkoon γ kunnan F q primitiivinen alkio. Luku q ja alkio γ ovat julkisia suureita. 6. Sovelluksia 6.1. Diffien ja Hellmanin avainten vaihto julkisavainsalauksessa. (Whitfield Diffie ja Martin E. Hellman (1976)) Oletetaan, että Liisa haluaa lähettää Pentille luottamuksellisen viestin.

Lisätiedot

Rationaaliluvun desimaaliesitys algebrallisesta ja lukuteoreettisesta näkökulmasta

Rationaaliluvun desimaaliesitys algebrallisesta ja lukuteoreettisesta näkökulmasta TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Liisa Lampinen Rationaaliluvun desimaaliesitys algebrallisesta ja lukuteoreettisesta näkökulmasta Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Kesäkuu 2016 Tampereen

Lisätiedot

Fermat n pieni lause. Heikki Pitkänen. Matematiikan kandidaatintutkielma

Fermat n pieni lause. Heikki Pitkänen. Matematiikan kandidaatintutkielma Fermat n pieni lause Heikki Pitkänen Matematiikan kandidaatintutkielma Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kevät 2009 Sisältö Johdanto 3 1. Fermat n pieni lause 3 2. Pseudoalkuluvut

Lisätiedot

(d) 29 4 (mod 7) (e) ( ) 49 (mod 10) (f) (mod 9)

(d) 29 4 (mod 7) (e) ( ) 49 (mod 10) (f) (mod 9) 1. Pätevätkö seuraavat kongruenssiyhtälöt? (a) 40 13 (mod 9) (b) 211 12 (mod 2) (c) 126 46 (mod 3) Ratkaisu. (a) Kyllä, sillä 40 = 4 9+4 ja 13 = 9+4. (b) Ei, sillä 211 on pariton ja 12 parillinen. (c)

Lisätiedot

ALKULUKUJA JA MELKEIN ALKULUKUJA

ALKULUKUJA JA MELKEIN ALKULUKUJA ALKULUKUJA JA MELKEIN ALKULUKUJA MINNA TUONONEN Versio: 12. heinäkuuta 2011. 1 2 MINNA TUONONEN Sisältö 1. Johdanto 3 2. Tutkielmassa tarvittavia määritelmiä ja apulauseita 4 3. Mersennen alkuluvut ja

Lisätiedot

Koodausteoria, Kesä 2014

Koodausteoria, Kesä 2014 Koodausteoria, Kesä 2014 Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 4.7 Syklisen koodin jälkiesitys Olkoon F = F q ja K = F q m kunnan F laajennuskunta. Määritelmä 4.7.1. Kuntalaajennuksen K/F jälkifunktioksi

Lisätiedot

Todistus. Eliminoidaan Euleideen algoritmissa jakojäännökset alhaaltaylöspäin.

Todistus. Eliminoidaan Euleideen algoritmissa jakojäännökset alhaaltaylöspäin. 18 ALGEBRA II missä r n (x) =syt(f(x),g(x)). Lause 2.7. Olkoot f(x),g(x) K[x]. Silloin syt(f(x),g(x)) = a(x)f(x)+b(x)g(x), joillakin a(x),b(x) K[x]. Todistus. Eliminoidaan Euleideen algoritmissa jakojäännökset

Lisätiedot

Koodausteoria, Kesä 2014

Koodausteoria, Kesä 2014 Koodausteoria, Kesä 2014 Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos Koodausteoria 10 op Kontaktiopetusta 50 h, 26.5. - 26.6. ma 10-14, ti 10-13, to 10-13 Aloitusviikolla poikkeuksellisesti ke 10-13 torstain

Lisätiedot

2017 = = = = = = 26 1

2017 = = = = = = 26 1 JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 2, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. Sovella Eukleiden algoritmia ja (i) etsi s.y.t(2017, 753) (ii) etsi kaikki kokonaislukuratkaisut yhtälölle 405x + 141y = 12. Ratkaisu

Lisätiedot

Liite 2. Ryhmien ja kuntien perusteet

Liite 2. Ryhmien ja kuntien perusteet Liite 2. Ryhmien ja kuntien perusteet 1. Ryhmät 1.1 Johdanto Erilaisissa matematiikan probleemoissa törmätään usein muotoa a + x = b tai a x = b oleviin yhtälöihin, joissa tuntematon muuttuja on x. Lukujoukkoja

Lisätiedot

Esko Turunen Luku 3. Ryhmät

Esko Turunen Luku 3. Ryhmät 3. Ryhmät Monoidia rikkaampi algebrallinen struktuuri on ryhmä: Määritelmä (3.1) Olkoon joukon G laskutoimitus. Joukko G varustettuna tällä laskutoimituksella on ryhmä, jos laskutoimitus on assosiatiivinen,

Lisätiedot

a 2 ba = a a + ( b) a = (a + ( b))a = (a b)a, joten yhtälö pätee mielivaltaiselle renkaalle.

a 2 ba = a a + ( b) a = (a + ( b))a = (a b)a, joten yhtälö pätee mielivaltaiselle renkaalle. Harjoitus 10 (7 sivua) Ratkaisuehdotuksia/Martina Aaltonen Tehtävä 1. Mitkä seuraavista yhtälöistä pätevät mielivaltaisen renkaan alkioille a ja b? a) a 2 ba = (a b)a b) (a + b + 1)(a b) = a 2 b 2 + a

Lisätiedot

Äärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause

Äärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause Tero Harju (2008/2010) Äärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause Merkintä X on joukon koko ( eli #X). Vapaat Abelin ryhmät Tässä kappaleessa käytetään Abelin ryhmille additiivista merkintää.

Lisätiedot

Esimerkki A1. Jaetaan ryhmä G = Z 17 H = 4 = {1, 4, 4 2 = 16 = 1, 4 3 = 4 = 13, 4 4 = 16 = 1}.

Esimerkki A1. Jaetaan ryhmä G = Z 17 H = 4 = {1, 4, 4 2 = 16 = 1, 4 3 = 4 = 13, 4 4 = 16 = 1}. Jaetaan ryhmä G = Z 17 n H = 4 sivuluokkiin. Ratkaisu: Koska 17 on alkuluku, #G = 16, alkiona jäännösluokat a, a = 1, 2,..., 16. Määrätään ensin n H alkiot: H = 4 = {1, 4, 4 2 = 16 = 1, 4 3 = 4 = 13, 4

Lisätiedot

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 9 (6 sivua) OT

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 9 (6 sivua) OT Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 9 (6 sivua) 28.3.-1.4.2011 OT 1. a) Osoita, että rengas R = {[0] 10, [2] 10, [4] 10, [6] 10, [8] 10 } on kokonaisalue. Mikä

Lisätiedot

HN = {hn h H, n N} on G:n aliryhmä.

HN = {hn h H, n N} on G:n aliryhmä. Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8, 23.27.3.2009 5 sivua Rami Luisto 1. Osoita, että kullakin n N + lukujen n 5 ja n viimeiset numerot kymmenkantaisessa

Lisätiedot

802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO

802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO 8038A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 016 Sisältö 1 Irrationaaliluvuista Antiikin lukuja 6.1 Kolmio- neliö- ja tetraedriluvut...................

Lisätiedot

LUKUTEORIA A. Harjoitustehtäviä, kevät 2013. (c) Osoita, että jos. niin. a c ja b c ja a b, niin. niin. (e) Osoita, että

LUKUTEORIA A. Harjoitustehtäviä, kevät 2013. (c) Osoita, että jos. niin. a c ja b c ja a b, niin. niin. (e) Osoita, että LUKUTEORIA A Harjoitustehtäviä, kevät 2013 1. Olkoot a, b, c Z, p P ja k, n Z +. (a) Osoita, että jos niin Osoita, että jos niin (c) Osoita, että jos niin (d) Osoita, että (e) Osoita, että a bc ja a c,

Lisätiedot

Johdatus matematiikkaan

Johdatus matematiikkaan Johdatus matematiikkaan Luento 7 Mikko Salo 11.9.2017 Sisältö 1. Funktioista 2. Joukkojen mahtavuus Funktioista Lukiomatematiikassa on käsitelty reaalimuuttujan funktioita (polynomi / trigonometriset /

Lisätiedot

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS Huomautus. Analyysin yksi keskeisimmistä käsitteistä on jatkuvuus! Olkoon A R mielivaltainen joukko

Lisätiedot

1 Algebralliset perusteet

1 Algebralliset perusteet 1 Algebralliset perusteet 1.1 Renkaat Tämän luvun jälkeen opiskelijoiden odotetaan muistavan, mitä ovat renkaat, vaihdannaiset renkaat, alirenkaat, homomorfismit, ideaalit, tekijärenkaat, maksimaaliset

Lisätiedot

6. Tekijäryhmät ja aliryhmät

6. Tekijäryhmät ja aliryhmät 6. Tekijäryhmät ja aliryhmät Tämän luvun tavoitteena on esitellä konstruktio, jota kutsutaan tekijäryhmän muodostamiseksi. Konstruktiossa lähdetään liikkeelle jostakin isosta ryhmästä, samastetaan alkioita,

Lisätiedot

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus

Lisätiedot

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto 3. Oletetaan, että kunnan K karakteristika on 3. Tutki,

Lisätiedot

(iv) Ratkaisu 1. Sovelletaan Eukleideen algoritmia osoittajaan ja nimittäjään. (i) 7 = , 7 6 = = =

(iv) Ratkaisu 1. Sovelletaan Eukleideen algoritmia osoittajaan ja nimittäjään. (i) 7 = , 7 6 = = = JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 07) HARJOITUS 7, MALLIRATKAISUT Tehtävä Etsi seuraavien rationaalilukujen ketjumurtokehitelmät: (i) 7 6 (ii) 4 7 (iii) 65 74 (iv) 63 74 Ratkaisu Sovelletaan Eukleideen algoritmia

Lisätiedot

802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III

802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III 802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LUKUTEORIA 1 / 77 Irrationaaliluvuista Määritelmä 1 Luku α C \ Q on

Lisätiedot

g : R R, g(a) = g i a i. Alkio g(a) R on polynomin arvo pisteessä a. Jos g(a) = 0, niin a on polynomin g(x) nollakohta.

g : R R, g(a) = g i a i. Alkio g(a) R on polynomin arvo pisteessä a. Jos g(a) = 0, niin a on polynomin g(x) nollakohta. ALGEBRA II 27 on homomorfismi. Ensinnäkin G(a + b) a + b G(a)+G(b) (f), G(ab) ab G(a)G(b) G(a) G(b) (f), ja koska kongruenssien vasempien ja oikeiden puolten asteet ovat pienempiä kuin f:n aste, niin homomorfiaehdot

Lisätiedot

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Jussi Tervaniemi. Primitiiviset juuret

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Jussi Tervaniemi. Primitiiviset juuret TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Jussi Tervaniemi Primitiiviset juuret Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Matematiikka Heinäkuu 2006 Sisältö Johdanto 3 1 Lukuteorian peruskäsitteitä

Lisätiedot

VALIKOITUJA KOHTIA LUKUTEORIASTA

VALIKOITUJA KOHTIA LUKUTEORIASTA VALIKOITUJA KOHTIA LUKUTEORIASTA ARI LEHTONEN 1. Laajennettu Euleideen algoritmi 1.1. Jaoyhtälö. Oloot r 0, r 1 Z, r 0 r 1 > 0. Tällöin on olemassa ysiäsitteiset luvut q 1 ja r 2 Z siten, että r 0 = q

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 2 3 Joukko-oppia Tässä luvussa tarkastellaan joukko-opin

Lisätiedot

ei ole muita välikuntia.

ei ole muita välikuntia. ALGEBRA II 41 Lause 4.15. F q m on polynomin x qm x hajoamiskunta kunnan F q suhteen. Todistus. Olkoon α kunnan F q m primitiivialkio. Nyt F qm =< α > muodostuu täsmälleen polynomin x qm 1 1nollakohdistajatäten

Lisätiedot

5. Julkisen avaimen salaus

5. Julkisen avaimen salaus Osa3: Matematiikkaa julkisen avaimen salausten taustalla 5. Julkisen avaimen salaus Public key cryptography 5. 1 Julkisen avaimen salausmenetelmät - Diffien ja Hellmannin periaate v. 1977 - RSA:n perusteet

Lisätiedot

Algebran ja lukuteorian harjoitustehtäviä. 1. Tutki, ovatko seuraavat relaatiot ekvivalenssirelaatioita joukon N kaikkien osajoukkojen

Algebran ja lukuteorian harjoitustehtäviä. 1. Tutki, ovatko seuraavat relaatiot ekvivalenssirelaatioita joukon N kaikkien osajoukkojen Algebran ja lukuteorian harjoitustehtäviä Versio 1.0 (27.1.2006) Turun yliopisto Lukuteoria 1. Tutki, ovatko seuraavat relaatiot ekvivalenssirelaatioita joukon N kaikkien osajoukkojen joukolla: a) C D

Lisätiedot

Lukuteoria. Eukleides Aleksandrialainen (n. 300 eaa)

Lukuteoria. Eukleides Aleksandrialainen (n. 300 eaa) Lukuteoria Lukuteoria on eräs vanhimmista matematiikan aloista. On sanottu, että siinä missä matematiikka on tieteiden kuningatar, on lukuteoria matematiikan kuningatar. Perehdymme seuraavassa luonnollisten

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I 802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä

Lisätiedot

7 Vapaus. 7.1 Vapauden määritelmä

7 Vapaus. 7.1 Vapauden määritelmä 7 Vapaus Kuten edellisen luvun lopussa mainittiin, seuraavaksi pyritään ratkaisemaan, onko annetussa aliavaruuden virittäjäjoukossa tarpeettomia vektoreita Jos tällaisia ei ole, virittäjäjoukkoa kutsutaan

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä Luonnollisten lukujen joukko N on joukko N = {1, 2, 3,...} ja kokonaislukujen

Lisätiedot

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos: 8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden

Lisätiedot

802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä

802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä 802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät 2017 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä Sisältö 1 Lukuteoriaa 3 1.1 Jakoalgoritmi ja alkuluvut.................... 3 1.2 Suurin yhteinen tekijä......................

Lisätiedot

802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä

802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä 802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät 2018 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä Sisältö 1 Lukuteoriaa 3 1.1 Jakoalgoritmi ja alkuluvut.................... 3 1.2 Suurin yhteinen tekijä......................

Lisätiedot

Teema 4. Homomorfismeista Ihanne ja tekijärengas. Teema 4 1 / 32

Teema 4. Homomorfismeista Ihanne ja tekijärengas. Teema 4 1 / 32 1 / 32 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.2 Esimerkki 4B.1 Esimerkki 4B.2 Esimerkki 4B.3 Esimerkki 4C.1 Esimerkki 4C.2 Esimerkki 4C.3 2 / 32 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.2 Esimerkki 4B.1 Esimerkki

Lisätiedot

Jokaisen parittoman kokonaisluvun toinen potenssi on pariton.

Jokaisen parittoman kokonaisluvun toinen potenssi on pariton. 3 Todistustekniikkaa 3.1 Väitteen kumoaminen vastaesimerkillä Monissa tilanteissa kohdataan väitteitä, jotka koskevat esimerkiksi kaikkia kokonaislukuja, kaikkia reaalilukuja tai kaikkia joukkoja. Esimerkkejä

Lisätiedot

Juuri 11 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 11 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus K1. a) 72 = 2 36 = 2 2 18 = 2 2 2 9 = 2 2 2 3 3 = 2 3 3 2 252 = 2 126 = 2 2 63 = 2 2 3 21 = 2 2 3 3 7 = 2 2 3 2 7 syt(72, 252) = 2 2 3 2 = 36 b) 252 = 72 3 + 36 72 = 36 2 syt(72, 252) = 36 c) pym(72,

Lisätiedot

Diofantoksen yhtälön ratkaisut

Diofantoksen yhtälön ratkaisut Diofantoksen yhtälön ratkaisut Matias Mäkelä Matemaattisten tieteiden tutkinto-ohjelma Oulun yliopisto Kevät 2017 Sisältö Johdanto 2 1 Suurin yhteinen tekijä 2 2 Eukleideen algoritmi 4 3 Diofantoksen yhtälön

Lisätiedot

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 (7 sivua)

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 (7 sivua) Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin ( sivua).... Nämä ovat kurssin Algebra I harjoitustehtävien ratkaisuehdoituksia. Ratkaisut koostuvat kahdesta osiosta,

Lisätiedot

Algebran perusteet. 44 ϕ(105) = (105). Näin ollen

Algebran perusteet. 44 ϕ(105) = (105). Näin ollen Algebran perusteet Harjoitus 4, ratkaisut kevät 2016 1 a) Koska 105 = 5 21 = 3 5 7 ja 44 = 2 2 11, niin syt(44, 105) = 1 Lisäksi ϕ(105) = ϕ(3 5 7) = (3 1)(5 1)(7 1) = 2 4 6 = 48, joten Eulerin teoreeman

Lisätiedot

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 6 (8 sivua) OT. 1. a) Määritä seuraavat summat:

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 6 (8 sivua) OT. 1. a) Määritä seuraavat summat: Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 6 (8 sivua) 21.2.-25.2.2011 OT 1. a) Määritä seuraavat summat: [2] 4 + [3] 4, [2] 5 + [3] 5, [2] 6 + [2] 6 + [2] 6, 7 [3]

Lisätiedot

Lineaarikuvauksen R n R m matriisi

Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lauseessa 21 osoitettiin, että jokaista m n -matriisia A vastaa lineaarikuvaus L A : R n R m, jolla L A ( v) = A v kaikilla v R n. Osoitetaan seuraavaksi käänteinen tulos:

Lisätiedot

800333A Algebra I Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä

800333A Algebra I Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä 800333A Algebra I Luentorunko Kevät 2010 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä Sisältö 1 Lukuteorian alkeita 3 1.1 Kongruenssiin liittyviä perustuloksia.............. 7 2 Ekvivalenssirelaatio

Lisätiedot

Koodausteoria, Kesä 2014

Koodausteoria, Kesä 2014 Koodausteoria, Kesä 2014 Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 5.2 BCH-koodin dekoodaus Tarkastellaan t virhettä korjaavaa n-pituista BCH-koodia. Olkoon α primitiivinen n:s ykkösen juuri, c = c(x)

Lisätiedot

Reaalifunktioista 1 / 17. Reaalifunktioista

Reaalifunktioista 1 / 17. Reaalifunktioista säilyy 1 / 17 säilyy Jos A, B R, niin funktiota f : A B sanotaan (yhden muuttujan) reaalifunktioksi. Tällöin karteesinen tulo A B on (aiempia esimerkkejä luonnollisemmalla tavalla) xy-tason osajoukko,

Lisätiedot

Seurauksia. Seuraus. Seuraus. Jos asteen n polynomilla P on n erisuurta nollakohtaa x 1, x 2,..., x n, niin P on muotoa

Seurauksia. Seuraus. Seuraus. Jos asteen n polynomilla P on n erisuurta nollakohtaa x 1, x 2,..., x n, niin P on muotoa Seurauksia Seuraus Jos asteen n polynomilla P on n erisuurta nollakohtaa x 1, x 2,..., x n, niin P on muotoa P(x) = a n (x x 1 )(x x 2 )... (x x n ). Seuraus Astetta n olevalla polynomilla voi olla enintään

Lisätiedot

Lyhyt johdatus alkeelliseen lukuteoriaan. Esa V. Vesalainen

Lyhyt johdatus alkeelliseen lukuteoriaan. Esa V. Vesalainen yhyt johdatus alkeelliseen lukuteoriaan Esa V. Vesalainen Sisällysluettelo 1 Aritmetiikan peruslause 0 Jakoyhtälö.................................. 0 Jaollisuus.................................. 0 Alkuluvut..................................

Lisätiedot

{I n } < { I n,i n } < GL n (Q) < GL n (R) < GL n (C) kaikilla n 2 ja

{I n } < { I n,i n } < GL n (Q) < GL n (R) < GL n (C) kaikilla n 2 ja 5. Aliryhmät Luvun 4 esimerkeissä esiintyy usein ryhmä (G, ) ja jokin vakaa osajoukko B G siten, että (B, B ) on ryhmä. Määrittelemme seuraavassa käsitteitä, jotka auttavat tällaisten tilanteiden käsittelyssä.

Lisätiedot

Konvergenssilauseita

Konvergenssilauseita LUKU 4 Konvergenssilauseita Lause 4.1 (Monotonisen konvergenssin lause). Olkoon (f n ) kasvava jono Lebesgueintegroituvia funktioita. Asetetaan f(x) := f n (x). Jos f n

Lisätiedot

Kuvauksista ja relaatioista. Jonna Makkonen Ilari Vallivaara

Kuvauksista ja relaatioista. Jonna Makkonen Ilari Vallivaara Kuvauksista ja relaatioista Jonna Makkonen Ilari Vallivaara 20. lokakuuta 2004 Sisältö 1 Esipuhe 2 2 Kuvauksista 3 3 Relaatioista 8 Lähdeluettelo 12 1 1 Esipuhe Joukot ja relaatiot ovat periaatteessa äärimmäisen

Lisätiedot

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) OT

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) OT Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) 31.1.-4.2.2011 OT 1. Määritellään kokonaisluvuille laskutoimitus n m = n + m + 5. Osoita, että (Z, ) on ryhmä.

Lisätiedot

Koodausteoria, Kesä 2014

Koodausteoria, Kesä 2014 Koodausteoria, Kesä 2014 Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 5 BCH-, RS- ja Goppa-koodit Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 2 / 15 5.1 BCH-koodien määrittely Olkoon jälleen F = F q, syt(n,

Lisätiedot

802355A Algebralliset rakenteet Luentorunko Syksy Markku Niemenmaa Kari Myllylä Topi Törmä Marko Leinonen

802355A Algebralliset rakenteet Luentorunko Syksy Markku Niemenmaa Kari Myllylä Topi Törmä Marko Leinonen 802355A Algebralliset rakenteet Luentorunko Syksy 2016 Markku Niemenmaa Kari Myllylä Topi Törmä Marko Leinonen Sisältö 1 Kertausta kurssilta Algebran perusteet 3 2 Renkaat 8 2.1 Renkaiden teoriaa.........................

Lisätiedot

verkkojen G ja H välinen isomorfismi. Nyt kuvaus f on bijektio, joka säilyttää kyseisissä verkoissa esiintyvät särmät, joten pari

verkkojen G ja H välinen isomorfismi. Nyt kuvaus f on bijektio, joka säilyttää kyseisissä verkoissa esiintyvät särmät, joten pari Tehtävä 9 : 1 Merkitään kirjaimella G tehtäväpaperin kuvan vasemmanpuoleista verkkoa sekä kirjaimella H tehtäväpaperin kuvan oikeanpuoleista verkkoa. Kuvan perusteella voidaan havaita, että verkko G on

Lisätiedot

11. Jaollisuudesta. Lemma Oletetaan, että a, b R.

11. Jaollisuudesta. Lemma Oletetaan, että a, b R. 11. Jaollisuudesta Edellisen luvun esimerkissä tarvittiin tietoa erään polynomin jaottomuudesta. Tämä on hyvin tavallista kuntalaajennosten yhteydessä. Seuraavassa tarkastellaan hieman jaollisuuskäsitettä

Lisätiedot

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Jukka Vilen. Polynomirenkaista

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Jukka Vilen. Polynomirenkaista TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Jukka Vilen Polynomirenkaista Informaatiotieteiden tiedekunta Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Matematiikka Kesäkuu 2005 Tampereen yliopisto Matematiikan,

Lisätiedot

4. Eulerin ja Fermat'n lauseet

4. Eulerin ja Fermat'n lauseet 4. Eulerin ja Fermat'n lauseet 4.1 Alkuluokka ja Eulerin φ-funktio Yleensä olemme kiinnostuneita vain niistä jäännösluokista modulo m, joiden alkiot ovat suhteellisia alkulukuja luvun m kanssa. Näiden

Lisätiedot

k=0 saanto jokaisen kolmannen asteen polynomin. Tukipisteet on talloin valittu

k=0 saanto jokaisen kolmannen asteen polynomin. Tukipisteet on talloin valittu LIS AYKSI A kirjaan Reaalimuuttujan analyysi 1.6. Numeerinen integrointi: Gaussin kaavat Edella kasitellyt numeerisen integroinnin kaavat eli kvadratuurikaavat Riemannin summa, puolisuunnikassaanto ja

Lisätiedot

Lineaariset ryhmät Pro gradu -tutkielma Miia Lillstrang Matematiikan yksikkö Oulun yliopisto 2016

Lineaariset ryhmät Pro gradu -tutkielma Miia Lillstrang Matematiikan yksikkö Oulun yliopisto 2016 Lineaariset ryhmät Pro gradu -tutkielma Miia Lillstrang 2187044 Matematiikan yksikkö Oulun yliopisto 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Esitietoja 3 1.1 Ryhmät.............................. 3 1.1.1 Ryhmä ja aliryhmä....................

Lisätiedot

H = : a, b C M. joten jokainen A H {0} on kääntyvä matriisi. Itse asiassa kaikki nollasta poikkeavat alkiot ovat yksiköitä, koska. a b.

H = : a, b C M. joten jokainen A H {0} on kääntyvä matriisi. Itse asiassa kaikki nollasta poikkeavat alkiot ovat yksiköitä, koska. a b. 10. Kunnat ja kokonaisalueet Määritelmä 10.1. Olkoon K rengas, jossa on ainakin kaksi alkiota. Jos kaikki renkaan K nollasta poikkeavat alkiot ovat yksiköitä, niin K on jakorengas. Kommutatiivinen jakorengas

Lisätiedot

1 sup- ja inf-esimerkkejä

1 sup- ja inf-esimerkkejä Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Nollakohdan olemassaolo. Kaikki tuntevat

Lisätiedot

MATP153 Approbatur 1B Ohjaus 2 Keskiviikko torstai

MATP153 Approbatur 1B Ohjaus 2 Keskiviikko torstai MATP15 Approbatur 1B Ohjaus Keskiviikko 4.11. torstai 5.11.015 1. (Opiskeluteht. 6 s. 0.) Määritä sellainen vakio a, että polynomilla x + (a 1)x 4x a on juurena luku x = 1. Mitkä ovat tällöin muut juuret?.

Lisätiedot

j(j 1) = n(n2 1) 3 + (k + 1)k = (k + 1)(k2 k + 3k) 3 = (k + 1)(k2 + 2k + 1 1)

j(j 1) = n(n2 1) 3 + (k + 1)k = (k + 1)(k2 k + 3k) 3 = (k + 1)(k2 + 2k + 1 1) MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Tentti ja välikokeiden uusinta 10.11.015 Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot! Laskimia tai taulukoita ei saa käyttää tässä kokeessa!

Lisätiedot

Liite 1. Laajennettu Eukleideen algoritmi suoraviivainen tapa

Liite 1. Laajennettu Eukleideen algoritmi suoraviivainen tapa Liite 1. Laajennettu Eukleideen algoritmi suoraviivainen tapa - johdanto - matemaattinen induktiotodistus - matriisien kertolaskun käyttömahdollisuus - käsinlaskuesimerkkejä - kaikki välivaiheet esittävä

Lisätiedot

Rollen lause polynomeille

Rollen lause polynomeille Rollen lause polynomeille LuK-tutkielma Anna-Helena Hietamäki 7193766 Matemaattisten tieteiden tutkinto-ohjelma Oulun yliopisto Kevät 015 Sisältö 1 Johdanto 1.1 Rollen lause analyysissä.......................

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi 2

Matematiikan peruskurssi 2 Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat

Lisätiedot

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio 4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Tutkitaan yhtälöiden ratkaisuja piirtämällä funktioiden f(x) = x, f(x) = x 3, f(x) = x 4 ja f(x) = x 5 kuvaajat. Näin nähdään, monessako

Lisätiedot

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9 Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9 Tuntitehtävät 9-10 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 13-14 loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 11-12 tarkastetaan loppuviikon

Lisätiedot